guillermojimenezlozano.2006_parte2

8/13/2019 guillermojimenezlozano.2006_Parte2

1/40

1. 2 X,2. 3 XA3. X,

+ 3 X 2+ 2 X ,+ X :

X, , X,

< 1500< 1500< 600> 0

Un a emp resa fa brica dos tipos de rotulad ores: de la clase A 200 u.m . la unidad y de la claseB 150 u.m. En la produccin diaria se sabe que el nmero de rotuladores de la clase B no supera en1000 unidades a los de la A; adems, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la claseB no bajan de 1000 unida des po r da. Hallar el costo mnimo d e la produ ccin diaria .I N F O R M A C I N

R O T U L A D O R C O S T OA 200 u.m.B 150 u.m.Diariamente el nmero de B no supera en 1000 unidades a los de AEntre las dos clases no superan 3000 unidadesLos de clase B no bajan de 1000 unidades por daP L A N T E A M I E N T O

x A Cantidades de rotuladores tipo A a producir diariamenteX B Cantidades de rotuladores tipo B a producir diariamente

Modelo pr imal) :

MIN W = 200 X + 150 X nDSu jeta a:1. XA + XR < 3000A B 2. - X. + X n < 1000A B 3. XR > 1000D

Xa,xb > 0


2/40

En un tal ler de motos est iman que, por trmino medio, la revisin normal de una moto nuevasupone 0,5 ho ras en la seccin de mecnica, y una hora en la seccin de electricidad, mientras que larevisin de una m oto usada supone tres horas de mecnica y una hora de electricidad. Por la revisinde una mo to nueva cobran 2500 u.m. y por la revisin de una moto usada cobran 4500 u .m.

Si la seccin m ecnica pue de trabajar durante nueve horas al da com o mx imo, y la de electricidaddurante ocho horas al da, calcular cmo deben seleccionar el trabajo para obtener los mximo s ingresos.I N F O R M A C I N

Tip o de mo to Seccin mec nica Seccin electricidad Precio revisinMoto nueva 0,5 1 250 0 u.m.Mo to usada 3,0 1 4500 u.m.Horasdisponible/da 9 8

P L A N T E A M I E N T OX N mero de motos nuevas a revisar por daX 2 N mero de motos usadas a revisar por da

M o d e l o p r i m a l ) :MAX Z = 2500 X, + 4500 X 2Sujeta a:1. 0,5 X, + 3X 2 < 92. X, + X 2 < 8

X , , X 2 > 0

w Pod em os comprar paquetes de abono A o B. Cada paqu ete contiene las unidad es de potasio(K), f sfor o (P) y ni t rgeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del p aquete.Marca K P N PrecioA 4 6 1 15B 1 10 6 24

4 5


3/40

En qu proporcin hay que mezclar ambos t ipos de abono para obtener al mnimo precio unabono que contenga cuatro unidades de K, 23 de P y 6 de N?P L A N T E A M I E N T OX A Cantidad de abono tipo A a utilizar en la mezclaX B Cantidad de abono tipo B a utilizar en la mezcla

Modelo pr imal) :

MA X Z = 15 X , + 24 X nA BSuje ta a:1. 4X a + XB = 42. 6 XA + 10XB = 233. XA + 6XB = 6

xA,xB > 0 Para fab ricar los art culos A y B se dispone de 600 kg de acero. Para produ cir un art culo Ase consum en 4 kg d e acero y, para obtener u no de B, 8 kg. Calcular cuntos art culos de cada t ipo sedeben fabricar para obtener el mxim o ben eficio, sabiendo que el precio de venta de cada art culo detipo A es de 1200 u .m. y cada uno del tipo B es de 200 0 u.m. y que, po r falta de otros m ateriales, no sepued en fabricar ms de 120 unidades del t ipo A ni ms de 70 unidad es del t ipo B .

I N F O R M A C I NArtcu lo Acero (kg) Precio venta (u.m.) Limitacin(unidades)A 4 1200 120B 8 2000 70

Disponible 600P L A N T E A M I E N T O

X A Nmero de artculos tipo A a fabricarX B Nm ero de art culos t ipo B a fabricar

4 6


4/40

Modelo pr imal) :MA X Z = 1200 XA+ 2000 XBSuje ta a:1. 4 X + 8X < 600A B 2. XA < 120A 3. XR < 70D

X A , X , > o En una granja se preparan d os clases de piensos, P y Q, mezc lando do s productos A y B. Unsaco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q co ntiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de Pse vende a 300 u .m. y cada saco de Q a 800 u.m. Si en la granja hay almac enado s 80 kg de A y 25 deB, cuntos sacos de cada t ipo de pienso deben preparar para obtener los mximos ingresos?

I N F O R M A C I NProductos/sacoClase de pienso A (kg) B (kg) Precio venta/sacoP 8 2 300Q 10 5 800Disponible (kg) 80 25

P L A N T E A M I E N T OX P N mero de sacos de pienso clase "P" a prepararXQ N mero de sacos de pienso clase "Q " a preparar

M o d e l o p r i m a l ) :MAX Z = 300 X p+ 800 XQSu jeta a:1. 8X p + 10XQ < 802. 2X p + 5XQ < 25

X P ,X Q > o4 7


5/40

A una persona q ue quiere adelgazar se le ofrecen dos productos, A y B, para que tome u na. mezcla de ambo s con las siguientes recom endaciones:No debe tomar ms de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual osuperior a la de B. No debe incluir ms de 100 g de ASi 100 g de A contiene 30 mg de vi taminas y 450 caloras y 100 g de B contienen 20 mg devitaminas y 150 caloras:a) Cuntos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado ms rico envitaminas?b) Y el ms po bre en caloras?I N F O R M A C I N

Productos Contenido vi taminas Por 100 g calorasA 30 mg 450B 20 mg 150No ingerir ms de 150 g ni menos de 50 g de la mezcla de A y de BLa cantidad de A debe ser por lo menos igual a la de BNo ms de 100 g de AP L A N T E A M I E N T OX A Cantidad en gram os del produ cto A a utilizar en la mezclaX B Cantidad en gram os del produ cto B a utilizar en la mezcla

M o d e l o p r i m a l ) :MA X Z = 0,3 XA+ 0,2 X BSuje ta a:1. xA + xB < 1502. xA + Xb > 503. xA > xB4. xA < 100

X A ,X B > 0

4 8


6/40

Resumiendo:MA X Z = 0,3 XA+ 0,2 XRA ' BSuje ta a:1. XA + XR < 150A B 2. XA + XR > 50A B 3. X - X > 0A B 4. XA < 100A

x a , X b > 0

Un a empres a produce l istones de madera en cuatro medidas: chico, mediano, grand e y extragrande. Estos l istones puede n produ cirse en t res mquinas: A, B y C. La cant idad de m etros que pu edeproducir por hora cada mqu ina es:A B CChico 300 600 800Mediano 250 400 700Grande 200 350 600 .Extra grande 100 200 300

Sup ong amo s que cada mquina pue de ser usada 50 horas semanales y que el costo operat ivo porhora de cada una es 30, 50 y 80 u.m. respect ivamente. Si se necesi tan 10000, 80 00 ,600 0 y 4000 metrosde cada tipo de l istones por semana, form ular un mode lo para minimizar co stos.P L A N T E A M I E N T O^ N m ero de horas a utilizar la mq uina i (i = A, B, C) sem analm ente en la produccinlj de liston es tipo j (j = 1, 2, 3, 4)

M o d e l o p r i m a l ) :

MIN W = 30 (XA1 + XA2+ XA3+ XA4 ) + 50 (XB1+ XB2 + XB3 + XB4 ) + 80 (X C ]+ XC2+ XC3 + XC4 )Suje ta a :

4 9


7/40

1- XA1+ XA2 + XA3 + XA 4 < 502- XB1 + X B 2 + X B 3 + X B 4 < 503. X c , + X C2 + XC3 + XC4 < 504. 300 XA1 + 600 XB1 + 800XC] > 100005. 250 X A , + 400 XB2 + 700 XC2 > 80006. 200 X A3 + 350 XB3 + 600 XCJ > 60007. 100 X4A + 200 X + 30 0 X > 4000A 4 B 4 L 4

x , . , X X X X , X X X , X X , X X >

36 Un camin puede transportar com o mximo 9 T por viaje. En cierto viaje desea transportaral menos 4 T de la me rcancaA,y un peso de la mercanca B que no sea inf erior a la mitad del peso qu etransporta deA.Sabiend o que se cobran 30 00 u.m. por kg de A y 2000 u.m. por kg de B cmo se de becargar el camin para obtener la mxima ganancia?I N F O R M A C I NM xima carga a transportar 9 T por viajeDesea al meno s 4 T de mercan ca AB > 0,5 APrecio de venta -> 3000 u.m. por kg de A y 2000 u.m. por kg de BP L A N T E A M I E N T OX A Nm ero de kg a cargar de producto AX B Nm ero de kg a cargar de producto B

Modelo pr imal) :MA X Z = 3000000 XA+ 2000000 XnA BSujeta a:1 . x A + *B < 92. x A > 43. > 0,5 X

X A ' X B > 0

5 0


8/40

Resumiendo:MA X Z = 3000000 X 4+ 2000 000 X,A 1Sujeta a:1. XA + XB < 92. XA > 43 . - 0 , 5 XA + Xg > 0

X A , XB > 0 Colpetro procesa petrleo para producir combust ible para aviones y acei te de maquina.

Cuesta 40 u.m. comprar 1000 barri les de petrleo, que luego dest i lados producen 500 barri les decom bustible para a vion es y 500 barriles de aceite. Lo que se obtiene de la destilacin pu ede ser vendidodirectamente o ser procesado nuevamente con un fraccionador catal t ico. Si se vende sin el segundoproceso, el comb ust ible para aviones se vende a 60 u.m. por 1000 barri les y el acei te para calentar sevende a 40 u.m. por 1000 barri les. Lleva una hora procesar 1000 barriles de combu st ible para avionesen el fraccion ado r catal tico, y esos 1000 barri les se venden a 130 u.m. El mismo proceso d emora 45minutos para 1000 barri les de acei te para calentar, y esos 1000 barri les se venden a 90 u.m. Cada da,se pueden comprar a lo sumo 20000 barri les de petrleo, y se t ienen disponibles ocho horas delfraccion ador catal tico. Formu lar un LP que max imice los beneficios de Colpetro.I N F O R M A C I NCos to de 1000 barriles de petrleo 40 u.m. Precio de venta1000 barriles 500 barriles de com bus tible de avin 40 u.m./1000 barri lesde petrleo 1 500 barriles de aceite 60 u.m./l 000 barrilesTiempo de procesamiento de 1000 j ^barriles de combustible de avin 130 u.m.Tiempo de procesamiento de 1000 ^ ^barriles de aceite 90 u.m.Se puede com prar diariamente 20.000 barri les de petrleoSe dispone de ocho h oras de proceso en el fraccionado r catal t ico

P L A N T E A M I E N T Ox , Cantidad de barriles de petrleo a destilar diariamenteX 2 Miles de barriles de aceite vendidos diariamenteX 3 Miles de barri les de combust ible vendidos diariamenteX 4 Miles de barriles de aceite procesado en el fraccionador vendido diariamenteX 5 Miles de barri les de combust ible pro cesado en el fraccionador vend ido diariamente

51


9/40

x2 x3 = X,X 4+ X2 = 0,5 X,X 5+ X3 = 0 , 5 X ,


MAX Z = - 40 X, + 40 X 2+ 60 X3+ 130 X 4 + 90 X 5Sujeta a:1. 0,5 X, = X 2+ X42. 0,5 X, = X 3+ X53 . X , < 2 0 0 0 0

MAX Z = - 40 X, + 40 X 2+ 60 X3+ 130 X4+ 90 X5Sujeta a:1. 0,5 X, - X 2 - X 4

34. 80

Resumiendo:

2. 0,5 X, - X - X 0

3. X < 200004. < 8X,, X 2, X 3, X 4 , X 5 > 0

5 2


10/40

Cartauto cuenta con un presupuesto de 30000000 u.m. para publicidad. Para aumentar laventa de autom viles, la firma est consideran do incorpo rar publicidad en un perid ico y en la televisin.Cuanto ms publici ta Cartauto en un medio, menos efect iva es cada publicidad adicional . La tablamuestra la cant idad de nuevos cl ientes que proporcion a cada nu evo aviso publici tario. Cada publicidaden el peridico cuesta 100000 u.m., y cada pu blicidad en televisin cuesta 1 000000 u.m. A lo sumo sepueden publicar 30 avisos en el peridico y 15 avisos en la televisin. Cmo pu ede Cartauto maximizarel nmero de cl ientes por medio de la pub licidad?Nmero de avisos Nuevos cl ientesPeridico 1 a 10 90011 a 20 60021 a 30 300Televisin 1 a 5 100006a 10 500011 a 15 2000

I N F O R M A C I NCosto del aviso en peridico -> 1 0 0 0 0 0 u.m.Costo del aviso en televisin 1 0 0 0 0 0 0 u.m.Presupuesto para publicidad 3 0 0 0 0 0 0 0 u.m.N mer o mxim o de avisos en el peridico 30N mero mx imo de avisos en la televisin -> 15P L A N T E A M I E N T OX |P N mero de avisos de peridico que capturan 900 cl ientes por avisoX2p N mer o de avisos de peridico que capturan 600 cl ientes por avisoX 3P N me ro de avisos de peridico que capturan 300 cl ientes por avisoX I T N me ro de avisos de televisin que capturan 1 0 0 0 0 clientes por avisoX 2 T N mer o de avisos de televisin que capturan 5 0 0 0 clientes por avisoX 3 T N me ro de avisos de televisin que capturan 2 0 0 0 clientes por aviso

M o d e l o p r i m a l ) :M A X Z = 9 0 0 X | P + 6 0 0 X 2 P + 3 0 0 X 3 P + 1 0 0 0 0 X | T + 5 0 0 0 X 2 T + 2 0 0 0 X 3 T

Suje ta a :1 . X | P + X 2 P + X 3 P < 302 . X | T + X 2 T + X 3 T - 1 53 . 1 0 0 0 0 0 ( X L P + X 2 P + X 3 P ) + 1 0 0 0 0 0 0 ( X I T + X 2 T + X 3 T ) < 3 0 0 0 0 0 0 0

5 3


11/40

4. X, p5. X 2 p6. X 2 p7. X 3p8. X 3P9. X 1T10. x 2 T11. x 2 T12. X3T13. X3T

v y V V Y Y1P' 2P' 3P' IT' 2T 3'T

< 10< 11> 20> 2 1< 30< 5> 6< 10> 11< 15> 0

39 Una persona dispone de 100000000 de unidades monetarias y sabe de la existencia de tresaccion es para inve rtir: la primera le dar una utilidad de un 4% sobre lo invertido, la segunda un 5% yla tercera un 5,5%; sin embargo, en ningu na pue de inve rtir ms de un 40% del capital total y al men os25000000 unidades monetarias en la segunda. Cmo invertir esa cantidad inicial para maximizar laganancia sobre la inversin?Plantear el anterior problema como un mo delo de programacin lineal.VARIABLES REALES:Xj: Cantidad de unidades monetarias invertidas en la primera accinX 2: Unidades monetarias invertidas en la segunda accinX 3: Cantidad de unidades monetarias invertidas en la tercera accinZ: Fun cin de utilidad

M o d e l o p r i m a l ) :MA X Z = 0,04 X, + 0,05 X 2 + 0,055 X 3Sujeta a:

1. X,-f x 2 + X 3 < 1000000002. X, < 0,4(100000000)3. X 2 > 250000004. X 2 < 0,4(100000000)5. X 3 < 0,4(100000000)X,, X2 ' X 3 > 0

5 4


12/40

Us ted es estudiante del curso de Investigacin d e Op eracion es I y se ha plantead o la necesidadde maximizar la satisfaccin diaria que le produce la realizacin de una serie de actividades, las cualesse presentan en la siguiente l ista: (Adap tado de Steph en Bergren)AC TIVIDAD ES UNIDA DES DE SATISFAC C IN (US)

1 . Tomar una cerveza 42. Fumar un cigarrillo 23. Jugar un part ido de ftbol 74. Dar un paseo por la playa 35. Leer un libro importante 26. Do rmir (una hora) 4Aunque usted quisiera real izar todas las act ividades, cuenta con algunas l imitaciones. Como es

lgico, solo dispone de 24 horas al da y las actividades con sumen t iempo, as : act ividad 1,15 minutos;act ividad 2, 10 minu tos; act ividad 3, 2 horas; act ividad 4 ,1 hora; act ividad 5, 5 ho ras.Ad em s, por la estrechez econmica en que se vive no le es posible toma r ms de cinco cervezasdiarias, no pue de f um ar ms de cinco cigarri l los al da por cuest iones de salud, no puede jug ar ms dedos part idos de ftbol por cansancio, no puede dar ms de dos paseos diarios por aburrimiento y nopuede leer ms de dos l ibros al da por cansancio visual .En cuanto al sueo, usted sabe que no puede dormir ms de 10 horas al da ni menos de 7.Cules son las act ividades diarias y a que nivel deben real izarse para lograr su objet ivo, maxim izar susatisfaccin por da, sin violar las limitaciones existentes?VAR IAB LES DE DEC ISIN:X : N me ro de cervezas tomad as por daX 2 : Cantidad de cigarri llos fum ados diariamenteX 3 : N me ro de part idos deftboljuga dos por daX 4 : Cantidad de paseos dados diariamenteX 5 : N me ro de l ibros ledos en un daX 6 : Cantidad de horas dorm idas diariamenteZ : Fun cin de satisfacc in total

M o d e l o p r i m a l ) :M A X Z = 4 X , + 2 X , + 7 X , + 3 X + 2 X ( + 4 X t1 2 3 4 5 6Suje ta a:

5 5


13/40

1. 15 X, + 1 0 X 2 + 120 X 3 + 60 X 4 + 3 0 0 X 5 + 6 0 X 6 < 14402. X , < 53. X 2 < 54. X 3 < 25. X 4 < 26. X 5 < 27. X < 108. X 6 > 7x,,x2, x3, x4,x5,x6 > o

4 1 La Asociacin de Estudiantes de Adm inistracin de Em presas dispone de 100000 u. m. y hapensado invert i rlos en dos negocios. El primero le reporta una ut i l idad de 25 u. m. mensuales y elsegundo 4 0 u. m. por mes en cada 100 u. m. invert idas. Debido a ciertas condiciones impuestas por laAsamblea de Socios, se debe invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no ms del50% en el segundo.Adems, la cantidad invertida en este ltimo no debe ser mayor a 1,5 veces la cantidad invertidaen el primero . Se pide plantear este problem a com o un mo delo de programacin l ineal .VARIABLES REALES:X, : Cantidad de dinero a invert i r en el negocio 1X 2 : Din ero a invertir en el nego cio 2Z : Fun cin de max imizacin de la inversin

M o d e l o p r i m a l ) :MAX Z = 0,25 X, + 0,40 X 2Suje ta a:1. X, + X, < 1000002. X, > 250003. X 2 < 500004 . X 2 < 1,5 X,

X 1 ' X 2 > 0

5 6


14/40

Resumiendo:MA X Z = 0,25 X, + 0,40 X ,Sujeta a:1 . x, + x 2 < 1000002. X > 250003. X 2 < 500004. - 1 , 5 X , + X , < 0

X , X, > 0 Lechera Cartagena tiene una capacidad de recepcin de 50000 litros de leche diarios. Laadministracin exige que al menos 30000 litros sean embotellados al da y el resto sea empleado paraproducir leche saborizada o mantequilla. La contribucin de cada litro de leche a la utilidad, segn eluso que se le de, es: embotellad a, 100 u. m.; saborizada, 80 u.m.; y man tequilla 50 u. m.

El equipo de fabricacin de mantequilla puede man ejar hasta 6000 litros diarios de leche; la seccinde envase pue de m ane jar hasta 4000 litros al da y el equipo de leche sab orizada hasta 20 000 litros diarios.La empresa desea conocer qu cantidad de leche en litros es convertida en mantequilla o enleche saborizada y cunto se debe embotellar (leche corriente) para maximizar la ganancia.VARIABLES DE DECISIN:X ,X ,X 3z

Cantidad de leche que se embotella por daLeche destinada a producir mantequilla d iariamenteCantidad de leche que se transforma en leche saborizada por daFuncin de maxim izacin de las gananciasModelo pr imal) :

M A X Z=Sujeta a:1. X, 42 . X ,3 .4. X ,5.

1 0 0 X , + 5 0 X , + 8 0 x 3

X 2 X 3 * 5 0 0 0 0> 3 0 0 0 0X 2

< 6 0 0 0< 4 0 0 0 1

x 3 < 2 0 0 0 0X J , X 2 . X 3 * 0

5 7


15/40

(Transporte) Cervecera El Halcn produce una marca de cerveza en tres plantas, en tresciudades diferentes. De estas t res plantas, se enva la cerveza en camiones a cuatro centros dedistribucin; los administradores han co menzad o a real izar un estudio para determinar si es posiblereducir los costos de transporte. Los g erentes de produccin de las tres plantas han estimado la produccinmensual esperada para sus respect ivas plantas.

Se fabricar en total en las tres plantas una cantidad suficiente para cargar 300 camiones. Elgerente general d e la cervecera ha asignado la produccin total a los respect ivos centros examinan dodatos de meses an teriores. En la tabla se presenta la informacin de produ ccin y dem anda junto conlos costos de t ransporte para cada combinacin de oferta y demanda. Cuntos camiones de cervezadeben enviarse de cada planta a cada centro de distribucin para minimizar los costos de t ransporte?DESTINO S CENT ROS DE DISTIBUCIONORIGEN 1(U.M.) 2(U.M.) 3(U.M.) 4(U.M.) Produccin(Oferta)

Planta 1 4000 5130 6500 8000 75Planta 2 3520 4600 6900 7900 125Planta 3 9900 6820 3880 6800 ' 100Dem anda 80 65 70 85 300VAR IAB LES R EALES:X : Can tidad de camio nes env iado s desde la planta de prod uccin i (i = 1, 2, 3) hasta el centrode consum o j (j = 1,2 , 3, 4)W: Min imizacin de costos. ,

Modelo pr imal) :

MIN W = 4000 X n + 5130 X | 2 + 6500 X13+ 8000 X 1 4 + 3520 X 2] + 4 6 0 0 X 2 2 + 6900 X,, ++ 7900 X,, + 9900 X,, + 6820 X + 3880 X + 6800 X u24 31 32 33 34

Sujeta a:X n + X , 2 + X | 3 + X14 * 75

2. X 2 | + X22+ X23+ X24 < 1253- X 31+ X32 + X33 + X34 < 1004. X + X 2, + X 31 = 805. X,2 + X22 + X32 = 65

5 8


16/40

67.

X, + X 23 X ,X , + X.24 + X 34

7085

X . > 0 V i,j i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3,4

44 (Asignacin) La Junta Administradora Local (JAL) de la Comuna X t iene t res proyectos depavimen tacin de vas. La junta t iene el problema de determ inar qu con trat istas l levarn a cabo losproyectos. Se abri licitacin para los proyectos, entre contratistas locales; tres presentaron diligenciadossus pliego s. El costo de cada proye cto segn la pro pue sta de cada contratista se presen ta en la siguientetabla (en mil lones de u.m .).C O N T R A T I S T A S P, P2 P 3Ci 280 320 360C 2 360 280 300

c3 380 340 400Cm o deben ser asignados los contratos si se quiere minim izar los costos totales de todos el losy si para evi tar descon tentos de t ipo pol t ico, se desea adju dicar un contrato a cada contrat ista?VAR IAB LES DE DEC ISION:X : Can tidad de pro yec tos i (i = 1, 2, 3) que se asignan al contra tista j (j = 1, 2, 3)W: Minim izacin de costos.

Modelo pr imal) :MIN W = 280 X u + 360 X ]2 + 380 X ]3 + 320 X21 + 280 X,2 + 340 X23+ 360 X3] +

+ 300 X 32+ 400 X33Suje ta a:1. X, , H2 .3.4. X u5.6 .

X , 2 + X , 3

X ,

x 2 1 + x2 2 + x 2 3

+ X,X ,

X , + X.23

X 3 , + X 3 2 + X 3 3X 31+ X 32

+ X 33x > 0 V i , j i = 1 , 2 , 3 j = 1 , 2 , 3 X .. e Z

5 9


17/40

Un producto de la firma XY Z t iene la siguiente demanda pronost icada para los prxim oscuatro meses:MES 1 2800 unidadesMES 2 2200 unidadesME S 3 3200 unidadesME S 4 2500 unidades

La compa a pued e producir 2700 unidades del artculo por mes en sus turnos normales. Utilizandotiempo extra es posible fabricar 300 unidades adicionales. La produccin en t iempo extra t iene unsob recos to de 10 u.m. po r artculo; la administracin ha estimado que se incurre en un costo dealmacenamiento de 2 u.m. por producto que se produzca en un mes determinado y nosevenda en el mismo.Se trata de determinar un programa ptimo de produccin que minimice los costos totales de

prod uccin y almacenam iento. Su png ase que la cantidad en existencias es cero y se desea un inven tarioal final del perodo de cero.VARIABLES REALES:X iY lI 1D tW

Cantidad a producir en el mes i en turno normalProduccin en el mes i en turno extraInventario al final del mes i; I = X + Y - D' i i i iDemanda en el mes iMinimizacin de costos

Modelo pr imal) :MIN W = 10 Y, + 10 Y. + 10 Yj + 1 0 Y 4 + 2 I , + 2 L 2 I 3Sujeta a:1. X, + Y, " I , = 28002. X 2 + Y 1 , - I 2 = 22003. x 3 + Y3 = 32004. x 4 + Y 4 = 25005. X, < 27006. X, < 27007. X 3 < 27008. X 4 < 27009. Y , < 300

6 0


18/40

10.1 1 .12.

Y ,Y .


19/40

h:Capital disponible en cada periodo para colocarlo al 10% .Z: Maximizacin de utilidades.

M o d e l o p r i m a l ) :MAX Z = 120 X, + 130 X, + 170 X 3Suje ta a:1. 1 00X , +1 00 X 2 + h, = 2002. 20 X, - 40 X 2 + h2 > 1,1 h, + 503 . - 3 0 X , + 2 0 X 2 + 100X3 + h3 ^ 1 ' 1 h2 + 4 04 . -3 0 X , - 20X , - 100X 3 + h4 > 1,1 h3+ 405. - 30 X, - 20X 2 - I O O X 3 + h5 > 1,1 h4+ 40X,, X 2, X 3 > 0

x x 2 , x 3 < 1x , , x 2 , x 3 e Z

h p h2, hj, h 4, h5 > 0Resumiendo:M AX Z = 120 Xj + 130 X 2 + 170 X 3Sujeta a:1. 100X, + 100 X 2 + h , 2002. 20 X, - 40 X 2 - l , l h , + h 2 503. - 30 X, + 20 X 2 Hh 100 x 3 - U h , + h 3 > 404. - 30 X, - 20 X 2 " 100 x 3 - 1,1 ha + h4 > 405. - 3 0 X , - 20 X 2 * 100 x 3 - 1,1 h4 + h5 > 40

X p x 2 , X , > 0X r X 2, X 3 < 1X P X 2, X 3 e Zr

=

jr 3 ,h 4 , h5 > 0

6 2


20/40

La fi rma Productos Lo Mejor S. A. fabrica t res productos en dos mquinas En una semanatpica hay dispon ibles 40 horas en cada mq uina. La contribucin a las ut i l idades y el t iempo deprodu ccin en ho ras por unidad, son los siguientes:Producto 1 Producto 2 Producto 3Utilidad por unidad (u. m.) 30 50 20Tiempo por unidad en mquina 1 0,5 2 0,75Tiempo por unidad en mquina 2 1 1 0,5

Se requieren do s operarios para la mquina 1, por el lo se deben pro gramar dos horas de mano d eobra para cada hora del t iempo de la mqu ina 1; En la mquina 2 solo se requiere u operario. Existeun total de 100 horas de ma no de obra disponibles p ara asignarlas a las mquina s en la semana siguiente.El produ cto 1 no puede const i tuir ms de 50% de las unidades que se fabrican y que el produ cto 3 debeconst i tuir cuando menos el 20% de las unidades que se producen.Cun tas unidades de cada producto deben fabricarse con el objeto de maxim izar la contribucina las utilidades?V A R I A B L E S R E A L E S :Xp N m ero de un idades del producto i (i = 1, 2, 3) a fabricar en una sem anaZ: Max imizacin de ut il idades

M o d e l o p r i m a l ) :M AX Z = 30 X, + 50 X, + 20 X,Suje ta a:1. 0,5 X, + 2 X , + 0,75 X32. X, + X 2+ 0,5 X33. 2 (0,5 X, + 2 X 2+ 0,75 X3) + (X, + X, + 0,5 X3)4. X,5. - 0 . 2 ^ , - 0 - 2 ^ 3 X 3

X J , X , , X 3Resumiendo:MA X Z = 30 X, + 50 X2 + 20 X,Su jeta a:

^ O* v -e i S O C n K . A .\ M I 7

>

4040

1000,5 (X, + X 2+ X3)0,2 (X, + X 2+ X3)0

6 3


21/40

1. 0,5 X, + 2 X , + 0,75 X, < 402. x , + X 2 + 0,5 X 3 < 403. 2X, + 5 X 2 + 2 X, < 1004. 0,5 X, - 0,5X 2 - 0,5 X 3 < 05 . -0 , 2X, - 0,2X 2 + 0,8 X 3 > 0

X,, X 2 ,X 3 > 0

La Cmara de Comerc io de Car tagena pa t roc ina per idicamente seminar ios y programassobre servicios pblicos. En estos momentos se estn real izando planes promocionales para elprograma de este ao. Las al ternat ivas de publicidad incluyen televisin, radio y peridicos. Semuestran a continuacin las est imaciones de audiencia, los costos y las l imitaciones sobre el usomximo de los medios:Televisin Radio PeridicosAudiencia por anuncio 100000 18000 40000Costo por anuncio (u.m.) 2000 300 600Utilizacin mxima del medio (anuncios) 10 20 10

Para asegurar una u t i l izacin eq uil ibrada de los medios pub licitarios, los anuncios por radio nodeben rebasar el 50% del nmero total de anuncios que se autoricen. Adems, se requiere que latelevisin const i tuya cu ando men os el 10% del nmero total de anuncios autorizados.Si el presupuesto de publicidad est l imitado a 18200 u.m. Cuntos mensajes comerciales debencolocarse en cada m edio con el objeto de max imizar el contacto total con la au diencia?VAR IAB LES DE DEC ISIN:X.: N mer o d e anuncios publici tarios a colocar po r el medio i (i = T, R, P)Z: M aximizacin del contacto con la audiencia


MA X Z = 100000 XT+ 18000 XR+ 40000 XpSu jeta a:1. X r < 1 02. X n < 20

6 4


22/40

3. X p4. XR5. Xj.

X T + X R + X P

< 10< 0,5 (X T+ XR+ Xp)> 0 , 1 (X T + XR+ Xp)> 0

Resumiendo:M AX Z = 100000 XT+ 18000 XR+ 40000 XpSujeta a:1. < 102. X R < 203. x p < 04. - 0 , 5 X T + 0 , 5 X r - 0,5 X p < 05. 0,9X T - 0 , I X , - 0,1 X p > 0

X T + x R + x p 0

La compaa Hipdromo est experim entando una dieta especial para sus cabal los decarreras. Los al imentos dispon ibles para las dietas son: un produ cto al imenticio com n para cabal los,un producto de avena enriquecido con vi taminas y un nuevo adi t ivo con vi taminas y minerales. Losvalores nutritivos, en unidades por libra, y los costos para los tres alimentos son los siguientes:

Alimento Avena Adit ivoestndar enriquecida Adit ivoIngrediente A 0,8 0,2 0Ingrediente B 1 1,5 3Ingrediente C 0,1 0,6 2Costo por libra (u.m.) 0,25 0,5 3Sup ngase q ue el entrenador de los caballos fija los requerim ientos diarios de dieta en tres unidadesdel ingrediente A, seis unidades del ingrediente B y cuatro unidades del ingrediente C . Para efectos de

control de peso, el entrenado r no desea que el al imento total diario de un cabal lo exceda de 6 l ibras.Cul es la mezcla pt ima por da de los t res com ponen tes al imenticios?VAR IAB LES R EALES:X,: Can tidad en libras del alimen to i (i = 1 ,2 ,3 ) a utilizar por da en la dietaW :Minimizacin de costos

6 5


23/40

Modelo pr imal) :

M AX Z = 0,25 X, + 0,5 X, + 3 X.Sujeta a:1. 0,8 X, + 0,2 x 2 < 32. x , + 1,5 X 2 + 3 X 3 < 63. 0,1 X, + 0,6 X 2 + 2X3 < 44. X, + X 2 + x 3 < 6X p X 2, X 3 > 0

Supo ngam os una econom a integrada por dos grandes sectores: bienes agrcolas y bsicos(BAB), y bienes terminados y servicios (BTS), de los que se conocen los coeficientes de insumoproducto:BAB BTSBAB 0,1 0,1BTS 0,25 0,25

Tambin se dispone de los coeficientes de insumo de los factores primarios de mano de obra ycapital:BAB BTSMan o de obra 4 3Capital 1,5 1,8

Se ha determinado para estos mismos f actores la disponibilidad pa relao siguiente. Los resultadosde esta proyeccin son:M ano de obra 2000 unidadesCapital 600 unidad esLos precios de mercado para los productos o bienes considerados son, respect ivamente, de 1 y1,5. Se trata de determinar de acue rdo con la inform acin anterior, cul sera la estructura ms favora blede la dem and a final, si se tiene presente una max imizacin del produ cto naciona l sin variar los recursosdisponibles.VARIABLES DE DECISIN:X,: Produ ccin total de los BABX,: Produ ccin total de los BTSW :M aximizacin del producto nacional

6 6


24/40

Modelo pr imal) :

M A X Z = X, + 1 ,5 X 2Sujeta a:1. 4 X, + 3X, < 20002. 1,5 X, + 1,8X3 < 6003. 0,1 X, + 0,1X3 < X,4.0,25 X , + 0,25 X, < x 2

X , , X 2 > 0Resumiendo:M A X Z = X, + 1 ,5 X ,Suje ta a:1. 4 X , + 3 X , < 20002. 1,5 X, + 1,8 X , < 6003. - 0 ,9X, + 0,1 x 2 < . 04. 0,25 X, + 0,75 X 2 < 0

X , X., > 0

5 La empresa El Hogar produce una l nea de art culos metl icos, la cual consta de cuatroprod uctos. El sistema de man ufactu ra se divide en cinco etapas: cortado, troqu elado, esmaltado , acabadoy empac ado. A continuacin se presenta la informacin relevante, tanto del sistema prod uctivo co model artculo.NDICE DE PRODU CCIN (unidades/hora)

DEPARTAM ENTO Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Capacidad(Hora/Mes)Cortado 25 6 20 10 400Troquelado 14 8 20 10 380Esmaltado 17 9 33 8 490Acabado 20 4 - 8 450Empacado 50 13 50 20 4006 7


25/40

DEMAN DA MEIMSUAL (unidad es)P R O D U C T O Precio de venta(u.m./unidad) Costo de venta(u.m./unidad) Mnima Mxima1 100 50 500 5000

2 300 200 750 60003 160 100 650 80004 250 150 0 3500Ad em s, se sabe que en el siguiente m es solo se dispond rn de 1200 m2de la lmina que prod ucenlos productos 1 y 2. El producto1 requiere 0,5 m2por unidad y el prod ucto 2 necesita 0,8 m2por unidad.Para el ma nejo de costos se est considerando la posibi l idad de sub contratar las operaciones decortado y t roquelado con un a empresa externa. Se est ima un increm ento del 40% en el costo variablede todos los produ ctos que se man den a maquilar fuera de la empresa. Los direct ivos piensan que alaumentar la produ ccin de art culos cortados y t roquelados, com o resul tado de la subcontratacin, el

departamento de esmaltado podra convert i rse en un cuel lo de botel la del proceso productivo. Portanto, se pudieran pactar 120 horas por mes de t iempo extra en dicho departamento con un incrementoen el costo de venta unitario de 5 u.m., 12 u.m., 15 u.m. y 10 u.m., respectivamente.Form ular el anterior problem a com o un modelo de program acin l ineal.VAR IAB LES R EALES:X..: N me ro de unidades del produ cto i (i = 1 ,2, 3 ,4 ) a fabricarse baj o la alternativa j (j = 1,2, 3, 4)en el prximo m es; j = 1 cortado y t roqu elado interno sin t iempo extra en esm altado; j = 2cortado y troquelado interno con tiempo ex tra en esmaltado; j = 3 cortado y troquelado extern o

sin tiempo extra en esmaltado; j = 4 cortado y troquelado interno con tiempo extra en esm altadoZ: Maximizar las utilidades

M o d e l o p r i m a l ) :MA X Z = 50 X, , + 100 X21 + 60 X3 | + 100 X41+ 45 X ]2+ 88 X2 2+ 45 X 32+ 90 X42+

+ 30 X + 20 X + 20 X + 40 X 4, + 25 X 1 4+ 8 X,. + 5 X,. + 30 X 4413 23 33 43 14 24 34 44Suj e t a s :

1 l l( x + x'2> + (X 2 + T(X3>+ + i V ( X- + x } - 4002- lV (Xn+ X.2>+T ^ + + (X-+ +i V (X +X> - 380

6 8


26/40

3 . (X n + X I 3 ) + (X 21 + X23 ) ( X 3 ] + X 3 3 ) (X 4] + x4 3 ) < 490

4 y i i - x 1 1 + i x 2 i + i x 4 i" p { 2 0 l j 4 2 j 8 4 j < 450j = 4 ,

5 y X l i + X 2 i + X 4 :h V 5 0 1 j 13 2 j 50 3 j 20 4 j < 400j=4

6 Z X Uj=i < 5000j=4

7. I Xj=i > 500j=4j=l < 6000j=4

9. Z X 2 jj=i > 750j=4

10. S X 3 jj=i < 8000j=4

11. Z X 3 jj=l 650j=4

12. E X 4 Jj=i < 3500

13. ^ - ( X + X 1 2 ) + j - ( X 2 | + X22 ) < 1200

1 4 - ( x , 2 + X m ) + ( x 2 2 + X24 ) + ^ (X 32 + X34 ) +'^ (X32 + X34 ) < 12050 100x > 0 V i, j 1 = 1 , 2 , 3 , 4 j = 1 , 2 , 3 , 4

6 9


27/40

La fbrica de Hilados y Tejidos Manizales requiere fabricar dos tej idos de cal idad diferen teT y T'; se dispone de 500 k g de hilo a, 300 kg de hilo b y 108 kg de hilo c. Para o btener un m etro de Tdiariam ente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para pro du cir un metro d e T' por da senecesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T' se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximobeneficio, cuntos metros de T y T' se deben fab ricar?Plantear el anterior problema com o un modelo de programacin l ineal .VAR IAB LES DE DEC ISIN:X : Cantidad de metros del tej ido T a fabricar diariamenteX,: N mero de metros del tej ido T' a produ cir por daZ:F uncin de ut i l idad p or la venta de los tej idos T y T'

Modelo pr imal) :MA X Z = 4000 X, + 5000 X,Sujeta a:1. 0,125 X, + 0,2. X 2 < 5002. 0,150 X, + 0,1x2 < 3003. 0,07 2 X, + 0,027X 2 < 108,072 X, X ,x, > 0 La empresa Caldas t iene un sistema de produ ccin con st i tuido por t res secciones, a t ravsde las cuales elabora dos produc tos. En la primera seccin lo ms que se puede procesar son 300unidades del art culo J 400 del producto 2 diariamente; la segunda seccin fabrica como mnimo 350unidades del producto 1 450 unidade s del producto 2 por da. La seccin tercera puede elaborar hasta400 unid ades del art culo 1 500 unida des del artculo 2 por da.

Si los produ ctos 1 y 2 generan una ut i l idad de$1000 y $700 respect ivamente. Cuntos productosde cada uno se deben fabricar para maximizar la ut i l idad?Plantear el anterior problema com o un modelo de program acin l ineal .DEFINIC IN DE VAR IAB LES R EALES:X,: Cantidad del producto 1 a fabricar por daX,: C antidad del artculo 2 a produ cir diariamenteZ:Fu ncin de uti l idad de los productos uno y dos

7 0


28/40

M o d e l o p r i m a l ) :M AX Z = 1000 X, + 700 X,Su jeta a:Primera secc in:Cua ndo X, = 0, X 2= 400; cuando X , = 0, X, = 300X 2 < 400 - 400/300 X,1. 4X , + 3X 2 < 1200Se gunda se c c i n:Cuand o X, = 0, X, = 450; cuando X , = 0, X, = 350X, > 450 - 450/350 X,2 . 9 X , + 7X 2 > 3150Tercera secc in:Cuando X, = 0, X 2= 500; cuando X2 = 0, X, = 400X 2 < 500 - 500/400 X,3. 5 X, + 4 X 2 < 2000Resumiendo:M AX Z = 1000 X, + 700 X,Sujeta a:1 . 4X, + 3X 2 < 12002 . 9 X , + 7 X , < 31503. 5 X, + 4 X , < 2000X,, X 2 > 0

54 En una planta,Ja demanda est imada para el prximo ao es la siguiente:Primer t rimestre: 15000 unidades de A.Segun do trimestre: 25000 unidades de A.Tercer t rimestre: 40000 unidades de A.Cuarto t rimestre: 20000 unidades de A.


29/40

En el almacn se cuenta con 10000 unidades, al iniciar el perodo v se desea disponer de uninventario de 5000 u nidades al final izar el ao. La produccin du rante el l t imo trimestre del pero doanterior fue de 5000 unidades.Si el costo de aumento de la produccin C, = 50 unidades monetarias por unidad, el costo dedisminucin de la produ ccin C, = 30 unidades monetarias por unidad y el costo de almacenaje C3= 20unidades m onetarias por unidad.Qu cant idad deber produ ci rse en cada t rimest re para minimizar cos tos de ma nejo deprod uccin? Plantear este problem a como un modelo de programacin l inealDEFINIC IN DE VAR IAB LES:X.: Prod uccin du rante el t rimestre jL : Inven tario al finalizar el trimes tre jCj : Costo de aumento de produccinC 2 : Costo de disminucin de produccinC 3 : Costo de almacenamiento de produccinD : Deman da est imada en el t rimestre ji JAj U nidades adicionales prod ucidas sobre el nivel del t rimestre j -1R | :Un idades en que el nivel de produccin disminuy sobre el t rimestre j-1I0 : 10000 unidad es a diciembre31de 2002 inventarioL : 5000 unidades a diciembre31de 2003 inventario4X 0: 5000 un idades que se produ cen en el cuarto t rimestre de 2002W : Funcin de costos de manejo de produccin

Modelo pr imal) :MIN W = (20*5000) + C, (A, + A 2 + A3+ A4) + C,(R, + R 2+ R3+ R4) + C 3(I, + L + I3+ I4)Suje ta a:1. I0 + X,2. I, + X 23. I2 + X34. I3+ X45. - X + X,6 -X , + X 2

> D,> 2> D,> D 4= A, - R,= A, - R,

7 2


30/40

7. - X, + X A, - R8 - X , + X3 O V.i i i iAl director financiero de la Corporacin F inanciera Nacional le han dado 500 0000 0 u nidadesmon etarias para que invierta en un perodo de tres aos. El director ha determinado que existen t resoportunidad es de inversin dispon ibles en el mo men to: la inversin A rinde el 18% anual, la inversin Brinde el 12% el prime r ao y el21% los ao s siguientes y la inver sin C rind e el 55 % al final del tercerao y no se puede volver a invert i r . Tambin ha encontrado que al comienzo del segundo ao existeotra oportunidad de inversin, la D que produce 25% al final del tercer ao y por una sola vez. Eldirector financiero desea saber cunto dinero invertir, dnde y cundo de tal forma que la cantidad dedinero disponible al inicio del cuarto ao sea mxim o.

Plantear el anterior problema co mo un mo delo de programacin l ineal .VAR IAB LES DE DEC ISIN:A.: Un idad es mon etarias a invertir al com ienzo del ao i en la inver sin A; i = 1,2,3B.: Can tidad inve rtida en un idad es mon etarias al inicio del ao i en la inversi n BC.: Unid ades monetarias a invert i r al com ienzo del ao 1en la inversi n CD 2: Cantidad invert ida en unidad es mon etarias al inicio del ao 2 en la inversin DZ: Un idades monetarias a principio del cuarto ao

Modelo pr imal) :

MA X Z = 50000000 + 0,18(A, + A 2+ A3) + (0,12B, + 0,21B 2+ 0,21B3) + 0,55C, + 0,25D.Sujeta a:1. A, + B, + C < 500000002. - 0.18A , + A 2 - 0,12B, + B, +C, + D < 500000003 . - 0 , 1 8 A , - 0 , 1 8 A 2 - 0 , 1 2 B | - 0 . 2 1 B , + A3+ B3+ C, + D, < 500000 00

A , B . , C , , D 2 > 0 V

7 3


31/40

Supong a que una gal lina pone 12 huevos en dos semanas para venderlos; o se toma el mismotiemp o para emp ollar cuatro huevos . Cul es el me jor programa de poner huevo s y empo llar si al finaldel cuarto perodo todas las gal l inas y pol los se venden a 12000 unidades monetarias cada uno, loshuevos a 200 unidades monetarias cada uno? Asuma:

A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas.B. Cien gal l inas y cero huevos.C. Cien ga llinas y cero hue vos y tambin un inve ntario final de cien gallinas y cero hu evos .(Linear Program ming and Extensions - George Bernard D antzig - Princeton Un iversi ty - 1963 -Pgina 67).Plantear el anterior problema co mo un m odelo de programacin l ineal .

VAR IAB LES R EALES:X.. : Can tidad de gallinas en el per od o i y en la actividad ji = 1,2,3,4; j = 1,2; j =1 (poniendo); j = 2 (incubando)Z : Func in de ut i lidad para pon er y empollar huevos

Modelo pr imal) :

a) MAX Z = 12000 {100 + 200 (X, 2 + X + X32+ X42 ) } + 200 {100 - 4 X,2 + 12 X21 -- 4 X 32 + 12 X31 - 4 X42 + 12 X41 }

Suje ta a:Primer per odo:1 X + X < 1 0 011 122 . 4X | 2 < 100Segundo per odo:3. X 21 + X22 < 1004. - 12 X n + 4 X12+ 4 X22 100

7 4


32/40

Tercer per odo:5. X 31 + X32 < 1006. - 12 X + 4 X n - 12 X21+ 4 X22+ 4 X32 < 100Cuarto per odo:7. X 41 + X42 < 1008. - 12 X n + 4 X ] 2 - 12 X 2] + 4 X22 - 12X31+ 4 XJ2 + 4 X42 < 100

X. > 0 V i,jij 'J

b) M AX Z = 12000 {100 + 200 (X22+ XJ2 + X42 ) } + 200 {12 X,, - 4 X 22 + 12 X,, -" 4 X 32 + 12 X31 - 4 X42 + 12 X41 }

Suje ta a:Primer per odo:1 . x + x l 2Segundo per odo:

< 100

2. x 2 1 + x 23 . - 12 X, , + 4 X ,

o V i , j

c ) M AX Z = 8000 {100 + 200 ( X 2 + X 3 2 + X4 , )} + 8000 * 100Su jeta a:

7 5


33/40

Primer perodo:1. x + x 1 2 < 100Segundo per odo:2. X 21+ X223. - 12 X n + 4X2

06. x, + x 2 - x 5 - x 6 < 07. x3+ x4 - x 7 - x 8 < 08. - X, + x2- x3+ x4 0

M A X Z = 160000 X, + 170000 X, + 180000 X 3 + 200000 X4- 100000 X5 - 1800(- 1 8 0 0 0 0 X 7 - 3 6 0 0 0 0 X

Sujeta a:1. 5 X , + 8 ,5 X 2 + 5 X 3 + 8 ,5X4

guillermojimenezlozano.2006_parte2

Documents