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En la actualidad existen muchos programas de computadora que permiten calcular de forma eficiente los refuerzos, las deformaciones, los esfuerzos, entre otros aspectos, de los elementos que constituyen parte de un sistema estructural. Estos programas generalmente tienen un costo de licencia elevado y para fines didácticos como en el caso de los cursos de diseño de estructuras de concreto o bien para cálculos de pequeñas obras pueden no ser económicamente viables de emplear como un medio de diseñoTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA CIVIL
GUÍA PARA ELABORACIÓN DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN PARA EL CÁLCULO DEL REFUERZO LONGITUDINAL DE
COLUMNAS CON SECCIONES RECTANGULARES Y CIRCULARES EMPLEANDO MICROSOFT EXCEL
T E S I S
OSMAN CARRILLO SOTO Carné: 1045206
Guatemala de la Asunción, Noviembre de 2010
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UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA CIVIL
GUÍA PARA ELABORACIÓN DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN PARA EL CÁLCULO DEL REFUERZO LONGITUDINAL DE
COLUMNAS CON SECCIONES RECTANGULARES Y CIRCULARES EMPLEANDO MICROSOFT EXCEL
T E S I S
Presentada al Consejo de
de la Facultad de Ingeniería
Por:
OSMAN CARRILLO SOTO Carné: 1045206
Previo a conferírsele el título de
INGENIERO CIVIL
El en grado académico de
L I C E N C I A D O
Guatemala de la Asunción, Noviembre de 2010
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DEDICATORIA
A DIOS:
Por brindarme la oportunidad de existir e intentar dejar el mundo un poquito mejor de como lo encontré.
A MIS PADRES:
Roni Osman Carrillo Aguilar y Silvia Elena Soto Vásquez quienes me han formado, guiado y enseñado a valorar la belleza de cada regalo que la vida nos da.
A MIS HERMANOS:
Manuel Alejandro y Emma Natalia, quienes siempre me apoyan y alientan, Roni Osman y Alba Lily a quienes Dios y mi papá me permitieron tener el gusto de conocer.
A MI FAMILIA
En especial mi madrina y mi padrino, mi tía Yoli y mi tío Juanjo, mi tía Ody y mi tío Carlos, a mi tío Erick y mis abuelos Dina y Amadeo (QEPD). Y a cada uno de mis primos en especial a Carlos, Oscar y José.
A MIS AMIGOS Y COLEGAS DE LA PROMO:
Gabriel y Estuardo que son casi mis hermanos, Gianni, Geovanni, Enrique, Eduardo, Juan Carlos, Carlos Caníz, Jose, Nito, Luise, Manuel, Santiago, Daniel, Juanpa, Kike, Kathy, Eliana, Mariíta, Ely, Allan, Enrico, Alex, Alejandro, Cristian, y cada uno de esos colegas con los que tuve la suerte de compartir.
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AGRADECIMIENTOS:
Cada uno de los catedráticos que me ayudo a apreciar el bello arte de ser un
Ingeniero Civil en especial a los ingenieros: Mario Roberto García, Calixto
Monteagudo, Erick Jacobs, Angélica Pacheco, Erick Flores, Gunther Carranza,
Joram Gil, Roberto Chang, Juan Francisco Calderón, Franklin Matzdorf, Francisco
Corado, Luis Stolz, Gustavo Córdoba, Mauricio León, Carlos García Bickford y
Minor Cardona.
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RESUMEN EJECUTIVO
En la ingeniería civil el diseño de estructuras seguras es una de las funciones más
importantes a las que se puede referir cualquier persona al hablar de la profesión y
responsabilidad de un profesional de dicha área ingenieril.
Para diseñar una estructura existen distintos tipos de sistemas de resistencia
lateral entre los que se puede mencionar: marcos especiales resistentes a
momento, marcos intermedios resistentes a momento, los marcos ordinarios
resistentes a momento, la mampostería reforzada, sistema dual de marcos a
momento y muros de cortante, entre otros. Según el ASCE 7-05 en su tabla 12.2-1
los marcos ordinarios e intermedios no son permitidos en zonas sísmicas como las
de Guatemala (D, E o F) por lo cual los marcos especiales son generalmente una
solución adecuada para edificaciones que presenten varios niveles de
construcción y que se requiere presenten una buena ductilidad. Dichos marcos
primordialmente cuentan con elementos horizontales que resisten cargas
verticales aplicadas que generan primordialmente flexión sin compresión
denominadas vigas, y además elementos verticales que son sometidos a cargas
de compresión con flexión a los que se les llama columnas.
Las columnas son elementos cuya falla suele ser no dúctil y lleva consigo la
pérdida de estabilidad de un gran tramo de la estructura provocando el colapso de
la misma, es por ello que a través de la implementación de marcos especiales se
mantiene a las columnas en rangos de deformación elástica mediante la
generación de articulaciones plásticas en las vigas que genera un comportamiento
viga débil-columna fuerte.
Durante los cursos de preparación el ingeniero civil aprende como diseñar dichos
elementos a través de un método que requiere (al hacerse por medios manuales y
no utilizar software especializado) el empleo de diagramas de interacción. Estos
diagramas son muy complejos de construir y varios autores de libros acerca del
tema muestra diagramas que pueden ser utilizados de forma general lo cual lleva
10
a soluciones menos exactas que al elaborar un diagrama de interacción por cada
elemento que se propone diseñar.
Excel y cualquier herramienta de software que provean medios para el desarrollo
de hojas de cálculo permiten realizar una serie de pasos que se automatizan para
brindar resultados inmediatos a través del cambio de variables de entrada. Esto
hace posible el desarrollar diagramas de interacción a través de Excel o
programas similares ya que se pueden realizar muchos cálculos y a su vez
representarlos gráficamente.
La serie de procedimientos para el desarrollo de esta clase de hoja de cálculo es
el fundamento de esta guía, donde se muestra como generar en Excel a través de
la explicación de los pasos a seguir y los comandos a utilizar para la
implementación de diagramas de interacción generados por computadora.
Inicialmente, se presenta la teoría básica del diseño de columnas donde se
muestra el efecto que tiene la flexo compresión biaxial en el diseño de estos
elementos. Posteriormente se desarrollan los modelos matemáticos y
suposiciones tomadas en cuenta para desarrollar la hoja de cálculo que son los
principales fundamentos de los procedimientos elaborados.
Luego, se muestra en general que tipo de comandos de Excel se requiere conocer
para entender el procedimiento así como la ejemplificación de su uso para así
finalmente desarrollar la guía de pasos que integra cada uno de los elementos
mencionados anteriormente.
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ÍNDICE DE CONTENIDOS
Contenido A. JUSTIFICACIÓN: ...................................................................................................... 13
B. OBJETIVOS: ............................................................................................................ 15
C. ALCANCES Y LÍMITES: ........................................................................................... 16
D. APORTES: ............................................................................................................... 18
CAPÍTULO 1: EL CONCEPTO DE DISEÑO DE COLUMNAS ......................................... 19
1.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 19
1.2. LA REDUCCIÓN DE LA RESISTENCIA A MOMENTO Y CARGA AXIAL ......... 20
1.3. LA CONFIGURACIÓN DEL REFUERZO LONGITUDINAL ................................ 22
1.4. EL CÁLCULO DE LOS MOMENTOS Y LAS CARGAS AXIALES. ..................... 23
1.4.1. LA COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES .......................................... 24
1.4.2. EL EQUILIBRIO EN LA SECCIÓN ............................................................. 25
1.5. CREACIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ............................................. 28
1.5.1. LAS ZONAS DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ..................................... 29
1.6. LA FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL .................................................................. 30
1.6.1. MÉTODO DE LA CARGA RECÍPROCA ..................................................... 32
1.6.2. MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA ................................................... 35
CAPÍTULO 2: EL MODELO MATEMÁTICO PARA LA ELABORACIÓN DE DIAGRAMAS
DE INTERACCIÓN. ......................................................................................................... 37
2.1. MODELADO MATEMÁTICO PARA CÁLCULO DE COLUMNAS
CIRCULARES .............................................................................................................. 37
2.2. MODELADO MATEMÁTICO PARA CÁLCULO DE COLUMNAS
RECTANGULARES ..................................................................................................... 49
CAPÍTULO 3: FUNCIONES DE EXCEL REQUERIDAS PARA DESARROLLO DE HOJA
DE CÁCULO DE REFUERZO LOGITUDINAL EN COLUMNAS ...................................... 53
3.1. LISTAS DESPLEGABLES ................................................................................. 53
3.2. FUNCIÓN LÓGICA SI...ENTONCES ................................................................. 55
3.3. FUNCIONES MAX Y MIN .................................................................................. 56
3.4. FUNCION DE VALOR ABSOLUTO. .................................................................. 56
3.5. SUMA DE LISTA ............................................................................................... 57
3.6. FUNCIÓN BUSCARV ........................................................................................ 58
3.7. OTRAS FUNCIONES ........................................................................................ 59
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CAPÍTULO 4: ELABORACIÓN DE HOJA DE CÁLCULO EN EXCEL PARA CÁLCULO DE
REFUERZO LONGITUDINAL EN COLUMNAS ............................................................... 61
4.1. COLUMNAS CIRCULARES............................................................................... 61
4.1.1. ELABORACIÓN DE TABLA CON DATOS DE BARRAS DE ACERO ......... 61
4.1.2. HOJA DE INGRESO DE DATOS CIRCULAR ............................................. 62
4.1.3. HOJA DE CÁLCULO DE DIAGRAMA DE INTERACCIÓN. ........................ 66
4.1.4. ELABORACIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ............................... 82
4.1.5. CALCULO DE RESISTENCIA .................................................................... 86
4.2. COLUMNAS RECTANGULARES. ..................................................................... 88
4.2.1. ELABORACIÓN DE TABLA CON DATOS DE BARRAS DE ACERO ......... 89
4.2.2. HOJA DE INGRESO DE DATOS ................................................................ 89
4.2.3. HOJA DE DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ................................................. 93
4.2.4. GRAFICACIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN...................... 102
4.2.5. CALCULO DE RESISTENCIA A LA FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL. ..... 104
5. CONCLUSIONES: .................................................................................................. 111
6. RECOMENDACIONES ........................................................................................... 113
7. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 114
8. ANEXOS................................................................................................................. 115
8.1. ANEXO A: GGrraaffiiccaaddoo ddee llaa SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr EEmmpplleeaannddoo EExxcceell ........................ 115
8.2. ANEXO B: GGrraaffiiccaaddoo ddee llaa SSeecccciióónn RReeccttaanngguullaarr EEmmpplleeaannddoo EExxcceell ................. 120
88..33.. ANEXO C: PPeennddiieennttee ddee CCaammbbiioo ddeell FFaaccttoorr ØØ.. ............................................... 123
13
A. JUSTIFICACIÓN:
En la actualidad existen muchos programas de computadora que permiten calcular
de forma eficiente los refuerzos, las deformaciones, los esfuerzos, entre otros
aspectos, de los elementos que constituyen parte de un sistema estructural. Estos
programas generalmente tienen un costo de licencia elevado y para fines
didácticos como en el caso de los cursos de diseño de estructuras de concreto o
bien para cálculos de pequeñas obras pueden no ser económicamente viables de
emplear como un medio de diseño.
Con el auge de la computación la mayoría de los profesionales y estudiantes de
ingeniería civil tienen acceso a los paquetes básicos de Microsoft que incluyen
dentro de sus programas Microsoft Excel, la cual es una herramienta valiosa para
desarrollar hojas de cálculo que pueden permitir desarrollar procedimientos
iterativos o bien hojas programadas para introducir datos y obtener resultados
inmediatos para el uso profesional o en el estudio universitario.
El cálculo de columnas a flexo-compresión amerita el empleo de diagramas de
interacción, muchos de estos diagramas están graficados de forma genérica y
permiten obtener soluciones aproximadas para el diseño del refuerzo longitudinal.
Sin embargo, fue posible obtener un diagrama de interacción propio para cada
sección de columna propuesta con su respectivo refuerzo longitudinal, la dificultad
radica en lo tedioso y largo que puede representar el procedimiento para calcular
varios puntos de dicho diagrama.
Es para esa situación que Microsoft Excel resultó valioso al desarrollar una hoja de
cálculo donde se puedan introducir parámetros básicos como el refuerzo
longitudinal, la sección o la tipología de la columna y obtener así varios puntos de
forma inmediata graficando el diagrama de interacción para cada situación
propuesta, dando con esto una herramienta de cálculo de refuerzo longitudinal de
columnas para el estudiante de ingeniería civil o para el profesional que quiera
realizarla.
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De lo descrito anteriormente se fórmula la siguiente pregunta cuya respuesta es la
finalidad de esta guía:
¿Qué procedimiento se puede seguir para poder desarrollar un diagrama de
interacción para el diseño del refuerzo longitudinal de columnas circulares y
rectangulares empleando Microsoft Excel?
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B. OBJETIVOS:
GENERAL
Desarrollar una guía que indique los procedimientos necesarios para la
elaboración de diagramas de interacción para el cálculo de refuerzo
longitudinal de columnas rectangulares y circulares empleando Microsoft
Excel.
ESPECíFICOS
Proponer ecuaciones para el cálculo de refuerzo de columnas circulares de
concreto empleando la teoría del rectángulo de esfuerzos equivalente a
compresión de Whitney.
Proponer un procedimiento que permita emplear los cálculos del diagrama
de interacción generado en Excel para utilizar los Método de Carga
Reciproca y Contorno de Carga en el cálculo de columnas en flexo
compresión biaxial.
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C. ALCANCES Y LíMITES:
El manual para la elaboración de diagramas de interacción está limitado al cálculo
del refuerzo longitudinal de columnas empleando Excel, basado en la teoría del
rectángulo de esfuerzo equivalente que se utiliza normalmente en la literatura de
diseño de estructuras de concreto; para columnas rectangulares se emplean las
metodologías encontradas en dichos libros, para columnas circulares se emplea
la misma teoría para deducir y proponer un modelo para el diseño de su refuerzo
longitudinal, empleando para ambos modelos factores de reducción de carga
acorde al código ACI 318-08.
En el caso de las columnas rectangulares se elaborará un diagrama bidimensional
con respecto a cada eje principal; al existir simetría en refuerzo y con respecto a
los ejes principales en las columnas circulares se elaborará un diagrama que es
válido para cualquier eje.
Adicionalmente los métodos de diseño a flexión biaxial se basaron en el análisis
bidimensional de los diagramas en los ejes principales de la sección empleando
para el chequeo de la capacidad de una columna métodos aproximados de
contorno de carga y carga recíproca.
Se considera un mismo espaciamiento del refuerzo longitudinal en la dirección de
la altura y la base de la columna rectangular o bien en la circunferencia de
refuerzo de la columna circular.
Para el cálculo del esfuerzo del acero se considera que cualquier deformación
unitaria mayor a εy (deformación en el límite de fluencia) producirá un esfuerzo
máximo equivalente a fy (esfuerzo de fluencia).
Los procedimientos sugeridos para diseño de columnas se enfocaron al uso
académico y de formación del estudiante, sin embargo pueden servir como base
para el diseño de estructuras usando las modificaciones en factores de diseño o
condiciones especiales que los códigos de diseño piden, primordialmente en
zonas sísmicas.
17
Con excepción de la cuantía de refuerzo máxima y mínima no se abarcan
conceptos ni recomendaciones del capítulo 21 del código ACI 318-08 con respecto
a modificaciones por causas sísmicas en el diseño del refuerzo longitudinal.
No se considera análisis de esbeltez o arriostramiento de la columna al solo ser un
medio de cálculo de refuerzo longitudinal, por lo que en la aplicación a proyectos
reales el diseñador deberá emplear momentos de diseño considerando análisis de
segundo orden.
No se incluyen procedimientos para el cálculo del refuerzo a cortante de la
columna.
Los comandos empleados harán referencia a ecuaciones que consideran las
propiedades de materiales, dimensiones y otros factores en el Sistema Inglés, esto
debido a que la literatura generalmente utilizada emplea dicho sistema
dimensional para el cálculo de estructuras de concreto.
18
D. APORTES:
El estudiante de ingeniería civil contará una herramienta que le permitirá
practicar la metodología de diseño de columnas a través de diagramas de
interacción de una manera que pueda guardar un modelo de Excel que él
mismo puede construir y aplicarlo a varios casos de diseño planteados.
El profesor universitario que imparta clases relacionadas con el cálculo de
estructuras de concreto tendrá un documento a su alcance que pueda ser
empleado como material de referencia para sus cursos.
El profesional que quiera crear sus hojas de cálculo empleando Excel para
desarrollar un procedimiento de diseño del refuerzo longitudinal de
columnas contará con una referencia que servirá de base para crear dichas
hojas siempre que modifique los puntos necesarios para adecuarla a las
consideraciones y recomendaciones no tomadas en cuenta en eta guía.
19
CAPíTULO 1: EL CONCEPTO DE DISEÑO DE COLUMNAS
1.1. INTRODUCCIÓN
Las columnas son elementos cuya función principal es resistir cargas a
compresión, aunque esto no significa que puedan ser empleadas para resistir otra
clase de cargas. Así pueden estar sometidas a esfuerzos flectores produciendo
esfuerzos combinados de flexo compresión.
Estos elementos se pueden clasificar desde dos perspectivas:
Por su esbeltez (relación entre la longitud y el radio de giro del elemento), la
cual incide directamente en el efecto que pueden tener las deformaciones
laterales del elemento generando momentos secundarios (efecto conocido
como P-δ). Así se tienen columnas cortas cuya esbeltez es lo suficientemente
baja como para poder omitir el efecto P-δ en su diseño, y columnas largas,
cuya esbeltez tiene la magnitud suficiente para que el efecto P-δ modifique
considerablemente las solicitaciones de carga. Esta característica no será
tomada en cuenta en esta guía. Los efectos de la esbeltez deben de ser
tomados en cuenta para la modificación de las solicitaciones de carga en el
diseño del elemento.
Por su refuerzo transversal, puede ser por medio de estribos cerrados, cuya
función es resistir parte del cortante solicitado para el elemento y confinar el
núcleo de concreto para mantenerlo integro durante la aplicación de esfuerzos
inelásticos elevados como sucede con las cargas sísmicas, o bien mediante
espirales o zunchos, los cuales producen un mejor efecto de confinamiento que
los estribos.
La clase de refuerzo transversal es un parámetro clave que modifica notablemente
la resistencia de un elemento, por lo tanto modifica el diagrama de interacción de
una columna.
20
Figura 1. Efecto P∆ en un marco con columnas que se desplazan lateralmente.
Fuente: UMSS (2010)
El concreto es un material que sin la ayuda del acero de refuerzo no podría resistir
grandes cargas axiales conjugadas con momentos flectores, al no ser capaz de
resistir esfuerzos de tensión se adicionan barras de acero de refuerzo que
absorben dichos esfuerzos provocados por la flexión. Aunque no exista un método
de cálculo directo del elemento (incluyendo dimensiones y refuerzo) el código ACI
318-08 en el inciso 21.4.3.1 indica que la cuantía de acero no puede ser menor
que el 1% del área gruesa del elemento ni mayor a 6% de la misma, así se puede
proponer una sección de columna y buscar el refuerzo con el cual se tenga una
cuantía entre el rango anterior junto con la resistencia requerida para el caso de
diseño. Un valor adecuado es 4% para evitar el congestionamiento de acero de
refuerzo que dificulte la fundición del elemento.
1.2. LA REDUCCIÓN DE LA RESISTENCIA A MOMENTO Y CARGA
AXIAL
Teóricamente una columna puede resistir la interacción de una carga axial y un
momento en cualquier eje (para el caso de la guía solo se considerarán ejes
principales). Esta resistencia está relacionada directamente con el valor de la
longitud del eje neutro medida desde la fibra más lejana al mismo sometida a
compresión.
Esa capacidad teórica no puede ser considerada por completo para afirmar que
una columna es apta de resistir las solicitaciones de carga requerida. El ACI 318-
21
08 limita la resistencia del elemento para salvaguardar cualquier variabilidad en la
fabricación, instalación o calidad de los materiales y/o procedimientos
constructivos. Para esto reduce la capacidad a momento y fuerza axial con un
factor Ø, es decir se multiplica Ø con la resistencia obtenida de carga y momento
para cada longitud de eje neutro. Según el código ACI 318-08 en el inciso 9.3.2.2
cualquier columna reforzada con espiral o zunchado a cortante tendrá un factor de
0.75, cualquier otro tipo de refuerzo tendrá un factor de reducción del 0.65 (como
lo es en el caso de los estribos).
Adicionalmente se tiene una reducción en la carga axial máxima que puede resistir
el elemento. La carga axial máxima teóricamente existe cuando no hay momentos
afectando al elemento, así la parte de los esfuerzos que resiste la columna por el
momento puede ser aprovechada por la sección completa para resistir la carga
axial a compresión. Las condiciones para que una carga axial esté totalmente
centrada en el eje longitudinal son poco probables de reproducir en la práctica (por
cuestiones de simetría en las cargas de la losa o vigas) por lo cual dicha carga
siempre tenderá a tener una excentricidad con respecto a al eje central
produciendo así un momento por excentricidad de carga. Este efecto es
considerado también por el código ACI 318-08 reduciendo la carga axial máxima
mediante las siguientes ecuaciones:
Para secciones con refuerzo espiral ecuación 10-1 del ACI 318-08:
(1-1)
Para secciones con otra clase de refuerzo transversal ecuación 10-2 del ACI 318-
08:
(1-2)
Para ambas ecuaciones:
ØPn max= Carga axial máxima que puede resistir la columna.
22
0.85f´c= Esfuerzo promedio de resistencia a compresión del concreto, el
rectángulo equivalente de Whitney.
Ag= Área gruesa de la sección de concreto.
Ast= Área total de las barras de acero para refuerzo.
fy= Esfuerzo de fluencia del acero.
De ninguna manera puede aplicarse una carga axial mayor a ØPn max.
Los momentos que se requieren para diseño generan tensión dentro en las
columnas. En este punto el acero juega un papel muy importante adicional a
resistir cargas a compresión y corte evita que la sección de concreto se fisure
totalmente por la poca capacidad de este material de resistir cargas a tensión.
1.3. LA CONFIGURACIÓN DEL REFUERZO LONGITUDINAL.
Las barras de refuerzo deben de ser colocadas dentro de la sección de forma
simétrica. Con esto se garantiza un comportamiento uniforme de la sección
reforzada con respecto a las solicitaciones de carga.
Según el inciso 10.9.2 del ACI 318-08 el número mínimo de barras longitudinales
depende de la forma de la sección, así una columna rectangular requiere de
cuatro barras para poder armarse (debido a los cuatro lados y cuatro esquinas del
rectángulo) y una columna circular requiere de seis para poder formar de la mejor
manera la geometría deseada, en el comentario R10.9.2 con respecto a dicho
artículo se indica que cuando el número de barras en una disposición circular es
menor de ocho, la orientación de las barras afecta la resistencia a momento de
columnas cargadas excéntricamente y esto debe considerarse en el diseño, es
decir no se debería de considerar que la resistencia será igual en cualquier eje
aún cuando haya aparente simetría.
Aunque no es parte del desarrollo de un diagrama de interacción, algo muy
importante que indirectamente tiene que ver con el refuerzo longitudinal lo indica el
inciso 7.10.5.3 del ACI 318-08 y es el hecho en una columna rectangular existan
23
barras de refuerzo separadas a más de 6in (15cms) de una esquina o gancho del
estribo, en esta situación es necesario el adicionar eslabones o cualquier estribo
especial que permita que ninguna barras posea una distancia mayor a la indicada
de una esquina de estribo o eslabón. Con esto se evita el pandeo de las barras de
refuerzo longitudinal de acero.
Figura 2. Configuraciones de refuerzo a corte de acuerdo a la configuración del refuerzo longitudinal.
Fuente: Nilson (1,999).
1.4. EL CÁLCULO DE LOS MOMENTOS Y LAS CARGAS AXIALES.
Previo a la elaboración de los diagramas de interacción se requiere el conocer la
teoría de cómo se obtiene cada par momento-carga axial de acuerdo a cada eje
neutro supuesto en la sección.
Tomando como base los supuestos generales del Diseño de Estructuras de
Concreto las premisas bajo las cuales se basarán los cálculos son los siguientes:
Las secciones planas de un elemento prismático tienden a permanecer
planas bajo la aplicación tanto de momentos flectores como de cargas
axiales.
24
El concreto llegará a condición de ruptura con una deformación unitaria de
0.003, y además toda parte de la sección de concreto en la zona de tensión
se considerará fisurada no contribuyendo así en la resistencia del elemento.
Los esfuerzos de compresión del concreto se distribuirán de forma uniforme
mediante el esfuerzo promedio 0.85f´c en una longitud “a” equivalente a la
longitud del eje neutro multiplicada por β (cuya magnitud variará de acuerdo
al valor de la resistencia del concreto).
El esfuerzo al que se someterá el acero posterior a una deformación
unitaria εy (deformación de fluencia) será fy (esfuerzo de fluencia), es decir
se empleará la curva elasto-plastica del acero.
Considerando estas premisas se procede inicialmente a calcular el valor de los
esfuerzos del refuerzo longitudinal de acuerdo al eje neutro supuesto.
1.4.1. LA COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES
Para cualquier par momento-carga existirán deformaciones en los elementos de la
columna (acero de refuerzo y concreto de la sección) que no son independientes
uno del otro y que se producen de acuerdo a la carga solicitada a resistir.
Esta dependencia de deformaciones viene marcada por el principio que afirma que
las secciones planas de los elementos sometidos a momentos y carga axial
tienden a permanecer planas. A través de esto se puede afirmar mediante un
simple análisis trigonométrico que a mayor distancia del eje neutro (eje en el que
la sección posee deformación cero y por ende esfuerzo cero) los elementos
estarán sometidos a mayor esfuerzo para poder generar la deformación requerida
para mantener la sección plana.
Lo anterior es básico e importante para definir el esfuerzo al que está sometido
cada elemento para cada interacción momento-carga axial.
25
Figura 3. Análisis de compatibilidad de deformaciones con un eje neutro C.
Fuente: Elaboración propia.
1.4.2. EL EQUILIBRIO EN LA SECCIÓN
Debido a que la sección se encuentra en condición de equilibrio estático el
momento generado por los esfuerzos internos de compresión y tensión con
respecto al eje central de la sección debe de ser equivalente al momento flector
“M” aplicado en la sección, adicionalmente la sumatoria de fuerzas axiales
(compresión menos tensión) debe de ser equivalente a la carga “P” aplicada a la
sección.
De esta forma es posible calcular tanto los momentos como la carga axial que
conjugue deformaciones para un eje neutro propuesto y equilibrio estático en la
sección, para ejemplificarlo se muestra la siguiente figura:
Figura 4. Carga aplicada con el uso de la compatibilidad de deformaciones para calcular fuerzas internas.
Fuente: Nilson (1,999).
26
La figura anterior muestra una carga aplicada una excentricidad “e”, dicha
excentricidad genera un momento flector en la sección con lo cual se generarán
esfuerzos de tensión. En esta figura se muestra el principio de compatibilidad de
deformaciones donde a través de una sección deformada en diagonal se muestran
las deformaciones de cada uno de los elementos (acero y concreto) requeridas
para que la sección se mantenga plana, observando que a mayor distancia desde
el eje neutro se producen mayores deformaciones unitarias.
Para el cálculo de las deformaciones unitarias se emplean datos conocidos y
trigonometría, los parámetros conocidos son la deformación unitaria del concreto,
la longitud del eje neutro propuesto y las distancias de cada elemento con
respecto a la fibra más lejana de concreto a compresión.
Así por ejemplo si se quiere calcular la deformación εs se emplea la siguiente
relación:
(1-3)
Se puede despejar para εs y obtener:
(1-4)
Para conocer el esfuerzo al que se somete la barra basta con aplicar la siguiente
ecuación:
(1-5)
Donde:
fs= esfuerzo del acero.
Es= módulo de elasticidad del acero (29000 KSI).
εs= deformación unitaria del acero.
fy= esfuerzo de fluencia del acero.
27
La figura también muestra como las deformaciones generan distinta clase de
esfuerzos y fuerzas en los elementos de la sección los cuales al tener direcciones
opuestas generan un momento neto con respecto al eje central en respuesta al
momento generado por la carga con excentricidad, como se mencionó la suma de
dichas fuerzas internas debe de ser igual en este caso a Pn.
Para la sección anterior el equilibrio estaría dado por las siguientes relaciones:
(1-6)
(1-7)
Donde:
f´c= Resistencia a la compresión del concreto.
a= profundidad del eje neutro medida desde la fibra más lejana del concreto
sometido a compresión.
b= base de la sección.
h= altura de la sección.
d´= recubrimiento de las barras de refuerzo en la zona sometida a compresión.
d= distancia entre las barras de refuerzo sometidas a tensión y la fibra más lejana
de concreto sometido a compresión.
A´s y As= Área de refuerzo en la zona a compresión y tensión respectivamente.
f´s y fs= esfuerzo al que se someten las barras de refuerzo en las zonas de
compresión y tensión respectivamente.
La figura y discusión anterior mostraron el proceso general para cálculo de
momento y carga axial que resiste una sección de acuerdo al eje neutro evaluado.
El procedimiento es válido para el caso de columnas circulares.
28
1.5. CREACIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Como se planteó anteriormente existe una forma de calcular el momento
resistente en conjunto con la carga axial para un eje neutro “C” propuesto. El
diagrama de interacción consiste en establecer varios puntos a través del
establecimiento de distintos valores del eje neutro, obteniéndose así varios puntos
(momento, carga axial) del diagrama los cuales limitan la resistencia de la sección,
el momento se grafica en el eje “X” u horizontal y la carga axial se grafica en el “Y”
o vertical.
Aunque se pueden calcular (de hecho la guía incluye su cálculo) los puntos
Momento-Carga Axial a Tensión no se considera dentro del diagrama de
interacción por la predominancia que tienen las cargas axiales a compresión
dentro de las demandas de diseño para columnas.
Cada uno de los puntos momento-carga axial debe de ser multiplicado por el
factor Ø (0.65 para refuerzos transversal por estribos, 0.75 para refuerzo
transversal zunchado), obteniéndose de esta forma la curva del diagrama de
interacción con factores de reducción según el código ACI 318-08.
Otro aspecto a considerar es que la carga axial no podrá ser mayor a Pnmax
establecidos por las ecuaciones 1-1 para columnas con refuerzo transversal
espiral o bien 1-2 las columnas con estribos.
Finalmente hay que establecer que existe una zona del diagrama donde la flexión
empieza a predominar en el elemento y se permite un aumento lineal del factor Ø
hasta 0.90 en el punto donde la carga axial resistida es 0. Si se tiene una
solicitación de carga axial P y un momento M y está dentro del diagrama se puede
afirmar que la sección resistirá dichas cargas.
Todo lo anterior se ve reflejado en la figura 5 que muestra un diagrama de
interacción de la sección (en color azul) y un diagrama de interacción con factores
de reducción de capacidad dados por el ACI 318-08 (en color rojo).
29
1.5.1. LAS ZONAS DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
El diagrama de interacción tiene dos zonas importantes de distinguir, la zona
donde el aumento en carga axial reduce la capacidad a momento y la zona donde
el aumento en la carga aumenta la capacidad a momento.
En la figura 5 se observa una línea no continua que divide el diagrama de
interacción en las dos zonas mencionadas, en la primera la tendencia es a fallar
por aplastamiento del concreto, en la segunda por la deformación del acero al
comportarse de forma aproximada como un elemento a flexión.
Figura 5. Diagrama de interacción de la sección y diagrama de interacción con capacidad reducida.
Fuente: Elaboración propia.
Reconocer cada una de las zonas es importante por varios motivos, pero para
efectos de los procedimientos de esta guía se resaltan dos aspectos: primero para
identificar Pb y Mb (Carga Axial Balanceada y Momento Balanceado) que es el
punto de transición entre zonas (intersección de la línea discontinua y los
diagramas) y además donde teóricamente el concreto fallaría a compresión al
mismo tiempo que la barra de acero a tensión más alejada del eje neutro llega a la
fluencia, segundo en la zona a flexión a partir del menor valor entre 0.1f’c*Ag y
Ø*Pb el valor de Ø puede aumentar linealmente hasta 0.90 en el punto donde la
carga axial es cero (intercepción del diagrama con el eje horizontal).
P
M
(Ø Mb, Ø Pb) (Mb, Pb)
Pnmax
Zona de falla por flexión
Diagrama de Interacción
Diagrama de Interacción reducido
Zona de falla por compresión
30
1.6. LA FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL
Las solicitaciones de carga en una columna muchas veces no incluyen sólo un
momento con respecto a un eje principal. Generalmente al ser los marcos a
momento sistemas estructurales tridimensionales poseen momentos con respecto
a los dos ejes principales, esta situación genera el caso llamado FLEXO
COMPRESIÓN BIAXIAL.
Figura 6. Flexo compresión en ambos ejes principales y superficies de interacción.
Fuente: Nilson (1,999).
Como se observa en la figura anterior el efecto de una carga axial con momentos
en cada uno de los ejes genera excentricidades con respecto a ambos ejes
(figuras (a) y (b)) los cuales al ser cantidades vectoriales pueden obtener una
resultante que generará un momento con respecto a un eje que no es paralelo a
ninguno de los lados de la sección (figura (c)).
La resultante de dichas excentricidades posee un ángulo “λ” con respecto al eje
principal “y”. Dicho ángulo representa ahora el plano donde se puede desarrollar
un diagrama de interacción bidimensional, el procedimiento es similar al descrito
anteriormente donde se requiere variar el eje neutro y encontrar las fuerzas
resultantes del acero y concreto sometido a compresión y realizar sumatoria de
31
momentos con respecto a cada uno de los ejes principales, para obtener el
momento resistente Mnx y el momento resistente Mny.
La principal dificultad de este método radica en dos situaciones; la primera es que
la geometría de deformaciones y el área de concreto sometida a compresión
generan un problema matemático muy difícil de resolver y la segunda radica en
que el eje neutro no será perpendicular a la excentricidad de la carga, es decir
tenderá a formar un ángulo θ con respecto los ejes principales que no
necesariamente propiciará la existencia de un ángulo recto entre la excentricidad
resultante y el eje neutro. Es más si se quiere seguir variando el eje neutro para
dicha configuración el ángulo θ también cambiará generando un problema
matemático difícil de resolver manualmente.
Al realizar variaciones del ángulo λ se generan planos que poseen el mismo
ángulo con respecto al eje principal “X”, cada uno de esos planos genera la
superficie de interacción que se muestra en la figura (d). Es importante observar
que cuando el ángulo λ es equivalente a “0” se tiene el diagrama de interacción
con respecto al eje “X” y cuando dicho ángulo es 90° se obtiene el diagrama de
interacción con respecto al eje “Y”.
El caso expuesto anteriormente es válido tanto para columnas rectangulares como
circulares, con la diferencia de que la geometría de las columnas circulares
permite que cada diagrama de interacción en un eje λ sea igual o muy parecido al
diagrama en cada uno de los ejes principales. Entonces si se tiene un refuerzo
distribuido de forma muy simétrica en una columna de sección circular al tener
momentos con respecto a cada uno de los ejes principales se puede calcular
mediante suma vectorial (teorema de Pitágoras) una resultante y evaluarse como
que solo se tiene flexo compresión en un eje.
Para el caso de las columnas rectangulares existen varios métodos que permiten
calcular la resistencia a flexo compresión biaxial empleando los diagramas de
interacción con respecto a los ejes principales. Esta guía se basará en dos
métodos propuestos en la literatura de para el diseño de estructuras de concreto el
32
primero el método de la carga recíproca, el segundo el método del contorno de
carga.
1.6.1. METODO DE LA CARGA RECÍPROCA
Previo a desarrollar el método hay que entender el concepto de excentricidad (e).
Se entiende por excentricidad como la relación entre el momento con respecto a
un eje principal y la carga axial a compresión. Dicha relación puede interpretarse
como la distancia desde el eje en la cual al colocarse la carga axial puede
generarse un momento flector con respecto a dicho eje. Si nombramos como eje X
al eje horizontal y eje Y al eje vertical entonces la excentricidad con respecto a
cada eje se puede expresar mediante las siguientes ecuaciones.
(1-8)
(1-9)
Obsérvese que la excentricidad en el eje X se relaciona con el momento con
respecto al eje Y. Esto es porque para generar un momento con respecto al eje Y
la carga P debe de estar colocada de forma perpendicular a dicho eje es decir en
la dirección del eje X.
Mediante lo anterior se puede plantear una superficie de interacción que relacione
las excentricidades con el inverso de la carga, es decir si con una superficie de
interacción de momento-carga axial se obtiene una serie de coordenadas en la
superficie de Mx, My, P ahora se puede generar una nueva superficie que
relacione los mismos parámetros pero mediante ex, ey, 1/P. Dicha representación
se observa en la siguiente figura.
33
Figura 7. Superficie de Interacción mediante puntos ex, ey y el inverso de la carga axial.
Fuente: Nilson (1,999).
Se observa en la figura anterior que el inverso de la carga axial máxima (cuando
los momentos son cero) es el punto más bajo en la superficie de interacción.
Este método propuesto por B. Bresler en 1960, se basa en lo siguiente: suponga
un plano que une los puntos A, B y C (el punto A esta representado por las
coordenadas (ex, 0, 1/Pny0) es decir la excentricidad con respecto al eje X de las
solicitaciones de carga y el inverso de la carga axial máxima que podría resistirse
si solo se tuviera flexión con respecto al eje Y, el punto B representa la misma
situación pero con la excentricidad con respecto al eje Y junto con el inverso de la
carga axial máxima si la flexión fuera únicamente con respecto al eje X y el punto
C el inverso de la carga axial máxima) dicho plano es una aproximación a la
superficie real de falla (en la figura S2) entre dichos planos. Al tener el plano
concavidad hacia arriba (la pendiente en cualquier punto del plano S2 tiende a
crecer conforme crece ex y ey) el plano aproximado ABC estará por arriba de la
superficie real de falla. Como el eje vertical está representado por el inverso de la
carga cualquier punto del plano ABC tendrá una carga axial menor que el plano
real de falla sobre el que se encuentra.
34
Mediante la aplicación de geometría, Bresler demostró que el inverso de la carga
axial que se puede resistir con excentricidades ex y ey está dado por la siguiente
ecuación:
(1-10)
Donde:
ØPn= Carga axial máxima que se puede resistir para las excentricidades dadas ex
y ey en la sección.
ØPnxo= Carga axial máxima que se pudiera resistir si la excentricidad solicitada
fuera solo ey.
ØPnyo= Carga axial máxima que se pudiera resistir si la excentricidad solicitada
fuera solo ex.
ØPo= Carga axial concéntrica máxima que resiste la sección sin ser reducida por
otro factor más que Ø.
ØPnmax= Carga axial máxima que puede resistir la sección establecida mediante
las ecuaciones (1-1) o (1-2).
La diferencia primordial entre ØPo y ØPnmax es el hecho de que la primera no se
multiplica por el factor de reducción adicional que depende de la clase de refuerzo
transversal colocado (0.80 para columnas con estribos, 0.85 para columnas con
zunchos), mientras que la segunda sí se ve afectada por dichos factores.
Mediante lo expuesto anteriormente se puede calcular sí una columna con
solicitaciones de carga P, Mx y My resiste. El procedimiento consiste en:
Determinar las excentricidades ex y ey mediante las ecuaciones (1-8) y (1-
9).
Con el diagrama de interacción con respecto al eje X calcular mediante la
excentricidad ey la carga axial máxima (Pnxo) que se resiste con ey.
35
Con el diagrama de interacción con respecto al eje Y calcular mediante la
excentricidad ex la carga axial máxima (Pnyo) que resiste con ex.
Calcular la carga axial concéntrica (Po) máxima que se puede aplicar a la
sección sin reducir la capacidad por el factor que depende el refuerzo
transversal.
Multiplicar cada valor (Pnxo, Pnyo y Po) por Ø.
Emplear la ecuación de carga recíproca de Bresler y calcular ØPn.
Comparar con que dicho valor de ØPn sea menor que el límite ØPnmax,
tomando el menor de los dos valores como ØPu.
Comparar P con ØPu y si el primero es menor que la resistencia que ofrece
la sección se considera un diseño satisfactorio.
Es muy importante considerar de que cuando P es menor que el valor límite
0.10Po, la flexión biaxial predomina el elemento por lo que es más preciso ignorar
la carga axial y diseñar el elemento como que estuviera sometido solo a flexión.
1.6.2. MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA
Si se observa en la figura 6, existe un contorno de carga que es paralelo al plano
Mx-My en la superficie de interacción y que depende de la carga axial que es
solicitada resistir. En dicho plano se observan los valores Mnyo y Mnxo los cuales
representan los momentos máximos que se resistiría aplicando la carga P
solicitada y si solo existiera flexión con respecto a un eje, para el caso del eje Y
Mnyo y para el caso del eje X Mnxo.
Bresler propone que dicho contorno de carga se puede aproximar mediante una
ecuación adimensional que se conoce como la ecuación del contorno de cargas.
(1-11)
Donde:
Mx= Momento con respecto al eje X que debe de resistir la sección.
My= Momento con respecto al eje Y que debe de resistir la sección.
36
Mnxo= Momento máximo que resistiría la sección con la carga P y con flexión
únicamente con respecto al eje X.
Mnyo= Momento máximo que resistiría la sección con la carga P y con flexión
únicamente con respecto al eje Y.
α= Exponentes que dependen de la geometría de la columna, la distribución del
refuerzo, las resistencias de los materiales y la clase del refuerzo transversal.
Bresler recomienda que el valor de α para columnas rectangulares y cuadradas
oscile entre 1.15 y 1.55.
Con lo anterior se puede resolver un caso de flexo compresión biaxial dadas
solicitaciones de carga P, Mx y My siguiendo los siguientes pasos:
Mediante el diagrama con respecto al eje X calcular el momento máximo
Mnxo que resistiría la sección con la aplicación de P si solo existiera flexión
sobre dicho eje.
Realizar lo anterior pero con respecto al eje Y calculando así Mnyo.
Multiplicar Mnxo y Mnyo por el factor Ø.
Proponer un valor de α que se adecue el caso, mientras menor sea más
conservador será el resultado.
Aplicar la ecuación (1-11).
Si se satisface la ecuación (1-11) entonces la sección es satisfactoria para
las solicitaciones.
37
CAPÍTULO 2: EL MODELO MATEMÁTICO PARA LA
ELABORACIÓN DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN.
2.1. MODELADO MATEMÁTICO PARA CÁLCULO DE COLUMNAS
CIRCULARES
El modelo para este tipo de columnas es propuesto por el autor de esta guía,
debido a que no se han encontrado ecuaciones ni planteamientos para el cálculo
del refuerzo de una columna circular, se tomará como base la teoría del rectángulo
equivalente pero distribuido en una forma semicircular en la sección de concreto.
Para el modelado de las ecuaciones que se emplearán para desarrollar el cálculo
de refuerzo longitudinal en columnas circulares se empleará el siguiente de base
la siguiente figura:
Figura 8. Modelo de columna circular para planteamiento de ecuaciones.
Fuente: Elaboración propia.
Aunque se presentan solo cinco grupos de barras el modelo se hace válido para
cualquier grupo de barras que se desee establecer. Inicialmente se debe de
observar que As2, As3 y As4 están formados por dos barras ya que al ser
simétrica su colocación estarán a una misma distancia del eje neutro, presentando
así una misma deformación unitaria y por lo tanto un mismo esfuerzo.
Inicialmente definiremos los siguientes parámetros:
D= diámetro de la sección.
38
C= valor de la distancia del eje neutro a la fibra más lejana de la sección de
concreto sometida a compresión. Este valor se varía para obtener distintos pares
de momento-carga axial para generación del diagrama de interacción.
a= valor de la distancia desde la fibra más lejana a compresión de la sección de
concreto donde actúa el rectángulo equivalente a compresión, dicho valor se
puede calcular mediante la siguiente ecuación:
(2-1)
El factor β variará con la resistencia del concreto y según el código ACI 318-08
viene siendo especificado mediante la siguiente ecuación:
(2-2)
Donde f´c (resistencia a compresión del concreto) debe de estar en unidades psi.
R= radio interno de la sección el cual se calcula de la siguiente forma.
(2-3)
θ= ángulo existente entre un arco que une a cada una de las barras, que se puede
calcular dividiendo 2π entre el número de barras.
(2-4)
La coordenada Y de una barra se puede encontrar mediante la siguiente ecuación:
(2-5)
Donde se emplea el radio interno de la sección y se multiplica por el número de
barra que representa el acero que se encuentra en dicha coordenada, hay que
mencionar que la barra de acero As1 se contaría como la barra número 0 y que a
partir de ahí la barra As2 sería la 1, la As3 la 2 y así sucesivamente.
39
Se calculan las coordenadas hasta As5 para este modelo puesto que aquí se
formara medio arco circular (π radianes) y las demás barras empezarán a repetir
el posicionamiento “Y” de forma regresiva, y como se mencionó las áreas As2,
As3 y As4 incluyen el área de dos barras.
Posteriormente se establece la compatibilidad de deformaciones.
Figura 9. Compatibilidad de deformaciones en la sección con el eje neutro propuesto C.
Fuente: Elaboración propia.
Para poder calcular la deformación unitaria con respecto al eje neutro planteado
para cada barra primero es necesario conocer su distancia al eje neutro, cada
distancia estará denotado por “Ln” la cual será la distancia de la n-nésima barra de
acero con respecto al eje neutro. En la figura anterior se muestra L4 es decir la
distancia entre las barras de As4 y el eje neutro. Dicha distancia se puede calcular
mediante la siguiente relación.
(2-6)
Es importante mencionar que hay que respetar el signo de “y” en el plano
establecido, siendo este positivo arriba del eje horizontal y negativo en el caso de
encontrarse por debajo.
40
Ln obtendrá un valor negativo si las barras están debajo del eje neutro, por lo cual
se tomara como deformación y esfuerzos negativos el efecto de la tensión que se
genera como consecuencia de encontrarse por debajo de dicho eje.
Para encontrar la deformación unitaria εn correspondiente a cada barra se emplea
simple trigonometría pudiendo obtener la siguiente relación aplicando triángulos
semejantes:
(2-7)
Cuando se conozca el valor de deformación unitaria para cada barra su esfuerzo
(fsn) se puede calcular mediante las siguientes ecuaciones:
(2-8)
(2-9)
Siendo fy el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo.
Mediante esto se puede calcular la fuerza axial neta que el acero realiza para el
valor propuesto de eje neutro:
(2-10)
Siguiendo la metodología propuesta la tensión tendrá signo negativo y la
compresión tendrá signo positivo por lo cual sus valores se pueden sumar
algebraicamente sin necesidad de revisar signos.
El momento resultante de las barras con respecto al eje centroidal horizontal viene
dado por la siguiente ecuación:
(2-11)
Nuevamente hay que respetar el signo de esfuerzo y posición “y” para cada área,
se observará que esfuerzos a compresión por arriba del eje centroidal horizontal
generan un valor positivo en momento, esfuerzos a tensión (con signo negativo)
41
por con distancia “y” por debajo del eje (con signo negativo) tendrá también un
momento positivo, lo cual es consistente con el efecto de fuerzas con sentidos
opuestos separados por una distancia perpendicular, las cuales generan un
momento en un mismo sentido en un punto intermedio entre ambas fuerzas. Así
mismo, una fuerza a tensión por arriba del eje (con signo negativo) tendrá un
brazo positivo dando una contribución negativa al momento; esto será consistente
con el hecho de generar una tendencia al giro opuesta a las dos situaciones
descritas anteriormente.
Hasta ahora sólo se trató la contribución de las barras de acero, el modelo
también debe de incluir el cálculo de la contribución de la sección de concreto
sometida a compresión.
Considerar la siguiente figura que solo incluye las dimensiones que afectan a la
zona a compresión.
Figura 10. Sección de concreto sometida a compresión en un eje neutro de valor C.
Fuente: Elaboración propia.
Primero se define a F como la menor distancia de la zona sometida a compresión
al eje centroidal horizontal (x). Se calcula mediante la siguiente ecuación:
(2-12)
-X1 X1
42
F es al mismo tiempo una recta que intercepta la ecuación que define el círculo de
la sección. El límite de la sección puede ser definido mediante la siguiente
relación:
(2-13)
Para calcular la fuerza que la sección a compresión del concreto realiza es
necesario definir el área en términos de una integral, si se toma un pequeño
elemento de ancho ∆x se observa que el alto de dicho elemento está formado por
la función del círculo menos el valor de la recta F, así el pequeño segmento tiene
un área definida por:
Haciendo una sumatoria de los elementos de ancho ∆x y aprovechando la simetría
de la sección el área se puede definir mediante:
Esta integral se puede reescribir de la siguiente forma:
El término que falta integrar se realizará mediante sustitución trigonométrica
empleando la siguiente figura:
43
Mediante sustitución trigonométrica se puede rescribir la variable X y el diferencial
dx de la siguiente forma:
Se puede reescribir la integral de la siguiente forma:
(2-18)
Se puede factorizar el término dentro del radical para obtener la siguiente
expresión:
(2-19)
El término 1 – sen2θ es equivalente a cos2θ, con lo cual la integral se reduce a:
(2-20)
Para poder realizar la integral hay que recordar que cos2θ= 1/2 +1/2*cos2θ:
(2-21)
Resolviendo la integral se obtiene lo siguiente:
(2-22)
Se puede emplear la propiedad de que sen2θ=2senθcosθ:
(2-23)
44
Se puede volver a expresar las funciones trigonométricas en términos del
parámetro evaluado X aplicando las relaciones que muestra el triangulo de donde
se dedujeron las expresiones:
(2-24)
Ahora se puede agregar este resultado a la integral inicial obteniendo que:
(2-25)
Hay que evaluar los límites de X desde 0 a X1, con esto el área está definida por:
(2-26)
La ecuación define el área del sector circular con respecto al eje neutro C
planteado, hay que recordar que F depende de la variación del valor C, D es el
diámetro definido de la sección y X1 es la distancia en el eje X donde la función
del círculo tiene un valor en Y de F.
(2-27)
Si se observa la matemática de este modelo la función es válida hasta que F valga
0, cuando el valor de βC sea mayor qué D/2 entonces la función dejará de tener
validez, para deducir una ecuación de área es necesario identificar que el área
total del círculo está dividida en dos porciones, la primera es la que requerimos
calcular estando sometida a compresión para valores de F negativos, la segunda
es un área que está por debajo de F y que es idéntica a un área de sector circular
formado cuando se tiene el mismo valor de F pero con signo positivo. Denotando
como A2 el área del sector de concreto que está sometido a tensión y como A el
área que interesa calcular para obtener la compresión de la sección se puede
obtener la siguiente relación:
45
(2-28)
Esta relación se muestra en la siguiente figura:
Figura 11. Sección de concreto sometida a compresión en un eje neutro de valor “a” mayor a D/2.
Fuente: Elaboración propia.
El área A2 se puede calcular con la ecuación (2-26) con el cuidado de que el
término -2FX1 se debe de colocar como +2FX1 ya que el valor de F será negativo,
así el área A de concreto a compresión para esta situación viene siendo dada por:
(2-29)
Con las ecuaciones (2-26) y (2-29) se puede calcular el área de la sección de
acuerdo a los valores que obtenga el parámetro F; cuando F sea un valor positivo
se usará la (2-26) caso contrario se emplea la (2-29).
Una vez definida el área es posible calcular la fuerza de la sección mediante la
siguiente ecuación:
(2-30)
Donde 0.85f´c representa el esfuerzo promedio del rectángulo equivalente al que
está sometida la zona a compresión del concreto.
A
X1
A2
46
Hasta este momento sólo se implementaron los pasos para el cálculo de la carga
axial, para poder calcular el momento hay que observar inicialmente dos aspectos.
El primer el momento que se obtendrá será con respecto al eje centroidal
horizontal, este momento se puede definir mediante:
(2-31)
Donde 0.85f´c*A representa la fuerza y B el centroide del área que está sometida
a compresión con respecto a dicho eje.
El segundo aspecto es que de la estática básica hay que tener en cuenta que el
producto entre él área y la distancia de su centroide a un eje daba la cantidad
conocida como PRIMER MOMENTO denotada por Q. Así se puede reescribir la
ecuación (2-31) de la siguiente forma:
(2-32)
Ahora la dificultad radica en encontrar el valor de Q de la sección sometida a
compresión para un valor C del eje neutro.
Observando la figura 10 se observa que una pequeña área ∆A tiene un brazo “b”
desde su centroide hasta el eje horizontal de la sección. El primer momento para
ΔA puede ser definido mediante:
(2-33)
Donde el primer termino representa ∆A y el término que multiplica a ∆A representa
la distancia del centroide de dicha área con respecto al eje X de la sección circular
“b”. El término “b” se puede sumar para obtener la reordenar la ecuación (2-34):
(2-34)
47
Las dos partes entre paréntesis son equivalentes a una diferencia de cuadrados
por lo cual finalmente el diferencial de primer momento puede expresarse como:
(2-35)
Se puede aprovechar la simetría y realizar la siguiente integral que dará el primer
momento de la sección:
(2-36)
Esta integral más sencilla de evaluar que el caso del área propicia el siguiente
resultado:
(2-37)
Nuevamente sustituyendo para evaluar entre los límites 0 y X1 se obtiene la
función de primer momento:
(2-38)
Con X1 evaluado mediante la ecuación (2-27) y F evaluado mediante la ecuación
(2-12). Los primeros momentos poseen la propiedad en una figura simétrica como
lo es la sección circular de que cualquier valor absoluto de F (es decir tanto para
F negativo como positivo) el valor de Q será igual para cada caso, principalmente
porque Q depende del cuadrado de F (siempre será positivo) y además que X1 se
tomará como un valor positivo que también depende de F al cuadrado, además
debido al hecho de Q de la sección debe de ser Cero con respecto a su eje
horizontal o vertical, así la suma de los primeros momentos de las dos áreas en
las que se reparte una sección deben de ser equivalentes pero con signos
opuestos. Si al igual que en el caso de la deducción del área cuando F es negativo
se supone una figura como la 11, el primer momento de la sección a compresión
deberá de ser igual al de la sección de concreto fisurada (A2 en dicha figura) pero
con signo opuesto, al observar que A2 tiene la misma magnitud de primer
48
momento que si fuera establecida con F positivo se concluye que tanto F como –F
(+4 y -4 por dar un ejemplo) poseerán un mismo primer momento con respecto al
eje de la sección circular.
Otra observación es que el primer momento siempre será una cantidad positiva,
los que lleva a la conclusión de que el momento que produce una sección de
concreto siempre será positivo en la sección, esto debido que en todo caso será
una fuerza de compresión con una distancia positiva al eje horizontal de la
columna. Con lo anterior se puede establecer que el momento que genera el
concreto a compresión con respecto al eje centroidal horizontal de la sección
estará dado por:
(2-39)
Sumando tanto las contribuciones del acero como las del concreto se obtiene la
resistencia de la sección a momento y carga axial para el eje neutro planteado.
Finalmente hay que multiplicar el momento y la carga axial a compresión por el
factor Ø para obtener la resistencia de la sección:
(2-40)
(2-41)
49
2.2. MODELADO MATEMÁTICO PARA CÁLCULO DE COLUMNAS
RECTANGULARES
El desarrollo de las ecuaciones para el modelo de cálculo de columnas
rectangulares se realizará tomando como base la siguiente figura:
Figura 12. Sección de columna rectangular para establecimiento de modelo de cálculo.
Fuente: Elaboración propia.
De la sección anterior hay que identificar los siguientes parámetros:
H= altura de la sección.
B= dimensión del lado perpendicular a la altura (base de la sección).
S= espaciamiento entre barras de refuerzo.
C = valor del eje neutro medido desde la fibra más lejana de concreto sometido a
compresión.
a= se define mediante la ecuación 2-1.
dn= distancia desde la fibra más lejana de concreto sometido a compresión hasta
el centro del área de refuerzo Asn.
Asn= Área de refuerzo del conjunto de barras que se encuentran a una distancia
dn.
50
Para analizar la resistencia en primer lugar hay que encontrar el esfuerzo al que
está sometida cada una de las áreas de acero, para ello se emplea el esquema de
compatibilidad de deformaciones.
Figura 13. Análisis de compatibilidad de deformaciones y fuerzas resultantes.
Fuente: Elaboración propia.
Se observa en la figura 13 que para el eje neutro C, As1 y As2 estarán sometidas
a tensión, mientras que As3 estará sometida a compresión (C1), por otro lado se
representa el rectángulo de esfuerzos equivalentes que actúa en la profundidad
“a” con un valor de 0.85f´c.
Mediante un simple análisis trigonométrico se obtiene que:
(2-42)
Al igual que el caso de las columnas circulares se observa que si una barra se
encuentra por encima del eje neutro (en zona de compresión) εn será positivo,
caso contrario indicará un esfuerzo de tensión, esto concuerda con los resultados
que se obtendrían al evaluar d1, d2 y d3, donde para el esquema planteado ε1
será positivo (sometido a compresión), ε2 y ε3 serán negativos (barras sometidas
a tensión).
Cuando se conozca el valor de deformación unitaria para cada barra su esfuerzo
(fsn) se puede calcular mediante las siguientes ecuaciones:
51
(2-43)
(2-44)
Siendo fy el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo.
Mediante esto se puede calcular la fuerza axial neta que el acero realiza para el
valor propuesto de eje neutro:
(2-45)
Para poder calcular el momento de cada barra es necesario encontrar la distancia
de cada área hacia el eje centroidal “X”. Dicha distancia (Dn) se determina
mediante:
(2-46)
El momento resultante de las barras con respecto al eje centroidal horizontal viene
dado por la siguiente ecuación:
(2-47)
Realizando un análisis similar que el de la columna circular se puede observar que
una barra por debajo del eje neutro (sometida a tensión) poseerá un valor de
momento positivo si Dn es negativo (por debajo del eje centroidal horizontal), una
barra sometida a compresión (arriba del eje neutro) poseerá momento positivo si
se encuentra por arriba del eje centroidal horizontal (Dn positivo), y una barra a
compresión que se encuentre abajo del eje centroidal tendrá momento negativo,
es decir genera la tendencia contraria a las dos situaciones descritas inicialmente.
Para calcular la contribución a la resistencia de la sección de concreto sometida a
compresión solo basta con aplicar las siguientes ecuaciones:
(2-48)
Donde:
52
0.85f´c= esfuerzo al que está sometida la sección de concreto sometida a
compresión.
B= la base de la columna definida en la figura 12.
a= profundidad del rectángulo equivalente de esfuerzos para un eje neutro dado
“C” calculado con la ecuación 2-1.
Para calcular el momento resistente que aplica la sección de concreto sometida a
compresión se aplica:
(2-49)
Donde:
F= fuerza a compresión aplicada en la sección de concreto determinada mediante
ecuación 2-48.
H= altura de la sección.
a= profundidad del rectángulo equivalente de esfuerzos para un eje neutro dado
“C” calculado con la ecuación 2-1.
Como en el caso de la columna de sección circular para calcular el Momento y
Carga Axial resistente se aplican las siguientes ecuaciones:
(2-50)
(2-51)
53
CAPÍTULO 3: FUNCIONES DE EXCEL REQUERIDAS PARA
DESARROLLO DE HOJA DE CÁCULO DE REFUERZO
LOGITUDINAL EN COLUMNAS
Excel es una herramienta desarrollada por Microsoft para el desarrollo de hojas de
cálculo. Funciona a través del ingreso de datos con los cuales se realizan
automáticamente una serie de procesos matemáticos y lógicos que permiten
obtener resultados de forma inmediata. Para lograr lo anterior, es necesario
establecer una serie de procedimientos en una Hoja Electrónica en la cual se
pueden establecer parámetros variables como lo son los datos de entrada que
queremos evaluar, y obtener resultados dependientes de dichos parámetros.
Para realizar la hoja de cálculo es requerido conocer las siguientes funciones que
facilitan los procedimientos para obtener diagramas de interacción. La versión de
Excel empleada en esta guía es la 2007 en español.
3.1. LISTAS DESPLEGABLES
Permiten obtener a través de una lista un valor entre varios posibles establecidos
por el usuario, las listas permiten estandarizar resultados. Para establecer una
lista se deben de seguir los siguientes pasos:
Figura 14. Establecer valores que se requieren desplegar en una lista
54
Figura 15. En la barra de menú, opción Datos, seleccionar la función validación de datos.
Figura 16. Seleccionar para el criterio de evaluación la opción lista, luego seleccionar el cuadro de origen.
Figura 17. Seleccionar los datos que se requieren despliegue la lista, presionar dos veces ENTER.
55
Figura 18. Lista despegable de valores predeterminados.
3.2. FUNCIÓN LÓGICA SI...ENTONCES
Esta función es muy importante para el establecimiento de criterios de selección.
Se estructura indicando primero una condición comparativa, luego de acuerdo al
resultado evalúa entre dos respuestas, la primera es para el caso de que se
cumpla una condición de la comparación, la segunda en caso de que se cumpla la
otra condición.
La siguiente serie de figuras ejemplifican como se usa.
Figura 19. Aplicación de la función SI.
Figura 20. Aplicación de la función SI y comparación de resultados.
56
Hay que observar de la figura 19 que para que una decisión sea texto, es
requerido escribir el texto entre comillas (“HOLA”, “ADIOS”).
3.3. FUNCIONES MAX Y MIN
Las funciones se emplean para poder encontrar el valor máximo entre una serie
de datos a través de compararlos (MAX), o bien, de la misma forma encontrar el
valor mínimo de dicha serie (MIN). Su uso se ejemplifica en las siguientes figuras:
Figura 21. Cálculo del valor máximo en una serie de datos.
Figura 22. Cálculo del valor mínimo en una serie de datos.
Figura 23. Resultados de la comparación para encontrar valor máximo y mínimo.
3.4. FUNCION DE VALOR ABSOLUTO.
Esta función esta descrita por el comando ABS, se aplica para encontrar el valor
absoluto de un número, es muy útil al querer hacer comparaciones marginales
entre varios datos puesto que muchas veces para tener un resultado se requiere
que dichas comparaciones sean positivas.
57
Figura 24. Aplicación de la función Valor absoluto a una serie de datos.
Figura 24. Resultado de la aplicación de la función ABS.
3.5. SUMA DE LISTA
Esta función esta descrita por el comando SUMA, su aplicabilidad y utilidad es
apreciada en media que se tiene varios datos volviendo tedioso escribir la suma
de la forma A+B+C+D....+Z, en vez de eso mediante esta función es posible
obtener este resultado aplicando esta función a una LISTA completa de datos para
obtener el resultado.
58
Figura 24. Aplicación de la función SUMA, ambas listas fueron sumadas de forma vertical.
3.6. FUNCIÓN BUSCARV
Dentro de todas las funciones especiales de EXCEL esta quizá tiene un contenido
más complicado para entender. La función BUSCARV se emplea para buscar un
valor específico en la primera columna de una matriz de tabla y devuelve, en la
misma fila, un valor de otra columna de dicha matriz de tabla. En la función hay
que ingresar como comparador lógico que consiste en escribir FALSO o 0 (cero)
para encontrar coincidencias exactas con el valor de entrada, o VERDADERO si
no importa si dicho valor es uno aproximado al valor de entrada, en caso de ser
verdadero se devolverá el correspondiente al primer valor menor al dato de
entrada.
Las figuras siguientes ejemplifican el uso de esta función:
Figura 25. Aplicación de la función BUCARV APROXIMADA.
59
Si se observa la figura anterior el primer dato en la función BUSCARV es 1.5, el
dato de entrada que debe de estar en la primer columna, el rango E5:G15 indica
que se buscará dentro de toda la matriz que incluye COL1, COL2 Y COL3, el
tercer dato se indica el número de columna en donde se requiere buscar el dato
de respuesta al valor de entrada, finalmente al escribir VERDADERO la función
debería de regresar por coincidencia aproximada, el primer número menor a 1.5
que en este caso es 1 será el empleado para obtener una respuesta que para esta
situación debería ser 16.
Si en dado caso se hubiese colocado en el indicador de columna el valor 3 se
hubiera evaluado la función para COL 3 y el resultado sería 0.
Figura 26. Aplicación de la función BUCARV APROXIMADA con su respuesta.
Sí en lugar de haber empleado el parámetro comparativo VERDADERO se
hubiera FALSO no se habría obtenido respuesta al no haber en COL1 un valor
igual a 1.5.
3.7. OTRAS FUNCIONES
La otra clase de funciones que se requieren conocer son muy básicas y no se
desarrollan en esta guía, ya que se trata de suma simple, multiplicación, división,
resta, el uso de corchetes y paréntesis, el empleo de > ó < para hacer
comparaciones, etc.
60
Un último aspecto importante a considerar en las fórmulas es el uso del signo $, al
hacer referencia a una celda y colocar antes de la literal y el numeral el signo $ se
tiene la propiedad de que este parámetro se mantendrá constante al copiar una
fórmula, esto es muy útil cuando se quiere hacer referencia a un dato que no
variará para cualquier cálculo. En el desarrollo de la hoja de cálculo al aparecer
este signo será indicio de un parámetro que permanece fijo para cualquier caso.
61
CAPíTULO 4: ELABORACIÓN DE HOJA DE CÁLCULO EN EXCEL
PARA CÁLCULO DE REFUERZO LONGITUDINAL EN COLUMNAS
4.1. COLUMNAS CIRCULARES
Para el desarrollo de la hoja de cálculo de columnas circulares a través de
diagramas de interacción se empleará la siguiente metodología:
Se habilita en un libro cuatro hojas de cálculo para poder desarrollar por
pasos ordenados el cálculo del diagrama de interacción.
Emplear una hoja para colocar información de las barras de acero tal como
su diámetro y su área.
Emplear una hoja para colocar toda la información acerca del modelo a
evaluar: geometría, tipología de materiales, cantidad de barras a colocar,
número de barras a colocar, tipo de refuerzo transversal, solicitaciones de
carga que se quieren evaluar.
Emplear una hoja para calcular varios puntos del diagrama de interacción.
Desarrollar el gráfico en una hoja adicional e independiente de las demás
para poder manejarla de una forma más fácil.
Algo que es importante de observar en cada figura que se muestre acerca del
procedimiento de elaboración de la hoja de Excel es las celdas a las que se hace
referencia, puesto que toda la hoja esta encadenada, al hacer en una ecuación
referencia a cierta celda puede observarse en las distintas figuras a que celda se
refiere para tratar de tener más claro el procedimiento.
4.1.1. ELABORACIÓN DE TABLA CON DATOS DE BARRAS DE ACERO
La finalidad de esta parte es poder tener una tabla ordenada por el número de
barra y el área de acero que representa de acuerdo a la cantidad de barras que se
toman, en esta guía esta hoja se llamará DATOS BARRAS
Se puede desarrollar como la figura siguiente:
62
Figura 27. Hoja de cálculo con información acerca de las barras de refuerzo.
4.1.2. HOJA DE INGRESO DE DATOS CIRCULAR
En la hoja de ingreso de datos se deben de considerar las dimensiones de los
elementos, los materiales a emplear, el recubrimiento de la sección, etc.
El código de colores es importante, observar en la figura 28 que el color
anaranjado son todos aquellos parámetros variables, y el color negro con texto
blanco indican los primeros cálculos y decisiones.
Figura 28. Datos de entrada para evaluar la resistencia de la sección.
63
Adicionalmente ver que los parámetros variables se despliegan en listas, esto con
la finalidad de estandarizar resultados y poder predeterminar que datos se quieren
evaluar. Los parámetros de entrada que se evaluarán (en paréntesis los rangos
propuestos) son los siguientes: resistencia del concreto (3000PSI Y 5000PSI), el
esfuerzo de fluencia del acero (40000PSI Y 60000PSI), el diámetro de la sección
(10in y 50in), el recubrimiento de la sección, y el tipo de refuerzo transversal que
puede ser o por medio de zunchos o bien por estribos.
El número de barras a emplear varía entre 6 y 12, este dato es el más importante
porque identifica cuantas parejas de As se forman y permiten desarrollar la hoja
para el caso máximo y mínimo en número de barras de refuerzo. De forma similar
que lo observado en la figura 8, para el caso de tener seis barras se tendría cuatro
grupos de área, As1 y As7 estarían formados por una barra, As2 y As3 estarán
formados por dos barras, por otro lado en caso de tener 12 barras, se tendrían 7
grupos de barras, As1 y As7 estarán formados por una barra mientras que desde
As2 hasta As6 sería áreas formadas por dos barras. La hoja se desarrolla para
considerar un único tipo de barra de refuerzo, es decir si se colocan 6 barras
número 10 las seis serán de ese mismo diámetro.
Por lo anterior el proceso de cálculo se hará para 7 grupos de barras para que
pueda tener la capacidad de evaluar cualquier combinación de 6 a 12 barras de
refuerzo.
Como se ha mencionado cada uno de los modelos posibles de armado incluyen
número pares de 6 a 12 barras, con esto para el desarrollo de esta guía los
modelos posibles son 4 y se representan en la siguiente figura:
64
Figura 29. Modelos de armado de refuerzo posibles para el ejemplo desarrollado.
Como se observa en la figura 29, para efectos de diseño de la hoja de cálculo la
barra inferior (en el eje y negativo) será considerada siempre como el área de
refuerzo número 7. Figura 29 (a) caso de escoger seis barras de refuerzo, figura
29 (b) en caso de escoger 8 barras de refuerzo, figura 29 (c) en caso de
seleccionar 10 barras de refuerzo, figura 29 (d) en caso de seleccionar el armado
de 12 barras de refuerzo. En este punto es importante recordar que si se
emplearán seis barras de refuerzo sería necesario realizar un diagrama en cada
eje, por ilustración se mantendrá en las posibilidades de diseño pero el resultado
tiende a ser inexacto.
En la figura 28 se observa que los cuadros en negro con texto blanco presentan
los primeros análisis de datos, el colocarlos permite observar desde el inicio si se
está proponiendo una sección que cumpla con los límites de cuantía establecidos
por el ACI 318-08. Estos se realizan mediante los siguientes cálculos:
ÁREA DE LA BARRA=BUSCARV(G20,'DATOS BARRAS'!B4:C13,2,0)
65
Mediante este comando se busca el área de una barra número 10(G20) en la
matriz de datos de barras de la hoja DATOS BARRAS, en la columna 2 (la
columna que da el área de una sola barra) y con coincidencia exacta. El área de
las barras se calcula como el producto del área de una barra del número deseado
multiplicando por el número de barras pares entre 6 y 12 que se desean colocar.
La cuantía de refuerzo se calcula mediante:
CUANTÍA DE ACERO EMPLEADA=F26/F27*100
La cual indica la división entre el área de todas las barras y el área gruesa de la
sección, multiplicada por cien para obtener un porcentaje.
ANALISIS DE LA CUANTÍA= SI(Y(F28<=8,F28>=1),"VÁLIDA","NO VÁLIDA")
Esta función analiza entre los rangos máximos de cuantía (6% máximo y 1%
mínimo, máximo recomendado 4%) indicando si esta dentro de estos rangos que
la cuantía es válida, caso contrario la respuesta será que se ha propuesto una
cuantía no válida. También es necesario agregar en la hoja de datos de entrada
las solicitaciones de carga que se requiere evaluar.
Figura 30. Ingreso de solicitaciones de carga.
En la misma hoja se colocan las solicitaciones de Mx1, Pu1, My1, el cuadro en
negro indica el cálculo de la excentricidad empleando las ecuaciones 1-8 y 1-9.
MT es el momento resultante de la suma vectorial de Mx1 y My1. El comando de
cálculo de Mt es el siguiente:
66
Mt=RAIZ(J35^2+P35^2)
4.1.3. HOJA DE CÁLCULO DE DIAGRAMA DE INTERACCIÓN.
Inicialmente para desarrollar la hoja se deben de calcular los siguientes
parámetros:
Figura 31. Parámetros de análisis iniciáles.
Los parámetros 3, 4, 7, 8 son datos de entrada, el factor Beta se calcula mediante
la ecuación 2-2, el módulo de elasticidad es un valor constante para cualquier
clase de acero, el radio interno se determina mediante la ecuación 2-3, el ángulo
de cambio se calcula empleando la ecuación 2-4, las cargas de aumento de factor
Ø se calculan ya sea por medio de 0.1f´c*Ag (Parámetro 12) o bien Ø *Pb
(parámetro 13) tomándose el menor para cálculos. Pb es la carga axial que se
produce en la falla balanceada, se puede calcular un eje neutro de falla
balanceada mediante la siguiente fórmula:
(4-1)
Donde D es el diámetro de la sección y fy el módulo de fluencia en psi.
Con estos datos se puede calcular el primer punto (momento-carga axial) que
corresponde a la falla balanceada.
67
Figura 32. Cálculo de esfuerzos para los siete grupos de barras.
Para el cálculo del valor “a” se emplea el siguiente comando:
a=SI(C37*$F$5<=$F$6,C37*$F$5,$F$6)
Observando la figura 31 y la figura 32 compara si la multiplicación entre C y β
(C37*$F$5) es menor o igual que el Diámetro de la Sección (<=$F$6), encaso de serlo
se procede a emplear la ecuación 2-1, de lo contrario se establece el diámetro
como el valor de “a”.
4.1.3.1. ESFUERZOS Y RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL ACERO
Para el cálculo del esfuerzo Fs1 se emplea el siguiente comando:
Fs1=SI(ABS(0.003*((-$F$6/2+$F$12*SENO(PI()/2+$F$13*0))+C37)/C37*$F$9)<=$F$10,0.003*((-
$F$6/2+$F$12*SENO(PI()/2+$F$13*0))+C37)/C37*$F$9,SI(0.003*((-
$F$6/2+$F$12*SENO(PI()/2+$F$13*0))+C37)/C37*$F$9>$F$10,$F$10,-$F$10))
Nuevamente se refiere a una comparación que se explica de la siguiente manera:
como se puede observar en color rojo la fórmula empleada es la 2-8 donde se
calcula el esfuerzo en una barra (el término -$F$6/2 representa a D/2, el término
+$F$12*SENO(PI()/2+$F$13*0) representa a la posición “Y” dada por la ecuación 2-5
observando de la figura 31 que se está haciendo referencia al Radio Interno y al
Ángulo de cambio multiplicado por el número de barra, al tratarse de As1 el
número de barra es “0” como se mencionó anteriormente, $F$9 hacen referencia al
módulo elástico), sí el valor absoluto del esfuerzo es menor que $F$10 (hace
referencia al esfuerzo de fluencia en la figura 31) el valor del esfuerzo se calcula
con las fórmulas 2-8 o 2-9 (el signo de εs se calcula automáticamente); caso
contrario el esfuerzo será fy y solo falta determinar si es a compresión o tensión, el
resultado será el obtenido por la condición en azul que nuevamente hace
68
referencia a una comparación, en este caso al no evaluar el valor absoluto se
evalúa directamente el signo del esfuerzo, si este es positivo se tomará fy, caso
contrario la última condición regresará –fy.
Para los demás esfuerzos el procedimiento a seguir es exactamente el mismo, con
la diferencia de que el número de barra va aumentando, en el caso de As2 el
número de barra es 1, en el caso de As7 el número de barra es 6 sin embargo hay
que mencionar que aunque la cantidad de barra será menor a 12 (el número
máximo considerado en este caso) As7 siempre representará la barra colocada
sobre el eje –Y entonces debe de ser considerada de forma especial al no colocar
su posición en función del ángulo, su coordenada en Y tendrá un valor de –radio
interno (-$F$12). Su función de esfuerzo será:
Fs7=SI(ABS(0.003*((-$F$6/2-$F$12)+C37)/C37*$F$9)<=$F$10,0.003*((-$F$6/2-
$F$12)+C37)/C37*$F$9,SI(0.003*((-$F$6/2-$F$12)+C37)/C37*$F$9>$F$10,$F$10,-$F$10))
A continuación se calculan los momentos y la carga axial que se obtienen por la
deformación de las barras. Para los momentos hay que considerar la posición y el
esfuerzo recordando que cuando existe una barra sometida a tensión por debajo
del eje centroidal habrá momento positivo al tener una coordenada negativa
multiplicando un esfuerzo negativo, así también hay que considerar cualquier otro
caso mencionado anteriormente de esfuerzos y posición.
Figura 33. Cálculo de momentos de cada área.
Se observa de la figura 33 que las áreas a emplear para AS1 Y AS7 que son las
que representan una sola barra y las barras de AS2 a la AS6 que representan a
las áreas que están conformadas por dos barras.
El comando empleado para cálculo de momentos es el siguiente:
69
M1=SI(0*$F$13>=PI(),0,E37*L37*$F$12*SENO(PI()/2+$F$13*0)/12000)
Hay que resaltar que el ángulo de cambio ($F$13) está siendo multiplicado por
cero al tomar de ejemplo el comando para As1 cuyo número de área es cero.
Nuevamente se realiza una comparación, esta es importante puesto que si se
emplean menos barras que el máximo especificado (12 barras para este caso) el
ángulo de cambio tenderá aumentar puesto que al emplear la ecuación 2-4 un
menor número de barras implicará un mayor ángulo, entonces si se emplean
menos barras que las 12 colocadas como límite habrán barras con las que estaría
calculando sin que realmente se estén colocando en el diseño, por ejemplo si se
colocan 8 barras empleando la ecuación 2-4 el ángulo de cambio será π/4, si se
quiere evaluar para As5 implicaría la existencia de 2 barras adicionales a las 8 del
modelo (As1 y As7 siempre se calcularán como el área de una barra y As2, As3 y
As4 son tres secciones que incluyen dos barras de acero). Al ser As5 el área
número 4 y multiplicar por el ángulo de cambio se obtendría un valor de π, como
consecuencia el valor del momento será cero, en conclusión al no modelar dicha
cantidad de barras la hoja automáticamente le brindará un valor de cero a su
contribución a momento. Caso contrario cada una de las áreas tendrá un producto
número de área-ángulo de cambio menor a π y sí se evaluará el momento que
genera. La respuesta a la decisión marcada en verde representa el producto del
esfuerzo por el área, multiplicado por la coordenada Y con respecto al eje
centroidal de la sección circular. Nuevamente debe de observarse que el valor del
número de área aumentará para cada caso de momento, As2 tendrá un valor de 1,
As3 tendrá un valor de 2, etc. Al igual que para el cálculo de los esfuerzos As7
siempre deberá de contarse, por lo cual la fórmula de cálculo de su contribución al
momento resultante tendrá un brazo fijo equivalente a –Radio Interno. Así el
momento de As7 será:
M7=K37*L37*-$F$12/12000
En todas las ecuaciones se divide el momento entre 12,000 lbs-in debido a que se
requiere el momento en unidades kips-ft para tener cantidades más pequeñas
como resultado.
70
Para el cálculo de la contribución de fuerzas de las barras de acero se realiza otra
serie de cálculos individuales como se muestra en la siguiente figura.
Figura 34. Cálculo de fuerzas axiales de cada área de refuerzo.
Para calcular P2 se emplea el siguiente comando:
P2=SI(1*$F$13>=PI(),0, F36*$M$36/1000)
Nuevamente se recalca que al tratarse de As2 el número de área es 1 por ende la
condición implica que si 1 por el ángulo de cambio θ es mayor que π entonces es
un área que no está contemplada en el diseño por lo cual su contribución a la
fuerza resistente es nula, caso contrario la fuerza es equivalente al esfuerzo (F36)
por el área ($M$36) (2 veces desde As2 hasta As6 y una vez para As1 y As7), un
signo negativo indica una fuerza de tensión y un signo positivo indica una fuerza
de compresión. El dividir esta fuerza entre 1000lbs implica convertir las unidades
de fuerza a kips.
Al igual que en el caso de momentos y esfuerzos la carga axial de As7 siempre
existirá al colocarla como la barra que estará ubicada en el eje “Y” negativo, el
comando para P7 no es más que:
P7=K36*L36/1000
En este caso se multiplica el área de una barra (L36) por el esfuerzo de As7 (K36).
Sumando algebraicamente los valores de P1 hasta P7 se obtiene la carga axial
total resistente en la sección por las barras de acero.
71
4.1.3.2. RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL CONCRETO
Para realizar el cálculo de la contribución a momento y resistencia a carga axial de
la sección a compresión de concreto se emplean las siguientes columnas y
comandos de cálculo:
Figura 35. Cálculo de contribución a la resistencia de la sección de concreto sometida a compresión.
El comando para el cálculo de cada una de las variables es el siguiente:
F=$F$6/2-D36
F se calcula mediante la ecuación 2-12, es decir la resta de la mitad del diámetro
($F$6/2) y el valor de “a”.
X1=RAIZ(ABS(($F$6/2)^2-V36^2))
Se evalúa mediante la aplicación de la ecuación 2-27, haciendo referencia a la raíz
del valor absoluto de la resta entre el cuadrado de la mitad del diámetro y el
cuadrado del valor F. La razón de tomar el valor absoluto es que en Excel, al
querer sacar la raíz de un número que se aproxima a cero puede haber error por
aproximación en los cálculos generando que sea “casi cero” pero con signo
negativo (-0.00000001 por ejemplo) lo cual da una raíz indeterminada.
A=SI(V36>0,$F$6^2/4*ASENO(2*W36/$F$6)+W36*RAIZ($F$6^2/4-W36^2)-2*W36*V36,$F$6^2/4*(PI()-
ASENO(2*W36/$F$6))-W36*RAIZ($F$6^2/4-W36^2)-2*W36*V36)
El área se determina mediante una decisión, como se observa en caso de que F
sea positivo (V36>0) entonces se aplicará la ecuación 2-26 descrita mediante la
función en rojo (en donde $F$6 hace referencia al diámetro de la sección y W36
hace referencia al valor de X1 para el caso propuesto), caso contrario se aplica la
72
ecuación 2-29. En esta ecuación se emplea la función ASENO (arcoseno) como el
medio de calcular el seno inverso requerido en ambas ecuaciones.
Q=($F$6/2)^2*W36-1/3*W36^3-V36^2*W36
El primer momento se calcula empleando la ecuación 2-38, haciendo referencia al
diámetro de la sección ($F$6), el valor de X1 (W36) y el valor de F (V36). Esta
ecuación se calcula de forma directa ya que como se mencionó tanto para –F
como para +F el valor de Q será el mismo.
Calculando cada uno de estos parámetros es posible obtener la contribución a la
resistencia que propicia la sección de concreto, el momento que la sección de
concreto resiste se calcula mediante:
MCONCR=Y36*0.85*$F$11/12000
En este cálculo se emplea la ecuación 2-39 haciendo referencia al primer
momento para el caso de eje neutro propuesto (Y36), multiplicado por el esfuerzo
promedio a compresión de 0.85f´c (0.85*$F$11).
A continuación se calcula la resistencia total de la sección.
MOMENTO=SUMA(N36:T36)+Z36
Si se observa la figura 33 la sumatoria de las celdas N36 hasta la T36 es el
equivalente al momento resistido por las barras de refuerzo, mientras que al
observar la figura 35, Z36 se refiere al momento que resiste el concreto MCONCR.
CARGA =SUMA(AB36:AH36)+X36*$F$11*0.85/1000
Si se observa la figura 34 la sumatoria de celdas desde la AB36 hasta la AH36
representa la contribución a la resistencia de carga axial que las barras de
refuerzo proporcionan, mientras que el comando X36*$F$11*0.85/1000 implica el
uso de la ecuación 2-30 donde se hace referencia al área de la sección fisurada
de concreto (X36) y el esfuerzo promedio al que se somete la sección
($F$11*0.85).
73
Con lo anterior se ha calculado para el valor propuesto de “C” las resistencias a
carga axial y momento para la condición de eje neutro, ahora se requiere calcular
varios puntos del diagrama de interacción.
4.1.3.3. DETERMINACIÓN DE VARIOS PUNTOS DEL DIAGRAMA DE
INTERACCIÓN
Previo a la determinación de varios puntos del diagrama hay que determinar la
carga a tensión máxima y la carga a compresión máxima que la sección puede
resistir en teoría para ello se copian las celdas de cálculo de todo el cálculo para
Cb y se sigue la siguiente metodología.
Figura 36. Cálculo de tensión y carga a compresión máxima.
Para la condición de carga máxima el valor de C será aquel donde “a” sea igual al
Diámetro de la sección. Este valor se puede calcular mediante la división del
diámetro y β. Los esfuerzos no requieren ser calculados, debido a que se supone
que la carga axial está centrada en el eje longitudinal de la sección teóricamente
cada una de las barras de refuerzo deben de estar en fluencia y con esfuerzos de
compresión, por ende se observa que el esfuerzo en cada celta de Fs el valor de
fy, en este caso dado por la celda F10, debido a que al realizar el análisis
trigonométrico con a=D algunas barras no son sometidas a fy es necesario que a
esta fila se le coloque para cada esfuerzo un valor equivalente a fy ($F$10). Todos
los demás cálculos se realizan de la misma forma que la fila de falla balanceada
por lo cual en la hoja se puede copiar el formato de las celdas de condición
balanceada y se obtendrán los resultados correspondientes a cada variación del
eje neutro.
Por otro lado para la carga a tensión máxima se supondrá que toda la sección, de
concreto está fisurada por la cual el eje neutro se encontraría prácticamente en un
74
valor de F equivalente a D/2. Para esto se coloca un valor de C muy cercano a
cero (0.001in en la figura 36) observando que los esfuerzos de tensión en las
barras tienden a –fy (-F10). Nuevamente cada una de las celdas automáticamente
calculará la resistencia para esta condición.
Ahora bien, para calcular distintos puntos del diagrama de interacción se requiere
variar el valor de C, debido a que es posible realizar un aumento progresivo a
partir del valor propuesto de C en tensión máxima se agregará un valor de
aumento o “paso” a cada valor C que generará el aumento automático de la
profundidad del eje neutro conforme se copien las celdas.
Figura 37. Cálculo de varios puntos del diagrama de interacción variando C.
Para el valor de C en la celda C39 se aplica el siguiente comando:
C en celda C39= C38+0.1
El resultado será para el nuevo eje neutro será el valor del eje neutro anterior
(C38) más el “paso” que se desea colocar que en este caso es 0.1 in.
Mediante este simple procedimiento de variación del eje neutro se puede copiar el
conjunto de celdas hasta el número de valores de C deseados, en el caso de la
hoja se variará hasta C= 100in (el doble del diámetro máximo que queremos
diseñar, para el caso de la hoja 50in), con lo cual se requerirán cerca de 1000 filas
75
que fácilmente se pueden obtener copiando la fila 39 (ver figura 37) y que seguirán
el procedimiento anteriormente descrito.
4.1.3.4. APLICACIÓN DE LOS FACTORES DE REDUCCIÓN DE CAPACIDAD
Para la aplicación de los factores de reducción (0.75para columnas zunchadas y
0.65 para columnas con estribos) hay que considerar que hay un tramo a partir del
menor valor entre 0.65Pb y 0.1f´c*Ag donde el valor de Ø puede aumentar al
dominar la condición de flexión hasta un valor de 0.9 en el punto donde la carga
axial resistida es cero. Al considerar un crecimiento lineal del factor Ø hay que
emplear la siguiente ecuación:
(4-2)
Donde:
Ø= Factor de reducción según código ACI 318-08.
Ma= Valor del momento del diagrama de interacción sin factores de reducción
para la menor carga axial entre 0,65Pb y 0.1f´c*Ag.
Mp=0= Valor del momento del diagrama de interacción sin factores de reducción
donde la carga axial es cero.
M= Momento donde se quiere determinar el factor de reducción Øn
correspondiente cuando este pertenece a la zona donde la carga axial disminuye
entre el menor valor de Ø *Pb y 0.1f´c*Ag hasta 0.
Mediante la anterior relación es posible identificar el aumento del factor de
reducción a medida que la carga axial disminuye hasta cero, su demostración se
muestra en el anexo 2 de esta guía.
Empleando lo anterior se procede a lo siguiente:
76
Figura 38. Cálculo de la función de cambio para el factor de reducción Ø
Primero, hay que observar que este procedimiento se puede desarrollar en la
parte posterior al mostrado en la figura 31. Segundo, observar que se hace
referencia en las celdas F14 y F15 al cálculo de las cargas a partir de las cuales
aumenta el factor Ø, los comandos empleados son los siguientes:
CARGA DE AUMENTO FACTOR Ø1=0.65*AI36
En el comando anterior AI36 hace referencia a la CARGA calculada para el valor
de C equivalente al eje neutro, se puede observar esta celda en la figura 34.
CARGA DE AUMENTO FACTOR Ø2 =0.1*PI()*(F6/2)^2*F11/1000
Donde se observa que se hace referencia al área gruesa de la sección
(PI()*(F6/2)^2) multiplicado por la resistencia a la compresión del concreto (F11).
En el procedimiento 13 mostrado en la figura 38 inicialmente se observa el cálculo
de LA CARGA PARA AUMENTO DEL FACTOR Ø aplicando el siguiente
comando:
CARGA APARA AUMENTO DE Ø=MIN(F14:F15)
Dónde se selecciona el mínimo valor entre 0.65Pb y 0,1f´c*Ag.
77
Después de lo anterior, hay que ordenar los momentos y las cargas axiales
resistentes en aquellos que son afectados por la modificación del factor Ø y
aquellos que no lo son. Para lograr esto se requiere crear dos columnas que
identificarán aquel conjunto de filas que se encuentran en el rango de aumento del
factor Ø, en estas columnas se identificarán tanto las parejas de resistencia
momento – carga axial cuya carga sea menor que la CARGA PARA AUMENTO
como aquellos donde la carga axial es negativa (TENSIÓN) teniendo el cuidado de
afirmar que esto será posible ya que la tensión no será tomada en cuenta para el
diseño de la columna.
Figura 39. Cálculo de la resistencia a la carga y momento con factores de reducción.
Como se muestra en la figura 39 las primeras dos columnas agregadas (AJ Y AK)
nos indicarán aquellos momentos que son afectados por la modificación del factor
de reducción Ø y las que no lo son, para identificar cada uno de los casos hay que
desarrollar los siguientes comandos:
CARGA COLUMNA AJ =SI(AI36<$F$18,AI36,"No Afecta")
MOMENTO COLUMNA AK =SI(AJ36="No Afecta","No Afecta",AA36)
El ejemplo anterior fue tomado de la fila 36, donde en el primer caso se compara si
la carga resistente de la sección (AI36) es menor al valor de la CARGA PARA
AUMENTO DE Ø ($F$18), sí en dado caso lo es entonces devolverá el valor de la
78
carga resistente de la sección (posteriormente se verá la utilidad de la devolución
de este valor); caso contrario devolverá el texto NO AFECTA, es decir su factor de
reducción será el indicado por el CODIGO ACI 318-08. Para el caso de la columna
AK verifica si la carga axial es afectada por el aumento del factor Ø comparando si
la CARGA en la columna AJ (AJ36 para este caso) tiene el mensaje “No Afecta”,
sí en dado caso lo tiene entonces el momento resistente del eje neutro propuesto
en la fila 36 no será afectado por el aumento en el factor de reducción y devolverá
también el mensaje “No Afecta”, caso contrario se devolverá el valor del momento
resistente de la sección (AA36) que se puede observar en la figura 35.
Al definir lo anterior se calcula el momento donde la carga axial es cero:
Mp=0=BUSCARV(0,AJ36:AK1040,2,VERDADERO)
Empleando la función BUSCARV se está haciendo referencia a la matriz que
incluye las columnas de CARGA Y MOMENTO que se observan en la figura 39,
esta matriz va desde la fila 36 (donde se encuentra la falla balanceada) hasta la
fila 1040 que es la última requerida para las iteraciones propuestas en este
ejemplo de desarrollo del manual, se buscará el valor de cero en la primera
columna (correspondiente a la carga axial) o el valor anterior más próximo y se
devolverá el valor correspondiente en la columna 2 (AK) es decir el momento
resistente donde la carga axial es cero o casi cero. El parámetro VERDADERO
puesto a la condición BUSCARV indica que existirá una aproximación en caso de
no encontrarse el valor exacto 0 en la columna AJ. En esta comparación las
celdas que tengan el mensaje No Afecta no son tomadas en cuenta
automáticamente por Excel.
A continuación se encuentra el valor del Momento cuando la carga axial es
equivalente a CARGA PARA AUMENTO DE Ø mediante el siguiente comando:
Ma=MAX(AK36:AK1040)
Como se observa, se calcula el máximo valor de Momento en la Columna AK36, y
como se recuerda, en esta columna todos aquellos momentos cuya pareja de
79
carga sea mayor a la CARGA PARA AUMENTO DE Ø tendrá el mensaje “No
Afecta” no siendo tomados en cuenta de forma automática por Excel, por el
contrario aquellas cargas que son menores sí serán tomadas en cuenta, al
observar la tendencia de la tabla en la cual conforme el eje neutro aumenta
aquellas cargas que son menores a la CARGA PARA AUMENTO DE Ø también
aumentarán por lo que el valor de la carga más grande en ser menor a la CARGA
PARA AUMENTO será el último en mostrar un valor numérico y no el texto “No
Afecta”, al mismo tiempo hay que recordar que en el diagrama de interacción
todos aquellos valores de momento inferiores a Mb (Momento en la condición
balanceada) son mayores conforme aumenta la carga axial por ende el momento
mayor de la columna AK será el correspondiente a la carga axial mayor de la
columna AJ y por lo tanto el momento más grande que será afectado por el
cambio del factor de reducción Ø.
Figura 40. Ubicación del Momento Ma y la carga axial a partir de la cual Ø puede aumentar hasta 0.9.
Observar de la figura anterior que el valor de Pa es 296.59 KIPS y no 308 KIPS
como se muestra en la figura 38, la razón es que 296.59 KISP es el primer valor
de carga axial menor a la CARGA PARA AUMENTO DE Ø.
Nuevamente al ver la figura 38 se calcula la pendiente de cambio de la función
que da distintos valores a Ø, refiriéndose a la ecuación 4-2 está pendiente se
calcula de la siguiente forma:
Ma
80
(4-3)
El comando de Excel empleado es el siguiente:
J=-SI('INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!E13="ZUNCHO",0.2,0.25)/(F20-F19)
La comparación realizada indica que se evalúa primero si la opción de refuerzo
transversal es Zuncho, en caso de serlo la diferencia entre Ø y 0.9 será 0.2, caso
contrario el resultado será 0.25, esta diferencia será dividida entre la diferencia de
Ma (F20) y Mp=0 (F19).
Por último, en la figura 38 se indica el cálculo de la CARGA AXIAL MÁXIMA
PERMISIBLE el cual se realiza de la siguiente forma:
Pnmax =SI('INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!E13="ZUNCHO",0.85,0.8)*SI('INGRESO DE DATOS
CIRCULAR'!E13="ZUNCHO",0.7,0.65)*AI37
Se realizan dos comparaciones, la primera implica determinar a través de la clase
de refuerzo transversal el factor de reducción de carga máxima acorde a las
ecuaciones 1-1 o bien 1-2, la segunda comparación implica el cálculo del factor de
reducción Ø acorde al ACI 318-08. Al multiplicarse cada uno de estos factores en
simultáneo con la CARGA resistida cuando a (profundidad del rectángulo de
esfuerzos equivalente) es igual a D (Diámetro de la sección) dada por la celda
AI37 se obtiene Pnmax.
Con lo anterior se puede proceder a calcular el factor Ø para cada pareja
momento resistido y carga axial. Para ello se referirá a la figura 39, en dicha figura
la columna AL indica el valor de Ø para cada caso, el comando empleado para el
cálculo de Ø es el siguiente:
Ø=SI(AK36="No Afecta",SI('INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$13="ZUNCHO",0.7,0.65),
SI(AJ36<0,0.9,0.9+$F$21*(AK36-$F$19)))
El comando anterior se describe de la siguiente forma: inicialmente hay una
condición, y es que el valor del momento resistido (AK36) no se vea afectado por
el cambio de factor, si se cumple entonces dependiendo de si el refuerzo
81
transversal es zunchado el factor será 0.75 caso contrario 0.65; por otro lado si la
carga si se ve afectada se realiza otra comparación, en este caso se analiza si la
carga axial es negativa (tensión), si esta lo es entonces al evaluar la ecuación de
CAMBIO DE Ø se obtendrían valores de Ø mayores a 0.90 lo cual no es posible
tomar en cuenta, entonces para esta condición automáticamente se otorgará un
valor de 0.90 al factor de reducción. Por último, si la carga es positiva se emplea la
ecuación 4-2 para el cálculo del factor modificado Ø (0.9+$F$21*(AK36-$F$19)) donde
se hace referencia a la pendiente de cambio ($F$21), al momento de la sección
(AK36 para la fila 36) y Mp=0 ($F$19).
4.1.3.5. PUNTOS DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN CON FACTORES DE
REDUCCIÓN.
Finalmente, al tener el valor de Ø junto con las resistencias a MOMENTO Y
CARGA AXIAL para cada eje neutro es posible calcular el valor de las cargas con
factores de reducción, el procedimiento consiste en simplemente multiplicar cada
resistencia por el factor Ø, teniendo cuidado de que el valor de la carga axial no
exceda a Pnmax (calculado en la celda F28 de la figura 38).
En la figura 39, la columna AM hace referencia a la resistencia a carga axial
mientras que la columna AN hace referencia a la resistencia a momento, los
comandos empleados son los siguientes:
P fila 36=SI(AL36*AI36<$F$28,AL36*AI36,$F$28)
M fila 36=AL36*AA36
La carga P se calcula mediante comparación, la condición que se evalúa es que el
producto entre Ø (AL36) y CARGA (AI36) sea menor a Pnmax ($F$28), sí se
cumple el valor de la carga resistida está dada por dicho producto, caso contrario
la carga axial resistida será Pnmax.
El cálculo de M es simplemente el producto del MOMENTO (AA36) y el factor de
reducción Ø (AL36).
82
4.1.4. ELABORACIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Para elaborar el diagrama de interacción se deben de seguir los siguientes pasos:
CREAR UNA GRÁFICA
Figura 41. Seleccionar en el menú Insertar la Opción Gráfica de Dispersión con líneas suavizadas.
Figura 41. Mover el gráfico a una hoja nueva.
Debido a que Excel genera un gráfico con cualquier cantidad de datos se debe
borrar todo el contenido para posteriormente seleccionar los datos que interesan
graficar.
83
Figura 42. Dar la opción seleccionar datos para edición de gráfico.
SELECCIONAR SERIE DE DATOS
Se crearán tres series de datos, en el primero se seleccionarán los momentos y
cargas axiales sin modificación, en la segunda serie se seleccionan los momentos
y cargas axiales modificadas con los factores de reducción Ø, y en el tercero una
línea que define la falla balanceada. Para crear una nueva serie de datos se
presiona el ícono de AGREGAR, donde luego se seleccionarán los valores que se
quieren graficar.
84
Figura 43. Selección de datos para Diagrama de Interacción con Factores de Reducción.
Al crear la primera serie de datos en los “Valores X de la Serie”, se deben de
seleccionar los momentos de la columna AN de la hoja de cálculo de los puntos
del diagrama de interacción desde la fila de tensión máxima (Fila 38) hasta la
última fila que se estableció, en “Valores Y de la Serie” se seleccionan los valores
de la columna AM (CARGA) desde la misma fila que la de los momentos.
Luego, se crea otra serie de datos pero en esta se seleccionan la CARGA AXIAL
Y EL MOMENTO sin reducción, para el caso de la hoja desarrollada en esta guía
el momento que se selecciona se encuentra en la COLUMNA AA de la hoja de
cálculo de los puntos del diagrama, por otro lado la carga axial se encuentra en la
columna AI de la misma hoja.
Figura 44. Selección de datos para Diagrama de Interacción sin Factores de Reducción.
85
Por último, se crea una serie de datos donde se unen los puntos de falla
balanceada tanto con factores de reducción como sin estos factores, con lo
anterior se ha creado el diagrama de interacción que se muestra en la siguiente
figura.
Figura 45. Diagrama de interacción para columnas circulares.
EDICIÓN DE LOS EJES
Es importante mencionar que los ejes coordenadas se deben de seleccionar para
que sean siempre positivos para que el diagrama muestre las situaciones de
compresión deseadas, esto se puede lograr editando los ejes y dando la opción
que el valor mínimo del eje sea cero, lo que se muestra en la siguiente figura:
86
Figura 46. Edición de los ejes del diagrama.
Para obtener la opción anterior hay que seleccionar cada eje e ingresar a DAR
FORMATO A EJE, donde se fija el mínimo valor de cada eje como cero.
4.1.5. CÁLCULO DE RESISTENCIA
Para el cálculo de la resistencia de la columna basta con ingresar el punto de
carga 30 para Pu1 y Mt en la gráfica del diagrama de interacción, si este punto se
encuentra dentro del diagrama a sección propuesta es adecuada para las
solicitaciones de carga.
Para realizar lo anterior se deben de seguir los siguientes pasos:
Figura 47. Seleccionar Agregar en la opción de origen de datos del diagrama de interacción.
87
Figura 48. Ingresar como el punto X el valor de Mt, y como punto Y el valor de Pu1.
Al seguir los pasos anteriores y dar aceptar se graficará automáticamente un
punto en el diagrama de interacción, este punto representa la solicitación de
carga, al comparar si se encuentra dentro del DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
CON REDUCCIÓN DE CAPACIDAD se puede afirmar si el diseño es satisfactorio
o no para los requerimientos de resistencia.
Figura 49. Graficado de las cargas solicitadas dentro del diagrama de interacción.
88
Para las cargas solicitadas y la sección propuesta según el diagrama de
interacción anterior, el refuerzo es satisfactorio, aunque se puede economizar
reduciendo el área de acero de refuerzo o bien la resistencia de los materiales y
acercar el punto de carga solicitada al DIAGRAMA DE INTERACCIÓN CON
FACTOR DE REDUCCIÓN.
Siguiendo cada uno de los pasos descritos en esta sección es posible diseñar
elementos a flexo compresión biaxial con geometría circular. En la siguiente
sección se explica el procedimiento necesario para crear los diagramas de
interacción para secciones rectangulares.
4.2. COLUMNAS RECTANGULARES.
Para el desarrollo de la hoja de cálculo de columnas rectangulares a través de
diagramas de interacción se empleará la siguiente metodología:
Se habilita en un libro ocho hojas de cálculo para poder desarrollar por
pasos ordenados el cálculo del diagrama de interacción.
Emplear una hoja para colocar información de las barras de acero tal como
su diámetro, su área, etc.
Emplear una hoja para colocar toda la información acerca del modelo a
evaluar: geometría, tipología de materiales, cantidad de barras a colocar,
número de barras a colocar, tipo de refuerzo transversal, solicitaciones de
carga que se quieren evaluar.
Emplear una hoja para calcular varios puntos del diagrama de interacción
con respecto al eje “X” y otra para realizar el mismo cálculo pero con
respecto al eje “Y”.
Emplear una hoja para graficar el DIAGRAMA DE INTERACCIÓN CON
RESPECTO AL EJE “X” y otra para graficar el DIAGRAMA DE
INTERACCIÓN CON RESPECTO AL EJE “Y”.
Desarrollar en una hoja el procedimiento para cálculo de resistencias
máximas para cada eje y excentricidad dada.
Emplear una hoja para cálculos de resistencia BIAXIAL.
89
Al igual que para el caso del cálculo del diagrama de interacción para columnas
circulares hay que poner atención a cada celda referenciada puesto que el
ejemplo a desarrollar esta “encadenado” y cada figura tendrá relación con la figura
consecuente.
4.2.1. ELABORACIÓN DE TABLA CON DATOS DE BARRAS DE ACERO
Se realiza una hoja igual a la ilustrada para el caso de columnas circulares y se
referenciará como DATOS BARRAS.
4.2.2. HOJA DE INGRESO DE DATOS
Al igual que el caso de columnas circulares se deben de considerar las
dimensiones de los elementos, los materiales a emplear, el recubrimiento de la
sección, etc.
Se aplica nuevamente un código de colores donde se mantendrá el significado
anaranjado para datos de entrada, negro para cálculos preliminares y azul para
resistencia máxima a momento y carga axial de la sección.
Los parámetros de diseño se despliegan en listas, esto con la finalidad de
estandarizar resultados y poder predeterminar que datos se quieren evaluar.
Los parámetros de entrada que se evaluarán (en paréntesis los rangos
propuestos) son los siguientes: resistencia del concreto (3000PSI Y 5000PSI), el
esfuerzo de fluencia del acero (40000PSI Y 60000PSI), el recubrimiento de la
sección, la altura de la sección (10in – 50in), la base de la sección (10in – 50in), el
número de barras de esquina (4 barras una por vértice), la cantidad de barras
adicionales en dirección de la base (al ingresar un número el mismo número se
adicionará en el lado opuesto, es decir si se seleccionan 4 barras en cada arista
paralela a la base se adicionarán cuatro barras), la cantidad de barras adicionales
en la dirección de la altura (con las mismas características que en el caso de la
base), y el respectivo valor del número de barra para cada caso (paralelo a la
altura y base).
90
Figura 50. Datos de entrada para evaluar la resistencia de la sección rectangular.
El número de barras adicionales a emplear varía entre 0 y 6. Este dato reflejará
cuantos grupos de área se formarán para el cálculo de los diagramas de
interacción al analizar cada dirección, al igual que para el caso de las secciones
circulares existen dos grupos de barras que siempre se analizarán, As1 y As8
serán las áreas respectivas a la más cercana a la fibra más lejana sometida a
compresión, mientras que As8 representa el conjunto de barras más lejanas a
dicha fibra. Si por ejemplo se analiza la sección de 20x20 que se plantea en la
figura 50 al evaluar el eje neutro y los momentos con respecto al eje horizontal “X”
91
(paralelo a la base), las dos barras de esquina más las cuatro barras adicionales
en dirección de la base número 9 formarán As1, As8 estará formado por la misma
condición las dos barras de esquina inferiores más las cuatro barras número 9
inferiores, por otro lado cada grupo de barras desde As2 hasta As7 estará formada
por dos barras número 9 agregadas en la dirección de la altura y a una misma
distancia de dicho eje, al haber una adición de seis barras (en cada lado paralelo a
la altura) se forman seis pares de barras (uno para cada área). En el caso de
analizar el modelo en torno al eje “Y” el área As1 se tomará como las dos barras
de esquina del lado paralelo a la altura izquierdo más el área de las seis barras
adicionales en dirección de la altura, lo mismo sucede con As8, por otra parte
cada una de las cuatro barras adicionales en la dirección de la base (para cada
lado paralelo a la base) forman el conjunto de áreas desde As2 hasta As5
recordando que cada área corresponde a dos barras de acero equidistantes al eje
vertical “Y” (una por lado). Estos modelos se ilustran en la siguiente figura:
Figura 51. Ejemplo de modelo para analizar el diseño de una columna rectangular.
Los cuadros de color negro implican cálculos preliminares, inicialmente se muestra
como calcular el área de una barra:
ÁREA BARRA DE ESQUINA=BUSCARV(G20,'DATOS BARRAS'!B4:K13,2,0)
Mediante este comando se busca el área de una barra número 9 (G20) en la
matriz de datos de barras de la hoja DATOS BARRAS, en la columna 2 (la
92
columna que da el área de una sola barra) y con coincidencia exacta. Para cada
uno de los casos de área adicionales (BARRAS ADICIONALES PARALELOS A
LA BASE Y ALTURA) se debe de seguir el mismo procedimiento teniendo cuidado
que el número de la barra para el caso adicional a la base está en la celda G24
mientras que para el otro caso es G29 según la figura 50.
El espaciamiento entre barras se calcula mediante:
ESPACIAMIENTO ENTRE BARRAS PARALELAS A LA BASE = (E17-2*E13)/(E24+1)
ESPACIAMIENTO ENTRE BARRAS PARALELAS A LA ALTURA = (E16-2*E13)/(E29+1)
Para el primer caso se evalúa la resta entre la longitud de la base (20in) y dos
veces el recubrimiento (2*2.5in=5in) lo que da como resultado el espaciamiento
entre dos barras de esquina en la base (15in), posteriormente se divide entre el
número de espacios que es equivalente al número de barras adicionales en la
dirección de la base más uno (4+1=5) obteniendo para el caso evaluado 5in.
El segundo es el mismo procedimiento pero cambiando la longitud de la base por
la de la altura y el número de barras adicionales de la base por las de la altura.
Posteriormente se evalúa el área total de refuerzo:
ÁREA TOTAL DE ACERO = (4*E21+2*E24*E26+2*E29*E31)
Como se observa dicha área se obtiene multiplicando por cuatro el área de una
barra de esquina (4*E21) más dos veces el área total adicional en dirección
paralela a la base (2*E24*E26) adicionándole dos veces el área total adicional en
dirección paralela a la altura (2*E29*E31)
Con estos resultados se puede calcular la cuantía y al mismo tiempo realizar un
análisis de su validez:
CUANTÍA=F38/(E16*E17)*100
ANALISIS DE LA CUANTÍA= SI(Y(F40>=1,F40<=8),"VÁLIDA","NO VÁLIDA")
93
La cuantía es la división entre el área total de acero (F38) y el área gruesa de
concreto (E16*E17), esta cuantía es analizada si se encuentra entre el rango de
1% mínimo y 6% máximo (SI(Y(F40>=1,F40<=8)) y si se cumple el resultado será
una cuantía “VÁLIDA”, caso contrario el resultado será una cuantía “NO VÁLIDA”.
Finalmente se ingresan las solicitaciones de carga mediante una tabla de ingreso
de datos como se muestra en la siguiente figura:
Figura 52. Ingreso de solicitaciones de carga para columnas rectangulares.
En este caso se muestra en anaranjado las cargas solicitadas y en negro el
cálculo automático de las excentricidades para cada eje procedimiento idéntico al
empleado para columnas circulares.
Los colores azules demuestran los resultados de diseño que son útiles para flexión
biaxial, su cálculo se expondrá más adelante, Mrx y Prx representan las cargas
máximas que se resistirían en una excentricidad ey1 si solo existiera flexión con
respecto al eje X, Mry y Pry son análogas a las anteriores pero en el caso de que
solo existiera flexión con respecto al eje Y, Pmax es la resistencia axial máxima
denotada como Pnmax anteriormente.
4.2.3. HOJA DE DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Se realizan dos hojas de cálculo (una para cada eje principal) donde la variación
será únicamente que el término como tomado como altura (H) en un sentido
pasará a ser la base en otro sentido (B) y sus respectivos espaciamientos entre
94
refuerzo. Por ejemplo si se observa la figura 51 en el caso de la flexión con
respecto al eje “Y” la base de la sección se convierte en la altura de ese sentido y
viceversa, además en este caso las áreas As1 y As8 estarán formadas por dos
barras de esquina más las barras adicionales paralelas a la altura, mientras que
desde As2 hasta As7 serán dos barras paralelas a la base. Por lo anterior se
expondrá como realizar una hoja de cálculo para un eje dado a entender que el
procedimiento para el otro eje principal es el mismo. Así mismo, todos aquellos
procedimientos que se realizan de igual forma a la hoja de cálculo circular se
indicarán más no se mostrarán para no duplicar información en esta guía. En la
siguiente figura se muestran los datos principales para cálculo de los puntos del
diagrama de interacción rectangular:
Figura 53. Datos para cálculo de diagrama de interacción.
95
Como se observa se plantea el diagrama con respecto al eje X, el eje neutro de
falla balanceada se calcula de forma similar que en el caso de columnas
circulares:
(4-4)
Para el caso de la hoja con respecto al eje Y la dimensión que pasa a ser la altura
es la base de la columna, por ende al realizar la misma hoja para no cambiar
comandos lo único que hay que cambiar es seleccionar en altura de la columna
(F6) la base introducida en el ingreso de datos (E17 en la figura 50).
La función de cambio también debe de ser modificada al tomar Ø como 0.65.
Con estos datos se puede calcular el primer punto (momento-carga axial) que
corresponde a la falla balanceada.
Figura 54. Cálculo de esfuerzos para los ocho posibles grupos de barras con respecto al eje X.
Para el cálculo del valor “a” se emplea el siguiente comando:
a= =SI(C35*$F$5<=$F$6,C35*$F$5,$F$6)
Al igual que para el caso de columnas circulares se verifica que “a” sea menor en
este caso a la altura de la columna.
4.2.3.1 ESFUERZOS Y RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL ACERO
Para el cálculo del esfuerzo Fs1 se emplea el siguiente comando:
Fs1 =SI(ABS(0.003*((-$F$7-$F$8*0)+C35)/C35*$F$9)<=$F$10,0.003*((-$F$7-
$F$8*0)+C35)/C35*$F$9,SI(0.003*((-$F$7-$F$8*0)+C35)/C35*$F$9>$F$10,$F$10,-$F$10))
Muy parecido al caso de las columnas circulares, se quiere verificar que el valor
absoluto del esfuerzo (en este caso empleando la ecuación 2-42) es menor a la
96
fluencia se emplea ese esfuerzo, caso contrario se analiza si se encuentra en
fluencia a compresión o bien fluencia a tensión, en este caso en este caso -dn (-
$F$7-$F$8*0) es obtenido como el negativo del recubrimiento menos cero veces (al
ser As1 el número de área 0) el espaciamiento en dirección paralela a la altura. Si
se observa la figura 51 As1 efectivamente está a una distancia igual al
recubrimiento de la fibra más alejada sometida a compresión. Para las otras
barras se debe multiplicar el espaciamiento por su número de área, así por
ejemplo para sacar Fs5 la celda de espaciamiento ($F$8) debe de multiplicarse
por cuatro. Al ver nuevamente la figura 51, se observa que efectivamente As5 se
encuentra a una distancia igual al recubrimiento más cuatro espaciamientos (S) de
la fibra más alejada de concreto a compresión.
Fs8 siempre se debe calcular no importándola cantidad de refuerzo que se decida
colocar adicional en la dirección de la altura al representar siempre al menos a las
barras de esquina inferiores.
Fs8=SI(ABS(0.003*(($F$7-$F$6)+C35)/C35*$F$9)<=$F$10,0.003*(($F$7-
$F$6)+C35)/C35*$F$9,SI(0.003*(($F$7-$F$6)+C35)/C35*$F$9>$F$10,$F$10,-$F$10))
En este caso la distancia –dn es equivalente al negativo de la resta entre la altura
y el recubrimiento.
A continuación se calculan los momentos y la carga axial que se obtienen por la
deformación de las barras.
Figura 55. Cálculo de momentos de cada área para refuerzo en columnas rectangulares.
Hay que diferenciar que existe un área que corresponde al grupo de barras
paralelas a la base que se aplica tanto para M1 como para M8, por otro lado Asd
correspondiente a dos barras corresponden al grupo de As2 hasta As7.
El comando empleado para cálculo de momentos es el siguiente:
97
M1=SI($F$7+$F$8*0>=$F$6-$F$7,0,E35*M35*($F$6/2-$F$7-$F$8*0)/12000)
Al igual que para el caso de las columnas circulares se requiere evaluar que las
barras existan en el modelo, el medio es la comparación inicial donde dice que si
dn es mayor o igual a la altura menos el recubrimiento ($F$7+$F$8*0>=$F$6-$F$7)
entonces las barras no pueden modelarse y el resultado es un momento cero, de
lo contrario el momento efectuado por la barra se calcula mediante la ecuación
M=fs*As*Dn donde Dn se calcula con la ecuación 2-46 ($F$6/2-$F$7-$F$8*0).
Nuevamente hay que observar que al ser el momento del área As1 el número de
barra es equivalente a 0, para otras barras como por ejemplo As3 se debe de
multiplicar el espaciamiento ($F$8) por el número de barra, en este caso 2,
además para los momentos de As2 hasta As7 As se debe de referenciara a la
celda N36. Para As8 el cálculo de momento se efectúa de la siguiente forma.
M8=L35*M35*($F$7-$F$6/2)/12000
Hay que recordar que todos los momentos se realizan con respecto al eje
centroidal ubicado en H/2. El momento total (celda W35) se calcula mediante el
siguiente comando:
MOMENTO=SUMA(O35:V35)+0.85*$F$11*$F$12*D35*($F$6/2-D35/2)/12000
La función SUMA adiciona cada uno de los momentos que generan las barras y se
agrega el momento que realiza la sección a compresión (en verde) que se calcula
aplicando la ecuación 2-49.
Con lo anterior se ha calcula la sumatoria de momentos de la sección para el caso
del eje neutro.
Ahora se procede a calcular la carga axial resistida.
Figura 56. Cálculo de fuerzas axiales de cada área de refuerzo para columnas rectangulares.
98
Para calcular P6 se emplea el siguiente comando:
P6=SI($F$7+$F$8*5>=$F$6-$F$7,0,J35*$N$35/1000)
Se realiza la misma validación que para el caso de los momentos, si el valor de dn
(observar que el número de barra para As6 es 5, por lo que se multiplica el
espaciamiento por 5) es mayor a la mitad de la altura de la sección menos el
recubrimiento entonces la barra no se modela y su carga axial es cero, caso
contrario su carga axial es el producto entre el área y su correspondiente esfuerzo
recordando que signo negativo indica tensión y signo positivo indica compresión.
Para el caso especial la carga P8 es el producto del esfuerzo y el área de As8, no
se requiere validación.
La resistencia axial total proporcionada por la sección se calcula mediante:
CARGA=SUMA(X35:AE35)+0.85*D35*$F$11*$F$12/1000
La suma es la adición de cada carga axial de las barras, mientras que el cálculo
indicado en rojo es la aplicación de la ecuación 2-48 para el cálculo de la
contribución de la sección de concreto sometida a compresión.
4.2.3.2 DETERMINACIÓN DE VARIOS PUNTOS DEL DIAGRAMA DE
INTERACCIÓN
Se realiza un procedimiento igual al caso de las columnas circulares,
establecimiento de la misma forma el valor de la carga axial máxima y tensión
máxima.
Figura 57. Cálculo de tensión y carga a compresión máxima en columnas rectangulares.
99
En este caso la carga máxima se da donde “a” sea equivalente a la altura de la
sección. Para esta condición se calcula C como la división de la altura de la
sección y el factor β, además cada barra se debe evaluar para un esfuerzo a
compresión de fy. La carga a tensión máxima se establece con un eje neutro
equivalente a 0.001, es decir cuando toda la sección de concreto esta fisurada.
Al igual que para el caso de las columnas circulares para calcular varios puntos
del diagrama se debe de variar el eje neutro en pequeñas cantidades, nuevamente
se establecerá un paso, se propondrá que se hagan variaciones de 0.1in por lo
cual para cubrir valores del eje neutro hasta 50in (dimensión máxima propuesta) al
menos habrá que hacer 500 capias de las celdas.
Figura 58. Cálculo de varios puntos del diagrama de interacción variando C para columnas rectangulares.
Nuevamente se ejemplificará con una celda, el valor de C en la celda C50 se
aplica el siguiente comando:
C en celda C50= C49+0.1
El resultado será para el nuevo eje neutro será el valor del eje neutro anterior
(C49) más el “paso” que se desea colocar que en este caso es 0.1 in (1.201in
(C49) +0.1= 1.301in (C50)).
100
4.2.3.3 APLICACIÓN DE LOS FACTORES DE REDUCCIÓN DE CAPACIDAD
Para la aplicación de los factores de reducción (0.65 para columnas rectangulares
con estribos) se realiza el mismo procedimiento descrito para las columnas
circulares basándose en la ecuación 4-2.
Inicialmente se calculan las dos cargas de aumento
CARGA DE AUMENTO FACTOR Ø1=0.65*AF35
Que es la opción de la carga Pb multiplicada por Ø.
CARGA DE AUMENTO FACTOR Ø2 =0.1*F6*F12*F11/1000
Donde se observa que se hace referencia al área gruesa de la sección (F6*F12)
multiplicado por la resistencia a la compresión del concreto (F11).
En una celda se selecciona el valor mínimo de las cargas anteriores (en la figura
53 la celda F17).
Se realiza el procedimiento de ordenar los momentos entre aquellos que se verán
afectados por la modificación del factor Ø.
Figura 59. Cálculo de la resistencia a la carga y momento con factores de reducción para columnas
rectangulares.
101
En este caso, las columnas AG y AH mostrarán las cargas axiales y a momento
que se ven afectadas por la modificación del factor de reducción, los comandos
son los siguientes:
CARGA COLUMNA AG = SI(AF35<$F$17,AF35,"No Afecta")
MOMENTO COLUMNA AH =SI(AG35="No Afecta","No Afecta",W35)
Se observa que para el caso de los momentos en la fila 35, se evalúa primero si la
carga es menor que la carga mínima para emplear el factor Ø de 0.65 calculada
en la celda F17. Sí lo es el resultado será la carga axial que es afectada por el
aumento del factor, caso contrario se devuelve el mensaje de “No Afecta”, la
misma situación sucede con el momento de la fila 35.
Al definir lo anterior se calcula el momento donde la carga axial es cero:
Mp=0= BUSCARV(0,AG37:AH638,2,VERDADERO)
Este comando sigue la misma lógica expuesta en los diagramas de columnas
circulares al igual que en el caso de Ma.
Ma=MAX(AF35:AF616)
Como se observa en la figura 53 se muestra que se requiere calcular J mediante
la ecuación 4-3.
J =-0.25/(F19-F18)
La diferencia entre Ø=0.65 y Ø=0.9 deja un numerador de -0.25, esta diferencia
será dividida entre la diferencia de Ma (F19) y Mp=0 (F18).
Por último, en la figura 53 se indica el cálculo de la CARGA AXIAL MÁXIMA
PERMISIBLE el cual se realiza de la siguiente forma:
Pnmax =0.8*0.65*AF36
Que es resultado de aplicar la ecuación 1-2 con una carga axial máxima teórica
calculada en la fila 36.
102
A partir de lo anterior, se procede a calcular el valor de Ø para cada par de cargas
(momento y axial).
Ø= =SI(AH35="No Afecta",0.65,SI(AG35<0,0.9,0.9+$F$20*(AH35-$F$18)))
El comando anterior se describe de la siguiente forma: inicialmente hay una
condición, y es que el valor del momento resistido (AH35) no se vea afectado por
el cambio de factor, en caso de cumplirse el factor de reducción es 0.65; si en
dado caso la carga si se ve afectada entonces se analiza si la carga axial es
negativa (tensión), si ésta lo es entonces al evaluar la ecuación de CAMBIO DE Ø
se obtendrían valores de Ø mayores a 0.90 lo cual no es posible tomar en cuenta,
por lo cual el valor automático de Ø será 0.9; por último si la carga es positiva se
emplea la ecuación 4-2 para el cálculo del factor modificado Ø (0.9+$F$20*(AH35-
$F$18)) donde se hace referencia a la pendiente de cambio ($F$20), al momento
de la sección (AK35 para la fila 35) y Mp=0 ($F$20).
4.2.3.4 PUNTOS DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN CON FACTORES DE
REDUCCIÓN.
Por último se calculan las cargas resistidas aplicando factores de reducción, para
la carga axial:
P fila 35=SI(AI35*AF35<$F$27,AI35*AF35,$F$27)
Donde primero se analiza si el valor de la carga axial (AF35) multiplicada por el
factor de reducción asignado (AI35) es menor a Pnmax ($F$27), si lo es la
multiplicación es el resultado, caso contrario lo es Pnmax.
M fila 35=AI35*W35
El cálculo de M es simplemente el producto del MOMENTO (W35) y el factor de
reducción Ø (AI35).
4.2.4. GRAFICACIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN.
Al desarrollar las hojas de cálculo de puntos del diagrama tanto con respecto al eje
X como con respecto al eje Y se pueden graficar los diagramas de interacción
para cada eje. La metodología es la misma que para el caso de las columnas
103
circulares por lo que no se desarrollará, sin embargo se mostrarán los resultados
para el modelo propuesto.
Figura 60. Diagrama de Interacción para columnas rectangulares en torno al eje X.
El diagrama mostrado es el correspondiente a la columna que se ha desarrollado
como ejemplo en esta guía en el cual se grafica tanto la línea de carga balanceada
como la línea que incluye a Mx1, Pu1 junto con sus resistencias Mrx y Prx; al
realizar el análisis con respecto al eje Y se obtendría el siguiente diagrama.
Figura 61. Diagrama de Interacción para columnas rectangulares en torno al eje Y.
104
Observar que acorde a lo esperado con el modelo planteado de ejemplo el
diagrama con respecto al eje Y propicia mayor resistencia a momento (no
importando que tengan la mima dimensión por lado) debido a que con respecto al
eje Y existe una mayor cantidad de refuerzo alejado al eje centroidal (las dos
barras de esquina más las seis barras de refuerzo adicional) que en el caso de la
flexión con respecto al eje X (donde solo están las dos barras de esquina más las
cuatro de refuerzo adicional paralelo a la base).
4.2.5. CALCULO DE RESISTENCIA A LA FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL.
La variación de procedimientos de cálculo entre una columna rectangular y una
circular radica en la diferencia en simetría que existe en el refuerzo y la sección,
en el caso de la columna rectangular es necesario realizar métodos aproximados
para decidir si una sección propuesta es o no es apta para una solicitación de
carga, lo que no se requiere para una columna circular.
El procedimiento propuesto es el siguiente.
4.2.5.1. HOJA DE CÁLCULO DE CARGA AXIAL Y MOMENTO DE FALLA.
En esta hoja se procede a realizar un procedimiento para calcular la carga axial y
momento de falla para cada eje como si solo existiera la solicitación de carga para
un eje.
Figura 62. Procedimiento de cálculo de Mrx y Prx.
105
La figura anterior muestra el procedimiento a partir de cual se calculará la
resistencia a momento y carga axial de acuerdo a las solicitaciones de carga Mx1
y Pu1 mostradas en la figura, esto es necesario tanto para evaluar el caso de que
existiera momentos con respecto a ese eje o bien con para aplicar el método de la
carga reciproca en caso de existir flexión biaxial.
El procedimiento es el siguiente:
Se emplean seis columnas para cálculos de resultados, aunque ey es la primer
columna se debe de colocar primero la columna de MOMENTO (E) y la de
CARGA (F). Respectivamente cada una es equivalente a la columna AJ y AK de la
hoja de cálculo de resultados, es decir las parejas Momento-Carga del diagrama
de interacción con factores de reducción.
Posteriormente se calculan los valores de ey mediante el siguiente comando:
ey fila 19= E19/F19
Lo anterior no es más que el cálculo de la excentricidad mediante cada pareja de
momento y carga axial.
Posteriormente en la segunda columna se calcula la diferencia de cada ey con
respecto a ey1, se toma el valor absoluto para poder realizar un análisis
aproximado de que pareja de carga y momento se aproxima más al valor de la
excentricidad de las cargas solicitadas, por ejemplo para la fila 19:
ABS (ey-ey1)= ABS(C19-$I$5)
Donde C19 hace referencia a ey calculado en la columna C de la figura 62
mientras que $I$5 hace referencia a ey1 (la excentricidad de las solicitaciones).
Las columnas G y H son puestas para realizar cálculos de flexión biaxial y su
explicación se dará más adelante.
Ahora bien, al tener calculado cada uno de los valores de la columna D se puede
calcular la mínima diferencia, la cual indicará que pareja de resistencias es la más
106
aproximada a producir la misma excentricidad que la de las solicitaciones de
carga, en la figura 62 esta viene dada por la celda J12 y su comando respectivo
es:
MINIMA (ABS(ey-ey1))= MIN(D12:D616)
Con el mínimo se puede calcular ahora Mrx y Prx mediante de la siguiente forma:
Mrx= BUSCARV(J12,D12:F616,2,0)
Prx= BUSCARV(J12,D12:F616,3,0)
Donde se observa que se buscará en la matriz que encierra las columnas de ABS
(ey-ey1) (D), MOMENTO (E) y CARGA (F), el valor del mínimo valor absoluto de
diferencias de excentricidad (J12) en la primer columna devolviendo en el primer
caso el valor correlativo a la fila donde se encuentra pero en la segunda columna
para el caso de los momentos, y para la tercera para el caso de la carga axial.
Con el procedimiento anterior se puede calcular el valor de las resistencias
ubicadas en el diagrama de interacción y que corresponden a la misma
excentricidad producida por las cargas Mx1 y Pu1, de hecho si solo existe flexión
con respecto al eje X si los valores de Mrx y Prx son mayores a las solicitaciones
la sección es satisfactoria.
El mismo procedimiento se puede realizar en la hoja de cálculo para encontrar
tanto Mry como Pry, la diferencia es que ahora las columnas de Momento y Carga
son las correspondientes a la resistencia reducida del diagrama con respecto al
eje Y.
Un detalle importante que se debe realizar en esta hoja se da en la última fila de
cálculo y consiste en lo siguiente:
107
Figura 63. Última fila del procedimiento de cálculo de Mrx y Prx
Aunque su aplicación no se explicará hasta la siguiente sección en esta hoja se
debe de colocar en la celda de CARGA el valor de la solicitación Pu y en el caso
de la columna H (CONTORNO MOMENTO) colocar el valor 0 (cero).
4.2.5.2. HOJA DE RESISTENCIA BIAXIAL
Luego de haber desarrollado los procedimientos de cálculo de Mrx, Prx, Mry y Pry
se puede proceder a emplear los métodos aproximados para calcular si la sección
es adecuada para las solicitaciones presentadas. En la figura 64 se muestra que
se requiere conocer Pux y Puy se calculan en la columna BRESLER CARGA 2
(columna G figura 62) como se mostró anteriormente, Po que es equivalente a
Pnmax/0.80 y Pu que es la solicitación de carga axial. Los comandos empleados
son los siguientes:
Validez= SI('INGRESO DATOS '!N45>=0.1*'INGRESO DATOS '!F39*'INGRESO DATOS
'!E12/1000,"VÁLIDO","RESULTADOS SERAN INCORRECTOS")
Primero se valida si la carga axial solicitada ('INGRESO DATOS '!N45) es mayor a
0.1Ag*f’c (0.1*'INGRESO DATOS '!F39*'INGRESO DATOS '!E12/1000) si se cumple
entonces los resultados son Válidos, caso contrario se puede diseñar el elemento
como una viga y el procedimiento no es la mejor opción.
108
Figura 64. Aplicación del método de la carga recíproca de Bresler.
Para calcular Pux y Puy se emplean los siguientes comandos:
Pux=SI(E19="VÁLIDO",BUSCARV('CARGA DE RESISTENCIA'!J12,'CARGA DE
RESISTENCIA'!D12:G616,4,0),"NO APLICAR")
Puy=SI(E19="VÁLIDO",BUSCARV('CARGA DE RESISTENCIA'!T12,'CARGA DE
RESISTENCIA'!N12:Q616,4,0),"NO APLICAR")
Como se observa para ambos casos primero se analiza si la situación de carga es
válida o no lo es, en caso de serlo se busca en la matriz de la figura 62 entre las
columnas D Y G (para el caso de Pux), el valor buscado en la primera fila es el de
la diferencia de excentricidades mínima (celda J12 para Pux en la figura 62), y se
devolverá el resultado de la columna 4 correspondiente al de las cargas axiales de
BRESLER, de no considerarse válido el procedimiento se devuelve el resultado
“NO APLICAR”. Para el caso de Puy se realiza el mismo procedimiento pero en la
matriz desarrollada para dicho eje.
Po=SI(E19="VÁLIDO",'INGRESO DATOS '!N47/0.8,"NO APLICAR")
Para calcular Po primero se valida si el método es válido, de serlo se calcula como
Pnmax/0.8, en este caso Pnmax es tomado de la celda N47 de la figura 52.
109
Por último se calcula el valor de la carga máxima axial que se pudiese resistir para
las cargas solicitadas.
ØPn=SI(E19="VÁLIDO",SI(1/(1/D22+1/D23-1/D24)<0.8*D24,1/(1/D22+1/D23-
1/D24),0.8*D24),"NO APLICAR")
Primero se analiza si el procedimiento es válido, si lo es, entonces se compara
entre sí ØPn toma el valor dado por el inverso de la ecuación 1-10
(1/(1/D22+1/D23-1/D24) y es menor que Pnmax (0.8*D24), en caso de serlo se
toma el valor dado por ecuación de BRESLER, de no serlo el valor de carga axial
máxima es Pnmax.
Por último se analiza si Pu es menor a ØPn, si lo es entonces el resultado es que
la sección es adecuada, si no lo es hay que cambiar las dimensiones, el refuerzo o
la tipología de materiales.
Posteriormente se puede realizar un análisis mediante el método de contorno de
carga, que es válido en todas las situaciones. La forma de aplicarlo se ilustra en la
figura 65. Los valores de α se pueden ingresar en una lista para que varíen entre 1
(muy conservador) y 1.55 que es rango recomendado por Bresler.
Figura 65. Aplicación del método de contorno de carga.
110
Mx y My son las solicitaciones a momento que se requiere que la sección resista,
Mux y Muy se calculan de la siguiente manera:
Mux= BUSCARV('INGRESO DATOS '!N45,'CARGA DE RESISTENCIA'!F14:H616,3,SI('INGRESO DATOS
'!N45>='INGRESO DATOS '!N47,FALSO,VERDADERO))
Muy= BUSCARV('INGRESO DATOS '!N45,'CARGA DE RESISTENCIA'!P14:R616,3,SI('INGRESO DATOS
'!N45>='INGRESO DATOS '!N47,FALSO,VERDADERO))
Para estos casos se busca el momento máximo que se resistiría para la carga Pu1
en cada eje, por ejemplo para Mux, primero se busca en la matriz que se muestra
en la figura 62 entre las columnas F (Carga), G (Carga de Bresler) y H (Contorno)
el valor en la primera columna (para este caso la F) que sea igual o parecido a
Pu1 ('INGRESO DATOS '!N45), al encontrarlo devuelve el correlativo a la fila donde se
encuentra en la columna H (por eso se coloca el número 3 al comando). La
diferencia con las demás funciones BUSCARV desarrolladas es que ahora se
analizará para la condición de coincidencia Falsa o Verdadera si la carga axial
solicitada es mayor a Pnmax, como se observa en la condición SI se compara si
la carga Pu1 ('INGRESO DATOS '!N45) es mayor a Pnmax ('INGRESO DATOS '!N47), en
caso de serlo el comando lógico será FALSO, por lo cual se buscará una
coincidencia exacta en la columna F de la figura 62, la única coincidencia exacta
será la última fila (figura 63) donde el momento de la columna 3 buscado será
cero, es decir NO SE PUEDE RESISTIR ESTA CONDICIÓN. Por el contrario si la
carga Pu1 es menor a Pnmax la condición lógica será VERDADERO, con esto se
buscará una coincidencia aproximada a Pu1 en la columna F de cargas
devolviendo ahora un momento resistido distinto de cero.
Finalmente se evalúa la función mediante:
RESULTADO=SI(O(D49=0,D50=0),"NO APLICAR",(D47/D49)^D51+(D48/D50)^D51)
Si cualquiera de los dos momentos Mux o Muy es cero no se aplicará el método
puesto que no es flexión biaxial y solo con comparar los resultados en el diagrama
de interacción será suficiente, caso contrario se aplicará la ecuación 1-11.
111
5. CONCLUSIONES:
1. Microsoft Excel permite optimizar el recurso tiempo con la implementación
de hojas de cálculo que pueden ser programadas o desarrolladas para que
a través de una serie de procedimientos encadenados se obtengan
resultados de forma inmediata mediante el ingreso de datos que se quieren
evaluar.
2. El procedimiento para desarrollar diagramas de interacción a través de
Excel requiere varios aspectos importantes: primero, conocer acerca del
tema para poder observar los procedimientos y qué relación tienen con la
teoría explicada en los libros de texto; segundo, conocer y profundizar en el
empleo de los comandos que Excel ofrece y que facilitan el desarrollo de
procedimientos; tercero, el procedimiento se puede generalizar según lo
observado tanto para columnas circulares como para columnas
rectangulares. Así si se requiere una hipotética columna triangular se
puede desarrollar matemáticamente un modelo y generar mediante los
mismos pasos (cálculo de esfuerzos, momentos, cargas, flexión biaxial,
etc.) diagramas de interacción para la situación deseada.
3. Mediante la implementación de esta guía se estimula al estudiante a
desarrollar sus propias hojas de cálculo a través de Excel, ya que se
requiere aplicar un conocimiento a través de modelos matemáticos y
evaluarlos mediante el ingreso de datos que definen el modelo (como lo
pueden ser dimensiones, materiales, pesos, etc.) y obtener como ya se
mencionó un resultado inmediato.
4. Puede dársele a esta guía un uso profesional siempre y cuando se
conozcan los aspectos a modificar (como factores y recomendaciones para
diseño sísmico) junto con análisis previos de las solicitaciones de carga a
través del efecto de arriostrado de la columna o bien con amplificación de
momentos debido a la esbeltez de un elemento.
112
5. En el caso de las columnas rectangulares, con el cálculo de los diagramas
de interacción en ambos ejes de una sola vez se optimiza el tiempo de
diseño ya que se evita la necesidad de calcular cada uno por separado
para posteriormente aplicar los métodos de diseño con cargas de flexo
compresión biaxial. Adicionalmente el implementar la herramienta de
cálculo de flexión biaxial a través de métodos aproximados permite
aprovechar la serie de cálculos que se generan en el diagrama de
interacción para proveer una solución de diseño a la flexo compresión
biaxial.
113
6. RECOMENDACIONES
1. Dentro de la Universidad Rafael Landivar y las otras universidades
guatemaltecas se debería de implementar un curso de manejo de Excel
para profundizar en su funcionamiento y potencializar su uso para el
desarrollo de soluciones a través de programación de hojas de cálculo.
2. Previa implementación de los pasos de esta guía se debe estudiar y
comprender el tema de diseño de columnas y flexión biaxial para poder dar
un mejor nivel de interpretación a los resultados proponiendo así una mejor
alternativa de solución a través de la hoja de cálculo.
3. En caso de desarrollar una hoja de cálculo para aplicaciones reales se debe
de profundizar en aspectos de diseño sísmico para el caso de Guatemala,
se recomienda conocer y entender previo el capítulo 21 del ACI 318-08 (o
versiones más actualizadas) dónde dan lineamientos acerca de detalles
relacionados con la sismo resistencia de los elementos.
4. Se puede mejorar el desempeño de la hoja de cálculo a través de:
o Encontrar un procedimiento para sustraer el área de acero que se
encuentra dentro de la zona de compresión al área de concreto
sometida a compresión.
o Generar un procedimiento para calcular el refuerzo asimétrico con
respecto a un centroide plástico.
o Ingresar diversos diámetros en una distribución de refuerzo adicional
en la dirección de la base o la altura de la sección rectangular o en el
perímetro de una sección circular.
114
7. BIBLIOGRAFÍA
American Concrete Institute (2008), Building Code Requirements for
Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary (ACI 318R-08).
Bresler, B. (1960), “Design Criteria for Reinforced Columns under Axial
Load and Biaxial Bending”, J. ACI, vol. 32, No. 5 pp. 481-490.
McCormac, J. (2005), Diseño de Concreto Reforzado, (5ta. Ed.) México:
Editorial Alfa-Omega.
Nilson, A. (1999), Diseño de Estructuras de Concreto, (11va. Ed.) Colombia:
McGraw-Hill Latinoamérica.
Parme, A.; Nieves, J. y Gouwens, A. (1966), “Capacity of Reinforced
Rectangular Columns Subject to Biaxial Bending”, J. ACI, vol. 63, No. 9
pp. 911-922.
Romo, M., Temas de Hormigón Armado: Capítulo XII Flexo compresión en
los Elementos de Hormigón Armado. Recuperado el 24/03/2010. Disponible
en: http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/hormigon/temas-de-hormigon-
armado/hormigon12.pdf
115
8. ANEXOS
8.1. ANEXO A: GGrraaffiiccaaddoo ddee llaa SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr EEmmpplleeaannddoo EExxcceell
PPaarraa ffaacciilliittaarr llaa ccoommpprreennssiióónn ddeell mmooddeelloo qquuee ssee eessttáá ddeessaarrrroollllaannddoo ssee pprrooppoonnee eell
ssiigguuiieennttee mmééttooddoo ddee ggrraaffiiccaaddoo ddee llaa sseecccciióónn..
11.. EEnn uunnaa nnuueevvaa hhoojjaa ddee EExxcceell ggeenneerraarr eell ttrraazzaaddoo ddee ddooss ffiigguurraass cciirrccuullaarreess aa
ttrraavvééss ddeell mmooddeelloo mmaatteemmááttiiccoo ddee llaa eeccuuaacciióónn ddeell ccíírrccuulloo..
Figura A1. Graficado de sección circular a través de puntos de una circunferencia.
En la figura anterior se muestran dos trazos, el primero es para el circulo exterior
cuyo radio es equivalente a la mitad del diámetro, en otra se traza el circulo interior
que es la circunferencia donde se encuentran ubicadas las barras de refuerzo.
En ambas tablas hay que diferenciar cuatro columnas que representan lo
siguiente:
Parámetro 1: define el posible valor que puede tomar la coordenada X, este será
el equivalente al aumento del Parámetro 1 anterior adicionándole un “paso” o
cantidad que se requiere que aumente.
X: Es el equivalente a la coordenada “x” dentro de la circunferencia a dibujar.
Y: Es el valor de la coordenada “y” que depende de la función de circunferencia.
Y2: Es el valor de “y” que corresponde al signo opuesto (negativo) de Y en la
circunferencia.
En ambas tablas la primera fila se calcula de distinta manera al resto, así se tienen
los siguientes comandos:
116
Para círculo exterior:
PARAMETRO 1 FILA 8= -'INGRESO DE DATOS CIRCULAR'! E17/2
Si se observa la figura 28 se está haciendo referencia a la mitad del diámetro de
la sección, es decir el radio.
X FILA 8=SI(G8>'INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$17/2,0,G8)
En este caso se analiza si el valor del parámetro 1 (G8) es mayor a la mitad del
diámetro de la sección entonces se le dará un valor de cero, caso contrario X
tomará el valor del PARÁMETRO 1.
Y FILA 8= SI(G8>'INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$17/2,0,RAIZ(('INGRESO DE DATOS
CIRCULAR'!$E$17/2)^2-H8^2))
En este caso se analiza nuevamente si el parámetro 1 (G8) es mayor a la mitad
del diámetro de la sección, dándole un valor de cero si sucede y calculándolo
mediante la ecuación de Pitágoras (RAIZ(('INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$17/2)^2-
H8^2))) en caso de que la condición no se cumpla. Y2 se calcula como el negativo
de Y.
Para el círculo interior se sigue el mismo procedimiento pero en este caso el valor
del diámetro se sustituirá por el diámetro menos 2 veces el recubrimiento de la
sección.
Para las siguientes filas se siguen los procedimientos dados a continuación, se
tomará como ejemplo la fila 12.
PARÁMETRO 1 =G11+0.5
El valor del parámetro 1 anterior (G11) más el paso deseado de 0.5in.
X= SI(G12>'INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$17/2,H11,G12)
Se analiza que el parámetro 1 sea mayor al diámetro, si lo es el valor de X es igual
a la X anterior (H11) de lo contrario será el valor del PARAMETRO 1.
117
Y= SI(G12>'INGRESO DE DATOS CIRCULAR'!$E$17/2,I11,RAIZ(('INGRESO DE
DATOS CIRCULAR'!$E$17/2)^2-H12^2))
Se evalúa que el parámetro 1 no sea mayor al diámetro de la sección, en caso de
serlo el valor de Y será el de la Y anterior (I11), caso contrario se evalúa tal como
se realizó con la Y de la fila 28. Y2 sigue siendo –Y en este caso sería -I12.
Se deben realizar tantas filas como sean necesarias para que la suma de los
pasos (en este caso 0.5in) lleve al parámetro 1 a tener el valor más alto posible de
Radio de diseño, por ejemplo en el caso propuesto en la guía se grafican
secciones de hasta 50in de diámetro, para esta sección el valor inicial del
parámetro 1 sería -25in, si se requiere que varíe hasta 25in serán necesarias 100
filas con un paso de 0.5in entre filas para que el parámetro 1 pueda variar desde -
25 hasta 25.
Posteriormente se grafican los datos obtenidos en la tabla (se debe de seleccionar
nuevamente datos y gráficas de dispersión), se deben de hacer dos selecciones
por tabla, la primera selecciona al eje X y al eje Y positivo, la segunda selecciona
al eje X y al eje Y negativo para poder así construir el circulo que define la sección.
Figura A2. Ploteo de la sección circular.
118
Finalmente se puede graficar las barras de refuerzo para esquematizar su posición
y el modelo a evaluar, esto se puede hacer mediante el siguiente procedimiento.
Figura A3. Trazado de barras de refuerzo
Para calcular cada valor X de posición de la barra se emplea el siguiente comando
donde se toma el correspondiente a la fila 8:
X=SI('HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$13*('GRAFICACIÓN CIRCULAR'!Q8-1)>=2*PI(),R7,'HOJA DE
CALCULO CIRCULAR'!$F$12*COS(PI()/2+'HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$13*('GRAFICACIÓN
CIRCULAR'!Q8-1)))
En dicho comando se analiza primero si el ángulo de cambio multiplicado por el
número de barra ('HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$13*('GRAFICACIÓN CIRCULAR'!Q8-1) es
mayor a 2π, el ángulo de cambio se puede observar en la figura 31, el número de
barra es la restarle una unidad al valor de la columna Q que precede a X; si la
condición se cumple quiere decir que la barra a graficar supera una circunferencia
de distancia con respecto al punto de partida de graficado y por ende no se
contempla en el modelo al dársele la misma coordenada que la barra
precedente (R7), caso contrario la posición de la barra viene siendo dada por el
RADIO INTERNO ('HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$12) multiplicado por el COSENO
un ángulo equivalente a π/2 adicionándole el producto del ángulo de cambio y el
número de barra. En este caso al tratarse al tener la barra uno un número
correspondiente de cero el ángulo de la barra será π/2 es decir la primer barra
estará en el eje Y positivo a una distancia equivalente al radio interno.
119
Por otro lado la coordenada Y se grafica mediante:
Y=SI('HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$13*('GRAFICACIÓN CIRCULAR'!Q8-1)>=2*PI(),S7,'HOJA DE
CALCULO CIRCULAR'!$F$12*SENO(PI()/2+'HOJA DE CALCULO CIRCULAR'!$F$13*('GRAFICACIÓN
CIRCULAR'!Q8-1)))
Esta coordenada se calcula de forma idéntica a X pero empleando la función
SENO.
Por último al graficar cada uno de los puntos eliminando la línea de trazado de las
barras de refuerzo y seleccionando un marcador circular el modelo resultante será:
Figura A4. Ploteo de las barras de refuerzo en Excel.
120
8.2. ANEXO B: GGrraaffiiccaaddoo ddee llaa SSeecccciióónn RReeccttaanngguullaarr EEmmpplleeaannddoo EExxcceell
Este procedimiento es mucho más sencillo que para el caso de las columnas
circulares, se requiere inicialmente armar una tabla como la que se muestra.
Figura A5. Puntos para trazo de sección rectangular.
En la figura anterior se observa la especificación de cada uno de los valores que
hacen referencia a una coordenada en el plano cartesiano de cada vértice de la
sección, los PUNTOS 1 y 2 se refieren a la sección gruesa, los puntos internos a
la sección menos el recubrimiento. La sección dibujada es de 20in de base por 30
in, así al colocar en un plano cartesiano la sección gruesa las coordenadas
posibles son (10,15), (10,-15), (-10,15) y (-10,-15), esos cuatro puntos representan
las aristas de la sección.
Ahora bien, para graficar la sección junto con el recubrimiento es necesario
realizar ocho trazos de línea, para generar tanto las cuatro aristas de la sección
gruesa como las cuatro aristas de la sección sin recubrimiento. El resultado de
graficarlo se muestra en la figura A6.
Para graficar una línea es necesario seleccionar dos puntos del plano cartesiano,
si se toman los cuatro vértices de la sección la figura graficada no será unida por
líneas rectas ya que Excel suaviza los trazos que unen los puntos que conforman
la sección.
Por ejemplo queremos formar la línea vertical que une a (-10,-15) con (-10,15) se
debe de formar una serie que una esos dos puntos. Al realizar esto con las ocho
líneas se obtiene el trazo de la sección.
121
Figura A6. Trazo de sección rectangular.
El trazo de las barras de refuerzo también es muy sencillo y se realiza elaborando
una tabla de cálculo como la siguiente:
Figura A7. Cálculo de coordenadas de barras de refuerzo.
Al permitirse 6 barras adicionales de refuerzo en una dirección más las dos barras
de esquina que existen en una arista se requieren 8 filas para el cálculo de las
coordenadas de cualquier arreglo que se requiera modelar. Como se observa en
el caso del refuerzo paralelo a la base, las coordenadas en Y serán constantes
para cualquier punto y representan la mitad de la altura menos el recubrimiento,
tanto en coordenada positiva como negativa al tener el origen al centro de la
sección. Para el caso de las paralelas a la base la coordenada X se calcula como:
122
X=SI($C$8+$H$14*(F5-1)>$B$8,G4,$C$8+$H$14*(F5-1))
Al ver la figura A5 se puede constatar que $C$8 representa el valor del punto
interno 1 negativo, al sumarle a este valor el espaciamiento ($H$14, este valor se
obtiene de la celda E25 de la figura 50) multiplicado por el número de barra se
analiza si no es mayor a la valor del punto interno 1 positivo (es decir si cubrió
todo el recorrido de trazo de la base menos el recubrimiento), si esto es cierto se
le dará un valor a X equivalente al valor de X de la fila anterior (para graficarlo en
el mismo punto); caso contrario se calcula la coordenada el valor del Punto Interno
Negativo 1 en X más el espaciamiento de barras por el número de barra. Las
coordenadas en Y se calculan como la mitad de la altura menos el recubrimiento y
su correspondiente negativo.
Las barras paralelas a la altura se calculan de idéntica forma pero variando los
puntos internos de X negativo a Y negativa. Por ejemplo para la fila 5 la
coordenada Y se calcula mediante:
Y=SI($D$9+$M$14*(F5-1)>$D$8,G4,$D$9+$M$14*(F5-1))
Ahora se pueden graficar los cuatro grupos de barra y al asignarles una figura
circular como marcador de cada punto se obtiene un esquema como el siguiente
del modelo que se requiere evaluar.
Figura A8. Ploteo de la sección rectangular a evaluar.
123
88..33.. ANEXO C: PPeennddiieennttee ddee CCaammbbiioo ddeell FFaaccttoorr ØØ..
Según el ACI 318-08 al estar en la zona de transición entre compresión y tensión
en el diagrama de interacción, es permitido aumentar linealmente el valor del
factor Ø hasta 0.90 a partir del menor valor de carga axial entre 0.1Ag*f´c y Ø Pb.
Generalmente domina 0.1Ag*f’c.
Para encontrar la función se establece que el valor del momento será la variable
independiente y que el factor de reducción dependerá de dicho momento.
El valor de Ø en Ma es 0.75 o 0.65 dependiendo del tipo de refuerzo a corte que
se emplea (Ma es el momento flector en el diagrama de interacción
correspondiente al menor valor entre 0.1Ag*f´c y Ø Pb).
El valor de Ø en Mp=0 es 0.90 (Mp=0 es el momento que resiste la sección cuando la
carga axial que actúa es cero).
De matemática 1 se puede desarrollar la siguiente expresión para la pendiente:
Como se estableció al ser Y la variable dependiente corresponderá a los valores
de Ø, y los momentos a los valores de X.
De la matemática básica se puede establecer una ecuación lineal que relacione el
factor Ø y el momento resistido de la siguiente forma
Donde Øn es el valor del factor de reducción equivalente al Momento flector “M”
donde se requiere obtener un factor de reducción mayor a 0.65 0 0.75 y menor o
igual a 0.90.
Al despejar para Øn se obtiene la siguiente relación que se aplica para calcular el
factor de reducción.
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Cuyo rango para M es el siguiente: