HidrodinámicaSe estudian fenómenos con fluidos en movimiento

Juan Carlos Villa Uribe

FÍSICO-ING.QUÍMICO-ADMINISTRADOR

Ideas previasLos fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen

con las siguientes características:

Fluidos incompresibles: de densidad constante.

Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo.

Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí.

Flujos irrotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas.

Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido.

Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.

Tubo de flujoEstá formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en

movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme.

En la figura, cada línea representa una capa de fluido, también se le puede llamar línea de corriente.

Una molécula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente.

En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios:

- Conservación de la masa

- Conservación de la cantidad de movimiento

- Conservación de la energía

v1

v2

Ecuación de continuidadSupongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve

por un tubo con distintas secciones.

1 2

Movimiento del fluido

La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de área A1, es igual a la que sale por la sección 2, de área A2, en todo momento.

v1

v2

Δm1

Δm2

A1

A2

Δx1

Δx2

Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm1 de fluido, con volumen ΔV1, con velocidad v1 y recorre una distancia Δx1 en un tiempo Δt.

En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una cantidad Δm2 de fluido, con volumen ΔV2, a una velocidad v2 recorriendo una distancia Δx2.

Δm1 = Δm2

ρ ΔV1 = ρ ΔV2

ρA1 Δx1 = ρA2 Δx2

ρA1v1 Δt = ρA2v2 Δt

A1v1 = A2v2

Un ejercicioPrimero una observación:

A la expresión Av se le llama “tasa de flujo”, y se mide en m3/s.

Una manguera para incendios tiene un diámetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón 2 m/s.

¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla?

Se tiene:

A1v1 = A2v2

Datos:

R1 = 0,06 m

v1 = 2 m/s

R2 = 0,015 m

Entonces:

A1 = πR12

A2 = πR22

Despejando:

v2 = A1v1/A2

v2 = πR12v1/ πR2

2

Haciendo los cálculos, se tiene:

v2 = 32 m/s

Y.. ¿la tasa de flujo?

A2v2 = πR22v2

A2v2 = 0,00226 m3/s

Teorema de BernoulliEn toda corriente de aire o de agua la presión es grande cuando la velocidadEs pequeña y, al contrario, la presión es pequeña cuando la velocidad es grande.

Las leyes de Bernoulli

A continuación te proponemos una serie de

observaciones y experimentos simples muy interesantes de

realizar. Antes de hacerlos intenta predecir

lo que ocurrirá y, después, intenta explicar

lo que ocurre.

Sopla por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo tu boca. A muchas personas les sorprenderá ver que el papel se levanta. Una variante de este experimento consiste en soplar

por el espacio que hay entre dos globos ligeramente separados. Aquí también ocurre algo inesperado para la mayoría de las personas: los

globos se juntan. 

Sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcione

como atomizador. Es curioso observar que el agua asciende por el tubo

vertical. 

Afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo (preferiblemente transparente, para que puedas ver lo que ocurre) y justo cuando soples

fuertemente saca el dedo. Esto también produce una sorpresa: la pelotita, en vez de caer, se mantiene

dentro del embudo. 

Con un secador de pelo puedes mantener flotando en el aire una pelotita de pimpón

del modo que se ilustra en la figura. Lo que debe llamar tu atención es que, cuando la

pelota está en equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota sigue al chorro y continúa en equilibrio. Si inclinas un poco el chorro de aire, constatarás que

tampoco cae. 

Si estás a la orilla de una carretera y pasa por ella un bus o camión muy grande y muy rápido, ¿qué

sientes? Esta observación puede ser muy peligrosa, especialmente si vas en bicicleta, pues una fuerza te empujará hacia la carretera y puedes caer sobre ella.

Si acercas una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de una llave observarás que

la pelota puede mantenerse en equilibrio en la posición que se indica en la figura; es decir, parece

que el flujo de agua y la pelota se atraen.

Es interesante analizar lo que ocurre cuando hay un fuerte viento: contrariamente a lo que podría

pensarse, la presión atmosférica es menor que la normal. Esta es la explicación de por qué tornados y

huracanes quiebran los vidrios de los ventanales hacia fuera, abren las puertas también hacia fuera y levantan las techumbres, tal como se ilustra en la

figura

En juegos de pelota, como el tenis o el fútbol, hay un efecto considerado comúnmente curioso que encuentra aquí su

explicación: nos referimos al “chanfle”. Este efecto se consigue haciendo girar la pelota sobre sí misma mientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelota respecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene como consecuencia la acción de una fuerza que implica una desviación en la trayectoria rectilínea que tendría

si no girase. La figura ilustra el efecto.

El caso más espectacular es el del ala de un avión. La figura ilustra la particular forma del corte de un ala típica. La gracia de su diseño consiste en obligar al aire a circular con mayor rapidez por la parte superior que por la inferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire deba recorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por arriba que por debajo del ala, la presión que actúa arriba es inferior a la que actúa abajo y, en consecuencia, aparece una fuerza total sobre el ala dirigida hacia arriba.Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta diferencia de presión, es mayor que el peso del avión, este se empieza a elevar.

La figura ilustra un experimento que puedes realizar con el propósito de verificar lo anterior. La

idea es hacer un ala con papel corriente que, colgada de un dinamómetro por medio de hilos, la expongas a la corriente de un ventilador. Luego compara lo que marca el dinamómetro cuando el ventilador no funciona, con lo que marca cuando

gira con diferentes velocidades. 

LOS ALISCAFOS

Los barcos comunes son relativamente lentos debido a la resistencia del agua sobre el casco. Los aliscafos, como los de las imágenes, pueden

viajar mucho más rápido por que el casco se encuentra elevado sobre el agua. El casco está montado sobre “ alas subacuáticas “, o planos

aerodinámicos, que desarrollan una elevación cuando viajan en el agua.

Ecuación de Bernoulli

Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía.

Es decir, el trabajo realizado – sobre el fluido en un tubo de flujo – es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta el fluido.

Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de tener diferentes secciones.

h1 ≠ h2

A1 ≠ A2

A1

A2

F1

P1

F2

P2

Δx1

Δx2

v1

v2

A1

A2

En el segmento inferior actúa una fuerza F1 que produce una presión P1, y se cumple:

F1 = P1A1

A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F2 que produce una presión P2, y se cumple:

F2 = P2A2

El trabajo realizado por F1 es:

ΔW1 = F1 Δx1 = P1A1 Δx1 = P1 Δ V

El trabajo realizado por F2 es:

ΔW2 = - F2 Δx2 = - P2A2 Δx2 = - P2 ΔV

ΔV

ΔV

Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es:

ΔWF = ΔW1 + ΔW2 = (P1 – P2) ΔV

Δm = ρ ΔV

La cantidad Δm sube desde h1 hasta h2, contra la gravedad, por lo tanto el trabajo

hecho por la fuerza gravitacional, es:

ΔWg = - Δmg(h2 – h1) = - ρ ΔVg(h2 – h1)

Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δm es:

ΔK = ½ Δm(v22 – v1

2) = ½ρ ΔV(v22 – v1

2)

F1

P1

Δx1

Δx2

v1

v2

A1

A2

ΔV

ΔVΔm = ρ ΔV

F2

P2 Según el teorema del trabajo y la energía,

se tiene:

ΔW = ΔK

por lo tanto:

ΔWF + ΔWg = ΔK

(P1 – P2) ΔV - ρ ΔVg(h2 – h1) = ½ρ ΔV(v22 – v1

2)

Dividiendo por ΔV y ordenando se tiene la expresión:

P1 + ½ ρ v12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli

Interpretación de la Ecuación de Bernoulli

P1 + ½ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que:

P + ½ρv2 + ρgh = constante

Se puede deducir que:

Si en un sector la velocidad del fluido aumenta, en ese sector la presión disminuye.

Si en un sector la velocidad del fluido disminuye, en ese sector la presión aumenta.

Si un fluido asciende su presión puede disminuir.

Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir.

Efecto Venturi

Ahora se considera un tubo donde h1 = h2

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda:

P1 + ½ρv12 = P2 + ½ρv2

2

Entonces:

P1 – P2 = ½ρ(v22 – v1

2)

Si v1 > v2, entonces P1 – P2 < 0

Y ello ocurre solo si P2 > P1

Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor.

P1 P2

v1 v2

Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi

En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro.

v2

P

Pinterior Velocidad del aireSe tiene

P > Pinterior

por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande.

F

Tubo de Venturi

Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una sección de área A1 y en otro tiene una sección reducida a A2.

En el sector más grande la velocidad del fluido es v1 y en el más pequeño la velocidad aumenta a v2.

De acuerdo a la ecuación de continuidad

A1v1 = A2v2, entonces v2 = A1v1/A2

Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene:

P1 – P2 = ½ρ(v22 – v1

2)

Reemplazando v2

P1 – P2 = ½ρ(A12v1

2/A22 – v1

2)

Si se despeja v1, se tendrá:

1

AA

PP2v

22

21

211

EjercicioSupongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior.

Según la información de la figura que se muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio?

v2 h1

h2 P2

P1

v1

El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v1 = 0 m/s

También se tiene que P1 = P2 = P0

P1 + ½ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

Si aplicamos la ecuación de Bernoulli:

Se tendrá:

ρgh1 = ½ρv22 + ρgh2

Y, despejando v2, se obtiene que:

)(2 212 hhgV

Teorema de Torricelli

ghv 2

“ Si en un recipiente de paredes delgadas se abre un orificio pequeño, la velocidad con que sale el líquido por el mismo es igual a la velocidad que adquiriría si cayera libremente en el vacío des de una altura (h) igual a la distancia vertical entre la superficie del líquido y el orificio ”.

¿ CIERTO QUE EL TEMA DE CLASE ESTUVO MUY BUENO ?

EL PAPI RICO

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