hidraulica de las conducciones libres

hhhiiidddrrráááuuullliiicccaaa .dddeee lllaaasss.

cccooonnnddduuucccccciiiooonnneeesss.llliiibbbrrreeesss.

Dr. Ing. Alcides J. F. León Méndez

La Habana, Junio de 2000

iii

Han colaborado en el esta primera edición los siguientes especialistas: En el capítulo 8,

MSc. Ing. Yoel Martínez González MSc. Ing. Lester Trujillo González

En la primera versión mecanográfica trabajaron:

Grisell Jordán Galvez Lilian Arce Cabrera

En la revisión,

Lic. Isabel Cristina Oliver Cruz

A mi esposa, mis hijos y mis nietos

A mis alumnos de ayer, de hoy y de mañana

v

INDICE TEMÁTICO. 1. Introducción a las conducciones libres. 1 1.1. Clasificación de las conducciones libres. 1 1.2. Definiciones generales. 3 1.3. Primer criterio de clasificación del flujo: tiempo-espacio. 13 1.4 Las ecuaciones de la física clásica en la hidráulica 14

1.5 La ecuación de energía aplicada a un fluido en régimen permanente: Euler y Bernoulli.

16

1.6 La ecuación de cantidad de movimientos aplicada a un fluido en régimen permanente.

19

1.7 Ecuaciones para el régimen impermanente. 1.7.1 Conservación de masas: ecuación de continuidad 1.7.2 Ecuación dinámica

19 20 22

1.8 Segundo criterio de clasificación: fuerzas dominantes. 26 1.9 Invariante en el estudio de las conducciones libres. 33 1.10 Comunicación: subcrítico y supercrítico. 34 1.11 Flujos estratificados. 35 1.12 Modelación matemática y física de los problemas en canales. 36

2. El principio de energía y sus aplicaciones. 42 2.1 Ecuación de energía 42 2.1.1 El valor de α 43 2.1.2 Campo de aplicaciones 49 2.2 Energía específica 50 2.3 Un análisis de la ecuación E=f(y): subcrítico, crítico y supercrítico. 54 2.3.1 Energía específica mínima 55 2.3.2 Características de las ramas de la ecuación E-y 59 2.3.3 Ecuación y gráfica Q-y: curvas ISO E 59 2.4 La profundidad crítica: su calculo. 61 2.4.1 Casos en que la solución es directa 62 2.4.2 Casos en que la solución no es directa 64 2.4.3 Caso especial de las secciones cerradas 85 2.5 Régimen Crítico en secciones compuestas 87 2.5.1 El algoritmo de Blalock y Sturm para el punto de E mínima 90

2.5.2 Propuestas de Konemann y Shearmann para el punto de E mínima.

94

2.5.3 El punto de vista de Sturm y Sadiq. 95 2.5.4 Una ampliación del análisis sobre la ocurrencia del régimen crítico 99

2.5.5 La propuesta del River Analisis System del Hidrologic Engineering Center.

114

2.6 Exponente hidráulico para régimen crítico. 115 2.6 Análisis del perfil de flujo en régimen permanente: primera

aproximación 117

2.8 Accesibilidad y control. 126 2.9 La ecuación de energía específica en forma adimensional. 134

3. El principio de momentum 138 3.1 Energía y momentum 138 3.2 Ecuación general del momentum 139 3.3 Algunas aplicaciones del principio de conservación del momentum 141 3.4 Ecuaciones de trabajo 144

3.5 El momentum específico 145 3.6 La ecuación de momentum en secciones no prismáticas 149 3.7 El salto hidráulico 150 3.7.1 Clasificación del salto hidráulico 156 3.7.2 Las profundidades al comienzo y al final: conjugadas 157 3.7.3 Ubicación de las secciones inicial y final 169 3.7.4 Longitud del salto hidráulico 181 3.7.5 Altura del salto hidráulico 186 3.7.6 Pérdidas de energía 186 3.8 Salto hidráulico en interfases de diferentes densidades 189

4. El régimen uniforme 194 4.1 Desarrollo del régimen uniforme 194 4.2 La capa límite 197 4.2.1 Fronteras lisas y rugosas 199 4.2.2 Distribución de v 201 4.3 Ecuaciones del régimen uniforme 207 4.3.1 Ecuación de Chezy 208 4.3.2 Ecuación de Manning 211 4.4 Estimación de los coeficientes de resistencia 213 4.4.1 Un primer análisis 214 4.4.2 Métodos prácticos para la estimación de n 219 4.4.3 Secciones con rugosidad compuesta 237

5. Cálculos asociados al régimen uniforme 242 5.1 Factor de sección y módulo de gasto. 242 5.1.1 Exponente hidráulico del régimen uniforme. 243

5.2 Cálculo del gasto y la profundidad normal de circulación en canales con geometría simple.

246

5.2.1 Cálculo de la profundidad normal. 247 5.2.1.1 Un análisis de las secciones cerradas. 263 5.2.2 Calculo de gasto. 269 5.3 Gasto y profundidad normal en secciones compuestas 270 5.3.1 Calculo de la profundidad normal 292 5.3.2 Calculo del gasto para régimen uniforme. 292 5.4 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite. 294 5.4.1 Pendiente normal 294 5.4.2 Pendiente crítica 294 5.4.3 Pendiente límite 295 5.5 Aplicaciones del régimen uniforme. 300 6. Diseño de la sección transversal. 304 6.1 Una aproximación al diseño de un canal 304 6.2 Introducción al diseño de la sección transversal 309 6.2.1 La pendiente del fondo (S0) 312 6.2.2 Geometría de la sección 312 6.2.3 Taludes de los lados 313 6.2.4 Bordo Libre 315 6.2.5 Pérdidas de agua 317 6.2.6 La velocidad mínima permisible 327 6.3 Erosión en la sección transversal 330 6.3.1 La velocidad crítica 333 6.3.2 La velocidad máxima permisible 336

vii

6.4 Fuerza cortante o de arrastre: relaciones básicas. 354 6.5 Estrategia de cálculo: restricciones principales 372 6.6 Diseño de secciones no revestidas 375

6.6.1 Diseño de la sección de un canal erosionable que conduce agua limpia o con finos sedimentos

376

6.6.1.1 Método de la velocidad máxima permisible 376 6.6.1.2 Método de la fuerza tractiva 379 6.6.1.3 Sección hidráulicamente más estable 381 6.6.2 Diseño de canales aluviales 385 6.6.2.1 Variante con la ecuación de Kennedy 386 6.6.2.2 Variante con la ecuación de Lacey 389 6.6.2.3 Variante con la ecuación de Blench 391 6.6.2.4 Variante con la ecuación de Simmons y Albertson 392 6.7 Cálculo de secciones revestidas 394 6.7.1 El criterio del mínimo perímetro 396 6.7.2 Criterio de diseño con calculo de costo 404 6.7.3 La sección de mínimo costo. 407 6.8 Canales con vegetación 410 6.8.1 Información del USSCS 412 6.8.2 El método de Temple 418 6.8.3 Un diseño de Green y Garton 425 6.8.4 Las soluciones aportadas por Reza Mahboub y Suzuki 427 6.9 Canales de sección compuesta con vegetación. 428

7. El Régimen Permanente y Variado. 440 7.1 Formulación matemática del RPGV. 441 7.1.1 Ecuación diferencial. 441 7.1.2 Ecuación elemental. 444 7.2 Características y clasificación de los perfiles de flujo del RPGV. 445 7.2.1 Rasgos básicos de las curvas superficiales. 448 7.3 Análisis del perfil de flujo. 452 7.3.1 Canales prismáticos con pendiente constante. 454 7.3.2 Canales prismáticos con cambio de pendiente. 454 7.3.3 Canales prismáticos con varios cambios de pendiente. 456 7.3.4 Canales prismáticos con cambio de régimen. 463 7.3.5 Canales no prismáticos. 468 7.4 Cálculo del perfil de flujo en canales prismáticos. 470

7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales. 7.4.1.1 Ecuación elemental. 7.4.1.2 Integración directa 7.4.1.3 Solución de Valle Cuellar

470 473 475 483

7.5 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos. 484 7.5.1 Estimación de parámetros. 484 7.5.2 Algoritmo de cálculo del perfil de flujo. 493 7.5.3 Consideraciones para el cálculo. 500 7.6 Flujo Espacialmente Variado. 504 7.6.1 Gasto creciente. 504 7.6.2 Gasto decreciente. 511 7.7 Problemas Especiales. 513 7.7.1 Entrega de un canal. 514 7.7.2 Condiciones de entrada y salida. 520 7.7.3 Flujo dividido: bifurcación de cauces 521 7.7.4 Flujo dividido: confluencia de cauces 531 7.7.5 Régimen mixto en la confluencia y bifurcación de cauces 534

8. El Régimen Impermanente 538

8.1 El régimen impermanente: clasificación y generalidades. 8.1.1 Objetivo del cálculo del RI 8.1.2 Las ecuaciones de Saint Venant

8.2 Simplificaciones de la ecuación de la onda dinámica.

540 542 542 544

8.2.1 La onda de difusión u onda difusiva 544 8.2.2 La onda cinemática 548 8.2.3 El flujo uniformemente progresivo 553 8.2.3.1 Desarrollo 554 8.2.3.2 Aplicaciones. 556 8.3 Introducción al R. I. R. V. 560

8.3.1 Ecuación de la velocidad absoluta de la ola. 8.3.2 Problemas específicos

561 563

8.4 Propagación de ondas. 565 8.5 Generalidades acerca de los métodos de solución de las ecuaciones de Saint Venant para RIGV

569

8.5.1 Condiciones de frontera e iniciales. 572 8.5.2 Calibración y verificación. 8.5.3 Inestabilidad

8.6 Método de los Incrementos Finitos.

574 582 583

8.7 Método de las Características. 586 8.7.1 Aplicación del método de las características a las ecuaciones de

Saint Venant. 8.7.2 Método de Stoker.

592

594 8.7.3 Caso de la ola simple. 596 8.7.4 Solución mediante un método explícito de las características. 604 8.7.5 El problema de la ruptura de una presa mediante el análisis del método de las características.

608

8.7.6 El tránsito de avenidas analizado por las características. 613 8.8 Método de diferencias finitas. 616

8.8.1 Soluciones para la onda cinemática. 8.8.1.1 Solución para canales anchos. 8.8.1.2 Solución para canales con cualquier relación b/y

8.8.2 Un esquema explícito para la onda dinámica. 8.8.2.1 La variante de Viessman

619 620 627 634 637

8.8.3 Esquema implícito de cuatro puntos para cualquier geometría 639 8.8.4 Esquema de cuatro puntos pesado. 649 8.9 Método de elementos finitos. 655 8.9.1 Procedimiento general. 655 8.9.2 Variante de Szymkiewicz. 657 8.9.3 Análisis de precisión y estabilidad. 660 8.9.4 Solución de un problema con el MDF y el MEF. 663 8.10 Análisis para secciones compuestas. 665 8.10.1 Relación profundidad-caudal. 666 8.10.2 Generalización del esquema implícito de cuatro puntos. 670

Anexo 1. Tablas para el calculo de n. 674

Bibliografía. 678

ix

Prologo del autor a la Primera Edición.

A partir de los años noventa el Centro de Investigaciones Hidráulicas del Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría” comienza una segunda etapa de la Maestría en Ingeniería Hidráulica y surge la necesidad de tener un texto adecuado y actualizado para la asignatura Hidráulica de Canales.

Tomando como bases fundamentales el “Open Channel Hydraulics” de Ven te Chow, clásico incuestionable de la materia, el “Open Channel Flow” de Henderson, el “Hidráulica de Canales” de Julian Aguirre Pe, el “Flow throughout Open Channels” de K. G. Ranga Raju, el “Open-channel Hydraulic” de Richard French, el “Erosión Hídrica” de Nora Pouey, el texto existente para los cursos regulares de Ingeniería Hidráulica en nuestro país, el “Hidráulica de Canales” de Alcides León y Armando Estopiñan y las publicaciones de la IAHR y de la ASCE, se escribe la presente obra, tratando en la misma de profundizar en los aspectos matemáticos de la solución de los problemas, recopilando y sintetizando la bibliografía sobre los temas tratados y exponiendo estos de forma tal que el lector pueda apreciar con claridad, las diferentes versiones de soluciones que sobre un mismo problema existen, sin poder ni querer agotarlas todas, pero tratando, eso sí, de presentar las clásicas, las más novedosas y los puntos de vista propios sobre las cuestiones tratadas.

Los tres primeros capítulos abarcan las fórmulas y conceptos básicos para este tipo de conducción y los dos últimos la teoría y cálculo del régimen variado: permanente e impermanente, incluyendo como intermedios tres capítulos dedicados al régimen uniforme y su aplicación principal en el diseño de la sección transversal de una canal.

En cada capítulo y dentro del marco que ha sido posible, se desarrollan las soluciones específicas para canales prismáticos y no prismáticos, haciendo énfasis en aquellas dirigidas a las conducciones naturales. Se han incluido sesenta algoritmos para generalizar las soluciones propuestas y enfocarlas desde el punto de vista computacional lo cual permite al lector profundizar en los métodos de cálculo y tener una base confiable para preparar sus propios programas de cómputo con el editor de su agrado.

Algunos resultados se presentan sobre hoja de cálculo con el objetivo de establecer lo sencillo que resulta la solución del problema, dejando para próximas ediciones del texto la presentación de otras aplicaciones sobre hoja de cálculo y programas ejecutables realizados en editores especializados.

A diferencia de su antecesor, el “Hidráulica de Canales” que fue dedicado a la formación del ingeniero en sus primeros estudios universitarios, en esta obra no se incluyen problemas resueltos y propuestos y si aparece el análisis de casos de estudio en aquellos temas que el autor ha considerado que su inclusión favorece la compresión cabal del problema que se aborda.

El agua es muy inteligente y conoce muy bien la hidráulica, nuestro reto permanente es saber tanto como ella. Si esta obra contribuye a ese fin, si llega a complacer parcialmente a sus lectores, si ayuda a la solución de algún problema, el esfuerzo realizado para su publicación está más que recompensado.

1

1 INTRODUCCION A LAS CONDUCCIONES LIBRES Las conducciones libres han sido a través de la historia de la humanidad la forma más usual para conducir el agua. El solo efecto de la gravedad hace que la masa de agua se mueva de un nivel a otro permitiendo así a las antiguas civilizaciones crear grandes sistemas de abasto, que hoy en día aún nos maravillan por la ingeniosidad de sus constructores. En Cuba, por solo citar tres casos, la Zanja Real, el Acueducto Albear y los sistemas de riego del Mayabeque, son ejemplos elocuentes del dominio del agua que se tenía desde épocas remotas. En este primer capítulo se presentan las características generales del estudio de las conducciones libres con el objetivo de adentrar al lector en algunas de las cuestiones básicas, que más adelante se aplicarán. 1.1 Clasificación de las conducciones libres. Numerosos son los criterios de clasificación de las conducciones libres. Las dadas por León y Estopiñan (1986), son: • Según su naturaleza.

- Conducción artificial: la formada por la mano del hombre y pueden ser indistintamente de sección transversal abierta o cerrada.

- Conducción natural: la formada por procesos de la naturaleza. En el caso de conducciones naturales, que no han sido modificadas sustancialmente por la mano del hombre, pueden ser de sección transversal abierta (ríos, arroyos, ....) o de sección transversal cerrada (túneles

naturales, cavernas subterráneas, ....). Las secciones son normalmente irregulares, figura 1.1, de rugosidad variable a lo largo de su perímetro y su estudio tiene una gran importancia tanto para la hidráulica, como para la hidrología.

FIGURA 1.1 EJEMPLO DE SECCIONES TRANSVERSALES • Según su objetivo.

- para riego - para drenaje - para trasvasar agua entre dos puntos - para recolectar aguas con diferentes fines - para abasto en general - para navegación

• Según su tamaño. - Pequeñas (si Q<0,5 m3/s y/o y<0,6 m) - Medianas (si 0,5≤Q<3,0 m3/s y/o 0,6≤y<1,2 m) - Grandes (si 3,0≤Q<10,0 m3/s y/o 1,2≤y<1,6 m) - Muy grandes (si Q>10,0 m3/s y/o y>1,6 m)

• Según la variabilidad de forma y trazado. - Prismáticas: si la sección en forma o dimensiones y el

perfil del fondo no varían en el tramo analizado. - No prismáticas: si algunos de los parámetros anteriores

varían. • Según su categoría

3

- Magistrales: si son canales muy grandes que conducen todo el caudal del sistema.

- Principales: si son canales grandes, medianos o pequeños que conducen todo el caudal del sistema.

- Secundarios: canales que se derivan o tributan a los principales.

- Terciarios: canales que se derivan o tributan a los secundarios.

- Temporales: canales que se construyen por un corto periodo de tiempo, normalmente de la época de siembra hasta la recolección o en épocas del año de intensas lluvias.

Existen numerosas clasificaciones más, que varían de acuerdo al autor que las proponga y a los fines que persiga, pero en definitiva todas, con uno u otro criterio, tratan de subdividir estas conducciones tal que el lenguaje técnico al describirlas sea suficientemente explícito a la vez que sencillo. 1.2 Definiciones generales. Algunos parámetros que deben definirse están asociados a la sección transversal o al perfil de la conducción.

FIGURA 1.2 REPRESENTACION DEL PERFIL. Representación de la sección y del perfil.

En el estudio de las conducciones libres, naturales o artificiales, las variables que entran en el estudio son representadas: en la sección transversal de la conducción y en su perfil, de forma esquemática. En el perfil se representa, figura 1.2, el fondo de la conducción, la superficie del agua y el perfil esquemático de las obras que existan en el tramo de estudio. En él se representa la profundidad de circulación, la pendiente o las cotas del fondo y cualquier otro detalle de interés. En la sección transversal del tramo en estudio se representa: su forma geométrica, sus dimensiones, o sus cotas si es irregular, la profundidad de circulación y cualquier detalle de importancia, figura 1.3.

FIGURA 1.3 REPRESENTACION DE LA SECCION TRANSVERSAL. Existen dos formas tradicionales de representar la sección transversal de un canal: la sección vertical y la sección normal. La sección vertical o simplemente sección, figura 1.4, es la contenida en un plano vertical. La sección normal es una sección contenida en un plano normal al vector velocidad media que pasa por el punto donde se cruzan la sección vertical y el fondo de la conducción. Los niveles de agua se denominan: y: profundidad de circulación, si se mide en la sección vertical. d: tirante de circulación, si se mide en la sección normal. Variables geométricas de la sección. En la representación en la sección transversal se definen un grupo de variables geométricas que entran en los cálculos hidráulicos de cualquier conducción.

5

FIGURA 1.4 REPRESENTACION DE LAS SECCIONES DE UN CANAL. • Variables básicas: las que definen la geometría, figura 1.3.

b : ancho del fondo del canal principal (unidades de longitud) m : inclinación del talud (tanto por uno) dΦ : diámetro del conducto si es circular (unidad de longitud) rΦ : radio del conducto si es circular (unidad de longitud) x,z : coordenadas de las secciones irregulares.

• Variables asociadas: son las que dependen de la geometría, de las básicas y de la profundidad o del tirante.

A: área mojada por debajo de la superficie libre. P: perímetro mojado por debajo de la superficie libre. T: ancho de la superficie libre. R: radio hidráulico (A/P). D: profundidad hidráulica (A/T). En las geometrías conocidas, el cálculo de A, P y T es muy sencillo ya que existen fórmulas al respecto, tabla 1.1 y figura 1.6.

FIGURA 1.5 SUBDIVISION DE UNA SECCION En el caso de las secciones de geometría compuesta, figura 1.5, el cálculo de A, P, T puede realizarse subdividiendo la sección en subsecciones de figuras geométricas conocidas, pero en algunos

casos esta subdivisión responderá a criterios hidráulicos para facilitar los cálculos futuros. En estas secciones y en secciones naturales con una clara definición entre el cauce principal y las zonas ubicadas en cotas superiores con geometrías diferentes, el cálculo de A, P, T puede presentar saltos bruscos al pasar la profundidad de una geometría a otra, esto tendrá consecuencias importantes en la solución de los problemas relacionados a estas secciones. La solución clásica, figura 1.5, que parte de la definición de la sección: (xi, zi); i=1→n, como un contorno discreto, es subdividir esta en subsecciones conocidas (triangulares y trapeciales) y calcular entonces:

∑=

=n

1iiAA ------------------------------------------------------------- 1.1

∑=

=n

1iiPP ------------------------------------------------------------- 1.2

∑=

=n

1iiTT -------------------------------------------------------------- 1.3

Una solución propuesta por D.D. Franz (1982), figura 1.7, plantea las siguientes ecuaciones de cálculo para el área, el ancho superficial y la posición del centroide del área mojada.

φ= ∫ φdTA y0 ----------------------------------------------------------- 1.4

( ) ∫∫ φ=φφ−= φφy0

y0 dAdTyAz ------------------------------------- 1.5

( ) ∫∫ φ=φφ−= φφφy0

y0

2 dAz2dTyI ----------------------------------- 1.6 donde: φ es una falsa variable de integración Tφ es el ancho superficial a una distancia φ z es la distancia del fondo de la sección al centroide del área IΦ es el segundo momento del área Franz define la interpolación de los valores buscando sobre tablas preparadas al efecto de T y A como funciones de y, tal que: yi ≤ y ≤ yi + 1 para i = 0, 1, 2, ..., n –1, n+1.

7

FIGURA 1.7 FIGURA DE REFERENCIA PARA LAS FORMULAS DE FRANZ Entonces para interpolar se empleará:

)TT(yy

yyTT i1i

i1i

iiy −

−−

+= ++

------------------------------------------- 1.7

)TT)(yy(21AA iyiiy −−+= ----------------------------------------- 1.8

)TT()yy(121)AA)(yy(

21AzAz iy

2iiyii −−−+−+= ------------ 1.9

( )( ) ( ) ( )iy2

iiyiiy AAyy61AyAyyyII −−−+−+= ---------------- 1.10

Los valores interpolados tendrán tanta exactitud como lo tenga el cálculo de T, ya que los otros valores son exactos.

FIGURA 1.8 EJES COORDENADOS PARA EL TRATAMIENTO DEL VECTOR V

La secuencia de cálculo que aparece a continuación demuestra lo simple que es la utilización de estos gráficos adimensionales. Algoritmo. 1. Verificar que se este en presencia de una sección trapecial

para los taludes graficados o una sección circular.

2. Calcular 5.2bgQ

en caso de una sección trapecial

o, 5.2dgQ

si la sección es circular.

3. Ir al gráfico correspondiente y calcular y/b o y/d, según sea el caso y calcular el valor de y.

4. Con el valor de y calcular A y D. 5. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se

habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%.

6. Si el valor no satisface la restricción del punto 5, entonces se debe buscar el valor correcto a partir de la aproximación ya realizada utilizando uno de los métodos anteriores.

• Las ecuaciones semiempíricas de Straub. Propuestas en 1982, estas ecuaciones proporcionan una vía fácil para la obtención de la profundidad crítica en algunas secciones transversales. El parámetro básico es ψ = α*Q2 / g.

Si la sección es rectangular entonces: ybc =

Ψ2

13 --------- 2.51

Si la sección es triangular entonces: ymc =

22

0 20Ψ

.

----- 2.52

9

Estas dos primeras ecuaciones, propuestas por Straub son innecesarias, ya que, tal como se demostró anteriormente, la solución en estos casos es directa, por simple despeje de la ecuación fundamental de cálculo del régimen crítico. Si la sección es trapecial entonces:

ym b

bmc =

−0 81300 75 1 25

0 27

.*. .

.Ψ ----------------------------- 2.53

para 4.0bQ1.0 5.2 << Si la sección es parabólica entonces:

( )y Cc = 0 84 0 25. * * .Ψ -------------------------------------------- 2.54

donde la parábola esta dada por y = C*x2 Si la sección es circular entonces:

ydc =101

0 260 25. *.

.Ψ , para 0.02 ≤ y/d ≤ 0.85 ------------------- 2.55

Si la sección es exponencial entonces:

( )y m C

c

m m

=

− +3 2 21

2 1

4* *Ψ , y la exponencial esta dada por

y = C*x1/(m-1) --------------------------------------------------------- 2.56 Es importante destacar que estas soluciones no son exactas y que la comprobación del error que se comete en su utilización debe ser verificada por el calculista cada vez que las utilice. El gráfico de la figura 2.13 pone de manifiesto el movimiento de ese error para una sección trapecial específica. • Soluciones numéricas propuestas por Valle Cuellar. El profesor mejicano Valle Cuellar propone, en 1994, soluciones iniciales y ecuaciones para iterar hasta lograr el valor buscado.

FIGURA 2.13 MOVIMIENTO DEL ERROR ENTRE LOS LIMITES ESTABLECIDOS POR STRAUB PARA SU FORMULA PARA CANALES TRAPECIALES. a. secciones trapeciales.

solución inicial: yb

Qmc =

+

07421850 551

0 620...

.

------------------- 2.57

ecuación para iterar: ( )

( )3/1

i,c

i,c

31

2

1i1i,c y*mb

my2b*gQ

y+

+

=++ -------2.58

b. secciones circulares. Si 5.2d*042595.2Q ≤ , entonces puede calcularse el valor y la

solución inicial será: 258,0

503,0

i,c dQ*561,0y = -------------------- 2.59

y la ecuación para iterar: gDvFroude de número =

c. secciones tipo U (rectangular y semicircular). Si Q ≥ 4,36012883 * ru

2.5 entonces: 3/12

Uc r2

Qg1

41ry

+

Π

−= ----------------------------------- 2.60

Si Q < 4,361 * ru

2.5 entonces,

-4-3-2-10123

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Q/b 2.5

Erro

r %

11

solución inicial: 292.0U

517,0

c rQ*475,0y = -------------------------- 2.61

ecuación para iterar: gDvFroude de número =

FIGURA 2.14 SECCION U Y PORTAL d. secciones tipo Portal (semicircular y rectangular), capacidad máxima para y/H = 0,9395257 ------------------ 2.62

siendo 2/13/8max S*H*

n37736438,0Q = --------------------- 2.63

para condición de régimen crítico, 5,2

gularcionrectansec.max H*10736173,1Q = ------------------------ 2.64 y para evitar el ahogo de la sección se da como máximo,

5,2cionsec.max H*555009128.2Q = ------------------------------ 2.65

solución inicial: 4988,0

5995,0

c HQ*475,0y = ------------------------- 2.66


En estas propuestas debe señalarse que las ecuaciones para iterar son insuficientes para llegar a una solución ingenieril. En todos los casos se sugiere que la iteración sea verificando el gasto obtenido para cada nueva profundidad probada y calcular el error que se comete respecto al gasto de dato, hasta lograr una exactitud aceptable en el resultado.

Como ejemplo de lo dicho se presenta la secuencia de cálculo de la sección trapecial y de una sección circular. Algoritmo: para secciones trapeciales. 1. Calcular yC según 2.57. 2. Calcular A, T y D con los datos y ecuaciones de la sección

trapecial. 3. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se


4. Si no es satisfactoria la comprobación del paso 2, calcular la nueva yC según 2.58. Regresar al paso 2.

Algoritmo: para secciones circulares de diámetro d. 1. Comprobar si QC_MAX. ≤ QCALCULO , donde,

5.2.MAX_C d*042595.2Q =

2. Si es satisfactoria la comprobación del paso 1, calcular yC según 2.59.

3. Calcular A, T y D según,

)yd(y2T

d*)sen(81A

)dy21(cos2

2

1

−=

−=

−= −

θθ

θ

Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%.

4. Si no se satisface el paso 3, se debe emplear un método iterativo con la solución inicial calculada en el paso 2.

• Soluciones aproximadas para secciones trapeciales basadas

en calcular yC como función de la profundidad crítica de un canal rectangular.

13

Una tendencia reflejada en la literatura, desde la década de los años 50, es la de presentar soluciones basadas en una remodelación de la ecuación básica. Tómese la ecuación 2.43 y transfórmese así,

c

c32

TA

gQ

= ----------------------------------------------------------- 2.67

para una sección trapecial se cumple que, 2CCc y*my*bA +=

CC y*m*2bT += sustituyendo en 2.67 las expresiones de A y T queda,

( )C

32CC

2

my2bmyby

gQ

++

= ----------------------------------------------- 2.68

o lo que es igual,

+

+

=

bmy21*b

bmy1*yb

gQ

C

3C3

C3

2

y despejando y3c,

3C

C

2

23C

bym1

bym21

*gbQy

+

+

= ------------------------------------------ 2.69

y como la profundidad crítica de una sección rectangular es: 3/1

2

2

R_C )gb

Q(y =

entonces,

3C

C

R_C3

T_C3

bym1

bym21

*yy

+

+

=

y entonces la profundidad crítica de un canal trapecial será,

+

+

=

by

m1

by

m21*yy

T_C

3/1T_C

R_CT_C ------------------------------- 2.70

El investigador ruso I. Agroskin (1972) y el cubano Velazco Davis (1994) hacen la siguiente sustitución,

R_C

T_C

yy

K = ------------------------------------------------------------ 2.71

y

bmy

a R_C= --------------------------------------------------------- 2.72

entonces la expresión 2.70 queda de la forma siguiente,

aK1aK21K

3

++

= ------------------------------------------------------ 2.73

donde K es función solo de a. Por tanto, dando valores a la variable a, se pueda obtener una serie de datos de a vs K, los cuales al someterse a un proceso de ajuste matemático se obtiene una relación funcional práctica de trabajo. En el caso de Agroskin la función de relación entre K y a es,

según Agroskin: 2a*105,03a1K +−= -------------------- 2.74

El Dr. Velazco Davis (1994), del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos, de Cuba, mejora las soluciones brindada por Kostin e I. Agroskin presentando una nueva relación entre K y a. La relación propuesta es,

15

según Velazco: 3724,0

a11K

+= --------------------------- 2.75

La fórmula práctica es:

372,0rrectangula_c

rrectangula_ctrapecial_c

by*m

1

yy

+

= ------------------------- 2.76

donde la yC_rectangular se calcula por la fórmula 32

c )gb

Q(y =

Por su parte y haciendo una sustitución similar a la anterior, el mejicano Martínez Martínez resume los trabajos realizados por él, Swamee, P.K. y Straub proponiendo las siguientes relaciones,

para Straub:

−=

301a*y*81,0*

a1K 7975,0

R_C0125,0 --- 2.77

para Swamee: 476,042,02

2a1

1K

+

= ---------------------- 2.78

para Martínez Martínez: a4.111

2K++

= ------------------ 2.79

La gráfica con los errores de las mejores soluciones, aparece en la figura 2.15. En la misma se evidencia la gran precisión de la formula propuesta por Velazco. Un análisis exhaustivo de la base de datos y las formas de correlacionar K vs a o K vs (1/(1+a)), arroja ecuaciones más complejas que la expuesta por Velazco sin que la ganancia en exactitud sea apreciable ya que la referida tiene un alto acercamiento con el valor real.

Sin pretender agotar el tema del uso de la computación en el cálculo numérico en ingeniería, se presenta una tabla realizada con el EXCEL v7.0 utilizando la herramienta SOLVER.

FIGURA 2.15 COMPARACIÓN ENTRE FORMULAS

S O L V E R CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA PARA SECCIONES TRAPECIALES

b (m) m Q (m3/s) Area (m2) D (m) A√gD yc(m)

4 1 5 2.3415 0.4649 5.0005 0.518234 4 1 10 3.8516 0.6873 10.001 0.802073 4 1 15 5.1803 0.8549 15.002 1.029897 4 1 20 6.4081 0.9932 20.002 1.226164

TABLA 2.2 EJEMPLO DE CALCULO REALIZADO EN EXCEL DEL MS OFICCE. Las tres primeras columnas se dedicaron a la información de dato, las dos siguientes a los cálculos necesarios para resolver la ecuación básica, mientras que la sexta columna se dedica al

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1/1+a

Erro

r %

MARTINEZ VELAZCO SWAMEE

17

resultado del cálculo del gasto (celda objetivo) y la séptima al valor de la yC calculada (celda cambiante). Las restricciones utilizadas para el cálculo fueron referidas a las columnas 3 y 6 con una diferencia de 0.001. La solución por esta vía de un valor de gasto que se obtiene a los dos segundos de ejecución, una vez preparada la información a procesar. Al igual que esta solución se han generado un gran número de soluciones desde el advenimiento de las computadoras. Más aún en estos últimos años, en que las facilidades que brindan las PC y los lenguajes como el Fortran, Basic, Pascal o C, en cualquiera de sus versiones, hacen de estos cálculos una simple rutina computacional. A esto debe sumársele las facilidades que han surgido en los años 90 con las calculadoras programables de bolsillo, con las que en nunca más de 50 pasos programados se obtiene la solución de estos algoritmos. 2.3.1 Caso especial de las secciones cerradas. En las secciones cerradas cuya parte superior se cierra con una curvatura dada, aparece un problema práctico de interés.

FIGURA 2.16 RELACION ENTRE Q Y LA PROFUNDIDAD CRITICA RELATIVA AL DIAMETRO PARA UNA SECCION DE 2 METROS DE DIAMETRO. Al entrar en el cálculo de la profundidad crítica la relación entre A y T, denominada D, al crecer la profundidad de circulación

0.50.60.70.80.9

1

0 100 200 300 400 500 600

Q (m3/s)

y/d

aumenta A pero disminuye T lo cual hace que D comience a crecer fuertemente y con él crece también el gasto: gDAQ = .

FIGURA 2.17 CURVAS DE ENERGIA ESPECIFICA ISO-Q PARA UNA SECCIÓN CIRCULAR DE 1 METRO DE DIAMETRO. Tómese como ejemplo una sección circular, en la figura 2.16 aparece graficado el gasto crítico versus la profundidad crítica con relación al diámetro. Nótese que a partir de profundidades mayores que 0.8d el gasto se incrementa de forma inusual. Esta particularidad repercute en los gráficos E-y para estas geometrías, ya que la característica del crecimiento de D, a partir de un cierto valor de y, hacen que la profundidad crítica siempre exista, aun para gastos extremadamente altos e ilógicos, desde el punto de vista práctico y exista siempre un tramo en la curva E-y en la rama subcrítica, figura 2.17. En esta figura puede notarse como al aumentar el gasto la curva de profundidades supercríticas prevalece dentro

4 m3/s 2 m3/s 1 m3/s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0E (m)

y (m

)

19

de la conducción escapándose la posibilidad de obtener el régimen subcrítico en ella para gastos altos. Características del vector velocidad. En la mayoría de los canales el flujo es de características turbulentas. El aparentemente comportamiento aleatorio del movimiento turbulento lleva a numerosos investigadores a describirlo en términos estadísticos. Sobre esta base es conveniente definir la velocidad instantánea en términos de velocidad promedio en el tiempo más una componente aleatoria. Sobre los ejes de coordenadas, figura 1.8, la velocidad instantánea es:

xxx 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.11

yyy 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.12

zzz 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.13 donde v es la velocidad promedio en el espacio para un instante de tiempo dado. La velocidad promedio en el espacio viene dada por:

∫∫=A

vdAA1v ------------------------------------------------------- 1.14

y las fluctuaciones turbulentas aleatorias de la velocidad en término de promedio de tiempo son:

dt'vT1v

T

0∫=′ ------------------------------------------------------- 1.15

Los parámetros estadísticos de interés para cuantificar las fluctuaciones de la velocidad son: a) La RMS de las fluctuaciones de la velocidad (desviación media

cuadrática)

21

dt)'v(T1)'v(RMS 2

T

0

= ∫ -------------------------------------- 1.16

b) La energía cinética media de la turbulencia por unidad de masa: (ECM).

[ ]2z

2y

2x2

1 )'v()'v()'v(ECM ++= --------------------------- 1.17 Y por la importancia relativa de las componentes de la velocidad en los ejes X y Y también se utiliza: c) Medición del grado de correlación de la interdependencia de

dos variables, que aplicada a los vectores vx y vy queda:

dt'v'vT1vv

T

0yxyx ∫= --------------------------------------------- 1.18

Muchos de los problemas en las conducciones libres pueden resolverse simplificando el campo de velocidades, a un campo unidireccional y en otros casos a campos bidimensionales, por lo cual formas más simples de las ecuaciones básicas del flujo son comúnmente empleadas con acierto sin tener que tomar en cuenta las componentes de la velocidad en los tres ejes de coordenadas. 1.3 Primer criterio de clasificación del flujo: tiempo-espacio. El nivel del agua en una conducción libre puede variar respecto al tiempo y al espacio. Si denominamos y a la profundidad de circulación del agua en una sección de una conducción libre, se puede escribir que,

)x,t(fy = ---------------------------------------------------------- 1.19 El primer criterio de clasificación del flujo en una conducción libre es el de: tiempo-espacio. • Criterio de tiempo, figura 1.9.

Si 0dtdy

= el régimen se clasifica como permanente.

21

Si 0dtdy

≠ el régimen se clasifica como impermanente.

• Criterio de espacio, figura 1.9.

Si 0dxdy

= el régimen se clasifica como uniforme.

Si 0dxdy

≠ el régimen se clasifica como variado.

- gradualmente variado si el cambio es lento. - rápidamente variado si el cambio es brusco.

FIGURA 1.9 ESQUEMA DE DIFERENTES ALTERNATIVAS DE CLASIFICACIÓN. 1.4 Las ecuaciones de la física clásica en la hidráulica. • Conservación de masas. Independiente de cualquier estado (laminar o turbulento) el fluido debe satisfacer la ecuación de conservación de masa (ecuación de continuidad).

Tanto para el flujo permanente como impermanente en una sección de canal se cumple que: Q = v.A -------------------------------------------------------------- 1.20 donde: v es la velocidad media de la sección normal. A es el área de la sección. Q es el gasto. En los flujos permanentes en un canal, sin entradas ni salidas laterales, se cumple que: V1.A1 = V2.A2 = ... = Vn.An ---------------------------------------- 1.21 en este caso se dice que el flujo es continuo y la ecuación que gobierna al flujo desde el aspecto de conservación de la masa se denomina ecuación de continuidad. Este concepto es aplicable a tramos con entradas o salidas, en los cuales se dice que el flujo es discontinuo, agregándose en la ecuación el valor de estos aportes, tomando la ecuación la siguiente forma, por ejemplo, Q1 = Q2 + Q3 o sea: A1.V1 = A2.V2 + A3.V3. En el caso anterior el gasto de Q1 se ramifica en Q2 y Q3. • Ecuaciones de movimiento.

Basando el análisis en la segunda ley del movimiento, se tiene:

F = m.a ---------------------------------------------------------------- 1.22 si a ambos lados de la ecuación se integra a lo largo de la longitud de recorrido S paralela a la dirección de la fuerza y la aceleración, queda,

∫∫ −==2

1

2

1

s

s

21

222

1s

s)vv(madsmFds ------------------------------------- 1.23

que es la ecuación de la energía, que establece que el trabajo realizado por un cuerpo al moverse de S1 a S2 es igual a la energía cinética adquirida por el cuerpo.

23

La diferencia entre las ecuaciones 1.22 y 1.23 es que mientras la primera es una ecuación vectorial, la segunda al ser el resultado de un producto vectorial es un escalar, lo cual establece que la energía es una magnitud escalar. Si de nuevo se parte de la ecuación 1.22 y se integra respecto al tiempo, queda,

∫∫ −==2

1

2

1

t

t12

t

t)vv(madtmFdt -------------------------------------- 1.24

que es la ecuación de momentum y establece que el impulso (fuerza x tiempo) aplicado a un cuerpo es igual al cambio de momentum (masa x velocidad) que experimenta el cuerpo. El multiplicar un vector por un escalar produce otro vector, por lo cual el momentum es una magnitud vectorial. Estas ecuaciones son las fundamentales en el estudio del movimiento de un fluido y serán empleadas para la solución de los problemas de las conducciones libres. Las tres ecuaciones extraídas de la física clásica unidas a numerosas ecuaciones empíricas y semiempíricas, desarrolladas, fundamentalmente, a lo largo de los últimos trescientos años, son hoy la base de la solución de los problemas de la hidráulica de los canales. 1.5 La ecuación de energía aplicada a un fluido en régimen permanente: Euler y Bernoulli. Según plantea Henderson (1966), si se aplica la ecuación 1.22 a un elemento de área unitaria (dA=1) y que se mueve a lo largo del eje S, figura 1.10, se tiene que, (p - (p + δp/δs ∆s)) ∆n .1 + γ ∆s . ∆n .1 . sen θ = m.a, o lo que es lo mismo, -δρ/δs . ∆s . ∆n + γ ∆s . ∆n . sen θ = ρ . ∆s . ∆n . as, y a su vez, sen θ = - δz/δs, entonces queda, -δρ/δs - γ δz/δs = p . as, de donde,

δ/δs (p + γz) + ρ.as = 0 ------------------------------------------- 1.25 que es la conocida ecuación propuesta, en el siglo XVIII, por el matemático suizo Leonardo Euler y reconocida universalmente como la ecuación de Euler.

FIGURA 1.10 DEFINICION DE LAS FUERZAS SOBRE UN ELEMENTO DE UN FLUIDO. Esta ecuación no es rica en aplicaciones como su forma integrada, pero ayuda al conocimiento del fenómeno básico y sobre todo aclara el alcance y significado de la ecuación de Bernoulli. El término (ρ + γz) es llamado carga piezométrica y según la hidrostática es constante en aguas tranquilas, esto es: ∂/∂s (p + γz) = 0 ------------------------------------------------------ 1.26 La presencia de as indica que el agua está en movimiento, la distribución de presiones se disturba y (p + γz) no es constante. Al evaluar el término de as debe notarse que la velocidad varía simultáneamente en tiempo y espacio. Según la teoría de la diferenciación parcial se puede escribir, dv/dt = ds/dt . ∂v/∂s + ∂v/∂t --------------------------------------- 1.27 la cual indica la razón de cambio de la velocidad v que aparece frente a los ojos de un observador que se mueve a lo largo del eje S con una velocidad igual a ds/dt. Si se interpreta la derivada dv/dt como la aceleración del fluido, se puede escribir,

25

as = v ∂v/∂s + ∂v/∂t -------------------------------------------------- 1.28 Y si el flujo es irrotacional, entonces, sea o no S en la dirección del movimiento, puede escribirse,

tv

svva s

s ∂∂

+∂∂

= ---------------------------------------------------- 1.29

donde v es la resultante de la velocidad y vs es la componente en la dirección S. Los dos términos de la ecuación se denominan aceleración convectiva y aceleración local, respectivamente. Sustituyendo 1.29 en 1.25 se obtiene una ecuación para régimen impermanente que se escribe así,

0)tv

svv()zp(

s=

∂∂

+∂∂

ρ+γ+∂∂ ------------------------------------- 1.30

Concentrando la atención en el régimen permanente queda,

0svv)zp(

s=

∂∂

ρ+γ+∂∂ --------------------------------------------- 1.31

que puede ser integrada directamente, constantevzp 2

21 =ρ+γ+ , o lo que es igual,

Hg2

vpz2

=+γ

+ ----------------------------------------------------- 1.32

que es una de las formas alternativas de la ecuación de Bernoulli. Esta ecuación puede aplicarse a lo largo de una línea de corriente, en un fluido ideal sin rozamiento, pero la aplicación de la misma en otra dirección exige que el fluido sea irrotacional. En canales el flujo irrotacional no se produce en condiciones normales y por consiguiente la ecuación descrita no debe aplicarse entre distintos puntos de una sección transversal. . . . 1.6 La ecuación de cantidad de movimientos aplicada a un fluido en régimen permanente.

Considérese, el elemento de fluido de la figura 1.10. Como el momentum y el impulso son cantidades vectoriales a lo largo de un eje x, ubicado en la horizontal, se tendrá, Fxdt = mdv ---------------------------------------------------------- 1.33 que es una forma de escribir la segunda ley de Newton. Considérese que el área transversal del elemento es dA con un valor diferente a la unidad. Si dFx representa la fuerza diferencial que actúa sobre el elemento de fluido y ρ es constante en un flujo que se comporta como permanente, entonces, dFx dt = d (ρ ds dA V)x --------------------------------------------- 1.34 dividiendo entre dt y multiplicando por ds/ds se obtiene,

dQ.dsds

dvdF xx ρ= -------------------------------------------------- 1.35

como dQ es constante a lo largo de un tubo de corriente la integración entre 1 y 2 conduce a, ∆Fx = ρ dQ (vx,2 – vx,1) ---------------------------------------------- 1.36 y aplicando esta ultima expresión a la sección de un canal considerada como un gran tubo de corriente se obtiene, ∑Fx = ρ (vx,2 – vx,1) Q ------------------------------------------------ 1.37 que es la expresión simple de la ecuación de impulso–cantidad de movimiento aplicada a un fluido. 1.7 Ecuaciones para el régimen impermanente. El régimen impermanente al variar respecto al tiempo crea una complicación adicional al formular la ecuación de conservación de la masa y la ecuación del movimiento. Barre de Saint Venant, en 1871, desarrolló por vez primera, las ecuaciones que describen este régimen. Las suposiciones para el desarrollo de estas ecuaciones fueron: 1. flujo unidimensional, la profundidad y la velocidad varían

solamente en la dirección longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad es constante en la sección y que la superficie del agua es horizontal en cualquier sección transversal perpendicular al eje longitudinal del canal.

27

2. flujo gradualmente variado de forma tal que la distribución hidrostática de presiones prevalece y las aceleraciones verticales pueden despreciarse.

3. El eje longitudinal del canal es casi una línea recta. 4. La pendiente del fondo del canal es pequeña y el lecho del

canal es de fondo fijo, es decir los efectos de socavación y deposición son despreciables.

5. Los coeficientes de resistencia para el régimen uniforme turbulento son aplicables de tal forma que la ecuación de Manning puede emplearse para tales fines.

6. El fluido es incompresible y de densidad constante en el tramo analizado.

1.7.1 Conservación de la masa: ecuación de continuidad.

FIGURA 1.11 ESQUEMA PARA LA SOLUCION DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD EN REGIMEN IMPERMANENTE Considerando la conservación de la masa en un espacio infinitesimal entre dos secciones de canal, figura 1.11, se tiene que, el caudal cambia según ∂Q/∂x, la profundidad según ∂y/∂t.

entonces el cambio de volumen en el espacio y en el tiempo será: [(∂Q/∂x) dx dt] -------------------------------------------------------- 1.38 y el cambio correspondiente al almacenamiento en un tramo de canal es: [Tdx (∂y/∂t) dt ] ------------------------------------------------------ 1.39 o sea, [dx (∂A/∂t) dt] ----------------------------------------------------- 1.40

como el fluido es incompresible, el cambio neto del volumen más el cambio del almacenamiento debe ser cero. Debe tenerse en cuenta que si el gasto de entrada es mayor que el de salida, entonces (∂Q/∂x) es negativo y el almacenamiento positivo y viceversa. Al final puede plantearse que,

0dttyTdxdt.dx

xQ

=

∂∂

+

∂∂

o sea que,

0tyT

xQ

=∂∂

+∂∂ , pero se sabe que:

tA

tyT

∂∂

=∂∂ , y entonces,

0tA

xQ

=∂∂

+∂∂ -------------------------------------------------------- 1.41

que es la primera forma de presentación de la ecuación de continuidad en forma conservativa del régimen impermanente. Para algunos métodos de solución donde se emplean las ecuaciones que modelan el régimen impermanente se utiliza la forma conservativa en que Q aparece como variable independiente, mientras que la forma no conservativa de estas ecuaciones es aquella donde v es la variable independiente. Como Q = vA en una sección dada, entonces se puede transformar la ecuación en,

( ) 0tA

xvA

=∂∂

+∂

∂ , o lo que es igual a :

0tA

xvA

xAv =

∂∂

+∂∂

+∂∂ , que a su vez se puede transformar en:

0tyT

xvA

xAv =

∂∂

+∂∂

+∂∂ , que dividiendo entre T queda:

0ty

xvD

xyv =

∂∂

+∂∂

+∂∂ ----------------------------------------------- 1.42

que es otra de las expresiones muy empleadas de esta ecuación de continuidad ahora presentada en su forma no conservativa. Para un canal rectangular de ancho de plato igual a b, la ecuación 1.41 puede transformarse dividiéndola entre b y quedará:

29

0ty

xq

=∂∂

+∂∂ -------------------------------------------------------- 1.43

Si el canal tiene una descarga lateral q’ (m2/s) la ecuación 1.41 aparecerá expresada así:

0'qtA

xQ

=+∂∂

+∂∂ ---------------------------------------------------- 1.44

1.7.2 Ecuación dinámica. Partiendo de la segunda ley de Newton y asumiendo que la pendiente es pequeña, la distribución de presiones es hidrostática. La diferencia de presiones a lo largo de cualquier línea horizontal tiene una magnitud igual a (γ ∆h) donde ∆h es la diferencia entre las cotas del agua de las caras aguas arriba y aguas abajo del elemento.

FIGURA 1.12 ESQUEMA PARA EL DESARROLLO DE LA ECUACION DINAMICA La fuerza total sobre el elemento de ancho ∆b tomando como positiva la dirección agua abajo, es:

( ) hbyF b ∆∆γ−=∆ ---------------------------------------------------- 1.45 nótese que si el régimen fuera uniforme las fuerzas fueran iguales y de sentido contrario, pero en el caso ejemplificado no solo son diferentes sino que además la de aguas arriba es mayor que la que actúa desde aguas abajo. Las fuerzas actuantes sobre el elemento, considerando toda la sección de área A, arroja como resultado: FA = -γA ∆h ----------------------------------------------------------- 1.46

La fuerza resistente dada por los esfuerzos a lo largo del perímetro mojado de la sección en el tramo de longitud ∆x y que actúa en dirección contraria a la dirección del flujo, es igual a, FR = τ0 P ∆x -------------------------------------------------------- 1.47 donde (P ∆x) es el área de actuación de τ0. Estas dos fuerzas no son en realidad paralelas pero puede asumirse así y entonces la fuerza neta en la dirección del flujo es: ΣF = FA+ FR = -γA ∆h - τ0 P ∆x ---------------------------------- 1.48 por tanto la ecuación de movimiento de Newton quedará, -γA ∆h - τ0 P ∆x = ma, que puede descomponerse en:

-γA ∆h - τ0 P ∆x = (ρA ∆x) (v tv

xv

∂∂

+∂∂ ) y al despejar τ0 quedará:

xhR

tv

xvvR

xP

hAtv

xvvxA

0 ∆∆

γ+

∂∂

+∂∂

ρ=∆

∆γ+

∂∂

+∂∂

∆ρ=τ−

∂∂

+∂∂

+∂∂

γ−=τtv

g1

xv

gv

xhR0 -------------------------------------- 1.49

La ecuación de energía puede expresarse así,

g2vhH

2

+= y si se deriva respecto a x se tendrá,

xv

gv

xh

g2vh

xxH 2

∂∂

+∂∂

=

+

∂∂

=∂∂ ----------------------------------- 1.50

entonces la ecuación 1.49 queda,

∂∂

+∂∂

γ−=τtv

g1

xHR0 ---------------------------------------------- 1.51

Pero también puede escribirse de acuerdo a las hipótesis del régimen variado (capítulo 6) y empleando la ecuación de Chezy (capítulo 4), que,

RS 0

f γτ

= --------------------------------------------------------------- 1.52

31

por tanto podrá escribirse que:

∂∂

+∂∂

−=tv

g1

xHSf

que una vez reubicados los términos queda,

0Stv

g1

xH

f =+∂∂

+∂∂ ------------------------------------------------- 1.53

que puede escribirse así, SE + SA +Sf = 0 ----------------------------------------------------- 1.54 donde SE es la pendiente de la rasante de energía SA es la pendiente de la aceleración Sf es la pendiente friccional En el régimen permanente el gradiente ∂H/∂x es igual y de signo contrario a la pendiente de la rasante de energía, de hecho esta es su definición. En el régimen impermanente hay dos definiciones independientes y una viene dada por la ecuación 1.50 y la otra por la 1.52. Como H = z + y +v2/2g el término ∂H/∂x puede reescribirse así,

xv

gv

xyS

xv

gv

xy

xz

xH

0 ∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+

∂∂

+∂∂

=∂∂

que ordenando convenientemente y sustituyendo ∂H/∂x por la ecuación 1.53, se convierte en:

0xv

gv

xyS

xH

0 =∂∂

+∂∂

+−∂∂

−

0Stv

g1

xv

gv

xyS f0 =+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+− , o lo que es igual,

tv

g1

xv

gv

xySS 0f δ

∂−

∂∂

−∂∂

−= ---------------------------------------- 1.55

ecuación que describe al régimen impermanente y variado, en su forma no conservativa, tal como la plantea Henderson (1966). En la ecuación 1.55 el significado de cada agrupación de términos es:

0f SS = → régimen uniforme y permanente

xv

gv

xySS 0f ∂

∂−

∂∂

−= → régimen variado y permanente

La forma conservativa de la ecuación 1.55 es, ( )

f0

2

SSxv

xA/Q

gA1

tQ

gA1

=+∂∂

−∂

∂−

∂∂

− -------------------------- 1.56

Chow (1959) llega al mismo resultado, que a su vez fue propuesto por Saint Venant, pero empleando la ecuación de energía de otra forma. Otras formas de la ecuación dinámica o de momentum para este régimen lo son: forma conservativa.

0)SS(gxyg

AQ

xA1

tQ

A1

f0

2

=−−∂∂

+

∂∂

+∂∂ --------------------- 1.57

donde la interpretación física de los términos que gobiernan el flujo en la ecuación de momentum es:

tQ

A1

∂∂

Aceleración local, la cual describe el cambio de momentum debido al cambio de la velocidad con el tiempo.

∂∂

AQ

xA1 2

aceleración convectiva, que describe el cambio de momentum debido al cambio de la velocidad a lo largo del canal.

xyg

∂∂ fuerza de presión, proporcional al cambio de la

profundidad.

)SS(g f0 − es la diferencia entre fuerza gravitacional y fuerza de fricción, proporcionales a la pendiente del fondo y a la pendiente de fricción respectivamente.

forma no conservativa para un elemento de ancho unitario.

0)SS(gxyg

xvv

tv

f0 =−−∂∂

+∂∂

+∂∂ -------------------------------- 1.58

los términos, de esta forma de la ecuación, se interpretan así,

0)SS(g f0 =− Onda cinemática. Es el modelo más simple, las fuerzas gravitacionales y de fricción se balancean unas a otras.

33

0)SS(gxyg f0 =−−

∂∂

Onda de difusión. Es un modelo incompleto que incorpora al modelo anterior el término de presión.

El modelo completo que representa la ecuación 1.57, 1.58 u otra, modelo de onda dinámica, junto a la ecuación de continuidad, en cualquiera de sus formas (1.41, 1.42, etc), es el conjunto de ecuaciones que es capaz de representar con fidelidad el régimen impermanente variado. Los modelos alternativos más simples, formados por las variantes de la ecuación dinámica y la ecuación de continuidad, se emplean en casos particulares, en que no es necesario tener en cuenta todos los términos de la onda dinámica. Los efectos tales como el de remanso, que implican una transmisión de información hacia aguas arriba, necesitan la onda dinámica para poder modelar el fenómeno, mientras que casos del régimen supercrítico con propagación aguas abajo, se modelan muy bien con la onda cinemática. 1.8 Segundo criterio de clasificación: fuerzas dominantes. El segundo criterio de clasificación está en dependencia de la relación entre las fuerzas: viscosidad, densidad y gravedad, de una masa de fluido. Efectos de la viscosidad. La relación entre las fuerzas de inercia y viscosidad se representa por el número adimensional propuesto por Reynolds:

ν=

µρ

==vL

vLLv

FVFINR

22

------------------------------------------- 1.59

donde: v está expresada en m/s, ν está expresada en m2 /s, L es una longitud característica expresada en m.

FIGURA 1.13 RESULTADOS PARA CANALES LISOS EXPRESADOS GRAFICAMENTE DE FORMA SIMPLE RESPECTO A LOS ORIGINALES EXPUESTOS POR CHOW. De acuerdo e esta clasificación el flujo será laminar, transicional o turbulento, de acuerdo a los límites que aparecen en la tabla 1.2.

Tuberías Clasificación Canales NR ≤ 500 laminar NR ≤ 500

500<NR ≤ 12 500 transicional 500<NR ≤ 2 000 NR > 12 500 turbulento NR > 2 000

TABLA 1.2 LIMITES DE CLASIFICACION RESPECTO A NR. Estos tipos de flujo pueden expresarse gráficamente en función del número de Reynolds y el factor de fricción, conocido usualmente como el diagrama de Stanton (1914), que fue desarrollado para el

35

flujo en tuberías. Utilizando el factor de fricción de la fórmula de Darcy-Weibach, f, se puede escribir,

hfLv

g2df 2

0= --------------------------------------------------------- 1.60

si se sustituye d0 = 4R y hf/L ≡ Se = S, entonces:

2vgRS8f = -------------------------------------------------------- 1.61

que sí puede aplicarse al flujo uniforme en canales. Numerosos experimentos de la relación f-NR en canales realizados por la Universidad Illinois y Minnesota proveen un diagrama para definir la ocurrencia de uno u otro estado del flujo, figura 1.13. En el caso de los canales con superficie lisa se pueden obtener las siguientes conclusiones: - El régimen transicional no esta tan bien definido como en

tuberías y se acepta entre 500 y 2000. - Los datos de la región laminar conducen a una relación tal

como

NRkf = ----------------------------------------------------------- 1.62

donde:

vSgR8k

2

υ= ------------------------------------------------------ 1.63

Como v y R tienen valores específicos para una geometría de canal dada, k es un factor dependiente solo de la sección transversal del canal.

FIGURA 1.14 RESULTADOS PARA CANALES RUGOSOS DADOS POR CHOW. Para flujo laminar en canales lisos el valor de k puede hallarse teóricamente en el diagrama f – NR, k ≈ 24 para secciones rectangulares y k ≈ 14 en triangulares. Los datos del flujo turbulento en canales lisos coinciden con la ley de distribución en el caso de tuberías lisas y demuestran además que la sección no tiene un papel significativo.

37

En el caso de canales rugosos, figura 1.14, los datos recolectados en la Universidad de Minnesota y los colectados por Kirchmer, Eissner, Kozeny y otros muestran otro comportamiento: - En la región laminar NR/kf = sigue siendo válida sólo que k es

más alto que en canales lisos (60 a 33) indicando la influencia de la rugosidad en el factor de fricción.

- En la región turbulenta la geometría de la sección tiene un

pronunciado efecto en f. Para un grado de rugosidad constante f decrece si la sección es rectangular, triangular, trapecial y circular. Esto lo explican Prandtl y Kirschmer por la aparición del flujo secundario.

- En la región turbulenta muchos puntos aparecen en tendencias

paralelas a la curva de Prandtl – Von Karman. - Cuando NR es muy alto, las curvas tienden a la horizontal

llegando al estado denominado turbulencia total. Entonces f es independiente de NR y sólo es función de f = f (rugosidad, R y geometría).

En muchos canales el flujo laminar nunca ocurre, si la superficie del agua aparece suave y lisa a un observador no indica que el flujo sea laminar, probable es que la velocidad superficial sea más baja que la requerida para que se formen ondas superficiales. Efecto de la gravedad. La relación entre inercia y gravedad se cuantifica con el número de Froude (NF).

gLv

gLLv

FGFI 2

3

22

=ρρ

= -------------------------------------------------- 1.64

en este caso,

gLv

gLv

FGFINF

2

=== ----------------------------------------- 1.65

donde: v en m/s g en m2/s L longitud característica en m. • Cuando NF=1 hay equilibrio entre FI y FG y se dice que el

flujo es crítico. • Cuando NF<1 hay predominio de la FG y se denomina

subcrítico. • Cuando NF>1 hay predominio de la FI y se denomina

supercrítico. El denominador del NF es la celeridad (c) de una onda elemental gravitacional moviéndose en aguas poco profundas. Para este caso, figura 1.15, una onda impermanente es creada por el movimiento de la pared y el observador ve su traslado de izquierda a derecha.

FIGURA 1.15 ESQUEMA DE LA GENERACION DE UNA ONDA DE GRAVEDAD. En la figura de la derecha, el observador se mueve de izquierda a derecha a velocidad igual a c y por tanto respecto a ese sistema de coordenadas las velocidades cambian y el flujo se hace permanente. Si se aplica la ecuación de Continuidad para flujo permanente y unidimensional se tiene, cy = (y + ∆y) (c - ∆v) ------------------------------------------------ 1.66 simplificando:

yvyc

∆∆

= ------------------------------------------------------------- 1.67

39

Según el principio de momentum para flujo permanente unidimensional, se tiene que: ∑ FEXTERNAS = ∆ momentum que aplicándolo al caso de estudio se obtiene lo siguiente,

[ ]c)vc(cy)yy(21y

21 22 −∆−ρ=∆+γ−γ

o sea que:

cg

yv

=∆∆ -------------------------------------------------------------- 1.68

sustituyendo 1.10 en 1.11, queda c/gyc = , o sea, gyc = ------------------------------------------------------------ 1.69

Si asumimos que D ≈ y lo cual es especialmente cierto en canales anchos, entonces la celeridad de una onda de gravedad es igual al denominador del número de Froude. Esta ocurrencia es especialmente importante para el conocimiento e interpretación de los flujos subcríticos y supercríticos. Otros números adimensionales utilizados para propósitos similares son:

Factor cinético: gLvNF

22 = (Rehbock 1919, Bakhmeteff 1932)

número de Boussinesq: gR2

vB = (Engel 1933)

Razón velocidad – carga: gL2vk

2= (Stevens 1944, Posey 1944)

1. 9 Invariante en el estudio de las Conducciones Libres. En la clasificación del flujo en canales, en función del espacio y del tiempo, surgen cuatro alternativas de flujo. De ellas la prácticamente improbable es el uniforme impermanente, mientras que las otras tres están presentes en muchas conducciones libres, a

veces dominando toda la conducción, a veces estableciéndose transitoriamente en un tramo. El estudio y cálculo del régimen permanente y uniforme y del régimen variado, permanente o impermanente, presenta una característica peculiar, un rasgo distintivo y es la invariante de estos regímenes de flujo. Aquello que se presenta en todos y que representa el objetivo esencial del cálculo: la superficie del flujo. Esto es, cuando se conozca la superficie del flujo cualitativa y cuantitativamente el problema que se enfrenta estará resuelto. De ella dependen las otras variables y hacia ella van dirigidos todos los cálculos. Aún en aquellos casos particulares, como las transiciones en régimen subcrítico, donde el final del cálculo son las cotas del perfil del fondo, la definición de la superficie del flujo es de vital importancia para conseguir el objetivo final. Por esta razón las estrategias para el cálculo y los algoritmos específicos para su desarrollo irán dirigidos a: • calcular la profundidad normal si el régimen es uniforme. • calcular las profundidades de circulación en cada sección si el

régimen es variado permanente. • calcular las profundidades de circulación y la velocidad en

cada sección si el régimen es variado impermanente. Conocido lo anterior el problema en cuestión estará resuelto, o, si es un diseño de la conducción, o de una obra, o una comprobación de operación estará en vías de segura solución. 1.10 Comunicación: subcrítico y supercrítico. En el caso de NF<1 la velocidad del flujo es menor que la celeridad de una onda de gravedad. Por tanto la onda puede propagarse aguas arriba y las áreas aguas arriba están comunicadas con las de aguas abajo. Este criterio de comunicación diferencia el subcrítico del supercrítico.

41

El análisis del fenómeno físico de la propagación da los siguientes esquemas, figura 1.16, posibles: a) Propagación en aguas tranquilas. b) Propagación en flujo subcrítico. c) Propagación en flujo crítico. d) Propagación en flujo supercrítico. En el caso del flujo supercrítico el valor de β es:

NF1

vcsen ==β ------------------------------------------------ 1.70

FIGURA 1.16 CASOS DE PROPAGACION La celeridad c debe ser distinguida de la velocidad absoluta de la onda (v ± c). La celeridad es la velocidad de la onda relativa a la velocidad del flujo. 1.11 flujos estratificados. French (1985) plantea que los flujos estratificados son aquellos en que por el área mojada circulan líquidos de diferentes densidades, figura 1.17. En el caso del flujo estratificado se utiliza el concepto de número de Froude densimétrico según:

L g

vNFD

ρρ∆

= ------------------------------------------------ 1.71

donde: v en m/s g en m2/s ∆ρ = ρ1 - ρ2 en cualquier unidad L: longitud característica, usualmente menor de y1 y y2

FIGURA 1.17 ESQUEMA DE UN FLUJO ESTRATIFICADO. La interpretación de NFD es análoga a la anterior. Como el flujo en muchos canales está gobernado por los efectos de la gravedad, un modelo utilizado para simular un prototipo debe ser diseñado con igual NFD que el prototipo. En el caso de flujos estratificados sobre la base de la variación de la densidad;

- Si la densidad es constante el flujo es homogéneo. - Si no lo es (varía en alguna dirección) es estratificado.

La velocidad del flujo en canales es suficientemente compleja para no permitir con facilidad flujos estratificados, o sea, en flujos estratificados la efectividad del mezclado disminuye. La estratificación se mide con el número de Richarson:

)yv()y(gRi ∂∂ρ

∂ρ∂= ----------------------------------------------------- 1.72

donde, g en m2/s ρ en kg/m3

43

• Cuando ∂v/∂y < ∂ρ/∂y ; Ri es grande y la estratificación es estable.

• Cuando ∂v/∂y > ∂ρ/∂y ; Ri es pequeño, o sea, Ri → 0 y el flujo se acerca al homogéneo.

1.12 Modelación matemática y física de los problemas en canales. Para la solución numérica de los problemas de la hidráulica de canales se tiene como base fundamental los tres principios derivados de la física: • Conservación de la masa • Conservación de la energía. • Impulso–cantidad de movimiento: conservación del

momentum. Además de lo anterior, se cuenta con una amplía gama de ecuaciones obtenidas como resultados de la observación y la medición de experimentos de laboratorio y en proceso de la vida real, con lo cual, los modelos matemáticos pueden ser preparados para solucionar muchos de los problemas que se presentan cotidianamente. No obstante, aún no es suficiente los estudios experimentales, ni los resultados de las mediciones de campo y alguno de los problemas en canales, más que en otras ramas de la hidráulica, deben ser reproducidos en laboratorio, a escala reducida, para su estudio y adecuación del modelo matemático a las condiciones reales de comportamiento del objeto de estudio o para complementar el estudio previo realizado numéricamente De esta forma, problemas relacionados con el transporte y la erosión, los flujos curvilíneos, el régimen impermanente, los fenómenos de dispersión y difusión, problemas asociados a canales no prismáticos y otros muchos deben ser modelados física y matemáticamente. Es un modelo físico dos criterios deben cumplirse: • Modelo y prototipo serán geométricamente similares.

• Modelo y prototipo serán dinámicamente similares. Los requerimientos de similitud geométrica establecen una relación de escala de longitudes entre modelo y prototipo. Los de similitud dinámica requieren que ambos, modelo y prototipo, tengan patrones similares de flujo. O sea, que las fuerzas que actúan sobre cada elemento del fluido estén en la misma proporción. Una aproximación al desarrollo de parámetros apropiados que aseguren la similaridad dinámica es el escalado de las ecuaciones gobernantes. La igualdad del número de Froude requiere que:

pp

p

MM

M

Lgv

Lgv

= --------------------------------------------------- 1.73

ó RRR Lgv = -------------------------------------------------------- 1.74

donde el subíndice M designa al modelo, P al prototipo y R a la relación prototipo-modelo. El requerimiento de igualdad en el número de Reynolds hace que:

RR

RR L

vρ

µ= ----------------------------------------------------------- 1.75

Si suponemos que gR = 1, entonces combinando 1.72 y 1.73, se obtiene,

32

32

RR

RRL ν=

ρµ

= -------------------------------------------------- 1.76

donde ν es la viscosidad cinemática. De esta forma puede estimarse un modelo físico exacto de una conducción libre y por tanto sólo hay un grado de libertad para el diseñador: escoger el fluido del modelo.

45

Como los valores de ν, para los fluidos comúnmente asequibles, son muy limitados, usualmente resulta el modelo y el prototipo de igual dimensión. Y como conclusión : un modelo físico exacto de un flujo en conducciones libres es virtualmente imposible. De esta forma en muchos casos se desprecia, sin incurrir en errores importantes, el efecto de la viscosidad y los modelos se construyen sólo con la igualdad del número de Froude. Entonces:

RRR Lgv = --------------------------------------------------------- 1.77 donde, TR es la razón de la escala de tiempos. En este caso deben vigilarse dos cuestiones: 1. Que en el modelo los efectos de viscosidad sean dominantes, o

sea, si NRp → turbulento, NRM → turbulento. 2. En los casos en que los efectos friccionales sean importantes

entonces se simularán los efectos de la rugosidad periférica en vez de simular la igualdad de los números de Reynolds.

Por ejemplo, en la similitud respecto al número de Froude, las relaciones prototipo-modelo dan los siguientes resultados, tal como lo plantea Henderson, Velocidad: 2

1

RR Lv = ------------------------------------------------ 1.78 Gasto: 2

5

R2RRR LLvQ == --------------------------------------------- 1.79

Masa: 3RRR Lm ρ= --------------------------------------------------- 1.80

Longitud: LR = LR -------------------------------------------------- 1.81 Tiempo: 2

1

R1

RRR LvLT == − ------------------------------------------- 1.82 Fuerza: 3

RR2

RRRR LTLmF ρ== − ----------------------------------- 1.83 Presión: RR

2RRr LLFp ρ== − ----------------------------------------- 1.84

En el caso del flujo estratificado el modelo se hará en función del número de Froude densimétrico (NFD).

ρρ∆

=

gL

vNFD ---------------------------------------------------- 1.85

donde, ∆ρ es la diferencia entre las densidades de las capas. L es usualmente la profundidad del flujo de la capa

inferior, figura 1.17. Entonces puede escribirse:

1D yg

vNF′

= ------------------------------------------------------- 1.86

donde, g′ = g(ρ1 - ρ2)/ρ . Y entonces su empleo es similar al número de Froude clásico. En los casos especiales donde se generen pequeñas ondas en el modelo la tensión superficial debe considerarse y el parámetro que mide la magnitud relativa entre la fuerza de inercia y capilaridad es el número de Weber.

σρ

=LvW

2

e -------------------------------------------------------- 1.87

donde, σ es la tensión superficial por unidad de longitud. Otras fuerzas que diferentes a la gravedad y que pueden influir en los modelos de conducciones libres son la tensión superficial y la capilaridad, pero si las profundidades y el ancho de los canales no son menores de 25 mm, esto no tiene efectos apreciables. El término efecto de escala se introduce en esta especialidad, para nombrar las pequeñas distorsiones introducidas por fuerzas no tomadas en cuenta en el modelo y que afectan no aproximadamente el comportamiento del mismo. Por último, como cuestión general, debe señalarse que en canales existen dos tipos de modelos bien diferentes en cuanto a diseño y respuesta que se buscan de él: los modelos de fondo móvil y los modelos de fondo fijo.

47

Además, deben tomarse en consideración al diseñar y construir un modelo la posible distorsión de escalas (horizontal y vertical) en modelos tales como los necesarios para un río (ancho y relativamente poco profundo). En estos casos el tratamiento del escalado respecto al número de Froude difiere de lo clásico y necesita un estudio específico.

VISTA AEREA DE UN TRAMO DE UNA CONDUCCION LIBRE EN EL CRUCE CON UN VIAL DE VARIAS SENDAS.

________________________________________________________________________El Principio de energía y sus aplicaciones 49

2 EL PRINCIPIO DE ENERGÍA Y SUS APLICACIONES

Se destacan en este tema los aspectos importantes en la obtención de las ecuaciones derivadas de la aplicación de este principio al flujo en canales. A partir de la ecuación de Bernoulli y de la utilización de la ecuación de energía en su forma diferencial se llegan a obtener interesantes conclusiones respecto al comportamiento de la superficie del agua en régimen permanente. Poco a poco se van haciendo visibles algunas de sus aplicaciones, aunque una de las más importantes, referente al análisis cualitativo y cálculo del régimen gradualmente variado, se estudiaran en un tema aparte. Se aborda en este capítulo lo referente a la importancia, las propiedades y cálculo del régimen crítico. 2.1 La ecuación de energía. El principio de conservación de la energía es el eje central de muchos de los tratamientos numéricos que se establecen para solucionar los problemas relacionados con el flujo del agua en canales. La energía total (H) de una masa de agua circulando por un canal, viene dada por:

g2vpzH

2

α+γ

+=

--------------------------------------------------- 2.1

________________________________________________ 50 Hidráulica de las Conducciones Libres

que aplicada entre dos secciones de un canal aparece como la conocida ecuación de Bernoulli o principio de conservación de la energía,

2121 hfHH −+= -------------------------------------------------------- 2.2

FIGURA 2.1 PERFIL DE UN CANAL ENTRE DOS SECCIONES.

En la ecuación de la energía la suma de (z+p/γ) define la cota de la rasante piezométrica sobre el datum y α es un coeficiente de corrección de la carga a velocidad, que surge para eliminar el error que se produce al considerar el término v como representativo de la media de la distribución real de velocidades que existe en la sección. 2.1.1 El valor de α. Citado por Chow (1959), el coeficiente de corrección α fue originalmente introducido por G. Coriolis, en 1836. Basado en la ecuación de momentum, J. Boussinesq, en 1877, propone un coeficiente semejante denominado β cumpliéndose que 1≤ β ≤ α. Para canales de sección transversal simple, la determinación de este coeficiente se realiza sobre la base de consideraciones teóricas.


Si se considera Ec como la energía del agua (peso de la masa de agua * carga a velocidad), entonces,

g2v*dA*v*

g2v*dQ*dE

22

c γ=γ= .

o lo que es lo mismo,

dA*g2

v*dE3

c γ=

y la energía cinética total será:

∫γ= dAv

g2E 3

c

------------------------------------------------------- 2.3

También puede escribirse que,

vvc h*A*v*h*Q*E γ=γ= --------------------------------------- 2.4 Entonces igualando las expresiones 2.3 y 2.4 se tiene,

)g2

v(Av

dAv

Avg2

dAvh

2

3

33

v∫∫

==

o sea,

g2vh

2

v α= ------------------------------------------------------------- 2.5

y de ahí que la ecuación de cálculo de α sea,

Av

dAv3

3∫=α

que expresada en incrementos finitos, se convierte en la ecuación de trabajo,

Av

A*v

3

n

1i

3i∑

=

∆

=α ------------------------------------------------------ 2.6

donde n representa el número total de puntos en que se discretizó la sección transversal.


Th. Rehbock, Berlín 1922, suponiendo una distribución de velocidades lineales en la vertical, aproxima el cálculo de los coeficiente α y β con: α = 1+µ2 y en el otro caso con β = 1 + µ2/ 3. El valor del coeficiente µ se determina según: µ = (vMAX / v)-1, donde v es la velocidad media y vMAX la velocidad máxima de la sección estudiada. Chow, en 1959, empleando una distribución logarítmica de velocidades en la vertical, recomienda para: α = 1 +3µ2 - 2µ3 y para β = 1 + µ2. Estas mismas expresiones pero con el cálculo de µ empleando la velocidad cortante (capítulo 4): µ = 2.5 (v* / v), siendo para el régimen uniforme: v* = (gRS0)1/2, son empleadas por Damei Li y Hager en 1990. Watts, en 1967, estudiando seis ramales del proyecto “Colorado Big Thompson”, concluye su trabajo exponiendo que ambos coeficientes pueden considerarse constantes, para propósitos prácticos, e iguales a: α = 1.04 y β = 1.02. Hulsing y sus colaboradores, recomiendan en un reporte del Geological Survey, en 1966, que se considere el valor de α con incrementos lineales de acuerdo a la variación del coeficiente de rugosidad de Manning (capítulo 5). Adicionalmente los experimentos realizados recomendaron una relación entre coeficientes de,

35

1=

−ββ−α

Esta última suposición fue confirmada por Jaeger en 1949 y posteriormente en 1968, pero solo para régimen uniforme. Posterior a esto, en 1971, Mazumder propone un resultado para expansiones subcríticas, siempre que µ < 1.65,

α=µ=β

µ=α

)*48,0exp(

)*96,0exp(


Ya en 1983, en el Congreso de la IAHR celebrado en Moscú, los búlgaros Ivanov y Bocheva, asumiendo que la velocidad máxima se encuentra en la superficie, proponen el cálculo de α según, α = a + (1-a)(vMAX/v)3 siendo a un coeficiente empírico. Para ríos de los Estados Unidos de Norteamérica se encontró un valor de a = 0,911 mientras que para ríos búlgaros a = 0,865. En el trabajo se plantea emplear valores de: a = 0,935 para canales con (vMAX/v) ≤ 1,2. a = 0,920 para canales y ríos con (vMAX/v) ≤ 1,3. En 1990, Damei Li y H.Hager empleando las propuestas de Chow y el cálculo de µ según se expreso anteriormente, proponen un coeficiente ε, que se expresa en términos exclusivos de rugosidad relativa como ε = µ/2,5 = ng1/2R-1/6. De esta forma se puede relacionar α, β y ε, según aparece reflejado en la figura 2.2 y queda esclarecido la fuerte dependencia de α y β con el coeficiente n de la fórmula de Manning y la pobre dependencia con el valor del radio hidráulico de la sección. Por último ratifican el uso de los coeficientes como valores constantes para cada caso particular de rugosidad.

FIGURA 2.2 RELACIONES ENTRE α, β Y ε .

1

1.05

1.1

1.15

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1ε

α

β


. MATERIAL vMAX/v Cemento 1.2 Madera en duelas 1.2 Grava fina 1.3 Grava gruesa 1.41 Roca con grandes cantos 2.5 a 1.92 Grava con pasto y arbustos 2.17 a 1.33 Grava gruesa y piedra 1.72 a 1.43 Grava 1.61 a 1.33 Limo y arena 1.54 a 1.21 Madera, concreto y ladrillo 1.43 a 1.09

TABLA 2.1 VALORES OBTENIDOS POR REHBOCK. En la fórmula de Ivanov-Bosheva la determinación de la velocidad máxima del flujo de agua implica mediciones “in situ” en las condiciones iguales o semejantes en que va a operar la obra. Esto en el ámbito de cálculo de gabinete es difícil, por lo que la tabla 2.1 puede ayudar a resolver algunas situaciones específicas. La fórmula de Bazin, referenciada por Sotelo (1989), para calcular el valor de α, es la siguiente,

2C2101+=α

donde C representa la C de Chezy calculada según la fórmula de Bazin para el régimen uniforme (Capítulo 5).

VALORES DE α VALORES DE β CANALES Min. Med. Max. Min. Med. Max.

Acueductos 1.10 1.15 1.20 1.03 1.05 1.07 Canales regulares 1.10 1.15 1.20 1.03 1.05 1.07 Ríos en llano y montaña 1.15 1.30 1.50 1.05 1.10 1.17 Ríos cubiertos de hielo 1.20 1.50 2.00 1.07 1.17 1.33 Ríos de valle 1.50 1.75 2.00 1.17 1.25 1.33

TABLA 2.2 DATOS DE α Y β PARA ALGUNOS CANALES OBTENIDOS POR KOLUPAILA Y REFERENCIADOS POR CHOW (1959).


Algunos datos acerca de α y valores del coeficiente β para la corrección del momentum (Capítulo 3) aparecen en la tabla 2.2 como indicativos de los valores que se pueden encontrar en la práctica. En el caso de las secciones compuestas el valor de estos coeficientes implica subdividir la sección en subsecciones de igual valor del coeficiente n de Manning, figura 2.3, y entonces el cálculo se realiza de forma diferente. Chow (1959), propone calcularlos así,

23

m

1i2i

3i

AKA

K∑==α ---------------------------------------------------------- 2.7

donde Ai son las áreas parciales en que se divide la sección Ki son los módulos de gastos correspondientes a cada área parcial (capítulo 5).

i

3/2ii

i nRAK =

m son las subdivisones de la sección.

FIGURA 2.3 ESQUEMA DE UNA SECCION COMPUESTA CON SUS SUBDIVISIONES. Esta fórmula fue ratificada en 1966 por Henderson (1966) y se utiliza por numerosos autores. El HEC-RAS (1997), programa del Hydrologic Engineering Center, plantea emplearla determinando los módulos de gasto de


cada margen y del cauce principal y al final componerlos para el cálculo de α, según:

++

=α

∑

∑

=

=2m

1ii

3m

1ii

2md

3md

2cp

3cp

2mi

3mi

A

K

)AK

A

K

AK

(

------------------------------------------ 2. 8

donde el cálculo de K y A para las márgenes y el cauce principal se realiza primero,

∑∑==

==q

1jjmd

p

1jjmi AAAA

∑∑==

==q

1jjmd

p

1jjmi KKKK

2.2.2 Campo de aplicaciones. La ecuación de energía (ecuación 2.2) expuesta en la forma que más útil sea para su aplicación, representa la posibilidad de resolver numéricamente una sola incógnita y por tanto su aplicación se limita a aquellos casos en que: • se conocen todas las incógnitas de las secciones y el objetivo

del cálculo es el término de las pérdidas de energía. • se conocen cinco de las incógnitas del flujo y por alguna

formulación empírica, las pérdidas de energía para el suceso que se está analizando y de esta forma la ecuación nos posibilita conocer la incógnita restante.

En las aplicaciones de esta ecuación debe asegurarse que:


• las fluctuaciones provocadas por la turbulencia sean despreciables

• que no existan componentes apreciables de la aceleración el plano de la sección transversal.

• que las líneas de corriente no tengan ni curvatura ni divergencia.

• que la presión hidrostática prevalezca. En la práctica la mayoría de los flujos uniformes y variados cumplen con estas condiciones. 2.2 La energía específica. El término p/γ en los canales y conducciones libres representa la carga de agua que se elevaría en un piezómetro, colocado verticalmente en el fondo de la sección que se analiza y puede representarse entonces por la letra h,

h/p =γ ----------------------------------------------------------------- 2.9 quedando la ecuación de la energía expresada así,

g2vhzH

2

α++= ---------------------------------------------------- 2.10

En la práctica si la inclinación del fondo del canal es θ ≤ 100 o sea S0 ≤ 0,1763; el valor del coseno del ángulo es muy semejante a la unidad (cos 100 = 0.9848...) y entonces, haciendo las relaciones geométricas necesarias, podría escribirse,

θ= cos*dh --------------------------------------------------------- 2.11 θ= cos*yd ---------------------------------------------------------- 2.12

por tanto, θ= 2cos*yh -------------------------------------------------------- 2.13

y para este caso, h ≅ d ≅ y. En este caso la distribución de presiones en la sección puede aceptarse como hidrostática.


Hay autores que son más exigentes con la similitud y solo aceptan valores de θ menores que 60 (cos 60 = 0.9945...) o lo que es igual S0 ≤ 0,1051. Si en estas condiciones se hace coincidir el datum con el fondo del canal, queda la ecuación de la energía como,

g2vhE

2

α+= -------------------------------------------------------- 2.14

FIGURA 2.4 PERFIL DEL CANAL EN UN TRAMO CON PENDIENTE DE FONDO SUAVE. y para el caso particular de inclinaciones pequeñas respecto a la horizontal,

g2vyE

2

α+= ------------------------------------------------------- 2.15

que es la denominada ecuación de la energía específica. Si la pendiente del fondo del canal es fuerte, θ ≥ 100, la profundidad medida en el piezómetro es significativamente diferente a la profundidad medida en la vertical y a la profundidad medida en la sección transversal del canal. En este caso, cos θ ≠ 1, entonces:

θ= cos*yd ---------------------------------------------------------- 2.16 θ=θ= 2cosycosdh ----------------------------------------------- 2.17


la distribución de presiones será lineal, figura 2.3 y la ecuación de la energía específica se escribirá así,

g2vcos*yE

22 α+θ= --------------------------------------------- 2.18

FIGURA 2.4 b PERFIL DE UN CANAL EN UN TRAMO CON PENDIENTE DE FONDO FUERTE En el caso de los canales con curvatura en el fondo, en que las líneas de corriente tienen un grado considerable de curvatura el flujo se denomina curvilíneo, la distribución de presiones es afectada por las fuerzas de Coriolis, reforzándose en el caso de fondos cóncavos, figura 2.4 c, y disminuyéndose en el caso de fondos convexos, figura 2.4 d.

( c ) d )


FIGURA 2.4 c, d. PERFIL DE UN TRAMO DE CANAL CON PENDIENTE DE FONDO CURVILINEA. La distribución de presiones se puede calcular según la expresión, h h cci i i= ± --------------------------------------------------------- 2.21 donde ci es un factor de corrección para el cálculo de la carga a presión. Según la segunda ley del movimiento de Newton, la presión centrifuga puede calcularse como el producto de la masa de altura hi y ancho unitario por la aceleración, o sea,

c hg

vri

i i

i

= *2

--------------------------------------------------------- 2.22

siendo, ci el factor de corrección para el punto i hi la profundidad del punto i ri el radio de curvatura hasta el punto i vi la velocidad puntual, que en caso de no conocerse se utiliza la velocidad media ( v ) Se puede llegar a la conclusión, que para un canal, la fórmula general para la determinación de la altura que alcanza el agua en un piezómetro colocado en una sección vertical hasta tocar el fondo del canal, es: p y y

gvrγ

θθ

= ±* cos * cos *22 2

------------------------------- 2.23

aproximándose la velocidad del fondo a la velocidad media del flujo. De aquí puede deducirse que la fórmula de la energía específica para un canal de fondo curvilíneo será:

E y yg

vr

vg

= ±

+* cos * cos *2

2 2 2

2θ

θα --------------------- 2.24

La fórmula general anterior es aplicable a cualquier caso de canal de fondo plano o curvo, con mucha o poca pendiente. Su empleo


proporciona la posibilidad de estimar el error que se producirá al emplear una fórmula simplificada. 2.3 Un análisis a la ecuación E=ƒ(y): subcrítico, crítico y supercrítico. Si para simplificar la obtención del resultado se considera cosθ ≅ 1 y α ≅ 1, entonces la ecuación de la energía específica se simplifica a:

E y vg

y QgA

= + = +2 2

22 2 ------------------------------------------ 2.25

esta ecuación puede enunciarse así: E = ƒ (geometría, dimensiones, gasto y profundidad) ------- 2.26 entonces:

• si se prefija un gasto Q • si se prefijan la geometría y sus dimensiones

la ecuación queda como función única de la profundidad E = ƒ (profundidad) = ƒ ( y ) ------------------------------------- 2.27

FIGURA 2.5 GRAFICA DE E-y (CURVAS ISO-Q) Si se plotea en un plano E-y esta relación funcional, figura 2.5, se obtiene un gráfico único, valido en el primer cuadrante, que relaciona ambas variables y aclara un sin número de importantes conceptos. Las características de esta curva son:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5E (m)

y (m

)

g2/vE 2=

E=y

E=y+v2/2g


a. Para valores altos de y el área mojada crece también y el término 2gA2 toma valores tales que la carga a velocidad se hace numéricamente despreciable. Como resultado de esto la curva se hace asintótica a la recta E = y.

b. Para valores pequeños de y el área mojada decrece y el término 2gA2 toma valores tales, que la carga a velocidad supera cuantitativamente el valor de la profundidad. Como resultado de esto la curva se hace asintótica a la curva E = Q2/2gA2.

c. Existe un punto de energía mínima para un valor intermedio de la profundidad.

d. Para valores superiores de energía (E > EMIN) la relación 2.27 tiene dos soluciones positivas para el valor de y, una está ubicada en el gráfico por encima del valor de la profundidad que le corresponde a la EMIN, y la otra está por debajo. A estas dos profundidades se les denominan: profundidades alternativas.

e. Para las mismas condiciones de geometría y dimensiones, si el valor de Q aumenta la curva correspondiente se aleja hacia la derecha y el punto correspondiente a la EMIN describe una trayectoria curvilínea y ascendente, tabla 2.1 y figura 2.6.

2.3.1 Energía específica mínima. El punto donde la energía se hace mínima puede calcularse mediante el uso de las herramientas del cálculo diferencial. dEdy

ddy

y QgA

= +( )2

22 --------------------------------------------- 2.28

derivando se tiene, dEdy

Qg

A dAdy

QgA

dAdy

= + −

= −−12

2 12

32

3

pero, dA = T*dy ------------------------------------------------------------ 2.29 entonces,


gDv1

dydE 2

−= ------------------------------------------------------- 2.30

como la condición de mínimo es 0dydE

= ,

entonces puede escribirse: v gD= ---------------------------- 2.31 que es la condición de régimen crítico. Si se considera α ≠ 1, entonces la ecuación 2.28 se transforma a: dEdy

ddy

y QgA

= +( )α2

22 ------------------------------------------- 2.32

y la derivada final queda, dEdy

vgD

= −12

α ----------------------------------------------------- 2.33

y la condición de régimen crítico queda descubierta cuando se iguala la derivada a cero para encontrar el punto de mínima,

v gD=

α ----------------------------------------------------------- 2.34

En el caso de canales con altos valores de pendiente de fondo, el término h = d*cos θ debe emplearse en sustitución de y. En este caso la ecuación 2.28 sufre una transformación y se convierte en:

+= 2

2

A*g2Qcos*d

ddd

dddE αθ ------------------------------- 2.35

y queda, dEdd

QgA D

= −cos θ α2

2 ------------------------------------------- 2.36

por tanto al igualar la derivada a cero queda en evidencia la condición de régimen crítico para este caso,


v gD=

cosθα

---------------------------------------------------- 2.37

Q (m3/s) y (m)

1 5 7.5 10

0.200 1.474 32.055 71.874 127.621 0.400 0.719 8.364 18.319 32.255 0.600 0.742 4.139 8.564 14.758 0.800 0.880 2.791 5.280 8.764 1.000 1.051 2.274 3.867 6.097 1.200 1.235 2.085 3.191 4.739 1.400 1.426 2.050 2.863 4.000 1.600 1.620 2.098 2.720 3.591 1.800 1.816 2.193 2.685 3.373 2.000 2.013 2.319 2.717 3.274 2.200 2.211 2.463 2.792 3.255 2.600 2.008 2.788 3.024 3.354 3.000 3.006 3.142 3.319 3.566

TABLA 2.1 VALORES DE E PARA UN CANAL RECTANGULAR DE b=1 m. [ Q (m3/s), y (m), E (m) ] • Algunos casos particulares. Las relaciones entre EMIN y yc puede establecerse fácilmente para algunas secciones transversales. a) Sección rectangular.

Si, g2

vyE2

+= , entonces para esta sección puede escribirse,

gyv = y la ecuación anterior puede escribirse para la condición de régimen crítico así,


g2gyyE C

CMIN += , que se transforma en,

CMIN y23E = ---------------------------------------------------- 2.38

FIGURA 2.6 CURVA E-y PARA GASTOS VARIABLES (ISO Q) GRAFICADA PARA EL CANAL DE LA TABLA 2.1. En la figura 2.6 se ilustra la relación anterior con la recta que corta los mínimos de las curvas E-y. En la misma aparecen curvas ISO Q para una sección rectangular y la correspondiente relación gráfica entre EMIN y yC. b) Sección triangular.

Para esta sección, 2yD = y la ecuación de la energía específica es,

g22gyyE CMIN += , que se transforma en,

CMIN y45E = --------------------------------------------------- 2.39

c) Sección parabólica. Para esta sección, 3y2D = y la ecuación de la energía específica es,

00.5

11.5

2

2.53

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0E (m) ISO Q

y (m

)


g23gy2yE CMIN += , que se transforma en,

CMIN y34E = --------------------------------------------------- 2.40

2.3.2 Característica de las ramas de la ecuación E-y. Al quedar establecido que el punto de EMIN pertenece a la condición de número de Froude igual a uno, o sea, régimen crítico, existen dos ramas bien definidas en la curva E-y. La rama superior de la curva tiene valores de profundidad superiores al valor de yCRITICA mientras que la rama inferior tiene valores menores. Pueden escribirse las siguientes condiciones,

• para la rama superior. condición: y > yCRITICA , entonces A↑; D↑ por tanto: v < vCRITICA y como consecuencia: NF < 1 y el régimen es subcrítico.

• para la rama inferior. condición: y < yCRITICA , entonces A↓; D↓ por tanto: v > vCRITICA y como consecuencia: NF > 1 y el régimen es supercrítico. 2.3.3 Ecuación y gráfica de Q-y : curvas ISO E. Importante es también el comportamiento de la curva Q-y para E constante. En el ejemplo de la figura 2.6, si se traza una línea arbitraria, paralela al eje y, con un valor de E tal que corte las curvas (Q=1 → Q=10), puede notarse que, para la sección establecida en geometría y dimensiones, al incrementarse el valor de y, se incrementa el valor de Q, hasta un cierto momento en que al seguir aumentando y el gasto Q decrece. La ecuación que gobierna el fenómeno es obtenida de la expresión general de E.


Q E y gA2 22=−α

* ------------------------------------------------ 2.41

o lo que es lo mismo,

( )yEAg2Q 2 −α

= ----------------------------------------------- 2.42

FIGURA 2.7 CURVAS ISO E PARA DOS NIVELES DE ENERGIA Si los resultados del ejemplo de la figura 2.6, se plotean en un plano Q-y los puntos correspondientes a E=3,0 y a E=4,0 se obtiene la gráfica que aparece en la figura 2.7. La función graficada deja claramente expuesta la existencia de dos ramas y un punto de máxima. Otra vez aplicando las herramientas del cálculo diferencial puede establecerse la ubicación del punto notable. Entonces,

))yE((dydA)yE(

dydA

dydQ

−+−= , desarrollando ambos términos

queda,

( )

−−+−= − )1(*yE21AyET

dydQ

21

, de donde puede obtenerse

que,

00.5

11.5

22.5

33.5

4

0 5 10 15Q (m3/s)

y (m

)


yE2AyET

dydQ

−−−= , como la condición de máximo implica

que la derivada sea cero, entonces:

yE2AyET

−=−

A)yE(T2 =− , y se transforma en, D)yE(2 =− y si se despeja E

quedará: 2DyE += , como se llego a una expresión igual a la de la

energía específica entonces, 2D

g2v2

= , de donde se obtiene que,

gDv = y puede concluirse que el gasto es máximo cuando el número de Froude es igual a uno y que las ramas superior e inferior de la curva Q-y pertenecen al régimen subcrítico y supercrítico respectivamente. De lo visto hasta el momento pueden sacarse las siguientes conclusiones para una sección transversal de geometría y dimensiones constantes:

• Cuando NF=1, la energía específica es mínima para condiciones de gasto constante.

• Cuando NF=1, el gasto es máximo para una energía específica constante.

Estas dos gráficas, E-y y Q-y proporcionan una base de análisis para el estudio de los cambios de la profundidad de circulación en estrechamientos y escalones y sus aplicaciones llevan a obtener respuestas correctas ante los problemas de accesibilidad y control. 2.4 La profundidad crítica: su cálculo. La profundidad que se produce cuando el número de Froude (NF) es igual a la unidad se denomina profundidad crítica (yc). La ocurrencia de la yc a lo largo de un tramo de canal es altamente improbable, ya que además de que tienen que cumplirse todos los


requisitos para que exista un régimen uniforme, no puede existir el menor disturbio que haga que NF difiera de la unidad, por esta razón lo probable es encontrar la yc en una sección de canal. El valor de yC tiene una gran importancia en la solución de diversos problemas de la hidráulica de las conducciones libres. Sus dos aplicaciones más relevantes son: Como valor de referencia para establecer la frontera entre el régimen subcrítico y supercrítico. Este aspecto es de especial importancia en el análisis cualitativo y el cálculo del régimen variado. Como elemento de diseño y cálculo de obras hidrométricas, ya que al proporcionar una relación simple entre el gasto, la geometría y las dimensiones del canal, midiéndose estas últimas puede calcularse Q, de forma relativamente simple, siempre que se garantice que se produce el régimen crítico.

El objetivo del cálculo se reduce a: obtener el valor de profundidad que hace que para una sección de canal definida en geometría y dimensiones y un gasto el número de Froude sea uno. Si NF=1, entonces: v gD= y aplicando continuidad queda, Q A gD= --------------------------------------------------------- 2.43 Como A y D son funciones de la profundidad, para una sección transversal de geometría y dimensiones constantes, la solución de esta ecuación puede acometerse sin mayores dificultades. Esta ecuación permite también el cálculo del gasto, en una sección donde el régimen sea crítico, siempre que sea posible la determinación de la geometría y las dimensiones de la sección transversal y la profundidad crítica. .


2.4.1 Casos en que la solución es directa. 1. Sección rectangular.

gDAQ = , que desarrollando para esta sección queda,

bby

gbyQ CC= , o lo que es igual,

CC gybyQ = y despejando la profundidad crítica se obtiene la ecuación final de cálculo,

32

C gbQy

= -------------------------------------------------- 2.44

2. Sección triangular.

Para esta sección queda,

C

2C2

C my2my

myQ =

que simplificando queda,

2gmyQ 2

5

C= , de donde se obtiene el valor de yC

5

2

C g5.0mQy

= ------------------------------------------ 2.45

3. Sección parabólica.

En esta sección, al sustituirse los valores de A y D en la ecuación 2.43 esta se transforma en,

= CC y

32gTy

32Q

que simplificando queda,

23

C

23

Ty32gQ

= y despejando el valor de yC ,


( )

32

23C

T3/2gQy

= -------------------------------------- 2.46

2.4.2 Casos en que la solución no es directa. En todas las demás secciones transversales la solución no puede encontrarse de forma directa y es necesario un procedimiento matemático aproximado para lograr el resultado esperado. Como el procedimiento de cálculo es aproximado es necesario establecer una regla única para aceptar como bueno el valor que se pretende. El criterio que se seguirá en este caso es el llegar al valor de yC con un error en el cálculo del gasto menor que un porciento predeterminado de Q, o sea, que el criterio de parada de cualquiera de los métodos que se describan estará dado por, [ ] ( )Qyc eQgDA ±= ---------------------------------------------- 2.47 • Una solución de iteraciones utilizando el método de

bipartición. Este método de aproximaciones sucesivas para determinar las raíces de una ecuación tiene como premisas: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. Esto

es particularmente cierto en las secciones de geometría simple. – Para comenzar el tanteo se deben establecer dos puntos de

inicio (a,b). Si se denomina F(y) = Q - gDA , entonces debe cumplirse que F(ya)*F(yb) < 0.

– Por último debe cumplirse que F(y) sea contínua en el intervalo [a,b].

La secuencia de este método denominado también método de la bisección comienza con establecer los límites entre los cuales debe encontrarse la solución.


Una vez escogidos, se comienza tanteando con el valor medio, o sea, con la media entre el límite máximo y el mínimo, en la ecuación seleccionada. Si este valor no da el resultado esperado, entonces se cambia uno de los dos límites, de acuerdo al resultado obtenido: si el resultado fue mayor que el esperado, el límite máximo se iguala al valor medio empleado en el tanteo y viceversa. De esta forma se tienen dos nuevos límites y se procede a un nuevo tanteo. En el caso del método de bipartición la determinación del límite máximo con verdadera exactitud ahorra con creces los tanteos intermedios, ya que en el caso del límite mínimo el valor cero es el más adecuado. El método puede aplicarse de dos formas diferentes: Una utilizando la F(y) establecida anteriormente y tantear hasta

que el valor tienda a cero y consecuentemente el valor de gDA quede dentro del rango establecido por: ( Q ± error ).

En este caso el signo de la función nos indicará si el tanteo se ha realizado por exceso (signo negativo) o por defecto (signo positivo).

La otra forma de aplicación del método, es tantear con la ecuación gDA y de esta forma la diferencia del resultado obtenido con Q indicará cuan cerca o lejos se está de la respuesta y si se ha evaluado por exceso o defecto la ecuación.

En ambos casos el criterio de parada estará dado por la ecuación 2.47. Este método tiene como principal inconveniente la lentitud del proceso de convergencia. Una propuesta de algoritmo, expresado en una secuencia de decisiones, se expone a continuación, . .


Algoritmo. 1. Seleccionar los límites iniciales. Un valor indiscutible para

el límite mínimo es cero ya que garantiza el menor de los posibles. En el caso del límite máximo debe tomarse un valor alto que sobrepase la solución, pero no tanto para que no influya mucho en el número de tanteos a realizar. Como índice puede tomarse un valor numéricamente igual (no dimensionalmente) a 1,5 veces el valor del gasto.

2. Calcular 2/).Lim.Lim(y MINMAXC −= 3. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se


4. Si no se cumple el punto 3, entonces hay que verificar hacia donde esta el error. Si gDAQ < entonces hay que disminuir el límite máximo

CMAX y.Lim = y regresar al punto 2. Si gDAQ < entonces hay que aumentar el límite mínimo

CMIN y.Lim = y regresar al punto 2.

Si se refleja en un gráfico el desarrollo de los tanteos se pudiera observar algo semejante a lo que aparece en la figura 2.8.

FIGURA 2.8 ESQUEMA CON TRES APROXIMACIONES


• Una solución de iteraciones utilizando Newton - Raphson. Este método proporciona una mayor rapidez en la convergencia. Sus premisas son: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. – Para comenzar el tanteo se debe establecer un punto de inicio.

Si se denomina F(y) = gDA - Q, entonces debe cumplirse que F(y) sea continua y derivable en el intervalo donde se encuentra la solución.

– F’(y) debe ser positiva o negativa en todo el intervalo. – Por último debe cumplirse que F’’(y) sea positiva o negativa en

todo el intervalo. La justificación se explica por si sola en la figura 2.9. Del gráfico puede obtenerse que,

)y('Fyy)y(Ftan

21=

−=θ y de esta igualdad se obtiene la ecuación

básica a emplear. FIGURA 2.9 JUSTIFICACION GRAFICA DEL METODO DE NEWTON_RAPHSON

θ


De interés en esta solución es la selección del primer punto para comenzar el tanteo, ya que si la tendencia de los valores de la ecuación tanteada tiene doble concavidad y se elige un punto en una zona inapropiada no se llegará nunca a la solución. El criterio de parada para este método es el definido por la ecuación 2.47. El principal problema del método radica en la complejidad al obtener F’(y) en algunos casos. Para la solución de las ecuaciones para el cálculo de la profundidad crítica se pueden obtener las siguientes relaciones: para F(y).

gQDAQgDA)y(F −=−= ------------------------- 2.48

cuando ( ) 0yF = se encuentra la solución para y. para F’(y).

0dydAD)D(

dydA)y('F −+=

DTD2'ADT*D

dydD*D

21*A)y('F 2

1+=+=

− ------- 2.49

sustituyendo F(y) y F’(y) por sus desarrollos respectivos:

DT

D2'AD

gQDA

y)y('F)y(Fyy 1

1

112

+

−−=−= -------------------- 2.50

En el caso de las aproximaciones para el cálculo de la profundidad crítica por el método de Newton-Raphson la propuesta de algoritmo es el siguiente, Algoritmo. 1. Suponer y1 2. Calcular F(y1) y F’(y1) según 2.48 y 2.49 3. Calcular y2 según 2.50.


4. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%.

5. Si el punto 4 no se cumple entonces se hace y1 = y2 y se regresa al punto 2.

• Una solución aplicando el método de las secantes. Una solución muy aceptable para este tipo de ecuación es el empleo del método de las secantes. Sus premisas son: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. Esto

es particularmente cierto en las secciones de geometría simple. – Para comenzar el tanteo se debe establecer dos puntos de

inicio (a,b). Si se denomina F(y) = Q - gDA , entonces debe cumplirse que F(y) sea contínua en el intervalo donde se encuentra la solución.

– El producto F(ya)*F(yb) debe ser negativo.

FIGURA 2.10 JUSTIFICACIÓN GRÁFICA DEL MÉTODO DE LAS SECANTES.


El método parte de la obtención de dos aproximaciones de F(y) para yi y yi+1, une ambos puntos con una línea recta (secante de la curva F(y)–y y donde la recta corta al eje y se determina el próximo valor para tantear, figura 2.10. El método de las secantes es una modificación del método de Newton-Raphson encaminada a eliminar la mayor desventaja de este: la necesidad de trabajar con la derivada de F(y). Esto se consigue sustituyendo la recta tangente por la secante. La rapidez de convergencia hace de este método una herramienta ideal para el cálculo de la profundidad crítica. Una variante de algoritmo es, Algoritmo. 1. Declarar i =1 2. Seleccionar dos valores de la profundidad: yi y yi+1 y calcular

F(yi) y F(yi+1). 3. Incrementar i =i+2 4. Calcular [ ])y(Fy(F/)yy(*)y(Fyy 2i1i2i1i1i1ii −−−−−− −−−= 5. Si 100*F(yi)/Q ≤ 0,01*Q se ha llegado a la solución. 6. Si 100*F(yi)/Q > 0,01*Q entonces incrementar i = i+1 y

regresar al paso 4. Nótese que la condición de parada en este método es la misma que la expuesta en la ecuación 2.47. • Una solución gráfica por etapas. Un método muy utilizado en épocas pasadas, es el empleo de un gráfico en el cual la solución se obtenga por pasos con el menor número de cálculos posibles. La idea básica es graficar en el plano y-Q la relación entre la profundidad y el gasto.


Sea una sección transversal cualquiera con las siguientes relaciones funcionales bien definidas: A = ƒ1 (y) ; D = ƒ2 (y) , entonces el proceso representado en la figura 2.11, da la posibilidad de presentar la secuencia algorítmica siguiente, Algoritmo. 1. Seleccionar dos valores de la profundidad: y1 y y2 2. Calcular Q1 y Q2 según gD*AQ = 3. Graficar los puntos anteriores en un plano y-Q. 4. Interpolar o extrapolar, sobre la recta trazada uniendo los

puntos 1 y 2, el valor del gasto de diseño (QD) y obtener así un nuevo valor de la profundidad (yNUEVO.) con el cual evaluar A y D.

Si )Q*02,0(QgDA ±= entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 2%, que es un valor aceptable para este método.

FIGURA 2.11 PROCESO DE SOLUCIÓN GRAFICO 5. Si no se cumple el punto anterior se agrega el valor de y-Q al

gráfico y se traza una curva que pase por esos tres puntos.


6. Se interpola QD sobre la curva y se obtiene un nuevo valor de la profundidad (yNUEVO.) con el cual reevaluar A y D. Se repite desde el paso 5.

Si este gráfico se plotea en dos ejes de coordenadas logarítmicas, entonces el proceso de encontrar la solución es más rápido ya que los valores de )gDAlog( vs log (y) representará, aproximadamente, una línea recta al ser ploteados. De esta alternativa que presenta el método gráfico surge la siguiente proposición que se hace para calcular la profundidad crítica. • Una solución basada gráficos adimensionales. Propuesto por Ven Te Chow (1959), estos gráficos para secciones trapeciales y circulares son en extremo útiles, sobre todo si se trabajan a una escala suficientemente grande como para que la medición sobre ellos sea exacta. Para otras secciones de interés se pueden preparar gráficas semejantes si su valor de uso así lo indicara. Los expuestos aquí están preparados a una escala mayor que los originales para que las soluciones que de ellos emerjan estén muy cerca de cumplir con el requisito establecido por la condición de parada o se cumpla este desde el primer intento. Dimensionalmente A*√D es L2*√L = L2.5 por tanto, si se presenta un gráfico con los ejes según: X → y/L; Y → (A*√D)/L2.5

donde L sea una longitud característica, que en el caso de las secciones trapeciales se toma como el ancho de plato (b) y en el caso de las circulares como el diámetro (d0). A estos gráficos se entrará con el valor de 5.2L/)DA( o lo que es igual con el valor de 5.2L/)g/Q( que es el valor que realmente se conoce al estar integrado por los datos del problema. En la figura 2.12 aparecen los gráficos necesarios para utilizar este método y al final la secuencia de cálculo con los mismos.


FIGURA 2.12 a GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.01 0.1y/b

Q/R

aiz(

g)

circular

m=6 m=0

5.2b/)g/Q(

5.2d/)g/Q(


FIGURA 2.12 b GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

0.01

0.1

1

10

0.1 1y/b

Q/g

^0.

5 /b2.

5 Q

/g^0.

5 /d2.

5


FIGURA 2.12 c GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

1

10

100

1 10y/b

Q

/g^

0.5 /b

2.5

Q/g

^0.5 /d

2.5


La secuencia de cálculo que aparece a continuación demuestra lo simple que es la utilización de estos gráficos adimensionales. Algoritmo. 1. Verificar que se este en presencia de una sección trapecial

para los taludes graficados o una sección circular.

2. Calcular 5.2bgQ

en caso de una sección trapecial

o, 5.2dgQ

si la sección es circular.

3. Ir al gráfico correspondiente y calcular y/b o y/d, según sea el caso y calcular el valor de y.

4. Con el valor de y calcular A y D. 5. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se


6. Si el valor no satisface la restricción del punto 5, entonces se debe buscar el valor correcto a partir de la aproximación ya realizada utilizando uno de los métodos anteriores.

• Las ecuaciones semiempíricas de Straub. Propuestas en 1982, estas ecuaciones proporcionan una vía fácil para la obtención de la profundidad crítica en algunas secciones transversales. El parámetro básico es ψ = α*Q2 / g.

Si la sección es rectangular entonces: ybc =

Ψ2

13 --------- 2.51

Si la sección es triangular entonces: ymc =

22

0 20Ψ

.

----- 2.52

Estas dos primeras ecuaciones, propuestas por Straub son innecesarias, ya que, tal como se demostró anteriormente, la


solución en estos casos es directa, por simple despeje de la ecuación fundamental de cálculo del régimen crítico. Si la sección es trapecial entonces:

ym b

bmc =

−0 81300 75 1 25

0 27

.*. .

.Ψ ----------------------------- 2.53

para 4.0bQ1.0 5.2 << Si la sección es parabólica entonces:

( )y Cc = 0 84 0 25. * * .Ψ -------------------------------------------- 2.54

donde la parábola esta dada por y = C*x2 Si la sección es circular entonces:

ydc =101

0 260 25. *.

.Ψ , para 0.02 ≤ y/d ≤ 0.85 ------------------- 2.55

Si la sección es exponencial entonces:

( )y m C

c

m m

=

− +3 2 21

2 1

4* *Ψ , y la exponencial esta dada por

y = C*x1/(m-1) --------------------------------------------------------- 2.56 Es importante destacar que estas soluciones no son exactas y que la comprobación del error que se comete en su utilización debe ser verificada por el calculista cada vez que las utilice. El gráfico de la figura 2.13 pone de manifiesto el movimiento de ese error para una sección trapecial específica. • Soluciones numéricas propuestas por Valle Cuellar. El profesor mejicano Valle Cuellar propone, en 1994, soluciones iniciales y ecuaciones para iterar hasta lograr el valor buscado.


FIGURA 2.13 MOVIMIENTO DEL ERROR ENTRE LOS LIMITES ESTABLECIDOS POR STRAUB PARA SU FORMULA PARA CANALES TRAPECIALES. a. secciones trapeciales.

solución inicial: yb

Qmc =

+

07421850 551

0 620...

.

------------------- 2.57

ecuación para iterar: ( )

( )3/1

i,c

i,c

31

2

1i1i,c y*mb

my2b*gQ

y+

+

=++ -------2.58

b. secciones circulares. Si 5.2d*042595.2Q ≤ , entonces puede calcularse el valor y la

solución inicial será: 258,0

503,0

i,c dQ*561,0y = -------------------- 2.59

y la ecuación para iterar: gDvFroude de número =

c. secciones tipo U (rectangular y semicircular). Si Q ≥ 4,36012883 * ru

2.5 entonces: 3/12

Uc r2

Qg1

41ry

+

Π

−= ----------------------------------- 2.60

-4-3-2-10123

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Q/b 2.5E

rror %


Si Q < 4,361 * ru2.5 entonces,

solución inicial: 292.0U

517,0

c rQ*475,0y = -------------------------- 2.61


FIGURA 2.14 SECCION U Y PORTAL d. secciones tipo Portal (semicircular y rectangular), capacidad máxima para y/H = 0,9395257 ------------------ 2.62

siendo 2/13/8max S*H*

n37736438,0Q = --------------------- 2.63

para condición de régimen crítico, 5,2

gularcionrectansec.max H*10736173,1Q = ------------------------ 2.64 y para evitar el ahogo de la sección se da como máximo,

5,2cionsec.max H*555009128.2Q = ------------------------------ 2.65

solución inicial: 4988,0

5995,0

c HQ*475,0y = ------------------------- 2.66


En estas propuestas debe señalarse que las ecuaciones para iterar son insuficientes para llegar a una solución ingenieril. En todos los casos se sugiere que la iteración sea verificando el gasto obtenido para cada nueva profundidad probada y calcular el


error que se comete respecto al gasto de dato, hasta lograr una exactitud aceptable en el resultado. Como ejemplo de lo dicho se presenta la secuencia de cálculo de la sección trapecial y de una sección circular. Algoritmo: para secciones trapeciales. 1. Calcular yC según 2.57. 2. Calcular A, T y D con los datos y ecuaciones de la sección

trapecial. 3. Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se


4. Si no es satisfactoria la comprobación del paso 2, calcular la nueva yC según 2.58. Regresar al paso 2.

Algoritmo: para secciones circulares de diámetro d. 1. Comprobar si QC_MAX. ≤ QCALCULO , donde,

5.2.MAX_C d*042595.2Q =

2. Si es satisfactoria la comprobación del paso 1, calcular yC según 2.59.

3. Calcular A, T y D según,

)yd(y2T

d*)sen(81A

)dy21(cos2

2

1

−=

−=

−= −

θθ

θ

Si )Q*01,0(QgDA ±= entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%.

4. Si no se satisface el paso 3, se debe emplear un método iterativo con la solución inicial calculada en el paso 2.


• Soluciones aproximadas para secciones trapeciales basadas en calcular yC como función de la profundidad crítica de un canal rectangular.

Una tendencia reflejada en la literatura, desde la década de los años 50, es la de presentar soluciones basadas en una remodelación de la ecuación básica. Tómese la ecuación 2.43 y transfórmese así,

c

c32

TA

gQ

= ----------------------------------------------------------- 2.67

para una sección trapecial se cumple que, 2CCc y*my*bA +=

CC y*m*2bT += sustituyendo en 2.67 las expresiones de A y T queda,

( )C

32CC

2

my2bmyby

gQ

++

= ----------------------------------------------- 2.68

o lo que es igual,

+

+

=

bmy21*b

bmy1*yb

gQ

C

3C3

C3

2

y despejando y3c,

3C

C

2

23C

bym1

bym21

*gbQy

+

+

= ------------------------------------------ 2.69

y como la profundidad crítica de una sección rectangular es: 3/1

2

2

R_C )gb

Q(y =

entonces,


3C

C

R_C3

T_C3

bym1

bym21

*yy

+

+

=

y entonces la profundidad crítica de un canal trapecial será,

+

+

=

by

m1

by

m21*yy

T_C

3/1T_C

R_CT_C ------------------------------- 2.70

El investigador ruso I. Agroskin (1972) y el cubano Velazco Davis (1994) hacen la siguiente sustitución,

R_C

T_C

yy

K = ------------------------------------------------------------ 2.71

y

bmy

a R_C= --------------------------------------------------------- 2.72

entonces la expresión 2.70 queda de la forma siguiente,

aK1aK21K

3

++

= ------------------------------------------------------ 2.73

donde K es función solo de a. Por tanto, dando valores a la variable a, se pueda obtener una serie de datos de a vs K, los cuales al someterse a un proceso de ajuste matemático se obtiene una relación funcional práctica de trabajo. En el caso de Agroskin la función de relación entre K y a es,

según Agroskin: 2a*105,03a1K +−= -------------------- 2.74

El Dr. Velazco Davis (1994), del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos, de Cuba, mejora las soluciones brindada por Kostin e


I. Agroskin presentando una nueva relación entre K y a. La relación propuesta es,

según Velazco: 3724,0

a11K

+= --------------------------- 2.75

La fórmula práctica es:

372,0rrectangula_c

rrectangula_ctrapecial_c

by*m

1

yy

+

= ------------------------- 2.76

donde la yC_rectangular se calcula por la fórmula 32

c )gb

Q(y =

Por su parte y haciendo una sustitución similar a la anterior, el mejicano Martínez Martínez resume los trabajos realizados por él, Swamee, P.K. y Straub proponiendo las siguientes relaciones,

para Straub:

−=

301a*y*81,0*

a1K 7975,0

R_C0125,0 --- 2.77

para Swamee: 476,042,02

2a1

1K

+

= ---------------------- 2.78

para Martínez Martínez: a4.111

2K++

= ------------------ 2.79

La gráfica con los errores de las mejores soluciones, aparece en la figura 2.15. En la misma se evidencia la gran precisión de la formula propuesta por Velazco. Un análisis exhaustivo de la base de datos y las formas de correlacionar K vs a o K vs (1/(1+a)), arroja ecuaciones más complejas que la expuesta por Velazco sin que la ganancia en


exactitud sea apreciable ya que la referida tiene un alto acercamiento con el valor real. Sin pretender agotar el tema del uso de la computación en el cálculo numérico en ingeniería, se presenta una tabla realizada con el EXCEL v7.0 utilizando la herramienta SOLVER.

FIGURA 2.15 COMPARACIÓN ENTRE FORMULAS

S O L V E R CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA PARA SECCIONES TRAPECIALES b (m) m Q (m3/s) Area

(m2) D (m) A√gD yc(m)

4 1 5 2.3415 0.4649 5.0005 0.518234 4 1 10 3.8516 0.6873 10.001 0.802073 4 1 15 5.1803 0.8549 15.002 1.029897 4 1 20 6.4081 0.9932 20.002 1.226164

TABLA 2.2 EJEMPLO DE CALCULO REALIZADO EN EXCEL DEL MS OFICCE. Las tres primeras columnas se dedicaron a la información de dato, las dos siguientes a los cálculos necesarios para resolver la

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1/1+a

Erro

r %

MARTINEZ VELAZCO SWAMEE


ecuación básica, mientras que la sexta columna se dedica al resultado del cálculo del gasto (celda objetivo) y la séptima al valor de la yC calculada (celda cambiante). Las restricciones utilizadas para el cálculo fueron referidas a las columnas 3 y 6 con una diferencia de 0.001. La solución por esta vía de un valor de gasto que se obtiene a los dos segundos de ejecución, una vez preparada la información a procesar. Al igual que esta solución se han generado un gran número de soluciones desde el advenimiento de las computadoras. Más aún en estos últimos años, en que las facilidades que brindan las PC y los lenguajes como el Fortran, Basic, Pascal o C, en cualquiera de sus versiones, hacen de estos cálculos una simple rutina computacional. A esto debe sumársele las facilidades que han surgido en los años 90 con las calculadoras programables de bolsillo, con las que en nunca más de 50 pasos programados se obtiene la solución de estos algoritmos. 2.3.1 Caso especial de las secciones cerradas. En las secciones cerradas cuya parte superior se cierra con una curvatura dada, aparece un problema práctico de interés.

FIGURA 2.16 RELACION ENTRE Q Y LA PROFUNDIDAD CRITICA RELATIVA AL DIAMETRO PARA UNA SECCION DE 2 METROS DE DIAMETRO. Al entrar en el cálculo de la profundidad crítica la relación entre A y T, denominada D, al crecer la profundidad de circulación

0.50.60.70.80.9

1

0 100 200 300 400 500 600

Q (m3/s)

y/d


aumenta A pero disminuye T lo cual hace que D comience a crecer fuertemente y con él crece también el gasto: gDAQ = . Tómese como ejemplo una sección circular, en la figura 2.16 aparece graficado el gasto crítico versus la profundidad crítica con relación al diámetro. Nótese que a partir de profundidades mayores que 0.8d el gasto se incrementa de forma inusual. Esta particularidad repercute en los gráficos E-y para estas geometrías, ya que la característica del crecimiento de D, a partir de un cierto valor de y, hacen que la profundidad crítica siempre exista, aun para gastos extremadamente altos e ilógicos, desde el punto de vista práctico y exista siempre un tramo en la curva E-y en la rama subcrítica, figura 2.17.

FIGURA 2.17 CURVAS DE ENERGIA ESPECIFICA ISO-Q PARA UNA SECCIÓN CIRCULAR DE 1 METRO DE DIAMETRO. En esta figura puede notarse como al aumentar el gasto la curva de profundidades supercríticas prevalece dentro de la conducción escapándose la posibilidad de obtener el régimen subcrítico en ella para gastos altos. . .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0E (m)

y (m

)

4 m3/s 2 m3/s 1 m3/s


2.5. Régimen crítico en secciones compuestas. El caso de las secciones compuestas reviste un interés especial por la importancia práctica de estas secciones naturales o artificiales. Un canal de sección compuesta consiste en un cauce o canal principal (CP) con canales laterales o bermas o llanuras de inundación (LLI) más elevadas, que reciben agua al desbordarse el cauce principal, para así conducir el gasto de forma conjunta. Pueden ser canales naturales o artificiales los que tengan este tipo de sección, pero lo verdaderamente importante es que exista la diferencia en la geometría y dimensiones de la sección que permitan identificar el cauce de las llanuras, figura 2.18.

FIGURA 2.18 DOS SECCIONES COMPUESTAS: UNA ARTIFICIAL Y OTRA NATURAL.

El almacenamiento de las LLI y su interacción con el CP, complica la hidráulica de estas conducciones ya que en las zonas de frontera CP-LLI existe una transferencia de momentum importante (Myers, 1979; Rajaratnam, 1979....) que transforma los métodos de cálculo de estas secciones. Se ha establecido, por estudios recientes, que el gasto real que circula por esta sección es menor que el que se esperaría para el mismo nivel de agua, si los gastos de cada subcanal se calculan por separado. Adicional al problema anterior, está el generado por los cambios bruscos en el cálculo de A, P y T y los problemas referentes a las


diferencias sustanciales entre la rugosidad del lecho del cauce y la de las llanuras de inundación. Lo anterior hace que la predicción del gasto sea inexacta, así como el cálculo de los coeficientes α y β que cuantifican la no uniformidad de distribución de la velocidad en la sección. En el caso de la profundidad crítica estas secciones presentan múltiples soluciones en función del valor del gasto y de las características específicas de la geometría compuesta y sus dimensiones, figura 2.19a. S. Petryk y F. Grant (1975) abordan el problema del cálculo de la yc en ríos con llanuras de inundación. O. Shearman (1976), propone una ecuación para el cálculo del número de Froude para estas secciones. E. Blalock en su trabajo de maestría en 1980 aborda el tema por vez primera y posteriormente junto a W. Sturm (1981), empleando el principio de la energía y por su parte H. Chaudhry y M. Bhallamudy (1988), empleando el principio del momentum, llegan a resultados semejantes proponiendo nuevas formas de calcular las profundidades críticas múltiples y sus Números de Froude correspondientes. Por su parte N. Konemann (1982) realiza un planteamiento similar al de Blalock. D. Serpas y P. Amaral de Souza, en 1993, amplían el trabajo de Chaudhry a canales de sección no simétrica. Paralelo a esto el modelo computacional HEC-2 y posteriormente la versión sobre ambiente windows, el HEC-RAS a finales de los años 90, proponen dos algoritmos para identificar y calcular las profundidades críticas múltiples, mientras que en 1996, W. Sturm y Sadiq proponen un método para identificar el intervalo de gastos donde se producen las profundidades críticas múltiples. En 1998 G.Sotelo resume los trabajos de Blalock, Sturm y Chaudhry y presenta un algoritmo para el cálculo de la profundidad crítica en estos canales.


FIGURA 2.19a SECCION TRANSVERSAL DEL EJEMPLO DE BLALOCK.

FIGURA 2.19b CURVA DE ENERGIA ESPECIFICA DEL EJEMPLO.

0.50.75

11.251.5

1.752

2.252.5

2.753

2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00E

y 1.83

0.50.75

11.251.5

1.752

2.252.5

2.753

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00NF

y

1.83


FIGURA 2.19c RELACION DE NF-y DEL EJEMPLO Petryk y Grant (1975) y posteriormente Blalock (1980) utilizan para ejemplificar el problema la sección transversal que aparece en la figura 2.19a, acompañada de su curva E-y, figura 2.19b. En esta sección la primera inflexión define el punto de energía mínima del canal principal y la segunda define el mínimo para la sección compuesta, en este caso con un valor mayor que el anterior. Un análisis del comportamiento del NF en su forma convencional, lleva al resultado que aparece en la misma figura 2.19c, donde el valor de NF=1 se alcanza, como era de esperar, en la región de influencia del CP trabajando solo, pero no define el segundo mínimo que se presenta. 2.5.1 El algoritmo de Blalock y Sturm para el punto de E mínima. Si en la ecuación de energía se considera α = ƒ(y), entonces la obtención de la EMIN se realizará así,

2

22

gA2Qcosy

g2vcosyE α+θ=α+θ=

la derivada de E respecto a y será,

θ

α+

α−= cos

dyd

Ag2Q

AgTQ1

dydE

2'

2

3'

2

--------------------------- 2.80

donde θ= cosgg' . Si ahora la derivada se iguala a cero para obtener el mínimo se tendrá,

1dyd

Ag2Q

AgTQ

2'

2

3'

2

=

α−

α ---------------------------------------- 2.81

que es la condición de régimen crítico. De la ecuación anterior surge una nueva forma de calcular el número de Froude para estas secciones, quedando establecido que,


21

2'

2

3'

2

B dyd

Ag2Q

AgTQNF

α−

α= --------------------------------- 2.82

que presenta como mayor problema el cálculo del término dydα . Considerando que el cálculo de α se realiza mediante,

∑=

α=α

ns

1i2i

3ii

3

2

AK

KA ------------------------------------------------ 2.83

donde: ns es el número de subintervalos en que se divide la sección, que comúnmente responde a divisiones verticales creando subsecciones por la afinidad con el valor de la rugosidad. K es el denominado módulo de gasto para régimen uniforme que en el caso de la ecuación de Manning es igual a:

67.0AR)n1(K = (ver capítulo 5, ecuación 5.1). Si entonces se busca el valor de la derivada de α respecto a y se tendrá,

3ns

1ii

2ns

1i2i

3ii

ns

1i2i

3ii

3

2

K

Adyd

AK

AK

dyd

KA

dyd

α+

α=

α

∑∑∑

=

==

que se transforma en,

∑ ∑= =

α+

α−

α=

α ns

1i

ns

1i2i

3ii

i

3

i

ii

i

2

i

ii3

2

*AKT

AK2

dydK3*

AK

KA

dyd

− ∑

=

ns

1i

i4

2

3 dydK3*

KA

KAT2*

pero si Ki es una función de la profundidad (ecuación 5.1) y a partir de esa relación funcional es que los autores llegan a obtener la derivada de K respecto a y,


−−

=

dydn

nA

dydPR2T5*

AK

31

dydK i

i

ii

i

ii

siendo ni el valor que cuantifica la n de Manning de cada subsección. Como se eligen subsecciones de igual n, entonces el problema para la solución final será decidir si se considera este valor de ni constante e independiente de la profundidad, o si varía y entonces existe la derivada. De forma general se obtiene como ecuación final,

σ−σ+

σ=

α4

32

3231

2

KA

KAT2

KA

dyd ------------------------------- 2.84

donde,

∑=

−−

α=σ

ns

1i

i

i

iiii

3

i

ii1 dy

dnnA

dydPR2T3

AK

∑=

α=σ

ns

1i2i

3ii

2 AK

∑=

−−

=σ

ns

1i

i

i

iiii

i

i3 dy

dnnA

dydPR2T5*

AK

nótese que ahora 32

2 K/A σ=α . Sustituyendo se obtiene la ecuación de trabajo del NFB.

5.0

132

3'

2

B KKg2QNF

σ−

σσ= ----------------------------------- 2.85

Esta ecuación representa una nueva formulación para secciones compuestas. En 1983 los autores confirman que la formulación realizada a partir del principio de momentum llega al mismo resultado pero por un camino más complejo.


En las ecuaciones para el cálculo de σ1 y de σ3 queda como incógnita el término referente a la derivada de n respecto a y, dn/dy, en los casos en que se considere que n = ƒ(y). Esta función se hace más interesante el las LLI donde, por las características de la rugosidad y las bajas profundidades relativas, la afectación por el cambio de la rugosidad respecto a la profundidad puede ser considerable, figura 2.21. • La derivada dn/dy. Cuando las paredes se comportan como hidráulicamente rugosas (capitulo 4, sección 4.2.1), la ecuación de Nikuradze puede ser empleada para calcular f y emplearse la fórmula de Darcy-Weisbach en cada subsección,

i

iN

i kCRlogC

f1

= ----------------------------------------------------- 2.86

donde ki es la rugosidad equivalente de las paredes fi es el factor de fricción

C un coeficiente que depende de la geometría de cada subsección. CN coeficiente de Nikuradze que usualmente se toma igual a 2.

Calculando ni a partir de fi se tiene,

i

iN

61

ii

kCRlogC*g8

Rn = ------------------------------------------- 2.87

esta ecuación demuestra como aumenta el valor de la rugosidad al disminuir la profundidad. Derivando la ecuación 2.87 para obtener el valor necesario queda,


−=2

i

ii

i61

i

i

i65

i

i

N

i

)k

CR(log*R

)dydR(*elogR

kCRlogR6

dydR

C*g81

dydn

de donde se obtiene como resultado final,

−

−=

dydPRT*

R

n6947,71667,0dydn

nA i

ii6

1

i

ii

i

------------ 2.88

con esta ecuación se resuelve el término de las ecuaciones de σ1 y de σ3 que presentaba la incógnita de la derivada. 4.5.2 Las propuestas de Konemann y Shearmann para el punto de E mínima. Citado en el texto de French (1985), N. Konemann (1982) expone la siguiente ecuación para el cálculo de su NF,

5,0

4

2

K MMdBBdM3

g2QNF

−

= --------------------------------- 2.89

donde,

∑=

=

ns

1i

3

32

ii

i Rn1AB ; ∑

=

=

ns

1i

3

32

ii

i Rn1T3dB ;

∑=

=

ns

1i

32

ii

i Rn1AM ; ∑

=

=

ns

1i

32

ii

i Rn1T

35dM

Citado igualmente por el libro de French (1985), O. Shearmann (1976), propone su número de Froude modificado para secciones compuestas en el cual se asume que el gasto de cada subsección es proporcional al valor del módulo de gasto (Ki) de la subsección en cuestión.


=

M

MM

MS

TAg

QKAKNF -------------------------------------------- 2.90

donde el subíndice M se refiere a las variables que sus valores fueron calculados en la subsección de mayor módulo de gasto. 4.5.3 El punto de vista de Sturm y Sadiq (1996). Estos investigadores en 1996, reprodujeron una experiencia en un canal de sección compuesta doblemente rectangular empleando CN = 2, el valor de C = 12.64 y la ecuación 2.87 llegaron a las siguientes conclusiones: El valor de n se predice bien con la ecuación 2.87, mientras

la profundidad este por debajo del nivel de las LLI. Al penetrar el agua en las llanuras de inundación el valor de la n en el cauce principal fue 1.19 veces mayor que el calculado.

El valor de n en las LLI se ajusta bien al calculado con la ecuación 2.87.

El valor de 1.19 como coeficiente de corrección para el valor de n se atribuye a la interacción del flujo en las zonas de las fronteras CP-LLI. Los autores consideraron que con este factor la predicción exacta del gasto es posible, sin modificar el criterio de perímetro cero en las intercaras verticales (ficticias) de separación del flujo entre CP y LLI. En la figura 2.20 aparece reflejado el cambio de n en el cauce principal calculado a partir de la ecuación 2.87 y el criterio anteriormente vertido, para la sección compuesta de la figura 2.21.


El trabajo de estos investigadores se encaminó a determinar el cálculo del rango de gastos para el cual se producen las profundidades críticas. En una sección compuesta si el gasto es pequeño, puede existir una sola yC en el canal principal y para un gasto muy grande una sola yC ubicada en la zona de las LLI. Para gastos intermedios existirán profundidades críticas múltiples. Por tanto conocer cuantas yC producirá en una sección definida un gasto determinado es de interés práctico.

FIGURA 2.20 CAMBIO DEL VALOR DE n CON LA PROFUNDIDAD EN EL CP Y LLI PARA UN CASO PARTICULAR. Si se define,

21

3CP

CP2

CPhCP A'g

TQNF

α=− ------------------------------------------ 2.91

donde NFCP-h es el número de Froude del gasto Q cuando se calcula para el CP con una profundidad de circulación igual a la altura física máxima del cauce principal (y = h) y por tanto los valores del término de la derecha están referidos a esta situación específica.

0.1

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

2.5

2.9

0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04n

y (m

)


El número de Froude para igual Q, pero para profundidades superiores en los que el agua inunda los canales laterales, puede definirse en términos relativos a NFCP-h como,

5,0

132

3hCPhCP

5,1hCP

hCP

B

KK1

T2A

NFNF

σ−σσ

α=

−−

−

−

------------------ 2.92

relación que no depende de Q y solo es función de la geometría, dimensiones, de los valores de αi y ni y de la profundidad. Tómese como base la sección que aparece expuesta por Sotelo, 1998, para ejemplificar las alternativas que se pueden encontrar, figura 2.21a, Este ejemplo se calculará a partir de todas las consideraciones, formulaciones y argumentos expuestos por Blalock, en sus trabajos referidos anteriormente, hasta las investigaciones y aportes realizados por Sturm y Sadiq.

FIGURA 2.21 SECCION COMPUESTA DEL EJEMPLO DE SOTELO El análisis comenzará a partir de establecer como gasto de circulación el valor de 24.5 m3/s, que tiene como característica ser un gasto intermedio, o sea, que produce dos profundidades críticas en la sección analizada.


La curva (NFB/NFCP-h) – y, calculada para 24.5 m3/s, figura 2.22a, pasa por el valor de 1 cuando la profundidad es la máxima física del CP, ahí se produce un cambio brusco y avanza hasta alcanzar un valor máximo (NFB/NFCP-h)MAX. Al dejar establecido que NFB=1 representa la profundidad crítica de la sección, existe un intervalo de valores de 1/NFCP-h y por tanto un intervalo de gastos dentro del cual hay dos profundidades críticas, una en el CP (yc<h) y otra en la zona de las LLI (yc>h). El gasto límite superior QSUP del intervalo es el máximo para el cual ocurre NFCP-h = NFB = 1, o sea, NFB/NFCP-h = 1. Por tanto, si NFCP-h=1, entonces,

5,035,0

SUP TA'g

TA'g*Av*AQ

α

=

α== ---------------------- 2.93

El gasto límite inferior del intervalo será el menor para el cual ocurre la profundidad crítica en el CP, es decir NFCP-h < 1 y (NFB/NFCP-h)→max, entonces,

MAXhCP

B

SUPINF

NFNF

QQ

=

−

------------------------------------------- 2.94

De este modo el gasto que produce dos profundidades críticas, queda encerrado entre: SUPINF QQQ ≤≤ . Si el resultado expuesto en 2.22a se contrasta con la curva de energía para las mismas condiciones, figura 2.22b, se evidencian los dos puntos de mínima que corresponden a los valores críticos buscados.


FIGURA 2.22a GRAFICA DE NFB PARA UN GASTO DE 24.5 m3/s . 2.5.4 Una ampliación del análisis sobre la ocurrencia del régimen crítico. La ocurrencia de la profundidad crítica en secciones compuestas naturales o artificiales es de gran interés para la labor de operación de estas conducciones y de vital importancia para el diseño, en el caso de las secciones artificiales. La posibilidad de cambio de régimen esta sujeto, en conducciones de secciones compuestas a la posibilidad de la existencia de múltiples profundidades críticas y en el caso más problemático: la ocurrencia de un salto hidráulico; la determinación de la yc tiene un interés especial. Si se analiza la ecuación 2. 85, propuesta por Blalock, y se iguala a 1, condición de régimen crítico, puede obtenerse,

132

4

132

32CRITico K*

K'g2

K*

K'g2Qσ−σσ

=σ−

σσ= ------------------------- 2.95

1.51.551.6

1.651.7

1.751.8

1.851.9

1.952

0.9 1 1.1 1.2NFB

y (m

)


FIGURA 2.22b CURVA DE ENERGIA ESPECIFICA DEL EJEMPLO ANTERIOR. Esta ecuación puede evaluarse para una geometría y dimensiones definidas y queda como función única de la profundidad. Por tanto puede representarse gráficamente, figura 2.23. La representación gráfica deja esclarecido el intervalo de gastos en que se produce la doble ocurrencia del régimen crítico. Nótese que al llegar la profundidad al nivel máximo del CP (y=h), la curva llega a un máximo relativo y a partir de ahí retrocede hasta alcanzar un mínimo relativo, a partir del cual aumentará continuamente a medida que se incremente el valor de la profundidad. De esta forma queda establecido claramente: 1. QINF y las dos profundidades críticas que le corresponden. 2. QSUP y las dos profundidades críticas que le corresponden. 3. QINTER (QINF ≤ QINTER ≤ QSUP) y las tres profundidades críticas

que le pueden corresponder. De estas solo dos (las extremas) son soluciones reales que producen una energía mínima y por tanto se aceptan como las soluciones de la profundidad crítica.

4. Q > QSUP y la profundidad crítica que le corresponde. 5. Q < QINF y la profundidad crítica que le corresponde.

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.17 2.18 2.19 2.2 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25E (m)

y (m

)


FIGURA 2.23 GRAFICA DE LA ECUACIÓN 2.95 PARA LA SECCIÓN DE LA FIGURA 2.21. Un análisis de estos cinco casos para el ejemplo de la figura 2.21, a partir del comportamiento del NFB y de la energía específica, aparece a continuación. Los casos son: a) Q = QINF = 21,1422 m3/s

En este caso existen dos profundidades críticas, figura 2.24, con valores para yC de 1,4095 (yC<h) y 1,7828 (yC>h) respectivamente. Nótese en el gráfico que el valor NFB=1 establece una recta tangente con la curva, lo cual indica que para valores menores de gasto se puede esperar un distanciamiento y valores mayores la interceptarán en más de un punto.

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Qc (m3/s)

y (m

)


FIGURA 2.24a VARIACION DE NFB CON LA PROFUNDIDAD PARA EL QINF

La curva de energía marca muy bien los dos momentos en que se produce la profundidad crítica, uno por debajo del nivel máximo del CP y otra en la zona de las LLI.

FIGURA 2.24b VARIACION DE LA ENERGIA CON LA PROFUNDIDAD PARA EL QINF . . . . b) Q = QSUP = 26,6605 m /s

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0.7 0.8 0.9 1 1.1NFB

y (m

)

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 2.16 2.18 2.2E (m)

y (m

)


Este caso corresponde al otro extremo. Las dos profundidades críticas tienen valores de 1,7 (y =h) y 1,9508 (y >h). La curva que define el Froude esta desplazada hacia la izquierda con respecto a la anterior.

FIGURA 2.25a RELACION DE FROUDE Y LAS PROFUNDIDADES PARA QSUP

El gráfico de la energía presenta claramente su primer mínimo justo al nivel máximo del CP, mientras que el segundo está ubicado en las LLI.

FIGURA 2.25b RELACION ENTRE LA ENERGIA Y LA PROFUNDIDAD.

1.41.51.61.71.81.9

22.12.2

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4NFB

y (m

)

1.41.51.61.71.81.9

22.12.2

2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45E (m)

y (m

)


Si en el caso anterior el primer mínimo era el más pequeño de los dos aquí sucede al contrario, siendo el primer mínimo mayor que el ubicado en las llanuras. c) QINF ≤ 24.50 m3/s ≤ QSUP

Este caso que aparece reflejado en la figura 2.22 b y c. Ahora la línea de NFB=1 toca la curva NFB-y en tres puntos, los dos extremos pertenecen a mínimos relativos de la curva de energía específica, mientras que el intermedio no representa valor alguno de la profundidad crítica. Aquí el segundo mínimo es mayor que el primero. Es evidente que entre QINF y QSUP el movimiento de los mínimos se hace fuerte. Esto es, cuando estamos en presencia del QINF hay solo una pequeña zona el las LLI donde existe el régimen supercrítico (de 0,0828 metros en el caso que se ejemplifica) para profundidades ligeramente superiores a la profundidad máxima del CP. Al incrementarse el gasto entre QINF y QSUP esta zona de supercriticidad del flujo al entrar el las LLI va incrementándose, y se hace patente en la forma de la curva E-y, hasta llegar al gasto superior del intervalo donde la zona supercrítica en las LLI es mayor (0,2508 metros para el ejemplo planteado). Existe un gasto intermedio en que ambos mínimos tienen el mismo valor y a partir de ahí el superior decrece su E respecto al inferior.

d) Q =15 m3/s < QINF

En este caso el gasto que se mueve por el canal solo crea una profundidad crítica dentro del área del CP.

Las figuras 2.26 a y b dejan claro lo que sucede. En toda la LLI el régimen será subcrítico y solo podrá tener valores de


Froude mayores que 1, para profundidades pequeñas en el CP.

En la relación entre Froude y la profundidad se nota el cambio de la curva a partir de 1,7 metros (nivel máximo del CP), pero en la curva de energía este cambio es casi imperceptible.

FIGURA 2.26a RELACION ENTRE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA UN GASTO DE 15 m3/S.

FIGURA 2.26b RELACION ENTRE LA ENERGIA Y LA PROFUNDIDAD PARA UN GASTO DE 15 m3/s.

11.11.21.31.41.51.61.71.81.9

2

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2NFB

y (m

)

11.11.21.31.41.51.61.71.81.9

2

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5E (m)

y (m

)


e) Q = 35 m3/s > QSUP Los gastos mayores que el gasto superior del intervalo, provocan regímenes supercríticos para todas las profundidades del cauce principal y parte de las primeras profundidades de las llanuras. El régimen crítico se alcanza en las LLI y de ahí en adelante se establece el régimen subcrítico.

FIGURA 2.27a RELACION ENTRE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA 30 m3/s.

FIGURA 2.27b CURVA DE ENERGIA PARA EL GASTO DE 30 m3/s.

1.31.51.71.92.12.32.52.72.9

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8NFB

y (m

)

1.31.51.71.92.12.32.52.72.9

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1E (m)

y (m

)


En la figura 2.27 se denota claramente que el transito crítico-subcrítico al principio es rápido, bajando los valores de Froude en una proporción lineal, pero para altas profundidades el decremento de Froude causado por el incremento de la profundidad comienza a hacerse lento y hay tendencia a una asintoticidad. Un ejemplo de la influencia de la longitud de las llanuras de inundación se puede apreciar en la figura 2.28 donde aparece gráfica de la curva E-y, NFB-y y QCRIT-y para tres alternativas de ancho de las llanuras: 200, 50 y 20 metros, en una canal de sección compuesta con una sola llanura de inundación a la izquierda del cauce.

FIGURA 2.28 SECCION COMPUESTA DEL EJEMPLO DE ANCHO DE LLANURAS. Los anchos de la llanura se eligieron para poder contrastar los cambios de las curvas de energía, NF y gasto crítico dentro del ejemplo planteado. En el caso del cálculo de las curvas de energía y Froude se eligió un gasto de 24.5 m3/s, que como puede apreciarse en la figura 2.28c es un gasto intermedio para las tres situaciones ejemplificadas. Nótese en la gráfica de la figura 2.28b la variación de la zona supercrítica y subcrítica como resultado del cambio de dimensión de la llanura y el consiguiente cambio en el punto de mínima de la curva en la zona de la llanura.


Un análisis similar puede realizarse con las curvas de la figura 2.28c donde se muestran las variaciones del número de Froude de Blalock como consecuencia de las variaciones de la dimensión de la llanura de inundación. FIGURA 2.28b CURVAS DE ENERGIA PARA DIFERENTES ANCHOS DE LLANURAS.

FIGURA 2.28c VARIACION DEL NUMERO DE FROUDE CON EL ANCHO DE LAS LLANURAS.

1.41.51.61.71.81.9

22.12.22.3

1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4E (m)

y (m

)

1.4

1.51.6

1.7

1.81.9

2

2.12.2

2.3

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2NFB

y (m

)

50 20 200

20 50 200


Por último las curvas que aparecen en la figura 2.28d muestran como el gasto crítico se modifica al ampliarse las llanuras y como el límite inferior de ese valor que marca el intervalo donde hay dos profundidades críticas en la sección se amplio, al ampliarse la dimensión de las llanuras.

FIGURA 2.28d GASTO CRITICO CON RELACION AL ANCHO DE LAS LLANURAS. Si existieran nuevas LLI, en cotas más altas, se producirán nuevos cambios bruscos en la curva E-y y NFB—y que definirán nuevos valores para la profundidad crítica y por tanto nuevos intervalos de gastos. En la figura 2.29 se ejemplifica esto con una sección compuesta con dos llanuras de inundación a diferentes cotas. Nótese que se emplea en este ejemplo una sección rectangular solo con el objetivo de centrar la atención en el elemento interesante del ejemplo, que lo constituye el hecho de existir más de una llanura provocando así dos cambios bruscos de la geometría de la sección. Uno al pasar el flujo del cauce a la primera llanura y otro al pasar de la primera llanura a la segunda.

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

12 14 16 18 20 22 24 26 28

Qcrit (m3/s)

y (m

) 20 50 200


FIGURA 2.29 SECCION COMPUESTA CON DOS LLANURAS A DIFERENTES NIVELES

Es de destacar que la simplificación de un cauce real en subsecciones de geometría conocida, puede arrojar que la sección esté compuesta de más de una llanura de inundación ya que en la realidad la topografía es tal, que esta situación se convierte en cotidiana.

FIGURA 2.29b CURVA DEL CAMBIO DE ENERGÍA CON LAS PROFUNDIDADES La curva de energía, calculada en este caso para un valor de 22.5 m3/s, que coincide con un gasto intermedio de acción múltiple, ya que provoca tres profundidades críticas.

1.21.31.41.51.61.71.81.9

22.12.22.32.42.5

2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6E (m)

y (m

)


Debe destacarse, que tal como se verá en la figura 2.29d, un gasto intermedio podrá provocar dos profundidades críticas solamente, en este caso en el cauce y en la primera llanura o en la primera y segunda llanura o podrá provocar más de dos profundidades críticas: en este caso de dos llanuras, hasta tres. Por esta razón habrá un rango de gastos que provoque Números de Froude iguales a uno y energía específicas mínimas para el cauce principal y cada una de las llanuras, a ese intervalo de gasto se le denominó gastos intermedios de acción múltiple. Para este intervalo de gastos el flujo pasa sucesivamente de supercrítico a subcrítico varias veces con lo cual la ocurrencia de fenómenos locales puede ser muy intensa y la determinación del perfil del flujo en régimen No uniforme, se complica grandemente. Este cambio no implica que el flujo se acelere ya que al aumentar el área con el incremento de la profundidad, el decremento de la velocidad está garantizado de forma gradual.

FIGURA 2.29c NUMERO DE FROUDE COMO FUNCION DE LA PROFUNDIDAD

1.21.31.41.51.61.71.81.9

22.12.22.32.42.5

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2NFB

y (m

)


Al analizar el comportamiento del número de Froude y la ocurrencia del valor uno, que indica la posibilidad de régimen crítico puede notarse en la figura 2.29c que para este caso hay cinco posibilidades y por contraste con la curva de energía se toman en cuenta tres de ellas quedando dos intermedias fuera del análisis, que coinciden con aquellas que están muy cercanas al cambio de la sección. Por último debe notarse los intervalos de gasto que quedan definidos en la figura 2.29d, quedando explicitado lo planteado anteriormente respecto a la posibilidad de generarse profundidades críticas múltiples.

FIGURA 2.29d CAMBIO DEL GASTO CRITICO CON LA PROFUNDIDAD. Un algoritmo para calcular las profundidades críticas para un gasto dado y para el caso particular de dos LLI, una a cada lado del CP y al mismo nivel, será: Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos de la sección. 2. Con yC = h, calcular el valor de QSUP de acuerdo a la expresión

tradicional del número de Froude.

1.21.31.41.51.61.71.81.9

22.12.22.32.42.5

17.5 20 22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5 40Qcritico (m3/s)

y (m

)


3. Si Q > QSUP, solo habrá una yC con una cota de agua por encima de la cota de las LLI. Como la representación gráfica de este problema muestra una curva monótona creciente en el intervalo de la solución, una técnica de aproximaciones sucesivas, como la de bisección, empleando la ecuación 2.85, es aconsejable para este caso. Para esto, los límites iniciales a emplear serian: límite máximo igual a un valor suficientemente alto; límite mínimo igual a h.

4. Si Q = QSUP habrán dos profundidades críticas, una que coincide con el valor de h y otra ubicada en la zona de las LLI, que puede encontrarse igual que se explico para el punto 3.

5. Si Q < QSUP puede existir varias alternativas por lo cual hay que definir el QINF. Para este cálculo se tantea primero el valor máximo de NFB/NFCP-h con la ecuación 2.92, que corresponde al mínimo relativo de la ecuación de energía, entonces el cálculo del gasto será,

MAXh_CP

B

SUPINF

NFNF

QQ

= ------------------------------------- 2.96

Otra forma de calcular este valor es la de establecer un tanteo con la ecuación 2.95 hasta obtener el valor mínimo requerido, es de notar que los tanteos deben realizarse para valores de y mayores que a la altura de la primera berma (y>h), ya que en esa situación es que se presenta la solución para el mínimo buscado.

6. Si QINF < Q < QSUP entonces queda establecido la existencia de dos profundidades críticas, una se obtiene en el CP, tanteando de forma tradicional, la otra se encuentra en la LLI y su cálculo se hace semejante a lo orientado en el paso 3.

7. Si Q = QINF entonces existirán dos profundidades críticas. La correspondiente al CP y la que esta en las LLI que es el valor que ubica el mínimo relativo de la curva de energía y que puede hallarse de la misma forma ya explicada en el paso 3.


8. Si Q < QINF solo existe una profundidad crítica ubicada dentro del CP y que se obtiene por los métodos tradicionales.

2.5.5 La propuesta del River Analisis System del Hydrologic Engineering Center. Tanto en la versión antigua, el HEC-2, como en la más moderna. el HEC-RAS (1998), se propone calcular la profundidad crítica en secciones compuestas y en ríos con dos métodos: el parabólico y el de la secante. El método parabólico se plantea que converge rápidamente pero solo se permite calcular una yC por lo cual solo se recomienda para secciones con llanuras de inundación muy amplias y sensiblemente llanas. El algoritmo para este caso que se propone, con algunas precisiones adicionales, es, Algoritmo. 1. Recopilar la información necesaria de la sección y el gasto de

cálculo. 2. Suponer tres valores de yC separados por un mismo intervalo

(∆yC). 3. Calcular la E para esos valores. 4. Ajustar una parábola que pase por los tres puntos E-y y

calcular el valor de yC correspondiente al mínimo valor de la parábola.

5. Con el valor mínimo de yC repetir a partir del paso 2 incluyendo este valor como uno de los del trío. El proceso termina cuando el valor de yC hallado en una iteración anterior no difiera del de la iteración siguiente en un valor definido como permisible y que la diferencia de las energías obtenidas en ambas iteraciones también estén por debajo del error preestablecido.

El método de la secante tiene dos etapas. En la primera se localizan los intervalos en que hay mínimos relativos. Esto se


realiza subdividiendo la profundidad máxima a alcanzar en 30 intervalos y se calcula para cada uno la variable E. FIGURA 2.30 OPCIONES EN LA DEFINICIÓN DE LOS INTERVALOS.

Si la profundidad máxima definida para el agua, medida desde el fondo del cauce es menor que 1.5 veces la altura física máxima del cauce principal, figura 2.30, los intervalos son iguales. Si no se cumple lo anterior el CP se divide en 25 intervalos y las LLI en 5. La ubicación de mínimos locales en cada intervalo corresponderá a aquellos en que la E anterior y posterior sea mayor que la de ese punto. Una vez localizados los intervalos se aplica la segunda etapa para determinar el verdadero punto de mínima E. Se tomará la profundidad crítica como la profundidad de menor energía entre los mínimos hallados. 2.6 Exponente hidráulico para régimen crítico. En el desarrollo del cálculo del régimen crítico se propone y utiliza el parámetro: exponente hidráulico para régimen crítico. Este valor es de importancia en algunas aplicaciones, como puede ser el cálculo del régimen variado empleando la ecuación diferencial de la energía.


Si se denomina Z a,

DAg

QZ == ----------------------------------------------------- 2.97

y se asume que, M

C2 y*CZ = -------------------------------------------------------- 2.98

siendo C un coeficiente, entonces a M se le denomina exponente hidráulico para régimen crítico. Esta ecuación también puede plantearse como,

M1

2

C Cg

Qy

= ------------------------------------------------------- 2.99

La solución de la ecuación de cálculo de M se obtiene aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación 2.98.

Cyln*MClnZln*2 += derivando la ecuación anterior,

ylndyd

2M

2Cln

dydZln

dyd

+

=

de donde se obtiene,

y2M

dy)Z(lnd

= -------------------------------------------------------- 2.100

de otra parte se tiene que,

TAAZ =

aplicando logaritmos,

−=

−+=

T1ln

21Aln

23

T1ln

21Aln

21AlnZln

y derivando respecto a y queda,

−=

T1ln

dyd

21Aln

dyd

23Zln

dyd

y resolviendo se obtiene,


dydT

T21

A2T3

dydT*

T21

dydA*

A23Zln

dyd

−=−= ------------------ 2.101

entonces igualando 2.100 y 2.101 quedará,

dydT

T21

A2T3

y2M

−=

y despejando M se tiene al final la ecuación de trabajo de este exponente,

−=

dydT

TAT3

AyM ---------------------------------------------- 2.102

En la figura 2.31 aparecen graficadas las curvas de M – y/b para secciones trapeciales y rectangulares, así como la curva M – y/d0 para secciones circulares y la curva M – y/T para secciones para secciones parabólicas. 2.7 Análisis del perfil del flujo en régimen permanente: primera aproximación. En la hidráulica de las conducciones libres la invariante que rige la solución de los problemas es el perfil del flujo. A diferencia de las conducciones forzadas en que no existe tal situación, en estos casos el conocimiento del perfil, cualitativa y cuantitativamente, da solución a los problemas que se presentan en este tipo de conducción. En el caso del régimen uniforme, esto no reviste un gran problema, ya que la determinación mediante el uso de fórmulas empíricas y el principio de conservación de la masa resuelven el problema de la determinación del perfil.


FIGURA 2.31 CURVAS DE EXPONENTE HIDRAULICO PARA REGIMEN CRITICO La solución de este problema en condiciones de régimen permanente y variado se resuelve en dos etapas: una primera etapa cualitativa y al final una etapa de cálculo numérico y se emplea para ello la ecuación de energía, bien en su forma diferencial como en su forma elemental. En el régimen impermanente y variado la solución es más complicada e intervienen en la misma las ecuaciones de momentum y continuidad, incorporándose al problema la variable tiempo. Los conceptos de energía específica y régimen crítico, en el estudio de los casos que se presentan en régimen permanente, permiten discutir las reacciones del flujo ante cambios de forma de la sección del canal y las estructuras hidráulicas que influyen en el problema. La ecuación de energía para una sección puede escribirse de la siguiente forma,

g2vyzH

2

++= , considerando que α ≈ 1 y que cos θ ≈ 1.


El perfil del agua varía al variar el valor de la profundidad para distintas secciones transversales. Si se establece un eje de coordenadas x, a lo largo del canal, figura 2.32, entonces para estudiar como varía el perfil del flujo es necesario conocer el valor del diferencial dy/dx. El conocimiento de la función o el valor que define este diferencial posibilita saber el valor de la tangente de la curva que forma el perfil del agua denominada curva superficial.

FIGURA 2.32 PERFIL DE CANAL Y SENTIDO POSITIVO DE LOS EJES. Si en la ecuación de energía, se aplica el diferencial d/dx a ambos lados de la ecuación uno de los cuatro términos que queda es justamente el término buscado dy/dx y por tanto se podrá obtener la ecuación para su cálculo. Diferenciando,

++=

g2v

dxd

dxdy

dxdz

dxdH 2

donde: i el término dH/dx representa el cambio de la energía sección a

sección a lo largo del recorrido del agua, o sea la pendiente de la rasante de energía y si H decrece a medida que avanzamos a lo largo del eje x, entonces se puede escribir que,

ESdxdH

−= ------------------------------------------------------ 2.103

i el término dz/dx representa el cambio de la cota de fondo a lo largo del recorrido del agua y por tanto este valor puede ser positivo o negativo de acuerdo a que el fondo este inclinado en


contra de la dirección del flujo (pendiente adversa) o a favor, e incluso en el caso de realizar el análisis en una pendiente horizontal, este valor puede ser cero, por tanto, considerando el fondo inclinado a favor de la dirección del flujo queda,

0Sdxdz

−= ----------------------------------------------------- 2.104

i el término del diferencial respecto a x de la carga a velocidad no transmite, tal como aparece enunciado, ninguna conclusión previa, por tanto es necesario elaborarlo hasta llevarlo a una forma que permita trabajar con él en la práctica, así quedará,

=

2

22

gA2Q

dxd

g2v

dxd

si se multiplica el término de la derecha por 1, o lo que es igual por dy/dy, no debe alterarse en lo absoluto y quedará,

=

=

−− 22

222

Adyd

dxdy

g2QA

dxd

g2Q

dydy

g2v

dxd

y como A es una función de y para una geometría y dimensiones dadas, puede efectuarse la diferenciación y queda,

dxdy

g2v

AT

dxdy

gA2Q

dydAA2

dxdy

g2Q

g2v

dxd 2

2

23

22

−=−=

−=

−

y al final queda,

dxdyNF

g2v

dxd 2

2

−=

----------------------------------------- 2.105

Por tanto si se sustituye cada término en la ecuación de energía quedará,

dxdyNF

dxdySS 2

0E −+−=− y por tanto se podrá obtener la

ecuación que representa la pendiente del perfil de la curva superficial y es la primera forma de la ecuación diferencial.

2E0

NF1SS

dxdy

−−

= ----------------------------------------------------- 2.106


La ecuación 2.106 describe la variación del perfil del flujo como función de SE, S0 y NF2, y puede emplearse en el análisis cualitativo del perfil del flujo en algunos casos específicos. Caso de estudio I: canal de ancho constante. Sea un canal de ancho constante, de sección rectangular con un gasto constante. Si el fondo se ve alterado por un escalón, figura 2.33 y para el análisis se considera despreciable el término dH/dx entre secciones antes y después del escalón, el efecto del escalón en el perfil del flujo puede analizarse con la ecuación simplificada siguiente,

FIGURA 2.33 DOS PERFILES CON ESCALON PARA EL ANALISIS.

2NF1dxdz

dxdy

−

−= ----------------------------------------------------- 2.107

i Si dz/dx > 0 y NF < 1 entonces dy/dx = (-) y el perfil del flujo

decrecerá a medida que avance sobre el escalón, figura 2.34a. i Si dz/dx > 0 pero NF > 1 entonces dy/dx = (+) y el perfil del

flujo crece a medida que avance sobre el escalón, i figura 2.34b.

FIGURA 2.34 CASOS EN QUE dz/dx > 0


i Si dz/dx < 0 y NF < 1 entonces dy/dx = (+) y el perfil del flujo

crecerá a medida que avance sobre el escalón, figura 2.35a. i Si dz/dx < 0 pero NF > 1 entonces dy/dx = (-) y el perfil del

flujo decrece a medida que avance sobre el escalón, figura 2.35b.

FIGURA 2.35 CASOS EN QUE dz/dx < 0

Un ejemplo clásico de aplicación de la anteriormente expuesto es la determinación teórica de la ecuación de gasto de un umbral. Sea el umbral de la figura 2.36, sobreelevado del fondo del canal una distancia ∆z. Si el canal es rectangular de ancho b y la profundidad del flujo aguas arriba del umbral es h1 y se desprecian las pérdidas de energía y la carga a velocidad de aproximación.

FIGURA 2.36 PERFIL DEL UMBRAL DEL EJEMPLO.


Si ∆z es suficientemente alto para provocar que el decrecimiento del perfil del flujo pase por yC, puede plantearse,

C

2C

C

21

1 Eg2

vyg2

vh =+=+

ubicando el plano de referencia al nivel de cero vertimiento del umbral. Como se plantea despreciar la carga a velocidad en la sección 1, queda,

C1 Eh = y en una sección rectangular se demuestra que

CC

CC y23

g2gyyE =+=

entonces,

1C h32y = , o lo que es igual 3

1

33C h

32y

=

y como para el régimen crítico en un canal rectangular se cumple

que CgygDv == , entonces CC

gybyQ

= y puede plantearse

que CC gyyq = y elevando ambos términos al cuadrado se

obtiene que gqy

23C = y sustituyendo esta expresión en la ecuación

que relaciona yC y h1 queda,

31

32

h32

gq

= , que transformándose quedará,

5.11

23

1

23

bh*705.1h32gbQ =

= ----------------------------- 2.108


Si se compara este resultado por el aportado experimentalmente por King y Brater (1963), se confirma la validez de las suposiciones realizadas. Caso de estudio II: canal de ancho variable. Sea un canal de sección rectangular pero de ancho variable (en expansión o en contracción). Por el canal escurre un gasto constante y se consideraran despreciables las pérdidas de energía para facilitar los resultados. En este caso el gasto por unidad de ancho varía, entonces la ecuación diferencial en el caso de una sección rectangular puede plantearse así,

( )dxdH

gy2xq

dxd

dxdy

dxdz

2

2

=

++ , que desarrollando queda,

( ) ( ) ( )[ ] 0dx

xqdgy2

xq2dxdy

gy2xq2

dxdy

dxdz

23

2

=+−+ , ya que no se

consideran las pérdidas de energía. Esta ecuación después de simplificarla quedará,

( ) ( ) ( )[ ] 0dx

xqdgy

xqdxdy

gyxq

dxdy

dxdz

23

2

=+−+ ----------------------- 2.109

Ahora bien, como Q=qb es constante, entonces ( )qbdxd

dxdQ

= , y

como 0dxdQ

= , quedará la siguiente expresión

( ) ( ) 0dxdbxq

dxxdqb =+ , que da como resultado que

( ) ( )dxdbxq

dxxdqb −= , o sea que ( ) ( )

dxdbxq

b1

dxxdq

−= .


Sustituyendo este resultado en 2.109 y considerando fondo horizontal con el fin de facilitar aún más los resultados a este nivel, quedará,

( ) ( ) ( ) 0dxdbxq

b1

gyxq

dxdy

gyxq

dxdy

23

2

=

−+− , que desarrollando queda,

( ) ( ) 0dxdb

bgyxq

gyxq1

dxdy

2

2

3

2

=−

− , expresión que, afectada por y/y en

el segundo término, o sea 1, se presenta transformada así, ( ) ( ) ( ) ( ) 0

dxdb

gyxv

by

gyxv1

dxdy

dxdb

bgyxq

yy

gyxq1

dxdy 22

2

2

3

2

=−

−=−

−

que al final queda ,

( ) 0dxdbNF

byNF1

dxdy 22 =−− , de donde se obtiene la ecuación

diferencial del perfil del agua para este caso específico,

2

2

NF1dxdb

byNF

dxdy

−= -------------------------------------------------- 2.110

i Si db/dx > 0 (ensanchamiento) se presentan dos casos, figura

2.37. ––– Si NF < 1 entonces dy/dx > 0 y el perfil del agua crece ––– Si NF > 1 entonces dy/dx < 0 y el perfil del agua decrece


FIGURA 2.37 CASOS QUE SE PRESENTAN EN EL ENSANCHAMIENTO

i Si db/dx < 0 (estrechamiento) se presentan dos casos, figura 2.38. ––– Si NF < 1 entonces dy/dx < 0 y el perfil del agua decrece ––– Si NF > 1 entonces dy/dx > 0 y el perfil del agua crece

FIGURA 2.38 CASO QUE SE PRESENTAN EN UN ESTRECHAMIENTO . . . .


2.8 Accesibilidad y control. La discusión anterior ilustra la relación entre el gasto y la profundidad. Como definición un control es algún rasgo que determine una relación y-Q. Sección de control será aquella donde se produzca esta relación. Una sección donde se produce la yC es especialmente atractiva para este fin y en realidad muchas obras hidrométricas utilizan el régimen crítico para la medición del gasto. Una aplicación preliminar del concepto de energía específica es la predicción de los cambios de y como respuesta a un cambio del ancho de la sección o un cambio en el perfil del fondo. Un examen de este problema lleva a discutir la accesibilidad de los puntos de la curva E-y. Considérese un canal rectangular de ancho constante con una pendiente suave y una elevación del fondo, figura 2.39.

FIGURA 2.39 EL PROBLEMA DE ACCESIBILIDAD


La ubicación del punto aguas arriba en la curva E-y depende del NF. Si NF<1 el punto A será el que represente al flujo. El punto que representa al flujo aguas abajo se determina aplicando Bernoulli entre las secciones aguas arriba y aguas abajo, asumiendo que hf1-2 ≈ 0 se obtiene,

zg2

vyg2

vy22

2

21

1 ∆++=+ , o sea, zEE 12 ∆−= , por tanto puede

hallarse el valor de E2, ya que (E1-∆z) es dato.

La ecuación para hallar el valor de y2 será, g2

vyE22

22 += , que

tiene tres soluciones: una es negativa y las otras dos corresponde a los puntos B y B’. La selección del punto que físicamente es correcto es la esencia del problema de accesibilidad. Para el problema planteado como dz/dx > 0 y NF < 1 la profundidad decrece, pero en los casos de B y B’ la profundidad decrece y por tanto por ese camino no esta la respuesta. La curva E-y da la respuesta. Si Q es constante, el punto que representa al flujo (flow point) se mueve sobre la curva definida para Q. El punto no puede saltar en el espacio de un punto a otro, salvo que se este en presencia de un salto hidráulico. Así el punto debe recorrer la trayectoria A→B→C, si se quisiera mover hasta el punto B’. Pero este movimiento hasta C solo es posible si el ∆z se incrementa sobre el actual. Como el problema físico no es así se concluye que solo el punto B es accesible desde el punto A. La discusión anterior indica que si se incrementa ∆z la profundidad en 2 ira decreciendo hasta que ∆z alcance un valor tal (∆zC) que provoque que y2 = yC.


El incremento de ∆z (∆z>∆zC) provoca una no solución al problema. En realidad en este caso los valores q, E y ∆z no existen simultáneamente. La interpretación física del problema es que la obstrucción, provocada por el escalón tan alto, es tal que provoca que la y1 crezca cambiando la posición del punto A hasta una altura tal que satisfaga la ecuación de energía, produciéndose la yC en la sección aguas abajo. Caso de Estudio: Un ejemplo de estrechamiento. Datos de entrada: canal rectangular, 3,50 metros de ancho al

inicio y se estrecha a 2,50 metros. Circulan por el canal un gasto de 5,0 m3/s. Considérese S0 = 0 y hf = 0.

Problema: si la profundidad a la entrada del estrechamiento es de 1,30 metros, determinar la profundidad a la salida.

FIGURA 2.40 PLANTA Y SECCION DEL ESTRECHAMIENTO Cálculos preliminares.

b (m) yC (m) 3.5 0.592 3.0 0.657 2.5 0.742


Aplicando la ecuación de la energía específica para una sección cualquiera del estrechamiento, queda,

2222

2

yb274.1y

ygb2QyE +=+=

o lo que es igual, 0274.1yEbyb 2232 =+− , esta ecuación tiene tres soluciones. Por otra parte como las perdidas son despreciables EE = ES, con lo que se tiene que,

( ) ( ) 2

S2S2E y5,2

274,1y362.130,1*50,3

274,130,1E +==+=

las dos soluciones posibles de esta ecuación son: y2 = 1,226 metros ( régimen subcrítico) y2 = 0,481 metros (régimen supercrítico) Si se analiza en el gráfico E-y (curvas ISO b) la situación de este estrechamiento, la figura 2.41 será la herramienta para el análisis gráfico de la accesibilidad. En ella puede apreciarse que el tránsito entre la entrada y la salida ocurren sin que el punto flotante tenga que pasar por la profundidad crítica de ninguna de las secciones del estrechamiento, o lo que es lo mismo que no llegue a la condición de mínima energía en ninguna sección intermedia, ni siquiera en la sección final.


FIGURA 2.41 CURVAS ISO b DEL ESTRECHAMIENTO

FIGURA 2.41 b DETALLE DE LAS CURVAS ISO b EN LA ZONA DE TRANSITO. Un detalle de este gráfico, figura 2.41b, permite visualizar como transitará el nivel del agua entre la entrada y la salida. Para lograr la profundidad crítica en alguna sección intermedia del estrechamiento debe reducirse la sección para obligar al nivel del agua a transitar en ella por su estado de mínima energía.

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5E (m)

y (m

)

3.5 2.5

1.14

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4E (m)

y (m

)

3

2.5


El cálculo se realizaría así, 908,05.1Ey EC == , por ser la sección rectangular.

entonces la velocidad en la sección donde se producirá la mínima energía será,

984,2gyv CC == y el área mojada correspondiente valdrá,

675,1908,05

vQA

CC ===

de este valor se obtiene directamente el ancho que hará que el régimen llegue a ser crítico,

845,1y/Ab CCC == en este caso el nivel del agua variaría desde 1,30 hasta 0,908 en la sección donde se produce el régimen crítico. La curva E-y de este estrechamiento aparece en la figura 2.41c. Mientras que los perfiles del agua en ambos casos aparecen en la figura 2.42 a y b.

FIGURA 2.41 c GRAFICO E-y CON LA SECCION CRITICA INCORPORADA. Debe notarse que en el caso en que no se llega al estrechamiento crítico los niveles bajan suavemente de 1,300 a 1,228 metros. En el caso en que el estrechamiento es tan fuerte que provoca que el régimen sea crítico el cambio entre la profundidad de entrada, la sección crítica y la sección de salida original se realiza con pendientes más fuertes en la superficie del agua.

bc=1.845

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5E (m)

y (m

)


De estrecharse aún más la sección, el efecto del estrechamiento producirá un bloqueo tal, que el nivel aguas arriba tendrá que incrementarse para garantizar que pasen los cinco metros cúbicos por segundo.

FIGURA 2.42 a NIVELES DEL AGUA EN EL TRÁNSITO POR EL ESTRECHAMIENTO Es útil señalar a este nivel de análisis de este problema, que no se ha considerado en el mismo el efecto de los niveles aguas abajo sobre el estrechamiento. Estos niveles, provocados por una sección de control que se encuentre aguas debajo de la obra estudiada pueden cambiar el valor de las profundidades que se obtengan, pero no la forma cualitativa del perfil del flujo.


Un análisis similar podría haberse llevado a cabo con la curva Q-y partiendo del gasto que se tiene como dato.

FIGURA 2.42 b NIVELES DE AGUA POR UN ESTRECHAMIENTO QUE LLEGA AL

ANCHO CRÍTICO PARA EL GASTO QUE CIRCULA.

2.9 La ecuación de energía específica en forma adimensional. Es común emplear la ecuación de la energía específica en forma adimensional para facilitar los cálculos y hacer aún más evidente algunas conclusiones. La adimensionalidad de cada término se logra dividiéndolo entre la profundidad crítica correspondiente.


Caso de la sección rectangular. En esta sección la ecuación adimensional quedaría así,

C2

2

CC ygA2Q

yy

yE

+= --------------------------------------------- 2.111

( )

C

3CC

C

3C

2

T'Ty

TA

gQ

== -------------------------------------------- 2.112

donde, TC y AC son los parámetros para el régimen crítico. T’ es el ancho superficial equivalente de un canal rectangular que tenga la misma área y la misma profundidad. Para la sección rectangular estos parámetros valdrán:

CC y2bT +=

by

byTC

C'C ==

by

byT' ==

Si ahora se sustituye 2.112 en 2.111 quedará,

( )( )

+= 2

C

3'C

2

2C

CC 'TTT

yy

21

yy

yE ------------------------------------- 2.113

el término entre corchetes es llamado factor de forma, y por tanto,

2

2C

CC y2y

yy

yE

+= -------------------------------------------------- 2.114

La expresión gráfica de la ecuación anterior aparece en la figura 2.43 junto a los de las secciones trapeciales. Caso de la sección trapecial. Para la sección trapecial estos parámetros valdrán:


CC my2bT +=

CC

2CC'

C myby

mybyT +=+

=

mybymybyT

2' +=

+=

Si ahora se sustituye 2.112 en 2.111 quedará,

( )( )

+= 2

C

3'C

2

2C

CC 'TTT

yy

21

yy

yE ------------------------------------- 2.115

y el factor de forma quedará expresado así, ( )

( )( )

( )( )2C

3C

2C

3'C

mybmy2bmyb

'TTTFf

+++

== ------------------------ 2.116

La expresión gráfica de la ecuación 2.115 para tres diferentes taludes aparece en la figura 2.43, junto al de la sección rectangular. Caso de la sección triangular. Esta sección responde a las siguientes ecuaciones: para el área, A = my2 y para el ancho superficial, T = 2my. Sustituyendo para calcular el factor de forma,

( )( )

( )( )( ) 2

2C

2C

3C

2C

3'C

y2my

mymy2my

'TTTFf ===

y la ecuación adimensional quedará,

4

4C

C2

2C

2

2C

CC y2y

yy

y2y

yy

21

yy

yE

+=+= ---------------------------- 2.117

y su representación gráfica aparece en la figura 2.44 junto al de la sección rectangular y parabólica.. Caso de la sección parabólica.


Esta sección esta caracterizada por la ecuación y = k x2 y entonces la ecuación del ancho superficial será,

yyk

2ky2x2T ω==

==

FIGURA 2.43 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA UN CANAL RECTANGULAR Y VARIOS TRAPECIALES DE DIFERENTES TALUDES. y la ecuación del área es entonces: Ty)3/2(A = . El parámetro T’, para emplearlo en el factor de forma, será,

T)3/2(T' = , y el factor de forma se computará según,

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

E/yc

y/yc

RECTANGULAR

TRAPECIAL m=1 m=3 m=6


( )( ) y

y32

T94T

T278

'TTT

Ff C

2C

3C

2C

3'C =

==

FIGURA 2.44 GRAFICO ADIMENSIONAL DE SECCIONES PARABOLICAS, TRIANGULARES Y RECTANGULARES. Y la ecuación de trabajo quedará

3

3C

CC y3y

yy

yE

+= ------------------------------------ 2.118

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

E/yc

y/yc

_______________________________________________ 146 Hidráulica de las Conducciones Libres

3 EL PRINCIPIO DE MOMENTUM

Uno de los principios de la física clásica más empleado en la hidráulica es el de conservación del momentum. Su empleo en conducciones libres es muy útil en aquellos casos donde con otros principios no se encuentran vías de solución. Este capítulo se dedica al estudio de este principio y su aplicación a uno de los fenómenos locales de más trascendencia en el estudio de estas conducciones: el salto hidráulico. 3.1 Energía y momentum. Hay problemas en la hidráulica de canales que pueden resolverse en la ecuación de energía. Estos problemas se caracterizan bien porque: Se conocen las pérdidas entre dos secciones y toda la

información de una de las secciones. La única incógnita son las pérdidas.

En todos los casos una sola ecuación, la de energía, implica tener una sola incógnita. Pero hay otros problemas, que por su naturaleza la pérdida es una incógnita que no puede resolverse todavía por métodos empíricos paralelos, además existe otra incógnita adicional, normalmente una profundidad y esto hace que la ecuación no pueda emplearse. En estos casos, antes de aplicar la ecuación de energía, se debe aplicar otro de los principios de la física clásica, que en el caso de

_______________________________________________ El principio de momentum 147

las conducciones libres es la ecuación de momentum. Ejemplo de esto es el análisis del salto hidráulico. 3.2. Ecuación general del momentum. Si se le aplica la segunda ley del movimiento de Newton en forma unidimensional, a un volumen de control, donde las pérdidas de energías y las fuerzas que actúan en las secciones 1 y 2 son desconocidas como resultados del cambio de momentum en el flujo, figura 3.1, se obtiene una ecuación de relación entre los parámetros hidráulicos y geométricos de ambas secciones en la cual las pérdidas de energía interna del fluido no aparecen.

FIGURA 3.1 ESQUEMA EN PERFIL DEL VOLUMEN DE CONTROL La ecuación general de momentum, 1.37, es,

MomentumFEXTERNAS ∆=∑ que aplicada al volumen de control de la figura 3.1 se trasforma en: F1 – F2 + Wsenϕ - ∑ dF - ∑ fF = ρ Q (β2v2 - β1v1) ------------- 3.1 En la ecuación 3.1, F1 y F2 representan la resultante de las fuerzas, producto de la presión, que se ejerce sobre el área mojada de la sección 1 y 2 respectivamente. En casos de flujos paralelos o régimen gradualmente variados los valores de F1 y F2 pueden calcularse asumiendo una distribución hidrostática de presiones,


pero en régimen rápidamente variado la curvatura de las líneas de corriente hacen que la presión no sea hidrostática. Chow (1959), plantea en casos en que F1 y F2 deban calcularse para un régimen rápidamente variado remplazarlas por β’1F1 y β’2F2 donde β’1 y β’2 son coeficientes de corrección de la distribución de presión (coeficientes de fuerza) y pueden calcularse según:

β’= zA

1∫A

0hdA -------------------------------------------------- 3.2

donde, A es el área mojada, z es la distancia del centroide del área a la superficie libre y h es la carga a presión del diferencial dA. Debe señalarse que si el ángulo del fondo del canal respecto a la horizontal es grande el cálculo de F1 y F2 debe realizarse según:

Fi= 21

γ di2 cosϕ ------------------------------------------------ 3.3

Regresando a la ecuación 3.1, Wsenϕ es la componente del peso, ∑Pd es la suma de las fuerzas desconocidas que actúan sobre el volumen de control y ∑Fƒ es la sumatoria de las fuerzas de fricción que actúan sobre el perímetro del área mojada a lo largo de la longitud L. En el lado derecho de la ecuación aparece el coeficiente β afectando a la velocidad. Este coeficiente, al igual que α en la ecuación de energía, corrige la suposición de que v representa la distribución real de velocidades de la sección. El coeficiente β se obtiene de relacionar la transferencia real de momentum a través de una sección con la transferencia promedio espacial, o sea: ∫∫ ρA v 2

X dA ≠ ρ Q xv


al ser desiguales ambos términos en área donde la velocidad en la vertical o en una dirección transversal varía significativamente, entonces surge:

β= Av

dAV..A2x

2x

ρρ∫∫ ------------------------------------------------ 3.4

ecuación que tratada en incrementos juntos se transforma en:

β= Av

Av2

2∑ ∆ --------------------------------------------------- 3.5

Chow (1959) recomienda como ecuación de trabajo a falta de mediciones puntuales de v, la siguiente: β=1 + ε2 -------------------------------------------------------- 3.6

donde 1v

vmax −=ε

3.3 Algunas aplicaciones del principio de conservación del momentum. Régimen gradualmente variado. En el caso del régimen gradualmente variado puede considerarse β’=1 y si además se asume que ϕ es pequeño, entonces, aplicando la ecuación a un canal de sección rectangular de ancho b, donde ∑Pd =0, se obtiene:

F1 = 21

γ b y 21 y F2 =

21

γ b y 22 , y para la fricción,

∑ γ= ybhF 'ff

donde h’f , es la carga por fricción y y es la profundidad media entre y1 y y2. El gasto en el tramo puede calcularse según: Q = 0.5(v1 + v2 ) b y y el peso del volumen de agua encerrado entre 1 y 2 es, W = γ b y L, por tanto sustituyendo en 3.2, queda:


21 γ by 2

1 -21 γ by 2

2 +γb y Lsenϕ-γh’fb y =g2γ (V1+V2)b y (β2V2 - β1V1)

y si senϕ = z1-z2 / L, entonces, simplificando se obtiene:

z1+ y1+β1 g2v2

1 = z2 + y2+ β2 g2v2

2 + hf’ --------------------------- 3.7

Esta ecuación es semejante a la energía pero conceptualmente diferente. Pasando por alto las diferencias cuantitativas entre α y β, mientras que en la energía el término hf representa las pérdidas de energía interna del fluido, en esta ecuación hf’ representa las pérdidas por fricción a lo largo del perímetro mojado, que es una fuerza externa. Con este resultado se puede concluir que en el régimen gradualmente variado las pérdidas de energía son iguales, a la pérdida por fricción de la masa líquida. Obtención de la ecuación de gasto de una obra. Dentro de las muchas aplicaciones del principio de momentum en canales está la asociada en la obtención de la ecuación de gastos de una obra. En el caso del umbral de sección rectangular, con entrada a escuadra, esta aplicación da resultados teóricos muy cercanos a los reales. Sea, figura 3.2 el perfil de un umbral rectangular y considérese las siguientes suposiciones: • Umbral de ancho unitario. • Ff1 y Ff2 despreciables. • ϕ = 0, por tanto cosϕ = 1 • ∑ dP =0 • β1 = β2 = 1


• La profundidad y2 es la mínima que se produce en el umbral.

FIGURA 3.2 PERFIL DEL UMBRAL La fuerza sobre la cara aguas arriba del umbral es:

Fd = 2p

(γ y1 + γ(y1 – p)) = 2γ

h(y1 + (y1-p)) = 2γ

p(2y1 – p)

mientras que,

F1 = 21

γ y 21 y F2 =

21

γ y 22

Haciendo q = Q por ser el ancho unitario (q=Q/b) y tomando la aproximación citada por Chow (1959) que proponen Doeringsfeld y Baker (1941) en la cual: y1 – p= 2y2, entonces aplicando la ecuación 3.1 se obtiene,

−=−−−

121

22

21 y

qyq

gq2)py2(pyy

y sacando factor común Ven te Chow propone como ecuación para el gasto,

5.15.0

1

1 hpy

yg2433.0q

+

= --------------------------------------- 3.8

ecuación que se acerca mucho a las aplicaciones que de forma empírica se han obtenido para el gasto de estas obras, figura 3.3.


FIGURA 3.3 ECUACION TEORICA Y SOLUCIONES EMPIRICAS PARA UN UMBRAL 3.4 Ecuaciones de trabajo. Las fuerzas F1 y F2 que aparecen en la ecuación de momentum, debidas a las presiones hidrostática sobre las áreas 1 y 2, pueden también calcularse según: Fi=γ iz Ai ------------------------------------------------------ 3.9 donde iz es la distancia del centroide del área mojada a la superficie libre. Entonces la expresión del momentum que aparece en 3.1 puede escribirse así:

Wsenϕ+γ 1z A1-γ 2z A2- ∑Fd - ∑ fF =gγ Q(β2v2-β1v1) ------------- 3.10

La ecuación 3.10 es la forma general de la ecuación de momentum y puede aplicarse a cualquier problema, en cualquier tipo de sección transversal y con cualquier inclinación del fondo respecto a la horizontal. Para problemas específicos esta ecuación se simplifica y por tanto se restringe su campo de aplicación.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4q (m2/s)

h (m

)

King 3.8 Boss ISO 3846


Si, ∑ fF =0, simplificación válida en problemas donde L es muy corta, la ecuación queda:

Wsenϕ + γ 1z A1 - γ 2z A2 - ∑ dF = gγ Q( 2v - 1v )

sea, Wsenϕ + γ[( 1z A1 + 1

2

gAQ ) – ( 2z A2 +

2

2

gAQ )] = ∑ dF

y si se denomina momentum especifico a:

Mi = iz Ai + i

2

gAQ ------------------------------------------ 3.11

entonces la ecuación queda: Wsenϕ+ γ( M1- M2) = ∑ dF ------------------------------ 3.12 que tiene como restricción : ∑ fF =0 Si, ϕ ≈ 0 entonces senϕ = 0 y queda:

γ

∑ dF =M1–M2 --------------------------------------------- 3.13

que tiene como restricciones: ∑ fF = 0, ϕ ≈ 0. Si ∑ Fd= 0, simplificación válida en los casos de que las

fuerzas que actúan sobre el volumen de control son conocidas, entonces: M1=M2 ----------------------------------------------------- 3.14 que tienen como restricciones: ∑ fF = 0, ϕ ≈ 0 y ∑ dF = 0

3.5 El momentum específico. La ecuación 3.14 representa el principio de conservación del momentum específico. Si se plotea un gráfico de M-y queda una curva con dos ramas, la inferior asintótica al eje x y la superior se extiende indefinidamente a la derecha, figura 3.4. En analogía por concepto de energía específica esta ecuación tiene dos soluciones positivas, a partir de una MMIN llamadas profundidades conjugadas.


FIGURA 3.4 CURVA M-y PARA UNA SECCION RECTANGULAR b = 1 m ; Q = 0.5 m3/s El valor mínimo de la curva M-y, resulta de derivar e igualar a cero, la ecuación de momentum:

dydM = - 2

2

gAQ

dydA

+ ( )dy

Azd

de acuerdo al concepto de derivada: d( z A) = ( z A)incrementado - ( z A) Considerando una sección rectangular o una sección muy ancha, simplificando queda:

d( z A) = (2dyy + )[(y + dy)T] -

2y (yT), que se transforma en:

d( z A) =Tydy + ( )2)dy(T 2 y despreciando el diferencial (dy)2, se obtiene: d( z A) = Ady, y entonces,

( )dy

Azd = A, quedando la ecuación convertida a:

dydM = - 2

2

gAQ T + A , que igualada a cero para ubicar el punto de

mínimo se obtiene que:

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2M (m3)

y (m

)


gv2

T = A , despejado y sacado raíz a ambos términos se obtiene,

v = gD , que es la condición del régimen crítico. Por lo que queda demostrado que el punto de MMIN coincide con yC. De esta forma el análisis de las dos ramas es idéntico al del gráfico de E – y. La rama superior será representativa del régimen subcrítico, mientras que la inferior lo será del régimen supercrítico. Los gráficos M - y y E –y, como representantes de los principios de conservación del momentum y la energía, posibilitan la solución del cálculo de las perdidas de energía, en problemas en el que el principio de energía es inaplicable. En estos casos aplicando momentum y después energía se logra la solución.

FIGURA 3.5 GRAFICAS M-y ISO Q PARA 0,5; 1,0; 2,0 Y 3,0 m3/s. En igual análisis del gráfico de E - y, este gráfico se comporta según se muestra en la figura 3.5, para incrementos de Q.

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2M (m3)

y (m

)

0.5 1 2 3


La relación MMIN–yC puede obtenerse para algunas geometrías de la sección transversal. a. Sección rectangular

Mmin = z Ac + c

2

gAQ

sustituyendo cada término por sus expresiones, queda:

Mmin = 2yc b yc +

c

2

gbyQ =

2by2

c + gQ v

de donde:

Mmin = 2

by2c +

gQ gy =

2by2

c + g

Qcy

Sustituyendo g

Q por Ac cD lo cual es válido para yc queda

Mmin= 2by2

c +byc cy cy = 2c

2c by

2by

+ --------------------- 3.15

b. Sección triangular

Mmin = 31 ycmy 2

c + 2c

2

gmyQ

Mmin = 31 m y 3

c + gQ gD =

31 m y 3

c +A D D

Mmin = 31 m y 3

c + AD = 31 m y 3

c + my 2c

2y

Mmin = 31 m y 3

c + 21 m y 3

c

Mmin= 65 m y 3

c ---------------------------------------------- 3.16

Si en la figura 3.5 se traza una recta paralela al eje y por un valor de M cualquiera, nota que la intersección de esta recta en las curvas ISO Q describe un proceso de interés. Para pequeños valores de profundidad y a medida que esta se incrementa, el valor


del gasto que representa la curva interceptada crece, llega a un máximo y de ahí decrece, figura 3.6. Un efecto similar se produce al generarse los gráficos ISO E. La ecuación que sigue el proceso se deriva de la ecuación 3.10, despejado el gasto de ella se obtiene:

M= z A +gAQ2

Q = gA AzM − ------------------------------------------- 3.17

FIGURA 3.6 CURVAS ISO M PARA LA SECCION RECTANGULAR DE LA FIGURA 3.5 Si se plotea esta función en un plano Q – y queda un gráfico ISO M, como el de la figura 3.6, muy semejante a las curvas ISO E y que, igual que aquel, tiene un punto de máximo, que puede determinarse con el empleo del cálculo diferencial y arroja como resultado que QMAX se obtiene para yC. . . . .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2Q (m3/s)

y (m

)

0,25 0,50 0,75


3.6 La ecuación de momentum en secciones no prismáticas. La ecuación de momentum especifico puede utilizarse en tramos de canal no prismáticos siempre que se cumplan las restricciones impuestas en su formulación. Si esto no se cumple, la aplicación del principio de momentum se hace con la forma de la ecuación que cumpla con los requisitos establecidos para la misma, pudiendo cambiar de un tramo a otro de la misma conducción. En caso de una restricción de la sección transversal en un fondo inclinado respecto a la horizontal pueden producirse un diagrama que contengan todas las curvas M–y para las distintas secciones y ahí estudiar el problema específico que se presente. La figura 3.7 representa las curvas de una transición de una sección rectangular como ejemplo de lo antes mencionado.

FIGURA 3.7 CURVAS ISO b PARA UNA SECCION RECTANGULAR CON Q=0,5 m3/s.

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6M (m3)

y (m

)

0.5 0.75 1.0 1.25


3.7. El salto hidráulico. Un fenómeno típico de la hidráulica de canales, en que el principio de momentum es de vital importancia para la solución es el fenómeno local denominado: salto hidráulico. El salto hidráulico es la solución del conflicto que surge en un tramo de canal cuando el flujo aguas arriba es supercrítico y aguas abajo es subcrítico. El conflicto solo se soluciona si en alguna parte del canal el flujo pasa de un régimen a otro.

FIGURA 3.8a FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=1.25. Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966). Experimentalmente se ha demostrado que este paso es un salto abrupto, con una considerable pérdida de energía, al transitarse bruscamente del régimen supercrítico al subcrítico. El salto hidráulico esta caracterizado además por su sonido, el intenso mezclado de la masa de agua, acompañado de una intensa no uniformidad de la distribución de la velocidad, las fluctuaciones de la presión y por la gran cantidad de aire que se incorpora a la masa de agua.

FIGURA 3.8b FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=2.4 Tomada del Open Channel Flow de Herderson (1966)


El salto hidráulico puede ocurrir: • En la superficie libre de un flujo homogéneo. • en la interfase de un flujo estratificado. En ambos casos es acompañado de: • Turbulencias significativas. • Pérdida de energía de gran magnitud • Sonido característico

FIGURA 3.8c FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=3.4 Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966).

FIGURA 3.8d FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=5.5 Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966).


Sus aplicaciones más relevantes son: • Como disipador de energía en estructuras hidráulicas. • Para elevar el nivel de agua en tramos de canales con régimen

supercrítico, que así lo requieran para su operación. • Para incrementar el gasto por debajo de una compuerta

mediante el barrido hacia aguas a bajo del nivel de agua en la compuerta. (barrer el salto ahogado).

• Como mezclador de productos en el agua. • Como aereador de una corriente. • Para remover bolsas de aires en canales cerrados. • Para identificar la presencia del régimen supercrítico. Las velocidades y su distribución espacial y temporal dependen del tipo de salto que se produzca, a continuación varios interesantes ejemplos, obtenidos de un trabajo de Qingchao y Drewes (1994), que indican claramente la dirección de la velocidad y su valor relativo a lo largo de diferentes perfiles desde el comienzo hasta el final del salto.


FIGURA 3.9a EVOLUCION DEL VECTOR VELOCIDAD, SEGÚN EXPERIENCIAS DE QUINGCHAO Y DREWES EN LA UNIVERSIDAD TECNICA DE BRAUNSCHWEIG, PARA UN SALTO HIDRAULICO CON NF=4.4. NOTESE LA PROPAGACION DE LA ONDA SUPERFICIAL DURANTE EL INTERVALO DE TIEMPO ESTUDIADO Y LA RECUPERACION ESPACIAL DEL VECTOR VELOCIDAD PARA CADA MOMENTO ESTUDIADO.


FIGURA 3.b EVOLUCION DEL VECTOR VELOCIDAD, SEGÚN EXPERIENCIAS DE QUINGCHAO Y DREWES EN LA UNIVERSIDAD TECNICA DE BRAUNSCHWEIG, PARA UN SALTO HIDRAULICO CON NF=7.6. NOTESE LA PROPAGACION DE LA ONDA SUPERFICIAL DURANTE EL INTERVALO DE TIEMPO ESTUDIADO Y LA RECUPERACION ESPACIAL DEL VECTOR VELOCIDAD PARA CADA MOMENTO ESTUDIADO.


Al igual que la velocidad, la presión dentro de la masa líquida fluctúa, haciendo de este fenómeno hidráulico un evento de considerable importancia en los análisis estructurales del tramo de canal que lo contiene. Fiorotto y Rinaldo (1992) aportan importantes elementos a este tema indicando los problemas que surgen en algunas obras hidráulicas cuando se considera como criterio de diseño un valor permanente de la presión y no una fluctuación impermanente de la misma como resultado del proceso de la disipación de energía en el salto.

FIGURA 3.10 FLUCTUACION DE LA PRESION PARA UN SALTO DE NF=8. Los principales parámetros que definen un salto hidráulico y que por tanto los objetivos en su cálculo, son: 1. Clasificación del salto. 2. Profundidades y comienzo y final del salto. 3. La longitud del salto. 4. La ubicación planimétrica del salto en el canal.


5. La altura del salto. 6. Las pérdidas de energía que se producen. 3.7.1. Clasificación del salto hidráulico. La clasificación del salto establece de acuerdo al Número de Froude en la sección de comienzo del salto (NF1). Según su valor el salto se clasifica según lo que aparece reflejado en la tabla 3.1.

NF1 Clase Característica

Entre 1 y 1.7 Ondular La superficie del agua se ondula levemente. La diferencia entre las cotas del agua entre el comienzo y final del salto es poca.

Entre1.7– 2.5 Débil Se produce el remolino característico y se nota el cambio brusco de régimen. La profundidad inicial y final del salto comienzan a diferenciarse claramente.

Entre2.5– 4.5 Oscilante El remolino está formado con chorros intermitentes de fondo El salto se traslada a lo largo de un tramo de canal de forma continua lo cual hace de este salto, un fenómeno indeseable por su constante variación espacial.

Entre 4.5 – 9 Estable Salto bien formado, estable espacialmente, con fuerte turbulencia y grandes pérdidas de energía.

Mayor que 9 Fuerte Igual al anterior pero con muy fuerte turbulencia y muy altas pérdidas. Las diferencia entre las profundidades al inicio y final del salto es muy marcada.

TABLA 3.1 CLASIFICACION DEL SALTO HIDRAULICO En la figura 3.8 aparecen fotos retocadas de algunos saltos, donde puede apreciarse la diferencia en la formación del salto, las ondulaciones de la superficie del agua y la longitud afectada por el salto.


3.7.2. Las profundidades al comienzo y al final: conjugadas De especial interés para el cálculo y ubicación del salto es la determinación de las profundidades al comienzo y al final del salto. En la figura 3.11 aparece esquematizado el perfil de un salto hidráulico, destacándose en la misma las profundidades antes (y1) y después (y2) del salto. Para definir la profundidad final del salto hay que llegar a tener un criterio único de cuando termina el salto hidráulico. Este criterio también será de suma importancia en la definición de la longitud del salto. Se deben definir dos secciones: • la inicial, a partir que comienza el rápido ascenso del nivel del

agua. • la final, que será la sección a partir de la cual en flujo ya no

retrocede, donde las pérdidas de energía del salto se han disipado totalmente, se ha alcanzado la máxima profundidad del agua y en el flujo la distribución de velocidades presenta una estabilidad espacial, figura 3.11.

FIGURA 3.11 PERFIL DE UN SALTO HIDRAULICO En el caso de las secciones rectangulares el frente turbulento en ascenso es recto y alineado con el fondo del canal, siempre que la rugosidad de las paredes laterales sea la misma. En otras secciones


este frente toma diferentes formas en función de la geometría de la sección y de las posibles diferencias de rugosidades de las paredes. Al ser el salto hidráulico un fenómeno local de la hidráulica que: • Se produce un tramo de canal relativamente corto. • Al producirse genera altas pérdidas de energía. Entonces su estudio mediante la ecuación de energía, no es posible ya que esa única ecuación tendría tres incógnitas: las pérdidas de energías, la profundidad al comienzo y al final del salto. Para resolver este primer cálculo del salto, se utiliza la ecuación de Momentum en la forma que se adecue al problema especifico. Esta ecuación tiene como ventajas para su aplicación: • Al aplicarse aún corto tramo de canal: ∑Ff = 0 • No depende de las pérdidas de energía interna. • Puede emplearse en pendientes suaves o fuertes. Si se aplica el principio del Momentum a un tramo de canal con poca pendiente (θ ≈ 0), entonces puede plantearse que: ∑ xdF = M1 – M2, pero si el salto ocurre sin asistencia de estructuras hidráulicas, entonces, ∑ dF = 0 y M1 = M2 . Entonces la ecuación de cálculo para ∑ dF = 0, θ ≈ 0, ∑ = 0Ff es:

1

21

gAQ + 1z A1=

2

22

gAQ + 2z A2 ----------------------------------- 3.18

por lo que las profundidades antes y después del salto son conjugadas. • Conjugadas en secciones rectangulares. Como en estas secciones: A= by, q =Q/b , z = y/2 entonces la ecuación 3.18 se transforma en:


gq2

(1y

1 - 2y

1 ) = 21

(y 22 - y 2

1 )

Esta ecuación tiene dos soluciones para las conjugadas, que son,

2

1

yy =

21 ( 2

2NF81+ - 1) --------------------------------------- 3.19

1

2

yy =

21 2

1NF81( + - 1) ------------------------------------ 3.20

En la figura 3.12 aparece graficadas ambas ecuaciones. Tanto la ecuación de Momentum Específico, como cualquier derivación de ella tiene dos incógnitas y1 y y2, por tanto su solución implica conocer o suponer una de las dos para calcular la otra. Debe enfatizarse, que la profundidad aguas abajo y2 no resulta de las condiciones aguas arriba y sí del control aguas abajo. Esto es, si el control aguas abajo produce la profundidad y2 el salto se produce. En el caso particular de la ecuación 3.19, French (1985) plantea problemas de cálculos numéricos para valores de NF2 pequeño (NF2< 0.22). Se plantea que si NF2 es pequeño 2

2NF81+ - 1 ≈0 (para NF2=0.22 el término es 0,1778). Para resolver mejor esto el término en cuestión se expresa como una serie,

22NF81+ = 1 + 4NF 2

2 - 8NF 42 + 32 NF 6

2 + ... que para el caso expuesto: si NF2 = 0.22, el valor del término sería:

22NF81+ =1.1778


muy semejante para el valor límite. Sustituyendo en la ecuación de relación entre y1/y2 queda,

2

1

yy =

21 ((1 + 4NF 2

2 - 8NF 42 + 32 NF 6

2 ) -1).

que resolviendo da como resultado:

2

1

yy = 2NF 2

2 - 4NF 42 + 16NF 6

2 ------------------------------- 3.21

FIGURA 3.12a SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.19 • Conjugadas en secciones no rectangulares. En estos casos no hay ecuaciones análogas, teniendo que emplearse la ecuación general y un procedimiento de tanteo y error. En ayuda de estos casos, soluciones semiempíricas y otras técnicas analíticas ayudan al cálculo.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1NF2

y1/y

2


FIGURA 3.12b SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.20 • Canales de sección circular. En este caso la ecuación 3.18 presenta como único problema el cálculo de la posición del centroide respecto a la superficie libre. El cálculo del centroide, figura 3.11, en este caso se realiza así:

Si A = 81 (ϕ - senϕ)d2 , donde: ϕ = 2 Acos ( 1-

dy2 )

y por definición:

( ) ( )( ) 2322 zr3/2dzzr2zAz

z

r

zr

22 −−∫ =−=−

−

z = - A3

)zr(2 2/322 −

y entonces la distancia del centroide a la superficie libre es: z = y – ( r + z ) ------------------------------------------------ 3.22 con lo cual el cálculo de las conjugadas puede efectuarse empleando la ecuación 3.18.

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 NF1

y2/y

1


FIGURA 3.13 ESQUEMA PARA LA DEDUCCION DE LA FORMULA DEL CENTROIDE En conductos circulares el comportamiento de la curva

adimensional dyc vs 5.2d

gQ

α es una línea recta en el

intervalo de 0.02 ≤ yc /d ≤ 0.85 . La recta en cuestión responde a:

yC= 264.0d01.1 264.0506.0

506.0

dQ567.0g

Q −=

α ------------------------- 3.23

Nótese que virtualmente es imposible mantener el régimen crítico por encima de 0.85d por lo cual este intervalo engloba la gran mayoría de profundidades prácticas en este conducto. Straub en 1978 define la siguiente relación aproximada:

NF1≈(1

c

yy )1.93 ------------------------------------------------------ 3.24

la conjugada puede estimarse según:

para NF1< 1.7: y2 = 1

2c

yy y para NF1 ≥ 1.7: y2 = 73.0

1

8.1c

yy

Valle Cuellar (1994) propone una solución aproximada. La condición de no ahogo la plantea así: y2max ≤ 0.81963 d


El cálculo del centroide: z = y - 2d

ϕ−ϕϕ

−)sen(3)2/(sen41

3

------ 3.25

y empleando Newton–Raphson como técnica de aproximación se utilizará como ecuación: F[y2] = M1 - M2 ---------------------------------------------------- 3.26 y como derivada aproximada:

F'[y2]= [ ] [ ]y2

yyFyyF∆

∆−−∆+ ------------------------------------- 3.27

Por tanto a este nivel hay dos caminos para calcular las conjugadas: a. Tradicional

Algoritmo para calcular y2: M1= M2 , 1. Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 2. Calcular z,z,A ) , empleando las ecuaciones anteriores.

3. Calcular 1

2

111 gAQzAM +=

4. Suponer y2 y calcular z,z,A ) .

5. Calcular 2

2

222 gAQzAM +=

6. Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4.

Algoritmo para calcular y1: M1= M2 , 1. Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y2 2. Calcular z,z,A ) , empleando las ecuaciones anteriores.

3. Calcular 2

2

222 gAQzAM +=

4. Suponer y1 y calcular z,z,A ) .

5. Calcular 1

2

111 gAQzAM +=

6. Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada.


Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4. b. Formulas empíricas

Algoritmo para la fórmula de Straub (1978) 1. Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 2. Calcular la profundidad crítica. 3. Si 0,02 > yC/d > 0,85 no hay solución con este método. 4. Si 0,02 ≤ yC/d ≤ 0,85 entonces calcular NF1 con la

ecuación 3.23. 5. Calcular y2:

Si NF1< 1.7: y2 = 1

2c

yy

Si NF1 ≥ 1.7: y2 = 73.01

8.1c

yy

Algoritmo para la fórmula de Valle Cuellar (1994) 1. Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 2. Calcular: MAX_21 M ,M ,z ,A , empleando las ecuaciones

anteriores. 3. Si M1 ≤ M2_MAX puede continuarse al próximo paso, si no se

cumple no debe continuarse ya que el conducto se ahoga. 4. Para tantear la profundidad y2

4.1 yMIN = yC y yMAX = y2_MAX 4.2 Asumir ∆y 4.3 Calcular yMEDIA = (yMIN + yMAX)/2 4.4 Calcular M,z,A para: (yMEDIA + ∆y), (yMEDIA - ∆y), yMEDIA

4.5 Calcular F[yMEDIA + ∆y], F[yMEDIA - ∆y], F[yMEDIA] 4.6 Calcular F’[yMEDIA]

4.7 Calcular yNUEVA = y MEDIA – (F[yMEDIA]/ F’[yMEDIA]) 4.8 Si F[yNUEVA] ≈ 0 la profundidad conjugada se determino.

Si no se cumple la condición regresar al paso 4.4. • Canales trapeciales, triangulares y parabólicos.


En estas secciones el empleo de la ecuación 3.18 es la vía tradicional por excelencia. En cada caso la determinación del centroide del área mojada respecto a la superficie libre es el dato específico necesario para enfrentar la solución.

canales triangulares: 3yz = ------------------------------------- 3.28

canales trapeciales: 2

32

mybymy333,0by5,0z

++

= ------------------- 3.29

canales parabólicos: 5y2z = --------------------------------- 3.30

con esta información se puede seguir el siguiente algoritmo, Algoritmo para calcular y2: M1= M2 , 1. Recopilar la base de datos necesaria: b, m, kPARABOLA, Q, y1 2. Calcular z,A , empleando las ecuaciones para cada caso. 3. Calcular )gA/(QzAM 1

2111 +=

4. Suponer y2 y calcular z,A . 5. Calcular )gA/(QzAM 2

2222 +=

6. Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. 7. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4. Algoritmo para calcular y1: M1= M2 , 1. Recopilar la base de datos necesaria: b, m, kPARABOLA, Q, y2 2. Calcular z,A , empleando las ecuaciones anteriores. 3. Calcular )gA/(QzAM 2

2222 +=

4. Suponer y1 y calcular z,A . 5. Calcular )gA/(QzAM 1

2111 +=

6. Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. 7. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4. Numerosas son las soluciones aproximadas para estas secciones. A continuación alguna de ellas.


Silvester (1964, 1965) propone para calcular el centroide: z = k’i yi ----------------------------------------------------------------------------------------- 3.31 entonces la ecuación de conservación del momentum específico se convierte en:

A1k’1y1 – A2k’2y2 = g

Q2

(2A

1 - 1A

1 ) ------------------------------ 3.32

arreglando la ecuación queda,

−=−

2

1

11

1211

1

2

1

22 A

A1Ty

ANF'kyy

AA'k

donde NF12 =

121

2

DgAQ

Para el caso particular de canales rectangulares:

k’1 = k’2 = 21 ;

2

1

AA =

2

1

yy ;

1

1

TA = D1 = y1 entonces

−=−

2

121

2

1

2

yy1NF21

yy -------------------------------- 3.33

Para canales triangulares:

k’1 = k’2 = 31

; 2

1

AA

= 22

21

yy

; 2yD

TA 1

11

1 == ; entonces:

−=−

2

2

121

3

1

2

yy1NF5.11

yy -------------------------- 3.34

Para canales parabólicas

k’1 = k’2 = 52 ;

5.1

2

1

2

1

yy

AA

= ;

3y2D

TA 1

11

1 == ; entonces:

−=−

5.1

2

121

5.2

1

2

yy1NF67.11

yy --------------------- 3.35


Para canales trapeciales: La solución es directa, Silvester (1964) define el factor de

forma:

k = 1my

b ----------------------------------------------------- 3.36

y surge una familia de soluciones en función del valor de k en cada caso.

FIGURA 3.14 GRAFICA DE LAS CONJUGADAS EN SECCIONES RECTANGULARES, TRIANGULARES Y PARABOLICAS. Valle Cuellar (1994), a partir de la ecuación tradicional del momentum en canales trapeciales y triangulares,

3my

2by

gAQM

322

++= ------------------------------------------------3.37

0

5

10

15

20

25

30

0 8 16 24 32 40y2/y1

NF1

TRIANG. PARAB. RECT.


FIGURA 3.15 SOLUCION PARA LAS CONJUGADAS EN SECCIONES TRAPECIALES CON FACTORES DE FORMA 0,33; 0,4; 0,5; 0,67; 1,0; 1,73; 4,0 CON REFERENCIA AL DE LA SECCION RECTANGULAR. Una solución de aproximaciones por Newton–Raphson donde para la profundidad conjugada que se busca, se plantea: F 0ykMMy

6

1

)i6(¿?iconocido¿?¿? ≅=−= ∑ − --------------------------- 3.38

siendo K1= 2m2 ; K3 = 3b2; K5 = -6bMconocido; K2= 5mb; K4 = -6m Mconocido; K6 = 6Q2/g; *K2; K3; K5 se hacen cero en la sección triangular. La forma desarrollada será:

61¿?5

2¿?4

3¿?3

4¿?2

5¿?1¿? KykyKyKyKyKyF +++++= ---------- 3.39

y su derivada: F' 5

1¿?4

2¿?3

3¿'2

4¿?1¿? KyK2yK3yK4yK5y ++++= --------------- 3.40

Se propone iniciar con y¿?=0 si se va a calcular el supercrítico, y con y¿?= 2yc si se va a calcular el subcrítico.

0

5

10

15

20

25

30

0 4 8 12 16 20y2/y1

NF1


La profundidad se propone calcular con,

¿?ant

¿?ant¿?

anterior¿?nuevo

y´F

yFyy −= ---------------------------------------- 3.41

e ir comprobando hasta que F 0y¿? ≈ 3.7.3. Ubicación de las secciones inicial y final.

La ubicación planimétrica de las secciones inicial y final del salto es de mucha importancia para la protección estructural del tramo de canal y para la definición de hasta donde hay régimen supercrítico y hasta donde régimen subcrítico. Con dos casos de estudio se analizan todas las posibilidades de ocurrencia en cuanto a la ubicación de las secciones del salto. Debe resaltarse que para que se produzca el salto deben ocurrir dos situaciones:

• Que exista en el tramo una dualidad de regímenes (subcrítico y supercrítico).

• Que la conjugada supercrítica encuentre en la zona subcrítica a su conjugada a una distancia igual a la longitud del salto.

Justamente en el cumplimiento de la segunda situación, la sección inicial y final del salto se ubican en un lugar preciso en el perfil del canal y al poder definir la ubicación de una de las dos secciones, conocida la longitud del salto se ubicará la segunda. Por tanto la tarea de la ubicación de las secciones inicial y final, se traduce en ubicar con exactitud o la sección inicial o la sección final y conocida la longitud del salto (L) ubicar la otra.


Dos casos de estudio se abordarán, para ejemplificar todas las posibilidades que pueden presentarse en este problema. Caso de estudio I: dos tramos de canal con cambio de pendiente e igual sección. En este caso se utiliza dos tramos de canal en los que la pendiente aguas arriba es supercrítica y la aguas abajo subcrítica. Esto es, que si el régimen en ambos tramos fuera uniforme, sería supercrítico en el primer tramo y subcrítico en el segundo, figura 3.16.

FIGURA 3.16 ESQUEMA PARA EL ESTUDIO DEL SALTO HIDRAULICO EN CANAL CON CAMBIO DE PENDIENTE. Para simplificar el análisis se tomará como criterio que en ambos tramos se produce el régimen uniforme. Más adelante, en el cálculo dedicado al régimen variado se generalizará esta situación considerando la ocurrencia de este régimen.

FIGURA 3.17 GRAFICA M vs y PARA EL ANALISIS DE LA LOCALIZACION DEL SALTO HIDRAULICO.


La ubicación de las secciones estará en función de la relación entre la profundidad conjugada subcrítica y2 y la y2aab. Esto puede analizarse en el gráfico M vs y, figura 3.17. Si se le llama y2aab a la profundidad subcrítica impuesta por la sección de control del segundo tramo (sección de control que se encuentra aguas abajo del cambio de pendiente) y se denomina por y2 a la profundidad supercrítica impuesta por la sección de control del primer tramo (sección de control que se encuentra aguas arriba del cambio de pendiente), siendo y2 su profundidad conjugada. Entonces las posibilidades de relación entre y2 y y2aab son dos: • Ser iguales: y2 = y2aab • Ser diferentes: y2 > y2aab, o, y2 < y2aab Las tres alternativas definen la posición de las secciones inicial y final del salto. Primer caso. y2 = y2aab Si y1 se encuentra al final del tramo 1 y su conjugada coincide con la profundidad normal del segundo tramo entonces el salto se denomina tipo A y su característica es tal que comienza en el cambio de pendiente y termina L metros aguas abajo en el tramo subcrítico. Su transito en el gráfico M-y es como se indica en la fig. 3.18. Segundo caso. y2aab < y2

En este caso el nivel subcrítico está por debajo de la conjugada de y1aarr. Al valor de y2aab le corresponde una conjugada y1 mayor que y1aarr, por tanto al llegar y1aarr al cambio de pendiente comienza a avanzar en el segundo tramo elevando su valor, figura 3.19, hasta alcanzar y1 (todavía supercrítica) y ahí se produce el salto. El tránsito entre y1aarr y y1, en la curva M-y, se traduce en un camino a lo largo de un régimen regularmente variado en el tramo de canal subcrítico, que, al alcanzar el valor y1 se cambia a un salto


hidráulico (régimen rápidamente variado) alcanzando su conjugada a una distancia L. Este salto se denomina tipo B. En ambos casos, tipo A y tipo B, la ecuación de conservación del momentum específico es completamente válida.

FIGURA 3.18a SALTO TIPO A EN EL GRAFICO M-y

FIGURA 3.18b ESQUEMA DE PERFIL DEL SALTO TIPO A

FIGURA 3.19a SALTO TIPO B EN EL GRAFICO M-y

FIGURA 3.19b ESQUEMA DE PERFIL DEL SALTO TIPO B


Tercer caso. y2aab > y2

En este caso, figura 3.20, se produce un desplazamiento del salto hacia aguas arriba del cambio de pendiente debido al alto nivel de la profundidad y2aab. Si todo el salto sube la rampa supercrítica se le denomina tipo E.

FIGURA 3.20 SALTO TIPO E EN EL GRAFICO DE M-y

FIGURA 3.20 PERFIL DEL SALTO TIPO E A esta y2aab le corresponde una conjugada y1 menor que y1aarr, que tiene una energía específica mayor y como no hay ningún elemento que pueda adicionar energía adicional a la masa de agua para que alcance y1, la solución del salto será tal que y2aab comenzará su ascenso descendiendo un nivel hasta alcanzar el nivel de la conjugada de y1. Se debe destacar, que la conjugada tendrá que calcularse teniendo en cuenta la componente del peso de la masa de agua que participa en el salto y se denominará y2(ϕ). El proceso de subida por la pendiente del primer tramo, de la sección inicial del salto, primero y de la sección final, después; hacen que la ecuación del momentum específico no sea válida al no cumplirse que ϕ ≈ 0 y por tanto no son válidos los métodos de cálculo derivados de ella para las profundidades conjugadas.


El uso de la ecuación general derivada de la segunda ley y descrita al comienzo de este capítulo: F1- F2 + Wsenϕ - ∑Fd- ∑ fF = M∆ sirve de herramienta fundamental para el análisis de las conjugadas ya que en este caso la componente del peso de la masa de agua, en la dirección del movimiento, es una fuerza importante a considerar. No obstante su uso se plantea que es dudoso e incierto, ya que: - La definición del volumen que participa en el cálculo de W es

deficiente por el desconocimiento de la longitud exacta del salto y su forma superficial que tiene una influencia significativa.

- La entrada de aire altera el valor de γ en una magnitud desconocida.

- Los términos que tienen que ver con la presión no pueden ser certeramente cuantificados.

Bazin, en 1865, Beebe y Riegel, en 1917, definieron el problema y Yamell en 1934, comenzó a estudiarlo intensamente, hasta su muerte en 1937. Kindsvater, en 1944 dio una solución racional al problema siendo Bradley y Peterka en 1957 y Agryropulos, en 1962, los que aportaron los resultados de largos estudios para su solución. Para estudiar la subida del salto por la rampa supercrítica en el análisis siguiente se asumirá como el final del salto, el fin del remolino superficial. A partir de que y2aab comienza a ser mayor que y2 el salto pasa a ser del tipo C, D o E.


Tipo C . El caso del salto tipo C, donde la sección inicial está en la pendiente fuerte y la final en la sección subcrítica, figura 3.21, debe su solución a Peterka (1963) y Rajaratnam (1967). Si se procesan los datos experimentales se obtienen el grupo de ecuaciones 3.38:

FIGURA 3.21 SALTO TIPO C

2

222

aab2

yl 5074.34

yl2782.1053013.70

yy

−+−= S0=0.05

=2

aab2

yy

2yl69224.2727468.21 +−

2

2yl84837.5

− S0= 0.1

=2

aab2

yy

2yl 32512.12 03826.10 +− -1.553933

2

2yl

S0=0.15

=2

aab2

yy 2

22 yl 6595499.0

yl 688431.7 270411.6

−+− S0=0.20

=2

aab2

yy 2

22 yl 7131287.0

yl860996.6473908.5

−+− S0=0.25

=2

aab2

yy 2

22 yl 9493253.0

yl763412.5487159.4

−+− S0=0.3

=2

aab2

yy 2

22 yl 6131664.0

yl 828596.5641107.4

−+− S0=0.5


=2

aab2

yy 2

22 yl 6251981.0

yl61356.3741502.2

−+− S0= 1.0

Con estas soluciones numéricas se obtiene el valor de l y se ubica la primera sección y a partir de ahí con la longitud del salto se ubica la última. La profundidad conjugada del salto, y2, se obtiene por las ecuaciones desarrolladas para S0 ≈ 0. Tipo D y E En el caso del salto tipo D, figura 3.22, Kindsvater (1944) desarrolló la siguiente ecuación para las conjugadas:

−

ϕ−ϕ

+ϕ

= 1tgN21

cosNF81cos2

1yy 3

21

1

2 ----------------------- 3.39

donde N es un factor empírico que depende de la longitud del salto y de ϕ. Para simplificar la expresión se definen:

ϕ−ϕ

=ΓtgN21

cos321 ----------------------------------------------------- 3.40

G 21 = 2

121 NF⋅Γ --------------------------------------------------------- 3.41

y entonces para secciones rectangulares se propone:

( )1G8121

yy 2

11

2 −+= ---------------------------------------------- 3.42

FIGURA 3.22 SALTO TIPO D


Bradley y Peterka (1957) y Peterka (1963), encontraron una función N=ƒ(ϕ) y Rajaratnam (1967) la expresó así: Γ = 100,027ϕ ------------------------------------------------------ 3.43 donde ϕ se sustituye en grados. En adición estos investigadores demostraron que la fórmula puede aplicarse también al salto tipo E, figura 3.20, y entonces el término de la izquierda es: d2/d1 o y2/y1. Una gráfica mostrando la relación entre NF y y2/y1 para canales rectangulares aparece en la figura 3.23.

FIGURA 3.23 SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.39 PARA DIFERENTES VALORES DE S0. Un algoritmo sencillo para determinar el tipo de salto se da a continuación: Algoritmo:

1. Recopilar la base de datos necesaria 2. Calcular la conjugada de la y1aarr para S0 = 0 y llámese y2. 3. Si y2 ≥ y2aab el salto es tipo A o tipo B. 4. Si no se cumple el paso 3, entonces calcular la conjugada

de la y1aarr para S0 ≠ 0 y llámese y2(ϕ).

0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.10 0.05 0

0

25

50

75

0 5 10 15 20 25 30NF1

y2/y

1


- Si y2(ϕ)= y2aab el salto es tipo D. - Si y2(ϕ) < y2aab el salto es tipo E. - Si y2(ϕ) > y2aab el salto es tipo C.

Tipo F. El salto tipo F se desarrolla totalmente en un canal con pendiente supercrítica. Para el análisis del salto tipo F y tomando como base la Ecuación General del momentum y dándole paso a las siguientes consideraciones: • El canal es rectangular. • β1 = β2 = 1 • ∑Pƒx = 0 y ∑fƒ= 0

• El peso del agua es W= 'kcos

L2

AA 21 γϕ

+

donde ( )12 ddXLcos

L−=′≈

ϕ

siendo X un factor de inclinación k' un factor de corrección que resulta de asumir que la

superficie del agua en el salto es un plano. entonces la ecuación tiene la siguiente solución:

( )1M8121

dd 2

1

2 −+= ---------------------------------------------- 3.44

donde:

( )[ ]12

1

dd/senL'k1NFM

−ϕ′−= ------------------------------------ 3.45

y k’ 1≈ En el caso de X no debe ser ignorada, excepto para pequeños valores de ϕ (Rajaratnam, 1963). Keunison (1944) sugiere un valor de X = 3.


S0 A B 0 1,417 -0,667

0,05 1,705 -0,719 0,10 2,023 -0,841 0,15 2,387 -0,933 0,20 2,800 -1,200 0,25 3,300 -1,200 0,30 3,862 -0,962

TABLA 3.2 VALORES DE A Y B PARA LA ECUACIÓN 3.46 Por último en experiencias de Hickox (1944), Kindsvater (1944), Bakhmeteff, Matzke (1938) y las del USBR (1957), presentan el siguiente resultado para el tipo F.

1

2

yy ó

1

2

dd = A ( )1NF + B -------------------------------------------- 3.46

Caso de estudio II: salto a la salida de una obra hidráulica. Este caso es típico en muchas obras hidráulicas, que por necesidad de operación u otra razón trabajan su salida con régimen supercrítico. Se tomará como obra una compuerta plana, figura 3.24, la cual produce a su salida un régimen supercrítico, que encuentra un régimen subcrítico en el canal aguas abajo. Igual que el caso de estudio anterior se considera que en el canal aguas abajo el agua circula con régimen uniforme, esto es, que la sección de control del canal, aguas debajo de la obra, garantiza que al pie de la compuerta el régimen de circulación tenga profundidad constante. La ubicación del salto hidráulico tiene una característica especial, ya que al haber una obra interrumpiendo el paso hacia aguas arriba (tercer caso) si se producen las condiciones para estos saltos (y2aab > y2) entonces el salto se sumergirá al pie de la obra, reduciendo los tipos C, D y E a uno solo, denominado tipo S.


Los casos primero y segundo del caso de estudio II, se comportan de igual forma que los del caso de estudio I, produciendo saltos tipo A y tipo B. Aquí la única diferencia está en que la profundidad supercrítica para realizar el análisis de las conjugadas es, aproximadamente, 0,61 veces la abertura de la compuerta. Este factor depende de la geometría y tipo de compuerta así como de las condiciones de la salida (bisel, aristas, obstrucciones ...). Los dos casos iniciales son: Primer caso: y2 = y2aab aquí el salto se produce a la salida de la compuerta, desde donde se establece la mínima profundidad de la vena contracta y por tanto se denomina tipo A. Segundo caso: y2aab < y2 , en este caso el salto se desplaza hacia aguas abajo y es del tipo B.

FIGURA 3.24 ESQUEMA DE LA SALIDA DE UNA COMPUERTA PLANA CON LA DUALIDAD DE TENER UN REGIMEN SUPERCRÍTICO A LA SALIDA Y UNO SUBCRITICO AGUAS ABAJO. En ambos casos sucede lo mismo que en canal con cambio de pendiente y por tanto el análisis para la ubicación es el mismo. Tercer caso: y2aab > y2. Aquí el salto tiende a buscar su conjugada aguas arriba pero en este caso, al igual que en el de cualquier otra obra hidráulica, existe un impedimento físico que no permite que esto suceda. A esta situación en que existe la dualidad de regímenes y por tanto el cambio es a través de un salto se


denomina salto ahogado o sumergido, siendo muy característico a la salida de las obras hidráulicas en general. Entonces puede plantearse que: si una obra interrumpe el posible retroceso de la masa de agua en busca de su conjugada, se forma el llamado salto sumergido, fig. 3.25. Govinda Rao, 1963, demostró con el principio de momentum para un canal rectangular y S0 ≈ 0 que:

( ) ( )

φ++−φ+=

S1NF2

NF2S1ay 2

121

223 --------------------------- 3.47

donde:

S=2

2aab2

yyy −

y ( )1NF8121

yy 2

11

2 −+==φ

siendo y2 la conjugada de 0.61* a , si el salto fuera libre.

FIGURA 3.25 SALTO TIPO S A LA SALIDA DE UNA COMPUERTA PLANA. Chow, 1959, da la siguiente expresión:

2/1aab22

aab2aab2

3

ay

1NF21yy

−+= --------------------------- 3.48

3.7.4 Longitud del salto hidráulico.


Este es un importante parámetro y en general no se deriva de las consideraciones teóricas. Investigadores como Bakhmeteff y Matzke, 1936; Bradley y Peterka, 1957, Peterka, 1963 y Rajaratnam, 1965, tienen muchos resultados a veces contradictorios. La longitud se definirá como la distancia desde la sección donde comienza el salto hasta un punto en la superficie del flujo inmediatamente aguas abajo del remolino asociado al salto donde la distribución de velocidades tiene una marcada repetitividad en las secciones aguas abajo. • Secciones rectangulares

Para estas secciones hay numerosos estudios que permiten acercar la solución a la realidad del problema. La figura 3.26 agrupa dos importantes soluciones; la brindada por el USBR (Chow, 1959) y la brindada por French (1986) a partir de los estudios de Bradley–Peterka (1957), Rouse (1959), Rajaratnam (1967) y Safranez (1934), para canales con pendiente muy suave o cero.

Una aproximación numérica de los siguientes resultados: USBR: ( )3

12112 NF0014.0NF0640.0NF7332.04911.3yL +−+= - 3.49

French: ( )3

12112 NF0016.0NF0701.0NF8893.07834.3yL +−+= - 3.50

Otra solución es brindada por Silvester (1964), en forma de ecuación: L= ( ) 01.1

11 1NFy75.9 − ---------------------------------------- 3.51 que si se transforma sustituyendo y1 por la expresión 3.20, quedará con las mismas variables que las anteriores y por tanto puede ser graficada sobre el mismo plano.


( ) 01.11

1

2 1NF)1NF81(5.0

y75.9L −

−+= -------------------- 3.52

Otras numerosas soluciones son referenciadas por Sotelo y Cafagi (1997). Entre las expuestas en el trabajo vale destacar las siguientes: a. La de Fawer para calcular la longitud de onda de un salto

ondular:

( )[ ]1y/y5.2

y)2(2.1onda.Long3

12

2

−

π=

b. La de Bretz (1987) para 3.3< NF1 <15.3

)59.3NF29.6(yL 11r −=

FIGURA 3.26 TRES SOLUCIONES PARA LA LONGITUD DEL SALTO EN CANALES RECTANGULARES CON PENDIENTES SUAVES.

c. La ecuación aproximada de Rajaratnam para 4< NF1 <16

2y6L = d. La de Hager, Bremen y Kawagoshi para 2.5< NF1 <8

)5.1NF(y8L 11r −= y para 4< NF1 <12 plantean,

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

0 5 10 15 20NF1

L/y2

French Silvester USBR


2r y6L = • Secciones no rectangulares Silvester, en 1964 propone para todo tipo de sección:

( )Γ−σ= 1NFyL

11

----------------------------------------------- 3.53

donde σ y Γ son factores de forma. Para secciones triangulares Silvester (1964), basándose en un canal de m = 0,44, utilizado por Argyroupoulos, propone,

( ) 695.01

11NF26.4

yL

−= ----------------------------------------- 3.54

Para secciones triangulares tambien, Hager y Wanoschek (1987), empleando resultados de Argyroupoulos y Rajaratnam y los suyos propios propone,

( )m4.0

12r NF.my8.1L = ----------------------------------------- 3.55 ( )m

4.0

12 NF.my4.2L = ------------------------------------------ 3.56 con validez entre 0.4 < m ≤ 1. Para secciones parabólicas Argyropoulos (1957), propone la siguiente expresión, válida para NF1 < 3.

( ) 832.01

11NF7.11

yL

−= --------------------------------------- 3.57

Para una sección trapecial Silvester–Hsing (1937), Sandover–Holmes (1962) y Press (1961) concluyen que:

( )Γ−σ= 1NFyL

11

--------------------------------------------- 3.58

donde los coeficientes de la fórmula aparecen en la tabla 3.3. Para secciones trapeciales Sieñchin (1958), referenciado por Sotelo y Cafaggi (1997), propone:


−= 1

yyCyL

1

2A1 ------------------------------------------------ 3.59

donde CA se obtiene de la tabla 3.4

m

b/my σ Γ

2 16 5,366 0,905 1 8 7,012 0,885

0.5 4 0,670 0,836 TABLA 3.3 VALORES PARA LA FORMULA 3.58

Talud

0 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

CA

5 7.9 9.2 10.6 12.6 15

TABLA 3.4 VALORES PARA LA FORMULA DE SIEÑCHIN Por su parte en México, un programa editado por el IMTA en 1989, tiene como fórmula para calcular en canales trapeciales:

−+=

1

122 y

yy41y5L ---------------------------------------- 3.60

• Secciones rectangulares con S0 > 0o.

Peterka, 1963 y el USBR, 1955 dan en función de S0 las curvas que parecen en la figura 3.27.

• Caso del salto sumergido en secciones rectangulares. En este caso especial, si la sección es rectangular el valor de la longitud (no visible del salto) puede ser obtenida, según Govinda Rao (1963), por

( )1.6S9.4yL 2 += --------------------------------------------- 3.58


donde S esta definida por:

2

2aab2

yyy

S−

= y y2 es la conjugada subcrítica si el salto no

estuviera sumergido.

Para este salto Stepanov (1959), obtuvo que la longitud de la zona de velocidades con remolinos turbulentos puede calcularse según:

( )( )

885.0

13

3aab2

rem

NFyyy

31.3L

−= ------------------------------------- 3.59

esta ecuación es válida para S ≤ 2 y NF1 ≤ 8. FIGURA 3.27 SOLUCION A LA LONGITUD DEL SALTO EN CANALES RECTANGULARES CON MUCHA PENDIENTE. 3.7.5. Altura del salto hidráulico. Se define como la diferencia en cota del agua entre la sección inicial y final y de forma general se puede escribir,


( ) ( )1122 yzyzh +−+= -------------------------------------------- 3.60

3.7.6. Pérdidas de Energía. El salto hidráulico como disipador de energía es un elemento a considerar en todo diseño hidráulico. El cambio de energía entre las profundidades conjugadas es:

21 EEE −=∆ . y comúnmente se expresan como pérdidas relativas: 1E/E∆ o bien como eficiencia 12 E/E . Una representación de estas pérdidas puede visualizarse si en el gráfico E-y se plotean también las

profundidades conjugadas correspondientes a la rama supercrítica del gráfico. De esta forma las pérdidas están definidas por la diferencia de energía entre las conjugadas, figura 3.28. FIGURA 3.28 GRAFICA E-y DE UNA SECCION PARA UN GASTO Q, CON LAS CONJUGADAS SUBCRÍTICAS. • Secciones rectangulares con S0 ≈ 0

Puede demostrarse que:

0

0.250.5

0.75

1

1.251.5

1.75

2

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2E (m)

y (m

)

CONJUGADA

ALTERNATIVA ∆E


( )21

312

yy4yyE −

=∆ ----------------------------------------------- 3.61

y entonces: 21

2

2

121

1

2

1 NF2

yy

1NFyy

22

EE

+

−+

−

=∆ -------------3.62

• Sección no rectangular un S0 ≈ 0

Aplicando la expresión general se obtiene que: ( )[ ] [ ])g2/v(yg2/vyE 2

22211 +−+=∆ --------------------------- 3.63

y entonces queda: ( ) ( )

( )g2/vyg2/vyg2/vy

EE

211

222

211

1 +

−−+=

∆

que se transforma en:

21

2

1

22

21

2

21

1

gA2Qy

A1

A1

g2Qyy

EE

+

−

+−

=∆ --------------------------- 3.64

Silvester (1964, 1965) arregló esta ecuación y propuso:

21

1

1

2

2

121

1

2

1

1

1 NFDy2

AA

1NFyy

1Dy2

EE

+

−+

−

=∆ ------------------- 3.65

donde el término de las áreas French lo simplifica a: . . . .


Sección Término: ( )221 A/A1−

Triangular

Parabolica

Trapecial

( )421 y/y1 −

( )3

21 y/y1 − 2

2

1

12 yy

)y/y(k1k1

+

+−

donde k = 1my2/b

• Canales con pendientes

En canales inclinados hay que considerar la proyección vertical de los términos a restar.

Para saltos tipo C: E1 = g2

vcos

dtgl

211 +

ϕ+ϕ ----------------- 3.66

y también: g2

vyE

22

22 += ------------------------------------- 3.67

por tanto el calculo será: 21 EEE −=∆

Para saltos tipo D, E y F.

g2v

cosdtgLE

211

1 +ϕ

+ϕ= ------------------------------------- 3.68

y en estos casos: E 2 =g2

vcos

d 222 +

ϕ -------------------------- 3.69

calculando E∆ según: 1EE =∆ - 2E 3.8 Salto hidráulico en interfases de diferentes densidades. El flujo estratificado es de interés especial para la hidráulica. French (1985) cita a Yih y Guha, 1955; Hayakawa, 1970; Stefan y Hayakawa, 1972 y otros muchos que han demostrado que el salto


hidráulico puede ocurrir en el flujo estratificado en la interfase de densidad. Este fenómeno interno (salto hidráulico interno) a la masa del fluido, no ha sido muy observado en la naturaleza, excepto en la atmósfera (Turner 1973), o en las mareas en estudio (Warner, 1980). Su presencia en la superficie del fluido no necesariamente produce algún efecto, figura 3.29. Dos formas de ocurrencia: en el caso de la figura 3.29 (a) la capa 1 pasa de un estado interno supercrítico a uno subcrítico mediante un salto interno. En el caso b, la capa 2 pasa de un estado supercrítico a uno subcrítico con un salto hidráulico Interno. (a) (b)

FIGURA 3.29 DOS OCURRENCIAS DEL SALTO EN FLUJO ESTRATIFICADO Para su cálculo French (1985), asume lo siguiente:

- El canal es rectangular. - S0 ≈ 0 - Los esfuerzos constantes en la interfase son ignorados. - No hay mezclado entre las capas. - La distribución de presiones es hidrostática. - β2 = β1 = 1

Considerando la capa 2, figura 3.27 y 3.28,

( ) ( )[ ] 2222112

2111111 y

21yyy

2yyyF γ+γ=

γ+γ+γ= ------------ 3.70

.


FIGURA 3.30 ESQUEMA DE FUERZAS EN EL FLUJO ESTRATIFICADO y la opuesta correspondiente, figura 3.30 y 3.31, es:

( )222112 y21yyF γ−γ= 2 -------------------------------------------- 3.71

y la fuerza que ejerce la capa 1 sobre el volumen de control de la capa 2 es:

FIGURA 3.31 DETALLE DEL CALCULO DE F1 Y F2

( )( )22111

3 yyyy2

F ′+′+γ

= ------------------------------------------- 3.72

donde:

′+γ

2yy 11

1 es la presión media ejercida por la capa 1 en

la superficie inclinada de separación. ( )22 yy ′− es la unidad de área proyectada en el salto. entonces,

22321 qFFF ρ=−− ( 2v - 1v ) --------------------------------------- 3.73


donde 2

22 y

qv

′= y =1v

2

2

yq

arreglando los términos y definiendo 2

1rρρ

= y g

qa 2=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]22112222122 yyyyryyyyyya2 ′−+′−′+′=′− ------------ 3.74 Realizando el mismo análisis para la capa 1,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]22111122111 yyyyryyyyyya2 ′−+′−′+=′− ------------- 3.75 Si se conoce y1, y2, y ρ1, ρ2, las ecuaciones 3.74 y 3.75 solucionan

1y′ y 2y′ . Este sistema tiene 9 soluciones: una es 11 yy ′= y 22 yy ′= y de las otras 8, solo las positivas y reales deben considerarse. Teh y Guha (1955) demostraron que al menos 3 soluciones tienen una interpretación física, y bajo ciertas condiciones sólo una prevalece.

El criterio de unicidad es 31

121 y

aNF = ó 32

222 y

aNF = y debe ser grande.

Las tres soluciones demostradas por Yih y Guha son: 1. Si la velocidad aguas abajo es igual en ambas capas, entonces:

2

2

1

1

yq

yq

′=

′ arreglando 2

1

11

2

1

yy

qq

==λ queda,

( ) 0NF2yy

NF2yy

r1yy

yy

ryy

r1 22

2

122

22

1

2

12

2

13

2

2 =+

++−

−λ+

′λ+ ,

esta ecuación tiene una solución que es 22 yy ′= y la otra corresponde a la conjugada.

2- Si 01 =a la capa 1 está en calma y entonces 3.74 y 3.75 dan:


( )1NF8121

yy 2

22

2 −+=′

( ) 122

22 r1NFFN −−=′

3- Si 02 =a la capa 2 está en calma, y,

( )1NF8121

yy 2

11

1 −+=′

( ) 121

21 r1NFFN −−=′

En consideración a estas soluciones en el caso de que 01 =a y

02 ≠a , la ecuación 3.74 se reduce a; 2121 'y'yyy +=+ ------------------------------------------------ 3.76

este resultado implica que la superficie del fluido está a nivel y no hay evidencia de salto interno. Ahora en el caso de que 0a1 ≠ y 0a2 = la ecuación 3.74 se reduce a:

( ) 211 yyyr =−′ 2y′− ------------------------------------------------ 3.77


COMPUERTAS SOBRE EL VERTEDOR DE LA PRESA PREDROSO (CUBA) PARA REGULAR EL ABASTECIMIENTO

AL RIO MAYABEQUE Y AL CANAL PEDROSO-GUIRA.


4 EL RÉGIMEN UNIFORME

En una conducción libre ocurre régimen uniforme cuando en sus diferentes secciones las características de circulación, velocidad, distribución de presiones, profundidad de circulación, etc., son iguales. Como se hace evidente de esta definición, tales condiciones son posibles exclusivamente en conducciones de sección transversal constante, lo cual en la práctica queda restringido a las conducciones artificiales: canales y conductos artificiales cerrados. En conducciones naturales, no obstante, en algunos casos puede considerarse la existencia del régimen uniforme en ciertos tramos donde se ha alcanzado un equilibrio en la sección transversal y esta es sensiblemente constante en una zona recta y sin obstáculos, lo cual posibilita el estudio de estas conducciones con resultados satisfactorios. En este capítulo se estudiará el desarrollo del régimen uniforme, sus fórmulas y el cálculo de la profundidad normal de circulación. 4.1 Desarrollo del régimen uniforme. De la definición del régimen uniforme, puede obtenerse como conclusión lógica, la más importante y evidente de sus propiedades: como la sección es constante, también lo es la profundidad, y como la velocidad es constante, también lo es la carga velocidad; de ahí que pueda plantearse.

_______________________________________________ El régimen uniforme 205

aeo SSS == Para mayor comodidad en el desarrollo matemático, se utilizará sencillamente So para denotar las pendientes de la rasante de energía y de la superficie del agua, salvo que se quiera hacer una diferenciación entre ellas. En la práctica, no existe el régimen uniforme e impermanente, por lo tanto, solamente se suele hacer referencia al régimen permanente y uniforme con la denominación de régimen uniforme. Para que ocurra el régimen uniforme es necesario que se establezca un equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa de agua en movimiento, de modo que esta no presente aceleración (positiva o negativa) alguna. Esto solamente es posible en tramos rectos suficientemente alejados de la entrada del canal o de su desembocadura, de obstáculos, compuertas, puntos de inflexión horizontal o vertical, etc. En las proximidades de esas zonas el flujo acelera o decelera, variando su tirante, y ocurre régimen variado. El equilibrio de las fuerzas se alcanza por efecto del rozamiento con las paredes del canal, que compensa las fuerzas de gravedad. Las zonas anteriores o posteriores a la ocurrencia del régimen uniforme, reciben el nombre de zonas de transición. Por ejemplo, si el agua entra al canal a muy baja velocidad, las fuerzas de fricción son muy pequeñas y predominan las fuerzas de gravedad, con lo que el flujo se acelera y su velocidad comienza a aumentar según se desplaza aguas abajo; como consecuencia, las fuerzas de fricción se desarrollan hasta que llegan a balancear a las de gravedad, en el lugar en que eso ocurre, figura 4.1, se ha establecido el régimen uniforme que se mantendrá de ahí en adelante hasta que algún elemento lo perturbe.


La longitud de la zona de transición depende del caudal y de las condiciones físicas del canal: pendiente, geometría, rugosidad, forma y naturaleza de la entrada y salida.

FIGURA 4.1 VARIANTES DE ESTABLECIMIENTO DEL REGIMEN UNIFORME. Desde el punto de vista de la hidrodinámica, la longitud de la transición no puede ser menor que la longitud requerida para el desarrollo completo de la capa límite en las condiciones dadas. Para propósitos prácticos el requisito de v constante puede ser interpretado como velocidad media constante. Estrictamente


hablando, debe significar que cada punto de la masa líquida tenga velocidad constante dentro del tramo estudiado. En otras palabras la distribución de velocidad no se altera en el tramo. Tal patrón sólo es alcanzado cuando la capa límite se desarrolla completamente. 4.2 La capa límite Si a un canal entre un flujo laminar, figura 4.2, de gran profundidad y de distribución uniforme de velocidad y además no hay restricción (obras, etc.) a la entrada que cree disturbio el efecto sobre la distribución de velocidades debido a la rugosidad se indica por ABC.

FIGURA 4.2 DESARROLLO DE LA CAPA LIMITE Fuera de la región ABC la velocidad es prácticamente uniforme, dentro varía con la distancia a la superficie del canal ya que su distribución se ve afectada por la presencia del contorno. La región dentro de ABC es la conocida como capa límite y su espesor se distingue como δ. Chow (1959) de una definición de δ, esta es: distancia normal desde la superficie frontera en la cual la


velocidad es igual al 98% de la velocidad límite a la cual la distribución de velocidades se acerca asintóticamente. El efecto de la capa límite es un desplazamiento ficticio del fondo del canal una cantidad llamada espesor de desplazamiento δ*, figura 4.3

yvv11

δ

−=δ ∫∗ ------------------------------------------------------ 4.1

donde v es la velocidad a cualquier distancia y, v1 es la velocidad en el borde de la capa límite δ* varía entre 1/8 a 1/10 de δ en dependencia del Número de Reynolds.

FIGURA 4.3 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN UN FONDO LISO Al comienzo el flujo es laminar (AB) a lo largo de la superficie del canal. La distribución de velocidad es aproximadamente parabólica y predomina la viscosidad como fuerza. A medida que el agua viaja más lejos el efecto de la viscosidad no puede imponerse y el comportamiento aleatorio en los componentes de la velocidad es sensible y el flujo cambia a turbulento, desarrollándose una capa límite turbulenta (BC). La distribución de velocidad es logarítmica.


Si la superficie del canal es relativamente lisa, la velocidad cercana a la superficie frontera es baja y una película delgada, muy estable se desarrolla sobre la superficie, subcapa laminar, con características viscosas y espesor igual a δ0. La superficie superior de la subcapa laminar es caracterizada por un régimen transicional. Si las condiciones para RU existen a través del canal: recto, sin obstáculo, no hay cambio de sección, rugosidad ni pendiente, no hay obra alguna ni cambio de gasto. Entonces la capa límite turbulenta se desarrolla a partir de C y de ahí en adelante la distribución de velocidad estará definida. En laboratorio la capa límite laminar se elimina con rugosidad artificial al inicio del canal. Al ser los flujos en canales predominantemente turbulentos la capa límite de mayor interés es precisamente esa. 4.2.1 Fronteras lisas y rugosas. La existencia de una subcapa laminar en una capa límite turbulenta permite explicar los conceptos de frontera rugosa y lisa. La superficie del perímetro mojado está formado por irregularidades de relativo pequeño tamaño. Si asociamos el tamaño promedio de estas irregularidades con una rugosidad artificial compuesta por granos de arena, tal como lo investigó Nikuradse para el flujo en tuberías, se puede aceptar la relación que aparece en la tabla 4.1. Es de destacar de la tabla anterior que ks no sólo tiene la altura de rugosidad sino que caracteriza su orientación, arreglo geométrico y espaciamiento.


H. M. Morri (1955), profundiza en el concepto de rugosidad y plantea que las pérdidas de energía en un flujo turbulento sobre una superficie rugosa son debidas a la formación de remolinos detrás de cada elemento rugoso de la superficie. La intensidad de los remolinos en la dirección del flujo determina el carácter de la turbulencia y la capacidad de disipación de energía del flujo.

kS Material de la superficie Según Chow Según R.Raju

Vidrio, bronce, cobre, plomo 0,03 – 0,09 Liso

Acero, hierro dulce o forzado 0,06 – 0,24 0,03 – 0,09

Hierro galvanizado 0,15 – 4,5 0,06 – 0,24 Hierro fundido 0,24 – 5,4 0,18 – 0,90 Listones de madera 0,18 – 0,9 ---- Cemento 0,39 – 1,2 0,27 – 1,2 Cemento 0,45 – 3,0 0,30 – 3,0 Tubería de drenaje 0,60 – 3,0 0,60 – 3,0 Acero remachado 0,90 – 5,0 0,90 – 9,0 Mampostería ---- 6,0 Río natural 30 - 900 ----

TABLA 4.1 VALORES DE kS

Así se definen tres tipos básicos de flujo sobre superficie rugosa: el de rugosidades aisladas, el de solape entre remolinos y el quasi-liso, en dependencia de la altura de la rugosidad y su separación. Chow (1959) plantea que el tipo quasi-liso tiene el mayor factor de fricción que un flujo por una superficie verdaderamente lisa debido a las corrientes secundarias que se producen entre irregularidades. Ranga Raju plantea si δ0 es el espesor de la subcapa laminar su valor puede calcularse según,

∗

ν=δ

v6.11

0 ----------------------------------------------------------- 4.2


donde, ∨* es la velocidad de corte

=ρ

τ gRS0

τo es el esfuerzo cortante unitario en el perímetro ρ la densidad del fluido ν la viscosidad cinemática entonces la proyección de las rugosidades puede o no rebasar la altura de la subcapa laminar (kS < δo o kS > δo). Cuando kS ≤ 0,25 δo la rugosidad está cubierta por la subcapa, de ese modo los efectos de las corrientes secundarias quedan amortiguadas. La superficie es designada como hidráulicamente lisa y la rugosidad no tiene influencia sobre la distribución de velocidades ni sobre la resistencia. La superficie llamada hidráulicamente rugosas, son aquellas definidas por kS ≥ 6 δo. En este caso la altura de la rugosidad se proyecta por sobre la subcapa laminar, esta subcapa es destruida y los remolinos del flujo turbulento están en contacto directo con las proyecciones rugosas. El Número de Reynolds no tiene influencia en la distribución de velocidad y la rugosidad relativa es el parámetro gobernante. 4.2.2 Distribución de v. En la zona de completo desarrollo de la capa límite turbulenta la distribución es logarítmica. La tensión o esfuerzo cortante es un flujo turbulento según la teoría de la longitud de mezclado de Prandtl,

es 2

2

dydv

ρ=τ λ ------------------------------------------------------

4.3 donde: ρ densidad


λ longitud de mezclado (longitud que recorre una partícula sin tener colisión con otra).

dydv gradiente de velocidad.

Para la región cerca de la superficie sólida existen dos hipótesis: - que λ es proporcional a y. ( λ = Koy, donde Ko es la constante

de turbulencia de Von Karman). - que τ es constante. Ya que la tensión de corte en la superficie sólida es igual a la fuerza tractiva unitaria τo, según la segunda hipótesis, τ = τo ------------------------------------------------------------------- 4.4 y se puede escribir

ydy

K1dv o

o⋅

ρτ

= -----------------------------------------------------

4.5 donde Ko es la constante de proporcionalidad entre λy y. El valor de Ko ha sido determinado aproximadamente igual a 0,40 según Backhmeteff. Integrando la ecuación anterior,

o

o

yyln5,2v ⋅

ρτ

= -------------------------------------------------- 4.6

donde yo es una constante de integración. Como se sabe que ,RS

oγ=τ se puede escribir la siguiente:

gRSV o =ρτ

=∗ -------------------------------------------------- 4.7

a este término que tiene dimensiones de velocidad y se denomina velocidad de corte o fricción (V*), entonces,


oyylnV5,2v ⋅= ∗ ----------------------------------------------------- 4.8

lo cual indica que la distribución de velocidad es una función logarítmica de y. Esta es la ley de distribución de velocidad de Prandtl-Von Karman, donde yo es del mismo orden de magnitud que el espesor de la subcapa laminar. Esta ley ha sido comprobada experimentalmente. Cuando la superficie es lisa, la constante yo sólo depende de la velocidad de corte y de la viscosidad cinemática.

∗

ν=

Vmyo -------------------------------------------------------------- 4.9

donde m es una constante igual a 1/9, Chow 1959, para superficies lisas y dependerá de la forma de los perfiles de la onda para superficies rugosas. Entonces, para superficies hidráulicamente lisas,

ν⋅= ∗

∗yV9lnV5,2v ------------------------------------------------- 4.10

Cuando la superficie es rugosa yo depende de la altura de la rugosidad

So mky = ------------------------------------------------------------- 4.11 donde m = 1/30 derivado de los datos experimentales de Nikuradse sobre tuberías rugosas. De ahí se obtiene para superficies hidráulicamente rugosas,

Sky30lnV5,2v ∗= ----------------------------------------------------- 4.12


Debe destacarse la altura de la rugosidad kS es el diámetro medio de los granos de arena utilizados por Nikuradse que reproducen una misma rugosidad real, por lo que se conoce como rugosidad de arena de Nikuradse, tabla 4.1. Las ecuaciones 4.10 y 4.12 representan el perfil vertical de velocidades que existe en un canal ancho que conduce un flujo no estratificado. Usando la ley de Prandtl-Von Karman, Keulegan (1938) derivó la ecuación para la velocidad media en un canal de sección transversal arbitraria. Siguiendo la modificación de Chow (1959) se propone que el gasto total en la sección sea:

∫ ∫ ϕ===d

o

A

odyvdAvAvQ ------------------------------------------ 4.13

donde d es la profundidad del flujo ϕ es la longitud de la curva de igual v. Asumiendo que ϕ es proporcional a la distancia vertical hasta la frontera, se puede escribir que: yP Γ−=ϕ , donde Γ es función de la geometría del canal. Entonces,

∫ Γ−=ϕ=

d

o

2

2dPddyA --------------------------------------------- 4.14

y sustituyendo 4.12 y 4.18 en 4.17 se obtiene,

Γ−−= ∗ A4

d1expRd

yRlnV5,2v

2

o--------------------------------- 4.15

En la ecuación 4.15, yo está en función del tipo de superficie tal como se planteó en 4.9 y 4.11 y el término ( ) ( )( )A4d1expRd 2Γ−− es una función de la geometría de la sección transversal. Tanto Keulegan como Chow plantean su débil variación y asumen que ϕ puede representarlo, así se obtiene,

+ϕ= ∗

oymRln5,2Vv ----------------------------------------------

4.16


la cual representa la ecuación teórica de la velocidad media de un flujo en un canal. Keulegan, citado por French (1985), propone como conclusiones prácticas las que aparecen a continuación: • frontera hidráulicamente lisa

25,3RV

ln5,2Vv

+ν

= ∗

∗

.-----------------------------------------

4.17 • frontera hidráulicamente rugosa

25,6kRln5,2

Vv

S+=

∗

------------------------------------------ 4.18

Para la zona de transición Einstein y Barbarossa (1952) proponen

SkRx27,12log75,5

Vv

=∗

---------------------------------------------

4.19

donde x se obtiene por la figura 4.4. FIGURA 4.4 VALORES DE X EN FUNCION DE ks/δ’0 Para el mismo problema Ranga Raju (1981) partiendo de la ecuación 4.6 plantea,

o0 yyln

k1

Vv

=∗

0.6

1

1.4

1.8

0.1 1 10 100ks/δ

x


y cambiando a logaritmo de base 10, la transforma en,

o0 yylog

k3,2

*Vv

=

sustituyendo k0 por 0,4 queda:

oyylog75,5

Vv

=∗

---------------------------------------------------- 4.20

combinando esta ecuación con los resultados obtenidos de los experimentos de Nikuradze, queda, • para superficies hidráulicamente lisas, 25.0/k 0s ≤δ ,

107y 0

0δ

= y entonces puede plantearse,

50,5yV

log75,5Vv

+ν

= ∗

∗

---------------------------------------

4.21 • para superficies hidráulicamente rugosas, 0.6/k 0s ≥δ ,

30k

y s0 = y queda,

50.8kylog75,5

Vv

s+=

∗

---------------------------------------

4.22 aunque los valores de las constantes están aún en investigación las diferencias encontradas hasta ahora son pequeñas. En la región de transición definida por 0.6/k25.0 0s ≤δ≤ la ecuación puede ser descrita así,

1s

Ckylog75,5

Vv

+=∗

--------------------------------------------- 4.23

donde C1 varía en función de kS/δ0, los valores pueden tomarse de la tabla 4.2.

kS/δ 0,26 0,52 0,78 0,86 2,6 5,2 ≥ 8,0 C1 6,8 7,8 9,3 9,5 9,3 9,0 8,5


TABLA 4.2 CONSTANTE PARA LA ECUACIÓN 4.27 EN LA REGIÓN DE TRANSICIÓN. Para el caso especial de una rugosidad de arena con pequeñas profundidades, R.Raju (1981), citando los datos obtenidos por Singhel (1969), proponen la siguiente expresión para flujo totalmente turbulento,

5,7R

l6,2ylog75,5

Vv

s

o +

+=

∗

--------------------------------------- 4.24

donde lo es una longitud de mezclado adicional, figura 4.5. h es la profundidad del flujo.

FIGURA 4.5 VARIACION DE LA LONGITUD DE MEZCLADO ADICIONAL SOBRE UNA SUPERFICIE LISA. 4.3 Ecuaciones del régimen uniforme. El establecimiento del régimen uniforme está sujeto al cumplimiento de numerosas restricciones físicas para que se cumpla que no exista variación de la profundidad a lo largo del tramo de canal analizado. Esto implica un canal de trazado recto, de fondo con pendiente constante, sin variaciones de gasto, ni de geometría de la sección, ni de sus dimensiones, ni variación de los factores que le dan valor a la fuerza que resisten el movimiento.

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9h/ks

lo/k

s


Si en esas condiciones se aplica la segunda ley de Newton a un volumen de control, figura 4.6, se obtiene,

maF =∑ , por tanto

0FFFsenw R21 =−−+θ , y como y1 = y2 que es la condición de RU, entonces F1 = F2 y queda: wsenθ = FR, o sea que las fuerzas de arrastres son iguales a las fuerzas resistentes. Farrastre = FR

FIGURA 4.6 FUERZAS ACTUANTES EN EL REGIMEN UNIFORME Si ahora se sustituye w por γALsenθ queda: γALsenθ =FR. Ahora el senθ ≈ So para valores de θ pequeños, por la cual la ecuación anterior queda, FR = γALS ----------------------------------------------------------- 4.25 o lo que es igual que la fuerza que se opone al movimiento es idénticamente igual a la fuerza que lo produce. La ecuación 4.25 estableció la relación entre FR y γALSo , ahora FR puede describirse también así, FR = τoPL donde τo es el esfuerzo cortante unitario, por tanto queda que τo = γRS -------------------------------------------------------------- 4.26


4.3.1 Ecuación de Chezy. El esfuerzo cortante puede ser expresado en cualquier sección de la capa límite como: ( )2vC 2

f ρ , siendo Cf el coeficiente de arrastre, entonces igualando queda:

RS2vC

2

f γ=ρ , que despejando v se obtiene

RSC

g2vf

= y al final

RSCv = ------------------------------------------------------------ 4.27 donde C se conoce como la C de Chezy. A.Chezy desarrolló su ecuación en 1769 trabajando en un canal afluente del río Sena. La formulación, tal como aparece en 4.19 ha quedado hasta nuestros días constituyendo un paradigma de la Hidráulica de Canales. Numerosos investigadores han trabajado con ella modificando según sus propias experiencias el valor de C. A continuación tres de las más conocidas. Fórmula de Ganguillet-Kutter. En 1869, estos dos ingenieros suizos, sobre la base de estudios realizados en diferentes canales, de las mediciones hechas por otro investigador, el francés Bazin, y de aforos realizados en el río Misisipi por Humphreys y Abbot, propusieron la siguiente fórmula:

;

Rn

S00155.0231

n1

S00155.023

C

++

++= -------------------------------------- 4.28

donde n es un factor que depende del material de que está formado el lecho de la conducción.


Se debe señalar que en años recientes ha existido la tendencia a eliminar el término 0.00155/S pues este se introdujo en la fórmula para hacerla más concordante con las mediciones del río Misisipi, habiéndose demostrado por Houk en 1918 que estas no eran confiables. Esto no solo simplifica la fórmula sino que además brinda mejores resultados en general. En la tabla 4.3 aparecen los valores de n, propuestos por Kutter para diferentes tipos de canales. Tipo de conducción n Madera bien cepillada Cemento puro Mortero de cemento con 1/3 de arena Madera sin cepillar Sillería u obra de ladrillo bien colocado Obra hasta de ladrillo Mampostería concertada Canales excavados en grava firme Canales y ríos en buenas condiciones Canales y ríos con yerba y piedras. Canales y ríos con malas condiciones

0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.015 0.017 0.020 0.025 0.030 0.035

TABLA 4.3 VALORES DE n PARA DIFERENTES CANALES SEGÚN KUTTER. Tomada de Manual de Hidráulica de H. W. King.

Fórmula de Pavlovski. Propuesta en 1925 por N. N. Pavlovski la fórmula propone

γ= Rn1C --------------------------------------------------------------

4.29 donde n es la n de Kutter y γ es un exponente empírico.

( )10,0nR75,013,0n5,2 −−−=γ ------------------------- 4.30 se establece como restricciones: 0,1 ≤ R ≤ 3 0,011 ≤ n ≤ 0,04 Fórmula de Powell.


El ingeniero R. W Powell propone en 1950 una fórmula en extremo compleja ya que C es función de C y por tanto su cálculo necesita de un algoritmo de tanteo y error. La fórmula es,

∈+=

RNR2,2Clog23C ---------------------------------------------- 4.31

donde ∈ es el factor que cuantifica el material que cubre el perímetro mojado de la sección transversal. La tabla 4.4 muestra los pocos valores de ∈ que aparecen en la literatura. Tipo de conducción Nuevo Viejo Cemento liso Canaleta si encofrado Canal recubierto de Hormigón Canal en tierra, recto y uniforme Canal excavado en tierra

6 . 10-5 3 . 10-4

1.2 . 10-3 0.012 0.030

1.2 . 10-4 5.2 . 10-4 1.8 . 10-3

TABLA 4.4 VALORES DE ∈ρ PARA DIFERENTES CANALES, SEGÚN POWELL. Tomada del Ven te Chow (1959).

Estas tres fórmulas ejemplifican lo expresado anteriormente respecto a la C de Chezy. Nótese que estas fórmulas, al poner el valor de C en función de NR, R, n ó S lo que en realidad hacen es discrepar entre la proporcionalidad entre v y RS , pero lejos de analizar una nueva fórmula lo que hacen es buscar una expresión empírica para el valor de C. 4.3.2 Ecuación de Manning. En el caso de la ecuación de Manning esta fue propuesta por medio de ajuste empírico

2/13/2 SRn1v = ------------------------------------------------------- 4.32

la dimensión de n es (s/m1/3) y entre el SIU y el sistema inglés la conversión es,

=

3/13/1 psn6730,0

msn ------------------------------------------ 4.33


Así la ecuación de forma general es: 2/13/2 SR

nv φ

= -------------------------------------------------------- 4.34

La ecuación propuesta en Irlanda, el 4 de diciembre de 1889, por Robert Manning es una de las más discutidas paternidades en la Hidráulica. En un manual de hidráulica alemán, citado por Enzo Levi (1991), la fórmula aparece pero con Gauckler como autor, presentada en París en 1867, aparece también atribuida a Hagen en 1881. En 1887 el ingeniero francés Vallot propone una fórmula muy semejante con cambio de 0,6667 a 0,65 del exponente de R y finalmente en 1888 Thrupp en Londres propone una fórmula tal que la de Manning es un caso particular. Después de Manning, Foss en Boston y Crimp-Brauges en 1894 y 1895 respectivamente proponen fórmulas idénticas. Por último en 1896, Tutton en E.U. la comprueba en 1000 experimentos, mencionando a Gauckler, Hagen, Foss, Crimp y Burges y olvida mencionar, o desconoce, a Manning. Por su parte el suizo Strickler en 1923 la comparó con otra, llegando a la conclusión de que era la mejor. Strickler citó debidamente también a Hagen, Manning y a Tutton. Por este trabajo comparativo algunos autores denominan la fórmula como: Manning-Strickler cuando todo indica que lo correcto es llamarla fórmula de Gauckler. Como Chezy y Manning describen un mismo fenómeno se puede escribir que

16/1Rn1C = ----------------------------------------------------------- 4.35

Se debe tener cuidado al aplicar estas fórmulas a canales y estudiar su rango de uso cuando se estudie la mecánica del transporte de sedimentos o problemas sobre corrientes aluviales.


4.4 Estimación de los coeficientes de resistencia. El primer problema del uso de estas ecuaciones es la estimación certera de los valores de n o C. En general se espera una dependencia en función de NR, la rugosidad perimétrica y la forma del canal. Se pueden realizar cálculos con algoritmos muy potentes, pero si los valores de C o n están mal definidos entonces el cálculo arroja resultados erróneos. Un error de un 10% en C o en 1/n implica un error similar en la velocidad y el gasto. Burham (1990) menciona una interesante encuesta a 80 profesionales con 10 situaciones diferentes para calcular n. Como caso positivo se menciona aquel en que 43 (54%) recomendaran entre 0,01 y 0,02 (diferencia de 2) y 35 (46%) entre 0,02 y 0,03 (diferencia de 1.5). Y como caso más discrepante aquel que los resultados variaron entre 0,01 y 0,1 (diferencia de 10). En general se espera que tanto C como n dependan del Número de Reynolds, de las condiciones de rugosidad de la frontera y de la geometría del canal. C y n han sido investigados desde el punto de vista de su relación con el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Si,

g2v

R4fS

21

⋅

= y 3/4

22

RvnS = , entonces,

g8fRn 6/1= --------------------------------------------------------- 4.36


fg8c = -------------------------------------------------------------- 4.37

para esto se definen los tipos de flujo turbulento que pueden encontrarse: - el flujo turbulento hidráulicamente liso que se refiere al flujo

en el cual los elementos rugosos del perímetro son totalmente cubiertos por la subcapa laminar

- el flujo totalmente rugoso en el cual los elementos rugosos se proyectan a través de la subcapa laminar y dominan el flujo. En este caso el coeficiente de resistencia es independiente del Reynolds.

Entre estos dos extremos está la región transicional. 4.4.1 Un primer análisis. La diferenciación entre estos tres tipos de flujo se realiza basado en el Número de Reynolds basado en ks y la velocidad cortante

( )gRSV.V 0* =ρτ=• .

γ= s*

*kVNR ----------------------------------------------------------

4.38 donde ks es la longitud que caracteriza el perímetro rugoso y se define como el diámetro de la arena de una superficie rugosa que tiene la misma f, tabla 4.1. La transición se define en los límites, (hidráulicamente lisa) 100R4 * ≤≤ (hidráulicamente rugosa). De esta forma la n de Manning puede definirse para la región rugosa como:

136 10x9,1RSn −= ------------------------------------------------- 4.39 Cuando las fronteras son hidráulicamente lisas y NR<105, f se define según Blasius como:


25,0NR316,0f = -----------------------------------------------------------

4.40 cuando NR>105 pero las fronteras son aún iguales (lisas),

=

51,2fNRlog2

f1 --------------------------------------------------

4.41 para flujo totalmente rugoso:

=

skR12log

f1 ------------------------------------------------------ 4.42

En la región de transición se puede estimar f según Colebrook modificado,

+=

fNR5,2

R12k

log2f

1 s ------------------------------------------- 4.43

Un grupo de trabajo de la ASCE en 1963, concluyó que para canales un diagrama de resistencia f vs NR de tuberías es adecuado para estimar f y así n o C. En el mismo reporte de la ASCE (1963) se dicta que para el caso de alta NR y rugosidades como las que usualmente se encuentran en canales, el factor de fricción es independientemente de NR y muy cercano a R-0,333..., por tanto si se sustituye en 4.36, F ≈ R-1/3 -------------------------------------------------------------- 4.44

g81

g8RR

g8fRn

3/16/16/1 ===

−

------------------------------- 4.45

se concluye que n es constante y su estimación depende de la función que represente las variables que intervienen en su cuantificación. Un análisis sobre el tema realizado por R.Raju (1981) sobre la ecuación de Manning aporta nueva información práctica.


Si se igualan las expresiones de la velocidad dadas por Manning y la obtenida para la frontera rugosa con ley logarítimica se puede plantear,

+= 25.6

kRlog75.5VSR

n1

s*

2/13/2

esta ecuación se puede transformar en

+= 25.6

kRlog75.5gRSRSR

n1

s

6/1

o lo que es igual: 25.6kRlog75.5

gnR

s

6/1

+= -------------------- 4.46

Si la ecuación 4.46 se plotea, figura 4.7 sobre ejes ( )gnR 6/1 y ( )skR se puede aproximar a,

6/1

s

6/1

kR16,8

gnR

= ------------------------------------------------- 4.47

para un rango entre: 700kR5 s << , puede obtenerse que

6,25k

g16,8kn

6/1s

6/1s == (SIU) ------------------------------------ 4.48

de esta forma las ecuaciones 4.32 y 4.48 son tan satisfactorias como la ecuación logarítmica original.


FIGURA 4.7 COMPARACION ENTRE LAS FORMULAS 4.46 Y 4.47 El rango de validez se ha extendido, debido a estudios posteriores, hasta 1500kR S < . Ranga Raju destaca que aunque está injustificado teóricamente la ecuación se emplea para contornos lisos y transicionales. La ecuación 4.48 aporta otra vía para el cálculo de n, conocido ks del material de la frontera. Esta formulación para n no debe llevar a simplificar el análisis exhaustivo del problema, ni despreciar los múltiples factores físicos que intervienen en su variación. Por último, se aborda el tema de la geometría de la sección transversal en la ecuación de resistencia. Si bien R aparece en las ecuaciones 4.17, 4.18, 4.19, 4.27 y 4.32, los datos recogidos en investigaciones en diferentes geometrías dan como resultado que R no es capaz de representar bien las características geométricas de la sección transversal. Si f se define a través de la ecuación de Darcy-Weisbach como

2v

4f 2

o ρ=τ ----------------------------------------------------------- 4.49

o por

1

10

100

0.1 1 10 100 1000 10000R/ks


f8

vv

*= -------------------------------------------------------------- 4.50

cambiando 4.54 con 4.21 y 4.22 respectivamente, queda, • para fronteras lisas

80,0fvR4log2f

1−

υ= --------------------------------------- 4.51

• para fronteras rugosas

34,2kRlog2

f1

s+= ---------------------------------------------

4.52 Se ha demostrado que las ecuaciones 4.51 y 4.52 no predicen el coeficiente de resistencia satisfactoriamente para secciones de diferentes geometrías. Kazemipur y Apelt (1979) concluyen recomendando, después de un análisis de varias fases de datos propone, • para fronteras lisas

80,0fPTvR4log2

PTf

1 25,0

−Ψ⋅

ν=

Ψ

-------------------- 4.53

• para fronteras rugosas

34,2kRlog2

PTf

1

s+=

Ψ

------------------------------------- 4.54

Ψ se calcula sobre la base de T/D según: ( ) ( )

( ) 5.0

5.1

D/T215236.1

D/T002152,0D/T019834,0469695,0−+

+−+=Ψ ---------- 4.55

donde T es el ancho superficial P el perímetro D la relación A/T


Las ecuaciones en su mayoría, no describen fielmente el comportamiento de todas las geometrías y su uso pueden generar incertidumbres en la estimación de los parámetros, aún más, en el caso de secciones compuestas con diferentes resistencias en el canal principal que en las bermas. Un ejemplo de interés es el presentado por Lambert-Sellin (1996) en investigaciones realizadas en Wallingford y en la Universidad de Newcastle obteniendo, en dos canales de secciones compuestas, las siguientes ecuaciones específicas: • canal principal trapecial en llanuras de inundación simétricas

de sección trapecial, superficie hidráulicamente lisa

( ) 38,1fNRlog02,2f

1−=

• canal principal rectangular con superficie hidráulicamente lisa y llanuras de inundación simétricas, de sección rectangular y superficie hidráulicamente rugosas. ––– para el canal principal

( ) 68,1fNRlog02,0f

1−=

––– para las llanuras de inundación

−=

R4k

log02,214,1f

1 s

siendo ks el d50 de la grava que recubría el fondo. 4.4.2 Métodos prácticos para la estimación de n. Como se demostró, la ecuación 4.49 ubica como constante el valor de n en la zona de alto Número de Reynolds y altas rugosidades, lo cual es lo común en canales. De esta forma la ecuación a Manning, estrictamente hablando, solo es aplicable en flujos altamente turbulentos en fronteras rugosas. La estimación del valor apropiado en estos casos se convierte en una cuestión en extremo importante.


Los factores que influyen en la cuantificación n son: La rugosidad del perímetro. La vegetación (en altura, densidad y tipo). las irregularidades de la geometría de la sección del canal las obstrucciones en la sección transversal la alineación en planta la sedimentación en el lecho del cauce el gasto y la profundidad relativa.

La rugosidad del perímetro. Este es el punto de referencia base para una buena estimación de n. Cuando el material que recubre el perímetro es liso, sin irregularidades al tacto, el valor de n es bajo y además no es afectado por el cambio de la profundidad del flujo. Sin embargo, si el material es rugoso, n es alto y se afecta significativamente por la profundidad. Vegetación. El crecimiento de vegetación tiene una acción de retardo sobre el flujo que se cuantifica a través del aumento del valor de n. El valor de n en este caso depende de la profundidad relativa del agua, de la altura de la vegetación, del tipo y de la densidad. Chow (1959) señala que árboles de 150 – 200 mm de diámetro sin ramas sumergidas, creciendo en los taludes, no impiden el flujo tanto como una cubierta de matojos. Debe tomarse en cuenta la regularidad en los mantenimientos del canal. Irregularidades de la sección. Aquí la influencia está centrada en las variaciones de la sección, su forma y el cambio del perímetro mojado a lo largo del eje del canal. Variaciones graduadas usualmente no influyen sobre n, mientras que variaciones bruscas tienen una marcada influencia en el valor de n. Las secciones con geometría compuesta y n diferente, tienen un especial tratamiento.


Obstrucciones. Las obstrucciones en el área mojada de la sección transversal tienen una marcada influencia en el valor de n. Árboles o arbustos flotantes, plantas acuáticas, escombros y otras muchas posibles obstrucciones influyen en el incremento de n. En canales con obras de fabrica estas influyen en el retardo del flujo pudiendo considerarse sobre la n esta afectación. Alineación en planta. El grado de curvatura influye en el valor de n cuando el radio de la curva es pequeño. El ICID recomienda radios de curvatura mayores que 1OT para evitar tales incrementos de n. De igual forma tiene una marcada influencia la presencia de curvas una a continuación de otra. Sedimentación en el lecho del cauce. La sedimentación y los procesos de cambios en el cauce, debido a la erosión y a la sedimentación, tienen efecto en el cambio de n y debe ser considerado como un proceso cambiante en el tiempo. El gasto y la profundidad relativa. En la mayoría de los cauces n cambia al cambiar la profundidad y el gasto, esto se debe a que las irregularidades que influyen sobre n pueden quedar disminuidas al crecer la profundidad. Estos dos parámetros hay que considerarlos cuidadosamente en los casos de las secciones compuestas donde el cauce principal y los secundarios están bien identificados en área, perímetro y características. De estudios en el SERC-FCF, Meyer y Brennan (1990) reportan valores que aparecen en la figura 4.8 para secciones trapeciales compuestas, mientras que en la figura 4.9, aparece el cambio de n en secciones circulares, en ella el subíndice “o” indica el parámetro evaluado para la sección totalmente llena.


Debido a la cantidad y complejidad de los factores que afectan la estimación de n existen innumerables métodos para llegar a un valor aceptable para una situación específica. Como elementos generales antes de abordar alguno de estos métodos debe señalarse que el valor de n tiene una gran significación en el cálculo de la profundidad, sea el régimen uniforme o variado, permanente o impermanente. Es por esa razón que debe en todos los casos posibles estiman n por vacío, métodos y llegar a una conclusión final de la estimación valorando los criterios de diseño y operación de la conducción, a lo largo de su vida útil, o entre mantenimientos, con una valoración técnica y económica de lo que implica uno u otro valor de n.

FIGURA 4.8 RESULTADOS DEL FCF OBTENIDOS POR MEYER-BRENNAN


Método de Cowan. Propuesto en 1956, fue adoptado posteriormente por el “Soil Conservation Service” de los Estados Unidos de Norteamérica, SCS, es una variante más simple que la del SCS, pero que garantiza los mismos parámetros. Su fórmula es:

( ) 54321o m nnnnnn ++++= donde, no es la n básica en función del material, tabla 4.5. n1 cuantifica las irregularidades, tabla 4.5. n2 cuantifica las variaciones de la sección, tabla 4.5. n3 cuantifica el efecto relativo de las obstrucciones, tabla 4.5. n4 cuantifica el grado de influencia de la vegetación, tabla 4.5. m5 cuantifica las curvas en el trazado, tabla 4.5.

FIGURA 4.9 CAMBIO DE n EN SECCION CIRCULAR CON AGUA LIMPIA Tomada del Ven te Chow.


Las especificaciones a tomar en cuanta en la selección del valor de cada parámetro, son muy válidas. A continuación se detallarán: n1

Al seleccionar n1, para el grado “suave” se comparará la superficie con el mejor material que pueda obtenerse de su tipo, “menor” si el canal está bien excavado, “moderado” si los lados están erosionados o el canal es de drenaje, “severo” si la erosión denota afectaciones regulares y para casos de corrientes naturales, canales con pésimo mantenimiento, excavados en roca y secciones muy irregulares.

Condiciones del canal Valor Tierra 0.020 Roca cortada 0.025 Grava fina 0.024

Material del perímetro

Grava gruesa

n0

0.028 Suave 0.000 Menor 0.005 Moderada 0.010

Grado de irregularidad

Severa

n1

0.020 Gradual 0.000 Ocasional 0.005

Variación de la sección

transversal Frecuente n2

0.010-0.015 Despreciable 0.000 Menor 0.010-0.015 Apreciable 0.020-0.030

Efecto de las obstrucciones

Severo

n3

0.040-0.060 Baja 0.005-0.010 Mediana 0.010-0.025 Alta 0.025-0.050 Vegetación

Muy alta

n4

0.050-0.100 Menores 1.000 Apreciables 1.150 Curvaturas en

planta Severas m5

1.300 TABLA 4.5 VALORES PARA EMPLEAR EN LA FORMULA DE COWAN. Tomada del Ven te Chow.


n2 Al seleccionar n2, la variación de la sección se considera “gradual” cuando hay un suave cambio de forma o dimensiones, se considera “ocasional” cuando los cambios son poco frecuentes y distanciados y se considera “frecuente” cuando la sección está cambiando frecuentemente de forma o dimensiones. n3

Para la selección de n3, debe tenerse en cuenta que no deben ser reevaluadas aquí condiciones que anteriormente fueron tomadas en consideración. Debe considerarse como se reduce el área mojada debido a las obstrucciones si estas son redondeadas, angulares, si introducen grandes turbulencias y la posición transversal y longitudinal así como su espaciamiento. n4

El factor n4, cuantifica la vegetación. Se considerará “baja” si se puede comparar con una vegetación densa de hojas flexibles tal como la Bermuda o los pastos azules, si la altura del flujo es 2 ó 3 veces mayor que ella o bien si está compuesta de arbustos flexibles, retoños, arbustos de tipo varillas como el algodón, sauce, si la profundidad es 3 ó 4 veces mayor que su altura. Se considerará “mediana” si se puede comparar con un césped donde la profundidad es 1 a 2 veces el alto de la vegetación, o cubierta de matojos, moderadamente densa semejante a sauces de 1 a 2 años ubicada en los lados sin vegetación significativa en el fondo siempre que R > 0,60 metros. El factor n4 se considerará “alto” si la vegetación es comparable a césped con una altura igual a la del flujo, sauces o arbustos de algodón de 8 ó 10 años con algunos hierbajos sin vegetación en el follaje en la época de invierno con R > 0,60 metros o en la época de crecimiento sauces de 1 año intercalados con hierbajos con


mucho follaje a lo largo de los lados sin vegetación en el fondo y R > 0,60 metros. Por último, n4 se considerará “muy alto” si el follaje es tal que la altura del agua es menor que el alto de la vegetación, o en la época de crecimiento arbustos, o matojos espesos de un año intercalado con hierbajos con mucho follaje en los lados del canal o una densa vegetación en el fondo, o en la etapa de crecimiento arbustos intercalados con hierbajos y matojos de denso follaje con R > 3 metros. m5

Por último la selección de m5 depende de la relación entre la longitud de las curvas y la longitud de los tramos rectos. El método del Soil Conservation Service (SCS). Se estima n a partir de un valor básico y su corrección a partir de los factores que miden específicamente (Urquhart, 1975). En este proceso cada factor se evalúa independiente. El SCS sugiere que la turbulencia se utilice como un indicador del retardo (alta turbulencia → alto n). Los pasos a seguir son: 1. Seleccionar la n1 básica, tabla 4.5. Aquí el canal se ve sobre su

material base, sin vegetación, obstrucciones y demás factores que serán cuantificados posteriormente. A este nivel n = n1.

2. Modificación por vegetación, tabla 4.5. El retardo de la vegetación se cuantifica: n2. La información suministrada por el SCS debe emplearse muy críticamente buscando la mayor similitud entre la situación real y la tabulada. A este nivel n = n1 + n2.


3. Modificación por irregularidades del canal, tabla 4.5. Hay que considerar cambios en el área mojada y cambios en la forma geométrica de la sección. Los cambios del área se analizarán relativa al área promedio. En ambos casos hay que considerar las restricciones que ofrece al flujo el cambio de área o de forma o dimensiones de la sección. La modificación se cuantifica: n3 y a este nivel n = n1 + n2 + n3.

4. Modificación por obstrucción del área mojada, tabla 4.5. La modificación se cuantifica por n4. La tabla del SCS incluye que se valore depósitos, escombros, raíces expuestas, tocones, cepas y troncos. Debe tomarse en cuenta la obstrucción física del área, el grado de turbulencia que crea, la posición respecto a la dirección del flujo y el espaciamiento. A este nivel:

5. n = n1 + n2 + n3 + n4. 6. Modificación por alineación, tabla 4.5. Esta última

modificación es más objetiva ya que la tabla tiene tres opciones en función de la relación entre la longitud de las curvas consideradas (lC) y la longitud de los tramos rectos (lR). La tabla que ofrece French (1985), para emplear en este caso especifica este parámetro de la siguiente forma: Si (lC/lR) entre 1.0 y 1.2 el grado de clasificación es menor. Si (lC/lR) entre 1.2 y 1.5 el grado de clasificación es apreciable. Si (lC/lR) mayor que 1.5 el grado de clasificación es severo. Esta modificación se cuantifica según n5 y el incremento en rugosidad será: n5 = m5 ( n1 + n2 + n3 + n4 ).

7. La n finalmente estimada será: n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 --------------------------------------

4.55 Método de medición de la velocidad. Desde el punto de vista teórico el valor del coeficiente de resistencia puede medirse a partir de la medición de la velocidad. En flujos turbulentos e hidráulicamente rugosos la distribución de v según 4.12 es:


ss ky30logV75,5

ky30lnV5,2v ∗∗ ==

Si v02 es la velocidad a 2/10 de la profundidad o sea, a 0,8d sobre el fondo, donde d es la profundidad y V02 es la velocidad a 8/10 entonces:

s02 k

d24logV75,5v ∗= ----------------------------------------------- 4.56

s08 k

d6logV75,5v ∗= -------------------------------------------------4.57

despejando V* de 4.61 y 4.62 a igualándolas V* = V* , por tanto,

s

08

s

02

kdlog778,0

v

kdlog381,1

v

+=

+, si ahora

08

02

vv

=χ , entonces

ss kdlog381,1

kdlog778,0 +=

+χ , que se simplifica a,

ss kdlog381,1

kdlog778,0 +=χ+χ , y a su vez se convierte en,

ss kdlog

kdlog381,1778,0 χ−=−χ , que al final queda como,

χ−−χ

=1

381,1778,0kdlogs

-------------------------------------------- 4.58

de otra parte se sabe, Keulegan (1978), que para zonas hidráulicamente rugosas se cumple que,

+=

+= ∗∗

ss kRlog75,525,6V

kRln5,225,6Vv

entonces asumiendo que R ≈ d y sustituyendo sk

Rlog por 4 se

tiene, ( )( )1

95,078.1Vv

−χ+χ

=∗


si se establece que,

gC

gRSRSC

Vv

==∗

usando la relación 61

Rn1C = , entonces se tiene que

n13,3d

Vv 6

1

⋅=

∗

y

entonces, ( )( ) n13,3

d1

95,078,1 61

⋅=

−χ+χ , de donde se obtiene,

( )( )95,057,5

d1n6

1

+χ−χ

= -------------------------------------------------- 4.59

donde 08

02

vv

=χ

Esta ecuación se aplica en canales anchos con flujos totalmente rugosos (distribución logarítmica). Chow en 1959 vaticinó esta hipótesis pero no se comprobó hasta que en 1977 French y McCutecheon la verificaron en Tenessee. Fórmulas empíricas. Numerosas fórmulas aparecen en la literatura para el cálculo de n en las condiciones predefinidas de los experimentos que se desarrollaron. Dos grandes aplicaciones se desprenden de estos trabajos, la de posibilitar reproducir un lecho de material graduado con n conocida, lo cual es importante para el desarrollo de modelos físicos a escala reducida. La otra aplicación es la de brindar una fuente de referencia para estimaciones de n. Algunas de estas fórmulas empíricas son: • Meyer-Peter y Muller (1948)


Para materiales no cohesivos de partículas predominantemente gruesas, sugieren 6

1

090d038,0n = ------------------------------- 4.60 donde d090 es el diámetro en metros del material del lecho tal que el 90% en peso es menor.

• Limerios (1970) citado por el HEC-RAS, obtuvo una expresión

estudiando once cauces con materiales que van desde pequeñas gravas hasta cantos rodados de tamaño medio.

+

=

84dRlog216,1

R1129,0n6

1

----------------------------------------- 4.61

donde R está en metros (0,3 ≤ R ≤ 1,83) d84 diámetro del material en metros que iguala o excede

el 84% de las partículas. (1,5 mm ≤ d84 ≤ 250 mm).

Los trabajos de Limerios por sus características proporcionan una buena base para determinar la n básica del método de Cowan.

• Simons y Senturk (1976).

61

0d047,0n = ----------------------------------------------------- 4.62 d• diámetro (mm) de arena, uniformemente seleccionada y

ubicada en los lados y fondos del canal, utilizada en 1923 por Strickler en sus experimentos.

• Raudkin (1976)

Plantea para el mismo material dos expresiones 6

1

0d042,0n = --------------------------------------------------- 4.63 donde está dada en metros.

61

065d013,0n = -------------------------------------------------- 4.64


donde d065 es el diámetro del material del lecho en milímetros tal que el 65% del material en peso es menor.

• Garde y Raju (1976); Subramanya (1982) Para el mismo material plantearon en su momento

61

50d047,0n •= ---------------------------------------------------- 4.65 donde d050 es el diámetro del material del lecho en metros, tal que el 50% en peso es menor.

• Blalock y Sturm (1981).

Cuando las paredes se comportan como hidráulicamente rugosas, la ecuación de Nikuradze puede ser empleada para calcular f y emplearse la fórmula de Darcy-Weisbach en cada subsección,

i

iGN

i kRClogC

f1

= ----------------------------------------------- 4.66

donde ki es la rugosidad equivalente de las paredes fi es el factor de fricción

CG un coeficiente que depende de la geometría de cada subsección. CN coeficiente de Nikuradze que usualmente se toma igual a 2.

Calculando ni a partir de fi se tiene,

i

iGN

61

ii

kRC

logC*g8

Rn = ---------------------------------------

4.67 • Jarret (1984)


Desarrolló una ecuación para cauces con S0 > 0,002 estudiando más de veinte cauces.

16,038,0f RS39,0n −⋅⋅= ------------------------------------------ 4.68

Sf pendiente de la rasante friccional, si no se conoce se iguala a la del agua. R en metros. La ecuación es aplicable a: cauces estables de material friccional, para 0,002 < S0 < 0,04 y 0,15 < R < 2,1 en corrientes sin sedimentos.

• Ahmed y Saad (1992). S. E. Ahmed y M. B. Saad realizan un estudio en los canales Manoujy, Beher y Tawfiky en el Delta Barrage, Egipto. Son canales excavados en tierra con el fondo de arena de diámetro medio 0,40; 0,38 y 0,35 mm respectivamente, que fueron sometidos durante un año a un estudio de rugosidades. Ahmed-Saad estudiaron tres fórmulas para el cálculo de la rugosidad relacionadas con la C de Chezy,

=

skR12log18C según Colebrook-White (1937) ----------

4.69

61

s

Rk25C

61= según Manning (1959) ------------------------- 4.70

5,0'

90CC

θθ

= según Engelund y Hansen (1967) --------- 4.71

donde C90 es la rugosidad acorde con las partículas θ´ y θ son parámetros de Shields. El cálculo de C90, θ y θ´ se realizó según,

=

5090 D

R2log18C --------------------------------------------- 4.72


( ) 50p D1RS−γ

=θ ------------------------------------------------- 4.73

06,04,0 2´ +θ=θ ----------------------------------------------- 4.74 donde γp es el peso específico de las partículas que sedimentan en el canal. En las series analizadas llegaron a la conclusión que los errores en las fórmulas empleadas fueron altos y para disminuirlos tuvieron que calibrar el parámetro ks. Para estos emplearon la relación dada por Van Riju (1984), ks = ks partículas + ks forma ------------------------------------- 4.75

−∆+=

λ∆

−25

gos e1.11.1D3k ------------------------------- 4.76

donde D90 el diámetro para el cual 90% en peso es más fino ∆ y λ son coeficientes de forma de altura y longitud. Por su parte Ahmed-Saad calibrando KSpartícula y KSforma encontraron

01824,0DR1049.5k90

6Spart −= −∗ ----------------------------- 4.77

55,0732,0

Sforma 972,0k

λ∆

∆= − ---------------------------------- 4.78

y la calibración de las fórmulas de Engelund-Hansen reveló, 095,0324,0329,0 ´´ +θ+θ=θ ------------------------------ 4.79

Como conclusión plantean como las mejores fórmulas las de Colebrook-White y Manning con el parámetro ks calibrado mientras que la de Engelund-Hansen sobrestima el coeficiente C.


Este trabajo deja claro la necesidad de contar con más investigaciones de campo como base para la preparación de modelos de estimación de la rugosidad.

• HEC-RAS (1998) Propone una ecuación para calcular n como función de ks

=

SkR2.12log18

Rn6

1

-------------------------------------------- 4.80

donde R y ks en metros.

• Freeman, Rahmeyer, Derrik y Copeland (2000). Gary E. Freeman y sus colaboradores presentan, en Internet, un trabajo sobre la estimación del valor de n en las llanuras de inundación de secciones naturales con arbustos y arboles. El trabajo es el resultado del Programa de Investigaciones de Control de Avenidas en Canales de la Waterways Experiment Station del Cuerpo de Ingenieros del Ejercito de E.U.

FIGURA 4.10 ESQUEMA DE VARIABLES QUE ENTRAN EN LOS CÁLCULOS. Dos fórmulas son presentadas, - Para flujo sumergido: Y0 > 0,8 H

2/13/2481.1115.0

273.0i

243.0

0

183.0

i

ssn SR

*V1

R)MA(

YH

AAE

K183.0n

ν

ρ

=

- Para flujo parcialmente sumergido: Y0 < 0,8 H


2/13/2924.0490.0

0547.0*i

207.0

*i

ssn

5 SR*V

1R)MA(AAEK10.159.9n

ν

ρ= −

donde, Ai es el área frontal de cada planta individual calculada según

(H’W), en unidades inglesas (p2). As es el área total de la sección de las ramas de cada planta

medida a H/4 desde la base de la planta, (p2). Es es el módulo de rigidez de cada planta, (lbs/p2). g aceleración de la gravedad (32.2 p/s2) H alto de la planta en posición vertical (p). H’ alto de la masa de ramas de la planta en posición vertical

(p). Kn unidades de conversión para la fórmula de Manning igual a

1.49 f1/3/s (1 m1/3/s en unidades métricas). M número de plantas por p2. Y0 profundidad del flujo en p. W ancho promedio de los troncos, p. ν viscosidad en p2/s. ρ densidad en slugs/p2 . Ai

* es calculada como: Ai* = [Y0 - (H - H’)] W. V* es calculada según: V* = (gRS)1/2 El módulo de rigidez se puede calcular ajustando una función sobre la base experimental de G.Freeman y entonces obtener,

3

s

2

ssS D

H8.37DH454

DH160000E

+

+

=

donde: ES es el módulo de rigidez en lb/p2 El valor de n en las fórmulas presentadas por Freeman y sus colegas deben ser calculada mediante aproximaciones sucesivas ya que n depende del valor de la profundidad, por tanto se sugiere el siguiente algoritmo: Algoritmo.


1. Suponer el valor de la profundidad. 2. En dependencia de la relación entre Y0 y H, definir una de las

dos fórmulas a emplear. 3. Calcular n. 4. Calcular el gasto según Manning: QM. 5. Comparar el gasto de dato con QM y

Si QDATO ≠ QM, regresar al punto 1. Si QM = QDATO ± error, terminar el cálculo.

Tablas para la estimación de n. Numerosos autores han desarrollado tablas para poder elegir el valor de n. Al final del capítulo aparecen las tablas planteadas por Chow (1959) y Horton, publicada esta última por W. H. King (1963), Anexo 1. Fotografías y descripción para la estimación de n. Tal vez uno de los métodos más útiles es este, ya que el especialista ve las fotos representativas del canal, lee la descripción del mismo y puede así identificar lo más cercano o su caso real. El U.S. Geological Survey tiene un buen trabajo en esta dirección referenciado por French (1985). El trabajo se refiere a los ejecutados por Barnes (1967). Por su parte Chow (1959) cita a Scobey (1939) y a Ramser (1929) que en su momento realizaron una meritoria labor en este sentido, en ambos casos para el Departamento de Agricultura de los E.U. Los cálculos realizados por el U.S.G.S. para determinar en cada caso el valor de n que acompaña a cada foto se realizaron


midiendo el gasto, los perfiles del agua, las propiedades de la conducción, definiendo más de dos secciones en cada caso. La fórmula empleada fue:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

21

32

32

n

2J J1J

J,1J

n

2JJ,1Jvnv1v

ARARL

hkhhhh

Q1n

∆+−+

=∑

∑

= −

−

=−

---------------------- 4.81

Con referencia a la figura 4.11,

h es la elevación del agua respecto al plano de referencia hv es la carga a velocidad (α V2 / 2g). ∆hv es el cambio en carga a velocidad k coeficiente (o si es > uniforme el canal y 0,5 ni no lo es) L distancia entre secciones.

4.4.3 Secciones con rugosidad compuesta. En muchos canales la rugosidad varía a lo largo del perímetro y en esos casos es necesario calcular el equivalente o rugosidad representativa de todo el perímetro. La rugosidad equivalente o efectiva es la usada en el cálculo del régimen uniforme en estos canales.


FIGURA 4.11 PLANTA Y PERFIL PARA LA FORMULA 4.73

FIGURA 4.12 UN EJEMPLO DE UNA SECCION CON RUGOSIDAD COMPUESTA En canales naturales o secciones compuestas, el área mojada es dividida en subsecciones asociadas a los coeficientes n conocidos, figura 4.12. En los métodos que se exponen a continuación, el cálculo de Pi no incluye la frontera imaginaria de una u otra división entre subsecciones, figura 4.12. Los métodos son:

a. Horton (1933) y Einstein (1934).


Asumiendo que la velocidad media es igual a la velocidad media en cada subsección: .v....vvv n21 ===

( )3

2

23

P

nP

n

n

1

ii

e

=∑

--------------------------------------------------

4.82 donde n es el número de subsecciones en que se divide la sección. Esta situación se da comúnmente en la realidad debido a causas naturales o al propio diseño de canales donde los lados se revisten de un material y el fondo de otro. En corrientes con sedimentos que se depositen en el fondo del canal la diferencia de n entre paredes y fondo se va acrecentando a lo largo de la vida útil de la conducción. b. Pavlovski (1931), Mülhojer (1933) y Einstein-Banks (1950).

Asumen que la fuerza total que resiste el movimiento es igual a la sumatoria en cada subsección, entonces.

( )

21

P

nP

n

n

1

2ii

e

=∑

----------------------------------------------- 4.83

c. Lotter (1933). Asume que el gasto total es igual a la suma de los gastos de los subsecciones, entonces,

∑=

n

1 i

ii

e

nRP

PRn3

5

55

------------------------------------------------- 4.84


En el diseño de canales o en instalaciones de laboratorio, incluso de sección simple, los ángulos de la frontera de la sección son bisecados y la subdivisión se compone del perímetro, la superficie del agua y la intersección de los ángulos. Los métodos descritos a continuación pueden usarse en canales naturales. Un ejemplo comparativo de las tres variantes propuestas aparecen reflejadas en las figuras 4.12. La forma geométrica de la sección y sus dimensiones se toman de un ejemplo expuesto por French (1985). d. Propuesta de R.G. Cox (1973), del US Army Corps of

Engineers, de Los Angeles.

AAnnn

1

iie ∑= ------------------------------------------------ 4.85

e. Método de Colebatch y Cox (1973).

3/2n

1

2/3iie AnAn

= ∑ -------------------------------------- 4.86

en general cualquiera de los cinco métodos son saltisfactorios, aunque no se conoce su precisión en una aplicación particular.


FIGURA 4.12 EJEMPLO DE FRENCH AMPLIADO A VARIAS PROFUNDIDADES PARA COMPARAR EL RESULTADO DE LA S FORMULAS DE ne.

22.252.5

2.753

3.253.5

3.754

0.018 0.02 0.022 0.024 0.026ne

y4.89 4.88 4..90 4.87 4.91


CAUCE NATURAL CON LLANURAS DE INUNDACION FORMADAS POR DEPOSITOS DE MACADAM. NOTESE EN LA MARGEN IZQUIERDA EL CRECIMIENTO DE ARBOLES Y ARBUSTOS CERCA DEL CAUCE PRINCIPAL.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme 253

5 CÁLCULOS ASOCIADOS AL RÉGIMEN UNIFORME

Después de estudiar la teoría del régimen uniforme, este capítulo complementa aquella con los cálculos asociados a este régimen de circulación. El análisis se extiende a las secciones compuestas, de tanta importancia para los cálculos de conducciones libres naturales y en aquellos casos de secciones diseñadas por el hombre, la geometría se complica para facilitar el trabajo hidráulico de la conducción. El final del capítulo se dedica a la relación entre el régimen uniforme y el crítico y a conceptos y parámetros tan importantes como los de pendiente crítica y pendiente límite. 5.1 Factor de Sección y Módulo de Gasto. Si se utiliza la ecuación de Manning y se transforma convenientemente se puede obtener:

32

ARn1

vsQK == ------------------------------------------------------- 5.1

donde K es el denominado módulo de gasto. El parámetro AR2/3, dependiente solamente de la geometría y las dimensiones de la sección, se denomina factor de sección,

vsQnARY 3

2== ------------------------------------------------------- 5.2

Entonces puede plantearse la relación entre K y Y,

Yn1K = ---------------------------------------------------------------- 5.3


El factor de sección y el módulo de gasto para una sección transversal y una n dada, son función de la profundidad de circulación y solo existe un valor de y para cada valor de Y o K en el caso de secciones transversales abiertas. Las secciones cerradas, como la circular, pueden presentar otras características debido a la geometría específica de cada una de ellas, figura 5.1. De forma general puede plantearse que, para un gasto dado, una rugosidad dada y una pendiente de fondo, en una geometría definida, por su forma y dimensiones, el régimen uniforme solo puede circular con una profundidad, denominada: profundidad normal de circulación. 5.1.1 El exponente hidráulico del régimen uniforme. Como K es una función de y para una rugosidad, toma y dimensiones de la sección transversal, puede plantearse

No

2 yCK = ------------------------------------------------------------- 5.4 donde, Co es una constante. N es el denominado exponente hidráulico del régimen uniforme. Desarrollando una expresión para N se obtiene,

ylnNClnKln2 o += derivando ambos términos,

( )y2

NKlndyd

= ---------------------------------------------------------- 5.5

Ahora a partir de a ecuación 5.2 y asumiendo que n no varíe en la profundidad puede plantearse que,

32

ARn1K =

Aplicando logaritmo y derivando respecto a y se obtiene:


( )dydR

R1

32

dydA

A1Kln

dyd

+=

FIGURA 5.1 GRAFICO DEL FACTOR DE SECCION PARA ALGUNAS SECCIONES ABIERTAS Y CERRADAS. como dA = Tdy entonces,

( ) ( )

−+=

+=

dydPRT

P1

AP

32

AT

PA

dyd

AP

32

ATKln

dyd

( )

−=

dydPR2T5

A31Kln

dyd ----------------------------------------- 5.6

entonces igualando 5.5 y 5.6 queda

−=

dydpR2T5

A3y2N ---------------------------------------------------5.7

La ecuación 5.7 es la formulación general para el exponente hidráulico del régimen uniforme.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7AR^2/3

y/d

y/b

Circular Portal Rectangular Herradura Trapecial


Si se particulariza esta expresión en diferentes geometrías se obtienen resultados interesantes. Algunos de ellos son los siguientes: Caso: sección trapecial.

2mybyA += 2m1y2bP ++= , por lo que 2m12

dydp

+=

my2bT += entonces, según Chow (1959):

⋅++

+

−

+

+

=

bym121

bym1

38

bym1

bym21

310N

2

2

------------------ 5.8

Una expresión similar fue desarrollada por Chugaev (1931) pero empleando fórmula de Chezy. La ecuación 5.8 indica la existencia de una familia de curvas como función de m y ( )b/y , figura 5.2. Las curvas indican que N se mueve en una rango entre 2 y 5.3. Caso: sección rectangular. Como caso particular puede llegarse al valor de N a partir de 5.8 haciendo m = o, entonces

( )( )b/y21b/y

38

310N

+−= ----------------------------------------------- 5.9

Caso: Sección triangular. Para esta sección,

2myA = 2m1y2P += por lo que 2m1

dydP

+=

my2T =


entonces la ecuación 5.7 queda,

( )

+

+−= 2

2

2

2 m12m1y2

my2my10my3

y2N

316N = , constante --------------------------------------------------- 5.10

FIGURA 5.2 COMPORTAMIENTO DE N PARA DIFERENTES SECCIONES. 5.2 Cálculo del gasto y la profundidad normal de circulación

en canales con sección de geometría simple. Se denomina profundidad normal de circulación, yn, a la que existe para una geometría y dimensiones definidas, para un valor de rugosidad equivalente para toda la sección, una pendiente de fondo estable y un gasto constante, si y solo si, el régimen es uniforme. Entonces puede plantearse que:

0.01

0.1

1

10

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5N

y/b

y/

d

m=0 m=0.5 m=1 m=2 m=6 circular triangular


yn = f (geometría, dimensiones, n, so, Q) ----------------------- 5.11 De igual forma para una profundidad dada en un canal de geometría y dimensiones definidas, para un valor de rugosidad equivalente para toda la sección y una pendiente de fondo estable, el gasto calculado por las fórmulas del régimen uniforme será el que asegure que la profundidad definida inicialmente sea la profundidad normal de circulación. 5.2.1 Cálculo de la profundidad normal. Dentro de los parámetros que influyen en el cálculo de yn la rugosidad es el que más incertidumbre aporta y por tanto el que con más cuidado hay que predecir. Planteando la ecuación de Manning como fórmula de trabajo se tendrá que

21

32

SRn1V =

empleando la ecuación de continuidad se transforma en, 2

13

2SAR

n1Q = -------------------------------------------------------- 5.12

entonces puede enunciarse que para el resto de los parámetros conocidos la profundidad que haga que se cumpla la igualdad dentro del rango de error preestablecido será, para ese error, la yn, lo que se puede plantear como,

( ) Qyn eSARn1Q 2

13

2±= ---------------------------------------------- 5.13

donde eQ es el error preestablecido relativo a Q. En el cálculo normal y para muchas aplicaciones de diseño preliminar un error de [± 0,01Q] (uno por ciento) es aceptable, pero si se emplea el cálculo numérico auxiliado de un medio de cómputo electrónico se pueden lograr yn con errores tan bajos como se desee.


La solución de la ecuación 5.13 se convierte en un pequeño problema numérico para la mayoría de las geometrías de la sección transversal. • Solución directa: sección triangular. Como para esta sección se cumple que: A = my2 y

2m1y2P += entonces,

( ) 32

38

353

2

32

22

22

m12

ym

m1y2

mymyAR+

=

+=

y yn puede calcularse de forma directa,

( ) 83

35

32

mm12

SQny

2

n

+⋅= ------------------------------------------ 5.14

• Casos en que la solución no es directa. Existen numerosas técnicas y métodos para la solución de yn en los casos en que la geometría de la sección transversal es simple. Dentro de estas geometrías simples se encuentran secciones transversales abiertas y cerradas y dentro de las secciones cerradas hay que diferenciar aquellas en que su techo cierra bruscamente (sección cajón) de aquellas en que el cierre es gradual en forma curvada (circulares, portal.....). Estas últimas presentan características geométricas tales que cálculo de la profundidad normal o el gasto se complica si está asociado a altas profundidades de circulación. De forma general las alternativas de cálculo numérico que se verán a continuación son validas en todos los casos teniendo en cuenta las particularidades que la geometría de cada sección impone.


Una solución iterativa empleando bipartición.

Como se explicó para el cálculo de yc esta técnica numérica es muy factible para la solución de estos problemas. Los detalles del procedimiento se explican en el capítulo 2. Una propuesta de algoritmo, expresado en una secuencia de decisiones, se expone a continuación: Algoritmo. 1. Seleccionar los límites iniciales. 2. Calcular ( ) 2/LimLimy minmaxn −=

3. Si ( )Q001,0QSARn1

21

32 ∗±=

entonces se habrá llegado a la

solución con un error igual o menor que 0,1%. 4. Si no se cumple el punto 3 hay que verificar el sentido del

error.

Si nySARn1Q 2

13

2

< entonces hay que aumentar el límite

mínimo: Limmin = yc y regresar al punto 2.

Si nySARn1Q 2

13

2

> entonces hay que disminuir el límite

máximo: Limmax = yc y regresar al punto 2.

Una solución de iteraciones utilizando Newton-Raphson. Esta variante, dentro de las alternativas de las soluciones iterativas, es de las que proporciona mayor rapidez de convergencia siempre que el primer punto esté bien seleccionado o que la curva respuesta tenga una sola concavidad. Para la profundidad normal las funciones a emplear son las siguientes: Para F (y)

( )S

QnARyF 32

−=


cuando F(y)=0, la solución se ha encontrado. Para F’ (y)

( ) ( ) 32

31

32

32

TRdydRAR

32

dydARR

dydAy´F +=+= −

( )dydPR

32TR

35y'F 3

53

2−= ------------------------------------------ 5.15

El término dydP se resuelve para cada sección en particular y se

adiciona a la expresión. De esta forma la nueva interacción da como valor para y,

[ ][ ]i

ii1i y´F

yFyy −=+ ------------------------------------------------------- 5.16

En este caso la propuesta de algoritmo es el siguiente: Algoritmo. 1. Resolver dy/dP para la sección específica y completar 5.15. 2. i = 1 3. Suponer yi. 4. Calcular F (yi ) y F’(yi ). 5. Calcular la yi+1 según 5.16.

6. Si ( )Q001,0QSARn1

1yi

21

32 ∗

+

±=

entonces se habrá llegado a

la solución con un error igual o menor 0,1% y yn = yi+1. 7. Si no se cumple el paso 6, se debe calcular el error de la

iteración para comprobar que siempre disminuya, de no ser así la yi supuesta en el paso 3 se debe cambiar.

Q

QSARn1

e

21

32

1i

−=+ ------------------------------------------- 5.17

Si i ≥ 2 entonces: Si ei < ei+1 recomenzar por el paso 3 con una y diferente.


Si ei > ei+1 continuar el paso 8. 8. Hacer i = i + 1 y regresar al paso 4. Una solución gráfica por etapas.

Idéntica técnica a la utilizada para el cálculo de yC, solamente cambiando la ecuación de cálculo. El algoritmo sería como sigue, Algoritmo. 1. Seleccionar dos valores de la profundidad y1 y y2.

2. Evaluar Q1 y Q2 según 21

32

SARn1 empleando para cada caso y1

y y2. 3. Graficar y1–Q1, y2–Q2 en un plano y-Q, sobre ejes a una escala

suficientemente grande. Si los ejes son logarítmicos la solución se obtendrá más rápido.

4. Interpolar o extrapolar, sobre la recta trazada uniendo los puntos 1 y 2, el valor del gasto de cálculo (Qcalc) y así obtener un nuevo valor de la profundidad (ynuevo) con el cual evalúan A y R.

5. Si ( )Q02,0QSARn1

21

32 ∗±=

entonces se habrá llegado a la

solución con un error menor o igual al 2% que es aceptable para este método.

6. Si no se cumple el punto 5 se agrega el nuevo valor y-Q al gráfico y la recta, que unía dos puntos originalmente se sustituye por una curva suave que pase por los tres puntos.

7. Se interpola con (Qcalc) sobre la curva y se obtiene una nueva profundidad con la cual se evalúan A y R y se regresa al paso 5.

Una solución por interpolación numérica.

Una variante del anterior algoritmo, se puede emplear para solucionar el cálculo de la yn a partir de sustituir la confección de la gráfica y la interpolación o extrapolación sobre ella por una


rutina numérica a partir de una función spline o un polinomio de segundo o tercer grado. Como la función spline no extrapola, dos de los puntos deben darse bien alejados de la posible solución para garantizar la interpolación. La técnica puede realizarse con cualquier otra función e incluso con la adición de un proceso de eliminación de puntos alejados, por ejemplo, si se utiliza un polinomio de segundo grado, se seleccionan tres puntos arbitrarios se evalúan los coeficientes de la función, se interpola o extrapola y de no cumplir el nuevo punto se reevalúan los coeficientes de la función, pero de los cuatro puntos, solo se toman los tres de menor error relativo, y así sucesivamente. Esos algoritmos son de rápida convergencia. Una solución basada en gráficos adimensionales.

Chow (1959) propone una gráfica sobre ejes adimensionales para las secciones trapecial, rectangular y circular que es en extremo útil para determinar la yn. Dimensionalmente 3

2AR es 3

83

2LLL2 =∗ por tanto si se presenta un

gráfico con los ejes según:

Eje X: y/L Eje Y: 38

32

38

L/ARL/S

Qn=

donde L es una longitud característica de la geometría, que en el caso de las secciones trapeciales es b y en caso de las circulares el diámetro do. En la figura 5.3, aparecen gráficos para este método y a continuación la secuencia de trabajo con ellos. La secuencia de cálculo es, 1. Verificar que el talud de la sección trapecial esté entre los que

aparecen en la gráfica, o que sea una sección circular.

2. Calcular S/Qn y dividir el número resultante entre 38

b si la

sección es trapecial, o entre 38

od si la sección es circular. 3. Ir al gráfico correspondiente y calcular y/b o y/d según sea el

caso y calcular el valor de y. Evaluar A y R.


4. Si ( ) ( )Q02,0QSARn/1 21

32 ∗±= se llegó a la solución con un

error menor o igual al 2%, valor muy aceptable para un método gráfico.

5. Si no se cumple el punto 5 tomar el valor de y hallado en el punto 3 y utilizar una técnica de iteraciones para lograr el valor final.

• Una solución analítica para secciones trapeciales. Una solución muy particular, solo para secciones trapeciales y rectangulares, se encuentra a partir de la ecuación de Manning, esta solución puede ser útil en las rutinas de diseño de la sección transversal., donde la elección previa de (b/y) puede ser factible. El desarrollo es como sigue:

Como se sabe 21

32

SARn1Q = y esta expresión puede escribirse

así, 32

ARS

Qn=

que para una sección trapecial queda,

( )3

2

2

22

m1y2b

mybymybyS

Qn

++

++=

y de aquí se obtiene, 3/2

2

3/53/8

m12yb

1myby

SQn

++

+=


FIGURA 5.3 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL DE CIRCULACION EN SECCIONES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

0.01

0.1

0.0001 0.001 0.01 0.1

AR^0.67/b^8/3 AR^2/3/d^8/3

y/b

y/d



0.1

1

0.001 0.01 0.1 1 10

AR^0.67/b^8/3 AR^2/3/d^8/3

y/b

y/d



1

10

0.1 1 10

AR^0.67/b^8/3 AR^2/3/d^8/3

y/b

y/d


de donde se obtiene para secciones trapeciales

8/3

8/5

4/12

n SQn

myb

m12yb

y

+

++

= ---------------------------------- 5.18

que para secciones rectangulares, haciendo m = o se tiene,

8/3

8/5

4/1

n SQn

yb

2yb

y

+

= -------------------------------------------- 5.19

Estas dos últimas ecuaciones pueden ser muy útiles en el diseño de estas secciones transversales, a partir de una rutina de calculo que se base en suponer el valor de (b/y) como primer paso del algoritmo. Soluciones aportadas por Valle Cuellar (1994).

Para secciones trapeciales

( )

63,0

ni3

82

1 bS73,0mnQ30,1by

+= ------------------------------------ 5.20

y propone iterar con

( )i

40,02i

60,0

n myb

m1y2bS

nQ

y1i +

++

=+

-------------------------- 5.21

hasta que las profundidades en dos iteraciones sucesivas no difieran sin dar criterio de error para terminar el cálculo. Para secciones circulares

508,0

35,0ni SnQ

d316,1y

= --------------------------------------------5.22


y propone iterar hasta que 21

32

SAR)n/1(Q = sea muy semejante al de diseño, sin dar, tampoco en este caso, criterios de error permisible. Valle propone como ecuación para el gasto máximo admisible en esta sección, con el fin de evitar la zona de dualidad, la siguiente expresión.

21

38

Sdn

335282,0Q omax = -------------------------------------- 5.23

para una relación de od93812.0y = -------------------------------------------------- 5.24

Para secciones tipo U Se propone una solución inicial a partir de

498,0

329,0g

ni SnQ

R012,1y

= ------------------------------------------- 5.25

y encontrar la solución final iterando hasta que 2

13

2SAR)n/1(Q = sea muy semejante al de diseño. Aquí

tampoco hay criterio de error para determinar el cálculo. Debe notarse que la fórmula 5.25 solo es válida si el gasto de circulación es mayor que el que conduce la semisección circular, por lo que se estima que el algoritmo de cálculo debe comenzar comparando el gasto de diseño (QD) con el que conduce la semisección circular (Qssc),

21

32

S4

d8d

n1Q o

2o

ssc

π= ------------------------------------- 5.26

En la proposición de un algoritmo para este caso se esclarece como afrontar el cálculo con la fórmula 5.25 propuesta por Valle (1994), adicionando las alternativas que ofrece el uso previo de la fórmula 5.26. Para secciones Portal


Esta sección al tener su parte superior de forma semicircular presenta en su parte más alta la misma dualidad de soluciones que la sección circular, por lo que Valle propone,

21

38

Sdn

377364,0Q omax = ---------------------------------------- 5.27

para una profundidad igual a on d393526,0y

max= ---------------------------------------------- 5.28

Se propone como solución inicial,

67897,0

8106,0o

ni SnQ

d5138,1y

= ---------------------------------------- 5.29

y encontrar la solución iterando hasta que 21

32

SAR)n/1(Q = sea muy semejante al gasto de diseño. En esta sección, al igual que la sección en U, la ecuación propuesta como solución inicial es válida si el gasto de diseño es mayor que el que puede conducir la semisección inferior, en este caso rectangular, que es igual a,

21

32

S4d

2d

n1Q

2

SSR

= --------------------------------------- 5.30

A continuación se presenta el algoritmo, en forma secuencial, de una de las soluciones planteadas por Valle (1994) para destacar como se debe enfrentar el trabajo en este tipo de formulaciones que si bien ayudan y aceleran la búsqueda de una solución, presentan características específicas que deben valorarse antes de emplearlas para el cálculo. Por último se llama la atención de que la unión de estas fórmulas, como solución inicial con un método iterativo como el de Newton-Raphson logra una combinación rápida, fácil de programar y que alcanza muy altas precisiones en pocas iteraciones. La propuesta de algoritmo para la sección U es, Algoritmo.


1. Calcular el gasto de la semisección circular según 5.26. 2. Si ( )Q01,0QQssc

∗±= entonces, 2/dy 0n = con un error igual o menor que 1%.

3. Si Qssc < Q la profundidad normal está dentro de la semisección circular. Solución inicial con 5.25, calcular A y R con yni. Calcular 2

13

2SAR)n/1(Qi =

Si ( )Q01,0QQi∗±= entonces yn = yni con un error igual o

menor que 1%. Si Qi ≥ Q entonces ir, al algoritmo de Newton-Raphson, al punto 3 con yi = yni. al algoritmo de la técnica de bipartición, al punto 1 con:

Limmax = yni, Limmin = 0,9* yni si Qi > Q Limmax = 1,1 yni, Limmin = yni si Qi < Q

Solución para secciones rectangulares anchas. Si se asume que para una sección rectangular ancha, el valor del radio hidráulico puede aproximarse al valor de la profundidad, se puede obtener una formula explícita para el calculo de la profundidad normal.. De esta forma puede plantearse:

nSbyS)y)(by(

n1Q

2/13/52/13/2 == , y entonces quedará,

5/3

ANCHAn SbQny

= ----------------------------------------------- 5.31

Los errores que se introducen por esta suposición, pueden observarse en los siguientes graficos. En el primero aparece el error relativo de la suposición de R ≈ y y R2/3 ≈ y2/3. Nótese que errores menores del 1% se obtienen a partir de una relación igual a b = 120y en el caso de estar elevado a la dos tercios ambos términos y de más de 220y en el caso de la comparación simple.

R vs y

R2/2 vs y2/3


FIGURA 5.4 ERROR QUE SE COMETE EN LA SUPOSICIÓN DE y EN VEZ DE R EN UNA SECCIÓN DE CANAL RECTANGULAR. En el segundo gráfico de error se aprecia claramente que para valores del ancho de plato mayores que ochenta veces la profundidad (b>80y) el error que se comete en el calculo de la profundidad normal es menor que el 1% (0,98 %). • Solución aproximada de Luaces para secciones rectangulares. Luaces (2000), propone una alternativa para el calculo de la profundidad normal en canales de sección rectangular. Basado en la ecuación para canales anchos, Luaces plantea para canales estrechos,

834135.0ancho

ancho by

1y*02222.1y

+= ------------------------- 5.32 a

como solución deducible y de ella una aproximada más práctica, 6/5

anchoancho b

y1yy

+= ------------------------------------------ 5.32 b

En ambos casos los errores aparecen graficados en 5.6 y 5.7.

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200 250 300 350 400b/y

erro

r %


FIGURA 5.5 ERROR QUE SE COMETE AL CALCULAR LA PROFUNDIDAD NORMAL DE UN CANAL RECTANGULAR ASUMIENDO COMO VALIDA LA FORMULA 5.31. LA COMPARACIÓN SE REALIZO CONTRA LA PROFUNDIDAD CALCULADA CON LA FUNCION SOLVER / EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO.

FIGURA 5.6 ERROR QUE SE COMETE CON LA ECUACIÓN 5.32 a EN COMPARACION CON LA PROFUNDIDAD NORMAL OBTENIDA CON LA FUNCION SOLVER DEL EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 50 100 150 200 250 300

b/y

erro

r %

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300

b/y

erro

r %


FIGURA 5.7 ERROR QUE SE COMETE CON LA ECUACIÓN 5.32 b EN COMPARACION CON LA PROFUNDIDAD NORMAL OBTENIDA CON LA FUNCION SOLVER DEL EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO. 5.2.1.1 Un análisis de las secciones cerradas. Existe un gran número de secciones cerradas en las que su coronación es gradual (secciones circulares, secciones portal, secciones herraduras, cavidades naturales,.....). En estos casos surgen algunas especificaciones que deben conocerse para poder desarrollar una selección cálculos adecuados. • Caso de la sección circular.

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0 50 100 150 200 250 300

b/y

erro

r %

________________________________________________Cálculos asociados al régimen uniforme 275

FIGURA 5.8 SECCION CIRCULAR Chezy:

PASCRSCv ==

continuidad + Chezy:

PASCAvQ

3

==

Si en una conducción libre de sección transversal circular, fluye un caudal con Régimen Uniforme y profundidad normal como se muestra en la figura 5.8, puede plantearse, empleando la ecuación de Chezy y la de continuidad las relaciones de trabajo correspondientes. Para comprobar lo planteado en relación con la ocurrencia de la velocidad máxima y el caudal máximo, puede procederse de la siguiente forma, considerando que C permanece constante con la profundidad de circulación. Expresando (A/P) en términos del ángulo λ queda:

( ) 21

r2senrSCv

2

λλ−λ

= ------------------------------------------- 5.33

o simplificando: ( ) 2

1

r2senrSCv

λλ−λ

=


Para que v sea máximo debe cumplirse que (dv/dλ) sea nulo, entonces derivando queda,

( ) ( ) ( ) 04

cos1r2senr22senr

21SC

ddv

2

21

=

λλ−λ+λ−λ−

λλ−λ

=λ

Es decir, debe cumplirse que:

( ) 0cossenr20)cos1(r2)sen(r2

=λλ+λ−λ−λ=λ−λ+λ−λ

o sea: 0cossen =λλ+λ−

o más sencillamente λ=λ tan --------------------------------------------------------------- 5.34

que tiene como solución ´´12´27257ο=λ ------------------------------------------------------ 5.35

o lo que es igual: y = 0.813 d ---------------------------------------------------------- 5.36 de lo que observa que la velocidad máxima no ocurre cuando el conducto está totalmente lleno, sino parcialmente con una profundidad igual al 81.3% de su diámetro. De manera similar puede demostrarse que el caudal máximo ocurre en condiciones que aseguren que dQ/dλ = 0. Esto puede determinarse derivando solamente A3/P con respecto a λ:

( )λ

λ−λ=

8senr

PA 333

------------------------------------------------ 5.37

( ) ( ) ( )

λλ−λ−λ−λ−λλ

=

λ 2

3253 semcos1sen38r

PA

dd

de modo que:

transformando la expresión anterior:

( ) ( ) 0sencos32sen 2 =λ+πλ−λλ−λ

( ) ( ) ( ) 0semcos1sen3 32 =λ−λ−λ−λ−λλ

( ) (( ) ( ) 0semcos13sen 2 =λ−λ−λ−λλ−λ


que lleva la solución: ´´35´11308ο=λ ---------------------------------------------------- 5.38

lo que implica que od9498.0y = ------------------------------------------------------- 5.39

que nos demuestra que el máximo caudal circula, no cuando la tubería está totalmente llena, sino cuando el tirante alcanza el 94.98% del diámetro. Propiedades geométricas e hidráulicas de la sección circular. Es conocido que un conducto circular, donde el caudal llene por completo la sección transversal tiene las siguientes propiedades:

4d

A2o

oπ

= ; 4dR o

o =

oo

o S4d

n1v

32

= ; o

o2o

o S4d

4d

n1Q

32

==

En tanto, un conducto circular parcialmente lleno, con una profundidad igual a y, tiene los siguientes parámetros:

−

−−

−= −

ooo

2o

12o

dy1

dy

dy1d

dy21cos

4d

A ----------------- 5.40

−

−

−

−=−

o

1

oooo

o

dy21cos

dy1

dy

dy

21d

4d

R ------------------------------- 5.41

o

o

1

oooo

o S

dy21cos

dy1

dy

dy

21d

4d

n1v

32

−

−

−

−=−

------------------- 5.42


S

dy21cosd

dy1

dy

dy1d

dy21cos

4d

n1Q

32

35

o

1o

ooo

2o

o

12o

−

−

−−

−

⋅=−

−

----5.43

Puede observarse que intentar trabajar con las fórmulas 5.40 a 5.43, si bien es posible, resulta engorroso, y es por esa razón que se ha preferido obtener los valores de:

oooo Q

Qyvv,

RR,

AA en función de

ody . Y de esta forma se obtiene,

−

−−

−= −

oooo

1

o dy1

dy

dy

21

n4

dy21cos

n1

AA --------------- 5.44

−

−

−

−=−

o

1

ooo

o

dy21cos

dy1

dy

dy

214

1RR ---------------------------------- 5.45

32

oo RR

vv

= ---------------------------------------------------------- 5.46

32

ooo RR

AA

QQ

= ---------------------------------------------------- 5.47

La representación gráfica de estas expresiones, como se muestra en la figura 5.9, es de gran ayuda para el diseño de este tipo de conducción, pues basta calcular las propiedades geométricas o el caudal, o la velocidad de dicha conducción en condiciones de llenado total y determinar las correspondientes relaciones para cualquier parcial, con el auxilio del gráfico de las propiedades de las conducciones circulares.


Nótese que las fórmulas planteadas parten de la suposición de que n es constante, lo cual no corresponde con la realidad, pues se ha visto experimentalmente, y está lógicamente sustentado, que n varía con el tirante. Por lo tanto, la ley que relaciona v/vo con y/do no es reflejada fielmente por las ecuaciones 5.46 y 5.47, sino por las curvas correspondientes de la figura 5.9 que han sido obtenidas por ensayos de laboratorio. A continuación se tratan algunos problemas típicos que pueden presentarse en el uso de tuberías circulares, que funcionen como conducciones libres y cuyas soluciones se ilustran mediante diagramas secuenciales de cálculo. ① Conocidos Q, do, n y S calcular y y v.

Algoritmo. 1. Calcular A0 y R0 2. Calcular v0 y Q0 3. Calcular Q/ Q0 , y con la grafica obtener y/d0. 4. Con el valor de y/d0 calcular tambien v/v0 5. Realizado lo anterior, calcular:

00

00

vvvvd

dyy

=

= y


FIGURA 5.9 GRAFICA PARA CALCULAR LOS PARAMETROS HIDRAULICOS Y GEOMETRICOS DE LAS TUBERIAS PARCIALMENTE LLENAS. ② Conocidos Q, do, n y y obtener S

Algoritmo. 1. Calcular A0 y R0 2. Calcular y/d0 3. Entrar a la grafica por el eje X y obtener Q/ Q0 4. Calcular:

QQ

Q1Q

0

0

=

5. Entonces el calculo de S será,

3/200

0

RAnQ

S =


③ Conocidos do, n, S y y determinar Q Algoritmo. 1. Calcular A0 y R0 2. Calcular Q0 3. Calcular y/d0 4. Determinar por la grafica Q/Q0 5. Calcular:

00

QQQQ

=

④ conocidos Q, n, S y y calcular do

Algoritmo. 1. Suponer d0 2. Calcular A0, R0, Q0 3. Calcular Q/Q0 4. Buscar y/d0 5. Calcular:

y

dy1d

0

0

=

6. Si d0 CALCULADA = d0 PASO 1, fin. Si d0 CALCULADA ≠ d0 PASO 1, regresar al paso 1.

5.2.2 Cálculo del gasto. Si existen las condiciones necesarias para que en un tramo de canal con una sección de geometría simple, se establezca el Régimen Uniforme entonces el gasto que circula en ese tramo puede calcularse empleando la ecuación de Manning o Chezy. Si yn es la profundidad en el tramo y se cumple que:


0dxdy

= y 0dtdy

= . Entonces el área y el perímetro serán:

A = f1 (geometría, dimensiones, yn) y P = f2 (geometría, dimensiones, yn) y podrá calcularse el gasto. El valor del gasto tendrá como incertidumbres, la incertidumbre en la medición de yn, la referida a la medición de las dimensiones de la sección, la incertidumbre en la determinación del valor de So y la mayor de todas las incertidumbres: en la estimación de n. 5.3 Gasto y profundidad normal en secciones compuestas. Las secciones compuestas son muy frecuentes en conducciones artificiales y son comunes en conducciones naturales. Se caracterizan por un canal principal (CP) profundo, que tiene, en uno, o en los dos lados, canales menos profundos y mucho más anchos llamados llanuras de inundación (LLI), con una rugosidad bien diferenciada de la del CP. La multiplicidad de estas llanuras a diferentes niveles, su variabilidad geométrica y su rugosidad propia hacen que el patrón de la velocidad se distorsione como función de estos cambios. figura 5.10. Esta disparidad crea altos gradientes de velocidad en la región de interfase CP-LLI, que generan turbulencias con fuertes flujos secundarios y en una transferencia de momentum del fluido del flujo de más velocidad al de menos velocidad. Sobre este aspecto Knight (1984) presenta un esquema muy explicativo del fenómeno, figura 5.11 y Sellein (1964) desde muy temprano presentó evidencia fotográfica de los vórtices generados que apoyan el criterio de la transferencia de momentum. En los años entre la década del los años 70 y el final del siglo XX, se han producido numerosos trabajos hacia los problemas relacionados con la hidrodinámica de estas secciones. Knight (1987), Myers (1978), Rajaratnam (1981), Shiono (1988), Wormleaton (1982), Naot (1982), Ackers (1993) y otros muchos


han producido extensos y minuciosos estudios con el fin de aclarar el comportamiento de estas secciones. La figura 5.12 se dedica a recoger algunos de los resultados, que complementan los de la figura 5.10, e ilustran los problemas asociados a la distribución de la velocidad, que es la base de partida de cualquiera de estos estudios.

FIGURA 5.10 a RESULTADO PARCIAL DEL TRABAJO DE NAOT (1993), DONDE SE EXPONEN LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmax) (COMPONENTE EN LA DIRECCION DEL FLUJO) EN UNA SECCION ASIMETRICA, LISA, EN TRES CONDICIONES DIFERENTES DE CIRCULACION. NOTESE LA DISTORSION DE LOS PATRONES DEBIDO A LA INFLUENCIA DE LA LLI.

FIGURA 5.10 b OTRO RESULTADO DE NAOT (1993), EN UNA SECCION SEMEJANTE A LA ANTERIOR, EN FORMA Y DIMENSIONES, PERO CON LA LLI RUGOSA. LOS VALORES DE CADA ISOTACA ESTAN REFERIDOS A LA RELACION V/Vmax.


FIGURA 5.11 ESQUEMA APORTADO POR KNIGHT (1984) DONDE SE MUESTRAN ASPECTOS DE LA RELACION CP-LLI EN LA TRANSFERENCIA DE MOMENTUM.

FIGURA 5.12 a RESULTADOS DE LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmedia), EN MEDIA SECCION, OBTENIDOS POR KNIGHT (1984) EN UN CANAL SIMETRICO CON LLI RUGOSAS PARA UNA RELACION (H-h)/H = 0.296. Enfocando el problema hacia los parámetros geométricos los cambios de A y P al variar la profundidad pueden llevar a saltos bruscos debido a las diversas variedades de formas geométricas que se pueden encontrar, por lo cual la variación de R puede no seguir una lógica respecto a las secciones simples influyendo en el


cálculo de la velocidad y el gasto. De otra parte la rugosidad del perímetro se comporta normalmente de forma no uniforme y pueden encontrarse valores muy diferentes para el canal principal y las subsecciones laterales provocando desiguales resistencias en función de las profundidades de circulación que existan.

FIGURA 5.12 b RESULTADOS DE LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmedia), EN MEDIA SECCION, OBTENIDOS POR KNIGHT (1984) EN UN CANAL SIMETRICO CON LLI RUGOSAS PARA UNA RELACION (H-h)/H = 0.505.

FIGURA 512 c RESULTADOS DE ELLIOT (1990) EN EL SERC DE WALLINGFORD EN CANALES CON LLANURAS OBLICUAS, PARA ESTE CASO CON UN ANGULO DE 50. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN VALORES ABSOLUTOS. Estudios realizados, en la década de los años 90, aportan resultados válidos acerca de la distribución de velocidades y la transferencia de momentum. Naot-Nezu y Nakagawa (1993) aportan interesantes conclusiones en este aspecto: En canales asimétricos una sola berma en la parte izquierda,

de frontera hidráulicamente lisa, un incremento de la


profundidad en las bermas genera el arrastre de las isolíneas de las velocidades máximas hacia profundidades mayores, debido a las corrientes secundarias. Este fenómeno es poco pronunciado, no obstante en un flujo profundo en las bermas, se forma una segunda zona de isolíneas de alta velocidad.

FIGURA 5.12 d OTRO RESULTADO DE ELLIOT (1990) MOSTRANDO LA CIRCULACION SECUNDARIA EN EL CANAL PRINCIPAL PARA UNA RELACION DE PROFUNDIDADES (H-h)/H=0.5 Y UN ANGULO DE OBLICUIDAD DE LAS LLI DE 90. Con un incremento de la profundidad en las bermas (LLI), la

intensidad de los vórtices en el CP decrecen y crecen en las LLI. La energía de la turbulencia muestra sus valores máximos a lo largo del fondo del CP y mínimos cerca de la superficie. Con el incremento de la profundidad en las LLI la energía de la turbulencia crece hasta igualar el nivel en el CP.


El esfuerzo cortante local en el logrado del CP y en la orilla derecha decrece mientras que en la orilla izquierda y en la LLI crecen considerablemente con el aumento de la profundidad en la berma. Esto se confirma por Tominaga-Nezu (1991).

Para el canal simétrico, una berma a cada lado y frontera

hidráulicamente lisa con altas profundidades del agua en las bermas, la intensidad de los vórtices en las LLI se incrementan y el vórtice en el canal principal se torna débil debido a la simetría. En el caso de aguas poco profundas sobre las LLI ambos vórtices se refuerzan.

Las isolíneas de velocidad indican que al incrementarse el ancho del canal principal el arrastre de la velocidad máxima es menos efectivo que en el caso anterior y la formación de una segunda zona de isolíneas de alta velocidad es menos evidente. También se registran disminuciones en los vórtices mientras se incrementa el ancho del canal.

Para el caso del canal asimétrico con frontera hidráulicamente rugosa, la rugosidad de las bermas incrementa la disminución de cerca de un 15% de la velocidad en las LLI, incrementa en un 74% la intensidad de los vórtices en esa misma zona e incrementa en un 43% la energía turbulenta cercana al fondo de las LLI. La distribución del cortante muestra un incremento de un 100% en el cortante del fondo de las bermas acompañada de un incremento de un 120% en el fondo del CP. No obstante en la orilla de la berma el cortante decrece un 45%. Mientras el primer efecto es debido a la rugosidad, los otros dos efectos son debido a la masa desplazada de la LLI al CP.

• Una proposición de Ven Te Chow (1959). Chow aconseja subdividir el canal en subsecciones empleando cortes verticales, tomando en consideración para esto los cambios


de rugosidad, figura 5.13. De esta forma la fórmula de Manning se aplica separadamente en cada subsección para hallar la velocidad media y así, el gasto en cada subsección, puede ser calculado.

FIGURA 5.13 LA DIVISION DE LA SECCION SEGÚN VEN TE CHOW Siendo el gasto total,

∑=

=nss

1iiiavQ ---------------------------------------------------------- 5.48

donde nss es el número de subsecciones. La velocidad media entonces se calcularía según:

AQv = ---------------------------------------------------------------- 5.49

donde A es la sumatoria de todas las áreas de las subsecciones. El cómputo de los coeficientes de distribución de la velocidad se deben calcular de forma particular. Sean K1, K2 .... Knss los módulos de gasto de cada subsección, entonces:

21

oi

ii S

aK

v = ----------------------------------------------------------- 5.50

nssssn11 av...avAvQ ++== , pero también, ( ) 21

onss1 SK....KQ ++= entonces,

21

o

nss

1i SA

Ki

v∑

== ------------------------------------------------------- 5.51

y si se aplican las ecuaciones generales para α y β se obtiene,

( ) 2

3nss

1ii

nss

1i

2i

3ii AKaK

α=α ∑∑

==

----------------------------- 5.52


( ) A/Ka/K2nss

1ii

nss

1ii

2ii

β=β ∑∑

==

--------------------------------- 5.53

• Una propuesta de R. H. French (1985). French citando a Posey (1967) y a Myers (1978) propone algunas alternativas para el cálculo del radio hidráulico y con él la posterior evaluación del gasto. En su trabajo, Myers cuestiona el uso de divisiones verticales libres de esfuerzos cortantes y demuestra midiendo el cortante que una forma aparente está presente en esas fronteras ficticias para balancear la selección entre las fuerzas gravitacionales y las fuerzas resistentes. French , basándose en la figura 5.14 se propone:

FIGURA 5.14 ESQUEMA DE LA SECCION PARA EL CALCULO PROPUESTO POR FRENCH. a. Calcular el área: A(abcdefgha), y el perímetro : P(abcdefgh)

para obtener el radio hidráulico en el caso de que la profundidad sobre las bermas laterales sea la mitad o más, que la del canal principal.

b. Para profundidades bajas sobre las bermas se subdividen las áreas. Para el canal principal el área es: A(icdefji) y el perímetro

P(icdefj). Para las bermas el área será: A1(abcia), A2(jfghj); y los

perímetros: Pi(abc) y P2(fgh). Myers recomienda incluir las líneas ic y jf en el perímetro del canal principal debido a


que en esas líneas el esfuerzo cortante es desigual a cero, pero entonces se asume que esta afectación no se transmite al flujo en las bermas.

Otras dos alternativas valoradas pero no recomendadas por Posey (1967) son, c. Para el canal principal: A(icdefji), P(cdef). Para las bermas: A1(abcia), P1(abc); A2(jfghj), P2(fgh). d. Dividir la sección con las líneas CK y FK y se calcula el radio

hidráulico pesado así, ( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( ) ( ) ( )kfghkkcdefkAabckaA

cghPefghkA

cdefPkcdefkA

abcPabckaA

R

222

++

++= -------------- 5.54

• Un análisis de P. R. Wormleaton (1989). Wormleaton y Merret (1989) analizan las alternativas de división, que se plantean en los métodos tradicionales, para la sección transversal. Evidentemente, el planteamiento generalizado de que las subsecciones deben ser hidráulicamente homogéneas crean una serie de alternativas que deben ser comprobadas y validado su rango de aplicación.

FIGURA 5.15 ESQUEMA DE LA SECCION PARA LOS ANALISIS DE WORMLEATON (1990). El tratamiento de cada subsección es calculada empleando las fórmulas conocidas de Chezy o Manning pero el inconveniente


que mayor incertidumbre produce es la localización y tratamiento de las interfaces del fluido entre las subsecciones. Las conveniencias de cálculo indican que las interfaces pueden ser planos: diagonales (pd), verticales (pv) u horizontales (ph), figura 5.15. Los métodos que utilizan los planos pd y ph usualmente excluyen las interfaces desde el perímetro mojado a la subsección adyacente, lo cual equivale a asumir que en la interface no hay tensiones de corte. En el caso del plano (pv) Wright-Carstens (1970) sugieren que este interfase debe ser incluida en el perímetro mojado de la subsección del CP para cuantificar el efecto de arrastre de las LLI, pero no incluirlas en el perímetro de las LLI. Este último es, tal vez, la variante más utilizadas en los cálculos del gasto. Para comprobar las tres alternativas se realizaron estudios en la instalación que más resultados ha producido en los últimos años en este tema: el Flood Channel Facility del Science and Engeneering Research Council, en Wallingford, U.K. Una relación obtenida para cinco geometrías da para el gasto total

( ) bt QhHQ +−α= β ------------------------------------------------- 5.55 donde: α y β dependen de las formas geométricas de la sección,

Qb es el gasto cuando la profundidad en las bermas (LLI) tiende a ser muy pequeña.

Es una realidad confirmada que el gasto que escurre por el CP totalmente lleno es mayor que cuando por las LLI comienza el escurrimiento con muy baja profundidad de circulación (5,30% menos para el caso estudiado). Esta discontinuidad se reporta tambien por Myers-Brenman (1990) trabajando en el SERC-FCF, figura 5.16.


FIGURA 5.16 a RESULTADOS DE WORMLEATON CON DIFERENTES GEOMETRIAS Y DIMENSIONES. NOTESE QUE LA GEOMETRIA 4 ES UNA SECCION TRAPECIAL SIN LLI. En los estudios realizados se evidencia que la longitud de las LLI influyen reduciendo el gasto para una misma profundidad de circulación, llegándose a valores de reducción de casi 50% para un incremento de 4.5 veces el ancho de cada berma.

FIGURA 5.16 b RESULTADOS DE MYERS Y BRENNAN (1990) CON DIFERENTES DIMENSONES DE UNA MISMA GEOMETRIA.


FIGURA 5.16 c RELACION ENTRE EL GASTO DEL CP CONSIDERANDO O NO LA INTERACCION CON LAS LLI, OBTENIDO EN EL EXPERIMENTO EN EL FCF DE MYERS Y BRENNAN (1990). Otra conclusión primaria del estudio, arroja que, para dos secciones de igual geometría y dimensiones, una con las LLI hidráulicamente lisa y la otra hidráulicamente rugosa, la diferencia de gastos para igual altura del flujo sobre las bermas es de un 47% para una de las alturas estudiadas. Además se evidencia que la descarga de la sección compuesta fue en todos los casos menor que la de una sección sin bermas para igual nivel del agua. Esto aclara el fuerte retardo en el flujo del CP resultado de los efectos turbulentos de la interfase causada por bermas hidráulicamente rugosas, figura 5.16. En el caso de las secciones con bermas hidráulicamente rugosas la n de Manning se incrementó en 3 veces al incrementarse la profundidad sobre las bermas desde muy pequeña hasta una profundidad semejante a la del CP. En la comparación entre los modos de división de la sección se comprobó que, la subdivisión por planos pv dio los mayores valores de gasto

total y la subdivisión por planos ph los menores.


en el caso de casi todas las geometrías el error en el gasto total decrece para altas profundidades sobre las bermas.

el subdividir por planos pd permitió obtener los mejores resultados sobre todo para profundidades bajas sobre las bermas pero sobrestimó los gastos por el CP:

el modo de subdivisión por planos pv dio altos errores en el caso de LLI hidráulicamente rugosas.

si bien los planos pd son los más certeros los pv son los más convenientes para las aplicaciones en modelos numéricos.

Como conclusiones el trabajo recomienda emplear la corrección propuesta por Radojkovic (1985) como factor para el cálculo del gasto, para así lograr que los errores del plano pv disminuyan y sea factible. Radojkovic plantea:

21

cpctcp QQ φ= ---------------------------------------------------------- 5.56 donde cpQ es el factor de Radojnovic

cp

cpcp FW

FTQ = --------------------------------------------------------- 5.57

donde cpFT es la fuerza tractiva actuando en el CP. cpFW es la componente del peso del luido en el CP y de igual forma en las llanuras de inundación se puede plantear que,

21

LLILLILLI QQ φ= -------------------------------------------------------- 5.58 e igualmente,

LLI

LLILLI FW

FTQ = --------------------------------------------------------- 5.59

los términos son idénticos a las ecuaciones anteriores solo que ahora aplicados a la llanura de inundación, de esta forma puede plantearse,

21

21

LLILLIcpcp QQQ φ+φ= ------------------------------------------------ 5.60


De igual forma se indica la utilización la relación:

LLI

cp

cp

LLI

11

AA

φ−

φ−= -------------------------------------------------------- 5.61

donde ALLI y ACP son las áreas de las LLI y del CP respectivamente. La ecuación 5.61 es válida para cualquier forma de plano interfase. Para el caso particular los planos pv se sugiere el uso de las siguientes relaciones

( )ocpivovcp SA/P1Q ⋅⋅ρ⋅τ−= ------------------------------------- 5.62 donde cpφ es el esfuerzo cortante aparente en las interfases

verticales ivP es el perímetro de las interfases verticales y de acuerdo a los datos obtenidos en el SERC-FCF,

( ) 519,0LLI

354,0451,1ov bhHV325,3 −∆=τ --------------------------------- 5.63

Los valores obtenidos con estas correcciones redujeron sensiblemente los errores de la subdivisión por planos pv. • Un enfoque de Lambert-Sellin (1996). En 1982 Vrenghdenhil y Wijbenga proponen por vez primera la aplicación de un modelo simple de turbulencia para ilustrar los efectos de la interacción entre CP y LLI en lo referente a la distribución de velocidades. Para esto emplearon la ecuación dinámica de la profundidad media para flujo permanente uniforme y demostraron, que la distribución lateral de velocidades es modificada si se emplean diferentes estimaciones del parámetro remolinos turbulentos viscosos (νt).Desdichadamente νt es una propiedad del flujo y no del fluido. P.G. Samuels en un trabajo de modelación, empleando elementos finitos, propone la cuantificación de νt empleando el modelo siguiente:

ZVt ∗λ=υ ----------------------------------------------------------- 5.64


donde λ es una constante llamada coeficiente adimensional de los remolinos viscosos y z es la profundidad local. Este trabajo fue ampliado por Shiono-Knight (1989) demostrando que un modelo simple de turbulencia puede ser empleado de forma efectiva en secciones compuestas. Demostraron también que νt variaba muy significativamente en las diferentes sub-áreas de la sección. En su trabajo emplearon una relación empírica para establecer el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Por su parte Wark (1990, 1991), trabajando con otros colegas, demostraron que λ variaba con la profundidad relativa y que por tanto su extrapolación laboratorio-realidad era muy difícil.

FIGURA 5.17 DIVISION PROPUESTA POR LAMBERT Y SELLIN (1966) Observando las isolíneas de velocidad mostrada por Shiono-Knight (1991) en la transición entre CP y LLI se deduce que una interfase simple del esfuerzo cortante no es suficiente para modelar el fenómeno. Una mejor aproximación es subdividir el área en un número finito de elementos verticales, figura 5.17. Gasbrwecht-Brown demostraron que esta subdivisión puede ser causa de una sobrestimación del gasto en secciones compuestas.

FIGURA 5.18 VOLUMEN DE CONTROL PARA EL ANALISIS DE LAS FUERZAS ACTUANTES.


El volumen de control de uno de los elementos, figura 5.18, muestran las fuerzas que actúan y que en el caso del régimen uniforme responden a:

( )0

yz1BgSz xyb =∂

τ∂

ρ+

ρτ

− ∗ ---------------------------------------- 5.65

donde τb es el cortante en el fondo; B* es un coeficiente asociado a τb para incrementar el área

de contacto en las zonas de medición lateral del fondo (Sy) y es igual a 2

yS1+ . Este factor los introdujo Rodi (1981), y lo han empleado también Shiono y Knight y Wark.

Aplicando la hipótesis de la longitud de mezclado de Prandtl, se expresan los remolinos viscosos como,

yvl2mt ∂

∂=υ ------------------------------------------------------------ 5.66

y el cortante lateral aparente como,

yx

yxl2mxy ∂

∂∂∂

ρ=τ ------------------------------------------------------ 5.67

Detalles de esta discusión lo brindan Schlichting (1968), Rodi (1980) y más recientemente Egolf (1994). Típicamente la longitud de mezclado varía con la distancia a la frontera sólida, como en el caso de las tuberías que varía a lo largo del radio del conducto. En canales en la definición actual, y/v δδ es el gradiente profundidad-velocidad media a lo largo del canal. Un modelo simple de longitud de mezclado se ha adoptado para describir la relación a ese parámetro en la zona de interacción, figura 5.19, con la profundidad del flujo en el CP (H) debido a que la transferencia de Momentum en esa región está asociada con el CP, así puede escribir que,

HCl lmm ⋅= ----------------------------------------------------------- 5.68


donde Clm es una constante igual a 0,6 que ha dado muy buenos resultados en secciones compuestas con LLI hidráulicamente lisas y rugosas.

FIGURA 5.19 APROXIMACION MATEMATICA Y LA GEOMETRIA REAL DE UNA SECCION COMPUESTA. La ecuación 5.68 no es válida para las zonas de las LLI alejadas del CP, en estas zonas el parámetro profundidad local z, reemplaza la profundidad en el CP y la ecuación queda así,

ZCl lmm ⋅= ----------------------------------------------------------- 5.69 Una profundo discusión del modelo de longitud de mezclado la realiza Lambert (1993), en su tesis de PhD presentada en la Universidad de Newcastle, Australia. Por último τb es expresado en términos de la velocidad media a lo largo de la profundidad y del factor de fricción de Darcy-Weisbach, obteniéndose una primera expresión a partir de 5.65,

0y

vyvzHC2

yv

yv

yzHC

8fvB

gSz 2

222

lm22

lm

2

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+− ∗ --------- 5.70

donde la profundidad H se cambia por z en la zona cercana a la pared de las LLI. La solución de 5.68 se obtiene con la condición de borde (non-slip) (v=0) en las fronteras exteriores de las LLI, utilizando el método de diferencias finitas y aplicando Newton-Raphson al sistema de ecuaciones no lineales resultantes.


La segunda causa de sobrestimación del gasto dada por Garbrecht-Brown (1991) fue el uso del factor de fricción de Weisbach-Darcy empleando la profundidad local y la velocidad en vez de las profundidades de la sección y la velocidad media. Debido a esta razón, Lambert-Sellin en su trabajo desarrollan un factor de corrección que trata de solucionar ambos problemas. Un examen de los dos métodos de subdivisión del área da un resultado que, mientras la subdivisión en muchas subáreas, figura 5.17, y el uso de la ecuación 5.70 sobrevaloran el gasto. Por ejemplo cuando Clm→0 el gasto calculado por 5.70 excede al calculado subdividiendo el área en tres: CP, LLI, LLI. Lambert-Sellin concluyen que la referida ecuación ignora el fuerte gradiente de velocidad lateral y cortante lateral en las paredes del CP. De otro lado, el método tradicional ignora la interacción del momentum entre el CP y las LLI, pero toma en cuenta el efecto de las paredes laterales del CP. Para aprovechar el efecto de ambos métodos se emplea el factor de corrección CQ(y) para cada una de las sub-áreas mayores. Cuando Clm→ 0 entonces

i

ii fB

gSZ8V∗

= ------------------------------------------------------- 5.71

donde i representa cada elemento vertical. La integración de los valores de vi para cada una de las subáreas mayores (CP, LLIizquierda, LLIderecha) produce un gasto no corregido y sobrevalorado ( )jQc 0ml= . Para reducir ese gasto cuando Cml= 0, el factor C Q (j) se aplica a cada sub-área,

( )i

iQi fB

gSZ8jCv

∗

= ------------------------------------------------ 5.72

donde el valor de C Q (j) es,

( ) ( )( )jQcjQ

jC0mL

MDTQ

=

= -------------------------------------------------- 5.73


donde QMDT(j) es el gasto dado por la división tradicional en grandes sub-áreas. Si ahora se introduce el factor de corrección en 5.70 queda,

( ) yv

yvzHC2

yv

yvHC

8fvB

jC1gSz 22

lm22

lm

2

2Q ∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

+− ∗ ----------- 5.74

FIGURA 5.18 a GEOMETRIA EMPLEADA POR LAMBERT Y SELLIN EN EL FCF.

FIGURA 5.18 b COMPARACION ENTRE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES EN EL FCF Y LOS CALCULADOS PARA LA GEOMETRIA DE LA FIGURA 5.16a Y LA PROFUNDIDAD RELATIVA (H-h)/H = 0.117. En comparaciones realizadas con datos del SCRC-FCF, por el método tradicional de división en grandes sub-áreas (QMDT) y el calculado por la ecuación 5.74, Lambert-Sellin concluyen que


mientras que los máximos errores en la estimación del gasto en el primer caso llegan a un +10% en el segundo no superan el 14%, figura 5.18.

FIGURA 5.18 c OTRO EXPERIMENTO IDENTICO AL b PERO CON (H-h)/H = 0.396.

FIGURA 5.18 d COMPARACION ENTRE LA RELACION GASTO-NIVEL CALCULADA Y MEDIDA PARA UNA PENDIENTE LONGITUDINAL DE 0,001027.


FIGURA 5.18 e PORCENTAJE DE ERROR COMETIDO ENTRE LA EXPRESION 5.68 Y LOS RESULTADOS DE LA MEDICIÓN.

FIGURA 5.19 a SECCION EMPLEADA POR LAMBERT Y SELLIN EN LA UNIVERSIDAD DE NEWCASTLE. LAS PAREDES VERTICALES TENIAN UN ANGULO DE 880. Por otra parte en experimentos en Newcastle, con LLI rugosas y CP liso los resultados de la ecuación 5.74 fueron también menores que el cálculo de QMDT, aunque en este caso los errores máximos fueron mayores. En el caso de la ecuación 5.74 para profundidades relativas menores de 0,2 los errores superan el 10%, mientras que para profundidades relativas mayores de 0,4 no sobrepasaron el –5%. En el caso del cálculo de QMDT los errores máximos superaron el


+30% y entre profundidades relativas entre 0,1 y 0,6 siempre fueron mayores a +20%, figura 5.19.

FIGURA 5.19 b RESULTADOS PRESENTADOS POR LAMBERT Y SELLIN OBTENIDOS EN LA UNIVERSIDAD DE NEWCASTLE.

FIGURA 5.19 c PORCENTAJE DE ERROR EN LOS ENSAYOS EN NEWCASTLE, AUSTRALIA, POR LAMBERT Y SELLIN.


5.3.1 Cálculo de la profundidad normal. Como se ha podido ejemplificar hay muy diversas tendencias para enfrentar este problema que se convierte en el problema inverso del cálculo del gasto y que abarca soluciones aparentemente más complejas pero más cercanas a la realidad. La solución debe basarse en la correcta división de la sección transversal en subsecciones y en la valoración del factor rugosidad y establecerse los criterios para la consideración de la influencia de las LLI en el aporte de gasto total. 5.3.2 Cálculo del gasto para régimen uniforme. En el caso de canales artificiales con geometría simple si se conocen todas las variables del problema el cálculo es directo y no está sometido a iteraciones. La subdivisión del área en secciones compuestas y la valoración de rugosidad son factores de suma importancia para una correcta solución del problema. En corrientes naturales, donde, además de la complejidad de las secciones compuestas se suma que el canal es no prismático, si se puede encontrar un tramo con una pendiente uniforme y se cumple que no hay entrada ni salida de gasto y que la rugosidad, aunque variable en la sección, es la misma para todas las secciones del tramo, entonces el método de área-pendiente, definido por Chow (1959) y ratificado por Dalrymple-Benson (1976), puede aplicarse para determinar el gasto normal. El algoritmo del método, con algunas recomendaciones adicionales, se expone a continuación: Algoritmo. 1. Se selecciona un tramo, con características idóneas para el

cálculo, de longitud mayor o igual a MEDIAy 75 y en el se cuantifican la geometría y dimensiones de la sección inicial (SI) y final (SF). En ambas secciones se estiman los diferentes valores de n teniendo en cuenta el peso relativo de este parámetro en el cálculo. Las secciones que caracterizan el


tramo no deben diferir mucho ni en geometría ni en dimensiones y sin que existan obras cercas de SI o SF ni dentro del tramo.

2. Se calculan los módulos de gastos en las dos secciones y el módulo de gasto del tramo como la media geométrica.

SIeSI

32

ARn1K

= y

SFeSF

32

ARn1K

=

Para el cálculo de R debe tenerse en cuenta las variantes a y b propuestas por French (1985) de acuerdo a la altura del agua sobre las bermas. Al final el módulo de gasto del tramo es

SFSIKKK = ---------------------------------------------------- 5.75 3. Se asume la carga a velocidad cero y se calcula la pendiente

de la rasante de energía como la diferencia de cotas del agua entre la longitud del tramo (L). Esta diferencia debe ser mayor o igual a 0,15 m, o igual o mayor que la diferencia en carga a velocidad.

LCACA

S SFSIe

−= --------------------------------------------- 5.76

4. Se calcula el gasto en primera aproximación, según 5.1, eSKQ =

5. Con el gasto calculado se calcula la diferencia entre velocidad en las secciones inicial y final.

g2V

g2V

hv2SISF

2SISI α

−α

=∆ ----------------------------------------- 5.77

6. Se recalcula la pendiente de la rasante de energía según, ( ) vSFSI hKCACAhf ∆+−= ------------------------------------- 5.78

donde K = 0,5 si vSI > vSF

K = 1,0 si vSI < vSF y por último,

LhfSe = ---------------------------------------------------------- 5.79


7. La nueva aproximación para el cálculo de Q es eSKQ = . 8. Se repiten los pasos a partir de 5 con el nuevo gasto hasta que

la diferencia entre los gastos calculados en dos interacciones sucesivas no supere el error admisible previamente establecido. En el ejemplo que presenta Chow (1959) el error es menor que el 10-5.

9. Se repite el cálculo para tramos del mismo río y se promedian los valores obtenidos, dándole, o no, peso relativo a los resultados.

5.4 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite. Tres valores de la pendiente que implican conceptos muy importantes se analizaran a continuación. En los tres casos la aplicación más importante es en el momento de analizar cualitativamente en régimen variado. 5.4.1 Pendiente normal. Por definición, la pendiente del fondo del canal donde se establece el régimen uniforme es denominada pendiente normal, o sea,

[ ]3/42

22

on RAQnS = ------------------------------------------------------ 5.80

La pendiente normal será una función del gasto, de la rugosidad equivalente, de la geometría y dimensiones de la sección transversal y de la profundidad normal (yn). Nótese que la ecuación 5.80 establece que, Si: yn ↑, Son↓ y si: yn↓, Son↑. 5.4.2 Pendiente crítica. Si ahora se produce en un tramo de canal un régimen que sea a la vez uniforme y crítico la pendiente del fondo del canal se denomina pendiente crítica, o sea,


cn yy = ; entonces: [ ]yc3/42

22

C RAQnS = ----------------------------

5.81 Según la expresión anterior Sc es una función del gasto, la rugosidad equivalente, la geometría y dimensiones de la sección transversal y la profundidad crítica. Pendiente subcrítica y supercrítica. Si en un tramo de canal de geometría y dimensiones dadas, un gasto y una rugosidad establecidas, se calcula la pendiente crítica (SC) para esas condiciones y se compara con la pendiente real del fondo del tramo, puede establecerse lo siguiente, Si So = SC y si existen las condiciones para que se

establezca el régimen uniforme yn = yc y el régimen será uniforme-crítico.

Si SO < SC y si existen las condiciones para que se establezca el régimen uniforme yn > yc y el régimen será uniforme-subcrítico y la pendiente normal se denomina pendiente subcrítica.

Si So > SC y si existen las condiciones para que se establezca el régimen uniforme yn < yc, y el régimen será uniforme-supercrítico y la pendiente normal se denomina pendiente supercrítica.

5.4.3 Pendiente límite. La pendiente límite es un concepto asociado al régimen uniforme y al régimen crítico y su valor es de importancia para una mejor comprensión del comportamiento del flujo uniforme.


A continuación se analizará este concepto a través del siguiente ejemplo: sea un canal de geometría y dimensiones establecidas y rugosidad conocida. La relación entre el gasto y la pendiente crítica puede hallarse según, 1. Suponer una yc. 2. Calcular Q según [ ]ycDA

3. Calcular Sc de acuerdo a,

[ ]yc3/42

22

c RAQnS = -----------------------------------------------

5.82 Si se repite el ciclo n veces se tendrán n tríos de valores yc–Q–Sc y puede establecerse un gráfico de relación entre Q y Sc. Aplíquese este algoritmo a una sección trapecial, figura 5.20. La gráfica representa una función monótona decreciente que define sobre el plano So-Q una frontera entre el régimen subcrítico y supercrítico, ya que la unión representa justamente la relación Sc-Q para ese caso particular.


FIGURA 5.20 RELACION Q-So PARA UNA SECCION TRAPECIAL. Puntos situados a la izquierda de la curva, producirán regímenes uniformes subcríticos, nótese que para valores pequeños de So, se necesitan gastos muy altos para alcanzar la condición de NF=1 y aún muy mayores para pasar a un régimen uniforme supercrítico. Por otra parte para gastos pequeños la pendiente necesaria para alcanzar NF=1 se hace cada vez mayor. Si se realiza el mismo gráfico, ahora sobre el plano y-S, que es lo mismo que el plano Q-S, para una sección triangular, una parabólica, una rectangular y otra circular, figura 5.21, las curvas demuestran otra tendencia y esta vez se visualizan, para algunas geometrías, curvas de doble concavidad, con un punto de mínima bien definido. Si se toma la de la sección rectangular, figura 5.22, para realizar el mismo análisis anterior, las zonas de regímenes subcríticos y supercríticos representan áreas diferentes, mientras que el área que establece el régimen uniforme subcrítico rodea por fuera la curva, la de régimen uniforme supercrítico queda encerrada dentro de las dos ramas de la curva.

trapecial

012345678

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09So

Q


FIGURA 5.21 GRAFICA DE VARIAS GEOMETRIAS

En la figura el punto de Sc mínima de la curva Sc-Q, que representa la sección rectangular, se denomina pendiente crítica límite o simplemente pendiente límite (SL). Algunas conclusiones iniciales respecto a SL, no se manifiesta en todas las geometrías. valores de So < SL producirán solo regímenes

uniformes subcríticos independiente del valor de gasto, figura 5.23(A).

FIGURA 5.22 GRAFICA DE UNA SECCION RECTANGULAR.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015SL

y0

0.5

1

1.5

2

0 0.005 0.01 0.015 0.02S0

y


valores de So = SL producirán solo regímenes uniformes subcríticos, menos para un valor del gasto que el régimen será crítico, figura 5.23(B)

valores de So > SL producirán regímenes uniformes subcríticos para pequeños valores de gasto, supercríticos para valores mayores y de nuevo subcrítico para los mayores valores de gasto, figura 5.23 (C).

FIGURA 5.23 LINEAS DE IGUAL SO DEFINIENDO LO QUE SUCEDE EN CADA ZONA La formulación general del problema puede escribirse así,

Condición de uniforme-crítico: DgASARn1Q 2

13

2==

entonces la ecuación que representa la condición es,

3/4

2

RgDnS = -------------------------------------------------------------

5.83 Si la ecuación anterior se aplica al caso particular de la sección rectangular se obtiene,

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015SL

y


3/4

2

y2bby

gynS

+

= ------------------------------------------------------

5.84 Si se define el valor de b y n para la sección, la ecuación 5.84 queda formulada así: S= f (y). Si esta función se plotea sobre ejes S-y, figura 5.22, por lo que si la ecuación se deriva respecto a y y se iguala el resultado a cero, se obtendrá el valor que define SL. Advani y Modi (1970) obtuvieron la relación b/y=6 para esta geometría, lo que hace que la ecuación 5.84 quede como,

31

bgn6667,2S

2

L = -----------------------------------------------------

5.85 FIGURA 5.24 RELACION DEL NUMERO DE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA LAS LINEAS A, B, C DEFINIDAS EN LA FIGURA 5.23.

En el caso que So > SL es evidente que el tránsito, para gastos crecientes: subcrítico→crítico→supercrítico→crítico→subcrítico, implica

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000y

NF

LINEA C LINEA B LINEA A


que en la zona supercrítica el Número de Froude pase de 1 a un valor máximo para disminuir de nuevo a 1 antes de entrar en la zona alta subcrítica, figura 5.24. Se demuestra que ese valor de NFmax se obtiene para la condición de SL, o sea b = 6y, con un valor igual a,

L

omax S

SNF = --------------------------------------------------------

5.86 Advani y Modi (1970) dejaron esclarecido que en el tránsito de la sección trapecial (m ≠ 0) a rectangular (m = 0) la condición de existencia de SL viene dada por m ≤ 0,46634993, mientras que para secciones circulares la condición de SL está dada por, θ = 132º06´ ---------------------------------------------------------- 5.87 y en ese caso SL viene dado por

31

o

2

Ld

n25,22S = ------------------------------------------------------

5.88

FIGURA 5.25 GRAFICA DE UNA SECCION CIRCULAR

circular

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0.008 0.018 0.028 0.038 0.048 0.058 0.068SL

y


5.5 Aplicaciones del régimen uniforme. En la historia de la hidráulica las fórmulas del régimen uniforme han sido base de numerosas soluciones. Importantes aplicaciones son en el diseño de la sección transversal de un canal y el análisis del régimen variado. Otras tambien importantes son la determinación del gasto en un canal o en un río mediante la técnica de pendiente-área ya explicada, o su problema inverso: la determinación de la rugosidad. • Aplicación en el diseño de la sección transversal. Este tema será tratado extensamente en el capítulo dedicado al diseño de canales. Es de destacar a este nivel, que aunque el régimen uniforme es el menos frecuente en la operación diaria de una conducción libre, el que existan para él fórmulas relativamente sencillas, que permitan reunir los parámetros geométricos e hidráulicos de la sección y por tanto dimensionar ésta para garantizar que el gasto circule libremente, hacen que en todas las rutinas de diseño se incluya el cálculo de las dimensiones de la sección empleando la fórmula del régimen uniforme. • Aplicación en el análisis del régimen variado y

permanente. Igual que el valor de la profundidad crítica, la profundidad normal es una frontera importante para establecer el análisis cualitativo y posteriormente el cálculo del perfil del flujo en un régimen variado y permanente. Como ya se estableció,

Cuando So = Sc , yn = yc


Cuando So < Sc , yn > yc Cuando So > Sc , yn < yc

Estas posiciones relativas de yn respecto a yc dividen el perfil del canal en zonas en las cuales se desarrolla el régimen permanente variado que tiene como fronteras las líneas imaginarias delimitadas por los valores de yn y yc. Este aspecto será profundizado cuando se estudie el régimen variado. • Aforo de la sección transversal. Como ya se explicó con detalles en el epígrafe 5.3.2, esta aplicación permite en aquellos tramos de conducción libre, rectos, sin cambios de pendiente, de geometría o de dimensiones, con una rugosidad conocida previamente y sin obstáculos que impidan el desarrollo del régimen uniforme; calcular el gasto mediante el método de área-pendiente. • Determinación de n o de C. Es el problema inverso de la aplicación anterior. En este caso debe conocerse previamente mediante otro método de aforo el gasto real que se transporta y emplear las formulas del régimen uniforme para determinar la relación rugosidad-profundidad en esa conducción.


RAMO DEL CANAL PEDROSO – GUIRA, REVESTIDO CON LOSAS DE HORMIGON.

________________________________________________Diseño de la sección transversal 317

6 DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL

El diseño de un canal se asocia, a veces, con el diseño de su sección transversal, sin embargo, este es solo un aspecto entre los múltiples problemas que se presentan al resolver una rutina de diseño En el proceso de diseño se presentan problemas puramente hidráulicos y otros en los campos de la topografía, la geología, la tecnología constructiva, la economía y la protección del medio ambiente, pero siempre con una relación directa con las decisiones hidráulicas. El diseño de un canal, al igual que cualquier otra obra de ingeniería, depende de cinco eslabones básicos: los puramente técnicos, los económicos, los sociales, los relacionados con la defensa del país y los que tienen que ver con la preservación del medio ambiente. En este capítulo se abordan los problemas hidráulicos que deciden la geometría y dimensiones de la sección transversal, aunque se comienza el mismo con un análisis más general sobre la rutina de diseño de un canal o tramo de canal. 6.1 Una aproximación al diseño de un canal. Un canal o red de canales, como toda obra lineal que utiliza el relieve topográfico para su desarrollo, está muy influenciada por este, tanto en la etapa de proyección, en la de construcción y una vez concluido el proyecto, en la etapa de operación.


Se puede dividir los canales en dos grandes grupos atendiendo a su función, • Canales para conducción y abasto. • Canales para recolección y evacuación. Normalmente los primeros se proyectan y construyen por las zonas altas de la región, ya, que su función es conducir, abastecer y derivar el agua. Los segundos, al tener que recolectarla para después conducirla y evacuarlas, se proyectan y construyen por zonas bajas. Estas obras tienen gran repercusión positiva y negativa en el medio ambiente, por lo cual su proyecto debe estar precedido de un muy completo estudio de las afectaciones, que genera la obra al paso por las regiones donde esté enclavada. De forma muy general la tarea de diseño debe dividirse por tramos de canal, correspondiendo a cada tramo características y problemáticas semejantes. De esta forma el diseño de cada tramo pudiera estructurarse así, 1. Recolección y organización de las bases de datos. 2. Selección de una variante de trazado en planta del eje de la

obra. El cálculo de sus curvas, alienaciones, estacionados y coordenadas de todos los puntos notables del trazado. Cálculo del perfil del terreno por el eje del trazado y en las secciones transversales correspondientes a cada estación.

• Para la variante de trazado elegida en el paso anterior, 3. Elegir una posible pendiente para el fondo del canal en

función de la complejidad del trazado del tramo y la topografía.

4. Decidir el revestimiento o no de la sección transversal y el método de cálculo a emplear. Elegir una geometría y dimensionarla para que satisfaga los requerimientos del régimen uniforme en todo el rango de gasto y las restricciones del método de cálculo. Esta etapa del diseño puede llevar a un


retroceso en la rutina, debido al no cumplimiento de alguna de las restricciones del diseño. Si esto sucede se debe analizar si un simple cambio resuelve el problema o si hay que retornar al punto 3 o al 2 en caso de necesidad. La sección así dimensionada se denominará en lo sucesivo sección típica hidráulica (STH).

5. A partir de la STH definir la sección típica constructiva (STC), decidiendo las obras inducidas por la protección o la operación, a saber: diques de protección contra la entrada del escurrimiento, canales paralelos y caminos paralelos. Estas obras se dimensionan y se ubican en elevación respecto al fondo del canal en la STH.

6. Establecer la rasante del fondo del canal en el tramo de cálculo. Para esto hay que decidir la cota del fondo de la STC en la primera estación del tramo y con la pendiente elegida en el punto 3, calcular las cotas del fondo de todas las estaciones del tramo. Esta etapa es de gran importancia técnica y económica. La cota del fondo, según su valor, puede implicar mucha excavación o mucho relleno, puede decidir que el canal no pueda recibir o derivar agua, figura 6.1.

FIGURA 6.1 TRES PERFILES CARACTERISTICOS DE TRAMOS DE CANAL. Una vez concluida esta parte, se calculará estación por estación las secciones constructivas (SC), ubicando la STC en la cota de fondo que le corresponde, y realizando la intersección


correspondiente con el terreno. De aquí pueden surgir dos importantes objetos de obra: Los diques de protección contra desbordamiento, fig. 6.2, si

el nivel de agua está por encima del terreno. Las bermas constructivas, fig. 6.3, a y b, si la profundidad

de excavación o relleno excede lo normado para la tecnica constructiva o para la resistencia del suelo.

FIGURA 6.2 SECCION CON DIQUE CONTRA DESBORDAMIENTO.

FIGURA 6.3 DOS OPCIONES DE BERMAS CONSTRUCTIVAS. 7. A este nivel del diseño se hace necesario acercar el proyecto al

régimen real de circulación, que no tiene por que ser uniforme en todo el tramo. Se deben seleccionar aquí las obras hidráulicas inducidas por el trazado y las necesarias para la operación correcta del canal o del sistema de canales. De la selección, dimensionamiento y cálculo de los parámetros hidráulicos de cada obra y de su ubicación en la estación que le corresponda, dependerá el grado de alteración que sufra el


supuesto régimen uniforme de circulación. Por esta razón el próximo paso es de mucha importancia.

8. Cálculo de régimen permanente variado que se produzca aguas arriba y aguas abajo de cada obra, para todo el rango de gasto y para las condiciones reales de circulación que se calculen previamente para el comienzo y final del tramo analizado, como resultado de relacionar los tramos entre si.

Este cálculo, entre otras cuestiones, demuestra si: El diseño de las secciones constructivas es adecuado, manteniéndose las restricciones establecidas para la STH y las demás necesarias para garantizar el buen funcionamiento y el control para todo el rango de gastos. El diseño de las secciones constructivas no es adecuado para uno o varios gastos debido a que: a. hay desbordamiento b. hay erosión c. hay sedimentación d. no hay suficiente nivel para la derivación e. no hay posibilidades de colectar agua f. no se cumple algún otro requisito impuesto

previamente. Si este último sucede habrá que realizar cambios en el diseño

que pueden llevar hasta recomendar comenzar los cálculos desde el principio.

9. Si se concluye favorablemente una variante de diseño, para esta opción se realizará lo siguiente. Calcular el movimiento de tierra. Calcular el volumen del resto del los materiales de

construcción y de apoyo a la construcción. Definir el equipamiento y mano de obra necesaria y los

plazos de terminación. Calcular los costos, beneficios, plazos de recuperación y

demás indicadores económicos de la variante. Calcular los impactos ambientales de la variante.


10. Por último y después de analizar un grupo de variantes, debe desarrollarse un análisis comparativo para llegar a la mejor opción.

En un análisis mas detallado del diseño que se realiza y con el objetivo de ganar calidad en el rigor de análisis hidráulico, las variantes más prometedoras deben someterse a un análisis de operación para todo el rango de gasto. Esto es, un análisis de la ocurrencia en tiempo real, del régimen impermanente variado en la operación de la conducción. Esta etapa, muy compleja desde el punto de vista del análisis numérico y del cálculo de alternativas, es la que en realidad puede dar el aval total a la mejor solución ya que es, este régimen de circulación, el que mayoritariamente impera en la operación de los canales. Desde un punto de vista hidráulico cuatro etapas tienen una relación directa con las formulaciones de la hidráulica de canales,

el dimensionamiento de la STH que se realiza con las fórmulas desarrolladas para el régimen uniforme.

el cálculo de las obras hidráulicas basado en las relaciones empíricas que describen el comportamiento hidráulico para cada una.

el cálculo del régimen variado que se produce al intercalar las obras, cambian de rugosidad, gasto, sección o pendiente.

el análisis y cálculo del movimiento de las ondas cuando aparece en la operación el régimen Impermanente.

6.2. Introducción al diseño de la sección transversal. Una de las etapas de mayor importancia en el diseño es el dimensionamiento de la STH capaz de conducir el agua entre dos puntos de manera segura y económicamente eficiente.


Se debe diferenciar, desde el punto de vista hidráulico, tres clases de canales en función de su sección transversal; - en tierra, erosionables o no revestidos. - revestidos o no erosionables. - revestidos con vegetación. La sección de un canal o tramo de canal esta totalmente diseñada, figura 6.4, cuando:

INFORMACION MATERIAL: CONDICIONES DE OPERACIÓN: PERDIDAS DE AGUA POR KILOMETRO DE CANAL: EFICIENCIA DE LA CONDUCCION EN EL TRAMO: n DE MANNING: PENDIENTE LONGITUDINAL DEL TRAMO: ALTURA DE LA SECCION TIPICA HIDRAULICA: VELOCIDAD MAXIMA PERMISIBLE: VELOCIDAD MINIMA PERMISIBLE: PROFUNDIDAD VELOCIDAD GASTO MINIMO < VALOR > < VALOR > < VALOR >

GASTO MAXIMO < VALOR > < VALOR > < VALOR > FIGURA 6.4 INFORMACION QUE CARACTERIZA EL DISEÑO DE UNA STH. esta definida su geometría y dimensiones. esta definido el material que compare el perímetro de la

sección. esta definida la pendiente del fondo. se han calculado las profundidades del agua, y la velocidad

para el rango de gastos que circularán.


se ha calculado el borde libre necesario y se ha sumado a la profundidad máxima, para obtener la altura total.

Además, para que el diseño sea aceptado, debe cumplirse un grupo de restricciones que son las que garantizarán el buen trabajo de la sección: La velocidad media de circulación o la fuerza tráctiva actuante

para el gasto máximo, no sea superior al valor permisible establecido en función del material que recubre el perímetro del canal (restricción de no erosión).

La velocidad media de circulación para el gasto mínimo, sea superior al valor permisible que no permite sedimentación de partículas en el fondo del canal y/o crecimiento de plantas acuáticas (restricción de no sedimentación y no crecimiento de plantas).

Hay un grupo de factores que deben tenerse en consideración en el momento del diseño de la sección y que de una u otra forma inciden en el resultado final, estos son: - la pendiente del fondo: definida en algunos casos por la

topografía solamente y en otros además por la finalidad de la obra y el nivel de agua sobre terreno que se requiere.

- la geometría de la sección: definida por la clase del canal, la finalidad de la obra, el método y equipos de construcción factibles y la sistematicidad y calidad esperada de los mantenimientos.

- taludes de los lados: determinado por las características del suelo a excavar, la clase del canal y la tecnología constructiva.

- el bordo libre: determinado por las fluctuaciones posibles de la profundidad debido a: mala operación, recrecimiento del fondo debido a la sedimentación, incremento de n, oleaje debido al viento.

- la velocidad mínima permisible: factor límite de la velocidad media del canal para evitar sedimentación y crecimiento de plantas acuáticas.


- la velocidad máxima permisible: factor límite de la velocidad media del canal para evitar erosión en el material que conforma el perímetro de la sección. Este factor puede decidir el revestimiento de la sección e influir en la selección del material.

- el esfuerzo cortante permisible: factor limitante, al igual que la velocidad máxima permisible, que valora la posible erosión desde otro punto de vista. Al igual que la velocidad máxima el revestimiento o no de la sección dependerá de este parámetro.

- las pérdidas de agua: factor de importancia técnica y económica y que depende del material en que se construye y reviste el canal y de la geometría de la sección. Este factor puede decidir el revestimiento de la sección e influir en la selección del material.

6.2.1 La pendiente del fondo (So). Este parámetro relaciona la hidráulica con la topografía del terreno por el cual pasa el canal. El valor debe ser cercano a la pendiente media topográfica del terreno por el eje del canal y estará limitado por un valor máximo que no produzca alta velocidad y un valor mínimo que no permita la sedimentación y/o el crecimiento de plantas acuáticas. De esta forma puede escribirse,

óncompensaciterrenoo SSS ≈≈ ------------------------------------------ 6.1 So< So_máxima ---------------------------------------------------------- 6.2 So >So_mínima ----------------------------------------------------------- 6.3 El valor final de la So se obtiene por tanteo y error en el transcurso del diseño de la STH ya que su valor influye decisivamente en el resultado final. 6.2.2. Geometría de la sección. La decisión de la forma geométrica de la sección transversal es importante ya que de una buena selección depende del buen trabajo futuro y la vida útil de la conducción.


En general se decide la forma en dependencia de los gastos que circularán, la técnica constructiva, la finalidad de la conducción, la resistencia del suelo en el momento de la excavación, las características del mantenimiento, el material que conforma el perímetro y otras, que el proyectista puede valorar para casos específicos. La geometría de la sección puede clasificarse de diversas maneras, a. de acuerdo a la geometría.

de geometría simple (trapecial, triangular .....). de geometría compuesta (doble trapecial, semicircular-trapecial ....).

b. de acuerdo al material que recubre el perímetro. no revestidas. revestidas (con material antierosivo, antifiltraciones o ambos).

c. de acuerdo al cierre de la sección. de sección abierta. de sección cerrada.

El empleo de una u otra forma geométrica no está normado de forma estricta. Algunas indicaciones al respecto, pueden ser: 1º. Secciones compuestas si el rango de gastos a conducir es

grande. 2º. No diseñar secciones triangulares para más de 1m3/s. 3º. Emplear secciones cerradas si no se quiere contaminar el

medio ambiente por el agua que se conduce o para evitar la contaminación del agua debido al contacto con el medio ambiente.

4º. Emplear secciones con ángulos suavizados, si son secciones no revestidas en materiales finos y fácilmente vulnerables a la erosión o secciones revestidas de vegetación.


6.2.3. Taludes de los lados. Si la sección lleva taludes laterales, para el diseño de los taludes de los diques de protección contra el escurrimiento, diques de protección contra desbordamiento y taludes sobre las bermas constructivas, estos deben ser diseñadas cuidadosamente de acuerdo al tipo de material que se va a emplear en la excavación o el relleno.

Material Talud Roca 0,25 : 1 Arcilla compacta 0,5 : 1 a 1 : 1 Tierra con recubrimiento de hormigón 0,5 : 1 a 1 : 1 Tierra con revestimiento de piedra 1 : 1 Canales grandes en tierra 1 : 1 Arcilla firme o zanjas en tierra 1,5 : 1 Arena suelta 2 : 1 Loam arenoso o arcilla muy porosa 3 : 1

TABLA 6.1 VALORES RECOMENDADOS DEL TALUD Tomado de Ven te Chow (1959)

Talud Material Recomendado Limite Arena suelta 3 2,4 Arena 3 2 Arena limosa 2,5 1,9 Arena arcillosa 2,5 1,8 Loam arenoso 2,5 1,4 Loam areno-arcilloso 2 1,2 Loam limo-arenoso 2 1,2 Loam arcillo-arenoso 2 1 Loam arcilloso 1,5 0,9 Arcilla loamosa 1,5 0,9 Arcilla 1 0,5 Arcilla pesada 1 0,5

TABLA 6.2 VALORES RECOMENDADOS DEL TALUD. Tomado de León (1991). Como usualmente en canales las profundidades de corte, sin bermas intermedias, no superan los cincos metros, se puede


obtener el valor del talud de acuerdo a recomendaciones específicas. Para casos especiales deben emplearse métodos de cálculos específicos para estos fines. Algunas recomendaciones aparecen en las tablas 6.1, 6.2 y en la figura 6.5. 6.2.4. Bordo libre. Es la distancia vertical entre la parte superior de la sección del canal o del revestimiento del perímetro y la superficie del agua en el canal para el mayor de los gastos de diseño a conducir, su propósito es prevenir el desbordamiento del agua debido a: mala operación, sobre elevación debido a las curvas en la planta del trazado, oleaje producido por el viento, incremento de la profundidad debido a sedimentos o incrementos de n, incremento del gasto producto de las lluvias.

FIGURA 6.5 VALORES DEL ANGULO DE REPOSO PARA MATERIALES NO COHESIVOS SEGÚN LANE (1953) Chow considera que debe fluctuar entre 5% y 30% de la profundidad (0,05y a 0,3y). Otra estimación preliminar puede hacerse según,


cy552,0bl = ---------------------------------------------------------- 6.4 donde, c = 1,5 + 0,0119Q, para 0,6 ≤ Q ≤ 85 m3/seg. bl y y, en metros. Si se considera la sobre elevación que produce el movimiento en una curva en planta en una sección rectangular, entonces el valor sería,

radio gbvh

2

=∆ ---------------------------------------------------------- 6.5

está ecuación, según Houk (1956), subestima el valor de ∆h. Aplicando la Segunda Ley de Newton a una línea de corriente que pasa por una curva se demuestra que,

i

e2

rr

logg

v3,2h = , donde, re y ri son los radios de la curva

exterior e interior.

FIGURA 6.6 GRAFICA PROPUESTA POR EL U.S.B.R. PARA DETERMINAR EL BORDO LIBRE

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0.1 1 10 100Q (m3/s)

bl (m

)

hasta borde de dique

hasta altura de revest.

canal no revestido


Woodward supuso la velocidad igual a cero en los taludes y máxima en el centro del canal y que la variación entre esos puntos era parabólica, entonces, si la sección es rectangular se obtiene:

−+

−+−=

br2br2ln1

br4

br16

br67,6

gv

h2

2

2

3

32max --------------- 6.6

Las curvas del USBR son un inmejorable asesor para este cálculo. Ellas posibilitan el cálculo de los niveles de protección, hasta el revestimiento (si lo hay) y hasta el final de la sección excavada o conformada por terraplenes, figura 6.6. Raju (1988) recomienda los siguientes valores a partir de criterios adoptados en la India, tabla 6.3.

Q (m3/seg) < 0,75 0,75 -1,50 1,50 - 85,0 > 85

Bl (m) 0,45 0,60 0,75 0,90

TABLA 6.3 VALORES DE BORDO LIBRE RECOMENDADOS EN LA INDIA. 6.2.5. Pérdida de agua. La pérdida de agua en los canales puede tener dos componentes: ––– la pérdida provocada por evaporación desde la superficie

libre. ––– la pérdida por infiltración a través del perímetro mojado. La pérdida por evaporación es proporcional a la superficie expuesta, a la humedad relativa, al viento, a la temperatura, a la radiación solar y también a la geometría seleccionada (abierta o cerrada, de rápido incremento de T, etc.). La solución de esta pérdida está en:


––– eliminar la exposición directa a la atmósfera utilizando secciones cerradas.

––– escoger geometrías de poco ancho superficial. La pérdida por infiltración se puede estimar por fórmulas empíricas o calcularse en canales ya construidos mediante: ––– aislamiento temporal de un tramo de canal y medir su

decrecimiento de profundidad a la vez que medir la lámina evaporada, preferiblemente con un evaporímetro dentro de la masa de agua.

––– con un registro de gastos entre dos tramos de canal y una cuantificación de la lámina evaporada.

En casos de canales en proyectos la construcción de tramos de prueba puede ser muy aconsejable. Davis y Sorenson (1969) recomiendan utilizar los siguientes valores sí el nivel freático no afecta el canal, tabla 6.4

Suelo horas24xareamaguam

2

3

Franco arcilloso impermeable 0.076 – 0.107 Arcilla a no más de 2-3m de profundidad 0.107 – 0.152 Franco arcilloso fino, ceniza de lava 0.152 – 0.229 Franco arcilloso gravoso, arena y arcilla, Franco arcilloso arenoso, grava cementada 0.229 – 0.305

Franco arenoso 0.305 – 0.457 Arenoso suelto 0.457 – 0.534 Grava arenosa 0.610 – 0.762 Grava porosa 0.762 – 0.915 Grava 0.915 – 0.829

TABLA 6.4 PERDIDA DE AGUA EN DIFERENTES SUELOS SEGÚN DAVIS Y SORENSON. Las pérdidas por infiltración dependen de: ––– Tipo de material que conforma el perímetro del canal. ––– Características de perfil geológico del suelo. ––– Profundidad del manto freático.


––– Horas diarias de uso del canal. ––– Longitud total del canal. La fórmula general que se utiliza para calcular el gasto afectado de las pérdidas es:

PERQQ nb += ------------------------------------------------------- 6.7 donde: Qb gasto total

Qn gasto neto, o sea, el gasto real que llega a su destino PER pérdidas de agua en la conducción.

Las pérdidas totales de un canal con funcionamiento periódico (canales temporales, canales terciarios) puede determinarse de la siguiente forma:

100LQ

PER npp σβα= ---------------------------------------------------- 6.8

donde: αp coeficiente que depende del ritmo de trabajo del canal. βp coeficiente que depende del tiempo de trabajo del canal. σ medida específica, expresada en tanto porciento del gasto por

kilómetro de canal. L longitud del canal, en kilómetros. Para canales de funcionamiento constante o durante periodos muy prolongados, PER se puede determinar mediante la expresión:

100LQ

PER nσ= ---------------------------------------------------------- 6.9

Para obtener el valor de pα es necesario conocer el ritmo de trabajo del canal (RTC), que es la relación entre el número de canales que trabajan simultáneamente (NCT) y el número de canales (NC) que desembocan en el canal que se quiere calcular.

NCTNCRTC = -------------------------------------------------------- 6.10

El valor de pα puede entonces obtenerse por la siguiente relación:


RTC 1 2 3 4 αp 1 0,75 0,66 0,62

TABLA 6.5 VALORES DE αp PARA LA FÓRMULA 6.8 El coeficiente pβ se obtiene en función del número de horas que trabaje diariamente la conducción y sus valores aparecen en la tabla 6.6.

Horas de trabajo simultáneo pβ

5 2.35 10 1.60 15 1.30 20 1.15

Más de 24 1.0 TABLA 6.6 VALORES DE pβ PARA LA FÓRMULA 6.8

Para calcular las pérdidas de agua como porcentaje del gasto por kilómetro de canal (σ), se presentan, en la tabla 6.7, tres fórmulas desarrolladas por el académico N.Kostiakov y tres fórmulas propuestas por el Instituto de Hidromejoramiento de Asia Central, en función del tipo de terreno en que se construye en canal. De esta forma quedan determinados todos los factores que intervienen en el cálculo de PER según las fórmulas propuestas para el cálculo. Si las aguas subterráneas no yacen profundamente y sostienen un flujo filtrante del canal, las pérdidas de agua son menores que la filtración libre. En este caso el MICONS de Cuba, a partir de la experiencia de los especialistas cubanos y extranjeros que han laborado en este tema, aconseja afectar las pérdidas por un factor de corrección y entonces: PER se obtiene multiplicando las pérdidas por filtración libre por un coeficiente de corrección CP según los datos que aparecen en la tabla 6.8.


Suelo

Permeabilidad (m/día)

σ Según Kostiakov

σ Según Instituto de Hidromejoramiento

del Asia Central

Muy permeables ≥ 2 5.0Q4.3

5.0Q

15.3 a 85.2

Medianamente permeables 0.5 - 1 4.0Q

9.1

5.0Q3.2 a 87.1

Poco permeables ≤ 0.1 3.0Q7.0

5.0Q

3.1 a 0.1

TABLA 6.7 VALORES DE σ PARA LAS FÓRMULAS 6.8 Y 6.9. Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caña de azúcar, de F. Rajimbaev

PROFUNDIDAD DEL MANTO FREATICO CON RESPECTO AL FONDO DEL CANAL (m)

GASTO (m3/s)

< 3 3 5 7,5 10 15 20 25 0,3 1,0 3,0 10,0 20,0 30,0 50,0 100,0

0,82 0,63 0,50 0,41 0,36 0,35 0,32 0,28

0,79 0,63 0,50 0,45 0,42 0,37 0,33

0,82 0,65 0,57 0,54 0,49 0,42

0,79 0,71 0,66 0,60 0,52

0,91 0,82 0,77 0,69 0,58

0,94 0,84 0,73

0,97 0,84

0,94

TABLA 6.8 COEFICIENTE DE MINORACION DE LAS PERDIDAS POR EFECTO DEL MANTO FREATICO Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caña de azúcar, de F. Rajimbaev El Instructivo del MICONS de 1978 plantea, para el cálculo de PER, diferentes fórmulas en función de la sección transversal del canal. Dicho instructivo propone:

( )y2TK0116.0PER += -------------------------------------------- 6.11 donde:


K coeficiente de filtración del suelo del lecho del canal, m/día. T ancho superficial del canal, m. y profundidad de circulación, m. La fórmula 6.11 es válida para canales de sección aproximadamente semicircular. Para canales de secciones trapeciales se propone:

( )y2TK0116.0PER p +µ= para 4yT

≤ ----------------------- 6.12

( )yATK0116.0PER P+= para 4yT

> ------------------------ 6.13

donde:

Ap y pµ coeficientes de la relación yT y del talud m, y que se

determinan mediante la tabla 6.9.

m = 1

m = 1.5 m = 2

T/y Ap

pµ Ap

pµ Ap

pµ

2 3 4 5 6 7 10 15 20

2,0 2,4 2,7 3,0 3,2 3,4 3,7 4,0 4,2

0,98 1,00 1,14 1,15 1,14 1,12 1,11 1,08 1,06

-

1,9 2,2 2,5 2,7 3,0 3,2 3,6 3,9

0.78 0,98 1,04 1,08 1,10 1,10 1,10 1,07 1,08

- -

1,8 2,1 2,3 2,7 2,9 3,3 3,6

0,62 0,82 0,94 1,02 1,04 1,07 1,07 1,06 1,05

TABLA 6.9 COEFICIENTES PARA LAS FÓRMULAS 6.12 Y 6.13 Tomada de Regulación de Proyectos No 1081. Ministerio de la Construcción La influencia del agua subterránea se obtiene exactamente igual que en la metodología anterior.


El coeficiente de eficiencia η para canales que trabajan con largas interrupciones se determina por la fórmula:

B

N

QQ

=η --------------------------------------------------------------- 6.14

En este caso, el gasto neto (QN) coincide con el gasto de diseño del canal. Si esto no se cumple, o sea, si el gasto de circulación (Qn) es menor que el gasto de diseño (QN), el coeficiente se determina por la tabla 6.10, en la cual

n

N

QQ

=Ω ------------------------------------------------------------- 6.15

En los canales de gran sección con diques, concebidos en terraplén o en semiexcavación-semiterraplén, se deben determinar las pérdidas por filtración debidas al dique. Los diques de canales representan en sí una presa de tierra de baja carga, y para determinar la filtración son válidos los cálculos empleados en presas de tierra. Debe tenerse en cuenta que la curva de infiltración no debe salir por el talud inferior del dique.

Valores del coeficiente de eficiencia para diferentes Qn / QB

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

Ω

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,45 0,45 0,52 0,54 0,55 0,58 0,60

0,50 0,54 0,57 0,60 0,62 0,64 0,65

0,56 0,60 0,62 0,65 0,67 0,68 0,70

0,62 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,75

0,68 0,72 0,74 0,76 0,78 0,79 0,80

0,76 0,78 0,80 0,82 0,83 0,84 0,85

0.83 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,90

0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 0,95 0,95

TABLA 6.10 VALORES DE LA EFICIENCIA η Los valores mínimos aceptables para el rendimiento de los canales son, Magistrales: 0.75; Principales: 0.80;


Secundarios: 0.85; Temporales: 0.90. En los casos en que los cálculos de las pérdidas por filtración den valores excesivos, se toman medidas para reducir o evitar la filtración, por lo que las pérdidas de agua se determinan por la expresión:

PERRPE rβ=′ ------------------------------------------------------ 6.16 en la expresión 6.16, βr es un coeficiente que considera el revestimiento y se calcula por la fórmula:

rβ

−

ψ

δ+

=

1K

KT

A1

1

rev

suelo0p ----------------------------------------- 6.17

donde: 0δ espesor del revestimiento

Ksuelo coeficiente de filtración del suelo Krev coeficiente de filtración del revestimiento T ancho superficial, m ψ coeficiente que depende de la calidad de la construcción y que varía entre 1 y 9. En la tabla 6.11 aparecen los valores del coeficiente Krev

Revestimiento Krev (cm/s) Volumen de

filtración (litros/día)

Plazo de servicio (años)

Hormigón monolítico

3 .10-6 a 5.10-6

15-20 Hormigón armado monolítico 2.5.10-6 a 3.5.10-6 20-25

Película de hormigón monolítica ----------------------- 3 a 6 20-25

Hormigón armado prefabricado 0.5.10-6 a 2.10-6 35-40

Hormigón asfáltico 10-6 a 10-5 10-15

Pantalla de película polimérica ----------------------- 10 a 15 8-10

Pantalla arcillosa 7.10-6 a 10-5 5-10 Película de hormigón prefabricado ---------------------- 7 a 10 35-40

TABLA 6.11 VALORES DE LA PERMEABILIDAD DE ALGUNOS REVESTIMIENTOS. Tomado de la Regulación de Proyectos No. 1081, Ministerio de la Construcción


La disminución de las pérdidas depende del tipo de medida que se tome. En la tabla 6.12 aparecen los porcentajes de disminución de las pérdidas para diferentes medidas contra la filtración. Esta información sin que agote el tema da una idea de lo que representa una u otra solución. Otras fórmulas para estimar las pérdidas de agua en canales han sido propuestas por investigadores de diferentes regiones del mundo. Por ejemplo: • Fórmula de Davis y Wilson para canales revestidos:

3/16r y

v3650104PLC45.0PER ⋅+⋅

=

donde: PER pérdidas, m3/día L longitud del canal, m P perímetro mojado, m v velocidad del agua, m/s y profundidad de circulación, m Cr constante que depende del revestimiento.

Medida

Porcentaje de disminución

Compactación profunda del fondo y los taludes (más de 0.5m)

70-80

Compactación poco profunda (0.25m) 30-50

Capa compacta bajo los diques y fondo 30-60

Colmatado artificial 30-50

Salinización artificial 40-60

Betún asfáltico 85-95

Arcilla 60-80

Película de polietileno 85-90 TABLA 6.12 POR CIENTO EN QUE DISMINUYEN LAS PERDIDAS EN FUNCION DEL TRATAMIENTO SUPERFICIAL QUE SE APLIQUE A LA STH.


• Fórmula de Moritz

vQCPER M=

donde: PER pérdidas, ft3/s/millas de canal Q caudal, ft3/s v velocidad del agua, ft/s CM coeficiente empírico que depende del tipo de suelo.

• Fórmula de Molesworth (deducida en experiencias en Egipto) yLPPER Γ=

donde: PER pérdidas, m3/s K longitud del canal, km P perímetro mojado, m Y profundidad de circulación media, m Γ coeficiente que depende del suelo y su temperatura,

que varía de 0.0015 para arcillas hasta 0,003 para arenas.

• Fórmula de Offengenden para canales de tierra.

100QLsPER =

donde: PER pérdidas, m3/s Q caudal, m3/s L longitud del canal, km s porcentaje de pérdidas, que se determinan como

s = A'/Qw A' y w son parámetros empíricos que dependen del suelo: de baja permeabilidad: A' = 0,7 w = 0,3; de mediana permeabilidad: A' = 1.9 w = 0.4; de alta permeabilidad: A' = 3.4 w = 0.5.


• Fórmula de S.A. Guirshkan:

KL100

3.6PER =

donde: PER pérdidas, m3/s L longitud del canal, km K filtración del suelo, m/día

6.2.6. La velocidad mínima permisible Este parámetro es de gran importancia en el diseño y repercute fuertemente en la vida útil de la conducción y en la necesidad frecuente de mantenimientos. La velocidad mínima tiene dos interpretaciones. Una como la velocidad media que no permite la deposición en el canal de los sedimentos que transporta la corriente. La otra, como la velocidad media que no permite el crecimiento de plantas acuáticas en el canal. La segunda interpretación requiere un valor de velocidad superior al dado por la primera, por lo cual puede escribirse que,

PLANTAS_DE_OCRECIMIENTminV > IONSEDIMENTACminV ----------------------------- 6.18

Los valores de velocidad requeridos para garantizar el no crecimiento de plantas pueden tener magnitudes tan alta, que si los canales son construidos en suelos fácilmente erosionables puede existir el peligro de erosión al tratar de cumplimentar este valor. Chow (1959), en forma simple, plantea que este valor es muy incierto y que un valor exacto no puede determinarse fácilmente; aclara además, que en el caso de canales que conducen aguas claras o que han sido desarenadas, la velocidad mínima tiene poca importancia, salvo que se quiera evitar el crecimiento de yerbas. A


partir de estas premisas propone un valor de vmin entre 0.61 y 0.92 m/s cuando el porcentaje de material transportado por el agua es bajo, y afirma que las velocidades mayores de 0.76 m/s evitan el crecimiento de vegetación que pudiera dañar seriamente la capacidad del canal. La velocidad mínima admisible vmin es el límite inferior de velocidad que puede admitirse en un canal y por debajo del cual se produce deposición de los sedimentos en suspensión y comienza el crecimiento de plantas acuáticas que obstruyen la sección transversal y las obras de fábrica existentes. De modo que en todo proyecto debe cumplirse que: v > vminima ------------------------------------------------------------- 6.19

FIGURA 6.7 DIAGRAMA DE HJULSTROM El diagrama propuesto por Hjulstrom (1935) muestra gráficamente la zona propicia de diseño de un canal, desde el punto de vista de


la sedimentación y la erosión, encontrándose ésta como transición entre las zonas críticas, figura 6.7. Son numerosas las fórmulas, tablas y gráficos que se han propuesto como resultado de la investigación en torno a la velocidad mínima admisible, que aparecen en literatura especializada. El profesor I.I. Levi propone la siguiente:

Rev Lmin = -------------------------------------------------------- 6.20 donde: R radio hidráulico, m eL coeficiente que depende de la calidad de los sedimentos, su granulometría y su velocidad media de circulación, para su determinación hay que considerar dos casos: 1º. Si el coeficiente de rugosidad n no es aproximadamente

igual a 0.0225, se toma para eL un valor igual a 0.5 cuando el diámetro medio de las partículas en suspensión es 0.25 mm, pero cuando estas partículas de 0.25 mm no sobrepasan el 0.01% del peso específico, entonces el valor de eL debe calcularse por la fórmula:

m

sL d

v01.0e =

donde: dm diámetro de las partículas, mm vs velocidad de sedimentación, mm/s

d (mm) vS (mm/s) d (mm) vS (mm/s) 0.005 0.0175 0.09 5.61 0.01 0.0692 0.10 6.92 0.02 0.277 0.125 10.81 0.03 0.623 0.150 15.60 0.04 1.11 0.175 18.90 0.05 1.73 0.200 21.60 0.06 2.49 0.225 24.30 0.07 3.39 0.250 27.00 0.08 4.43 0.275 29.90


2º. Si en el fondo del canal se depositan sedimentos mucho mayores que los que la corriente puede arrastrar, el coeficiente eL está en función de la granulometría de los sedimentos que transporta la corriente, y por lo tanto:

n0225.05.0eL =

si el diámetro medio de las partículas es dm ≤ 0,25 mm

n0225.0

dv

01.0em

sL ⋅=

siempre que la fracción mayor de 0.25 mm, en peso, no sea mayor que el 0.01% del peso específico.

En forma general:

n0225.0

01.0dv

01.0e 4 25

m

sL ⋅

ρ=

donde: ρ25 porcentaje de sedimentos con diámetro mayor de 0.25 mm, contenidos en el peso específico.

Otras dos fórmulas en sistema métrico y de uso frecuente, es la de S.J. Abolians:

25.0min R3.0v = ------------------------------------------------------ 6.21

y la de S.A. Yirchkan: 2.0

vmin QYv = -------------------------------------------------------- 6.22 donde: R radio hidráulico, m Q caudal, m3/s Yv coeficiente que depende de la velocidad de sedimentación

de las partículas en suspensión Yv = 0.33 si Vs<1.5mm/s; Yv=0.44 si 1.5mm ≤ Vs ≤ 3.5 mm/s; Yv = 0.55 si Vs > 3.5 mm/s).


6.3 Erosión en la sección transversal. Las leyes que rigen el comportamiento de un suelo solicitado por las fuerzas hidrodinámicas no se conocen bien aún a pesar de que se han formulado muchos conceptos al respecto que han sido aceptados mundialmente y recogidos en la abundante literatura que se refiere a la hidráulica del transporte de sedimentos. En términos generales, hay tres formas de análisis del movimiento de las partículas de suelo bajo el efecto de la energía hidráulica: • Mediante ecuaciones de la velocidad crítica permisible y

considerando el impacto del fluido sobre la partícula. • Mediante ecuaciones del esfuerzo cortante crítico permisible al

nivel del suelo y considerando el arrastre friccional del flujo. • Mediante el criterio de la fuerza de elevación y considerando

las diferencias de presiones que aparecen debido al gradiente de velocidades entre la parte superior e inferior de la partícula.

La erosión, no se produce de manera aislada, es parte del complejo fenómeno erosión-transporte-sedimentación, que se produce como resultado del enfrentamiento de las fuerzas hidrodinámicas de la corriente, las fuerzas resistentes del suelo y la potencialidad de sedimentación de las partículas erosionadas y transportadas. Las fuerzas actuantes que provocan la erosión son función de: La velocidad de la corriente de agua, Las pulsaciones de la velocidad, La profundidad del agua, La calidad del agua (turbidez).

Las fuerzas resistentes al movimiento están en dependencia del tipo de suelo, entonces, según este criterio, se clasifican tres clases de suelo: no cohesivos o suelos suelto o granulares, cohesivos y rocosos.


Los suelos no cohesivos han sido largamente estudiados y su caracterización es más certera, en los otros dos casos aunque hay numerosos estudios, la complejidad de los suelos y su gran variedad, hacen que aún queden incógnitas por despejar. Desde el punto de vista del fenómeno como función del tiempo según Pouey (1998), es posible valorar la actividad erosiva según: tiempos geológicos, tiempos anuales, tiempos de evento.

Desde el punto de vista espacial el proceso puede ser: en el área de una cuenca, restringido dentro de los límites de un cauce.

En los casos de erosión en el cauce todas las secciones de un tramo pueden estar sometidas al proceso de erosión, si el perfil del fondo y/o el de las márgenes desciende en cota; a un proceso de sedimentación, si el perfil del fondo y/o el de las márgenes aumenta su cota; o en equilibrio, sí y solo sí, no varia el perfil del fondo y de las márgenes. Cuando se habla de erosión se debe hablar de transporte de partículas, o lo que es igual, referirse al arrastre de las partículas erosionadas por la corriente, que sedimentaran o no en tramos aguas abajo. Estas partículas pueden desplazarse por el fondo o en el seno de la corriente. Las partículas siguen una trayectoria asimétrica debido a la no uniformidad de distribución de la velocidad y al valor de las componentes del vector velocidad en cada punto (vX, vY, vZ). Se consideran arrastres de fondo si las partículas se mueven rozando el fondo frecuentemente, si por el contrario recorren grandes distancias sin tocar el fondo se consideran partículas suspendidas. Al estudiar el proceso de erosión-transportación, se distinguen diferentes valores de la velocidad media:


velocidad de comienzo del movimiento, de arranque, de desprendimiento o erosionante. velocidad para la cual hay transformación del perímetro. velocidad que provoca la suspensión de las partículas sólidas.

La velocidad erosionante se define como la velocidad para la cual se inicia el movimiento de partículas aisladas, si esta se supera se produce el desprendimiento masivo (Shaffernak) o el arrastre intenso (Velikanov). Pouey, 1998, da que para vEROSIONANTE < v ≤ 1,3 vEROSIONANTE predomina el desplazamiento por el fondo, mientras que para velocidades mayores los sedimentos entran en suspensión. 6.3.1 Velocidad crítica. El fenómeno de la erosión puede ser analizado, en el caso de canales, dado que la energía cinética y por tanto el grado de turbulencia se encuentra en un intervalo de valores que permiten identificar las fuerzas que intervienen en el movimiento de una partícula, así como las fuerzas que lo resisten. Igualando ambas fuerzas se establece la condición de no-erosión en una situación de equilibrio crítico. El análisis se complica cuando la partícula disminuye de tamaño hasta un grado tal que comienzan a ejercer influencia otras fuerzas como la atracción neta entre las partículas y las fuerzas electroquímicas que componen lo que se conoce como fuerzas de cohesión las cuales dependen de las propiedades del agua y no son constantes. Mientras que en los suelos sueltos los factores que intervienen en la fuerza resistente son: el peso específico, el tamaño de la partícula y el ángulo de fricción interna; en los suelos cohesivos


intervienen: el peso específico, la porosidad (volumen de poros por unidad de volumen de suelo), la humedad (volumen de agua por unidad de volumen del suelo), la plasticidad (capacidad de deformarse sin fisuras) y sus límites, la cohesión (fuerzas intermoleculares que interfieren la ruptura del conjunto), el ángulo de fricción interna, el hinchamiento (capacidad de disminuir la cohesión por efecto de la saturación), la heterogeneidad (existencias de capas intermedias diferentes) y la integridad (modificación de la estructura). Estos factores hacen que el estudio en suelos cohesivos sea más problemático que en suelos friccionales.

FIGURA 6.8 FUERZAS SOBRE UNA PARTÍCULA SUMERGIDA DE SUELO SUELTO. El análisis clásico del movimiento inminente comienza analizando teóricamente el movimiento de una partícula suelta de suelo de diámetro medio d, solicitada por las fuerzas hidrodinámica. Se puede ver que sobre ella actúan la fuerza de arrastre Fa la fuerza de elevación Fe y el peso sumergido de la partícula w, figura. 6.8. La condición de movimiento incipiente de una partícula expresado en términos de fuerzas actuantes es,

NORMALES

ESTANGENCIAL

FF

tan =ϕ

donde: ϕ es el ángulo de reposo del material, FT y FN son las fuerzas tangenciales y normales.


La condición de movimiento inminente se produce cuando hay equilibrio entre las fuerzas y entonces puede plantearse,

e

a

FcoswFsenw

tan−α+α

=ϕ ----------------------------------------------- 6.23

Según la Segunda Ley de Newton:

g2v

rCKF2f2

a1a γπ= y g2

vrCKF

2f2

e2e γπ=

donde: Ca y Ce coeficientes de arrastre y elevación respectivamente; K1 y K2 coeficientes de forma de la partícula; γ peso específico del agua; πr2 área frontal de la partícula considerada como esférica; vf velocidad del flujo en el fondo; g aceleración de la gravedad. y el peso sumergido se calcula según,

3p3 d)(KW ρ−ρ=

donde: ϕ coeficiente de fricción ρp peso específico de la partícula ρ peso específico del agua K3 coeficiente de forma Sustituyendo los valores respectivos de cada fuerza en la ecuación 6.22 se llega a: ( ) ( )

ϕ+α−αϕ

=

−

ρ

ρ tanKCKCsencostanK2

gd1

v

2e1a

3

p

CRITICA2f -------------------------- 6.24

donde el término de la derecha se denomina coeficiente del sedimento, que depende del tamaño y uniformidad de la partícula, de su ángulo de reposo, de la pendiente que para las condiciones

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 349

normales de un canal α ≈ 0o y depende también de los coeficientes de arrastre y sustentación, por tanto puede escribirse:

d)(vK

p

2crit

γ−γ=

en la cual: ),C,C,K,K(fK ea21 ϕ= La ecuación 6.24, es el fundamento de la teoría en que se basa el estudio del movimiento de las partículas de suelo suelto, mediante el criterio de la velocidad crítica permisible. La verificación de la ecuación 6.24 es particularmente difícil debido a la falta de una buena definición de la velocidad en el fondo. Olivero, 1997, resume las importantes contribuciones aportadas en el siglo XIX, que fueron expuestas por Forchheimer en 1914, quien presento sus resultados como,

dv critica_ donde el valor medio de ε es semejante a 4 (ε≈4). Es de destacar que muchos de los investigadores han usado la velocidad media del flujo como criterio para el movimiento incipiente y no la del fondo. 6.3.2 Velocidad máxima permisible. La velocidad máxima vmax da el nivel limítrofe por sobre el cual la sección transversal comienza a erosionarse peligrosamente. La condición de no erosión: v ≤ vmax----------------------------------------------------- 6.25 Universalmente conocida por los estudiosos de las conducciones libres, esta condición debe cumplirse en todos los diseños. En ella, el término de la izquierda depende de los parámetros geométricos e hidráulicos, mientras que el de la derecha solo depende del


material que recubre el perímetro y de la calidad y características del agua que circula. Pouey (1998), cita un grupo de factores que intervienen en el proceso erosivo, tanto en las fuerzas resistentes como en las erosionantes, de los suelos cohesivos. Estos son: las propiedades físico-químicas, la concentración de sedimentos suspendidos, el tamaño de la partícula, la resitencia cortante del suelo, la temperatura, las propiedades mecánicas y el tiempo. Aunque la condición de no erosión se fija para la velocidad media de la sección, criterio que no es muy riguroso (eso será visto con más detalles al estudiar la fuerza tractiva), la amplia experiencia recopilada por numerosos investigadores y sintetizada en tablas, gráficos y fórmulas hacen que el uso de esta relación sea útil y poco riesgoso. No obstante, para gastos mayores de 50 m3/s, se recomienda que la determinación de la velocidad máxima se lleve a cabo por vía experimental por cada tipo de partícula. Las fómulas para el diseño de canales estables a la erosión son conocidas tambien como teorías de régimen y sus primeros autores surgieron en el siglo XIX. atribuyendose a Du Buat, en 1816, los primeros valores. Una de las primeras fórmulas conocidas mundialmente para determinar la velocidad máxima fue publicada en 1895 por Kennedy, está basada en los estudios de 22 canales en el alto Bari Doab, en el Punjab, India y tiene la forma:

xkmax yCv = ---------------------------------------------------------- 6.26

donde: vmax es la velocidad máxima en m/s Ck coeficiente que depende de la firmeza del material; y profundidad de circulación; x exponente empírico de poca variación.


De sus estudios Kennedy concluyó que el valor de Ck, era entre 0,67 y 0,23 y los de x entre 0,52 y 0,64; cuando y se expresa en metros. En estudios posteriores se precisó el valor de Ck en dependencia del tipo de terreno, recomendándose los valores que aparecen en la tabla 6.13. El valor de x se recomienda que se tome como 0,5 cuando se trate de canales que conducen aguas limpias. Tipo de suelo Ck

Extremadamente fino 0,36 Ligero y arenoso 0,55 Arena gruesa 0,60 Areno-arcilloso 0,66 Pesado 0,61

TABLA 6.13 VALORES PARA LA FORMULA DE KENNEDY Hjulstrom y posteriormente Fortier y Scobey reconocen que la fórmula de Kennedy, primariamente fundada en la seguridad contra la deposición conduce a factores de seguridad muy altos respecto a la erosión. Otro estudioso de la velocidad máxima permisible, I.I. Levi, propuso a finales de la década de los años 50, la siguiente fórmula:

d7Rln.gdvmax ∆=

donde: g aceleración de la gravedad (m/s2 ) ∆ coeficiente que caracteriza la compactación del suelo y

varía de1,2 a 1,4 d diámetro promedio de las partículas de suelo, m; R radio hidráulico de la sección transversal, m.

La fórmula de Levi es válida para .0005dR50 ≤≤

Otras fórmulas obtenidas experimentalmente son: Fórmulas:


1. Fórmula de B.N. Goncharov (1936), en sistema métrico. 6.02.0

max )0014.0d(R9.3v += 2. Fórmula de M.A. Velicanov (1954), en sistema métrico. 006.0d1514.3vmax += 3. Fórmula de B.C. Knoroz (1954), en sistema métrico.

gdd

R7,14log33.1v 75.0max

=

4. Fórmula de G.I. Shanov (1959), en sistema métrico.

6/1

max dyd6.4v

=

5. Fórmula de A.M. Latichenkov (1960), en sistema métrico.

2.0

max dygd6.1v

=

6. Fórmula de Levi empleada por Jarocki (1963), en sistema métrico.

=∗ d7ylngd4,1v CRIT

donde v*CRIT es la velocidad de corte o friccional en el fondo.

7. Fórmula de C.R. Neill (1967), en sistema métrico.

2.0

pmax d

R1gd025.0v

−

ρ

ρ=

para las fórmulas anteriores se tiene que: R radio hidráulico (m) d diámetro medio de las partículas (mm) y profundidad de circulación (m) ρp/ρ densidad relativa del suelo. g aceleración de la gravedad, m/s2 v velocidad máxima permisible, m/s.


Además de las fórmulas en la literatura referente al tema aparecen numerosas tablas con los límites críticos de la velocidad máxima para diferentes tipos de conducciones libres. Por ejemplo, en la tabla 6.14 aparecen los valores planteados por Fortier y Scobey, y recomendados por el ASCE en 1926, para el caso de “canales viejos”. Fortier se baso en una encuesta realizada a ingenieros en riego, en los datos del libro de Tlynn (1892) y de Etcheverry (1916). En la tabla 6.15 aparecen los valores de velocidad máxima permisible propuesto por P.C. Kiceliov (1970) para diferentes profundidades de circulación, y en la tabla 6.16 se dan los valores utilizados por Schoktlisch y para proyectos en la antigua URSS se empleaban las informaciones que aparecen en la tabla 6.17.

MATERIAL n

Agua limpia

Agua con fangos coloidales

Arena fina 0,020 0,457 0,762

Arcilla plástica-arenosa no coloidal 0,020 0,533 0,762

Fango de sedimentos no coloidales 0,020 0,610 0,914

Sedimentos aluviales no coloidales 0,020 0,610 1,07

Arcilla plástica firme ordinaria 0,020 0,762 1,07

Ceniza volcánica 0,020 0,762 1,07

Arcilla dura muy coloidal 0,025 1,14 1,52

Sedimentos aluviales coloidales 0,025 1,14 1,52 Esquistos, pizarra, capas duras de arcilla 0,025 1,83 1,83

Grava fina 0,020 0,762 1,52 Material no coloidal graduado (de arcilla plastica a guijarros) 0,030 1,14 1,52

Material graduado coloidal (de sedimentos aluviales a guijarros) 0,030 1,22 1,68

Grava gruesa no coloidal 0,025 1,22 1,83 Empedrado de guijarros, cantos rodados, cascajos, chinas pelonas. 0,035 1,52 1,68

TABLA 6.14 VMAX EN (m/s) SEGÚN FORTIER Y SCOBEY PARA CANALES DESPUÉS DE SU ASENTAMIENTO CON EL TIEMPO.


Tomada del Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow (valores modificados de acuerdo con el SI)

Vmax de circulación (m/s)

Profundidad de circulación (m)

Material

Diámetro de la partícula (mm)

0,4 1,0 2,0 Limo 0,005 - 0,5 0,12 - 0,17 0,15 - 0,21 0,17 - 0,24 Arena fina 0,05 - 0,25 0,17 - 0,27 0,21 - 0,32 0,24 - 0,37 Arena media 0,25 -1,0 0,27 - 0,47 0,32 - 0,57 0,37 - 0,65 Arena gruesa 1,0 - 2,5 0,47 - 0,53 0,57 - 0,65 0,65 - 0,75 Gravilla fina 2,5 - 5 0,53 - 0,65 0,65 - 0,80 0,75 - 0,90 Gravilla media 5 -10 0,65 - 0,80 0,80 - 1,00 0,90 - 1,10 Gravilla gruesa 10 -15 0,80 - 0,95 1,00 - 1,20 1,10 - 1,30 Grava fina 15 - 25 0,95 - 1,20 1,20 - 1,40 1,30 - 1,60 Grava media 25 - 40 1,20 - 1,50 1,40 - 1,80 1,60 - 1,20 Grava gruesa 40 - 75 1,50 - 2,00 1,80 - 2,40 2,10 - 2,80 Macadam fino 75 - 100 2,00 - 2,30 2,40 - 2,80 2,80 - 3,20 Macadam medio 100 - 150 2,30 - 2,80 2,80 - 3,40 3,20 - 3,90 Macadam grueso 150 - 200 2,80 - 3,20 3,40 - 3,90 3,90 - 4,50 Rajón 200 3,20 3,90 4,50

TABLA 6.15 VMAX SEGÚN P.G. KICELIOV (1970)

Vmax (m/s)

Tipo de suelo

Suelos poco compactos Porosidad: 2 - 1.2% γ sat: 1.75 – 2.03 γ seco: 1.20 – 1.66

Suelos con compactación media Porosidad: 1.2 - 0.6% γ sat: 1.75-2.03 γ seco:1.20-1.66

Suelos compactos Porosidad: 0.6 - 0.3% γ sat:2.03-2.27 γ seco:1,66-2.04

Suelos muy compactos Porosidad: 0.3 - 0.2% γ sat:2.27-2.34 γ seco:2.04-2.14

Arcilla arenosa 0.45 0.90 1.30 1.80

Arcilla plástica 0.40 0.85 1.25 1.70

Arcilla 0.35 0.80 1.20 1.65

Suelos arcillosos pobres

0.32 0.70 1.05 1.35


TABLA 6.16 VMAX SEGÚN SCHOKTLISCH (1961), PARA PROFUNDIDAD DE 1m. Tomada de Análisis e investigación de la erosión local en los suelos cohesivos, de E. Martínez y R, Santos. En la tabla 6.18 aparecen los valores de velocidad máxima propuestos por Lishtvan para cauces naturales, en el caso de avenidas con probabilidad del 1%. Estos valores se usan frecuentemente en los estudios hidráulicos de puentes en las condiciones de Rusia y el Asia Central pero deben emplearse con mucho cuidado en condiciones particulares ya que en estos casos extremos influyen numerosos factores, dentro de los que se destaca la relación cauce principal – llanuras de inundación. La tabla 6.19 muestra los valores de la velocidad máxima para suelos no cohesivos. Esta información fue recopilada de varias experiencias realizadas en Rusia y en el Asia Central y empleadas por diversos ministerios de la antigua Unión Soviética. La información sobre estos materiales es muy profusa y su caracterización es bastante precisa, esto permite establecer comparaciones entre varios investigadores antes de tomar una decisión final. En el caso de canales revestidos hay que tener en cuenta el tipo de material utilizado, para evitar velocidades superiores a las que pueden deteriorarlo. En la tabla 6.20 se muestran valores de velocidad máxima permisible para los canales revestidos en dependencia del tipo y calidad del revestimiento. Debe tomarse en consideración muy especialmente, el factor calidad de la construcción en el momento de determinar el valor de la velocidad máxima, ya que este determina en muchos casos la verdadera velocidad máxima admisible por el material en las condiciones de construcción establecidas. En esta valoración deben tenerse en cuenta la forma de colocación en obra de los materiales de revestimiento, el tipo de juntas y la calidad de los materiales que la componen, la experiencia de los obreros que ejecutan la obra y la calidad y


rigurosidad de los controles técnicos en obra, así como el mantenimiento que existirá para el revestimiento.

Vmax (m/s)


0.5 1.0 3.0

5.0

Con un contenido de sales fácilmente solubles (CaCl2 , MgCl2, Na2SO4, Na2CO3, NaHCO3) dado en % del peso del residuo

solamente del suelo seco.

Suelos arcillosos con una cohesión específica de cálculo (105 Pa)

0,2

0,2 a

0,3

0,2

0,2 a

0,3

0,2

0,2 a

0,3

0,2

0,2 a

0,3

0,005

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,075

0,125

0,15

0,20

0,225

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,60

0,39

0,44

0,52

0,59

0,65

0,71

0,83

1,03

1,21

1,28

1,36

1,42

1,54

1,67

1,79

1,88

1,99

2,16

0,36

0,39

0,41

0,43

0,46

0,48

0,51

0,60

0,65

0,75

0,80

0,82

0,90

0,97

1,03

1,09

1,26

1,27

0,43

0,48

0,57

0,64

0,71

0,77

0,91

1,13

1,33

1,40

1,48

1,55

1,69

1,83

1,96

2,96

2,17

2,38

0,40

0,43

0,45

0,48

0,51

0,53

0,56

0,57

0,72

0,82

0,88

0,91

0,99

1,06

1,15

1,20

1,28

1,38

0,49

0,55

0,65

0,74

0,81

0,89

1,04

1,30

1,52

1,60

1,70

1,78

1,94

2,09

2,25

2,35

2,50

2,72

0,46

0,49

0,52

0,55

0,58

0,61

0,64

0,76

0,82

0,93

1,00

1,04

1,12

1,22

1,31

1,39

1,46

1,60

0,52

0,58

0,69

0,78

0,86

0,98

1,10

1,37

1,60

1,69

1,80

1,88

2,04

2,21

2,38

2,49

2,63

2,88

0,49

0,52

0,55

0,59

0,62

0,65

0,69

0,81

0,88

1,00

1,07

1,10

1,20

1,30

1,40

1,46

1,56

1,70

TABLA 6. 17 VMAX PARA SUELOS ARCILLOSOS Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI.

_______________________________________________ Diseño de la sección transversal 357

Vmax (m/s) Profundidad promedio del cauce principal (m)

Carácter del suelo

Nombre de la fracción

predominante

Diámetro de

partícula (mm) ó

γd (104 N/m3)

1

2

3 4 5 6 8 10 12 14 16

Arena muy fina suelta 0.15 0.42 0.56 0.67 0.75 0.83 0.90 1.01 1.11 1.20 1.28 1.35 Arena fina, terreno arenoso 0.5 0.54 0.72 0.86 0.96 1.05 1.13 1.28 1.39 1.50 1.61 1.70 Arena de grano medio y fino con gravas 1.0 0.63 0.89 1.05 1.19 1.29

9 1.38 1.55 1.71 1.84 1.95 2.04

Arena de grano grueso y fino con gravas 2.5 0.86 1.11 1.30 1.45 1.59 1.69 1.88 2.05 2.20 2.34 2,46

Gravas con arena gruesa 6.0 1.06 1.36 1.57 1.74 1.90 2.01 2.22 2.42 2.57 2.72 - Guijarros pequeños con gravas y arena 15.0 1.33 1.70 1.94 2.12 2.28 2.41 2.64 2.84 3.02 3.20 -

Guijarros medios con gravas y arenas 25.0 1.65 2.05 2.33 2.56 2.74 2..9

0 3.14 3.37 3.57 - -

Guijarros medios con gravas 6.0 2.00 2.46 2.77 3.00 3.19 3.35 3.64 3.90 4.12 - - Cantos medianos con guijarros 140.0 2.50 3.00 3.36 3.68 3.85 4.03 4.39 4.65 - - - Cantos medios con guijarros 250.0 3.00 3.57 4.06 4.24 4.51 4.70 5.04 5.34 - - - Cantos medios y pequeños 450.0 3.60 4.19 4.60 4.88 5.15 5.35 5.70 - - - -

Suelos sueltos

Cantos grandes 750.0 4.25 4.90 5.31 5.60 5.87 6.07 6.45 - - - -

Suelos compactos

1 1.7 1.8

0.600.871.20

0.821.111.48

0.971.281.67

1.101.411.80

1.221.531.92

1.311.632.03

1.491.802.21

1.651.952.36

1.772.072.48

1.89 2.18

-

2.00 - -

TABLA 6,18 VMAX SEGÚN LISHTVAN PARA CAUCES CON AVENIDA DEL 1% DE PROBABILIDAD Tomada de Puentes I, de E. Valdés y G. Taylor.


Vmax (m/s) para diferentes tirantes (m)

Tipo de suelo

Diámetro

(mm)

0.4

1.0

2.0

3.0

5.0 y más

Arena muy fina 0.05-0.15 0.15-0.20 0.20-0.30 0.25-0.40 0.40-0.45 0.40-0.55 Arena fina 0.15-0.25 0.20-0.35 0.30-0.45 0.40-0.55 0.45-0.60 0.55-0.70 Arena media 0.25-1.0 0.35-0.50 0.45-0.60 0.55-0.70 0.60-0.75 0.70-0.85 Arena gruesa 1.0-2.5 0.50-0.75 0.60-0.75 0.70-0.80 0.75-0.90 0.85-1.00 Gravilla fina 2,5-5.0 0.75-0.85 0.75-0.85 0.80-1.15 0.90-1.10 1.00-1.20 Gravilla mediana 5-10 0.85-0.90 0.85-1.05 1.00-1.15 1.10-1.30 1.20-1.45 Grava fina 10-15 0.90-1.10 1.05-1.20 1.15-1.35 1.30-1.50 1.45-1.65 Grava mediana 15-25 1.10-1.25 1.20-1.45 1.35-1.65 1.50-1.85 1.65-2.00 Grava gruesa 25-40 1.25-1.50 1.45-1.85 1.65-2,10 1.85-2.30 2.00-2.45 Grava muy gruesa 40-75 1.50-2.00 1.85-2.40 2.10-2.75 2.30-3.10 2.45-3.30 Piedras pequeñas 75-100 2.00-2.45 2.40-2.80 2.75-3.20 3.10-3.50 3.30-3.80 Piedras medianas 100-150 2.45-3.00 2.80-3.35 3.20-3.75 3.50-4.10 3.80-4.40 Piedras gruesas 150-200 3.00-3.50 3.35-3.80 3.75-4.30 4.10-4.65 4.40-5.00 Roca pequeña 200-300 3.50-3.85 3.80-4.35 4.30-4.70 4.65-4.90 5.00-5.50 Roca mediana 300-400 4.35-4.75 4.70-4.95 4.90-5.30 5.50-5.60 Roca gruesa 400-500 4.95-5.35 5.30-5.50 5.60-6.00 NOTAS 1 El valor inferior de la velocidad corresponde al diámetro inferior de partícula y el valor superior al diámetro superior de partícula 2 No se interpola. Cuando el valor del diámetro de partícula o del tirante no coincidan alguno de los tabulados, se toma como velocidad admisible la correspondiente al valor el diámetro o tirante más próximo que aparezca en la tabla.

TABLA 6.19 VELOCIDADES NO EROSIVAS EN SUELOS NO COHESIVOS. Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI. En Cuba se ha hecho una propuesta de valores de la velocidad máxima permisible por el Ministerio de la Construcción, para diferentes tipos de suelos, que aparece en la tabla 6.21. A diferencia de los autores que han publicado sus resultados en tablas, otros muchos ofrecen criterios de vmax en forma de gráficos. La figura 6.9 muestra resultados obtenidos por investigadores soviéticos para suelos no cohesivos, en tanto que la figura 6.10, también de investigadores soviéticos, muestra dichos resultados para suelos cohesivos.


Vmax (m/s)

Prof. de circulación (m)

Tipo de revestimiento

Características del material

0.5 1 3 5

Hormigón 100 12.5 13.8 16.0 17.0

Hormigón 150 14.0 15.6 18.0 19.1

Hormigón 200 15.6 17.3 20.0 21.2

Revestimiento de hormigón (agua libre de arenas y piedras)

Hormigón 300 19.2 21.2 24.6 26.1

Hormigón 50-150 7.4 3.7 10.7 11.6

Hormigón 25 6.3 7.4 9.1 9.8 Revestimiento de mezcla de piedra (agua de arenas y piedras)

Hormigón 10 4.3 5.0 6.2 6.7

Gaviones (0,5 m y mayor) - 4.7 5.5 6.8 7.3

Piedras grandes - 3.0 3.5 4.1 4.4

Capas de piedras o arcilla (10 a 15 cm) - 2.4 2.8 3.5 3.8

Recubrimiento de limo y paja o relleno apisonado de suelo y piedra

Piedra de 20-30 cm 2.8 3.3 4.1 4.4

Piedra de 15-20 cm 2.6 3.0 3.7 4.0 Suelo apisonado con piedra

Piedra de 20-30 cm 3.0 3.6 4.5 4.9

Piedra de 15-20 cm 3.0 3.5 4.3 4.7 Capa doble de piedra

Piedra de 20-30 cm 3.1 3.7 4.7 5.1

Pacas de hierba - 1.0 1.25 1.5 1.5

TABLA 6.20 VMAX EN CANALES REVESTIDOS Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI.


Vmax (m/s) para diferentes suelos y tirantes (m)

Composición de las partículas (%)

Suelo poco compacto

Porosidad:1,20 Densidad seca:

11,8 kg/m3

Suelo medio compacto

Porosidad:0,9 –0,6 Densidad Seca

11,8-16,3 kg/m3



Tipo de suelo

<0,005

0,005

a 0,05

0.4 0.1 2.0 3.0 0.4 0.1 2.0 3.0

Arcillas 30-50 50-70 0.35 0.40 0.45 0.50 0.70 0.85 0.95 1.10

Arcillas pesadas 20-30 80-70 0.35 0.40 0.45 0.50 0.70 0.85 0.95 1.10

Loam - - - - - - 0.60 0.70 0.80 0.85

Arcillas Ligeras 10-20 90-80 0.35 0.40 0.45 0.50 0.85 0.85 0.95 1.10

Vmax (m/s) para diferentes suelos y tirantes (m)

Composición de las partículas (%)

Suelo compacto

Porosidad:0,6 a 0,3 Densidad seca:

16.3 a 20.0 Kg/m3

Suelo muy compacto Porosidad: 0,3 a 0,2

Densidad seca: 20,0 a 21,0 Kg/m3



Tipo de suelo

<0,005 0,005

a 0,5

0.4 0.1 2.0 3.0 0.4 0.1 2.0 3

Arcillas 30-50 70-50 1.0 1.2 1.4 1.5 1.4 1.7 1.9 3

Arcillas pesadas 20-30 80-70 1.0 1.2 1.4 1.5 1.4 1.7 1.9 3

Arcillas ligeras 10-20 90-80 1.0 1.2 1.4 1.5 1.4 1.7 1.9 3

Loam - -

0.8 1.0 1.2 1.3 1.1 1.3 1.5 1.7

TABLA 6.21 VELOCIDADES ADMISIBLES NO EROSIVAS PARA SUELOS COHESIVOS CON DIFERENTES GRADOS DE COMPACTACION Tomada de Programas para el cálculo de canales de H. Llanusa y C. Viamonte

_____________________________________________________________________________ DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL 363

FIGURA 6.10 GRAFICA DE MIRTJUSLAVA PARA SUELOS COHESIVOS. Nota: La cohesión empleada es la de cálculo, con un coeficiente de homogeneidad de 0,5.

364 Hidráulica de las Conducciones Libres

En el caso de los suelos cohesivos los rusos Terentiev y Berezentoev, citados por Pouey (1998), dan un coeficiente de minoración de la cohesión según el valor del ángulo de fricción interna del suelo, tabla 6.22. ϕ (grados) 0 10 20 30 Coeficiente 1 0,615 0,285 0,122

TABLA 6.22 COEFICIENTE DE MINORACION PARA LA COHESION. La figura 6.11 se reserva para mostrar los resultados de investigadores de la antigua URSS, presentados por Chow junto a resultados de los E.U. para suelos no cohesivos, mientras que la 6.12 muestra los resultados de la antigua URSS, para suelos cohesivos presentados por Chow en 1959.

FIGURA 6.11 GRAFICA PARA SUELOS SUELTOS Y PROFUNDIDADES DE 1 m.


La figura 6.13 complementa las dos anteriores, pues brinda un coeficiente de corrección en función de la profundidad de circulación. Esta corrección propuesta por Chow en 1959, de forma empírica, tiene su expresión matemática obtenida por S.C. Mehrota en 1983, donde se demuestra que la corrección está dada por la siguiente expresión:

61

1

2

2

1

1

2

yy

nn

vv

= ------------------------------------------------------ 6.27

donde: v2 velocidad corregida, v1 velocidad dada por los gráficos, n1 y n2 rugosidades de Manning, para y1 y y2 respectivamente; y2 profundidad para el caso real; y1 profundidad para la cual se realizó el gráfico.

FIGURA 6.12 GRAFICA PARA SUELOS COHESIVOS Y PROFUNDIDADES DE 1 m. En el caso particular de los gráficos de las figuras 6.11 y 6.12 la corrección queda, después de despreciar el efecto de n1/n2, como,


61

1

2

1

2yy

vv

= ------------------------------------------------------------ 6.28

expresión que coincide muy acertadamente con la curva propuesta en la figura 6.13. También resulta de utilidad el diagrama de Hjulstrom, figura 6.7, propuesto en 1935 y que se basa en los valores medios de las velocidades. En este gráfico se muestran las zonas en que ocurre erosión, transporte o sedimentación. Lo más notable de este trabajo es que muestra la diferencia que existe entre las velocidades que provocan el inicio del movimiento en el lecho y las que provocan transporte de sedimentos. Estos dos conceptos a veces se confunden y no aparecen en el resto de las fórmulas, tablas o gráficos.

FIGURA 6.13 CORRECCION DE LA VELOCIDAD OBTENIDA POR MEDIO DE LAS FIGURAS 6.11 Y 6.12 Y LA TABLA 6.16, SI LA PROFUNDIDAD ES DIFERENTE A 1 m. Por último, se exponen algunas fórmulas que se utilizan para calcular la capacidad de transportación de la corriente como función de su velocidad, como por ejemplo, la fórmula de E.A.Zamarin:


( ) 2/3

ss RS

vv700

=ρ para 2mm/s ≤ vs < 8 mm/s ---------- 6.29a

2/1

ss v

RSvv350

=ρ para 0.4 mm/s ≤ vs < 2 mm/s ------- 6.29b

donde: ρs cantidad de sedimento transportado, (kg/m3); v velocidad media del agua, (m/s); vs velocidad promedio de sedimentación de las partículas con

un diámetro medio dmed, (m/s); R radio hidráulico del canal, (m); S pendiente del fondo del canal, tanto por uno. Otra fórmula propuesta por la norma sovietica, GOST 3908-47, es: ρs = BQ0.4S ------------------------------------------------------- 6.30 donde:

Q caudal, m3/s; B coeficiente empírico que toma los valores siguientes:

4 700 para vs ≤ 1,5 mm/s; 3 000 para 1,6 ≤ vs ≤ 3,5; 1 100 para 3,6 ≤ vs ≤ 6,5; 600 para vs > 6,5 mm/s.

S pendiente del fondo del canal, tanto por uno. Para concluir con las velocidades erosivas se exponen algunas conclusiones que presentaron en su informe ante el Comité Especial sobre Riego de la ASCE, los investigadores S. Fortier y F.C. Scobey. Conclusiones de Fortey y Scobey. 1º. El material de los lechos asentados de los canales se

compone de partículas de diferentes tamaños y cuando los intersticios de las mayores se rellenan con las más pequeñas, la masa se hace más densa, estable y menos sujeta a la acción erosiva del agua. Es por esta razón que el


envejecimiento de los cauces produce una resistencia adicional contra la erosión.

2º. La velocidad que se requiere para erosionar un cauce de cualquier material es mucho mayor que la necesaria para mantener en movimiento las partículas de dicho material antes de que se sedimenten sobre el lecho.

3º. Los coloides presentes en el material del lecho del canal o en el agua conducida por él, tienden a cementar las partículas de arcilla, cieno, arena y grava de una manera tal que se hace más resistente a los efectos de la erosión. De aquí se deriva una medida para la protección de cauces.

4º. La graduación del grano de material que va del fino al grueso, unida a la adhesión entre las partículas lograda por los coloides, hace posibles altas velocidades medias sin ningún tipo de efecto de erosión.

5º. Los canales de riego se calculan para la velocidad máxima admisible cuando los canales sean asentados por el tiempo, pues la demanda de agua crecerá también con el tiempo y por tanto crecerá también la velocidad media.

6º. Los canales para centrales eléctricas son probables que haya que trabajarlos con cargas máximas tan pronto como termine su construcción. Por esta razón debe escogerse una velocidad considerablemente alta en su diseño, de lo contrario podrían erosionarse antes de que se asiente el lecho.

7º. Los canales nuevos deben llevar estructuras de control para que trabajen con velocidades bajas durante su asentamiento.

8º. Se prefiere un canal con una velocidad un poco excesiva a una insuficiente, ya que la excesiva puede corregirse con una obra de control, mientras que la velocidad insuficiente es prácticamente imposible de aumentar.

9º. El crecimiento de la flora acuática solo está relacionado parcialmente con las velocidades.


Desde el punto de vista de la erosión los canales calculados para las velocidades admisibles más altas estarán tan libres del crecimiento de plantas como lo permita su diseño.

6.4 Fuerza cortante o de arrastre. Relaciones básicas.

Un criterio universal empleado para el estudio del movimiento de las partículas es el basado en el esfuerzo cortante crítico permisible. La fuerza cortante o de arrastre en el flujo uniforme es aproximadamente igual a la componente, en la dirección de la corriente, del peso de una masa de fluido, cuestión que fue demostrada en el capítulo 4. A partir de ahí se definió la fuerza cortante por unidad de superficie de canal, ecuación 4.30, o lo que es igual,

RS0 γ=τ esta ecuación, válida desde el punto de vista teórico, tiene diferencias con la realidad, por tanto se asume una expresión más sencilla para emplear en la práctica, que al ser modificada por los coeficientes pertinentes, refleja fielmente la situación real. Para canales la expresión queda modificada en la forma:

yS0 γ=τ ------------------------------------------------------------- 6.31 que es la forma más conocida de la ecuación de la fuerza cortante unitaria actuante en una conducción libre. Du Buat, en 1786, planteó la importancia de este concepto, pero no fue hasta 1914 que tuvo un uso práctico, al exponer Forchheimer la relación entre la fuerza cortante unitaria y la velocidad del flujo:

2fKvyS =γ ------------------------------------------------------------ 6.32

donde: K Constante de proporcionalidad;


vf Velocidad del flujo en el fondo del canal. Hay dos cuestiones que deben diferenciarse en este caso: una es la distribución de las tensiones de corte a lo largo de las paredes del canal, o sea, el estado tensional a lo largo del perímetro mojado, ya que esta es la generadora de la erosión. La otra cuestion es la capacidad del suelo de resistir la erosión a lo largo del perímetro mojado. Del balance o no entre estas magnitudes, a lo largo del perímetro mojado, estará en dependencia la erosión de una parte o de toda la sección. Como práctica común, los resultados de los ensayos en canales estrechos de laboratorio tienden a extrapolarse o aplicarse a secciones muy anchas donde la influencia de la resistencia al flujo que ofrecen las orillas es mínima. Al calcular la resistencia al flujo que ofrecen los fondos constituidos por materiales rugosos a partir del tirante y velocidad media medidos, se obtiene un valor mayor de la resistencia si a ésta no se le resta la resistencia de las paredes. Aunque las paredes normales tienen un comportamiento hidráulico más liso que el lecho, de hecho, no por ello dejan de influir en el comportamiento del conjunto. La distribución del esfuerzo cortante a lo largo del perímetro del canal no es uniforme y la estabilidad de la sección depende del esfuerzo cortante local como función del esfuerzo cortante medio, por esta razón es importante conocer la distribución del esfuerzo cortante con el fin de abordar problemas relacionados con la resistencia, sedimentos, dispersión o problemas de cavitación. El más antiguo método que se conoce para realizar una estimación del esfuerzo cortante medio en las paredes y en el fondo de un canal se atribuye a Einstein (1942). Meyer-Peter y Muller (1948) presentaron un método similar al de Einstein sin dar referencia. Einstein planteó su método a través de una serie de conjeturas ingeniosas y convincentes pero, aparentemente, nunca realizó


experiencias que lo corroborasen. Taylor (1961) concluyó que el método de Einstein era apropiado para canales de razón profundida-ancho igual a y/b < 0.5, en lo que a la fricción se refiere. No hay allí información sobre esfuerzos cortantes. Einstein planteó su método a través del empleo de una fórmula del tipo de la de Manning para el cálculo de la fricción. Johnson (1942) admitió la conveniencia de emplear la ley logarítmica de fricción en el método de Einstein. Vanonni y Brooks (1957) realizaron algunos retoques al planteamiento de Johnson y lo expusieron claramente como un método para desglosar el esfuerzo cortante medio en los correspondientes al fondo y las paredes. Mediante modernas técnicas de laboratorio y empleando la computación digital para resolver el problema mediante el método de las diferencias finitas, Osley y Florey, citados por Chow, 1959; obtuvieron las relaciones de corrección de la fuerza cortante unitaria a los lados y en el fondo de canales rectangulares y trapeciales. De estas experiencias, cuyos resultados fueron publicados en 1952, en la figura 6.14 se muestran los coeficientes para corregir τ0 en función de b/y. Estos coeficientes se aproximan a 1 en el fondo del canal y a 0.78 en los taludes. Quedando establecido que el calculo de las verdaderas fuerzas tractivas en un canal trapecial será,

ySK_ FFONDO0 γ=τ ------------------------------------------------- 6.33 ySK_ LLADO0 γ=τ -------------------------------------------------- 6.34

La ASCE (1975) recomienda la utilización del modelo de Vanoni y Brooks, advirtiendo posibles deficiencias del método al estimar el factor de fricción y recomendando la medición directa del esfuerzo cortante para separar los efectos de paredes y fondo. No hay sustento experimental que corrobore el uso del método.


Fuentes y sus colaboradores (1982) extendiendo las hipótesis de Keulegan para el cálculo de la fricción en canales, encontraron ecuaciones que sirven para desglosar la fricción entre el fondo y las paredes de canales rectangulares. Este método se verificó con los experimentos de Taylor (1961) dando resultados promisorios, pero claramente de extensión restringida. García y Maza Alvarez (1986) desarrollaron un método original para separar fricción de fondo y paredes en canales.

FIGURA 6.14 COEFICIENTES EMPIRICOS PARA TRANSFORMAR LA FUERZA TRACTIVA EN EL FONDO Y EL LADO A VALORES REALES. Diferentes investigadores han abordado el problema presentando el esfuerzo cortante como una fracción del esfuerzo cortante total en función de la relación de aspectos b/y, (Rajaratnam y Muralidhar ,1969, Ghosh y Roy, 1971, y 1972, Knight y Macdonald, 1979a y 1979b, Knight, 1981, Knight y Demetriou, 1984, y Knight y Patel, 1985,). Olivero (1997), en una primera versión de su tesis doctoral, analiza bancos de datos confiables y expone algunos resultados


interesantes sobre el tema de la distribución del esfuerzo cortante en canales lisos y rugosos. • Primer análisis: distribución del esfuerzo cortante en canales

rectangulares lisos. Diferentes autores han expresado la distribución del esfuerzo cortante a través de la definición de la fuerza de corte SF del canal y las respectivas SFP y SFF para la pared y fondo respectivamente en función de la relación de aspectos b/y. Knight y Demetriou (1984), basados en un análisis previo de Knight (1981), propusieron expresiones para la distribución del esfuerzo cortante como:

α=eSF% P ---------------------------------------------------------- 6.35 donde: %SFP es el porcentaje de fuerza de corte correspondiente a la pared y a un coeficiente dado por la expresión

146.63yblog230.3 10 +

+−=α ------------------------------------- 6.36

sobre esta base se ofrecen las siguientes expresiones:

=

γτ

y2bSF%01.0

yS PL -------------------------------------------- 6.37

PF SF%01.01

yS−=

γτ ----------------------------------------------- 6.38

Olivero (1997) presenta el esfuerzo cortante, de pared y fondo, adimensionalizado con el esfuerzo calculado por γyS con una curva de ajuste logarítmica con (b/y) como término independiente.

+=

γτ

ybln109.047.1ln

ySL --------------------------------------- 6.39

+=

γτ

ybln237.039.1ln

ySF --------------------------------------- 6.40


En las figuras 6.15 y 6.16 se presentan los bancos de datos de canales lisos correspondientes a Rajaratnam (1969) y Knight (1984), las ecuaciones propuestas por Knight (1984) y las propuestas por Olivero, evidenciándose que estas últimas ajustan mejor a los dos bancos de datos.

FIGURA 6.15 RESULTADOS DE LA BASES DE DATOS DE KNIGHT Y RAJARATNAM Y LOS MODELOS 6.38 Y 6.42 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO Y PAREDES LISOS.

FIGURA 6.16 RESULTADOS DE LA BASES DE DATOS DE KNIGHT Y RAJARATNAM Y LOS MODELOS 6.37 Y 6.41 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO Y PAREDES LISOS.


Tanto Knight como Olivero proponen ecuaciones adimensionalizando el valor del esfuerzo con γRS, siendo las conclusiones las mismas que las ya presentadas. Olivero (1997) presenta también resultados similares obtenidos con ecuaciones de potencia, de la forma,

( ) 2Cy/b1CyS

=γ

τ

donde C1 y C2 son coeficientes empíricos. • Segundo análisis: distribución del esfuerzo cortante en canales

rectangulares de fondo rugoso y paredes lisas. En las figuras 6.17 y 6.18 se presenta el esfuerzo cortante de fondo y pared, adimensionalizado con γyS, correspondientes a fondos rugosos y paredes lisas correspondientes a Knight (1981) y Ghosh (1972).

FIGURA 6.17 RESULTADOS DE LA BASES DE DATOS DE KNIGHT Y GHOSH Y EL MODELO 6.40 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO RUGOSO Y PAREDES LISAS. En estas figuras se han incorporado las ecuaciones correspondientes obtenidas para canales lisos, evidenciándose que


las ecuaciones encontradas para canales lisos corresponden a una curva superior, en el caso del esfuerzo cortante de pared y a una inferior en el caso del esfuerzo cortante de fondo. Se presenta una alta dispersión en los datos de los canales rugosos y no se observa una tendencia clara que permita el ajuste hacia alguna función.

FIGURA 6.18 RESULTADOS DE LAS BASES DE DATOS DE KNIGHT Y GHOSH Y EL MODELO 6.39 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO RUGOSO Y PAREDES LISAS. Rajaratnam y Muralidhar (1969) encuentran posible establecer una relación entre el esfuerzo cortante de pared y el de fondo, en canales de paredes y fondos lisos, como una relación del número de Reynolds del canal y la relación de aspecto b/y, como una familia de curvas. En la figura 6.19, Olivero (1997) presenta la relación del esfuerzo cortante de pared y de fondo en función de b/y para los datos de Rajaratnam y Muralidhar (1969) y los de Knight (1984) ajustándose con buena correlación a una función logarítmica expresada por,

ybln148.096.2ln

f

p −=τ

τ ----------------------------------------------- 6.41

con igual correlación puede ajustarse una curva del tipo exponencial,

168.0

f

p

yb082.1

−

=

τ

τ-------------------------------------------------- 6.42


FIGURA 6.19 RESULTADOS DE LAS BASES DE DATOS DE KNIGHT Y RAJARATNAM Y EL MODELO 6.41 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO Y PAREDES LISAS. La figura 6.19 presenta alta dispersión inicial que no puede atribuirse, según las pruebas realizadas, a variaciones del número de Reynolds. Se encuentra así contradicción con las afirmaciones de Rajaratnam y Muralidhar. En la figura 6.20 se presenta la relación entre los esfuerzos cortantes de pared y fondo para canales rugosos en función de la relación de aspectos b/y encontrándose que la función hallada para canales lisos corresponde al limite superior de los datos, la alta dispersión en los datos para canales rugosos indica que no existe correlación entre ellos. El segundo tema, esta relacionado con la capacidad resistente del suelo a lo largo del perímetro, clásicamente se comienza por el análisis de la relación entre los esfuerzos. El análisis para un suelo friccional puro ha dado la posibilidad de llegar a relaciones muy útiles para el diseño. La condición de movimiento inminente está dada, para un suelo no cohesivo por:

normales

estangencial

FF

tan =ϕ


FIGURA 6.20 RESULTADOS DE LAS BASES DE DATOS DE KNIGHT Y GHOSH Y EL MODELO 6.41 PARA EL CASO DE CANALES CON FONDO RUGOSO Y PAREDES LISAS. De ahí la relación 6.23 plantea que, figura 6.8,

E

A

FcoswFsenw

tan−α+α

=φ

Al analizar las fuerzas que actúan sobre la partícula para tratar de moverla de su posición de equilibrio, figura 6.21, puede plantearse la siguiente ecuación:

FIGURA 6.21 FUERZAS SOBRE UNA PARTICULA EN EL TALUD

∑ τ+α= 2L

20

2 asenwF ----------------------------------------- 6.43 donde: a área de la sección transversal de la partícula τL fuerza cortante unitaria actuante en el talud del canal.


En la ecuación se considera β0 = 0 para simplificar el procedimiento matemático. No obstante, en el flujo en curvas horizontales, donde la inclinación de la velocidad crítica, resultante del movimiento secundario, es apreciable, β0 no puede despreciarse. Las fuerzas que se oponen al movimiento de la partícula de suelo, en caso de suelos friccionales, es la fuerza de fricción. Por tanto, en el caso de movimiento inminente se tiene:

( ) 5.021

20

220 .asenwtancosw τ+α=φα

de donde puede obtenerse el valor de τL: 5.0

20

2

0L tantan

1tancosaW

φ

α−φα=τ

Igualmente, puede obtenerse el valor de τF, fuerza cortante unitaria actuante sobre el fondo del canal, haciendo α0 = 0:

aw

F =τ φtan

De modo que se llega a la relación de fuerzas cortantes unitarias Kτ:

F

LKττ

=τ ------------------------------------------------------------- 6.44

o lo que es lo mismo:

φ

α−=

φ

α−α=τ 2

02

20

2

0 sensen

1tan

tan1cosK ------------------------- 6.45

relación que solo depende de α0 y φ que a su vez depende del material del lecho del canal y puede obtenerse de la figura 6.5 o de la tabla 6.2. De la misma forma que se ha trabajado para encontrar una expresión de la fuerza cortante unitaria actuante, muchos investigadores han planteado fórmulas para el cálculo de la fuerza cortante resistente o críticas del suelo, que es la fuerza cortante


que el suelo es capaz de soportar sin comenzar a erosionarse. Schoklisch, en 1914, propuso la ecuación:

( )[ ] 5.03scrit d201.0 λγ−γγ=τ

donde: τcrit se expresa en kgf/m2 (1 kgf/m2 =9.80665 Pa) d diámetro medio de los granos que forman el material λ coeficiente de forma, que vale 1 para esferas y 4,4 para partículas achatadas. γ y γs pesos específicos del agua y del suelo en kgf/m3 (1 kgf/m3=9.80665 N/m3) La información aportada por investigadores tales como Krey (1925), Eisner (1932), Nemenyi (1933) y O´Brien (1934) corroboran los resultados de Schoklistch. En sus estudios, Kramer sugirió que la composición granulométrica del material debía ser estudiada, además de por su diámetro medio, por un coeficiente de distribución M, dado por la relación entre la fuerza de arrastre FA y la fuerza resistente FR. Posteriormente, Tiffani, también en 1935, presentó otras evidencias experimentales que permitieron proponer la ecuación:

( )Md29 scrit γ−γ=τ en grf/m2

De nuevo Schoklistch, en 1950, reorganiza todos los datos existentes y propone dos ecuaciones, que son:

( )d076.0 scrit γ−γ=τ para d ≥ 0.0006 ( ) 333.0

scrit d000285.0 γ−γ=τ para 0.0001 ≤ d < 0.003 en la cual, d se expresa en metros, γs y γ en Newton por metro cúbico, y τcrit en Pascal. Leliavski, por su parte, propone en 1955 una relación simple, cuya expresión es:


,d163crit =τ válida para valores del diámetro medio de las partículas menores que 0,0034 m, donde el cortante esta expresado en Pascales. Después de una recopilación de criterios, Lane, en 1953, propone un diagrama, figura 6.22, en el cual recoge los estudios en materiales friccionales por muchos autores. Este gráfico es de gran utilidad para el proyectista de canales. En él se observan claramente la diferencia entre la fuerza cortante crítica en el caso que la corriente sea de aguas limpias o de aguas con sedimentos en suspensión.

FIGURA 6.22 DIAGRAMA DE LANE PARA MATERIALES FRICCIONALES


FIGURA 6.23 FUERZA TRACTIVA EN SUELOS COHESIVOS DADA POR CHOW Otros criterios y estudios sobre el tema han sido desarrollados por investigadores como: Kalinske (1947), quien sugiere que las máximas fuerzas, en ocasiones, superan en 3 o 4 veces los valores medios hallados por criterios anteriores; Vanoni (1964), que emplea el criterio del número de “estallados” por segundo y Grass (1970), quien realizó sus estudios mediante cámara ultrarápida con un proceso de computación para el análisis de la filmación del comienzo y desarrollo del proceso erosivo en el canal. En el caso de los materiales cohesivos, la cohesión brinda una fuerza adicional que se opone al movimiento, y la relación para el ángulo de reposo es:

E

cohA

FWFF

tan−

±=φ ----------------------------------------------------- 6.38


FIGURA 6.24 FUERZA TRACTIVA EN SUELOS FRICCIONALES DADA POR CHOW En estos casos el esfuerzo cortante no solamente es función de d, sino también de c(coeficiente de cohesión), por lo que puede plantearse que ( )c,dfcrit =τ . Tanto Lane (1953), Chow (1959) y Masch (1968) recomiendan la tabla de Fortier, tabla 6.23, dada en 1926 para trabajos en materiales cohesivos. Otra información útil es la dada por Chow (1959), representada en las figuras 6.23 y 6.24. Un extenso trabajo del USBR (United States Bureau of Reclamation) reportado por Euger (1960) y Thomas (1961), en el cual recopila información de cuarenta y seis investigadores con canales que van desde 0.1 m3/s hasta 100m3/s, da como resultado la ecuación de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )φ++++=τ Me%DdLLcIPbacrit --------------------------- 6.39


de donde: a, b, c, d y e – constantes empíricas obtenidas por Thomas IP Índice plástico del material LL Límite líquido D% porcentaje de densidad máxima in situ Mφ descripción matemática del gradiente del suelo.

MATERIAL n

Agua limpia

Agua con fangos coloidales

Arena fina 0,020 1,29 3,59

Arcilla plastica-arenosa no coloidal 0,020 1,77 3,59

Fango de sedimentos no coloidales 0,020 2,30 5,27

Sedimentos aluviales no coloidales 0,020 2,30 7,18

Arcilla plástica firme ordinaria 0,020 3,59 7,18

Ceniza volcánica 0,020 3,59 7,18

Arcilla dura muy coloidal 0,025 12,4 22,0

Sedimentos aluviales coloidales 0,025 12,4 22,0

Esquistos, pizarra, capas duras de arcilla 0,025 32,1 32,1

Grava fina 0,020 3,59 15,3

Material no coloidal graduado (de arcilla plastica a guijarros) 0,030 18,2 31,6

Material graduado coloidal (de sedimentos aluviales a guijarros) 0,030 20,6 38,3

Grava gruesa no coloidal 0,025 14,4 32,1

Empedrado de guijarros, cantos rodados, cascajos, chinas pelonas. 0,035 43,6 52,7

TABLA 6.23 τ EN EL FONDO SEGÚN FORTIER Y SCOBEY PARA CANALES DESPUÉS DE SU ASENTAMIENTO CON EL TIEMPO. VALORES EN N/m2. Tomada del Open Channel Hydraulics, de Chow (valores modificados de acuerdo con el SI)


FIGURA 6.25 GRAFICA DE GIBBS Por último, en la figura 6.25 se expone la correlación hecha por Gibbs (1962) para evaluar las características de la erosión. El avance moderno de la mecánica de los fluidos, apoyándose en los conceptos de la teoría de la turbulencia de Prandtl y Von Karman, ha incidido igualmente en la teoría de la erosión de los suelos, y así vemos como en 1936, el alemán Shiels, introduce el concepto de velocidad friccional v* en la fórmula fundamental de la teoría del esfuerzo cortante crítico, con la que se llega a la siguiente expresión:

( )

=

γ−γτ

vdv

fd

*

0p

crit --------------------------------------------- 6.40

donde: )v/dv( * es el llamado Número de Reynolds friccional.

De estas experiencias se obtiene la relación que se muestra en el gráfico de la figura 6.26.


FIGURA 6.26 DIAGRAMA DE SHIELS Una de las líneas de enfoque del problema de la erosión del suelo en canales está basada en dos criterios desarrollados por H.A.Einstein en 1942 y 1950 y adoptados por investigadores de prestigio como el académico T.S. Mirtsjulava. Los criterios de Einstein son los siguientes: 1º. La definición de un valor crítico para el inicio del

movimiento de las partículas de un suelo es una proposición muy difícil de obtener.

2º. El transporte de arrastre del fondo de un lecho móvil se relaciona con las fluctuaciones de la velocidad y no con la velocidad media del flujo. El comienzo y el fin del movimiento de una partícula tienen que expresarse en el concepto de la probabilidad que relaciona las fuerzas hidromecánicas instantáneas de elevación con el peso de la partícula.

Por otra parte, mientras que para los suelos no cohesivos la resistencia a la erosión la proporciona el peso sumergido del sedimento, para los suelos cohesivos esa resistencia está controlada por la atracción neta entre las partículas y las fuerzas


electroquímicas, que en la actualidad solo se conocen parcialmente, ya que no son constantes, sino que son función de la calidad del fluido y su propiedad de resistencia depende del tiempo. El hecho de que las fuerzas de cohesión, así como los coeficientes que de ellas se derivan, no puede expresarse como una función o cualquier otra variable, hace que se tenga que recurrir a la investigación para evaluar sus efectos. 6.5 Estrategia de cálculo: restricciones principales Independientemente que la sección esté o no revestida, al tener solo una ecuación para definir los parámetros de diseño, solo podrá haber una incógnita a resolver en cada caso.

Si, 21

32

oSARn1Q =

donde, Q en el diseño de dato n está en función del material del perímetro y de los demás factores que influyen sobre ella. So se selecciona de acuerdo a velocidades que se desea

obtener y el perfil del terreno por el eje trazado. (de ella depende: la

velocidad, los volúmenes de trabajo, obras inducidas) A, R son funciones de la geometría, las dimensiones de cada

geometría particular y de yn En general se acepta la siguiente rutina:

Para Q, n y S0 seleccionado Definir la geometría y las dimensiones Calcular yn Comprobar cumplimiento de las restricciones impuestas por la hidráulica de la conducción, por las características específicas del canal y la sección y por las impuestas en función de los objetivos de la conducción.


Es importante aclarar que el parámetro Q no es generalmente un valor, sino un rango de valores que va desde un Qmax hasta un Qmin, por tanto la rutina de cálculo debe ejecutarse de forma tal que las restricciones sean satisfechas tanto por el Qmax como por el Qmin, si solo hubiera un dato de Q, debe analizarse el rango así: 1,2Q a 0.4Q -------------------------------------------------- 6.41 Las restricciones principales de carácter hidráulico son: • Básicas

máxnyparaevaluada

2/1o

3/2

imomáxdiseño SAR

n1Q

= ---------------------- 6.42

mínnyparaevaluada

2/1o

3/2

imomíndiseño SAR

n1Q

= ---------------------- 6.43

• No erosión permisibleimamáxmáxQ vv ≤ -------------------------------------- 6.44 ó fondopermisibleimamáx

máxQfondo.act τ≤τ -------------------------------- 6.45

ladopermisibleimamáxmáxQ

lado.act τ≤τ ---------------------------------- 6.46

• No sedimentación permisibleimamínmínQ vv ≥ ----------------------------------------- 6.47 • No desbordamiento normadocálculo librebordolibrebordo ≥ ------------------------- 6.48 Pueden agregarse otras restricciones de carácter especial para diseños específicos. Por ejemplo, pueden existir, • Restricciones de la relación b/y para que la sección tenga una

proporción determinada y cumpla con un parámetro estético y


funcional prefijado. Por ejemplo la NC Canales Magistrales define: 1 ≤ b/y ≤ 6 como valores admisibles 2.2 ≤ b/y ≤ 5 como valores óptimos.

• Restricciones de perímetro mínimo para lograr revestimientos de bajo costo.

• Restricciones respecto al Número de Froude para lograr un régimen controlado en el tramo diseñado. NF< 0,5 según normas de Institutos Moscovitas para

tramos aguas arriba de obras NF≈ 0,3 - 0,4 según Raju (1988) para tramos revestidos.

Para cumplir estas restricciones el calculista tiene como variable: La rugosidad del perímetro La geometría y dimensiones de la sección La pendiente del fondo

En el primer caso, el valor de la n, o de la C, no tiene mucho rango, ya que hay que adaptarse a los valores reales del material seleccionado, incrementando este por los factores influyentes reales. La geometría y dimensiones son variables que pueden ser cambiadas, sobre todo en el caso de las dimensiones, ya que la geometría está limitada, entre otros por: la técnica constructiva, las finalidades de la obra y otros muchos factores prácticos. La variable pendiente de fondo es un parámetro que debe seleccionarse con cuidado. Depende también de la pendiente, los volúmenes de excavación y terraplén de la obra, lo cual repercute directamente sobre la economía de la misma. Debe enfatizarse que el cambio en el valor de la pendiente repercute fuertemente en el cambio del valor de la velocidad, por lo que el cumplimiento de las restricciones principales referidas a la velocidad tienen una gran relación con el valor que tome esta variable.


El valor de los volúmenes de excavación-terraplén es función de la cota de fondo al inicio del canal, pero indudablemente la pendiente de fondo, junto a la geometría de la Sección Típica Constructiva, tiene un papel significativo en el cálculo del mismo. 6.6 Diseño de secciones no revestidas. Los canales cuyas secciones transversales no van revestidas pueden subclasificarse en dos diferentes categorías. • Canales en materiales fácilmente erosionables que conducen

agua limpia o finos sedimentos. • Canales aluviales en materiales fácilmente erosionables y que

conducen aguas con lodos suspendidos y lodos de fondos. El diseño de estas secciones es más complejo que el caso de las secciones revestidas y se involucran en él, numerosos parámetros, muchos de los cuales no están bien cuantificados. La complejidad resulta de, que la estabilidad de estos canales depende de los parámetros hidráulicos y de las propiedades del material que compone los lados y el fondo del canal. Un canal estable es aquel en que no hay erosión ni deposición. En contraste, un canal inestable puede tener tres alternativas. La primera que los lados y el fondo se erosionen pero no exista deposición. La segunda que exista deposición, pero no erosión, esto sucede en casos de aguas que trasladan sedimentos en suspensión. La tercera alternativa es aquella en que hay erosión y deposición. Desde la década del 1920 fue planteada la relación existente entre la estabilidad y el gasto, la velocidad, el material de los lados y el fondo y la cantidad de tipos de sedimentos transportados por el agua.


El Comité de Riego de la ASCE después de someter al criterio de numerosos ingenieros un cuestionario sobre la estabilidad de los canales publicó los resultados (Fortey y Scobey, 1926) y crearon las bases teóricas para el método de diseño conocido como: método de la velocidad máxima permisible. Posteriormente surgen otras alternativas de solución rescatadas por Lane (1955) de los trabajos de Dubois (1879), respecto a la fuerza tractiva y su aplicación al diseño, fue presentado por R. Raju, (1988) y Pouey (1998) como teoría de régimen a partir de los trabajos de Kennedy (1895). 6.6.1 Diseño de la sección de un canal erosionable que conduce agua limpia o con finos sedimentos. Dos alternativas se proponen a continuación: El método de la velocidad máxima permisible y el método de la fuerza tráctiva. El primero con mucha información básica y el segundo con un análisis más detallado del movimiento de la partícula. Se agrega al final el diseño de la sección más estable, que aunque en teoría es un buen diseño, en la práctica es de difícil construcción. 6.6.1.1 Método de la Velocidad Máxima Permisible. Este método se fundamenta a partir de toda la base de datos experimentales existente sobre la velocidad media máxima y erosión que abarcan numerosos tipos de suelos fricciónales y cohesivos. Las restricciones específicas de este método, algunas ya numeradas, son:

[ ] .máxyomáx3

22

1 ARSn1errorQ =± -------------------------------- 6.49

[ ]ymin3/22/1

0min ARSn1errorQ =± -------------------------------- 6.50


permisibleimamáxmáxQ vv ≤

permisibleimamínmínQ vv ≥

normadocalculado blbl ≥ Pueden incorporarse al diseño cualquier otra restricción que se desee cumplimentar o algún indicativo que pueda servir de orientación en el diseño. Ranga Raju (1981) aconseja sobre la base de criterios de la India las siguientes relaciones (b/y) para canales aluviales de sección trapecial. Esta información puede ser útil como orientación inicial en este tipo de diseño. Las Normas Cubanas aconsejan para secciones trapeciales emplear relaciones (b/y) que fluctúen entre 2,2 y 5,0 o como máximo entre 1,0 y 6,0.

Q (m3/s) 5.0 10.0 15.0 50.0 100.0 200.0 300.0

b/y 4.5 5.0 6.5 9.0 12.0 15.0 18.0 TABLA 6.24 RECOMENDACIONES PARA CANALES ESTABLES. Existen muchas alternativas para diseñar la sección transversal de un canal empleando este método, unas se basan en procesos que implican la solución de sistemas de ecuaciones, otras en variantes iterativas. Una variante de algoritmo para el diseño de secciones con este método, puede resumirse así, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de dato necesaria. 2. Estimar velocidad máxima según toda la literatura disponible.

De una recopilación de la literatura de instituciones moscovitas y del Asia Central, se puede resumir que la velocidad máxima debe alterarse en función de factores que influyen en la acción del proceso de erosión. Estos son:


corrección Factores I II III Agua con sedimentos coloidales (más de 0,1 kg/m3) 1,14 1,18 1,26

Sedimentos de fondo erosionantes 0,87 0,89 0,92

Perímetro con vegetación 1,05 1,07 1,10

Funcionamiento discontinuo en clima seco 0,45 0,47 0,50

Funcionamiento discontinuo en clima humedo 0,77 0,84 0,89

Canales ligeramente sinuosos 0,95 0,97 0,97

Canales con moderada sinuosidad 0,87 0,92 0,95

Canales fuertemente sinuosos 0,77 0,81 0,84

TABLA 6.25 FACTORES QUE AFECTAN LA VELOCIDAD MAXIMA

Nota: Las columnas encabezadas por I, II y III indican la categoría del canal (Magistrales, Secundarios y Terciarios)

3. Seleccionar la geometría de la sección. 4. Estimar el valor de n. Ver capítulo 4. 5. Predimensionar la geometría seleccionada. 6. Seleccionar S0. 7. Calcular yn]Qmax. Para este paso puede emplearse uno de los

algoritmos sugeridos en el capítulo 5. Calcular la velocidad para esa profundidad vQmax.

8. Si vQmax ≤ vmax se pasa al siguiente paso del cálculo Si vQmax > vmax se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2.

9. Calcular yn]Qmin. Para este paso puede emplearse uno de los algoritmos sugeridos en el capítulo 5. Calcular la velocidad para esa profundidad: vQmin.

10. Estimar o calcular la velocidad mínima en función de los sedimentos en suspención y de la posibilidad de crecimiento de plantas acuáticas.

11. Si VQmin ≤ Vmin se pasa al siguiente paso del cálculo Si VQmin > Vmin se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2.

12. Cuantificar el bordo libre por alguno de los criterios existentes en la literatura. La altura total de la sección (STH), será: yn]Qmax + bl


6.6.1.2 Método de la Fuerza Tractiva El método de la fuerza tráctiva tiene como base toda la teoría del movimiento de la partícula descrita en el inicio de este capítulo y conocida desde el 1879. Las restricciones de no erosión se incrementan y surgen una para el lado y otra para el fondo con lo cual el análisis es más completo y el diseño es más seguro. Las restricciones específicas de este método y numeradas anteriormente, son:

[ ] .máxyomáx3

22

1 ARSn1errorQ =±

[ ] .mínyomin3

22

1 ARSn1errorQ =±

resistentepermisible máxima ,L

actuantemáxQ,L τ≤τ

resistenteisiblemáximaperm ,F

actuantemáxQ,F τ≤τ

permisibleimamínmínQ VV ≥

normadocalculado blbl ≥ De la misma forma que en el método anterior pueden incorporarse restricciones adicionales de acuerdo a la necesidad de cada diseño. Una alternativa de algoritmo para el diseño de secciones en este método puede escribirse así, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de dato necesaria 2. Seleccionar una geometría trapecial o rectangular 3. Estimar el ángulo de reposo del material 4. Calcular Kτ, ecuación 6.45. 5. Calcular τres.

fondo, max permisible en función del material del fondo y modificarla por sinuosidad del trazado en planta, tabla 6.26.


Grado de sinuosidad corrección Rectos 1,00 Ligeramente sinuosos 0,90 Moderadamente sinuosos 0,75 Muy sinuosos 0,60

TABLA 6.26 CORRECCION DE LA FUERZA TRACTIVA SEGÚN LANE (1955)

6. Calcular τres.lado como: τres

L = Kτ . τresF

7. Seleccionar S0 8. Asumir la relación de (b/y) y calcula KF y KL, figura 6.14. 9. Calcular las dos posibles profundidades que satisfacen los

límites de la erosión para fondos y lados.

0F

tesenresiF

1 SKy

γτ

= y 0L

tesenresiL

2 SKy

γτ

=

10. Si y1 ≥ y2 la ycalculo = y2, sino ycalculo = y1 Nota: A este nivel se tiene determinada la profundidad que no erosiona ni el fondo ni el lado, pero falta por determinar si esa ycalculo es suficiente para evacuar el gasto máximo. 11. Estimar el valor de n. 12. Calcular el gasto que circula en ycalculo.

13. [ ] .calculoyomáx3

22

1 ARSn1errorQ =±

14. Si Q = Qmax ± error se pueda pasar a la siguiente etapa de diseño.

15. Si Q ≠ Qmax ± error, hay que reiniciar el cálculo para ratificar o cambiar la información a partir del punto 2

16. Calcular yn]Qmin para este paso, para esto puede emplearse uno de los algoritmos sugeridos en el capítulo 5. Calcular la velocidad para esa profundidad: vQmin

17. Estimar o calcular la vmin_permisible en función de los sedimentos en suspensión y/o de la posibilidad de crecimiento de plantas acuáticas.

18. Si vQmin ≥ vmin se pasa al siguiente paso del cálculo


Si vQmin < vmin se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2

19. Cuantificar el bordo libre por alguno de los criterios existente en la literatura. La altura total de la sección (STH), será: H = yn]Qmax + bl = ycalculo + bl

6.6.1.3 Sección hidráulicamente más estable. A partir de la teoría desarrollada para la fuerza tráctiva se puede lograr un diseño de una sección en que la geometría es tal que la fuerza tractiva actuante es igual a la fuerza tractiva permisible en todo el perímetro, a diferencia del diseño típico en que se logra esto solo en una parte de la sección. Estas ecuaciones fueron definidas en 1951 para el USBR por Glover y Florey en condiciones de canales en suelo no cohesivos conduciendo agua limpia. Las suposiciones en que se basa el diseño son: a. Las partículas se mantienen en reposo debido a la componente

de su peso sumergido actuando normal al fondo. b. En la superficie libre, el ángulo de inclinación del talud es el

ángulo de reposo del material no cohesivo que conforma el perímetro.

c. En el eje de simetría de la sección la inclinación del talud es cero y la fuerza tráctiva sola es suficiente para tener a la partícula en movimiento inminente.

d. En puntos entre el fondo y la superficie libre, las partículas que conforman el perímetro están en movimiento inminente debido a la sumatoria de la componente del peso y a la fuerza tráctiva que actúa sobre cada partícula.

e. La fuerza tráctiva que actúa sobre un área es igual a la componente del peso del agua actuando en la dirección del flujo. Esta suposición presupone que no hay transferencia lateral de fuerza tráctiva


FIGURA 6.27 ESQUEMA DE LA SECCION MAS ESTABLE. De acuerdo a la última suposición, la fuerza tráctiva que actúa sobre un elemento a-b, figura 6.27, es γySdx. Como la longitud del perímetro mojado del elemento es igual a ( ) ( )22 dydx + , la fuerza tractiva unitaria será,

( ) ( )αγ=

+

γ=τ cos.yS

dydx

ySdx22L --------------------------------- 6.51

de otra parte ya se conoce que,

φα

−αγ=τ=τ τ 2

2

oFL tgtg1.cos.Sy.K - ---------------------------- 6.52

donde yo es la profundidad en el centro de la sección. Entonces combinando 6.52 y 6.51, se obtiene,

φα

−αγ=αγ 2

2

o tgtg1cosSycosyS

y al eliminar términos iguales queda,

φα

−= 2

2

o tgtg1yy , de donde puede despejarse el valor de y,

α−φφ

= 22o tgtgtgyy --------------------------------------------- 6.53


sustituyendo α= tgdxdy en 6.53, se obtiene,

−φ

φ=

22

2

2

o dxdytg

tg1

yy y de ahí se llega a,

0tgtgyy

dxdy 22

2

o

2

=φ−φ

+

---------------------------------- 6.54

en el eje del canal y = yo para x = 0, entonces la solución de la ecuación diferencial es,

φ=

oo y

tgxcosyy ------------------------------------------------ 6.55

que es la ecuación de una cosinusoide como geometría de sección que cumple con las hipótesis de estabilidad planteadas originalmente. Una forma alternativa de la ecuación 6.55 se obtiene solucionando 6.54 para x = T/2, y = 0. Esta condición solo se satisface si,

2y2tgT

o

π=

φ , o sea,

πφ

=tgTyo --------------------------------------------------------- 6.56

y la ecuación 6.55 puede escribirse así,

π

=Txcosyy o --------------------------------------------------- 6.57

El área mojada de esta sección según French (1985) es,

∫ =π

==2/T

0

oo Ty63662,0

Ty2ydx2A --------------------------- 6.58a

o como la plantea Chow (1959),

φ=

tgy04,2

A2o ------------------------------------------------------- 6.58b


El perímetro mojado de la sección según French (1985) es,

( )φφ

=

+= ∫ senE

seny2

dxdxdy12P o

2/T

0

2

---------------------- 6.59

donde E (sen φ) es la integral elíptica completa de segundo orden que puede evaluarse según,

( )

−

φ

−

φ

−φ

−

π=φ Κ

5sen

6.4.25.3.1

3sen

4.23.1sen

211

2senE

62422

2

o sea,

( )

−φ−φ−φ−

π=φ . . . 642 sen

230445sen

643sen

411

2senE

El valor de yo puede calcularse conocida la resistente

fondoτ según,

S97,0y

rF

o γτ

= ----------------------------------------------------- 6.60

la velocidad podrá calcularse por Manning según,

( ) ( )2/1

o

3/22/1

o

3/2

o

o SsenEsenT

n1S

senEsen

y2Ty2

n1v

φπφ

=

φφ

π= ------ 6.61

y el gasto según propone French (1985) de acuerdo a, ( )

( )[ ]2/1

o3/2

3/28/3o S

senEtgcosy98,2

.n1Q

φφ

φ= ------------------------------------ 6.62

El gasto así calculado puede ser igual, mayor o menor que el de diseño, por lo cual hay dos casos (Qdiseño ≤ Q) y (Qdiseño ≥ Q) en que la sección tendrá que ser alterada para que conduzca el caudal necesario. Si Qdiseño > Q entonces la sección se ampliará añadiendo una zona rectangular en el eje, figura 6.28. La ampliación T" podrá calcularse según,


( )2/13/5

o

diseño

SyQQn

T−

=′′ ------------------------------------------------- 6.63a

y el nuevo ancho superficial será, ''TTT QQDISEÑO

+= ------------------------------------------------- 6.63b

FIGURA 6.28 LAS TRES ALTERNATIVAS DE LA SECCION HIDRAULICAMENTE MAS ESTABLE. Si por el contrario el gasto de diseño es menor que el que da la ecuación 6.62 la sección debe ser modificada removiendo una porción vertical por el eje, figura 6.28. La reducción T' se calculará según,

TQ

Q1T diseño

−=′ ---------------------------------------------- 6.64a

y el nuevo ancho superficial será, 'TTT QQDISEÑO

−= -------------------------------------------------- 6.64b Evidentemente esta sección es un buen ejercicio teórico pero desde el punto de vista práctico tiene muchos inconvenientes en lo referente a construcción y mantenimiento. 6.6.2 Diseño de canales aluviales. Son definidos como canales que transportan agua con sedimentos de la misma naturaleza que los que contiene el fondo.


La estabilidad de estos canales requiere que el caudal de sedimentos que entra sea igual al que sale. En ese estado de equilibrio el fondo no presenta ondulaciones ni caídas. El diseño de estos canales depende del caudal, tamaño y peso de los sedimentos que se transportan. Existen dos métodos comúnmente adoptados para diseños: el de la fuerza tráctiva y el de la teoría del régimen. En la India y Pakistán, según refiere R.Raju (1988) el método basado en la teoría del régimen es el más empleado. Como se explicó, Lancey introdujo el término para indicar un canal transportando un caudal constante fluyendo uniformemente líquidos y sedimentos sin que la sección sufriese cambios. Las ecuaciones que emplean datos de la India y Pakistan son validas para caudales con sedimentos menores de 500ppm en peso. Combinando las ecuaciones empíricas obtenidas para este tipo de canal con la ecuación de Manning se obtiene un sistema suficiente para dimensionar la sección transversal. De esta combinación surgen múltiples alternativas de diseño según sea la ecuación empírica empleadas. 6.6.2.1. Variante con la ecuación de Kennedy. Kennedy también encontró que el tamaño de los sedimentos jugaba un papel determinante y definió la relación entre la velocidad crítica y la velocidad media para afectar su fórmula, destacando que la relación era mayor que uno para arenas gruesas y menor que uno para arenas finas. La fórmula de Kennedy se enuncia, v = 0.55vR y0,64 ------------------------------------------------------ 6.65 donde,

vvvR =


Esta fórmula junto a la de Manning constituyen el sistema para resolver las incógnitas del problema. R.Rajú alerta respecto a que no todas las posibles soluciones dan secciones estables, las muy estrechas, a ampliarse debido a la erosión de los lados y las muy anchas tienden a cerrar su sección debido a los depósitos. La recomendación de la tabla 6.24 de valores de b/y entre 4,5 y 18 es muy útil como guía para orientar la solución final.

FIGURA 6.29 SITUACION ANTES Y DESPUES DE LA OPERACIÓN DE UN CANAL ALUVIAL. En el caso de los canales aluviales de sección inclinada (trapecial, triangular, trapecial-semicircular...) los lados, durante la construcción, se mantienen en un valor de inclinación igual o menor al ángulo de reposo del suelo. Pero durante la operación de la conducción sobre esas laderas comienza un proceso de deposición de sedimentos muy finos y a lo largo del tiempo la inclinación de los taludes es mucho más inclinada y la forma no es exactamente la misma que la inicial. En casos de canales trapeciales Raju-Misri, citado en Raju (1981), encontraron que una inclinación de 0.5: 1 es adecuada para modelar la sección final, figura 6.29. El canal se construirá para el talud que soporte el suelo, pero su estado final será bien distinto. Bajo esa consideración las ecuaciones de cálculo quedan,

+=+= 5,0

ybyy5,0byA 22 --------------------------------------- 6.66

+=+= 236,2

ybyy236,2bP ------------------------------------- 6.67


+

==5,0

yby

QAQv

2

----------------------------------------------- 6.68

y sustituyendo en Manning queda,

3/103/16

3/422

o

5,0yby

236,2ybnQ

S

+

+

= ----------------------------------------- 6.69

y combinando la ecuación de continuidad y la de Kennedy queda, 378,0

Rv5,0yb

Q818,1y

+

= ------------------------------------------- 6.70

eliminando y de 6.70 y 6.69 y simplificando los exponentes como lo aconsejan Raju-Misri, queda,

313,1

333,1

2R

2

02,0

5,0yb

236,2yb

299,0vn

SQ

+

+

= --------------------------------- 6.71

De la ecuación anterior surge la figura 6.30 en la cual aparece graficada la relación funcional entre (b/y) y (SQ0.02/n2vr

2) en la que se basa el procedimiento de diseño que recomiendan Raju-Misri. El procedimiento se basa en un solo gasto de diseño y una sola velocidad para la conducción, sin límites superior e inferior. Así las restricciones quedan resumidas a,

[ ]32

21 ARS

n1errorQ o=±

v ≈ vKennedy


blcalculado ≥ blnormado

FIGURA 6.30 GRAFICA DE LA ECUACION 6.71 Y el algoritmo de cálculo según se recomienda por R.Raju (1988) es, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de datos necesarias. 2. Estimar el valor de n (usualmente 0,02 a 0,025). 3. Estimar el valor de vR (usualmente 0,90 a 1,10). 4. Seleccionar S0. 5. Calcular SQ0,02/n2vr

2.02. 6. De la figura 6.30 o de la ecuación 6.71 obtener b/y. 7. Chequear si b/y está en el rango aproximado sugerido por la

tabla 6.24. Si no está regresar al punto 4. 8. Calcular y de la ecuación 6.70. 9. Calcular b como b = b/y * y. 10. Cuantificar el bordo libre. 6.6.2.2. Variante con las ecuaciones de Lacey.

0.3

0.35

0.40.45

0.5

0.55

0.6

0.650.7

0.75

0.8

0 5 10 15 20 25 30b/y

SQ^0

,202

/ (n

^2 m

^2.0

2)


La principal limitación que se le atribuye a la ecuación de Kennedy es que no especifica un ancho estable, sino queda una múltiple posibilidad de (b/y) mientras sea satisfecha la ecuación 6.65. Lindley en 1919, introdujo por vez primera una relación entre b y el estado de no erosión – no deposición, posteriormente Lacey analizando datos de llanura de la India propuso,

Q75,4P = ------------------------------------------------------- 6.72 3/1

sfQ47,0R

= ---------------------------------------------------- 6.73

6/13/5s

40 Qf10.3S −= ---------------------------------------------- 6.74

2/1s d76.1f = ------------------------------------------------------ 6.75

donde, Q está en m3/s, P y R en metros y d en milímetros. fs es llamado factor de rango. El trabajo de Lacey da como ecuación de régimen uniforme,

2/13/2 SR8,10v = -------------------------------------------------- 6.76

Las restricciones del método de diseño de Lacey son sus propias ecuaciones que no dejan grado de libertad alguno. Así el algoritmo propuesto será, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de datos necesarios. 2. Calcular fs según ecuación 6.75 3. Calcular So según ecuación 6.74. 4. Calcular R según ecuación 6.73. 5. Calcular P según ecuación 6.74. 6. Asumir m = 0,5, según aconseja Raju-Misri. 7. Calcular A= RP. 8. Plantear el sistema de ecuación,

A = (b + 0,5y)y P = b + 2,236y


Conocido los valores de A y P el sistema de 2 con 2 es soluble. Por tanto, calcular y y b.

9. Calcular el bordo libre de acuerdo a lo normado. 6.6.2.3. Variante con las ecuaciones de Blench. Citado en el libro de N. Pouey (1998), Blench a partir de 1930, comienza a presentar fórmulas básicas y de diseño que hoy conforman el método de cálculo para secciones estables de canales aluviales. Se parte de dos factores: • Factor de fondo Fb, que toma en cuenta la resistencia del

fondo. Se calcula según, Fb = Fb0 (1 + 0,012c) -------------------------------------------6.77

donde c es la concentración del material de suspención en partes por millón . y Fb0 se obtiene de, Fb0 = 60,1dm

1/2 ---------------------------------------------------6.78 donde dm es el diámetro medio del material en metro. Cuando no existen datos, Blench recomienda: Fb = 0,8 (arena fina dm < 0,5mm) Fb = 1,2 (arena gruesa dm > 0,5mm) • Factor de orilla Fs, que mide la resistencia de las orillas y se

obtiene según,

Fs =8

Fb 2s ------------------------------------------------------ 6.79

donde Fbs se obtiene de la ecuación 6.78 sustituyendo el dm correspondiente a las orillas. Cuando no existen datos Blench recomienda Fs = 0,1 material poco cohesivo, como la arena. Fs = 0,2 material medianamente cohesivo. Fs = 0,3 material muy cohesivo, como la arcilla. Las ecuaciones de diseño propuestas son:


21

s

bm F

QF81,1b

= ----------------------------------------------------- 6.80

3/1

2b

s

FQF

y

= ---------------------------------------------------------- 6.81

+

=

2330c1KQ28,3

FFS

6/1

12/1s

6/5b --------------------------------------- 6.82

donde,

4/1

g63,3Kν

=

bm es el ancho medio del cauce de profundidad y. Si el cauce tiene geometría trapecial y empleando como solución estable m = 0,5; entonces las dimensiones de la sección serán, b = bm – 0,5 y ------------------------------------------------------ 6.83 Blench plantea que además se cumple la relación,

32

32

s

bm

FF9,1

b = ----------------------------------------------------------- 6.84

Con este grupo de ecuaciones un algoritmo que puede conducir al dimensionamiento de la sección es, Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos 2. Calcular Fb y Fs según las ecuaciones 6.77 y 6.79 3. Calcular bm según la ecuación 6.80 4. Calcular y según la ecuación 6.81 5. Calcular la So según la ecuación 6.82 6. Calcular la base de la sección trapecial según 6.83 7. Calcular el bordo libre según lo establecido en la literatura. 6.6.2.4. Variante a partir de las ecuaciones de Simons y Albertson.


Empleando bases de datos de la India y Estados Unidos estos autores presentan sus ecuaciones en 1963. El rango de aplicación de estas fórmulas es mayor debido a los materiales estudiados y siempre que el transporte de material de fondo no exceda 500 ppm. Las fórmulas propuestas son:

512,01QKP = -------------------------------------------------------- 6.85

361,02QKR = ------------------------------------------------------- 6.86

P9,0bm = --------------------------------------------------------- 6.87 6,2Rsi,R21,1y ≤= ------------------------------------------------ 6.88a

6,2Rsi,R93,061,0y >+= ------------------------------------ 6.88b

7V

127,0m772,0m21231

10.2vysi,QKKK1S

m

<ν

=

′

−′′+ -------------- 6.89a

737,0

m4

63,137.0

10.2vysi,bgyKvS >

νν

= ---------------------------------- 6.89b

los valores K1, K2, K3 y m’ se obtienen en la tabla 6.27.

MATERIALES K1 K2 K3 K4 M’

Fondo y orilla de arena 6,30 0,41 9,33 0,324 1/3

Fondo y arena y orilla cohesiva c < 2000 ppm

4,74

0,47

10,77

0,525

1/3

Fondo y orillas cohesivas 3,96 0,56 - 0,87 -

Fondo y orilla con material grueso

3,16

0,27

10,76

0,85

0,286


Fondo arena y orilla cohesiva 2000 ≤ C ≤ 8000 ppm

3,09

0,36

9,68

-

0,286

TABLA 6.27. COEFICIENTE PARA LAS FORMULAS DE SIMONS Y ALBERTSON TAL COMO LOS PRESENTA POUEY (1988). Al igual que en el método anterior las restricciones son las propias ecuaciones propuestas. Así el algoritmo de cálculo para el diseño será: Algoritmo. 1. Recopilación de la base datos. 2. Calcular P según 6.85 3. Calcular R según 6.86 4. Calcular bm según 6.87 5. Calcular y según 6.88a ó 6.88b. 6. Calcular S según 6.89 a ó b. 7. Asumir m = 0,5 según aconseja Raju-Misri 8. Calcular b según 6.83 9. Calcular el bl según lo establecido en la literatura. 6.7 Cálculo de secciones revestidas. Las secciones revestidas con materiales artificiales presentan, por lo general, características que las diferencian de los dos otros tipos de canales. Raju (1988), le denomina a estos canales de frontera rígida para diferenciarlos de los demás construidos sobre materiales fácilmente erosionables. Sus características hacen que en el cálculo, se diferencien de los demás. Por tanto se debe, Incluir alguna restricción que minimice el costo del

revestimiento ya que este factor puede incidir negativamente en la inversión de la obra.

Tomar en cuenta que estas secciones pueden resistir muy altas velocidades de acuerdo al material que se emplee en el revestimiento.


Proteger todo el canal contra la sedimentación de partículas que transporte el agua, ya que este proceso transformaría las características de la sección e influiría en su comportamiento.

En los análisis de costo de este tipo de canal se debe tener en cuenta todos los factores inducidos por las características de la sección. Así puede plantearse como cuestión general, Costo = costo de revestimiento + costo movimiento de tierra + + costo obras inducidas por el trazado + costo obras fijas donde, costo revestimiento = f1(perimetro, longitud del tramo, material y espesor del revestimiento, técnica constructiva) costo movimiento de tierra = f2 (cota inicio, longitud, área STC, So, materiales de corte y relleno, técnica constructiva) La decisión de revestir la sección transversal de un tramo de canal se puede justificar para las siguientes cuestiones: 1º. necesidad de transportar agua a altas velocidades que exista

peligro de erosión. 2º. disminuir las pérdidas por infiltración. 3º. atravesar tramos de topografía compleja. 4º. reducir los costos anuales de operación y mantenimiento 5º. asegurar la estabilidad de la sección. 6º. proteger el medio ambiente. Existen numerosas tendencias, a veces contradictorias, respecto a como diseñar estas secciones. Rangu Raju (1988) aconseja tomar en consideración el gráfico de la figura 6.31 para evitar que se sedimenten partículas en estos canales y aconseja limitar el diseño para Números de Froude entre 0,3 y 0,4, por lo cual, según él, la pendiente de estos canales debe ser muy suave. Para esta gráfica los valores del eje X representan la concentración promedio de los sedimentos en peso, mientras que el parámetro que identifica al eje Y se calcula según,


6/1S

RAJUwd

1

dg

qSdK

υρρ∆

=

donde, q es el gasto específico, ∆ρS es la diferencia en densidades entre el sedimento y el

fluido, w es la velocidad de sedimentación de las partículas de

diametro d. Un criterio así tiende a desaprovechar las características de resistencia a altas velocidades que tienen la mayoría de los materiales que se emplean en los revestimientos.

FIGURA 6.31 GRAFICA DE RANGA RAJU (1988) PARA DETERMINAR LAS VELOCIDADES DE DISEÑO DE CANALES REVESTIDOS. French (1985) por su parte no se pronuncia sobre un valor específico respecto a NF y los dos ejemplos con que ejemplifica este diseño tienen respectivamente números de Froude de 0,78 y 0,39 respectivamente. Respecto al tipo de sección no se parcializa por una en particular y orienta una amplía gama de posibilidades que incluyen diseños con componente económico. 6.7.1 El criterio de mínimo perímetro.

10

100

1000

10000

100 1000 10000 100000C

K_

ZONA DE NO SEDIMENTACION


La geometría de aparentemente mejores perspectivas para ser revestida es aquella que tenga un menor perímetro, ya que este perímetro influye directamente sobre los costos de revestimientos. Por tanto puede plantearse que: ––– Para un Q dado como dato y para una n y So definidas la

sección que presente un perímetro mínimo, para un área tal que no se superen los límites de velocidad máximas establecidas para el material, o para las condiciones de diseño, será la de mejor perspectivas. Estas secciones son denominadas también de máximo radio hidráulico y secciones más eficientes.

Si la ecuación de Manning se escribe así,

3

2

35

21

PA.

nS

Q o=

entonces se deduce fácilmente que el gasto es máximo para P mínimo, si So, n y A están definidas. Desde el punto de vista geométrico la sección circular es la sección que menor perímetro tiene, para un área dada; pero en la práctica sus dificultades constructivas, su poca adecuación a muchos suelos y a muchos materiales de revestimientos hacen que esta no se emplee profusamente, aunque sin lugar a duda, tanto ella, como la semicircular, serán geometrías que deben emplearse si existen las condiciones para su uso. Si ahora la ecuación de Manning se escribe así,

25

23

23

43

AnQ

SP o=

para Q, n y So dado, para un perímetro mínimo, se obtiene un área mínima y por tanto una máxima velocidad. Hay autores que aseveran que esta ecuación define a las secciones de mínimo


perímetro como de mínima excavación con la cual cometen un error al no tomar en consideración: la relación entre So y la pendiente media del terreno. la conformación de la Sección Típica Constructiva y las

secciones constructivas y valorar solamente la STH como sección final a construir.

Un aspecto importante, en el diseño de estas secciones esta en la altura de las mismas. Al lograr una sección de mínimo perímetro se logra un dimensionamiento tal, que esa geometría, en particular, da como resultado el mínimo esperado. Al tener el dimensionamiento hay que tener muy en cuenta que el valor de la altura de la sección que da el mínimo perímetro (h), no es la profundidad a que debe circular el fluido, sino la altura que limita la zona de revestimiento y que por tanto corresponde a,

blyh Qmax_n += ----------------------------------------------------- 6.90 Como la sección circular (o semicircular) son de difícil aplicación práctica, se busca para las geometrías más usuales encontrar las relaciones entre sus dimensiones que hacen que para esa geometría el perímetro sea un mínimo. Véanse los siguientes casos. • Caso de las secciones triangulares.

Para esta sección se tiene que,

2mhA = y 22 m1mA2m1h2P

21

+

=+=

entonces, ( )m

m1A4P2

2 += , ecuación que para un área dada puede

diferenciarse para obtener el mínimo deseado. La diferenciación se realiza respecto a m que es la única variable de la geometría que diferencia las secciones triangulares. Procediendo a reagrupar se obtiene:


+= mm1A4P2 y diferenciando,

−=+−= 22 m

11A4A4m

A4dmdpP2

Como la condición de mínimo es 0dmdp

= , entonces,

m = 1, que es la condición de perímetro mínimo para esta geometría.

• Caso de las secciones rectangulares

Para esta sección se cumple que,

A = bh y P = b + 2h = h2hA

+

La variable para la derivada será h, por lo que,

2hA

dhdp

2 += y como la condición es ,0dhdp

= se obtiene

A = 2h2, o lo que es igual b= 2h. que es la condición de perímetro mínimo: una geometría que es un semicuadrado. • Caso de la sección trapecial.

Para esta geometría se cumple que,

A = bh + mh2 y 22 m1h2mhhAm1h2bP ++−=++=

considerando A y m constante, la diferenciación se realiza respecto a h:

22 m12m

hA

dhdP

++−−= , que igualando a cero da,

( )mm1h2b 2 −+= , que es la relación entre b y h de mínimo perímetro si está prefijada m.


Si m se asume como variable y A y h como constante diferenciado como respecto a m se encontrará el valor que minimice P.

m2m12

2hhdhdp

2++−= , entonces haciendo 0

dmdP

= se

obtiene, 2m1m2 += cuya solución es, 31m = , que

corresponde a una sección semihexagonal cuya relación

b – h será, h3

2b = .

Los elementos geométricos de estas secciones aparecen en la tabla 6.28.

Sección A P T Especificación

Trapecial 1,73 h2 3,46 h 2,31 h Semihexágono: 31m =

Rectangular 2 h2 4 h 2 h Semicuadrado

Triangular h2 2,83 h 2 h m = 1

Círculo 4h2π πh --- diámetro = h

Semicírculo 0,5 πh πh 2h radio = h

Parábola 1,89 h2 3,77 h 2,83 h h22T =

TABLA 6.28 PARÁMETROS DE ALGUNAS SECCIONES DE MINIMO PERÍMETRO.

Más reciente el trabajo de Chwen-Yuan (1984) generaliza el planteamiento de estas secciones para el caso de la geometría trapecial y sus casos particulares: rectangular y triangular. Como nota singular Chwen-Yuan integran el bordo libre a este cálculo produciendo una solución más racional en este sentido. A partir


de: 0dy/dAy0dy/dQ t == , como condición matemática, planteada por Chow (1959) y Morris (1972), de estas secciones y estableciendo una diferencia entre el área total (At) del área mojada (Am),

( ) ( )[ ]blymbblyA t +++= y ( )mybyAm += y ahora planteando las relaciones siguientes,

2m1k += y ybl

=λ ,

Chwen-Yuan llega a la siguiente solución,

( ) )( ([ ++λ−λ+λ−λ−−+λ

= 22222 k4m16k9k3m2m3k225

1yb

) ]21

k4m16km38k12km32m 2222 λ−λ−λ+λ−λ++ ----- 6.91 En correspondencia con la ecuación 6.91, se plantean las siguientes relaciones,

21

o

33

SnQQ =′ ---------------------------------------------------------- 6.92

25

8 k2ybm

yb

yQ

−

+

+=

′ ----------------------------------------- 6.93

myb

yA

2m += ------------------------------------------------------- 6.94

( ) ( )

λ++λ+= 1m

yb1

yA

2t ----------------------------------------- 6.95

k2yb

yP

+= --------------------------------------------------------- 6.96

Las restricciones para diseñar este tipo de sección serán,

[ ] maxomax yARSn1errorQ 3

22

1=±

[ ] minomin yARSn1errorQ 3

22

1=±


permisiblemaximaQmax vv ≤

permisibleminimaQmin vv ≥ imomínP → -------------------------------------------------------- 6.97

normadocalculado blbl ≥ El algoritmo de diseño debe adecuarse en cada caso a la geometría seleccionada. Dos ejemplos de esto se dan a continuación a partir del análisis de las secciones de mínimo perímetro y su geometría definida en la tabla 6.18. Algoritmo para una sección circular. 1. Recopilación de la base de datos necesaria. 2. Estimar el valor de n. 3. Definir una So. 4. Asumir bl = 0 y calcular yn para Qmáximo como sección

totalmente llena,

35

383

2

4y

4y

4y

SQ nn

2nn π

=

π=

5. Definir el diámetro de la sección, mayor que yn, para lograr un bordo libre adecuado y obtener una dimensión constructiva para la sección, do > yn

6. Recalcular la profundidad normal para el nuevo diámetro, ahora como sección parcialmente llena. Para esto emplear uno de los algoritmos planteados en el capítulo 5. Una vez calculada yn para Qmax se tiene que, bl = do – ynQmax

7. Si bl es adecuado se continúa al próximo paso. Si no es adecuado se regresa al paso 5.

8. Calcular vQmax a partir de la yn_Qmax determinada en el paso 6. Si vQmax ≤ vmáxima permisible, seguir al paso siguiente. Si VQmax >Vmáxima permisible, regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información.


9. Calcular la profundidad normal para el gasto mínimo y la velocidad correspondiente. Para esto emplear uno de los algoritmos relatados en el capítulo 5. Si vQmin ≥ vmínima permisible concluye el diseño. Si vQmin < vmínima permisible regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información.

Algoritmo para el diseño de una sección trapecial. 1. Recopilación de la base de datos necesaria. 2. Estimar el valor de n.

3. Si (madmisible de terreno ≤ 31 ) entonces m =

31

Si (madmisible de terreno >31 ) entonces elegir m

4. Definir una So. 5. Calcular la relación b/h según la ecuación deducida . 6. Calcular ynQmax asumiendo bl = 0 y h = yn . 7. Calcular b = b/h . yn . 8. Llevar b a una dimensión constructiva aumentando el valor

obtenido en el paso 7 para también lograr un bl adecuado. 9. Recalcular ynQmax de acuerdo a uno de los algoritmos

planteados en el capítulo 5. 10. Calcular el bordo libre de la nueva sección,

−=h

bbbl ynQmax

11. Si bl es adecuado continuar al paso siguiente. Si bl no es adecuado regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y cálculos.

12. Calcular vQmax y compararla con la permisible. Si vQmax ≤ vmáxima permisible seguir al paso siguiente. Si vQmax > vmáxima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y cálculos.

13. Calcular ynQmin de acuerdo a uno de los algoritmos planteados en el capítulo5. Calcular vQmin


Si vQmin ≥ vmínima permisible concluye el diseño. Si vQmin < vmínima permisible regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información.

Houk (1956) presenta una tabla con una recopilación de datos sobre canales revestidos en el oeste de los Estados Unidos. A continuación la tabla dada por Houk con algunas adiciones para hacer más fácil la transmisión de los resultados.

b/h

Canal Sección f(m) Real bl (%y) Veloc. m/s

Contra Costa trapecial 0,7015 1,0000 63 % 0,71

Scotch Branch trapecial 0,7015 1,0416 26 % 1,81

Ridge trapecial 0,7015 0,8235 14 % 1,50

Heart Mountain trapecial 0,7015 0,8889 20 % 2,13

Kittias Main (I) trapecial 0,7015 1,0742 14 % 2,02

Black Canyon trapecial 0,7015 1,0909 17 % 1,48

Ridge trapecial 0,7015 1,0769 16 % 2,14

All – American trapecial 0,5540 1,7068 21 % 2,02

Delta-Mendota trapecial 0,6055 2,8985 0 % 0,70

Main trapecial 1,5615 1,3071 14% 2,33

Kittias Main (II) trapecial 0, 6055 0,8780 11 % 2,50

Gravity Main trapecial 1,0000 1,5187 0% 1,81 TABLA 6.29. DATOS DE CANALES DE EEUU. RECOPILADOS POR HOUK. 6.7.2 Un criterio de diseño con cálculo de costo. French (1985) citando a T.J.Trout propone una alternativa de diseño con valoración de costo del material de revestimiento para secciones trapeciales, rectangulares y triangulares. La metodología propuesta no se basa en el costo de colocación, ni en el de construcción a menos que puedan ser evaluados en términos de


área superficial. El esquema para la definición de variables aparece en la figura 6.32. Al darse los costos como función del volumen de material puede plantearse que,

( ) kBbb2btC fff +=′+µ= ---------------------------------------- 6.98


donde, Cf : costo de fondo por unidad de longitud. µf : costo material de fondo por unidad de volumen. tf : espesor del revestimiento del fondo. B : costo de fondo para un espesor dado por unidad de área. K : costo de material de las esquinas por unidad de longitud.

FIGURA 6.32 ESQUEMA DE LA SECCION PARA LA SOLUCION DE TROUT. Para los taludes quedaría,

( )ladodellongitudlaveces2.tC lll µ= ------------------------- 6.99a

( ) 2l m1bly2C ++Γ= ------------------------------------------- 6.99b

donde, µl : costo material de los lados por unidad de volumen. Tl : espesor del revestimiento de los lados. Γ : costo revestimiento de los taludes para un espesor dado por

unidad de área. Entonces puede plantearse como función costo (Ct),

( ) 2lft m1bly2kBbCCC ++Γ++=+= --------------------- 6.100

y la mejor alternativa será aquella que resuelva,

imomínCparaSARn1Q t

21

32

→=

Trout plantea que este problema de optimización era análogo al problema clásico de microeconomía. En terminología de negocios la solución de este problema requiere una entrada mezclada tal que la relación de productos marginales sea igual a la relación de costos marginales. Asumiendo constante m y aplicando los


multiplicadores de Lagrange se obtiene una solución explícita para el problema, así,

( )( ) y/c

b/cy/ARb/AR

32

32

∂∂∂∂

=∂∂

∂∂

que es la combinación de las relaciones de los cambios marginales. El resultado final aportado por Trout es como sigue,

21

1222

1

KB20KK

K2yb

Γ++−

= ---------------------------------- 6.101

donde,

( ) 221 m1m4B41m120K +

Γ+−+=

Γ−+

Γ−=

Bm10m16B1K 22

Esta relación de b/y da la solución integral de costo e hidráulica para la sección. Las restricciones de este método son,


22

1=±


22

1=±


permisibleminimaQmin vv ≥

6.101 ecuacion yb

→

normadocalculado blbl ≥ El algoritmo que resuelve este diseño puede responder a la siguiente secuencia,


Algoritmo. 1. Recopilación de la base de datos necesarios. 2. Estimar valor de n. 3. Definir el talud del canal m. 4. Definir So. 5. Calcular K1 y K2 . 6. Calcular (b/y) según 6.100. 7. Calcular yn, según alguno de los algoritmos del capítulo 5,

para Qmax. 8. Calcular y)y/b(b = 9. Calcular A y vQmax. A partir de los datos de los pasos 7 y 8.

Si vQmax ≤ vmaxima permisible pasar al siguiente paso Si vQmax > vmaxima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y los cálculos.

10. Calcular ynQmin según alguno de los algoritmos propuestos en el capítulo 5. Calcular A y vQmin.

Si vQmin ≥ vminima permisible pasar al siguiente paso Si vQmin < vminima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y los cálculos.

11. Definir el bordo libre de acuerdo a lo normado. 12. Calcular los costos del fondo y los lados y el costo total según

6.98 y 6.99.

Trout (1982) plantea un gráfico para diseñar las secciones de costo mínimo, trapeciales de m = 0,5. Para facilitar la solución Trout propone un gráfico de ejes b,y donde se plotean rectas de igual valor (B/Γ) y sobre este plano curvas de igual valor AR2/3. 6.7.3 La sección de mínimo costo. La sección de mínimo costo según Chwen-Yuan y Hughes (1984), considerando el bordo libre y con un análisis de costo que incluye: revestimiento, excavación, costo de la tierra y otros, lo dan estos dos profesores para una geometría trapecial.


Se parte de las ecuaciones básicas,

0dydQ

= ----------------------------------------------------------- 6.102a

0dydC

= ----------------------------------------------------------- 6.102b

que indican el objetivo del cálculo y donde C es el costo total de la construcción. El costo de la construcción es función de los volúmenes de excavación, el área del revestimiento, el costo de los derechos de vía y otros que están muy regionalizados según los autores, no obstante, el costo por unidad de longitud de canal excavado, el revestimiento y los derechos de vía están relacionados con el ancho y la profundidad del canal, por tanto se utiliza la siguiente función costo,

dA.hbC0

bly

γ

+

β∫α=

donde, α,β y γ son constantes determinadas para caso específico; h es la profundidad del centroide de cada elemento de área medida desde la superficie del terreno, dA es el área del elemento excavado. Para un canal trapecial la ecuación 6.102 puede integrarse y quedar como,

( ) ( )

+

+γ++

+γα= +γ

β+γ

+β21

1

bly2

mb2bly1

bC --------------------- 6.103

ahora sustituyendo 6.103 en 6.102b queda,

( )

( ) ( )2

2

2

1Kyb1G

yb1m2

yb

dydb

λ++λ+

λ+−−= -------------------------------------- 6.104


donde,

11G

+γ+β

= ; 2

m2K+γ

β= y

ybl

=λ

Por último para llegar a la solución final, se plantea como solución integral del problema la siguiente expresión,

0PybP

ybP

ybP o1

2

2

3

3 =+

+

+

--------------------------- 6.105

donde: ( )λ+−= 1G53P3

( ) ( ) ( )( ) ( )22 1K5k6m101Gm2k101m6P λ+−+λ+−−+λ+=

( )( ) ( ) ( ) ( )k3m51k21mkG16m2k101m2P 21 +λ+−λ+−−λ+=

( )2o 1mkK16P λ+=

La solución general de esta ecuación cúbica representa la sección trapecial de menor costo incluyendo el bordo libre. Solo podrá existir una solución cuando la función costo se especifique en cada caso. Las restricciones que deben tenerse en cuenta en este diseño son,


22

1=±


22

1=±


permisibleminimaQmin vv ≥

( )HughesyYuanChwenfyb

−=

normadocalculado blbl ≥


Aunque los autores recomiendan la confección de gráficas para cada caso y con ellas resolver el diseño, a continuación se plantea un algoritmo para el calculo secuencial, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de datos necesaria. 2. Calcular α, β y γ para satisfacer la ecuación 6.103. 3. Estimar n. 4. Definir una pendiente de talud m. 5. Seleccionar una So. 6. Definir un bl como porciento de y. Calcular λ. 7. Calcular G y K según ecuaciones expuestas al respecto. 8. Calcular P3,P2,P1 y Po con las ecuaciones presentadas. 9. Resolver el sistema cúbico de la ecuación 6.105 y calcular

y/b . 10. Calcular yn empleando la ecuación 5.18, para Qmax. 11. Calcular b como .y)y/b(b = 12. Calcular vQmax con la b del paso 11, la yn del paso 10 y la m

asumida. 13. Si vQmax ≤ vmaxima permisible continuar el siguiente paso. 14. Si vQmax > vmaxima permisible representan el paso 5 para rectificar o

cambiar la información y los cálculos. Calcular ynQmin según alguno de los algoritmos que aparecen en el capitulo 5. Calcular vQmin.

15. Si vQmin ≥ vminima permisible pasar al siguiente paso Si vQmin < vminima permisible regresar al paso 5 para ratificar o cambiar la información y los cálculos.

16. Calcular el bordo libre como .nQmaxy..bl λ= 6.8 Canales con vegetación. El recubrimiento de una sección con pastos es una atractiva alternativa para la estabilización estructural de la sección para canales en tierra que trabajan intermitentemente.


Por esta última razón su aplicación ha sido muy extendida a canales de drenaje agrícola y a canalizaciones urbanas ya que su componente estética y económica hacen esta protección muy competitiva. El revestimiento con pastos tiene dos manifestaciones interrelacionadas. La presencia de vegetación crea una región amortiguadora cerca a la frontera en la cual la velocidad se reduce grandemente. Esta acción implica una fuerza de arrastre sobre el vegetal que se transmite a los tallos y a las raíces. Debido a que esta región representa una distorsión en el perfil de velocidades que está íntimamente relacionada con las ecuaciones de resistencia del flujo. La segunda manifestación del pasto es prevenir altas velocidades o altos esfuerzos cortantes locales o temporales en las regiones asociadas a grandes turbulencias o concentraciones de flujo. Por tanto el grado de protección está relacionado por la uniformidad del recubrimiento. El revestimiento con pastos es un método popular empleado como: protección antierosiva, estabilizar el suelo y limitar el movimiento de partículas. El pasto en los canales en tierra que surge espontáneamente debido a la falta de mantenimiento, trae como consecuencia que los niveles de agua pronosticados se superen y existan desbordamientos. El pasto, en cualquiera de sus formas, presenta una variación estacional del coeficiente de fricción. A la n de Manning en los canales con vegetación se le denomina coeficiente de retardo o retraso.


Coyle (1975) certifica que, ( )vegtacióndetipo,R,vfn = . De esta forma el Soil Conservatión Service propone una gráfica entre n y v.R para diferentes clases de retardo, donde este valor se obtiene en función del tipo de vegetación y su altura. El diseño de canales con pastos no difiere al diseño de canales sin revestimiento ya que lo fundamental es el cumplimiento de las restricciones, sólo que con nuevos valores de n_estacional y de vmaxima permisible.

Además, como los pastos pueden tener desarrollo vegetativo durante la etapa de operación, el diseño debe realizarse para dos etapas límites: • Bajo crecimiento del pasto (bajo grado de retardo): nbgr

• Máximo crecimiento del pasto (alto grado de retardo): nagr

Para bajo grado de retardo (menor n) se diseñará la sección para que no ocurra erosión mientras que para el máximo valor estimado de n (alto grado de retardo) se verificará la no sedimentación o crecimiento de plantas indeseables y el no desbordamiento de la sección. 6.8.1 Información del USSCS. Coyle (1975) clasifica el grado de retardo de varios tipos de vegetación. Esta información aparece en la tabla 6.30 junto a la dada por el U.S.Soil Conservation Service en 1954. A partir del grado de retardo y del producto R.v se puede predecir el valor de n de Manning. Este valor también puede obtenerse de tablas o informaciones especializadas. El gráfico de la figura 6.33 da los valores de n según Coyle (1975).


RETARDO TIPO DE VEGETACION CONDICIONES

A (Muy alto)

. caña, junquillo amarillo y Ischaemun azul amarillo

. weeping love grass.

Verticalidad perfecta. Alto de 910mm como promedio. Verticalidad perfecta. Alto de 760mm.

B (Alto)

. kudzu

. bermuda

. mezcla de hierbas

. alfalfa . lespedeza sericea . weeping love grass . grama azul . cañuela con comida para

aves.

Muy densa o densa, sin cortar Densa, 300mm de alto. Densa, sin podar Buena germinación, 300mm de alto. Buena germinación, no leñosa, altura 480mm. Buena germinación, desde 600mm de alto hasta 330mm de alto pero podada a esa altura. Buena garminación, sin podar alto de 330mm Sin podar de 460 mm de alto

C (Moderado)

. Hierba silvestre, áspera . Bermuda . Lespedeza común . Mezcla de hierbas . Hierba cienpiés . Hierba Kentucky . Bahía

Poco densa, de 250 a 1200 mm de alto Buena germinación, podada, de 150mm Densa, sin cortar, de 280 mm Densa, sin cortar de 150 a 200 mm Densa, 150 mm de alto Buena germinación, con cabeza de 150 a 300 mm de alto Buena germinación, 150 a 200 mm de alto

D (Bajo)

. Bermuda

. Lespedeza común

. Búfalo

. Mezcla de hierbas

. Lespedeza sericea

Densa, cortada a 60 mm Densa, de 100 mm de alto Densa de 75 a 150 mm Densa, de 100 mm de alto Después de cortada 500 mm de alto y buena germinación

E

(Muy bajo)

. Bermuda Buena germinación, cortada a 90 mm o quemada de cualquier altura

TABLA 6.30. CLASIFICACIÓN DE LOS PASTOS SEGÚN SU GRADO DE RETARDO.


FIGURA 6.33 COEFICIENTE DE RETARDO COMO FUNCION DE vR. Otras recomendaciones para estos diseños vienen dadas por French (1985): 1º. Donde exista cubierta vegetal transplantada, estabilizada y

con mantenimiento, se permitirán velocidades de 0,91m/s. 2º. Donde exista cubierta sembrada de semilla la velocidad

puede llegar a 1,2 m/s. 3º. Donde un césped denso se desarrolle rápidamente o en

canales donde se pueda establecer el pasto firmemente antes de utilizarlos, velocidades de hasta 1,5m/s se pueden admitir. Velocidades mayores que esta necesitan pastos de alta calidad.

4º. En muy buen cesped de alta calidad y densidad las velocidades se admiten hasta 1,8m/s.

5º. En condiciones especiales pueden admitirse velocidades de 2,1m/s.

El USSCS y Coyle (1975) proponen la tabla 6.31 para calcular las velocidades máximas en este tipo de revestimiento.


A partir de esta información básica se puede establecer la rutina de diseño de este tipo de canal, que difiere a la estudiada para canales en tierra, salvo que la n a considerar tiene dos valores en función del ciclo de corte de la vegetación lo cual crea una nueva forma de análisis. Las restricciones para este método serán:

[ ] Qmaxobgr

max yARS1errorQ 32

21

η=±

[ ] Qminoagr

min yARS1errorQ 32

21

η=±

permisiblemaximaQmax VV ≤

permisibleminimaQmin VV ≥

normadocalculo blbl ≥

VELOCIDAD PERMISIBLE (m/s) COBERTURA S0 % Suelos resistentes

a la erosión Suelos fácilmente

erosionables

Bermuda 0 – 5

5 – 10 10

2,44 2,13 1,83

1,83 1,52 1,22

Bufalo, Kentucky y Gramma azul

0 – 5 5 – 10

10

2,13 1,83 1,52

1,52 1,22 0,91

Mezcla de hierbas 0 – 5 5 – 10

1,52 1,22

1,22 0,91

Lespedeza sericea, ischaemun, Kudzú, alfalfa y Digitaria sanguinalis

0 – 5 1,07 0,76

Anuales, usadas en pedientes suaves como proteccion temporal hasta que se establezca la cobertura permanente, lespedeza común y hierba sudán.

0 – 5 1,07 0,76

TABLA 6.31 VELOCIDAD PERMISIBLE PARA CANALES CON VEGETACION Un algoritmo para conducir el diseño de estos canales se da a continuación, Algoritmo. 1. Recopilación de la base de datos necesaria.


2. Estimar la nbqr y la naqr y los grados de retardo correspondientes.

3. Seleccionar una So. 4. Con nbgr y el grado de retardo que debe producir el

revestimiento en su etapa de mínima altura, obtener el producto R.v de la figura 6.33.

5. Estimar el valor de vmax. permisible, tabla 6.31.

6. Calcular maxVR.vR =

7. Con la ecuación de Manning calcular el producto R.v 2/13/5 SR

n1R.v = , donde R es la calculada en el paso 6.

8. Si errorR.vR.v7paso4paso

±= , continuar al paso siguiente.

Si 7paso4paso

R.vR.v ≠ regresar a variar nbgr y recomenzar por

el paso 4. 9. Calcular el valor del área mojada

.perm.max

max

vQ

A =

10. Con los valores de R y A determinar las dimensiones de la sección escogida.

Nota: A este nivel se tiene el dimensionamiento de la sección y la comprobación de la condición de no erosión. 11. Asumir un valor de y (se aconseja superior a la obtenida en el

paso 10) para condición de alto grado de retardo. 12. Calcular A y R. 13. Calcular v

A

Qv max=

14. Calcular el producto R.v . 15. Con R.v calcular nagr para Qmax de la figura 6.33. 16. Calcular por Manning v


21

32

SRn

1vagr

=

17. Si errorvv13paso16paso

±= continuar al paso siguiente.

Si 13paso16paso

vv ≠ regresar al paso 11 a variar el valor de y

asumido . 18. Calcular el bordo libre y la altura de la STH (h) blyh agr,nQmax += η Nota: Falta nivel la comprobación de no sedimentación que en estos canales no es muy importante. No obstante si el peligro existe y se requiere su prevención entonces se procede así. 19. Asumir el valor de y para condición de alto grado de retardo y

gasto mínimo (generalmente inferior a las calculadas anteriormente).

20. Calcular A y R. 21. Calcular v

A

Qv min=

22. Calcular el producto R.v . 23. Con R.v calcular nagr para Qmin de la figura 6.33. 24. Calcular v utilizando Manning

21

32

SRn

1vagr

=

25. Si errorvv21paso24paso

±= continuar al paso siguiente.

Si 21paso24paso

vv ≠ regresar al paso 19 y variar el valor de y

asumido. 26. Si permisibleimamín24paso

Vv ≥ , se da por terminado el diseño.

Si permisibleimamín24pasoVv < , regresar al paso 3 a ratificar o

cambiar información y cálculos.


Los estudios sobre canales revestidos de vegetación continúan ampliando su alcance a secciones compuestas donde la vegetación en las llanuras de inundación es muy diferente a las del canal principal. French citando los estudios de Kouwen en 1973, con cintas plásticas da las siguientes conclusiones: a. Los canales con vegetación tienen dos valores del factor de

fricción; uno cuando el régimen es ondulado y otro cuando el régimen es alisado.

b. El factor de fricción y la n de Manning se puede definir en función de la rugosidad relativa cuando el régimen es ondulado y es función de Rv para régimen alisado.

Los trabajos de Ree y Crow (1977), Kao y Barfield (1978), Gwinn y Ree (1980) y de Temple (1980) abren una nueva perspectiva. Green y Garton (1983) presentan un procedimiento para el diseño de estos canales con secciones trapeciales, triangulares y parabólicas. En 1988 Reza y Shigeyoshi profundizan en estudios con vegetación artificial y más recientemente Dan Naot (1996) y colaboradores, estudian problemas asociados al comportamiento hidrodinámico de secciones compuestas parcialmente revestidas de hierbas. 6.8.2 El método de Temple. D.M.Temple (1980), de la USDA-ARS, toma la fuerza tractiva como parámetro de diseño. La fuerza tractiva efectiva, τe , se define según,

( )2

sFe n

nC1Sy

−γ=τ ----------------------------------------- 6.106

donde: CF es el factor de cobertura del vegetal. nS es la n de Manning asociada al suelo solamente.


n es la n de Manning de todo el canal. Esta ecuación requiere una calibración adecuada para CF. La ecuación es aparentemente aceptable para un rango amplio de suelos y sus posibles limitaciones no afectan el diseño de estabilidad de la sección. El procedimiento presentado al ser un proceso de cálculo semiempírico del modelo de comportamiento del flujo debe emplearse en canales con un recubrimiento uniforme de hierba y suelos de granos finos. En general el método está limitado a, b ≥ bmínimo --------------------------------------------------------- 6.107 m ≥ mmínimo ------------------------------------------------------------- 6.108 0,0025 CI

2,5 ≤ NR ≤ 36 ------------------------------------------ 6.109 τe ≤ τe admisible ------------------------------------------------------ 6.110 donde: CI es el índice de la curva de retardo.

bmínimo y mmínimo son función de la técnica constructiva y el suelo.

A partir de los datos del SCS (1954), Temple (1980) propone la relación siguiente:

( )[ ] ( )[ ]( ) 16,4297,0NRln0954,0NRln0133,0Cexpn 2I −+−= ------ 6.111

La aplicación de esta ecuación esta sujeta a que el vegetal esté sumergido. En general es considerada aceptable para aplicaciones generales aunque es conservadora en cubiertas densas y muy liberal en cubiertas poco densas. Por otra parte para vegetación sumergida puede plantearse que el índice de la curva de retardo se puede calcular según,

( ) 3/1vI Mh5,2C = ------------------------------------------------- 6.112

donde: hv es la longitud de los tallos, M es la densidad de la hierba. La determinación de hv y M es de gran importancia. El valor de hv debe ser estimado a partir del conocimiento de la vegetación y sus


variaciones anuales o estacionales. La densidad M, expresada en número de tallos por unidad de área, muestra menos variación estacional que hv. La tabla 6.32, dadas por Temple, ayuda en la búsqueda de valores para estos factores.

GRUPO CF PASTOS M (TALLOS/m2)* Hierbas Rastreras 0,90 Bermuda

Hierba ciempiés 5380 5380

Céspedes 0,87 Búfalo Hierba azul de Kentucky Grama azul

300 3720 3770

Hierbas en manojos 0,50 Weeping love grass

Tallos azul- amarillo 3770 2690

Hierbas con vainas 0,50 Alfalfa

Lespedeza sericea 5380 3230

Anuales 0,50 Lespedeza común Hierba de sudan

1610 538

Nota: *Se multiplicará M por: 0,333; 0,667; 1,0; 1,333; 1,667 para coberturas pobres, medias, buenas, muy buenas y excelentes. TABLA 6.32 PROPIEDADES DE ALGUNOS RECUBRIMIENTOS CON HIERBA. En general en su método Temple limita nS al valor de 0,0156 que corresponde a suelos de granos relativamente finos. Temple también presenta una reducida tabla para determinar la τeadmisible, tabla 6.33, pero este valor puede ser obtenido de otras informaciones tales como las que aparecen en la sección dedicada a la erosión. MATERIAL τeadmisible (Pa) MATERIAL τeadmisible (Pa)

Loam arenoso Loam fangoso

0,79 1,04

Fangos aluviales Loam firme

1,04 1,63

TABLA 6.33 VALORES DE τ DADO POR TEMPLE.


El algoritmo planteado por Temple, sin modificación alguna, aparece a continuación. Algoritmo. I. Diseño de Estabilidad (establecer la geometría y dimensiones) A. Estimación de parámetros.

1. Determinar las condiciones críticas para la estabilidad, o sea altura menor de la vegetación.

2. Estimar M, tabla 6.32. 3. Estimar CF, tabla 6.32. 4. Estimar τe_admisible. 5. Calcular CI, ecuación 6.112

B. Aproximación a un canal ancho (R=y).

1. Calcular

−−−×ν=

a2ac4ddexp.10q

25

74

donde, ν74 x 105 = 0,0929 m2/s a = 0,0133 CI d = - (0,0954 CI + 0,286)

( )

16,410

aln4286,0

C1ln7143,0Sln5,0C297,0c

3/10s

3/5574

u

F

eoI

−

ηγ×ν+

+

−τ

+−=

s/m0,1a 3/1u =

2. Calcular 574 10

qNR×ν

=

3. Calcuar n según ecuación 6.111 4. Calcular y según,

5/3

2/1uSaqny

=

5. Calcular la velocidad media,


yqv1 =

6. Calcular el ancho requerido para el gasto total,

qQb = donde b se mide a y/2.

C. Solución por iteraciones.

1. i = 1 2. Utilizando los valores de referencia de b y de y se calculan

los parámetros geométricos. 2.1 Geometría trapecial. mybb −= 2.2 Geometría triangular.

ybm =

2.3 Geometría parabólica 2c b

y2a = para una parábola 2c Xay =

3. Cálculo del área de la sección

ivQA = donde iv es la del paso B.5. como primera

aproximación 4. Cálculo de la profundidad requerida

4.1 Geometría trapecial.

m2

Am4bby2 ++−

=

4.2 Geometría triangular m

Ay =

4.3 Geometría parabólica ( ) 3/2

caA75,0y = 5. Cálculo del perímetro mojado.

5.1 Geometría trapecial.


2m1y2bP ++= 5.2 Geometría triangular. 2m1y2P += 5.3 Geometría parabólica

++++=

aayy

ln.ay.ay2P 2

donde, Ca4/1a = 6. Calcular el radio hidráulico: P

AR = 7. Calcular n de Manning según ecuación 6.111 8. Calcular la velocidad media.

21

32

SRn1vm =

9. Ajustar la velocidad estimada

( )imi1i vv32vv −+=+

Si ( )2i ≥ y m1i vv ≅+ pasar al siguiente paso Si ( )2i < o m1i vv ≠+ entonces (i = i+1) e ir al paso 3

10. Calcular τe según 6.106 Si, τe ≤ τeadmisible continuar al siguiente paso

Si, τe > τeadmisible cambiar el ancho del canal, hacer i = 1 y regresar al paso 3 a recalcular todo de nuevo.

11. Si se cumplen las ecuaciones 6.107 a 6.110 continuar al próximo paso.

Si no se cumplen las ecuaciones 6.107 a 6.110 rehacer el diseño.

II. Diseño de capacidad (verificar la profundidad mínima del

canal). A. Estimación de parámetros

1. Estimar las condiciones de enyerbamiento para las condiciones del calculo de capacidad, o sea, altura mayor de la vegetación.


2. Estimar el número de tallos (M) según tabla 6.32. 3. Calcular CI según ecuación 6.112.

B. Primera aproximación.

1. Asumir NR igual al último valor calculado en la parte I. 2. Calcular, según ecuación 6.111, el valor de n. 3. Calcular el radio hidráulico según,

5/3

2/1

574

S10.nNR

R

ν=

4. Calcular la velocidad estimada

R

10..NRV

574

1ν

=

C. Solución final por iteraciones. 1. i = 1 2. Calcular el área,

iv

QA =

3. Calcular la profundidad empleando las fórmulas de la parte I, C.4.

4. Calcular el perímetro empleando las fórmulas de la parte I, C.5.

5. Calcular el radio hidráulico, P

AR = 6. Calcular el número de Reynolds,

574

i

10.RvNR

ν=

7. Calcular la n de Manning según 6.111. 8. Calcular mv según,

21

32

SRn1vm =

9. Ajustar la velocidad estimada, ( )im3

2i1i vvvv −+=+ Si ( )2i ≥ y m1i vv ≅+ pasar al siguiente paso


Si ( )2i < o m1i vv ≠+ entonces (i = i+1) e ir al paso 2 10. Chequear si se cumplen las condiciones de las ecuaciones

6.107 a 6.110, si no se cumplen rehacer el diseño. Resalta en el algoritmo original, propuesto por Temple, que el diseño se realiza para un solo gasto y que la variable So no entra en la rutina de cambios que pueden realizarse para lograr un diseño adecuado, sobre todo, en el cumplimiento de la restricción 6.110. 6.8.3 Un diseño propuesto por Green - Garton. Un procedimiento gráfico y numérico fue propuesto, en 1983, por estos autores pertenecientes a la Universidad de Oklahoma. Gwinn y Ree proponen para el cálculo de n, n = 1/(2,08 + 2,30 x + 6 ln (vR)) para 0,02< n < 0,2 ------ 6.113 donde, x es: –0,5; 2; 5; 7 y 11 para las clases de retardo A, B, C, D y E respectivamente. Green y Garton proponen específicamente emplear los modelos de n que aparecen en la tabla 6.34. Clase Retardo Modelo Límite

A n = 0,440 – 1,6174 vR n = 0,046 + 0,0223/ vR

vR ≤ 0,1542 vR > 0,1542

B n = 0,403 – 3,3356 vR n = 0,046 + 0,0096/ vR n = 0,0354 + 0,0115/ vR

vR < 0,0535 0,0535 < vR ≤ 0,1792

vR > 0,1792

C n = 0,034 + 0,0046/ vR n = 0,028 + 0,0051/ vR

vR < 0,0833 vR > 0,0833

D n = 0,038 + 0,0020/ vR n = 0,030 + 0,0028/ vR

vR < 0,100 vR > 0,100

E n = 0,029 + 0,0007/ vR n = 0,0225 + 0,0015/ vR

vR < 0,123 vR > 0,123

TABLA 6.34. MODELOS PARA EL CÁLCULO DE n DADOS POR GREEN - GARTON


El algoritmo para el cálculo numérico que proponen estos investigadores es, sin modificación alguna, como aparece a continuación. Algoritmo.

1. Elegir la geometría de la sección transversal. 2. Estimar una velocidad para el flujo: vestimada 3. Calcular el área mojada A = Q / vestimada 4. Calcular la profundidad del flujo y el perímetro.

4.1 Para geometría parabólica, Parábola y = k x2

Descriptor 5,0

k22,1w

=

Nota: w es el ancho de la sección para y = 0,305 metros ( ) 3/2

wA882,0y =

Ty

38TP

2

+=

4.2 Para geometría triangular, Elegir m en función del tipo de suelo m

Ay =

2m1y2P +=

4.3 Para geometría trapecial, Elegir m y b en función del suelo y la técnica

constructiva. ( ) m2/bAm4by 2 −−=

2m1y2bP ++=

5. Calcular el radio hidráulico,

PAR =

6. Calcular el valor de vR = vestimada * R. 7. Determinar n utilizando la tabla 634. 8. Calcular la velocidad del flujo vC según Manning,


21

32

SRn1vC =

9. Si vC ≈ vestimada continuar al paso siguiente. 10. Si vC ≠ vestimada regresar a recalcular todo desde el paso 3

haciendo vC = vestimada. El procedimiento descrito se plantea realizarlo dos veces:

Primero para la estabilidad empleando el menor retardo esperado, en este resultado se obtendrá la máxima velocidad la cual no debe exceder los límites establecidos por el USDA. Segundo, se realiza el cálculo para el mayor retardo esperado y la profundidad hallada será la de diseño del canal. A este valor se le adiciona un bordo libre apropiado.

6.8.4 Las soluciones aportadas por Reza Mahbub y Suzuki. En experimentos publicados en 1988, con vegetación artificial en la Universidad de Agricultura y Tecnología de Tokyo, estos investigadores llegaron a interesantes conclusiones respecto al comportamiento del valor de n. La n de Manning decrece su valor cuando decrece el largo de

la vegetación Para una misma vegetación (densidad y longitud de tallos) a

medida que y aumenta n decrece: y↑ ⇒ n↓ El valor de n decrece al crecer el valor de la velocidad y para

altas velocidades n tiende a ser constante y semejante para diferentes densidades y largos.

El valor de n decrece fuertemente al crecer el producto vR. Para diferentes valores de profundidades de flujo este comportamiento se mantiene.

Se propone como ecuación de cálculo de n para alta densidad, ( ) ( ) +++++= y/L0027.00018.0v/L0098.0001.0006.0n ( )L01.0s −+ ----------------------------------------------- 6.114 donde:


L es la longitud de la vegetación en m, 0.20≤ L ≤ 1.0 v la velocidad en m/s en cada intervalo 0.05 ≤ v ≤ 1.11 y es la profundidad del flujo en m, 0.1 ≤ y ≤ 0.32 S la pendiente de fluido 0.001 ≤ S ≤0.01 6.8.5 Canales de sección compuesta con vegetación. Estas secciones tienen la doble complejidad del cálculo hidráulico y la vegetación. La vegetación en estos casos se diferencia en tipo y longitud entre la que crece en las llanuras de inundación y la que crece en el canal principal. A continuación algunos resultados de los últimos años. A. Indlekofer y Rouvé (1983). H.Indlehofer y G.Rouvé aceveran que la división con líneas verticales, en las que se considera nulo la transmisión de esfuerzo cortante, es un error en el cálculo de la capacidad hidráulica de una canal de sección compuesta. En el caso de la vegetación divide esta en flexibles y rígidas (arbustos y árboles) que normalmente crecen en las llanuras de inundación. En el caso de la vegetación flexible, este investigador anota que esta se comporta como una frontera rígida con una n característica que depende del flujo y de la flexibilidad de la vegetación. En el caso de árboles y arbustos cada miembro individual ejerce fuerza sobre el flujo y como resultado se retarda el movimiento. Se propone la siguiente ecuación para un canal de longitud L,

LPg2

vACLP 0

2i

vi

n

1idiv τ+ρ=τ ∑

=

---------------------------------- 6.115

donde vτ es la fuerza tractiva en vegetación 0τ es la fuerza tractiva del suelo solamente diC es el coeficiente de arrastre de cada elemento de área viA


Indlekofer y Rouvé llegan a las siguientes expresiones finales:

R/Lñ11

kk

0so

sv

⋅+= ------------------------------------------- 6.116

donde los subíndices v y 0 representan variables con vegetación y sin vegetación. ks es el inverso de la n de Manning

L0 es una longitud de referencia: g2

vS1L

2

00 ⋅=

En esta ecuación el valor de ñ significa la densidad efectiva de vegetación y se define como:

( )PL/ACñ vi

n

1idi ⋅= ∑

=

------------------------------------------ 6.117

La relación entre dos coeficientes de fricción se define por,

00

v ñ41λ

+=λλ -------------------------------------------------- 6.118

Esto incluye que tal como se muestran en 6.116 y 6.118 el efecto de retardo de la vegetación rígida es equivalente a un decrecimiento del valor de ksv y un incremento de vλ Analizando las propuestas realizadas por tres autores para el cálculo de la capacidad, se llega a las conclusiones siguientes: a. Según Klausing (1973)

Disminuir el área de la sección en 0.5 veces el área de la vegetación.

Disminuir el perímetro mojado en la parte referida a la disminución de área. b. Según el Buró Suizo de Carreteras y Ríos (SBSR), (1973)

Disminuir el área en todo lo referente a la vegetación. Asumir el perímetro mojado de arbustos y vegetación

suave.


c. Según Obendorf (1978) Calcular el coeficiente de rugosidad del perímetro mojado

de los arbustos en la fórmula:

2/1

0soarbustos_s 001.0

Sk55.0k

= ------------------------ 6.119

Disminuir el área mojada en todo lo referente a la vegetación.

Considerar la vegetación rígida aplicando fórmulas similares a las que aparecen en 6.116 y 6.118

Una comparación de estas propuestas aparece en la figura 6.34. El propio autor describe las diferencias entre los procedimientos que llegan a diferenciarse hasta en un 60%, demostrando claramente lo contradictorio de las propuestas.

FIGURA 6.34 COMPARACION ENTRE ALTERBNATIVAS REALIZADA


B. Evers y Rouvé (1983). Evers y Rouvé condujeron una investigación de laboratorio con diferentes tipos de vegetación. Algunas de las conclusiones del estudio arrojan los siguientes resultados:

FIGURA 6.35 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES Y SU INFLUENCIA CON LA PROFUNDIDAD EN UN CANAL CON VEGETACION.

La influencia de la densidad afecta el gasto y la distribución de las velocidades cuando el nivel sobrepasa la cota de las llanuras, figura 6.35 y 6.36.

FIGURA 6.36 RESULTADOS OBTENIDOS A NIVEL DE LABORATORIO. b y c: llanuras rugosas con un patrón definido a: llanuras lisas


Se observa la formación a intervalos regulares de vórtices en la frontera del CP y las LLI entrando en el CP dando como resultado fluctuaciones fuertes del nivel y el gasto: la fortaleza de los vórtices se incrementan con el gasto, la velocidad y dependen de la densidad de los elemento rugosos, resultando una fuerza adicional en las laderas del CP.

C. D.Naot, I. Nezu y H. Nakawama (1996). Naot, Nezu y Nakawama describen la experiencia de los últimos años en los estudios asociados a las secciones compuestas con vegetación. En las premisas de su trabajo establecen: Que la ley logarítmica universal que describe el perfil de

velocidades no describe la formación de los esfuerzos en el campo de acción de la vegetación adyacente a las paredes sólidas

Que debido a bloques del flujo en la zona del vegetal un esfuerzo cortante libre se forma en el conducto libre adyacente al eje del dominio del vegetal. Esta capa está sujeta a un movimiento lateral y puede ser removida desde su eje geométrico haciendo que el uso de un sistema coordenado invariante, como el descrito por Yang-Sinh, sea adecuado.

Las fuerzas hidrodinámicas que consideran en su trabajo son las tres fuerzas de arrastre por unidad de masa de fluido:

xxx KvCF = ; yyy KvCF = ; ZZ KvF = donde vZ es la velocidad longitudinal y se considera mucho mayor que vx y vy.

FD0e2z

2y

2x SCDdvvv

21K ⋅⋅⋅⋅++= ------------------------------------- 6.120

siendo ed la densidad promedio de la vegetación (troncos por unidad de área) D0 el diámetro promedio de la vegetación CD el coeficiente de arrastre correspondiente a los troncos SF un factor de sombra


Para sus trabajos emplearon:

ν⋅

= 0X DvNR ,

25.03

D NR10C

= para NR ≤ 103

o el mínimo entre, ( )[ ]23

D 5.20/2NR10976.0C −+= − para 103 < NR < 4.104

15.1CD =

para los coeficientes de arrastres:

1Cx = y D

2.03

y C/NR10C

= para NR > 103

siendo y la dirección en que crecen los árboles. Por último según Schlichting (1962), para hileras alineadas de árboles,

2

0

0F P

D1S

−= , donde

e0 d

1P =

y para árboles distribuidos aleatoriamente,

( )000

0F P/D5.01

PD

1S −−=

Para sus estudios prepararon un modelo hidrodinámico consistente en tres grupos de ecuaciones. En el primer grupo las tres ecuaciones de momentum, más la de continuidad, gobiernan el flujo promedio. En el segundo grupo dos ecuaciones de transporte para la energía y la disipación representan la intensidad y escala de la turbulencia y finalmente el tercer grupo, un grupo de ecuaciones algebraicas que describen la anisotropía de los esfuerzos turbulentos. El modelo se aplicó a tres casos, figura 6.37 y algunos de sus resultados se dan a continuación. Se empleó el factor adimensional


para la densidad de la vegetación: N=100de.y.Do; para comparar las diferentes variantes. En la figura 6.38 aparece el resultado para un canal ancho (b=5y) con un banco de vegetación de un ancho A=1.25y, con árboles de diámetro D0=0.04y y diferentes densidades.

FIGURA 6.37 TRES ALTERNATIVAS ESTUDIADAS POR NAOT Y SUS COLEGAS. Nótese que para N<4 la vegetación afecta el flujo como una ladera rugosa asimétrica. Para 4≤N ≤16 el flujo en el banco de vegetación es bloqueado haciendo un patrón en el canal libre semejante al de un canal ancho. Solo para N>16 las corrientes secundarias se hacen intensas. La relación vZmax/vZ crece con la densidad adimensional siendo respectivamente 1,25; 1,36; 1,47 y 1,67 para valores de N igual a 1, 4, 16, 32 y 64. En la figura 6.39 aparecen los resultados para un canal ancho (b=5y) para el caso de una esquina con vegetación de ancho (2.5y) y árboles de diámetro D0=0.04. Para N < 4 la vegetación introduce asimetría en las isolíneas de velocidad similar a la observada en el banco de vegetación. Para


4 ≤ N ≤16 el flujo que atraviesa el dominio de la zona vegetal es parcialmente bloqueado.

FIGURA 6.38 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UN BANCO DE VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA. Todavía el flujo encima del domino es intenso y en el canal se desarrolla un factor similar al observado en el canal hidráulicamente liso de sección compuesta. Para N >16 las corrientes secundarias son intensas, el flujo en el dominio del vegetal es bloqueado y el flujo sobre él es considerablemente atenuado. El patrón es similar al observado en un canal de sección compuesta para fronteras hidráulicamente rugosas.


FIGURA 6.39 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UNA ESQUINA DE VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA. La relación VZmax/VZ crece también con la densidad y para estos casos 1,24; 1,36; 1,65; 1,77 y 1,81; para densidades similares al anterior caso. Para el último caso estudiado, llanura de inundación a la izquierda con vegetación, los resultados aparecen en la figura 6.40. Se mantuvo el canal ancho ( )y5bb LLIcp =+ siendo

y5.2LLI = Para incrementos de la densidad (N) el flujo en la LLI es considerablemente atenuado. Para N ≥ 8 se forma una zona de


líneas de igual velocidad y para N ≥ 16 va casi hasta toda la llanura con vegetación.

FIGURA 6.40 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UN CANAL CON LLI CON VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA. La necesidad de predecir el perfil de velocidades con una función de densidad de la vegetación es evidente. Las corrientes secundarias en el CP aumentan con el incremento de la vegetación, resultando un desvío de las líneas de igual velocidad máxima lejos del dominio de la vegetación. El comportamiento hidrodinámico de un canal de sección compuesta con una llanura con vegetación depende de dos parámetros: SF y IV. Como el factor de sombra es inversamente proporcional en la medida en que un tronco es afectado por otro


tronco, se espera un decrecimiento en el incremento de la vegetación: diámetro y densidad. Mientras la longitud de referencia de la vegetación, lv, caracteriza los varios que se forman detrás de los troncos y estos se incrementan con el incremento del diámetro de la vegetación y se reducen con la densidad de la vegetación. En los rangos estudiados SF mostró poca diferencia (2<N<32 y 0.01<D0/y <0.08), lv varió dramáticamente. Se demostró que la longitud de disipación calculada para el centro de la vegetación está determinada por lv, indiferente de la presencia de paredes y la capa cortante libre en la periferia del dominio de la vegetación. Cuando se incrementa la densidad de la vegetación, el gasto a través del dominio de la vegetación decrece. Otros resultados de interés y aplicación práctica inmediata fueron expuestos en el capítulo 4, en la sección dedicada al cálculo de la n de la fórmula de Manning. En lo referente al tema de la vegetación, aparecen tablas y fórmulas que pueden orientar el cálculo sobre bases correctas y adicionalmente aparece el trabajo de Freeman y sus colegas del U.S.A.W.E.S. y de la Universidad de Utah, que se publicó en el año 2000 en un sitio público de Internet, en el cual se aborda el tema de las llanuras de inundación con maleza, vegetación de arboles y arbustos.

El régimen permanente y variado 455

7 EL RÉGIMEN PERMANENTE Y VARIADO

El régimen variado es la forma más común de presentarse el flujo en un canal artificial o natural. La alternativa de permanente y variado se alterna con la de impermanente y variado para descubrir lo que en realidad sucede en estas obras. El régimen permanente variado (RPV), que se analizará en este capítulo, es el que normalmente describe los niveles de agua de un estudio o un proyecto hidráulico de una conducción libre. En muchos de estos casos se utilizan situaciones extremas, para definir niveles y velocidades máximas y mínimas. Por su parte el régimen impermanente variado (RIV), es el que con más frecuencia hay que estudiar, al analizar la operación de una conducción libre, ya que las propias reglas de trabajo diario del sistema hace que se alcance, muy poco frecuentemente, el estado permanente; o, como en el caso de conducciones naturales una crecida provoca un tránsito impermanente a través de cada sección de la conducción. En el estudio y cálculo del RPV es objetivo principal definir la profundidad de circulación en cada sección. Si esto se realiza todos los demás parámetros quedan definidos. Por tanto todo el estudio de este régimen va encaminado a lograr este objetivo este objetivo, o, como problema inverso: conocidas las profundidades calcular el gasto de circulación. El RPV se presenta en dos formas: • régimen gradualmente variado y permanente (RPGV). • régimen rápidamente variado y permanente (RPRV).


Al no ser la superficie del agua paralela al fondo como sucede en el régimen uniforme su forma, más o menos inclinada respecto al fondo del canal, define una curva en perfil y una superficie en el espacio, que se denomina en el RPGV: perfil del flujo o curva superficial. En el caso del RPRV este perfil tiene nombre específico como lo es el caso del salto hidráulico. 7.1 Formulación matemática del RPGV. El RPGV se formula a través de la ecuación de energía o de la de momentum. A continuación se desarrollarán las dos formas clásicas en que se presenta la ecuación de energía. 7.1.1 Ecuación diferencial. La forma diferencial de la ecuación de energía plantea que:

+

−=

g2v

dyd1

SSdxdy

2eo --------------------------------------------- 7.1

que transformada convenientemente se convierte en:

2eo

NF1SS

dxdy

−

−= -------------------------------------------------- 7.2

Algunos problemas de la hidráulica de canales pueden enfrentarse suponiendo Se = 0, pero la solución verdadera de esta ecuación implica el conocimiento de que Se ≠ 0 y su desarrollo depende de las siguientes suposiciones básicas: 1º. Las pérdidas de energía se calculan suponiendo, que en

cada sección, ellas son iguales a las calculadas con la fórmula del régimen uniforme, entonces:

34

RvnS

22

e = ---------------------------------------------- 7.3

Los errores que acarrea el uso de esta fórmula son menores que los que se incurren en la estimación de n. Esta


suposición es más certera en el caso de flujos que se contraen ya que la formación de las pérdidas es primariamente el resultado de efectos friccionales, mientras que en flujos que se expanden considerables pérdidas se deben a remolinos.

2º. So debe ser pequeña para que y ≈ d. 3º. No puede haber entrada de aire al flujo. 4º. La distribución de velocidades debe ser fija y por tanto α

constante. El coeficiente de resistencia es independiente del nivel del agua y constante en todo el canal.

Otras formas de la ecuación diferencia se pueden obtener de la primera forma, así:

Si, 2

nno

32

RAQnS

= y

2

no

32

ARQnS

=

y si, DA

1g

QgDA

QNF ⋅==

pero para régimen crítico: cc DAg

Q= ,

entonces: DADA

NF cc= y la ecuación queda así,

2cc

2

nn

020

e

0

DADA

1

ARRA

1

SNF1SS

1S

dxdy 3

2

32

−

−

=−

−= ------------------------- 7.4a

Es común designar a AR2/3 como Y y a DA como Z, y la ecuación 7.4a toma la forma:


2c

2n

0

ZZ

1

YY1

Sdxdy

−

−= -------------------------------------------- 7.4b

En caso de trabajar con la ecuación de Chezy en lugar de la de Manning:

SCQYn = y 2

1ARY =

Otra forma de la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado es:

2

c

2

n0

QQ1

QQ1

Sdxdy

−

−

= ---------------------------------------------- 7.5

donde: Q gasto real que circula; Qn gasto calculado a partir de alguna de las fórmulas de

régimen uniforme, suponiendo que el tirante existente es el tirante normal;

Qc gasto calculado por la fórmula del régimen crítico suponiendo que el tirante existente es el crítico.

Finalmente en el caso de canales rectangulares y muy anchos, puede plantearse: a) cuando se emplea la ecuación de Manning

3c

n

0

yy

1

yy1

Sdxdy

310

−

−

= ---------------------------------------- 7.6

b) cuando se usa la ecuación de Chezy


3c

3n

0

yy

1

yy1

Sdxdy

−

−

= ----------------------------------------- 7.7

Si se resumen las formas más usadas para expresar la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado, se tiene: 1. Forma general

α+θ

−=

g2v

dddcos

SSdxdd

2e0

2. Considerando θ pequeño

α+

−=

g2v

dyd1

SSdxdy

2e0

3. Tomando α = 1

2e0

NF1SS

dxdy

−

−=

7.1.2 Ecuación Elemental De forma análoga se puede obtener una forma de la ecuación de energía que represente este régimen. Aplicando Bernouilli entre 1 y 2 ,figura 7.1 , queda,

21

2

2z

2

11 hfg2

vyzg2

vyz −+++=++

pero, xSzz 021 ∆⋅=−

xShf e21 ∆⋅=− y queda,


xSEExS e210 ∆⋅+=+∆⋅

e0

12

SSEEx

−−

=∆ -------------------------------------------------- 7.8

FIGURA 7.1 PERFIL DE UNA CONDUCCION ENTRE DOS SECCIONES 7.2 Características y clasificación del perfil del flujo del

RPGV. Antes de abordar el tema de las características de los diferentes perfiles de flujo que adopta la superficie del agua el RPGV, se dedicará un breve espacio a definir la nomenclatura que llevará cada perfil en específico, o sea, la nomenclatura para distinguir una curva superficial de otra. El nombre de cada curva superficial estará formado por una letra y un número. La letra definirá el tipo de pendiente del fondo del canal en que esta sucediendo el RPGV, de esta forma se establece: S para aquellas pendientes (suaves) que sean subcríticas

(S0<Sc). F para aquellas pendientes (fuertes) que sean supercríticas

(S0>Sc).


C para aquellas pendientes que sean iguales a la crítica (S0=Sc).

H para las pendientes de fondo horizontales. A para las pendientes de fondo adversas.

El número que acompañará a una de estas letras estará definido por la posición relativa de las profundidades del régimen variado respecto a las profundidades normal y crítica que tendría ese canal, para la base de datos que se analiza. Para definir un método sistemático de clasificación de los perfiles respecto al criterio antes expuesto, se tomará:

gDAQNF = por tanto 3

2

2

22

gATQ

gDAQNF ==

y para una sección cualquiera,

3/10

3/422

3/4

3/42

22

3/4

22

e APQn

PAA

QnR

vnS ===

entonces la ecuación diferencial queda,

3

2

22

o

gATQ1

APQnS

dxdy 3

10

34

−

−= -------------------------------------------- 7.9

Para un valor específico de Q tanto NF como Se son funciones de y. En ambos casos NF y Se tienen una fuerte dependencia inversa con el área, de esta forma, si y aumenta su valor, entonces NF y Se decrecen sus valores. Para resumir, estas desigualdades ejemplifican la dependencia. Partiendo de que si oen SS yy =⇒= y que

1NF yy c =⇒= , entonces, Si, oen SSyy ≥⇒≤ y si 1NFyy c ≥⇒≤


Estas desigualdades dividen la vertical del canal en tres zonas, que tienen como denominación 1, 2 y 3 y como fronteras, zona 1: Frontera superior: ninguna Frontera inferior: yn ó yc zona 2: Frontera superior: yn ó yc Frontera inferior: yc ó yn zona 3: Frontera superior: yn ó yc Frontera inferior: fondo de esta forma puede escribirse que, en: zona 1: y > yn y y > yc ; en: zona 2: yc < y < yn ó yn < y < yc; en: zona 3: y < yn y y < yc Para analizar la característica del perfil del flujo se utiliza la ecuación diferencial. En ella el término dy/dx representa la forma de la superficie del agua; paralela al fondo, inclinada aumentando respecto al fondo o inclinada decreciendo respecto al fondo. Si se retoma la deducción de esta ecuación, sección 2.7, y se analiza el significado del signo de dy/dx se tiene como resultado lo que aparece graficado en la figura 7.2.

FIGURA 7.2 SIGNIFICADO DEL SIGNO DE dy/dx Si dy/dx es cero, la superficie del agua es paralela al fondo y se está en presencia de un régimen uniforme.


Si dy/dx es negativo, a medida en que se avanza en el sentido positivo de las x se decrece en las y, o viceversa, por lo cual la superficie del agua adopta un perfil con una pendiente más fuerte que el fondo. Si dy/dx es positivo, a medida en que se avanza en el sentido positivo de las x se incrementa el valor de y, o viceversa, por lo cual la superficie del agua adopta un perfil con una pendiente más suave que el fondo. Entonces un análisis del signo dy/dx por zonas da los rasgos básicos del perfil del flujo. Entonces se puede resumir la nomenclatura de las curvas superficiales tal como aparece reflejado en la figura 7.3.

FIGURA 7.3 NOMENCLATURA Y UBICACIÓN ESPACIAL DE LAS CURVAS SUPERFICIALES. 7.2.1 Rasgos básicos de las curvas superficiales. Todas las curvas superficiales que ocurren en el RPGV presentan cinco rasgos fundamentales, a partir de los cuales puede ser previsto cualitativamente el comportamiento de la superficie del agua en una conducción libre. Para estudiar estos rasgos debe analizarse una cualquiera de las ecuaciones, que sea válida para todo tipo de canal, y ese análisis se basará en la ecuación 7.2, pues si bien las ecuaciones 7.6 y 7.7 son más sencillas en su forma, no son válidas para canales de


pendiente adversa u horizontal, en los cuales la profundidad normal no tiene un valor finito real. Para iniciar este estudio, obsérvese, con respecto al signo del denominador, que cuando la profundidad de circulación es inferior a la profundidad crítica, el régimen de circulación es supercrítico con un NF>1 y en caso contrario el régimen es subcrítico y por tanto NF<1, de modo que: si, y < yc ⇒ 1 – NF2 > 0; si, y = yc ⇒ 1 – NF2 = 0; si, y < yc ⇒ 1 – NF2 < 0. Con respecto al signo del numerador, debe tenerse en cuenta, que cuando la profundidad de circulación es una sección dada se encuentra por encima de la profundidad normal, la pendiente de rasante de energía es menor que la correspondiente al régimen uniforme que a su vez coincide con la pendiente del fondo, o sea: si, y > yn ⇒ So – Se > 0; si, y = yn ⇒ So – Se = 0; si, y < yn ⇒ So – Se < 0. En resumen: y > yc ⇔1 – NF2 > 0; y > yn ⇔So – Se > 0; y = yc ⇔1 – NF2 = 0; y = yn ⇔So – Se = 0; y < yc ⇔1 – NF2 < 0; y < yn ⇔So – Se < 0. Ahora pueden analizarse las condiciones que darán lugar a los cinco rasgos básicos de las curvas superficiales en el caso del RPGV. En zona 1: Se < So y NF< 1 por tanto dy/dx = + zona 2: Se < So y NF > 1 por tanto dy/dx = - Se < So y NF < 1 por tanto dy/dx = - zona 3: Se < So y NF < 1 por tanto dy/dx = + En zona 1: Si y → yn ⇒ Se → So, por tanto: dy/dx → 0


Si y → ∞ ⇒ Se → 0 y NF → 0, por tanto: dy/dx→ So

Si y → yc ⇒ NF → 1 por tanto: dy/dx → ∞. En zona 2: Si y → yn ⇒ Se → So, por tanto dy/dx→ 0 Si y → yc ⇒ NF → 1, por tanto dy/dx→ ∞ En zona 3: Si y → yn entonces: dy/dx → 0 Si y → yc entonces: dy/dx → ∞ Si y → 0 entonces: dy/dx → + El significado de cada valor del diferencial dy/dx, a partir del sentido positivo de los ejes declarados en la figura 2.32, es: dy/dx = + implica una superficie del agua creciente. dy/dx = - implica una superficie del agua decreciente. dy/dx → 0 implica que el régimen tiende a ser uniforme. dy/dx → S0 implica una asíntota a una línea paralela al fondo. dy/dx → ∞ implica una asíntota a una perpendicular al

fondo. Un resumen de los perfiles de flujo que pueden observarse en un canal aparece en la tabla 7.1. Mientras que en las figuras 7.4, 7.5 y 7.6 aparecen algunos ejemplos de donde pueden encontrarse las curvas superficiales. . FIGURA 7.4 CURVAS SUPERFICIALES EN ZONA 1 EN DOS CASOS ESPECIFICOS


FIGURA 7.5 EJEMPLOS DE CURVAS EN ZONA 2.

FIGURA 7.6 EJEMPLOS DE CURVAS EN ZONA 3. En la figura 7.7 aparece el perfil de un canal con una caída en el perfil del fondo, dos derivaciones y compuertas en los nodos de


regulación. Las compuertas al canal principal están semicerradas ( )3

cp2cp

1cp C,C,C para elevar el nivel del agua en la derivación,

mientras que las compuertas de los canales laterales están abiertas.

Zona Relación Pendiente 1 2 3 y – yn - yc

Tipo de curva

Tipo de flujo

S1 y > yn > yc remanso subcrítico S2 yc < y < yn caída subcrítico 0<So<Sc S3 y < yc < yn creciente supercrítico * F1 y > yc > yn remanso subcrítico * F2 Yc > y > yn caída supercrítico S0>Sc F3 y < yn < yc creciente supercrítico C1 y > yn = yn remanso subcrítico * C2 yn = yc = y RU crítico S0=Sc C3 y < yn = yc creciente supercrítico * H2 y > yc caída subcrítico S0=0 H3 y < yc creciente supercrítico * A2 y > yc caída subcrítico S0<0 A3 y < yc creciente supercrítico *

* Nótese la diferencia entre la pendiente y el régimen de circulación. TABLA 7.1 RESUMEN DE LOS PERFILES DE FLUJO.

FIGURA 7.7 UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LOS PERFILES DE FLUJO. Para realizar el análisis cualitativo del RPV hay que seguir un grupo de indicaciones que se verán a continuación: 7.3 Análisis del perfil del flujo.


Para estudiar el perfil del flujo, en cualquier caso que se presente, el primer paso a dar es definir las secciones de control que se presentan a lo largo del tramo. Originalmente se denomina sección de control a aquella donde se produce la profundidad crítica. Aquí se ampliará el concepto denominándose sección de control generalizada (SCG) o simplemente sección de control (SC) a todas las secciones donde se conozca la relación profundidad-caudal. Las SCG suelen encontrarse en secciones correspondientes a: • estrechamientos, cambios de pendiente o escalones donde se

produce el régimen crítico (caída libre, caída hidráulica.....) • obras hidrométricas • compuertas de control o regulación de caudal o nivel • obras hidráulicas (obras vertedoras, obras de pase, obras de

derivación.....) • extremos de un tramo de canal donde se produzca régimen

uniforme. Una sección de control regula el flujo ya que restringe la transmisión de cambios en las profundidades. En regímenes subcríticos la SCG regula las profundidades aguas arriba mientras que en régimen supercrítico la regulación se realiza aguas abajo.

FIGURA 7.8 UN EJEMPLO DE UNA SECCION DE CONTROL DUAL. Hay casos en que una misma sección de control regula en ambas direcciones, por ejemplo en el caso de una compuerta semiabierta, figura 7.8, hay control de los niveles aguas arriba a partir de la


carga que tiene la compuerta para que por su abertura inferior circule el gasto. Y hay control aguas abajo a partir de la abertura por la que circula el gasto. En realidad en este caso, son dos secciones ubicadas planimétricamente en la misma sección del canal. Las secciones de control dividen al canal en tramos de cálculo para el RPV. Todo tramo tendrá una sección de control para un mismo régimen, respecto a Froude, y si tiene dos, una en cada extremo, una debe dar una profundidad correspondiente al régimen subcrítico y la otra al supercrítico. Por su parte, cada curva superficial estará asociada a una y solo una sección de control. Mediante el análisis del comportamiento del perfil de flujo según las curvas superficiales, puede estudiarse el comportamiento de los niveles del agua en un canal dado, cuando por él circula un determinado caudal. Para una mejor comprensión se verán cuatro casos por separado: canal prismático de pendiente constante; canal prismático con un cambio de pendiente; canal prismático con varios cambios de pendiente y canal no prismático. 7.3.1 Canal prismático de pendiente constante. Este caso puede estudiarse directamente, determinando la profundidad normal y la crítica en el canal en cuestión para el gasto dado y conociendo alguna condición de borde, ya sea aguas arriba o aguas abajo de este, para determinar cualitativamente la forma de la curva superficial que se originará la base del análisis de los cinco rasgos fundamentales. 7.3.2 Canal prismático con cambio de pendiente.


FIGURA 7.9a PRIMEROS CASOS DE CURVAS SUPERFICIALES EN CAMBIO DE PENDIENTE. Se trata ahora de un canal prismático en el cual la pendiente del fondo cambia en un punto intermedio del trazado, se hace más fuerte o más suave. En la figura 7.9 aparecen los diferentes casos posibles.


Es importante tener en cuenta que cuando la profundidad de circulación se aproxima a la crítica, la forma de la curva no se puede determinar con precisión, pues el régimen pasa a ser rápidamente variado y las hipótesis del RPGV pierden, hasta cierto punto, su validez y teóricamente, cuando el tirante alcanza ese valor, la curva superficial tiene una tangente perpendicular a la línea de yc en el punto en cuestión. Debe prestarse especial atención a los casos en que aún habiendo cambio de pendiente esta no cambia su tipo, sino que sencillamente pasa a ser más o menor subcrítica o más o menos supercrítica.

FIGURA 7.9b OTROS CASOS DE CURVAS SUPERFICIALES EN CAMBIO DE PENDIENTE 7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente.


En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo. Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras

hidráulicas. Secciones ubicadas en la entrega a otro canal o a un embalse

donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas: Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de


otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles

hipótesis que puedan presentarse en el canal analizado. La tesis final, del grupo de hipótesis establecidas, se obtiene

mediante el cálculo del perfil real del flujo, para la base de datos definida específicamente para el caso.

FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE. Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica.


Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde

los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida.

Identificar y trazar a partir de las SCa, las curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible.

Identificar las secciones de control condicionadas (SCc) y a partir de ellas establecer el trazado de las nuevas curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible.

Analizar los tramos en que existen varias alternativas, o sea, aquellos casos en que hay dualidad, que son casos en que pueden ocurrir saltos hidráulicos. La dualidad se presenta en el tramo donde hay una sección de control que indica hipótesis en zonas subcríticas y otra sección de control que indica, para el mismo tramo, hipótesis en zonas supercríticas.

En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: a. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente

supercrítica y por tanto y = yc. b. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es

tal que asegura bajo dicha compuerta la circulación del caudal Q de diseño, esta profundidad puede calcularse a partir de la ecuación de gasto bajo una compuerta:

hg2ACQ Q ∆= donde, CQ es el coeficiente de gasto, A es el área de la abertura inferior, ∆h es la diferencia en cotas del nivel del agua aguas

arriba y aguas debajo de la compuerta.


c. A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”).

d. En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre.

Una vez fijadas las secciones de control se pueden determinar las curvas superficiales que ocurren, figura 7.11: 1º. Aguas arriba de la sección A, se desarrolla una H2;

FIGURA 7.11 HIPOTESIS DEL EJEMPLO. 2º. Aguas abajo la sección A, tiene lugar una F2, que

iniciándose en la yc se desarrolla en forma decreciente y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva define la profundidad de una sección de control condicionada;

3º. Al definirse la profundidad en B, por la curva F2 y surgir una sección de control condicionada, esta define una nueva curva superficial en el tramo B-compuerta. Esta curva S3, nace en la sección B y se desarrolla hasta alcanzar la profundidad crítica (su límite superior).

4º. Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas


arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1.

5º. Al llegar la S1 a la sección B, con un valor igual, o superior a la yn, se crea una nueva sección de control condicionada (esta vez por la S1), lo que implica que su continuidad hacia aguas arriba se produce a través de una F1 que terminará al encontrar la yC de ese tramo, creando una zona de dualidad entre la F2 y la F1 que tendrá su solución si ocurre un salto hidráulico entre secciones de esas dos curvas. Debe destacarse que ocurrirá el posible salto o entre la F2 y la F1 o entre la S3 y la S1, de esta manera se podrá tener una de estas tres alternativas: F2 SH F1 S1 F2 SH S1 F2 S3 SH S1

6º. Aguas abajo de la compuerta, a partir de la vena contraida de la salida, aparece una S3, que, comenzando con un valor menor a la abertura de compuerta, se desarrolla en dirección aguas abajo aproximándose a la profundidad crítica, asintóticamente a una perpendicular a una línea imaginaria que siendo paralela al fondo dista de él el valor de yC.

7º. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen


supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 A3

8º. Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH S1 A2 SH S2 A2 S3 SH S1 A2 S3 SH S2 A2 S3 SH A2 S3 A3 SH A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del


tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.4 Canal prismático en cambio de régimen. En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa. Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos.

Pero, si el régimen cambia de supercrítico a subcrítico entonces el cambio es mediante un salto hidráulico y el proceso de búsqueda de las secciones afectadas se realizará utilizando la ecuación de momentum. En el capítulo 3 se analizó esta situación poniendo como premisa que tanto el régimen subcrítico como supercrítico fuesen uniformes, aquí se analizará la ocurrencia de este fenómeno local en el caso en que tanto el régimen subcrítico como el supercrítico estén definidos por curvas superficiales, como los casos del ejemplo anterior. Las etapas de análisis del fenómeno pasan, primero por la ubicación de la zona donde puede producirse el salto y después por su ubicación específica. Pueden enunciarse estas etapas así: 1º. Estudio y perfeccionamiento de las hipótesis del perfil del

agua a partir de las secciones de control establecidas para el régimen subcrítico y supercrítico.

2º. Establecimiento de las zonas de dualidad. Se refiere a los tramos del canal en que pudiera haber régimen subcrítico y supercrítico.


3º. Cálculo de las conjugadas y la longitud del salto que corresponde a uno de los regímenes en las zonas de dualidad.

4º. Ubicación definitiva del salto hidráulico. Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio. Caso de estudio. Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.

FIGURA 7.12 PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO. Si la profundidad crítica (yC) está definida para el gasto de circulación y el segundo tramo entrega a un depósito u otro canal que tiene un nivel de agua definido por CE, entonces pueden ubicarse dos secciones de control: una a la entrada del canal de pendiente supercrítica y otra a la salida (en la entrega) del canal con pendiente subcrítica. Esta última sección de control puede tener cinco alternativas: 1º. Que CE coincida con la cota del agua del régimen

crítico (CE = Cc) 2º. Que CE esté por debajo de la cota del agua del régimen

crítico (CE < Cc) 3º. Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen

crítico pero por debajo de la del régimen uniforme (CE > Cc ; CE < CN)


4º. Que CE coincida con la cota del agua del régimen uniforme (CE = CN)

5º. Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen uniforme (CE > CN).

En las tres primeras alternativas se produce una curva de caída S2 que tiende hacia la profundidad normal, figura 7.12b.

FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos


últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.

FIGURA 7.12c ALTERNATIVAS DE LAS CURVAS SUPERFICIALES A PARTIR DE LA SECCION DE CONTROL AUTONOMA DEL FINAL DEL CANAL. Concluido este análisis se tienen las hipótesis de los perfiles del flujo a partir de la variabilidad de CE y las zonas de dualidad supercrítica-subcrítica, o sea, las zonas en que el perfil del agua es supercrítico a partir del análisis desde una sección de control y subcrítico a partir de analizar desde la otra sección de control.


FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS. En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo. Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO. Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control


subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección ( )i

3Sy entonces a cada una de estas profundidades supercríticas le corresponderán una profundidad conjugada ( )i

CONJUGADA,3Sy y si entre dos de esas profundidades ocurriera un salto hidráulico este tendría una longitud definida ( )i

SHL . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.

FIGURA 7.13b ANALISIS DE LA UBICACIÓN


FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL 7.3.5 Canal no prismático.

FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14.


El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico, se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de

conservación de la energía y sus alternativas correspondientes Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la

ecuación de conservación del momentum. En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle. 7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos. El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten.


7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales. Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las

profundidades reales de circulación, previamente establecidas a partir de una sección de control, figura. 7.15.

Calcular las profundidades reales de circulación en secciones previamente fijadas a lo largo del canal, a partir de la sección de control, figura. 7.16.

FIGURA 7.15 ESQUEMA DE CALCULO DE LA POSICIÓN DE CADA SECCION A PARTIR DE TENER DEFINIDAS LAS PROFUNDIDADES QUE SE DESEAN UBICAR.


FIGURA 7.16 ESQUEMA DE CALCULO PARA DEFINIR LA PROFUNDIDAD EN UNA POSICION DADA. Calcular la profundidad real de circulación en la sección

inicial o final de la curva, a partir de la profundidad real del perfil del flujo en una sección intermedia de la curva, figura. 7.17.

La solución de uno u otro caso se realiza empleando, dentro de cada método, el procedimiento que más se adecue al objetivo. Cada metodología en particular podrá aplicarse solo a canales prismáticos y no a canales prismáticos y no prismáticos indistintamente, de acuerdo con la organización de la secuencia de cálculo; de esta forma, se tiene que:

FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL


1º. Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15.

2º. Si, por el contrario, el cálculo se realiza después de haber fijado en qué secciones del canal se quiere conocer la profundidad real de circulación, el objetivo de cálculo será determinar la profundidad real en estas secciones. Esta secuencia parte del conocimiento previo de la forma geométrica de cada sección transversal, por lo cual las metodologías que se basen en este principio podrán utilizarse indistintamente en canales prismáticos y no prismáticos, figuras 7.15 y 7.17.

Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: a) determinar la x para una y dada. b) determinar la y para una x dada. Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere.


El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.1 Ecuación elemental. A. Charnomskif, 1914. Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato.

2o

12

SSEE

X−−

=∆ ---------------------------------------------------------

7.10 B. French, 1986.

34

R

nSSSdXdE 22

oeo∇

−=−= ------------------------------------------

7.11 y en diferencias finitas,

3/4

22

o

2

RvnS

Xg2

vy

XE

−=∆

+∆

=∆∆ ------------------------------------

7.12 todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea,


medio 3/4

22

o

2

RvnS

g2vy

X

−

+∆

=∆ --------------------------------------------- 7.13

como [ ]g2/vE 2+∆∆ yy son valores pequeños, se utiliza la ecuación / g2vyE 2+= en diferencias finitas según

( )m2NF1yE −∆=∆ entonces: ( )

medio

22

o

2

34

RnS

NF1yE

∇−

−∆=∆ ---------

7.14 En ambos casos al aproximarse oe SS → la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa. Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude,

3

22

gATQNF α

= , además se puede definir que,

α=

TAgQ

3

que para NF= 1 puede escribirse como α

=gZQ c

donde Zc es el factor de sección para régimen crítico.


De esta forma puede escribirse α

=/g

QT

AZ3

c , para NF = 1 ó

T/AZ 3= , para cualquier valor de y,

entonces 2

2c2

ZZ

NF = ----------------------------------------------- 7.15

También puede representarse So y Se así:

2

2

e2n

2

o KQS ;

KQS ==

donde 2

13

2

SQRA

n1K nnn == , evaluada para yn,

32

ARn1K = , evaluada para cualquier y, entonces la

ecuación diferencial puede ser escrita así:

−

−

= 2c

2n

o

ZZ1

KK1

Sdxdy ----------------------------------------------- 7.16

esta ecuación pude ser resuelta por integración directa siempre que

ZZ y K

K cn se pongan en función de y. Para canales prismáticos,

gQDAZ == , entonces: M2 CyZ =

siendo C un coeficiente y M el exponente hidráulico para régimen crítico, entonces para calcular M se tiene que,

ylnMCZln2 +=

( )y2

MZlndyd

=

por otra parte como, T

AZ3

=


( )dydT

2T1 -

AT

23Zln

dyd

=

combinando ambas ecuaciones y despejando M

−=

dydT

TAT3

AyM ------------------------------------------------- 7.17

para una geometría dada, M puede calcularse para cada y. Así por ejemplo para la rectangular,

( ) 30bbyb3

byy M =

−= (constante)

( ) ( ) 5my

mymy6m2my2

mymy23my

y M2

2 =−

=

−= (constante)

En análisis similar se puede asumir que n

ARS

QK3

2

== , entonces

K2 = C1yN, donde C1 es una constante y N el exponente hidráulico para régimen uniforme. De forma semejante se llega empleando Manning a que,

−=

dydPR2T5

A3y2N ------------------------------------------------ 7.18

y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y

triangulares, 3

10 N = , mientras que 3

16 N = .

En el resto N y M son funciones de y, tabla 7.2

Secc M N (según Manning)

Rect. 3

+

−

by21

by

38

310


Trap.

+

+

+

−

+

bym1

bym21

bym1

bym2

bym213

2

+

+

+

−

+

+

2

2

m1by213

m21by8

bym13

bym2110

Triang. 5 3

16

TABLA 7.2 . VALORES DE N Y M.

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación diferencial se tiene que,

−

−

= Mc

Nn

o

yy1

yy1

Sdxdy , si se hace u = y/yn queda,

duu1

uy

yu1

11Sy

dx N

MNM

Nc

No

n

−

+

−−=

−

------------------------ 7.19

Si se asume que se dividirá el canal en tramos pequeños y que N y M son constantes en estos tramos entonces la ecuación puede integrarse y queda,

Cduu1

uyy

u1duu

Sy

Xu

o

u

o N

MNM

n

cN

o

n +

−

+

−−= ∫ ∫

−

------------------ 7.20

donde la ( )∫ =−

u

o N N,uFu1

du ----------------------------------------- 7.21

es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, v = un/J donde J = N/(N-M+1) y entonces,

( )∫ ∫ =−

=−

−u

o

v

oJN

MN

J,vFNJ

v1dv

NJdu

u1u ------------------------------ 7.22


con estas definiciones se obtiene

( ) ( ) CJ,vFyy

NJN,uFu

Sy

XM

n

c

o

n +

++−= ------------------------7.23

La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] J,vFJ,vFN,uFN,uFuuXXL 12121212 −Β+−−−Α=−=

donde NJ

yy y

Sy M

nc

o

n ⋅

=Β=Α y N ,J ,M son valores medios

en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986). Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, 1. u < 1, ecuación 7.25:

( )( )∫ +

+−++

++

++=

−+−++

U

0

1N1P1N21NN u

1N1P1...u

1N21u

1N1u

u1du R

donde R es el resto e igual a,

−+<

+

N

1PN

u11

1PNu Resto

Si u < 0,7 la serie converge rápidamente Si u = 1 la serie diverge

mientras menor u la serie converge más rápido. 2. u > 1, ecuación 7.26:

( ) ( ) ( )Resto

u1PN1...

u1N21

u1N1

u1du

1PN1N2

U

0 1NN +−

++−

+−

=− −−−∫

donde, Resto ( ) 1N

N

1PN uu

1PN1

−−+<

Si u >1,5 la serie converge rápidamente Si u = 1 la serie diverge

mientras menor u la serie converge más rápido.


Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso,

φ

−−=

3

n

cn

o yy

1yyS1x --------------------------------------- 7.27

donde,

( )C

1u23tg

31

1u1uu log

61

u1du 1-

2

2

3 +

+−

−

++=

−=φ ∫ -------- 7.28

que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante de integración. Para objetivos computacionales es conveniente expresar,

gSC

yy o

23

n

c =

------------------------------------------------------- 7.29

La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. • Caso de la sección circular. En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces,

ooo SKQ = para régimen uniforme en ese conducto con gasto Q

on SKQ = entonces,


2o

2

o

2o

2

o

n2

n

KK

QQ

KK

KK

KK

=

=

como,

dyf

QQ

KK

dyf

KK

o1

2

o

2

o

o

=

⇒

= , donde:

KK

dyf 0

01 =

de igual forma,

α=

α=

α=

o25

o

2

3

2o

o5o

2

3

22c

dyf

dQ

dAg

dT

dQ

gATQ

ZZ

sustituyendo en la ecuación diferencial queda,

−

α−

=o

o1

2

o

o25

o

2

o

o

dyd

dyfQ

Q1

dyf

dQ1

Sd

dx -------------------------- 7.30

donde,

=

3

20oo

2 dAg

dT

dyf --------------------------------------- 7.31

e integrando queda la ecuación 7.32:

C

dyfQ

Q1

dydd

yf

dQ

dyfQ

Q1

dyd

Sd

x00 d/y

oo

1

2

o

oo2

5o

2d/y

oo

1

2

o

o

o

o +

−

α

−

−

= ∫∫las integrales pueden evaluarse con métodos numéricos y

o2

o1 d

yf , dyf evaluarse numéricamente. C desaparece al

evaluar ∆x.

( ) ( ) ( )[ ]121212 BAXXX Γ−Γ−χ−χ=−=∆ ------------------------ 7.33 donde,

o

o

Sd

A = ; 5o

2

dQ

Bα

= ;


∫

−

−=χod

y

oo

1

2

o

o

dyfQ

Q1

dyd

y ∫

−

−=Γod

y

oo

1

2

o

oo2

dyfQ

Q1

dydd

yf

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.3 Solución de Valle Cuéllar (1994). Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.

π−

=

−

−= 3

i

2

3/1

2i

5i

o2eo

gAQ1

PA

nQSNF1

SSdxdy ----------------- 7.39

( )6

KKK2Ky 4321 +++

=∆

donde:

yi1 dx

dyxK ∆= ( )2/Ky

21i

dxdyxK

+

∆= ( )2/Ky

32i

dxdyxK

+

∆=

( )3i Ky4 dx

dyxK+

∆= yyy i1i ∆+=+

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.5 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos. Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua.


Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la

representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra combinación. FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.5.1 Estimación de parámetros. Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo:


Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18.

Las secciones de un tramo de canal con bermas asimétricas, figura 7.19.

Las secciones de un tramo de un río, figura 7.20.

FIGURA 7.19 BERMAS ASIMETRICAS, CON O SIN RUGOSIDADES DIFERENTES.

FIGURA 7.20 SECCION DE UN RIO En los dos últimos casos lo aconsejable es dividir la sección en subsecciones de acuerdo a otros criterios: que cada subsección tenga la misma n, que cada subsección tenga una geometría fácil de calcular.


El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n 7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente. En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo. Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras


donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas:


Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles




FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE. Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde

los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida.





En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: c. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente

supercrítica y por tanto y = yc. d. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es



arriba y aguas debajo de la compuerta. e. A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la

abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”).

f. En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre.






12º. Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1.




15º. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 A3

16º. Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del


tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH S1 A2 SH S2 A2 S3 SH S1 A2 S3 SH S2 A2 S3 SH A2 S3 A3 SH A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.5 Canal prismático en cambio de régimen. En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa.


Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos.





8º. Ubicación definitiva del salto hidráulico. Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio. Caso de estudio.


Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.









FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad


normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.


FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS. En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo.


Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO. Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección ( )i



SHL . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección


final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.


FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL 7.3.5 Canal no prismático. En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14. El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico,


se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de

conservación de la energía y sus alternativas correspondientes

Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la

ecuación de conservación del momentum. FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle.


7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos. El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten. 7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales. Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las




FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL 3º. Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las

profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15.


Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: c) determinar la x para una y dada. d) determinar la y para una x dada.


Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere. El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.2 Ecuación elemental. C. Charnomskif, 1914. Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato.

2o

12

SSEE

X−−

=∆ ---------------------------------------------------------

7.10 D. French, 1986.


34

RnSSS

dXdE 22

oeo∇

−=−= ------------------------------------------

7.11 y en diferencias finitas,

3/4

22

o

2

RvnS

Xg2

vy

XE

−=∆

+∆

=∆∆ ------------------------------------

7.12 todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea,

medio 3/4

22

o

2

RvnS

g2vy

X

−

+∆

=∆ -----------------------------------------------

7.13 como [ ]g2/vE 2+∆∆ yy son valores pequeños, se utiliza la ecuación / g2vyE 2+= en diferencias finitas según


medio

22

o

2

34

RnS

NF1yE

∇−

−∆=∆ ---------

7.14 En ambos casos al aproximarse oe SS → la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En


ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa. Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude,

3

22

gATQNF α


α=

TAgQ

3


=gZQ c



=/g

QT

AZ3

c , para NF = 1 ó


entonces 2

2c2

ZZ

NF = -------------------------------------------------

7.15 También puede representarse So y Se así:

2

2

e2n

2

o KQS ;

KQS ==

donde 2

13

2

SQRA


32



−

−

= 2c

2n

o

ZZ1

KK1

Sdxdy -------------------------------------------------

7.16



ZZ y K




ylnMCZln2 +=

( )y2

MZlndyd

=


AZ3

=

( )dydT

2T1 -

AT

23Zln

dyd

=


−=

dydT

TAT3

AyM ------------------------------------------------- 7.17


( ) 30bbyb3

byy M =

−= (constante)

( ) ( ) 5my

mymy6m2my2

mymy23my

y M2

2 =−

=

−= (constante)


ARS

QK3

2

== , entonces



−=

dydPR2T5

A3y2N -------------------------------------------------

7.18 y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y

triangulares, 3


16 N = .



Rect. 3

+

−

by21

by

38

310

Trap.

+

+

+

−

+

bym1

bym21

bym1

bym2

bym213

2

+

+

+

−

+

+

2

2

m1by213

m21by8

bym13

bym2110

Triang. 5 3

16



−

−

= Mc

Nn

o

yy1

yy1


duu1

uy

yu1

11Sy

dx N

MNM

Nc

No

n

−

+

−−=

−

-------------------------

7.19



Cduu1

uyy

u1duu

Sy

Xu

o

u

o N

MNM

n

cN

o

n +

−

+

−−= ∫ ∫

−

------------------

7.20


u

o N N,uFu1

du ------------------------------------------

7.21 es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, v = un/J donde J = N/(N-M+1) y entonces,

( )∫ ∫ =−

=−

−u

o

v

oJN

MN

J,vFNJ

v1dv

NJdu

u1u -------------------------------

7.22 con estas definiciones se obtiene

( ) ( ) CJ,vFyy

NJN,uFu

Sy

XM

n

c

o

n +

++−= -------------------------

7.23 La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24,


donde NJ

yy y

Sy M

nc

o

n ⋅


en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986).


Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, 2. u < 1, ecuación 7.25:

( )( )∫ +

+−++

++

++=

−+−++

U

0

1N1P1N21NN u

1N1P1...u

1N21u

1N1u

u1du R


−+<

+

N

1PN

u11

1PNu Resto


mientras menor u la serie converge más rápido. 3. u > 1, ecuación 7.26:

( ) ( ) ( )Resto

u1PN1...

u1N21

u1N1

u1du

1PN1N2

U

0 1NN +−

++−

+−

=− −−−∫

donde, Resto ( ) 1N

N

1PN uu

1PN1

−−+<


mientras menor u la serie converge más rápido. Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso,

φ

−−=

3

n

cn

o yy

1yyS1x ----------------------------------------

7.27 donde,

( )C

1u23tg

31

1u1uu log

61

u1du 1-

2

2

3 +

+−

−

++=

−=φ ∫ -------- 7.28

que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante de integración.


Para objetivos computacionales es conveniente expresar,

gSC

yy o

23

n

c =

---------------------------------------------------------

7.29 La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. • Caso de la sección circular. En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces,


on SKQ = entonces,

2o

2

o

2o

2

o

n2

n

KK

QQ

KK

KK

KK

=

=

como,

dyf

QQ

KK

dyf

KK

o1

2

o

2

o

o

=

⇒

= , donde:

KK

dyf 0

01 =

de igual forma,

α=

α=

α=

o25

o

2

3

2o

o5o

2

3

22c

dyf

dQ

dAg

dT

dQ

gATQ

ZZ



−

α−

=o

o1

2

o

o25

o

2

o

o

dyd

dyfQ

Q1

dyf

dQ1

Sd

dx -------------------------- 7.30

donde,

=

3

20oo

2 dAg

dT

dyf ---------------------------------------

7.31 e integrando queda la ecuación 7.32:

C

dyfQ

Q1

dydd

yf

dQ

dyfQ

Q1

dyd

Sd

x00 d/y

oo

1

2

o

oo2

5o

2d/y

oo

1

2

o

o

o

o +

−

α

−

−


o2

o1 d


evaluar ∆x.

( ) ( ) ( )[ ]121212 BAXXX Γ−Γ−χ−χ=−=∆ ------------------------ 7.33 donde,

o

o

Sd

A = ; 5o

2

dQ

Bα

= ;

∫

−

−=χod

y

oo

1

2

o

o

dyfQ

Q1

dyd

y ∫

−

−=Γod

y

oo

1

2

o

oo2

dyfQ

Q1

dydd

yf

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.4 Solución de Valle Cuéllar (1994).


Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.

π−

=

−

−= 3

i

2

3/1

2i

5i

o2eo

gAQ1

PA

nQSNF1

SSdxdy -----------------

7.39 ( )

6KKK2K

y 4321 +++=∆

donde:

yi1 dx

dyxK ∆= ( )2/Ky

21i

dxdyxK

+

∆= ( )2/Ky

32i

dxdyxK

+

∆=

( )3i Ky4 dx

dyxK+

∆= yyy i1i ∆+=+

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.6 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos. Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua. Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del


agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra

combinación. FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.6.1 Estimación de parámetros. Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo: Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de

una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18.






El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n 7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente. En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales


correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo. Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras


donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas: Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la


sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles



FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE. Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde

los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o


calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida.




En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: e. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente

supercrítica y por tanto y = yc. f. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es



arriba y aguas debajo de la compuerta. g. A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la

abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”).

h. En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre.






20º. Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser


supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1.



23º. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 A3


24º. Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH S1 A2 SH S2 A2 S3 SH S1 A2 S3 SH S2 A2 S3 SH A2 S3 A3 SH A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.6 Canal prismático en cambio de régimen.


En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa. Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos.





12º. Ubicación definitiva del salto hidráulico. Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio.


Caso de estudio. Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.









FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad


normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.


FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS. En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo.


Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO. Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección ( )i



SHL . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección


final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.


FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL 7.3.5 Canal no prismático. En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14. El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico,


se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de

conservación de la energía y sus alternativas correspondientes

Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la

ecuación de conservación del momentum. FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle.


7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos. El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten. 7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales. Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las




FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL 5º. Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las

profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15.


Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: e) determinar la x para una y dada. f) determinar la y para una x dada.


Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere. El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.3 Ecuación elemental. E. Charnomskif, 1914. Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato.

2o

12

SSEE

X−−

=∆ ---------------------------------------------------------

7.10 F. French, 1986.


34

RnSSS

dXdE 22

oeo∇

−=−= ----------------------------------------- 7.11

y en diferencias finitas,

3/4

22

o

2

RvnS

Xg2

vy

XE

−=∆

+∆

=∆∆ ----------------------------------- 7.12

todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea,

medio 3/4

22

o

2

RvnS

g2vy

X

−

+∆

=∆ --------------------------------------------- 7.13

como [ ]g2/vE 2+∆∆ yy son valores pequeños, se utiliza la ecuación / g2vyE 2+= en diferencias finitas según


medio

22

o

2

34

RnS

NF1yE

∇−

−∆=∆ ---------

7.14 En ambos casos al aproximarse oe SS → la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa.


Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude,

3

22

gATQNF α


α=

TAgQ

3


=gZQ c



=/g

QT

AZ3

c , para NF = 1 ó


entonces 2

2c2

ZZ

NF = ------------------------------------------------ 7.15

También puede representarse So y Se así:

2

2

e2n

2

o KQS ;

KQS ==

donde 2

13

2

SQRA


32



−

−

= 2c

2n

o

ZZ1

KK1

Sdxdy ----------------------------------------------- 7.16


ZZ y K





ylnMCZln2 +=

( )y2

MZlndyd

=


AZ3

=

( )dydT

2T1 -

AT

23Zln

dyd

=


−=

dydT

TAT3

AyM ------------------------------------------------- 7.17


( ) 30bbyb3

byy M =

−= (constante)

( ) ( ) 5my

mymy6m2my2

mymy23my

y M2

2 =−

=

−= (constante)


ARS

QK3

2

== , entonces


−=

dydPR2T5

A3y2N ------------------------------------------------ 7.18

y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y

triangulares, 3


16 N = .




Rect. 3

+

−

by21

by

38

310

Trap.

+

+

+

−

+

bym1

bym21

bym1

bym2

bym213

2

+

+

+

−

+

+

2

2

m1by213

m21by8

bym13

bym2110

Triang. 5 3

16



−

−

= Mc

Nn

o

yy1

yy1


duu1

uy

yu1

11Sy

dx N

MNM

Nc

No

n

−

+

−−=

−

---------------------- 7.19


Cduu1

uyy

u1duu

Sy

Xu

o

u

o N

MNM

n

cN

o

n +

−

+

−−= ∫ ∫

−

------------------ 7.20



u

o N N,uFu1

du ----------------------------------------- 7.21

es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, v = un/J donde J = N/(N-M+1) y entonces,

( )∫ ∫ =−

=−

−u

o

v

oJN

MN

J,vFNJ

v1dv

NJdu

u1u ------------------------------ 7.22

con estas definiciones se obtiene

( ) ( ) CJ,vFyy

NJN,uFu

Sy

XM

n

c

o

n +

++−= ------------------------7.23

La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24,


donde NJ

yy y

Sy M

nc

o

n ⋅


en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986). Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, 3. u < 1, ecuación 7.25:

( )( )∫ +

+−++

++

++=

−+−++

U

0

1N1P1N21NN u

1N1P1...u

1N21u

1N1u

u1du R


−+<

+

N

1PN

u11

1PNu Resto


mientras menor u la serie converge más rápido.


4. u > 1, ecuación 7.26:

( ) ( ) ( )Resto

u1PN1...

u1N21

u1N1

u1du

1PN1N2

U

0 1NN +−

++−

+−

=− −−−∫

donde, Resto ( ) 1N

N

1PN uu

1PN1

−−+<


mientras menor u la serie converge más rápido. Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso,

φ

−−=

3

n

cn

o yy

1yyS1x --------------------------------------- 7.27

donde,

( )C

1u23tg

31

1u1uu log

61

u1du 1-

2

2

3 +

+−

−

++=

−=φ ∫ ------- 7.28

que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante de integración. Para objetivos computacionales es conveniente expresar,

gSC

yy o

23

n

c =

------------------------------------------------------- 7.29

La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. • Caso de la sección circular. En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre


gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces,


on SKQ = entonces,

2o

2

o

2o

2

o

n2

n

KK

QQ

KK

KK

KK

=

=

como,

dyf

QQ

KK

dyf

KK

o1

2

o

2

o

o

=

⇒

= , donde:

KK

dyf 0

01 =

de igual forma,

α=

α=

α=

o25

o

2

3

2o

o5o

2

3

22c

dyf

dQ

dAg

dT

dQ

gATQ

ZZ


−

α−

=o

o1

2

o

o25

o

2

o

o

dyd

dyfQ

Q1

dyf

dQ1

Sd

dx -------------------------- 7.30

donde,

=

3

20oo

2 dAg

dT

dyf --------------------------------------- 7.31

e integrando queda la ecuación 7.32:


C

dyfQ

Q1

dydd

yf

dQ

dyfQ

Q1

dyd

Sd

x00 d/y

oo

1

2

o

oo2

5o

2d/y

oo

1

2

o

o

o

o +

−

α

−

−


o2

o1 d


evaluar ∆x.

( ) ( ) ( )[ ]121212 BAXXX Γ−Γ−χ−χ=−=∆ ------------------------ 7.33 donde,

o

o

Sd

A = ; 5o

2

dQ

Bα

= ;

∫

−

−=χod

y

oo

1

2

o

o

dyfQ

Q1

dyd

y ∫

−

−=Γod

y

oo

1

2

o

oo2

dyfQ

Q1

dydd

yf

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.5 Solución de Valle Cuéllar (1994). Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.

π−

=

−

−= 3

i

2

3/1

2i

5i

o2eo

gAQ1

PA

nQSNF1

SSdxdy ----------------- 7.39

( )6

KKK2Ky 4321 +++

=∆

donde:


yi1 dx

dyxK ∆= ( )2/Ky

21i

dxdyxK

+

∆= ( )2/Ky

32i

dxdyxK

+

∆=

( )3i Ky4 dx

dyxK+

∆= yyy i1i ∆+=+

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.7 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos. Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua. Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra combinación.


FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES

Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.7.1 Estimación de parámetros. Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo: Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de

una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18.






El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n que se obtiene empleando la ecuación 4.67. En caso contrario el cauce debe ser subdividido también. Una vez realizadas las subdivisiones los módulos de gasto de cada una de ellas dan los valores de cada margen y del cauce.


∑=

=m

1Limi AA , área mojada de la margen izquierda

∑=

=P

1Limd AA , área mojada de la margen derecha

∑=

=g

1LiCP AA , área mojada del cauce

∑=

=m

1LiKK , módulo de gasto de la margen izquierda

∑=

=P

1Limd KK , módulo de gasto de la margen derecha

∑=

=q

1Li4c KK , módulo de gasto del cauce principal o cauce.

La aplicación de la ecuación de Bernoulli se presenta de la siguiente forma:

ce21

22

222

21

111 hhfg2

Vyz

g2V

yz ++α++=α++ − ------------------ 7.40

donde hce son las pérdidas por remolinos y corrientes secundarias por contracciones o expansiones de la sección: vcee hKh ∆⋅= ----------------------------------------------------- 7.41 Para información hay sobre el valor de Kce. El HEC-RAS (1998), aconseja tomar los valores siguiendo la tabla 7.3 En la siguiente tabla la decisión de si la sección entre una contracción o una expansión estarán en dependencia del cambio de la energía cinética. Si aguas abajo la energía cinética es mayor que aguas arriba hay contracción.

Valores de Kce régimen Cambio de la Sección Contracción Expansión Gradual 0,1 0,3

subcrítico Brusca 0,3 0,5


Puentes 0,6 0,8 Gradual 0,1 0,1 crítico Brusca 0,1 0,2

TABLA 7.3 VALORES DE KCE RECOMENDADOS POR HEC-RAS. Si hf1-2 es la pérdida por fricción e igual a xSe ∆⋅ entonces la ecuación 7.40 se convierte en

vcee21 hKxSHH ∆+∆+= ----------------------------------------- 7.42 la ecuación debe solucionarse por tanteo-error para las dos secciones determinadas. La recomendación más común de la literatura especializada es tantear hasta una diferencia entre ambos términos de 0,02 a 0,1%, o sea: 0,001H 0,0002H hhfHH 11ce2121 a de ±++= − Parece más lógico para la práctica de la ingeniería confrontar el resultado en función del ∆x impuesto, así quedaría,

ce2121 hHHhf −−=− , y entonces, ( )e

ce21

ShHH

x−−

=∆ --------- 7.43

y el cálculo se realiza hasta que el ∆x de cálculo esté en el intervalo de exactitud lineal deseado: ∆ximpuesto ± (%error*∆ximpuesto), o sea ( )impuestoimpuestocálculo xe%xx ∆⋅±∆=∆ --------------------- 7.44 Para realizar el tanteo, French recomienda una rutina para estimar el siguiente valor de y2 que es en definitiva el término a tantear. Así, propone:

( ) 12 HhehfHe −++= y lograr que e → 0. Despreciando la influencia de he, quedará 12 HhfHe −+= , derivando respecto a la única variable (y2)

∆−

∆+α++=

2xS

2xS

g2v

yzdy

ddyde 2e1e2

22222

, y entonces:


( )

∆−

α+=

2xS

dyd

g2v

dydy

dyd

dyde 2e

2

2

22

222

, que derivando

queda:

∆⋅+−

=∆

∆+−=

2

2e22

2

2

2e22

2

K2xS3

NF1

ey

R2

xS3NF1

dyde entoncesy ,

donde: e es el error en tanto por uno del primer tanteo. ∆y2 es la cantidad a la que hay que ajustar y2 para el e ≈ 0. En la mayoría de los canales naturales la posibilidad de una sección compuesta es grande y debe ser considerada. En esta situación las profundidades en las bermas difieren de la del canal principal y el coeficiente de resistencia es significativamente diferente. El método anterior puede aplicarse en estos casos haciendo ligeras modificaciones. Recordatorio sobre el valor de α. Tradicionalmente (Chow, 1959; Henderson, 1966; HEC-RAS,

1998) α se calcula según: ( )( ) ∑∑∑∑

==α 2

i

3i

3

i

2

i

3

i3i

AQ

Q

A

Av

Av

como 32

ARn1K = entonces quedará: ∑

∑

∑=

=

=

=αn

112i

3i

3n

11i

2n

11i

AK

K

A

donde n es el número de subdivisiones. La longitud del tramo en curva.


Cuando el tramo considerado está sobre una curva entonces la longitud del tramo depende de la subsección que se considere. El más simple de los métodos para incluir esto es variar el valor del coeficiente de resistencia. Por ejemplo, si la longitud de la berma (considérese sólo una) es menor que la del canal principal el valor del coeficiente de resistencia se reduce para mantener Se constante en el tramo. En el caso de la n de Manning, Henderson (1966), propone que la n de la berma se reduzca en proporción a la ecuación 7.45,

2/1

n principal canal del long.berma la por .longF

= , o sea nberma en curva = Fn . nberma

El U.S. Army Corps of Engineer (HEC-2, 1979) y Shearman, 1976, calculan el coeficiente de peso de la descarga del tramo según

∑∑=

i

ii

K

KLL ---------------------------------------------------------- 7.46

donde Li es el largo de cada subsección por el eje. Si la metodología del Hydrologic Engineering Center (HEC) fuera usada el ∆x se modifica para el cálculo del tramo en curva y aumenta o disminuye su longitud en función de las posiciones y longitudes de las bermas. El modelo HEC-2 recomienda cesar el cálculo cuando la diferencia entre la profundidad asumida en la sección de cálculo y la calculada no difieran de 0,003 m. El cálculo de la hf. El cálculo de las pérdidas de energía se basa en xShf e ∆⋅= . Anteriormente se analizó los valores de ∆x en caso de encontrarse el tramo en curva que es el caso que pudiera traer errores.


En el caso del cálculo de Se para una sección a partir de las consideraciones iniciales del RPGV se cumple que,

2n

1Li

2

e

K

QS

=

∑=

-------------------------------------------------------- 7.47

ecuación que se aplicará a las n subdivisiones realizadas en la sección transversal. En el caso del cálculo de la eS el modelo HEC-2 y HEC-RAS proponen en cuatro variantes:

( )( )

2

21

21e

KKQQ

S

++

= (media del Factor de Sección) ---------------

7.48

2SS

S 2e1ee

+= (media aritmética) ---------------------------- 7.49

2e1ee SSS ⋅= (media geométrica) -------------------------- 7.50

2e1e

2e1ee

SSSS2

S+⋅

= (media armónica) ---------------------------- 7.51

El modelo HEC-RAS toma la ecuación 7.48 por defecto. Como recomendación HEC-RAS propone que si el tramo tiene una corta longitud (menor de 160 metros) las ecuaciones proporcionan iguales resultados. Si la longitud es mayor se recomienda emplearlas según aparece en la tabla 7.4. PERFIL Reed Y Wolkfill HEC-RAS S1 (subcrítico) 7.48 7.48

S2 (subcrítico) 7.50 7.50

S3 (supercrítico) 7.51 7.49

FI (subcrítico) 7.50 7.48

F2 (supercrítico) 7.48 7.48


F3 (supercrítico) 7.49 7.49

TABLA 7.4 RECOMENDACIÓN DEL HEC-RAS. Reed y Wolkfill (1976) proponen otros cuatro modelos:

( )[ ] ( )[ ] 3/4e1

22121

22

e2/RRAA/AA2

nQS++

= ------------------------

7.52

( )[ ] ( ) ( )[ ] 3/4212121

22

ePP/AA2/AA

nQS+++

= ----------------------- 7.53

( )[ ] ( )[ ] 3/421

221

22

e2/RR2/AA

nQS++

= ------------------------------ 7.54

( )[ ]2/RARAnQS

32

32

2211

22

e+

= --------------------------------------------

7.55 Deben tomarse en consideración las siguientes recomendaciones: - Los datos de la sección transversal deben ser precisos y

detallar con fidelidad todos los aspectos geométricos de la misma.

- La distancia entre secciones es función del grado de detalle requerido y de los recursos humanos y financieros que se cuenten. Canales con pendiente fuerte y de sección no uniforme requieren distancias de 50-60 metros mientras que canales con pendiente suave y secciones quasi-uniformes admiten hasta 3000 metros entre ellas para curvas de remanso en zona 1.

Por otra parte el modelo E431, del U.S. Geological Survey, presenta las siguientes propuestas,

21

2

eKK

QS+

= --------------------------------------------------------- 7.56

donde Q es el gasto medio en el tramo.


Cada una de las soluciones posibles de la ecuación de energía se comprueban calculando NF y comparándolo con el de la sección de origen. El Froude se calcula según la proposición de Shearman (1976),

=

MMM

M

TAg

QKAK

NF

donde M designa la subsección con el mayor valor de K. En todos los casos es importante destacar que debe llevarse un control estricto del cálculo en cada sección, acompañado de un análisis de la curva E-y de cada sección, para precisar si se está en la situación correcta, o si, por alguna causa, se cambió el régimen de circulación de un tramo a otro. No debe descartarse que numerosos autores todavía hoy recomiendan los métodos híbridos: numérico-gráficos, para solucionar algunos problemas sin tener que recurrir al tanteo. En casos de régimen subcrítico la sección de control estará aguas abajo y el cálculo se desarrollará hacia aguas arriba mientras que en el régimen supercrítico, los cálculos se desarrollarán, a partir de una sección de control aguas arriba, en dirección aguas abajo. 7.5.2 Algoritmo de cálculo para el perfil del flujo. Antes de emprender los cálculos se deben hacer un grupo de consideraciones. Como ya se ha dicho en este tipo de conducciones, la rapidez de cambio de la sección y/o el fondo hacen que en un corto tramo exista un cambio de régimen de circulación, acompañado, o no, de la presencia de un salto hidráulico. En estos casos, cuando existan cambios de subcrítico a supercrítico o viceversa, que significa que el régimen sea rápidamente variado, la ecuación a emplear será la derivada del


principio de conservación de la cantidad de movimiento, que expresada entre dos secciones es,

1c11

121

e21

o21

2c22

222 zA

gAQ

SL2

AALS

2AA

zAgA

Q+

β=

+−

+++

β -7.57

y se emplea Q1 y Q2 para generalizar e incluir el posible cambio de gasto entre secciones. Un algoritmo para emprender el cálculo del perfil del flujo entre las secciones 1 y 2, figura 7.21, a partir de una sección de control subcrítica, sección 1, tomado de la propuesta del HEC-RAS, es el siguiente:

FIGURA 7.21 PERFIL ENTRE DOS SECCIONES. Algoritmo. 1. Establecer la base de datos necesaria. En este paso es posible

la calibración de n en el tramo de cálculo siempre que exista una base de datos suficientemente grande y confiable de gastos y niveles del agua.

2. Fijar el valor inicial del contador i de iteraciones: i = 1. 3. Calcular todos los parámetros de la sección 1. Siendo

CA1 = z1+y1, la cota del agua en la sección de control o sección base del cálculo si ya se ha avanzado este a secciones


aguas arriba. Llámese g2

vyzH

21

1111 α++= , para simplificar

las futuras fórmulas. 4. Asumir en un primer tanteo y2 = y1, por tanto

( ) 22a2 yziCA += .

5. Con nARK 32

= ; calcular CPmdmi K K , K y en la sección 2. 6. Calcular 2α (capítulo 2, ecuación 2. ). 7. Calcular longitud del intervalo L, ecuación 7.46. 8. Calcular eS con la ecuación 7.48 (por defecto es la que

emplea el HEC-RAS). Puede emplearse la sugerida en la tabla 7.4 o las propuestas por Reed o por el USGS. Así se puede obtener LShf e= .

9. Calcular las pérdidas por corrientes secundarias hce según la ecuación 7.41.

10. Se calcula la cota del agua en la sección 2 según:

( )g2

vhhfHiCA

22

2ce211C2 α−++= − .

11. Cada vez que se calcula la cota del agua en la sección deseada se debe guardar la diferencia con el valor asumido, ya que si se superan las 40 iteraciones se asumirá como cota del agua la de mínima diferencia.

( ) ( ) ( )iCAiCAiDIF C2

a2 −=

12. Si, ( ) ( ) 0025,0iCAiCA a2

C2 ≤− entonces ( )iCACA C

22 = y se termina el cálculo. Si, ( ) ( ) 0025,0iCAiCA a

2C2 >− pasar al siguiente paso

13. Se incrementa el contador de iteraciones: i = i+1. Si i > 40 ir al algoritmo "i > 40" Si i < 40 se pasa a estimar un nuevo valor de a

2CA . 14. Si i = 2 entonces,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1CA1CA7,01CA2CA a2

C2

a2

a2 −+= y se regresa al paso 5.

15. Si i > 2 entonces se comprueba si


( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] 10C2

a2

c2

a2 102iCA2iCA1iCA1iCA −≤−−−+−−−

Si la respuesta es positiva el denominador del método de la secante (propuesto por el HEC-RAS) es tan pequeño que invalida su uso y entonces

( ) ( ) ( )[ ] 2/1iCA1iCAiCA C2

a2

a2 −+−= y se regresa al paso 5.

Si la respuesta es negativa entonces el método de la secante, como técnica de aproximación sucesiva, es factible de emplearse y el nuevo valor asumido será,

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2iCA2iCA1iCA1iCA

1iCA2iCA

2iCAiCA

C2

a2

C2

a2

a2

a2

a2

a2

−−−+−−−

−−−−

−−=

y se regresa al paso 5. El algoritmo "i > 40" que se emplea cuando se analizaron 40 valores sin tener respuesta con la exactitud deseada. Algoritmo i > 40. 1. Buscar la DIF (i) mínima y su iteración correspondiente

( )MINDIFi − 2. ( )MINDIF

c22 iCACA −= .

3. Se calcula la profundidad crítica de la sección yc2 (ver capítulo 2).

4. Si ( )[ ] ( )[ ]2c22MINDIF yZCA y 1,0iDIF +>≤− se termina el cálculo con una nota de haber llegado a una diferencia de cierre menor o igual que 0,1 metro.

5. Si ( )[ ] ( )[ ]2c22MINDIF yZCA o 1,0iDIF +<>− se termina el cálculo con una diferencia de cierre mayor que 0,1 metro o con una solución en la zona supercrítica, en ambos casos el algoritmo asume como cota del agua: 2c22 yzCA += .

Este algoritmo se plantea emplearlo también si la sección de control es supercrítico. En ese caso, el cálculo se realiza hacia aguas abajo, o sea, la sección 1 es la extrema izquierda. De igual forma en el caso del algoritmo "i > 40" en el paso 4 el signo de desigualdad cambia y queda la pregunta establecida así:


( )2c22 yZCA +< , para garantizar que la solución esté en la zona supercrítica. De igual forma en el paso 5 del algoritmo "i > 40" la pregunta queda así: ( )2c22 yZCA +> para verificar que se encontró la solución en la zona incorrecta, en este caso la subcrítica. El algoritmo descrito y que se emplea el HEC-RAS en sus cálculos reserva el uso de la ecuación 7.57 para casos de cambio de régimen. En casos en que se produzca cambio de régimen es de vital importancia profundizar y precisar los cálculos para realmente obtener una respuesta satisfactoria. Dos cuestiones deben tenerse en cuenta inicialmente: • No necesariamente el cálculo de todo el perfil de un tramo en

zona subcrítica o zona supercrítica, garantiza que no se ha producido un cambio de régimen. La distancia entre secciones puede conspirar y no ser representativas del modelo real del tramo de conducción, en estos casos un análisis detallado de las variaciones del perfil y de los cambios de las secciones transversales pueden indicar como subdividir los intervalos. No obstante una segunda comprobación con nuevas secciones incorporadas puede dar una solución diferente y esclarecer sobre el final a seguir en el cálculo. Es importante verificar la tendencia de los niveles de agua entre secciones respecto al nivel de la profundidad crítica. Un acercamiento a esta indica la necesidad de incrementar la información en esa zona y rehacer los cálculos.

• La segunda cuestión está relacionada con el cambio de zona al buscar la solución. Cuando se está tanteando la solución para una sección dada, en zona subcrítica por ejemplo y el tanto del nuevo valor se acerca al valor de la yc de esa sección, sin encontrar una solución adecuada, queda definido que hay una


solución en la zona contraria (supercrítica en este caso) y su alternativa en la zona subcrítica, pero con un valor tal (muy alto) que puede desestimarse por simple inspección.

Debe recordarse que la ecuación de energía tiene dos soluciones, una correspondiente al régimen subcrítico y otra al supercrítico y que la aparición de una u otra estará en dependencia de como se tantee el nuevo valor buscado de la profundidad.

En estos casos se hace necesario subdividir el intervalo, donde se detecta el cambio, para precisar las profundidades en ese subtramo que da la ecuación de energía. Hay dos casos bien diferentes que deben analizarse. Un tramo con una sola sección de control. Un tramo con dos secciones de control.

• Tramo con una sola sección de control. Este caso puede dividirse en dos variantes: que la sección de control sea subcrítica y por tanto esté ubicada en la salida del tramo (aguas abajo) o que la sección de control sea supercrítica y esté ubicada en la entrada del tramo (aguas arriba). En ambos casos lo importante es detectar cuando la posible solución salta de zona y coincidentemente su alternativa toma un valor ilógico, para ser tomado en cuenta como solución. Si se comienza el cálculo en una sección de control supercrítica al avanzar aguas abajo y detectarse un cambio de la solución hacia la zona por encima de la yc se está en presencia de un salto hidráulico. Si por el contrario el cálculo nace en la sección de control subcrítico y al avanzar hacia aguas arriba se detecta un cambio de la solución hacia la zona por debajo de la yc, también se está en presencia de un salto hidráulico.


• Tramo con dos secciones de control. Este caso es menos frecuente de encontrarse en la práctica. Su cálculo inicial se basa en el cálculo del perfil desde ambas secciones. Puede ocurrir durante el cálculo de los dos perfiles que exista un cambio como en el caso anterior y puede ocurrir que ambos perfiles culminen su cálculo sin cambiar su zona. En el primer caso, se debe analizar la ocurrencia de salto hidráulico en los subtramos que los soliciten. En el segundo caso, existirá en todo el tramo una zona de dualidad y a uno de los dos perfiles se le calculará su curva de las conjugadas para compararla con el otro perfil. En todos los casos que se presente, la ubicación del salto hidráulico se realizará sin tomar en consideración su longitud. Recuérdese que en canales prismáticos esto se hace posible por la cantidad de información que existe sobre este parámetro. Aquí la ocurrencia se acepta si en una sección las profundidades son conjugadas. Una secuencia del análisis a realizar, para el siguiente caso, con una sola sección de control, pudiera ser la siguiente, Caso de Estudio: Supóngase que entre dos secciones se detecta un cambio de régimen que implica un salto hidráulico, figura 7.22. La sección de control inicial es subcrítica, por lo que, el cálculo es hacia aguas arriba.


FIGURA 7.22 PERFIL DE UNA CONDUCCION LIBRE CON CAMBIO DE RÉGIMEN Pasos a dar: a. Subdividir el intervalo y calcular de las profundidades críticas

en cada nueva subsección y la profundidad de acuerdo a la Ecuación de Energía. A la vez calcular la profundidad alternativa de cada nueva profundidad. Al acercarse la profundidad a la crítica la alternativa también se acercará.

b. Calcular las conjugadas de cada una de las nuevas profundidades.

c. Si el cálculo transcurre obteniéndose a lo largo de todo el tramo profundidades subcríticas en un orden de magnitud lógico, no hay evidencia de la ocurrencia de un salto hidráulico.

d. Si el cálculo de la profundidad en una nueva subsección, indica que la profundidad que satisface a la ecuación de energía, no sigue un comportamiento lógico (por ejemplo crece desmesuradamente cuando lo que indicaba la tendencia era un decrecimiento) hay evidencias claras que entre esas secciones hay un cambio de régimen y por tanto, o se vuelve a subdividir el intervalo, o se da por concluido el análisis estableciéndose como nueva profundidad la supercrítica alternativa con lo cual se tiene el caso de un tramo con dos secciones de control.

7.5.3 Consideraciones para el cálculo. Al emprender el cálculo del régimen variado en una conducción no prismática deben tenerse en cuenta todo un grupo de consideraciones para organizar el trabajo de gabinete.


Sección de control. Al establecer el tramo a estudiar se debe precisar la sección de control para lo cual debe establecerse con mucha exactitud el valor de su profundidad. Pueden existir dos casos: que se conozca con certeza dicho valor, que éste no se pueda definir con exactitud.

En el segundo caso, es recomendable incorporar al estudio un tramo de conducción adicional, en ella establecer como profundidad inicial la correspondiente al régimen uniforme y calcular el perfil del flujo hasta la sección de control. La validez de esta suposición estará garantizada cuando al alargar aún más el tramo la profundidad calculada en la sección de control converja a un valor consistente. Efecto de obras. Cuando en una sección del tramo de estudio existan obras que modifiquen el perfil del flujo aguas arriba o aguas abajo, se deben prolongar las secciones y por tanto la longitud del tramo hasta que el efecto de la obra no se aprecie en el nivel del agua. Esquema de cálculo. Antes del cálculo debe establecerse un esquema de la planta del tramo o tramos a estudiar estableciendo las confluencias y bifurcaciones, entrada y salida de gasto, así como obras que afecten el flujo. Geometría de la sección. Debe realizarse un gran trabajo para que las secciones representen la realidad que impone la topografía en los cauces naturales. Al establecer cada sección debe analizarse su interacción con las cercanas a ellas y determinar las longitudes de los subtramos que tienen:


FIGURA 7.23 AREAS DE FLUJO INEFECTIVO Áreas de flujo ineféctivo.

Aquellas zonas en que para una cota del nivel del agua, almacenan agua pero no la conducen debido a que las secciones aguas abajo bloquean su salida. Estas zonas son particularmente importantes para establecer los parámetros mojados y áreas mojadas reales para cada nivel de circulación, figura 7.23.

FIGURA 7.24 ELEVACIONES INTERIORES (MOTAS). Elevaciones interiores.

La sección puede presentar en subtramos elevaciones que hagan que el flujo se bifurque en una pequeña longitud de tramo. Esta bifurcación creada por la pequeña isla que queda aislada debido al nivel del agua, debe considerarse en toda su longitud y establecer secciones que la cualifiquen para así garantizar que los cálculos sean correctos. Estas elevaciones funcionan de una u otra forma en función del nivel agua respecto a su punto más alto, figura 7.24.

Obstrucciones.


En un subtramo puede presentarse obstrucciones debidas a estribos de puentes u otras obras que reduzcan en una corta longitud la sección transversal. Estas obstrucciones deben analizarse a partir de crear varias secciones dentro de ellas ya que en ese subtramo el régimen se acelerará si es subcrítico o se desacelerará si es supercrítico creando un fenómeno local de gran importancia al cuantificar el perfil del agua a lo largo del tramo, figura 7.25.

FIGURA 7.25 OBSTRUCCIONES (ESTRIBOS DE UN PUENTE)

.

. FIGURA 7.25a OBSTRUCCIONES (COLUMNAS O PILOTES)


7.6 Flujo espacialmente variado. Por definición es el flujo en el cual la descarga varía en la dirección del flujo convirtiendo la pared del canal en un vertedor, bien para descargar parte del gasto o bien para recibir un nuevo gasto. 7.6.1 Gasto Creciente. Este caso se ejemplifica con un canal vertedor lateral. En él una porción significante de las pérdidas de energía resultan del mezclado del agua al entrar al canal y por tanto no son fácilmente cuantificables. Por esta razón, el principio de momentum se utiliza tradicionalmente para el desarrollo de las ecuaciones gobernantes.

FIGURA 7.26 PERFIL DE UN CANAL CON GASTO CRECIENTE La ecuación de continuidad, en el volumen de control, es:

*qdxdQ

= --------------------------------------------------------------- 7.58

donde q* gasto lateral por unidad de longitud al lado izquierdo de la ecuación puede desarrollarse así,

( ) *qdxvdA

dxdAvAv

dxd

dxdQ

=+== -------------------------------- 7.59

En el mismo volumen de control el momentum en la dirección x es


( )LATERAL12 MMMM +−=∆ ----------------------------------------- 7.60

∫∫ ρ=−A

2x12 dAVMM ------------------------------------------------

7.61 y φ∆ρ= cosxvqM *

L ---------------------------------------------- 7.62 Si se desprecian las fuerzas de tensión superficial y las creadas por la turbulencia, las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son: - la componente del peso en la dirección longitudinal - la fricción periférica - las presiones en 1 y 2. entonces,

∫∫∫∫ ρ−ρτ−γ=φρ−ρAoA o

*2 dAdxdAScosVqdAV

dxd ---------- 7.63

Esta ecuación puede simplificarse introduciendo expresiones convencionales en el primer término de la izquierda y el último de la derecha. Yen y Wenzel en 1970, proponen unir esta ecuación con la de Continuidad, y llegar a la ecuación 7.64,

( ) ( )[ ]

gD/vDy1cos'

dx/cos'dydxd

gvv2cosvgA

qSS

dxdy

2

2*eo

β−

+θα

θα−

β

−β−φ

+−

=

donde β es el factor de corrección del momentum α’ es el factor de corrección de la presión (por no ser

hidrostática) Si θ es constante,

( )

β−

α+

+αθ

β

−β−φ

+−

=

gDv

dy'dyD

y1'cos

dxd

gvv2cosvgA

qSS

dxdy

2

2*

eo

-------- 7.65

y si se asume que:


- la distribución de presiones es hidrostática - 0cosv =φ - 1cos ≈θ - 1=β queda,

−

−−

=

−

−

=

DgAQ1

dxdQ

gAQ2SS

gDv1

gAvq2SS

dxdy

22

2eo

2

*eo

----------- 7.66

que es la forma más común de la ecuación diferencial del FEV (Chow, 1959; Henderson, 1966) para gasto creciente. Chow (1959) plantea introducir el coeficiente de distribución de la velocidad de la ecuación de energía (α) como factor de corrección

de los términos ( )

gD

vdx

dQgA

Q2 22 y respectivamente.

La solución comenzará en la sección de control, así en un canal con entrada lateral de gasto la situación debe examinarse para determinar: si el régimen crítico ocurre.

El régimen crítico ocurre si 0dxdy

= , o sea, el numerador de la

ecuación es cero,

0dxdQ

gAQ2SS 2eo =−−

Si la razón de entrada es constante entonces:

xQ

dxdQ

= , donde x es la distancia desde el inicio del canal.

Por consecuencia Chezy se empleará para calcular eS , entonces,

32

2

e ACPQS =

y queda,


+=+=

TxA2

TCgPNF

xgAQ2

ACPQS 2

22

2

32

2

o

Sustituyendo NF2 por 1 y arreglando la ecuación queda,

( )[ ]32o

2

2x

TC/gPSgT

Q8x

−= ------------------------------------------ 7.67

donde, dx/dQQx =

Esta ecuación se utiliza para estimar la localización de la sección crítica, si existe. La ecuación fue presentada por vez primera por Keulegan (1952). Si la x estimada es mayor que la longitud del canal (x > L) la sección crítica no ocurre. Si existe la sección crítica y más allá hay un control aguas abajo, es posible que la sección crítica se ahogue si la profundidad aguas abajo es suficiente alta. Keulegan (1952), demostró que para casos especiales (secciones rectangulares muy anchas) se pueden obtener soluciones explícitas de la ecuación,

−=

3

2o2x C

gSg/q8X ------------------------------------------ 7.68

En general la ecuación hay que resolverla por tanteo-error ya que ni T ni P son conocidas. Un algoritmo para esto puede ser el siguiente: Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos necesario. 2. Asumir la posición de la sección crítica a

SCx 3. Calcular el gasto hasta esa sección ( )q

sc*

x xqQ = 4. Calcular cy


5. Calcular n/RC,R,T,P,A1

= 6. Calcular c

scX según ecuación 7.67 7. Comparar a

sccsc X y X .

Si error XX asc

csc ±= se encontró la posición.

Si error XX asc

csc ±≠ se asume como nuevo valor

csc

asc xx = y se repite desde el paso 3.

El perfil del flujo espacialmente variado puede ser determinado por un método de tanteo-error. French (1986) recomienda la integración numérica combinada con tanteo-error, para esto la 2da ley del movimiento puede escribirse así,

( )[ ] xASxASyAQvvvQg eo ∆δ−∆δ+∆δ=∆∆++∆γ

donde A es el área promedio entre dos secciones separadas una distancia x∆ .

21

21

vvQQ

A++

= (entre las secciones 1 y 2).

Si se hace vvvyQQ 1 ∆+== 2 y se sustituye en la ecuación de momentum queda:

( )( ) xSxSQ

Qv

vQQgvvQ

y eo1

2

21

211 ∆−∆+

∆+∆

++

=∆ ------------- 7.69

la caída de la superficie del agua según análisis gráfico es ,xSy'y o∆+∆−=∆ entonces sustituyendo queda:

( )( ) XSQ

QQQgQ

'y e1

2

21

211 ∆⋅+

∆

∇+∇∆

+∇+∇

=∆ ------------------ 7.70

que es la ecuación del perfil del flujo para incremento de gasto. El primer término representa las pérdidas por impacto y el segundo las pérdidas de energía. Si 0S y 0Q e ==∆ entonces 21 QQ = y ( ) g2/vv'y 2

122 −α=∆ ,

que es la ecuación de energía para gasto constante.


El algoritmo para calcular este problema es el siguiente: Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos necesaria. 2. Comprobar si existe la sección crítica dentro de la longitud

del canal. 2.1 Calcular x según ecuación 7.67 2.2 Comparar x y L.

3. Comprobar si existe una sección de control aguas abajo del tramo de canal con REV.

Si es así, calcular para todo el gasto (q*L) la curva superficial hasta la sección final del canal lateral y de ahí hasta la sección inicial con gasto variable (q*x).

4. Si existe la sección crítica y la sección de control y la curva superficial ahoga la sección crítica, este perfil prevalece.

5. Si existe la sección crítica (SC) y esta no es alterada por otro control se procede al cálculo del perfil del agua desde SC hasta la estación inicial y desde SC hasta la estación final.

6. Calcular el perfil desde SC hasta estación inicial 1. Sección 1 = sección crítica, i = 1. 2. Definir un x∆ 3. Para 1i = : calcular cota fondo del canal, ( )o

1z como profundidad tomar la cy , calcular cota del agua ( )c

o1 yz + ,

calcular 1,e11111 S,v,Q,R,P,A . 4. 2i = 5. Calcular ( )xxx sc ∆−= . 6. Calcular cota fondo del canal: xSzz o

o1i

oi ∆+= − .

7. Asumir una profundidad ( )cai yy < y calcular: 6.7.1

aiy∆ como ( )1iio

ai yyxSy −−−∆=∆

6.7.2 Calcular cota del agua ( )agiz .

6.7.3 Calcular .v,Q,R,P,A iiiii 6.7.4 Calcular ( )3/4

i2i

2i

2e RA/QnS = .


6.7.5 Calcular ciy∆ según ecuación 7.70.

8. Si erroryy ai

ci ±∆=∆ se llegó a obtener la profundidad en la

sección i. Ir a 6.9. Si erroryy a

ici ±∆≠∆ se regresa a 6.7.

9. 1ii += y se regresa a 6.5 y así hasta calcular la sección anterior a la inicial ( )xx ∆= .

10. Para la sección inicial ( )0x = se asume que g2/v2y 21ii −=∆ .

Por tanto la iag

1iag1 yzz ∆+= −

y la oi

agii zzy −=

7. Calcular el perfil desde la SC hasta la estación final. 7.1 Sección 1 = sección crítica, i = 2. 7.2 Definir un x∆ . 7.3 Para i = 1, calcular: v ,Q A,);z ,y y,z( X

ag1c1

o1 = ,Se.

7.4 i =2. 7.5 Calcular ( )xxx sc ∆+= . 7.6 Calcular xSzz o

o1i

oi ∆⋅−= − ; A, Qx, v.

7.7 Asumir: ( )coi

oi yyy > ;

7.7.1 Calcular ( )1i0ai yyixSy −−−∆⋅=∆ ;

7.7.2 Calcular la cota del agua ( )agiz ;

7.7.3 Calcular

= 3/4

i2i

2i

2

i,e RAQnS ;

7.7.4 Calcular ciy∆ según ecuación 7.70.

7.8 Si erroryy ai

ci ±∆=∆ se llegó a obtener la profundidad

en la sección i. Ir a 7.9. Si erroryy a

ici ±∆≠∆ se regresa a 7.7.

7.9 i = i + 1 y se regresa a 7.5 y así hasta concluir con la última versión.

7.6.2 Gasto Decreciente.


En este caso, ejemplificado por los vertedores laterales y las descargas de fondo, no hay pérdidas de energía significativas y el perfil del flujo puede estimarse por la ecuación de energía.

FIGURA 7.27 VERTEDOR LATERAL. Como se sabe,

2

2

gA2QyZH ++=

donde ( ) ( )XgA;XfQ == . Para encontrar el diferencial que represente la superficie del agua, se diferencia respecto a X.

−++=

dxdA

AQ2

dxdQ

AQ2

g21

dxdy

dxdz

dxdH

3

2

2 pero se sabe que,

dxdyT

dxdy

dydA

dxdA y S

dxdH ;S

dxdz

eo ==−=−=

entonces, ( )( )( )DgA/Q-1

dx/dQ gA/QSSdxdy

22

22eo −−

= ------------------------------- 7.71

y si 1≠α queda, ( )( )

( )DgAQ-1dxdQ gAQSS

dxdy

22

2eo

α

α−−= -------------------------------- 7.72

que representa la ecuación diferencial para gasto decreciente y es muy semejante a la ecuación diferencial para gasto creciente, sólo que x sustituye a β y el término ( )22 gA/Q no está multiplicado por 2.


En un vertedor lateral, colocado en la pared de un canal, Frazer, 1957, clasifica en cinco las posibles soluciones.

FIGURA 7.28 ALTERNATIVAS DEL VERTIMIENTO LATERAL. En el caso de los vertedores laterales si se asume que E1 = E2 , que el canal es rectangular con So = 0 y Se ≈ 0 y α ≈ 1, entones la ecuación 7.72 queda,

232 Qygbdy

dQQy

dxdy

−

−

= ----------------------------------------------- 7.73

El gasto en cualquiera de las secciones del vertedor puede calcularse como:

( ) 5.1Q

i pyg2CdxdQ

dxdQ

−=−= ------------------------------------ 7.74


donde CQ es el coeficiente de descarga.

Si 22

2

ygb2QyE += entonces:

( ) ( )yEg2byQyEygb2 22 −=−= y Q2 por tanto puede plantearse,

( )( )

E2y3py)yE

bC2

dxdy 3

Q

−−−

= -------------------------------------- 7.75

resolviendo queda,

constanteEyf

cbX +

= -------------------------------------------- 7.76

donde,

pyyEsen 3

pyyE

pEp3E2

Eyf 1

−−

−−−

−−

=

−

que se denomina función de flujo variado. La integración numérica presentada por Chow (1959), es muy similar a la obtenida para flujo con gasto corriente.

( )( ) xS

Q2Q1

QQgvvvQ

'y e121

211 ∆+

∆−

+∆+α

=∆ ----------------------- 7.77

donde, Q∆ es el gasto vertido en un x∆ que para propósitos prácticos se puede asumir por la fórmula del vertedor en cuestión, tomando como valor de CQ uno reducido en un 5%. 7.7 Problemas Especiales. A continuación se desarrollan algunas aplicaciones que ejemplifican las múltiples aplicaciones que este régimen de circulación tiene. Si bien no se recogen todas las más importantes, las soluciones planteadas sirven como ejemplo metodológico de cómo enfrentar estos problemas. 7.7.1 Entrega de un canal.


Cuando un canal comunica dos embalses, depósitos o canales existen numerosas condicionales que hacen que la entrega de gasto varíe. Por vez primera este problema fue discutido por Bakhmeteff en su Hydraulic for Open Channel, en 1932. • RÉGIMEN SUBCRÍTICO.

FIGURA 7.29 PERFIL DE LA ENTREGA DE UN CANAL CON REGIMEN SUBCRITICO. Si el canal de la figura comunica dos embalses de altura de flujo y1 y y2 respecto al fondo del canal, pueden ocurrir 3 situaciones diferentes para el análisis. Primer caso: y1 constante. En este caso las fluctuaciones de y2 condiciona el gasto Q. La relación Q = f (y2) se denomina curva de entrega.

FIGURA 7.30 CURVA DE ENTREGA PARA y1 CONSTANTE.

Los puntos característicos son:

S1


a. Si ⇒= 12 yy régimen uniforme y 212

SARn1Q 3=

b. Si 0Q 2 agua cota 1 agua cota So =⇒=⇒+= Lyy 12 c. Si aa22 QQ , yy >> debido al incremento de desnivel y

llegara un momento en que yc para Q sea igual a y2 habiéndose llegado a la condición de gasto máximo y será gDAQ = .

Si en esas condiciones y2 decrece aún más una caída libre se produce sin alterar el gasto. Un análisis de la curva S2 que se produce, deja evidentemente demostrado que se ha alcanzado la frontera inferior de la zona 2. Entre los puntos a y c cualquier valor de y2 hace que Qc > Q > Qn. Las curvas que se producen son todas de zona 2 (S2) con sección de control en 2. Por esa razón para pequeñas diferencias de y2 (y2 > ya) respecto a yn si el canal es muy largo la S2 para Q puede alcanzar la normal antes de terminarse la longitud del canal (L). Si esto sucede entonces se debe chequear si la curva S2 que se produce con cnc ySAR)n/1(QQ 2

13

2=== 2y cuando para Qn,

toca la normal antes de L, de ser así no hay curva b-c sino recta paralela al eje y entre b-c. Entre los puntos b y a cualquier valor de 2y produce 0 < Q < Qn. Las curvas que se producen son todas de zona 1. Nótese que en el primer caso las curvas 2S tienden a la normal de su gasto, que crece como función del decrecimiento de y2. En el segundo caso las 1S tienden a la normal de su gasto que decrece con el crecimiento de y2. Si el canal es muy largo es posible que las variaciones factibles de

2y no alteren el gasto.


FIGURA 7.31 CASO ESPECIAL PARA CANALES MUY LARGO Y DE POCA PENDIENTE Por último debe anotarse que dado que la curva a-c es muy inclinada y que las longitudes de los perfiles del flujo son inversamente proporcionales a la pendiente de fondo, puede plantearse que para canales muy largo y de pendiente suave, el gasto máximo corresponde al normal. Cambio de profundidad debido a cambio de la pendiente. Si un canal con entrega como función de y2 tiene una relación

( )yfq ∆=∆ muy plana, lo cual dificulta el control, puede rediseñarse con una anterior oo SS < y así la curva de entrega cambiará. Al disminuir So (curva interior) el punto N y C variarán, debido al desnivel total ya que L es la misma y la curva se hará más pendiente y como consecuencia y∆ crece.

FIGURA 7.32 CAMBIO DE LA PENDIENTE Y SU INFLUENCIA CON LA PROFUNDIDAD Y EL GASTO.


Chow pone un ejemplo similar pero al revés, esto es, si se desea disminuir la fluctuación de Q como consecuencia de las fluctuaciones de y se rediseña con una So mayor. Segundo caso: y2 constante. En este caso las fluctuaciones de Q las condicionan las variaciones de y1 y se obtiene un gráfico de entrega como el mostrado en la figura 7.33.

FIGURA 7.33 CASO DE ENTREGA CON y2 CONSTANTE.

Los puntos característicos del gráfico son:

a. 21

32

SARn1Qyy 21 =→→= UniformeReg.

b. 0QLSyy o21 =→=→⋅−= 2 agua cota 1 agua cota c. Cuando a11 yy > el desnivel produce aQQ > cuando ese gasto

alcanza el valor del gasto crítico para esa sección, o sea, 1 y,gDAQ = habrá alcanzado un valor tal que el gasto en esas

condiciones es el máximo. Si se incrementa C11 yy > , por ejemplo a 'c1y la curva superficial que se crea (cuya sección de control está aguas abajo) se desplaza hacia arriba paralela a la anterior alterando el valor de y1.

Entre los puntos c y a se producen perfiles de flujo en zona 2, nótese que la ny correspondiente a Q es mayor que aQ y se


produciría si 12 yy = mientras, entre a y b los perfiles que se producen son en zona 1, cada vez más suaves hasta su límite Q = 0. Tercer caso: Q constante.

FIGURA 7.34 CURVA DE Q CONSTANTE PARA y1 Y y2 VARIABLES. De igual forma a las situaciones anteriores puede encontrarse las relaciones de 21 y,y para que se mantenga un gasto constante en la entrega del canal. De esta forma puede ubicarse en un gráfico y1-y2, la familia de curvas de gasto que se deseen calcular. Los límites (fronteras de estas curvas) son: a. Frontera de Q=0, representada por la ecuación: LSyy 021 −= b. Frontera de maxQ la cual debe calcularse para cada caso en

particular: se selecciona y2; yC = y2; 222 gDAQ = ; se calcula 1y según lo que imponga la curva superficial.


Punto obligado: Definido por n/)SAR(Q yy 2

13

2

21 == :por tantoy , que se representa por la recta yy 21 = Zonas características: a. la zona entre la frontera maxQ y la línea 21 yy = es

característica de perfiles tipo S2. b. la zona entre la línea 21 yy = y LSyy 021 −= , es

característica de perfiles tipo S1. • Régimen supercrítico. Este caso es poco práctico ya que su aplicación está limitada. Como co SS > el flujo en el canal puede ser supercrítico. Estos canales son usualmente cortos. Las características de la entrega son: a. Gasto: La sección de control en un canal así está aguas arriba,

por tanto 11 gDAQ = FIGURA 7.35 CASO DE ENTREGA EN CANAL CON REGIMEN SUPERCRITICO b. Perfiles de flujo: Los perfiles dependen de la situación aguas

abajo.


Cuando el nivel 2y está relativamente bajo, esto es Q paran2 yy ≤ los perfiles son del tipo F2.

Si c2 yy > para Q aguas abajo tendrá un régimen subcrítico y se producirá un salto hidráulico que avanzará aguas arriba si 2y se incrementa hasta ahogar la sección de control. Aquí los perfiles antes del salto son F1.

7.7.1 Condiciones de entrada y salida.

FIGURA 7.36 DOS CASOS DE ENTRADA A UN CANAL. Cuando entra libremente el flujo a un canal con pendiente subcrítica, figura 7.36 derecha, la 1y con relación a la profundidad del depósito, según la ecuación de energía, es:

g2v

hfyy21

1a α++= donde la carga a velocidad por ser pequeña se

desprecia y queda, hfyy 1a += ----------------------------------------------------------

7.77 En flujo subcrítico hf es la pérdida de carga debida a la fricción y

se expresa como g2

vCh

21

ef = (vale 1.25 si la entrada es

redondeada), entonces: fe

1 gh2C1v = ------------------------ 7.78

y así, o lo que es igual,

( )1a1e

yyg2Ac1Q −= ----------------------------------- 7.79


que nos permite relacionar 1 a y, y,Q para la solución de los problemas reales. Cuando la entrada es regulada por una compuerta o alguna otra obra, figura 7.36 izquierda, la relación ( )a1 yfy = no existe y la diferencia ( )1a yy − dependerá de la obra.

FIGURA 7.37 DESEMBOCADURA A UN LAGO Por su parte, cuando un canal desemboca en un lago, figura 7.37, la energía cinética del flujo se restablece como potencial elevando el nivel en el lago. Esta energía en realidad es disipada en torbellinos y expansión del flujo y en la práctica se ignora tomándose. En el caso que el nivel en el embalse esté por debajo de 22 y,y toma el valor de cy produciéndose una caída libre. 7.7.2 Flujo dividido: bifurcación de cauces. En este problema, figura 7.38, la información necesaria de longitudes y secciones es importantísima para la correcta ejecución de los cálculos. Las secciones deben situarse muy próximas para así minimizar los errores de las pérdidas de carga. En el caso particular de emplear la ecuación de la variación de la cantidad de movimiento, el ángulo de la bifurcación, o de la confluencia, es importante. Tanto la ecuación de energía, como la de cantidad de movimiento pueden emplearse para la solución de este problema. En el primer


caso los ángulos de cada rama con el principal no se consideran, por tanto, su uso será adecuado en aquellos casos que las pérdidas que se introduzcan no sean considerables.

FIGURA 7.38 BIFURCACION DE CAUCES. Sin embargo, hay situaciones en que los ángulos, o las altas velocidades, pueden ocasionar pérdidas significativas y entonces la ecuación de la cantidad de movimiento será la indicada. En caso de inflexiones con ángulos grandes, pero con curvas con radios que superan 20 T, se procederá como en tramos rectos. A esta consideración debe añadirse que si hay cambios de régimen de subcrítico a supercrítico o a la inversa, la ecuación de momentum será la indicada para enfrentar la solución. Hay 3 casos posibles: bifurcación en régimen subcrítico, bifurcación en régimen supercrítico y bifurcación en régimen mixto. • Una solución propuesta por Chow (1959).


Ven te Chow (1959), propone para un flujo que se divide al encontrar un obstáculo y vuelve a reencontrarse una vez salvado éste, una solución de fácil implementación. Para el caso del régimen lento en que se separa el caudal en un tramo de canal la solución propuesta por Chow se genera dependiendo si el flujo es uniforme o variado. Si el flujo es uniforme, la solución es simple y entonces,

3424 QQQ −− += ----------------------------------------------------- 7.80

2224 SKQ =− ------------------------------------------------------ 7.81

3334 SKQ =− ------------------------------------------------------- 7.82 Si el flujo es variado entonces debe seguirse un procedimiento de tanteo hasta la solución. Si el flujo es subcrítico, figura 7.39, entonces el control estará en 1 y 1y estará en función de lo que ocurra en el canal aguas abajo. Como el punto 4 debe tener la misma cota del agua, o sea, igual energía cualquiera que sea el camino que se tome para calcularla y esa cota está en función del gasto de esa rama, entonces el proceso de cálculo se convierte en un proceso de tanteo-error. Algoritmo. 1. Suponer 24Q − 2. Calcular a

4y como función de 24Q − mediante la curva superficial.

3. Calcular Q4-3: Q4-3 = Q - Q4-2. 4. Calcular b

4y como función de 34Q − calculando la curva superficial que se establece.

5. Si error yy b4

a4 ±= entonces se habrá encontrado la solución.

Si b4

a4 yy ≠ se debe regresar al paso 1.


FIGURA 7.39 ESQUEMA DE LA BIFURCACION Una solución gráfica del problema sería como aparece en la figura 7.40.

FIGURA 7.40 SOLUCION GRAFICA Algoritmo. 1. Se supone 24Q − y se calcula a

4y 2. Con 2434 QQQ −− −= se calcula b

4y 3. Y se plotea la gráfica hasta obtener suficientes puntos.

La solución estará en la intersección de la curva ( )b4

a4 yfy =

con la recta b4

a4 yy = .

Este método es aplicable hasta canales moderadamente no prismáticos (sin cambios rápidos). En el caso del flujo supercrítico el control estará aguas arriba y Chow aconseja tratarlo como si ambos fueran flujos uniformes. • Una solución propuesta por Wylie, 1972: Flujo dividido por

varias islas u obstáculos.


E. B. Wylie, describió el proceso de cálculo en el caso que la división de caudales sea más de dos ramas. El método propuesto se basa en descomponer el sistema en una serie de nodos conectados por eslabones.

FIGURA 7.41 FLUJO DIVIDIDO POR VARIOS OBSTACULOS La solución del nodo y el eslabón se basa en dos principios: Cada nodo tiene asociada una energía total que es común a

cada eslabón que termina en él. La ecuación de continuidad se cumple en cada nodo.

El tipo más común de eslabón es un canal simple sin pérdidas menores. En este caso la energía del eslabón k conectado aguas arriba con i y aguas abajo con j es: k i j

kejei

ke L2

SSHjLSHjHi

++=⋅+= ---------------------------- 7.83

donde: 3/103/422e APnQS =

entonces la ecuación de flujo en un eslabón (canales prismáticos) es,

2

1

310

34

310

342

1

j

j

i

i

k

jik

A

P

AP

LHH2

n1Q

−

+

−= ------------------------------

7.84 pero esta ecuación sólo es aplicable, teóricamente, a canales prismáticos y moderadamente no prismáticos.


Si hay un rápido cambio de la sección, es necesario incluir un término que cuantifique las pérdidas menores asociadas al cambio. King y Brater (1963) sugieren en el caso de flujo subcrítico,

−+=

j2

i2

2ke

ji A1

A1

g2QC

EE ---------------------------------------

7.85 donde eC es un coeficiente de pérdidas. Así la ecuación de flujo en el eslabón queda,

( )[ ]2

1

21

2j

2i

ejik A1

A1CHHg2Q

−

−−= ---------------------------- 7.86

Combinando esta ecuación con la continuidad, escrita para cada nodo, se genera en: sistema de ecuaciones no lineales. Aplicando continuidad se tiene,

∑−

=+=M

1kNiki 0QQF -------------------------------------------------

7.87 donde M es el número de eslabones en el nodo i. QNi es un gasto que pudiera entrar directo al nodo i. En un ejemplo simple igual al ejemplo de una isla, si se aplica la ecuación al nodo 2 queda,

0QQQQF 2N3212 =+−−= --------------------------------------- 7.88 como 0Q 2N = (no entra gasto adicional), entonces sustituyendo cada término por la ecuación deducida para el flujo en el eslabón se obtiene la expresión siguiente,


FIGURA 7.42 ESQUEMA DE NODOS Y ESLABONES DE UNA ISLA

( )

( )−

+

−−

−

+

−=

2/1

3/103

3/43

3/102

3/42

2

32

2

2/1

3/102

3/42

3/101

3/41

1

21

12

AP

AP

LHH2

n1

AP

AP

LHH2

n1F

( )2/1

3/103

3/43

3/102

3/42

3

32

3 AP

AP

LHH2

n1

+

−− = 0 ------------------------ 7.89

y para los otros nodos, 0QQF 11N1 =−= ------------------------------------------------------

7.90

( )0

AP

AP

LHH2

n1QF

2/1

3/102

3/42

3/101

3/41

1

21

11N1 =

+

−−= ------------- 7.91

00QQQQF 3N4323 ==+−+= N3Q y --------------------- 7.92

( )

( )−

+

−+

+

+

−=

2/1

3/103

3/43

3/102

3/42

3

32

3

2/1

3/103

3/43

3/102

3/42

2

32

23

AP

AP/

LHH2

n1

AP

AP

LHH2

n1F

( )0

AP

AP

/L

HH2n1

2/1

3/104

3/44

3/103

3/43

4

43

4=

+

−− ------------------------- 7.93


La profundidad del flujo y el gasto en 4 generalmente se conocen (sección de control en 4) y por tanto H4. Si el flujo es impermanente, el sistema de ecuaciones que gobiernan el problema es no lineal y no es posible una solución directa. Los pasos para obtener la solución en este caso son: Algoritmo. 1. Asumir H1, H2 y H3. Wylie aconseja para comenzar:

E1 = E2 = E3 = E4. 2. Calcular ky para K = 1, 2 y 3 con:

2k

2k

kkk gA2Q

yzH ++=

( ) 2/1

3/10kj

3/4kj

3/10ki

3/4ki

k

ji

kk

A

P

AP

LHH2

n1Q

+

−=

3. Se calculan los valores de F1, F2 y F3. 4. Si 0FFF 321 ≅≅≅ los valores de F1, F2 y F3 asumidos son

buenos. Si 0F 0F 0F 321 ≠≠≠ óó entonces se asumen nuevos valores de 321 H H ,H y y se regresa a 2.

Wylie (1972), utilizando la técnica numérica de Newton-Raphson, resolvió el problema partiendo de suponer: H1 = H2 = H3 = H4. Esta técnica es aplicable también al flujo en canales para un sistema de drenaje pluvial. En el sistema inicial los nodos están ubicados para considerar las pérdidas por corrientes secundarias en las divisiones. Una aproximación podría ser despreciar este valor y simplificar el número de nodos para al final tomar esa solución como aproximación del problema final. • La solución propuesta en el HEC-RAS.


Régimen subcrítico. El algoritmo propuesto por este programa para régimen lento se basa en el esquema de la figura 7.43. FIGURA 7.43 ESQUEMA DE LA BIFURCACION. El algoritmo que se propone puede enunciarse así, Algoritmo. 1. Calcular los caudales.

1.1. Asumir Q4-2 y Q4-3 tal que Q4-2 + Q4-3 = Q4- 1.2. Ubicar la sección de control aguas debajo de 2 y calcular

con Q4 la curva superficial desde SC hasta 2. 1.3. Ubicar la sección de control aguas abajo de 3 y calcular

con Q4--3 la curva superficial desde SC hasta 3.

1.4. Si error EE 32 ±= los caudales asumidos son correctos y se pasa al punto 2.

1.5. Si error EE 32 ±≠ se asumen nuevos caudales y se regresa a 1.2.

2. Calcular la cota del agua en 4. 2.1. Calcular las fuerzas específicas en 2 y 3: Fe2 y Fe3. 2.2. Si Fe2 > Fe3 calcular la cota de 4 desde la cota de 4 desde

la sección 2 con la ecuación de energía. 2.3. Si Fe3 > Fe2 calcular la cota de 4 desde la sección 3 con la

ecuación de energía. El HEC-RAS acepta que el método propuesto por Chow es ideal y apunta que para secciones próximas entre si su algoritmo da una solución aceptable. Empleando la ecuación de momentum el programa HEC-RAS propone emplear la ecuación,


34x34f23e24x24f12e4e WFcosFWFcosFF −−−− −+θ+−+θ⋅= --- 7.94 que descomponiendo en sus términos básicos queda,

−

++θ

+

β=

+

β−− 24o24

24122

2

222

444

424 SL.

2AA

coszAgA

QzA

gAQ

+θ

+

β+

+− −− 233

3

233

24f2424 coszA

gAQ

SL.2

AA

34f3434 SL

2AA

−−

++ ---------------------------------------------- 7.95

En el caso del régimen lento esta ecuación se utiliza para el cálculo de la cota del agua en 4. Esto es, se calculan los caudales tal como se planteó en el algoritmo anterior y el paso 2 de ese algoritmo se realiza con la ecuación de momentum 7.95. En ella, para este caso, son conocidas como datos θ1 y θ2 y se calculan a partir del desarrollo del punto 1 del algoritmo anterior, Fe2 y Fe3. Para el cálculo de 3-f424f34x24x F F,W,W y−−− es necesario conocer y4 que es justamente lo que se busca. Así la ecuación 7.95 se resuelve por aproximaciones necesarias, suponiendo y4 hasta que el término de la izquierda y el de la derecha se igualen. Régimen supercrítico. En el caso de régimen supercrítico el análisis se realiza de acuerdo al siguiente algoritmo: Algoritmo. 1. Ubicar la sección de control aguas arriba de 4 y calcular la

curva superficial hasta ahí, definiendo y4 y E4. 2. Se igualan las profundidades en las secciones 2 y 3 con el

valor de la profundidad en la sección 4. 3. Con la ecuación 7.95 y la de continuidad en el nodo se

calculan los gastos por cada ramal. En el caso del uso de la ecuación de energía el proceso sería:


Algoritmo. 1. Repetir el paso 1 y 2 del algoritmo anterior. 2. Con la ecuación de energía suponer Q4-2 y Q4-3 y calcular la

energía de 2 a 4 y de 3 a 4. Los gastos serán los buscados cuando por ambos caminos la energía en 4 sea la misma.

7.7.3 Flujo dividido: confluencia de cauces. Este problema es semejante al de la bifurcación respecto a la información necesaria. Aquí las ecuaciones de la energía y el momentum son también empleadas con los mismos señalamientos que en el caso anterior.

FIGURA 7.44 ESQUEMA DE UNA CONFLUENCIA.

La confluencia presenta también tres casos: confluencia en régimen subcrítico, confluencia en régimen supercrítico y confluencia en régimen mixto. • Una solución propuesta por Chow (1959). Si el esquema de la figura 7.44 se analiza con cuidado en el caso del régimen subcrítico se llega a las siguientes conclusiones: - Los gastos Q4-3 y Q5-3 son datos de entrada. - La sección de control de la sección 3 está aguas debajo de ella. - Las pérdidas por corrientes secundarias para velocidades

menores que 3m/s pueden calcularse como vce h 1,0h ∆= ----------------------------------------------------- 7.96

donde vh∆ es el mayor valor entre vh∆ 4-3 y vh∆ 5-3.


Con estas premisas entonces el algoritmo de cálculo sería: Algoritmo. 1. Calcular Q3-SC = Q4-3 y Q5-3. 2. Con la ecuación de energía calcular las cotas del agua desde

SC hasta 3. 3. Con Q4-3 y la cota del agua en la sección 3, calcular la cota del

agua en la sección 4. 4. Con Q5-3 y la cota del agua en la sección 3, calcular la cota del

agua en la sección 5. • La solución que presenta el HEC-RAS. El Manual de Referencia de este programa enuncia la ecuación de energía entre 4 y 3, así:

g2v

g2v

CLSg2

vCA

g2v

CA23

3

24

43434f

23

33

24

44 α−α++α+=α+ −− -7.97

donde CAi es la cota del agua (zi + yi) en la sección i. Para el caso del régimen lento se plantea una solución idéntica a la de Chow y que se precisa en el algoritmo anterior, si es la ecuación de energía la empleada. En caso del régimen rápido y el empleo de la ecuación de energía se propone: Algoritmo. 1. Calcular la CA4 a partir de la sección de control aguas arriba

por su ramal y del gasto conocido Q4-3. 2. Calcular CA5 a partir de la sección de control aguas arriba por

su ramal y el gasto conocido Q5-3. 3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 4 y 5. Se considera que el afluente que controla la confluencia es el

que mayor fuerza específica tiene. 4. Entonces, si 5e4e FF ≥ se calcula CA3 con la ecuación de

energía a partir de 4. Si 4e5e FF ≥ se calcula CA3 con la ecuación de energía a partir de 5.


Si se emplea la ecuación de momentum en el caso de que los ángulos de confluencia sean grandes o muy diferentes entre sí el análisis sería, para el régimen lento, con el siguiente algoritmo: Algoritmo. 1. Se calcula CA3 con la ecuación de energía de la SC. 2. Se calculan las cotas del agua en 4 y 5 (CA4, CA5) al resolver

la ecuación de momentum evaluando únicamente las fuerzas en la dirección del cauce principal (3-SC). La ecuación quedaría así:

35x35f25e34x34f14e3e WFcosFWFcosFF −−−− +−θ+++θ⋅= ---7.98

donde Fe es la fuerza Específica

+ Az

gAQ2

Wx es la componente del peso en la dirección 3-Sc. Ff la fuerza de fricción. Las fuerzas de fricción y el peso se calculan, cada una de ellas, con los sumandos considerando la hipótesis de que el centroide de la confluencia equidista de las secciones extremas del volumen de control. El primer sumando corresponde al recorrido desde 4 hasta el centroide de la confluencia, empleando el área A4 como representativa de dicho recorrido. El segundo sumando corresponde al recorrido restante (desde el centroide hasta 3) usando, esta vez, el área A3 como representativa de dicho recorrido, pero ponderada con la relación entre caudales, porque de no hacerlo así, el área A3 aparecería dos veces, tanto en el cálculo de la fuerza total de fricción como en el de la fuerza debida al peso. Entonces,

3

43

343414

343434 Q

QA

2L

Sf cos A2

LSfFf ⋅+θ⋅⋅= −

−−

−− --------- 7.99

3

53

353525

353535 Q

QA

2L

Sf cos A2

LSfFf −

−−

−− +θ⋅= ------------7.100


3

43

3434014

3434034 Q

QA

2L

S cos A2

LSWx −

−−

−− +θ⋅= -------- 7.101

3

53

3535025

3535035 Q

QA

2L

S cos A2

LSWx −

−−

−− +θ⋅= --------- 7.102

La solución de la ecuación 7.98 implica tener que asumir una hipótesis adicional: CA4 = CA5. Para que esto sea válido las secciones 3, 4 y 5 deben estar muy próximas para así minimizar el error asociado a esta hipótesis. En el caso de régimen rápido (supercrítico) el análisis del problema con la ecuación de momentum lleva al siguiente algoritmo. Algoritmo. 1. Se calculan, con la ecuación de energía, la CA en las secciones

4 y 5 a partir de las respectivas secciones de control aguas arriba.

2. Con la ecuación 7.98 se resuelve las CA3 conocida toda la parte derecha de la ecuación.

7.7.4 Régimen mixto en la confluencia y en la bifurcación

de cauces. Este problema se trata aparte por su especialidad. Como se definió anteriormente uno de los casos que puede ocurrir en la confluencia y en la derivación es la ocurrencia de régimen subcrítico y supercrítico en los canales. Si bien es cierto que la confluencia y la bifurcación en régimen subcrítico son los casos que más aparecen en la práctica, el resto de los casos pueden presentarse ocasionalmente y su estudio y definición de sus algoritmos de cálculo mantienen un uso práctico indiscutible. .


• Solución del HEC-RAS para la confluencia. Para la confluencia se considera régimen mixto si en uno de los afluentes se produce régimen supercrítico y en el otro subcrítico. La solución del problema definirá cual de los afluentes domina en la confluencia y por tanto impone las condiciones de circulación. Un algoritmo para su solución sería: Algoritmo. 1. Calcular la confluencia como si fuera régimen subcrítico. Si el

resultado obtenido tiene un comportamiento lógico respecto a los perfiles de flujo y esos no tienden a cortar la línea de la profundidad crítica para encontrar la solución en el otro régimen, la confluencia no es mixta y se dará por terminado el cálculo. Este paso implica tener aguas debajo de la sección 3, una sección de control con régimen subcrítico para el gasto suma. Si se detecta en la sección 4, en la 5, o en ambas, que el régimen es supercrítico se avanza al siguiente paso, siendo la confluencia en este caso de régimen mixto.

2. Si el régimen supercrítico se detecta en 4 o en 9 se busca la necesaria sección de control aguas arriba para definir, a partir de ella, la profundidad correspondiente. La otra profundidad se definirá en régimen subcrítico a partir de la sección 3. Se pasa al paso siguiente. Si el régimen supercrítico se detecta en 4 y 5, se buscan las secciones de control correspondientes aguas arriba y se definen las cotas del agua solucionándose la confluencia para régimen supercrítico y se da por terminado el cálculo.

3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 3, 4 y 5 con el régimen de circulación que le corresponde. Supóngase que la sección 4 es de régimen supercrítico y la sección 5 tiene régimen subcrítico. Si Fe5 > Fe4 el control de la confluencia lo ejerce el régimen

subcrítico (sección 5) y por tanto la cota de agua en la sección 3 es válida, debiendo ubicarse el salto hidráulico


que se produce en el cambio de niveles entre la sección 4 y la sección 3.

Si Fe4 > Fe5 el control de la confluencia lo ejerce el afluente con régimen supercrítico. Se calcula la cota del agua en 3 a partir de 4 y se recalcula la fuerza específica de la sección 3 (Fe3), siendo el valor anterior calculado para régimen lento.

Si 3Re3

Le FF < asume que la cota de agua en 3 es la

calculada para régimen supercrítico y se continúa hacia abajo el cálculo de la curva superficial hasta encontrar el salto hidráulico. En este caso se asume que la cota de agua en la sección 5 es la crítica y a partir de ella se calcula hacia aguas arriba los niveles en el canal correspondiente.

Si 3Re3

Le FF < se considera válida la cota subcrítica para la

sección 3 y se pasa a resolver el salto hidráulico entre 4 y 3.

Si se toma la ecuación de momentum para resolver esta situación la lógica es análoga el caso en que se utiliza la ecuación de energía, salvo que el cálculo de las cotas del agua en las secciones 3, 4 y 5 se realizan con la ecuación 7.98. • Solución de HEC-RAS para la bifurcación. Aquí se considerará régimen mixto si en la sección 4 existe régimen supercrítico mientras que en las secciones 2 y 3 el régimen sea subcrítico. El algoritmo en este caso será: Algoritmo. 1. Calcular la bifurcación como si el régimen fuera subcrítico,

esto implica definir las secciones de control correspondientes. Si en el cálculo del perfil de flujo entre 2 y 4 o entre 3 y 4 se detecta que la solución está por debajo de la crítica ya que la correspondiente (alternativa) subcrítica es ilógica, se recalcula la conducción para régimen rápido teniendo que ubicarse la sección de control (aguas arriba) que controla el nivel en 4.


2. Con la cota en 4 R4CA se recalculan las cotas en las secciones

2 y 3. 3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 2 y 3 para

régimen rápido y lento ( )RiFe y lento.

Si L2

R2 Fe Fe > la cota del agua en 2 es la del régimen

supercrítico. Si R

2L2 Fe Fe > la cota del agua en 2 es la del régimen

subcrítico y habrá que seleccionar el salto hidráulico que se presenta.

Si L3

R3 Fe Fe > la cota del agua en 3 es la del régimen

supercrítico. Si R

3L3 Fe Fe > la cota del agua en 3 es la del régimen

subcrítico y habrá que solucionar el salto hidráulico que se produce.


8 EL RÉGIMEN IMPERMANENTE

El régimen impermanente en canales, llamado también no establecido o transitorio, se caracteriza porque: el gasto, la velocidad y la profundidad varían en el tiempo. Este régimen de circulación en canales, se asocia generalmente a la propagación de ondas. Una onda es definida como: una variación temporal o espacial, del flujo, o de la superficie libre.

FIGURA 8.1 UNA ONDA DE AVENIDA EN UN CAUCE SECO Tomada del Eagleson (1970). El análisis de los problemas asociados a este régimen es mucho más complejo, al aparecer el tiempo como una variable

________________________________________________ El régimen impermanente 609

independiente adicional. Las ecuaciones resultantes por tanto, son ecuaciones diferenciales en derivados parciales. El tránsito del agua por un canal es un proceso distribuido a lo largo del espacio y en el tiempo. La estimación de los gastos o de las profundidades se obtiene utilizando un modelo de régimen impermanente y variado basado en las ecuaciones diferenciales parciales de Saint-Venant que permiten el cálculo del gasto y las profundidades como función del espacio y el tiempo.

FIGURA 8.2 UNA ONDA DE AVENIDA. Tomada de Chow (1959). El cálculo de las profundidades de una crecida, es necesario ya que este nivel delinea la planicie de inundación, determinando la altura requerida para las obras de protección y de pase. El cálculo de los caudales como función del espacio y del tiempo es importante al definir los hidrogramas de diseño de una obra hidráulica y la operación de los sistemas de abasto.


Como alternativa al modelo impermanente-variado, está el uso de un modelo para calcular el caudal como función del tiempo en la sección deseada y luego calcular los niveles, suponiendo un modelo permanente-variado a lo largo del canal. La ventaja del modelo impermanente-variado, sobre la segunda alternativa, es que el primero calcula simultáneamente gasto y nivel, por lo cual se aproxima mejor a la naturaleza del fenómeno. 8.1 El régimen impermanente: clasificación y generalidades. El régimen impermanente se subclasifica en: régimen impermanente gradualmente variado régimen impermanente rápidamente variado.

En el primer caso la curvatura del perfil de la ola es moderada, el cambio de la profundidad es gradual y la componente vertical de la aceleración es despreciable, mientras el efecto de la fricción debe tomarse en cuenta en un análisis cuidadoso. En el segundo caso el perfil de la ola es abrupto, con una gran curvatura. En este caso la componente vertical de la aceleración es apreciable mientras que los efectos de la fricción pueden despreciarse frente al efecto dinámico del flujo. Ejemplos de régimen impermanente se encuentran en: RIGV: - ondas de avenida

- operaciones lentas de estructuras de control (compuertas, tomas laterales).

RIRV: - operaciones rápidas de estructuras de control - rompimiento de un dique de contención - arranque o parada de bombas que abastecen un canal El tránsito de una avenida por un canal se modela a partir de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, deducidas para régimen impermanente en un canal, ecuaciones 1.41, 1.42,


1.44, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58, o cualquiera de sus otras formas, para flujo unidimensional, o sea, a lo largo del canal en la dirección del flujo. Barre de Saint-Venant, presentó en 1871, las formulaciones de esas ecuaciones, partiendo de las siguientes hipótesis: flujo unidimensional e incompresible, donde la velocidad y la

profundidad solo varían a lo largo del eje de la conducción. Flujo gradualmente variado. El eje del canal es aproximadamente recto. La ecuación de Manning describe los fenómenos de

resistencia. Distribución hidrostática de presiones. Aceleración vertical despreciable. Pendiente media del fondo suave y lecho de fondo fijo.

Al estarse produciendo una onda, en avance o en retroceso, en el canal se produce, en estas condiciones, un fenómeno importante: el gasto cambia sección a sección, al igual que la velocidad y la profundidad. En el ejemplo de la figura 8.3 el régimen permanente avanza con v, y, Q propias y el impermanente crea una onda de retroceso con otras características.

FIGURA 8.3 GENERACION DE UNA ONDA.


Nótese que la velocidad que aparecerá en las EDP es la resultante en cada sección, de las dos velocidades predominantes, por tanto no representa un valor específico. 8.1.1 Objetivo del cálculo del RI. El objetivo del cálculo de un régimen impermanente y variado puede enunciarse así, ––– Conocer la profundidad, así como el gasto y la velocidad del

flujo en los diferentes intervalos de tiempo, teniendo como frontera superior, o de fin del impermanente, el flujo uniforme o variado permanente, o una nueva situación (cambio de gasto, nuevo cierre de una compuerta, etc.) que varíe la condición del cálculo anterior.

Por tanto, si hay dos incógnitas: y y v, o, y y Q; se necesitan dos ecuaciones para resolver el problema que se presenta. 8.1.2 Las ecuaciones de Saint Venant. Las ecuaciones de Saint-Venant tienen varias formas simplificadas en su forma conservativa y no conservativa. La ecuación dinámica consta de términos para los procesos físicos que gobiernan el momentum. Estos términos son: aceleración local, que describe el cambio de momentum

debido a los cambios de velocidad con el tiempo, la aceleración convectiva, la cual describe el cambio de

momentum debido al cambio de velocidad a lo largo del canal; el término fuerza de presión, proporcional al cambio de

profundidad del agua; el término fuerza gravitacional proporcional a la pendiente del

fondo; el término fuerza de fricción proporcional a la pendiente de

fricción.


Los términos aceleración local y convectiva representan el efecto de las fuerzas de inercia del flujo. Entonces puede escribirse la forma conservativa así,

( ) 0SSgxyg

AQ

x

A1

tQ

A1

fo

2

=−+∂∂

+

∂∂

+∂∂

El modelo de onda dinámica compuesto por las ecuaciones de conservación de masas y momentum, esta última en su forma más completa, describe el fenómeno de tránsito de la onda con bastante fidelidad, pero como debilidad tiene su complejidad que genera para su solución: una base de datos muy grande, soluciones informático-matemáticas complejas, tiempo de máquinas relativamente altos, necesidades computacionales de alta tecnología. Por los motivos anteriores existen tres tendencias para la solución numérica del RI: • Abordar la solución con el modelo de onda dinámica. • Simplificar el modelo de onda dinámica en los casos posibles. • Buscar soluciones alternativas, que no impliquen la

modelación numérica del fenómeno. El modelo simplificado más sencillo es el de onda cinemática el cual no tiene en cuenta los tres primeros términos y entonces supone que: fo SS = , o sea que hay balance entre las fuerzas de fricción y gravitatorias. Este modelo, al igual que el inmediato en complejidad, el de difusión, es útil cuando no hay remansos, se estudia la propagación aguas abajo y las pendientes son mayores que 0,01%. El modelo de onda de difusión incorpora al de onda cinemática el término de la fuerza de presión ( ( ) 0SSg)dx/dy(g fo =−+ ), mientras que el modelo de onda dinámica considera todos los términos.


Las ondas dinámicas dominan al flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión son importantes (flujo subcrítico, propagación aguas arriba...), mientras que las ondas cinemáticas dan una buena representación del fenómeno físico cuando el régimen es supercrítico y se están analizando transmisión hacia aguas abajo. 8.2 Simplificaciones de la onda dinámica. A continuación se analizarán, sin pretender profundizar en todas sus complejidades, las simplificaciones, comenzando por las de mayor complejidad hasta analizar dos aplicaciones sencillas. 8.2.1 La onda de difusión u onda difusiva. Chow (1959) expone un modelo difusivo a partir del trabajo de G. Joss, que, en 1950, presenta en su libro “Física Teórica” una solución, usando la teoría estadística clásica, apropiada para el problema de las ondas de avenidas. Esta teoría es comunmente aplicada a problemas de transferencia de calor debida al choque entre partículas bajo la ley general de la conducción del calor de Fourier. En corrientes naturales las perturbaciones del flujo causadas por irregularidades locales tienen una magnitud definida para cualquier tiempo y en cualquier sección. Estas perturbaciones se mezclan, se disipan y se propagan en la dirección del flujo. En la aplicación de la teoría de la difusión del flujo, se puede asumir que la difusión de las perturbaciones es análoga a la difusión de las partículas. En corrientes naturales las irregularidades locales proveen de un almacenamiento irregular y las ecuaciones obtenidas reflejan la razón de cambio de la capacidad de almacenamiento debido a las irregularidades.


En cauces anchos, al despreciar los términos de inercia en la ecuación de momentum, Hyami en 1951, referenciado por Chow (1959) y Eagleson (1970), propone como ecuación de continuidad una de las ya conocidas formas,

0ty

xq

=δδ

+δδ

y como ecuación de momentum para una onda que se propaga aguas abajo,

xyDcyq 0 δ

δ−= ------------------------------------------------------- 8.1

donde, c es la celeridad de la onda difusiva, q es el gasto específico, D0 es el coeficiente de difusividad,

––– para NF<1 es igual a q0/2S0, siendo q0 el gasto del estado inicial aguas arriba en régimen estacionario de profundidad y0.

Esto hace que el sistema de ecuaciones pueda ser representado por una sola ecuación en términos de caudal, igual a,

xqc

xqD

tq

2

2

0 δδ

−δδ

=δδ -------------------------------------------------- 8.2

donde la solución para un canal ancho y uniforme es,

tD4)xct(

2/32/10

0

2

et

x)D(2

1)t,x(q−

−

π= ----------------------------------- 8.3

Para NF<0,5 Harley, citado por Eagleson (1970), informa que este método se acerca en su solución, al de la onda dinámica. El modelo anterior toma la celeridad constante para todo t, que en el caso de emplear la ecuación de Chezy, es,

0

0

yq

5,1c = ------------------------------------------------------------- 8.4


mientras que si se emplea la ecuación de Manning esta constante también, sería igual a,

0

0

yq

35c = --------------------------------------------------------------- 8.5

Si la celeridad se considera variable como función de y entonces, en el caso de la ecuación de Chezy, su valor sería,

0CHEZY0

2/3CHEZY ySC

23

ySyC

23

yq

23c === ------------------ 8.6

y la ecuación diferencial en términos de y, Chow la describe así,

2

2

0

2/3

0CHEZY xyD

xySC

ty

δδ

=δ

δ+

δδ --------------------------------- 8.7

y la solución aportada por Hyami es,

χπ

−=− ∫

χ−χ−

de 21y

yy t D2x

0

D4cx

D2cx

0

n 0

2

0

2

0 ------------------- 8.8

siendo, y la profundidad a la distancia x medida desde aguas

arriba hasta la sección considerada; χ la variable de integración; y0 la profundidad en el extremo aguas arriba; yn la profundidad normal en ese punto antes de pasar la

onda. Chow (1959), presenta la propagación de una y dos ondas según la gráfica dada por Hyami tal como aparece en la figura 8.4. Ponce (1978), citado por Martins (1990), plantea para este modelo el uso de un parámetro que garantiza la buena aproximación de la onda difusiva a la realidad,

2/1

0P yqSTP

= -------------------------------------------------- 8.9

donde, TP es el período de propagación de la onda.


y es la profundidad de circulación en la sección Si P < 30 se emplea la onda dinámica; Si P*NF < 171 se emplea la onda difusiva; Si P*NF > 171 se emplea la onda cinemática. De la restricción se desprende que para el caso de la onda difusiva el período de propagación es,

2/1

0P g

yNFS

171T

< --------------------------------------------------- 8.10

FIGURA 8.4 ONDAS DIFUSIVAS: AVANCE DE UNA Y DOS ONDAS.


Otra interpretación de lo anterior es de que al variar NF en cada sección por el paso de la onda, en un instante de tiempo podrá emplearse un modelo y para otros instantes otros. 8.2.2 La onda cinemática. De las tres es el modelo más simple, sus ecuaciones son,

qxQ

tA

=∂∂

+∂∂ , como ecuación de continuidad o cualquiera de

sus otras formas. S0 = Sf, como ecuación de momentum.

Desde el trabajo de Lighthill y Whitham (1955), quienes establecieron la teoría clásica, hasta la fecha este modelo ha tenido una gran aceptación. La ecuación de momentum de esta onda establece la condición de régimen uniforme y por tanto es equivalente al uso de una de las fórmulas que se emplea para su cálculo.

FIGURA 8.5 UNA COMPARACION ENTRE ONDAS. Eagleson (1970) presenta la ecuación de momentum a partir de la deducción de la ecuación básica del régimen uniforme, capítulo 4 de este libro,

00 ySseny γ=θγ=τ


expresión válida para canales "anchos" al introducir la profundidad en sustitución del radio hidráulico, figura 8.6.

FIGURA 8.6 ERROR QUE SE INTRODUCE AL SUSTITUIR EL VALOR DE y POR EL DE R, EN FUNCION DEL ANCHO DEL CANAL. Definiendo,

2vc

2

f0ρ

=τ --------------------------------------------------------- 8.11

donde, cf es un coeficiente que depende de NR y de la rugosidad. Entonces se puede escribir que,

0CHEZY

2/1

f

2/1

f

0 ySCcseny2

c2

v =

ρ

θγ=

ρ

τ= ----------------- 8.12

donde,

fCHEZY c

g2C =

Asumiendo CCHEZY constante, como primera aproximación, si se emplea la ecuación 8.12, se puede escribir que,

2/3yvyq α== ------------------------------------------------------ 8.13 donde,

02468

101214161820

0 25 50 75 100 125 150 175 200b/y

erro

r %


2/1

fCHEZY c

seng2senC

θ=θ=α -------------------------------- 8.14

Más general es escribir, debido a la variabilidad de cf, que,

myq α= -------------------------------------------------------------- 8.15 que en el caso del régimen laminar quedaría,

vy4

vy4

NR4c f

υ=

υ

== ----------------------------------------------- 8.16

sustituyendo 8.16 en 8.14 queda,

υ=α

2gS0 y m=3.

Para el flujo turbulento se puede emplear la ecuación de Manning,

ny

cg2C

6/12/1

fCHEZY =

= , entonces queda,

3/12f ygn2c −= ----------------------------------------------------- 8.17

y de esta forma queda que para este régimen, 2/1

0Sn1

=α y 35m = .

Para un canal recubierto con vegetación, las fluctuaciones en la profundidad y la rugosidad hacen que el régimen de circulación varíe entre laminar y turbulento. Horton, empleando una ecuación como la 8.15 encontró que para superficies naturales m ≈ 2, valor que ha sido apoyado por otros investigadores (Horner, 1942; Hicks, 1944; Jens, 1948) para superficies con hierba y grava. Con todo lo anterior, el sistema de ecuaciones para la onda cinemática en "canales anchos" quedaría formado por, la ecuación de continuidad en una de sus formas. la ecuación de momentum,


––– para régimen laminar: 30 y2

gSq

υ= ------------------- 8.18 a

––– para régimen turbulento: 3/52/10 yS

n1q = ------------ 8.18 b

Chow (1994) propone como ecuación de momentum,

βα= QA ------------------------------------------------------------- 8.19 que, si se emplea la ecuación de Manning, quedaría,

5/35/3

2/1

3/2

QS

nPA

= ---------------------------------------------- 8.20

donde debe enfatizarse que P ≈ b en casos de secciones muy anchas (R ≈ y). La ecuación 8.19 y 8.20 implican que:

53

SnP

5/33/2

=β

=α y , si el canal es "ancho" puede

considerarse α constante e igual a,

5/33/2

Snb

=α , pero si no lo es entonces )y(f=α .

Si se diferencia 8.20 respecto al tiempo, se consideran canales de cualquier relación (b/y) y se sustituye en la ecuación de continuidad, se obtiene la ecuación diferencial que modela la onda cinemática. Entonces puede escribirse que,

tQQ

tQ

tA 1

∂∂

αβ+∂α∂

=∂∂ −ββ , de donde puede escribirse,

tQ

dQd

t ∂∂α

=∂α∂ y por tanto quedará,

tQQQ

QtA 1

∂∂

αβ+∂

α∂=

∂∂ −ββ ,

como expresión de la derivada de A. Entonces al sustituir en la Ecuación de continuidad quedará,

qtQQQ

QxQ 1 =

∂∂

αβ+∂

α∂+

∂∂ −ββ ----------------------------------- 8.21

que es la ecuación diferencial buscada.


Si α es constante, 0Q/ =∂α∂ y queda,

∂∂

αβ=∂∂ −β

tQQ

tA 1 , que sustituida en: q

tA

xQ

=∂∂

+∂∂ , se llega a,

qtQQ

xQ 1 =

∂∂

αβ+∂∂ −β -------------------------------------------- 8.22

esta es una ecuación diferencial parcial hiperbólica, no lineal, de primer orden. Las ondas cinemáticas son producto de variaciones del gasto, por tanto, aplicando la definición del diferencial total queda,

dttQdx

xQdQ

∂∂

+∂∂

= , que dividida entre dx y reordenada

convenientemente da como resultado,

tQ

dxdt

xQ

dxdQ

∂∂

+∂∂

= ------------------------------------------------- 8.23

de esto se desprende que las ecuaciones 8.23 y 8.22 son iguales si y solo si,

qdxdQ

= y 1Q1

dtdx

−βαβ= .

Reordenando la ecuación 8.20 y diferenciando respecto a A, queda,

1Q1

dAdQ

−βαβ= , que comparada con la ecuación anterior da lugar a

la conclusión, de que en el modelo de la onda cinemática se cumple que,

dAdQ

dtdx

= , o sea que: dtdx

dAdQc == .

Esto implica que un observador moviéndose a una velocidad c en el sentido del flujo vería el caudal que se incrementa a una tasa igual a q = (dQ/dx); si q = 0, el observador vería el caudal constante.


Las ecuaciones: dAdQ

dtdx

= y qdxdQ

= , son las ecuaciones

resultantes de unir las ecuaciones de continuidad y momentum en una sola ecuación y transformar, esta última expresión en derivadas parciales, a un sistema equivalente en derivadas totales. Estas dos ecuaciones se denominan, en este caso: ecuaciones características de la ecuación de la onda cinemática. La ecuación de la celeridad para esta onda también puede escribirse como,

T1

dydQc = ------------------------------------------------------------ 8.24

Chow (1994) citando a Miller, plantea que no hay un único criterio para cuando deba emplearse la onda cinemática. 8.2.3 Flujo uniformemente progresivo. Un ejemplo sencillo y muy simplificado del régimen impermanente, el cual es posible en canales prismáticos, es el flujo uniformemente progresivo (fup). Esta variante se representa por una ola de perfil estable que no cambia su forma a lo largo de su recorrido. De acuerdo a esta definición el fup se caracteriza por: - las posiciones sucesivas del frente de ola son paralelas - la velocidad del frente de ola, o celeridad, es mayor que la

velocidad media del agua en cualquier sección de la ola - la configuración de la ola viaja aguas abajo con velocidad

constante, pero la velocidad media en la sección varía sección a sección tal como varía el radio hidráulico y la pendiente.

De las múltiples formas de ola en este flujo, la onda monoclinal es un caso típico porque se aproxima a ondas de avenida en cauces naturales y porque su tratamiento matemático es sencillo.


FIGURA 8.7 ONDA MONOCLINAL 8.2.3.1 Desarrollo. La onda monoclinal avanza con una velocidad constante vw desde aguas arriba con y1, v1 y Q1 a aguas abajo con y2, v2 y Q2. La profundidad del frente de onda varía gradualmente de aguas arriba a aguas abajo y durante el tiempo t avanza una distancia igual a vw.t. La vw es mayor que v2 y v1 correspondiente al flujo uniforme en ambos extremos del tramo. Cuando el frente pasa sobre el flujo del canal el gasto permanente será ( ) 11wo AvvQ −= en el frente y como la configuración es estable y el volumen constante en la zona aguas abajo podría escribirse que ( ) 22wo AvvQ −= . Entonces puede escribirse

( ) 11wo AvvQ −= = ( ) 22w Avv − , de donde se obtiene,

21

2211

21

21w AA

vAvAAAQQ

v−−

=−−

= ----------------------------------- 8.25

que es la ecuación de cálculo para este caso. La ecuación de cálculo de vw demuestra que si no hay flujo inicial ( )0Q1 = entonces, 2w vv = . En canales naturales la velocidad de una onda monoclinal se determina por el llamado principio de Klentz-Seddon, desarrollado


entre 1877 y 1900 estudiando el Mississipi y el Missouri, ríos de los Estados Unidos de América. La ecuación de vw demuestra que es función del área mojada y de la relación de gastos del canal. Si se grafica esta relación, figura 8.8, se obtiene que en una sección corriente en que v aumenta si A aumenta, la curva es cóncava hacia arriba, entonces,

w12

12w v

AAQQ

tg =−−

=θ que coincide con la tangente de la línea

P1P2.

FIGURA 8.8 GRAFICA PARA EL FLUJO UNIFORMEMENTE PROGRESIVO. Para obtener la vw máxima, la pendiente de P1P2 debe ser máxima. Esto ocurre si P1 y P2 se acercan y la pendiente de la secante se aproxima a la pendiente de la tangente en P2.

Así, ]dAdQv maxw =

y como TdydA = , entonces ]dydQ

T1 v maxw = .


Esta última ecuación puede ser utilizada para conocer la relación entre la máxima velocidad de una onda y la velocidad del flujo en un canal prismático. Utilizando Manning se obtiene: 1,67 para rectangulares anchos 4,33 para triangulares 1,44 para parabólicos anchos

Puede demostrarse (Chow, 1959) que la ecuación diferencial del fup es:

( )DgA/Q1

K/QAvS

DgAQ

1

SSxy

22o

22owo

2

2o

fo

−

−−=

−

−=

∂∂ ------------------------ 8.26

y de igual forma se obtiene la ecuación del perfil de la superficie de la ola en el fup, utilizándose la ecuación de Chezy y se llega a,

( )( )( ) .onstCdyyyyyyy

yyS1xd

321

3c

3

o

x

0 ∫∫ +−−−

−= ---------------- 8.27

donde, 1y y 2y son las profundidades iniciales y finales respectivamente

3y puede ser determinada según ( )21o22

o yySC/Q y no tiene significación física alguna. yC profundidad crítica para Q0 (overrun critical depth). 8.2.3.2 Aplicaciones. • Una contribución de Y. Martínez (2000). La ecuación 8.3 puede escribirse así,

( )( ) .ConstdyyPyQy

S1x

o+

+= ∫ ---------------------------------- 8.27 a

siendo,( ) ( ) ( ) 3

C3211332212

321 yyyyyyyyyyyyyyyyQ −+++−⋅++= ( ) ( )( )( )321 yyyyyyyP −−−= y entonces su derivada será:

( ) 3121323212 yyyyyyyyyy2 y3'P −−+++−=


Como todas las raíces de ( )yP son reales y no son complejas, la descomposición de la fracción ( ) ( )[ ]yP/yQ tiene la forma,

( )( ) 3

3

2

2

1

1

yyyyyyyPyQ

−κ

+−κ

+−κ

=

donde, ( )( )

( )( )

( )( )3

33

2

22

1

11 y'P

yQ ;

yP'yQ

; y'PyQ

=κ=κ=κ

En forma genérica la relación ( ) ( )yP/yQ en i= 1, 2, 3; responde a la ecuación:

( )( ) BAy2y3

CByAyy'PyQ

i2i

i2i

i

i

+−

−−= , donde:

( ) ( ) 3C321133221321 yyyyC ;yyyyyyB ;yyyA −=++=++=

Resolviendo la integral que está planteada en 8.3a, se obtiene lo siguiente:

( )( )∫ −κ+−κ+−κ= 332211 yylnyylnyylndyyPyQ

( ) ( ) ( ) 321 321 yyyyyylndy)y(P)y(Q κκκ −−−=∫

Por tanto, se obtiene finalmente el perfil de la onda obtenido a partir de,

( ) ( ) ( )[ ] .Const yyyyyylnyS1x 321 321o

+−−−+= κκκ ------ 8.28

Tomando para oy y, 0x == ( con 1o y y < pero suficientemente cercano); a partir de la ecuación de la onda se obtiene el valor de la constante de integración, según,

( ) ( ) ( )[ ] yyyyyylnyS1.Const 321 3o2oo1oo

κκκ −−−+−= - 8.29


que agrupado en una sola ecuación (8.28 + 8.29) y organizado queda,

( )

−

−

−

−

−−

+−=κκκ 321

30

3

20

2

01

10

0 yyyy

yyyy

yyyy

lnyyS1x

FIGURA 8.9 ONDA MONOCLINAL DEL EJEMPLO.

FIGURA 8.9b VARIACION DEL GASTO EN EL EJEMPLO DEL fup. Un ejemplo de esta onda aparece graficado en la figura 8.9. En el ejemplo se trata de un canal rectangular, de 10 metros de ancho de plato, una pendiente longitudinal de 0,005 y una C de Chezy de 60. En el mismo hay un estado inicial con profundidad igual a 0,65

0.60.70.80.9

11.11.21.31.41.51.6

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Q (m3/s)

y (m

)

0.6

0.7

0.80.9

1

1.1

1.2

1.31.4

1.5

1.6

0 400 800 1200 1600 2000 2400X (m)

y (m

)


metros y se genera una onda de 1,5 metros de altura en el extremo aguas arriba del canal. La solución graficada muestra el perfil de la onda, y el valor del gasto en cada sección de la misma. El desplazamiento de la onda lo efectuará según lo planteado en la figura 8.7, siendo para este caso la velocidad de la onda (celeridad) igual a 5,58 m/s. • Una aproximación simplificada, propuesta por Ven te

Chow, al problema del fallo de una presa. El perfil de la ola que se produce por el fallo de una presa es uno de los problemas clásicos del régimen impermanente y que ha sido estudiado intensamente hasta nuestros días. En 1592, Relter, en Alemania, ofreció una primera solución usando una aproximación de la ecuación de Saint-Venant ignorando los efectos de la fricción y la resistencia de la turbulencia en este régimen. Los resultados no soportan la verificación experimental, Chow (1959). Forchheimer, en 1914, presentó un resumen de los trabajos hasta ese momento, pero no es hasta finales de la 2da. Guerra Mundial que el comando aliado instruye a R.Ré para que estudie el problema en prevención a la destrucción de las grandes presas europeas en la frontera Suizo-Germana y en el río Rin. Ré se apoyó en el trabajo de A. Craya. Posteriormente Chow (1959) cita los trabajos de Léon Levin (1952), R. F. Dressler (1952 y 1954) y F. V. Pohle (1952). Chow propone partir de que el movimiento es una pared fuertemente inclinada con un perfil invariable en una fuente de suministro constante. Entonces puede considerarse un caso especial del fup, conocido como la ola rodante, en la cual,

o11wo22 SyCV V 0Q ,0 V,0A ===== y .


Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial del fup, se obtiene,

−=

yy

1Sdxdy 1

o

Si N1 yy = , o sea, la profundidad normal está en la cresta de la ola donde el flujo es prácticamente uniforme y entonces se tendrá,

∫

−−=

−−=

y

0NN

ody

yy1

11oS1Xdy

yy1

11S1dx ,entoncesy

que integrando queda

−+=

NNo

N

yy1ln

yy

Sy

X

que es la ecuación que representa el perfil de la ola rodante. 8.3 Introducción al régimen impermanente rápidamente variado. Si el frente de una ola monoclinal tiene un cambio abrupto en su curvatura o un abrupto cambio de profundidad el régimen es rápidamente variado.

FIGURA 8.10 CANAL CON UN REGIMEN RAPIDAMENTE VARIADO POR APERTURA BRUSCA DE COMPUERTA.


FIGURA 8.10b CANAL CON UN REGIMEN RAPIDAMENTE VARIADO POR CIERRE BRUSCO DE COMPUERTA. Sea la figura 8.10, donde se abre rápidamente la compuerta y el flujo crece en velocidad de 21 vv a , si la compuerta se semicierra, figura 8.10b, el flujo decrece de 21 vv a . El régimen impermanente Rápidamente variado se puede presentar de cuatro formas diferentes, figura 8.11. En esta figura aparecen los perfiles en régimen impermanente y los mismos pero para régimen aparentemente permanente, si el observador se mueve junto a la onda. 8.3.1 Ecuación de la velocidad absoluta de la ola. Chow, 1959, presenta una deducción simple para la velocidad absoluta de la ola en esta situación. Sea la compuerta de la figura 8.10, que se abre bruscamente, si en el volumen de control entre 1 y 2 aplicamos la segunda ley de Newton se obtiene,

( ) ( )1222w vvAvvg1F −γ−=∑ .

Si la presión es hidrostática entonces se obtiene le ecuación de momentum

( )( ) 2122w1122 Avvvvg

zAzA −−γ

=γ−γ

y entonces de 8.25 se obtiene,


2

1w2w112 A

AvAvAvv

−+=

que sustituyendo en la ecuación de momentum queda, ( )

( ) 1211

1122w V

AA1AgzAzA

v +−

−= ---------------------------------------- 8.30

FIGURA 8.11 CUATRO FORMAS DE PRESENTACION DEL RIRV. que es la ecuación general que expresa la velocidad absoluta de la onda. Matemáticamente hablando, pueden existir signos (+) y (-) para el valor de wv pero se considerará el positivo ya que ( 1w vv − ) siempre debe ser positivo. Entonces la celeridad será:

( )

−

−=

21

1

1122

AA1A

gzAzAC ---------------------------------------------- 8.31


8.3.2 Problemas específicos. Ranga Raju (1981), en su texto, propone la solución para dos casos de estudio. Caso de estudio 1. Considere un canal rectangular y una onda positiva moviéndose en dirección contraria al flujo producida por un cierre de una compuerta en el análisis aguas arriba. La ola se mueve hacia aguas arriba a 8 m/s y la profundidad inicial del flujo es de 3,2 metros y su velocidad 1 m/s. La determinación de la altura de la ola se desarrollará así, figura 8.12.

FIGURA 8.12 FIGURA PARA EL PRIMER CASO DE ESTUDIO. Según la ecuación de continuidad: ( ) ( ) 22w1w1 hvvhvv +=+ y según la ecuación de momentum, despreciando las fuerzas de fricción puede escribirse:

( )( )12w11

22

21 vvvvh

2h

2h

−+ρ=γ

−γ

donde la celeridad de la onda será: 1w vvc +=

de estas tres ecuaciones, la solución será:

w2

12

1

2

1

21

vhh

cv

hh

1hh

21 ghc

−=

+

=


Si en el problema ; m 2,3h ; m/s 1v ; s/m 8v 11w === entonces, c = vw+v1 = 9 m/s; y se puede plantear,

y entonces: m847,5 h2 = y la altura de la ola será (5,847 - 3,20) igual a 2,647 metros. Caso de estudio 2. Un canal rectangular de b=1 m, figura 8.13, conduce un gasto con una profundidad igual a 2,0 metros y una velocidad de 1 m/s. Si el gasto se triplica la profundidad final se determinará en los siguientes pasos.

FIGURA 8.13 FIGURA BASE PARA EL CASO DE ESTUDIO 2 Como el gasto se triplica: Si ( ) s/6)2(321*12Q2

32

3 m Q /s,m :entonces ==== Aplicando continuidad, en la versión permanente del problema, queda:

11 h

6v =

( ) ( ) 2w21w1 hvvhvv −== que en este problema queda ( ) ( )w1w1 v12hvv −=− . La ecuación de momentum se escribirá:

( ) donde de 827,1hh

hh1

hh

22,38,99

1

2

2

2

1

22 =

+=


( ) ( )( )12w2222

21 vvvvhhh

21

−−ρ=−γ , esto es,

( ) ( )( )1w21 v1v124h

21

−−ρ=−γ resolviendo las tres ecuaciones para

las tres incógnitas queda, 45,2h1 = metros. 8.4 Propagación de ondas. El régimen impermanente está asociado inevitablemente con el movimiento de ondas de una forma o de otra. Una onda superficial, que es la que ocupa este estudio, es definida como una variación temporal de la superficie del agua que se propaga a través del fluido. La celeridad de la onda es la velocidad en la cual esta se propaga con relación al fluido. De acuerdo a las fuerzas predominantes las ondas pueden clasificarse como: ondas capilares, influidas por la tensión superficial; ondas elásticas, influidas por la compresibilidad del fluido; ondas de gravedad, donde el peso del fluido es lo predominante. Estas últimas son las que acaparan toda la atención en el estudio del tránsito de ondas por la superficie de las conducciones libres. Ranga Raju (1988) plantea la importancia de las fuerzas viscosas ya que éstas se oponen a la deformación y reducen la energía mecánica de la perturbación por transformación en calor. Desde el punto de vista físico las ondas pueden ser de dos clases: oscilatorias: donde el transporte de masa es cero ya que no hay

traslación en ninguna dirección, traslatorias: hay traslación de masa fluida en la dirección del flujo, éstas se clasifican a su vez:

- onda solitaria, - tren de olas.


Cuando las olas al moverse en un canal hacen que la superficie del agua sea mayor que en el resto del flujo se denominan ondas positivas y cuando hagan que la superficie del agua sea menor se denominan ondas negativas. También pueden clasificarse en olas de aguas profundas, si sólo la perturbación de la onda afecta la superficie y olas de aguas poco profundas si se afecta todo el perfil vertical del flujo. Para una idea aproximada de esto se puede establecer que:

Si 5,0lh

> las olas son de aguas profundas,

Si 05,0lh

< las olas son de aguas poco profundas, donde la h es la

profundidad y la l, la longitud de la onda. Reviste gran importancia el conocimiento de la propagación de ondas de gravedad. Para analizar este caso se describirá la onda solitaria. Esta fue observada y estudiada por Russell, en 1844. Su forma simple consiste en una elevación sin ninguna depresión oscilatoria. La onda se tiende sobre la superficie normal del agua y se mueve suavemente y sin turbulencias a cualquier lugar. En canales sin fricción puede moverse infinitamente sin cambiar su forma, pero en canales reales la altura se reduce paulatinamente. Esta ola puede producirse en el laboratorio por un rápido desplazamiento horizontal de una compuerta. En la naturaleza estas ondas se generan por terremotos. Despreciando la fricción, asumiendo una pendiente suave y α = 1, la ecuación de energía entre la sección del flujo y la cresta de la ola es:


222

hyy

g2chy

g2cy

+

++=+ , entonces: hy2)hy(g2c

2

++

= ,

para h moderada la ecuación puede aproximarse a:

±≈

±=

y4h31gy

y2h31gyc

esta es la llamada ecuación de celeridad de Saint-Venant donde el signo ( + ) se emplea en oleajes positivos y viceversa.

FIGURA 8.14 LA ONDA SOLITARIA. Para olas pequeñas, h es despreciable y entonces: gyc = . Conocida como la ecuación de celeridad de Lagrange, que para canales rectangulares y para no rectangulares queda,

gDC = --------------------------------------------------------------- 8.32 De acuerdo a estudios de Russell y Bazin (Siglo XIX) una mejor ecuación es:

( )hygC += --------------------------------------------------------- 8.33 y según un análisis completo de Lamb, 1935, la ecuación es:

λπ

πλ

=y2tanh

2gc --------------------------------------------------- 8.34

donde λ es la longitud de onda de la ola (cresta a cresta). Esta ecuación se conoce como la ecuación de la celeridad de Airy en honor a su creador (1845). En aguas profundas donde y >> λ queda,


πλ= 2/gc ---------------------------------------------------------- 8.35

para olas pequeñas y >> λ y λπy2 puede sustituir a tanh

λπy2 y

entonces se llega a,

gyy22gc =

λπ

⋅πλ

= .

Si una bola pesada es dejada caer en aguas tranquilas un patrón de olas características se forma, figura 1.16. Si la corriente se mueve con velocidad v < c, aguas arriba, la propagación será cvv w −= y aguas abajo, cvv w += (caso de flujo subcrítico). Si la velocidad del flujo crece, llega un momento en que no hay ondas que viajen aguas arriba. (flujo crítico y supercrítico). • Un ejemplo de propagación. Sea un canal rectangular de 100 metros de ancho, S0 = 0,01 y n = 0,035. Si el gasto en una sección es de 150 m3/s, ¿qué celeridades tendrían una onda cinemática y una onda dinámica y como serían las velocidades de propagación de la onda dinámica aguas arriba y aguas debajo de la sección?. Según Manning, ––– la profundidad para el gasto es: 0,683 m (se puede considerar

R≈y con un error de menos del 2%) ––– la velocidad en esas condiciones: 2,20 m/s ––– el Número de Froude: 0,85 (subcrítico). ––– La celeridad de la onda cinemática será para esta sección:

T1

dydQc = y por tanto 3/2

2/10

2/10

3/5

y35

nS

nSby

dyd

b1c

=

=

entonces: c = 3,69 m/s. ––– La celeridad de la onda dinámica será: === 683,0*81,9gyc 2,59 m/s


––– La velocidad de propagación de la onda dinámica es: 2,59 + 2,20 = 4,79 m/s aguas abajo. 2,20 - 2.59 = - 0.39 m/s aguas arriba.

8.5 Generalidades acerca de los métodos de solución de las

ecuaciones de Saint-Venant para RIGV. Las dos ecuaciones que describen el régimen impermanente son:

0tA

xQ

=∂∂

+∂∂ [continuidad sin gasto lateral]

o cuando el canal está alimentado por un gasto lateral (q) que modela aportes y entregas,

qtyT

xQ

=∂∂

+∂∂ [continuidad con gasto lateral]

estas son dos de las formas de la ecuación de continuidad, primera ecuación del sistema, y,

tv

g1

dxv

gv

xySS of ∂

∂−

∂−

∂∂

−=

que es la ecuación de cantidad de movimiento, dinámica o de momentum, sin considerar gasto lateral. Este dúo de ecuaciones forma un sistema fuertemente no lineal. La validez de estas ecuaciones ha sido verificada por numerosos autores, sin embargo su integración exacta es imposible, de ahí que existan numerosos y diferentes métodos de solución con el único objetivo común de: conocer el perfil del agua en determinados intervalos de tiempo en secciones ubicadas a lo largo de un tramo de canal. Las ecuaciones que describen el régimen impermanente son:

fuertemente no lineales al tener términos como A y R, que son no lineales respecto a la profundidad; del tipo hiperbólico; unidimensionales ( ) ( )[ ]tx,y y; t,xQQ == .


La velocidad media que aparece en los términos de las ecuaciones no representa con exactitud la velocidad en una sección, ya que en el caso de un flujo viajando en una dirección y una onda desplazándose en dirección contraria, la distribución del vector vρ en la vertical es compleja. Los métodos de solución pueden agruparse en: ––– Métodos empíricos; ––– Métodos simplificados; ––– Métodos numéricos. Los métodos empíricos se basan en correlacionar las variables básicas, para un canal dado y en condiciones de una obra determinada, y obtener así una ecuación de enlace entre las variables que permita su empleo posterior. Por ejemplo V.I. Velazco (1982) correlacionó las curvas S1 en una canal de riego con un modelo exponencial obteniendo resultados satisfactorios. Los métodos simplificados son los que abrevian las ecuaciones del régimen impermanente, como el método de Muskigum, desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros (USA) en el embalse del río Muskigum. Este método se basa en usar la ecuación de continuidad y en vez de la ecuación dinámica, una relación entre el almacenamiento y el gasto que entra y sale de un tramo. Los métodos numéricos trabajan con las dos ecuaciones que rigen el comportamiento del régimen impermanente. Strelkoff (1970), indica que desde principios de siglo se han estudiado soluciones, pero que no es hasta la llegada de las computadoras digitales que se da un rápido impulso a esta técnica. Estos métodos pueden clasificarse como: • Métodos numéricos directos

• Métodos de las características.


En los métodos directos se formulan ecuaciones en diferencias finitas (MDF) utilizando las ecuaciones diferenciales parciales originales de continuidad y momentum. El método de los elementos finitos (MEF) se ha empleado, pero con menos intensidad que el anterior. En el método de las características las ecuaciones diferenciales parciales se transforman, primero, a diferenciales totales y luego las ecuaciones de las características se resuelven analíticamente. Este método presenta fallas debido a la convergencia de las curvas características y si el esquema es explícito, debe cumplir las restricciones de Courant para lograr estabilidad. En 1983, Schmitz y Edenhofer presentaron una solución implícita de este método, que presenta un esquema incondicionalmente estable, que ha arrojado muy buenos resultados en su calibración. Este método tiene la ventaja que su deducción ejemplifica muy bien el fenómeno del tránsito de una onda, por lo que su empleo como herramienta didáctica es muy útil. A partir de la década de los sesenta, los métodos directos comenzaron a tener primacía en las soluciones al problema del RI. Variantes del método de diferencias finitas (MDF) con soluciones explícitas e implícitas donde se destacan el esquema explícito de Mac Cormack (Saavedra, 1996) y el esquema implícito de Preissman (Martínez, 1999) como soluciones con resultados muy aceptables. Por su parte, el método de elementos finitos (MEF), resuelto por vez primera por Cooley y Moin (1976), como la variante propuesta por Szymkiewics obtenida de una modificación del procedimiento de integración de Galerkin y analizada exitosamente por Y. Martínez (1999), en su tesis de Maestría en Ingeniería Hidráulica, presenta un trabajo comparativo entre soluciones aportadas por los MEF y MDF.


8.5.1 Condiciones de frontera e iniciales. Cuando se estudia el régimen permanente variado es necesario establecer la sección de control para cada curva superficial que se genere. En esa sección la condición inicial está dada generalmente por la profundidad del flujo para el gasto que se analiza. Las fronteras para estos casos están definidas: por la profundidad normal del tramo, por la profundidad crítica o por alguna frontera específica que defina el calculista o la propia conducción. En el régimen impermanente variado las condiciones iniciales y de frontera son también extremadamente importantes ya que: • La condición inicial define el estado t = 0 para el comienzo de

la generación de la onda. Este puede partir de un régimen permanente uniforme, de uno permanente variado o de uno impermanente variado.

Esta condición informa sobre el grupo de datos iniciales de la profundidad, la velocidad y el gasto para el inicio del estudio de la onda y se enuncia como: Q(x, to) H(x, to) para 0 ≤ x ≤ L en t = to.

• Las condiciones de frontera especifican, en los extremos

físicos del tramo de canal analizado, la información necesaria (usualmente hidrogramas y limnigramas) que controlan, generan y restringen las ondas que caracterizan el régimen.

Además, es necesario tener información de nodos donde hay confluencia o bifurcación de caudales. Se pueden especificar varias combinaciones de condiciones de frontera en los extremos físicos de una red. French (1986) plantea que las condiciones externas pueden ser: ( ) ( ) ( )yfQ , tf y,tfQ ,0Q 321 ==== . Y. Martínez (1999), tabula ocho diferentes alternativas:


Caracterizadas por un hidrograma Q(t) y un limnigrama h(t) Variante I Variante II Variante III Variante IV

Q(x0,t) = Q0(t) h(x0,t) = h0(t) Q(x0,t) = Q0(t) h(x0,t) = h0(t) h(L,t) = hL(t) Q(L,t) = QL(t) Q(L,t) = QL(t) h(L,t) = hL(t)

Incorporando la relación Q =f(h) Variante V Variante VI Variante VII Variante VIII

Q(x0,t) = Q0(t) h(x0,t) = h0(t) Q0 = f [h0(t)] Q0 = f [h0(t)] QL = f [hL(t)] QL = f [hL(t)] Q(L,t) = QL(t) h(L,t) = hL(t)

TABLA 8.1 CONDICIONES DE FRONTERAS Las condiciones de fronteras internas ocurren generalmente en lugares donde un aporte llega al tramo, hay una obra intermedia, existe una entrega o hay una bifurcación, Si se desprecian las pérdidas en estos nodos se pueden especificar las condiciones de frontera apropiadas en cada caso. Por ejemplo, para una confluencia de N ramales la ecuación de continuidad será:

∑=

=n

1iiQ gasto externo específico en el nodo

y ( )1n − ecuaciones que especifican la compatibilidad de las profundidades que deben satisfacerse:

1yiyi += para ( )1n1i −→= . Por tanto para la solución del régimen impermanente y variado se tendrán: ––– la ecuación de continuidad, ––– la ecuación de momentum, ––– la condición inicial, ––– la condición de frontera aguas arriba, ––– la condición de frontera aguas abajo. Cada método de solución trae consigo especificadas las condiciones de frontera necesarias para su solución, siendo general para todos: las condiciones iniciales y las ecuaciones de Saint-


Venant, con la ecuación de momentum en su forma de modelo dinámico, modelo difusivo o modelo cinemático. 8.5.2 Calibración y verificación. Como es general para cualquier modelo matemático, los modelos de régimen impermanente deben calibrarse primero y verificarse después. El proceso requiere de conjuntos de datos independientes y estadísticamente confiables. Un grupo de estos conjuntos (al menos uno) se emplea para establecer los valores de los coeficientes a calibrar mientras que otro grupo de conjuntos (al menos uno) se utiliza para verificar si estos coeficientes responden al fenómeno físico que se modela. Durante la calibración de estos modelos se refinan los valores de rugosidad y los coeficientes de peso relativo si la solución implica su utilización. Esta determinación deberá realizarse con una amplia gama de condiciones de flujo y niveles que abarquen las soluciones que debe dar el modelo posteriormente. French (1985), recomienda priorizar bases de datos de hidrogramas en el prototipo por sobre los valores de variación de las profundidades. Si se obtiene un alto grado de calibración y verificación el modelo podrá emplearse más allá de los límites empleados para su calibración y verificación. El proceso de calibración-verificación consiste: Primero, en ajustar los valores de las variables a calibrar

(usualmente n de Manning o la de C de Chezy) hasta obtener una buena correlación estadística entre valor medido en el prototipo )Q ,y( Pp y valor generado por el modelo ( )mm Q , y para una sección del tramo de canal analizado.


Segundo, con los valores de la variable, determinados en el primer paso, comparar mediante una correlación estadística los datos generados por el modelo, para otro juego de datos y los valores correspondientes medidos en el prototipo.

La calibración-verificación habrá concluido cuando se obtengan los valores esperados de los criterios de bondad de ajuste asumidos en el proceso. Las principales dificultades están en la obtención del coeficiente de fricción de la ecuación de momentum que en realidad en este caso se convierte en un coeficiente de resistencia dinámica que se complica al: no existir posibilidad teórica de calcularlo. estar su formulación principal y la base de datos que se cuenta

basada en modelos de flujo permanente uniforme. no estar bien estudiados la influencia de los cambios

dinámicos del régimen impermanente en el factor de fricción. Lo anterior trajo como resultado que existieran diferentes tendencias en la etapa de definición y calibración del coeficiente de fricción del canal para régimen no permanente. Trujillo (1999), enfoca estas tendencias agrupándolas en casos. A continuación el análisis. Caso 1: Considerar el coeficiente de fricción de régimen impermanente es igual al coeficiente de rugosidad del canal para régimen permanente uniforme, según el tipo de revestimiento del canal. Al considerarse esto se asume que existe un equilibrio entre la componente de la fuerza de gravedad y la fuerza de fricción, que ejerce el contorno sobre el flujo, no considerando la presencia de ondas, lo que sin dudas tiene una influencia dinámica sobre el coeficiente de fricción de régimen impermanente.


La metodología de calibración para dicho régimen es muy simple, contando con los siguientes pasos: 1º Se determina la geometría y dimensiones del canal en estudio

y la pendiente longitudinal del tramo en estudio. 2º Se determina el gasto mediante el uso de alguna técnica de

medición, que no genere cambios en el régimen uniforme. 3º Se determina el tirante de circulación al menos en dos

secciones del tramo de canal. Si en el canal se alcanza el régimen uniforme los tirantes serán iguales. Si no se alcanza el régimen uniforme se utiliza la práctica de imponer la uniformidad mediante el uso de alguna estructura hidráulica aguas abajo que imponga que los tirantes sean uniformes a lo largo del tramo de canal.

4º Se calcula el área mojada y el perímetro mojado del canal. 5º Se determina el coeficiente de rugosidad despejando de alguna

de las expresiones de régimen uniforme. Si utilizamos la expresión de Manning quedaría,

o3/2

3/5

SPA

Q1n = --------------------------------------------- 8.36

Caso 2: Considerar que el coeficiente de fricción de régimen impermanente es igual al coeficiente de rugosidad para régimen permanente gradualmente variado de la condición inicial de flujo o de la familia de curvas de RPGV por donde pasa la onda del RI, desde su estado inicial, hasta el final. Esto surge de suponer que una onda de RI es la sumatoria de una serie de estados del RPGV, no considerándose en el coeficiente de fricción la incidencia dinámica que produce sobre el flujo la presencia de las ondas no permanentes. La calibración para RPGV podría realizarse de dos formas diferentes:


1º Considerar que el coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del canal, siendo el mismo para todas las secciones del canal y dependiendo solamente de los tirantes en el mismo:

( ) 0xn ; yfn =

∂∂

=

Para este caso el proceso de calibración consiste en que una vez determinados los tirantes de circulación aguas arriba y aguas abajo del tramo analizado, a partir de un valor inicial del coeficiente de rugosidad, se calcula la curva superficial a partir de uno de los tirantes medidos en el canal. Se calcula el error existente en la última sección de cálculo, entre el tirante calculado y el tirante real observado en el canal, pasándose a un proceso de determinación del coeficiente de rugosidad que minimice dicho error.

2º Considerar que el coeficiente de rugosidad es variable a lo

largo del canal y depende de los tirantes y de su posición en el canal:

( ) 0xn ; y,xfn ≠

∂∂

=

Los métodos más utilizados se basan en calcular el perfil de la superficie del agua, a través de un polinomio de interpolación, siendo conocidos los tirantes en tantos puntos como se desee, pudiéndose entonces obtener el coeficiente de rugosidad en dichos puntos, al despejar de la ecuación diferencial del RPGV el valor del coeficiente de rugosidad, tomando el término (dy/dx) como la derivada del polinomio de interpolación respecto al eje x, partiendo de un polinomio del tipo:

32 dxcxbxay +++= , se puede obtener el término (dy/dx)

como: 2dx3cx2bdxdy

++= , que al sustituirlo en la ecuación

diferencial del RPGV se obtiene:


( )[ ]1NF dx2cx2bSQP

An 2

y2

o3/2y

3/5y −+++= ------------------- 8.37

donde: x : distancia a la sección de cálculo. b, c, d : coeficientes del polinomio de interpolación.

Trujillo (1997), demostró que la calibración con coeficiente de rugosidad variable a lo largo del canal da mejores resultados que la calibración con coeficiente de rugosidad constante a lo largo del canal, pues se reproduce mejor la curva superficial de RPGV con menos diferencia entre los tirantes observados y calculados y se logra conocer el valor del coeficiente de rugosidad, para cada una de las secciones del canal. También demostró que el polinomio que mejores resultados ofrecía es un polinomio cúbico tipo función spline cúbico, pues el mismo pasa por todos los puntos que le sean entrados como datos, garantizando continuidad en la derivada con mínima energía, siendo por esta razón que representa tan satisfactoriamente el comportamiento del agua. La metodología de calibración para RPGV, será así: 1º Se determina la geometría y dimensiones del canal en estudio

y la pendiente del fondo en el tramo. 2º Se determina el gasto mediante el uso de alguna técnica de

medición hidrométrica. 3º Se determinan los tirantes reales de circulación en la sección

inicial y final del cálculo. 4º Si se va a considerar que el coeficiente de rugosidad es

constante en el tramo, a partir de un valor inicial de coeficiente de rugosidad, se calcula la curva superficial determinándose la diferencia entre el tirante observado y calculado en la sección final de cálculo, si la diferencia es mayor que el error permisible, buscar el valor de coeficiente de rugosidad que minimice la diferencia entre el tirante observado y el calculado.


5º Si se va a considerar que el coeficiente de rugosidad es variable a lo largo del canal se propone determinar una función spline cúbico, con los tirantes iniciales y finales del tramo analizado y determinar el coeficiente de rugosidad para cada sección mediante la ecuación 8.37.

Caso 3. Considerar que el coeficiente de fricción de RI es el coeficiente de resistencia dinámica que tiene en cuenta el efecto del contorno y de las ondas que se producen en dicho régimen. La determinación de los valores del coeficiente de fricción en el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales y para las condiciones de fronteras e iniciales se le denomina problema inverso y reviste una gran importancia su solución dentro de las soluciones del régimen impermanente. Si el parámetro calibrado no responde a la realidad del problema que se modela, aún la mejor técnica numérica no podría dar resultados satisfactorios de la predicción realizada. En este caso el coeficiente de fricción es aquel que minimice la diferencia entre los tirantes observados y calculados por algún método numérico, por lo que dicho coeficiente dependerá también del método de solución que se utilice para la modelación de las ecuaciones de Saint-Venant. Para poder realizar la calibración del coeficiente de fricción para RI se necesita conocer con precisión el comportamiento de los parámetros hidráulicos (y,Q) a lo largo del tiempo para diferentes pruebas de régimen impermanente, para posteriormente buscar el coeficiente de fricción que pueda lograr la mejor simulación de dichas pruebas con ayuda del modelo matemático. Para lograr conocer esto, se hace imprescindible contar con un sistema de adquisición de datos en tiempo real, como los elaborados en el Centro de Investigaciones Hidráulicas, León (2000), que permita conocer como ocurre en la realidad el paso de la onda por el canal,


conociéndose para diferentes secciones a lo largo del tiempo el comportamiento de los parámetros hidráulicos fundamentales y=f(t) o Q=f(t). Esto sin duda ha sido una limitación práctica en el desarrollo de este tema, pero es totalmente posible dado el desarrollo tecnológico alcanzado en los últimos tiempos y en el procedimiento teóricamente correcto que permitiría la predicción correcta y exacta del comportamiento de una onda de RI, lo cual sería de vital importancia para la operación automatizada en tiempo real de un canal. Para la búsqueda del coeficiente de fricción que minimice la diferencia entre los parámetros observados y calculados se podrían utilizar diferentes hipótesis: I. Considerar un coeficiente de fricción único para todas las

secciones y para todos los intervalos de tiempo, por lo que obtendríamos un parámetro único a calibrar.

II. Considerar un coeficiente de fricción único para todos los intervalos de tiempo, pero variable para cada sección del canal, por lo que obtendríamos un vector a calibrar.

III. Considerar que el coeficiente de fricción varía para cada sección del canal y para cada instante de tiempo, por lo que obtendríamos una matriz a calibrar.

Trujillo (1997), propone la utilización de un algoritmo genético para la calibración del coeficiente de fricción independientemente del criterio que se decida de los vistos anteriormente. El algoritmo genético es un método aleatorio basado en el principio de la selección natural de los miembros de una población inicial de parámetros, vectores y matrices que se generan aleatoriamente, entre los que puede estar el coeficiente de rugosidad de la condición inicial de flujo y de las diferentes curvas de RPGV por donde pasa la onda. Al realizar la modelación


matemática para cada uno de estos vectores y evaluar la función objetivo. Esta podría ser:

( )m

yy

0.F

m

1i

2obsi

Simi∑

=

−

= ------------------------------------------ 8.38

donde: Simiy - profundidad simulada por el modelo matemático.

obsiy - profundidad observada en el canal mediante el

sistema automatizado de adquisición (SAD). m - cantidad de mediciones. Los individuos de la población, mejor adaptados al medio, o sea, los que logran simular mejor la prueba, son los que tienen menores valores, en este caso, de las FO. Se seleccionan los individuos mejor adaptados al medio y se cruzan entre ellos, partiendo del principio que de padres buenos, hijos buenos, mediante diferentes técnicas de cruzamiento se conforma una nueva población. El proceso se repite nuevamente durante un número de generaciones, lográndose obtener al final un individuo, que de todas las generaciones analizadas, es el que mejor simula la realidad pues es el que tiene menor valor de la función objetivo. El uso de un algoritmo genético tiene diferentes ventajas, tales como: Buscar a partir de una población de puntos y no de un punto

simple. Se analiza gran cantidad de valores posibles de coeficientes de

fricción, permitiendo así no caer en soluciones que son óptimos locales.

Usar directamente la función objetivo y no la derivada u otro conocimiento auxiliar.

Para poder aplicar este método de calibración en régimen impermanente, se hace imprescindible poder contar con un modelo matemático que solucione las ecuaciones de Saint-Venant y que


sea estable, seguro y eficiente, pues dadas las características propias de este método se realizarán muchas simulaciones del paso de la onda y el modelo debe ser capaz de garantizar esto de forma estable y eficiente y de un sistema de adquisición de datos en tiempo real confiable y flexible para la recogida de la información inicial. 8.5.3 Inestabilidad. La discretización del plano tx − en una malla para la integración de las ecuaciones que resuelven el problema de la onda cinemática, difusiva o dinámica, introduce errores numéricos en los cálculos. Un esquema es estable si tales errores no se amplifican durante los cálculos sucesivos desde una línea de tiempo hasta la siguiente. La estabilidad numérica de los cálculos depende del tamaño relativo de la malla. Una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un esquema explícito es la condición de Courant (Courant y Friedrich, 1948). Esta condición establece que el intervalo de tiempo para el cálculo sea menor que el tiempo de tránsito de la onda a lo largo de x∆ . Si t∆ es muy grande existe una acumulación de agua y el esquema es inestable. Esta condición no se aplica a los esquemas implícitos. En un esquema explícito x∆ es un dato que se mantiene fijo en todo el proceso de cálculo, mientras que t∆ se calcula para cada intervalo de tiempo. Para esto se calcula el t∆ que cumpla justamente ( )[ ]gDv/xt +∆=∆ en cada punto de la red i en la línea de tiempo k y se utiliza el menor t∆ y a veces se recomienda reducirlo aún más. Courant no garantiza la estabilidad y por eso es sólo una guía.


La condición de estabilidad de Courant, requiere:

cCxt ∆

≤∆ ------------------------------------------------------------- 8.39

donde cC es la celeridad de la onda cinemática y para ecuaciones de onda dinámica se transforme en:

gDvxt

+∆

≤∆ --------------------------------------------------------- 8.40

French recomienda, para los esquemas propuestos por él para las características y el de diferencias finitas, emplear:

gDvx2,0t

+∆

≤∆ ----------------------------------------------------- 8.41

8.6 Método de los incrementos finitos. Presentado por Harold A. Thomas, en 1934, no pretende este método acercarse a la solución exacta matemática y es un buen ejemplo de un método simplificado. El método se basa en dividir el perfil del canal (de sección rectangular) en tramos de longitud finita ∆x. El intervalo de tiempo en consideración es t∆ . El tramo designado se divide en tantas secciones como se quiera, con el fin de calcular en cada una y y v. Premisas: ––– Conocer la posición inicial de la superficie: condición inicial. ––– Conocer en una sección la posición de la superficie

transcurrido t∆ : condición de frontera. ––– Sección rectangular. Las ecuaciones de flujo no permanente se han adaptado al uso de incrementos finitos según las siguientes expresiones:


para el área, radio hidráulico, ancho superficial y velocidad:

4R

4RRRRR

4A

4AAAAA 43214321 ∑

=+++

=∑

=+++

= ;

4v

4vvvvv

4T

4TTTTT 43214321 ∑

=+++

=∑

=+++

= ;

expresando las diferenciales parciales por incrementos finitos:

∆

−−+−=

∆−

+∆−

=∂∂

x2yyyy

xyy

xyy

21

xy 43212443

∆

−−+−=

∆−

+∆−

=∂∂

x2vvvv

xvv

xvv

21

xv 43212413

( )

∆−

+∆−

=∂

∂=

∂∂

xvAvA

xvAvA

21

xAv

xQ 22441133

FIGURA 8.15 PERFIL DE UN TRAMO PARA LA DEDUCCION DEL METODO DE THOMAS

∆

−−+−=

∂∂

x2vAvAvAvA

xQ 44332211

t2yyyy

tyy

tyy

21

ty 43213412

∆−+−

−=

∆−

+∆−

=∂∂

t2vvvv

tvv

tvv

21

tv 43213412

∆−+−

−=

∆−

+∆−

=∂∂


sustituyendo estas expresiones en la ecuación de continuidad:

0tyT

xQ

=∂∂

+∂∂

y resolviendo para 4V se tiene: ( )

4

3322114321

4 A

vAvAvAt4

yyyyTx

v−++

∆−+−

∑∆= -------- 8.42

si se sustituye en la ecuación dinámica se obtiene y4.

tv

g1

xv

gv

xySS fo ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=−

queda: ( )( )

( )

.tg2

vvvvxg8

vvvvvx2

yyyyR52,2vnS

4321

432143213/4

22

o

∆−+−

−

−∆

−−+∑α−

∆−−+

−∑

∑=

Si se hace Dx

Cx

BASo −∆

−∆

−=

donde: ( )( )

;2

yyyyB;R52,2vnA 4321

3/4

22 −−+=

∑

∑=

( )tg2

vvvvD ;

g8vvvvv

C 43214321

∆−+−

=−−+⋅∑α

=

entonces,

( )CBx

1DASo −−∆

=+−

y queda al final

DASCBx

o +−−

=∆ ------------------------------------------------------ 8.43

donde las incógnitas están recogidas en A, B, C y D. El esquema de cálculo, figura 8.16, será así:


Algoritmo para el cálculo hacia aguas abajo. 1. Establecer la condición inicial (y(x) para t = 0) y la condición

de frontera aguas arriba (y(t), v(t) para t = i ∆t, desde i = 1, n). 2. Definir ∆x y ∆t . 3. Suponer y4 y calcular v4 según 8.42. 4. Con y4 y v4 calcular ∆x según 8.43 y compararlo con el valor

definido en el paso 1. Si ∆xsupuesto = ∆xcalculado ± error, se termina con el proceso y se continua a otro punto de la malla. Si ∆xsupuesto ≠ ∆xcalculado ± error, entonces se supone un nuevo valor de y4 y se regresa al paso 2.

FIGURA 8.16 MALLA x-t PARA EL METODO DE THOMAS. 8.7 Métodos de las características. En un método de solución de las dos ecuaciones del flujo impermanente. Las soluciones por este método se remontan al siglo XIX, siendo Junius Massau, en 1889, uno de los primeros contribuyentes destacados de la solución por esta vía. Si se trabaja con el modelo de onda dinámica, el método se basa en sustituir las dos ecuaciones diferenciales parciales por cuatro


diferenciales ordinarias. Las ecuaciones que definen el flujo impermanente son de tipo hiperbólico: es decir, tienen dos direcciones características reales y distintas, esto permite la transformación en cuatro diferenciales ordinarias. J. Massau (1889), escribió las siguientes ecuaciones: • la ecuación dinámica:

fo SStv

g1

xv

gv

xy

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ ----------------------------------- 8.44

• la ecuación de continuidad:

0ty

xyv

xvD =

∂∂

+∂∂

+∂∂ ------------------------------------------- 8.45

• la ecuación que indica que el cambio total es igual a la suma de los cambios parciales:

dydttydx

xy

=∂∂

+∂∂ --------------------------------------------- 8.46

• una ecuación similar para la velocidad:

dvdttvdx

xv

=∂∂

+∂∂ --------------------------------------------- 8.47

Debe recordarse que mientras dy y dv representan los cambios totales en profundidad y velocidad, x/y ∂∂ es la pendiente de la superficie del agua, t/v ∂∂ es el cambio de velocidad respecto al tiempo, x/v ∂∂ respecto a la distancia y t/y ∂∂ es el cambio de la profundidad respecto al tiempo siendo fS la pendiente de fricción ( )3/422 R/vn . Resolviendo las cuatro ecuaciones simultáneamente para x/y ∂∂ se obtiene:

( )

Dg

vdtdx

gv2

dtdx

g1

dtdx

dtdy

g1

dtdy

gv

dtdv

gDSSD

xy

22

fo

−+−

+−+−−=

∂∂ -------------------- 8.48


Se puede suponer que una onda de crecida está compuesta por un gran número de oleaje infinitesimales. La propagación de la onda puede tratarse como la propagación de los oleajes, a su vez, cada oleaje es formado como resultado de perturbaciones causadas por la crecida y tiene un perfil de superficie discontinuo. En el punto de discontinuidad la superficie del agua se rompe y

x/y ∂∂ tiene dos valores. Ya que los dos valores no mantienen relación definida el valor x/y ∂∂ debe ser indeterminado. Cuando el denominador de la ecuación 8.48 tiende a cero,

( )dtcvdx ±= ------------------------------------------------------- 8.49 Cuando el numerador tiende a cero y la ecuación 8.48 es utilizada:

( ) ( )dtSSgc2vd fo −=±= ---------------------------------------- 8.50 Las ecuaciones 8.49 y 8.50 son conocidas como las ecuaciones de las características. Sobre el plano tx − la ecuación:

cvdtdx

+= define la dirección positiva de la característica,

y la ecuación:

cvdtdx

−= define la dirección negativa de la característica.

Las cantidades ( ) )c2(v c2v −+ y son conocidas como la invariante positiva de Riemann y la invariante negativa de Riemann respectivamente. Massau propuso, por vez primera, la forma de derivar estas ecuaciones y más tarde un procedimiento de tanteo para aplicarlas al flujo impermanente. Este método no ha sido popular por su laboriosidad y varios investigadores desde la década de los años


30 y hasta nuestros días, han desarrollado variantes para simplificar su utilización. Luaces (1999) ha agrupado los últimos aportes según el siguiente orden. En 1952 Hartree, según Lai (1988), desarrolla el esquema del intervalo de tiempo (STI), donde dos curvas características interceptadas son sobrepuestas en una malla rectangular de coordenadas x y t, dando lugar así al llamado esquema clásico. Capella Vizcaíno en (1962), deduciendo las ecuaciones características a partir de las de Euler, desarrolla el método de Lyn para la resolución de las mismas, discute el tratamiento de las condiciones de fronteras e iniciales y desarrolla el cálculo numérico en forma semigráfica aplicando el método al tránsito de una avenida. En 1966-1967 Amein, Fletcher y Hamilton citados por French (1989) utilizan el método de las curvas características para el tratamiento de flujos rápidamente variados y lo aplican a cauces naturales para el estudio de inundaciones. Mozayeny y Song en (1969), aplican el método de las características para resolver numéricamente las ecuaciones de momentum y continuidad para el caso de ondas de avenidas senoidales en una longitud determinada de un canal rectangular. Analizan los efectos de varios parámetros (coeficiente de rugosidad, pendiente, distancia de propagación, amplitud inicial de la onda, etc.) en la disipación de ondas de avenida. Strelkoff en (1970) y Strelkoff et al (1993) revisan las bases teóricas para el método de las características y lo usan en la exposición de un caso general, concluyendo que la velocidad de onda larga de una perturbación es dada por la pendiente en las curvas características.


Wylie en 1970, según Arteaga (1985), introduce la solución de las ecuaciones de Saint Venant para el flujo unidimensional no permanente subcrítico por medio de cuatro diferentes fórmulas, cada una basada en el método de las características, da las ventajas y desventajas de cada procedimiento y presenta también un ejemplo, acentuando los aspectos importantes y termina corroborando el criterio de estabilidad. Miller en 1971, da una explicación amplia y detallada del significado de las direcciones características en lo general y en lo particular para los problemas de propagación de ondas en canales. Destaca también la importancia de los conceptos de región de influencia y dominio de dependencia de las curvas características. Desarrolla las ecuaciones características, a partir de las ecuaciones de continuidad y momentum para flujo gradualmente variado no permanente y les aplica un esquema de diferencias finitas explícito, muestra la diferencia de las direcciones características para flujos supercríticos con relación al subcrítico. Sivaloganathan en (1978-1979), detalla de una forma modificada el método de las características de red rectangular y el método de las curvas características. Compara para diferentes condiciones de fronteras, soluciones calculadas por los dos métodos y encuentra una completa concordancia con los valores de campo en todas las situaciones. Al final destaca las ventajas e inconvenientes de cada método e indica la forma de variación del número de Courant ante variaciones de los intervalos de distancias y como influye en la precisión y tiempos de demora en la computación. Zovne y Martín en (1979), publican las investigaciones sobre dos métodos de integración numérica explícita aplicados a las formas características de las ecuaciones de Saint Venant para la solución de tránsitos en problemas de flujos supercríticos en canales abiertos. El método de la malla característica, el cual puede ser generalmente usado para problemas de tránsitos supercríticos no es aplicable en el régimen subcrítico. Aunque recomendado como


el más conveniente para mallas con espaciamientos mayores de 30,5 metros y flujos con valores no excesivos del Número de Froude para que resulte estable. Los métodos de integración desarrollados para la simulación de tránsitos subcríticos no necesariamente son adaptables al régimen supercrítico. Entre 1980-1983 Schmitz y Edenhofer, según Lai (1982-1994) y el Instituto de Investigaciones Eléctricas, de la Comisión Federal de Electricidad de México (1980), introducen un método al que denominan método implícito de las características con el cual eliminan el problema de la restricción de Courant, haciendo el esquema incondicionalmente estable. También en esta época (1983) Goldberg y Wylie estudian la interpolación hacia atrás en el tiempo para dar a conocer otros métodos explícitos y mixtos sin dejar de reconocer la validez de los métodos anteriores. Lai (1982), después de un estudio sobre el tema llega a la conclusión de que el esquema del intervalo de tiempo es el esquema preferido por los ingenieros hidráulicos para la solución de las ecuaciones de Saint Venant y no así el también poco usado esquema de curvas características y en 1988, hace un resumen de los esquemas numéricos por el método de las características usando intervalos especificados y determina que existen en la práctica del ingeniero hidráulico cuatro esquemas explícitos (el esquema clásico, el esquema con memoria espacial fuera del incremento, el esquema con memoria temporal y el esquema con memoria espacial) y uno implícito, el de Schmitz y Edenhofer. Suain (1990) y Dolz (1990) aplican el método de las características con malla de Hartrre a redes de alcantarillado y drenaje pluvial, obteniendo buenos resultados y recomendando el uso del mismo para simular redes de períodos de duración cortos. En (1995) Keh-Chia et al, aplican el método de las características a las ecuaciones de transporte de sedimentos, obteniendo buenos resultados.


8.7.1 Aplicación del método de las características a las ecuaciones de Saint-Venant. El método clásico de las características puede ser descrito como una técnica que sustituye el problema de resolver dos ecuaciones diferenciales simultáneas por el problema de resolver cuatro ecuaciones diferenciales, según Abbott (1966) y (1970). Planteando las ecuaciones de Saint Venant, es decir las ecuaciones de continuidad y la de momentum descritas anteriormente.

1Hty

xyv

xvA =

∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) 2fo HSSgtv

xvv

xyg =−−

∂∂

+∂∂

+∂∂

Si combinamos 1H y 2H con un multiplicador desconocido λ en una forma lineal para producir una nueva función ,H y queda,

21 HHH +λ= . Ven te Chow propone en 1959, el método desarrollado Pin-Nam-Lin, en 1952, con un procedimiento gráfico. En este método las cuatro ecuaciones de las características que sustituyen las dos diferenciales parciales originales son:

cvdydx

+= ----------------------------------------------------------- 8.51

( ) ( )dtSSgc2vd fo −=+ -------------------------------------------- 8.52

cvdtdx

−= ----------------------------------------------------------- 8.53

( ) ( )dtSSgc2vd fo −=− ------------------------------------------- 8.54 El método es válido para flujo subcrítico, en otro caso las perturbaciones de las ondas estacionarias hay que tomarlas en cuenta.


En cada punto del plano tx − , que define el tránsito de la onda, hay dos direcciones características dadas por las ecuaciones 8.51 y 8.53. A lo largo de esas líneas ( )c2v + y ( )c2v − son invariantes, figura 8.17. En el caso del régimen subcrítico en la dirección positiva o negativa de )cv(:x < ; entonces la característica positiva tiene una pendiente positiva y la característica negativa una pendiente negativa. Para régimen supercrítico en la dirección positiva del eje x , como

cv > , ambas características tienen pendiente positiva, figura 8.17 y en la dirección negativa de x , ambas tienen pendiente negativa, figura 8.17.

FIGURA 8.17 DIRECCION DE LAS CARACTERISTICAS EN EL REGIMEN SUBCRITICO Y SUPERCRITICO.


Para la zona del gráfico en que v y c son constantes en una región del plano tx − durante un intervalo de tiempo, la región es llamada por Raju (1988) región de régimen constante y por Henderson (1966) zona de quietud. En este caso,

cvdtdx cv

dtdx

−=+= y ,

son constantes en este dominio o implica que ambos grupos de características son líneas rectas y paralelas a sí mismas. 8.7.2 Método de Stoker. El método propuesto por J.J. Stoker, entre 1948 y 1957, aparece descrito por F.M.Henderson (1966), como uno de los más atractivos en la búsqueda de una solución al denominado método de las características. El desarrollo del método se basa en un canal rectangular, de sección constante y pendiente de fondo invariable. La ecuación dinámica se emplea de la manera siguiente:

tv

g1

xv

gv

xySS of ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=

como se sabe que, gyc = , por tanto, gyc 2 = diferenciando queda: ( ) ( )gydcd 2 = y entonces: gdycdc2 =

para quedar: cdcg2dy = -------------------------------------------- 8.55

multiplicando la ecuación dinámica por g , sustituyendo 8.55 y cambiando los términos queda:

( )gSStv

g1

xv

gv

xcc2 fo −=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ---------------------------------- 8.56


Llamando ahora vyq = , la ecuación de continuidad para sección rectangular puede arreglarse así:

0ty

xq

=∂∂

+∂∂

si, vyq = entonces, xvy

xyv

xq

∂∂

+∂∂

=∂∂

y la ecuación queda:

0ty

xvy

xyv =

∂∂

+∂∂

+∂∂

Si ahora, la ecuación anterior se multiplica por (g/c) y se sustituye

cdc)g/2(dy por , se obtiene:

0tc2

xvc

xcv2 =

∂∂

+∂∂

+∂∂ ---------------------------------------------- 8.57

al escribir la suma y la diferencia de 8.56 y 8.57 se obtiene:

( ) ( ) ( )fo SSgxccv2

tc2

xvcv

tv

−=∂∂

++∂∂

+∂∂

++∂∂ ---------------- 8.58 a

( ) ( ) ( )fo SSgxccv2

tc2

xvcv

tv

−=∂∂

−−∂∂

−∂∂

−+∂∂ --------------- 8.58 b

De otra parte, de acuerdo a las reglas de la diferenciación, se puede escribir que:

dttydx

xydy

∂∂

+∂∂

=

y por tanto,

dty

dtdx

xy

dtdy ∂

+∂∂

= ------------------------------------------------- 8.59

en estas ecuaciones y es la variable dependiente de dos variables independientes ( )t,x y las ecuaciones dan la razón de cambio de y si (x,t) varían simultáneamente de una manera prescrita dada por

dt/dx . Se puede plantear la situación del flujo en canales así: si un observador avanza por la orilla a una velocidad dt/dx , la


profundidad y aparecerá variando con el tiempo según la ecuación 8.59. Un resultado similar puede obtenerse para cualquier otro parámetro tal como q, v o c. A la luz de esta discusión la parte izquierda de las ecuaciones 8.58a y 8.58b se manifiesta como una derivada total como la expresada en 8.59 y puede escribirse,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fo1

1 SSgtD

c2vDt

c2vx

c2vcv −=+

=∂+∂

+∂+∂

+ ------- 8.60a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fo2

2 SSgtD

c2vDt

c2vx

c2vcv −=−

=∂−∂

+∂−∂

− -------- 8.60b

Donde los operadores de las derivadas totales:

tDD

11 y tD

D2

2

representa la razón de cambio desde el punto de vista de un observador moviéndose a ( ) ( )c- y vcv + respectivamente. La significación de este resultado es que: la conducta que esos dos imaginarios observadores, se puede trazar en el plano x-t y así obtener una solución a cualquier problema de flujo impermanente. Sólo en casos simples el proceso tiene una solución explícita, en casos más complejos los métodos numéricos pueden ser usados sin gran dificultad. 8.7.3 Caso de la ola simple. Esta es la más simple de las soluciones que genera un flujo impermanente. Primero: se limitará a que 0SS fo == Segundo: inicialmente el flujo es uniforme y permanente. Tercero: se crea una perturbación de alguna forma que se propaga desde la región permanente. Esta perturbación es también uniforme, esto define la ola simple.


Aparentemente esta descripción del fenómeno, puede dar idea de que es un problema teórico y que su aplicación se limita a la docencia. Sin embargo, en casos reales, en los que el flujo cambia bruscamente la aceleración, tal como aparece en la ecuación dinámica, es muy grande, en comparación con el valor de fo S S y y por tanto, estos últimos términos, pueden ser despreciados en una primera aproximación de la solución. Ejemplos de esto pueden encontrarse en canales, en que, de forma brusca se introduce un volumen de agua, o en canales de riego abastecidos por varias bombas donde el arranque de una de ellas puede causar un efecto semejante a la ola simple. Más allá de las posibles aplicaciones prácticas, la ola simple abre ventanas en la comprensión del problema del flujo impermanente. Considérese las ecuaciones 8.60a y 8.60b en detalle. Si

0SS fo == , las derivadas totales de ( )c2v ± son iguales a cero, indica que para observadores moviéndose con velocidad ( )cv ± , la cantidad ( )c2v ± se manifiesta como constante. El paso de estos observadores sobre el plano x-t, da las dos familias de curvas características ( )2C1C y . A lo largo de cada miembro de la familia C1, la pendiente inversa de las líneas es ( )cv + y )c2v( + es constante. Similarmente la familia C2 la pendiente inversa es ( )cv − y ( )c2v − es constante. Las dos familias de curvas son contornos de ( )c2v + y ( )c2v − . En la ola simple la familia C1 son contornos de ( )cv + y por eso son líneas recta, figura 8.18. Considérese un canal largo con régimen uniforme permanente en el cual se introduce una perturbación en el momento t = T. Si el


punto C está en x = 0 y tc > T. La característica negativa que pasa por C intercepta la característica positiva AB en un punto D y se puede escribir

ooCC c2vc2v −=− ------------------------------------------------ 8.61 Siendo vo y co la velocidad y la celeridad antes de introducir la perturbación. La región debajo de AB es la región de régimen permanente. Considerando la característica positiva que pasa por C.

EECC v2vc2v +=+ ------------------------------------------------ 8.62

FIGURA 8.18 PLANO x-t CON LAS CURVAS CARACTERISTICAS. Para la característica negativa que pasa por E,

ooEE c2vc2v −=− ------------------------------------------------- 8.63 componiendo 8.61 y 8.63 queda, CE vv = y CE cc = ; esto significa que cv)dt/dx( += es constante a lo largo de la característica positiva que pasa por C, en otras palabras, la característica positiva es una línea recta de pendiente ( )cc cv + : 1. Esta región donde una de las familias características son líneas rectas se denomina región de olas simples. Es de notar que las características negativas no son rectas en esa región.


Reconsidérese el problema de la ola simple: ––– Canal con flujo inicialmente uniforme ––– v y c constantes e iguales a v0 y c0. ––– Se crea una perturbación a la izquierda del canal que hace

variar v y c; o v, o c, respecto a t. ––– Se pospone para el análisis que ( ) ( )tc tv y varíen

independiente, o sea, se analizará la cuestión dependiendo una de otra.

––– Se asumirá también que la perturbación avanzará con velocidad oc en la región no perturbada relativa al fluido, o sea, con velocidad ( )oo cv + . Esto implica que la perturbación eleva una onda suficiente para tener la velocidad oc , o sea, se asumirá que no se formará un frente de ola abrupto de altura finita.

Cuando se dibuja la recta AB de pendiente ( )oo cv/1 + se divide el flujo en zona permanente e impermanente. Esta línea es la primera de la familia C1 y es recta, o sea, el resto de los miembros lo son. Las C2 no son líneas rectas en este caso. Si se pudieran calcular los valores de v y c apropiados para cada característica C1, se pudiera obtener v y c para cada punto del plano tx − y se tendría la solución completa del problema. Este cálculo es de fácil conducción, dados los valores prescritos de

( )tvv = y/o ( )tcc = a lo largo del eje t . Considérese el punto c en el eje de coordenadas t ; la característica C1, figura 8.18, que nace de este punto tendrá la pendiente igual a,

( ) ( ) cc cvtctvdtdx

+=+= ------------------------------------------- 8.64

Se puede examinar la interdependencia de ( )tv y ( )tc dibujando la características 2C que pase también por c , el resultado indicado es:


( ) ( ) oocc c2vc2vtc2tv −=−=− --------------------------------- 8.65 La ecuación anterior indica que ( )tv y ( )tc no son independientes. Sólo una de las dos necesita ser prescrita (en realidad sólo una lo será), como una perturbación en el comienzo del eje x . De las dos ecuaciones anteriores 8.64 y 8.65, la pendiente de la característica C1 puede escribirse así:

oocc vc2vc2 −+= , entonces,

oocc v21cv

21c −+= --------------------------------------------- 8.66

y entonces,

ooc v21cv

23

dtdx

−+= --------------------------------------------- 8.67

ooc vc2c3dtdx

+−= ----------------------------------------------- 8.68

y mediante estas ecuaciones, pueden ser obtenidas v y c en cualquier punto del plano. .tx − El argumento principal es sin dudas tortuoso, pero el resultado final presenta, de una forma bastante simple el problema el cual es físicamente real y de una aplicación práctica evidente. Considérese por ejemplo, un canal descargando con flujo uniforme a un lago o embalse. Inicialmente el nivel en el embalse es el mismo que en la entrega del canal, pero enseguida y en función de la acción de una obra de toma, el nivel en el embalse decrece en una cierta cantidad. En secciones aguas arriba de la entrega, repercute este decrecimiento, si So y Sf son despreciables se puede arribar a una respuesta del siguiente caso de estudio. Caso de Estudio: Si el nivel del embalse decrece a razón de 1m/hora durante 3 horas, determinar cuánto tiempo toma el nivel del río en decrecer 1 m en una sección 3 kilómetros aguas arriba


de la sección de entrega. En ese momento a qué distancia está la zona límite (donde el nivel va a comenzar a decrecer). La respuesta será: 1º. Tomando +x en dirección aguas arriba s/m3vo −= , por tanto, 758,9gyco =⋅== m/s entonces, Km/h 4,14s/m473cv oo ==+=+ 2º. Razón de decrecimiento el embalse: 1m/hora.

FIGURA 8.19 PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO 3º. En la sección a 3 km aguas arriba después de t horas. 481.9gyc ∗== K/h5,22 m/s3,6c == que es la velocidad de propagación en aguas de 4 m. 4º. En decrecer 1 metro el embalse tomará 1 hora según la razón de decrecimiento. Por tanto se colocará un punto G en el eje t que identifica un punto de la característica C1. 5º. Otro punto (H) de esa misma característica estará a 3 km. 6º. La característica C1 que pasa por G tiene una pendiente

ooc c2vc3dtdx

−+=


( ) ( ) ( )7233,63dtdx

−−+=

Km/h 6,84m/s 9,1dtdx

==

7º. El intervalo de tiempo entre G y H será:

h 44,0Km/h 6,84

Km 3=

y el tiempo total en que baja el nivel 1 m en la sección a 3 km aguas arriba es: 44,144,01tH =+= horas En ese momento la frontera de la perturbación estará a km74,20 km/h4,14*44,1 = del comienzo del canal.

FIGURA 8.20 CARACTERISTICAS Y PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO Este ejemplo aclara importantes aspectos de la teoría de las características. Después de 1 hora la profundidad del canal baja a 4 metros en la sección de entrega (punto G). Esta profundidad se


propaga aguas arriba a lo largo de la característica GH hasta alcanzar la sección a 3 km de la entrega (punto H). En esencia, lo que se representa es la propagación de la ola en la cual la profundidad de 4 m está representada por GH. Del gráfico se lee que en G se alcanzaron los 4 metros pasada 1 hora y así:

x km 0 1 2 3 4 5 y= 4 m t horas 1 1,15 1,29 1,44 1,59 1,73 De igual forma puede escribir para la característica OK, que el tiempo que transcurre para que la perturbación llegue a las diferentes secciones es:

x km 0 3 6 9 15 21 27 ↓ y t horas 0 0,21 0.42 0,63 1,04 1,46 1,87

La idea de moverse sobre una característica representa el movimiento de la ola en la superficie del agua que puede ser inferido de hecho tal que ( ) ( )c-v cv y+ son las velocidades, relativas a un observador estacionario, de las olas elementales moviéndose en dirección opuesta sobre la superficie del agua. Este concepto no tiene suficiente fuerza para alcanzar soluciones numéricas, tal como en el ejemplo anterior. Para esto se necesita conocer c v y muy bien para arribar a la solución ( )c v + dada

por ( ) oo c2vtc3dtdx

−+=

De igual forma puede describirse el tipo de movimiento que se representa moviéndose a lo largo de una característica C2. En el problema de la ola simple el movimiento de la ola de esta clase no se reconoce porque ( )c2v − es constante, no sólo a lo largo de cada característica C2, sino en todo el plano tx − ; esta obedece a la constancia de ov y oc a lo largo de OK.


Ahora la esencia del movimiento de la ola es que algún parámetro puede aparecer constante a un observador que se mueve con una cierta velocidad (la velocidad de la ola) y sólo con esa velocidad. Si esto aparece constante para todos los observadores estén donde estén, el movimiento de la ola degenera en uno de amplitud cero y no puede llamarse propiamente movimiento de ola. Debe observarse que la ola simple es un problema excepcional y que en los casos generales el movimiento a lo largo de cada característica representa un posible movimiento de la ola. La interpretación física del significado de cada característica es muy importante para toda la teoría. 8.7.4 Solución de un método explícito de las características. French (1985) aborda esta solución suponiendo un canal rectangular, y llamándole 1H al resultado de la ecuación de continuidad y 2H al resultado de la ecuación dinámica, sean,

0xyv

xvy

tyH1 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ---------------------------------------- 8.69

( ) 0SSgxyg

xvv

tvH fo2 =−−

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ------------------------- 8.70

Ahora bien, si combinamos 1H y 2H mediante un multiplicador desconocido λ se puede obtener la siguiente relación lineal,

21 HHH +λ= , para 21 λ≠λ , siendo 1λ y 2λ dos valores reales, se producirán 2 ecuaciones en v y y que tendrán todos los atributos de 8.69 y 8.70. Entonces,

( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−−∂∂

+∂∂

+∂∂

=xyv

xvy

tySSg

xyg

xvv

tvH fo


y transformando

( ) ( )fo SSgtygv

xy

tvyv

xvH −⋅−

∂∂

+

λ+

∂∂

λ+

∂∂

+λ+∂∂

= ---- 8.71

En 8.71 el primero y segundo término, pudieran ser las derivadas totales de v y y. Para esto deben cumplirse algunas condiciones:

Sea, tv

dtdx

xv

dtdv

∂∂

+∂∂

= , si yvdtdx

λ+=

y ty

dtdx

xy

dtdy

∂∂

+∂∂

= , si λ

+=gv

dtdx

Entonces 8.67 puede escribirse,

( )fo SSgdtdy

dtdvH −−λ+= , y esto se cumple si,

λ+=λ+

gvyv ,

que al resolver da: yg

±=λ -------------------------------------- 8.72

Las dos raíces reales de λ especificada por 8.72 transforman a 8.69 y 8.70 en dos ecuaciones diferenciales ordinarias sujetas a las dos restricciones para dx/dt. Entonces puede escribirse:

( ) 0dtSsgygdydv of =−++ ------------------------------------- 8.73

( )dtgyvdx += ---------------------------------------------------- 8.74

( ) 0dtSsgygdydv of =−+− ------------------------------------- 8.75

( )dtgyvdx −= ---------------------------------------------------- 8.76 Como ya se analizó, la curva definida por 8.74 es la denominada característica positiva y la definida por 8.76 característica negativa.


FIGURA 8.21 CARACTERISTICAS POSITIVAS Y NEGATIVAS EN x-t. Al igual que el caso de diferencias finitas explícito, que se verá más adelante, se necesitan: condiciones iniciales ( )v,y , condiciones de frontera aguas arriba y aguas abajo (y, v), figura 8.21. La solución de las ecuaciones 8.73 → 8.76 se obtiene mediante el uso de métodos numéricos. Empleando una técnica de diferencias finitas de primer orden para calcular el punto P(i, k+1), se tiene que:

( ) ( ) ( )( ) 0SSfttyyygvv o

k1i

k1i

1ki

k1i

1ki

L

k1i

1ki =−−+−+− −−

+−

+−

+ ----- 8.77 a

( )( )k1i

1ki

k1i

k1i

k1i

1ki ttgyvxx −

+−−−

+ −+=− ---------------------------- 8.77 b

( ) ( ) ( )( ) 0SSfttyyygvv o

k11i

k1i

1ki

k1i

1kik

1i

k1i

1ki =−−+−−− ++

++

+

++

+ -- 8.77 c

( )( )k1i

1ki

k1i

k1i

k1i

1ki ttgyvxx +

++++

+ −+=− ---------------------------- 8.77 d En esta técnica la cuantificación del incremento de tiempo, t∆ , se determina restando 8.77 d menos b, o sea,


( ) ( )k

1ik

1ik

1ik

1i

k1i

k1i

k1i

k1i

k1i

k1i

k1i

k1i1k

igygyvv

gyvtgyvtxxt

+−−+

−−−++++−+

−−−

−−−+−= ------- 8.78 a

El incremento de la distancia en el eje x se determina según 8. 77b.

( )( )k1i

1ki

k1i

k1i

k1i

1ki ttgyvxx −

+−−−

+ −++= --------------------------- 8.78 b La profundidad en p (yp) para el tiempo tp se determina restando 8.77 c, de a, quedando la ecuación 8.79,

( ) ( )

k1i

k1i

ok

1iok

1ik1i

k1ik

1i

k1i

k1i

k1i

1ki

yg

yg

SSftSSftygy

ygyvv

y

+−

−++

+−

−+−+

+

−∆−−∆+++−

=

y por último de 8.77 a, se obtiene pv ,

( ) ( )( )ok

1ik

1i1k

ik

1i1k

ik1i

k1i

1ki SSfttyy

ygvv −−−−−= −−

+−

+

−−

+ ----------- 8.80

Si se utiliza una malla con t x ∆∆ y fijos, sólo las ecuaciones 8.79 y 8.80 son aplicables.

FIGURA 8.22 MALLA PARA EL METODO EXPLICITO DE LAS CARACTERISTICAS.


El algoritmo, para un problema en que los valores de x y t de la malla ya han sido definidos, sería así: Algoritmo. 1. Establecer la condición inicial ( y(x), v(t) para t = 0, desde

i = 1→n) y la condición de frontera aguas arriba y aguas abajo [ y(t), v(t), desde k = 1→m, para i = 1 y i = n].

2. Definir ∆x y ∆t . 3. k = 1; i = 2. 4. t = ∆t * (k-1) 5. x = ∆x * (i-1) 6. Calcular 1k

iy + , 1kiv + y entonces calcular 1k

iQ + 7. Incrementar i regresando al paso 5 hasta completar todas las

secciones. 8. Si la capa (k+1) fue totalmente calculada, incrementar k y

regresar al paso 4 hasta completar todas las capas.

Para garantizar la estabilidad de este esquema explícito se aconseja

por French utilizar: cv

x2,0t+

∆≤∆

8.7.5 El problema de la ruptura de una presa mediante el análisis del método de las características. Una vez más se aborda este problema, clásico del régimen impermanente, que también se asocia a la apertura brusca de una compuerta o a la irrupción brusca de una masa de agua en un canal, figura 8.22. Raju (1981) parte de las siguientes condiciones: Consideraciones iniciales: ––– fondo horizontal ––– sección rectangular ––– canal seco aguas abajo ––– profundidad inicial oh


Se asume que una pared ficticia vertical retiene el agua en 0t = al comenzar el fenómeno y a partir de ese instante esta pared se mueve a la derecha a una velocidad v. Si T es el tiempo necesario para que la pared ficticia salga de su posición de descanso hasta la velocidad 1v el camino estará dado por OABC, figura 8.22.

FIGURA 8.22 ESQUEMA Y PLANO x-t DE LA RUPTURA DE UNA PRESA. Considerando la característica negativa desde A hasta el intercepto con OF, que es la primera característica positiva. De la ecuación:

c2v − = constante, se puede escribir: ooAA v2vc2v −=− ------------------------------------------------ 8.81

pero vA es la velocidad de la pared finita, por tanto,

ooA

A c2

vvc −

−= -------------------------------------------------- 8.82

que se reduce, si la velocidad inicial es cero, a:


oA

A c2

vc −= -------------------------------------------------------- 8.83

La pendiente de la característica que pasa por A se escribe según 8.67 y 8.68, como,

oo

A c2v

v23

dtdx

+−= --------------------------------------------- 8.84a

ooA c2vc3dtdx

−+= --------------------------------------------- 8.84b

Si vv A = después del tiempo T , el valor dx/dt deviene constante después de T y las características positivas a la derecha de B son todas paralelas. El desarrollo del fenómeno abarca tres zonas del flujo bien delimitadas: la zona I delimitada por BC y BB1 en la cual las características

son rectas paralelas que implican profundidad constante la zona II delimitada por OF, OAB y BB1 en la cual la

profundidad varía la zona III entre el eje x - y OG que es la región de régimen

permanente. La profundidad constante hb se obtiene según,

oooB

B c2vc

2vv

c −=+−

= --------------------------------------- 8.85

ya que oc es opuesta a v y entonces: ( )

g2c2v

g2c

h2

o2B

B−

== ------------------------------------------- 8.86

Como Bc no es positiva, v puede siempre ser menor que oc2 . Cuando ε== ,0h,c2v Bo esto es: la profundidad en la sección de la pared ficticia es cero. Si v excede a oc2 la pared pierde contacto con el agua y el frente de 0hB = teóricamente se mueve aguas abajo a una velocidad oc2 . Cuando la pared ficticia es


acelerada en 0t = y se mueve en oc2v > el caso es obviamente análogo al fallo de una presa o la apertura brusca de una compuerta.

FIGURA 8.23 PLANO x-t DEL CASO EN ESTUDIO. La figura 8.23, muestra el plano tx − para este caso. Comparando con la figura anterior, OAB ahora se encuentra en O , siendo el área delimitada por COF la región del flujo. Las características positivas son todas líneas radiales que salen de O . Para cualquier punto de la región del flujo )t/x()dt/dx,COF =( y entonces empleando sus signos, la ecuación 8.68 se transforma en:

gh3gh2vtx

oo −+=

Si 0vo = la ecuación se reduce a,

oo hh32

ghtx

−=

Las ecuaciones anteriores, representan parábolas. En 0x = , esto es en la sección de la presa o compuerta, la profundidad es,


gh4

h op = ------------------------------------------------------------ 8.87

Como se sabe, la celeridad de las ondas negativas está dada por

gh y la velocidad en 0x = se obtiene según: [ ]ogh)3/2( . Consecuentemente el gasto por unidad de ancho es constante en esa sección e igual a ( ) 5,1

o5,0 hg27/8 , hasta que las ondas negativas

se reflejen en el final del embalse, o en otra obra aguas arriba y regresen a la sección 0x = . Si el canal aguas abajo no está seco, o sea, tiene una profundidad de circulación, el análisis anterior es aún válido.

FIGURA 8.24 DOS TIPOS DE PERFILES DEL AGUA EN LA RUPTURA.


En la unión de la parábola con la línea de agua horizontal, aguas abajo, ocurre una discontinuidad en la velocidad y esto es causa de la formación de una ola de altura finita. Dos tipos de perfiles del agua se diferencian dependiendo de la magnitud relativa de

th respecto a oh , figura 8.24. Por último se incorporan los efectos de la pendiente del fondo y la resistencia al flujo, despreciadas anteriormente, éstos serán muy importantes si el canal aguas abajo está seco. Los experimentos de laboratorios dan resultados comparables a la teoría si:

75,0ghtx

o

≤

valores mayores hacen que el frente de ola sea menor y más pronunciado que el pronosticado por la teoría. 8.7.6 El tránsito de avenidas analizado por las

características. A continuación un análisis de Raju (1981) sobre este importante evento de la Hidráulica y la Hidrología. Considérese un canal, figura 8.25, entre las secciones A y B, sin que en ese tramo exista entrada o salida de gasto. Si el gasto en A cambia durante un período de tiempo, durante el período de crecimiento del gasto parte del agua comienza a almacenarse en el tramo ya que el nivel en B es inferior al de A, pero cuando el gasto comienza a decrecer en A el agua almacenada en AB es gradualmente incorporada al tránsito y durante ese período el gasto en B es mayor que en A. Obviamente las áreas sombreadas 1A y 2A son iguales, pero como resultado del almacenamiento temporal el pico del hidrógrafo en B es menor que el pico del hidrógrafo en A. La diferencia en tiempo entre picos se denomina tiempo de retardo. La determinación de la modificación del hidrógrafo en B dado el


hidrógrafo en A y las características del tramo AB es a lo que se denomina tránsito de avenida.

FIGURA 8.25 ESQUEMA DEL TRANSITO EN EL PLANO Q-t. Este es otro de los clásicos entre los problemas de la hidráulica del régimen impermanente y tiene gran aplicación en el diseño de obras, operación simple de canales, estudio de crecidas y determinación de áreas de inundación. El método de las características es una poderosa herramienta para la solución de problemas de régimen impermanente. La figura 8.26 muestra las características sobre el plano tx = . Supóngase que los valores de v y c han sido determinados en los puntos 1,2 y3 y se necesita determinar el punto 4. De las ecuaciones 8.48 y 8.50 se tiene que,

( ) ( )24fo24 vv21tSSg

21cc −−∆−=− --------------------------- 8.88


( ) ( )34fo34 vv21tSSg

21cc −+∆−=− --------------------------- 8.89

FIGURA 8.26 PLANO x-t Y v-c DE UN TRANSITO DE AVENIDAS. Si la sección del canal es ancha y de geometría rectangular y si se designa como ( )fo SSgA −∗ expresión la a , entonces,

( ) 38

37

38

21

21

37

34

cgnvgS

hg

gnvgSh

ynvgSA22

o

22

o

22

o =−=−=∗

si se hace,

38

cvB

2=∗ ----------------------------------------------------------- 8.90

y se tiene que 3

7gnBgSA 2

o ∗∗ −= ------------------------------------------------- 8.91 Se puede plotear un gráfico cv − con la ecuación 8.86 para diferentes valores de ∗B , figura 8.26. El procedimiento gráfico será como sigue: 1º. conocido c v t, ,x y en 2 y 3 2º. asumir ∗B para 4 y calcular ∗A para los tramos 2-4 y 3-4 3º. calcular: ( )( )[ ] [ ] [ ] 424242fo tA*5.0SS2/g −−∗− ∆=− ( )( )[ ] [ ] [ ] 434343fo tA*5.0SS2/g −−∗− ∆=− 4º. localizar los puntos 2 y 3 sobre el plano cv − y dibujar las


verticales a3 y b2 de magnitud: ( )( )[ ] ( )( )[ ] 42fo43fo SS2/gSS2/g −− −− y respectivamente, 5º. dibujar líneas con pendiente 2:1 desde a y b y su intercepto dará el punto 4 y la ∗B correspondiente, 6º. si ∗B asumida no es igual que ∗B repetir el proceso,

7º. finalmente se obtiene c y gch

2= .

El proceso se repite hasta resolver todos los puntos de la malla

tx − . 8.8 Método de diferencias finitas. Antes de la era de la computación digital y en los primeros años de esta, era totalmente forzoso que los problemas asociados al régimen impermanente se solucionaran con modelos aproximados. Hoy, dada la velocidad de los procesadores, la capacidad de almacenamiento y la simplicidad de la programación y puesta a punto de un algoritmo, los métodos numéricos han tomado su lugar en la tarea de darle solución precisa a las ecuaciones que describen el modelo simplificado o al dinámico completo del régimen gradualmente variado impermanente. El método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos son, hasta hoy, los más empleados para la solución del sistema de ecuaciones hiperbólicas que describen este régimen. En el método de diferencias finitas se formulan ecuaciones, en diferencias finitas, utilizando las ecuaciones diferenciales originales, se obtienen entonces soluciones para el gasto y las profundidades, para tiempos y distancias a lo largo del tramo de estudio. Los cálculos se llevan a cabo en una malla localizada en el plano

tx − . Esta malla es una red de puntos definidos al tomar


incrementos x∆ para la distancia e incrementos de tiempo de duración t∆ . Los esquemas numéricos transforman las ecuaciones diferenciales parciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas en diferencias finitas, que representan las derivadas especiales y temporales en términos de variables desconocidas, tanto en la línea de tiempo actual, como en la línea de tiempo precedente, donde todos los valores son conocidos, bien por cálculos previos, o bien por ser la condición inicial. La solución de las ecuaciones de Saint Venant avanza de una línea de tiempo a otra. Las aproximaciones por diferencias finitas pueden deducirse para una función ( )xf , figura 8.27 . Una expansión en serie de Taylor de ( )xf en xx ∆+ produce:

( ) ( ) 3

33

2

22

xfx

61

xfx

21

xfxxfxxf

∂∂

∆+∂∂

∆+∂∂

∆+=∆+

La expansión en serie de Taylor en ( )xx ∆− será:

( ) ( ) 3

33

2

22

xfx

61

xfx

21

xfxxfxxf

∂∂

∆−∂∂

∆+∂∂

∆−=∆−

Una aproximación centrada usa la diferencia definida restando las dos ecuaciones anteriores,

( ) ( ) ( )33 xrxfx2xxfxxf ∆+

∂∂

∆∆−=∆+

donde ( )3xr ∆ representa un residuo que contiene los términos de tercer orden y superiores. Si se supone que ( )3xr ∆ = 0 se obtiene la aproximación centrada,

( ) ( )

∆∆−−∆+

=∂∂

x2xxfxxf

xf


la cual tiene un error de aproximación o de truncamiento del orden de 2x∆ debido a que se ignoran los términos de orden superior.

FIGURA 8.27 APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS. Una aproximación adelantada se obtiene restando ( )xxf ∆+ de

( )xf y queda entonces,

( ) ( ) ( )2xrxfxxfxxf ∆+

∂∂

∆=−∆+

Suponiendo ( ) 0xr 2 =∆ , se obtiene la aproximación adelantada,

( ) ( )x

xfxxfxf

∆−∆+

=∂∂

la cual tiene un error de aproximación de x∆ . Por último, una aproximación retrasada usa la diferencia definida por la resta de ( ) ( )xxfxf ∆−− , y entonces se obtiene,

( ) ( ) ( )2xrxfxxxfxf ∆+

∂∂

∆=∆−−

y que resolviendo queda, ( ) ( )

xxxfxf

xf

∆∆−−

=∂∂


que es la aproximación retrasada con un error de truncamiento de x∆ .

Un método de diferencias finitas puede emplear un esquema explícito o un esquema implícito para su solución. La diferencia entre estos esquemas es, que en el primero, los valores desconocidos se resuelven secuencialmente, a lo largo de la línea del tiempo, de un punto de x dada, hasta el siguiente. En los esquemas implícitos los valores desconocidos en una línea de tiempo se determinan simultáneamente. Los métodos explícitos son más simples pero pueden presentar inestabilidad, lo cual significa que se requieren valores pequeños de t x ∆∆ y para que el proceso numérico tenga una rápida convergencia. Estos valores pequeños pueden ser un obstáculo en el proceso de calibración-verificación. También los pequeños valores de t∆ pueden ocasionar problemas si el tránsito del flujo es creciente por largos períodos. Los esquemas implícitos son complejos desde el punto de vista matemático, pero con el uso de los modernos medios de cómputo se facilita su ejecución, una vez que han sido programados. Los esquemas son estables para pasos grandes con pequeña pérdida de exactitud por consiguiente son muy empleados para la solución de este problema. 8.8.1 Soluciones para la onda cinemática. El objetivo de la solución numérica es resolver la ecuación de la onda cinemática, obtenida al reunir en una sola expresión las ecuaciones de continuidad y momentum, para ( )t,xQ en cada uno de los puntos de la malla tx − , dado: los parámetros βα y de canal, el flujo lateral ( )tq y las condiciones iniciales y de frontera.


Por tanto, la solución implica tener al final el hidrograma en cada sección del tramo analizado y por tanto el hidrograma del final del mismo ( )t,LQ . La solución obtenida es flexible, se adapta a las condiciones de la sección, las iniciales y las de frontera y sólo necesita para su solución el hidrograma de entrada al tramo ( )t,0Q , además de ser una magnífica introducción a la solución de la onda dinámica. 8.8.1.1 Solución para canales anchos. Chow (1994) plantea una solución explícita para la onda cinemática en canales "anchos". Tal como se demostró, las ecuaciones de continuidad y momentum de la onda cinemática se combinan para producir una sola ecuación,

qtQQ

xQ 1 =

∂∂

αβ+∂∂ −β

Para resolver la ecuación 8.22, en forma numérica, siendo 1k

1iQ ++ el

valor a resolver, las derivadas se aproximan según:

xQQ

xQ 1k

i1k1t

∆−

=∂∂ ++

+ (atrasada) ----------------------------------- 8.92 a

tQQ

tQ k

1L1k

1i

∆−

=∂∂ +

++ (atrasada) ----------------------------------- 8.92 b

Si se utiliza el valor de 1k

1iQ ++ en el lugar de Q en el término

1Q −βαβ de la ecuación 8.22, la ecuación resultante sería no lineal en 1k

1iQ ++ .

Chow plantea que para crear una ecuación lineal el valor de Q empleado en el término de referencia la expresión siguiente:

2QQ

Q1k

ik

1i+

+ +≈ --------------------------------------------------- 8.93 a

y el valor del gasto lateral se encuentra promediando en el tiempo,


2qq

qk

1i1k

1i ++

+ +≈ ----------------------------------------------------- 8.93 b

FIGURA 8.28 ESQUEMA EN DIFERENCIAS FINITAS EN x-t PARA LA ONDA CINEMATICA. Sustituyendo 8.92 y 8.93 en 8.22 se obtiene,

+αβ+

∆∆

+∆+

+αβ+

∆∆

=−β+

+

++

+

−β++

++

++ 11k

ik

1i

k1i

1k1i

11ki

k1ik

1i1k

i

1k1i

2QQ

xt

2qq

t2

QQQQ

xt

Q -- 8.94

El gasto se escogió como variable dependiente debido a que tiene menores errores relativos, que cuando se considera el área según plantea Henderson (1966). Esto se demuestra con la ecuación 8.20,

βα= QA entonces: QlnlnAln β+α=

y diferenciando:

β=

AdA1

QdQ


Como β es generalmente menor que 1 (0,6 para la ecuación de Manning) si la variable dependiente fuera A el error de estimación de Q aumentaría. Un algoritmo para el cálculo del hidrograma de salida podría ser el siguiente, Algoritmo. 1. Definir las condiciones iniciales y de frontera. 2. Definir los intervalos x∆ . 3. Definir el t∆ aplicando Courant en cada línea de tiempo.

CINEMATICAONDAcxt

∆≤∆

4. ( )[ ] ( )[ ]t1k-t2kx1ix,2i ==∆−== , y . 5. Calcular 1k

1iQ ++ según 8.94.

6. Incrementar tii += . 7. ¿ Se terminó la capa 2k = ?

Si es así, pasar a la próxima capa y repetir el proceso a partir de 2i = . Si no es así, regresar al paso 5.

• Caso de estudio resuelto con el Excel-MS. Sea un canal de 60 metros de ancho, rectangular, de 4575 metros de longitud y pendiente igual a 0,01, con una 035,0n = . Si el hidrograma de entrada en 0x = es el que aparece en la figura 8.29, el tránsito de dicho hidrograma por el tramo de canal, empleando 915x =∆ metros y 1t =∆ minuto, si el caudal lateral es cero ( )0q = y la condición inicial es un régimen uniforme de 56 m3/s, será:


FIGURA 8.29 TRANSITO DE UN HIDROGRAMA Hidrograma de cabecera tomado de Chow (1994). Solución: El valor de la profundidad para el gasto máximo es: 0,998 metros. El valor de α=β y 6,0 se calcula según,

( )907,10

01,0P035,0

SnP

6,06,0

o2

1

32

32

=

=

=α

donde: by2bP ≈+= , para un canal “ancho”, figura 8.30. Como se va a programar una hoja de cálculo, se procede así: Pasos: 1ro. En la fila 1, escribir el nombre del problema. 2do. Reservar las filas 2 y 3 para las variables de entrada, tabla

8.2.

delta t = 1 minuto

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

0 30 60 90 120 150 180 210tiempo (minutos)

Q (m

3/s)


3ro. En las filas 5 y 6, se ubican los valores de c, calculada para Qmax, ∆x y ∆t, tal que satisfagan la condición de Courant y en las columnas siguientes: β, P2/3 y α.

FIGURA 8.30 ERROR QUE SE COMETE AL CONSIDERAR b ≈ P. 4to. La tabla final con el hidrógrafo de entrada y calidad en cada

sección se programa a partir de la fila 8, designándose: Columna A: índice de tiempo ( )k Columna B: tiempo ( )[ ]1kt −∗∆ Fila 8, Columna C a la H: índice de distancia ( )i Fila 9, Columna C a la H: distancia ( )[ ]1ix −∗∆ Columna C, Fila 10 a la n : hidrógrafo de entrada Columna D a la H, Fila 11 a la n : hidrógrafos en cada

sección, calculados según 8.94. Nótese que la última columna lleva el hidrógrafo de salida del tramo. La representación gráfica de los picos de los hidrógrafos aparecen en la figura 8.31 y en la figura 8.32 aparecen los hidrógrafos de salida para 3t =∆ minutos y 1t =∆ minuto, donde se aprecia la atenuación como función del intervalo de tiempo.

0123456789

10

0 25 50 75 100 125 150 175 200b/y

erro

r %

b vs P

αb vs αP


SOLUCION DE LA ONDA CINEMATICA - DIFERENCIAS FINITAS / ESQUEMA EXPLICITO

DATOS b m n S0 L DATOS 60 0 0.035 0.01 4575

CALCULO DE LOS PASOS EN X Y T

c (m/s) delta x dt max.(s) dt max.(min) beta P^2/3 4.75555 915 192.4066278 3.206777129 0.6 15.66423223

TABLA DE PROCESAMIENTO NUMERICO PARA delta t IGUAL A TRES MINUTOS.

i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 k t (min) 0 915 1830 2745 1 0 56.7 56.7 56.7 56.7 2 3 56.7 56.700 56.700 56.700 3 6 56.7 56.700 56.700 56.700 . . . . . . . . . . . .

52 153 56.7 56.709 56.769 56.971 53 156 56.7 56.706 56.745 56.887 54 159 56.7 56.704 56.730 56.828 55 162 56.7 56.702 56.720 56.788

TABLA 8.2 SOLUCIÓN CON EXEL_MS DE LA ONDA CINEMATICA. CALCULO REALIZADO PARA LAS PRIMERAS Y ULTIMAS FILAS CON UN INTERVALO DE TIEMPO DE 3 M


FIGURA 8.31 PICO DE LOS HIDRÓGRAFOS EN CADA SECCION. Chow (1994), presenta una comparación entre la solución analítica y la solución numérica de una onda para dos t∆ diferentes, dejando demostrado que para pequeños t∆ la solución analítica y numérica son casi idénticas. La solución en hoja de cálculo da la posibilidad de poder emplear

t∆ pequeños y el cálculo se desarrolla con igual simplicidad obteniéndose soluciones muy aceptables. Por último, Chow plantea como valor para el tiempo de tránsito de una onda cinemática, la ecuación:

LQSbn

53T 5/2

5/3

o

3/2−

⋅=

donde, para el sistema métrico:

delta t = 1 minuto

140

150

160

170

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90tiempo (minutos)

Q (m

3/s)


b es el ancho de la sección en metros, Q es el gasto que se induce en m3/s, L es la longitud del tramo en kilómetros, T tiempo de tránsito en segundos.

FIGURA 8.32 ATENUACION DEL HIDROGRAMA DE SALIDA DEBIDA AL INTERVALO DE TIEMPO DE CALCULO. APARECE TAMBIEN EL HIDROGRAMA DE CABECERA. 8.8.1.2 Solución para canales con cualquier relación b/y. Tal como aparece en la ecuación 8.21 la expresión general de la ecuación de la onda cinemática se enuncia así,

qtQQQ

QxQ 1 =

∂∂

αβ+∂

α∂+

∂∂ −ββ

Si x/Q ∂∂ y t/Q ∂∂ se aproximan por las definiciones realizadas por Preissmann, Grenoble 1961, para las derivadas,

( ) ( )( )[ ]ki

1ki

k1i

1k1i

kQQ1QQ

t1

tQ

−ω−+−ω∆

≅∂∂ +

++

+

delta t = 1 minutodelta t = 3 minutos

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

0 30 60 90 120 150 180 210tiempo (minutos)

Q (m

3/s)


( ) ( )( )[ ]ki

k1i

1ki

1k1i

iQQ1QQ

x1

xQ

−θ−+−θ∆

≅∂∂

+++

+

donde, θ es un factor de peso para los tiempos, ω es un factor de peso para las distancias, figura 8.33.

FIGURA 8.33 ESQUEMA DE LA MALLA PARA LA SOLUCIÓN PONDERADA.. Entonces para poder darle solución a la ecuación 8.21, quedará por definir el valor de t/ ∂α∂ y la expresión para calcular α. Si la expresión general del gasto esta dada por:

qpSKARQ = , entonces puede escribirse que,

qp

1p

SP

AKQ+

= y se llega a que: )1p/(1

q

p

QKSPA

+

= ------------ 8.95

comparando 8.95 con 8.20 se llega a la conclusión que,

1p1+

=β y que ( )1p/1

q

p

KSP

+

=α , entonces se llega a que,


β−

β

=α q

11

KSP ----------------------------------------------------------- 8.96

y si se esta en presencia de un canal "ancho", entonces P≈b y se puede escribir que,

β−

β

=α q

11

A KSb --------------------------------------------------------- 8.97

y la relación entre el α para un canal cualquiera y el correspondiente valor para un canal que pueda considerarse ancho será,

β−

=

αα

1

A bP ----------------------------------------------------------- 8.98

• Caso de la sección trapecial. Para esta sección se cumple que, 2m1y2bP ++= , por tanto sustituyendo en 8.98 quedará,

β−β−

++α=

++α=α

12

A

12

A bym121

bm1y2b -------------- 8.99

Por otra parte puede escribirse que,

βα=+= QmybyA 2 , que transformada queda en una ecuación de segundo grado,

0Qmbb

ym1

by

2

2

=α

−

+

β , que tiene como solución,

−

α+=

β

m1

mbQ4

m1

21

by

22 , sustituyendo esta expresión en 8.99,

quedará,


( ) β−β

+α+

++

+−=

αα

1

2

2

2

22

A bQ

mm14

mm1

mm11 --------------- 8.100

en la ecuación anterior cuando b→∞; y/b→0; α/αA→1. La ecuación 8.100 para valores definidos de b y m queda como una función de Q,

)Q(fA

=αα --------------------------------------------------------- 8.101

Si de 8.100 se despeja Q se obtiene,

+

−

−

++

αα

+α=

β−β

2

22

21/1

A2

2

mm11

mm1

)m1(4mbQ ------ 8.102

por otra parte se puede obtener la derivada respecto a α de Qβ y queda,

α∂∂

β=α∂∂ −ββ QQQ 1 -------------------------------------------------- 8.103

además de 8.102 se puede obtener,

−

αα

β−

−

++

αα

+α=

α∂∂

β−β−β 1/1

A

21/1

A2

2

11.1

mm1

)m1(2mbQ

2

221/1

A m4b1

mm1

21

α+

−

++

αα

−β−

-------------------------- 8.104

Si ahora se componen 8.103 y 8.104 quedará,

[ ] 12

2

12

2

1 Qm4b

Q)m1(2mb

Q

QQ−β−β−β

β

βα+ΩΧ

+βα=

βα∂

∂=

α∂∂

que tiene como recíproco la función buscada,

[ ] 12

2

12

2

Qm4b

Q)m1(2mb

1Q

−β−β βα+ΩΧ

+βα

=∂

α∂

------------------ 8.105


donde,

1m

m1 21/1

A −+

+

αα

=Χβ−

−

++

αα

−

αα

β−=Ω

β−β−

1m

m121

11 21/1

A

1/1

A

Las ecuaciones 8.100 y 8.105 permiten resolver la ecuación 8.21 y obtener una solución para las secciones trapeciales de cualquier relación ancho-profundidad. • Caso de la sección rectangular. En esta sección puede plantearse que, como βα= QA y byA = , entonces,

2bQ

by βα

=

Por otra parte de 8.98, queda,

β−ββ−β−

α+=

+=

=

αα

1

2

11

A bQ21

by21

bP --------------------- 8.106

Y para resolver el valor de la derivada de α respecto a Q, de 8.106 se despeja Qβ y se efectúa,

+

−

β−α

αα

α=

β−β 11

12bQ

1/1

A2

2

y entonces derivando queda,

+

−

β−

αα

α=

α∂∂

β−β

111

12bQ

1/1

A2

2

, que se transforma

en,

+

−

β−

αα

βα=

βα∂

∂=

α∂∂

β−

−β−β

β

111

1Q2

bQ

QQ1/1

A12

2

1 y que su

recíproco será,


+

−

β−

αα

βα

=∂

α∂β−

−β11

11

Q2b

1Q 1/1

A12

2 -------------------- 8.107

Para esta sección las ecuaciones 8.106 y 8.107 son las que permiten obtener la solución de la ecuación 8.21. • Caso de la sección triangular. En esta sección puede plantearse que, como βα= QA y 2myA = , entonces,

2/Qm

y βα=

y con la expresión anterior y la obtenida en 8.96 puede llegarse a,

( )( )

Γβ

β+β

ΓβΓ

Γβ−

β

β−

β

Ζ=

+

=

+

=

=α QKS

Qmm12

KSm1y2

KSP

12

q

2

q

112

q

11

-- 8.108

donde,

β+β−

=Γ11

β+β

ΓΓ

+

=Ζ12

q

2

)KS(

mm12

y en este caso la derivada de α respecto a Q puede obtenerse directamente,

1QQ

−ΓβΓΖβ=∂

α∂ ---------------------------------------------------- 8.109

y para esta sección las ecuaciones 8.108 y 8.109 son las que permiten obtener la solución de la ecuación 8.21.


De esta forma se ha llegado a la antesala de la solución de la ecuación diferencial que modela la onda cinemática en canales de cualquier relación de ancho con secciones transversales trapeciales, rectangulares y triangulares. Entonces empleando la ecuación 8.21, la discretización planteada por Presissmann para las derivadas de Q respecto a t y de Q respecto a x, más las ecuaciones correspondientes a cada sección, para resolver el valor de α y de la derivada α de respecto a Q, quedará una ecuación con varias formas de resolverse. A continuación un algoritmo que pudiera ser, para una sección rectangular, la guía para encontrar la solución. Algoritmo para una sección rectangular. 1. Definir la celda de cálculo. Ver figura 8.33. 2. Calcular k

iα para cada uno de los tres puntos datos de la celda. Empleando Manning quedará:

5/3

2/1

3/2

A Snb

=α y ( ) 5/2

2

5/3ki

ki

Aki b

Q21

α+α=α

esta ecuación es implícita y por tanto hay que seleccionar un procedimiento para su solución. 3. Calcular αM según,

[ ]ki

1ki

ki

k1iM )1()1(

21

αθ−+θα+αω−+ωα=α ++

4. Calcular para cada uno de los tres puntos datos de la celda,

+

αα

α

=

∂α∂

−15,1

)Q()(2.1b

1Q 5,2

A

ki

4,0ki

2ki

2

k

i

5. Calcular el valor medio ponderado según,

∂α∂

θ−+

∂α∂

θ+

∂α∂

ω−+

∂α∂

ω≅

∂α∂ +

+

k

i

1k

i

k

i

k

1iM Q)1(

QQ)1(

Q21

Q


6. Calcular 1k1iQ +

+ con la ecuación 8.21 desarrollada, según,

[ +ω−ω∆∆

Ω+θ−−θ−+θ−θ ++

++++

+k

1i1k

1iki

k1i

1ki

1k1i QQ

txQ)1(Q)1(QQ

] k1i

1k1i

ki

1ki q)1(qQ)1(Q)1( +

++

+ θ−+θ=ω−−ω−+ de donde se obtiene la expresión 8.110,

[ ]

tx

QQ)(1(Qtx)QQ)(1(Q

Q

ki

1ki

k1i

ki

k1i

1ki

1k1i

∆∆

ωΩ+θ

+ω−−ω∆∆

Ω+−θ−−θ+Λ=

+++

+

++

donde, k

1i1k

1i q)1(q ++

+ θ−+θ=Λ

∂α∂

=ΩQ

y el valor medio ponderado de Q será,

[ ]ki

1ki

ki

k1iM Q)1(QQ)1(Q

21Q θ−+θ+ω−+ω= +

+

8.8.2 Un esquema explícito para la onda dinámica. Richard French (1985), propone esta solución de fácil aplicación. Para un canal rectangular la ecuación de continuidad es,

0xyv

xvy

ty

=∂∂

+∂∂

+∂∂

y la de conservación de la cantidad de movimiento es,

( ) 0SSgxyg

xvv

tv

fo =−−∂∂

+∂∂

+∂∂

Las ecuaciones anteriores o cualquiera de sus variantes componen un grupo de modelos del régimen gradualmente variado impermanente que se denominan modelos dinámicos completos. Al ser completos pueden proporcionar resultados muy precisos. Como la solución de un modelo dinámico completo puede complicarse debido a los recursos de cómputo que se necesitan, además de estar limitados por la información básica que hay que


tener para su aplicación. De ahí que se hagan para las soluciones prácticas, suposiciones sobre la validez relativa de los términos de la ecuación dinámica. Estas ecuaciones como se ha dicho, tienen dos incógnitas: v ,y en cada sección y para cada tiempo. Una solución por diferencias finitas con un esquema explícito y un incremento fijo de tiempo, es el siguiente: Aproximación de las derivadas:

tyy

ty k

i1k

i

p ∆−

=

∂∂ +

(atrasada)

x2vv

xv k

1ik

1i

M ∆−

=

∂∂ −+ (centrada)

tvv

tv k

i1k

i

p ∆−

=

∂∂ +

(atrasada)

x2yy

xy k

1ik

1i

m ∆−

=

∂∂ −+ (centrada)

FIGURA 8.34 MALLA PARA LA SOLUCION DEL ESQUEMA EXPLICITO. Nótese que las derivadas espaciales se escriben empleando términos conocidos en la línea de tiempo k , mientras que las


temporales tienen elementos de la línea de tiempo k y los desconocidos en la ( )1k + . Sustituyendo en la ecuación de continuidad queda,

0x2yy

vx2vv

yt

yy k1i

k1ik

i

k1i

k1ik

i

ki

1ki =

∆−

+

∆−

+∆− −+−+

+

entonces,

( ) ( )[ ]k1i

k1i

ki

k1i

k1i

ki

ki

1ki vvyyyv

x2tyy +−+−

+ −+−∆∆

+= ----------------- 8.111

Si se sustituyen las aproximaciones de diferencias finitas en la ecuación dinámica se obtiene,

( )fo

k1i

k1i

k1i

k1ik

i

ki

1ki SSg

x2yy

gx2vv

vt

vv−=

∆−

+

∆−

+∆− −+−+

+

se supone para el cálculo de fS como válida la ecuación de Manning o Chezy, o sea,

3/4

2

f Rnvv

S =

la combinación de vv como 2v se utiliza para que la resistencia por fricción siempre se oponga al movimiento y al sustituir se obtiene,

⋅−=

∆−

+

∆−

+∆−

++

−+−++

3/4P

1ki

1ki

2

o

k1i

k1i

k1i

k1ik

i

ki

1ki

R

vvnSg

x2yy

gx2vv

vt

vv

Si se hace: 2

3/4p

ntg

R

∆=Γ

la ecuación queda, después de reordenada, en la expresión:

( ) ( ) 0tSgyyx2tgvv

x2tv

vvv ok

1ik

1ik

1ik

1i

ki1k

i1k

i1k

i =

∆−−

∆∆

+−∆∆

Γ+Γ+ −+−++++

ecuación de 2do. grado en 1kiv + y por tanto su solución es:


( )2

4v2

121k

iβ−Γ+Γ−

=+ -------------------------------------------- 8.112

siendo,

( ) ( )

∆−−

∆∆

+−∆∆

Γ=β −+−+ ok

1ik

1ik

1ik

1i

ki tSgyy

x2tgvv

x2tv

Con las ecuaciones 8.111 y 8.112 se resuelve primero la profundidad del punto P y después su velocidad, figura 8.34. 8.8.2.1 La variante de Viessman. Viessman (1972), declara que soluciones estables pueden obtenerse si la aproximación de las diferencias es difusiva, o sea,

( )t

vv5,0vtv k

1ik

1i1k

i

k,i ∆+−

=

∂∂ +−

+

----------------------------------- 8.113

( )t

yy5,0yty k

1ik

1i1k

i

k,i ∆+−

=

∂∂ +−

+

----------------------------------- 8.114

2)S()S(

Sk

1ifk

1iff

+− += ---------------------------------------------- 8.115

adicionalmente debe cumplirse que:

vgnRt 2

3/4

≤∆ (criterio por fricción) -------------------------------- 8.116

y entre este valor de t∆ y el calculado según Courant, tomar el menor. Aplicando la aproximación difusiva al esquema explícito anterior, se obtiene: para la ecuación de continuidad,

0xyv

xvy

ty

=∂∂

+∂∂

+∂∂

entonces,


( )0

x2yy

vx2Vv

yt

yy5,0y k1i

k1ik

i

k1i

k1ik

i

k1i

k1i

1ki =

∆−

+

∆−

+∆

+− −+−++−+

y al resolver para py , queda:

( ) ( ) ( )k1i

k1i

k1i

k1i

ki

k1i

k1i

ki

1ki yy5,0yy

x2tvvv

x2tyy +−−+−+

+ ++−∆∆

−−∆∆

=

o sea,

( ) ( ) ( )[ ]k1i

k1i

ki

k1i

k1i

ki

k1i

k1i

1ki yyvvvy

x2tyy5,0y +−+−+−

+ −+−∆∆

++= ---- 8.117

para la ecuación dinámica,

( ) ( )fo

k1i

k1i

k1i

k1ik

i

k1i

k1i

1ki SSg

x2yy

gx2Vv

vt

vv5,0v−=

∆−

+

∆−

+∆

+− −+−++−+

,

ahora, sustituyendo fS por su valor queda, ( )

=

∆−

+

∆−

+∆

+− −+−++−+

x2yy

gx2Vv

vt

vv5,0v k1i

k1i

k1i

k1ik

i

k1i

k1i

1ki

−=

+

++

3/41ki

1ki

1ki

2

o )R(

vvnSg

agrupando se obtiene la siguiente expresión, ( )

1ki

1ki

2

0

k1i

k1i

k1i

k1i

ki

k1i

k1i

1ki3/41k

i

vvn

Sx2yy

x2Vv

gv

tgvv5,0v

)R(

++

−+−++−+

+

−=

=

−

∆−

+

∆−

+∆

+−

reordenando queda,

( )( )

+

∆−

∆++−∆

−++−

++

x2Vv

tvvv5,0vtgn

)R( k1i

k1ik

ik

1ik

1i1k

i2

3/41ki

1ki

1ki

2o

k1i

k1i vvntSg

x2yy

tg ++−+ −=

∆−

∆−

∆+


( )

+

∆−

∆⋅∆

++∆

−∆

−++

+−

++

x2vv

tnvtgn

)R(vv

tgn)R(5,0

tgn)R(

vk

1ik

1i2ki2

3/41kik

1ik

1i2

3/4ki

2

3/41ki1k

i

1ki

1kio

2k

1ik

1i2 vvtSgnx2yy

tgn ++−+ −=

∆−

∆−

∆+

−

∆−

∆∆

+⋅∆

+ −++

++

++

x2vv

tvtgn

)R(v

tgn)R(

vvk

1ik

1iki2

3/41ki1k

i2

3/41ki1k

i1k

i

( ) 0tSgx2yytgvv5,0 o

k1i

k1ik

1ik

1i =

∆−

∆−

∆++− −++−

ecuación de segundo grado con la siguiente solución:

24

v2

1ki

φ−Γ+Γ−=+ --------------------------------------------- 8.118

donde Γ está definida anteriormente y

( ) ( ) ( )

∆−−

∆∆

++−−∆∆

Γ=φ −++−−+ ok

1ik

1ik

1ik

1ik

1ik

1i

ki tSgyy

x2tgvv5,0vv

x2tv

Las ecuaciones 8.117 y 8.118, son el par que solucionan el problema. . 8.8.3 Esquema implícito de cuatro puntos para cualquier

geometría. Los esquemas implícitos utilizan aproximaciones de diferencias finitas tanto para la variable temporal como la espacial en términos de la variable dependiente en la línea de tiempo desconocida. La solución de las ecuaciones se realiza simultáneamente para todos los puntos a lo largo de la línea de tiempo, de esta forma se genera un sistema de ecuaciones algebraicas aplicando las ecuaciones de Saint Venant a todos los valores desconocidos de la línea de tiempo. Los métodos implícitos se desarrollaron debido a la limitación del intervalo de tiempo de los explícitos.


M. Amein y H. L. Chu (1975) desarrollaron una técnica implícita de convergencia rápida y precisa que emplea: esquema de diferencias finitas centrado método de iteración de Newton para ecuaciones no lineales como ecuación de continuidad para cualquier geometría:

0qtA

xvA

xAv =−

∂∂

+∂∂

+∂∂ ---------------------------------------- 8.119

donde, q es el gasto de entrada lateral por unidad de tiempo como ecuación dinámica para cualquier geometría:

( )AqvSSg

xyg

xvv

tv

fo +−−∂∂

+∂∂

+∂∂ ------------------------- 8.120

La pendiente del fondo puede expresarse como,

dxdzSo −=

las derivadas de A respecto a t,x pueden escribirse así,

xyT

xy

yA

xA

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

tA

∂∂

tyT

∂∂

=

Si lo que se mide es T ,A debe calcularse según dy/dAT = , para que A y T sean valores compatibles. Entonces la ecuación de continuidad puede reescribirse así,

0Tq

xyv

xv

TA

ty

=−∂∂

+∂∂

+∂∂ ----------------------------------------- 8.121

las ecuaciones 8.120 y 8.121 son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden del tipo hiperbólico. La solución numérica llega en 2 pasos: 1º. escribir las ecuaciones algebraicas en diferencias finitas, 2º. buscar el método idóneo de solución numérica.


Respecto a la malla, figura 8.35, se debe anotar que: El eje t es la condición de frontera aguas arriba y por

conveniencia en ella se dispone del nivel o hidrograma de gasto ( ) ( )[ ]tf tfQ 21 == yo .

La frontera aguas abajo, se supone que es una sección de control por lo que se dispone de la relación

( ) ( )yfv Qfy 43 == o .

FIGURA 8.35 MALLA PARA EL ESQUEMA IMPLICITO DE 4 PUNTOS. El subíndice i indica la posición en x y el subíndice k la

posición en t . En 0t = se dispone de los valores de la velocidad y la

profundidad en todos los nodos ( )0,i . El objetivo del cálculo será: Conocidas las variables en la línea de tiempo kt se desea avanzar a 1kt + , donde ttt k1k ∆+=+ . Para un punto M, las derivadas parciales de una función arbitraria se representan como,

( ) ( )1k1i

k1i

1ki

ki4

1M +++

+ Γ+Γ+Γ+Γ=Γ


( ) ( ) ( )[ ]1ki

ki

1k1L

k1Lx2

1xM ++

++ Γ+Γ−Γ+Γ∆

=∂Γ∂

( ) ( ) ( )[ ]k1L

ki

1k1L

1kit2

1tM

+++

+ Γ+Γ−Γ+Γ∆

=∂

Γ∂

Como Γ es una función arbitraria, las ecuaciones anteriores definen las variables que aparecen en las ecuaciones del régimen gradualmente variado impermanente. Cuando y , , tv/xv/vy ∂∂∂∂ en las ecuaciones 8.120 y 8.121 se reemplazan por las aproximaciones en diferencias finitas descritas anteriormente, los resultados son: para las derivadas:

( ) ( )[ ]k1i

ki

1k1i

1ki yyyy

t21

ty

++

++ +−+

∆=

∂∂

( ) ( )[ ]1ki

ki

1k1i

k1i vvvv

x21

xv ++

++ +−+∆

=∂∂

( ) ( )[ ]1ki

ki

1k1i

k1i yyyy

x21

xy ++

++ +−+∆

=∂∂

( ) ( )[ ]k1i

ki

1k1i

1ki vvvv

t21

tv

++

++ +−+

∆=

∂∂

para las funciones:

( )1k1i

1ki

k1i

ki

ki vvvv

41v 2

1

21

++

++

++ +++=

+++=

++

++

+

+

+

++

+1k

1i

1k1i

1ki

1ki

k1i

k1i

ki

ki

k

i Av

Av

Av

Av

41

Av 2

1

21

+++=

++

++

+

+1k

1i1k

ik

1iki

k

i T1

T1

T1

T1q

41

Tq 2

1

21

+++=

++

++

+

+

+

++

+1k

1i

1k1i

1ki

1ki

k1i

k1i

ki

ki

k

i TA

TA

TA

TA

41

TA 2

1

21


entonces aplicando esto a las ecuaciones 8.120 y 8.121 queda: para la ecuación de continuidad:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )][ ++−+∆

++−+∆

++++

+++

++

+ 1ki

ki

1k1i

k1i

2/1k2/1i

k1i

ki

1k1i

1ki yyyyv

x21yyyy

t21

( ) ( )[ ] 0T1qvvvv

TA

x21 2/1k

2/1i

1ki

ki

1k1i

k1i

2/1k

2/1i

=

−+−+

∆+

+

+

++++

+

+

----- 8.122

para la ecuación dinámica:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]++−+∆

++−+∆ +

++

+++++

k1i

ki

1k1i

1ki

1ki

ki

1k1i

k1i vvvv

t21yyyy

x2g

( )( ) ( )[ ] ( )−+++++−+∆

+ +++

+++++

++

1k1i

k1i

1ki

ki

1ki

ki

1k1i

k1i

2/1k2/1i SfSfSfSf

4gvvvvv

x21

0Avq

xzz

g2/1k

2/1i

ki

k1i =

+

∆−

−−+

+

+ ----------------------------- 8.123

Las ecuaciones algebraicas no lineales 8.122 y 8.123 contienen cuatro incógnitas correspondientes a la capa (k+1). Estas ecuaciones no lineales no son suficientes para evaluar las cuatro incógnitas. Pero si estas ecuaciones se aplican a todos los nodos de la capa ( 1k + ) resultarían 2(n-1) ecuaciones con 2n incógnitas (v y y desde i=1→n; k=k+1) Por tanto faltan dos ecuaciones para resolver el sistema. Estas ecuaciones se obtienen de las condiciones de frontera aguas abajo y aguas arriba respectivamente. Estas dos últimas ecuaciones definirán el valor de las incógnitas en forma única. frontera aguas arriba

Si la frontera aguas arriba se conociera en función del tiempo, entonces:

( )1k1

1ki tfy ++ = ------------------------------------------------------ 8.124a

Si lo que se conoce es el gasto en función del tiempo,


1ki

1ki

1ki QAv +++ =⋅ -------------------------------------------------- 8.124b

frontera aguas abajo

Si hay una relación del gasto, puesto que hay una sección de control o se conoce el nivel a partir de una curva de gastos, entonces

( )1inn

1in vfy ++ = ------------------------------------------------------- 8.125

Amein y Fang (1970) reconocieron explícitamente que el valor de las variables en kt se conocen y pueden tratarse como constantes. Si se reordenan las ecuaciones 8.116 y 8.117 se tiene,

( ) 0yyG 1k1

1k1o =λ−= ++ ------------------------------------------- 8.126

( ) 0QAvv,yG 1k1

1k1

1k1

1k1

1k1

1o =−= +++++ ----------------------------- 8.127

donde λ es una constante. Reordenando la ecuación de continuidad 8.122 y descartando los superíndices ( )1k + porque todas las variables que siguen están en esa capa, se obtiene,

( ) ( ) +++−∆∆

+++= +++++ bvv41)yy(

xta)yy(v,y,v,yF 1iii1ii1i1i1iiii

( ) +−−

+

∆∆

++++ ++

++ evv

41

TA

TA

xtd)vv(c i1i

1i

1i

i

i1ii

( ) 0wT1

T1q

2tpv.mv.h

xt

41

1iii1i =

++

∆−++

∆∆

++

+ ------------- 8.128

donde: ( ) ; yyc ; vvb ; yya k

ik

1ik

1iki

ki

k1i −=+=+−= +++

;vve);vv)(yy(x4td k

ik

1ik

1iki

ki

k1i −=+−

∆∆

= +++

;TA

TAm;

TA

TAh k

1i

k1i

ki

ki

k1i

k1i

ki

ki

+−=+=

+

+

+

+


( ) .T1

T1w;vv

TA

TAp k

1iki

ki

k1ik

1i

k1i

ki

ki

++

+

+ +=−

+=

Reordenando la ecuación dinámica 8.123 se obtiene,

( ) ( ) ( ) +++∆

∆+−−= ++++ 'bvv

tgx'ayyv,y,v,yG 1iii1i1i1iiii

( ) ( )'hSfSf2x'evv'dv'cv

g41

1ii2ii1i

21i ++

∆++−++ +++

0 'mAv

Av

qg2x

1i

1i

i

i =

++

∆+

+

+ -------------------------------------- 8.129

donde, ( ) ; ; ) ; v' cvv('byy'a k

1ik

1iki

ki

k1i +++ =+−=+=

2ki

k1i

ki )v(v' ev2'd −=−= + ;

k1i

k1i

ki

kik

ik

1i Av

Av

m'SfSf'h+

++ +=+= ;

Igual que la frontera aguas arriba, la de aguas abajo puede escribirse como,

( ) ( ) 0vfyv,yF nnnnnn =−= ---------------------------------------- 8.130 Las ecuaciones: 8.126 a 8.130, son las ecuaciones en diferencias finitas que se aproximan a las ecuaciones diferenciales parciales del régimen impermanente variado. Estas ecuaciones pueden agruparse:

( ) 0v,yG 11o = ( ) 0v,y,v,yF 22111 = ( ) 0v,y,v,yG 22111 =

( ) 0v,y,v,yF 1i1iiii =++ desde )2n(2i −→= ---------------- 8.131 ( ) 0v,y,v,yG 1i1iiii =++

( ) 0v,y,v,yF nn1n1n1n =−−− ( ) 0v,y,v,yG nn1n1n1n =−−−


( ) 0v,yF nnn = Sistema de 2n ecuaciones no lineales con 2n incógnitas que resuelve el problema y así se llega al fin del primer paso del proceso de solución. Como no se disponen de métodos rutinarios para la solución de ecuaciones algebraicas no lineales, Amein y Fang (1970) y Amein y Chu (1975) recomiendan resolver el sistema por un método generalizado de iteración de Newton (Ralston, 1965). • Método generalizado de iteración de Newton. Los pasos son los siguientes: Se asignan valores de tanteo a las incógnitas. Se sustituyen estos valores y comúnmente el lado izquierdo de

las ecuaciones no es cero. A este valor no nulo se le denomina residuo. La solución se obtiene iterando hasta que desaparezca el

residuo. Como ejemplo, supóngase que el valor de las incógnitas se han aproximado hasta el tanteo k y se desea avanzar al tanteo 1k + . Al sustituir los valores de las variables hasta k el lado derecho del sistema se convierte en los residuos.

( ) kO,G

ki

kio Rv,yG =

desde )1n(1 i −→= :

( ) kF,i

k1i

k1i

ki

kii R,v,y,vyF =++

( ) kG,i

k1i

k1i

ki

kii R,v,y,vyG =++ ------------------------------ 8.132

( ) k

n,Fkn

knn Rv,yF =

donde el superíndice indica la iteración. Amein y Fang proponen relacionar los residuos y las derivadas parciales según este sistema:


kO,G1

1

o1

1

o RdvvG

dyyG

−=∂∂

+⋅∂∂

k1,F2

2

12

2

11

1

11

1

1 RdvvF

dyyF

dvvF

dyyF

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

k1,G2

2

12

2

11

i

11

1

1 RdvvG

dyyG

dvvG

dyyG

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

desde ( )1n2i −→=

ki,F1i

1i

i1i

1i

ii

i

ii

i

i RdvvF

dyyF

dvvF

dyyF

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

++

++

---- 8.133

ki,G1i

1i

i1i

1i

ii

i

ii

i

i RdvvG

dyyG

dvvG

dyyG

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

++

++

kn,Fn

n

nn

n

n RdvvF

dyyF

−=∂∂

+∂∂

siendo: kn

1knn yydy −= +

kn

1knn vvdv −= +

desde ( )1n2i −→=

ki

1kii yydy −= +

ki

1kii vvdv −= +

kn

1knn yydy −= +

kn

1knn vvdv −= +

Observaciones: - las derivadas parciales especificadas en el sistema de

ecuaciones 8.133, se evalúan en el avok − ciclo de iteración. - el conjunto 8.133 tiene 2n ecuaciones con 2n incógnitas por

tanto, para su solución puede emplearse cualquier método clásico de solución de ecuaciones simultáneas lineales algebraicas (inversión de matrices, eliminación gaussiana,...)


- la solución del sistema proporciona los valores para: ;v,y 1ki

1ki

++ desde n1i →= que son los valores de las incógnitas en el ciclo ( )1k + de iteración

- la matriz de los coeficientes es hueca, así que los elementos distintos de cero están alrededor de la diagonal principal

- los ciclos de iteración se repiten hasta que la diferencia entre el valor de cualquier incógnita en dos ciclos de iteración sucesivos esté por debajo de la tolerancia

- en canales abiertos los valores de tanteo pueden tomarse como un incremento o decremento, de los determinados en la capa de tiempo anterior.

Los coeficientes de las ecuaciones 8.133 que son los valores de las funciones F y G en cada ciclo de iteración se determinan derivando las ecuaciones 8.128 y 8.129: Para F:

( ) ( ) ⋅+−∆∆

+++∆∆

−=∂∂

++ evvxt

41bvv

xt

411

yF

i1i1iii

i

i

i2ii

i2i

i

dydT

T

t 2q

dydT

TA

-1 . ∆−

( ) ( ) ⋅+−∆∆

+++∆∆

+=∂∂

+++

evvxt

41bvv

xt

411

yF

i1i1ii1i

i

1i

1i2

ii1i

1i21i

1i

dydT

T

t 2q

ydT

TA

-1+

+

++

+

+

+ ∆−

∂ .

( )xt

4m

TA

TA

xt

41cyy

xt

41

vF

1i

1i

i

ii1i

i

i

∆∆

+

+

∆∆

−+−∆∆

=∂∂

+

++

( )xt

4h

TA

TA

xt

41cyy

xt

41

vF

1i

1i

i

ii1i

1i

i

∆∆

+

+

∆∆

++−∆∆

=∂∂

+

++

+

Para G:

2i

ii

i

i

i

i

ii

i

i

AT

vg2xq

AT

dydP

P1Sfx

321

yG ∆

−

−∆−−=

∂∂


21i

1i1i

1i

1i

1i

1i

1i1i

1i

i

AT

vg2xq

AT

dydP

P1Sfx

321

yG

+

++

+

+

+

+

++

+

∆−

−∆+=

∂∂

( ) ii

ii

i

i vg2x

vSf

xv2'dg41

tx

g1

vG

i

q ∆

∆+∆+−+

∆∆

=∂∂

( ) 1i1i1i

1i1i

1i

i vqg2x

vSf

xv2'cg4

1tx

g1

vG

+++

++

+ ∆∆

+∆+++∆∆

=∂∂

Comentarios de French.

Amein y Chu (1975) notaron que la técnica implícita de diferencias finitas centrada, es precisa y estable para flujos que varían gradualmente. Aún así este esquema produce oscilaciones numéricas en ciertas variantes. Amein y Chu (1975) notaron que v es la variable preferida como dependiente en las ecuaciones fundamentales ya que Q es una función más suave de t,x . Price (1974) concluyó que el método de Amein y Fang (1970) es el más preciso de los investigados por él para el tránsito de avenidas. Price notó que la precisión óptima se obtiene

cuando,

∆≈∆

AQ5.1

xt

Muchos modelos estándar de régimen impermanente emplean esquemas de diferenciales similares a éste adicionando un factor de peso (esquema de cuatro puntos pesados). Price (1974) notó que este método puede ser impreciso si el gasto excede la capacidad del canal y se desborda a las llanuras de inundación.

8.8.4 Esquema de cuatro puntos pesados. Esta estrategia, propuesta por A. Preissmann en el 1er. Congreso de la Asociación Francesa de Cálculo, celebrado en Grenoble, Francia, en 1961, hoy día constituye una de las técnicas más ampliamente usadas en la modelación numérica de procesos no


estacionarios en conducciones libres. En esencia, para un punto M cualquiera, tal esquema aproxima la función Γ y sus derivadas: espacial y temporal, por las fórmulas en diferencias, Lyn y Goodwin (1987), que se muestra en el grupo 8.134,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ki

k1i

1ki

1k1i 111M Γω−+Γωθ−+Γω−+Γωθ≈Γ +

+++ --------- 8.134

( ) ( ) ( )( )[ ]ki

k1i

1ki

1k1i 1

x1

xM

Γ−Γθ−+Γ−Γθ∆

≈∂Γ∂

+++

+

( ) ( ) ( )( )[ ]ki

1ki

k1i

1k1i 1

t1

tM

Γ−Γω−+Γ−Γω∆

≈∂

Γ∂ ++

++

donde: kiΓ es el valor de Γ en el punto ( ) ( )tk ,xit,x ∆∆= ;

x t ∆∆ y constituyen los pasos en el tiempo y el espacio respectivamente (siempre constantes). Los factores de peso, ω para el espacio y θ para el tiempo, pueden tomar valores desde cero a la unidad, y contribuyen a definir el punto sobre el cual se realiza la discretización. Esto puede afectar significativamente la estabilidad y convergencia del esquema, como se verá más adelante. Puede ser concebido un esquema estándar (centrado en el espacio) para lo cual 2/1=ω , y es obtenido el esquema recomendado por el Servicio Nacional del Clima (Fread, 1978) o el Servicio Geológico de los Estados Unidos de América (Schaffranek, 1981).

( ) ( ) ( ) ( )k1i

ki

1k1i

1ki 2

12

M ++

++ Γ+Γ

θ−+Γ+Γ

θ≅Γ

( ) ( ) ( )[ ]k1i

ki

1k1i

1kit2

1tM

++

++ Γ+Γ−Γ+Γ

∆≈

∂Γ∂ --------------------------- 8.135

( ) ( ) ( )( )[ ]ki

k1i

1ki

1k1i 1

x1

xM

Γ−Γθ−+Γ−Γθ∆

≈∂Γ∂

+++

+


De igual forma, si es adoptado para θ el valor de ½ , se estaría en presencia del esquema propuesto por Amein y Chu (1975) el cual fue mostrado con anterioridad. Una representación esquemática de la malla es mostrada en la figura 8.36. Acorde con 8.135, las ecuaciones de Saint Venant son discretizadas y se obtiene un sistema algebraico con 2n ecuaciones y 2n incógnitas ( i =1,...,n+1),

+∆

−θ−+

∆−

θ +++

+

i

ki

k1i

i

1ki

1k1i

xQQ

)1(x

QQ

0qt

hh)1(

thh

T 1ki

1k

ki

1ki

1k

k1i

1k1i

mi =+

∆−

ω−+∆

−ω+ +

+

+

+

++

+ ------------ 8.136 a

+∆

−ω−+

∆−

ω+

+

+

++

+

1k

ki

1ki

1k

k1i

1k1i

tQQ

)1(t

QQ

+

∆−

θ−+∆−

θ+ +++

++

+

i

ki

k1i

i

1ki

1k1i

1kmi

1kmi

xQQ

)1(x

QQAQ2

[ ] +

∆−

θ−+∆−

θ−+ +++

+++

i

ki

k1i

i

1ki

1k1i21k

mi1k

mi xhh

)1(x

hh)NF(1gA

0)SSf(gA oi1k

mi1k

mi =−+ ++ ------------------------------------- 8.136 b

siendo, Ami

k+1 = A(hmik+1);

Tmik+1 = T(hmi

k+1); (NF2

m)k+1i = NF2 (Qm

k+1i, hm

k+1i ) ;

Sfmik+1 = Sf (ni,Qm

k+1i, hm

k+1i) = 21k

mi3/41k

mi

1kmi

1kmi

2i

)A()R(

QQn++

++

;

hmik+1 = θ [ ω hi+1

k+1 + ( 1- ω ) hik+1 ] + ( 1 - θ ) [w hi+1

k-1 +


+ ( 1- ω ) hik-1] ;

Qmk+1

i = θ [ ω Qi+1k+1 + ( 1- ω ) Qi

k+1 ] + ( 1 - θ ) [ω Qi+1k-1 +

+ ( 1- ω ) Qik-1] .

Para resolver 8.136, que constituye un sistema de ecuaciones no lineales, es utilizado también el método de Levenberg – Marquardt. La técnica que generalmente su utiliza para el análisis de la estabilidad de dicho esquema es la de John von Neuman, la cual es representada en detalle por Strelkoff (1970). Es válido destacar que la misma está rigurosamente justificada para ecuaciones diferenciales lineales y en virtud de tal restricción, se procede a la linealización de las ecuaciones que gobiernan el régimen impermanente unidimensional. Este sistema, escrito en notación vectorial es,

0xFK

tF

=∂∂

+∂∂ ------------------------------------------------------- 8.137

siendo F = vector de las incógnitas y K = matriz de coeficientes. La solución de este sistema con x∆ y t∆ constantes vendrá dada por:

( ) ( )( )[ +−ω−+−ω ++

++

ki

1ki

k1i

1k1i FF1FF ( )( ) 0FF1

xt k

ik

1i =−θ−

∆∆

+ --- 8.138

Las propiedades numéricas del esquema anterior pueden ser determinadas si se expone F en la forma de series de Fourier. Tales propiedades quedan definidas al examinar la componente de estas series:

( )xtieFF ∆σ−∆λ−∗=

donde: 1i −=


∗F es un vector arbitrario de amplitudes de las componentes de Fourier.

FIGURA 8.36 DETALLE DE LA CUADRICULA DE LA MALLA DEL ESQUEMA IMPLICITO DE CUATRO PUNTOS PESADOS. Esta componente está gobernada por:

θ+−η

+ω

⋅−=ξ

i

i

rc1

1cr

1

donde: xt/re ti ∆∆==η=ξ ∆σ∆λ− ; ; xi

de manera que: λ es la frecuencia de la onda (complejo) σ es el número de onda (complejo) ci la velocidad o celeridad de la i-esima onda característica del sistema o celeridad. Como la ecuación 8.137 es homogénea, la condición de Von Neuman para la estabilidad numérica es que 1≤ξ , lo cual implica que:


021

c21

ri≥

−θ+

−ω ------------------------------------------------ 8.138

donde ric es el número de Courant para la i-ésima onda característica, o sea, ( )x/tcc iir ∆∆= . Este resultado se muestra en la figura 8.37, asumiendo que 0cri > . La opción típica de θ = ½ , permite arribar a la conclusión de que para lograr la estabilidad incondicional es necesario ≥θ ½ . El resultado resulta familiar, ya que Fread (1978), recomendó un valor de θ =0,55 y antes, en 1975, había concluido que la precisión decrecía cuando θ se mueve entre 0,5 y 1,0; pero además se comporta como incondicional y linealmente estable para cualquier

t∆ si 15,0 ≤θ≤ . Las experimentaciones numéricas llevadas a cabo por Loger y Saavedra (1996) brindan resultados similares, que obtuvieron que para θ = 0,6 el balance de oscilaciones y de la difusión numérica se reduce al mínimo, planteando además que cuando la fricción es significativa, θ = 0,5 ofrece mayor precisión. La opción no convencional de ≠θ ½ indica que la estabilidad depende del signo de ric . Esto es un indicador de que tal opción debe emplearse cuidadosamente cuando se esté en el caso, por ejemplo, de una transición de régimen subcrítico a supercrítico. La condición de von Neuman es necesaria para la estabilidad. Lyn y Goodwin (1987), demuestran que es también una condición suficiente. Pero esta técnica no es definitiva, pues bien es conocido que no se disponen de métodos exactos para el estudio de la convergencia y la estabilidad de esquemas no lineales.


Es por ello que la experimentación numérica constituye la única herramienta para la verificación final con el objeto de garantizar una mejor simulación de las condiciones reales de circulación.

FIGURA 8.37 CONCLUSIONES SEGÚN LOS VALORES DE θ Y ω. 8. 9 Método de los elementos finitos. Cabe señalar que, en 1976, las ecuaciones de Saint Venant fueron resueltas por primera vez por Cooley y Moin (1976), aplicando el MEF. Sin embargo, independientemente de posteriores aplicaciones, Cunge en 1980 en una discusión de métodos para la solución de las ecuaciones de flujo no toma en cuenta la aplicación de este método, considerándolo de irrazonable. Una comparación de la eficiencia del MEF y el esquema en diferencias de cuatro puntos es presentada por Granatowicz y Szymkiewicz en 1989, donde se demuestra que los métodos son prácticamente equivalentes y brindan resultados casi idénticos, señalando las diferencias de los esquemas resultantes; para el MEF seis puntos mientras que para el MDF, cuatro puntos lo que influye en la rapidez de los cálculos. Sin embargo en los casos que fueron resueltos por ambos investigadores el MEF satisfizo mejor la ecuación de continuidad, según plantea Szymkiewicz, (1991).


8.9.1 Procedimiento general Sea la ecuación diferencial Lv = f, donde v = v(x,t) es la función incógnita, sujeta a ciertas condiciones iniciales y de frontera. Discretización de la región. Un intervalo de longitud L es subdividido por N+1 nodos, en N elementos, cada uno de longitud ∆xi (i = 1,2,…,n).

FIGURA 8.38 DISCRETIZACIÓN DEL INTERVALO EN n ELEMENTOS. Discretización de la ecuación diferencial en el espacio. De acuerdo con el procedimiento de Galerkin, la solución v que mejor aproxima a v tiene que minimizar el error ponderado,

∫ =−L

0i 0dx)x(N~)fvL( , desde i = 1,...,(n+1) ------------------ 8.139

siendo, Ñi(x) las funciones de peso o de ponderación, v (x,t) la función de forma que aproxima a la función v(x,t), L v – f es el error de la aproximación v (x,t). La función v (x, t) se busca según la expresión,

∑= )x(N)t(v)t,x(v ii , desde i = 1,...,(n+1) ------------------ 8.140

donde Ni(x) son funciones base o coordenadas del nodo i vi(t) función incógnita evaluada en el nodo i Aplicando linealidad en 8.139 sobre un elemento genérico Re, se obtiene en forma vectorial,


0I...III M21 =+++= ∑ ( j =1,....,M) ---------- 8.141

donde cada una de las expresiones dentro de la sumatoria representan el resultado en forma vectorial de las M integrales en que se descompuso 8.139. Después de calculadas dichas integrales la expresión anterior se transforma en un sistema de la forma:

[ ] [ ] 0FvdtdVvWI =++= --------------------------- 8.142

que representa un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con el tiempo como variable independiente, de n ecuaciones con n incógnitas vi(t). Discretización del sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias respecto al tiempo De forma general las matrices en 8.142, pueden variar en el tiempo y pueden depender de la propia incógnita, es decir, que el sistema sea no lineal. En la discretización temporal se puede utilizar el propio MEF ó el MDF. Al utilizar éste último se puede trabajar con parámetros de peso, obteniéndose para ciertos valores de estos, la variante del MEF. Finalmente se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para cada tiempo cuya solución representa los valores de las incógnitas en los nodos. 8.9.2 Variante de Szymkiewicz. Será considerada una conducción de longitud L, la cual será dividida por n+1 nodos en n elementos, cada uno de magnitud ∆xi (i = 1,2,...,n). De acuerdo con el procedimiento de Galerkin, la solución del sistema tiene que satisfacer el error ponderado,

∫ ∑∫=

==n

1i Re

aa 0dx,...)f(NKdx,...)f(NK --------------------------- 8.143

donde : N es [ N1(x), N2(x),..., NN+1(x)]T ; K es la representación del sistema de ecuaciones diferenciales


que modela el régimen impermanente y que para este método se emplea en la forma 1.57. fa es la aproximación de cualquier función en el sistema de ecuaciones; Re es la región de integración. Para el sistema de ecuaciones de Saint Venant, la condición 8.143 toma la forma:

∑∫=

=

∂∂

+∂∂

n

1i Re

0dxxQ

T1

thN

--------------------------------- 8.144

∑∫=

=

−+

∂∂

++∂∂

+∂∂

n

1i Re

023/42 0dxS

ARQnQ

xh)NF1(gA

xAQQ2

tQN

Las funciones incógnitas h y Q se aproximan por las expresiones desde: i = 1,...,(n+1), h(x,t) = Σi=1,..n+1 Ni(x)hi(t) ------------------------------------ 8.145a Q(x,t) = Σi=1,..n+1 Ni(x)Qi(t) ------------------------------------ 8.145b Estas deben ser sustituidas en cada una de las integrales de 8.144, pero dentro de las mismas aparecen coeficientes que pueden depender o no de las incógnitas. En cualquiera de los casos, es necesario analizar el tratamiento que se le dará a dichos coeficientes. Existen dos variantes en el MEF estándar para dicho análisis: aproximar dichos coeficientes por un valor promedio,

utilizando el teorema del valor medio en el elemento. utilizar una combinación lineal, similar a la de las

expresiones 8.145. Como fue mencionado con anterioridad, es utilizada una modificación de la primera variante, propuesta por Szymkiewicz, que emplea un cierto valor ponderado de dichos coeficientes en el elemento. Ahora bien, como las funciones


bases Ni(x) se tomarán lineales, existirán consecuentemente dos tipos de integrales en 8.144, que son las siguientes:

∫ ∫ ∆===

Re Re

icicia1 2

x)t(fdx)x(N)t(fdx)x(N)t,x(fI -------------- 8.46a

∫ ∫ ∆=== ++

Re Re

ic1ic1ia2 2

x)t(fdx)x(N)t(fdx)x(N)t,x(fI ---------- 8.146b

El promedio ponderado fc(t) se define, en un elemento, por las fórmulas: para el nodo i fc(t) = ω fi(t) + (1-ω) fi+1(t) ----------- 8.147a para el nodo i+1: fc(t) = (1-ω) fi(t) + ω fi+1(t)-----------8.147b

donde: ω parámetro de peso que varía entre 0 y 1. Por lo tanto, acorde con 8.147, las integrales en 8.146, podrán ser escritas como:

para el nodo i: I1 = [ω fi(t) + (1-ω) fi+1(t)] )2/x( i∆ ---8.148 a para el nodo i+1:I2 = [(1-ω) fi(t)+ω fi+1(t)] )2/x( i∆ ----8.148 b

Nótese que de ser adoptado ω = 2/3 en las expresiones anteriores es obtenido el MEF estándar. Cuando este procedimiento es aplicado en 8.144 se obtiene,

∑∫=

=

∂

∂+

∂∂

n

1i Re

a

C

C 0dxx

QT1

th

N ------------------------------- 8.149 a

[ ]∑ ∫ ∑∫= =

+

∂

∂−+

∂

∂

+

∂∂

n

1i Re

n

1i Re C

aC

2a

C

C dxx

h)NF1(Agdx

xQ

AQ2

tQ

N

∑∫=

=

−+

n

1i Re C

023/4

2

0dxSAR

QQnAgN --------------------- 8.149 b


La integración de 8.149 origina un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual puede ser escrito en notación matricial en la forma:

0EtFW =+

δδ ------------------------------------------------------ 8.150

siendo: W una matriz de bandas, simétrica y constante, F el vector de las incógnitas, E es un vector que depende de las incógnitas Q y h. Para aproximar este último, se utilizará una ponderación con un parámetro θ que varía entre 0 y 1, obteniéndose el esquema en diferencias siguiente:

t1∆

W ( Fk – Fk-1) + θ Ek + (1- θ)Ek-1 = ---------------------- 8.151

realizando algunas transformaciones se llega a, W Fk + θ∆t Ek – W Fk-1 + (1- θ)∆t Ek-1 = -------------------8.152 Para θ = 1 se obtiene el esquema implícito de Euler; con θ = 2/3 el esquema de Galerkin y si θ = 1/2 un esquema equivalente al de Crank–Nicolson. De coincidir θ = 1 y ω = 1 resulta el esquema de Vasiliev, que según Szymkiewicz (1995), resulta inadecuado para la solución de las ecuaciones de Saint Venant. El sistema es no lineal y presenta 2(n+1) ecuaciones con 2n incógnitas. Aunque puede ser linealizado usando los primeros términos de una expansión en serie de Taylor en torno a los valores obtenidos en el paso de tiempo anterior, este sistema puede ser resuelto por un método de solución de sistemas de ecuaciones no lineales, por ejemplo, una variante del método de Gauss-Newton para la solución de este tipo de sistemas, conocido como método de Levenberg-Marquardt, el cual es descrito en detalle por Gill (1981).


8.9.3 Análisis de precisión y estabilidad. Para la evaluación de la precisión y la estabilidad es utilizado el análisis de Fourier y las ecuaciones de Saint Venant son simplificadas y linealizadas como sigue,

0xHg

tv

=∂∂

+∂∂ y 0

xvH

tH

0 =∂∂

+∂∂

donde, v = Q/A; Ho es la profundidad constante; H es la profundidad de flujo. Este sistema escrito en notación vectorial se escribe de la siguiente forma,

0xFK

tF

=∂∂

+∂∂

siendo, F igual al vector de las incógnitas; K matriz de coeficientes. La solución de este sistema con ∆x y ∆t constantes vendrá dada por:

( ) ( ) ( )+−∆

ω−+−

∆ω

+−∆

ω−−

+−

++

++

k1i

1k1i

ki

1ki

k1i

1k1i FF

t1FF

t2FF

t1

( ) ( ) 0FFKt

1FFKt

k1i

k1i

1k1i

1k1i =−

∆θ−

+−∆θ

+ −++

−+

+ --------------------- 8.153

Cuando es aplicado el análisis de Fourier en 8.153, resulta un factor de amplificación G, que es un número complejo, cuyo módulo es:

22

r41

211G+θ

θ−+= ---------------------------------------------- 8.154

donde,


r = Cr

( )

∆λ

−ω+

∆λ

2xtg121

2xtg

2 ------------------------------------- 8.155

con: λ igual al índice de la componente de Fourier; Cr número de Courant e igual a: (g Ho)1/2(∆t/∆x). El esquema numérico es absolutamente estable si G≤ 1 y esto sólo se satisface cuando ω ≥ ½ y θ ≥ ½. Para θ = ½ , G= 1 resultando un esquema no disipativo, o sea que se propagan los errores; con θ < ½ , G> 1 que da lugar a un esquema inestable y si θ > ½ ,G < 1 entonces el esquema es disipativo. La intensidad de la disipación vendrá dada por el coeficiente de difusión numérica νn el cual puede ser estimado acorde con la ecuación: νn = g (θ - 0.5) ∆t Ho ------------------------------------------- 8.156

Nótese que la difusión sólo desaparece cuando θ = ½, lo cual indica que la aproximación del método es de segundo orden en el tiempo. Para θ > ½, el esquema produce difusión numérica que se incrementa cuando θ y ∆t son incrementados. Para estimar el error de fase, haciendo uso del factor de amplificación, se define la celeridad de la fase de la componente de Fourier, definida por el ángulo φk. Para la variante de Szymkiewicz, el error de dispersión está ausente solamente si ω = ½, θ = ½ y Cr =1. Con estos valores la celeridad de la fase de la componente de Fourier es constante y al introducir ω = ½ en 8.139, se obtiene: r = Cr tan (0.5 λ ∆x) ---------------------------------------------8.157


El análisis de Fourier desarrollado por Szymkiewicz para estimar la precisión y estabilidad del esquema, aplicado a la versión linealizada del sistema que modela el régimen impermanente no es definitivo, pues bien es conocido que no se dispone de métodos exactos para el estudio de la convergencia y estabilidad de esquemas no lineales. Es por ello que la experimentación numérica constituye la única herramienta para la verificación final con el objetivo de garantizar una mejor simulación de condiciones de flujo reales. 8.9.4 Solución de un problema con el MDF y el MEF. A continuación un caso resuelto por Martínez y Marón (1999) por los esquemas de Preissmann y Szymkiewicz. La geometría de la conducción permanece invariable, correspondiente a un canal de sección rectangular con 6.1 metros de ancho; la rasante de fondo es constante e igual a 0,0005; el coeficiente de rugosidad para la fórmula de Manning es igual a 0.02 y la longitud de dicha conducción, 6 km. Los parámetros de peso w y θ serán tomados de 1/2 y 2/3 respectivamente, de manera que de acuerdo con la literatura se garantice la estabilidad numérica de ambos esquemas. Una forma simple de las ondas de gravedad, conocida como onda solitaria, es modelada tomando en cuenta los efectos de la pendiente y la fricción, que reducirá gradualmente la altura de la onda. La condición inicial del flujo corresponde a un régimen de circulación uniforme, caracterizado por una profundidad de circulación de 1.8 metros y un caudal Qn = 13.3335 m3/seg. En


el extremo aguas arriba y con un período Pe = 400 seg., se impone un hidrograma senoidal en la forma:

Qo(t) = Qn + 0.5 ∆q ( 1 – cos ωt ); para 0 ≤ t ≤ Pe Qo(t) = Qn; para t > Pe

siendo ω = 2π / Pe; ∆q = 8.889 m3/seg. La longitud será dividida en intervalos constantes, donde ∆x = 300 metros, lo que implica la existencia de 20 subintervalos y el tiempo de simulación de 1200 segundos, necesarios para que no ocurra la reflexión de dicha onda en la frontera aguas abajo, será dividido por 12 subintervalos cuya magnitud ∆t = 100 seg. En efecto, tal y como se muestra en la figura 8.39, se detecta una onda que se traslada aguas abajo amortiguándose por efecto de la fricción y según el hidrograma impuesto, para t ≥ ½ Pe existe una tendencia a la condición inicial. En los primeros instantes en que es posible apreciar el perfil de la onda en su plenitud, no se detecta simetría por efecto de la rasante de fondo. En los experimentos numéricos realizados por Mozayeny y Song (1969), al aplicar el método de las características fueron detectadas oscilaciones en la recesión del hidrograma para diferentes secciones del tramo de conducción y según dichos autores existían dos posibles causas: 1º. gradientes adversos de presión en la rama de la

recesión del hidrograma, 2º. oscilaciones numéricas. Añadiendo además, que de ser ésta última la causa, entonces el hecho de que las ondas se amortiguasen rápidamente es un indicador de la estabilidad numérica del método y


consecuentemente pueden ser ignoradas debido a su pequeña amplitud. En los esquemas presentados no se produjeron tales oscilaciones y los resultados fueron prácticamente idénticos, aunque en la frontera aguas abajo, la variante de Szymkiewicz experimentó menos variación que la de Preissmann. Los tiempos de cálculo resultaron: esquema de Preissmann, 170.43 seg.; esquema de Szymkiewicz, 1573.1 seg.

FIGURA 8.39 a RESULTADOS SEGÚN EL ESQUEMA DE PREISSMANN CON UN HIDROGRAMA SENOIDAL COMPLETO AGUAS ARRIBA DE LA CONDUCCIÓN


FIGURA 8.39 b RESULTADOS SEGÚN LA VARIANTE DE SZYMKIEWICZ CON UN HIDROGRAMA SENOIDAL COMPLETO AGUAS ARRIBA DE LA CONDUCCIÓN 8.10 Análisis para secciones compuestas. La propagación del flujo a través de un río en el espacio y en el tiempo es un problema complejo. El deseo de vivir y construir al lado de los ríos, genera la necesidad de un cálculo preciso de gastos y niveles. Las secciones compuestas: naturales o artificiales; tienen un gran número de inconvenientes para su cálculo hidráulico, tanto en régimen permanente, como en impermanente. 8.10.1 Relación profundidad-caudal. Una forma alternativa de la ecuación dinámica es:

0SSxy

xv

gv

tv

g1

of =−+∂∂

+∂∂

+∂∂

Si se plantea que el gasto está dado por

fm SARQ Γ= ---------------------------------------------------- 8.158


donde en régimen impermanente fS varía con la pendiente de la onda y la profundidad. En el caso de régimen permanente uniforme el gasto está dado por:

om

N SARQQ Γ== de donde se puede reescribir

o

Nm

SQ

AR =Γ ------------------------------------------------------ 8.159

Si se sustituye 8.142 en 8.143 se obtiene

o

fN S

SQQ = -------------------------------------------------------- 8.160

y si la ecuación dinámica se reescribe y se sustituye en ella la expresión 8.160 se obtiene,

21

tv

gS1

xv

gSv

xy

S11QQ

oooN

∂∂

−∂∂

−∂∂

−= ----------------------- 8.161

onda cinemática analogía de difusión dinámica completa La ecuación 8.161 se denomina curva de gasto en forma de lazo.


FIGURA 8.40 CURVA PROFUNDIDAD-GASTO Cuando el flujo uniforme ocurre y los demás términos de la ecuación son despreciables, la ecuación de calibración profundidad-gasto viene dada por una relación biunívoca, figura 8.40. Cuando la profundidad no es simplemente una función del caudal y los demás términos son válidos, para una profundidad dada el caudal es usualmente mayor en el tramo de crecida que en el de recesión. A medida que el caudal aumenta y disminuye la curva de calibración puede mostrar numerosos circuitos tal como lo demuestra Fread (1973) para el río Rojo, figura 8.41. La curva de calibración para flujo uniforme es típica de los métodos de tránsito hidrológicos en los cuales ( )QfS = , mientras que la curva de calibración con circuitos es típica de los métodos hidráulicos. La propagación de ondas de crecida o recesión en ríos es compleja debido a factores tales como: confluencias y bifurcaciones variación de la sección transversal


variación de la resistencia tanto con la profundidad como con la localización de áreas inundadas, meandros del río ...., etc.

las interacciones LLICP − .

FIGURA 8.41 RESULTADOS DE FREAD PARA EL RIO ROJO, ALEXANDRIA, LOUISIANA. Tomada del Ven te Chow (1994). Durante el período en que aumentan los niveles en una onda de crecida, el agua fluye hacia las llanuras desde el cauce principal y durante la recesión el proceso se invierte y el agua regresa de los valles de inundación hasta el cauce principal. El efecto de almacenamiento en el valle disminuye el caudal durante el período de recesión, más las pérdidas en las llanuras por evaporación e infiltración. Las llanuras de inundación tienen un efecto en la celeridad de la onda debido a que la crecida se mueve más lenta en el valle de inundación que en el cauce. Esta diferencia en las celeridades dispersa la onda de crecida y produce un flujo desde el CP hacia las LLI , creando una pendiente transversal en la superficie del agua hacia fuera del canal. Durante el período de la disminución


de la crecida la pendiente transversal se invierte y el agua regresa hacia el cauce, figura 8.42. Puede darse el caso que, si las profundidades son suficientes, la profundidad y la velocidad del agua en las LLI sea mayor que en el CP , si además este, debido a los meandros, tiene una trayectoria mucho mayor, entonces se hace difícil para el agua ir desde el CP a las LLI durante el aumento de la crecida y viceversa durante la recesión. La propagación se hace aún más compleja cuando el régimen varía rápidamente y cuando hay muchos afluentes o receptores.

FIGURA 8.42 ESQUEMA , EN MEDIA SECCION, DE CRECIDA Y RECESION EN CAUCES NATURALES. Cuando existen efectos de remanso la curva de calibración puede estar compuesta de una serie de circuitos, cada uno correspondiente a un control diferente del nivel del agua, figura 8.43.


8.10.2 Generalización del esquema implícito de cuatro puntos. En el modelo implícito de cuatro puntos desarrollado anteriormente, Fread (1975), anotaba la importancia del flujo sobre los valles de inundación y en dado caso que el flujo circulara por ellos el modelo planteado es impreciso.

FIGURA 8.43 CURVA DE CALIBRACION CON CIRCUITO DEBIDO A EFECTOS DE REMANSO. Fread (1982), propone, para el caso del flujo sobre valles de inundación, la siguiente ecuación:

0qt

)AA(xQ 0 =−

δ+δ

+δδ ----------------------------------------- 8.162

como ecuación de continuidad y como ecuación de Momentum la siguiente expresión,

0LSeSfxzgA

x)A/Q(

tQ 2

=+

++

δδ

+δ

δ+

δδ ------------------- 8.163

donde, A es la sección activa del flujo, A0 es la sección inactiva o fuera del canal, contribuye a la continuidad pero no al Momentum, Se es la pendiente de la expansión o de la contracción, L es el efecto en la cantidad de movimiento del flujo lateral que entra o sale perpendicular al flujo principal. Para L se asumen los siguientes valores,


entrada lateral -------------------------- L = 0 descarga lateral por infiltración -----

AQq5,0L −=

descarga lateral masiva ---------------AQqL −=

Debe señalarse que la sección inactiva o fuera del canal indica las áreas donde la velocidad en el sentido longitudinal es despreciable respecto a la del CP. Puede incluir: ensenadas, barrancos, llanuras de inundación con mucha vegetación y tributarios que no reciben gasto. Sf se estima según,

3/42

2

RAQQn

Sf = ----------------------------------------------------- 8.164

donde R cuantifica la sección activa. El término Se esta dado por:

( )xg2A

QkSe

2

∆

∆=

-------------------------------------------------- 8.165

donde k es el coeficiente de expansión-contracción. Las ecuaciones 8.162 y 8.163 se modifican para tomar en cuenta las propiedades de la onda de avenida, Fread (1975-1982), propone:

0qtA

x)QK(

x)QK(

x)QK(

DER_LLI

DER_LLI

IZQ_LLI

IZQ_LLI

CP

CP =−δδ

+δ

δ+

δ

δ+

δδ ------ 8.166

y

+δ

δ+

δδ

CP

CP2

CP2

x)A/QK(

tQ

+δ

δ

IZQ_LLI

IZQ_LLI2

IZQ_LLI2

x)A/QK(

+δ

δ

DER_LLI

DER_LLI2

DER_LLI2

x)A/QK(

+

++

δδ SeSfx

zgA CPCP

CP


+

+

δδ

+ IZQ_LLIIZQ_LLI

IZQ_LLI Sfx

zgA

0Sfx

zgA DER_LLIDER_LLI

DER_LLI =

+

δδ ---------------------- 8.167

Los parámetros K tienen las siguientes definiciones:

DERIZQCP kk1

1K++

=

DERIZQ

IZQIZQ_LLI kk1

kK

++=

DERIZQ

DERDER_LLI kk1

kK++

=

y entonces: 2/1

IZQ_LLI

CP3/2

CP

IZQ_LLI

CP

IZQ_LLI

IZQ_LLI

CP

CP

IZQ_LLIIZQ x

xR

RA

An

nQ

Qk

∆∆

==

2/1

DER_LLI

CP3/2

CP

DER_LLI

CP

DER_LLI

DER_LLI

CP

CP

DER_LLIDER x

xR

RA

An

nQ

Qk

∆∆

==

y los términos Sf están dados por:

3/4CP

2CP

CPCP2CP

CP RAQKQKn

Sf =

3/4IZQ_LLI

2IZQ_LLI

IZQ_LLIIZQ_LLI2

IZQ_LLIIZQ_LLI RA

QKQKnSf =

3/4DER_LLI

2DER_LLI

DER_LLIDER_LLI2

DER_LLIDER_LLI RA

QKQKnSf =

y A se calcula según, A = ACP + A LLI_IZQ + A LLI_DER + A0 Las ecuaciones 8.166 y 8.167 constituyen el sistema a resolver por un método numérico idóneo y así encontrar la solución deseada.


Es de destacar que Chow (1994), propone en sustitución de la 8.163, que posteriormente deriva en la 8.167, la ecuación,

0wfTqvSeSfxhgA

x)A/Q(

tQ

x

2

=−β−

++

∂∂

+∂

β∂+

∂∂ ----- 8.168

donde, β es el coeficiente de corrección de la velocidad en la ecuación de Momentum, wf es la fuerza cortante del viento, vx es la velocidad del flujo lateral en la dirección del gasto en el canal, h es la elevación de la superficie del agua.

hidraulica de las conducciones libres

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