Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 1

APUNTES DE

HIDROGEOLOGÍA

Tema 3

Profesor: Fermín Villarroya Gil

Departamento de Geodinámica

Facultad de Ciencias Geológicas

Universidad Complutense

Madrid

Año 2006

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 2

TEMA 3. REDES DE FLUJO.

Ecuación general del flujo en medios porosos. Régimen permanente y transitorio. Superficies piezométricas:

obtención e interpretación. 7.-ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Es la expresión matemática del principio de conservación de la masa o de la energía. Fue enunciada por Lavosier: “La materia ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma”. Esta ecuación de la continuidad se puede deducir. En este caso vamos a esbozarla aplicándola a un volumen infinitesimal (Fig. 10) de un acuífero y le aplicaremos ese principio en cada una de las tres caras de los tres ejes (x, y, z) del espacio: Las dimensiones del elemento diferencial de acuífero serán dx, dy, dz y le aplicaremos el principio de conservación de la masa: E -S = ∆S, siendo ∆S la variación experimentada por el almacenamiento de agua en la celdilla.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 3

Según la dirección x tendremos unas entradas por la cara dy dz Qx= dy*dz*k δh/δx Si expresamos el caudal como dVx/dt= dQx= dy*dz* k*δh/δx, de donde las entradas por la cara dy dz, es decir Vx será igual a dVx= dy*dz* k*δh/δx *dt Si el volumen se multiplica por ρ se obtendrá la masa:

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 4

ρ dVx= dy*dz* k*δh/δx *dt*ρ Por otro lado, lo que sale por la otra cara dy dz en x + ∆x será: dV(x+dx)= k(δh/δx) (x+dx)*dy*dz*dt Para restar una función en x por otra de x + dx hay que aplicar el desarrollo de Taylor. Realizando las mismas operaciones en cada cara del cubo elemental se llega a la siguiente expresión:

[δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2 + δ2 h/δ z2] *T = S* δ h/δ t (1)

el primer miembro de la ecuación representa las entradas menos las salidas al sistema y el miembro segundo representa la variación del almacenamiento. La ecuación (1) es la ecuación de la continuidad en régimen variable o transitorio pues la h depende del tiempo. 7.1.- Régimen permanente. Régimen transitorio ó variable Si la h (el potencial) es constante a lo largo del tiempo (por ejemplo bombeo en las proximidades de un lago), el acuífero actúa como una mera cañería: toda el agua que se extrae proviene del lago y la h en el acuífero permanece constante. A esto se llama régimen permanente ya que la h no depende del tiempo, porque es constante. En estas circunstancias en (1) tendremos que δ h/δ t es cero ya que la derivada de una constante es cero y la ecuación de la continuidad quedaría finalmente así:

[δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2 + δ2 h/δ z2] T = S * 0 = 0, lo que implica que [δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2 + δ2 h/δ z2] valga cero ya que la T nunca es cero. Esto se puede escribir abreviadamente así V2 h = 0, que es la expresión de la ecuación de la continuidad en régimen permanente.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 5

Si los niveles bajan (varía la "h" por lo tanto) el régimen se denomina transitorio y la ecuación de la continuidad adopta la formulación (1) porque la h depende del tiempo. El flujo con arreglo a (1) puede ser unidireccional, bidimensional o tridimensional. La ecuación de la continuidad es una ecuación diferencial en derivadas parciales y de segundo orden. Al resolverla, es decir, al integrarla, obtenemos infinitas soluciones. Si ponemos condiciones de contorno, limitaremos las infinitas soluciones y así obtendremos las soluciones que la resuelven aplicada a un caso concreto. Las dos condiciones o límites de contorno son:

a) Límites ó bordes impermeables, y le indicaremos a la ecuación que en esa dirección las E - S =0.

b) Bordes o límites permeables. Límite de nivel constante (contacto del acuífero con el mar o un lago). La "h" permanece constante y existe un flujo permanente de agua en condiciones de equilibrio a través de ese límite.

Definimos línea de corriente como aquella línea que es tangente constantemente al vector velocidad. Línea equipotencial (o isopieza) es el lugar geométrico de los puntos en los cuales la h es constante. Los bordes impermeables se comportarán como líneas de corriente. Los bordes de nivel constante son líneas equipotenciales. Esto es muy importante tenerlo en cuenta a la hora de elaborar mapas de isopiezas y redes de flujo, tal como se verá más adelante. Los vectores v e i sólo varían en su módulo y tienen la misma dirección y el sentido contrario. Dado que el valor máximo del gradiente (i) se produce cuando éste es perpendicular a las equipotenciales, se deduce que las líneas de corriente y las equipotenciales tienen que ser perpendiculares entre sí y la velocidad que es paralela al gradiente es también perpendicular a las equipotenciales. Una vez fijados los límites de contorno hay que resolver la ecuación de la continuidad para ello hay tres métodos:

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 6

a).- Métodos analíticos: son los métodos de hidráulica de pozos (Theis, Jacob, etc.). b).- Métodos numéricos: consiste en pasar de un medio continuo a incrementos finitos o mensurables, es decir, pasar de una solución continua a otra discreta. Cuanto más pequeños sean los incrementos que se utilicen, más ajustadas serán las soluciones. Es decir, pasaríamos de la ecuación de la continuidad a un sistema de ecuaciones. Esto lo resuelven los modelos digitales en pocos segundos. c).- Métodos gráficos: redes de flujo. 8.- REDES DE FLUJO Es una malla formada por la intersección de dos familias de curvas que son por un lado las equipotenciales y por otro las líneas de corriente. Ambas son perpendiculares entre sí. Las redes de flujo sirven para resolver la ecuación de la continuidad en régimen permanente. Es decir, las redes de flujo nos definen la ecuación de la continuidad cuando la ecuación de la continuidad cumple la expresión:

[δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2+ δ2 h/δ z2] *T = S * 0 = 0 Definiremos las condiciones de contorno:

a) Los bordes impermeables son líneas de corriente. b) Los bordes permeables son los límites con masas de agua (lagos,

etc). Son superficies de potencial constante; son superficies equipotenciales, por lo tanto.

c) La superficie piezométrica es otra condición de contorno. Esta vez porque sabemos la h en cada uno de sus puntos.

d) Rezumes, manantiales, zona estancamiento…son puntos singulares a tener muy en cuenta.

En una red de flujo podemos definir una serie de elementos que se llaman tubos de flujo que es un volumen de acuífero encerrado totalmente por líneas de corriente que se adaptan a una directriz determinada, pero que puede ser irregular.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 7

Los tubos de flujo tienen la propiedad de que en cualquier sección perpendicular del tubo, el caudal es constante, y esto se podría demostrar por el teorema de Gauss. Si se aplica la ley de continuidad y la ley de Darcy a un tubo de flujo tendremos (Fig.11):

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 8

Q= a* b* k* h1-h2/∆l= a* b* k* ∆h/∆l. (2) Si conocemos la escala, la ecuación anterior se resuelve fácilmente. Encima, para simplificar, intentaremos pintar la red como cuadros curvilíneos. La red puede ser más o menos tupida, pero siempre cuadrática curvilínea. Un buen criterio para controlar si dibujamos correctamente la red de flujo es tener presente que se habrá pintado cuadrados curvilíneos si 1, 2, 3, 4 son ángulos rectos y si las diagonales se cortan también en ángulos rectos. Igualmente debe poderse inscribir un círculo tangente a los cuatro lados (Fig. 12). Si la red es cuadrada a = l (ele) y si el tubo de flujo tiene el espesor unidad (b = 1), la expresión (2) quedará:

Q= 1(m)* k (m/d)* ∆h (m) (3)

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 9

Al ser k constante y el ∆h constante, conduce que a por todos los tubos de flujo circula el mismo caudal. La velocidad en el interior de cada tubo puede variar, pero el caudal es el mismo en todos los tubos de flujo. Una vez acabado el problema, al multiplicar por b se obtendrá el caudal total. 8.1.-Aplicaciones de la red de flujo

a) con la red de flujo se calcula el caudal b) con la red de flujo se calculan las subpresiones que soportan los

cimientos. Ya que h= z + p/γ

la presión provocada por el agua será: p=(h-z) γ

c) para hallar el Q total bastaría calcular el caudal en un único tubo de flujo, sumar todos los tubos y multiplicar por el espesor saturado.

d) aplicando Darcy a un tubo de flujo se puede calcular la k en otro punto del tubo de flujo

e) permite el cálculo del tiempo de circulación del agua en el acuífero

f) permite calcular la velocidad del agua subterránea 8.2.-Ejemplo: red de flujo en una presa Dadas las condiciones reflejadas en la figura 13, se pide saber el caudal subterráneo que pierde la presa y el estado de presiones en los puntos señalados. La permeabilidad es de 75 m/d y la anchura de la presa es de 100 m. Consideraciones:

a) Hay que fijar un origen de alturas z=0. Hemos elegido el fondo del acuífero aluvial.

b) Se trabaja siempre a escala y con la escala horizontal=escala vertical.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 10

c) Definimos los límites impermeables, que serán líneas de corriente: el fondo del acuífero, la presa (todo el contorno de la base de la presa es, por tanto, una línea de flujo).

d) Definimos los límites permeables, que son el lecho del embalse y el lecho del río.

Todos los puntos del fondo del embalse tienen una h = 19 m, y los del lecho del río inmediatamente aguas debajo de la presa es de 13 m ( a pesar de que la "z" es de 12 m en ambos casos). Se dibuja la primera línea de flujo que será más o menos paralela al borde de la presa, que se recuerda que es una línea de flujo y ahora se intenta dibujar cuadrados curvilíneos y no rombos. A continuación se traza un primer esbozo de la equipotencial, y así sucesivamente por "ensayo y error" procurando tener muy presentes los criterios. Finalmente resultan dibujados cinco tubos de flujo y en todos se obtiene el mismo caudal. La pérdida de carga por debajo de la presa es de 6 m (la diferencia entre los 19 m de potencial en el fondo del embalse y los 13 m de potencial del lecho del río, aguas debajo de la presa). Luego en 13 saltos (trece equipotenciales) se pasa de 19 a 13. Cada salto vale (6/13=0,46 m). El caudal que pasa por un tubo de flujo (de 1 m de anchura), aplicando la fórmula (3) resulta: q1= 1* k* ∆h= 75 m/ día * 6/13= 34,5 m3/día. En un perfil de anchura unidad el caudal es: Q = nº de tubos de flujo (5)* 34,5= 172,5 m3/día. El caudal total por debajo de la presa Qt= 100 (anchura)* 5*75*0,46 = 17250 m3/día.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 11

Sólo hay una red de flujo que cumpla la solución de la ecuación de la continuidad. Podrá ser más ó menos tupida y con más saltos, pero debe ser siempre cuadrada curvilínea. Estado de presiones: En el punto C de cota 10,5 m, se cumplirá que p= γ (h-z) = 1000 kg/m3 [14,62-10,5]= 4120 kg/m2, ya que la isopieza que pasa por C vale 14,62 m. Si se mide el estado de presiones en diversos puntos se comprobará que la presión hidrostática disminuye en el sentido de aguas abajo. Por eso, el perfil de las presas comienza siendo grueso y se adelgaza enseguida. 9.- SUPERFICIES PIEZOMÉTRICAS Ó MAPAS DE ISOPIEZAS. Recibe el nombre de superficie piezométrica el lugar geométrico que recoge todos los niveles piezométricos de un acuífero. Si el acuífero es libre, la superficie piezométrica es el lugar geométrico de todos los puntos del nivel freático. La condición necesaria y suficiente para que un acuífero tenga una única superficie piezométrica es que el flujo sea horizontal, o lo que es lo mismo que la "h" no varíe con la profundidad. Así en un acuífero cautivo (Fig.14):

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 12

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 13

Independientemente de la profundidad que alcance el pozo, la h es constante. En este caso la superficie piezométrica será única. Si el flujo no es horizontal, como en la figura 15, entonces con

la profundidad varía la h, luego hay infinitos mapas de la superficie piezométrica, como por ejemplo ocurre en el acuífero del terciario detrítico de Madrid. En este caso es más correcto hablar de mapa del límite superior de la zona saturada. Se obtendría a partir de niveles sacados de pozos excavados a “pico y pala” de poca profundidad. 9.1.- Mapas de superficies piezométricas

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 14

El lugar geométrico de los puntos de un acuífero que tienen idéntico potencial hidráulico (igual h) o energía, se denominan isopiezas. Por lo tanto, una isopieza es una equipotencial.

Para obtener la superficie piezométrica hay que realizar una serie de tareas

- En el campo (inventario de puntos de agua) - En el gabinete (confección del mapa de isopiezas)

9.1.1 Breve descripción de cómo se efectúa un inventario de puntos de agua.

Esta es una labor fundamental, pero suele ser poco grata, lenta y prolija. Consiste en recorrer el terreno recogiendo datos de sondeos, pozos, manantiales y similares (fig 16). Hay que hacerse con los datos técnicos del diseño de esas captaciones así como datos de la explotación (caudales, consumos…). Previamente es necesario consultar los archivos de datos que pudiesen existir en la Confederación pertinente, IGME, organismos de administraciones autonómicas y locales, archivos de empresas constructoras, etc. El verdadero conocimiento del acuífero se adquiere en el terreno con la inspección ocular de los terrenos y las instalaciones y las encuestas directas a los usuarios. Es muy importante la correcta medición "in situ" del nivel del agua en

el pozo y anotar todas las características del pozo así como las circunstancias de la medición (niveles estáticos o dinámicos, dificultad de la medida, nombre y teléfono de la persona que facilita o puede proporcionar información o permitir visitas sucesivas a la captación etc.). De capital importancia es conocer los caudales de explotación y los descensos que produce. De esta forma obtendremos el caudal específico (q) (caudal que se obtiene por unidad de descenso del nivel del agua dentro del pozo o durante el bombeo).

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 15

Simultáneamente puede obtenerse muestras de agua para posteriores análisis químicos así como la medición de parámetros físico-químicos inestables de las aguas (temperatura, pH, conductividad, contenido en oxígeno y alcalinidad, fundamentalmente). Para cada punto obtenido se elabora una ficha similar a la que se adjunta en la Fig.16 así como un cuadro resumen con las principales características. Finalmente la localización de cada punto de agua se expresa en el correspondiente mapa de inventario. Hay que volver a insistir que sin un inventario bien hecho no se puede realizar un estudio hidrogeológico correcto.

9.1.2 Confección del mapa de isopiezas

Con el inventario obtendremos el valor absoluto del nivel del agua en cada captación por lo que estamos en condiciones de elaborar el mapa de isopiezas. Eventualmente habría que rechazar datos erróneos o datos mezclados de acuíferos diferentes. Esto se detecta fácilmente por el tenor de los valores de los niveles (puede darse el caso de haber inventariado inadvertidamente captaciones pertenecientes a diferentes acuíferos: superpuestos, locales, colgados…). Un hidrogeólogo con no excesiva experiencia debe ser capaz de discernir prontamente esta posibilidad. El trazado de las isopiezas es similar a como trazaríamos curvas de nivel a partir de valores de la topografía y hay que tener en cuenta que las isopiezas son perpendiculares a los bordes impermeables, y paralelas a los permeables o de nivel constante. Las líneas de flujo se trazan perpendiculares a las líneas equipotenciales o isopiezas (fig 17).

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 16

En todo momento hay que dibujar isopiezas coherentes con la topografía: no puede haber agua subterránea por encima de la superficie topográfica. Por lo tanto las curvas de nivel ayudan a trazar las líneas equipotenciales aún en lugares donde no hay datos, inflexionando y curvando las isopiezas todo lo que haga falta para asegurarnos este hecho. Solo en el caso de acuíferos confinados o semiconfinados puede darse el hecho de que las isopiezas estén por encima del terreno. En definitiva los criterios para realizar un mapa de isopiezas son (fig 17):

a) Trazar las equipotenciales perpendiculares a los límites impermeables.

b) Las equipotenciales deben pasar por el nacimiento de manantiales o nacimientos de arroyos. Las equipotenciales son paralelas a los límites permeables.

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 17

c) Cotas de los ríos y de las isopiezas. Las cotas de los ríos (si hay conexión hidráulica) deben corresponder con la superficie freática.

d) Trazar las líneas de corriente perpendiculares a las isopiezas. e) En principio, un buen mapa se hace con una densidad de 1 pto/

por cada 4 cm2 de mapa, independientemente de la escala del mapa.

9.1.3 Causas de la fluctuación de los niveles del agua en un

pozo.

La h varía con el tiempo, luego cada mapa debe llevar la fecha y se deben medir los niveles en el menor plazo de tiempo posible. Dado que h= z + p/γ, si la h varía con el tiempo es porque aquí la única variable posible es p (presión hidráulica) que en efecto puede variar por:

Paso de un ferrocarril sobre el acuífero. Recarga del acuífero. Descarga del acuífero. Variación de la presión atmosférica. Balance de mareas, etc.

9.2.- Interpretación y aplicaciones de los mapas de isopiezas

Un mapa de isopiezas, si está bien hecho, es muy útil porque aporta una riqueza de datos muy valiosa:

-Las líneas de corriente definen tubos de flujo y aplicando Darcy podemos obtener los caudales circulantes. -Podemos analizar la relación acuífero-río. Si la cota del río es la de la isopieza esto indica que hay conexión. Las relaciones entre un río y un acuífero pueden ser de efluencia (río ganador) ó de influencia (río perdedor). En el caso de un río perdedor la recarga que se produce al acuífero inferior es independiente de lo profundo que se encuentre el nivel freático. El caudal dependerá de (Fig. 18)

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 18

Q= A k´∆h /b´

siendo k´ y de b´ la permeabilidad y el espesor de la capa de limos que tapizan el lecho del cauce, respectivamente. ∆h es el espesor de la lámina de agua del canal más b´. Como se ve en la figura, el caudal no depende de la distancia "d" (esto es el denominado efecto "ducha"). -Conociendo la distribución del potencial se puede definir la dirección y sentido del movimiento del agua subterránea en el acuífero. -Puede calcularse el tiempo de circulación -Pueden distinguirse las zonas de recarga o alimentación -Pueden distinguirse las zonas de descarga (conos de bombeo) -Divisorias hidrogeológicas

Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 19

-Los manantiales son puntos importantes que delatan la existencia de una superficie freática.

Se deduce que es muy importante dedicar el tiempo necesario para obtener datos de calidad y posteriormente hacer una cuidadosa confección e interpretación de los datos. 10.- EL PERFIL HIDROGEOLÓGICO Un buen estudio hidrogeológico debe materializarse gráficamente mediante un perfil hidrogeológico. No se puede afirmar que un acuífero es bien conocido si no es posible dibujar un perfil hidrogeológico. Básicamente un perfil hidrogeológico consta de un perfil geológico con escala vertical realzada (por ejemplo 1/500, 1/1000) frente a escalas horizontales (1/5000, ó 1/10000, por ejemplo). En dichos perfiles (fig 19) se debe expresar el nivel freático o potenciométrico, así como datos hidrogeológicos que usualmente aparecen en cajetines con su leyenda correspondiente.