guia aritmetica natural

Profesor Michael Yez Prez. Ay. Osvaldo Baeza Rojas 1

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA.

DEPARTAMENTO DE FSICA

Gua de Ejercicios: Progresiones Ingeniera Fsica

lgebra

Michael Yez Prez Osvaldo Baeza Rojas Mayo de 2014

Progresiones aritmticas 1. Determinar el dcimo trmino y la suma de la siguiente progresin aritmtica 3,7,11, 2. Determinar el ltimo trmino y la suma de la progresin aritmtica 48, 45, 42, si cuenta con

15 trminos. 3. El primer trmino de una progresin aritmtica es: t1= -2 mientras que el ltimo es u=48, y la

suma S=253. Determinar n y d. 4. Conocidos t5=27, t7=35, determine t1 y S7. 5. Se recibe un prstamo bancario de $12000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos

mensuales de $1000 ms intereses sobre saldos insolutos a razn de 5% mensual. Qu cantidad de intereses se paga en total?

6. Determinar el ltimo trmino y la suma de las progresiones siguientes: a. 11,23,35, 12 trminos b. 5, -3, -11, 10 trminos c. , 5/8, , 7 trminos d. , 1/12, -1/12 20 trminos e. 1.00, 1.05, 1.10, 12 trminos

7. Determinar la suma de: a. Los nmeros de 1 a 100 b. Los nmeros pares de 1 a 100 c. Los nmeros impares de 9 a 100 d. Los nmeros enteros mltiplos de 5, de 10 a 500 e. Los nmeros enteros mltiplos de 3, de 300 a 3000

8. En una progresin aritmtica se tiene: a. t1=8 t5=36 determinar d, t10 y S10 b. t5=60 t10=5 determinar d, t1 y S10 c. t3=8tn=9n=8 determinar d, t1 y S8 d. tn= -5d = -1/4n = 12 determinar t1 y Sn

9. Una empresa recibe un prstamo bancario de $30000 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales ms intereses sobre saldos insolutos de 10% semestral. Qu cantidad total de intereses debe pagar?




10. Calcular el trmino que ocupa el lugar 100 de una progresin aritmtica cuyo primer trmino es igual a 4 y la diferencia es 5.

11. El dcimo trmino de una progresin aritmtica es 45 y la diferencia es 4. Hallar el primer trmino.

12. Sabiendo que el primer trmino de una progresin aritmtica es 4, la diferencia 7 y el trmino ensimo 88, hallar el nmero de trminos.

13. Hallar el primer trmino de una progresin aritmtica y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.

14. El trmino sexto de una progresin aritmtica es 4 y la diferencia 1/2. Hallar el trmino 20. 15. Interpolar cuatro medios aritmticos entre los nmeros 7 y 27. 16. Calcular los lados de un tringulo rectngulo sabiendo que sus medidas, expresadas en

metros, estn en progresin aritmtica de diferencia 3. 17. Hallar tres nmeros que estn en progresin aritmtica y tales que, aumentados en 5, 4 y 7

unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. 18. Calcular la suma de los mltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. 19. El producto de tres trminos consecutivos de una progresin aritmtica es 80 y la diferencia

es 3. Hallar dichos trminos. 20. Cuntos trminos hay que sumar de la progresin aritmtica 2, 8, 14,... para obtener como

resultado 1064? 21. La suma de n nmeros naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. Cuntos

trminos se han sumado? 22. Sabiendo que el quinto trmino de una progresin aritmtica es 18 y la diferencia es 2, hallar

la suma de los nueve primeros trminos de la sucesin. 23. Se consideran 16 trminos consecutivos de una progresin aritmtica. La diferencia de los dos

extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcular los extremos. 24. Una progresin aritmtica limitada de 10 trminos es tal que la suma de los extremos es igual

a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros trminos de la progresin.

25. La suma de tres nmeros en progresin aritmtica es 33 y su producto 1287. Hallar estos nmeros.

26. Tres nmeros en progresin aritmtica tienen por producto 16640; el ms pequeo vale 20. Hallar los otros dos.

27. El producto de cinco nmeros en progresin aritmtica es 12320 y su suma 40. Hallar estos nmeros sabiendo que son enteros.

28. Calcula tres nmeros sabiendo que estn en progresin aritmtica, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades.

29. La suma de los once primeros trminos de una progresin aritmtica es 176 y la diferencia de loa extremos es 30. Hallar los trminos de la progresin.

30. Hallar cuatro nmeros en progresin aritmtica, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.

31. La diferencia de una progresin aritmtica es 4. El producto de los cuatro primeros trminos es 585. Hallar los trminos.

32. Hallar los seis primeros trminos de una progresin aritmtica sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres ltimos 24.




33. En una progresin aritmtica el undcimo trmino excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcular la diferencia y los trminos mencionados.

34. En una progresin aritmtica, los trminos segundo y tercero suman 19, y los trminos quinto y sptimo suman 40. Hallarlos.

35. Hallar los ngulos de un tringulo sabiendo que estn en progresin aritmtica. 36. Sabiendo que las medidas de los tres ngulos de un tringulo estn en progresin aritmtica y

que uno de ellos mide 100, calcula los otros dos. 37. Hallar las dimensiones de un ortoedro sabiendo que estn en progresin aritmtica , que

suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m3. 38. Los seis ngulos de un hexgono estn en progresin aritmtica. La diferencia entre el mayor

y el menor es 60. Calcular el valor de cada ngulo. 39. Las longitudes de los tres lados de un tringulo rectngulo estn en progresin aritmtica y

suman 36 metros. Cunto mide cada lado? 40. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un tringulo para una exhibicin,

de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. Cuntas filas tienen que haber?

41. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar $80000 mensuales durante el primer ao. Si cada ao se aumentar el alquiler en $6000 mensuales. Cunto se pagar mensualmente al cabo de 12 aos?

42. Las edades de cuatro hermanos forman una progresin aritmtica, y su suma es 32 aos. El mayor tiene 6 aos ms que el menor. Hallar las edades de los cuatro hermanos.

43. Un esquiador comienza la pretemporada de esqu haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada da. Cunto tiempo deber entrenar al cabo de 15 das? Cunto tiempo en total habr dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 das?

44. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 8,6m, y la sexta, 13,4m. En qu fila estar una persona si su distancia a la pantalla es de 23m?

45. Karl Frederick Gauss es una de los ms grandes matemticos de la historia. Se cuenta de l que un da, a la edad de nueve aos, cuando lleg a la clase de aritmtica de la escuela primaria, el profesor les pidi a l y a sus compaeros que sumasen todos los nmeros del 1 al 100. Gauss se par a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvi el problema en pocos segundos de la manera siguiente: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 101 = 5050 es decir, descubri el principio en el que se basa la frmula de la suma de los trminos de una progresin aritmtica. Existen dos frmulas para determinar la suma de los primeros n trminos de una progresin aritmtica. Use este razonamiento y la frmula del trmino ensimo de una progresin aritmtica para justificar ambas frmula.




Progresiones geomtricas 1. Generar una progresin de 5 trminos con t1=3 y r=4. 2. Generar una progresin de 5 trminos con t1=80 y r=1/4. 3. Encontrar el dcimo trmino y la suma de los primeros 10 trminos de las siguientes

progresiones: a. 1, 2, 4, 8, b. 1, 3, 9, 27,

4. Una progresin geomtrica tiene como primero y ltimo trminos t1 = 80, tn = 11/4; r = . Determinar n y S.

5. Una progresin geomtrica cuenta entre sus trminos con t3 = 8 y t6 = 512. Determinar t8 y S8 6. La inflacin de un pas se ha incrementado 40% en promedio durante los ltimos 5 aos.

Cul es el precio actual de un bien que tena un precio de $1000 hace 5 aos? 7. La inflacin de un pas latinoamericano se ha incrementado 4% en promedio durante los lti-

mos 5 aos. Cul es el precio actual de un bien que tena un precio de $1000 hace 5 aos? 8. Determinar el ltimo trmino y la suma de las siguientes progresiones:

a. 7, 35, 175, 10 trminos b. 5, -20, 80, 8 trminos c. 2/3, -1/4, 1/12 12 trminos

9. En una progresin geomtrica se tiene: a. t1 = 4 t6 = 972; determinar r, t8 y S8 b. t3 = 20 t7 = 1620; determinar r, t1 y S7 c. t5 = 8 tn = 0.5 n=9 determinar r, t1 y S8 d. tn = -1/8 r = -1/4 n=8 determinar t1 y S8 e. t1 = 1.04 r = 1.04; determinar t12 y S12

10. Un equipo electrnico con valor de $100000 es depreciado cada mes en un 10% de su valor inicial. Cul ser la depreciacin en el 12 mes?

12. Una persona deposita en un banco $5000. El banco le paga un inters mensual de 3% sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes. Si dicho inters se reinvierte mes a mes en la misma cuenta, qu cantidad habr reunido al cabo de un ao?

13. Calcular el trmino undcimo de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es igual a 1 y la razn es 2.

14. El quinto trmino de una progresin geomtrica es 81 y el primero es 1. Hallar los cinco primeros trminos de dicha progresin.

15. En una progresin geomtrica, el primer trmino es 7 y la razn es 2. Si un cierto trmino de esta progresin es 28672. Qu lugar ocupa dicho trmino?

16. Sabiendo que el sptimo trmino de una progresin geomtrica es 1 y la razn 1/2, hallar el primer trmino.

17. Interpolar tres medios geomtricos entre los nmeros 8 y 128. 18. En una progresin geomtrica se sabe que el trmino decimoquinto es igual a 512 y que el

trmino dcimo es igual a 16. Hallar el primer trmino y la razn. 19. Descomponer el nmero 124 en tres sumandos que formen una progresin geomtrica,

siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor.




20. Hallar el producto de los ocho primeros trminos de la progresin 3, 6, 12, 24,... 21. Hallar la suma de los diez primeros trminos de la progresin geomtrica 3, 6, 12, 24,... 22. La suma de los ocho primeros trminos de una progresin geomtrica es 17 veces la suma de

los cuatro primeros. Hallar el valor de la razn. 23. Hallar la suma de los trminos de la progresin ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 24. Hallar tres nmeros en progresin geomtrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. 25. Calcular el producto de los once primeros trminos de una progresin geomtrica sabiendo

que el trmino central vale 2. 26. Tres nmeros en progresin geomtrica suman 525 y su producto vale un milln. Calcular

dichos nmeros. 27. Determinar cuatro nmeros en progresin geomtrica de manera que los dos primeros

sumen 0,5 y los dos ltimos 0,125. 28. Cuntos trminos se han tomado en una progresin geomtrica, sabiendo que el primer

trmino es 7, el ltimo 448 y su suma 889? 29. La suma de los siete primeros trminos de una progresin geomtrica de razn 3 es 7651.

Hallar el primero y el sptimo trminos. 30. Hallar tres nmeros en progresin geomtrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el

mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. 31. Tres nmeros estn en progresin geomtrica; el segundo es 32 unidades mayor que el

primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Hallar los nmeros. 32. Hallar los cuatro primeros trminos de una progresin geomtrica, sabiendo que el segundo

es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. 33. Hallar los ngulos de un cuadriltero, si se sabe que estn en progresin geomtrica y que el

mayor es 27 veces el menor. 34. Dividir el nmero 221 en tres partes enteras que forman una progresin geomtrica tal que el

tercer trmino sobrepasa al primero en 136. 35. La suma de tres nmeros en progresin geomtrica es 248 y la diferencia entre los extremos

192. Hallar dichos nmeros. 36. Hallar cuatro nmeros en progresin geomtrica sabiendo que la suma de los dos primeros es

28 y la suma de los dos ltimos 175. 37. En una progresin geomtrica, los trminos primero y decimoquinto son 6 y 54,

respectivamente. Hallar el trmino sexto. 38. Una progresin geomtrica tiene cinco trminos, la razn es igual a la cuarta parte del primer

trmino y la suma de los dos primeros trminos es 24. Hallar los cinco trminos. 39. Hallar x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estn en progresin geomtrica. 40. A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos

extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos estn en progresin geomtrica, determinar la longitud de cada trozo.

41. Se tiene una cuba de agua que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vaci la mitad del contenido; al da siguiente se volvi a vaciar la mitad de lo que quedaba, y as sucesivamente todos los das. Qu cantidad de vino se sac el da 10 de octubre?

42. Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operacin, y as




sucesivamente. Hallar la suma de las primeras 100 reas as obtenidas. Cul ser la suma infinita?

43. Tres nmeros cuya suma es 36 estn en progresin aritmtica. Hallar dichos nmeros sabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresin geomtrica.

44. Un padre proyecta colocar en un bal $ 1 el da que su hijo cumpla un ao, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaos. Cunto tendr que colocar el da que su hijo cumpla 18 aos? Cunto habr en el bal luego?

45. Una mquina cost $90000. Se calcula que al final de cada ao sufre una depreciacin igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese ao. Cul ser su valor al cabo de 5 aos?

46. El nmero de bacterias de un cultivo est aumentando un 25 % cada hora. Si al principio haba 300000 Cuntas bacterias habr al cabo de 5 horas?

47. El valor de un auto se deprecia 18 % cada ao. Su precio original fue $ 19000. Cunto valdr al cabo de 9 aos?

48. Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa poblacin es 8 % anual. Cuntos habitantes tendr dentro de tres aos?

49. El valor de una mercadera se deprecia 4 % cada ao. Su precio original fue de $ 19000. Cunto valdr al cabo de 4 aos?

50. La poblacin de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 aos. Si su poblacin en 1940 era 51. de 40000 habitantes, cul ser su poblacin en el ao 2000?, y en 2011? 52. Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez present su invento a un prncipe de la India.

El prncipe qued tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: "Pdeme lo que quieras, que te lo dar". El inventor del ajedrez formul su peticin del modo siguiente: "Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, diecisis por la quinta, y as sucesivamente hasta la casilla 64". La sorpresa fue cuando el secretario del prncipe calcul la cantidad de trigo que representaba la peticin del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que peda el inventor. a. Determina el total de granos de trigo. b. Utiliza una calculador para determinar la suma 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263 y compara con

el resultado anterior c. Si cada grano de trigo pesa un gramo, determinar el peso en toneladas del conjunto de

granos del ltimo cuadro. Y el de los granos de todos los cuadros. d. Un barco carguero puede llevar 200000 toneladas. Cuntos barcos de este tipo se

necesitan para transportar toda la carga de granos? e. De qu orden de magnitud es el peso de la cantidad total de granos? (millones, billones,

trillones, etc)




Gua de Ejercicios: Induccin Matemtica Ingeniera Fsica

lgebra Michael Yez Prez Osvaldo Baeza Rojas Mayo de 2014

46. Demuestre que el producto de 3 nmeros consecutivos es siempre divisible por 6.

47. Pruebe que 52 nn es mltiplo entero de 6, INn , es decir: Zkknn ,652

48. Usando el principio de induccin demuestre que a

aaaa

nn

1

1...1

12 ,

donde 1 ayIRa

49. Pruebe por induccin sobre n que 23332

1...321

nnn , INn

50. Pruebe por induccin sobre n que

6

121...941 2

nnnn , INn

51. Verifique usando induccin sobre k si la proposicin F(k) es verdadera, INk

Con F(k): 2

1

21

1

1

1...

21

1

k

k

kkkk

52. Considere que una funcin f tiene la propiedad )()()( yfxfxyf . Demostrar por

Induccin que )()( afnaf n , INn

53. Demostrar usando induccin que 2392 212 nnn , es divisible por 54, INn

54. Verifique usando induccin, si la proposicin F(n) es verdadera para todo n impar.

F(n): 24 divide a 52 nn

55. Verifique usando induccin, si la proposicin F(n) es verdadera para todo n natural.

F(n): 142112...31 2233 nnnn

56. Probar que INn

6

7212....534231

nnnnn




Gua de Ejercicios: Teorema del Binomio Ingeniera Fsica

lgebra

Michael Yez Prez Osvaldo Baeza Rojas Mayo de 2014

57. Utilizando la definicin del teorema del binomio ( ) ( ) determina los

desarrollos de los siguientes binomios: 57.1. ( ) 57.2. ( ) 57.3. ( ) 57.4. ( ) 57.5. ( ) 57.6. ( ) 57.7. ( ) 57.8. ( ) 57.9. ( ) 57.10. ( ) 57.11. ( )

use (( ) )

57.12. ( )

57.13. (

)

57.14. (

)

57.15. (

)

57.16. (

)

57.17. (

)

57.18. ( ) 57.19. ( ) 57.20. ( )( ) 57.21. ( ) ( ) 57.22. ( )( )

57.23. (

) (

)

57.24. (( ) ) 57.25. ( )( )

58. Determinar el sptimo trmino en el desarrollo binomial de ( ) .

59. Determinar el noveno trmino en el desarrollo binomial de (

)

.

60. Determinar el dcimo cuarto trmino, el tercer trmino y el coeficiente de (si existe) en el

desarrollo binomial de (

)

.

61. Determinar los trminos , , , y en ( ) .

62. Determinar el producto de los trminos y en el desarrollo de ( ) .

63. Determinar, si es posible, el valor de en ( ) para que los coeficientes de los trminos y sean iguales.

64. Determinar el trmino que contiene a en el desarrollo de (

)

.




65. Determinar el trmino que contiene a

en el desarrollo de (

)

.

66. Determinar el trmino que contiene a en el desarrollo de (

)

.

67. Si uno de los trminos en el desarrollo binomial de (

)

es de la forma ,

determinar el valor de .

68. Determinar el trmino independiente de x (si existe) en el desarrollo binomial de (

)

.

69. Determinar el valor de a en el desarrollo binomial (

)

, de tal forma que el trmino

independiente de sea igual al coeficiente de .

70. En el desarrollo binomial de (

)

el coeficiente del tercer trmino es mayor que el

coeficiente del cuarto trmino en 44 unidades. Determinar, si existe, el trmino independiente de 71. El trmino central del desarrollo de un binomio ( ) , se obtiene usando el trmino ,

reemplazando el valor de dependiendo de si es par impar. Si es par,

. Si es

impar, entonces se tienen dos trminos centrales:

y

. Determinar el trmino

central en el desarrollo de ( ) (mostrar casos para par y para impar). 72. Muestre que el coeficiente del trmino central en el desarrollo de ( ) es igual a la suma

de los coeficientes de los dos trminos centrales del desarrollo de ( ) .

73. A partir de los desarrollo de (

)

y de (

)

, determinar el conjunto

{ } 74. Si en el desarrollo de ( ) los coeficientes de posicin ( ) y ( ) son iguales,

determinar, si es posible, el valor de . 75. Determinar los trminos , , , , y el trmino central en (

) . 76. Determinar el coeficiente de en le desarrollo de ( )( ) .

77. En el desarrollo de (

)

, el trmino que contiene a tiene como coeficiente numrico

a

. Determinar el valor de .

78. Calcular los trminos centrales de (

)

.

79. Demuestre algebraicamente que ( )

80. Demuestre por induccin sobre que ( )

81. Desafo 1: Si se define ( ) ( ) ( ), determine los desarrollos de:

81.1. ( )

81.2.

( )

81.3. ( )

81.4.

( )

81.5. (

)

81.6. (

)

81.7. ( )

82. Desafo 2: Sean y dos nmeros reales positivos tales que . Demostrar que para

(

) ( )

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