PROPAGACION Y RADIACIONELECTROMAGNETICA II

Miguel Delgado Leon

June 5, 2009

Capıtulo 1

Guıa de ondas rectangular

1.1 Campos electromagneticos en la G.O. rect-

angular

La guıa de ondas rectangular es una de las lıneas de transmision mas ampliamenteutilizadas, esta constituido por un conductor hueco (o relleno con un dielectrico)de seccion transversal rectangular de lados a× b, es decir, el ancho es a y alturab.

Los campos electromagneticos de la onda de frecuencia angular ω que se pro-pagan dentro de la GO rectangular pueden expresarse como:

~E(x, y, z) = Ex(x, y, z) x + Ey(x, y, z) y + Ez(x, y, z) z (1.1)

y~H(x, y, z) = Hx(x, y, z) x + Hy(x, y, z) y + Hz(x, y, z) z (1.2)

Si se considera una propagacion neta en la direccion del eje Z, tenemos que cadacomponente de los campos puede expresarse como:

Ex = Ex(x, y)e−jβz, Ey = Ey(x, y)e−jβz, Ez = Ez(x, y)e−jβz (1.3)

aqui β es la constante de fase neta o constante de fase de la guia. Tambien:

Hx = Hx(x, y)e−jβz, Hy = Hy(x, y)e−jβz, Hz = Hz(x, y)e−jβz (1.4)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en coordenadas rectangulares

tenemos de ∇ · ~E(r) = 0:

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y− jβEz = 0 (1.5)

y de la ley de Gauss magnetico ∇ · ~H(r) = 0:

∂Hx

∂x+

∂Hy

∂y− jβHz = 0 (1.6)

1

2 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS RECTANGULAR

Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de Ampere-Maxwell:

∇× E(r) = −j ω µH(r) ∇×H(r) = j ω εE(r) (1.7)

de la primera ecuacion de (1.7) obtenemos:

∂Ez

∂y− jβEy = −jωµHx (1.8)

∂Ez

∂x− jβEx = jωµHy (1.9)

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= −jωµHz (1.10)

y de la segunda ecuacion de (1.7):

∂Hz

∂y− jβHy = jωεEx (1.11)

∂Hz

∂x− jβHx = −jωεEy (1.12)

∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y= jωεEz (1.13)

Combinando las seis ultimas ecuaciones, llegamos a:

k2cEx = jβ

∂Ez

∂x− jωµ

∂Hz

∂y(1.14)

k2cEy = jβ

∂Ez

∂y+ jωµ

∂Hz

∂x(1.15)

k2cHx = jβ

∂Hz

∂x+ jωε

∂Ez

∂y(1.16)

k2cHy = jβ

∂Hz

∂y− jωε

∂Ez

∂x(1.17)

donde:

k2c = ω2µε− β2 (1.18)

es la relacion de dispersion. A kc se le conoce como la constante de fase de corte.Se observa que las componentes transversales Ex, Ey, Hx yHy, dependen de lascomponentes longitudinales Ez y Hz, por lo tanto, es posible dividir la solucionen dos grupos: modos TM cuando Hz = 0 y Ez 6= 0 y los modos TE cuandoEz = 0 y Hz 6= 0

1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ 6= 0 HZ = 0 3

1.2 Estudio de los Modos TM Ez 6= 0 Hz = 0

Considerando Hz = 0 en(1.14) y (1.15) y reemplazando en (1.5), se llega a laecuacion diferencial:

∂2Ez

∂x2+

∂2Ez

∂y2+ k2

cEz = 0 (1.19)

Ez es un campo tangencial a las paredes metalicas de la G.O., en este estudio seconsideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos E y Hdentro de estas son cero. Aplicando las condiciones de frontera E1 tang = E2 tang

se llega a la condicion de frontera de Dirichlet:

Ez |paredes= 0 (1.20)

en forma mas explicita

Ez(x = 0) = 0 Ez(x = a) = 0 Ez(y = 0) = 0 Ez(y = b) = 0 (1.21)

Para resolver (1.19) se utiliza la tecnica de separacion de variables, es decir

Ez(x, y) = X(x)Y (y) (1.22)

reemplazando en (1.19) y dividiendo entre XY se llega a

1

X

d2X

dx2︸ ︷︷ ︸−k2

x

+1

Y

d2Y

d y2︸ ︷︷ ︸−k2

y

+k2c = 0 (1.23)

la solucion de esta ecuacion diferencial es conocida, el primer y segundo terminodeben ser igual a una constante como se indica en la ecuacion anterior, es decir:

1

X

d2X

dx2= −k2

x

1

Y

d2Y

d y2= −k2

y (1.24)

ademas

k2x + k2

y = k2c (1.25)

Resolviendo (1.24) se llega:

X(x) = a1cos(kxx) + a2sen(kxx) (1.26)

Y (y) = b1cos(kyy) + b2sen(kyy) (1.27)

Aplicando las condiciones de frontera Ez(x = 0) = 0 en (1.26) y Ez(y = 0) = 0 en(1.27) se deduce que a1 = b1 = 0. Luego

X(x) = a2sen(kxx) Y (y) = b2sen(kyy) (1.28)

4 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS RECTANGULAR

En esta ultima ecuacion aplicamos las condiciones de frontera Ez(x = a) = 0 yEz(y = b) = 0, llegamos a

sen(kxa) = 0 y sen(kyb) = 0 (1.29)

entonces kxa y kyb tienen que ser multiplos de π. Ası:

kx =mπ

ay ky =

nπ

bpara m = 1, 2 · · · n = 1, 2, · · · (1.30)

Una primera conclusion es que tenemos muchas soluciones y a cada solucion sele llama modo. Reemplazando (1.30) en (1.28) y esta en (1.22) y asumiendo quea2b2 = E0 llegamos

Ez = E0sen(

mπ

ax

)sen

(nπ

by)

(1.31)

para m = 1, 2, · · · y n = 1, 2, · · ·. reemplazando (1.31) en (1.3) obtenemos lacomponente longitudinal del campo electrico:

Ez(x, y, z) = Ez(x, y)e−jβ z = E0sen(

mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z (1.32)

con condicion de frontera de Dirichlet

Ez(x = 0) = Ez(x = a) = Ez(y = 0) = Ez(y = b) = 0 (1.33)

Reemplazando (1.31) en (1.14) hasta (1.17) y luego en (1.3) obtenemos las otrascomponentes de los campos electromagneticos

Ex = −jβ

k2c

(mπ

a

)E0 cos

(mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z

Ey = −jβ

k2c

(nπ

b

)E0 sen

(mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z

Ez = E0 sen(

mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z (1.34)

Hx =jωε

k2c

(nπ

b

)E0 sen

(mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z

Hy = −jωε

k2c

(mπ

a

)E0 cos

(mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z

para el modo TM Hz = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedanciaintrinseca del modo TM

1.2.1 Frecuencia de corte del modo TM

Si reemplazamos (1.30) en (1.25) obtenemos kc

k2c mn =

(mπ

a

)2

+(

nπ

b

)2

(1.35)

1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ 6= 0 HZ = 0 5

reemplazando (1.35) en la relacion de dispersion (1.18) obtenemos

β2 = ω2µε− k2c mn = ω2µε−

(mπ

a

)2

−(

nπ

b

)2

(1.36)

Puesto que la propagacion neta de la onda es en la direccion del eje z, entoncessegun (1.3) β debe ser positivo, sin embargo, segun (1.35), kc mn es variable ypuede tomar valores altos, por tanto, k2

c mn podrıa sobrepasar el valor de ω2µε ysegun (1.36) β ya no seria positivo y la onda se atenuaria hasta desaparecer, portanto, no se propagaria este modo. Entonces, llegamos a la siguiente conclusion:

Si ω2µε > k2c mn =⇒ se propaga hasta el modo TMmn (1.37)

Si ω2µε < k2c mn =⇒ no se propaga el modo TMmn (1.38)

Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn de la siguiente manera:

k2c mn = ω2

c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.39)

aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es facil de calcular:

fc mn =kc mn

2π√

µε=

1

2√

µε

√(m

a

)2

+(

n

b

)2

en Hz (1.40)

La misma formula se puede expresar en forma mas simple:

fc mn =15√µrεr

√(m

a

)2

+(

n

b

)2

GHz a y b en cm. (1.41)

1.2.2 Constante de fase de la Guıa e Impedancia intrin-seca ηTM

De (1.36) despejamos el valor de β y luego reemplazamos (1.39), obtenemos laconstante de fase de la guıa.

β = ω√

µε

√1− k2

c mn

ω2µε= ω

√µε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

rad/m. (1.42)

Se define la impedancia intrinseca del modo TM ηTM en forma parecida a la ondaplana:

ηTM =Ex

Hy

= −Ey

Hx

Tomando Ex y Hy de (1.34), reemplazando en la ecuacion anterior, simplificandoy reemplazando (1.42), llegamos a:

ηTM =β

ωε=

õ

ε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

Ω (1.43)

6 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS RECTANGULAR

1.3 Estudio de los Modos TE Hz 6= 0 Ez = 0

Considerando Ez = 0 en (1.16) y (1.17) y reemplazando en (1.6), se llega a laecuacion diferencial:

∂2Hz

∂x2+

∂2Hz

∂y2+ k2

cHz = 0 (1.44)

Hz es un campo tangencial a las paredes metalicas de la G.O., en este estudio seconsideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos E y Hdentro de estas son cero. Aplicando las condiciones de frontera H1 tang−H2 tang =Kn se llega a la condicion de frontera de Neumman:

∂Hz

∂ n|paredes= 0 (1.45)

donde n es un vector unitario normal a las paredes de la guıa. La condicion defrontera en forma mas explicita es:

∂Hz

∂ x|x=0=

∂Hz

∂ y|y=0=

∂Hz

∂ x|x=a=

∂Hz

∂ y|y=b= 0 (1.46)

Procediendo en forma similar al caso TM , se llega a:

Hz = H0 cos(

mπ

ax

)cos

(nπ

by)

(1.47)

para m = 0, 1, 2, · · · y n = 0, 1, 2, · · ·. m y n a la vez no pueden ser cero.Reemplazando (1.50) en (1.4) obtenemos la componente longitudinal del campomagnetico:

Hz(x, y, z) = Hz(x, y)e−jβ z = H0cos(

mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z (1.48)

con condicion de frontera de Neumman descrito en (1.49). Reemplazando (1.50)en (1.14) hasta (1.17) en forma similar al caso TM llegamos a

Ex =jωµ

k2c

(nπ

b

)H0 cos

(mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z

Ey = −jωµ

k2c

(mπ

a

)H0 sen

(mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z

Hz = H0 cos(

mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z (1.49)

Hx =jβ

k2c

(mπ

a

)H0 sen

(mπ

ax

)cos

(nπ

by)

e−jβ z

Hy =jβ

k2c

(nπ

b

)E0 cos

(mπ

ax

)sen

(nπ

by)

e−jβ z

para el modo TE Ez = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedanciaintrinseca del modo TE

1.3. ESTUDIO DE LOS MODOS TE HZ 6= 0 EZ = 0 7

1.3.1 Frecuencia de corte del modo TE

Puesto que se ha procedido de forma similar que el caso TM , llegamos a

k2c mn =

(mπ

a

)2

+(

nπ

b

)2

(1.50)

reemplazando (1.53) en la relacion de dispersion (1.18) obtenemos

β2 = ω2µε− k2c mn = ω2µε−

(mπ

a

)2

−(

nπ

b

)2

(1.51)

El analısis es similar al caso TM . Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn

de la siguiente manera:

k2c mn = ω2

c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.52)

aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es facil de calcular:

fc mn =kc mn

2π√

µε=

1

2√

µε

√(m

a

)2

+(

n

b

)2

en Hz (1.53)

La misma formula se puede expresar en forma mas simple:

fc mn =15√µrεr

√(m

a

)2

+(

n

b

)2

GHz a y b en cm. (1.54)

1.3.2 Constante de fase de la Guıa e Impedancia intrin-seca ηTE

De (1.51) despejamos el valor de β y luego reemplazamos (1.52), obtenemos laconstante de fase de la guıa.

β = ω√

µε

√1− k2

c mn

ω2µε= ω

√µε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

rad/m. (1.55)

Se define la impedancia intrinseca del modo TM ηTM en forma parecida a la ondaplana:

ηTE =Ex

Hy

= −Ey

Hx

Tomando Ex y Hy de (1.52), reemplazando en la ecuacion anterior, simplificandoy reemplazando (1.55), llegamos a:

ηTE =ωµ

β=

√µε√

1−(

fc mn

f

)2Ω (1.56)

8 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS RECTANGULAR

1.4 Longitud de la onda λ, de la guıa λg y de la

de corte λc

La longitud de la onda se conoce como:

λ =2π

K=

2π

ω√

µ ε(1.57)

De manera similar, la longitud de la onda de la guı a se define como:

λg =2π

β=

2π

ω√

µε

√1−

(fc mn

f

)2(1.58)

y la longitud de onda de corte como:

λc =2π

kcmn

=2√(

ma

)2+

(nb

)2(1.59)

1.5 Transmision y atenuacion en una Guıa de

Ondas rectangular

Para determinar el flujo de potencia dentro de la guıa, primero determinamos ladensidad de flujo de potencia promedio:

〈S〉 =1

2ReE×H∗

Reemplazando los campos electromagneticos dados anteriormente obtenemos:

〈S〉 =| Ex |2 + | Ey |2

2η∗z (1.60)

donde:

η∗ =

ηTM para el modo TM

ηTE para el modo TE

La potencia promedio transmitida por la seccion transversal de la guıa de ondasin perdidas (o en el inicio de la guıa z = 0):

Pprom 0 =∫ a

0

∫ b

0

| Ex |2 + | Ey |22η∗

dx dy (1.61)

No es dıficil demostrar que para el caso TM y para una guıa de ondas de secciontransversal arbitraria:

Pprom 0 =1

2 ηTM

(β

kc mn

)2 ∫

S| Ez |2 dS caso TM (1.62)

1.5. TRANSMISION Y ATENUACION EN UNA GUIA DE ONDAS RECTANGULAR9

y para el caso TE

Pprom 0 =ηTE

2

(β

kc mn

)2 ∫

S| Hz |2 dS caso TE (1.63)

hasta aqui hemos supuesto que las guıas de ondas no tienen perdidas, pero enrealidad, el dielectrico dentro de la guıa tiene ligeras perdidas, las paredes de laguıa no son conductores perfectos, tienen conductividad alta y no infinita. Estasconsideraciones hacen que el flujo de potencia dentro de la guıa (en z > 0) tengaun decaimiento:

Pprom = Pprom 0 e−2αz (1.64)

donde α es el coeficiente de atenuacion y Pprom 0 es el flujo de potencia en el iniciode la guıa (z=0). El decremento de Pprom debe ser igual a la perdida de potenciapromedio temporal PL por unidad de longitud:

PL = −dPprom

d z= 2αPprom

Despejamos α, considerando el flujo de potencia promedio en el inicio de la guıa(z=0)

α =PL

2 Pprom 0

(1.65)

Las perdidas por unidad de longitud debido a las paredes metalicas ya se haestudiado anteriormente,

PL =1

2Rs

∮| Htang. |2 dr (1.66)

donde Rs es la resistencia superficial y esta dado por

Rs =

√πfµc

gc

donde f es la frecuencia de operacion de la onda µc es la permeabilidad y gc esla conductividad de las paredes metalicas de la guıa de ondas. El coeficiente deatenuacion se debe a dos perdidas: en el dielectrico (αd) y en las paredes metalicas(αc). αd es mucho menor que αc. Por esta razon se estudia solo αc. La atenuacionpara el modo TE10 esta dado por

αc =2 Rs

b√

µε

√1−

(fc mn

f

)2

1

2+

b

a

(fc mn

f

)2 (1.67)

La siguiente expresion es para el caso TEmn cuando n 6= 0

αc =2 Rs

b√

µε

√1−

(fc mn

f

)2

(1 +

b

a

) (fc mn

f

)2

+

ba

(bam2 + n2

)

b2

a2 m2 + n2

1−

fc mn

f

2

(1.68)

10 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS RECTANGULAR

La siguiente expresion es para el modo TMmn

αc =2 Rs

b√

µε

√1−

(fc mn

f

)2

(b/a)3m2 + n2

(b/a)2m2 + n2(1.69)

Ejemplo Una guıa de ondas con revestimiento de cobre (gc = 5.8×107S/m) operaa 4.8 GHz debe alimentar una antena con una potencia mınima de 1.2 kW . Si laguıa esta ocupada por poliestireno (g = 10−17S/m, ε = 2.55εo) y sus dimensionesson a = 4.2 cm, b = 2.6 cm, calcular la potencia disipada en una longitud de60 cm que tiene la guıa en el modo TE10.Solucion Los posibles modos que pueden propagarse se determinan utilizando(1.54):

fc mn =15√µrεr

√(m/a)2 + (n/b)2 en GHz a y b en cm

para m = 1 y n = 0

fc 10 =15√

2.55× 4.2= 2.2365 GHz

Este modo se propaga, Tambien se pueden propagar los modos TE01, TE11 yTM11, sin embargo piden la potencia disipada para el modo TE10. CalculamosRs:

Rs =

√π f µc

gc

=

√π × 4.8× 109 × 4π × 10−7

5.8× 107= 0.01808

Reemplazando en αc

αc =2 Rs

b√

µε

√1−

(fc 10

f

)2

1

2+

b

a

(fc 10

f

)2 = 0.004218

La potencia en la entrada de la guıa es Pprom 0 y a la salida de la guıa en la antenaes Pprom 0 e−2αcz = 1.2 kW donde αc es conocido, z es 0.6 m, de aqui obtenemosPprom 0 = 1.2061 kW . La potencia disipada sera la potencia de entrada menos lapotencia de salida: 1.2061-1.2=0.0061 KW=6.1 W.

Problema Una guıa de ondas de paredes metalicas de cobre cuya seccion transver-sal esta limitada por:y = 0 cm para 0 cm < x < 4 cmx = 0 cm para 0 cm < y < 3 cmy = 3 cm para 0 cm < x < 2 cmx = 2 cm para 2 cm < y < 3 cmy = 2 cm para 2 cm < x < 4 cmx = 4 cm para 0 cm < y < 2 cmesta rellena con un dielectrico ideal con εr = 2.25, µr = 1 y g = 10−4 S/m. Si lafrecuencia de operacion es 10 MHz, determine la atenuacion debido al dielectricoy a las paredes metalicas

Contenido

1 Guıa de ondas rectangular 11.1 Campos electromagneticos en la G.O. rectangular . . . . . . . . . 11.2 Estudio de los Modos TM Ez 6= 0 Hz = 0 . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Frecuencia de corte del modo TM . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Constante de fase de la Guıa e Impedancia intrinseca ηTM 5

1.3 Estudio de los Modos TE Hz 6= 0 Ez = 0 . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Frecuencia de corte del modo TE . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Constante de fase de la Guıa e Impedancia intrinseca ηTE . 7

1.4 Longitud de la onda λ, de la guıa λg y de la de corte λc . . . . . . 81.5 Transmision y atenuacion en una Guıa de Ondas rectangular . . . 8

11