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CÁLCULO II (0252) Tema 3. Integrales impropias – Abril 2015

1. Verifique las siguientes afirmaciones:

1.1. 1

0

dx2

x=∫

1.3. 3

20

dx

(x 1)−∫ (diverge)

1.5. 1

dx

x

∞

∫ (diverge)

1.7. 2

dx

1 x

∞

−∞

= π+∫

1.9. 1 2

0

dx

x ln(x)∫ (diverge)

1.11. 2

0

ctg(x)dx

π

∫ (diverge)

1.13. 2

20

arctg(x)dx

8x 1

∞π=

+∫

1.15. 3

0

dx 2

x 1 3 3

∞π=

+∫

1.17. x

0

1e sen(x)dx

2

∞− =∫

1.19. 2x

1

1xe dx

2e

∞− =∫

1.21. 4

22

x 2dx

x 5x 4

−− +∫ (diverge)

1.23. 2x

0

1xe dx

4

∞− =∫

1.2. 2

1

dx

x−∫ (diverge)

1.4. 0

sen(x)dx

∞

∫ (diverge)

1.6. 2

1

dx1

x

∞

=∫

1.8. 2

dx

x 4x 9 5

∞

−∞

π=+ +∫

1.10. 1 2

20

dx 1

ln(2)x(ln(x))=∫

1.12. kx

0

1e dx (k 0)

k

∞− = >∫

1.14. 2 2

2

dx 1 1ln(3)

3 4(x 1)

∞

= +−∫

1.16. 1

3 20

dx

x 5x−∫ (diverge)

1.18. 2

dx

x 2x 2

∞

−∞

= π+ +∫

1.20. 1

x x0

dx

e e−−∫ (diverge)

1.22. 2 2

1

x 1(x 1) dx

x 1 x

∞ − − + ∫ (diverge)

1.24. 1

20

dx

21 x

π=−∫

2. Encuentre a 0> tal que a

2 20 a

dx dx2

1 x 1 x

∞

=+ +∫ ∫ .

3. Determine si la integral 2

0

dx

x 1−∫

converge o diverge, en caso de ser convergente, calcúlela.

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4. Determine el valor de n para el cual la integral impropia

2

31

nx 1dx

3x 1x 1

∞

− ++ ∫

es convergente, y evalúe la integral para este valor de n.

Rta. 13

n = y la integral converge a 321 1 1

3 3 3 4ln( ) ln( )− .

5. Halle a y b tal que

2

1

2x bx a1 dx 1

x(2x a)

+∞ + + − = + ∫ .

6. Para un cierto valor real C, la integral dada por

22

Cx 1dx

2x 1x 1

+∞ − ++ ∫

converge. Determine el valor de C y calcúlela. Rta. 12

C =

7. Determine k para que la integral

1

k

0

x ln(x)dx∫

sea convergente. Rta. k 1> −

8. Si f(t) es continua para t 0≥ , la transformada de Laplace es la función F definida por

st

0

F(s) f(t)e dt

∞−= ∫ .

Halle la transformada de Laplace de

0 0 t aU(t a)

1 t a

≤ <− = ≥

.

(función escalón unitario)

Rta. ase

F(s) , s 0s

−= >

9. La definición por integral de la función gamma, viene dada por

x 1 t

0

(x) t e dt

∞− −Γ = ∫ .

Pruebe que:

a. La integral converge para x 0>

b. (x 1) x (x)Γ + = Γ

c. (n 1) n!Γ + =

10. Estudie la convergencia de

x

1

11 dx

x

+∞ + ∫ .

Diverge