HIDRODINÁMICA: Estudio de los fluidos en movimientoDEFINICIONES PREVIAS

a) FLUJO: Movimiento de un fluido

b) VISCOCIDAD :• Se relaciona con la capacidad de fluir que tienen los líquidos. Tiene

relación con la fricción interna de las moléculas que los constituyen

• Se define como: Resistencia al flujo que experimentan los líquidos

c) FLUJO LAMINAROcurre cuando las moléculas de un líquido se mueven siguiente trayectorias paralelas, decimos que el flujo es laminar, es decir, las capas de fluido son como laminas paralelas

Por el contrario, cuando las moléculas se cruzan entre sí y no siguen trayectorias paralelas se habla de flujo turbulento

• La trayectoria que siguen las moléculas de un fluido en movimiento se representan por “líneas de flujo”

• La velocidad de una molécula o partícula es siempre tangente a la línea de flujo

• En las zonas donde la líneas de flujo están mas cercanas la rapidez es mayor

d) FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES

CONSIDERACIONES EN EL ESTUDIO DE LOS FLUIDOS

FLUIDO INCOMPRESIBLE FLUIDO COMPRESIBLE

Son aquellos fluidos que no varían su volumen, por lo tanto, tienen densidad constante

Son aquellos fluidos que pueden modificar su volumen; por lo tanto, pueden variar su densidad.Esto se da principalmente en los gases

• No debe ser viscoso, es decir, no debe presentar fricción interna

• Debe ser incompresible, es decir, debe tener densidad constante

• No debe ser turbulento, es decir, no deben existir remolinos en el flujo

CAUDAL ó GASTO (Q)

• Se define como el volumen de fluido que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo

CAUDAL ó GASTO (Q)

• Considerando un fluido que fluye a lo largo de una tubería, con una determinada rapidez v

3ms

V AdQ = = = Av

Δt Δt

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD:

• Si ingresan 10 m3/s. ¿Qué caudal sale por el otro extremo?

• Considerando, que el fluido es incompresible y no existen fugas:

• Es decir:1 2Q = Q

1 1 2 2A v = A v ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

• El producto Av es constante

Av = constante

¿QUÉ RELACIÓN MATEMÁTICA EXISTE ENTRE EL ÁREA DE SECCION TRANSVERSAL Y LA RAPIDEZ?

La ecuación de continuidad es una expresión de la ley de conservación de la masa

JERINGAAAA

BIFURCACIONES

EJEMPLO: EN LA FIGURA ¿CUAL ES EL CAUDAL Q3?

• Por una cañería ingresa un caudal Q1. En el punto A se produce una bifurcación y la cañería se divide en dos

• Por el principio de conservación de la masa se cumple que:

1 2 3Q = Q + Q

EJEMPLOS CAUDAL y EC. CONTINUIDAD

1.-Si el extremo de una manguera de 12 cm2 de área de la sección transversal se conecta a un tubo cuya sección es de apenas 2 cm2, ¿Qué valor tendrá la rapidez del agua en éste si en la manguera se movía a 1 m/s?

2.- Una tubería horizontal tiene una sección uniforme de 3 cm de radio. Si la rapidez del agua es 4 m/s:a) ¿ Qué volumen de agua pasa por cualquier sección de la tubería en

cada minuto?b) ¿A cuántos litros equivale?

EJERCICIOS CAUDAL Y EC. DE CONTINUIDAD

1.-Una tubería horizontal tiene un tramo con una sección de 4 cm de radio y un segundo tramo cuya sección es de 4 cm2. Si la rapidez del agua en el primer tramo es de 2 m/s, ¿qué valor tendrá su rapidez en el segundo tramo? (R: 8 m/s)

2.- Por un tubo de 10 cm2. de sección sale agua con una rapidez de 100 cm/s. Determina la cantidad de litros que salen por él en 30 min (R: 1800 lt)

3.- Por una cañería horizontal circulan por el extremo derecho 4 m3/s de agua a una rapidez de 4 m/s. Si en el extremo izquierdo, el diámetro de la cañería se redujo a la mitad, ¿Con qué rapidez viaja el agua en este extremo? (R: 16 m/s)

4.-Una persona se encuentra regando el jardín de su casa con una manguera de área de sección A que expulsa agua con una rapidez v:

a) La persona presiona con sus dedos el extremo de la manguera reduciendo el área a la mitad. ¿Cuánto varia la rapidez?

b) Si la persona conecta otra manguera de la mitad del radio. ¿Cuánto varia la rapidez?

c) La persona presiona con sus dedos el extremo de la manguera aumentando la rapidez de salida al triple. ¿Cuánto varió la sección transversal de la manguera?

ECUACION DE BERNOULLI (1738)

• Establece una relación entre: rapidez (v); altura (h) y presión (P) de un fluido

ANTECEDENTES:

• Un tubo horizontal:

Existe un aumento en la rapidez, por lo tanto existen cambios en la energía cinética; estos se compensan con cambios en la presión

• Existen cambios en la energía cinética que se compensan con variaciones en la energía potencial y la presión

• Por lo tanto; la energía total de un fluido en movimiento permanece constante

PLANTEAMIENTO DE BERNOULLI:

LA ENERGIA TOTAL POR UNIDAD DE VOLUMEN PARA UN FLUIDO IDEAL EN MOVIMIENTO SE MANTIENE CONSTANTE

LA PRESIÓN DEL FLUIDO SOBRE LAS PAREDES SUMADA A LA ENERGIA CINETICA POR UNIDAD DE VOLUMEN Y ENERGIA POTENCIAL POR

UNIDAD DE VOLUMEN SE MANTIENE CONSTANTE

21P + ρv + ρgh = constante

2

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv + ρgh = P + ρv + ρgh

2 2

OBSERVACIONES:

21P + ρv + ρgh = constante

2

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh

2 2

21 Kρv =

2 V

Uρgh=

V

Energía cinética por unidad de volumen

Energía potencial por unidad de volumen

P= Presión que puede provenir de algún agente externo y se transmite al fluido, ejerciéndola este sobre las paredes del conducto y perpendiculares hacia afuera

Todos las magnitudes de la ecuación tienen unidades de presión. En SI [Pa]

21P + ρv + ρgh = constante

2

Energía cinética por unidad de volumen [Pa]

Energía potencial por unidad de volumen [Pa]

Presión que puede provenir de algún agente externo y se transmite al fluido, ejerciéndola este sobre las paredes del conducto y perpendiculares hacia afuera

OBSERVACIONES:

ECUACION DE CONTINUIDAD

CONSERVACION DE LA MASA

ECUACION DE BERNOULLI

CONSERVACION DE LA ENERGIA

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh

2 2

1 1 2 2A v = A v

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

1) RAPIDEZ DE DESCARGA (Teorema de Torricelli)

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh

2 2 2v = 2gh

• La rapidez v1 con que desciende el liquido en la parte superior es prácticamente nula en comparación con v2. Por lo tanto consideramos v1=0 (el área 2 es mucho mayor)

• P1=P2 ya que la presión atmosférica actúa sobre ambos puntos

• Teniendo en cuenta que P1=P2 y v1=0 la ecuación de Bernoulli queda:

2) TUBO DE VENTURI• Instrumento que permite medir la rapidez de un fluido

• El funcionamiento de este tubo está basado en el principio de Bernoulli y mide las rapideces a partir de las diferencias de presión

• El aumento de rapidez en la sección menor; se compensa con una disminución en la presión del liquido en dicha sección

• Se observa que h1=h2

• Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda

2 21 1 2 2

1 1P + ρv = P + ρv

2 2

21P + ρv = constante

2

Así en su forma más simple el principio de Bernoulli dice que cuando la rapidez del fluido aumenta su presión disminuye y viceversa.

Las rapideces están relacionadas por la ecuación de continuidad:

A1v1= A2v2

3) FLUIDOS EN REPOSO

• En este caso v1=0 y v2=0

2 21 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv + ρgh

2 2

P + ρgh = P + ρgh

1 2 2 1 P = P + ρg(h - h ) Ecuación estudiada en hidrostática

EJEMPLOS

1.- En el punto 1 la presión del fluido es 10000 Pa, y su rapidez en dicho punto 1 m/s. Luego el conducto que transporta agua, reduce su área a la tercera parte, sin cambiar la altura. Determina la presión del liquido en el punto 2

2.- Por el tubo que se muestra en la figura circula agua. La presión en A es 2x104 Pa y la rapidez es de 3 m/s, mientras que en el punto B la rapidez es 16 m/s.

Determina la presión en B

EJERCICIOS

1.- Un estanque es capaz de almacenar 10 m3 de agua. Se comienza a llenar con una cañería que entrega un caudal de 0,02 m3/s. ¿Cuántos minutos tarda en llenarse el estanque?

2.- Por una tubería horizontal de sección transversal variable circula agua. Se sabe que en un punto donde la rapidez del fluido es 4 m/s la presión es 90 kPa. Si la densidad del agua es 1.000 kg/m3 , ¿cuál es la presión que se registra en otro punto, donde su rapidez alcanza los 6 m/s ?

3.- La tubería horizontal de la figura presenta un estrangulamiento en B y una sección transversal de radio 2 cm en A. Si producto de dicho estrangulamiento la velocidad del líquido aumenta 25 veces en B, respecto de A, ¿cuál es el radio de la tubería en la sección B?

4.- Un tubo horizontal, en su parte más ancha posee un diámetro de 6 cm, mientras que en su parte angosta posee un diámetro de 2 cm. Sabiendo que la rapidez en la parte ancha es de 2 m/s y la presión es de 180 kPa. Determina la rapidez y presión en la parte angosta R: V2= 18 m/s; P2= 20 kPa

5.- Se tiene un estanque lleno de agua, de 18 m de profundidad y abierto a la presión atmosférica. ¿A qué altura se debe hacer un orificio en su pared lateral para que la rapidez de salida del agua sea de 10 m/s?

6.- Según la figura, determine:

a) ¿Cuál es el caudal en la cañería principal?

b) Determina la rapidez del agua en la cañería 2 y 3

7.- La presión del fluido a una altura de 1 m es de 15000 Pa y la rapidez es de 2 m/s. Luego el agua asciende a una altura de 1,5 m y su rapidez cambia a 4 m/s. Determina la presión que adquiere el fluido

8.- Los radios de la entrada y la salida de un tubo de sección transversal variable están en la razón r1=2r2. Determina la relación entre las rapideces v1/v2

OTRAS APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

Existen diversas situaciones que se pueden explicar considerando que si no hay cambio de altura, la ecuación de Bernoulli nos dice que:

A MAYOR RAPIDEZ MENOR PRESION

• ¿Por qué al soplar sobre la superficie de la hoja esta se eleva?

Al comenzar a soplar el aire adquiere cierta rapidez lo que provoca una disminución de la presión en la superficie (zona 2).Por lo tanto, la presión atmosférica en la base (zona 1) levanta la hoja

Aplicando la ecuación de Bernoulli

• Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos (1) y (2)

• Los puntos (1) y (2) están aproximadamente a la misma altura, por lo tanto simplificamos 1 2ρgh y ρgh

• Además la rapidez en (1) es cero, por lo tanto, la ecuación de Bernoulli nos queda:

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh

2 2

2 21 1 2 2

1 1P + ρv = P + ρv

2 2

Por lo tanto P1 > P2 , lo que provoca que la hoja se eleve debido a la diferencia de presiones

Según la figura

a) ¿En qué zona el aire circula con mayor rapidez?b) ¿Donde existe menor presión?c) ¿Dónde existe mayor presión?d) ¿Hacia donde se mueven los globos?

• Sustentación de las aviones

El aire que circula por sobre el ala, recorre mayor distancia para ir desde A hasta B, por lo tanto, tiene

MAYOR RAPIDEZ MENOR PRESION

El aire que circula por debajo del ala recorre menor distancia en el mismo tiempo, por lo tanto, desarrolla

MENOR RAPIDEZ MAYOR PRESION

Debido a esta diferencia de presiones existe una fuerza resultante hacia

arriba

• Voladura de techos

Por sobre el techo, el aire circula conMAYOR RAPIDEZ MENOR PRESION

Como la casa tiene puertas y ventanas cerradas al interior de esta, el flujo de aire es nulo MENOR RAPIDEZ v=0 MAYOR PRESION, lo que provoca que el techo se eleve

• Atomizador

El perfume es empujado hacia arriba ya que la presión sobre la superficie del

liquido es mayor

• Efecto de un balón

Las líneas de flujo se ven igual a ambos lados de una pelota que no gira

La pelota gira en sentido anti horario; en tal caso las líneas de flujo están más cercanas en B que en A. Por lo tanto, la presión del aire es mayor en A y la pelota se curva hacia arriba

• Ubicando el SDR en la pelota

• La pelota arrastra una delgada capa de aire a su alrededor

• En este caso la pelota gira en sentido antihorario, en la parte superior de la pelota el aire fluye en el mismo sentido de giro de la pelota y en contra en la parte inferior, por lo tanto

vB > vA, entonces PA > PB

• Según lo anterior; debido a la diferencia de presiones en ambas caras de la pelota, existe una fuerza arriba que produce una desviación de la trayectoria normal.

• Este efecto se incrementa con la irregularidad de la superficie de la pelota (pelos, costuras) y con la rapidez angular que consiga

• Alerones

Un alerón tiene la misma forma que la del ala de un avión pero invertida

El aire debe recorrer mayor distancia en la parte inferior del alerón desarrollando así, mayor

rapidez y en consecuencia menor presión que en la parte superior. Esto hace que el automóvil se

atraído hacia el suelo, contribuyendo en la estabilidad

del automóvil