guia de docente matematica 9no

7/21/2019 Guia de Docente Matematica 9no

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PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA

Rafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACIÓN

Augusto Espiosa Adrade

!ICEMINISTRO DE EDUCACIÓN"redd# Pe$a%el Larrea

!ICEMINISTRO DE &ESTIÓN EDUCATI!A

'ai(e Ro)a &uti*rre+

SUBSECRETARIA DE "UNDAMENTOS EDUCATI!OSPaulia Due$as Motero

DIRECTORA NACIONAL DE CURR,CULO -E.Isa/el Ra(os Casta$eda

GRUPO EDEBÉProyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4

Educación Secundaria Obligatoria

D!E""#$ %E$E! &' &ntonio %arrido %on(ále(

D!E""#$ ED)O! &'*os+ 'uis %óme( "utillas

D!E""#$ DE ED"#$DE ED"&"#$ SE"$D&!&

*os+ -rancisco ./lc0e( !omán

D!E""#$ PED&%#%" &Santiago "entelles "erera

D!E""#$ DE P!OD""#$*uan 'óe( $aar r o

EPO DE ED"#$ %!PO EDE56 %ruo edeb+, 2778

Paseo San *uan osco, 927871 arcelona;; ;<edebe<com

En alian(a conED)O!&' DO$ OS"O

O!&S S&'ES&$&S DE "OM$" &"#$

%E!E$)E %E$E!&'Marcelo Me=/a Morales

D!E""#$ ED)O! &'

Mar/a &le>andra Prócel &lar cón &D&P)&"#$ ? ED"#$ DE "O$)E$DOS

E@uio Editorial Don oscoAumberto uitrón &<

"!E&"#$ DE "O$)E$DOS $E.OSMarcia PeBa &ndradeSaCl Serrano &guirr e

'orena .alladares Perugac0i

!E.S#$ DE ES)'OAernán Aermosa Mantilla

sabel 'una !ior/oPablo 'arreátegui Pla(a

"OO!D$&"#$ %!-" &? !ED&%!&M&"#$ ED)O! &'

Pamela "uea .illaicencio

D&%!&M&"#$ DE P%$&S $E. &SSusana Furita ecerra

-ranGlin !am/re( )or r esPatricio 'liicura Piedra-reddy 'óe( "anelosEriGa Delgado "0áe(

So/a .ergara &nda'S)!&"#$ DE PO!) &D&

Eduardo Delgado PadillaDar;in Parra O=eda

6 Editorial Don osco, 2711

2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADORPrimera edición, ebrero 2711S+tima reimresión ebrero 2714

uito H Ecuador

Impreso por: EL TELÉGRAFO

'a reroducción arcial o total de esta ublicación, en cual@uierorma @ue sea, or cual@uier medio mecánico o electrónico, noautori(ada or los editores, iola los derec0os reserados< "ualI@uier utili(ación debe ser reiamente solicitada<

DS)!"#$ %!&))&

IMPORTANTEEl uso de un lengua=e @ue no discrimine ni rerodu(ca es@uemas discriminatorios entre 0ombres ymu=eres es una de las reocuaciones de nuestra Organi(ación< Sin embargo, no 0ay acuer do entr elos lingJistas acerca de la manera de 0acerlo en esaBol<

or usar la orma masculina en su tradicional aceción gen+rica, en el entendido @ue es de utilidadara 0acer reerencia tanto 0ombres y mu=eres sin eitar la otencial ambigJedad @ue se d er iar /ade la oción de usar cuales@uiera de las ormas de modo gen+rico<

)omado de $ES"O, Situación educatia de &m+rica 'atina y El "aribe: %aranti(andoa leducación decalidad ara todos< $ES"O< Santiago de "0ile, agosto 2778<

D i s t r i b u c i ó n

g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a

http://www.edebe.com/





Pr esentación

'os te>tos Matemática 8, K y 17 están orientados a traba=ar, de manera rogresia, distintas

destre(as con criterios de desemeBo, a artir de situaciones de arendi(a=eIenseBan(a @ue

e>igen conocimientos, ra(onamientos y alicaciones en la ráctica<

'a estructura metodológica se undamenta en el arendi(a=e signiicatio, siemre dentro de uneno@ue globali(ador e interdiscilinar, @ue ermita a los y las estudiantes adotar r ogr esiaImente m+todos y estrategias matemáticos, a la ar de alores como la e@uidad etaria, la demoI

cracia y el reseto a la naturale(a, al ser 0umano, a la sociedad y a las culturas<

'os te>tos buscan otenciar actitudes y 0ábitos de traba=oL desarrollar la autonom/a ersonalara construir relaciones interersonales dignasL aian(ar un comortamiento articiatio y de

reseto a las dierencias, alorar la imortancia de las 0erramientas tecnológicas y de la ciencia

en la ida cotidiana y omentar un es/ritu cr/tico y rele>io<

Persiguen un trile ob=etio:

-ormatio< "ontribuir al desarrollo de las caacidades cognitias abstractas y ormales de raI(onamiento, deducción y análisis @ue ermiten construir una isión alternatia de la realidad, atra+s del desarrollo de modelos matemáticos< 'o anterior se encamina a cubrir las macr odesI

tre(as de comrensión de concetos y comrensión de r ocesos<

-uncional< Desarrollar un con=unto de rocedimientos, estrategias de resolución de roblemas yt+cnicas de cálculo @ue ermiten solucionar roblemas de la ida cotidiana y sistemati(ar r oI

cesos de roducción, es decir, se enoca a la macrodestre(a de alicación de conocimientos<

nstrumental< Por una arte, interretar 0ec0os de la ida cotidiana y, or otra, e>resar y coI

municar los conocimientos matemáticos en otros ámbitos del arendi(a=e< Se incula con la

maI crodestre(a de arender a arender<

Me to d o lo g /a

M De acuerdo con la rouesta ara el área de Matemática del nueo documento de &ctuali(aI

ción y -ortalecimiento "urricular de la Educación %eneral ásica, los te>tos de Matemática de

2<N a 17<N aBos traba=an los conocimientos en módulos, es decir, integrando los blo@ues curriI

culares matemáticos !elaciones y -unciones, Estad/stica y Probabilidad, $um+rico, %eom+I

trico, de Medida ara comrender la uerte relación @ue guardan entre s/< En este sentido, encada módulo de los te>tos se relacionan, al menos, dos blo@ues curriculares matemáticos<'os rocedimientos @ue se arenden y se utili(an acilitan esta interrelación<

M El roceso de arendi(a=e recurre inicialmente a m+todos inductios @ue arten siemre del

entorno conocido or los estudiantes<

M 'a maniulación y la e>erimentación son instrumentos básicos ara el conocimiento y domiI

nio de concetos y t+cnicas de traba=o necesarios en matemáticas<

M 'os m+todos deductios y el uso de lengua=es abstractos se conierten en un unto de llegaI

da y en la culminación del arendi(a=e<

3


g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

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E>licación de las secciones generales en el te>to ara estudiantes

M &ct iidad inicial

Plantea una actiidad relacionada con la ida cotidiana, a tra+s de la cual se ueden inerir los conocimientos @ue se traba=arán en el módulo< El estudiante intentará resolerla antes de

comen(ar con el arendi(a=e, utili(ando las estrategias @ue cono(ca 0asta ese momento, ya

@ue esto le ermitirá tener conciencia de sus caacidades y limitaciones< En este sentido, esun reto de motiación ara los nueos conocimientos<

M Pr err e@uisitos

&ctiación de conocimientos reios, tanto de concetos como de rocedimientos ara elestudio del módulo< Se sugieren actiidades de ealuación diagnóstica<

M "óm o resoler r oblemas

Esta sección es de gran ayuda ara los docentes y ara los estudiantes, ya @ue omenta elautoarendi(a=e y ermite ad@uirir 0erramientas ara la resolución de roblemas< &un@ue seenoca al ámbito matemático, la metodolog/a uede ser alicada en cual@uier área o tio de

r oblema<

M En resumen

S/ntesis de los rinciales conocimientos de la unidad y un es@uema gráico @ue muestra larelación entre estos<

M E=ercicios y roblemas integr ador es

Sección en la @ue se desarrolla un roblema @ue integra los conocimientos @ue son arte de

los blo@ues curriculares traba=ados en el módulo< Se sigue un m+todo ara la resolución de

roblemas, @ue ermite llegar al resultado< &l inali(ar, se lantea un roblema de caracter/sI

ticas similares @ue deberá ser resuelto en orma autónoma o en gruo or los estudiantes<

M E=ercicios y r oblemasna e( inali(ada la comrensión de concetos y rocesos, se resenta esta sección en la@ue se alican los conocimientos< 'a resolución de e=ercicios y roblemas se conierte en unindicador ara los docentes sobre el aance logrado o de la necesidad de reuer(o<

M Demuestra tu ingenio

Plantea actiidades en donde los estudiantes ondrán a rueba su ra(onamiento y lógicamaI temática y alicar dierentes rocedimientos y estrategias ara resoler acerti=os,enigmas, =uegos, r oblemasQ

M uen .iir

Sección en la @ue se articulan los rinciios undamentales del uen .iir con asectos de la

realidad de nuestro a/s< usca motiar la rele>ión, la toma de decisiones y osterior e=ecuIción de acciones ositias a aor del ambiente, de la sociedad y de las relaciones democráI

ticas y ara la a(<

&l inicio de cada módulo se muestra un art/culo de la "onstitución de la !eCblica delEcuador relacionado con el e=e elegido y al inali(ar el módulo se desarrolla el tema conr oundidad<

M &utoealuación y coealuación

Permite comrobar la ad@uisición de conocimientos básicos rouestos y, en consecuencia,

la asimilación de las destre(as con criterios de desemeBo reistos ara cada módulo<

4

D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



M Sección de 0istoria

na reseBa de la eolución 0istórica de los conocimientos @ue se arenden en el módulo<

M "rónica matemática

"on=unto de noticias, curiosidades, an+cdotas relacionadas con los conocimientos del módulo<

M &dicionalmente, al interior de cada módulo, se utili(an estrategias relacionadas con el cálculomental, el uso de la calculadora, el uso de las )", el traba=o grual, entre otras<

!esultados eserados con el uso de los te>tos Matem ática 8, K y 17

Se busca una ormación integral de los estudiantes, mediante el desarrollo de:

M Destre(as matemáticas<

M Destre(as de comunicación<

M Destre(as de interacción interersonales<

M Destre(as de interacción con el mundo /sico<

M Destre(as ara el tratamiento de la inormación<M Destre(as ara la comrensión del mundo digital<

M .alores sociales y ciudadanos<

M .alores culturales y art/sticos<

M &utonom/a e iniciatia ersonal<

M &utoealuación y ealuación con=unta<

M "aacidad de arender a arender<

Estrate!as mot!"a#!o$a%es para %a e$se&a$'a (e %a matem)t!#a

SegCn %ood y ro0y 1KK8, los docentes en el roceso de enseBan(a deben lograr seis ob=etiIos motiacionales:

1< "rear un ambiente de arendi(a=e aorable en el aula ara minimi(ar la ansiedad 0aciendo@ue los alumnos logren un me=or desemeBo<

2< 'os docentes necesitan estimular la motiación ara lograr arender en cone>ión con conteInidos o actiidades esec/icas royectando entusiasmo, induciendo curiosidad, disonancia,ormulando ob=etios de arendi(a=e y roorcionando retroalimentación inormatia @ueayude al alumno a arender con conciencia, sensate( y eicacia<

3< El educador debe discutir con los alumnos la imortancia e inter+s de los ob=etiosimartidos, relacionándolos con el @ue0acer diario, incentiándolos 0acia la bCs@ueda denueas inorI maciones en libros, nternet, ideos, rogramas de teleisión en donde se tratentemas actuaI les @ue se relacionen con la asignatura<

4< E>licar y sugerir al estudiante @ue se esera @ue cada uno de ellos disrute el arendi(a=e<

R< E=ecutar las ealuaciones, no como una orma de control, sino como medio de comrobar elrogreso de cada alumno<

9< &yudar al estudiante a ad@uirir una mayor conciencia de sus rocesos y dierencias reerenteal arendi(a=e, mediante actiidades de rele>ión, estimulando la conciencia metacognitia delos alumnos<

En irtud de lo seBalado, el docente uede alcan(ar una enseBan(a eica(< Debe oner en rácItica su creatiidad ara diersiicar la enseBan(a con un oco de imaginación los traba=os de uIitre rutinarios los uede transormar en actiidades desaiantes ara el alumno<

*


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Módulo1 lo@ues: $um+rico< Estad/stica y robabilidad

N+meros ra#!o$a%es

Me(!(as (e te$(e$#!a #e$tra%✎

DDCCDD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o

M 'eer y escribir nCmeros racionales de acuerdo con su deinición<

M !eresentar nCmeros racionales en notación decimal y raccionaria<

M Ordenar y comarar nCmeros racionales<

M !esoler oeraciones combinadas de adición, sustracción, multilicación y diisión e>acta con nCmeIros racionales<

M Simliicar e>resiones de nCmeros racionales con la alicación de las reglas de otenciación y de raIdicación<

M Eectuar aro>imaciones de nCmeros decimales y calcular el error cometido<

M "alcular la media, mediana y moda de un con=unto de datos estad/sticos conte>tuali(ados en robleImas ertinentes<

M !econocer y alorar la utilidad de las racciones y decimales ara resoler situaciones de la ida cotidiana<

Estrate!as meto(o%,!#as!elacionada con la D"D: Reso%"er opera#!o$es #om-!$a(as (e

a(!#!,$. s/stra##!,$. m/%t!p%!#a#!,$ 0 (!"!s!,$e1a#ta #o$ $+meros ra#!o$a%es

Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!osM Preiamente, deina lo @u+ es un nCmero racional: a@uel @ue se uede e>resar como cociente de dos

nCmeros enteros<

Q T > U > b

L donde a, b, ∈ Z y b ≠ 7 V

El con=unto Q de los nCmeros racionales incluye a los nCmeros enterosL tambi+n se los conoce como

nCmeros raccionarios< )odo nCmero entero es racional, ues se uede e>resar como cociente de enIteros, el mismo nCmero ara la unidad: a a _<1M !euerce el 0ec0o de @ue se ueden sumar, restar, multilicar y diidir salo ara cero y el r esultado

de todas esas oeraciones entre dos nCmeros racionales es siemre otro nCmero racional, ues estasoeraciones son cerradas en el con=unto de los nCmeros racionales cumlen con la roiedad de clauIsura o clasuratia<

M !ecuerde @ue la ley de signos ara la multilicación diisión oera nCmeros y no solo signos:

+ a W + b P + c L − a W − b P + c L + a W − b P − c L − a W + b P − cDonde a, b y c nCmeros racionales ositios<

M Es imortante tambi+n traba=ar racciones e@uialentes, amliación y simliicación, los ouestos y los inIersos de racciones<

O-et!"o (e% m,(/%oM 'eer, escribir, reresentar, ordenar, comarar nCmeros racionales, resoler oeraciones combinadas

de adición, sustracción, multilicación y diisión e>actaL simliicar e>resiones de nCmerosracionales con la alicación de las reglas de otenciación y de radicaciónL eectuar aro>imaciones denCmer os decimales y calcular el error cometido, reconocer y alorar la utilidad de las racciones ydecimales ara resoler situaciones de la ida cotidianaL calcular la media, mediana y moda de uncon=unto de daI tos estad/sticos conte>tuali(ados en roblemas ertinentes<


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Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to

M En general, surimir signos de agruación resenta diicultades en el traba=o de los estudiantes, or locual es imortante insistir en @ue se cumlan las siguientes normas: cuando una e>resión está agruaIda mediante un ar+ntesis y este se encuentra recedido de un signo ositio se elimina el ar+ntesissin modiicar a los t+rminos de la e>resiónL si el ar+ntesis está antecedido or un signo menos, se losurime cambiando cada uno de los t+rminos or sus ouestos< Proonga la resolución de e>resiones

usando una tabla como la @ue se muestra a continuación<E=emlos:

E>resión algebraica con agruaciones E>resión algebraica sin agruaciones

X

⎛ 1I 4

⎞⎜ ⎟K ⎝ 2 ⎠

X

1I 4

K 2

8 − 4 +⎛ 2

− 8⎞

⎜ ⎟

3⎝ ⎠

8 − 4 +2

− 83

8 − 4 −2

+ 83

Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$toSugerimos utili(ar e=ercicios del siguiente estilo:

5 El roducto de dos nCmeros racionales es UR, si un actor es 2U3, Ycuál es el otro actorZ

& 21U17 11U1R " 31U1R D 14U1R

25 Si a un rectángulo tiene un determinado anc0o y UK m de largo, Ycómo cambia el área al dulicar su anc0oZ

& Disminuye a la mitad Es 2U3 mayor

" Se dulica D Disminuye 2U3

35 EectCa en el caso de G reemlá(alo or un d/gito y resuele

1 − 1

1 − 11 − 1

4

Para %a e"a%/a#!,$

G − 1

G − 1 G + 1

G

M El siguiente es un e=emlo de una ronda de resolución de e=er cicios:

⎛ 3a

⎝ 4

1⎞⎟⎠

⎛ 2 ÷⎝ 9

1⎞⎟ =⎠

2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 1⎞b ÷ R ÷ ⎜ + 1⎟ − 3 ⎜ − ⎟ =

3

⎛ 2 −1⎞

4⎝ ⎠

2⎝

⎛ 9 R 2

4⎠ 1 ⎞

⎜ ⎟ .−⎝ ⎠ ⎝4

c ÷

÷ ⎟ ⎠ 1− R =

⎛ 2⎞⎜ 3 ⎟⎝ ⎠

⎛ 1

⎝ 2.−

1

.3

1 1 ⎞

4 ⎠

M Pida a los estudiantes conormar gruos de tres, indi@ue @ue en con=unto resuelan cada uno de lose=er ciI cios lanteados en una misma 0o=a< Solicite al gruo @ue lanteen tres e=ercicios similares a losanteriores, cada uno en 0o=as searadas y @ue se diidan uno or integrante, luego @ue cada uno realiceun solo aso en la resolución y @ue intercambien entre si los rocesos en cada aso 0asta obtener laresuesta<

÷⎜ +

2 R⎜

R ⎜ 2

÷ ⎟

− ⎜K R


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6



!elacionada con la D"D: Ca%#/%ar %a me(!a. me(!a$a 0 mo(a (e /$#o$/$to (e (atos esta(7st!#os #o$te1t/a%!'a8(os e$ pro-%emas pert!$e$tes9

Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os

!ease los rocedimientos @ue ermiten e>resar un nCmero racional en orma decimal y en tanto or ciento, lo @ue ermite reresentar un sector circular utili(ando grados y d+cimas de grados< Es osible@ue en esta destre(a or rimera e( se use sub/ndicesL es necesario e>licar a los alumnos @ue utili(aIrán esta orma de lengua=e en muc0as situaciones y en dierentes áreas, como or e=emlo ara e>resar un cambio de temeratura entre dos instantes: temeratura inicial, )i, y temeratura inal, )<Presente la siguiente tabla:

)otal

!ealice los siguientes cuestionamientos:Yu+ inormación e>isteZ, Y"ómo se organi(ó la inormaciónZ, Yu+ cálculos se reali(aronZ De ser elcaso, describa cada elemento de la tabla< Se uede traba=ar con la inormación de la tabla ara r er esenIta gráicamente los orcenta=es usando diagramas circulares< &demás, uede usarse la inormación aracalcular la media aritm+tica y anali(ar la inormación @ue esta nos roor ciona<Muestre cómo se uede reali(ar el cálculo de la media arim+tica a artir de la tabla de recuencias, estoreara el camino ara @ue, en cursos osteriores, utilicen las tablas ara el cálculo de las medidas, tantode tendencia central como de disersión<

Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$toM Proonga una inestigación en eriódicos, reistas usadas, libros, etc<, con diersos tios de r eresentaI

ciones estad/sticas< Este material, con la inormación @ue consta en el te>to del estudiante, debenidentiiI car cada tio de conocimiento, reconocer los elementos y caracter/sticas de cada uno de ellos<

M Aaga notar la necesidad de conocer arámetros estad/sticos< Para esto, roonga situaciones @ueermiI tan reconocer las enta=as y desenta=as @ue resenta el uso de cada una de ellos< Por e=emlo:si usted es un roductor de roa, @u+ estad/grao utili(ar/a ara royectar sus nueos roductosL eneste caso roonga la osibilidad de usar la media arim+tica, la mediana o la moda< E=emlos similaresdeben usarI se ara traba=ar con la media y con la mediana< Es muy imortante @ue los estudiantes eanla alicación de la estad/stica en la ida cotidiana< Se aconse=a @ue el roesor onga e=emlos desituaciones en las @ue se re@uiere de la estad/sticaL or e=emlo, el censo recuerde @ue el más recienteue en el 2717 y sus resultados se leantaron oicialmente en 2711, el análisis de mercado ara introducir

un nueo roducto, el estudio del rating de sinton/a de un rograma, entre otr os<M Enrente a los estudiantes situaciones amiliares en las cuales ali@uen sus conocimientos estad/sticos,

or e=emlo: sugiera reisar el resultado obtenido or un estudiante en una determinada materia, durantecuarI to, @uinto, se>to y s+timo aBos de E%< Para esto, uede solicitar a sus estudiantes @ue lleen susr egisI tros escolares ara 0acer la tarea< )ambi+n uede utili(arse otras 0erramientas de ácil consecucióncomo laI nillas de agua, lu(, tel+ono ara mostrar estos arámetros< !esulta muy imortante @uedurante la ase de construcción del conocimiento se lanteen situaciones roblema @ue deben ser resueltas de manera con=unta con el roesor< &s/, se detectará las diicultades @ue generan los nueosconcetos y se uede reor(ar a@uello @ue sea necesario<

;$(!#e!

N+mero (e <! os

por =am!%!a $!

N+mero (e = am!%!as

= !Por #e$ta e

>?$/%o #e$tr a%

@1 7 2 17 392 1 R 2R K73 2 8 47 144

4 3 4 27 2R R 1 R 1827 177 397

D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to

M Para amliar la construcción de gráicos estad/sticos y su interretación, el roesorUa uede rooner alos alumnos la siguiente actiidad:

M uscar inormación sobre la comosición de la &samblea $acional<

M & artir de esos datos, los alumnos ueden elaborar los siguientes gráicos:

[ n diagrama de sectores con la distribución de asamble/stas or artidos y agruaciones ol/ticas<

[ n gráico estad/stico con la distribución de los asambleistas de un determinado artido ol/tico<

M & artir de la inormación rocesada a ra/( del censo de noiembre de 2717, se ueden reali(ar analisiscomaratios de e@ueBas inestigaciones @ue ueden reali(ar los estudiantes de asectos @ue seande su inter+s y @ue ueda reali(arse en su entorno con los datos nacionales oiciales, ara ello se uedeacceder a la ágina ;; ; <inec<gob<ec y de acuerdo a los dierentes asectos ealuados, establecer conIcluciones y recomendaciones ara me=orar la toma de muestras @ue ermitan me=orar las ar o>imacioInes @ue seguramente se obtendran< En láminas de cartulina, tamaBo &4 se resentarán los r esultadosde las inestigaciones y se las e>ondrá en el salón<

Para %a e"a%/a#!,$

M Proonga a los alumnos @ue mediante el emleo de un rograma de sot;are libre o roietario dedicaIdo a la creación y isuali(ación de resentaciones, elaboren diaositias donde integren te>to, imagen,soI nido, /deo<<< sobre media, mediana y moda, su deinición, órmulas emleadas ara sudeterminación y e=emliicación @ue ermitan reor(ar el conocimiento ad@uirido y @ue será e>uesto alresto de comaI BerosL los cuales tambi+n emitirán sus oiniones sobre el traba=o de cada gruo<!ecomendaciones, eliI citaciones, cr/ticas constructias acerca de la orma elegida ara mostrar, lae>osición de la inormaI ción, la creatiidad de su diseBo, comle=idad en la elaboración<

M Pida a sus estudiantes @ue analicen la siguiente inormación tomada del nstituto $acional de Estad/stiIcas y "enso 0tt:;; ; <inec<gob<ec sobre el costo de la canasta amiliar ara el análisis de la relaciónentre remuneraciónIinlación< !eresenten sus análisis en diagramas o gráicos estad/sticos y estable(Ican media, mediana y moda<

A


l a 1 e n t a

http://www.inec.gob.ec/






Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or

La =ra##!,$ e$eratr!'

Es la racción irreducible de la @ue rocede un nCmer odecimal limitado, eriódico uro o eriódico mi>to<Para calcular la racción generatri(:

De /$ $+mero (e#!ma% %!m!ta(oM 'lamamos x al nCmero decimal<M Multilicamos la e>resión de x or la otencia de 17

necesaria segCn el nCmero de ciras decimales araeliminar la coma<

M Dese=amos x y simliicamos la racción<E=emlo: 2,R

x 2,R

177 x 2R

x2R 11177 4

De /$ $+mero (e#!ma% !%!m!ta(o per!,(!#o p/ro

E=emlo: 1,8 x 1,888<<<

17 x 18,888<<<

17 x 18,888<<< x 1,888<<<

K x

191 x

191

De /$ $+mero (e#!ma% !%!m!ta(o per!,(!#o m!1to

M 'lamamos x al nCmero decimal<M En rimer lugar, multilicamos la e>resión de x or

la otencia de 17 necesaria ara @ue la coma @uede =usI to desu+s del rimer er/odo<

M & continuación, multilicamos la e>resión de x or laotencia de 17 necesaria ara @ue la coma @uede =usIto antes del rimer er/odo<

M !estamos las dos e>resiones obtenidas<

M Dese=amos x y simliicamos la racción<M 'lamamos x al nCmero decimal<M Multilicamos la e>resión de x or la otencia de 17

necesaria ara @ue la coma @uede =usto desu+s del

x 1,23R ⇒ 17 x 12,3R3R<<<1 777 x 123R,3R3R<<<

rimer er/odo<M & la e>resión obtenida le restamos la e>resión inicial<M Dese=amos x y simliicamos la racción<

B/e$ !"!r: B!o(!"ers!(a( 0 am-!e$te sa$o

1 777 x 123R,3R3R<<< 17 x 12,3R3R<< < ⇒ x

KK7 x 1 793

1 793

M 'os alumnosUas reali(arán diersas oeraciones de orma aro>imada @ue se relacionen con el ambienIte< En ellos deben calcular los orcenta=es de contaminación, estimar resultados en oeraciones r elacioInadas con el tiemo atmos+rico, la temeratura de la )ierra, etc< En relación con el tema de las áreasrotegidas en nuestro a/s, motie un traba=o interrelacionado con las áreas de Estudios Sociales y"iencias $aturales, ya @ue esto le ermitirá llear adelante una inestigación en la @ue se encontrarándiersos datos num+ricos de nCmeros enteros y racionales< bicar esacialmente las (onas y alorar laenorme biodiersidad del a/s<

M P/dales @ue bus@uen lecturas relacionadas con el tema rouesto< Pueden ingresar a las áginas ;eb0tt:UU;; ; <natura<o rg U o ;; ; <ambiente<gob<ec < !ele>ionen sobre la inormación< Se recomienda seIguir el siguiente es@uema de traba=o:

M 'ectura indiidual del te>to<

M "omentario en mesa redonda o oro abierto en el aula<

M "onclusiones<

M -inalmente, motie a sus estudiantes ara @ue se roongan un comromiso indiidual y lo lleena cabo<

M Es imortante @ue asuman la resonsabilidad de deender los derec0os de la naturale(a<

B!-%!ora=7a 0tt:UU;; ;<mendomat ica<mendo(a<edu<arUn ro18Un rosracionales\27ositiosE%<d

0tt: UU;; ;<ituto r<netU2U11Umoda]media<0tml

0tt: UU;; ;<=untadeandalucia<esUaer roesUiesar r oyoUmatemat icasUmaterialesU3esoUnume rosUdecimalesUnume rosdecimales<0tm

0tt:UU r ecursostic<educacion<esUdescartesU;ebUmateriales]didacticosU1]24]$&MUinde><0tm

P&!!&, "< y S&F, <, Didáctica de las matemáticas, aortes y rele>iones, Paidós, uenos &ires, 2778<

P!&D&, D<, "E'&, P<, Matemáticas 4<^ curso, $arcea Ediciones, EsaBa, 1K1

S&$)''&$&, Y"ómo traba=ar el área de MatemáticaZ, %ruo Santillana S< &<, Ecuador, 2717<

SPE%E', M<, Estad/stica, Mc%ra; Aill, M+>ico, 2777<

K

KK7


l a 1 e n t a

http://www.fnatura.org/

http://www.ambiente.gob.ec/

http://www.mendomatica.mendoza.edu.ar/nro18/nrosracionales%20positivosEGB.pdf


http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html


http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/decimales/numerosdecimales.htm



http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/B1_24_UNAM/index.htm



http://www.fnatura.org/

http://www.ambiente.gob.ec/







Re=/er'o Opera#!o$es #o$ =ra##!o$es 0 (e#!ma%es

-ic0a

1$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

& la 0ora de oerar con racciones, elegimos la racción irreducible ara agilitar los cálculos<

!ecuerda, además, @ue ara sumar o restar racciones, estas 0an de tener el mismo denominador <

1< EectCa gráicamente las oeraciones indicadas en la igura R y comleta esta oración<Para sumar o restar racciones con el mismo denominador, se suIman los <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y se de=a el mismo <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2< "omleta los asos @ue altan ara recordar cómo se suman racIciones de dierente denominador:

X

1X

2

R 3+

12 27

4 4

_ "alculamos el m<c<m< de los denominadores: m<c<m< 12 y27 97<

_ )ransormamos las dos racciones en otras e@uialentes con coI

mCn denominador:

• Para 0acerlo, diidimos el m<c<m< 97 or el denominador de larimera racción 12 y multilicamos el resultado or su numeIrador R<

X

3 X R 8 8

X

97 ` 12 = R L R ⋅ R =2R L

R <<<<<<<<=

12 97 2X

3

• & continuación, diidimos el m<c<m< 97 or el denominador dela segunda racción 27 y multilicamos el resultado or su nuImerador 3<

9 9

X

97 ` 27 = 3 L 3 ⋅ 3 = KL

3 <<<<<<<<

=27 97 1 X R

_ Sumamos las racciones obtenidas y simliicamos elresultado<

Simliicamos

12

Fig. 5.

12

<<<<<<<<+

<<<<<<<<=

<<<<<<<< + <<<<<<<<=

34

97 97 97 97

<<<<<<<<=

` 2 37

3< Para restar dos racciones de dierente denominador, las simliicaremos ara obtener sus corresondientesracI ciones irreducibles, las reduciremos a comCn denominador y las restaremos< "omleta los asosindicados en la igura 9 y los asos indicados a continuación<

Simliicamos

4 1 2 <<<<<<<< <<<<<<<< −1 m<c<d< y 21 = m<c<d< 4 y 17 = 2− = − = − =

21 17 3 R"omCn

denominador

1R 1R 1R ` = 1 4 ` 2 = 2

21 ` = 3 17 ` 2 = R

4< EectCa las siguientes oeraciones< m<c<m< 3 y R = 1R

2 1 <<<<<<<< <<<<<<<< 1 1 <<<<<<<< <<<<<<<< 1R ` 3 = <<<<<< L <<<<<< ?1 = <<<<<<

a + = +K R 4R 4R

bP − = −3 4 12 12

1R ` R = <<<<<< L <<<<<< ?2 = <<<<<<

R< "alcula: Fig. 6

a ,2R + 21,14 b 12,2 − 17,2R c 3,12 W 2,1R d ,14 ` 2,7R


l a 1 e n t a



-ic0a

2 Re=/er'o ar!a-%es 0 (atos esta(7st!#os

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< Pregunta a tus comaBeros o comaBeras los siguientes datos y comleta la tabla< -/=ate en el e=emlo:

'aura tiene 13 aBos, tiene cabello castaBo, mide 1,R4 m y esa 48 Gg<, ie en "uenca, estudia en K<o de E%,

le gusta =ugar al bás@uetbol y su cantante aorita es S0aGira<

$ombre Edad "olor del cabello Estatura m Peso Gg !esidencia "urso Deorte reerido "antante aorito

"uenca K<o E% ás@uetbol S0aGira

"ada una de las caracter/sticas anteriores es una ariable estad/stica<

2< &nota las caracter/sticas anteriores cuyos alores ienen reresentados or nCmer os<

_ Edad <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Estas caracter/sticas son ariables estad/sticas cuantitatias<

3< &nota las caracter/sticas cuyos alores no son num+ricos<

_ <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Estas caracter/sticas son ariables estad/sticas cualitatias<

4< Escribe tres ariables estad/sticas cualitatias y tres cuantitatias, y on e=emlos de los alores @ue uedetomar cada una de ellas<

R< ndica si las siguientes airmaciones son correctas y corrige las incorr ectas<

a na ariable estad/stica son los resultados de un estudio reali(ado en dierentes estados<b El estado ciil es una ariable estad/stica cualitatia<c 'as marcas de auto más endidas en el aBo 277 es una ariable estad/stica cuantitatia<

9< "omleta la siguiente tabla<

Pel/cula -recuencia absoluta -recuencia relatia

La amenaza fantasma 8R 8R

= 7 ,R3197

T itanic

Hombres de negro

ndierentes

El nCmero de eces @ue se reite un alor determinado de la ariableestad/sI tica es su recuencia <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

El resultado de diidir la recuencia absoluta de un alor entre el nCmerototal de datos es la <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de dic0o alor<

2

La amenaza fantasma:

8R alumnos

Titanic:

47 alumnos

Hombres de negr o:

37 alumnos

I$(!=er e$tes:

R alumnos

Fig. 1.

'aura 13 "astaBo 1,R4 48

)C

"omaBero 1

"omaBero 2

"omaBero 3


I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



F!#<a (e e"a%/a#!,$

Módulo

1$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< Aalla la racción irreducible e@uialente a cada una de las siguientes racciones<

a

39

8 bP

44

11 cP

12R

R d P24

14

2< EectCa estas oeraciones<

a3

2 1+ − bP 2

`3

c PR

⋅−12

+1

`2

−R ⎛ 3

d P ⎜ 1 ⎞ 1 3+ ⎟ ⋅ +

21 14 9 3 2 3 K ⎝ R 3 ⎠ 2 2

3< EectCa estas oeraciones<

a 1,3 R 2,4 2

b 4,82 1,3 c 7,2 97,82 4

d R,24

4< Miguel 0a comletado las tres cuartas artes de su colección de cromos< 'a @uinta arte de los cromos @ue lealtan son de motos y los otros 32 son de automóiles< "alcula el nCmero de cromos @ue orman la colecciónde Miguel< Aa( un es@uema del roblema<

R< !edondea los siguientes nCmeros 0asta las centenas, y calcula el error absoluto @ue se comete con el

r edondeo< a K,384 R b 3,4R9 2 c 1,7KR 27 d 11,777 34

9< Se 0a reguntado a 2R alumnos de K<o de E% el nCmero de libros @ue leen, en romedio, al aBo< 'asresuestas 0an sido: 3, 2, 1, 4, 3, 4, R, 1, 2, 3, 3, 9, 3, 4, R, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 1, 3<

a Organi(a estos datos y construye la tabla de recuencias absolutas y relatias<

b "alcula la recuencia relatia acumulada del alor 3< Yu+ signiicado tiene esta r ecuenciaZ

cP !eresenta los datos en un diagrama de barras y construyeel ol/gono de recuencias corr esondiente<

< Deine media aritm+tica, moda y mediana de un gruo dedaI tos< & continuación, escribe dos con=untosestad/sticos diI erentes con más de cinco datos @uetengan la misma meI dia y la misma moda<

_ "alcula la mediana del con=unto estad/stico de laactiidad

9<

8< Obsera el cartograma de la igura y resonde a lassiguienI tes reguntas sobre la cosec0a de látanos enese aBo en la !eCblica de anania<

a YEn @u+ (ona se 0a conseguido la me=or cosec0aZYEn @u+ (ona se 0a dado la eorZ

b Yu+ (onas 0an tenido una cosec0a comrendidaentre las 17 777 y las 27 777 toneladas m+tricasZ

cP Sabiendo @ue el asado aBo la cosec0a total ue de 321

777 toneladas m+tricas, Ycómo crees @ue 0a ido lacosec0a

Producción de látanos en el 2717en toneladas m+tricas

7 I 17 777

17 777 I 27 777

27 777 I 37 777

37 777 I 47 777

47 777 I R7 777

"entro$orte

Oeste

Mar occidental

Sur

$orte

"entroEste

Mar oriental

Este



3

del aBo actualZ


l a 1 e n t a



Módulo

1 F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario

1< aP K

L b P2

4L c P 2RL d P 12

2< aP

bP

18 + 4 − 3

42 14

=

1K=42

18 K

− 97 3R

−187 + 2 −27

13

cP + − = = − − 12 4 K

14 1 3 14

39 39

3 RK

= 7,78

d ⋅ + =+ =

= 7,74

1R 2 2 37 2 37 bP 'a recuencia r elatia acumulada del alor 3 es 7,2<

3< aP 1, 3R + 2, 42 = 134

+ 247

= 34

KK KK KKEsto @uiere decir @ue el 2 \ de los alumnos

de la clase 0a le/do 3 o menos libros<bP 4 ,82 − 1, 3 =

434−12

314 1R= =

Frecuencia

K7 K K7 4R

c 7 , 29 + 7 ,8 24 =29

+819

=179

=

c absoluta

9

R38=

4KR

KK KK7 KK7 R

4

3

2

d ⋅ R, 24 = ⋅42

3374 19R2= = 1

K7 K7 4R 1 2 3 4 R 9 Librosleídos

4<

32 ` 4 R 4 197 &utos: 32 Motos

< 'a media aritm+tica de un con=unto de datos es lasuma de los alores de los datos diidida or elnCI mero total de datos<

'a colección consta de 197 cr omos<

R< a K,38 error: 7,774R

b 3,49 error: 7,7738

c 1,1 error: 7,7748

d 11 error: 7,77734

'a moda de un con=unto de datos es el alor de losdatos @ue tiene mayor recuencia absoluta<

'a mediana de un con=unto de datos, desu+s orIdenarlos de menor a mayor es:M El dato @ue ocua el lugar central, si el nCmero

de datos es imar <M 'a media aritm+tica de los dos datos centrales, si

el nCmero de datos es imar <!esuesta sugerida:a 1, 1, 1, 1, 2, 2,

3< b 1, 1, 1, 1, 1,1, R<M 'a mediana del con=unto es 3<

8< a En la (ona $orte se 0a conseguido me=or coseIc0a y en la (ona "entro Este la eor . bP "entro$orte y Sur< cP SegCn el cartograma l roducciónde látaI nos total oscila entre 117 777 y 17 777toneladas m+I tricas< Por tanto, la cosec0a del aBoactual 0a sido eor @ue la del aBo anterior<

P/e(e#o$t!$/ar

Ne#es!tar e=/er'o

I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M &lica las oeraciones con nCmeros reales y raccionarios en la resolución de r oblemas<

M &lica correctamente los algoritmos de la suma, la resta, la multilicación y la diisión de raccioI

nes ositias y negatias< EectCa oeraciones combinadas con racciones ositias y negatias<

'ibros le/dos -r ecuenciaabsoluta

-r ecuenciarelatia

1 R R

2R = 7, 2

2 99

2R= 7 ,24

3

= 7 ,282R

4 4 4

= 7,192R

R 2 2

2R

9 1 1

2R

'ibros le/dos !ecuento $Cmer o

1 R

2 9

3

4 4

R 2

9 1



ula media, mediana, moda y rango<

M "omrende la dierencia entre ariable cualitatia y cuantitatia<

4

> (e a%/m$osEas


l a 1 e n t a



Módulo2 lo@ues: $um+rico< %eom+trico

N+meros !rra#!o$a%es

Per7metros 0 )reas (e po%7o$os✎

DCDDCD Dest r e'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o

M 'eer y escribir nCmeros irracionales de acuerdo con su deinición<

M !eresentar gráicamente nCmeros irracionales con el uso del teorema de Pitágoras<

M Ordenar, comarar y ubicar en la recta num+rica nCmeros irracionales con el uso de la escala adecuada<

M !esoler oeraciones combinadas de adición, sustracción, multilicación y diisión e>acta con nCmeIros irracionales<

M Deducir las órmulas ara el cálculo de áreas de ol/gonos regulares or la descomosición en triángulos<

M &licar las órmulas de áreas de ol/gonos regulares en la resolución de r oblemas<

M tili(ar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos r ectángulos<

Estrate!as meto(o%,!#as

!elacionada con la D"D: Reso%"er opera#!o$es #om-!$a(as (e a(!8#!,$. s/stra##!,$. m/%t!p%!#a#!,$ 0 (!"!s!,$e1a#ta #o$ $+meros !rra#!o$a%es9


M &ntes de iniciar este tema, uede ser coneniente reisar la relación entre los nCmeros decimales y losnCmeros racionales, 0aciendo 0incai+ en @ue todos los nCmeros decimales @ue ueden e>resarsemediante un nCmero racional son limitados o ilimitados ero eriódicos< &s/, uede edirse el cálculode la racción generatri( de diersos nCmeros decimales limitados, eriódicos uros y eriódicos mi>Itos y la determinación de los nCmeros decimales corresondientes a diersos nCmeros racionales<

M !ealice un reaso de la obtención de la racción generatri(<

M Proonga e=emlos sencillos en los cuales se eidencie @ue se cumlen las roiedades de la suma y laotencia en el con=unto de los nCmeros racionales<


M us@ue e=ercicios @ue combinen las oeraciones estudiadas en el módulo< !esuela con los estudianItes uno de los e=ercicios =ustiicando cada aso< Por e=emlo, en el e=ercicio, deben eidenciarse lasroiedades de las oeraciones, la ley de los signos, las reglas ara surimir signos de agruación, y laconersión de un nCmero decimal eriódico a raccionario y algunos nCmeros irracionales<

Puede utili(ar e=ercicios como los siguientes:

*

O-et!"os (e% m,(/%o

M &licar las oeraciones básicas en la resolución de roblemas con nCmeros irracionales ara desarr oIllar un ensamiento cr/tico<

M &licar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos ara el cálculo de er/metr osy áreas<


l a 1 e n t a



aR

9 X 34

R

39

− 1,3

b R 1,4 H12

R39 R


M &nime a sus estudiantes a llear adelante las actiidades rouestas en el te>to del alumno<

M Puede organi(ar gruos de estudiantes< Preiamente, usted rearará unas tar=etas con el roceso dediersas oeraciones combinadas< "ada gruo debe organi(ar el roceso de resolución del e=ercicio @ueles corr esonde<

M Solicite @ue intercambien, entre gruos, los e=ercicios reali(ados y @ue =ustii@uen la organi(ación del

roceI so r ouesto<

M !ealice una eria de entas en el aula< %u/ese or la actiidad lanteada al inicio del módulo< En la eria secoI merciali(arán roductos roios de su localidad y se reali(arán diersas oeraciones @ue ustedr oonga ara e=ercitar el traba=o con nCmeros irracionales<

Para %a e"a%/a#!,$

M -orme gruos de traba=o

M Solicite a los estudiantes @ue lanteen un e=ercicio en el cual se combinen arias de las oeraciones esItudiadas<

M Preia la ealuación usted debe laniicar ara cada gruo condiciones @ue deben tener los e=er cicios

@ue se lantearán as/ como la orma de ealuación<

E=emlo:

Oeraciones: suma, resta, multilicación, diisión, otencia y radicación<

Dos nCmeros irracionales y un decimal eriódico<

Par+ntesis y cor c0etes<

Eidenciar al menos una roiedad de la otenciación<

!esolución del e=ercicio argumentando los r ocesos<

Obseraciones

"umlen con todas las condiciones solicitadas<

&lican roiedades y leyes en la resolución del e=er cicio<

'as =ustiicaciones tienen relación con los conocimientos desarr ollados<

M -orme gruos de tres o cuatro estudiantes< Entregue 0o=as con e=ercicios a cada gruo< Determine untiemo ara la reali(ación del traba=o< Obsere cómo es el aorte de los integrantes, @ui+nes necesitanayuda, @ui+nes ueden aoyar a otros comaBeros<

O

O O


l a 1 e n t a



!elacionada con la D"D: Ut!%!'ar e% teorema (e P!t)oras e$ %ar eso%/8 #!,$ (e tr!)$/%os re#t)$/%os9


M Para oder 0allar aro>imadamente el lado desconocido de un triángulo rectángulo es coneniente @uerecuerden reiamente el cálculo de la ra/( cuadrada de un nCmero natural<

M !ease reiamente con los estudiantes la deinición de teorema< Se sugiere utili(ar la siguiente:teorema< Del lat< t0eor ēma, y este del gr< θεώρηµα< Proosición demostrable lógicamente artiendo dea>iomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inerencia acetadas< )omada de!eal &cademia de 'engua EsaBola, ersión en l/nea 0tt:UU;; ;<rae<es<

)ambi+n es coneniente recordar la biogra/a de Pitágoras< na de las diicultades con la Matemática es@ue los estudiantes no suelen establecer relaciones con otras áreas del saber< En este caso esec/ico esmuy imortante @ue se logre comrender el ensamiento itagórico y su inluencia no solo en la MatemáItica, sino tambi+n en la MCsica, la 'iteratura, las "iencias Pol/ticas< Pida a sus estudiantes @ue ormen aI

re=as e inestiguen en encicloedias o nternet la ida y obra de este ensador clásico<

Se debe insistir en @ue el teorema de Pitágoras solo uede alicarse a triángulos rectángulos< "on este ines Ctil alicar el rec/roco del teorema de Pitágoras mediante actiidades, como, or e=emlo: comruebasi el triángulo cuyos lados miden 12 cm, 19 cm y 27 cm es r ectángulo<


M )raba=e con arios tangrams ara comrobar geom+tricamente la alide( del teorema de Pitágoras ore@uiI alencia entre áreas de iguras lanas, en el caso articular del triángulo rectángulo isósceles<

2 3

4

M Obsere la alicación del teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes en triángulos r ectángulos<

M Plantee e=ercicios sencillos ara eriicar la comrensión de los concetosL or e=emlo:

1< "alcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 4,8 cm y la base 4 cm<2< El er/metro de un traecio isósceles es de 117 m, las bases miden 47 y 37 m resectiamente< "alcuI

la los lados no aralelos y el área<

M Se debe insistir en @ue el teorema de Pitágoras solo uede alicarse a triángulos rectángulos< "on estein es Ctil alicar el rec/roco del teorema de Pitágoras mediante actiidades, como, or e=emlo: comIrueba si el triángulo cuyos lados miden 12 cm, 19 cm y 27 cm es r ectángulo<

6


l a 1 e n t a

http://www.rae.es/

http://www.rae.es/

http://www.rae.es/

http://www.rae.es/




Plantee los siguientes r oblemas:

M )res nCmeros a, b y c orman una terna itagórica si están relacionados or el teorema de Pitágoras,es decir, si a2 b2 X c2:

YEs itagórica la terna 37, 24, 18Z

Encuentra tres ternas itagóricas dierentes ormadas or nCmeros naturales comrendidos entre 1 y 177<

M Dado un triángulo de lados a, b y c, de los cuales a es el mayor, será acutángulo si a2< b2 X c2< Estoara demostrar @ue el teorema de Pitágoras tambi+n uede utili(arse ara clasiicar un triángulo enacutánguI lo, rectángulo u obtusángulo<

)ambi+n lantee otros roblemas de alicación ara @ue los estudiantes analicen los datos, los grai@uen yencuentren la resuesta< Este tio de e=ercicio será retomado ara la ealuación:

M Se @uiere construir una rama @ue cubra una lataorma, desde un unto situado a 3,2 m de ella< 'alaI taorma tiene 2,4 m de altura< YDe @u+ longitud se construirá la ramaZ

M na antena de un teleisor mide 1R cm y está sostenida or alambres: uno de estos mide 2R cm< Y& @uédistancia se i=ará el otro alambre a artir de la base de la antenaZ

M na escalera de ,2 m de longitud está aoyada contra una ared, distando en su ie 4 m< "alcula la alItura de la ared<

M Demuestra si el siguiente roblema uede ser resuelto:

)ienes un cubo cuya arista es igual a 3 cm< Su olumen es 2 cm3 y este cubo uede ser cortado en 2cubos e@ueBos< 'a arista de cada cubo e@ueBo es igual a 1 cm<

Para %a e"a%/a#!,$

M Pida a sus estudiantes @ue elaboren una escalera a escala @ue cumla las condiciones del e=emlo 17,

ágina 9 del te>to< & la e( @ue construyan otras tres de dierente tamaBo y se lanteen sus r oioscuestionamientos y los resuelan<

M Pida a sus estudiantes @ue analicen, discutan los siguientes enunciados y los comrueben con una aliIcación del teorema de Pitágoras:

M 'os rinciios del teorema de Pitágoras ermiten reconocer el ángulo de eleación y el ángulo de deIresión en relación con un unto determinado<

M 'os rinciios del teorema de Pitágoras se ueden alicar a la solución de roblemas sobre alturas ydistancias<

M 'os rinciios del teorema de Pitágoras ermiten 0allar el área de iguras como el rectángulo, el rismay el cuadrado<


Represe$ta#!,$ r)=!#a (e %os $+meros !rra#!o$a%es & cada nCmero racional le corresonde un unto en la recta, ero en realidad estos no la comletan< )ambi+n laconsI tituyen los irracionales< En general, reresentar un nCmero con ininitas ciras decimales no eriódicas esimosiI ble y or lo tanto nos tendr/amos @ue conormar con una aro>imación< De todas maneras, 0ay m+todosgeom+I tricos @ue ermiten reresentar algunos nCmeros irracionales en la recta num+rica< E=emlo<


l a 1 e n t a



tReprese$ta#!,$ (e 2

_ Aay @ue tener claro@ue

2 1,414<<<, es decir, 1 1,414 2,

entonces tra(amos una recta, marcamos en ella los untos 7,1 y 2<

_ 'eantamos sobre el unto 1 un segmento erendicularde una unidad de longitud<

_ nimos el e>tremo suerior de este segmento con el oriIgen 7<

_ Obseramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden

una unidad cada uno<

_ &licamos el teorema de Pitágoras ara calcular la 0ioteI

nusa del triángulo<

x 2 = 1 2 + 1 2 = 2 ⇒ x = 2

_ )rasladamos el segmento x sobre la recta con un comás<

_ El unto de intersección del arco y la recta num+rica coI

rresonde a la ra/( de dos<

_ "uando un nCmero irracional está dado or su e>resióndecimal odemos reresentarlo de orma aro>imada meIdiante el roceso @ue describimos a continuación<

Obseremos @ue la ra/( de tres está situada en el segmento

ro=o @ue es una cent+sima arte del interalo 1,I1,8<

B/e$ !"!r: Dere#<os (e% #o$s/m!(or

'a actiidad inicial uede serir ara @ue el roesor desta@ue la imortancia de las aro>imaciones en laida cotidiana< &s/, uede rooner a sus alumnos @ue eectCen diersas oeraciones: calcular el imortear o>iI mado de una comra, aeriguar si una cantidad de dinero será suiciente ara agar el alor de

una actura con sus imuestos, detectar errores en acturas, etc< De la misma manera, debe aroec0arseesta actiidad ara desertar en sus estudiantes el inter+s or conocer los derec0os del consumidor< Estosse relacionan con la calidad, recio, oerta, atención y otros beneicios @ue se generan or la comra o eluso de un deterI minado bien o sericio< Esec/icamente en el tema del consumo de bienes alimentarioses muy imortante ad@uirir los conocimientos acerca de los estándares de calidad relacionados con larearación, el embala=e, la resentación, el transorte, el e>endio, los registros sanitarios, ya @ue, deestos deenden la salud de los consumidores y aectan directamente a la conseración del medioambiente<

Para traba=ar sobre el tema de la econom/a amiliar, entren en la ágina ;eb0tt:UU;; ; <mici<gob<ecUinde><0Zotioncom]contentie;articleid4R8temid13R del Ministeriode ndustrias y Productiidad, all/ encontrarán algunos olletos inormatios @ue ueden serir de gu/aara conocer diersas estrategias de a0orro dom+stico y ara elaborar unas recomendaciones r oiassobre cómo aliiar los gastos en la casa< Es un traba=o de creatiidad y a la e( de comromiso, ues deI

ben ser tareas @ue se lleen a cabo or arte de los integrantes de la amilia<

B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<0y9<o r gUsta r ga(eUMyt0<0tm

0tt:UU;; ;<cidse<itc r<ac<crU r eistamateU%eometrianteractiaU"icloU$ielU&licacionesdePitagorasU&licacionesdePitagoras<0tm

0tt:UU;; ;<monlau<esUbtecnologicoUmatesU realytrigoU r e]gra<0tm

0tt:UU;; ;<educa<madrid<o rg

DEP'&$"AE, ?<, Diccioórmulas, Edunsa, EsaBa, 1KK9<

M$S)E!O DE ED"&"#$, &ctuali(ación y -ortalecimiento "urricular de la Educación ásica, uito, 2717<

A


l a 1 e n t a

http://www.micip.gob.ec/index.php

http://www.phy6.org/stargaze/Mpyth.htm




http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/AplicacionesdePitagoras/AplicacionesdePitagoras.htm





http://www.monlau.es/btecnologico/mates/realytrigo/rep_graf.htm





http://www.educa.madrid.org/


http://www.micip.gob.ec/index.php







-ic0a

1 Re=/er'o N+meros !rra#!o$a%es

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

En una estación de es@u/ 0ay 3 istas<

4 Gm

3 Gm3 Gm

2 Gm

3 Gm

1 Gm

& "

1< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista &<

0 2 = <<<<<<<<<<<<<<<P2 + <<<<<<<<<<<<<<<P2

_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista &Z

2< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista <

_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista Z_ YPuedes escribir en orma de racción dic0a longitudZ

3< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista "<

_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista "Z

_ YPuedes escribir en orma de racción dic0a longitudZ

"omo no uedes escribir esta medida en orma de racción, se trata de un nCmero !rra#!o$a%9

4< Escribe la deinición de nCmero irracional<R< De igual manera, @ueremos construir una ista con una longitud de

tura deberá tener la istaZ3 Gm< Si la base mide 2 Gm, Y@u+ alI

( 3 ) = ( 2 )+ <<<<<<<<<P2

3 = 2 + <<<<<<<

_ Y"uáles ueden ser la base y la altura de una ista @ue mida

_ EectCa el dibu=o corr esondiente<

R GmZ

El roceso @ue acabamos de er sire ara reresentar nCmeros irracionales sobre la recta real<

&s/, ara reresentar 2 cm, dibu=amos el triángulo rectángulo de catetos 1 cm como indica la igura a y,con un comás, trasladamos la 0iotenusa del triángulo sobre la recta igura b<

a b

1

7 1 2

2

7 1 2

2

2

2



l a 1 e n t a



Re=/er'o ?reas (e #/a(r!%)teros 0 tr!)$/%os

-ic0a

2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< na igura ormada or cuadrados recibe el nombre de oliminó< Si el nCmer ode cuadrados es cuatro, se trata de un tetraminóL si es de cinco, de un entoIminó<<< E>isten cinco tetraminós dierentes< no de ellos es el reresentado en

la igura de la derec0a< &0ora resuele los siguientes aartados<a Dibu=a los restantes tetraminós<

b ntenta construir un cuadrado con los cinco tetraminós< YPor @u+ crees @ueno es osibleZ Si aBades un entominó, Yodrás ormar un cuadradoZ

2< Aalla una órmula ara calcular el área del traecio de la igura de la der ec0a,como dierencia de áreas de triángulos<

3< Aalla el área de un cuadrado cuyo er/metro es 18 cm< 0f

b4< Aalla el lado y el er/metro de un cuadrado cuya área es 94 cm2<

0

R< El área de un rectángulo es 12 cm2 y la longitud de su base es 4 cm< "alcula su

er/metro<

9< "on un cordel de 19 cm odemos ormar distintos rectángulosL or e=emlo, un rectángulo de base 1 cm yde altura cm, un rectángulo de base 2 cm y de altura <<<<<<<<<<<<<<<<<<< cm<

"onsiderando @ue el er/metro de los rectángulos @ue se ueden ormar es siemre de 19 cm, comleta lasiguiente tabla<

ase del rectángulo &ltura del rectángulo Per/metro del rectángulo rea del rectángulo

1 cm cm 19 cm cm2

2 cm 19 cm

3 cm

4 cm

R cm

9 cm

cm

_ Y"uál es el rectángulo con mayor área @ue se uede ormarZ

< !ecorta 19 cuadrados de 1 cm de lado y orma con todos ellos distintos rectángulos< & continuación, comIleta la siguiente tabla<

ase del r ectángulo &ltura del r ectángulo rea del r ectángulo Per/metro del r ectángulo

1 cm 19 cm 19 cm2 34 cm

2 cm 19 cm2

4 cm

8 cm

19 cm

_ Y"uál es el rectángulo de menor er/metr oZ

2


l a 1 e n t a



Módulo

2 F!#<a (e e"a%/a#!,$

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< !eresenta, sobre la recta, los siguientes nCmeros reales: − 13 L 1,RL L −3L π L 7, 9 <

!ecuerda @ue 13 22 + 32 L = 22 +

(3

)L 3 = 12 +

(2

)L

2 = 12 + 12 <

2< Elige, de entre las siguientes, la reresentación correcta del nCmero R <

1 1 1

7 1 2 7 1 2 2 7 1 3

3< !eali(a las siguientes oeraciones<

⎛

5

⎞ ⎛12

⎞

a. ⎛ R W ⎞ R9 − 3 W=

c.

⎜⎝

9 W9

⎟ − ⎜ R − R ⎟ =

⎜ ⎟ ⎠ ⎝

⎝ ⎠

⎛b. ⎜⎝ 2

⎞9 ⎟ −⎠

R− R 3 =

39

2 { ! " 2 − ! 2 "# −

2 ! 2! +

2

4< )res 0ermanos se rearten una 0erencia< El rimero recibe 1R7 0a de terrenoL el segundo, 147 0a 2R a, yel

tercero, 1 Gm 2

3 0m 2

R dam 2

<a Ordena de mayor a menor la e>tensión de las tres incas<

b "alcula las 0ectáreas @ue ocua la e>tensión total de las tierras @ue 0an 0er edado<

R< &erigua el er/metro y el área del recinto de la igura de la der ec0a<)en en cuenta @ue una de las iguras de las @ue está comuesta esun triángulo e@uilátero y otra un cuadrado< 4 cm

1,9 cm 3 cm

2,3 cm R cm

9< Se @uiere cubrir una ared de una cocina con baldosas cuadradas de 1R cm de lado< Y"uántas baldosas seIrán necesarias si la ared tiene la orma de un rectángulo de 4R dm de base y 3 m de alturaZ

< Enumera ob=etos de tu alrededor cuya suericie estimes @ue sea:

a Mayor @ue 1 m 2< b Menor @ue 1 m 2 ero mayor @ue 1 dm 2< c Menor @ue 1 dm 2<

8< "alcula la distancia @ue 0a de recorrer el caminante ara llegar al castillo<

87 m

2 2

−

2

−39

+

$.

RW −



22


l a 1 e n t a



F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario

Módulo

21<

] 4 ] 3 ] 13

2<

] 13

] 2 ] 1

2

7 7,9 1

3

1,R 2 3 4

1 1 1

7 1 2 7 1 2 2 7 1 3

'a rimera reresentación corresonde a R , uesto @ue:

22

+ 12

=

R

3< a. ⎛ R · ⎞9 − 3

W

R= 1R c.

⎛R

⎞ ⎛

12

−−

R⎞

− 2 3

⎜ ⎟ ⎜ W ⎟ ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2⎛b.

⎜⎝ 2

⎞9⎟ −⎠

R− R 3 =

R

39 9$. 2 { ! " − ! + 2 "# − 2 !

= 2! + 2

4< a 1R7 0a 147 0a 2R a 1 Gm 2 3 0m 2 R dam 2

9< &ared 4R7 W 377 13R 777

b 1R7 147,2R 173,7R 3K3,3

'a e>tensión total es de 3K3,3 0a<

&baldosa 1R W 1R 22R

R< P 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 4 3 R2,3 28,1 cm<

El er/metro del recinto es 28,1 cm<

&cuadrado 2,3 2 R,2K

13R 777

97722R

Serán necesarias 977 baldosas<

< !esuesta sugerida: a el comedor de una casaL buna caretaL c una tar=eta de cr+dito<

&triángulo1

W 2,3 W 2 2,32

8< d R72 X 872 K4,34

R ⋅ 2, 3 ⋅1,9

entágono2

&R X 4 ⋅ 3

13,R

2 & R,2K 2,3 K,2 13,R 37,2K

El área del recinto es 37,2K cm 2<

'a distancia @ue 0a de recorrer es de K4,34 m<

P/e(e#o$t!$/ar

Ne#es!tar e=/er'o

I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M !eresenta sobre la recta nCmeros irracionales<

M !esuele oeraciones con nCmeros irracionales<

M Deduce las órmulas del área de ol/gonos regulares y las alica en la resolución der oblemas<

M "alcula el er/metro y el área de las distintas iguras lanas<

M &lica el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos r ectángulos<

M &lica el teorema de Pitágoras en la resolución de roblemas de la ida cotidiana<

> (e a%/m$osEas

23

99

−39

R −

2

RW

−

&

traecio

D

i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



Módulo lo@ues: $um+rico< !elaciones y unciones

N+meros rea%es

Po%!$om!os✎

DDCCDD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o

M Simliicar e>resiones de nCmeros reales con la alicación de las oeraciones básicas<

M !esoler las cuatro oeraciones básicas con nCmeros reales<M nterretar y utili(ar los nCmeros reales en dierentes conte>tos, eligiendo la notación y la aro>imación

adecuadas en cada caso<

M tili(ar las )" ara reali(ar oeraciones con cual@uier tio de e>resión num+rica<

M Desarrollar estrategias de cálculo mental<

M "alcular el error cometido con aro>imaciones de nCmeros reales<

M Simliicar olinomios con la alicación de las oeraciones y de sus r oiedades<

M !eresentar olinomios de 0asta segundo grado con material concr eto<

M -actori(ar olinomios y desarrollar roductos notables<


!elacionada con la D"D: Ca%#/%ar e% error #omet!(o #o$ apro1!ma#!o8$es (e $+meros rea%es


M !ecuerde cómo 0acer el redondeo y el truncamiento de nCmeros decimales alicándolos a los nCmer osirracionales<

M Para truncar un nCmero decimal 0asta un orden determinado se onen las ciras anteriores a ese ordeninclusie, eliminando las demás< &s/: 4R,1234 truncar 0asta las d+cimas es 4R,1<

M El alumno obserará, en este caso, @ue se trata de una necesidad deriada del 0ec0o de @ue los nCmeIros irracionales tienen ininitas ciras decimales no eriódicas< Esta es la ra(ón or la @ue no odemosescribir todas las ciras decimales ni tamoco simboli(arlas mediante un er/odo<

24

3O-et!"os (e% m,(/%oM -actori(ar olinomios y desarrollar roductos notables ara determinar sus ra/ces a tra+s de material

concreto, rocesos algebraicos y gráicos<

M &licar las oeraciones básicas con nCmeros reales ara utili(arlos en dierentes conte>tos or mediode las )"<


l a 1 e n t a




M Distinguir las aro>imaciones de nCmeros reales, determinar su orden de aro>imación y utili(arlo araeectuar truncamientos y redondeos< Puede utili(ar la siguiente tabla<

N+mero Re(o$(ear E(e#!ma%es Tr /$#ar E(e#!ma%es

4 3 2 1 4 3 2 1

1,234R9 1,2349 1,23R 1,23 1,2 1,234R 1,234 1,23 1,2

37,44737 37,4473 37,4477 37,4477 37,4777 37,4473 37,4477 37

R,1872R R,1873 R,187 R,18 R,2 R,1872 R,187 R,18 R,1

R7,48K11

(UHSPJL SH PUMV!HJP"U #$L %L &V&VUL LU LS 'L'V )L SH &*+ LMLLU'L HS LV H,%VS$'V - LV LSH'P.V


M *unto con el roesor de "ultura -/sica, se uede rearar carreras de 177 m lanos< nos cincoestudianI tes se encargarán de cronometrar las cometencias y anotar los resultados indiidualmente, araluego comI ararlos con el resto de la clase y obserar si coinciden o e>isten e@ueBas dierencias en eltiemo<

M &nalice la utilidad de reali(ar aro>imadamente y la coneniencia de redondear o truncar <M Mencione situaciones en donde se re@uiere de e>actitud ara las mediciones<

nálisis del e=ercicio integrador de la ág< 178 y argumenten el roceso @ue se

ue, utili(ando la calculadora, e>resen racciones en orma decimal y comletenel e=emlo<

E1pres!,$ (e#!ma% Tr /$#am!e$to Re$(o$(eo

!elacionada con la D"D: S!mp%!=!#ar po%!$om!os #o$ %a ap%!#a#!,$(e %as opera#!o$es 0 s/s prop!e(a(es9


M !ealice un resumen de todo lo arendido sobre los olinomios 0asta este momento<Puede utili(ar el r eIsumen de la ág< 17 del te>to del estudiante<

M !ecal@ue @ue sumar y restar olinomios es sumar y restar sus t+rminos

seme=antes< !esuela 4> X 3y + R> X y

4> X 3y

X R> X y

K> X 4y

M Pida a sus estudiantes @ue colo@uen en orma ertical los t+rminos seme=antes de los diersosolinomios, uno deba=o del otro, de=ando un esacio libre si el olinomio carece de ese t+rmino< 'uegose rocede a sumar< Por e=emlo ara sumar los olinomios: R>4 − 19>3 + 8>2 − K> + 3L >4 + 3>2 − 11> +

9L

K>4 + R>3 + 17>2 + 9> + K rocedemos as/:

R>4 − 19>3 + 8>2 − K> + 3

>4 + 3>2 − 11> + 9

K> 4 + R> 3 + 17> 2 + 9> + K

21>4 − 11>3 + 21>2 − 14> + 18

Para %a e"a%/a#!,$

M Solicite @ue realice un autili(ó en su r esolución<

M Pida a sus estudiantes @la tabla con base en la d

N+mero

2UR


l a 1 e n t a



M Para la sustracción de un olinomio P, denominado minuendo, otro denominado sustraendo sesuma al minuendo el ouesto al sustraendo< Se uede utili(ar el m+todo de colocación erticalL or e=emlo ara restar los olinomios: 3a2 9ab b2 de Ra2 2ab Rb2 se rocede as/:

Ra2 2ab Rb2

3a2 9ab b2

2a2 8ab 2b2

M .alor num+rico de una e>resión algebraica es el nCmero @ue se obtiene al sustituir en esta el alor nuIm+rico dado y reali(ar las oeraciones indicadas<

> H 3a ara > 2L a R

2 H 3R 8 H 312R 8 H 3R [39

M n olinomio está ordenado si los monomios @ue lo orman están escritos de mayor a menor grado<

P> 2> X R> [ 3


M En el e=ercicio resuelto, uede establecer los asos @ue se siguen en una diisión de olinomios< 'a inIormación se consigna en la ágina K8 del te>to del estudiante<

3> [2> [4>h X2> [2 >h [2>h [2

[2> X9> [3>h7 4> X>h X2> [3

[4> X8>h [4>

7 1R>h X9> [3

1R>h X37> X1R

X39> X12

3>h X4> X1R

!egla de !u Dini

'a regla de !uini conocida tambi+n como diisión sint+tica se utili(a cuando el diisor es de la orma>Iaj<Permite obtener más ácilmente los coeicientes del cociente en una diisión de olinomios< En el e=emlo3>4 R>2 4> 9 ` > 4 se uede roceder de la manera 0abitual o utili(ando la regla de !uini<

Proceso algoritmoSe disone los coeicientes del diidendo y el t+rmino indeendientedel olinomio diisor, este Cltimo cambiado de signo< Si el olinomio 4

diidendo es incomleto se one un 7 en el lugar corresondiente alt+rmino @ue alta<

Se ba=a el rimer coeiciente 3 se multilica or 4 y se suma el 4

roducto obtenido 12 al segundo coeiciente 7<

'a suma obtenida 12 se multilica or 4 y este roducto se 4suma al siguiente coeiciente R<

3 7 R 4 9

3 7 R 4 9

12

3 12

12 48

Se continCa este roceso 0asta eectuar la suma corresondiente al Cltimo coeiciente<

4

'a Cltima suma obtenida 999 es el resto de la diisión< "on los coeicientes restantes 3, 12, 43, 198se construye el olinomio cociente, teniendo en cuenta @ue su grado será una unidad menor @ue el gradodel diidendo, ues el diisor es de grado 1<3>4 R>2 4> 9 ` > 4 > 4 3> 4 R> 2 4> 9 999

! > 999 3>3 12>2 43> 198 " > > 4 > 4

2

3 7

R 4

9 3 7 R 9

4

12 48 12

4

12 48 12

92

3

12

43 198 3

12

43 198

999


l a 1 e n t a



diisiones:

b< >3 H R>2 X> P ` >2 H 1

reroducción de roblemas de la ág< 179, solicite @ue comleten la tabla<

"!sor Co#!e$te Resta

2> X H 2R> H 37


En octao de ásica se traba=a la siguente deinición de ra/( cuadrada: se suguiere @ue el docente d+ el mismotraI tamiento ero con los nCmeros racionales<

Sea b un nCmero entero ositio o cero, su ra/( cuadrada entera si e>iste, es el nCmero entero ositio a o

cero, tal @ue el cuadrado de a sea b<% b = a, si y solo si: a 2 = b L con a, b ∈R+

a % 4 =2

b % 22 = % 4 =2

c %−22 = % 4 = 2

d − % 4= −2

e %−4 , no tiene ra/( cuadrada en los reales<

!ecuerde @ue es un error airmar @ue la % 4 es 2 y −2<

Obsere las ra/ces cuadradas de algunos nCmeros racionales<

% 7 = 7 4

= 2

K 3

%2R =R

1= 1

K 3

B/e$ !"!r: C/%t/ra F7s!#a 0 t!empo %!-re

'a actiidad inicial uede serir ara @ue el roesor aborde el tema de la necesidad de cuidar la salud inItegral de las ersonas, a tra+s del deorte y del aroec0amiento del tiemo libreL en concordancia conel cuidado y rotección del medioambiente sano< En este sentido, es necesario e>licar la obligación delEstado de romoer la cultura /sica y el derec0o de los ciudadanos a disrutar de esacios y alternatiasde r ecr eación<

Es muy imortante conersar al resecto de los roblemas de salud originados or la alta de e=er cicio/sico, como roblemas cardiosculares, 0iertensión, obesidad y otros< Este unto debe serir ara motiIarlos a la ráctica de actiidad /sica, no necesariamente un deorte, sino acciones sencillas como subir

gradas, caminar, asear al aire libre, entre otras< De ser osible, inite a un esecialista al aula ara @ueueda e>licar a sus estudiantes las consecuencias ara la salud or la inactiidad< Se sorrenderán alconocer las ciras y los datos inculados con esta situación<

Pida @ue realicen las actiidades rouestas en la ágina 111 de la sección uen .iir y a la e( @ue asuIman el comromiso de articiar en las =ornadas deortias de la institución< !ele>ionen sobre el lemaMente sana en cuerosano<

B!-%!ora=7a0tt:UUsauce<ntic<mec<esU=diegoUcalculoUcalculo<0tm

0tt:UUmatematicasies<comUZIPolinomios,92I

M$S)E!O DE ED"&"#$, &ctuali(ación y -ortalecimiento "urricular de la Educación ásica, uito, 2717<

'E)AO'D, 'ouis, lgebra y )rigometr/a anal/tica, Aarna M+>ico,1KKK<SE$F !<, '&!& *<,E$&'"F&! A<, 'E#$ A<, Módulo de Matemática ac0illerato, "entro de Matemática I niersidad "entral del


M Plantee e=ercicios como el e=emlo:

"alcular el cociente y resto en cada una de

estas a< >R X >3 H R> X 1 ` > X 2>

Para %a e"a%/a#!,$M tili(ando el roceso de

D!"!(e$(o D!

R>3 X 2>2 H > X R

% %



l a 1 e n t a

http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/calculo/calculo.htm

http://matematicasies.com/

http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/calculo/calculo.htm





Ecuador, uito, 277<

26



-ic0a

1 Re=/er'o N+meros rea%es. apro1!ma#!o$es 0 err or es

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< Aalla un nCmero racional comrendido entre R y 9 <

2< Aalla un nCmero irracional comrendido entre 1,R y 1, R <

$os encontramos a un atinador y le reguntamos @u+ distancia 0a r ecorrido<

3< ndica cuál de las tres resuestas te arece más adecuada<

a Ae r ecorrido2 Gm< b Ae recorrido 1,414 2139 Gm< c Ae recorrido 1,4 Gm<

esar un resultado con muc0as ciras decimales no siemre tienedo<

4< "on la calculadora, busca el alor de los siguienItes nCmeros, con cuatro ciras decimales, y anótaIlo en la segunda columna de la tabla<

_ En la tercera columna, escribe el nCmero con

sólo dos ciras decimales<_ "alcula la dierencia entre los alores de la seI

gunda columna y la tercera, y anótala en lacuarta columna<

ite la actiidad anterior modiicando un oco el m+todo:

_ De=a la rimera cira decimal igual<

_ Obsera la tercera cira decimal<

M Si la tercera cira decimal es menor @ue R,de=a la segunda cira igual<

M Si la tercera cira decimal es mayor o igual @ueR, sCmale 1 a la segunda cira decimal<

9< Obsera las tablas anteriores y r esonde:

_ YEn cuál 0as obtenido los errores menoresZ

_ Yu+ m+todo te arece me=or, el truncamiento o el r edondeoZ

_ YEn @u+ casos coinciden los erroresZ

< EectCa las siguientes oeraciones, sustituyendo los nCmeros irracionales @ue aarecen aro>imados or r eIdondeo con tres ciras decimales<

a2

+3 R

−13

= c2 R + 1 13 − 1R =

/) 2 0 + 3 2 +⋅3 = ⎛

1

⎞

d 3 ⋅− 2 R=

$Cmer o .alor calculadora )runcando Err or

2 1,4142 1,41 1,4142 − 1,41 = 7,7742

3

R

8

11

12

14

$Cmer o.alor

calculadora!edondeando Err or

2

3

R 2,2397 2,24 2,24 − 2,2397 = 7,774

8

11

12

14



⎜

⎟⎝ 2 ⎠

8< !edondea 2 , R , y 17 0asta las mil+simas y calcula 2 R y R 2 <

_ YEs

2

2 + 5 =

Z YEs

5 2 =⋅

17 Z


l a 1 e n t a



Re=/er'o Opera#!o$es #o$ po%!$om!os. $+meros !rra#!o$a%es

-ic0a

2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< "omleta estas oeraciones con olinomios<

a Suma los olinomios P> 3>2 2> 1 y > R>3 > 8<

> R> 3 <<<<<<< <<<<<<< X 8

b !esta los olinomios P> >R 2>4 >3 8 y > >R R>4 4>2 R<P> = >R

<<<<<<< − > 3<<<<<<< <<<<<<< <<<<<<<

> = > R + R> 4 <<<<<<< − 4> 2 <<<<<<< + R

P> − > =<<<<<<<

H 3> 4

<<<<<<<+ 4<<<<< <<<<<<< + 3

c Multilica los olinomios P> >3 R> 2 y > 2>2 R> 1<

P> > 3<<<<<<< − R> + 2

> 2 > 2 + R > − 1

− > 3 <<<<<<<

<<<<<<< <<<<<<< <<<<<<<

+ R> − 2

+17>

<<<<<<< <<<<<<< H 17> 3

+ 4> 2<<<<<<< <<<<<<

P> W > 14>R 3R>4 <<<<<<< <<<<<<< <<<<<<< 2

d Aalla el cociente y el resto de la diisión entre &> 8>4 9>3 4 y > 2>2<

8 >4 X 9 >3 4 2 >2

<<<<<<<< 4 >2<<<<<<<<

7 9 >3

9 >3

2< "omleta:

<<<<<<<< <<<<<<<<

Es ácil comrobar @ue 27 x R + x 4 H 3 x 3 H 24 x 2 9 x R x 3 3 x 2 9 W 4 x 2 x L or tanto,

4 x 2 x es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de 27 x R x 4 3 x 3 24 x 2 9 x , y R x 3 3 x 2 9 tambi+n es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

de <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

De orma similar, 27 x R x 4 3 x 3 24 x 2 9 x es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de 4 x 2 x , y tambi+n lo es de

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

3< "omleta:

a x 1 es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de P x x R H x 3, uesto @ue P1 1R <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< )ambi+n x 1 es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

de P x , or@ue P<<<<<<<<<<<P <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7< Pero x <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<no es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<de P x , ya @ue P2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

23 24 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

bP Si consideramos P x x 3 x 2 14 x 24, las osibles ra/ces son<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "omo

P2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<, entonces 2 es una ra/( de P x y P x x H 2 x < Si alicamos la regla de!uini ara calcular x , obtenemos:

x <<<<<<<<<<<<<<<< x 12 cuyas ra/ces son x 1 3, x 2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<< < 'uego, odemos e>resar x como sigue:

P> <<<<<<< <<<<<<< X 2> X 1

P> X > <<<<< > 3 X 3> 2 <<<<<<< X K


l a 1 e n t a



2A

x x <<<<<<<<<<<<<<P x 4< Por tanto: P x x <<<<<<<<<<<<<<P x <<<<<<<<<<<<<<P x <<<<<<<<<<<<<<<



Módulo

3 F!#<a (e e"a%/a#!,$

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< Si a = 7,3 y b = −7,, reresenta gráicamente:

a b, a

b ka + b, a − b

c ka, − b

d El interalo de centro b cuyos e>tremos distan 1,R unidades de b<

2< Di si es necesario redondear o truncar nCmeros decimales y, si lo es, e>lica en @u+ circunstancia o circunsItancias y on un e=emlo<

3< !edondea 0asta las cent+simas los siguientes nCmeros decimales<

a 2,32R4

b 21,824

c −12,3123

4< Medimos la altura de un =ugador de baloncesto y la anc0ura de una 0o=a de ael< 'os resultados obtenidosson los siguientes:

2,77 7,74 m 21,2 7,9 cm

"omara el error absoluto y el error relatio de ambas medidas< Y"uál de las dos medidas es me=orZ

R< E>resa en lengua=e algebraico:

a El doble de la suma de x es ! <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

b El cubo del doble de a ! <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

c El cociente del doble de a entre b es igual a : <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

d El trile de un nCmero más 8 es igual a siete eces dic0o nCmero: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

9< Proón un enunciado @ue corresonda a la siguiente igualdad<3 > − 2 = 2 > + 4

< Sean P > P = >3 − >2 + 2> − 1R,

> P = > 4 − R>2

y ! > P = 2> 3 − 3> 2 + 2> − R < "alcula:

a P> + > − !> b P> W > c −P> + 2 >

8< Dados los olinomios P x 3 x 2 2 x 1 y x 9 x 3 13 x 2 X 4 x 3, calcula:

a P> > c P> >

b > P> d P>2

K< Diide estos olinomios entre x H 1 utili(ando la regla de !uini<

a 9>3 17>2 2> 2 c 8>3 4>2 > 1b 2>4 H 3>2 2> 1 d 3>4 3>3 2>2 > 1_ YEs x 1 ra/( de estos olinomiosZ *usti/calo<

17< -actori(a los siguientes olinomios<

a >4 17>3 3R>2 R7> 24b >3 R>2 > Rc 12>3 19>2 27> 8_ ndica, a continuación, sus ra/ces<

3


g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a




Módulo

31< a H1 H7, 7 7,3 1

8< a P> + > = 9>3 + 19>2 + 9> − 4

b H1

H7,4 7 1

b > − P> =9>3

+17>2

+ 2> − 2

c H1 7 7,3 7, 1

d

c P> ⋅ > = 18>R + R1>4 + 32>3 − 14>2 − 17> + 3

d P>2 = K>4 + 12>3 − 2>2 − 4> + 1 H3 H2,2 H2 H1 7 7,8 1

K< a 9 17 2 −22< Es necesario, or@ue e>isten nCmeros reales con

ininitas ciras decimales no eriódicas @ue sóloodemos simboli(ar o aro>imar< &demás, uedeser adecuado redondear o truncar nCmeros deciImales e>actos, eriódicos uros o eriódicos mi>Itos si tienen muc0as ciras decimales y tenemos@ue traba=ar con ellos<

3< a 2,33L b 21,83L c −12,3<

4< Primera medida Segunda medida

Ea = 7 ,74 m = 4 cm Ea = 7 ,9cm

1 9 19 18

9 19 18 19

! = 19

"> = 9>2 + 19> + 18

b 2 7 −3 2−1

1 2 2 −1 1

2 2 −1 1 7

! = 7

Er=

7 , 74m

2, 77m

= 7 , 72

Er= 7 , 9

cm

21, 2cm

= 7 , 73

"> = 2>3 + 2>2 − > + 1

Para comarar los errores absolutos debemos calIc 8 4 −1 −1

cularlos en la misma unidad, en este caso en cm< 1 8 12 11Obseramos @ue el error absoluto de la rimeramedida es muc0o mayor @ue el de la segunda<

$o obstante, el error relatio de la rimera medida

8

! = 17

12 11 17

es menor @ue el de la segunda<

Está me=or eectuada la rimera medida, or @ue0ay un error de 7,72 unidades or cada unidadmeI dida, mientras @ue el error de la segundaes de7,73 unidades or cada unidad medida<

"> = 8>2 + 12> + 11

d 3 −3 −2 −1 −1

1 3 7 − 2 − 3

3 7 −2 −3 −4

R< a 2 > + yL b 2 a 3L c2 a

b

= L d 3 > + 8 = > ! = −4

9< El trile de un nCmero menos 2 es igual al doblede dic0o nCmero más 4<

b

P > P W > P = > − >9 − 3 >R − 17 > 4 −17 > 3 − R > 2

"> = 3>3 − 2> − 3

> = 1 es una ra/( del olinomio del aartado b",er o no de los aartados a"# c"# y d"# ues, segCnel teI orema del resto, el resto de la diisión del

olinoI mio entre > − 1 deber/a ser cero<

17< a > − 1 ⋅ > − 2 ⋅ > − 3 ⋅ >− 4

_ !a/ces: 1, 2, 3, 4

b > + R ⋅ >2 + 1

_ !a/ces: −R

c 4 ⋅ > + 1 ⋅ > − 2 ⋅ 3>− 1

_ !a/ces: −1, 2,1

3P/e(e

#o$t!$/ar Ne#es!tar e=/er'o

P > 3 − > 2 + 2 > −

1R > 4 − R > 2

− 2 > 3

+ 3 > 2

− 2 > +

> 3 − 3 > 2 − 17

> 4 − > 3 − 3 > 2 −

17

− 4

P > 3 − > 2 + 2 > − 1R

> 4 − R > 2

− R >R + R > 4 − 17 > 3 − R >2

> − >9 − 3 >R − 17 > 4 − 17 > 3 − R >2



I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M &lica las oeraciones con nCmeros reales a la resolución de r oblemas<

M &lica correctamente los algoritmos de cálculo con olinomios<

M -actori(a olinomios y desarrolla roductos notables<

> (e a%/m$osEas

3


l a 1 e n t a



Módulo lo@ues: $um+rico< !elaciones y unciones<

N+meros rea%es

Patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea%✎

DCDDCD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o

M Simliicar e>resiones de nCmeros reales con e>onentes negatios con la alicación de la reglas deotenciación y radicación<

M !econocer atrones de crecimiento lineal en tablas de alores y gráicos<

M %raicar atrones de crecimiento lineal a artir de su tabla de alores<

M Presentar de manera clara y ordenada los e=ercicios reali(ados<

M "oniar en las roias caacidades ara eectuar oeraciones matemáticas<

M sar la calculadora de orma racional ara oerar con otencias<


!elacionada con la D"D: S!mp%!=!#ar e1pres!o$es (e $+merosrea%es #o$ e1po$e$tes $eat!"os #o$ %aap%!#a#!,$ (e %a re%as (e pote$#!a#!,$ 0ra(!#a#!,$9


M Es necesario @ue los alumnos sean caaces de alicar el conceto de otencia a la descrición de siItuaciones de la ida real< Por este motio, ser/a interesante lantearles actiidades oeratiamente senIcillas en un conte>to realL or e=emlo, describir en orma de otencia situaciones del tio: na escueIla tiene seis aulas, en cada aula 0ay seis alumnos y cada alumno tiene seis láices de color es<Y"uántos láices tienen entre todosZj<

M )ambi+n es muy imortante @ue relacionen las roiedades de las otencias con las roiedades de la

multilicación< &s/ mismo, uede ser Ctil utili(ar e=emlos de alicación incorrecta de las r oiedades

6789:;:;<9 (67 >*67, (2 + 3)2 ? 22 + 32)@M Aay @ue insistir en el uso ra(onable de la calculadora, la cual 0a de ser una 0erramienta utili(ada solo

cuando sea necesariaL se tiene @ue restar muc0a atención, en este caso, a los asos @ue 0ay @ue seIguir ara introducir una e>resión num+rica< nsistir, de nueo, en la necesidad de eectuar todas lasoeraciones sencillas o inmediatas sin el recurso de la calculadora< En cual@uier caso, 0ay @ue oner +nasis en el roceso de introducir ar+ntesis con el in de modiicar el orden en @ue se eectuarán lasoeraciones<

M Presenta un cuadro en el cual el estudiante ueda comletar las roiedades de la otenciación< tilicela inormación de la ág< 127 y 121<

32

4O-et!"os (e% m,(/%oM &licar las reglas de otenciación en la resolución de roblemas de nCmeros reales con e>onentes

negatios ara desarrollar un ra(onamiento lógicoImatemático<

M !econocer una unción lineal or medio del análisis de su tabla de alores o de su gráico ara comIrender y redecir ariaciones constantes<



l a 1 e n t a




M "onsidere las reglas ara traba=ar con e>onentes negatios y resuela e=ercicios como:

1 1

I2

⎛ 2 ⎞K

a I3 = b ⎜ ⎟ =2 2 8 ⎝ 3 ⎠ 4

I4 K 1⎛ ⎞ =

=

2 2 2 X 2

c ⎜ ⎟ I4

⎛ ⎞

⎜I3⎟ 81

d 2 > 2=

2 > 2

22 X 4

⎝ ⎠33 4

2

4



⎝ ⎠

Es decir, elcociente

24

2

2I3

= 2

2

Procede a =ustiicar cada uno de los asos de solución mencionando las roiedades de la otencia @ue emlea<2

M "on un e=ercicio como: 2 > 43 4 =

4 4=

19=

1

2 > 2 2 19 128 8M Aaga notar a los estudiantes como or transitiidad es osible establecer @ue 2 I3

1, luego 2 I3

1

8 23

M 'legue con los estudiantes a concluir:

%eneralidad:a In 1 L a 7

Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$toM Solicite a los alumnos @ue desarrollen los e=ercicios 1 y 2 de la ágina 121 del te>to<

M Presente el siguiente cuadro a los estudiantes, deberán comletarlo con lo solicitado segCn corresondael e=emlo dado<

Pote$#!a Desarro%%o (e %a pote$#!a a%or $/mr!#o (e %a pote$#!a

22 2 2 4

2I2 27 : 22 2B22

27 1

22 4

32

3I2

42

4I4

R2

RIR

Para %a e"a%/a#!,$

M Solicite a los estudiantes la reali(ación de un resumen de los contenidos tratados en esta sección y lueIgo la e>osición de los mismos<

M Para llear adelante la obseración del traba=o rouesto anteriormente, se debe rearar antes la listade control bien elaborada or el roio obserador, o bien recogida en algCn te>to @ue trate de los asIectos a obserar<

'a lista de control eita la +rdida de inormación @ue conllea la simle retención memor/stica: muc0osdatos se ierden o se recuerdan deormados< Durante la sesión, en silencio y de modo @ue su r esenciaase lo más desaercibida osible, rodea los corresondientes s/j o noj segCn lo @ue obsera<

33

an


l a 1 e n t a



!elacionada con la D"D: Gra=!#ar patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea% apart!r (e s/ ta-%a (e "a%ores9


otie el reconocimiento de atrones linealesos, tiemo emleado or un auto en un deI

M Solicite @ue comleten tablas de datos en base a e=ercicios rácticos< E=emlo:tili(ando una cuerda anudada con una medida de R7 cm, ormen rectángulos de tal orma @ue ar/e labase y la altura<

Base x 2 3 999

A%t/ra 24 23 999 999

M nterretar el signiicado de ares ordenados de la tabla<

M !eresentar ares ordenados en el lano cartesiano<

M !econocer atrones cr ecientes<

M !econocer atrones decr ecientes<

M %raicar atrones lineales<


M Solicite @ue elaboren tablas y analicen gráicas con base a inormación de situaciones reales<E=emlo: El al@uiler de auto iene dado or un recio i=o de R y se cobra 1 or cada 17 Gm der ecorrido<

M uscar en libros, eriódicos, reistas, nternet, consultar con roesionales m+dicos, encontrar tablas dealores @ue uedan ser usados ara graicar atrones de crecimiento lineal< Estos deberán ser elaboraIdos en materiales alternatios, con dibu=os alusios al tema, colores a libre elección y resentados en elaula de clase con la e>licación de cómo ueren 0ec0os<

Para %a e"a%/a#!,$

M Presenten graicos de crecimiento o decrecimeinto lineal y solicite @ue elaboren una tabla de alores ycreen roblemas con la inormacion @ue se resenta en la graica<


Co$#eptos -)s!#os (e =/$#!o$es

Re%a#!,$: na relación establece la corresondecia entre los elementos de dos con=untos no ac/os & y <

sualmente, al con=unto & se lo denomina con=unto de artida, y al con=unto , de llegada< Simbólicamente, la r eI

lación se reresenta or ! y se cumle @ue: ! & >

34


.erii@ue la comrensión de sucesiones< Se sugiere @ue se

en la ida diariaL or e=emlo, gastos or consumo de alimeterminado r ecorrrido<


l a 1 e n t a



F/$#!,$: Sean y ? dos con=untos no ac/os, subcon=untos de los nCmeros reales< na unción de ariable

real de en ? es una regla de corresondencia @ue asocia a cada elemento de un Cnico elemento de ?< Esto

se r eI

resenta simbólicamente or:

f : ?

x f x P

& la ariable x se le llama ariable indeendiante a la ariable y se la conoce como ariable deendiente<

Dom!$!o: Sea f una unción de la ariable real f! ?< El con=unto ara el cual se encuentra deinida,

constiI tuye el dominio de la unción< Este con=unto se reresenta simbólicamente $or dom f.

Ra$o: Sea f una unción de la ariable real f! ?, el con=unto de todos las imágenes de los elementos del

dominio, constituye el rango de la unción< Este con=unto se reresenta simbólicamente or rg f.

F/$#!,$ Estr!#tame$te Cre#!e$te: na unción f es estrictamente creciente en un interalo , si ara cualI

@uier elección de x 1# x % en , siemre @ue x 1, x 2, tenemos x 1 x 2< Esto es:

x 1, x 2 k x 1 x 2 ) f x 1 f x 2

f es estrictamente cr eciente

f f &x % "

f &x % "

f f no es estrictamente cr eciente

f &x 1 "

x x 1 x %

f &x 1 " x

x 1 x %

F/$#!,$ Estr!#tame$te De#re#!e$te: na unción f es estrictamente decreciente en un interalo , si ara

cual@uier elección de x 1# x % en , siemre @ue x 1, x 2, tenemos x 1 x 2< Esto es:

x 1, x 2 k x 1 x 2 f x 1 f x 2

f es estrictamente decreciente f no es estrictamente decr eciente

x

x f &x

1 "

F/$#!,$ Mo$,to$a: Se dice @ue f es una unción monótona en un interalo , si y solo si f es o estrictamente

creciente o estrictamente decreciente en ese interalo<

B/e$ !"!r: )-!tat 0 "!"!e$(a

& lo largo del módulo, el roesor uede traba=ar con el tema de la necesidad 0umana de una iienda,as/ como enrentar la realidad del a/s en torno a este tema< Es reciso @ue los =óenes cono(can lasituación actual de muc0os 0ogares ecuatorianos @ue carecen de iienda y se lanteen soluciones digInas a este r oblema<

Es muy imortante @ue siemre @ue se traba=e un roblema latente de la sociedad, motiando a los estuIdiantes a buscar soluciones y a ser arte actia de ellas, ara @ue arendan @ue es osible cambiar la r eI

alidad con esuer(o y traba=o< Este tio de ráctica les ermitirá asumir, oco a oco, e=ercer su derec0oa la articiación en la ida social y les motiará a e>igir cumlimiento de las autoridades de la localidad<El derec0o a la iienda está ligado intr/nsecamente con la garant/a de llear una ida digna y tambi+n lleIa consigo otros de tio económico y social, como el acceso a sericios básicos, /as y carreteras, transIorte, moilidad, seguridad< En este sentido, desde la ráctica educatia es reciso crear r esonsabilidadciudadana<

B!-%!ora=7a"MIESPO', -undamentos de Matemáticas ara bac0illerato, 2779<

!EES, PaCl y SP&!S, -red, lgebra elemental, Mc%ra; Aill nteramericana, M+>ico, 1KK4<

3*

f &x 1 "

f &x % " f

x 1 x %

f &x % "

f

x 1 x %


l a 1 e n t a



-ic0a

1 Re=/er'o Opera#!o$es #om-!$a(as 0 opera#!o$es #o$ pote$#!as9 S/#es!o$es

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< EectCa las siguientes oeraciones con otencias<

2

3 17

1

⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ − 9

2 ⎞ R

−R P

5⋅ −R P

4

⋅ −R P3

=

c P ⎜ −

⎟ ⎝⎠

` ⎜ − ⎟ =⎝ ⎠

2

&⎛

3⎞

− 3 '9⎡

30

b P(

) '

d P 2 R 2 =

(⎜ ⎟ ) = ( ⋅ − ⋅ )

*⎝ R ⎠ (* R )

2< E>resa en orma de otencia de base real y e>onente racional:

3< EectCa estas multilicaciones<

a RR R9 R<<<<< <<<<<P R<<<<< c 39 W 38 3<<<<< <<<<<P

b⎛ R ⎞

−2 3⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞

<<<<< + <<<<<

d⎛

2 2 ⎞ ⎛

− 9 2 ⎞

⎜ ⎟ ` ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=⎜ − ⎟ ` ⎜ − ⎟ =

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠

4< EectCa estas diisiones<

a 32

` 34

3<<<<< <<<<<P

3<<<<<

c

R

`

3

<<<<< <<<<<P

b ⎛ 9 ⎞−3 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞

<<<<< −

<<<<<

4⎛ 3 ⎞⎛

−1R

3 ⎞

⎜ ⎟ ` ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=d ⎜ − ⎟ ` ⎜ − ⎟ =

⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

R< "onsidera la sucesión 2, 4, 9<<< .eamos cómo determinar su t+rmino general< Obsera @ue, si @ueremosrolongar la sucesión, odemos considerar dos ociones:

a "ada t+rmino se obtiene multilicando or <<<<<<<<<< el nCmero del lugar @ue ocua< 'uego la sucesión es:

2, 4, 9, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<

? la e>resión del t+rmino general será:

a n = <<<<<<<<<< W <<<<<<<<<<

b "ada t+rmino, a artir del tercero, se obtiene sumando los dos t+rminos <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 'uego la sucesiónla odemos continuar como sigue:

2, 4, 9, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<

? la e>resión del t+rmino general será:

a n = a n − 1 + <<<<<<<<<<

9< "onsidera la sucesión 1, 1, 2, 3, R<<<, denominada sucesión de -ibonacci, y escribe la e>resión de un t+rImino a artir de otros t+rminos anteriores<

:

R

4

: :

:

: :



l a 1 e n t a



3



Re=/er'o Patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea% 0 r)=!#a (e /$a =/$#!,$

-ic0a

2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< 'as sucesiones ueden reresentarse en un sistema de coordenadas cartesiaI an

al lugar @ue ocua el t+rmino y cuya ordenada es el alor de +ste<

Obsera la imagen de la derec0a, @ue corresonde a la reresentación gráicade una sucesión<

a Escribe los cuatro rimeros t+rminos<

b Escribe la e>resión del t+rmino general de la sucesión<

1

7,R

7,R

7,2R

aan(adoZ 77 1 2 3 4 R 9

2< !eresenta, en un sistema de coordenadas, la sucesión cuyo t+rmino general es a = 2 −1

<n

_ YPodr/as decir @u+ le ocurre al alor de un t+rmino @ue ocua un lugar muy aan(adoZ

3< Elabora una tabla de alores y dibu=a las gráicas de las siguientes unciones<

a y = −4 b y = 1

>3

c y = > − R dP y = − 2 >R

_ ndica el alor de la endiente de cada una de las unciones anteriores<_ Ordena las unciones de menor a mayor endiente<

_ Y"uáles de las unciones son crecientesZ Y"uál es el signo de la endienteZ

_ Y"uáles de las unciones son decrecientesZ Y"uál es el signo de la endienteZ

_ Y"uál de las unciones no es creciente ni decr ecienteZ_ "omleta:

M na unción de rimer grado es creciente si su endiente es QQQQQQQQQQQ y es decreciente si suendiente es QQQQQQQQQQQ

M

M 'a unción = −4 tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a recta asaor los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ

M 'a unción y =1

>3

tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<< < 'a r ecta

asa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ

M 'a unción = : x − R tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a rectaasa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ

M 'a unción y = −2

>R

tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a r ecta

asa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ

4< Obt+n la e>resión algebraica de cada una de las unciones dadas or las siguientes tablas de alores<

a b c

36

n

-unción Pendiente Ordenada en el origen "uadrantes

y = −4 7 −4 3^ y 4^

y =1

>3

y = > − R

y = −2

>R


l a 1 e n t a

> 1 2 3 4

y4−R

4−R

4−R

4−R

> −2 2 4 9

y1−2

3

2

R

2

2

> −3 2 K 12

y1

2

1−3

3−2

−2



Módulo

4 F!#<a (e e"a%/a#!,$

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< na atrulla esacial se e obligada a disarar contra un meteorito @ue está a unto de c0ocar contra unsat+lite 0abitado< 'a atrulla está ormada or una nae caitana y una escolta de seis naes más< )odas las

naes tienen el mismo sistema de deensa: tres láseres en cada una de sus dos alas y otro en la artedelantera< El comandanI te ordena @ue ata@uen en ráagas de siete disaros< Y"uántos disaros se roducenen cada ráagaZ E>resa el resultado en orma de otencia<

2< !ecuerda @ue las otencias cuyo e>onente es un nCmero racional negatio ueden transormarse en otenI

cias de e>onente un nCmero racional ositio<

_ Obsera y comleta: 2−

⎛ K ⎞ R

2

⎛ 1 ⎞R

2

⎛ 4 ⎞ R

1−⎛ R ⎞ R

⎛ 1

⎞

<<<<<

⎛ <<<<< ⎞

<<<<< 2−⎛ 9 ⎞ 3

3−⎛ −K ⎞ 2

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜⎟

L ⎜ ⎟ =⎜

⎟ =⎜

⎟ L⎜

⎟ = <<<<<<<<< L ⎜ ⎟ = <<<<<<

4⎝ ⎠ K

⎝ 4⎠

C⎝

⎠

3⎝

⎠

<<<<<

⎝ <<<<<⎠

@@@@@⎝

⎠

4⎝

⎠

5⎝

3< &l calentar un determinado l/@uido con una temeratura inicial de 7 ^", su temeratura aumenta 2 ^" cada 3 s<

a 'as magnitudes temeratura y tiemo, Ysiguen una relación de roorcionalidad directaZ Y"uál es laconsI tante de roor cionalidadZ

b Obt+n la e>resión algebraica de la unción @ue 0ace corresonder a cada temeratura el tiemo inertidoen alcan(arla< YEs una unción de roorcionalidad dir ectaZ

c Dibu=a la gráica de esta unción<

bt+n la e>resión algebraica de las unciones e>resadas mediante las siguientes gráicas<

?

a

R< Obt+n la ordenada en el origen y escribe las coordenadas deun unto de la recta reresentada en la igura<

a Aalla la ecuación de la recta a artir de los datos obtenidosanteriormente< ndica los asos seguidos<

b )ra(a una recta aralela a la anterior y @ue ase or el unIto 1, −2< Y"uál será su ecuaciónZ

9< na tortuga se 0alla a 17 m de una seBal de un cruce de carreteras y emie(a a desla(arse en l/nea r ecta,ale=ándose de la seBal a una elocidad de 7,72 mUs<

a "onstruye una tabla de alores @ue relacione la distancia de la tortuga a la seBal, medida en metros, r esIecto del tiemo transcurrido, medido en minutos<

b !eresenta gráicamente la unción y obt+n su e>resión algebraica<

c Y&l cabo de cuánto tiemo se 0allará a 22 metros de la seBalZ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

?

-

?

#

?

HR R

D i s t r i b u c i ó n g r

a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



d Yu+ esacio recorrerá en R minutosZ Y& @u+ distancia se 0allará de la seBalZ

3




Módulo

41< 3 343< En cada ráaga se roducen 343 disaros<

1−2< ⎛ R ⎞ R

1

⎛ 1 ⎞R

1

⎛ 3 ⎞ R9< a 97 s

7, 72 m U s ⋅ = 1, 2m U min1min

⎜ ⎟=

⎜ ⎟=

⎜ ⎟

3⎝ ⎠

R⎝ 3

⎠

5⎝

⎠

x , )iemo transcurrido en minutos

, Distancia a la seBal en metros

2 3 3− −

⎛ 9 ⎞ 3 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ −K ⎞2

⎛ −R ⎞ 2

⎜ ⎟ =⎜

⎟ L ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ K ⎠

3< a S/, G=

2L b y

=2

c

># s/<

?

2

b ?

19

1R y 17 X 1,2>

H4 H2

H2

2 4 14

13

12

11

4< a y = −3 >L b y = −3 > + 3L c y = 3 17

R< b = 1, P −1,7"< a y = m >

+ b'b = 1 ⇒ y = m >+ 17 = −m + 1 ⇒ m= 1

1 2 3 4 R

c 22 = 17 + 1,2 >

22 − 17

'a ecuación de la recta es = x +1<

> =1, 2

= 17

b?

H4 H2 2 4

&l cabo de 17 min<

d 1,2 mUmin ⋅ R min = 9

m y = 17 + 1,2 ⋅ R =

19 m

H2 y > H3

H4

P/e(e#o$t!$/ar

Ne#es!tar e=/er'o

I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M "alcula otencias de base real y e>onente negatio<

M "alcula otencias de base real y e>onente entero alicando las roiedades de estasoeraciones<

M tili(a racionalmente la calculadora ara 0allar otencias<

M "onstruye sucesiones y las clasiica en crecientes y decr ecientes<

M Aalla el t+rmino general de una sucesión<

M !eresenta gráicamente sucesiones<

M &lica correctamente las sucesiones en la resolución de r oblemas<

M Distinentre uconstanlineales

M Obtiee>resialgebrae>resiconstanlineales

⎜ ⎟

> 7 1 2 3 4 R

y 17 11,2 12,4 13,9 14,8 19

> y

7

1

7

3



M !eresenta gráicamente unciones constantes y lineales<

M dentiica unciones constantes y lineales en situaciones de la ida cotidiana<

M Muestra inter+s y erseerancia en el traba=o con unciones constantes y lineales<

> (e a%/m$osEas

3A


l a 1 e n t a



Módulo lo@ues: !elaciones y unciones<Estad/stica y robabilidad

E#/a#!o$es e !$e#/a#!o$es (e pr!mer ra(oD!aramas (e ta%%o 0 <oas✎


M !esoler ecuaciones de rimer grado con rocesos algebraicos<

M !esoler inecuaciones de rimer grado con una incógnita con rocesos algebraicos<

M tili(ar el lengua=e algebraico ara generali(ar roiedades y simboli(ar relaciones en conte>tos dierIsos como la ida cotidiana y los ámbitos socioeconómico, cient/ico y social<

M !esoler roblemas de la ida cotidiana utili(ando ecuaciones e inecuaciones<

M )ener redisosición ara comrobar los resultados obtenidos en la resolución de r oblemas<

M tili(ar los s/mbolos roios de las desigualdades as/ como sus rinciales caracter/sticas<

M !eresentar datos estad/sticos en diagramas de tallo y 0o=as<

M .alorar la utilidad del lengua=e algebraico ara e>resar dierentes situaciones de la ida cotidiana<


!elacionada con la D"D: Reso%"er e#/a#!o$es (e pr!mer ra(o#o$ pro#esos a%e-ra!#os9


M !eise lo concerniente a las roiedades de las igualdades<

M "uando se 0abla de igualdad matemática se establece una comaración de e>resiones reresentadaor el signo igual, @ue seara el rimer del segundo miembro<

M En la igualdad se dan cinco r oiedades<

1< Proiedad id+ntica o rele>ia: toda e>resión es igual a s/ misma<

9b 9b2< Proiedad sim+trica: consiste en oder cambiar el orden de los miembros sin @ue la igualdad se

alter e<Si 3K X 11 R7, entonces R7 3K X 11

3< Proiedad transitia: enuncia @ue si dos igualdades tienen un miembro en comCn, los otros dos

miembros tambi+n son iguales<Si 4 X 9 17 y 17 R X R, entonces 4 X 9 R X R

4< Proiedad uniorme: establece @ue si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambosmiembros, la igualdad se consera<

Si 2 X R , entonces 2 X R X 3 X 3

4

RO-et!"o (e% m,(/%oM &licar y demostrar rocesos algebraicos utili(ando ecuaciones e inecuaciones ara la resolución de

r oblemas<


I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



R< Proiedad cancelatia: indica @ue en una igualdad se ueden surimir dos elementos iguales en amIbos miembros y la igualdad no se altera<

Si 2 p 9 [ 4 12 [ 4, entonces 2 p 9 12

M Estas roiedades y su correcto mane=o serán undamentales ara la solución de ecuaciones< Puede r eImitirse a la ágina ;eb 0tt:UU;; ; <s<G12<o r<us de donde se 0a tomado esta inormación r esentada<


M Este es@uema de resolución debe ser usado y alicado or los estudiantes en los traba=os, lecciones yen general en todas las tareas @ue los estudiantes realicen y desde luego en las e=emliicaciones @ueusted roonga en sus clases< Este traba=o al inicio uede causar ciertas molestias, ero los rutos @ue seobtenI drán en el corto la(o son imortantes, esto =ustiica imulsar el es@uema de traba=o rouesto<'a conI ciencia de las roiedades de las oeraciones y de las igualdades, el mane=o adecuado de lasimbolog/a, la comunicación matemática se e aorecida, las demostraciones irán ganando en ormalidad,ues los ra(oI namientos, argumentos y =ustiicaciones se reali(arán con bases matemáticas adecuadas<


M Pida a los estudiantes @ue resenten or escrito todo el roceso ara resoler las ecuaciones de rimer

grado< &s/ or e=emlo:1< &gruar la incógnita<

El rimer aso será agruar en un miembro todos los t+rminos @ue tengan la incógnita y =untar en el otrotodos los t+rminos en los @ue no aarece< Para 0acer esta transosición los t+rminos @ue suman setransoI nen restando y iceersaL los t+rminos @ue multilican se transonen diidiendo y iceersa<

E=emlo: R> − K − 174 + 27> = 4R − 9+ R>

)rasosición: R> + 27> [ R> = 4R − 9 + K +174

2< Dese=ar cada lado, una e( 0ec0o esto se reali(a las oeraciones de cada lado<

R + 27 − R> = 4R − 9 + K + 174

27> = 1R2

4

M & continuación resentamos un e=emlo de resolución de una ecuación en la @ue se roone =ustiicaIciones a los rocesos @ue se an reali(ando

Proceso de solución$ombre de la r oiedad

o r ocedimiento$otación de la r oiedad

o r ocedimiento

4> + 1=

2+

2>

+ 1niorme - de la igualdad or

el mcm de los denominador es

a = b ⇒ a - c = b

- c

=

3 4> + 1 = R 2 + R 2> + 1Distributia y clausuratia

de la multilicación

a b + cP = ab +ac

12> + 3 = 17 + 17> + R niorme + de la ilgualdad a = b ⇒ a + c = b + c

12> + 3 − 3 − 17> = 17 + 17> + R − 3− 17>

"onmutatia y asociatia de laadición

a + b = b +a

=

12> − 17>P + 3 − 3 = 17> − 17>P + 17+ R − 3

nerso aditio y clausuratiade la suma

a + −a = −a + a = 7

a, b ∈R, a + b ∈R

2> + 7 = 7 + 12 Elemento neutro de la suma a + 7 = 7 + a = a

2> = niorme - de la igualdad a = b ⇒ a - c = b - c

12> = 1

1222

nerso multilicatioy clausuratia

de la multilicación

a a P = a P a =1

!ecuerde @ue:1 =

−1

> =


l a 1 e n t a

http://www.pps.k12.or.us/

http://www.pps.k12.or.us/



3< Determinar el alor de la incógnita<

Para dese=ar la incógnita, el nCmero @ue multilica a la > se transone al otro miembro diidiendo<

> 1R2U27, or lo @ue > ,9<

Para %a e"a%/a#!,$

M Debe lograrse @ue el estudiante en la resolución de roblemas ueda:1< !esoler ecuaciones de rimer grado con una incógnita sencillas, con ar+ntesis y con denominadores<

2< )raducir enunciados al lengua=e algebraico<

3< Escribir rases @ue reresenten a e>resiones algebraicas<

4< !esoler ecuaciones de rimer grado con una incógnita sencillas, con ar+ntesis y con denominadores<

R< !esoler un roblema mediante el lanteamiento de una ecuación<

9< !esoler oralmente ecuaciones del tio ax b 7<

< Determinar si dos inecuaciones son e@uialentes<

!elacionada con la D"D: Represe$tar (atos esta(7st!#os e$(!ara8 mas (e ta%%o 0 <oas9


M Es imortante @ue losUas estudiantes comrendan @ue el diagrama de tallo y 0o=as ermite obtener siImultáneamente una distribución de recuencias de la ariable y su reresentación gráica< Este tio dereresentación es similar a un 0istograma debido a @ue los alores de los datos se resentan en interIalos y deslegados en barras< Sin embargo, de un diagrama de tallo y 0o=a se uede recobrar más inIormación de los d/gitos de cada uno de los nCmeros y tambi+n se uede er si algCn alor es identiiIcado como at/ico<

M Se sugiere @ue el roesorUa traba=e este conocimiento con inormación roia de su entornoL or e=emI

lo, las edades de un gruo 0umano, entre otr os<


M !econocer la estructura del diagrama de tallo y 0o=as<

M "onstruir diagramas de tallo y 0o=as con inormación real, en @ue se mane=e la inormación en dos o tr esciras, or e=emlo, las edades de los estudiantes<

M !eali(ar el diagrama, colocando en la rimera columna, el tallo, la cira de las decenas en caso denCmeros de dos ciras y en la segunda columna, las 0o=as, la cira de las unidades< Si los datos tienentres ciras, el tallo tiene dos ciras y las 0o=as una<

M -inalmente y lo @ue imorta, es @ue se debe interretar la inormación resumida en el diagrama<


M 'os estudiantes e>licarán la inormación resumida en un diagrama de tallo y 0o=as, e>resarán sus oiIniones sobre las enta=as de este tio de resentación de datos<

M &lgunas enta=as son:

1 "on una ráida obseración, conocemos la inormación cuantitatia del enómeno<

2 Es Ctil esecialmente si el nCmero de datos es e@ueBo, 0asta 47 datos< "uando las cantidades sonmuy grandes, la obseración de datos se diiculta<

42


l a 1 e n t a



escriban inormación ertinente a su condición, a artir del diagrama de taI ación incluirá su edad, estatura, eso,del cal(ado entre otros< Si su a ciertos casos estatura debe tratarse or searado, ues la dierencia de g+I datos<


Para reso%"er /$a !$e#/a#!,$

!esoler una inecuación es 0allar los alores @ue satisagan la inecuación<'as inecuaciones se resuelen en orma seme=ante @ue las ecuaciones< !eali(ar las oeraciones indicadas si las0ay, surimir signos de agruación, transoner t+rminos, etc<, con la dierencia ya anotada de @ue al multilicar odiI idir los dos miembros or un nCmero negatio, esta cambia de sentido si el signo es , se escribe yiceersa< )enga en cuenta @ue las inecuaciones oseen, en general, ininitas soluciones y @ue estas see>resan de dos ormas: a Mediante una inecuación sencilla, elemental< b En orma gráica, reresentada enuna recta donde se da +nasis al con=unto solución<!esolamos algunos e=emlos: R> 17 7Dese=ando la incógnita y simliicando:R> 17 7 ⇒ R> 17 X 17 7 X 17 ⇒ R> 17⇒

> 17

R⇒ > 2

El con=unto de los nCmeros reales menores @ue 2 son soluciones de la inecuación<2 es el l/mite suerior de >L es decir, @ue la inecuación dada desigualdad, solo se eriica ara los alores de >menores @ue 2<.erii@uemos sustituyendo > 2 en la inecuación, or e=emlo: > 1<%ráicamente r er esentado: 4 3 2 1 7 1 2 3 4

!ecuerde:1< Si a los dos miembros de una inecuación se suma o se resta un mismo nCmero, se obtiene otra inecuación

e@uialente< En consecuencia, un t+rmino cual@uiera de una inecuación uede transonerse de un miembro aotro cambiándose or su ouesto<

2< Si se multilican o diiden a los dos miembros de una inecuación or un nCmero ositio, resulta otrainecuación e@uialente< En consecuencia, se uede surimir denominadores ositios sin @ue arie la relación deor den<

3< Si se multilican o diiden los dos miembros de una inecuación or un nCmero negatio se obtiene otra ineIcuación e@uialente al cambiar el signo de la relación de orden or su contrario<

B/e$ !"!r: Tra-ao 0 se/r!(a( so#!a%

El roesorUa uede utili(ar la actiidad inicial del módulo, as/ como los conocimientos de este, ara r eleI>ionar acerca de la imortancia del traba=o en los seres 0umanos< Es necesario reor(ar alores transerIsales como la discilina, la constancia, el orden y otros @ue ayudan a las ersonas a cumlir sus labor escon eiciencia< Es muy imortante @ue se aroec0e este tema ara ortalecer la necesidad de educaciónara @ue los estudiantes se motien a arender< E>li@ue tambi+n @ue 0ay dierentes osibilidades de deImostrar los talentos y caacidades, es decir @ue 0ay traba=os /sicos, intelectuales, manuales, mecánicos,etc< y @ue todos son comlementarios< !ecuerde a los alumnosUas @ue el traba=o y la organi(ación sonormas de coe>istencia armónica en todos los tiemos y sociedades<

&roec0e tambi+n este tema ara rele>ionar acerca de la inclusión de las ersonas con caacidades esI

eciales en el traba=o, más aun si en el aula e>iste una< !euerce el sentido de dignidad, reseto,igualdad, integración y cumlimiento de derec0os or arte de la sociedad y del Estado 0acia lasersonas con caI acidades eseciales< &nalice si en la escuela y uentes de traba=o de la localidade>isten las condiciones adecuadas ara @ue se d+ la integración de ersonas con diersas caacidadesen su institución< Yu+ es necesarioZ Y"uál es el comromiso @ue como comaBeros deben asumirZ

B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<irtual<unal<edu<coUcursosUcienciasU277179RU0tmlUun1Udiagrama]tallos]y]0o=as<0tml

0tt:UU;; ;<estadisticaaratodos<esUtallerUgraicasUtallos]0o=as<0tml

0tt:UUt0ales<cica<esU r dU!ecursosU rdK8UMatematicasU33UmatematicasI33<0tml

43

Para %a e"a%/a#!,$

M Pida a los estudiantesllos y 0o=as< 'a inormnstitución es mi>ta, ar nero rele=a dierencia de



l a 1 e n t a

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/diagrama_tallos_y_hojas.html


http://www.estadisticaparatodos.es/taller/graficas/tallos_hojas.html


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/33/matematicas-33.html









-ic0a

1 Re=/er'o Reso%/#!,$ (e pro-%emas #o$ e1pres!o$es a%e-r)!#as

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

El uso de e>resiones algebraicas es de gran ayuda a la 0ora de lantear la resolución de un r oblema<

1< "omleta los asos @ue altan en los diersos lanteamientos @ue odemos seguir ara resoler el roblemadel enunciado siguiente<

(l $adre de )aría *a com$rado dos tablas de madera cortas una larga. Ha $agado 1%#6 $or todas ellas. ,ila tabla larga cuesta 1#- ms /ue cada una de las cortas# calcula el $recio de cada tabla.

)abla corta: )abla corta:

2< !esuele los roblemas de cada uno de estos aartados<

a 'a suma de dos nCmeros ares consecutios es 34< Y"uáles son estos nCmer osZ

b n andinista llega a la cima de una montaBa desu+s de cuatro d/as de ascensión< El rimer d/a recorrió lamiI tad del trayectoL el segundo d/a, un cuartoL el tercer d/a, un octao, y el cuarto d/a, los 1 777 m @ue losearaI ban de la cima<

Y"uál es la distancia @ue 0a recorrido el andinista durante la ascensiónZ

c El nCmero de autobuses de una determinada l/nea @ue circulan cada d/a se reduce durante el erano< &s/, el mes de =unio circuló la mitadL el mes de =ulio, una tercera arte, y el mes de agosto sólo circularonK<

Y"uál es el nCmero de autobuses de esta l/nea @ue circulan los meses @ue no son eranoZ

3< !elaciona con lec0as cada e>resión num+rica con su e>resión algebraica corr esondiente<

44



l a 1 e n t a

Muc0as eces una reresentacióngráica, es@uemática y simliicada nosayudará a resoler el r oblema<

Se aro>ima el lanteamiento gráico yel simbolismo algebraico, y se da sentiIdo a la introducción de incógnitas arainI dicar las cantidades desconocidas<

)abla corta: 12,9

)abla larga:<<<<<<

3 tablas cortas + 1,8 = <<<<<<<<

3 tablas cortas = 12,9 − 1,8

3 tablas cortas = 17,87 L entonces,

1 tabla corta = 17,87 ` <<<<<<<<<

x

)abla corta: <<<<<<< x

)abla larga: x 1,8

Ecuación: x + x + x + 1,8 = 12,9

<<<< x = 12,9 − <<<< 3 x = <<<<

x = 17,8 ` <<<< x = 3,9

'a tabla corta ale <<<< y la larga, <<<<<

3 W 4 + R W 12 W 94 + 9 W 2

43 W 9R + 11 W 4R 3 a + R b

3 W 24 + R W RR 12 a + 9 b

12 W 9 − 4 W R 34 a − 9 b

12 W 33 + 9 W 2 4 a + R b

12 W R9 − 9 W 43 a + 11b

34 W 1R − 9 W 3K 12 a − 9 b

4 W 12 + R W 9R 12 a − 4 b

12 W 9 H 9 W 44 13 a + b − 123 W K1 + 8 W RR 3 a + 8 b

4 W 39 + R W 3313 W 4 + W 84 H 12 W 99



Re=/er'o S!stemas (e !$e#/a#!o$es

-ic0a

2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< !esuele este sistema de inecuaciones< Sigue los asos indicados y comleta:

_ !esuele cada una de las inecuaciones<

2 > + 1 3 ./0

+ 2 2 ⎭

Primera inecuación: 2 > 1 3L 2 > 3 <<<<<<<L > <<<<<<<<<<<<<<L S <<<<<<<<<<<<<,

P Segunda inecuación: > 2 2 >L <<<<<<<< 2L > <<<<<<<<<<<<<<L S2 , <<<<<<<<<<<<<

_ !eresenta en una misma recta num+rica el con=unto solución de cada inecuación<

H1 7 1 2 3

_ Determina las soluciones comunes a las dos inecuaciones< Para 0acerlo, dibu=a la intersección de los interIalos solución de cada inecuación< 5ste será el con=unto solución del sistema<

H1 7 1 2 3

_ El con=unto solución es, entonces: S <<<<<QQ<<<<<<, <<<<<<<<<<<<<<<<<<

"uando no 0ay ningCn alor @ue erii@ue todas las inecuaciones del sistema al mismo tiemo, decimos @ue

el sistema no tiene solución<

2< !esuele el siguiente sistema de inecuaciones<

_ !esuele cada una de las inecuaciones<

4 > + 3 − R./0

3 + 2 F 2 ( − 1)1/

Primera inecuación: 4> 3 RL 4> <<<<<<<<<<<<<<<< L > <<<<<<<<<<<<<<L S <<<<<<<<<<<<<, P

Segunda inecuación: 3> 2 2> 2L <<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<L > <<<<<<<<<<<<<<L S2 , <<<<<<<<<<<<<

_ !eresenta en una misma recta num+rica elconI =unto solución de cada inecuación<

_ Determina las soluciones comunes a las dos

inecuaciones<

H4 H3 H2 H1 7

_ "omo no e>isten alores @ue sean a la e( solución de las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución<

S <<<<<<<<<<<<<

3< !esuele a0ora los siguientes sistemas<

a 3 > − 1 > +

1./

0

b − > 2 −

R./

c 3 > − 1 2./0

2 > − 1 K 1 > − 8 P 2 3

0 > + 2 3

2 ⎭

4*



l a 1 e

n t a

/



Módulo

R F!#<a (e e"a%/a#!,$

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< En una oicina se instalan m mesas, de seis atascada una, y el trile de sillas, de cuatro atas

< ndica cuáles de los siguientes alores son soluI

R > − 4cada una, ara @ue traba=en dos ersonas en

cada mesa< Escribe en lengua=e algebraico:

ciones de la inecuación G 3 > <3

a El nCmero de sillas<

b El nCmero de ersonas @ue traba=arán en laoicina<

c El nCmero de atas de sillas y de mesas @ue0abrá en total<

2< "alcula el nCmero de sillas y de ersonas @uetraba=arán en la oicina del e=ercicio 1 si en totalse instalan 8 mesas<

a > 1 b > 7 c > 1 d > 2

8< Determina si estas dos inecuaciones son e@uiaI

lentes<

a 2> 3 1 3> b R> 2 8

K< !esuele los siguientes sistemas indicando losaI sos del rocedimiento @ue 0as utili(ado<!er eI senta gráicamente las soluciones<

a > 1 3 3 .3< !esuele las ecuaciones siguientes<

a 2 3 > R> 9b 3 2 > R 4

c 3 > R > 2 9 > 3

− − /

4 > + 2 < 3⎬

0 0 ⎭

b P 3 y < 2 − y ./

H + 1 F 3 + 5 H ⎬

d 2 > > 3 R > 1

4< !esuele estas ecuaciones<

a P>

−>

= − 3R 2

b P > + 2 +>

= 2⎛ >

+ 8⎞

17< Escribe una inecuación o sistema de inecuacionesde rimer grado con una incógnita ara cada unode los interalos reresentados en la igura<

H2

a3 ⎝ 3

⎟

c P> − 1

−> + 1

= −

1

H4 H1

2

d P> − 3

+ I

2

R=19

-

11< ueremos construir una iscina de 177 m2 de suI

ericie como má>imo< Si la longitud es de 12 m,

R< nti dice a un comaBero:

(l doble de mi edad ms 0 es igual al tri$le de

mi edad menos 10.

Yu+ edad tiene ntiZ

9< E>resa algebraicamente las situacionesdescritas or las siguientes rases<

a 'a madre de qrsula es muy =oen< &un@ue asu edad le aBadas 17, no llega a los 4R aBos<

bP *uan guarda en su cartera dos billetes de Rdólares< Si a esta cantidad le suma la calderilla@ue llea en el bolsillo de los antalones,uede comrar una entrada de 1R ara elart ido del domingo, y toda/a le sobradiner o<

4

1/

⎜

> +

⎠


l a 1 e n t a



cuánto uede medir de anc0oZ

Plantea un con=unto de datos tomados de una siI

uación de la ida diaria @ue ueda ser r eresentaI domediante la t+cnica del diagrama de tallo y 0o=as<




Módulo

R1< a 3 m' b 2 m' c 9 m 4 3 m 18m

2< 24 sillasL 19 ersonas<

K< a> 3 −2

./0

2I + 2 G 3 +

0⎭⎪

> 3 −2 .

/

3< a 2> 8L > 4

b 3 2> 17 4L 2> KL > 4,R

c 3 > R> 17 9> 18L 2 > 8L >

4 d 2 > > 3 R> RL 4> 8L >

2

4< a 2 > R> 37L 3> 37L > 17b 3 > 9 > 2> 48L 2 > 42L >21

& 1 ⎞S = (−2, ⎟

⎣⎢ ⎠

H2 H1

1 0> <

/⎭

7 1 2 1R

c > 1 > 1 2L 7 > 7 ininitas soluciones

dP 19 > 3 R > 8L 19 > 48 R>

47L11 > 88L > 8

R< Si x es la edad de nti, la ecuación @ue 0emos delanI tear es:

2> 3 3> 13

b 3y y 2L 4y 2L y 1

2

y Ry 3 1L 4y 2L 4y 2L y −1

2& 1 1 ⎞(− , ⎟( 2

!esolución: > 19L > 19

_1 7 1

'a edad de nti es 19 aBos<

9< a > 17 4RL b" 17 > 1R<

_1 2

1

2

< a 3 3L b 4

3

7L c 1

3

3L d 2 9< 17< !esuesta sugerida<

a 2> 1 3

Son solución > 7, > 1 y > 2<

8< a 2> 3 1 3>L 2> 3> 1 3L

> 2L > 2

b R> 2 8L R> 8 2L R> 17L

b 2 > 2 −2 ./0

4 − F I⎭⎪11< 'lamamos a a la anc0ura<

> 2

En eecto, las dos ecuaciones son e@uialentes<

Entonces, 12 W a 177L

12<!esuesta abierta<

2Ra 23

P/e(e#o$t!$/ar

Ne#es!tar e=/er'o

I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M Escribe ecuaciones corresondientes a enunciados erbales sencillos<

M dentiica la incógnita y los miembros de una ecuación< !econocer las soluciones de una ecuación<M &lica los m+todos del ra(onamiento inerso y de tanteo ara resoler ecuaciones sencillas<

R

R

2* ⎠



M !esuele ecuaciones de rimer grado con una incógnita alicando las roiedades de lasigualI dades<

M !esuele inecuaciones<

M !esuele roblemas de la ida cotidiana mediante el lanteamiento y la resolución de ecuacionesde rimer grado con una incógnita<

M Elabora digramas de tallo y 0o=as<

> (e a%/m$osEas

46 D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



Módulo lo@ues: %eom+trico< De medida

L7$eas (e s!metr7a

?reasMe(!(as e$ ra(os (e )$/%os $ota-%es✎


M !econocer l/neas de simetr/a en iguras geom+tricas<

M "onstruir irámides y conos a artir de atrones en dos dimensiones<

M "alcular áreas laterales de rismas y cilindros en la resolución de r oblemas<

M !econocer medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumentalgeom+trico<

M &rontar roblemas geom+tricos con conian(a en las roias caacidades<


!elacionada con la D"D: Re#o$o#er %7$eas (e s!metr7a e$ =!/raseo8 mFtr!#as9


M &lgunos alumnos tienen diicultades ara asimilar el conceto de moimiento en geometr/a, sobre todoen el caso de las simetr/as< Para suerarlas, es Ctil el uso de iguras lanas recortadas en cartulina<

M Este tio de material maniulatio ermite isuali(ar los momentos intermedios del roceso de transorImación, insistiendo en el 0ec0o de @ue en geometr/a +stos no se consideran<

M &s/, el roesorUa uede rooner actiidades en las @ue, or gruos, los alumnos comartan sus e>eIriencias al eectuar moimientos en el lano con diersas iguras r ecortadas<

M &dicionalmente, es recomendable @ue el roesorUa inorme de @ue las simetr/as a>iales tambi+n r eciIben el nombre de rele>iones, y @ue les sugiera e>erimentos sencillos con ese=os<

M Este tio de e>eriencias ermite comrender más ácilmente algunas roiedades de las simetr/asa>ialesL or e=emlo, @ue la transormación inersa de una rele>ión es ella misma< ? a continuación, si

el roesorUa lo considera coneniente, introducir ya el conceto de transormación inersa<


M Deinir los concetos de transormación geom+trica, transormación isom+trica, ector y sentido de unaigura, y utili(arlos ara eectuar moimientos en el lano<

M 'as transormaciones geom+tricas son la o las oeraciones geom+tricas @ue ermiten crear una nueaigura a artir de una reiamente dada< 'a nuea igura se llamará 0omólogo de la original<

M Aay arios tios de transormaciones geom+tricasL de estas, anali(aremos la simetr/a, la traslación y lar otación<

4

9O-et!"o (e% m,(/%oM !esoler roblemas de áreas de rismas y cilindros y anali(ar sus soluciones ara roundi(ar y r elaI

cionar conocimientos matemáticos<


l a 1 e n t a



1< Simetr /a: corresondencia biun/oca entre dos untos del lano o del esacio, situados a uno y otrolado del centro, e=e o lano de simetr/a y a la misma distancia de +l<

2< )raslación: es un moimiento en el lano @ue uede ser entendido como un desli(amiento en l/nearecta sin @ue se rodu(can giros<

3< !otación: es el moimiento al rededor de un unto i=o o de una recta i=a reali(ando un giro<

M &nali(ar el rocedimiento ara construir la igura sim+trica de una dada< Estudiar las roiedades @ue

se cumlen en una simetr/a central y en una simetr/a a>ial<M Obserar en un e=emlo el rocedimiento ara trasladar una igura lana< &nali(ar las roiedades @ue

se cumlen en una traslación<

M &nali(ar el rocedimiento al rotar un segmento & al rededor de un unto &, un ángulodeterminado<


E>iste una ariedad de actiidades reerentes a la simetr/aL or e=emlo se uede dibu=ar, en una 0o=a doIblada or la mitad, la mitad de una igura geom+trica y luego cortarlaL dibu=ar triángulos dados segmentossim+tricosL identiicar los e=es de simetr/a en iguras dadas< & continuación resentamos una actiidad inIteresante tomada de la ágina ;eb: 0ttUUcurso778<;iGisaces<com<

Mo"!m!e$tos so-re </e%%aEl ob=etio es @ue los alumnos cono(can la deinición y las caracter/sticas generales de la simetr/a y laubi@uen< &demás sean dierenciar la simetr/a rotacional de la a>ial, y comrueben cuántos órdenes desimetr/a tienen<

$ecesitan una cartulina de orma oligonal or e=< rombo, cartón, ti=eras, mar cador es<

El modelo se detalla a continuación< Se recorta la cartulina con la orma oligonal y se identiican los +rItices or ambas caras, de manera @ue se onga la misma letra en cada +rtice en las dos caras en @ue seuede ostrar la 0uella de la igura sobre la 0o=a< Se cuenta el nCmero de moimientos en @ue se uedeenca=ar sin @ue se reitan, y ese será el nCmero de l/neas de simetr/a @ue tiene<

En este e=ercicio los alumnos comrueban otra manera de describir e=es de simetr/a en un lanoL 0ay tanItas l/neas de simetr/a como maneras dierentes en @ue se ueda moer la igura ara @ue uela a coinIcidir con su 0uellaj<

0uella

"

D &

-igura en

cartulina" "

D & D &

)omado de:0tt:UUcurso778<;iGisaces<comU& licaci\"3\3nXenXelXaulaXdeXlaXsimetr\"3\ & Da

a @ue realicen las actiidades y roblemas lanteados en este módulo y @ue 0aIa de las iguras< Podr/a usar el tangram<

aba=o ráctico similar al @ue se lanteó en la sección anterior< 'os elementoso< 'a creatiidad es uno de los recursos @ue más debe ser considerado<

4A

Para %a e"a%/a#!,$

Motie a sus estudiantescen reerencia a la simetr/

Solicite @ue realicen un trdeberán ser los del entor n D

i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a

http://curso0708.wikispaces.com/Aplicaci%C3%B3n+en+el+aula+de+la+simetr%C3%ADa














!elacionada con la D"D: Re#o$o#er me(!(as e$ ra(os (e)$/%os $ota-%es e$ %os #/atro #/a(ra$tes#o$ e% /so (e !$str/me$ta% eomFtr!#o9

Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!osM !ecuerde el teorema de Pitágoras, el cual dice: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida

de la 0iotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetosj

M Determinen las ra(ones trigonom+tricas en un triángulo rectángulo< Para ello ser/a coneniente reali(arun e=ercicio ráctico<

M Si miramos el triángulo odemos describir tres ra(ones @ue son intr/nsecas de los ángulos agudos, ya@ue las ra(ones solamente deenden del ángulo α debido al teorema de )ales<

longitud del cateto ouesto a J asen J P L sen J P

longitud de la 0iotenusa c

c

a longitud del cateto adyacente a J bcos J P L cos J P

longitud de la 0iotenusa cJ

b longitud del cateto ouesto a J atan J P L tan J P

longitud del cateto adyacente a J b

M & artir de estas deiniciones odemos calcular ra(ones trigonom+tricas aro>imadamente dibu=ando ymidiendo simlemente<

M Estas ra(ones trigonom+tricas eidentemente no deenden del triángulo @ue tracemos sólo deendendel ángulo<

M )ambi+n deben seBalarse desde el rinciio algunas roiedades sencillas e intuitias, el seno y elcoseI no roeen alores entre 7 y 1<

M 'as ra(ones trigonom+tricas son sólo nCmeros y no tienen una magnitud asociada< Por tanto, nunca deI

ben acomaBarse de unidades de medida<

M Si en el cálculo de las ra(ones trigonom+tricas aarecen ra/ces, coniene recordar @ue estas debenconI serarse y, como muc0o, uede calcularse una aro>imación desu+s de simliicar al má>imo lae>r eI sión con ra/ces< Esto es esecialmente imortante en los roblemas or@ue la simliicaciónuede lleI ar a errores< En cual@uier caso, si se llea a cabo la aro>imación, debe darse un nCmerom/nimo de ciras signiicatias<


M Obseren las deiniciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo, y saberlas alicar< Dedu(cana artir de estas las ra(ones trigonom+tricas inersas<

M Obtengan las ra(ones trigonom+tricas de los ángulos de 37^, 4R^ y 97^ a artir de construcciones geoIm+tricas sencillas<

M Dibu=e las ra(ones trigonom+tricas de ángulos notables<

*


l a 1 e n t a




M !econo(can, a tra+s de e=emlos, las alicaciones de la trigonometr/a en otras ciencias< &s/: En)oogra/a se uede determinar la altura de un ediicio, teniendo la base y el ángulo< Por e=emlo, la toIrre de Pisa, ue construida sobre una base de arena oco consistenteL debido a ello +sta se aarta cadae( más de su ertical< Originalmente ten/a una altura de R4,9m, aro>imadamente< En 1KK7 un obserIador situado a 49 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de eleación de R4N a launta de la torre, el obserador ara determinar al desla(amiento 0undimiento en el suelo es muy eI

@ueBo, comarado con la altura de la torre alicó la ley del seno ara determinar el ángulo de inclinaIción y la ley del coseno ara determinar el desla(amiento de la torr e<

M En la aiación, si dos aiones arten de una base a+rea a la misma elocidad ormando un ángulo y siIguiendo en trayectorias rectas, se uede determinar la distancia @ue se encuentran entre los mismos<

en en triángulos rectángulos y la alicación de las relaciones trigonom+tricas<


Ra'o$es tr!o$omtr!#as e$ %a #!r#/$=ere$#!a o$!omtr!#a

Se llama circunerencia goniom+trica a la @ue tiene or radio la unidad r1 y su centro coincide con el origen delsisI tema de coordenadas cartesianas< 'os e=es del lano delimitan cuatro cuadrantes @ue se enumeran en elsentido anI ti0orario<

En la construcción obseramos lo s triá ngulos seme=antes: O&P, O" y DEO con sus ángulos 0omólogosr esI ectiamente< 'os lados O, OP y OE corresonden al radio y su medida es la unidad<

y

&P &P ED ED E D sen J &P cot J ED

P "

O & >

OP

O&cos J

OP

1

O& O&

1

OE

O"sec J

O

1

O" O"

1

r1 " " OD OD

tan J " csc J ODO 1 OE 1

'a ordenada del unto P de la circunerencia corresonde al seno y la abscisa al cosenoL dic0as unciones tomanalores entre I1 y 1 incluidos<

B/e$ !"!r: B!o(!"ers!(a( 0 am-!e$te sa$o

Co$ser"a#!,$ (e% patr!mo$!o $at/ra%

Este módulo ermite al roesorUa aian(ar en sus estudiantes la imortancia de los bienes atrimonialesen el sentido de ertenencia e identidadL a la e(, es necesario tratar el tema de las obligaciones de toIdosUas los ecuatorianosUas or conserarlos y cuidarlos ara @ue de esta manera sigan trascendiendo en

el tiemo y sigan siendo un s/mbolo del a/s<Establecer dos bandos, el uno a aor de la e>lotación del Par@ue $acional ?asun/I)) y el otro en conItra de la e>tracción de los recursos< Deberán resentar un debate, con argumentos ecológicos, económiIcos, resentar en tablas, imágenes, royecciones< nitar a alumnos de otros cursos ara @ue sean el =uIrado y determinen @ui+n realmente tiene la ra(ón< Otra oción ser/a la de initar a un ambientalista @ue d+una conerencia sobre el tema<

B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<aulaacil<comUmatematicasIbasicasUgeometriaUcursoU'eccI37<0tm

0tt:UUcurso778<;iGisaces<comU&licaci\"3\3nXenXelXaulaXdeXlaXsimetr\"3\&Da

0tt:UUlatea<ntic<mec<esU=cariasUcns1U72e>celU7Rtrige>cel<0tm

0tt:UU;; ;<ama(oniaorlaida<o r gUesUPa r@ueInacionalI ?asuniUElIPa r @ueI$acionalI ?asuni<0tml

*

Para %a e"a%/a#!,$

!esuela roblemas @ue s


l a 1 e n t a

http://www.aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-30.htm



http://platea.pntic.mec.es/jcarias/cns1/02excel/05ftrigexcel.htm

http://www.amazoniaporlavida.org/es/Parque-nacional-Yasuni/El-Parque-Nacional-Yasuni.html














-ic0a

1 Re=/er'o Tra$s=orma#!o$es !somtr!#as 0 s!metr7as

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< 'as transformaciones isomtricas o mo2imientos transorman una igura en otra de la misma <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y delmisI mo <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Para reor(ar la comrensión de sus roiedades, comleta la siguiente tabla<

Moimiento Elementos Puntos inariantes !ectas inariantes Sentido

R .ector traslación: 2

'as rectas aralelas al

ector de traslación<Dir ecto

Simetr/a central El centro: 3

Simetr/a a>ial E=e de simetr/a: e

%iro ?187^

Obsera el cuadrilátero de la igura siguiente:D D

" "

& &

_ El moimiento @ue 0a descrito el cuadrilátero es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

_ n ector de <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ser/a, or e=emlo, 44. Otros ectores ser/an: <<<<<<<<<<<, <<<<<<<<<< o <<<<<<<<<<<

_ 'as rectas aralelas al ector de traslación, como la recta @ue contiene a los lados 7 y 7 , son <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

_ Es un moimiento <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<, ya @ue consera el sentido de la igura<

2< YPor @u+ las ambulancias llean escrita la alabra de esta maneraZ

_ Si escribimos la alabra &M'&$"& con mayCsculas, Y@u+ letras se erán igual a tra+s de un ese=oZYu+ caracter/stica tienen estas letrasZ

3< ndica el moimiento @ue se 0a alicado en cada caso y seBala suscaracter/sticas<

la igura de la derec0a tienes dibu=ados dierentes ol/gonos<

_ nestiga cuáles siren ara embaldosar y cuáles no<

_ DiseBa otros ol/gonos @ue siran ara embaldosar <

R< Obsera, en la igura de la derec0a, cómo, a artir de untriángulo e@uilátero, odemos obtener la baldosa @ue sedenomina $a8a9 rito<

_ &erigua cómo se 0an obtenido las baldosas $ez 2olador#*ue9 so y a2i:n, reresentadas en la igura de la der ec0a<

_ !ecorta arias coias de cada una de ellas y orma los mosaiIcos corr esondientes<

a - #

*2



l a 1 e n t a



Re=/er'o Tr!)$/%os re#t)$/%os 0 =a#tores (e#o$"ers!,$

-ic0a

2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< 'a suma de los ángulos de un triángulo cual@uiera es siemre 187^< Sabes @ue un triángulo rectángulo es a@uel@ue tiene un ángulo de K7^< Por tanto, la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo r ectángulo es: 187K7

K7^< "omleta las l/neas de untos siguientes:

M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 97^, el otro mide K7 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 37^, el otro mide <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 4R^, el otro mide <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2< n oerario 0a de colocar un cartel en la a(otea de un ediicio< Para ello, debe subir dos tramos de escalera de

la misma longitud ero distinta inclinación, tal como muestra la igura<

"artel

Es

Y"uál es la altura má>ima a la @ue se llega con la segunda escalera resecto del sueloZ

3< "uatro estacas están unidas or sus e>tremos ormando un cuadrilátero< 'as estacas miden 3, 4, R y 9 metros,

y están colocadas de la orma @ue se indica en la imagen<

93

s @

4 R

Yu+ alores ueden tener los ángulos s y /Z

'as estacas toman a0ora esta otra coniguración: las estacas de 3 y 4 metros orman un ángulo de 97N<

3 9

97K

4R

Y"uáles son a0ora los ángulos internos del cuadriláteroZ

*3

Escalera 2

3RK

calera 1

4KK

2 m


l a 1 e n t a



Módulo

9 F!#<a (e e"a%/a#!,$

$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1< "alcula el área total de los cueros siguientes<

$ota: cotas en metros

4

9

K,9

2< "alcula el área del cuero geom+trico @ue se obtiene al girar la siguiente iIgura lana alrededor del e=e de reolución dibu=ado<

4 cm

3< ndica la medida de los ángulos de estos triángulos rectángulos, sabiendo@ue tienen un ángulo de 4R^ @ue debes seBalar<

4 cm

E=e de r eolución

-ig< 3-ig< 4

9 cm3 cm

Sabemos @ue sen 4R^ cos 4R^2

2

< "on ello odemos deducir @ue si * es el alor de la 0iotenusa, ambos

catetos de un triángulo rectángulo con un ángulo de 4R^ deben medir 2*<

2a Y"uánto miden los catetos en el triángulo de la igura 3Z <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

b Y"uánto miden la 0iotenusa y el otro cateto del triángulo de la igura 4Z <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

c "omrueba @ue ambos triángulos cumlen el teorema de Pitágoras<

alcula, utili(ando siemre un ángulo del rimer cuadrante,s ra(ones trigonoI m+tricas de los ángulos siguientes<

R< Aalla todos los ángulos comrendidos entre 7^ y 397^ @ue eriican:

a cos J =−1

2

*4

− 3b sen J = 2− 3c tan J = 3

2 , 4

4 , 8

3

sen cos tan

127^

R πrad

3

R πrad

4

R7^

2 38R^

D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a l a

1 e n t a




Módulo

91< & 1 = 2 ⋅ 4 m ⋅ 2,4 m + 2 ⋅ K,9 m ⋅ 2,4 m +

+ K,9 m ⋅ 4 m + ! ⋅ 4,8 m" 2 + ! ⋅ 4,8 m ⋅ 4 m

& 1 = 239,38 m 2

c "omrobemos mediante el teorema de

Pitágoras:

M 3 2 " + 3 2 " = 92

& 2= 9⋅ 9m⋅ 3m

+ 2⋅

39m ⋅ R,2m

−2

32 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 =39 L

2

39 = 39

− 2⋅ ! ⋅ 2m P2+ 2 ⋅ ! ⋅2

m ⋅ 3mM

32 +

33

= 3 2 "

& 2 = 37, m 2

4<

2< 'a igura lana genera dos troncos de cono unidosor la base menor<

"alculamos el área de cada uno sin la base comIartida<

& tronco = ! g ! + r " + ! ! 2

K + K = K ⋅2L

18 =18

2

2

2 2 & tronco = ! ⋅2

2 ⋅ 4 + 2" + ! ⋅ 4 2" cm 2

2 2 & tronco = 173,R8 cm 2

& total = 27,19 cm 2

3< a Si el alor de la 0iotenusa es de 9 cm, los dos

catetos de un triángulo rectángulo con un ánguI

lo de 4R^ deben medir:

2 2

R< a 1277b 3777

c 1R7^, 337^

29 = 3 2 cm

2

b Si el cateto contiguo al ángulo de 4R^ mide 3cm,la 0iotenusa mide * 3 2 cm, y el otro

cateto, eiI dentemente, mide lo mismo @ue elrimero: 3 cm<

P/e(e#o$t!$/ar

Ne#es!tar e=/er'o

I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M !econoce los moimientos del lano y sus r oiedades<

M &lica los distintos moimientos del lano a la construcción de iguras<

M !econoce oliedros regulares, rismas y irámidesL distingue sus elementos y los clasiica<

M "alcula áreas y olCmenes de iguras y cueros geom+tricos<

M Obtiene los cueros de reolución a artir de sus iguras lanas generatrices, e identiica cilindroscoI nos y eseras<

M )ransorma unidades angulares en grados<

M "alcula las ra(ones trigonom+tricas de un ángulo agudo<

M Determina un ángulo conocida una de sus ra(ones geom+tricas<

M "alcula las ra(ones trigonom+tricas de un ángulo cual@uiera conocidas las coordenadas de un

unto de su lado e>tr emo<M !econoce la utilidad de la geometr/a en dierentes situaciones de la ida cotidiana<

M &d@uiere el 0ábito de resentar de manera clara y ordenada el roceso de resolución de unrobleI ma geom+trico<

> (e a%/m$osEas

2 2

sen cos tan

127^ 3 2 4

14

R πrad

3 4 3 1

2 4 R π

rad4

24 24 1

R7^ 1 4 32 4

2 38R^ 42

4 2 1



**


l a 1 e n t a



Módulo

N+meros ra#!o$a%esMe(!(as (e te$(e$#!a #e$tra%

Solucionario

A#t!"!(a( !$!#!a%

'a suericie isible del I1R& será 1UK de 3 177 Gm2< El alorr esultanI te es de 344,44 Gm2 <

'a suericie sumergida del iceberg será 8UK de 3 177 Gm2< Por lotanto,

−12

R <

8

−5

− 4

< R <

3

1R <

3

1

están ba=o el agua 2 RR,R9 Gm2 de suericie< 27< aP −3

−27

=−1 92

−147

=−372

=−1R 1

E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a R4

−2

38

−19

38

14

38

131

18K

M

_R _3 _17 X2 X4 X

bP +=

21 8

+198 198

=198

Se diide la recta en artes iguales y se seBala el unto 7< & artir deeste unto, 0acia la derec0a se reresentan los nCmeros ositios y

22<⎛ 2 2 ⎞ 1 1 2

+

11

⎜ ⎟ ⋅ − + =

0acia la i(@uierda los negatios, contando tantas articiones como inIdica el alor absoluto del nCmero @ue se a a reresentar<

⎝ 3 R ⎠ 3 3 K 4R

1 2 3 11 ⎛ 1 1 ⎞ RM L L y

3 R 2 13

24< 187 ⋅ ⎜ 1 −−

⎟ ⋅ 3 = 187 ⋅ ⋅ 3 = 22R

3 4 2

⎝ 3 4 ⎠ 12

M L L4 4

.alentina tardará 22R min en terminar de leerlo<

M 7,RL 7,73L 7,RL R,9L 7,2 29< a2R

L bP 19

L cP K

+8

=38

=1K

M El 3< 4K K 4 94 19 8R −1 3

A#t!"!(a(es 28<⎛ 2 ⎞

aP

⎛ 1 ⎞L bP

= 4 L cP 2

L⎛ 4 ⎞

dP⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2< 17=

2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 ⎝ ⎠

RR 1137<

1L8

L1

L1 4

L1 7 8

L2R

L27

L2

4< a 2 R27L b 47R7 R7 4 2 R 94 4R R7

9< Positias:R

,−1

,

32< 7 ,8491R3L 1,1428RL − 7 , 3 R1428 L − 7 ,RL 1, 4 L

4 −8 37 , 3 R1428

$egatias:−2

, − 1

,−3

,2

3 2 4 −R 34< 4=

3L

L

−4R92=

−2 281L

2 −2 −1

1= , =

17 R 177 1777 R77

−R

8<−48

1R9

R −8 8−R

K77

−1=

187L

212L

KK

322K

KK7

17< a −8L b 9L c −RL d 9 ó

−9

39< a 17,32b 1,K2

12< − 24 : 12

−2 =

L17R : 1R

= c 3,44

39 : 1242 : 9 =18 : 9

3 R47 : 1R 39

L13

3 2R2

d 2,22R

e 7,99

R,87K R

1



397 : 127=

3L

188 : 4=

4 g 7,281 4487 : 127 4 7R : 4 1R

14< 1R 9

3 27 3 1 7 H3 1

38< a 2,8L el error es de 7,71R<

b 3,RL el error es de 7,7R<

c 9,KL el error es de 7,778<R H4

7 H2

1 H3 H1R H2

47< a 12,3K

b 1K,372R

19< a9

4

14bP −

9

H14 9

42< a "ualitatia<

b "uantitatia discr eta<

c "uantitatia continua<18< 12 R 8 R

2 2 3 1

8 HR

<<<

H12R

*

H4R

3 1R

7 3 1

<<<

d SegCn cómo se ormule la regunta, uede ser cualitatia o

cuantitatia<

44< !esuesta abierta D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



49< a Si la emresa no es muy grande, no 0ace alta escoger unamuestra< Se uede llear a cabo una encuesta a todos lostraI ba=ador es<

b $o 0ace alta coger una muestra< Se ueden obtener los daItos de la secretaria del centro<

c Obligatoriamente 0ay @ue elegir una muestra cogiendo bomIbillas al a(ar<

d $o 0ace alta coger una muestra< Se uede eectuar una enIcuesta a todos los alumnos<

Eer#!#!os 0 pro-%emas

97< a 877L b 2 R77L c 11 2R7L d 947

92< a 9 - 1R = 17 - K , s/ son e@uialentesL b no son e@uialentes<

94< −3

8_ S/, son todas e@uialentes

48< 99<

−3

= 1

1

LK

−2 2 −

= −1

2

H2 K H1 HR7 3 1 H3 2

H 8 R H2

H H3 H

R7< 'lamamos x a la recuencia absoluta del alor $ocas# a la delaI lor bastantes y z a la del alor muc*as<

98< a <<<

H3 R H2

H2

R

9 4

H1 7

− −3

H9

3 14

3 −

2 R 2

R

<<<

3

'a recuencia absoluta del alor $ocas es R, la del alor bastan9tes es 1R y la del alor muc*as es 17< b

<

−2

L

< <<4 4

2 H3

<

−L

2> y ( > + y +

( = = =1 3 2 1 + 3 +2

37= =R

9

H2 H1 H34

1 7 H2

1 2

1 R 4 24 3

> = R ⇒ > = 1 ⋅ R =R

− 3 <

2<

1<

1 <

R<

4 < 2

1y

= R ⇒ y = 3 ⋅ R =1R

4 −3 −2 2 4 3

3 7<a

−3L bP

13L cP −

98L dP

17

( = R ⇒ ( = 2 ⋅ R =17

2

17 12R K 3

R

,44 3LB = 15I,4

Publicidad ).44\

"ine7,4\

E>terior

2< ⎛a ⎜ −

⎝ 1 ⎞

⎟=⎠

R

−1

2R

−3

1= − 32

−4 2 4

2,2\ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞bP ⎜ ⎟ ⋅ ⎜

⎟: ⎜ ⎟ =⎜

⎟ : ⎜ ⎟ =

Diarios

!eista

!adio9,4\

4⎝

⎠⎛ 3 ⎞

⎝ 4 ⎠9 2K 4⎝

⎠

4⎝

⎠

4⎝

⎠33\14\ = ⎜ ⎟ =

397

4 ⎠

⎛ ⎞c − − 4 7K9

−14 K⎛ ⎞

3⎛ ⎞=

⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟R4< "alculamos el consumo medio bimensual: ⎝ 8 ⎠

⎛ ⎞⎝ 8 ⎠

−14 12

⎛ ⎞

⎝ 8 ⎠−2

⎛ ⎞

2⎛ 8 ⎞

> =2K + R7 + 28 + 4 1 + 2 K +

3

= 3R ,

9

= − ⎜ ⎟ ⋅

⎜

⎟ = −

⎜

⎟ = − ⎜ ⎟ =

9

Por lo tanto, el consumo medio mensual será

⎝ 8 ⎠ 82

⎝ 8 ⎠ 94

⎝ 8 ⎠ ⎝ ⎠

3R,9<

2= 1,83

m3

= − = − 2 4K

Deorte

r eerido

-recuenciaabsoluta

-recuenciarelatia

Porcenta=e

aloncesto 4 7,19 19 \

$atación 17 7,4 47 \

-Ctbol 9 7,24 24 \

.oleibol R 7,2 27 \

2R 1 177 \

7,33 397 = 118,8

7,14 397 = R7,4

7,794 397 = 23,74

7,722 397 = ,K2

7,774 397 = 1,44

____

2



<R9< 19,1RKL 14 y 1RL 11

19,3L 14, 1R y 27L 11 y 22

4< aP 2R

2R+

11=

2R 39

2R= 5

9

R

RbP − = 14 R−

= K 3= 5

R8< E% e$/$#!a(o es =a%so9

E$ res/me$

PoblaciónL muestraL absoluta, relatia, absoluta acumulada, relatia

2

c127

4K

4

−27

4K

21

4 4

= 177

4K

42

4 2

= 5 17

4K acumulada< d + = + = = 5

4 2 4 4 4 2

*6

D

i s t r i b u c i ó n


l a 1 e n t a



alculamos los resultados de las oeraciones:

7 ,R + 1,73 =23 − 2

+R

+173 − 17

=

K2<

21 R

K

K3 217

17

4R K3

K7

348 R8= ++

= + + = =

K 17 K7 K7 K7 K7 K7 1R

4 ,89 − 1, 34 =489 − 48

−134 − 13

=

438121 K7 K7

31

= − =K7 K7 K7

1,9 ⋅ 2, 1 =19 − 1

⋅21

− 2 1R 1K= ⋅ 28R= KR=

K K K K 81 2

,9 : 2, 2 =9 −

:22

− 2 9K 27 921 9K

= : = =

K K K K 187 27

'a relación @ue se establece entre los nCmeros 1, 2, 3 y 4, y lasletras a, b, c y d es:

1 − b 2 − c 3 − d 4 − a

8< !esuesta sugerida: 1−R

= 7 , 3L

= −1,9L

Moda: abrilL media: 2 nacimientosUmes<

3 3

K = 33

K4<

Se trata de nCmeros decimales eriódicos uros de er/odo 3 o9, siemre y cuando no sean enteros<

1 3 13= 7 , 2RL = 7 ,79 L = −1,3< Obtenemos nCmeros decimales4 R7limitados< −1

82< a 12,RL el error es de 7,744<

b 7,3L el error es de 7,72<

c K,9L el error es de 7,74<

d 1,1L el error es de 7,749<

84< Ser/a coneniente tomar una muestra en el estudio estad/sticosobre el niel cultural de los 0abitantes de un a/s y en el estudiosobre el lugar reerido or los ecuatorianos ara asar las acaIciones, or@ue, en ambos casos, la oblación es e>cesiamentegrande ara entreistar a toda<

-alsaL b alsaL c ciertaL d cierta< Datos

7,78 397 = 28, 8

7,74 397 = 14,4

8\9

4\

17\

3

28\

b 12

7,79 397 = 21,9 7,14 397 = R7,4 7,78 397 = 28,8 7,1 397 = 39

7,78 397 = 28,8

8

9\ K

14\

12 8\

11

17 17\

8\

17 Media aritm+tica: 9,8KL bimodal: 4 y KL mediana: 9, R<

8

K9< !esuesta abierta< & artir de los datos obtenidos, cada alumI9 noUa construir/a una tabla de distribución de recuencias, un diaI4 grama de sectores y la media aritm+tica, de manera similar a

como resolieron la actiidad R1<2

77 1 2 3 4

$Cmero de el/culas

K8< Edad media: 43 aBosL moda: RK aBosL mediana: 43,R aBos<

*

Mes de

nacimiento

-r ecuencia

absoluta

-r ecuencia

absoluta

acumulada

-r ecuencia

r elatia

-r ecuencia

r elatia

acumulada

Ener o 27 27 7,791R 7,791R

-ebrer o 37 R7 7,7K23 7,1R38

Mar(o 17 97 7,7378 7,1849

&bril R7 117 7,1R38 7,3384

Mayo 2R 13R 7,79K 7,41R3

*unio 37 19R 7,7K23 7,R79

Mes de

nacimiento

-r ecuencia

absoluta

-r ecuencia

absoluta

acumulada

-r ecuencia

r elatia

-r ecuencia

r elatia

acumulada

*ulio 27 18R 7,791R 7,R9K1

&gosto 4R 237 7,138R 7,79

Setiembr e 17 247 7,7378 7,384

Octubr e 2R 29R 7,79K 7,81R3

$oiembr e 3R 377 7,17 7,K23

Diciembr e 2R 32R 7,79K 1

Dato

-r ecuenciaabsoluta

-r ecuencia

absoluta

acumulada

-r ecuenciarelatia

-r ecuencia

relatia

acumulada

4 19 7,14 7,32R R 21 7,1 7,429 4 2R 7,78 7,R 2 2 7,74 7,R4

17 4 41 7,78 7,8211 R 49 7,1 7,K2

- r e c u e n c i a

a b s o l u t a

$<N de el/culas 7 1 2 3 4

-recuencia absoluta 1 4 3 1 1

-recuencia absolutaacumulada

1 R 8 K 17

-recuencia relatia 7,1 7,4 7,3 7,1 7,1-recuencia relatiaacumulada

7,1 7,R 7,8 7,K 1

88< !esuesta abierta< 'as amlitudes de los sectores serán:7,78 397 = 28,8

K7< a7,1 397

7,14 397

7,1 397R

14\

4

- r e c u e n c i a

a b s o l u t a

a c u m u l a d a


l a 1 e n t a



11177<'os 24 @ue tiene en estos momentos son la suma de la toI

talidad del dinero @ue ten/a 0ace una semana más1 11

ese diI

112< a "alculamos la media aritm+tica:

11nero @ue 0a a0orrado esta semana< Por lo tanto, en estosmomenI

3 + R + 2 + 4 + 9 + 8 +

> == R

tos tiene 11 1 12+=

11 11 11

del dinero @ue ten/a 0ace una semana< b &l sumar 2 unidades a cada uno de los datos obtenemos la siI

&s/ ues, si resolemos, tenemos:

12 6/ 24 : 12 =2

<<<<<<<<<

guiente serie R, , 4, 9, 8, 17, K<

R + + 4 + 9 + 8 + 17 +K

> = = 11 7/2 ⋅ 11 = 22

Aace una semana ten/a 22<

172< 1 −1

=3

−1

=2

3 3 3 3

Se obsera @ue la media aritm+tica 0a aumentado 2 unidades<

c &l multilicar or 3 cada uno de los datos obtenemos la siIguiente serie: K, 1R, 9, 12, 18, 24, 21<

"alculamos el nCmero total de bolas @ue 0ay en la ca=a:

2 6/97 : 2 = 37

<<<<<<<<< 8

K + 1R + 9 + 12 + 18 + 24 +21> =

= 1R

3 7/ 37 ⋅ 3 = K7

nicialmente en la ca=a 0ay K7 bolas<

olas ro=as:1

de K7 = 373

Se obsera @ue la media aritm+tica 0a @uedado multilicadaor 3<

114<"alculamos a @u+ e@uialen los2

de los4

de la racción @ue

olas amarillas: de K7 = 27

debemos 0allar<

−1 − ⎛ −R ⎞ −1 R

3

−1 2R

R

8

olas erdes: K7 − 37 − 27 =

47

4R ⎝⎟

=

+=

4R K

+=

4R 4R 4R

En la ca=a 0ay 37 bolas ro=as, 27 bolas amarillas y 47 bolas erI 2 4⋅ 8=des<

174< Aemos caminado4

del trayecto< ueda or

3 R

8

1R

8

6 8/

4R: 8 = 8

=1

397 4Rde <<<<<<<<< = , 81R 4R 1

1R 1

/

recorrer 1 −4

=R7

−4

=3

del

total<

⋅ 1R = =

/4R 4R 3

R7 R7 R7 R7 7

R 1En bicicleta recorremos de9

ueda or r ecorr er: 3

= R

⋅ 3

= 1R

=1

Se trata de la racción 3 <

1 1

R7 9 R7 377 27 119< 'a rimera llena

del deósito en una 0ora, y la segunda < SiR

4 1 17 7 K4 R 1

1 − − = − −=

del total< Por lo manan las dos a la e(, llenarán1 1 12+

= R 3R

del deósito or

R7 27

tanto:

177

⎧

⎪

177 177 177 0ora<

Dem/estra t/ !$e$!o

1

1772 : 1 = 2de <<<<<<<<< = 2 , 87/2 ⋅ 177 =

277 L%e$a 0 "a#7a re#!p!e$tes

ancia @ue seara la ciudad del ueblo es de 277 Gm<

179< Entre el comedor y la cocina, Elisa destinará

4+

1=

3 2+

=

3K

Aay arias soluciones osibles< na de ellas es la @ue se resenta acontinuación, indicando con tres alores la cantidad de agua @ue a@uedando en cada r eciiente:

8 R9 R9 R9

del resuuesto< El resto, es decir 1 −3K

=

1

R9 R9

, a los tr es

dormitorios, destinando, or tanto,1

: 3 =1

del r esuIR9 198

uesto a cada 0abitación< Ordenando las racciones tenemos:

de

de = 24 ,

de = 97 ,

K⎜⎠

/R7

Re#!p!e$te 9@ 29@ 39@

Capa#!(a( 6.* 2 *.*

Situación inicial ,R 7 7

Se llena el 3<er r eciiente 2 7 R,R

Se llena el 2<N con el 3<N 2 2 3,R

Se llena el 2<N en el 1<N 4 7 3,R

Se llena el 2<N con el 3<N 4 2 1,R

Se ac/a el 2<N en el 1<N 9 7 1,R



4 K91 21 1

= 9 = 9 198 8 198 198

178<

Es decir, el resuuesto destinado al comedor es el mayor y eldestinado a cada uno de los dormitorios el más e@ueBo<

&s/, odemos obtener un olumen de agua de 9 litr os<

a0 H/e sa-er %eer %as esta(7st!#as

Tama&o p!e< $o< El estudio se llear/a a cabo robablemente en escoI

7 2 17

R

9 1 7 4

1 K

lares y los niBos mayores, cuyos ies son más grandes, leen me=or@ue los menores, con ies más e@ueBos<

A##!(e$tes< $o< Se usa el auto más or los alrededores de casa<

Po%7t!#os< $o< & no ser @ue todos cobren e>actamente lo mismo<117< Puesto @ue los datos están ordenados y la mediana es:

R ⇒ a = R

'a moda de la serie estad/stica es ⇒

b =

Se&a%< Puede 0aber lugares en el r/o donde la roundidad sea muygrande<

*A

D i s t r i b u c

i ó n


l a 1 e n t a



A/toe"a%/a#!,$ M 32 dam = 32

dam

17 m

1 dam= 327 m

2< a 221

127

1 Gm 2

R42, 3 0m2 = R42, 3 0m2 = R, 423 Gm2177 2

b 23

27

* = 15, 5 *

10m

1777 dm

0m

= B, B1551M*

2

Coe"a%/a#!,$

17 7 7 7 cm 7 ,721 m2

= 7 , 721 m2

= 217 cm21 m2

M ngulo

2< −3, 4R G −3, 4 G −3, 444 G−9

4

1G − G

2 &rista

Diagonal

.+rtice

G 7 , 4 GR

3

4< a11 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 2 + 13 ⋅ 3 + a

⋅ 2 3 + 2 + 3 + 2

= 12, 4A#t!"!(a(es

K9 + 2 a= 12,4 ⇒ a = 14

172< 27

2+ 3R

2

=

192R = R 9R = 47 , 311<<<

El alor de a es 14<

b Moda< E>isten dos modas: 11 y 13<

Mediana< Aay dos datos centrales, 12 y 13<

El tercer lado mide 47,311<<< cm<

4< 2 ! 3 = 9 ! = 18,84K<<<

'a longitud de la circunerencia es 18,84K<<< cm< 12 + 13

2= 12,R Se trata de un nCmero irracional, uesto @ue es el roducto de

un nCmero racional or uno irracional<'a mediana es 12,R<

9<Módulo N+me r os =ra##!o$ar!osA#t!"!(a( !$!#!a%

Para aeriguar @u+ miembro de la amilia se aro>ima más al r ecio

real, amos a calcular el error absoluto cometido or cada uno de ellos<El recio e>acto de los art/culos comrados es:1,92 + 2,72 + 7,34 + 7,34 + 7,92 + 12,8R + 1,11 =

8,K7

El 0i=o aro>ima or truncamiento< Es decir, aro>ima todos losr eciosor deecto< Su error es: ⎜9 − 8,K7/ 2,K7<'a 0i=a aro>ima todos los recios or e>ceso< Su error es: ⎜13 − 8,K7/ 4,17<

El adre aro>ima una mitad de los recios or deecto y la otra mitad

or e>ceso< Su error es: ⎜K,R7 − 8,K7/ 7,97<'a madre aro>ima or redondeo< Su error es: ⎜K − 8,K7/ 7,17<

Obseramos @ue la madre, @ue aro>imó or redondeo, ue @uien seacercó más al recio real<

1

8< 'a rimera reresentac ión corresonde a R uesto @ue

E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a

M $aturales, enteros y racionales<

22

+ 12

= R@

17< !.M )odo nCmero racional uede e>resarse mediante el nCmero deciI

1 1 3 1 1

mal @ue resulta de diidir el numerador or el denominador de unocual@uiera de sus r er esentantes<

12< a L b2 4

2

21 R

L c K L d L e L L g <4 πI

$o todo nCmero decimal uede e>resarse como uno racional< Sólolos decimales limitados o ilimitados eriódicos<

14< a 7L b L c !<21

RM = 7, 278324

1+3

= 1,R4

2 = 1, 414<<<

22

7 1 2 2

2

9 1

7 1 2 2 9

2

8

7 1 2 8

12R



l a 1 e n t a



esuesta abierta< 18< !esuesta abierta<

27< a 7L b 2

3 R = 9 ,78<<<

! = 3,141<<<

22< & = ⋅ R

= 1:, R cm2

2



39 724< = 9

97: se trata de un 0e>ágono< 34< Para resoler el roblema diidimos la igura en 1 triángulo y 2

r ecI tángulos< &s/, odemos descomoner el roblema en dossubI

29<

9 ⋅ 11, R ⋅1 7

& =2

= 345:*2

r oblemas:

1<"a

lcular el área de cada una de estas iguras: 18 cm2, 2cm2 y 37 cm2<

2< Sumar estas áreas: 18 + 2 + 37 = R cm2<

2,8 cm 2,3 cm

"

&

4,1 cm

P = 4 ,1 + 2, 8 + 3 + 2, + 3, R = 19,1 cm

39< Descomonemos el roblema en las siguientes artes:

1< Aallamos el área del cuadrado: 19 m2

2< "alculamos las dimensiones del r ectángulo:

b W 0 = 19

El área del entágono es la suma de las áreas de los tres triánI2 0 W 0 = 19 ⇒ 0

=8 = 2, 83 m

gulos<

& = & & + & + & "

=

E$ res/me$

/ = 2 · 2,I3 = 5,LL

* 4 , 1 ⋅ 2 , 9 4 ⋅ 2 , 8 4 ⋅2 , 3= ++

= 1R, R cm2 M De i(@uierda a derec0a: metro, aralelogramos, ol/gonos regulares,

2 2 2

28< a Estimación de longitudes y alicación de órmulas< El intor estima la anc0ura y la altura de la ared ara calcular suárea< Si conoce el área @ue uede intar con cada bote,odrá saI ber cuántos botes necesita ara intar la ared<

bP &dición reetida< "ontamos el nCmero de cuadr/culas @ueocuI a el bos@ue en el maa< "omo sabemos el área @uecorresI onde a cada cuadr/cula, odremos estimar el áreadel bosI

metro cuadrado<

Eer#!#!os 0 pro-%emas38< n nCmero irracional s/ @ue uede e>resarse en orma deciI

mal, como un nCmero decimal ilimitado y no eriódico< Sin emIbargo, no uede e>resarse en orma raccionaria, ues esto esroiedad e>clusia de los nCmeros racionales<

@ue< 47< d = 22 + 22 = 8

as suericies de las roincias son las siguientes<El resultado es un nCmero irracional<

42< !acionales: 4,482R2L 8,4R4R4RL7, L 32, 2K L ,R9211 <

rracionales: R4,23R412<<<L 7,48R12R<<<

44< es un nCmero irracional< Demostración: Suongamos @ue

es un nCmero racional<

= a

b

con a y b nCmeros rimos entre s/

2

2 ⎛ ⎞ 2

" = ⎜a

⎟⎜

b⎟⇒ =

a

b2

⎝ ⎠ a

a2 a ⋅ a

Sib

es irreducible, tambi+n lo esb 2

=b ⋅ b

, luego es imosiI

a 2 =

a

ble @ue y, or tanto, es also @ue < En consecuenIcia, b2 b no es un nCmero racional y or ello

es un nCmer o

irracional<

_ $o, ya @ue es imosible obtener todas sus ciras decimales

y, or tanto, no odemos saber si más adelante emie(an a

r eI etirse<

49< a 17 12 X 321

17

7 1 2 3

17

32< "alculamos la longitud del otro lado de la inca< b 13 = 32 + 22 213

1K32 − KR2 = 198 m 1

'a suericie de la inca será:

2

, 9 c

m 4 c

m

$ombr e Suericie Gm2P

Pasta(a 2K R27

Morona Santiago 2R 9K7

Famora "0inc0ie 23 111Orellana 27 33

Sucumb/os 18 912

Manab/ 18 477

%uayas 1 13K

Esmeraldas 1R 219

$ao 13 21'o=a 11 72Pic0inc0a K 4K4

&(uay 8 93K%aláagos 8 717"otoa>i 9 R9K

'os !/os 9 2R4

El Oro R K88

"0imbora(o R 28"aBar 3 K78

mbabura 4 RKKSanto Domingo de los)sác0ilas 3 8R

Santa Elena 3 93

"arc0i 3 9KK

)ungura0ua 3 333,9ol/ar 3 2R4

2R3



R ⋅ 198 = 1R K97 m2

7 1 2 3 13


l a 1 e n t a



c 27 = 42 + 22 2

27 c

& =17 ,

K

= 2 ,18 ⇒a

=, R

= 3 ,44 cm

1 2,18

] 4 ] 27

] 3 ] 2 ] 1 7 P = R W R = 2R cm

& =2R W 3, 44

= 43 cm2

48< a 2 3 13 L b 1 1R 4L c 3 3 3 9, en los dos 2tiángulos r ectángulos< P

& R4 , R cm

R7< a2 π L b

1 X R

R 2

_ =P 2R cm

= 2,18

R2< a 1 L b 3 L c L d & 274, 38 cm2

2 R2

R & = = 4 ,R

R4< a

1R L b R L c I2 R L d I 2 & 43 cm2

R9< r1 3

2

9 9

L r2 2<

_ 'a ra(ón entre er/metros de ol/gonos seme=antes es iguala la ra(ón de roorcionalidad entre los lados, @ue recibe elnombre de ra(ón de seme=an(a< 'a ra(ón entre las áreas deol/gonos seme=antes es igual al cuadrado de la ra(ón de

R8< a P = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 14cm

& = 4 ⋅ 2 , 9 = 17 , 4cm2

7< _ seme=an(a<2

0

b P = R1, R + R1, R + R7 =1R3 cm

& =R7 ⋅ 4R

= 112R

cm2

2

c P = 9 ⋅ 12 = 2 m

1,R 2 2 1,R :1,R

R

2 ⋅ 1 7 , 3K & =

2

= 34m2

;

1,R

d P = R + 2 + 1, 3 + 4 + 1, 3 + 2 = 1R, 9 cm

R + 4 P 1,

2 & 1 = =R, 4 cm2

2

& 2= R ⋅ 2 = 17

cm2

2

_ Aallamos la altura * alicando el teorema de Pitágoras:

& = & 1 + & 2 = R, 4 + 17 = 1R,4 cm2 "alculamos las áreas de las caras:

97< & =27 ⋅ 1 R

= 1R7

cm2

* = 22 −1,R2

= 1,32 m

2 &1 = &4 = 1,R W R = ,R m2

92< a 128 dm = 12,8 mL 82R cm = 8,2RmL

&2 = &3 = 2 W R = 17 m2

&R = 3 W R = 1R m2

14 + 1 2 , 8 P ⋅ 8 ,2R

& =2

= 117,RRm2

&9 = &

= 3 W 1,R +1

2

W 3 W 1,32 = 9,48 m2

94<

b 1,2R 0m = 12R mL 1R,2 dam = 1R2mL

12R + 1R 2 P ⋅89

& = =11 K11 m2

2

P = R ⋅ 477 = 2777 cm

&)otal = 2 W ,R + 2 W 17 + 1R + 2 W 9,48 = 92,K9 m2

Se necesita una suericie de madera de 92,K9 m2<

2< 'as áreas son iguales, mientras @ue la igura a tiene un er/meItro mayor<

2 777 ⋅ 2R & = = 2R777 cm2

2

4< d = K2 +142

= 19 , 94 cm

99< 7,9 cm

9< P = + 9 + 4 + 4 +2 +

& = & cuadrado

+ & traec

o =

+ 9 ⋅

2= 4 ⋅ 4 +2

12 +22

= 2Km2

= 2R, 24 m

3,8 cmP8

1, + 1+ 4 + 2 , 2 + 2 ,1R,1cm

c R

= > ?

3

@



2, 3⋅ 7, 9 4, 1⋅ 2 R , 8⋅ 1, R R , 8⋅ 1 & = + ++ =

8< 02 X 12 22

0 22 − 12

=3 cm

2 2 2 2

= 12 ,74cm2

Obtenemos un nCmero irracional<

_ 0 1,32< De esta manera tenemos un nCmero racional<

98< _ P & = R W 17,K = R4,Rcm

84< 127 2 +1472

= 184 , 3K m

R4, R W , R & & =

2

= 274,

38

cm2

127 2 +1772

= 1R9 , 27 m

'a aotema del entágono 7 se obtiene a artir de la r elaIción entre ol/gonos seme=antes<

&s/, la longitud del cable seBalado en ro=o es:

184,3K + 1R9,27 = 347,RK m

2


g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



8789< 'ado del cuadrado = = 27cm

P = 2+

2 +2

= 4,8 cm

4

'as longitudes de los lados de los rectángulos serán de 27 cm y17 cm< Por lo tanto, el er/metro de uno de ellos será:

& = 1 2 W 1 = 1 cm2

2

P = 2 W 27 + 2 W 17 = 97cm

P8 = 2 + R +R

= R,K cm

88< !esuesta abierta<

K7< "omo las alturas de los tres triángulos coinciden, las bases delos triángulos guardan entre s/ la misma relación @ue sus áreas<

&s/, la base de 74( es 3 eces la base de 7(# es decir 3 3 =K cm< Del mismo modo, la base de 7;4 es 4 eces la de 7( ,es deI cir, 4 3 = 12 cm< Por tanto, las dimensiones deltraecio son:

= &" 12 + 3 = 1R

cm b = ED = K cm

&8 = 2 W 2 − &1 − &2 − &2 = 4 − 7,R − 1 − 1 = 1,R cm2

El menor triángulo rectángulo es el rimero de estos triángulos< El

área de los otros triángulos en unción de +sta se e>resa as/: &2 = 2 & &3 = 2 & &4 = &

&R = 4 & &9 = 4 & & = 2 & &8 = 3 &

El área de los cuadriláteros en unción de +sta se e>resa

as/: &1 = 2 & &2 = 8 & &3 = 4 & &4 = 4 &

A/toe"a%/a#!,$

0 = E = 4cm

2< n lado de la estrella midemetro es: P = R 17 = R7cm<

32 +42

= R cm< Por tanto, su er/I

Dem/estra t/ !$e$!o

Geop%a$o

a E>isten 3 cuadrados y 1 rectángulo dierentes no sueronibles @uese reresentan en la igura<

Si la searación entre los claos es de 1 cm, el er/metro y el áreade estas iguras es:

P1 = 4 W 1 = 4 cm &1 = 12 = 1 cm2

P2 = 4 W 2 = 8 cm &2 = 22 = 4 cm2

El área de los cinco triángulos es:

& = R9 ⋅ 4

= 97 cm2

2

El área del entágono central es:4< 'a reresentación correcta es la del aartado a.

Coe"a%/a#!,$

2< P = 4 + 3, 3 + 1 + 3, 3 = 11, 9 cm

P3 = 4 ⋅2 = R ,cm

&3 = 2&1 = 2cm2

0 = 3 , 32 −1, R2

= 2, K cm

P4 = 2 W 1 + 2 W 2 = 9 cm &4 = 1 W 2 = 2 cm2

b E>isten 8 triángulos dierentes no sueronibles @ue se r er esenI4< 1R7 2 +2972

= 377 ,1999274<<<

tan en la igura<

Si la searación entre los claos es de 1 cm, el er/metro y el áreade los triángulos será:

.alor aro>imado: 377 cm

P1 = 1 + 1 +2

= 3,4cm

A & artir de +ste módulo, se colocarán en la sección Solucionario,CniI camente las resuestas corresondientes a los aartados &ctiidad inicial, Ealuación diagnóstica y E=ercicios y roblemas,uesto @ue &1 = 1 1 W 1 = 7,R cm2

2 ara este momento, losas estudiantes 0abrán desarrollado la autoInom/a necesaria ara encontrar las soluciones de las actiidades, taI

P2 = 1 + 2 +R

2

= R,2cm

reas y ealuaciones de los modulos or s/ solos<

3c

2 = 12 + 22 =

R

N+meros rea%es

&2 = 11 W 2 = 1 cm2 Módulo Po%!$om!os

P3 = 1 + R +8

= 9,1cm

A#t!"!(a( !$!#!a%

b3= 12 + 22 =

R

L c3= 22 + 22 =

8

_ El nCmero de oro aarece en la irámide de eos, en el Partenón

&3 = 1 1 W 2 = 1

cm2

2

cuyo al(ado se inscribe en un rectángulo áureo, en el boceto delcuaI dro de Dal/ Leda at:mica# en las tar=etas de cr+dito dondelos laI dos están en relación aro>imadamente igual a B, en larelación



P4 = 1 + 2 +R

= 4,cm

entre las longitudes de las alanges 0umanas y en el cálculo del nCI

mero de descendientes de una abe=a mac0o< &4 =

11 W 1 = 7,R

cm2

2

_ 'a relación entre los lados de un carn+ de identidad es:8 ,9 cm

PR = 2 + 2 +8

= 9,8cm

R, 4 cm = 1,9 C B

&R =

12 W 2 = 2 cm2

2

E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a

P9 = 2 + R +R

= 9,Rcm

M !acionales: 2

− L −1,2RL

Rπ

9 , 34

&9 = 12 W 2 = 2

cm2

2

rracionales: − 11 L L 1 −3

2 L −1, 272 772<<

3

D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I

P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



M $o, or@ue en rinciio la cinta m+trica elegida sólo ermite medir 0asta los cent/metros: 1 cm, 2 cm, 3 cm<<<

M 1,414213 es ilimitado no eriódicoL

7 ,11R3849 es ilimitado eriódico mi>toL

3,141RKR<<< es ilimitado no eriódicoL

1,8 es limitadoL

K,48983<<< es ilimitado no eriódico

88<

−17b −2ab + 2b

M 2 W 4 = 8L 3 W 2R = RL1

94 = 19L 2aL 3aL1

a

<

CB@ ) N /) 1 − L/N :) C/ 2 + 3 − 20 / + 0/

L4 4 K2< a P1 = 2 W 13 + 8 W 12 + 2 W 1 − 12 = 73 2

M R −12 + 3 −11

= R −3

= b P2 = 2 W 2 + 8 W 2 + 2 W 2 − 12 = 47

2 2 2

M 4 a coeiciente:

4 arte literal:

a

9 a b coeiciente: 9

arte literal: a b− 2a b

2coeiciente: − 2

arte literal: a b2

Ma R a + 2b − 2a + 4b2 − 4b = 3a − 2b + 4b2

/) 5H + 2 − 2H + 4 − 4/ = 3H + L


99< Es erdadera< Entre dos nCmeros reales distintos siemreodeI mos encontrar otro nCmero real< na orma de 0acerloes 0allar el unto e@uidistante entre ellos, @ue es la semisumade ambos<


:) P(3) = 2 · 33 + I · 32 + 2 · 3 − 12 = 12BK4< S/, or e=em lo la suma de los olinomios x

5+ 2 x

2

H −5 + O9 67;97*;7 7 2Q 22 + @K9< El grado del olinomio cociente es la resta del grado del diidenI

do menos el grado del diisor <

K8< a P> W > =2>

2+ 4> − 8

3 − + 24>

2+ 8> − 19

− 2>3

− 4>2+ 8>

25 + 44 − I3

25 + 44 − 1B3

+ 1L − 1LbP En el anterior aartado se 0a obtenido P> W >, or tanto,

ara 0allar P> W >, basta multilicar el resultado de a or1

:2

7< − 1 <−3

< 7 <2

< 7 ,R

<

R < 3 = K < R

1P > P ⋅ > P = >R + 2 >4 − R >3 + 8 > − 8

2

4 1 2 − 3

k−2, RL b −3, −1L c 2, 9L d k−2,−1

4< a −9, 3< "entro = −1,R< &mlitud = Kk−2, 17< "entro = 4< &mlitud = 12

/) '−2,

3)9< a 2,787<<< , 2

b 7,2R , 7,3

:) C,5I04@@@ C,5C

>2

+ 2> − 3 : > + 3 = > − 1

/) 1 B − 0 L

>3 − > − 9 : > − 1 = >2 + > −9 c

8< 3 = 1, 32 7R7 878<<

&ro>imación: 1,3"ota del error absoluto: 7,773 >3 + 8>2 − 23> − 37 : > + 17 = >2 − 2> − 3

87< a 2 >L b 2 > + 1L c 2 >2L d 3 2 > +

1L

172< a > + 1P2 = > 2 + 2 > +1L

& > P = > 2 + 2 > + 1

) + ( + 1) + ( + 2)N R) 2

( + 1)2

b Suma de x con el anterior a x :> + > − 1 = 2 > − 1<

82< a −2 L b 7 &s/, ues: 2 > − 1P2 = 4 >2 − 4 > + 1

c )rile del nCmero siguiente a x :84< a 17 a − 27 bL b x − 17 ' c x − R + 4L d 2 b − a b

3 ⋅ > + 1 = 3 >+ 3

< Se tiene:

a a2 − b2 = a + b P a

− b P

89< b P a2

− 2R = a + R P a − R P

W a Rb −3a a − b

4 4a 27b −12a 4a − 4b

3a 3a2 1Rab −Ka2 3a2 − 3ab

−2b −2ab 2 9ab 2

a + b a2 + ab Rab + Rb2 −3a2 − ab a2 − b2

− 3 − 3 3

1 − 1 7

1 1 1 − 9

1 1 − 9 7

− 171 8 − 23 − 37

− 17 27 37

1 − 2 − 3 7



l a 1 e n t a



− 1 ⋅ 3 > + 3 P = 3 > 2 + 3 > − 3 > − 3 = 3− 3L

" > P = 3 > 2 − 3d "ubo del nCmero anterior a x :

c P a ⎛ a

=+

⎞ ⎛ a ⎞> − 1

3

=

> − 12

⋅

> − 1

=

> 2

− 2 > + 1 ⋅

− 19K ⎝

4⎟ ⎜⎠ ⎝ 3

− 4⎟⎠

P P P P

⋅ > − 1 = >3 − 2 >2 + > − > 2 + 2 > − 1 =d P 4 a

2− 81b

2= 2 a + K b P 2 a

− K b P

= >3 − 3 >2 + 3 > − 1

4

2

3⎜



Se tiene:

> 3 − > − 1P3 = >3 − > 3 − 3 >2 + 3 > − 1=

= 3 > 2 − 3 > +

1L

D > P = 3 >2 − 3 > + 1

Si utili(amos el m+todo de r educción:2a + b = 4 2a + b = 4 − a − b = 1 − 2a − 2b

=−2a = 3 − b =

2

b =−2

174< Para calcular Pa odemos roceder de los siguientes modos:

1 Sustituimos a en el olinomio P x y eectuamos las oeraI

ciones corr esondientes<2 Diidimos P x entre x − a< El residuo @ue se obtiene es igual aPa<

179< 'as osibles ra/ces enteras del olinomio serán los diisores delt+rmino indeendiente: 5 1L 5 2L 5 4<

El olinomio es P> = 3> − 2<

124< El olinomio debe tener los actores > − 3 > + 1 y > −2: P> = > − 3 > + 1 > − 2 = >3 − 4>2 + > + 9

129< Sea x el dinero @ue tiene el rimer amigo< El dinero del segundo

amigo es: >2 − R>

178< P 1 = 2 ⇒ a ⋅ 1 + b = 2 ⇒ a + b =

2

P 2 P = R ⇒ a ⋅ 2 + b = R ⇒ 2 a + b= R

El dinero @ue tiene el tercer amigo es:

2

.⎛ > 2 − R > ⎞ >4 − 17 >3 + 2R >2

a + b = 2 − a − b = −2/ ⎜ ⎟ = =

0 ⇒

0

2 a + b = R 2 a + b =R

⎝ 17⎠

177

1/ a = 3 1 17 2R = >4 − > 3 + >2 =

a + b = 2 ⇒ 3 + b = 2 ⇒ b = 2 − 3 =−1

177 177 177

El olinomio P> es: P> = 3> −1

117< a 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >

− 3 "ociente: 3>2 + 2> +114

!esto: 397$o es diisor <

1 1 1 = >4 − >3 + >2177 17 4

'a cantidad de dinero @ue odrán reunir e>resada mediante un

olinomio es:

b 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >

+ 1 "ociente: 3>2 + 1R> +18

D ( ) =

+

− 5

+

1 1 1> − > + >

⇒17 4

2 4 3 2

177!esto: 7

S/ @ue es diisor <

c 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : 3>2 + 3>+ 9

D⇒

( ) =

1

177 4

−

1 >3+

17

R >2 − 4 >4

"ociente: > + R

!esto: 12> − 12

$o es diisor <

d 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >2 − 4>

− 1 "ociente: 3> + 37

!esto: 1R9> + 48

$o es diisor <

112< a > > − 12

b > − 3 > + 1 > +3

c >2 − 3 >2 + 3 tambi+n odr/amos

escribir: > − D " > + D " >2 + 3

d 3mt 2+ 4t −9 = 3mt + 4t −9

e u2 − Ku + 14 + u2 − 2 P = u − u − 2 + 2 u − = u − u + 2 − 2

mnn2 − Rn + 9 = mnn − 3 n − 2

Aallamos la cantidad de dinero @ue odrán reunir si el rimer

amigo disone de 17 2<453SQ 1 1

> = 17 ⇒ D 17 P = ⋅ 174 − ⋅ 173 +177 17

R+ ⋅ 172 − 4 ⋅ 17 = 177 − 177 + 12R − 47 = 8R4

Podrán reunir 8R 2<453SQ

137< 'a e>resión algebraica de la diagonal e>istente, @ue es la @uecumlirán todas las ilas, columnas y la otra diagonal es:

2 > 2 − 1 + R> 2 + 1 + 4 2 > 2 + 1 =

= 2> 2 − 2 + R> 2 + 1 + 8> 2 + 8 = 1R > 2 + 3

114< a X bP2 a2 + 2ab + b2

118< a 2abL b R7>yL c >2L d 2Ry2

127< a3 1 3 P 2

2 1 2 P 3R 1 P 2

46 > 12 >

17 > 4 41 3 2 1 2

>

122< Sea P> = a> + b



A1 132< a >2 − 2> −

8 b 3> + 9

c 9>2 − 4> − 2

+ *R>

+ 1 1 − 3

P1 = a W 1 + b =1

P2 = a W 2 + b =4

Para obtener los coeicientes a y b debemos resoler el sistema:a + b =

1

2a + b =4

134< a3

2

e2

>

b1

c>

m

gm [3

u 2

;

R b2d

2

1u X 1 0

*

2 > 2 − 61 2 + 3 1 2 + 2

2 2 2

41 2 31 2 − 4 2 > 2 +1


l a 1 e n t a



N+meros rea%esPatro$es (e #re#!m!e$to %!$ea%

A#t!"!(a( !$!#!a%El nCmero de nenCares iene dado or:

$ = $7 ⋅ 2d U 2 , donde $7 es el nCmero de nenCares en un d/adetermiI nado y d es el nCmero de d/as transcurridos desde dic0o d/a<

a 9 ≠ 3 W 4< $o

ertenece< b 3 = 3 W 1< S/

ertenece< c 4 ≠ 3 W 2<

$o ertenece<

28< a

Precio ?

&l cabo de 27 d/as 0abrá: $ = 47 ⋅ 227 U 2

= 47 K97 nenCares<1R7 777

Seis d/as antes del d/a en @ue 0ay 47 nenCares0ab/a:nenCares<

E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a

$ = 47 ⋅ 2−9 U 2 =R

112 777

R 777

3 R77

+4 & −1

−2 ' −

R ⎛ 14 ⎞ = −5 + −3−

3R= −R11

2R R7 R 177 12R

Suericie m2

( ) ⎜ ⎟R * 4 4 3 ⎝ 8

⎠

R 12 97b

Ma R > L b P b3 L

−4

c P1

yR

M ⎛ 1 ⎞ 134

⎜ ⎟ = = L

3⎝ ⎠⎛ 2 ⎞

3−4

−K ⎛ 3 ⎞K

morte

?

8

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ L 9

⎝ 3 ⎠

3

⎝ 2 ⎠

−4

R

4

−11 3−−4" 113

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⋅

⎜

⎟ = ⎜−

⎟

⋅ ⎜ ⎟ = 1

⎝ K ⎠ ⎝ −K ⎠

11

⎝ ⎠⎛

⎞18 ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠2R R7 R 177

Distancia Gm

=−

⋅

= − ⎜

⎟ 37< a "ada t+rmino se obtiene multilicando or 3 el nCmero @ue inI

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠ dica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión: a n = 3 n <

M !acionales: 1L 4 L

−4L

L 2, 333

33<<<

bP "ada t+rmino se obtiene sumando a 98 el roducto de −4

rracionales: 3

2 L −

R 2

R L !

or el nCmero @ue indica el lugar @ue ocua dic0o t+rminoen la sucesión: a n = 98 − 4 n <

c "ada t+rmino se obtiene eleando al cuadrado el nCmero @ue inI19 4 1 1 4 2

L L = 5 dica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión: a 9

= n 2<

M 2R=

R

= 5 81 K 19K 13 d "ada t+rmino se obtiene sumando a −1 el roducto de 2 or

M 17> 177 > 2M 11, 22, 33 y 44L 1, R, 2R, y 12R

el nCmero @ue indica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en lasucesión: a n = −1 + 2 n <

M aP

b

32

− 3 ⋅ 3 +

2

32 +

1 R2

− 3 ⋅ R +

2

R2 + 1

=2

=17

=

12

=29

1

R

9

13

e "ada t+rmino, e>ceto los dos rimeros, se obtiene sumanIdo los dos t+rminos inmediatamente anteriores: a n = a n −1

+ a n −2, si n 3 3<

"ada t+rmino se obtiene multilicando el nCmero @ue indica

c17

2− 3 ⋅ 17 +

2

172 + 1

= 2

171

el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión or este misImo nCmero disminuido en una unidad: a n = n ⋅ n − 1<

Eer#!#!os 0 pro-%emas 32< a a 1 = 4 − 3 ⋅ 1 = 1bP a1 =

R ⋅ 1 −

3

2 ⋅ 1

=2

= 12

18< a XR 2 +R R +R P−2 = +R P2+ R− 2 = +R R L

−K R ⋅ −K P4

a 2 = 4 − 3 ⋅ 2 =−2

a 3 = 4 − 3 ⋅ 3 =−R

a2

=R ⋅ 2 − 3

=

2 ⋅ 2 4

b −K P−3 ⋅ −K P2 = −K P ⋅ −K P ⋅ −K P ⋅ −K P =

M ódulo 4Suericieen m2 &x"

2R R7 R 177

Precio endólares &"

3 R77 R 777 112 R77 1R7 777

Distanciaen Gm &x"

2R R7 R 177

morte endólares &"

2 4 9 8

⎛ ⎞



4 − 3 ⋅ 4 = −8 5 3 − 3⋅ 12

= −K PR+ 4+ 3− 2 =

−K P17R 4 3 −2 a R = 4 − 3 ⋅ R =

−11

3 =

a4 = 2 ⋅ 3

R ⋅ 4 − 3

= = 29

=1

27< a L b H 22 x 2z 2L c H R Ld

x

1Rc + 217a

1 3 a5

=

2 ⋅ 4

R ⋅ R − 3

8

=22

=11

22< a 1L 1L

1L

1L b

L

11L

RL1K

L c 7L L 1L L 2 L c 3 ⋅ 1 − 21

2 ⋅ R 17 R

2 3 4 2 4 2 8 2 2 a1 = = =

11 1

d 12 − 2 −1

d H 3L H 1L 1L 33 ⋅ 2 − 2

4

a1

= =2 ⋅ 1 2

a2

= = =2 22 2 2 1

24< Para deducir la e>resión algebraica de una unción lineal, esneceI

2 2a =

−= =

sario conocer dos untos: el 7, 7 y otr o<

Para deducir la e>resión algebraica de una unción a/n nolineI al, es necesario conocer dos untos<

3 ⋅

3 −

2

3

3 ⋅ 4 − 2 =

3

17 R

a 3

=

2 ⋅ 2 4 2

32 − 2 =2 ⋅ 3 9

42 − 2 14

29< 'a gráica de la unción lineal asa or el unto 2, 9 y, or tanI

to, cumle:

y = m>L 9 = 2m , m = 3

'a unción lineal es = 3 x <

5

=

4

3 ⋅ R − 2R

= =

4 2

=13

R4 =

5 =

2

⋅4R2− 2

2 ⋅5

= =

8 4=

23

17

2

D i s t r i b u c

i ó n

g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



34< 'a p!e'a es un triángulo de base igual a la mitad del lado delcuaI drado @ue limita el tangram y de altura igual a la cuartaarte del lado de dic0o cuadrado<

Su área es: &=

2 R ⋅ R

2

2 ⋅ R = = R cm2

2

P!e'a 2: 4 R ⋅ 2 R 8 ⋅ R = 27 cm

'ongitud m?

2R

27

1R2 217

'a p!e'a 3 es un cuadrado< Para 0allar la medida de su lado 0ay@ue calcular la diagonal del tangram ya @ue el lado de la ie(a 3es una cuarta arte de la diagonal del tangram:

R

9 12 18 24 &ltura m

Pendiente: 27=

R

d2 = 4 R 2 + 4 R 2 = 19 ⋅ R − 19 ⋅ R =197

24 9

d = 197 =2R ⋅ R =22

17 = 417

& las 11 de la maBana el Sol está más alto, or lo @ue laendiente de la unción es menor y, or tanto, las sombras seránmenores<

El área de la ie(a 3 es: &=

17 ⋅ 17 = 17 cm2 , resultadoco0er ente

44< a t = R min = 377 s

uesto @ue tiene el doble de suericie @ue la ie(a 1<

El área de la p!e'a 4 es la misma @ue la de la ie(a 2< Su alor

es 27 cm2<

e = W t = 1,R W 377 =

4R7 es = 4R7 + 177 =

RR7!ecorrerá 4R7 m y se encontrará a RR7 m de la seBal<

El área de la p!e'a * es la misma @ue la de la ie(a 1< Su alor es Rcm2<

b 377 = 1,R W t,

t =377

=277

1,R

'a p!e'a es un triángulo de base y altura iguales a la mitad del

&l cabo de 3 min 27 s<

c e = 1,R W t + 177

lado del cuadrado @ue limita el tangram< Su área es:

2R⋅ 2 R & = =

17 cm2

2

'a p!e'a 6 es un aralelogramo de base igual a la mitad del lado

del cuadrado @ue limita el tangram y de altura igual a la cuarta

arI

d Distancia Gm

2 777

1 977

1 277

877

477

277

477 977 877 1 777

)iemo min

te de dic0o lado< Su área es:

38<'os datos conocidos son:

a 1 = 27L a 9 = 3RL n = 9

3R = 27 + Rd

1R = R d ⇒ d = 3

& = 2 R⋅

R = 17cm2

49< _ 1, 4, K, 19, 2R, 39, 4K, 94, 81, 177$o es una rogresión aritm+tica<

_ 3, R, , K, 11, 13, 1R, 1, 1K

Obtenemos una rogresión aritm+tica de dierencia 2 y cuyorimer t+rmino es 3<

_ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2Se obtiene un alor constante, 2<

'as etaas serán de: 27, 23, 29, 2K, 32 y 3R Gm<27 + 3R P ⋅ 9 E#/a#!o$es e !$e#/a#!o$es (e

Sn = =19R2 R pr!mer ra(o

Aabrán recorrido 19R Gm<

47< a

Módulo D!aramas (e ta%%o 0 <oas

morte P12

17

8

9

4

2

1 2 3 4 R)iemo 0

Sin lantear toda/a una ecuación odemos ra(onar de la siguientemanera: Si el lado desigual del triángulo es una arte del total del er/Imetro, cada uno de los dos lados iguales serán tres artes de ese toItal< Por lo tanto, 0emos diidido el er/metro en artes iguales 1 +3

42<

b m =7<

'ongitudm

?

37

de 37 m y dos lados de K7 m 37 W 3 cada uno<

M El doble de 9 es 9 W 2 = 12<

El trile de 12 es 12 W 3 = 39<

'a @uinta arte de 2R es 2R : R = R<

_ Doble: 2 W a

24 )rile: 3 W a a18

12 9

& = =

&ltura del ediicio en

metros &x"9 12 18 24

'ongitud de la sombra a las

17 de la maBana en metrosR 17 1R 27

)iemo en 0oras &x" 1 2 3 4 R

Precio en dólares &" 12 12 12 12 12

&ltura del ediicio en

metros &x"9 12 18 24

'ongitud de la sombra a las

8 de la maBana en metros,R 1R 22,R 37



&ltura m

uinta arte: R• 2 3 4 3

19 12 18 24 ⋅ − 2 − ⋅ − P ⋅ = 2 ⋅ K − −9 P =2

Pendiente: 37=

R= 18 + 9 = 24

24 4

6 D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a



M RL7 L − 1L − 1,RL − 2L −3L − 4

b − − 1 = R + −9

− 1 − R = + L −9 = 2 L = = −32

_4 _3 _2 _1 7 R

_1,R

M

c x + 8 + 3 x − 3 = 2 x − 3 x + 3 x − 2 x = −3 − 8 + 3L 2 x = −8L x =

−8= −4

2d 1 + x = R − x

x + x = R − 1L 2 x = 4L x =4

= 22

e z − 2 = −3 z − 17z + 3 z = −17 + 2L 4 z = −8L z =

−8= −2

4

M!esuesta sugerida: 3,2L 3,4 y 3,9<


94< 'a suma de las e>resiones algebraicas de la tercera columna es

x + 8

= x

2 x + 8 = 2 x L 8 = 2 x − x L x = 8

87< a R 3 c 3 −

igual a 1R< 2> − 2 + 3 > − 2 + 8 = 1R 1 1b 2 8 d 9

3 R

2> − 2 + 3> − 9 + 8 = 1R

2> + 3> = 1R + 2 + 9 − 8

R> = 1R

> =1R

=

3R

&l 0allar el alor num+rico de las e>resiones algebraicas de lariI mera ila ara x = 3 se obtiene:

82< $o< Por e=emlo, si consideramos las desigualdades 37 T −R y−2 T −3 y las multilicamos miembro or miembro, obtenemos ladesiguladad −97 G 1R<

84< Sólo se cumle si a y b tienen el mismo signo< ueda e>cluido elcaso de @ue a o b sean cero ya @ue la diisión or cero no tienesentido<

Estos e=emlos cumlen la condición:

R 1 1

3 < R ⇒ 1 < ⇒ < L2 y + 4 3 R 3

2 + y + + 4 = 1R

y = 1R − 2 − − 4 = 2

El alor de x es 3 y el alor de es 2<

99< a "iertaL b alsaL c ciertaL d cierta

98< 'a solución es x = 8<

7< Se ueden rooner ininitas ecuaciones e@uialentes a una dada<'a solución siemre será la misma<

a Multilicamos, or e=emlo, or 2:

− < −9 ⇒ 1 9 −9

⇒ 1

< 1

− −9 −

En cambio +stos no la cumlen:

R 1 1−3 < R ⇒ 1 9 ⇒9 L

−3 R −3

9 −9 ⇒ 1 9−9

⇒1

<1

−9

89< !esuesta sugerida:

4 > − 17 = 17 > +4 L

> = −3a > = 7, > = 1 y > = 2

b > = 7, > = 1 y > = 2

b Multilicamos, or e=emlo, or R:27 > − 1 = 1R > + 2L > = 2

c Multilicamos, or e=emlo, or 3:

K > − 1 − 97 = 21L > = 17

d Multilicamos, or e=emlo, or 2:

4 > + 3 + 17 = 18L > = −1

e Multilicamos, or e=emlo, or 3:

88<c > = 1, y 2L > 1, y R y > 1, y 1

2 > − 3 =3 > +

1RL

2

> =21

K7< !esuesta sugerida:

Multilicamos, or e=emlo, or 2: 2> F 17

2 (> + 3) F 19 > + 2

2

> + 1

−= 4 L3

−1

> = 27

KK2<

_ Son e@uialentes<

12

a R > − 2 > 2 K + 3 E > 2 = 4

2< a > = 7 L b P >=

L c P > = L3 2 3

d P > =1

L e > = −32

4< dentidades a y b<

29c x = = 13L d x = 12 − 8 = 4<

2

2b 2 > < 21 + 9 E > <2

9< 18< a 3 x + 2 = x − 9

3 x − x = −9 − 2L 2 x = −8L x =

−8

=−4

c − 4 > − > < 12 − 12 E > 9 7

2 7S 7, X




l a 1 e n t a



d 14 > − 8 > − 9 > < −3 + 2 E 7 > <−1

S = F

e 2 > − 1R > + 13 > < 3 − 8 − 3 E 7 >< −8

S = F

−3 > − 2 > − R > 3 1 − 12 + 1 E >2 1

g −R > + 3 > + 2 > 9 21 − 1 E 7 > 927

S = F

0 R > − R > < −K + 1R − 9 E 7 > < 7

177< 'lamamos x a los Gilogramos de asta< Por tanto, los Gilogramosde a(Ccar serán 3 x y los de arro( 9 x <

x + 3 x + 9 x = 1277

17 x = 1 277L x = 1 277 =127

17Se 0an recogido 127 Gilogramos

de asta, 397 de a(Ccar y 27 de arro(<

172< a 18 x + 7,R

b 18 W 3 + 7,R W R23 = 449,2R

Debe agar 449,2R<

174< Mo0ammed bn Musa &lI0;ari(mi nació en la ciudad de 0I;ari(mi actual 0ia, en (beGistán en el aBo 83<


S = F 178< 'lamamos x al tiemo @ue tardar/an los

dos intores en intar la ared<

> >+ = 12 3

⎛⎞ 3R−217 > − 24 > < 1R − R7 E > 9 9 ⋅ ⎜

> > +⎟

= 9 ⋅ 1

234 2 3⎝ ⎠

9 ⋅>

+ 9 ⋅>

= 9 ⋅ 12 3

= −2 > − 3 > + > 2 4 − 17 + 9 E

> 2 7 )ardar/an 1,2 0oras en intar la ared<

3 > + 2 > =

9R > = 9

9> = = 1,

2 R

G

l

K4< a

2K3 > − 8 > 2 27 + K E > 3 −

R

R > − 2 > + 3 > 2 37 + 1 + 1R + 2 E> 2 8

2 > − 3 y 9 R

2 2 − 3 (− 1) = 4 + 3 = 0⋅ 9 R ⇒ 2, − 1 es solución de la inecuación <

117< a 'lamamos x al nCmero de 0oras @ue tarda el bus en alcan(ar al automóil<

El nCmero de 0oras @ue el automóil lleará de ia=e 0asta@ue el bus le alcance es x + 2<

'a distancia @ue 0a recorrido el bus uede e>resarse como127 x y la @ue 0a recorrido el automóil como K7 x + 2<

127 > = K7 > + 2

12B = CB + 1IB

12B − CB = 1IB

3B =

1IB> =

18 7= 9

37b P 4 > + 3 y 9 7

4 2 + 3 ( −1) = I − 3 = 5⋅ ⋅5 T B ( 2, −1) 97 S S7O:;<9 ⇒;9:O:;<9@

K9< $ingCn alor es solución del sistema<

K8< a Primera inecuación:

Se encontrarán desu+s de 9 0oras de la salida del coc0eLes decir, a las 19 0oras<

b 127> = 127 W 9 = 27

Aabrán recorrido 27 Gm<

112< 'lamamos x a la longitud del cateto más e@ueBo< &s/, laecuación @ue tenemos @ue resoler es:

> <−1

⇒ S⎛

−1 ⎞= − G ,

> ⋅ > + 1

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 17

2Segunda inecuación:

> 9 −17 ⇒ S2 = −17,+ G"

b Primera inecuación:

> 3 R ⇒ S = HR, +

G" Segunda

inecuación:

> 9 −1 ⇒ S2 = −1, +G"

!esolemos la ecuación or el m+todo de ensayoIerror y obteInemos x = 4< Por lo tanto, los catetos miden 4 cm y R cm<

119< El er/metro del triángulo es 3 x y el del rectángulo ale: 2 x + 17<'a condición del enunciado es:

3 > < 2 > + 17

G 1B118< Sea x la aortación de Mónica< Entonces, la de ./ctor es: x −4,8<

c Primera inecuación:

> < 3 ⇒ S = − G,3"

Se tiene:> + > − 4 ,8 9 18 ⇒ > 9

22,8= 11, 4

2

Segunda inecuación: > 2 ⇒ S2 = − G, I

i

3

3



d Primera inecuación: 'a aortación de Mónica 0a sido suerior a 11,4<

127< !eresentamos or x el nCmero de asos @ue se deben comIrar <

K + 7 ,R ⋅ > − 12 P 2 7 ,9 >

K + 7 ,R > − 9 2 7 ,9 >

3 & 3 ⎞ 7 ,R > − 7 ,9 > 2 − K + 9> 3 ⇒ S

=(

, +G⎟R R ⎠

− 7 ,1> 2 −3 ⇒ > 33

= 37Segunda inecuación:

> < 1K ⇒ S2 = − G,1K"

7 ,1

Se deben comrar un m/nimo de 37 asos<

A


l a 1 e n t a



122< !eresentamos or x la nota @ue uede 0aber obtenido en latercera rueba<

134< > , aumento de la elocidad en GmU0

$ota media: 9 + + > =

13 + >

necuación: 4

9 + > 9 E >9 2

7 ,R 3 3

Deberá aumentar la elocidad en más de 2 GmU0<Se tiene el siguiente sistema de inecuaciones:

13 + > .

9 9 ,R/

L7$eas (e s!metr7a

3 / ?reas

013 + >

< ,R Módulo Me(!(as e$ ra(os (e )$/%os $ota-%es

3Primera inecuación: Segunda inecuación:

13 + > 9 1K,R 13 + > < 22,RA#t!"!(a( !$!#!a%Primero dibu=amos el rimer ediicio y la calle a escala 1:2 777<

> 9 1K,R − 13L

> 9 9 ,R

> < 22,R −

13

> < K,R

& continuación, buscamos el centro de la calle y traI & A

(amos el e=e de simetr/aL de esta manera, el segundo

eAf &f

'a solución del sistema de inecuaciones es: S = 9,R, K,R< Esdecir , uede 0aber obtenido una nota mayor @ue 9,R y menor @ueK,R<

124< Part imos de @ue los ángulos de un 0e>ágono regular son de127N, ya @ue se uede descomoner en cuatro triángulos y seobtiene: >

ediicio nos @uedará en el otro lado de la calle<

Por Cltimo, dibu=amos el segundo ediicio, sim+trico"

al rimero< DE

E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a

f

"fEf Df

4 ⋅ 187 N UJ = = 127 N

V

De la igura se deduce, or simetr/a, @ue: J

α = K = =97 N <

2

A .eamos cómo tra(ar rectas aralelas con regla y escuadra<_ "olocamos uno de los lados @ue orman el ángulo recto de la esI

cuadra sobre la recta r <

_ &oyamos la regla sobre el otro lado de

la escuadra @ue orma ángulo r ecto<

r r

En el triángulo dentro del 0e>ágono, el tercer ángulo ale tamIbi+n 97N< &l ser los tres ángulos iguales y dos lados iguales, esun triángulo e@uilátero< Por tanto, la relación entre el radio r de lacircunerencia y el lado x del rectángulo es: x = r <Si el er/metro del rectángulo 0a de ser mayor @ue la longitud dela circunerencia, se tiene:

22 > + 2 ⋅ 2 9 2 ! ⋅ > ⇒ 2 > ! − 1P < 2 ⋅ 2 ⇒ > <! − 1

128< 'lamamos x a la altura de la lámina grande antes de recortarla<

_ Desli(amos la escuadra sobre la regla,

suI =etando +sta con uer(a ara imedir

@ue se muea< De este modo,

obtenemos r ecI tas aralelas a r <

A

&

27 > − 14 > − 9 = 14

27 > − 14 > + 84 = 14

27 > − 14 > = 14 − 84

9 > = K7

> =K7

= 1R9

'os untos de la mediatri( e@uidistan de los e>tremos del segmento<

M

4RL K7L

'a altura de la lámina antes de recortarla era 1R cm<37L 137L

27L

137< $Cmero de minerales "a=as

> > + 1R

> − 1 > − 1

4

&s/, se cumle @ue:

M El rimer oliedro es cone>o, ya @ue todos sus ángulos son

cone>os< El segundo oliedro es cóncao, ya @ue tiene ángulos

cóncaos<

M !ectángulo & b W 0

"uadrado & a2

!omboide & b W 0

> > − 1+ 1 =

⇒ > =2R

!ombo & =

D ⋅ d

2

R 4 )riángulo & =

b ⋅ 0

Por lo tanto, Silia tiene 2R minerales y 9 ca=as< 2

132< 3 > − 2 2 12 ./0

− ( 3 − 2 ) F2

1/

Primera inecuación:

)raecio

3 > − 2 2 12 E > 2 14

3 Pol/gono regular

+ b ⋅0

& =2

& = P ⋅ a

Segunda inecuación:

−

3

⎛S = ⎜ −G ,

⎝

17

−3

14 '

3 ⎦⎥⎥

/

9

% %f

- -f

r r 9

K7

7

K7

187

'áminagrande

'áminae@ueBa

ase 27 14

&ltura > > − 9

rea 27 > 14> − 9

K7

187 7

7

K7 K7

187

7

187 187



l a 1 e n t a



7 4

"/rculo

Sectorcir cular

Segmentocir cular

2 r 2 & =

! r⋅ n = l ⋅

r

397 2

! r 2 b ⋅ 0 & = ⋅ n −&

S2

= (−

⎣⎢

6

17 ⎞, + G⎟

3

⎠

k4 l

397 2

"orona circular & ! !2 −

r 2P )raecio cir cular

& ! r 22



M &licamos el teorema de Pitágoras: 29< &esera = 4 ! r 2 4 ! r 2

= 40 = 2R2

+

322

= 41 cm &c/rculo má>imo = ! r 2 ! r 2

M 1< Dos triángulos son seme=antes si tienen dos ángulos iguales<

2< Dos triángulos son seme=antes si tienen los lados r oor cionales<El área de la esera es cuatro eces la de un c/rculo má>imo<

3< Dos triángulos son seme=antes si tienen un ángulo igual y los laIdos @ue lo orman son r oor cionales< 28< a & = 3 a

2

=

3 W 42 = 2: ,1

_ Para los triángulos rectángulos estos criterios se reducen ados:

El área del tetraedro es de 2 ,1 cm2<

Dos triángulos rectángulos son seme=antes si tienen unángulo agudo igual

b & = 2 3 a2

=

2

3 ⋅ R2

= 89,97

Dos triángulos rectángulos son seme=antes si tienen los cateI El área del octaedro es de 89,97 cm2<

tos roorcionales, o un cateto y la 0iotenusa r oorcionaIles<

c & =R

3 a2 =R

3 ⋅ 92 = 311,

M Primero alicamos el teorema de Pitágoras:

El área del icosaedro es de 311, cm2<

d & = 9 a2 = 9 ⋅ 2 = 2K4

b = a 2 − c2 = 8 ,R2 − ,92 = 3,8 cm El área del cubo es de 2K4 cm2<

&licamos el teorema de )ales:

b M = aM

e & = 37 a ⋅ a = 37 ⋅ 1,8 ⋅ 1,24 = 99,K9

El área del dodecaedro es de 99,K9 cm2<

b a37< )etraedr o:

a M =a ⋅ b M

=8, R⋅ R ,

= 12,

cm & = 3 a2

L 247=

3 a2L a2 = L 2 4 7

b

b M=

c M

3,8 3a

2= 138,R9L a = 11,

b c 'as aristas del tetraedro miden 11, cm<

c M =c ⋅ b M

= , 9⋅ R ,

= 11,

4 cm

Octaedro:

b 3, 8 & =2

3 a2 L 247 =2

3 a2 L a2 =L

247


27<

2 3a2 = 9K,28L a = 8,32

'as aristas del octaedro miden 8,32 cm<

32< En rimer lugar, 0allamos la longitud del lado del cuadrado y el

aotema de la irámide<

l2 X l2 1R2L 2l2 22RL l2 112,RL l 17,912

22< D & -

E

a = ⎜

⎝"

⎟ + 12

=2 ⎠

310,14 = 10, I

O" E

P ⋅ a

2

42 , 4 4 ⋅ 1 ,

81

2

- &

& e

D

& W878 = W8 + W/S = 300,C3 + 112,5 = 4CB,43

4K7,43 cm2<

" "

- E E

D D

34@ ) W8 = 2 π · = 2 π · 2 · 0 = I0,CL

- El área lateral del cilindro es de 8,K9 cm2 y el área total, de113,17 cm2<

24<b

g = 32

+ 4 2

= R

W8 = π = π 3 5 = 40,12⋅ ⋅ ⋅

W878 = π ( + ) = π 3 (5 + 3) = 05,4B⋅ ⋅lateral del cono es de 4 ,12 cm2 y el área total, de R,47cm2<

c2

>

& = R 3 a2 = R 3 ⋅ 92 = 311,

& = 2 3 a2 L 247 = 2 3 a

2 L a2 = L

247

f

P

7 e1

e2

e1

7 e2

e3

e

e1

4

c m

c m



r R

g2

3 cm

r=

2L r =

2 ⋅ 3

3

= 1, R

3 4 4

R=

>L > =

R ⋅ 2= 2, R

4 4 2 4

6



l a 1 e n t a



g = R − > = R − 2,R = 2,R

&lateral = ! g ⋅ ! + r = ! ⋅ 2,R ⋅ 3 + 1,R =3R,34

&total = ! g ⋅ ! + r + ! !2 + ! r 2 = ! ⋅ 2,R 3+ 1,R +

a El 0omólogo de es el +rtice ;. 'as nueas coordenaI

das de serán 65 9,< )ra(amos semirrectas aralelas

desI de los otros +rtices 7# ; y 4# y obtenemos 7# ; y

45.

39<

El área lateral del tronco de cono es de 3R,34 cm2 y el

área total, de 7,9K cm2<

sen α = −7 ,8 L cos α = 7 ,9 L

tg α =−7, 8

= −4

Df 9,11 "f 17,11

&f 9,D

f 17,7 ,9 3 "

sen K = 7 ,9 L cos K = 7 ,8 L tg K =7, 9

=3

sen J = 7 , 43L cos J =−7 ,K L

7 ,8 4

&

tg J =7 , 43

−7 ,K

43= −

K7O

sen N = −7 , L cos N = −7 , L tg N =

38< a 187N 129N R4N

sen 129N sen R4N

cos 129N cos R4N

tg 129N tg R4N

b 248N 187N 98N

sen 248N sen 98N

cos 248N cos 98N

tg 248N tg 98N

c 397N 3R7N 17N

sen 3R7N sen17N cos 3R7N cos17N

tg 3R7N tg 17N

d 117N X 187N 7Nsen 117N sen

7Ncos 117N cos 7Ntg 117N tg 7N

=1

−7 , b )ra(amos semirrectas con origen en cada uno de los +rtices

y @ue asen or 7< Determinamos as/ los +rtices 0omólogos<

47< Si reali(amos una simetr/a a>ial al relo= con e=e de simetr/a e#

uedes er @ue son las cuatro y die(<

c )ra(amos semirrectas erendiculares al e=e de ordenadas con

42<

e

D 2, " 9,

tices 0omólogos<

"fI9, Df I2, " D

f I9,3

O

&f I2,3 &

O

62

D "

&

O

f I9,I3

&f I2,I3P

"f I9,I Df I , I


g r a t u i t a

I P r o 0 i b i d a

l a 1 e n t a

guia de docente matematica 9no

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