3.1. SISTEMAS HAMILTONIANOS 1

3.1 Sistemas Hamiltonianos

Este tipo de sistemas aparecen frecuentemente en problemas físicos, y son fuente de numerososejemplos de aplicación de la teoría.

Definición 3.1 Sea E un subconjunto abierto de R2n y sea H ∈ C2(E), donde H = H(x,y) conx,y ∈ Rn. Un sistema de la forma

x =∂H

∂y,

y = −∂H∂x,

(3.1)

con∂H

∂x=

µ∂H

∂x1, . . . ,

∂H

∂xn

¶ty

∂H

∂y=

µ∂H

∂y1, . . . ,

∂H

∂yn

¶t,

se denomina sistema Hamiltoniano con n grados de libertad en E. 4

Ejemplo 3.1 Péndulo esféricoLa función Hamiltoniana

H(x,y) =1

2(x21 + x

22 + y

21 + y

22)

es la función energía del péndulo esférico

x1 = y1,

x2 = y2,

y1 = −x1,y2 = −x2,

Este sistema es equivalente al par de osciladores armónicos desacoplados

x1 + x1 = 0,

x2 + x2 = 0. 2

Todos los sistemas Hamiltonianos son conservativos: la función Hamiltoniana o la energía totalpermanece constante a lo largo de las trayectorias del sistema.

Teorema 1 (Conservación de la energía) La energía total H(x,y) del sistema Hamiltoniano(3.1) permanece constante a lo largo de las trayectorias de (3.1). 2

Prueba: La derivada total de la función Hamiltoniana H(x,y) a lo largo de las trayectoria[x(t),y(t)] del sistema (3.1) es

dH

dt=

∂H

∂xx+

∂H

∂yy

=∂H

∂x

∂H

∂y+

∂H

∂y

µ−∂H∂x

¶= 0.

Por lo tanto H(x,y) es constante sobre cualquier curva solución de (3.1), y las trayectorias de (3.1)yacen sobre las superficies H(x,y) = constante.

Los sistemas Hamiltonianos de 1 grado de libertad son sistemas planares, y en este caso se puedenestablecer resultados muy específicos acerca de los puntos críticos o de equilibrio. Los puntosde equilibrio del sistema Hamitoniano (3.1) corresponden a los extremos relativos de la funciónH(x,y) donde ∂H/∂x = ∂H/∂y = 0. En lo que sigue se supone sin pérdida de generalidad que elpunto de equilibrio bajo estudio ha sido trasladado al origen.

2

Lema: Si el sistema Hamiltoniano de 1 grado de libertad

x = Hy(x, y),

y = −Hx(x, y),(3.2)

donde Hzdef= ∂H/∂z, tiene un equilibrio tipo foco en el origen, entonces el origen no es un máximo

o un mínimo local estricto1 de la función Hamiltoniana H(x, y).

Prueba: Si el origen es un foco estable de (3.2), existe un ε > 0 tal que para 0 < r0 < ε y θ0 ∈ R,las coordenadas polares de la solución de (3.2) con r(0) = r0 y θ(0) = θ0 satisfacen

r(t)→ 0

θ(t)→∞

)cuando t→∞, t > t0

esto es, para (x0, y0) ∈ Bε\{0}2 la solución [x(t), y(t)]→ 0 cuando t→∞. Por lo tanto, de acuerdoal Teorema 1 y la continuidad de H(x, y) y de la solución de la ecuación diferencial,

H(x0, y0) = limt→∞H[x(t), y(t)] = H(0, 0)

que vale para todo (x0, y0) ∈ Bε\{0}. Entonces el origen no puede ser un máximo o mínimolocal estricto de la función H(x, y); en otras palabras, no es cierto que H(x, y) > H(0, 0) o queH(x, y) < H(0, 0) para todos los puntos (x, y) de un entorno del origen que no lo contiene. Unargumento similar se aplica cuando el equilibrio de (3.2) es un foco inestable.

La demostración del lema anterior muestra que si el equilibrio es un foco estable (o inestable), noes un punto “normal” del sistema; esta idea se precisa en la siguiente definición.

Definición 3.2 Un punto de equilibrio o punto crítico x0 del sistema x(t) = f [x(t)] (i.e. talque f(x0) = 0) en el cual Df(x0) no tiene autovalores nulos se denomina punto de equilibrio nodegenerado o punto crítico no degenerado del sistema. En caso contrario se lo conoce como puntode equilibrio degenerado o punto crítico degenerado del sistema. 4

Un punto crítico no degenerado de un sistema Hamiltoniano planar es un punto crítico hiperbólicoo un centro del sistema linealizado.

Teorema 2 Todo punto crítico no degenerado de un sistema Hamiltoniano (3.2) analítico es unasilla o un centro; más aún, el equilibrio (x0, y0) es una silla de (3.2) si es una silla de la funciónHamiltoniana H(x, y), y es un centro de (3.2) si (x0, y0) corresponde a un máximo o un mínimolocal de la función Hamiltoniana H(x, y). 2

Prueba: Se supone que el origen es el punto de equilibrio bajo estudio. Entonces Hx(0, 0) =Hy(0, 0) = 0, y la linealización de (3.2) en el origen es

x = Jx (3.3)

donde

J =

ÃHyx(0, 0) Hyy(0, 0)

−Hxx(0, 0) −Hxy(0, 0)

!.

La matriz Jacobiana está formada por los mismos elementos que el Hessiano Hi,j = ∂2H/∂x∂y;en particular,

H =

µ0 1−1 0

¶J,

1Un punto x0 es un mínimo (máximo) local estricto o aislado de f(x) si f(x0) < f(x) [f(x0) > f(x)] para todox en un entorno de x0. El punto x0 es un mínimo (máximo) local débil o no aislado si f(x0) ≤ f(x) [f(x0) ≥ f(x)]para todo x en un entorno de x0.

2Una bola de radio ε centrada en el origen pero que no lo contiene.

3.1. SISTEMAS HAMILTONIANOS 3

de modo que el signo de los autovalores de J también está relacionado con los máximos y mínimos3

de la funciónH(x, y). Se observa que τ = traza(J) = Hyx(0, 0)−Hxy(0, 0) = 0, y que ∆ = det(J) =Hxx(0, 0)Hyy(0, 0)−H2

xy(0, 0); por lo tanto, el punto de equilibrio es una silla de la función H(x, y)si y sólo si ∆ < 0. También es una silla del sistema linealizado (3.3), y por el Teorema de Hartman-Grobman, también es una silla del sistema Hamiltoniano (3.2). Si τ = 0 y ∆ > 0, el origen esun centro del sistema linealizado (3.3), y en este caso el Teorema de Hartman-Grobman asegurael punto de equilibrio que es un centro o un foco del sistema Hamiltoniano (3.2). Si el puntode equilibrio es un máximo o mínimo local estricto de la función H(x, y), entonces ∆ > 0 y, deacuerdo al lema anterior, el origen no es un foco de (3.2); esto es, el origen es un centro del sistemaHamiltoniano (3.2).

3.1.1 Sistemas Newtonianos

Una clase particular de sistemas Hamiltonianos de 1 grado de libertad son los sistemas Newtonianoscon un grado de libertad

x = f(x)

donde f ∈ C1(a, b). Esta ecuación diferencial puede escribirse como un sistema en R2

x = y,

y = f(x).(3.4)

Los puntos de equilibrio tienen la forma (x, y) = (x0, 0), donde x0 satisface f(x0) = 0. La energíatotal para este sistema es H(x, y) = T (y) + V (x), donde T = y2/2 es la energía cinética, y

V (x) = −Z x

x0

f(σ)dσ

es la energía potencial. Con esta definición de H(x, y) se observa que el sistema Newtoniano (3.4)se puede escribir como un sistema Hamiltoniano (3.2). No es difícil demostrar que este tipo desistemas satisfacen las siguientes propiedades.

Teorema 3 Para el sistema Newtoniano (3.4),

(i) todos los puntos de equilibrio yacen sobre el eje x.

(ii) el punto (x0, 0) es un punto de equilibrio si y sólo si es un extremo relativo de V (x), i.e. uncero de f(x).

(iii) el equilibrio (x0, 0) es un centro si y sólo si es un mínimo local estricto de V (x).

(iv) el equilibrio (x0, 0) es un silla si y sólo si es un máximo local estricto de V (x).

(v) el equilibrio (x0, 0) es un punto cuspidal si y sólo si es un punto de inflexión de V (x).

(vi) el diagrama de fase es simétrico respecto al eje x. 2

Ejemplo 3.2 Péndulo sin amortiguamientoLa ecuación diferencial de un péndulo sin amortiguamiento es

x+ senx = 0.

3 Si el Hessiano calculado en un punto de equilibrio (o crítico) es positivo definido (sus autovalores son positivos) lafunción H alcanza un mínimo local. Si el Hessiano es negativo definido (sus autovalores son negativos) la función Halcanza un máximo local. Si algún autovalor es nulo se dice que el Hessiano es degenerado, y no aporta informaciónsobre los extremos relativos, lo mismo que si es semi -definido positivo o negativo. Si los autovalores tienen signoscontrarios el punto crítico es una silla (aún cuando el Hessiano sea degenerado).

4

que puede escribirse como el sistema Newtoniano

x = y,

y = − senx,donde (x, y) ∈ S1 ×R. El sistema tiene puntos de equilibrio en (0, 0) y en (±π, 0), y es sencillo determinarque el (0, 0) es un centro (los autovalores de la matriz jacobiana son imaginarios puros), y los puntos (±π, 0)son sillas. Usualmente el plano de fase suele graficarse como un cilindro, de modo que (±π, 0) es en realidadel mismo punto [Fig. 3.1(a)]. La función Hamiltoniana para este sistema es H(x, y) = T (y) + V (x) donde

T (y) =1

2y2, y V (x) =

Z x

0

−(− senσ) dσ = 1− cosx.

La Fig. 3.1(b) muestra el gráfico de V (x) y la Fig. 3.1(a) las trayectorias en el plano de fase del sistema,que se deducen de V (x) a partir del Teorema 3. La función H(x, y) y la proyección de diferentes curvas denivel sobre el plano x-y se grafica en la Fig. 3.2. El origen del plano de fase corresponde a la posición deequilibrio estable del péndulo colgando hacia abajo, y los puntos críticos en (±π, 0) corresponde a la posiciónde equilibrio inestable del péndulo en posición invertida. Las trayectorias cerca del origen son elipses casiperfectas, y pueden ser aproximadas por las curvas solución del péndulo lineal

x+ x = 0.

Las trayectorias cerradas que rodean al origen representan las movimientos periódicos del péndulo cuandooscila. Las trayectorias que conectan las sillas en (±π, 0) se denominan separatrices, y corresponden amovimientos con energía total H(x, y) = 2 en las cuales el péndulo se aproxima a la posición verticalinestable cuando t→ ±∞. Las trayectorias fuera de las separatrices (H(x, y) > 2) corresponden a rotacionespuras del péndulo, en uno u otro sentido. 2

Ejemplo 3.3 Oscilador de Duffing sin amortiguamientoEste sistema se describe por la ecuación diferencial

x− x− δx+ x3 = 0,

o por el sistema de ecuaciones de estado

x = y,

y = x− x3 − δy,

donde (x, y) ∈ R1 × R1, y δ ≥ 0 es el coeficiente de fricción. El sistema tiene tres puntos de equilibrio:en (0, 0) y en (±1, 0). La estructura local del plano de fase en cercanías del (0, 0) es la de una silla, y enentornos de (±1, 0) son focos estables. En el caso particular en que δ = 0 (amortiguamiento nulo) se puedecomprender la estructura global del plano de estados. En este caso el oscilador de Duffing es un sistemaconservativo, y por lo tanto su función energía es constante sobre las órbitas. La función Hamiltoniana esH(x, y) = T (y) + V (x) donde

T (y) =1

2y2, y V (x) =

Z x

0

−(σ − σ3) dσ = −x2

2+x4

4.

Las curvas de nivel de H(x, y) dan la estructura global del plano de fase (Fig. 3.3). Nuevamente, estaestructura también puede derivarse a partir del gráfico de la función V (x) con la ayuda del Teorema 3,como se muestra en la Fig. 3.4. 2

La función Hamiltoniana también se denomina primera integral del sistema. Se dice que el osciladorde Duffing del Ejemplo 3.3, con δ = 0, es integrable, ya que al multiplicar la ecuación diferencialpor x

xx− xx+ xx3 = 0,se tiene que

d

dt

µ1

2x2 − x

2

2+x4

4

¶= 0

que implica1

2x2 − x

2

2+x4

4= h = constante.

Esta función es una primera integral para el sistema de Duffing sin amortiguamiento, y coincidecon la expresión H(x, y) = h.

3.1. SISTEMAS HAMILTONIANOS 5

Fig. 3.1: Trayectorias en S1 ×R (a) , función potencial V (x) (b) , y trayectorias en el plano de estado (c)del péndulo sin amortiguamiento.

y

H(x, y)

x

Fig. 3.2: Función Hamiltoniana del péndulo sin amortiguamiento y la proyección de distintas curvas denivel sobre el plano x-y.

6

y

H(x, y)

x

Fig. 3.3: Función Hamiltoniana del oscilador de Duffing y la proyección de distintas curvas de nivel sobreel plano x-y.

Fig. 3.4: Función potencial V (x) (a) y trayectorias en el plano de estado (b) del oscilador de Duffing.

3.2. SISTEMAS GRADIENTE 7

3.2 Sistemas gradiente

Los sistemas gradiente son la antítesis de los sistemas Hamiltonianos, tanto físicamente comomatemáticamente.

Definición 3.3 Sea E un subconjunto abierto de Rn y sea V ∈ C2(E). Un sistema de la formax = − gradV (x) = −∇V (x), (3.5)

donde

∇V (x) =µ∂V

∂x1, . . . ,

∂V

∂xn

¶tse denomina sistema gradiente sobre E. 4

Los puntos de equilibrio del sistema gradiente (3.5) corresponden a los extremos relativos de lafunción V (x), en los cuales ∇V (x) = 0. Los puntos donde el gradiente no se anula se llamanpuntos regulares de la función V. En los puntos regulares, el vector gradiente ∇V (x) es normal ala superficie de nivel V (x) = constante que pasa por ese punto.

Teorema 4 Las trayectorias de un sistema gradiente en los puntos regulares de V (x) cortan demanera ortogonal las superficies de nivel V (x) = constante. Los mínimos locales de la funciónV (x) son puntos de equilibrio asintóticamente estables del sistema gradiente (3.5). 2

En un punto de equilibrio x0 del sistema (3.5), la matriz Jacobiana está dada por

J = −∙∂2V (x0)

∂xi∂xj

¸i,j=1,...,n

.

Evidentemente, J es simétrica, de modo que sus autovalores son reales, y J es diagonalizablerespecto a una base ortonormal. Para los sistemas gradiente la naturaleza de los puntos de equilibrioestá muy condicionada por la estructura del sistema.

Teorema 5 Cualquier punto de equilibrio o punto crítico no degenerado de un sistema gradiente(3.5) analítico en R2 es un nodo o una silla. Si el punto (x0, y0) es una silla de la función V (x, y)es una silla del sistema gradiente (3.5), y si (x0, y0) es un mínimo o un máximo local estricto defunción V (x, y) es un nodo estable o inestable, respectivamente, del sistema gradiente (3.5). 2

La demostración resulta de observar que la matriz Jacobiana J es el negativo del Hessiano H dela función V (x, y), y sigue las mismas líneas que la prueba del Teorema 2.

Ejemplo 3.4 Sistema gradienteSea V (x, y) = x2(x− 1)2 + y2. El sistema gradiente (3.5) está dado por

x = −4x(x− 1)(x− 1/2),y = −2y.

Los puntos de equilibrio son (0, 0), (1/2, 0) y (1, 0). De acuerdo al Teorema 5, los puntos (0, 0) y (1, 0) sonnodos estables, y que el punto (1/2, 0) es una silla, como se verifica al calcular el Hessiano en cada uno deestos puntos. Las curvas de nivel de V (x, y) = constante y las trayectorias del sistema se muestran en laFig. 3.5. 2

Se puede vislumbrar una interpretación física de los sistemas gradiente al considerar el sistemaNewtoniano (en R4)

mx = −μx− ∂V

∂x, my = −μy − ∂V

∂y, (3.6)

que representa un sistema material desplazándose en dos dimensiones espaciales x e y sujeto a unamortiguamiento viscoso (−μx), (−μy) y una fuerza “conservativa” o potencial −∂V/∂x, ∂V/∂y.

8

Fig. 3.5: Las trayectorias y las curvas de nivel V (x, y) = constante (líneas punteadas) del sistema gradientedel Ejemplo 3.4.

En el caso límite cuando m→ 0 (movimiento sin inercia) el sistema (3.6) es equivalente al sistemagradiente (3.5), una vez que se escala el eje de tiempos o el potencial V para remover el coeficiente deviscosidad μ. En otras palabras, si no interesa el comportamiento oscilatorio de la dinámica (quees un efecto inercial), sino sólo el estado final del sistema debido al amortiguamiento, se puedesimplificar significativamente el análisis al estudiar el sistema gradiente asociado al sistema (3.6)haciendo m = 0. La dimensión del espacio físico (espacio de configuración) permanece inalterada(R4), pero la dimensión del espacio de estados se reduce de R4 a R2, específicamente de (x, x, y, y)a (x, y).

Ejemplos típicos de sistemas físicos que se pueden modelar con sistemas gradiente son la interacciónde partículas eléctricas o magnéticas inmersas en un baño de aceite, donde el efecto de la viscosidaddomina sobre la inercia. También el movimiento del agua que fluye colina abajo sobre un terrenoexperimenta una importante fricción viscosa que es mucho más significativa que los efectos iner-ciales. En un ambiente montañoso como el que se muestra en la Fig. 3.6(a), las colinas, quebradasy hondonadas producen un flujo tipo gradiente son singularidades simples cuando se las observacon una vista aérea [Fig. 3.6(b)]. Las cumbres de los cerros corresponden a nodos inestables, lasquebradas a sillas, y las hondonadas a nodos estables.

3.2.1 Relación entre sistemas Hamiltonianos y gradientes

Mientras que muchos sistemas Hamiltonianos pueden tener soluciones periódicas, ningún sistemagradiente puede oscilar, como prueba el Teorema 5. En efecto, si Γ es una trayectoria periódica en

Fig. 3.6: Ejemplo de un sistema gradiente: el flujo del agua sobre un terreno montañoso (a) . Esquemadel flujo desde una vista aérea (b) . NE: nodo estable, S: silla, NI: nodo inestable.

3.2. SISTEMAS GRADIENTE 9

el plano de fase, la integral de línea IΓ

x dx+ y dy 6= 0 (3.7)

porque el campo vectorial es tangente a la curva Γ en todo punto. Sin embargo, para el sistemagradiente (3.5) se tiene que

xdx+ ydy = −∂V∂xdx− ∂V

∂ydy.

Cuando la expresión de la derecha se integra de a = (x1, y1) hasta b = (x2, y2) se obtieneZ b

a

−∂V∂xdx− ∂V

∂ydy = −V (x2, y2) + V (x1, y1)

y por lo tanto, la integral sobre una curva cerrada (con a = b) es nula, que contradice (3.7).

El mismo tipo de análisis permite demostrar que un sistema gradiente no puede tener un compor-tamiento tipo foco o centro en un entorno de un punto de equilibrio no degenerado. En la Fig. 3.7se muestra la distribución de los sistemas Hamiltonianos y los sistemas gradiente en el espacio deparámetros ∆-τ de la matriz jacobiana.

A pesar de estas diferencias, los sistemas Hamiltonianos y gradientes guardan entre sí una intere-sante relación.

Definición 3.4 Dado el sistema planar

x = P (x, y),

y = Q(x, y),(3.8)

el sistemax = Q(x, y),

y = −P (x, y). (3.9)

se denomina sistema ortogonal al sistema (3.8). 4

Los sistemas (3.8) y (3.9) tienen los mismos puntos de equilibrio y los mismos puntos regulares,y las trayectorias de (3.8) son ortogonales a las de (3.9). Los centros de (3.8) corresponden anodos de (3.9), y ambos sistemas tienen las mismas sillas y focos. Además, si (3.8) es un sistemaHamiltoniano, con P = ∂H/∂y, Q = −∂H/∂x, entonces (3.9) es un sistema gradiente, y viceversa.Teorema 6 El sistema (3.8) es un sistema Hamiltoniano si y sólo si el sistema (3.9), ortogonal a(3.8), es un sistema gradiente. 2

Fig. 3.7: Sistemas Hamiltonianos y gradiente en el espacio de parámetros ∆-τ .

10

Para dimensiones superiores a 2, se tiene que si (3.1) es un sistema Hamiltoniano con n grados delibertad, entonces el sistema

x = −∂H∂x,

y = −∂H∂y,

(3.10)

que es ortogonal a (3.1) es un sistema gradiente en R2n y las trayectorias de el sistema gradiente(3.10) cruzan perpendicularmente las superficies H(x,y) = constante.

Ejemplo 3.5 Sistemas ortogonalesSi en el Ejemplo 3.4 se toma H(x, y) = V (x, y), la Fig. 3.5 muestra la ortogonalidad de las trayectoriasde los sistemas Hamiltonianos y gradiente. Las trayectorias del sistema Hamiltoniano son las curvas denivel de V (x, y), orientadas en sentido horario, y representadas con líneas de puntos en la Fig. 3.5, que sonortogonales a las trayectorias del sistema gradiente del Ejemplo 3.4. 2

3.3 Método analítico para calcular soluciones periódicas

Esta técnica permite obtener expresiones analíticas de las trayectorias cerradas de algunos sistemasno lineales. La idea es plantear un símil de la función Hamiltoniana o una función tipo energía, yencontrar las trayectorias donde la derivada temporal de esa función es nula. En lugar de presentarun teorema general, que no sería muy poderoso debido a la gran cantidad de casos patológicos, seilustra el método por medio de algunos ejemplos.

Dado un sistema no lineal planarx1 = f1(x1, x2),

x2 = f2(x1, x2),(3.11)

y una función continuamente diferenciable V : R2 → R, se define V : R2 → R como

V (x1, x2) =∂V

∂x1x1 +

∂V

∂x2x2

=∂V

∂x1f1(x1, x2) +

∂V

∂x2f2(x1, x2).

La función V es la derivada de V a lo largo de las trayectorias del sistema (3.11) ya que si[x1(·), x2(·)] es una solución del sistema (3.11), la derivada respecto del tiempo t de la funciónV [x1(t), x2(t)] es precisamente V [x1(t), x2(t)]. Este concepto se tratará nuevamente en la Sección5.2 de Vidyasagar (1993).

Sea D un dominio D en R2 tal que V (x1, x2) = 0 para todo (x1, x2) ∈ D. Dado (x10, x20) ∈ D,la trayectoria C es la solución de (3.11) que tiene origen en (x10, x20). La hipótesis que V esidénticamente nula implica que V (x1, x2) es constante a lo largo de C. En otras palabras,

V [x1(t), x2(t)] = V (x10, x20), ∀t ≥ 0.Sea el conjunto

S = {(x1, x2) : V (x1, x2) = V (x10, x20)} . (3.12)

Entonces C es un subconjunto de S. En particular, si S es una curva cerrada, se puede concluirbajo algunas suposiciones adicionales que C es una curva cerrada y que es igual a S.

La utilidad del método depende fuertemente de la elección de la función V. Si se elige V (x1, x2) = 1para todo (x1, x2), naturalmente resulta V = 0, pero el conjunto S de (3.12) es todo R2, y no seobtiene ninguna información adicional sobre la naturaleza de las trayectorias. Sin embargo, enalgunos casos la elección apropiada de V permite mostrar que la familia de conjuntos

Sc = {(x1, x2) : V (x1, x2) = c} (3.13)

3.3. MÉTODO ANALÍTICO PARA CALCULAR SOLUCIONES PERIÓDICAS 11

a medida que c varía sobre un subconjunto apropiado de los números reales define un continuo detrayectorias cerradas del sistema (3.11).

Ejemplo 3.6 Oscilador armónicoUna aplicación muy simple que ilustra este procedimiento es el oscilador armónico

x1 = x2,x2 = −x1.

Eligiendo V = x21 + x22 resulta

V = 2x1x1 + 2x2x2

= 2x1(x2) + 2x2(−x1) = 0.Como la ecuación V (x1, x2) = c define una curva cerrada para cada c > 0 se concluye que el sistema exhibeun continuo de trayectorias cerradas, descriptas por

x21 + x22 = x

210 + x

220. 2

Ejemplo 3.7 Péndulo simpleEl modelo del péndulo simple es

θ +g

`sen θ = 0,

donde θ indica el ángulo del péndulo respecto a la vertical, g es la aceleración debida a la gravedad, y ` esla longitud del péndulo. Con la elección de las variables de fase x1 = θ, x2 = θ la ecuación del péndulopuede escribirse como

x1 = x2,

x2 = −g`senx1.

(3.14)

Este sistema tiene la estructura de un sistema Newtoniano (3), con f(x) = −(g/`) senx, de modo que sepodría plantear directamente la función Hamiltoniana H(x1, x2) = T (x2) + V (x1) donde

T (x2) =1

2x22, V (x1) =

Z x1

0

−[−(g/`) senσ] dσ = g

`(1− cosx1).

Sin embargo, si se ignora la estructura del sistema y se elige la función auxiliar V de manera análoga a unaenergía, con un término h1(x1) que depende sólo de la variable x1 y otro término h2(x2) que es funciónsolamente de x2, i.e.

V (x1, x2) = h1(x1) + h2(x2),

se tiene que para que V sea idénticamente nula a lo largo de las trayectorias del péndulo (3.14) se debesatisfacer

h01(x1)x2 − g

`h02(x2) senx1 = 0,

lo que implica queh01(x1)senx1

=g

`

h02(x2)x2

= c,

donde c es una constante arbitraria. La solución de estas ecuaciones es

h1(x1) = −c cosx1, h2(x2) =c

2

`

gx22.

Por lo tanto la familia de curvas−g`cosx1 +

1

2x22 = constante

son un conjunto de trayectorias cerradas de la ecuación del péndulo como se muestra en la Fig. 3.8(a). Eneste caso, la función auxiliar V (x1, x2) es idéntica, salvo una constante aditiva, a la función Hamiltonianacalculada en el Ejemplo 3.2. 2

12

Fig. 3.8: Familias de trayectorias cerradas. Péndulo simple (a) . Sistema predador-presa (b) .

Ejemplo 3.8 Sistema predador-presa (Volterra)Las ecuaciones del sistema predador-presa son

x1 = −x1 + x1x2,x2 = x2 − x1x2.

(3.15)

Se intenta calcular las posibles trayectorias cerradas planteando una función V de la forma

V (x1, x2) = h1(x1) + h2(x2),

donde h1(·) y h2(·) se elegirán de modo de anular V sobre las trayectorias del sistema (3.15). Entonces,

V (x1, x2) = h01(x1)x1 + h02(x2)x2

= h01(x1)(−x1 + x1x2) + h02(x2)(x2 − x1x2).Para que V sea idénticamente cero es necesario que

h01(x1)x1(x2 − 1) = h02(x2)x2(1− x1) = 0,que puede escribirse como

h01(x1)x1

(1− x1) = h02(x2)

x2(1− x2) .

El miembro izquierdo de la ecuación es sólo función de x1 e independiente de x2, mientras que el de laderecha es función sólo de x2 e independiente de x1. En consecuencia ambos deben ser iguales a unaconstante k; en otras palabras

h01(x1)x1

(1− x1) = k, h02(x2)x2

(1− x2) = k. (3.16)

La solución de (3.16) es

h1(x1) = k(lnx1 − x1), h2(x2) = k(lnx2 − x2).Por lo tanto una función V apropiada para este ejemplo es

V (x1, x2) = lnx1 − x1 + lnx2 − x2,donde, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que k = 1. Para esta elección de V cualquier conjuntoSc de la forma (3.13) (con c > 0) es una curva cerrada, de manera que la familia de curvas definidas por

lnx1 − x1 + lnx2 − x2 = constanteconstituyen un conjunto de trayectorias cerradas para el sistema predador-presa como muestra la Fig. 3.8(b).En este ejemplo V está definida solamente en el primer cuadrante (x1 > 0, x2 > 0). 2

3.3. MÉTODO ANALÍTICO PARA CALCULAR SOLUCIONES PERIÓDICAS 13

La función auxiliar V (x1, x2) del Ejemplo 3.7 (péndulo sin amortiguamiento) coincide con la funciónHamiltoniana del sistema; sin embargo la función V (x1, x2) del Ejemplo 3.8 (sistema predador-presa) no califica como tal ya que

x1 = x1 − x1x2 6= ∂V (x1, x2)

∂x2=1

x2− 1,

x2 = −x2 + x1x2 6= −∂V (x1, x2)∂x1

= − 1x1+ 1.

Sin embargo, se puede encontrar una transformación de coordenadas tal que en las nuevas variablesel sistema de Lotka-Volterra (3.15) sea Hamiltoniano. Definiendo las variables x, y como

x1 = ex, x2 = e

y,

que son válidas sólo para x1 > 0, x2 > 0, se tiene que

x1 = exx = ex − exey,x2 = eyy = −ey + exey,

de donde resultax = 1− ey,y = −1 + ex. (3.17)

Este sistema es Hamiltoniano con función de energía total

H(x, y) = x− ex + y − ey,

y se verifica trivialmente que x = ∂H/∂y, y = −∂H/∂x. Una primera integral del sistema (3.17)es H(x, y) = constante; y en consecuencia una primera integral del sistema (3.15) es

lnx1 − x1 + lnx2 − x2 = constante,

que coincide con la calculada en el Ejemplo 3.8.

Referencias

E. Atlee Jackson, Perspectives of Nonlinear Dynamics, Vol. 1, Cambridge University Press, Cam-bidge, 1989.

L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 2da. Ed., Texts in Applied Mathematics7, Springer-Verlag, New York, 1996.

B. Nuriyev, T.Ergenç, Exact Solutions of Two-Dimensional Lokta-Volterra Equations, (online):http://citeseer.ist.psu.edu/105038.html.

M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, 2da. Ed., Prentice-Hall Inc., 1993, pp. 75-78.

S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics,Springer-Verlag, New York, 1990.