hamilton.uno

Apuntes de Mecnica Orbital

Formulacin Hamiltoniana

del

Problema de Dos Cuerpos

(12 de marzo de 2013)

Hamilton.uno.tex Jess Pelez lvarez 12 de marzo de 2013

ndice general

1 Formulacin Hamiltoniana en Mecnica Orbital 11.1 Paso de la formulacin lagrangiana a la hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Teorema de Donkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Ecuaciones cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Significado de la hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Coordenadas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Transformaciones cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1 Condicin necesaria y suficiente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Transformaciones cannicas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Formulacin hamiltoniana del problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Solucin de la ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10 Significado de las constantes de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11 Teora de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.12 Deduccin de las ecuaciones planetarias de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12.1 Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12.2 Elementos equinoctiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Variables de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

-1

Captulo 1

Formulacin Hamiltoniana en Mecnica Orbital

1.1 PASO DE LA FORMULACIN LAGRANGIANA A LA HAMILTONIANA

Sea S un sistema holnomo con n grados de libertad ysean (q1, . . . , qn) unas coordenadas generalizadas inde-pendientes del mismo. Si sobre sus partculas slo ac-tan fuerzas que derivan de un potencial V ordinarioo generalizado el sistema admite lagrangiana definidapor medio de la expresin:

L (qi, qi, t) = T (qi, qi, t) V (qi, qi, t)donde T es su energa cintica. El movimiento del sistemaest gobernado por las ecuaciones de Lagrange:

d

dt(Lqj

) Lqj

= 0, (j = 1, . . . , n) (1.1)

que constituyen un sistema de n ecuaciones diferencialesordinarias, de segundo orden, en general no lineales y aco-pladas cuya integracin analtica slo resulta factible en unnmero muy reducido de casos.

Las ecuaciones de Lagrange han de integrarse a partirde unas condiciones iniciales conocidas:

t = 0 : qi(0) = q0i , qi(0) = q

0i (i = 1, . . . , n) (1.2)

que permiten determinar las 2n constantes arbitrarias queaparecen en el proceso de integracin.

La imposibilidad de llevar a cabo una integracin ana-ltica, salvo en contadas excepciones, obliga a utilizar al-guno de los diversos mtodos numricos de integracinpresentes en las libreras de clculo cientfico. Previamen-te, es preciso manipular el sistema de ecuaciones a fin deexpresarlo en forma normal, esto es, como un sistemade 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordencon las derivadas despejadas:

Y = F ( Y , t).

La formulacin hamiltoniana realiza esta manipulacin deuna vez por todas para cualquier sistema que admita la-grangiana. Con ser sta una ventaja notable de esta formu-lacin no es la ms importante, como tendremos ocasinde comprobar.

En la formulacin lagrangiana las variables que defi-nen el estado mecnico del sistema son:

qi, qi, t (i = 1, . . . , n)

y se denominan variables de Lagrange. En la formu-lacin hamiltoniana, sin embargo, el estado mecnico delsistema est definido por las variables de Hamilton:

qi, pi, t (i = 1, . . . , n)

donde las cantidades pi estn definidas por las relaciones:

pj =Lqj

(qi, qi, t) (j = 1, . . . , n) (1.3)

y se denominan cantidades de movimiento generaliza-das o tambin, momentos generalizados.

El paso de la formulacin lagrangiana a la hamiltonia-na puede concebirse, en principio, como un simple cam-bio de variables: se sustituyen las variables lagrangianasqi por las variables hamiltonianas pi. Las ecuaciones (1.3)gobiernan este cambio de variables y, en ellas, las coorde-nadas (q1, q2, . . . , qn), y el tiempo t han de considerarsecomo parmetros.

Para que las ecuaciones (1.3) constituyan un cambiode variables la matriz jacobiana

(p1, p2, . . . , pn)

(q1, q2, . . . , qn)

ha de ser regular. Pero fuera de puntos singulares sesatisface siempre la condicin:

det(2L

qiqj) = 0

que asegura el carcter regular de dicha matriz jacobiana.Recurdese que para sistemas naturales la Lagrangia-

na puede descomponerse en la forma

L = L2 + L1 + L0

1

2 FORMULACIN HAMILTONIANA EN MECNICA ORBITAL

siendoL2 una forma cuadrtica definida positiva en las ve-locidades generalizadas, cuyos coeficientes dependen, engeneral, de las coordenadas generalizadas y el tiempo:

L2 = 12

ni,j=1

aij(qk, t) qiqj

Anlogamente L1 es una forma lineal en las qi:

L1 =n

i=1

bi(qk, t) qi

y L0 no depende de ellas.Para los sistemas naturales, las ecuaciones (1.3) adop-

tan la siguiente forma:p1p2.

.

.

pn

= A(qk, t)

q1q2.

.

.

qn

+

b1b2.

.

.

bn

siendo A(qk, t) una matriz simtrica, definida positiva yregular asociada a la forma cuadrtica L2 y bi los coefi-cientes de la forma lineal L1. Son ecuaciones afines.

Un cambio de variables como el definido por las ecua-ciones (1.3) se denomina transformacin de Legendre,y sus caractersticas principales, en el caso general, se re-cogen en el teorema de Donkin1 que pasamos a enunciar.

1.1.1 Teorema de Donkin

Sea X(x1, . . . , xn; 1, . . . , k) una funcin de las va-riables (x1, . . . , xn) en la que intervienen los parmetros(1, . . . , k) y cuyo hessiano es no nulo:

det(2X

xixj) = 0

Si se realiza un cambio de variables y se pasa de lasantiguas variables (x1, . . . , xn) a unas nuevas variables(y1, . . . , yn) gobernado por las ecuaciones

yj =X

xj(Ecuaciones del cambio directo)

entonces, existe una funcin Y (y1, . . . , yn; 1, . . . , k)que permite expresar las ecuaciones del cambio inverso(de las (y1, . . . , yn) a las (x1, . . . , xn)) mediante las rela-ciones:

xi =Y

yi(Ecuaciones del cambio inverso)

Dicha funcin Y (y1, . . . , yn;1, . . . , k) est definidapor:

Y =

nj=1

x jyj

X(x1, . . . , xn;1, . . . , k) (1.4)

y goza de la siguiente propiedad

Y

i= X

i(j = 1, . . . , k).

El sombrerete que aparece en el segundo miembro de (1.4)indica que en ese segundo miembro, todas las coordenadasxi han de sustituirse por las coordenadas yi, haciendo uso,para ello, de las ecuaciones del cambio inverso de varia-bles.

La transformacin de Legendre que define las ecuacio-nes del cambio directo, permite asociar a cada funcin Xla funcin Y definida en (1.4) y asociada al cambio inver-so. Esta funcin Y se denomina transformada de Legen-dre de X; la transformacin de Legendre es involutiva,esto es, la transformada de Legendre de Y resulta ser X .

1.2 ECUACIONES CANNICAS

El teorema de Donkin se puede usar para realizar el cam-bio de variable que pasa de la formulacin lagrangiana ala hamiltoniana, sin ms que realizar las siguientes identi-ficaciones:

(x1, . . . , xn) (q1, . . . , qn)(y1, . . . , yn) (p1, . . . , pn)(1, . . . , k) (q1, . . . , qn, t)

X(x1, . . . , xn;1, . . . , k) L (qi, qi, t)

Adviertase que las ecuaciones (1.3) que gobiernan dichocambio de variables, son una transformacin de Legendre.As pus, existe una funcin H transformada de Legendre

de L, definida por:

H (qi, pi, t) =n

j=1

q jpj

L

que se denomina hamiltoniana del sistema, y en trminosde la cual, las ecuaciones del cambio inverso del definidopor (1.3) resultan ser:

qj =Hpj

(j = 1, . . . , n) (1.5)

Los trminos que aparecen en ecuaciones de Lagrange(1.1), pueden expresarse, gracias al teorema de Donkin,

1El teorema de Donkin se ha extraido del excelente libro de F. Gantmacher [1], uno de los pocos autores que lo exponen con detalle. En este libro setrata la formulacin hamiltoniana con mayor extensin y detalle que en estas pginas

SIGNIFICADO DE LA HAMILTONIANA 3

como sigue:

d

dt(Lqj

) dpjdt

,Lqj

= Hqj

esto es:

pj = Hqj

(j = 1, . . . , n) (1.6)

Las ecuaciones (1.5- 1.6) se denominan ecuaciones ca-nnicas o ecuaciones de Hamilton, y gobiernan el mo-vimiento del sistema, cuando se usan las variables de Ha-milton (qi, pi, t) para definir su estado mecnico.

Normalmente las coordenadas qi fijan la posicin delsistema y los momentos pi su cantidad de movimiento.Pero esta distincin no siempre es cierta. En efecto, su-pngase que se realiza el siguiente cambio de notacin:

qi = i, pi = i, i = 1, . . . , nLa funcin de Hamilton H pasa a depender de las varia-bles nuevas:

H = H(i, i, t)

y las ecuaciones cannicas adoptan la forma:

i =Hi

, i = Hi

i = 1, . . . , n

En estas ecuaciones, los papeles de coordenadas y mo-mentos se han intercambiado, aunque la estructura delas ecuaciones se conserva. As pues, si interesa, se pue-den tomar los momentos como nuevas coordenadas, en cu-yo caso las antiguas coordenadas pasarn a ser los nuevosmomentos.

Esta propiedad muestra que la distincin entre coorde-nadas y momentos es un tanto arbitraria y, en ocasiones,innecesaria. Ms adelante se encontrarn situaciones enlas que esta distincin es importante, como por ejemplo,en el caso de las coordenadas cclicas o en la ecuacin deHamilton-Jacobi.

EJERCICIO 1: Dedzcanse las ecuaciones cannicas quegobiernan el movimiento de una partcula que se mueveen el espacio tridimensional; sense coordenadas esfri-cas (, , ) y supngase que la partcula est sometida afuerzas centrales que derivan del potencial V ().

1.3 SIGNIFICADO DE LA HAMILTONIANALa funcin de Hamilton H, o hamiltoniana, est dada por:

H (qi, pi, t) =n

j=1

q jpj

L =n

j=1

q j

Lqj

L

y dado que en los sistemas naturales la lagrangiana Lsiempre se puede descomponer en la forma

L = L2 + L1 + L0siendo L2 una forma cuadrtica en las velocidades gene-ralizadas qj , L1 una forma lineal en las velocidades gene-ralizadas qj y L0 independiente de ellas, se puede escribir(teorema de Euler)2:

nj=1

qjLqj

=

nj=1

qjL2qj

+

nj=1

qjL1qj

= 2L2 + L1

llegndose en consecuencia al siguiente resultado

H = 2L2 + L1 L = L2 L0 = T2 T0 + V0Ntese que para sistemas conservativos, se satisface

T T2, T0 0, V V0y la hamiltoniana resulta ser la energa total:

H = T + V (para sistemas conservativos)Por este motivo la hamiltoniana se denomina tambin

energa total generalizada. Adems, en el movimiento

del sistema, la variacin temporal de H vendr dada por:

dHdt

=

nj=1

(Hqj

qj +Hpj

pj) +Ht

y teniendo en cuenta las ecuaciones cannicas se tiene:

dHdt

=n

j=1

(Hqj

Hpj

Hpj

Hqj

) +Ht

esto esdHdt

=Ht

pues todos los trminos de la suma anterior son nulos.Se llaman sistemas conservativos generalizados, a

aquellos sistemas en los que la hamiltoniana no dependeexplcitamente del tiempo:

Ht

0

ya que, en virtud de la propiedad anterior, en el movimien-to del sistema la hamiltoniana permanece constante. Dadoque, en virtud del teorema de Donkin

Lt

= Ht

son sistemas conservativos generalizados aquellos enlos que la lagrangiana no depende explcitamente deltiempo.

2Sea f : Rn R una funcin de las n variables (x1, . . . , xn) que se condensarn en el vector x. Se dice que f(x) es una funcin homogneade grado p, si, y solo si, f(x) = pf(x). El teorema de Euler de las funciones homogneas se obtiene derivando respecto de en esta ltimaexpresin y particularizando posteriormente para = 1. Afirma que toda funcin homognea de grado p verifica: f(x) x = pf(x)


1.4 COORDENADAS CCLICAS

Una coordenada q se denomina cclica o ignorable si noaparece en la lagrangiana, esto es, si

Lq

= 0

ntese que, en virtud del teorema de Donkin, tampoco apa-recer en la hamiltoniana

Hq

= 0

La existencia de una coordenada cclica es beneficiosapues asociada a ella hay una integral primera; en efec-to, de la correspondiente ecuacin de momentos,

p = Hq

= 0 p = cte

se deduce que su momento conjugado p se mantieneconstante. La existencia de integrales primeras permiterebajar el orden del sistema de ecuaciones diferencialesa integrar. Desde este punto de vista, cuanto mayor sea elnmero de coordenadas cclicas, ms posibilidades existende encontrar una solucin analtica de las ecuaciones delmovimiento. Si la solucin analtica no fuese posible, elorden del sistema a integrar numricamente se reducira,lo que tambin es beneficioso.

A priori, sin embargo, no se sabe si unas coordena-das son mejores que otras, por contener ms coordenadascclicas; no obstante, la teora de transformaciones can-nicas permite, al menos formalmente, buscar coordenadascclicas, de forma sistemtica, como tendremos ocasin demostrar.

Dado que las coordenadas y momentos son intercam-biables, tambin se puede hablar de coordenadas cclicascuando un momento no aparece en la hamiltoniana. Enefecto, si es:

Hp

= 0

la correspondiente ecuacin cannica indica que

q =Hp

= 0 q = cte

esto es, se tiene una integral primera de las ecuaciones delmovimiento. Esta propiedad subraya el hecho de que coor-denadas y momentos juegan papeles totalmente simtricosen la formulacin hamiltoniana.

A continuacin estudiaremos ms detenidamente lanaturaleza de las coordenadas cclicas, limitndonos a sis-temas que presentan un potencial ordinario, V = V (q i, t).Supngase que una de las coordenadas generalizadas, porejemplo q1, tiene la siguiente propiedad: cuando se au-menta su valor en una cierta cantidad, manteniendo las

restantes coordenadas fijas, el sistema, como un todo, su-fre una traslacin en una direccin fija del espacio, la in-dicada por el vector unitario u. En tal caso, si son:

ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t) (i = 1, . . . , N)

unas ecuaciones paramtricas de las ligaduras finitas queactan sobre el sistema, puede comprobar el lector queadoptan la forma:

ri = (q1 a1)u+ i(q2, . . . , qn, t) (i = 1, . . . , N)siendo u un vector unitario en la direccin fija en la quese produce la traslacin y a1 una constante; ntese que eni no interviene q1. La energa cintica del sistema puedeponerse entonces en la forma:

T =

Ni=1

1

2miv

2i =

Ni=1

1

2mi(q1 u+ i)

2

y da lugar a la siguiente lagrangiana:

L = T V =Ni=1

1

2mi(q1 u+ i)

2 V (qi, t)

En consecuencia: i) la coordenada q1 no aparece en laenerga cintica, aunque s su derivada q1, y ii) el momentoconjugado de la coordenada q1 toma como valor:

p1 =Lq1

=T

q1=

Ni=1

mi(q1 u+ i) u =

= u Ni=1

mivi = u (mvG)

es decir, coincide con la componente de la cantidad de mo-vimiento del sistema en la direccin de u.

Esto es lo que ocurre, por ejemplo, con un slido li-bre sometido nicamente a fuerzas gravitatorias. Si son(, , ) las coordenadas de su centro de masas G, las dosprimeras, (, ), son cclicas y disfrutan de la propiedadque se acaba de comentar para la coordenada q1.

EJERCICIO 2: estdiese el movimiento de una partculamaterial de masa m que describe un plano Oxy atrada porel origen O con una fuerza central que deriva del potencialV (r), siendo r la distancia a O.

x

x

y

yr

O

SOLUCIN 2: La energa cintica, cuando se usan las

TRANSFORMACIONES CANNICAS 5

coordenadas polares (r, ) como coordenadas generaliza-das es:

T =1

2m(r2 + r22)

y su lagrangiana resulta ser:

L = 12m(r2 + r22) V (r).

Ntese que la coordenada es cclica pues

L

= 0

en consecuencia se tendr una integral primera:

p = cte mr2 = cte

cuyo significado fsico es evidente: expresa la conserva-cin del momento cintico, respecto de O, de la partcula,una caracterstica bien conocida de los movimientos cen-trales.

Ntese tambin que si en lugar de usar coordenadaspolares se usan las cartesianas (x, y) no habra coordena-das cclicas.

1.5 TRANSFORMACIONES CANNICAS

Las ecuaciones de Hamilton

qj =Hpj

, pj = Hqj

(j = 1, . . . , n) (1.7)

constituyen un sistema de 2n ecuaciones diferenciales or-dinarias, de primer orden, en general no lineales, escritoen forma normal. Dichas ecuaciones gobiernan el mo-vimiento del sistema, y han de integrarse a partir de unascondiciones iniciales conocidas:

t = t0 qi(t0) = q0i , pi(t0) = p

0i . (1.8)

Normalmente no es posible realizar una integracin ana-ltica de las ecuaciones, y debemos conformarnos con unaintegracin numrica; no obstante, existen casos, en losque la integracin sera trivial, por ejemplo, si la hamil-toniana del sistema fuese constante: H = 0 (como el ha-miltoniano est definido salvo constante, sin prdida degeneralidad puede suponerse que esa constante es nula).En efecto, en tal caso, las ecuaciones de hamilton se inte-graran trivialmente para dar:

qj = q0j , pj = p

0j (j = 1, . . . , n).

Habitualmente el hamiltoniano no es constante pe-ro, dado que depende de las coordenadas generalizadas(q1, . . . , qn) usadas para describir la cinemtica del sis-tema, es natural plantear la siguiente pregunta: Es po-sible realizar un cambio de coordenadas de forma que enlas nuevas coordenadas el hamiltoniano del sistema seaconstante?

Para responder a esta pregunta, se han de matizar algu-nos puntos. En primer lugar, al realizar un cambio de coor-denadas, la dependencia del hamiltoniano con los momen-tos generalizados pj se altera pero no se elimina, en con-secuencia, el cambio de coordenadas buscado debe con-templar tambin el cambio de los momentos generaliza-dos. Por otra parte dado el papel simtrico de coordenadasy momentos, parece razonable pensar que el cambio decoordenadas incluya, tambin, el cambio de momentos.

En segundo lugar, si se cambian las variables de esta-do, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del sis-tema, reescritas en las nuevas variables, no tienen porqu

ser hamiltonianas, esto es, en las nuevas variables, no tie-ne porqu existir una estructura hamiltoniana en las ecua-ciones. As pues, para contestar razonablemente a la pre-gunta formulada, han de considerarse, nicamente, cam-bios de variables que respeten la estructura hamiltonianade las ecuaciones; dichos cambios de variables se denomi-nan transformaciones cannicas, y se analizarn breve-mente en este apartado.

La solucin del sistema hamiltoniano (1.7), se descri-be geomtricamente de manera adecuada, en un espaciode 2n dimensiones denominado espacio de fases; lascurvas integrales llenan el espacio de fases de una formaordenada, ya que, por cada punto del espacio de fasepasa una y slo una curva integral. Cada punto del espa-cio de fases tiene como coordenadas las 2n cantidades:

(q1, q2, . . . , qn, p1, . . . , pn)

Conviene concebir las transformaciones cannicas comocambios de coordenadas en el espacio de fases, que go-zan de una propiedad fundamental: preservan la estructu-ra hamiltoniana de las ecuaciones.

Supngase, pues, que se dispone de un cambio decoordenadas en el espacio de fases, definido por las ecua-ciones

qj = qj(qi, pi, t)

pj = pj(qi, pi, t)

}(1.9)

en la que el tiempo t juega el papel de un parmetro. Paraque la transformacin (1.9) sea efectivamente biyectiva ypueda representar un cambio de coordenadas, ha de satis-facer la condicin:

(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn)

(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn)= 0.

La transformacin (1.9) es cannica, si transforma todosistema hamiltoniano como el (1.7), en un sistema hamil-toniano como el siguiente:

qi =Hpi

, pi = Hqi

(i = 1, . . . , n) (1.10)

Ntese que para que (1.9) sea cannica, no basta con quetransforme un cierto sistema hamiltoniano en otro tambin


hamiltoniano; se requiere que transforme todo sistema ha-miltoniano en otro sistema de estructura hamiltoniana.

Entre las muchas propiedades que adornan a las trans-formaciones cannicas, merece la pena destacar la si-guiente: el conjunto formado por todas las transformacio-nes cannicas, junto con la composicin de transformacio-nes, tiene estructura de grupo; por tanto, la composicinde transformaciones cannicas es cannica; existe elemen-to unidad, la transformacin identidad, que es cannica, ytoda transformacin cannica tiene inversa que es tambincannica.

Existe una condicin necesaria y suficiente para queuna transformacin como la (1.9) sea cannica; tal condi-cin, si se cumple, permite afirmar que la transformacinchequeada es cannica, y si no se cumple permite afirmarque no lo es. El lector interesado puede encontrar la de-mostracin en cualquiera de las referencias bibliogrficasque se indican al final de estas pginas; en este apartado,se enunciar sin demostracin.

1.5.1 Condicin necesaria y suficiente:

Para que la transformacin (1.9) sea cannica, es con-dicin necesaria y suficiente que exista un nmero real c,una funcin del estado del sistema F (qi, pi, t), y un hamil-toniano H (qi, pi, t) de forma que, en virtud de las ecua-ciones de la transformacin sea cierta la siguiente igual-

dad:n

j=1

pjqj Ht c{n

j=1

pjqj Ht} = F (qi, pi, t)

(1.11)al menos para un sistema cannico de hamiltonianoH (qi, pi, t) . El hamiltoniano H es el transformado delhamiltoniano H por medio de la transformacin cannica.

En esta condicin, slo se exige que (1.11) se satisfa-ga para un sistema hamiltoniano concreto, pues si se sa-tisface para uno se satisface para todos. En efecto, paraotro sistema hamiltoniano diferente, si es H1(qi, pi, t) suhamiltoniano, tambin se satisface (1.11) tomando comohamiltoniano transformado H1 el siguiente:

H1 = H+ c(H1 H).

La constante c se llama valencia de la transformacin,y la funcin F (qi, pi, t) se denomina funcin generatrizde la transformacin.

Las transformaciones cannicas de inters son las uni-valentes (c = 1), hasta el punto de que algunos autoresson las nicas que tratan. El motivo es el siguiente: puededemostrarse que toda transformacin cannica con valen-cia c = 1, se descompone en dos transformaciones can-nicas, una de ellas univalente, y la otra, un simple cambiode escala.

En lo que sigue, slo se considerarn transformacionescannicas univalentes; entre los muchos tipos de transfor-maciones cannicas, destacan las denominadas libres quese estudian a continuacin.

1.6 TRANSFORMACIONES CANNICAS LIBRES

Se llaman as, a aquellas transformaciones cannicas enlas que se satisface, adems, la siguiente condicin:

(q1, . . . qn)

(p1, . . . , pn)= 0 (1.12)

Esta condicin asegura que entre las coordenadas(p1, . . . , pn) y las (q1, . . . , qn) existe una corresponden-cia biunivoca. Como consecuencia de ello, en la funcingeneratriz F (qi, pi, t), pueden sustituirse todos los pj , entrminos de los qj , obtenindose as una nueva funcinS(qi, qi, t) que seguiremos denominando funcin genera-triz. Los argumentos de esta funcin S son las coordena-das antiguas qi, (i = 1, . . . , n), y las coordenadas nuevasqi, (i = 1, . . . , n), y en ella el tiempo t aparece como pa-rmetro.

Para las transformaciones cannicas libres, la condi-cin necesaria y suficiente (1.11), se satisface, si, y slo

si, se satisfacen las siguientes relaciones:

pj = Sqj

(qi, qi, t) (1.13)

pj =S

qj(qi, qi, t) (1.14)

H = H +S

t(1.15)

det(2S

qiqj) = 0 (1.16)

Las tres primeras (1.13- 1.15) se obtiene de identificar, enlos dos miembros de (1.11) los coeficientes que multipli-can a qj , qj , t respectivamente; la ltima, se obtiene alexigir que la transformacin sea efectivamente libre estoes, que se cumpla (1.12).

En realidad, las ecuaciones (1.13- 1.14) son precisa-mente las ecuaciones de la transformacin cannica, aun-que expresadas de una forma diferente a como se recogenen (1.9). No obstante, si se desea, pueden despejarse de(1.14) los coordenadas qj como funciones de (pi, qi, t),esto es: qj = qj(pi, qi, t), y llevando estas expresiones a

ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI 7

(1.13), se obtendran las coordenadas p j como funcionesde (pi, qi, t), esto es: pj = pj(pi, qi, t). Estas operacio-nes, que se pueden realizar formalmente en virtud de lacondicin (1.16), permiten expresar las ecuaciones de latransformacin cannica en la forma recogida en (1.9).

La relacin (1.15) proporciona, para cada sistema ha-miltoniano H, el hamiltoniano H correspondiente a lasnuevas variables (qj , pj).

As pues, de los razonamientos previos se deduce quepara conocer una transformacin cannica libre, slo seprecisa conocer la funcin generatriz S(q i, qi, t) asociadaa ella; de hecho, si se introducen en (1.13- 1.15) todas lasposibles funciones generatrices S(qi, qi, t) que satisfacen

(1.16), se obtienen todas las posibles transformaciones ca-nnicas libres que se pueden dar. Por ello, las transforma-ciones cannicas libres se manejan siempre a travs de lafuncin generatriz S(qi, qi, t) que las define.

Finalmente, ntese que si se desea encontrar unatransformacin cannica libre que simplifique la hamil-toniana, ha de ser no-estacionaria

S

t= 0

pues, en caso de no serlo, la relacin (1.15) indica que elhamiltoniano permanece inalterado.

1.7 ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI

Una vez que se dispone del concepto de transformacincannica puede plantearse la siguiente pregunta: es posi-ble encontrar una transformacin cannica libre que con-vierta el hamiltoniano H del problema en el que estamosinteresados en un hamiltoniano constante H = 0?. Laecuacin de Hamilton-Jacobi es la respuesta a este pro-blema.

Para localizar una transformacin cannica, el caminoms directo, por el momento, es buscar su funcin genera-triz S(qi, qi, t). Advirtase, en primer lugar, que si dichatransformacin existe y se conoce su funcin generatriz,entonces las ecuaciones que gobiernan el movimiento pue-den integrarse analticamente; en efecto, en las variables(qj , pj), al ser H = 0, las ecuaciones que gobiernan elmovimiento seran:

qj = 0, pj = 0

y su integracin resulta trivial:

qj = j , pj = j (j = 1, . . . , n)

A posteriori, de las ecuaciones (1.13- 1.14) de la trans-formacin se podran despejar las coordenadas (q i, pi) ob-tenindose de este modo

qi = qi(t;j , j), pi = pi(t;j , j)

esto es, se tendran las curvas integrales en trminos de2n constantes independientes (j , j); estas funciones re-sultan ser la solucin general del sistema hamiltonianoanalizado.

De acuerdo con (1.15), la condicin que habra de sa-tisfacer la funcin generatriz de dicha transformacin ca-nnica sera

S

t(qi, qi, t) +H(qi, S

qi, t) = 0

sta es una ecuacin diferencial en derivadas parciales, deprimer orden, en general no lineal, que necesariamente ha

de satisfacer la funcin generatriz. Se denomina ecua-cin de Hamilton-Jacobi.

Generalmente, cuando se plantea la ecuacin deHamilton-Jacobi ya se tiene en cuenta que las variablesqj van a permanecer constantes en el movimiento, y sebusca una funcin generatriz S(qi, i, t) que satisfaga laecuacin:

S

t(qi, i, t) +H(qi, S

qi, t) = 0 (1.17)

y que dependa de n constantes independientes (las i);adems, la solucin S obtenida, ha de verificar la condi-cin

det(2S

qij) = 0 (1.18)

para poder ejercer el papel de la funcin generatriz de unatransformacin cannica libre. Una tal solucin se conocecon el nombre de solucin completa de la ecuacin, yengloba solamente un nmero relativamente pequeo desoluciones, cuando se la compara con la solucin gene-ral de la ecuacin, que depende de funciones arbitrarias.

As pues, si por el procedimiento que sea se consiguedeterminar una solucin completa S(qi, i, t) de la ecua-cin de Hamilton-Jacobi, puede usarse como funcin ge-neratriz de una transformacin cannica libre, cuyas ecua-ciones seran

j = Sj

(qi, i, t)

pj =S

qj(qi, i, t)

(j = 1, . . . , n) (1.19)

y a partir de ellas, se obtiene la solucin general del siste-ma hamiltoniano de partida, en la forma:

qj = qj(t;i, i), pj = pj(t;i, i) (j = 1, . . . , n).

La integracin de la ecuacin de Hamilton-Jacobi esun problema de dificultad idntica a la integracin directade las ecuaciones de Hamilton; de hecho, algunos de los


procedimientos clsicos de integracin de ecuaciones di-ferenciales en derivadas parciales de primer orden convier-ten, de nuevo, el problema en la integracin de las ecua-ciones de Hamilton. Se entra, as, en un crculo vicioso delque aparentemente no se puede salir.

No obstante, con frecuencia se encuentran situacionesen las que la ecuacin de Hamilton-Jacobi puede integrar-

se por el mtodo de separacin de variables. En talescasos, su uso resulta ventajoso, pues se rompe el crcu-lo vicioso anteriormente comentado y puede efectuarse laintegracin analtica del problema.

Un ejemplo de esta situacin se presenta en el proble-ma de dos cuerpos que se estudia a continuacin usandola formulacin hamiltoniana.

1.8 FORMULACIN HAMILTONIANA DEL PROBLEMA DE DOS CUERPOS

Considrese una partcula de masa m, que se mueve res-pecto a una referencia inercial Oxyz, bajo la accin deuna fuerza central que deriva del potencial

V (r) = mr

y sean (r, , ) las coordenadas esfricas3 de la partcu-la asociadas a la referencia inercial. Su energa cintica seexpresa en trminos de r, , y por medio de:

T =1

2m(r2 + r22 + r2 cos2 2)

y dado que las fuerzas directamente aplicadas derivan deun potencial existe lagrangiana del sistema L = T Vdada por:

L = 12m(r4 + r22 + r2 cos2 2) +

m

r

Advirtase que las cantidades de movimiento genera-lizadas estarn dadas por:

pr =Lr

= mr

p =L

= mr2 cos2

p =L

= mr2

y en consecuencia la hamiltoniana del sistema al serconservativo H = T + V resulta ser:

H = 12m

{p2r +1

r2p2 +

1

r2 cos2 p2}

m

r(1.20)

Se puede intentar una solucin del problema basada enlas ecuaciones de Hamilton:

r =prm, =

pmr2 cos2

,

=pmr2

, pr =1

mr3{p2 +

p2cos2

} mr2

,

p = 0, p = sinp4

2mr2 cos3

ste es un sistema de orden 6 que debe integrase a partirde las siguientes condiciones iniciales (en t = 0):

r = r0, = 0, = 0

r = r0, = 0, = 0

Sin prdida de generalidad puede suponerse que se hanelegido los ejes Oxyz de forma que la posicin y la velo-cidad inicial estn contenidas en el plano Oxz (ver figura1.1); se tendr entonces:

0 = 0 = 0

La integracin se lleva a cabo de la siguiente forma:

p = 0 p = c1 mr2 cos2 = c1

siendo c1 constante; dado que inicialmente es 0 = 0 serc1 = 0. Pero si p = c1 = 0 de la ltima de las ecuacionesde Hamilton se deduce

p = 0 p = c2 mr2 = c2

siendo c2 = mr200 constante. Adems de la ecuacin = 0 se deduce = 0 = 0. Se han obtenido, pues, tresintegrales primeras que facilitan la reduccin del problemaa cuadraturas.

x

y

O

z

r0

v0

FIGURA 1.1: Problema de dos cuerpos3El ngulo [0, 2] es la longitud; [0, ] representa la latitud medida respecto del plano Oxy

SOLUCIN DE LA ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI 9

En efecto, las restantes ecuaciones resultan ser:

r =prm

pr =c2mr3

mr2

,

=c2mr2

El cociente de las dos primeras conduce a una nueva inte-gral primera, la integral de la energa, que adopta la forma

1

2mp2r +

1

2m

c22r2

mr

= E

donde E, la energa total, es una constante fijada por lascondiciones iniciales; de ella se deduce pr = pr(r).

El resto del proceso es una repeticin de la integracinclsicas de un movimiento central y se deja como ejercicioal lector.

Resulta ms fructfero, sin embargo, buscar la solu-cin por el mtodo de Hamilton-Jacobi. Para ello se bus-ca una transformacin cannica libre y univalente, que alactuar sobre el sistema transforme el hamiltoniano H encero; dicha transformacin cannica lleva las variables deHamilton (r, , , pr, p, p) a un nuevo conjunto de va-riables cannicas (1, 2, 3, 1, 2, 3), cuya evolucintemporal viene dada por las ecuaciones:

i =Hi

= 0; i = Hi

= 0 pues H 0

es decir, permanecen constantes en el transcurso del tiem-po. Si es:

S(r, , , 1, 2, 3, t)

la funcin generatriz de dicha transformacin cannica,sus ecuaciones resultan ser4:

pr =S

r, p =

S

, p =

S

1 =S

1, 2 =

S

2, 3 =

S

3

y pueden considerarse, tambin, como la solucin analti-ca del problema, pues de las tres ltimas se pueden despe-jar (r, , ) como funciones de (t, 1, 2, 3, 1, 2, 3).

Para determinar la funcin generatriz S, hemos de en-contrar una integral completa de la ecuacin de Hamilton-Jacobi que adopta la forma:

S

t+

1

2m{(S

r)2+

1

r2(S

)2+

1

r2 cos2 (S

)2}m

r= 0

(1.21)recuerdese que una integral completa de la ecuacin (1.21)ha de satisfacer la condicin

det(2S

qij) = 0

Las variables (1, 2, 3, 1, 2, 3) que aparecen enesta formulacin reciben, en este contexto, el nombre devariables de Jacobi.

1.9 SOLUCIN DE LA ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI

La ecuacin de Hamilton-Jacobi se resuelve por separa-cin de variables; dado que el sistema es conservativo, sebusca una solucin del estilo:

S = Et+W (r, , , 1, 2, 3)

donde 1 E es la energa total del sistema que perma-nece constante. La ecuacin (1.20) se convierte entoncesen

1

2m{(W

r)2+

1

r2{(W

)2+

1

cos2 (W

)2}}m

r= E

(1.22)Como funcin W se busca una que sea de variables sepa-radas, esto es, del estilo

W = W1(r) +W2() +W3()

Ntese que las funcionesW1, W2 y W3 tambin dependende 1, 2 y 3, aunque, por brevedad, no se ha indicadoen la expresin anterior.

Se puede obtener una solucin de variables separadassi las funciones W1,W2 y W3 se eligen de forma que sa-tisfagan las relaciones:

dW3d

= 3

(dW2d

)2 +23

cos2 = 22

(dW1dr

)2 +22r2

= 2m1 +2m2

r

Se obtiene de este modo la solucin:

W3 = 3

W2 =

22

23cos2

d

W1 =

2m1 +

2m2

r

22

r2dr

4Obsrvese que los nuevos momentos generalizados i, (i = 1, . . . , n) van a permanecer constantes; por este motivo suele trabajarse coni, (i = 1, . . . , n), que son tambin constantes, como se hace en estas pginas.


Estas funciones definen la transformacin cannica ypermiten determinar el movimiento. En efecto, en trmi-nos de la funcin generatriz S, las ecuaciones que propor-cionan dicho movimiento seran:

1 =S

1= t+ W1

1

2 =S

2=

W22

+W12

3 =S

3=

W33

+W23

Se deja como ejercicio al lector mostrar que la transforma-cin cannica encontrada satisface la condicin:

det(2S

qij) = 0

y, por consiguiente, las relaciones anteriores permiten des-

pejar (r, , ) en funcin de las seis constantes de integra-cin (i, i), i = 1, 2, 3.

Teniendo en cuenta los valores de W1, W2 y W3 lasrelaciones anteriores adoptan la forma:

1 + t =

mdr

R(r)

2 =

2 cosd22 cos

2 23

2dr

r2 R(r)

3 =

3d

cos22 cos

2 23con R(r) =

2m1 +

2m2

r

22

r2

y slo falta realizar las integrales que aparecen en los se-gundos miembros.

1.10 SIGNIFICADO DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIN

Las variables de Jacobi (1, 2, 3, 1, 2, 3) se mantie-nen constantes y tienen significado fsico claro que pasa-mos a describir en este apartado.

Ntese que 1 es la energa total del sistema; de formaclsica se expresa en funcin del semieje mayor a:

1 = E = m2a

Por otra parte la constante 3 al ser:

3 =dW3d

=S

= p = mr

2 cos2

coincide con la componente segn Oz del momento cin-tico; en efecto, la velocidad resulta ser

v = r ur + r u + r cos u

El momento cintico es:

mh = r mv = mr2(u + cosu)y su componente segn Oz ser:

mh k = mr2 cos2 = mh cos isiendo i la inclinacin y h = |h| el mdulo del momentocintico (por unidad de masa). As pues:

3 = mh cos i

La constante 2 vale entonces:

22 = (S

)2 +

1

cos2 (S

)2 = p2 +

p2cos2

=

= m2r42 +m2r4 cos2 2

esto es:

2 = mr2

2 + cos2 2 = mh

coincide, por tanto, con el mdulo del momento cintico.En resumen las constantes 1, 2, 3, en el caso de rbitaelptica que es el ms frecuente, coinciden con:

1 = E = m2a

2 = mh = ma(1 e2)

3 = mh cos i = m cos ia(1 e2)

Para determinar el significado de las constantesi (i = 1, 2, 3) se comenzar por la primera de las ecua-ciones del movimiento:

1 + t =

m dr

2m1 +2m2

r

22

r2

(1.23)

Teniendo en cuenta los valores de 1 y 2 determinados,el radicando puede expresarse, en el caso de rbita elpti-ca, como sigue:

2m1 +2m2

r

22

r2= m

1a+

2

r a(1 e

2)

r2

y la integral que aparece en el segundo miembro de(1.23) puede resolverse analticamente mediante el cam-bio r = a(1 e cosu):

1+t =

dr

1a+

2

r a(1 e

2)

r2

=1

n(ue sinu)

siendo n la velocidad angular del movimiento medio (3aley de Kepler):

n =2

T=

a3/2

TEORA DE PERTURBACIONES 11

Resulta en definitiva la ecuacin:

n(t+ 1) = u e sinuque coincide con la ecuacin de Kepler

n(t ) = u e sinuEn consecuencia la constante 1, cambiada de signo, coin-cide con el tiempo de paso por el perigeo

1 =

+

x N

S

S

y

z

O

i

r

FIGURA 1.2: Argumento del perigeo

La segunda de las ecuaciones del movimiento contienedos integrales cuyo clculo proporciona, para la primerade ellas:

2 cosd22 cos

2 23= arcsin(

sin

sin i)

donde se ha tenido en cuenta que 3 = 2 cos i, y se harealizado el cambio de variable sin = sin i . Para lasegunda integral el cambio

1

r=

1

p+

e

pcos

en la que es la anomala verdadera del caso elptico,conduce a:

2dr

r2

2m1 +

2m2

r

22

r2

=

d =

quedando definitivamente:

sin = sin i sin( + 2)

La constante 2 coincide con el argumento del perigeo. En efecto, sea S una posicin genrica de la partcula yS su proyeccin sobre el plano Oxy (vase la figura 1.2);trcese el plano normal a la linea de nodos que contienea SS, y sea N el punto de interseccin del plano con lalinea de nodos; se tiene as:

sin =SS

r=

NS sin i

r= sin i sin( + )

e identificando con la ecuacin anterior se deduce:

2 =

La tercera de las ecuaciones del movimiento contienela integral siguiente

3d

cos22 cos

2 23= arcsin {tan cot i}

quedando en definitiva:

tan =sin i

cos isin( 3)

Ntese en la figura que al ser

tan =SS

OS=

NS sin i cos iOS cos i =

sin i

cos i

NS

OS=

=sin i

cos i sin( )

en consecuencia puede identificarse

3 =

En resumen, se ha encontrado la funcin generatrizde una transformacin cannica libre y univalente quepasa de las variables (r, , , pr , p, p) a las variables(1, 2, 3, 1, 2, 3) y que convierte el hamiltoniano encero; las nuevas variables, que se mantienen constantes enel movimiento, resultan ser:

1 = E = m2a

, 1 = 2 = mh = m

a(1 e2) 2 =

3 = m cos ia(1 e2) 3 =

cuando se expresan en trminos de los elementos clsicosde la rbita.


1.11 TEORA DE PERTURBACIONES

Supngase que el potencial de las fuerzas que actan sobrela partcula contiene un trmino de perturbacin:

V = mr

+ Vp(r, , )

donde Vp representa el potencial de perturbacin; en talcaso, la hamiltoniana del sistema es

H1 = H+ Vp = H+Hp (1.24)donde H corresponde a la hamiltoniana del problema dedos cuerpos y Hp = Vp es la hamiltoniana asociada altrmino de perturbacin.

Puesto que la transformacin deducida en las pginasanteriores es cannica, transforma todo sistema hamil-toniano en sistema hamiltoniano; dicha transformacin,aplicada al hamiltoniano definido en (1.24) lo transformaen el hamiltoniano

H1 = H1 + St

= (H+ St

) +Hp (1.25)

y comoH+ St

= 0, el hamiltoniano transformado resultaser H1 = Hp; en consecuencia la transformacin canni-ca generada por S, cuando se aplica al problema perturba-do pasa de las variables (r, , , pr, p, p) a las variables(1, 2, 3, 1, 2, 3), y el hamiltoniano transformadoresulta ser el hamiltoniano de perturbacin Hp, expre-sado en trminos de las variables (i, i) (i = 1, 2, 3).

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento, en las va-riables (i, i) son, en consecuencia:

i = Hpi

, i = Hpi

(i = 1, 2, 3) (1.26)

donde Hp se supone expresado en trminos de (i, i)mediante las ecuaciones de la transformacin cannica.Estas ecuaciones, convenientemente desarrolladas, dan lu-gar a las ecuaciones planetarias de Lagrange, que go-biernan el movimiento del problema perturbado de doscuerpos, cuando la perturbacin deriva de un potencial.

Ntese que las ecuaciones (1.26), en el caso en queno exista perturbacin (Hp = 0) conducen a valores cons-tantes para las variables de Jacobi (i, i); sin embargo, siHp = 0 las variables de Jacobi evolucionan con el tiempo.A las ecuaciones (1.26) tambin se puede llegar aplicandola tcnica clsica de variacin de las constantes al pro-blema de dos cuerpos perturbado.

Los elementos clsicos de la rbita (, , i, a, e, ) semantienen constantes en el problema no perturbado; sinembargo, cambian con el tiempo cuando se analiza el pro-blema perturbado. Las ecuaciones planetarias de Lagran-ge, que se deducen en el apartado siguiente, proporcionanla evolucin de los elementos clsicos de la rbita en elproblema perturbado cuando la perturbacin deriva de unpotencial. Cuando la perturbacin no es potencial, hay unconjunto de ecuaciones similar que se denominan ecuacio-nes de Gauss.

1.12 DEDUCCIN DE LAS ECUACIONES PLANETARIAS DE LAGRANGE

Comencemos por la primera de ellasd1dt

= Hp1

m2a2

da

dt= Hp

()en consecuencia la primera de las ecuaciones planetariasde Lagrange es:

da

dt=

2a2

m

Vp

La segunda de las ecuaciones planetarias resulta ser:d2dt

= Hp2

y si se tiene en cuenta que

2 = ma(1 e2), 2 =

y adopta la forma

de

dt=

(1 e2)ame

Vp

+

1 e2

mea

Vp

La tercera proporciona:d3dt

= Hp3

y si se tiene en cuenta que

3 = m cos ia(1 e2), 3 =

se conduce a la tercera de las ecuaciones planetarias:

di

dt=

1

m sin ia(1 e2){

Vp

cos iVp

}

Anlogamente la ecuacin cuarta:d3dt

=Hp3

puesto que la inclinacin i slo aparece en la variable 3da lugar a la relacin:Hpi

=Hp3

3i

= (3) (m sin ia(1 e2))

DEDUCCIN DE LAS ECUACIONES PLANETARIAS DE LAGRANGE 13

de donde se deduce la cuarta ecuacin planetaria:

d

dt= 1

m sin ia(1 e2)

Vpi

La excentricidad e slo aparece en las variables(2, 3). Puede plantearse, pues, la relacin::

Hpe

=Hp2

2e

+Hp3

3e

=

= 2 {mea

1 e2 }+ 3{ cos ime

a

1 e2 }en cuyo segundo miembro slo se desconoce la derivada2 que se puede despejar. Una vez desarrollada da lugar laquinta ecuacin planetaria:

d

dt=

1 e2

mea

{ e cot i(1 e2)

Vpi

Vpe

}

La sexta y ltima de las ecuaciones planetarias se de-duce al observar que el semieje mayor a aparece en las tresvariables i; por tanto, se puede plantear la relacin:

Hpa

=Hp1

1a

+Hp2

2a

+Hp3

3a

=

= ()m2a2

+ {m

(1 e2)2a

}+ {cos im

(1 e2)2a

}

en cuyo segundo miembro slo la derivada temporal esdesconocida. Una vez despejada se obtiene la sexta ecua-cin planetaria que adopta la forma:

d

dt= 2a

2

m

Vpa

a(1 e2)

me

Vpe

En resumen, las ecuaciones planetarias de Lagrangeson:

da

dt=

2a2

m

Vp

(1.27)

de

dt=

(1 e2)ame

Vp

+

1 e2

mea

Vp

(1.28)di

dt=

1

m sin ia(1 e2){

Vp

cos iVp

} (1.29)

d

dt= 1

m sin ia(1 e2)

Vpi

(1.30)

d

dt=

1 e2

mea

{ e cot i(1 e2)

Vpi

Vpe

} (1.31)

d

dt= 2a

2

m

Vpa

a(1 e2)

me

Vpe

(1.32)

y en los segundos miembros aparece el potencial de per-turbacin Vp que debe escribirse como una funcin de loselementos clsicos de la orbita:

Vp = Vp(, , i, a, e, )

1.12.1 Observaciones

A la hora de escribir las ecuaciones planetarias de Lagran-ge suelen contemplarse algunos detalles que permiten re-escribirlas de forma ligeramente ms compacta. A conti-nuacin se pasa revista a dichos detalles:

en lugar del tiempo de paso por el perigeo suele em-plearse el parmetro definido como:

= n

el parmetro siempre se expresa en funcin delsemieje mayor a y la velocidad angular media n

= n2 a3

y por tanto no aparece en los segundos miembros de(1.27-1.32)

en los segundos miembros de (1.27-1.32) siempreaparece el cociente Vp/m, es por ello que habitual-mente se trabaja con el potencial de perturbacin

Rp = Vp/mque ahora debe expresarse como funcin de los nue-vos elementos:

Rp = Rp(, , i, a, e, )

ntese que Vp/m y Rp aunque ambas representanel mismo potencial de perturbacin son funcionesdiferentes por culpa de sus argumentos que son di-ferentes. As, sus derivadas parciales respecto de(, , i, e) coinciden pero para las otras variablesse tiene:

(Vpm

)= nRp

a

(Vpm

)=

Rpa

32a

Rp

Teniendo en cuenta estos detalles las ecuaciones planeta-rias de Lagrange se suelen escribir como sigue:

da

dt= 2

n a

Rp

(1.33)

de

dt=

1 e2e n a2

{Rp

1 e2 Rp

}(1.34)

di

dt=

1

n a2 sin i1 e2

{Rp

cos iRp

}(1.35)

d

dt= 1

n a2 sin i1 e2

Rpi

(1.36)

d

dt=

1 e2e n a2

{e cot i

(1 e2)Rpi

Rpe

}(1.37)

d

dt=

2

n a

Rpa

+1 e2e n a2

Rpe

(1.38)


Naturalmente, las ecuaciones (1.33-1.38) deben inte-grase, bien sea analtica o numricamente, a partir de unascondiciones iniciales conocidas (en t = t0):

= 0, = 0, i = i0, a = a0, e = e0, = 0

Por otra parte, debe tenerse en cuenta que hay dos es-cuelas de pensamiento que se diferencian en el conceptode potencial de perturbacin. Aqu se usa el conceptode potencial tal y como se usa clsicamente en Mecnica,esto es, teniendo en cuenta que la fuerza de perturbacinque acta sobre la partcula es:

fP = RpOtros autores utilizan, en lugar de la funcin potencial,la funcin de fuerzas; el ejemplo tpico sera el de Da-vid Vallado; en su afamado libro [2] distingue entre fun-cin potencial de perturbacin y energa potencial deperturbacin; ambas son iguales salvo el signo. Su ener-ga potencial de perturbacin coincide con el potencial deperturbacin usado en estas pginas, mientras que su fun-cin potencial de perturbacin coincidira con la funcinde fuerzas de perturbacin. En las ecuaciones planetarias

de Lagrange el usa la funcin potencial de perturbacinque denota por R y los segundos miembros tienen signosopuestos a los que aparecen en las ecuaciones (1.33-1.38).Una formulacin similar a la usada en [2] se encuentra enlos libros de A. Roy [3] y Richard. H. Battin [4].

Notese que en las ecuaciones (1.34), (1.37) y (1.38)aparece la excentricidad e dividiendo; esto significa que sila rbita perturbada es circular, se presentan singularida-des que hacen intiles estas ecuaciones. Igualmente, en eldenominador de las ecuaciones (1.35), (1.36) y (1.37) apa-rece el trmino sin i que se anula cuando la inclinacin esnula. Por tanto, las ecuaciones planetarias de Lagrange sehacen singulares para inclinacin y/o excentricidad nulas.

La utilidad de estas ecuaciones est demostrada enmultiples escenarios; tanto en integraciones analticas(usando por ejemplo tcnicas de promediado) como en in-tegraciones numricas. En este ltimo caso, debe asegu-rarse que durante el proceso de integracin no se alcanzanni excentricidades ni inclinaciones pequeas, pues de locontrario y debido a las singularidades mencionadas, lasolucin numrica obtenida no tendr validez.

1.12.2 Elementos equinoctiales

1.13 VARIABLES DE DELAUNAY

Las ecuaciones planetarias de Lagrange, o las ecuacionesde Hamilton en las variables de Jacobi, exigen expresarel potencial de perturbacin en trminos de los elementosclsicos de la rbita o de las variables de Jacobi; unode ellos es el tiempo de paso por el perigeo . La derivadaparcial respecto de es molesta pues el potencial de per-turbacin depende de a travs de la ecuacin de Keplery de una variable intermedia: la anomala excntrica. Sepueden simplificar las cosas si se pasa a un nuevo conjuntode variables cannicas una de las cuales sea la anomalamedia:

= n (t )(en este contexto es costumbre denotar por a la anomalamedia y trabajar con magnitudes referidas a la unidad demasa).

Las nuevas variables cannicas se denominan

(, h, g, L,H,G)

y se considera que (, h, g) son coordenadas5 mientras que(L,H,G) son momentos. Se obtienen de las antiguas va-riables (i, i) por medio de una transformacin cannicalibre y univalente cuya funcin generatriz es:

S1(1, 2, 3, , g, h) = 1t+ 21 + 2 g + 3 h

Con lo que, las ecuaciones de la transformacin cannica,

para las coordenadas, resultan ser:

1 =S11

= t+ n

= n(t )

2 =S12

= g g =

3 =S13

= h h =

y para los momentos:

L = S1

= 21 L = a

G = S1g

= 2 G = a(1 e2)

H = S1h

= 3 H = cos ia(1 e2)

Ntese que en las nuevas variables de Delaunay el ha-miltoniano del sistema perturbado es:

HD = Hp + S1t

= Hp 1 = Hp + 2a

= Hp + 2

2L2

es decir:HD =

2

2L2+Hp

5No confundir la coordenada h de Delaunay con el momento cintico h que se ha manejado hasta ahora

REFERENCIAS DEL CAPTULO 1 15

Las ecuaciones de Hamilton reescritas en variables deDelaunay adoptan la forma:

d

dt=

2

L3+

HpL

dL

dt= Hp

dh

dt=

HpH

dH

dt= Hp

hdg

dt=

HpG

dG

dt= Hp

g

En el movimiento no perturbado (Hp = 0) los tres mo-mentos (L,H,G) adoptan valores constantes al igual quelas coordenadas (h, g); la anomala media , sin embargo,crece linealmente con el tiempo.

En el movimiento perturbado (Hp = 0) las seis varia-bles de Delaunay, en principio, evolucionan con el tiem-po; dependiendo de la perturbacin, no obstante, algunasde ellas pueden tomar valores constantes.

Charles Eugene Delaunay (1816-1872) fue un astrno-mo y matemtico francs. Su formacin fue de ingeniero(de la escuela de Minas). Public, en 1860 y 1867, dosvolmenes La Thorie du mouvement de la Lune querecogan su trabajo de veinte aos sobre la dinmica lu-

nar. Proporcion la longitud, latitud y paralaje de la Lunacon precisin inferior al segundo de arco, mediante seriesinfinitas. Aunque de escaso valor prctico, debido a la len-titud de la convergencia de dichas series, su trabajo tuvouna enorme repercusin pues contena los rudimentos delactual anlisis funcional.

En los aos 60, el profesor Andr Deprit afront elproblema de reproducir mediante ordenador la Teora de laLuna de Delaunay, que tena una precisin de 3 km en dis-tancia. Pensando en cmo abordar este problema, AndrDeprit encontr una nueva transformacin explcita, basa-da en series de Lie, posiblemente la mayor contribucinde Deprit a la Mecnica Celeste y ampliamente utilizadahoy en da en otros campos cientficos. Con Jacques Hen-rard y Arnold Rom (ver [5]) no solamente reprodujo porordenador la teora de Delaunay, sino que al externderla ardenes superiores obtuvieron una precisin de 50 cm endistancia. Este trabajo tuvo un gran impacto, pues por pri-mera vez mostraba las enormes posibilidades de los orde-nadores para manipular expresiones algebraicas y fue re-compensado con la J.C. Watson Golden Medal de la U.S.National Academy of Sciences.

Bibliografa

[1] F. Gantmacher. Lectures in Analytical Mechanics. URSS, Moscow, 1996. ISBN 5-88417-002-5.[2] D.A. Vallado. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Microcosm Press, Howthorne, CA, USA, 2007.[3] A. Roy. Orbital Motion. Adam Hilger, Bristol, 1988.[4] R.H. Battin. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. Revised edition, AIAA, Reston, VA,

1999.

[5] A. Deprit, J. Henrard, and A. Rom. Analytical lunar ephemeris: Delaunays theory. The Astronomical Journal, 76:269,1971.

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hamilton.uno

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