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Solución de triángulos rectángulos
La trigonometría es de gran utilidad en la solución de problemas de
medición longitudes difíciles para el ser humano, tales como la altura
de las montañas, la altura de árboles y la anchura de ríos y lagos, entre
otros.
Resolver un triangulo rectángulo significa hallar las medidas de sus
lados y de sus tres ángulos interiores.
Los lados del triángulo ABC son a, b y c. Los ángulos interiores son <A,
<B y <C.
Cuando se tiene un triángulo rectángulo para resolver, se pueden
presentar dos casos: cuando se conocen un lado y un ángulo o cuando se
conocen dos lados.
Solución de un triángulo rectángulo cuando se conocen
un lado y un ángulo
Cuando se conocen el valor de un ángulo y la medida de un lado, se
plantea una ecuación de acuerdo con la definición de las relaciones
trigonométricas en la que alguno de los lados desconocidos es la
incógnita y se hallan los demás datos utilizando las propiedades de los
triángulos. Por ejemplo
1. Resolver el triángulo ABC con el ángulo recto en C, con a = 5m
<B = 35°.
Se dibuja el triangulo y se ubican los datos en el.
Se plantea una ecuación con la razón trigonométrica que asocia
a dos catetos.
se despeja la variable desconocida
Para hallar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras
para hallar el valor del <A se plantea una ecuación utilizando la
propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y
se despeja el ángulo.
Los valores del triangulo ABC son:
2. Resolver el siguiente triangulo
3. Resolver los siguientes triángulos
3.
Solución de un triángulo rectángulo cuando se conocen
dos lados
Cuando se conocen dos lados del triángulo rectángulo, se usan las
funciones trigonométricas inversas para poder determinar el valor de los
ángulos desconocidos. El tercer lado se determina utilizando el teorema
de Pitágoras.
Por ejemplo:
1. Para resolver el triángulo ABC con ángulo recto en C y cuyos catetos
miden 5 cm y 7 cm respectivamente, se realiza lo siguiente:
Se dibuja un triángulo rectángulo con los datos dados
Se plantea la razón trigonométrica que asocia los dos catetos y se
halla el <A
para hallar el valor del <B se plantea una ecuación utilizando la
propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y
se despeja el ángulo.
Para hallar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras
Los valores del triangulo ABC son:
2. Resolver el triangulo ABC con ángulo recto en C, sabiendo que la
hipotenusa mide 25 m y uno de sus catetos mide 9 cm
Angulo de elevación y ángulo de depresión
Algunas situaciones que se resuelven con triángulos rectángulos,
involucran ángulos de elevación o ángulos de depresión.
Cuando un objeto es observado, la recta imaginaria que se forma entre el
observador y el objeto, se denomina línea visual.
La línea visual forma con la horizontal imaginaria, un ángulo cuyo nombre
depende de la ubicación del objeto con respecto al observador:
Si el objeto está a un nivel más alto que el observador, el ángulo se
denomina ángulo de elevación.
Si el objeto está a un nivel más bajo que el observador, el ángulo se
denomina ángulo de depresión.
Ejemplos:
1. Una persona se encuentra en la terraza de un edificio de 10 m de
alto y observa un automóvil que se encuentra estacionado cerca
del edificio. Si el ángulo de depresión que se forma con la línea
visual de la persona y el automóvil es de 39°, ¿a qué distancia se
encuentra el automóvil del edificio?
Utilizamos tangente ya que tenemos un cateto y necesitamos la medida
del otro cateto de la siguiente forma:
R/ el automóvil se encuentra a 12.34 m del edificio
2. Un árbol proyecta una sombra de 1,25 m y forma un ángulo de
elevación con el Sol de 58°, ¿cuál es la altura del árbol?
Utilizamos tangente de la siguiente forma:
R/ la altura del árbol es de 2 m.
Taller
1. Resolver los siguientes triángulos
2. Encontrar el valor de las variables
3. Determina que herramienta se puede usar para hallar el dato que
se quiere encontrar en cada caso.
a. Si se conoce a y b y se quiere encontrar c
b. Si se conoce c y , y se quiere calcular
c. Si se conocen b y , y se quiere calcular a
d. Si se conoce ay c y se quiere calcular
4. Escribe las razones trigonométricas para el ángulo del
siguiente triangulo
Resolución de problemas: en todos los problemas, elabora una grafica
para identificar el triangulo rectángulo que modela el problema.
5. Desde un punto al nivel del suelo y a 220 metros de la base de
una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre
es 29°15'50". Calcula a altura de la torre
6. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto
en el suelo horizontal que está a 30 metros de la base de la
antena. Si el alambre forma un ángulo de 52° con el suelo, halla
la longitud del alambre.
7. ¿Cuál es ángulo de elevación al Sol, para una persona que mide
185 cm de estatura y que en determinada hora del día proyecta
una sombra de 75 cm de largo a nivel del suelo?
8. ¿Cuál es el ángulo de elevación cuando una persona observa la
parte alta de la torre Colpatria desde un punto a 500 metros de la
base? Recuerda que la altura de la torre Colpatria es de 206
metros.
9. Desde un punto A que está a 16 metros sobre el nivel del suelo,
el ángulo de elevación a la parte alta de un edificio es de 31°.
Halla la altura del edificio.
10. Cuando se observa la parte más alta de la torre E¡- ffel desde
una distancia de 66 metros de su base, el ángulo de elevación es
79°. Halla la altura de la torre.
11. Desde la parte alta de una torre de 120 m de altura, el ángulo de
depresión de un objeto colocado en el plano horizontal de la base de
la torre es 24°.
a. ¿A qué distancia está el objeto del pie de la torre?
b. ¿A qué distancia del observador está el objeto?
12. Un árbol proyecta una sombra de 12 metros y el ángulo de
elevación de la punta de la sombra a la punta del árbol es de 52°.
Determina la altura del árbol.
13. Un avión está volando a una altura de 10.000 m. El ángulo de
elevación desde un objeto en la Tierra hacia el avión mide 30°.
¿Qué tan lejos se encuentra el objeto del avión?
14. Una rampa tiene 400 m de longitud. Se eleva a una distancia
vertical de 32 metros. Determina la medida del ángulo de
elevación.
15. Un peñasco se encuentra 150 metros arriba del nivel del mar. Desde
el peñasco el ángulo de depresión de un barco en el mar es de
11°12'5". ¿Qué tan lejos está el barco de la base del peñasco?
16. Un observador situado en la azotea de un edificio
observa un objeto en el suelo con un ángulo de
depresión de 24°. Si la altura del edifico es de 126
metros, halla la distancia que hay del objeto a la base del edificio.
17. El edificio de Nueva York Empire State tiene 1.250 pies de altura.
Encuentra el ángulo de elevación de su último piso desde un
punto de la calle que está 55280 pies desde la base del edificio.
18. Una torre de 135 pies de altura está situada en la orilla de un lago.
Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la
orilla opuesta al lago es de 36,3°. Calcula el ancho del lago.
19. Camilo practica skateboard en una rampa, cuya altura es de 3 m.
La distancia, desde la parte más alta hasta donde termina la
rampa en el piso es de 5 m. Encuentra el ángulo de elevación de
la rampa.
20. El ángulo de elevación de un barco a la punta de un faro de 50 m
de alto, situado en la costa, mide 21 °30'. ¿Qué tan lejos de la
costa se encuentra el barco?
