guia de estudio_1

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Introducción

Las funciones son relaciones especiales entre dos cantidades, estas relaciones o modelos

matemáticos, aparecen en campos de estudio tan diversos como el comercio, la

economía, las ciencias sociales, la física y la medicina. Debemos por tanto entender

estas relaciones especiales, y estudiar su aplicación, en la solución de problemas reales

de la administración y economía

Al enfrentarse con un impuesto por contaminar, una compañía tiende a disminuir la

contaminación „mientras ahorre más en costos de impuestos que en costos por

reducción de contaminación’, los esfuerzos por reducción continúan hasta que el

ahorro de impuestos y los costos por reducción empiezan a equilibrarse.

Este y otros problemas propios de las industrias, se los puede analizar y resolver

valiéndose de las diferentes clases de funciones matemáticas existentes. Hay entonces

que desarrollar las habilidades necesarias, para representar determinados

comportamientos mediante modelos matemáticos, que pueden ser una de las funciones

que estudiaremos a continuación.

Asesoría didáctica

Asesoría didáctica 1

Supongamos que tenemos $ 1000 en el banco ganando intereses a una tasa anual del

5%. El interés y el tiempo están relacionados por la fórmula:

tI )05.0(1000

Esta fórmula asigna a cada valor que pueda tomar “t” un valor específico de “I” o lo

que es igual, se ha establecido una regla para hallar el valor de “I” para cada valor que

pueda tomar “t”.

A cada uno de los diferentes valores que puede tomar “t” se los denomina entradas y a

los valores de “I” que corresponden a cada uno de estos, se los denomina salidas.

Valiéndonos de este ejemplo, podemos enunciar una de las definiciones más

importantes en las matemáticas, la de función.

Una función es una regla, que asigna a cada uno de los valores de entrada, un valor de

salida.

Revise en el texto guía las definiciones sobre funciones, dominio, rango, variable

principal y variable dependiente, así como familiarícese con la nomenclatura usada. Con

estos criterios bien establecidos, revise los ejercicios resueltos y resuelva algunos de los

problemas propuestos, antes de resolver los problemas de la guía.




Estamos listos para analizar las funciones lineales y sus aplicaciones, empecemos con

su definición:

Una función f es una función lineal si, y solo si f(x) se puede expresar en la forma: f(x)

= ax + b, en donde a y b son constantes y a ≠ 0.

Es importante graficar correctamente estas ecuaciones que siempre son líneas rectas,

para ello basta hallar dos puntos de la recta y unirlos, así como conocer otras formas de

escribir las ecuaciones de las rectas.

Para mejor comprensión de este tema, lea y analice el estudio sobre la recta, capítulo

II, del texto, Geometría Analítica, autor Ing. Hugo Iñiguez

Palacios.??????????????????

Si tenemos claro el concepto de función lineal, la podremos definir cuando conocemos

algunos de sus elementos por ejemplo:

1.- Halle f(x), si f es una función lineal que tiene las siguientes propiedades: f(-2) = -1

; f(-4) = -3.

Como es una función lineal, será de la forma: f(x) = y = ax + b ; de acuerdo a los datos

si x = -2 entonces y = f(x) = -1 por tanto:

-1 = a(-2) + b operando: -2a + b = -1 (1)

Hacemos lo mismo con la segunda condición:

-3 = a(-4) +b operando: -4a + b = -3 (2) , resolvemos el sistema:

De (1): b = 2a – 1. De (2): b = 4a – 3 , igualamos los valores de b:

2a – 1 = 4a – 3 de donde: a = 1 ; con este valor hallamos el de b: b = 1 ; la

función es: y = f(x) = x + 1

Como todas las funciones lineales son rectas, el problema lo podemos resolver diciendo:

f(-2) = - 1 es lo mismo que tener el punto P(-2 ; -1)

f(-4) = - 3 es lo mismo que tener el punto Q( -4 ; -3)

Con dos puntos definimos la pendiente: 142

31

con este valor aplicamos la

ecuación

de la recta en la forma punto- pendiente: y + 3 = 1 ( x + 4) operando: y = x + 1

Las funciones lineales se pueden dar y obtener de diferentes maneras, analicemos un

ejemplo de ello:



2.- Una compañía paga a sus agentes de ventas, con base a un porcentaje de los

primeros $ 100.000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que

rebase ese valor. Si un agente recibió $ 8.500 por ventas de $175.000 y otro recibió

$14.800 por ventas de $ 280.000, halle los dos porcentajes.

Los $ 8.500 son iguales, a un primer porcentaje (x) por los primeros $ 100.000 más un

segundo porcentaje (y) por los $ 75.000, poniendo en forma de ecuación lineal:

8.500 = 100.000 x + 75.000 y (1) .Para el segundo agente:

14.800 = 100.000x + 180.000y (2) .Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

-8.500 = -100.000 x – 75.000 y

14.800 = 100.000 x + 180.000 y

6.300 = 105.000 y

De donde: y = 0,06 o 6% ; con este valor:

8.500 = 100.000 x + 4.500

De donde: x = 0,04 o 4%


Del estudio de la parte correspondiente de su texto guía, debe tener claro que es la

oferta, demanda, utilidad y todos los demás conceptos sobre estos temas.

Para determinar el punto de equilibrio, hacemos sistema entre sus ecuaciones, que no es

otra cosa más que hallar el punto de corte de las rectas que representan, pero debemos

recordar que solo nos interesan los que se producen en el primer cuadrante.

Debemos tener muy en cuenta que las rectas de oferta y de demanda son funciones

lineales, y a estas las podemos escribir como ecuaciones de rectas, por lo que debería

revisar los apuntes de la recta que están a continuación, lo que le dará una mejor visión

de cómo se trabaja con estas ecuaciones.

A continuación les presento una ayuda bibliográfica sobre la recta.

2.1. Pendiente de una recta.

Cuando dos rectas se cortan, forman dos pares de ángulos llamados opuestos por el

vértice; si nos piden el ángulo comprendido entre ellas no sabremos a cual de ellos

referirnos, para evitar esta confusión damos la siguiente definición:



Se llama ángulo entre dos rectas dirigidas, al formado por los lados que se alejan

del vértice.

Para definir el ángulo, basta dar direcciones a las rectas L1 y L2, (fig. a) si en cambio,

queremos definir el ángulo, cambiamos la dirección de L1 (fig. b) con lo que el

problema queda solucionado.

Antes de enunciar el teorema que nos permite definir el valor del ángulo formado por

dos rectas que se cortan, revisemos algunos principios fundamentales:

1. En Geometría Analítica trabajamos únicamente con ángulos positivos, siendo estos,

los que se generan en sentido antihorario, o en sentido contrario al que giran las

manecillas del reloj.

2. La recta a partir de la cual se genera el ángulo, se llama recta inicial y la recta en la

cual termina de generarse el ángulo, recta final. Las pendientes de estas rectas, se

llamarán pendiente inicial y final respectivamente. Así en la figura, el ángulo

empieza a generarse en la recta L1, que será el lado inicial, y termina en la recta L2

que será el lado final.

3. Si L1 y L2 son paralelas, el ángulo entre ellas será: 0 si las rectas tienen igual

dirección y 180 si sus direcciones son opuestas.

4. Los ángulos y son suplementarios, es decir, sumados dan 180.

5. El campo de variación del ángulo formado por dos rectas que se cortan, está

comprendido entre 0o y 180.

2.1.1. Angulo de inclinación



Se llama ángulo de inclinación de una recta, al ángulo positivo, formado por la

parte positiva del eje de las X y la recta considerada como dirigida hacia arriba.

De acuerdo a la definición

dada, el ángulo de inclinación

de la recta L1 es 1 y el

ángulo de inclinación de L2 es

2..

Por consiguiente, el campo

de variación del ángulo de

inclinación es:

0o 180

º

2.1.2. Pendiente de una recta

Llamaremos pendiente de una recta, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación.

Representamos a la pendiente mediante la letra “m “; por lo que: m = tg

Si una recta es paralela al eje X, decimos que su ángulo de inclinación es de 0o o de 180

º

dependiendo de la dirección de la recta, en los dos casos su pendiente es igual a cero.

Si es agudo, la pendiente de la recta es positiva, como en el caso de L1; si es

obtuso como en la recta L2, la pendiente es negativa.

Si la recta es paralela o coincidente con el eje Y, su ángulo de inclinación es 90º y su

pendiente será igual a la tg 90º, como este valor no está definido, diremos que estas

rectas no tienen pendiente.

Si hacemos girar la recta L1 de manera que se acerque a una posición vertical con

respecto del eje X, su pendiente crecerá numéricamente tanto como nosotros queramos,

de aquí nace la expresión: tg 90 = cuyo significado debe tomarse con mucho

cuidado, ya que no representa un número real, sino una cantidad que no existe.

2.1.3. Determinación de la pendiente

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta que no sea vertical, resulta

sencillo obtener su pendiente, aplicando el teorema número cinco.



Teorema 5: Conocidos los puntos P1 y P2 de una recta L, su pendiente queda

definida por las expresiones:

El que existan dos expresiones que nos definen el valor de la pendiente, lo que implica,

al igual que en la distancia entre dos puntos, es que no tiene importancia que punto

tomemos como P1 o como P2.

Si una recta es paralela al eje X, decimos que su ángulo de inclinación es de 0o o de 180

º

dependiendo de la dirección de la recta, en los dos casos su pendiente es igual a cero.

Si es agudo, la pendiente de la recta es positiva, como en el caso de L1; si es

obtuso como en la recta L2, la pendiente es negativa.

Si la recta es paralela o coincidente con el eje Y, su ángulo de inclinación es 90º y su

pendiente será igual a la tg 90º, como este valor no está definido, diremos que estas

rectas no tienen pendiente.

Si hacemos girar la recta L1 de manera que se acerque a una posición vertical con

respecto del eje X, su pendiente crecerá numéricamente tanto como nosotros queramos,

de aquí nace la expresión: tg 90 = cuyo significado debe tomarse con mucho

cuidado, ya que no representa un número real, sino una cantidad que no existe.

2.1.3. Determinación de la pendiente

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta que no sea vertical, resulta

sencillo obtener su pendiente, aplicando el teorema número cinco.

Teorema 5: Conocidos los puntos P1 y P2 de una recta L, su pendiente queda

definida por las expresiones:

8XX:siXX

YYmo

XX

YYm 21

21

21

12

12

8XX:siXX

YYmo

XX

YYm 21

21

21

12

12



El que existan dos expresiones que nos definen el valor de la pendiente, lo que implica,

al igual que en la distancia entre dos puntos, es que no tiene importancia que punto

tomemos como P1 o como P2.

Ejemplos

19.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación de, la recta que pasa por

los puntos: (3 ; 2) y B(-4 ; -1).

Hallamos el valor de la pendiente:

20.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación, de la recta que pasa por

los puntos: A (-3; 4) y B (5; 4).

Siendo la recta paralela al eje de las X, podemos asegurar que su pendiente vale 0, y

que su ángulo de inclinación será de: 0º o de 180º.

Analíticamente:

21.- Un punto de una recta tiene por

coordenadas: (3; 4), si las coordenadas de otro

punto son: (n; -2), determinar el valor de “n” si

la recta no tiene pendiente.

2,237

3.

7

3:

7

3

34

21

12

12

tgArc

tgmComo

xx

yym

1800

0.

053

44

o

Arctg

m



Si la recta no tiene pendiente, debe ser paralela al eje de las Y, (como lo indica la fig.47)

y todos los puntos que pertenecen a esta recta deben tener la abscisa igual,

consecuentemente la abscisa del punto B debe valer 3.

Por tanto “n” = 3

2.2. Ángulo formado por dos rectas

Para calcular el valor de los ángulos y , cuando conocemos las pendientes m1 y

m2 de las rectas que lo forman, nos valemos del siguiente teorema:

Teorema 6: Un ángulo específico , formado por dos rectas al cortarse, se define

mediante la relación:

Ejemplo

22.- Los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A (2 ; -1) ; B(-2 ; 0) y C(3

;2).

Calcular el valor de sus ángulos interiores.

Calculamos las pendientes de los

lados.

5

2

23

02m

323

12m

4

1

22

10m

BC

AC

AB

91..1

tg

if

if

ifmmsi

mm

mm



Para el ángulo se cumple que: mf = mAB y mi = mAC

Para el ángulo se cumple que: mf = mBC y mi = mAB

Para el ángulo se cumple que: mf = mAC y mi = mBC

Comprobación: + + = 180º

94,36º + 35,84º + 49,8º = 180º

2.3. Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman entre ellas es de 0º o de 180º, según

que sus direcciones sean iguales u opuestas, en ambos casos la tangente de estos

ángulos vale cero, por lo que:

Para que esta fracción valga cero el numerador debe valer cero, por tanto:

La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean paralelas, es que, sus

pendientes sean iguales.

Si las rectas son perpendiculares, el ángulo formado formando por ellas es 90º como la

tg de 90º no esta definida, no podemos usar la relación [9] para definirla, pero tg =

1/ctg utilizando esta relación:

if

if

m.m1

mm0

ifif mmigualesqueloomm 0

if

if

mm

mmc

.190tg

94,3613tg;13

.34

11

34

1

tg 1φ

35,8418

13tg;

18

13

4

1.

5

21

4

1

5

2

tg 1

49,811

13tg;

11

13

5

23.1

5

23

tg 1



Como ctg 90º = 0; el numerador de la fracción debe valer cero, por tanto:

Para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es condición necesaria y

suficiente, que el producto de sus pendientes sea –1.

Podemos decir también: dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de

una de ellas es inversa y de signo contrario de la pendiente de la otra.

Ejercicios orales

1. ¿Qué es el ángulo de inclinación?

2. ¿Qué es la pendiente?

3. ¿Entre que valores está comprendido el ángulo de inclinación?

4. ¿Qué valores puede tomar la pendiente de una recta?

5. Si una recta es paralela al eje Y, ¿cuanto vale su pendiente?

6. ¿Cuánto vale la pendiente del eje X?

7. ¿Cuándo los valores de las pendientes son positivos?

8. ¿Cuál es la condición, para que dos rectas sean paralelas?

9. ¿Cuál es la condición, para que dos rectas sean perpendiculares?

10. ¿Qué deberá cumplirse, para que dos rectas se corten?

11. ¿Cómo se halla, el ángulo formado por dos rectas?

12. ¿Cómo están en el plano dos rectas, s

13. El producto de sus pendientes es: + 1

1m.migualesqueloo0m.m1 ifif

1

2

2

1

11

mmo

mm



Resumen de fórmulas

1.:1

if

if

ifmmsi

mm

mmtg

2.4. Ecuaciones de la recta: formas

Para definir una línea recta analíticamente, debemos conocer previamente lo que es un

lugar geométrico, por lo que empezaremos dando su definición.

Lugar geométrico: es el conjunto de los puntos del plano y solamente de aquellos

que satisfacen la o las condiciones dadas.

Al ser los lugares geométricos conjuntos de puntos que satisfacen condiciones dadas, es

posible establecer leyes matemáticas, que describan su comportamiento, y son

precisamente estas leyes, a las que les denominamos: ecuaciones de los lugares

geométricos.

2.4.1. La recta: definición

Conociendo lo que es un lugar geométrico y la ecuación que lo representa, podemos ya

definir analíticamente a la línea recta.

La recta es el lugar geométrico de todos los puntos tales que: tomados de dos en

dos y en forma diferente, nos den siempre una pendiente constante.

Las líneas rectas las podemos dividir en dos grandes grupos, las rectas paralelas al eje

de las Y, y las no paralelas a este eje. De las primeras nos ocuparemos más adelante,

empezaremos nuestro estudio por el segundo grupo de rectas.

La ecuación de una línea recta, que es un lugar geométrico, queda perfectamente

definida si conocemos dos condiciones que deben de cumplir los puntos pertenecientes

21

21

21

12

12 :

.

xxsixx

yymo

xx

yym

nóinclinacideángulotgm



a ella. Los diferentes nombres de la ecuación de la recta, dependen del tipo de

condiciones dadas.

2.4.2. Forma: punto pendiente

Supongamos que una recta L, cuya ecuación

deseamos hallar, pasa por el punto: P1 (x1 ; y1) y

tiene una pendiente dada “m”.

Si tomamos un punto P (x ; y) cualquiera

perteneciente a esta recta, debe cumplirse que la

pendiente PP1 debe ser por definición, siempre

igual a “m”.

Planteando esta condición tendremos:

Si sustituimos en esta última ecuación: x = x1 obtendremos que: y = y1 lo que

demuestra que el punto P1 pertenece a la recta L. Por lo tanto, la ecuación [10]

representa correctamente a la recta L.

Debido a que la pendiente de una recta, que pasa por dos puntos se obtiene fácilmente,

la ecuación punto pendiente, se puede también emplear para encontrar la ecuación de la

recta, que une dos puntos cualesquiera.

Ejercicios de aplicación

27.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por

el punto: P (-3; 2) y forma con el eje de las Y, un

ángulo de 60. Si el ángulo se mide a partir del

eje Y positivo.

:1

1 dondedexx

yym

10)xx(myy 11



Conocido el ángulo que forma con el eje Y, podemos hallar el ángulo .

Hallamos ahora el ángulo suplementario de , que es el ángulo de inclinación de la recta

.

Si conocemos el ángulo de inclinación, podemos conocer la pendiente de la recta:

Si conocemos un punto de la recta y su pendiente podemos utilizar la ecuación [10].

28.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A (2;-3) y B (-5; 4).

Definimos el valor de la pendiente:

Con este valor y uno cualquiera de los puntos, hallamos la ecuación de la recta.

2.4.3. Rectas paralelas al eje Y.

Sea L una recta cualquiera, paralela al

eje Y, y que dista k unidades de dicho

eje.

Todo punto que pertenezca a la recta L

cualquiera que sea su ordenada, tiene

306090

15030180

3

3:. mdondedetgm

033633.:33

32 yxSoloperandoxy

152

43m

01.:)2(13 yxSoloperandoxy



siempre una abscisa igual a k. ( Puntos Q, R y S ). Las coordenadas de todos los puntos

de L, satisfacen por tanto la condición: x=k.

Toda recta paralela al eje Y, tiene una ecuación de la forma: x = k.

Siendo k la distancia dirigida del eje Y a la recta. [ 11 ]

Una recta es o no paralela al eje Y. Si es paralela al eje Y, su ecuación es de la forma:

x = k ; si no es paralela al eje Y, su pendiente está definida y su ecuación será por lo

tanto de la forma: y - y1 = m(x – x1).

Como todas las rectas caen bajo una de estas clasificaciones, cualquier otra forma de la

ecuación de la recta, debe reducirse a una de estas formas.

Para algunos tipos de problemas, son más convenientes, otras formas de la ecuación de

la recta, por lo que procedemos a exponerlas y estudiarlas.

2.4.4. Forma: pendiente y ordenada al origen

Si la recta corta al eje de las X en el punto: A(a ; 0) se dice que “a” es la abscisa en el

origen de la recta. Análogamente, si la recta corta al eje Y en el punto B(0 ; b), a ”b”

se le denomina ordenada en el origen de la recta. “a” , “b” son las coordenadas al

origen, es decir, las distancias con signo que hay, desde el origen de coordenadas a los

puntos de corte de la recta con los ejes.

Supongamos que una recta cuya ecuación

queremos encontrar, tiene pendiente “m” y una

ordenada en el origen “b”. Puesto que el punto (0

; b) es un punto de la recta, usando la ecuación en

la forma punto pendiente tendremos:

Un caso particular tenemos cuando la recta pasa por el origen de coordenadas, en

esta circunstancia: b = 0 y la ecuación se convierte en: y = mx [13]

12bmxy

)0x(mby

)xx(myy 11



2.4.6. Forma: general

Cualquier ecuación de primer grado en las variables “x e y” se puede escribir en la

forma: Ax + By + C = 0 [ 15 ]. Denominada ecuación general de la recta.

Ecuación en la cual A, B y C son constantes, que pueden ser numéricas o literales,

debiendo A o B ser diferentes de cero, para que exista ecuación. C puede o no ser

igual a cero.

Para demostrar que la ecuación en la forma general, representa siempre una línea recta,

examinaremos las formas posibles de la ecuación.

Caso I: Si B = 0

Si B = 0 entonces A 0 y la ecuación general se convierte en: Ax + C = 0

Como A 0 la ecuación se puede escribir en la forma: x = -C/A que es una

ecuación de la forma: x = k, es decir es una recta paralela al eje Y.

Caso II: Si B 0

Si B 0 podemos dividir todos los términos de la ecuación general por B y despejar

“y” obteniendo:

Pero ésta ecuación está en la forma: y = mx + b y por tanto, es la ecuación de una

recta, cuya pendiente es -A/B y su ordenada en el origen es - C/B.

Caso III: Si C = 0

Si C = 0 la ecuación toma la forma: Ax + By = 0, si despejamos el valor de y:

Que es la ecuación de las rectas que pasan por el origen de coordenadas.

B

Cx

B

Ay

mxy:formalaenestáquexB

Ay



En consecuencia, en todos los casos, la ecuación en la forma general, representa una

línea recta. Si la ecuación está en la forma general, la abscisa en el origen se define: a

= - C/A

Al analizar la ecuación de la recta en la forma general, parecería que los coeficientes: A;

B y C son totalmente independientes entre sí, pero, podemos demostrar fácilmente, que

en realidad solo hay dos constantes independientes, si uno de los coeficientes A o B es

diferente de cero; bastará utilizar el procedimiento descrito en el análisis del caso II.

Dividimos toda la ecuación para A o B:

En los dos casos, quedan dos constantes a ser definidas, para calcular estas constantes

necesitamos dos ecuaciones independientes que las contengan. Como en Geometría

Analítica, la ecuación de una recta queda perfectamente definida por dos condiciones

independientes, podemos hallar el valor de los tres coeficientes.

Luego de este análisis, podemos enunciar el siguiente teorema:

Teorema 7: Toda ecuación de primer grado, representa una línea recta, y

recíprocamente, toda recta puede representarse por una ecuación de primer

grado.

Ejercicios de aplicación

32.- Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el punto: A(1 ; 4) son paralelas

y perpendiculares a la recta: 3x – 2y + 40 = 0

L1 = recta dada.

L2 y L3 rectas buscadas

Si las rectas son paralelas:

B

C

B

A

B

Cyx

B

ABparaDividiendo

A

C

A

B

A

Cy

A

BxAparaDividiendo

;0:

;0:

2

3mm

21 LL



Utilizando la forma punto pendiente definimos L2:

Por la condición de perpendicularidad:

Utilizando la forma punto pendiente hallamos la ecuación de L3:

33.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si: A(-3 ; 6) y B(5 ; 2).

Si es mediatriz, divide al segmento perpendicularmente en dos partes iguales, hallamos

las coordenadas del punto medio.

Por ser perpendiculares las rectas:

Aplicando la forma punto pendiente:

Ejercicios orales

..0523

)1(2

34

2LEcyx

xy

3

2;1.

331 LLL mmm

..01432:)1(3

24 3LEcyxoperandoxy

)4;1(;42

26

12

53

my

x

m

m

2m2

1m;1m.m 2121

022.

:)1(24

yxSol

ordenandoyoperandoxy



1. Indique la ecuación de las rectas que satisfacen las condiciones dadas:

a.- Paralela al eje X y pasa por el punto: ( 2 ; 4 ).

b.- Paralela al eje Y y pasa por el punto: (-3 ; -5 ).

c.- Coincidente con el eje X.

d.- La recta bisectriz del primer cuadrante.

2. ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas?

a.- x = 2y

b.- 3x + 2y – 1 = 0

c.- y = - 4

d.- 2x = 5

3. ¿Cuánto vale la abscisa en el origen de las siguientes rectas?

a.- 2y = 3x – 1

b.- x – 3y – 1 = 0

c.- y = - 5

d.- x = 4

e.- y/6 – x/3 = 1

4. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen de las siguientes rectas?

a.- 2y = 4x + 3

b.- 5x – 3y – 2 = 0

c.- y = 2

d.- x = - 7

e.- 2x/5 + 3y/7 = 1

5. ¿Cuánto debe valer A para que las rectas dadas sean: paralelas,

perpendiculares y se corten en un punto?

L1: 3x + 2y – 3 = 0

L2: 6x – Ay + 4 = 0

6. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean:

a.- Perpendiculares.

b.- Coincidentes.

c.- Se corten en un punto.

Resumen de fórmulas




¿Cómo definimos la función utilidad cuando la consideramos como función lineal?

Tenga presente que los costos variables son por cada unidad que se produce, mientras

que los costos fijos son por un determinado período de tiempo. Las utilidades negativas

no son sino pérdidas que las compañías pueden tener.


B

Am

B

Cb

A

Ca

generalFormaCByAx

simétricaFormab

y

a

x

origenelporpasanquectasmxy

compactaFormabmxy

Xejealparalelasctasky

Yejealparalelasctaskx

pendientepuntoFormaxxmyy

;;

.0

.1

.Re

.

.Re

.Re

.11



Las funciones cuadráticas son las que se pueden expresar en la forma: f(x) = ax2 + bx +

c; con la condición de que a ≠ 0.

Por ejemplo: f(x) = -3x2 – 5x + 2 ; g(t) = 4t

2 – 5.

Las gráficas de las funciones cuadráticas se denominan parábolas. Si a > 0, la gráfica se

extiende en forma indefinida hacia arriba y decimos que la curva se abre hacia arriba.

Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo. En cualquiera de los dos casos las curvas son

simétricas respecto de una recta vertical denominada eje de simetría.

El vértice es el punto en donde el eje de simetría corta a la curva. Si a > 0, el vértice es

el punto más bajo de la parábola y f(x) tiene un valor mínimo en ese punto. Si a < 0, el

vértice es el punto más alto de la curva, esto significa que f(x) tiene un valor máximo en

ese punto. Los valores o coordenadas del vértice se las obtiene mediante la expresión:

a

bf

a

b

2;

2 ; El punto de corte de la parábola con el eje Y es (0 ; c).

Para graficarla fácilmente hallamos las coordenadas del vértice y los puntos de corte de

la curva con el eje X, para esto hacemos en la función y = 0 y hallamos los valores de

x, en caso de que estos sean imaginarios quiere decir que la curva no corta al eje X.

Con esta explicación adicional y con lo estudiado en el texto guía, en las páginas 144 a

151 estamos en condiciones da analizar y graficar cualquier función cuadrática, veamos

un ejemplo:



En la función cuadrática: g(x) = 3x2 – 6x + 13, halle las intersecciones con los ejes, su

dominio, rango, el máximo o mínimo y realice un gráfico de la curva.

g(x) = 3x2 – 6x + 13

Si y = 0

3x2 - 6x +13 = 0 ; raíces imaginarias, por lo tanto, la

curva no corta al eje X.

Si x = 0 ; y = 13

P( 0 ; 13)

Hallamos las coordenadas del vértice:

)10;1(1013)1(6)1(32

16

6

2

2 Va

bf

a

b

Dominio y rango:

y = 3x2 – 6x + 13 por tanto: Do. = reales.

Rango: 10 ≤ y < ∞ (nos valemos del vértice y de la abertura hacia arriba de la curva)


Una de las principales aplicaciones de la función cuadrática, en la administración de

empresas es la función utilidad, como lo veremos en el siguiente ejemplo:

Se demandan mensualmente “q” unidades de cierto producto al precio de “p” dólares

por unidad, demanda que está dada por la relación: q = 15.500 – 25p. El costo de la

mano de obra y del material es de $15 por unidad y los costos fijos son de $1.000 al

mes. Determine la función utilidad y grafíquela. ¿Cual es la utilidad máxima? ¿Cuántas

unidades deben fabricarse para tener pérdida?

U = Ingresos – costos totales

I = p.q por lo tanto:

I = p (15.500 – 25 p) operando:

I = 15.500p – 25p2



CT = 15q + 1.000 reemplazando:

CT = 15(15.500 – 25 p) + 1.000 operando:

CT = 232.500 - 375p + 1000

U = 15.500p – 25p2 -232.500 + 375p – 1.000 hacemos términos semejantes:

U = -25p2 + 15.875p – 23.500. Función utilidad.

Hallamos las coordenadas del vértice:

31750

875.15

2

a

b

656.2286)317( f

)656.2286;317(V

Puntos de corte con los ejes:

Si p = 0 ; U = - 233.500

P (0 ; 233.500)

Si U = 0

-25p2 +15.875p – 233.500 = 0 hallamos las raíces de esta ecuación:

X1 = 620 por tanto: P(620 ; 0)

X2 = 15 por tanto: P(15 ; 0)

Para que haya pérdida deben fabricarse menos de 15 o más de 620 artículos.


Siendo la determinación del dominio y del rango de una función de mucha importancia,

analicemos juntos los siguientes ejemplos de su determinación, para diferentes clases de

funciones.



Hallar el dominio y rango de la función: xx

xxf

2

4)(

La función no se altera en nada si la escribimos como: xx

xy

2

4 para que esta

expresión exista, el denominador debe ser diferente de cero (la división para cero no

existe), por tanto:

10:0)1(:02 xyxdondedexxfactorandoxx el dominio

es por tanto, el conjunto de los números reales menos estos dos elementos.

1;0Do

Despejamos ahora la variable independiente esto es la “x”:

y

yxfinalmenteyxy

dondedeyxyxcomúnfactorsacandoxyxyx

4:04

:0)4(:042

Por la consideración de fracción: y ≠ 0, por tanto: 0Rango

2.- Hallar el dominio y el rango de la función: xxxg 34)( 2

Como no existen raíces de cantidades negativas, debe cumplirse que: 034 2 xx

xxDdondedexxfactorando 04

3:0)34(:

De acuerdo al enunciado del problema la variable “y” solo puede ser igual a valores

positivos o cero, por tanto: 0: yRango

Otro punto importante de nuestro estudio, es el análisis y gráfico de funciones diferentes

a las lineales y cuadráticas, miremos en el siguiente ejemplo, todos los pasos a seguir

para realizar un análisis correcto de cualquier función:

Analizar y graficar: xy – 5x + 5y - 10 = 0 (expresión original)

Si despejamos el valor de “y” esta expresión la podemos escribir como:

5

105

x

xy Que es una función racional y por tanto su gráfica es una curva.

Iniciamos el análisis hallando los puntos de corte de la curva con los ejes:

Si x = 0 ; y = 2 por tanto: P(0 ; 2)

Si y = 0 ; x = -2 por tanto: P(-2 ; 0)



Analizamos las simetrías con los ejes y con el origen, para esto seguimos las siguientes

reglas:

Eje X: reemplazamos en la expresión original las “y” por “-y” si la expresión resultante

es igual a la original hay simetría.

Eje Y: reemplazamos en la expresión original las “x” por “-x” si la expresión resultante

es igual a la original hay simetría.

Origen: reemplazamos en la expresión original las “x” por “-x” y las “y” por “-y” si la

expresión resultante es igual a la original hay simetría.

Eje X: x(-y) – 5x + 5(-y) - 10 = 0 operando:

-xy – 5x – 5y – 10 = 0 diferente de la original, no hay simetría.

Eje Y: (-x)y – 5(-x) – 5y – 10 = 0 operando:

-xy + 5x – 5y – 10 = 0 diferente de la original, no hay simetría.

Origen: (-x)(-y) – 5(-x) + 5(-y) – 10 = 0 operando:

xy + 5x – 5y – 10 = 0 diferente de la original, no hay simetría.

Hallamos el dominio de la función o relación: para esto despejamos la variable “y” y

nos preguntamos: ¿Qué debe cumplirse para que “y” exista?

5

105

x

xy Para que “y” exista el denominador debe ser diferente de cero, por tanto:

x + 5 ≠ 0 o sea: x ≠ - 5 por tanto: 5min ioDo

Hallamos el rango: despejamos la variable “x” y nos preguntamos: ¿Qué debe

cumplirse para que “x” exista?

5

510

y

yx Para que “x” exista el denominador debe ser diferente de cero, por tanto:

y – 5 ≠ 0 o sea: y ≠ 5 por tanto: 5Rango

El dominio nos indica de cuantas partes se compondrá nuestro gráfico, en este caso de

dos partes, una para valores de “x” desde menos infinito hasta antes del -5 y otra desde

el -5 hasta más infinito.



Ecuaciones de las asíntotas: al despejar la variable “y” se formó una fracción en cuyo

denominador existe la variable “x”, igualamos este a cero para obtener la ecuación de la

asíntota vertical.

...05:tan5

105verticalAstEcxtolopor

x

xy

De igual manera procedemos con la expresión en la cuál está despejada la variable “x”

...05:tan5

510horizontalAstEcytolopor

y

yx

Finalmente hacemos dos tablas de valores, debido a que nuestro gráfico consta de dos

partes:

X -10 -9 -8 -7 -6 -5,1

Y 8 35/4 10 25/2 20 155

X -4,8 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Y -70 -10 -5/2 0 5/4 2 15/6 20/7

Con estos valores construimos el gráfico.




Cuando en determinados problemas nos piden hallar el punto de equilibrio, al resolver

el sistema de ecuaciones, obtenemos ecuaciones de grado mayor al segundo, en estos

casos debemos recurrir al método gráfico, esto es graficar las ecuaciones en el primer

cuadrante y leer del gráfico los valores correspondientes al punto de equilibrio, lo que

podemos practicar con el siguiente ejemplo:

La ecuación de la oferta para un producto es: p = 0,73q2 + 24,6 y la ecuación de la

demanda es: p (1 + 0,87q) = 4530. En esta ecuación el número de unidades “q” está en

miles. Determine el precio y la cantidad de equilibrio.

Despejamos “p” de la ecuación (2) e igualamos con la “p” de (1):

4530)87,01)(6,2473,0(

:87,01

45306,2473,0

:87,01

4530

2

2

qq

operandoq

q

igualandoq

p



Se nos presenta una ecuación cúbica que no podemos resolver, entonces nos valemos

del método gráfico, graficamos las curvas solo en el primer cuadrante y leemos las

coordenadas del punto de equilibrio del gráfico.

p = 0,73q2 + 24,6 es una parábola de vértice en (0 ; 24,6) que se abre hacia arriba, para

graficarla calculamos dos puntos adicionales: P(10 ; 97,6) ; P(20 ; 316,6)

qp

87,01

4530

Es una función racional, definimos su dominio para saber que valores

dar e

el primer cuadrante:

)15.1(15.187,0

1087,01

Dqqq ; podemos dar a

“q” valores: q0

Leemos el punto de equilibrio del gráfico: PE (18 ; 268).



Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamientos

1. Plantee una función, que le permita calcular la edad de su madre, en

cualquier tiempo, en función de la suya. Defina las variables: dependiente e

independiente e identifíquelas en la función planteada. ( i punto)

2. ¿Qué son el dominio y rango de una función? Determine el dominio y el

rango de las siguientes expresiones e indique si son o no funciones:

(1 punto)

a.- y =- 3x + 2 ; b.- -2x = 5 ; c.- 4y = 7 ; d.- 2x + 5y

= 0

3. Halle las ecuaciones de las rectas, escríbalas en la forma general (Ax + By

+C= 0) y grafíquelas, si cumplen con las siguientes condiciones: (2 puntos).

a.- Pasa por (-3 ; -2) y tiene m = - 4/3

b.- Pasa por (2 ; 5) y por (-6 ; -5)

c.- m = - 2/5 ; intersección con el eje Y, b = 12

d.- Pasa por (0 ; 0) y m = 67/8

4. Un bien se compra en $370.000 y se espera que cuadruplique su valor en

5 años. Determine una función lineal, qué nos indique el valor del bien,

en cualquier época. (Después de “t” años). (1

punto).

Orientaciones

didácticas

Revise la teoría presentada en el texto guía para estos temas, en especial el

concepto de función. Lea y analice de manera especial la asesoría didáctica 2

sobre la recta, ahí tiene toda la teoría que en el texto guía puede faltar.


Planteamientos

1. A $0,6 por kilo de harina, la oferta diaria es de 450 kilos, mientras que la

demanda diaria es de 645 kilos. Si el precio se incrementa a $0,90 el kilo, la

oferta diaria aumenta a 750 kilos, mientras que la demanda diaria



disminuye a 495 kilos. Determine las ecuaciones de la oferta y de la

demanda y halle la cantidad y el precio de equilibrio

Al resolver este problema dos alumnos presentan los siguientes resultados:

María Juan

Ec. Oferta: 0,001q – p + 0,15 = 0 0,003 q – 2p + 0,25 =0

Ec. Dem: 0,003 q +p – 1,98 = 0 0,002q + p – 1,89 = 0

P.E ( 580 ; 0,73) P.E (680 ; 0,83)

Indique cuáles de los resultados son incorrectos. (1,5

puntos)

2. A una compañía de grabación le cuesta $17.680 producir un álbum

musical, este es un costo fijo que incluye la grabación, el diseño del álbum

etc. Los costos variables, incluyendo la producción, comercialización y

regalías son de $4,6 por álbum. Si cada álbum se vende en las tiendas de

discos a $8 cada uno, ¿Cuántos álbumes se deben vender para llegar al

punto de equilibrio?

a) CT = 4,6q + 17.680 b) (4,6 + 17.680)q c) 17.684,6q

b) U = 4,6q – 17.680 b) 3,4q – 17.680 c) 3,4q +

17.680

c) 6.200 c) 2.800 c) 5.200

(1.5 puntos)

Señale las respuestas correctas.

4. Un fabricante de postes de hormigón para cerramientos vende todo lo

que produce:

a $8 cada uno. Si el costo total es: YTC = 10q + 1.200 en donde ”q” es el

número de unidades producidas y vendidas.

a.- Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el

diagrama de equilibrio.

b.- Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el

diagrama de equilibrio, si el costo total se incrementa en un 25%.

(2 puntos)



Orientaciones

didácticas

Aplique los conocimientos sobre las ecuaciones de la recta, en estos problemas

de rectas de oferta y demanda.


Planteamientos

1. En las siguientes funciones cuadráticas, determine: dominio, rango,

coordenadas del vértice, puntos de corte con los ejes y realice un gráfico.

a.- s = g(t) = - 1/15.t2 - 1823t + 22000

b.- t = f(s) = 343s2 - 615s + 1750 = 0 (1 punto)

1. Un patio de autos tiene 250 autos pequeños en venta. La ganancia mensual

obtenida por la venta de de “q” autos está dada por: G = -120q2 + 1.530q –

65.000. ¿Cuántas unidades deben venderse, para que la ganancia mensual sea

máxima y cuál es la máxima ganancia mensual que se puede obtener? (1

punto)

2. Se demandan mensualmente “q” unidades de chompas al precio de “p”

dólares la unidad, esta demanda está expresada mediante la relación: 25q +

1310p = 165.000. El costo de la elaboración de cada chompa es de $ 7 por

mano de obra y de $ 9 por los materiales, mientras que los costos mensuales

fijos son de $12.000.

a) Determine la función utilidad en términos de “p” y grafíquela.

b) Determine la función utilidad en términos de “q” y grafíquela.

c) ¿Cuáles son el precio y la cantidad que hacen nula la utilidad?

(3 puntos)

Orientaciones

didácticas

Estos problemas son de aplicación de la función de segundo grado, revise en

el texto y en la guía, la teoría que necesita para resolverlos.


Planteamientos

1. En las siguientes expresiones: halle sus intersecciones con los ejes, su

dominio y rango, de ser el caso, examine sus simetrías respecto de los ejes

coordenados y del origen, analice si existen o no asíntotas y realice un

gráfico de la expresión.

a. 2xy – (4/7)y +4x +12 = 0 (1 punto)



b.

33

1

335)(

xsix

xsixyxf

2. Para un fabricante la ecuación de ingreso total es: 772150 qYTR . Los

costos variables son de $ 60 por la mano de obra y de $ 90 por los materiales,

mientras que los costos fijos por período, son de $ 1.500.

Encuentre la cantidad y el precio de equilibrio, tanto gráficamente como

analíticamente (recuerde que solo nos interesan los gráficos en el primer

cuadrante). Realice un análisis sobre las finanzas de esta empresa.

¿Qué pasaría si los costos se reducen en un 35%? (2 puntos)

3. Las estadísticas obtenidas por los restaurantes de la cadena Toronto

muestran que cada vez más comensales se sirven por sí solos la comida. La

siguiente función, da las ventas de autoservicio, como porcentaje de todas las

ventas de comida.

207)5(9

701025,0)(

2/1 tsit

tsittf

En este caso, t es el tiempo en años y t = 0 corresponde al año de inicio 1.985.

a. Realice un gráfico de la función.

b. ¿Cuál porcentaje de las ventas al inicio de los años de 1.987 y 2.004,

correspondió a autoservicio? (2 puntos)

Orientaciones

didácticas

Estos son problemas de aplicación de funciones irracionales y compuestas,

revise en el texto guía y en las actividades didácticas, la teoría correspondiente.

guia de estudio_1

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