Instituto Profesional Virginio GómezSede Los Ángeles.

GUIA DE EJERCICIOS Nº5

Asignatura : Complemento de Cálculo.

TEMA: INTEGRACIÓN EN VARIAS VARIABLES. APLICACIONES.

Problema Nº1.- Resolver y evaluar las siguientes integrales dobles:

a) (3y-2x2)dxdy R. 24b) [4-(1/9)x2y-(1/48)y3]dydx R. 21,5c) dydx R. 8/3d) xy3dydx R. 42e) (x/y)dydx R. 2/3f) y/x dxdy R. -9,8g) x2ydxdy R. 7/6h) (2xy)/(x2+1) dxdy R. ln(16)i) x2ydydx R. 0j) (x+y)/(xy) dydx R. ln(3)k) (2x+3y)dydx R. -4l) e-x-y dydx R. 0,55m) x 1-y dxdy R. 4/3n) xe2y dydx R. 0,25(e2-e-2)o) ln(xy) dydx R. 3,44

Problema Nº2.- Determine el volumen del sólido acotado por encima de la gráfica de la función f(x,y) y por debajo por la región rectangular R dada:

a) f(x,y)= 6-2x-2y; R tiene vértices (0,0), (1,0), (0,2), (1,2) R. 6 u3

b) f(x,y)= 1/(xy); R: ≤1≤x≤2; 1≤y≤3 R. R.ln(2)ln(3) u3

c) f(x,y)= xe-y; R: 0≤x≤1; 0≤y≤2 R.(e2-1)/(2e2) u3

Problema Nº3.- En cierta fábrica, la producción está dada por la función producción de Cobb-Douglas: Q(K,L)=50K3/5L2/5, donde K es la inversión de capital en unidades de US$1.000 y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión mensual de capital vería entre US$10.000 y US$12.000 dólares, mientras que el uso mensual de mano de obra varía entre 2.800 y 3.200 horas-trabajador. Halle la producción media mensual da la fábrica. R 5.181,23 (u)

Problema Nº4.- En cierta fábrica, la producción Q se relaciona con los insumos x e y, mediante la expresión Q(x,y)= 2x3+3x2y+y3. Si 0≤x≤5 e 0≤y≤7, ¿Cuál es la producción media de la fábrica?. R.235,75(u)

Problema Nº5.- Un fabricante estima que cuando se venden x unidades de cierto artículo en el mercado nacional e y unidades en los mercados extranjeros, la utilidad está dada por:P(x,y)= (x-30)(70+5x-4y) + (y-80)(80-6x+7y) cientos de dólares. Si las ventas nacionales mensuales varían entre 100 y 125 unidades, y las ventas en el exterior entre 70 y 89, ¿cual es la utilidad mensual media?. R.$2.489,65

Problema Nº6.- (Aplicaciones en Estadística: Funciones de Probabilidad Conjunta). Los detectores de humo fabricados por cierta empresa contienen dos circuitos independientes: uno fabricado en la planta de la empresa en California y el otro en la planta de Ohio. Los estudios de confiabilidad indican que si X mide la duración (en años) de un circuito de la planta de California seleccionado aleatoriamente y Y la duración (en años) de un circuito de la planta de Ohio seleccionado aleatoriamente, entonces la función de densidad de probabilidad conjunta para X e Y es:f(x,y)= e-xe-y si x≥0, y≥0

0 para los demás Como el detector de humo funcionará mientras funcione cualquiera de sus circuitos,

halle la probabilidad de que un detector de humo seleccionado aleatoriamente falle dentro de un año. R.40%

Problema Nº7.- Suponga que las variables aleatorias X e Y miden la permanencia (en días) de un paciente en el hospital después de someterse a una cirugía abdominal y ortopédica, respectivamente. El lunes, el paciente de la cama 107A es sometido a una apendicectomía de emergencia mientras que su compañero de cuarto, ubicado en la cama 107B, se somete a una cirugía (ortopédica) para restaurarle en cartílago de la rodilla. Si la función de densidad de probabilidad conjunta para X e Y es:f(x,y)= (1/12)e-x/4e-y/3 si x≥0, y≥0

0 para las otras ¿Cuál es la probabilidad de que ambos pacientes sean dados de alta dentro de los 3 primeros días?. R.33%

Problema Nº8.- Para la función producción dada por Q=xayb, donde a>0 y b>0, demuestre que:

x dQ + y dQ = (a+b)Qdx dy

OBS: MAS EJERCICIOS EN LA BIBLIOGRAFIA CITADA PARA EL CURSO.-