CENTRO DE INVESTIGACION Y DEESTUDIOS AVANZADOS

Departamento de Fsica.

HAMILTONIANOS NO HERMITIANOSCON ESPECTRO DE OSCILADOR

RADIAL

TESISQUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

ROBERTO IVAN CABRERA MUNGUIA

MEXICO, D.F. NOVIEMBRE DE 2007

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Agradezco de forma especial a mi asesor, Dr. Jose Oscar Rosas Ortiz, por su gran dedi-cacion y colaboracion en el desarrollo de esta tesis de maestra, as como la oportunidadque me ha brindado para formar parte de su grupo de investigacion.

Agradezco con gran satisfaccion las facilidades que me han otorgado las diferentesinstituciones de las que he sido alumno, mismas que me han permitido formular ideaspara poder realizar esta investigacion. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa(CONACyT), proyecto 24233-50766-F y por la beca que se me otorgo para realizar estetrabajo, al Departamento de Fsica del Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados(Cinvestav) y a mi Alma Mater : Instituto Tecnologico de Lazaro Cardenas (ITLAC).

A mis sinodales: Dr. David Fernandez Cabrera y Dr. Piotr Kielanowski por sus sugeren-cias y comentarios respecto a esta tesis.

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A mi esposaMargarita Salamanca Bustos

Que ha pasado horas de soledad y angustia para que yo salga adelante,por ser mi principal inspiracion para mejorar da con da.

A mis padresSonia Munguia Fajardo

yJose de Jesus Cabrera Mezapor haberme otorgado la vida.

A mis hermanosDens, Christian, Emmanuel y Paola

por apoyarme siempre, al brindarme su amor y comprension en todo momento.

A todos ellos infinitas gracias !.

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Resumen

La Mecanica Cuantica Supersimetrica (MC-SUSY) es bastante conocida por utilizarmetodos de factorizacion y entrelazamiento, los cuales se aplican para transformar Hamil-tonianos y determinar si existe o no existe rompimiento de la supersimetra en sistemasde baja energa. Sin embargo, la mayora de los trabajos realizados en esta area utilizanfunciones de transformacion con una constante de factorizacion real. El caso complejo,por otro lado, ha recibido poca atencion.

En este trabajo presentamos la construccion supersimetrica del oscilador radial y pro-ponemos factorizar el Hamiltoniano H como el producto de dos operadores A y B, queno son mutuamente adjuntos, mas una constante compleja . Este metodo nos conducea Hamiltonianos no Hermitianos con espectro puramente real o espectro real mas un es-tado de energa compleja adicional (caso 1-SUSY), ademas encontramos HamiltonianosHermitianos (caso 2-SUSY) que son isoespectrales al oscilador radial.

Posteriormente analizamos el comportamiento de los nuevos potenciales, imponiendocondiciones sobre las constantes complejas que caracterizan a la funcion de transfor-macion. Veremos que los nuevos potenciales presentan desplazamientos en el numerocuantico azimutal ` que estan ntimamente conectados con el Teorema de Oscilacion deSturm.

Abstract

Supersymmetric Quantum Mechanics (SUSY QM) includes factorization and intertwiningmethods. Applied to determine the breaking of supersymmetry in low energy systems, thismethod is also useful in Darboux-deforming exaactly solvable potentials in QM. However,a lot of the literature on the matter uses transformation functions with a real factorizationconstant . In contrast, the complex case has received less attention.

In this work we present the supersymmetric construction of the radial oscillator and wepropose to factorize the Hamiltonian H as the product of two not mutually adjoint firstorder operators A and B plus a complex constant . This method leads to non-hermitianHamiltonians with real spectrum or real spectrum plus an additional complex energy state(1-SUSY case), we also found Hermitian Hamiltonians (2-SUSY case) when are isospectralto the radial oscillator.

We analyze the behaviour of the new potentials by constraining the complex constantsthat characterize the transformation function. We will see that the new potentials presentdisplacements in the azimuthal quantum number `, that are intimately connected withthe Sturm Oscillation Theorem.

ii

Contenido

Introduccion 1

1 El oscilador radial 71.1 Oscilador isotropico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Factorizacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Factorizacion compleja 232.1 Factorizacion compleja y relaciones de entrelazamiento de primer orden . . 232.2 Potenciales complejos con espectro de oscilador radial . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Potenciales complejos con espectro real . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Potenciales complejos que admiten energas complejas . . . . . . . . 32

2.3 Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Transformaciones complejas de Darboux de segundo orden 353.1 Relacion de entrelazamiento de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Potenciales reales con espectro de oscilador radial . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Potenciales reales con 6= 0, = 0, y las funciones de onda asociadas 393.2.2 Potenciales reales con = 0, 6= 0, y las funciones de onda asociadas 40

4 Resultados y Conclusiones 43

Apendice 46

Bibliografa 49

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ii CONTENIDO

Introduccion

El metodo de factorizacion es una herramienta bastante poderosa para analizar solu-ciones de las ecuaciones diferenciales que aparecen en varias ramas de la fsica matematica[1, 2]. Introducido en Mecanica Cuantica (MC) por fsicos de la talla de Fock, Dirac ySchrodinger, este metodo algebraico ha sido de gran influencia en el desarrollo de la fsicacontemporanea [3]. Es ademas resaltable que matematicos como Darboux y Backlund es-tuvieron interesados en desarrollar formalismos geometricos que pueden ser identificadoscomo parte de los antecedentes de los operadores de creacion y aniquilacion de Fock yDirac. En nuestros das, el metodo de factorizacion es de especial utilidad para construirsoluciones exactas de nuevos potenciales en MC [4].

A principio de los ochenta era comun la opinion de que el metodo ya estaba comple-tamente explorado. Este punto de vista cambio luego de los resultados que Mielnik re-porto en su ahora muy famoso trabajo sobre la factorizacion [5]. En este trabajo, Mielnikpropone una idea simple pero muy util para enriquecer las posibilidades del metodo defactorizacion. Se trata de un caso general de la solucion a la ecuacion de Riccati que surgeen forma natural en la aproximacion de Schrodinger-Dirac-Infeld-Hull.

La primera aplicacion del metodo modificado, que el propio Mielnik realizo, fue en relacioncon el estudio del oscilador armonico. Esto dio origen a la construccion de una familia uni-parametrica de nuevos potenciales solubles que, en principio, son diferentes al potencial deloscilador armonico pero que tienen el mismo espectro. Pocos meses mas tarde, el metodode Mielnik fue aplicado por Fernandez en la construccion de una familia uniparametricade potenciales radiales que son isoespectrales al potencial del atomo hidrogenoide [6]. Enel mismo ano, Nieto reporta la relacion entre el metodo de Mielnik y la MC-SUSY [7].Por otro lado, la relacion entre la MC-SUSY y la transformacion de Darboux [8] (vertambien [9]) ha sido ampliamente discutida por diversos autores, entre ellos destacanSukumar [10], el grupo liderado por Andrianov [11] y el equipo de Bagrov y Samsonov [12](ver tambien [13, 14]). Hasta ahora el metodo de Mielnik ha ido madurando por mas dedos decadas y sigue siendo revisado en forma continua mientras se aplica en la solucionde diversos problemas. Despues de los trabajos de 1984, el grupo mexicano no volvio

1

2 Introduccion

a tocar el tema sino hasta 1994, cuando Fernandez, Nieto y Hussin usan los resultadosde Mielnik para construir una nueva especie de estados coherentes [15]. Un estudio masdetallado mostro que se pueden generar deformaciones del algebra de Heisenberg-Weyl alconstruir versiones mas apropiadas de los operadores de Mielnik [16]. Esta experienciamotivo la investigacion de factorizaciones de orden superior siendo numericos los primerosresultados [17]. La factorizacion a la Mielnik de orden superior con resultados analticosfue reportada por Fernandez, Glasser y Nieto en 1998 para el caso del oscilador lineal [18]y por Rosas-Ortiz, en ese mismo ano, para el atomo de hidrogeno [19]. Lo innovadorde estos estudios fue la posibilidad de disenar espectros de energas en base al gusto olas necesidades del interesado. Se puede construir, por ejemplo, un espectro de energascuyos niveles sean equidistantes en una unidad excepto por dos huecos: La separacionentre el estado fundamental y el primer estado excitado podra ser de 2 unidades mientrasque la separacion entre el tercer y cuarto estados excitados sera de 3 unidades. Por lanaturaleza del espectro se requiere que el Hamiltoniano correspondiente sea del tipo delos osciladores reportados en [18]. La creacion de hoyos en el espectro hidrogenoide deenergas es tambien posible [19].

Recientemente, la factorizacion de Mielnik se ha extendido al caso complejo [2025].La principal motivacion fue usar energas de factorizacion complejas en la formulacion2-SUSY para obtener potenciales reales [20]. Sin embargo, el caso 1-SUSY complejo esbastante fertil ya que da lugar a la construccion de Hamiltonianos no Hermitianos conespectro puramente real, o bien con espectro real y una energa compleja asociada con unaeigenfuncion cuadrado integrable [20,21]. Un aspecto que paso inadvertido en [20], debidoa la naturaleza del potencial del oscilador lineal, es que las funciones de tranformacionpara potenciales que admiten estados de dispersion pueden hacerse corresponder con lassoluciones de Gamow-Siegert del problema inicial [2224]. Esta situacion ha permitidoidentificar los estados resonantes no solo como apropiados para describir decaimientossino como indispensables para construir socios 1-SUSY complejos que sean fsicamenteinterpretables. En concreto, se ha identificado que los nuevos potenciales se comportancomo un sistema optico que refracta y absorbe haces de luz al mismo tiempo [24].

A pesar de estos avances existen todava problemas abiertos en la formulacion complejade las transformaciones de Darboux. Por ejemplo, la base de soluciones para los nuevospotenciales no es ortogonal aunque cada uno de sus elementos puede normalizarse conla definicion de producto interno del problema inicial. Una solucion ha sido plantear laconstruccion de bases bi-ortogonales [25] pero de esta forma se oculta el significado fsicode ||2 como una densidad de probabilidad a la Born. As, desde nuestro punto de vista,se requieren otras alternativas para atacar el problema. Dado que las nuevas soluciones son funciones complejas, la transformacion de Darboux ha mostrado operar en forma tal

3que los ceros de

4 Introduccion

H1A = AH0.

Cuando A y A son operadores diferenciales de segundo orden, adjuntos entre s, se obtienela mecanica cuantica supersimetrica de segundo orden (2-SUSY). La relacion entre Hss yHdiag=diag{H0, H2} es ahora cuadratica

Hss =2

k=1

(Hdiag k)

ademas de que H0 y H2 estan entrelazados por

H2A = AH0.

En este trabajo nos interesa investigar el caso en que C. Insistimos ademas en quela gran mayora de los trabajos sobre Mecanica Cuantica Supersimetrica usan funcionesde transformacion con una constante de factorizacion real. Proponemos la factorizaciondel Hamiltoniano radial H` del oscilador isotropico tridimensional como el producto dedos operadores diferenciales de primer orden A y B mas una constante de factorizacion compleja. Como hemos discutido, este metodo da lugar a Hamiltonianos no Hermitianos.Aunque la mayora de los libros de texto sobre MC privilegian el estudio de Hamiltoni-anos Hermitianos, los no Hermitianos aparecen en muchas areas de la ciencia como FsicaMolecular, Qumica Cuantica, Superconductividad y Teora Cuantica de Campos, pormencionar algunos. De esta forma, estudiar este tipo de Hamiltonianos es una actividadinteresante por s misma ya que los resultados podran tener aplicaciones en las disciplinasmencionadas. Ademas, como ya indicamos lneas arriba, el estudio de energas complejases un caso que tiene una estructura matematica mas rica con respecto al estudio de lasenergas reales.

El presente trabajo esta constituido de 4 captulos. En el Captulo 1 resolvemos enuna forma diferencial directa y detallada el oscilador isotropico tridimensional. Poste-riormente estudiamos un metodo de solucion alterno que consiste en la construccion deoperadores diferenciales de primer y segundo orden que nos permiten conectar entre s losdiferentes estados asociados al espectro de energas fsicas del problema en cuestion.

El Captulo 2 se centra en el estudio de la factorizacion compleja y se generan los nuevospotenciales complejos, imponiendo condiciones a las constantes y que acompanana la solucion general de la ecuacion de Riccati correspondiente. Tambien se hace unaclasificacion del espectro. Finalmente, se analizan los comportamientos globales de los

5nuevos potenciales, observando que el termino ` correspondiente a la barrera centrfugase modifica en una unidad.

En el Captulo 3 presentamos el estudio de la transformacion de Darboux de segundoorden, generando nuevos potenciales reales que son isoespectrales respecto a los iniciales,pero que bajo condiciones en las constantes y modifican en dos unidades el numerocuantico azimutal `.

En el capitulo 4 se discuten los resultados y conclusiones, presentandolos en el ordende aparicion en esta tesis para recordarle al lector los puntos mas sobresalientes respectoa este trabajo. Finalmente se anexa un apendice donde se describen los comportamientosglobales de las funciones de transformacion involucradas.

6 Introduccion

Captulo 1

El oscilador radial

En este captulo comenzaremos por estudiar el oscilador isotropico tridimensional en laforma convencional. En particular, obtendremos la solucion analtica y estudiaremos ladegeneracion de los niveles de energa. Ademas, mostraremos que el metodo de fac-torizacion permite construir operadores diferenciales de primer orden que conectan lasdiversas soluciones a traves de los numeros cuanticos involucrados.

1.1 Oscilador isotropico tridimensional

Consideremos el movimiento de una partcula de masa , sometida al potencial de unoscilador isotropico tridimensional de frecuencia angular clasica = (k/)1/2:

V (r) =1

2kr2 =

1

22r2. (1.1)

Luego de la separacion de variables convencional y de utilizar = ~/2 y ro = ( ~ )1/2

como unidades de energa y coordenadas respectivamente, la ecuacion de Schrodinger sereduce a un problema de eigenvalores

H` E,`(r) = E E,`(r) (1.2)

donde H` es un Hamiltoniano radial definido por

H` := d2

dr2+ V`(r) d

2

dr2+`(`+ 1)

r2+ r2 (1.3)

y el potencial efectivo V`(r) tiene el dominio DV = [0,+).

7

8 Captulo 1

Cerca del origen podemos despreciar los terminos r2 y E en la ecuacion (1.2), lo quepermite obtener la siguiente ecuacion[

d2

dr2+`(`+ 1)

r2

]u0(r) = 0, (1.4)

cuyas soluciones linealmente independientes son de la forma

u0(r) = rm, m = `, `+ 1. (1.5)

En el otro extremo del dominio (r +), la ecuacion (1.2) se reduce a[ d

2

dr2+ r2

]u1(r) = 0, (1.6)

cuyas soluciones son convenientemente aproximadas por

u1(r) = ebr2 , b = 1

2, +

1

2. (1.7)

Ahora estamos interesados en determinar una funcion intermedia F (r) que conecte amboscomportamientos en la solucion general de (1.2). Proponemos el siguiente ansatz:

u(r) = u0(r)F (r)u1(r) = rmebr

2

F (r). (1.8)

Al sustituir (1.8) en (1.2) y despues del cambio de variable r2 = z, encontramos que F (r)debe ser solucion de la siguiente ecuacion

zd2F

dz2+(m+

12+ 2bz

)dF

dz+[m(m 1) `(`+ 1)

4z+(b2 1

4

)z + b

(m+

12

)+E

4

]F = 0.

(1.9)Los valores permitidos de m anulan el primer termino entre corchetes mientras que losvalores permitidos de b nos llevan a las siguientes ecuaciones

zd2F (z)

dz2+

(m+

1

2 z)dF (z)

dz[1

2

(m+

1

2

) E

4

]F (z) = 0, (1.10)

zd2F (z)

dz2+

(m+

1

2 z)dF (z)

dz[1

2

(m+

1

2

)+E

4

]F (z) = 0. (1.11)

Cada una de estas es una ecuacion hipergeometrica confluente

zd2F

dz2+ (c z) dF

dz aF = 0, (1.12)

1.1 Oscilador isotropico tridimensional 9

con dos posibles valores de a y c, dependiendo de m. Para la ecuacion (1.10) tenemos:

a =1

2

(`+

3

2

) E

4, c = `+

3

2, m = `+ 1, (1.13)

a = 12

(` 1

2

) E

4, c = `+ 1

2, m = `, (1.14)

y para la ecuacion (1.11) se obtiene:

a =1

2

(`+

3

2

)+E

4, c = `+

3

2, m = `+ 1, (1.15)

a = 12

(` 1

2

)+E

4, c = `+ 1

2, m = `. (1.16)

Como conjunto fundamental de soluciones de (1.12) escogemos el par de funciones

F1 = 1F1(a, c, z), F2 = z1c

1F1(1 + a c, 2 c, z), W (F1, F2) = (1 c)zcez, (1.17)donde W (, ) representa el Wronskiano de las funciones involucradas. Para que estasfunciones sean linealmente independientes se requiere c 6= 1, que siempre se cumple encualquiera de los casos (1.13)-(1.16).

Tenemos entonces 4 formas diferentes de representar la solucion general de (1.2). Las2 primeras tienen la expresion generica

u(r) = rm er2/2[A1(m) 1F1(a, c, r

2) +B1(m) r22c

1F1(1 + a c, 2 c, r2)], (1.18)

con a y c dados respectivamente por (1.13) y (1.14). Las otras dos formas de representarla solucion general se escriben

u(r) = rm er2/2[A2(m) 1F1(a, c,r2) +B2(m) r22c 1F1(1 + a c, 2 c,r2)

], (1.19)

con a y c dados por (1.15) y (1.16). Las constantes Ai(m) y Bi(m), i = 1, 2, son loscoeficientes de la superposicion lineal. Sabemos que la solucion es unica, de esta formalas cuatro funciones (1.18)-(1.19) deben poder construirse una a traves de cualquier otra.Para hacer evidente este hecho reescribimos las expresiones (1.18) por medio de la primeratransformacion de Kummer:

1F1(a, c, z) = ez1F1(c a, c,z) (1.20)

Obtenemos lo siguiente:

u(r) = r22c+m er2/2[B1(m) 1F1(1 a, 2 c,r2) +A1(m) r2c2 1F1(c a, c,r2)

]. (1.21)

10 Captulo 1

Al sustituir en esta ecuacion los valores del par (a, c) dado por (1.13) llegamos a la ecuacion(1.19) con los valores de (a, c) dados en (1.16). AunqueAi yBi son arbitrarios cabe resaltarque la relacion es completa al escoger A1(`+1) = B2(`) y B1(`+1) = A2(`). Por otrolado, el par (a, c) de (1.14) en la ecuacion (1.21) nos lleva a (1.19) con los valores de (a, c)dados en (1.15) y A1(`) = B2(` + 1), B1(`) = A2(` + 1). Finalmente, factorizandor22c en (1.18) y sustituyendo el par (a, c) dado en (1.13) llegamos a la ecuacion (1.18)para el par (a, c) dado en (1.14). Esto completa el esquema y verifica que (1.18)- (1.19)no son mas que cuatro formas diferentes de escribir la solucion general de (1.2). As, esindistinto cual de ellas escogemos; aunque puede haber diferencias en que una sea masfacil de manipular o de interpretar que las otras. Nosotros usaremos la forma generica(1.18) con el par (a, c) definido en la ecuacion (1.13). Explictamente tenemos:

u(r) = r`+1er2/2

[A 1F1

(`

2+34 E

4, `+

32, r2)+

B

r2`+11F1

( `2+14 E

4,`+ 1

2, r2)]

.

(1.22)En este momento es util recordar las siguientes propiedades de la funcion hipergeometricaconfluente [27]:

1F1(a, c, z = 0) = 1, 1F1(a, c, z) =(c)

(a)ez zac

[1 +O

(1

|z|)]

( 0) (1.23)

As, notamos que la unica forma de obtener una funcion regular en el origen es haciendoB = 0 en (1.22). En el otro extremo del dominio tendremos:

u(r +) A(`+32)

( `2+ 3

4 E

4)

er2/2

rE2+ 12

(1.24)

Observese que esta funcion es divergente excepto cuando el argumento de la funcion gamaen el denominador es un entero negativo o cero. En tal caso, u(r +) = 0. Entoncesse llega a la discretizacion convencional de la energa para el oscilador radial:

E(`)s = 2(`+ 2s) + 3, s = 0, 1, 2, ..., (1.25)

donde el entero s es uno de los puntos singulares de la funcion gama. La solucion generalse reduce as a la funcion:

(`)s (r) = A(`)s r

`+1 er2/2

1F1

(s, `+ 3

2, r2). (1.26)

Dado que 1F1(a, c, z) es un polinomio de grado n cuando a = n notamos que la funcion(1.26) es de area finita. Aun mas, sabemos que

1F1(n, + 1, x) = n!( + 1)n

Ln(x) (1.27)

1.1 Oscilador isotropico tridimensional 11

donde Ln(x) son los polinomios asociados de Laguerre definidos por

Ln(x) =1

n!x ex

dn

dxn(exxn+

), > 1. (1.28)

Entonces podemos escribir (1.26) en la forma convencional

(`)s (r) = C(`)s r

`+1 er2/2 L`+1/2s (r) (1.29)

donde C(`)s es una constante de normalizacion. La presencia de nodos en

(`)s (r) es debida

a los ceros del polinomio L`+1/2s (r), cuyo numero es igual a s. En la Figura 1.1 se muestran

las primeras 3 eigenfunciones de H0 y en la Figura 1.2 las primeras 3 eigenfunciones de H1.Observese como es que, en cada caso, el nivel de excitacion del sistema esta relacionandocon el numero de nodos de la funcion. Esta relacion esta dictada por el teorema deoscilacion de Sturm (vease, e.g. [28]).

0 1 2 3 4 5-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 1.1: Las eigenfunciones de H0 correspondientes a las energas E(0)0 = 3 (negrilla),

E(0)1 = 7 (punteada) y E

(0)2 = 11 (continua). Observese la validez del teorema de oscilacion de

Sturm.

12 Captulo 1

0 1 2 3 4 5-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 1.2: Eigenfunciones de H1 correspondientes a las energas E(1)0 = 5 (negrilla), E

(1)1 = 9

(punteada) y E(1)2 = 13 (continua). Igual que en el caso anterior, el teorema de oscilacion deSturm es valido.

El espacio de Hilbert correspondiente H es entonces generado por la base {(`)s (r)}, conproducto interno definido por la ortonormalizacion de los polinomios asociados de La-guerre:

0

|(`)s (r)|2dr = 0

(C(`)s

)2r2`+2er

2|L`+1/2s (r)|2dr = 1. (1.30)

Donde r2`+2er2es la funcion de peso correspondiente, entonces escribimos H = L2(DV ).

La expresion de la energa(1.25) tambien puede llevarse a la forma convencional si elnumero cuantico principal n se relaciona con el numero cuantico radial s y el azimutal `mediante la expresion

En E(`)s = 2n+ 3, n 2s+ `, n = 0, 1, 2, ... (1.31)

Usando unidades de energa obtenemos la expresion convencional para las energas fsicasde nuestro sistema:

En = En(~w2

)=

(n+

3

2

)~w n = 0, 1, 2, ... (1.32)

1.1 Oscilador isotropico tridimensional 13

Nosotros estamos interesados en la parte radial H` del Hamiltoniano y sus correspon-dientes eigenfunciones

(`)s (r). As, podemos observar que excepto para el estado base

(n = 0) y el primer estado excitado (n = 1), los niveles de energa (1.31) son degenerados.De hecho, para n par hay n/2 + 1 particiones (eigenfunciones asociadas con una mismaenerga correspondiente) y para n impar hay (n + 1)/2 particiones. En la Tabla 1 semuestran los primeros niveles de energa y las correspondientes degeneraciones.

En n s ` degeneracion3 0 0 0 15 1 0 1 17 2 1 0 2

0 29 3 1 1 2

0 311 4 2 0 3

1 20 4

13 5 2 1 31 30 5

Tabla 1: Primeras energas del oscilador isotropico y la degeneracion de las funciones radiales(`)s (r).

Por otro lado, al considerar podemos obtener una degeneracion fsica al considerar elHamiltoniano tridimensionalH (~r) y sus respectivas eigenfunciones (~r) = Rn,`(r)Y`,m(, ),sabemos que para un ` dado, existe una degeneracion (2` + 1) con respecto al numerocuantico magnetico m (el cual puede tomar los valores de `,` + 1, ..., 0, ..., ` 1, `).Como resultado existe una unica eigenfuncion para n = 0, tres eigenfunciones lineal-mente independientes para n = 1 (correspondientes a ` = 1 y m = 1, 0,+1), seis paran = 2 (una correspondiente a ` = 0 y cinco para ` = 2), etc. En general, se tienen(n+ 1)(n+ 2)/2 eigenfunciones linealmente independientes para cada valor de n como semuestra en la Tabla 2.

14 Captulo 1

En n s ` m degeneracion fsica3 0 0 0 0 15 1 0 1 -1,0,+1 37 2 1 0 0 6

0 2 -2,-1,0,+1,+29 3 1 1 -1,0,+1 10

0 3 -3,-2,-1,0,+1,+2,+311 4 2 0 0 15

1 2 -2,-1,0,+1,+20 4 -4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4

13 5 2 1 -5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5 211 3 -3,-2,-1,0,+1,+2,+30 5 -1,0,+1

Tabla 2: Primeras energas del oscilador isotropico y la degeneracion fsica de las funciones deonda (~r) = Rn,`(r)Y`,m(, ).

1.2 Factorizacion canonica

En esta seccion estudiaremos como se relacionan entre s las eigenfunciones asociadas alespectro de los Hamiltonianos H`. Veremos que la forma mas eficiente de relacionarlases a traves de operadores diferenciales de primer orden que factorizan el Hamiltoniano.Para comenzar nuestra discusion haremos referencia a la Tabla 1. Sabemos que para cadaenerga del espectro hay una degeneracion que depende del valor de n. Sin embargo, cabenotar que no todos los eigenvalores (1.31) estan presentes en el espectro de todos y cadauno de los H`. Por ejemplo, para ` fijo y par, la relacion n = 2s+ ` en (1.31) implica quesolo puede haber niveles n = 0, 2, 4, ... De estos, el nivel mas bajo posible es n = ` (verFigura 1.3). Si ` es impar entonces n solo puede tomar alguno de los siguientes valoresn = 1, 3, 5, ... Nuevamente, el nivel mas bajo es n = `, tal y como se muestra en la Figura1.3.

Nuestro objetivo ahora es factorizar cada Hamiltoniano H` como el producto de dosoperadores diferenciales de primer orden mutuamente adjuntos a`, a`, mas una constantede factorizacion real `. Proponemos:

H` = a` a` + `, (1.33)

donde

a` := d

dr+ (r, `), a` :=

d

dr+ (r, `), (a`)

= a`. (1.34)

1.2 Factorizacion canonica 15

H0 H1 H2 H3 HH-1 H+1

3

7

9

5

11

13

(0)

0

(0)

1

(0)

2

(1)

0

(1)

1

(1)

2

(2)

0

(2)

1

(3)

0

(3)

1

(-1)

0

(-1)

1

()

0

()

1

(+1)

0

Figura 1.3: Diagrama que representa las eigenfunciones (`)s y las energas (lneas continuas)de los primeros H` (ver Tabla 1)

Al sustituir (1.34) en (1.33) y usando (1.3) llegamos a la siguiente ecuacion de Riccati:

+ 2 = V` `. (1.35)Una solucion inmediata de esta ultima ecuacion es 0(r, `) = r `+1r , con ` = 2` + 3.Obtenemos as una de las formas canonicas de los operadores de factorizacion:

a` = d

dr `+ 1

r+ r, a` =

d

dr `+ 1

r+ r. (1.36)

Si invertimos el orden de los factores en (1.33) llegamos a

H`+1 = a` a` + ` 2, ` = 2`+ 3. (1.37)

Al combinar las expresiones (1.33) y (1.37) es natural obtener las siguientes relaciones deentrelazamiento:

a`1H` = (H`1 2) a`1, a`H` = (H`+1 + 2) a`, (1.38)donde hemos usado el hecho de que el numero cuantico azimutal ` juega el papel deparametro. As, el cambio ` ` 1 esta permitido. La construccion de las nuevasfunciones de onda y del espectro del Hamiltoniano H` es ahora bastante sencilla. Elkernel del operador diferencial de primer orden a` (es decir, las soluciones de a` = 0)

nos proporciona una eigensolucion normalizable (`)0 de H`. Tenemos:

(`)0 (r) = C

(`)0 r

`+1 er2/2. (1.39)

16 Captulo 1

Por el teorema de oscilacion de Sturm sabemos que (`)0 (r) es el estado base del Hamiltoni-

ano H` con energa E(`)0 = 2`+3. Observese que esta funcion es libre de nodos (s = 0) y se

anula en los extremos del dominio DV . El numero C(`)0 es una constante de normalizacion.

Por otro lado, partiendo de la ecuacion de eigenvalores que satisface esta ultima funcion

H` (`)0 = E

(`)0

(`)0 (1.40)

y aplicando el operador a`1 en ambos lados encontramos lo siguiente:

H`1(a`1

(`)0

)=(E(`)0 + 2

) (a`1

(`)0

)= E

(`1)1

(a`1

(`)0

), (1.41)

donde hemos usado las relaciones de entrelazamiento (1.38).

Esto significa que al actuar el operador a`1 sobre las eigenfunciones (`)0 (r) de H` obtene-

mos las eigenfunciones (`1)1 (r) correspondientes al HamiltonianoH`1, que tienen 1 nodo

y 2 unidades mas de energa. Explcitamente tenemos:

(`1)1 a`1 (`)0 (2r2 + 2`+ 1)(`1)0 , (1.42)

que puede escribirse en la forma

(`1)1 (`1)0

{r2(`1/2) er

2

(1

2r

d

dr

)r2(`+1/2) er

2

} (1.43)

Despues de un cambio de variable independiente r2 = x como paso intermedio la ecuacion(1.43) se lleva a la forma

(`1)1 (r) = C

(`1)1

(`1)0 (r)L

(`1)+1/21 (r

2), (1.44)

donde C(`1)1 es una constante de normalizacion y L

n es el polinomio asociado de Laguerre

definido en (1.28). Al iterar s veces este proceso obtenemos:

(`s)s = C(`s)s

(a`sa

`s+1...a

`1)(`)0 = C

(`s)s

(s1k=0

a`+ks

)(`)0 , ` 6= 0, s = 1, 2, ... (1.45)

Esta funcion es eigenfuncion de H`s con energa E(`s)s = 2` + 2s + 3. Las

(`s)s (r)

con s {1, 2, 3, ...`} son vectores normalizados y mutuamente ortogonales en el espaciode Hilbert H = L2(DV ). Cambiando ` `+ s en (1.45) y usando L0 1 obtenemosla forma convencional de las soluciones fsicas dada en (1.29). Es importante mencionar

1.2 Factorizacion canonica 17

que el caso ` = 0 es especial: la expresion de la izquierda en (1.38) prohibe la accion de

un a` sobre cualquier eigenfuncion (0)s de H0 porque se obtiene el valor prohibido ` = 1.

Observese que la accion de a` sobre una funcion arbitraria (1.29), diferente de (`)0 , pro-

duce a` (`)s (`+1)s1 , esto es, a` aniquila un nodo de la funcion de onda incrementando en

una unidad el numero cuantico azimutal `. Sin embargo, la funcion (1.29) tambien puedeobtenerse por la accion de un producto apropiado de los operadores de aniquilacion {a`}sobre un estado excitado de H0.

Si actuamos ahora el operador a` en ambos lados de H` (`)s = E

(`)s

(`)s y usamos la

segunda relacion de entrelazamiento de (1.38) encontramos

H`+1(a`

(`)s

)=(E(`)s 2

) (a`

(`)s

)= E

(`+1)s1

(a`

(`)s

), (1.46)

donde (`+1)s1 (r) corresponde a H`+1 y tiene 2 unidades menos de energa. Luego de iterar

esta operacion j veces obtenemos la siguiente expresion:

(`+j)sj = C

(`+j)sj (a`+j1...a`+1a`)

(`)s = C

(`+j)sj

(j1k=0

a`+j1k

)(`)s , s 6= 0, j = 1, 2, ... (1.47)

Esta funcion esta asociada con la energa E(`+j)sj = 2` + 4s 2j + 3, j {1, 2, 3, ..., s}.

Con un cambio apropiado de parametros llegamos finalmente a

(`)s = C(`)s (a`1...a1a0)

(0)s+` = C

(`)s

(`1k=0

a`1k

)(0)s+`, ` 6= 0, s = 1, 2, ... (1.48)

En la figura 1.4 se muestra como se conectan las eigenfunciones (`)s (r) por medio de los

operadores a` y a`.

18 Captulo 1

H0 H1 H2 H3 HH-1 H+1

3

7

9

5

11

13

(0)

0

(0)

1

(0)

2

(1)

0

(1)

1

(1)

2

(2)

0

(2)

1

(3)

0

(3)

1

(-1)

0

(-1)

1

()

0

()

1

(+1)

0

a0

a

0

a0

a

0

a

1a2

a

2

a-1

a

-1

a

a

a1

a

1

a1

Figura 1.4: Diagrama de energas del oscilador radial que muestra la conexion entre las eigen-funciones (`)s por medio de los operadores a

` y a`.

Hasta ahora hemos identificado la forma en que se conectan los espectros de energa delos Hamiltonianos H` con respecto al numero de nodos s y al numero cuantico azimutal`. Por lo que nos surge una pregunta razonable: Existira una factorizacion para H` quenos permita ir solamente de un ` a un `+ 1 (o viceversa) pero sin cambiar el numero denodos? Tal como veremos a continuacion, la respuesta es positiva.

Primero factorizemos el Hamiltoniano H` de la siguiente forma:

H` = b` b` + k`, k` = ` = 2` 3. (1.49)

Resolviendo el problema de factorizacion en forma semejante al caso anterior llegamos a

b` = d

dr+`+ 1

r+ r, b` =

d

dr+`+ 1

r+ r. (1.50)

Al invertir el orden de los factores en (1.49) encontramos

b` b` + k` = H`+1 2, k` = ` = 2` 3. (1.51)Tenemos entonces las siguientes relaciones de entrelazamiento:

b`H` = (H`+1 2) b`, b`1 (H` 2) = H`1 b`1. (1.52)Usaremos la ecuacion H`

(`)s = E

(`)s

(`)s y el operador b

`, ademas de la primera relacion

de (1.52), para obtener la siguiente expresion:

H`+1

(b`

(`)s

)=(E(`)s + 2

) (b`

(`)s

)= E(`+1)s

(b`

(`)s

). (1.53)

1.2 Factorizacion canonica 19

Entonces, el punto (s, `) se desplaza de ` a `+ 1 sin afectar el numero de nodos s. Luegode iterar esta operacion j veces llegamos a

(`+j)s = C(`+j)s

(b`+j1...b

`+1b

`

)(`)s = C

(`+j)s

(j

k=1

b`+jk

)(`)s , j = 1, 2, ... (1.54)

Por otro lado, la accion combinada de los operadores b`1 nos lleva a

(`j)s = C(`j)s (b`j ...b`2b`1)

(`)s = C

(`j)s

(j1k=0

b`j+k

)(`)s ; ` 6= 0, j = 1, 2, ... (1.55)

En la Figura 1.5 se muestra como se conectan las eigenfunciones (`)s (r) por medio de los

operadores b` y b`.

H0 H1 H2 H3 HH-1 H+1

3

7

9

5

11

13

(0)

0

(0)

1

(0)

2

(1)

0

(1)

1

(1)

2

(2)

0

(2)

1

(3)

0

(3)

1

(-1)

0

(-1)

1

()

0

()

1

(+1)

0

b0

b

0

b0

b

0

b0

b

0b1

b

1

b1

b

1b2

b

2

b2

b

2

b-1

b

-1

b-1

b

-1 b

b

Figura 1.5: Diagrama de energas del oscilador radial que muestra la conexion entre las eigen-funciones (`)s por medio de los operadores b

` y b`.

Las cuatro factorizaciones de H` que hemos discutido hasta este momento fueron repor-tadas por Fernandez, Negro y del Olmo en 1996 [29]. La accion de los cuatro operadorescanonicos a`, a

`, b` y b

` puede representarse en un plano cartesiano (s `) como se indica

en la Figura 1.6. Es decir, ellos inducen desplazamientos en dicho plano por medio de lacreacion (aniquilacion) de un nodo de la funcion de onda y el aumento (decremento) delnumero cuantico azimutal en una unidad, o bien mediante el cambio de ` en una unidadpero manteniendo el numero de nodos.

20 Captulo 1

s 1

s

s + 1

` 1 ` ` + 1

w

w

g g

w

g

w

w

g

@@@@@@I

@@@@@@R

-

a`1

a`

b`1

b`

Figura 1.6: Representacion en el plano (s `) de la accion de los cuatro operadores canonicosde factorizacion del oscilador radial a`, a

`, b` y b

` sobre las eigenfunciones

(`)s . Los puntos

rellenos representan estados de energa interconectados.

Tambien es posible obtener desplazamientos verticales. De hecho, podemos contruir ope-radores de segundo orden, mutuamente adjuntos (ver Figura 1.7), de la siguiente manera(

S`)

= S` := a`1 b`1 = b` a` = H` + 2r ddr

+ 2r2 + 1 (1.56)

b-1

b

aa-1

S

(s-1,)

(s,)

(s-1,+1)

(s,-1)

Figura 1.7: Dos posibles formas de obtener el operador diferencial de segundo orden S`.Observese que este nuevo operador es Hermitiano.

Estos operadores aumentan o disminuyen el numero de nodos de las funciones de onda:

S` (`)s (`)s+1, S` (`)s (`)s1 (1.57)

1.2 Factorizacion canonica 21

y entrelazan dos eigenfunciones de H` que difieran en 4 unidades de energa:

S`H` = (H` + 4)S`, S` H` = (H` 4)S` . (1.58)

As obtenemos las siguiente reglas de conmutacion:

[S`, H`] = 4S`, [S` , H`] = 4S` , (1.59)

por lo que S` y S` no factorizan al Hamitoniano H`:

S` S` = (H` ` + 4)(H` + `), S` S` = (H` + ` 4)(H` `). (1.60)

Sin embargo, se tiene una regla de conmutacion sencilla:

[S`, S` ] = 8H` . (1.61)

En la Figura 1.8 se muestra una representacion esquematica de dos niveles de energaarbitrarios (pero contiguos) de H` ademas de los puntos en el plano (s `) correspondi-entes. Tal y como hemos indicado, el operador S` aumenta la energa al estado excitadoinmediato superior y S` opera en forma inversa

u

u

r

r

r

r

r

r

.

...........................

........................

.

.....................

..

...................

..

...

...

..

...

...

...

.

..

..

..

..

..

..

..

...

..

.

.

..

.

..

..

.

..

.

..

..

.

.

.

.

..

.

.

..

.

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.

..

.

.

.

.

..

..

.

..

.

..

..

.

..

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

...

.

..

...

...

...

..

...

...

..

...................

......................

........................

...........................

N

.

...........................

........................

.

.....................

..

...................

..

...

...

..

...

...

...

.

..

..

..

..

..

..

..

...

..

.

.

..

.

..

..

.

..

.

..

..

.

.

.

.

..

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

.

..

..

.

..

.

..

..

.

..

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

...

.

..

...

...

...

..

...

...

..

...................

......................

........................

...........................

H

(s, `)E

(`)s

S`

S`

(s+ 1, `)E

(`)s+1

H

E = 4

N

Figura 1.8: Los operadores de escalera S` y S` respectivamente crean y aniquilan los nodosde las eigenfunciones de H`. Observese que los desplazamientos en el plano (s `) son soloverticales, esto es, el valor del numero cuantico azimutal ` esta fijo.

22 Captulo 1

Captulo 2

Factorizacion compleja

En este captulo introduciremos una variante de la factorizacion convencional y haremosla distincion entre la factorizacion canonica estudiada en el captulo anterior y esta nueva.La principal diferencia es que usaremos energas de factorizacion complejas y, como con-secuencia, el superpotencial y la deformacion de Darboux del potencial inicial seranfunciones complejas. Por lo que obtendremos Hamiltonianos no Hermitianos. Veremosque a pesar de esta peculiaridad, los nuevos Hamiltonianos no solo admiten espectroreal sino que en algunos casos tambien es posible adjudicarles un eigenvalor complejocon funcion de onda cuadrado integrable. Analizaremos el comportamiento asintoticode las nuevas eigenfunciones y de los nuevos potenciales, imponiendo condiciones a loscoeficientes complejos de la solucion mas general posible de la ecuacion de Riccati corre-spondiente. Posteriormente haremos una clasificacion del nuevo espectro de energas.

2.1 Factorizacion compleja y relaciones de entrelaza-

miento de primer orden

Analicemos la siguiente expresion:

H` = AB + , (2.1)

donde la constante de factorizacion es un numero complejo C 3 := 1 + i2 con1 6= 0, 2 6= 0. Los nuevos operadores de factorizacion no son mutuamente adjuntos, yestan definidos por

A := ddr

+ (r), B :=d

dr+ (r). (2.2)

23

24 Captulo 2

Introduciendo estos operadores en (2.1), y luego de comparar el resultado con (1.3),obtenemos la siguiente ecuacion de Riccati:

(r) + 2(r) + = V`(r), (2.3)donde (r) es una funcion complejo-valuada. Una de las maneras de resolver esta ecuaciones utilizar una transformacion logartmica (r) = d

drlnu(r), donde u(r) es la eigen-

funcion mas general posible de H` (no necesariamente normalizable). Al realizar estatransformacion la ecuacion (2.3) se mapea a una ecuacion tipo Schrodinger:

u(r) + V`(r)u(r) = u(r). (2.4)El metodo de solucion es el mismo que el descrito en el captulo anterior. La soluciongeneral se escribe

u(r) = r`+1 er2/2 F (r, ), (2.5)

donde F (r, ) es la solucion general de la ecuacion hipergeometrica confluente (1.12) conlos parametros

a =1

2

(`+

3

2

) 4, c = `+

3

2 (2.6)

Las 4 posibles formas de expresar u(r) que ya discutimos tambien estan presentes en estecaso. Sin embargo, ahora es mas conveniente usar una base diferente. Proponemos:

F1(r, ) =1 F1(a, c, z), F2(r, ) = U(a, c, z), W (F1, F2) = (c)(a)

zc ez. (2.7)

La razon para usar esta base antes que la definida en (1.17) es que la funcion hiper-geometrica logartmica U(a, c, z) es la misma que 1F1(a, c, z) cuando a es un numeroentero negativo. En otras palabras, si el numero complejo en (2.6) se hace coincidir conlas energas fsicas (1.31) entonces F1 y F2 son la misma solucion. Como nosotros estamosinteresados en que la parte imaginaria 2 de sea no trivial, esta claro que pequenosvalores de 2 haran que F2 sea una ligera modificacion de F1 y esta, a su vez, variarapoco de las soluciones fsicas si ademas 1 = E

(`)s . Nuestro objetivo es tener control sobre

las transformaciones que haremos tanto en el potencial como en las eigenfunciones. Enparticular, nos interesa investigar las relaciones entre el teorema de oscilacion satisfechopor todas las soluciones fsicas de (1.2) con eigenvalor real y aquellas nuevas posiblesrelaciones que los ceros de las soluciones transformadas puedan cumplir.

Tenemos entonces que F (r, ) en (2.5) se escribe

F (r, ) = 1F1

(`

2+3

4 4, `+

3

2, r2)+ U

(`

2+3

4 4, `+

3

2, r2), (2.8)

2.1 Factorizacion compleja y relaciones de entrelazamiento de primer orden 25

donde y son constantes complejas.

El superpotencial (r) es de la forma:

(r) = `+ 1r

+ r +(, , r), (, , r) := ddr

lnF (r, ). (2.9)

Los comportamientos generales de las funciones u(r) y (r) son analizados en elApendice A.

Ahora recordemos que la factorizacion canonica del captulo anterior se construyo conuna solucion particular de la ecuacion de Riccati para ` = 2` + 3. As, se obtuvierontodas las eigenfunciones correspondientes al espectro discreto del oscilador radial. En lasituacion actual cabe mencionar que al buscar soluciones particulares de la ecuacion (2.3),pretendiendo que el entrelazamiento de funciones se produzca entre miembros contiguosde una familia de Hamiltonianos, etiquetados por algun ndice discreto, se esta trabajandoen el esquema de factorizacion a la Infeld y Hull. Sin embargo, cuando se buscan las solu-ciones generales de (2.3) sin que existan restricciones sobre la forma funcional que tenga(r) se trabaja en el esquema de la variante del metodo de factorizacion introducido porMielnik en 1984.

El conmutador entre a` y a` esta dado por:

[a`, a`] = 2

`+ 1

r2+ 2. (2.10)

Ahora estamos interesados en la forma mas general que puedan tener los operadores A yB. Bajo esta consideracion tenemos el conmutador

[B, A] = 2(r) = 2`+ 1

r2+ 2 + 2

(, , r). (2.11)

Esta ultima relacion nos permite identificar un operador diferencial de segundo orden, noHermitiano, que se genera al invertir el producto de los operadores A y B como sigue:

h` := BA+ d2

dr2+ `(r). (2.12)

Las relaciones de entrelazamiento son ahora:

h`B = BH`, A h` = H`A. (2.13)

De la relacion de conmutacion (2.11) encontramos que el nuevo potencial `(r) se relacionacon el potencial inicial V`(r) mediante una transformacion de Darboux

`(r) = V`(r) + 2(r). (2.14)

26 Captulo 2

Entonces, el nuevo potencial se construye a partir del original agregando una deformacionque depende de la funcion de transformacion u(r). De modo que para conocer como serelacionan el nuevo potencial y el original basta con conocer la forma explcita que tiene(r).

Nos interesa construir soluciones de la ecuacion de eigenvalores del nuevo Hamiltoniano:

h` = . (2.15)

Para ello, igual que en el captulo anterior, las relaciones de entrelazamiento (2.13) sonde mucha utilidad. Sea solucion de H` = . Entonces, de la primera ecuacion en(2.13) sabemos que (2.15) tiene una solucion dada por:

B = + = W (u, )u

(2.16)

donde B esta definido en (2.2). Lo poderoso del metodo es que no necesitamos asumirninguna propiedad especial para o para , solamente pedimos que se resuelva la ecuacionde eigenvalores indicada en el parrafo anterior. Desde luego, si = E

(`)s y =

(`)s , en-

tonces podra escogerse en forma tal que pueda tener alguna interpretacion fsica. Estadiscusion la pospondremos por un momento. Como h` es no Hermitiano queremos inves-tigar primero la posibilidad de encontrar una , asociada con un eigenvalor complejo, ala que se le pueda conectar con la densidad de probabilidad de Born. Es decir, buscamosque ||2 sea de area finita en todo el dominio DV .

Supongamos que es un numero complejo con parte imaginaria no trivial. La formamas general de esta dada por (2.5) y (2.8) sustituyendo por . Tenemos:

(r) = r`+1 er2/2 F (r, ), (2.17)

F (r, ) = C 1F1

(`

2+3

4

4, `+

3

2, r2)+DU

(`

2+3

4

4, `+

3

2, r2),

donde C y D son constantes complejas arbitrarias. Buscamos las condiciones que debenimponerse en las constantes , , , C y D para que se obtengan funciones cuadradointegrables . Consideremos primero que 6= , entonces el comportamiento de cercadel origen es como sigue

(r 0)

D (2`+1)(`+

12)

( `2+344 )

1r`+1

= 0, 6= 0,0 6= 0, arbitraria.

(2.18)

2.1 Factorizacion compleja y relaciones de entrelazamiento de primer orden 27

En forma similar, el comportamiento de cuando r + es:

(r +) 2C

(`+ 32)( `2+

344 )

er2/2

r/2+1/2 = 0, 6= 0,

0 6= 0, arbitraria. (2.19)

Observamos entonces que es divergente en ambos extremos del dominio DV . As, launica condicion para regularizarla es que R y que sea tal que n = 4s+2`+3 = 2n+3,s = 0, 1, 2, ... . Es decir, es necesariamente alguna de las eigenfunciones

(`)s deH`. Como

sabemos, cuando hay cuantizacion las funciones 1F1(a, c, z) y U(a, c, z) son esencialmente

iguales, por lo que simplemente se puede tomar D = 0 y C = C(`)s . As (r) (`)s .

Entonces las nuevas funciones tienen espectro real y se calculan como sigue:

(r, ) (`)s (r)d

drln

[1F1

(s, `+ 32; r2)

F (r, )

] (2.20)

Con esta ultima expresion se calculan todas las funciones cuadrado integrables de laecuacion (2.15) para el caso 6= . Si ahora consideramos que = , de la ecuacion (2.12)podemos observar que cualquier (r) en el kernel de A es una eigensolucion de h` coneigenvalor . Luego de un simple calculo se encuentra que (r) esta dada por

(r) 1u(r)

(2.21)

Si los valores de las constantes y se escogen apropiadamente, entonces el estado fal-tante puede hacerse de area finita y estar en L

2(DV ). Para que esto suceda es necesarioque la funcion de transformacion u(r) sea libre de nodos de forma tal que

28 Captulo 2

6= 1F1(`2+ 3

4

4, `+ 3

2; r20)

U(`2+ 3

4

4, `+ 3

2; r20) , r0 DV . (2.24)

Con esto concluimos que (r) es una eigensolucion de h` asociada con C que esademas cuadrado integrable. En la siguiente seccion se analizan estas condiciones y seclasifican los potenciales resultantes de acuerdo a su espectro.

2.2 Potenciales complejos con espectro de oscilador

radial

Comenzaremos esta seccion estudiando los nuevos potenciales que se generan al aplicar latranformacion compleja de Darboux. Como hemos visto, los potenciales resultantes soncomplejos. Sin embargo, estos heredan las caractersticas espectrales de los potencialesreales con los que se construyeron. Dichas caractersticas dependen de las constantescomplejas y que parametrizan a la solucion de la ecuacion de Ricatti correspondiente.

2.2.1 Potenciales complejos con espectro real

En la seccion anterior encontramos que los nuevos potenciales admiten espectro real siem-pre que alguna de las constantes o sea cero. Analizemos ahora el comportamientoglobal de estos potenciales.

Caso 6= 0, = 0Para estos potenciales se tiene un incremento de una unidad en el termino ` corres-pondiente a la barrera centrfuga.

Comenzaremos por analizar el comportamiento del nuevo potencial en la vecindad delorigen r = 0. Usando (2.14) y la ecuacion (8) del Apendice A obtenemos lo siguiente:

`(r 0) = V`+1(r 0) + i 222`+ 3

(2.25)

El mismo par de ecuaciones nos permite determinar el comportamiento asintotico de estenuevo potencial:

`(r +) = V`(r +) 2 (2.26)Es claro entonces que la parte imaginaria de ` es diferente de cero en el origen y se anulapara grandes distancias.

2.2.1 Potenciales complejos con espectro real 29

Por otro lado, la parte real siempre tiene un termino centrfugo y diverge en infinitocomo el potencial original, pero por debajo de este en 2 unidades. Esto establece unaregion donde la deformacion del potencial inicial es mas evidente ya que hay una serie demaximos y mnimos locales (ver Figura 2.1). En la Figura 2.2 se muestran las partes reale imaginaria de una de las eigenfunciones nuevas contrastada con la funcion original.

0 1 2 3 4 5-100

-50

0

50

100

150

200

Figura 2.1: Partes real (continua) e imaginaria (punteada) del potencial complejo `(r) paralos parametros, ` = 1, = 1, = 0 y = 13 + 2.5i. La curva en negrilla corresponde alpotencial inicial V`(r). La zona opaca se puede identificar como r (0.8, 3).

30 Captulo 2

0 1 2 3 4 5-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 2.2: Partes real (continua) e imaginaria (punteada) de la nueva funcion 3(r) utilizandolos mismos parametros indicados en la Figura 2.1 y E(1)1 = 9. La curva en negrilla correspondea la funcion de onda (1)1 (r).

caso = 0, 6= 0Ahora estudiaremos las deformaciones producidas en el potencial inicial cuando se escogeuna = 0 y 6= 0. En este caso el momento angular ` de la barrera centrfuga se reduceen una unidad.

Investiguemos el comportamiento de estos potenciales. Cerca del origen, la expresion(2.14) combinada con la ecuacion (9) del Apendice A, nos lleva al siguiente resultado

`(r 0) =

V`1(r 0) + i 2212` ` 6= 0

2

[(00

)2+

]` = 0

(2.27)

donde 0 y 0 corresponden a las expresiones (3) del Apendice A evaluadas en ` = 0.Explicitamente tenemos:

0 = pi

(14

) , 0 = pi(34

) (2.28)Observese que 0 y 0 son diferentes de cero siempre que 6= 0, aun cuando = 0. Deesta forma, el nuevo potencial ` tiene una parte imaginaria que no es cero en el origen,

2.2.1 Potenciales complejos con espectro real 31

mientras que su parte real puede tener un termino centrfugo siempre que ` 2. Porotro lado, la misma ecuacion (9) del Apendice A nos permite evaluar el comportamientoasintotico de `, a saber es:

`(r +) = V`(r +) + 2. (2.29)

Es decir, la parte imaginaria se cancela a grandes distancias del origen mientras que laparte real crece como el potencial original pero por encima de este en 2 unidades.

En la Figura 2.3 se observan las caractersticas globales del nuevo potencial. Igual que enel caso anterior, se observa una zona intermedia que contiene un determinado numero deoscilaciones, tanto en la parte real como en la imaginaria. Estas oscilaciones, o perturba-ciones, se adquieren como consecuencia de tomar valores discretos para la parte real de laenerga de factorizacion, muy cercanos a las energas fsicas del problema original y porencima de la energa del estado fundamental. En la Figura 2.4 se muestran las partes reale imaginaria de una de las nuevas eigenfunciones comparada con la funcion original.

0 1 2 3 4 5

-200

-100

0

100

200

Figura 2.3: Partes real (continua) e imaginaria (punteada) del nuevo potencial complejo `(r)con ` = 2, = 0, = 1 y = 15 + 0.6i. La curva en negrilla corresponde al potencial inicialV`(r). En esta figura se pueden indentificar 2 oscilaciones.

32 Captulo 2

0 1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 2.4: Partes real (continua) e imaginaria (punteada) de la nueva funcion 6(r) utilizandolos mismos parametros de la Figura 2.3 y E(2)2 = 15. La curva en negrilla corresponde a la funcionde onda (2)2 (r).

2.2.2 Potenciales complejos que admiten energas complejas

En las secciones anteriores encontramos que la funcion (r) asociada con el estado deenerga compleja es de cuadrado integrable siempre que 6= 0 y 6= 0. Al investigarel comportamiento del nuevo potencial con estos parametros notamos notamos que es elmismo que el indicado en el caso = 0, 6= 0. La razon es simple: al estar presentestanto U como 1F1 su comportamiento es tal que U domina en el origen mientras que 1F1lo hace en r +. En la Figura 2.5 se muestran dos eigenfunciones asociadas con uneigenvalor complejo para diferentes valores de y `.

2.3. ESTRUCTURA ALGEBRAICA 33

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2.5: Valor absoluto del estado faltante |(r)| para los parametros = 1, = 1, ` = 0y = 7 + 0.3i (curva continua); = 0.5, = 0.5, ` = 1 y = 9 + 0.5i (curva punteada).

2.3 Estructura algebraica

En el captulo 1 vimos que la accion de los operadores canonicos de factorizacion a` y a`

sobre un estado fsico dado E(`)s , respectivamente reduce o incrementa en una unidad el

numero de nodos (b` y b`, por otro lado no cambian el parametro s). En contraste, los

nodos desaparecen en las deformaciones de Darboux complejas de los estados fsicos comoesta establecido en las secciones anteriores. De esta forma, el parametro s en

(`)s no es

sino la herencia del numero de nodos de la funcion de onda (`)s inicial. Otra importante

consecuencia de la ausencia de este tipo de ceros es que el nuevo conjunto de funcionescuadrado integrables {(`)s } no es ortogonal. Sin embargo, tambien es posible construiroperadores de escalera que incrementen o decrementen la energa de este sistema (verFigura 2.6).

En analoga con (1.58) analicemos las relaciones de entrelazamiento

N` (h` 4) = h`N`, M ` (h` + 4) = h`M ` . (2.30)Estas ecuaciones dan lugar a las reglas de conmutacion

[N`, h`] = 4N`, [M` , h`] = 4M ` (2.31)

que son las mismas que satisfacen H`, S` y S` en (1.59). As, M

` y N` juegan respec-

tivamente el papel de operadores de subida y bajada para los eigenvalores y las eigen-

34 Captulo 2

funciones de h`. De la ecuacion (2.30) es claro que N`(`)s es eigenfuncion de h` con

eigenvalor E(`)s 4 = E(`)s1. Entonces, N` baja la energa del sistema en 4 unidades por

medio de la aniquilacion de una unidad en el parametro s. Por lo tanto, podemos escribir(`)s1 N`(`)s . En una forma similar obtenemos (`)s+1 M ` (`)s . Recordemos que S` y

S` fueron construidos en terminos de desplazamientos verticales de los puntos en el plano(s `). En el presente caso, es indispensable resolver las ecuaciones (2.30)-(2.31) y, paraello, la Figura 2.6 es de gran utilidad. La solucion simple esta dada por los siguienteproductos

M ` = B S` A, N` = B S`A,

(M `)6= N` (2.32)

que pueden ser verificados por operaciones algebraicas. Como M ` y N` no factorizan elHamiltoniano h` los productos correspondientes son polinomios de cuarto grado P4(h`),factorizados como sigue

M ` N` = (h` 4)(h` + 2` 1)(h` 2` 3)(h` ) (2.33)N`M

` = (h` + 4)(h` 2`+ 1)(h` + 2`+ 3)(h` ) (2.34)

.

...............................................

..............................................

.............................................

................

................

............

........................................... ...........................................

............................................

.............................................

..............................................

...............................................

.

...............................................

..............................................

.............................................

............................................

........................................... ...........................................

................

................

............

.............................................

..............................................

...............................................

J

I

N N

.

.............................................

............................................

...........................................

..........................................

.........................................

........................................

.......................

...............

.

...................................... ......................................

.......................................

........................................

.........................................

..........................................

...........................................

............................................

.............................................

.

.............................................

............................................

...........................................

..........................................

.........................................

........................................

.......................................

...................................... ......................................

................

................

.......

........................................

.........................................

..........................................

...........................................

............................................

.............................................

I

J

H H

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

H` h`

E(`)s

E(`)s+1

M`

N`S`

S`

A

B

B

A

Figura 2.6: Representacion esquematica de los operadores de entrelazamiento A` y B`, as comosus aplicaciones sobre los niveles de energa de H` y h`. La construccion de los operadores decreacion y aniquilacion de h`+1 estan respectivamente trazadas, y son definidos como M

` =

B S` A y N` = B S`A.

Finalmente, es importante mencionar que, en contraste con S` y S`, los operadores M` y

N` no son mutuamente adjuntos (esto es una herencia de los operadores de factorizacionA y B). Una situacion similar origino el estudio del Algebra Distorsionada de Heisenber-Weyl reportada en [16].

Captulo 3

Transformaciones complejas deDarboux de segundo orden

En este captulo analizamos la relacion de intercambio de segundo orden. Veremos queesta relacion puede entenderse como consecuencia de iterar 2 veces la transformacion deDarboux estudiada en los captulos anteriores. Encontraremos ademas que los nuevospotenciales son reales e isospectrales con respecto a los iniciales.

3.1 Relacion de entrelazamiento de segundo orden

Analicemos la siguiente relacion de entrelazamiento

H` = H` (3.1)

donde el Hamiltoniano inicial H` esta definido en la ecuacion (1.3) y el Hamiltoniano

nuevo H` se escribe como:

H` d2

dr2+ V`(r). (3.2)

Ademas, es un operador diferencial de segundo orden:

:=d2

dr2+ %(r)

d

dr+ (r). (3.3)

Al sustituir (1.3), (3.2) y (3.3) en (3.1), y despues de comparar terminos, llegamos alsiguiente conjunto de ecuaciones:

35

36 Captulo 3

V` = V` + 2%, (3.4)

(V` V`) % = 2 (V ` + `) + %, (3.5)

(V` V`) = % V ` + V` +

, (3.6)

que pueden simplificarse a las siguientes expresiones:

(r) = d V`(r) + %2(r)

2 %

(r)2

(3.7)

%4 + 4%2 (d % V`) (%)2 + 2% % + 4e = 0 (3.8)con d y e dos constantes de integracion. La ecuacion diferencial de segundo orden (3.8)es no lineal y, en general, no existe un metodo de solucion especfico. Sin embargo, sueleaplicarse un ansatz que esta ntimamente relacionado con el hecho de que el entrelaza-miento de segundo orden se pueda descomponer en dos relaciones de entrelazamiento deprimer orden.

En los capitulos anteriores hemos visto que a cada transformacion de Darboux le corres-ponde una representacion algebraica en terminos de operadores de factorizacion. Si quere-mos combinar 2 de estas transformaciones tendremos 2 tipos diferentes de operadores defactorizacion. En concreto, se requieren las siguientes relaciones de entrelazamiento:

h`B = BH`, B0 h` = H`B0, (3.9)

Ah` = H`A, A0 H` = h`A0, (3.10)

donde la forma explcita de A y B esta dada por la ecuacion (2.2), mientras que A0 y B0se definen como sigue:

A0 := ddr

+ 0(r), B0 :=d

dr+ 0(r). (3.11)

Los Hamiltonianos involucrados se factorizan en la siguiente forma:

H` = AB + , (3.12)

h` = BA+ = A0B0 + 0, (3.13)

H` = B0A0 + 0. (3.14)

Ademas, 0(r) y (r) satisfacen las siguientes ecuaciones de Riccati:

(r) + 2(r) + = V`(r), (3.15)

3.1 Relacion de entrelazamiento de segundo orden 37

0(r) + 20(r) + 0 = `(r). (3.16)Entonces, los potenciales se relacionan por medio de las siguientes transformaciones deDarboux:

`(r) = V`(r) + 2(r), (3.17)

V`(r) = `(r) + 20(r) = V`(r) + 2 [(r) + 0(r)]

. (3.18)

Comparando (3.18) con (3.4), luego de usar las relaciones de entrelazamiento (3.9) y (3.1),notamos que se puede descomponer como el producto de los operadores B0 y B:

= B0B =

(d

dr+ %

)B = (A+ %)B = H` + + %B (3.19)

siempre que se satisfagan las siguientes relaciones:

%(r) = (r) + 0(r), (3.20)

(r) = (r) + 0(r)(r). (3.21)

Al igualar (3.21) con (3.7) y utilizar (3.15) encontramos la ecuacion

% = %2 2 %+ 2(d ), (3.22)que al ser sustituida en (3.8) se llega a la conclusion de que la energa de factorizacion debe cumplir la relacion

4(d )2 = 4e. (3.23)Dado que C, la unica condicion que se debe imponer es e < 0. Al resolver (3.23) seobtienen dos energas complejas conjugadas = d i

| e | = 1 i2. Como V` es realse tienen dos soluciones (r) y (r) para la ecuacion de Riccati (3.15), asociadas con + y respectivamente. Con estos resultados la ecuacion (3.22) corresponde al siguiente parde ecuaciones

% = %2 2 %+ 2i2, (3.24)% = %2 2 % 2i2. (3.25)

Restando la expresion (3.25) de (3.24) y resolviendo para % encontramos que

%(r) = 2i(r)

= ddr

ln (r), i(r) := ={(r)}. (3.26)

La funcion (r) esta definida en el Apendice A. Si utilizamos (3.26) en (3.4) encontramos

que el nuevo potencial V`(r) se relaciona con el inicial V`(r) de la forma siguiente:

V`(r) = V`(r) + 22i(r)

2i (r)= V`(r) 2 d

2

dr2ln (r). (3.27)

38 Captulo 3

Ahora, con argumentos similares a los de la transformacion de primer orden, de la relacionde entrelazamiento (3.1) concluimos que las nuevas eigenfunciones (r) de H` se relacionan

con las iniciales (`)s (r) mediante la ecuacion

(`)s (r) = B0B (`)s (r) = (A+%)B(`)s (r) = (n)(`)s (r)+%(, r)(, r) (3.28)

donde hemos usado la ecuacion (3.19) y la funcion (, r) esta definida en (2.20). Esclaro que el primer termino de (3.28) esta en L2(DV ). Sin embargo, para analizar elcomportamiento del segundo termino tenemos lo siguiente

1) Si 6= 0 y = 0, entonces % diverge como r1 en el origen mientras que crece in-definidamente cuando r +. Sin embargo, el producto %(r, 0) es cero en ambosextremos del dominio DV y permanece finito en todo DV .

2) Si = 0 y 6= 0, entonces % diverge como r1 en el origen mientras que crece in-definidamente cuando r +. De nueva cuenta, el producto %(r, 6= 0) es biencomportado en todo DV .

Entonces, las eigenfunciones de H` estan en L2(DV ) y H` es un Hamiltoniano que

tiene solucion exacta con espectro de energas igual al del oscilador radial. En la siguien-te seccion mostraremos los comportamientos globales de los nuevos potenciales realespara valores especficos de las constantes complejas y y analizaremos algunas de susfunciones de onda.

3.2 Potenciales reales con espectro de oscilador ra-

dial

Como ya hemos visto, los potenciales que se generan por medio de la transformacioncompleja de segundo orden pueden ser reales sin importar los valores que puedan tenerlas constantes complejas y . Sin embargo, cuando uno considera el caso 6= 0 y = 0 hay un aumento en 2 unidades en el momento angular `. Por otro lado, con arbitraria (que puede ser cero) y 6= 0, se produce una disminucion de 2 unidades enel momento angular `. Entonces, al analizar el espectro de energas observamos que estees el mismo que el del oscilador radial. A continuacion hacemos una clasificacion de losnuevos potenciales reales escogiendo diferentes valores para y .

3.2.1 Potenciales reales con 6= 0 , = 0 y sus funciones de onda asociadas 39

3.2.1 Potenciales reales con 6= 0, = 0, y las funciones de ondaasociadas

Los nuevos potenciales se relacionan con el potencial inicial por medio de la siguienteexpresion:

V`(, 0, r) = V`(r) 2 d2

dr2ln (, 0, r). (3.29)

El comportamiento de esta funcion para puntos cercanos al origen r = 0 es de la forma

V`(, 0, r 0) = V`+2(r 0). (3.30)En el caso en que r +, el nuevo potencial se comporta como:

V`(, 0, r +) = V`(r +) c1 (3.31)donde c1 es una constante real positiva, cuyo valor es 4 si se imponen a 0(r) las mismascondiciones que se impusieron en (r).

En la Figura 3.1 se muestra el comportamiento del nuevo potencial para valores especficosde ` y . La Figura 3.2 muestra una de las nuevas eigenfunciones.

0 1 2 3 4 5 6 7-40

-20

0

20

40

60

80

100

Figura 3.1: Nuevo potencial real V`(r) (curva continua) comparado con el potencial inicial V`(r)(curva punteada) para los parametros ` = 1, = 1, = 0 y = 17 + 1.2i.

40 Captulo 3

0 1 2 3 4 5 6 70.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.2: El valor absoluto de la nueva eigenfuncion |(1)2 (r)|, utilizando los parametros dela Figura 3.1 y una energa E(1)2 = 13. La curva punteada corresponde al valor absoluto de lafuncion de onda inicial (1)2 (r). Observese que la nueva eigenfuncion satisface en forma naturalel teorema de oscilacion de Sturm.

3.2.2 Potenciales reales con = 0, 6= 0, y las funciones de ondaasociadas

En este caso los nuevos potenciales se relacionan con el potencial original como sigue:

V`(0, , r) = V`(r) 2 d2

dr2ln (0, , r). (3.32)

Al analizar su comportamiento en la vecindad del origen r = 0 encontramos que:

V`(0, , r 0) = V`2(r 0) ` 6= 022

2+4={((3/4/4)(1/4/4) )2}1r2

` = 0(3.33)

Por otro lado, cuando r +, el nuevo potencial se comporta como se indica a continua-cion:

V`(0, , r +) = V`(r +) + c2 (3.34)donde c2 es una constante real positiva, cuyo valor es 4 si se imponen en 0(r) las mismascondiciones que se han impuesto para (r). La Figura 3.3 muestra el comportamiento delnuevo potencial, comparado con el potencial inicial para valores especificos de ` y . LaFigura 3.4 muestra la nueva eigenfuncion.

3.2.2 Potenciales reales con = 0, 6= 0 y sus funciones de onda asociadas 41

0 1 2 3 4 5 6 7

-100

-50

0

50

100

150

Figura 3.3: Nuevo potencial real V`(r) (lnea continua) comparado con el potencial inicial V`(r)(lnea punteada) para los parametros ` = 3, = 0, = 1 y = 29 + 1.25i.

0 1 2 3 4 5 6 70.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.4: El valor absoluto |(3)6 (r)| de la nueva funcion de onda utilizando los parametros dela Figura 3.3 y una energa E(3)6 = 33. El valor absoluto de la funcion de onda

(3)6 (r) asociada

al potencial inicial esta representada por la linea punteada. Observese que ambas funcionespresentan el mismo numero de nodos.

42 Captulo 3

Captulo 4

Resultados y Conclusiones

A continuacion indicamos los resultados obtenidos en esta tesis, as como algunas conclu-siones sobresalientes.

1. Resolvimos en forma simple y detallada el oscilador isotropico convencional con unmetodo bastante directo. Nuestra forma de trabajar coincide con la de autores comoFlugge [30](ver tambien [2]). Cabe mencionar que, a nuestro parecer, el captulo 1de la tesis no solo es util para generar resultados que se usan a lo largo de todo estetrabajo sino que resulta tambien indispensable para presentar al lector un desarrollointeligible del metodo de solucion. Esperamos que nuestros resultados aclaren elmetodo de solucion, por demas oscuro e informal, reportado en libros como el de lareferencia [31].

2. Reportamos una solucion alterna para el oscilador isotropico tridimensional, uti-lizando operadores diferenciales de primer y segundo orden que nos permiten conec-tar entre s todas las eigenfunciones asociadas al espectro del problema en cuestion

3. Los operadores canonicos de factorizacion reportados en el Captulo 1 se construyenal utilizar una solucion partcular de la ecuacion de Riccati correspondiente. Losoperadores de la factorizacion compleja reportados en el Captulo 2 representan unavariante del metodo general de factorizacion introducido por Mielnik.

4. Al emplear una factorizacion compleja se generan nuevos potenciales complejos `, ypor tanto, Hamiltonianos no Hermitianos h` cuyas funciones de onda no satisfacenel teorema de oscilacion de Sturm. Sin embargo, hemos descrito como es que semodifican los nodos de la parte real e imaginaria de estas nuevas funciones de onda.

5. A pesar de que los nuevos potenciales son complejos, estos pueden ser isoespectralesrespecto al potencial inicial cuando 6= 0, = 0 o bien = 0, 6= 0. En otro caso,

43

44 CAPITULO 4. RESULTADOS Y CONCLUSIONES

cuando 6= 0 y 6= 0, ademas del espectro real inicial se tiene un estado con energacompleja que resulta ser igual a la energa de factorizacion.

6. Analizamos los comportamientos de los nuevos potenciales ` en los extremos deldominio DV . En el origen, estos se ven modificados en el termino `, correspondientea la barrera centrfuga, en mas o menos una unidad. Para valores muy alejados delorigen los nuevos potenciales se comportan como el potencial inicial V`.

7. Se construyeron operadores de cuarto orden no Hermitianos que permiten desplaza-mientos verticales en el espectro del nuevo Hamiltoniano h`.

8. Analizamos una transformacion compleja de Darboux de segundo orden y obtuvi-mos nuevos potenciales reales V` que son isoespectrales al potencial inicial V`, sinimportar los valores de y . En forma similar a la transformacion de primer or-den, aplicamos condiciones sobre y , observando que ahora el numero cuanticoazimutal se desplaza en mas o menos 2 unidades.

9. Observamos que la nuevas funciones de onda satisfacen el teorema de oscilacionde Sturm, lo cual es natural, ya que los nuevos Hamiltonianos H` son Hermitianosy todas las energas involucradas son reales. Ademas, las funciones de onda de estosHamiltonianos contienen el mismo numero de nodos que las funciones de onda delHamiltoniano inicial H`.

4.0 Resultados y Conclusiones 45

Artculos que resultan de esta tesis

1) Ivan Cabrera-Munguia, Complex-Type Factorization and Radial Oscillators in Carba-jal M et. al. (Eds) AIPCP 960, 50-54 (2007).

2) Ivan Cabrera-Munguia and Oscar Rosas-Ortiz, Beyond conventional factorization:Non-Hermitian Hamiltonians with radial oscillator spectrum preprint Cinvestav 2007.

3) Ivan Cabrera-Munguia and Oscar Rosas-Ortiz, (artculo en preparacion).

46 Apendice

Apendice AEl comportamiento global de la funciones de trasformacion u(r), del superpotencial (r)y su derivada

(r) puede describirse en terminos de las constantes complejas y .

La funcion de transformacion u(r) definida en la ecuacion (2.5) puede escribirse, porsimplicidad y para facilitar los calculos, de la siguiente manera:

u(r) = r`+1 er2/2 F (z) (1)

F (z) = 1F1(a, c, z) + U(a, c, z) = 1F1(a, c, z) + z1c 1F1(1 + a c, 2 c, z) (2)En esta ultima expresion hemos utilizado la definicion de U(a, c, z) en terminos de lacombinacion lineal de las soluciones particulares de la ecuacion de Kummer con los valoresa = `/2 + 3/4 /4, c = `+ 3/2, z = r2. Las constantes y estan relacionadas con y de la siguiente manera:

= +pi

senpic

1

(1 + a c) (c) , = pi

senpic(a)(2 c) (3)

Comportamientos de la funcion de transformacion u(r) en los extremos deDV .

A) Sea 6= 0 y = 0, entonces la funcion de transformacion u(r) es cero en el ori-gen r = 0 y diverge cuando r +.

u(r) r

`+1 er2/2 r 0

(`+3/2)(`/2+3/4/4)

er2/2

r/2+1/2r + (4)

B) Sea = 0 y 6= 0, entonces la funcion de transformacion u(r) diverge en el origenr = 0 (excepto cuando ` = 0) y es cero cuando r +

u(r)

pi csc[pi(`+3/2)]

(`/2+3/4/4)(1/2`)1r`

r 0, ` 6= 0pi

( 34)

r 0, ` = 00 r +

(5)

47

Comportamientos del superpotencial (r), en los extremos de DV

A) Sea 6= 0 y = 0, entonces (r) diverge en el origen r = 0 y en infinito.

(r) { `+1

rr 0

r r + (6)

B) Sea = 0 y 6= 0, entonces (r) diverge en el origen r = 0 (excepto cuando ` = 0) yen infinito.

(r)

`r

r 0, ` 6= 0

[ 2

pi

( 14 )pi

](3

4) r 0, ` = 0

r r +(7)

Comportamientos de la funcion (r), en los extremos de DV

A) Sea 6= 0 y = 0, entonces

48 Apendice

Definicion de la funcion (r) usada en la seccion 3.1

Sea u(r) C1(DV ) una solucion de la ecuacion de Schrodingeru(r)+V`(r)u(r) = u(r),donde V`(r) es un potencial real-valuado con dominio DV y C. Asuma que DV essimplemente una region conectada de R. Si 2 6= 0, entonces la funcion compleja-valuadau(r) admite al menos un cero aislado en DV .

Prueba: Sea

(r) :=W (u, u)

2i 2(10)

donde la barra denota conjugacion compleja y W (, ) corresponde al wronskiano de lasfunciones involucradas. Claramente (r) es continua en DV y

(r) = |u(r)|2 0 r DV ,por tanto (r) es siempre no decreciente y puede tener un cero aislado o un intervalo depuntos cero en DV . As cualquier cero de u(r) es necesariamente un cero de (r).

La funcion (r) definida en (10) juega un papel importante en la transfomacion com-pleja de Darboux de segundo orden del captulo 3. Una expresion conveniente para (r)en terminos de (r) esta dada por

(r) = r(r) + ii(r) 12

d

drln (r) + i 2

(d

drln (r)

)1(11)

Bibliografa

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