Escuela de Administracin

Instituto Profesional Virginio Gmez

Sede Los ngeles.

GUIA DE EJERCICIOS N2Asignatura: Complemento de Clculo.

TEMA: DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES SIN RESTRICCIONES. APLICACIONES. Problema N1.- Dada las siguientes funciones:f(x,y)= xy(x2-3y)

g(x,y)= x+y-5 (x+y)2

25-x2-y2a) Determine el dominio de f y g.

b) Determinar las derivadas parciales de primer orden de f y g.

Problema N2.- Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones. Evale cada derivada parcial en el punto (0,1):a) f(x,y)=x2+2xy2+2y 3x

b) z=(x2+xy+y)5c) f(x,y)=xe-2xyd) f(x,y)=2x+3y y-x

e) f(x,y)=ln(x+2y) y2e) f(x,y)= xln(xy)

f) f(x,y)=xex+2yg) f(x,y)=5x2y+2xy3+3y2h) f(x,y)=(x+xy+y)3Problema N3.- Determine las segundas derivadas parciales de:a) f(x,y)= 5x4y3+2xy

b) f(x,y)= x+1 y-1

c) f(x,y)= exyd) f(x,y)= ln(x2+y2)

e) f(x,y)= x2yexProblema N4.- Determine los extremos relativos de las siguientes funciones:a) f(x,y)= x3+y2-6x2+y-1

R. 133/4 mnimo

b) f(x,y)= x3+y3+3y2-3x-9y+2

R. 5 mn y 31 mx

c) f(x,y)= 2x4+y2-x2-2y

R. 9/8 mnimo

d) f(x,y)= 6x-4y-x2-2y2

R. 11 mximo

e) f(x,y)= 4xy2-2x2y-x

R. 0 Pto. Silla

f) f(x,y)= y2-x2+2x-4y+3

R. 0 Pto. Silla

g) f(x,y)= x2+y2-4x-2y+7

R. 2 mnimo

Problema N5.- Se estima que la produccin semanal de cierta Planta est dada por la funcin Q(x,y)=1200x+500y+x2y-x3-y2 unidades, donde x unidades es el nmero de trabajadores calificados e y el de trabajadores No calificados que se emplean en la Planta. Actualmente, la fuerza laboral est formada por 30 trabajadores calificados y 60 No calificados. Utilice anlisis marginal para estimar el cambio en la produccin semanal que resultar de la adicin de un trabajador calificado ms, si el nmero de trabajadores No calificados No cambia.

Problema N6.- Un fabricante estima que la produccin mensual de cierta fbrica est dada por la funcin de Cobb.-Douglas Q(K,L)=50K0,4L0,6, donde K es el capital en unidades de $1000 y L es la fuerza laboral medida en horas trabajador:

a) Encuentre la productividad marginal del capital, QK, y la productividad marginal del trabajo, QL, cuando el capital es de $750.000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas-trabajador.

b) El fabricante debe considerar invertir en capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la produccin?.

Problema N7.- (Bienes sustitutos y complementarios). Suponga que la funcin demanda de harina en cierta comunidad est dada por: D1(p1,p2)=500+10-5p2

p1+2

mientras que la demanda correspondiente de pan est dada por: D2(p1,p2)=400-2p1+7 p2+3

donde p1 es el precio en dlares de una libra de harina y p2 es el precio de una barra de pan. Determine si la harina y el pan son artculos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos.

Problema N8.- (Derivadas de Orden Superior). Suponga que la produccin Q de una fbrica depende de la cantidad K de capital invertido en la planta y en equipos y, tambin, depende del tamao L de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. D una interpretacin econmica del signo de la derivada parcial de segundo orden d2Q/dL2.Problema N9.- El nico almacn de comestibles de una pequea comunidad rural vende dos marcas de jugo de naranja helado: una marca local, que obtiene a un costo de 30 centavos por lata, y una marca nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de 40 centavos por lata. El dueo calcula que si la marca local se vende a x centavos por lata y la marca nacional se vende a y centavos por lata, cada da vender aproximadamente 70-5x+4y latas de la marca local y 80+6x-7y latas de la marca nacional. Qu precio debera fijar el dueo a cada marca para maximizar las utilidades obtenidas de venta del jugo?.

Problema N10.- Un planificador de Acme Corporation traza una cuadrcula en un mapa y determina que los clientes ms importantes de Acme se encuentran en A(1,5), B(0,0) y C(8,0), donde las unidades estn en millas. En qu punto W(x,y) debera estar ubicada la bodega para minimizar la suma de las distancias de W a A, B y C?.Problema N11.- Un fabricante produce cajas rectangulares y las vende a una empresa determinada para el almacenamiento de sus productos. Determine las dimensiones relativas de una caja rectangular sin tapa, que tiene un volumen especifico, si se desea emplear la mnima cantidad de material (reduccin de costos) en su elaboracin.

R. base cuadrada; profundidad=(1/2) de la longitud de uno de los lados de la base.

Problema N12.- En una fbrica, los trabajadores se han clasificado en 2 maneras: A y B. Los trabajadores tipo A ganan $Z por jornada, mientras que los del tipo B ganan $W. Para alcanzar cierta produccin en una jornada, se ha determinado aumentar los salarios de los trabajadores, s se emplean X trabajadores del tipo A e Y del tipo B, entonces el nmero de dlares del costo de la jornada es: y3+x2-8xy+600. Cuntos trabajadores de cada tipo deben emplearse a fin de que el costo de la jornada sea mnimo s se requieren por lo menos 3 trabajadores de cada tipo por una jornada?. R. 46 trab. tipo A y 11 trab. tipo B

OBS: MAS EJERCICIOS EN LA BIBLIOGRAFIA CITADA PARA EL CURSO.-