guía 2

Matemática

C. E.” Daniel Alcides Carrión “

Lic. William R. LUQUILLAS PIO Dan

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“OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES” ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACION Y DIVISION

� ADICIÓN en ℝ

Operación binaria que, dados 2 números reales a

y b llamados sumandos hace corresponder un

tercer entero S llamado suma.

a + b = S

Ejemplo:

• Efectuar con aproximación al milésimo:

S = π + 27

177 ++++

Solución:

π (pi) es un número especial o una constante

universal, cuyo valor es: 3,14159...

π es un número irracional porque no hay forma

de representarla como fracción.

Luego: S = π + 27

177 ++++

S = 3, 14159... + 2,645751... + 0,629629...

Aproximando a milésimos cada sumando:

S = 3,141 + 2,646 + 0,630

Efectuando la suma:

S = 6,417

Respuesta: La suma pedida con aproximación

a milésimos es 6,417.

� PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE

NÚMEROS REALES

1. Propiedad de Clausura:

“La suma de dos o más números reales es otro

número real”

Si a ∈ R y b ∈ R entonces (a + b) ∈ R

Ejemplo:

-7, 8 ∈ R , 5/2 ∈ R

entonces -7,8 + 5/2 = -5,3 ∈ R

2. Propiedad Conmutativa:

“El orden de los sumandos no altera la suma”

a + b = b + a

Ejemplo:

3 3 + 6 3 = 6 3 + 3 3

3. Propiedad Asociativa:

“La forma como agrupemos los sumandos no

altera la suma”

a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplo:

(((( )))) 2,0576

2,0576 ++++

++++====++++++++

4. Propiedad Elemento Neutro:

Es el cero. “Si sumamos un número real con

CERO, la suma resultante es el mismo número”

a + 0 = a

Ejemplo:

8 + 0 = 8

3 + 0 = 3

5. Propiedad Inverso Aditivo:

“Si sumamos un número real con su opuesto,

obtenemos como resultado CERO”

a + (-a) = 0

Ejemplo:

+ 3 + (- 3 ) = 0

� SUSTRACCIÓN en ℝ

La sustracción de dos números reales es un caso

particular de la adición de los mismos.

Es decir: Efectuar la sustracción de dos números

reales M y S significa sumar M con el opuesto de

S.

M – S = D es equivalente a M + (-S) = D

Donde: M : es minuendo

S : es sustraendo

D : diferencia

sumandos Suma

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Ejemplo:

De 7/9 restar 11 con aproximación a milésimos.

Solución:

9

7= 0,7777..... ≅ 0,778

11 = 3,316624... ≅ 3,317

Luego:

9

7- 11

Es:

0,778 - 3,317 = -2,539

Respuesta: El resultado de efectuar la

sustracción pedida con aproximación al milésimo es

–2,539.

I. Indicar a que propiedad pertenece cada uno de

los siguientes casos:

Ejercicio Propiedad

6,3 + 2 = 2 + 6,3

-7,5 + 3/2 = -6

6 + 22

362

2

3++++

++++====

++++

7 + 0 = 7

+3,3 + (- 3,3) = 0

+ 4 + (-4) = 0

33 + 0 = 33

II. Efectuar las siguientes operaciones de Adición y

Sustracción de R con aproximación a centésimo:

1) 25 ++++ =

2) 3

2+ π + 2 =

3) 3 + 9

1

2

1++++ =

4) 532 ++++++++ + π =

5) 2

1711

4

5++++++++++++ =

6) De 1/2 restar 0,3542

7) De 3 restar 3/8

8) Restar 0,3245 de 2

9) De 7 restar la suma de 2 - 1 con 2

10) de ( 7 + 1) restar (π + 1)

� MULTIPLICACIÓN en ℝ

Operación aritmética directa que consiste en

repetir una cantidad denominada multiplicando

tantas veces como la indique otra, llamada

multiplicador.

a + n = p

Ejemplo:

Efectuar 7,15

++++ 35

7 con aproximación a

centésimos.

Solución:

7,15 ≅ 7,15

7/5 ≅ 1.40

3 ≅ 1,73

Luego:

= 7,15 (1,40 + 1,73)

= 7,15 (3,13)

= 22,38

Respuesta: El resultado de la operación dada es

22,38 aproximada a centésimo.

♦ PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES:

1. Propiedad de Clausura: “Si multiplicamos dos números reales, el

resultado o producto es otro número real”

Si a ∈ R y b ∈ R entonces (a ; b) ∈ R.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

multiplicando

multiplicador

producto

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Ejemplo:

(8,3) (6,2) = 51,46

2. Propiedad Conmutativa: “El orden de los factores reales no altera el producto”

a x b = b x a

Ejemplo:

(8,5) (3,2) = (3,2) (8,5)

2

1x ( 3 ) = ( 3 ) x

2

1

3. Propiedad Asociativa: “La forma como se agrupan los factores reales no

altera el producto”

(a . b) . c = a . (b . c)

Ejemplo:

( 5 . 2 ) . 3 = ( 5 ) . ( 2 . 3 )

4. Elemento Neutro: “Es el uno (1). Al multiplicar cualquier número real por

UNO (1) obtenemos el mismo número real”

a . 1 = a

Ejemplo:

(8) (1) = 8

( 3 ) (1) = 3

5. Elemento Absorbente: “Cualquier número multiplicado por CERO (0) da como

producto CERO (O)”.

a . 0 = 0

Ejemplo: (12,85) (0) = 0

(3,9) (0) = 0

6. Propiedad Distributiva: “Al multiplicar un número real con la suma de otros, el

resultado es igual a la suma de los productos de dicho

número con cada sumando”

a (b + c) = (ab + ac)

Ejemplo:

3

++++ 35

3 = 3 .

5

3 + 3 . 3

7. Propiedad de Inverso Multiplicativo: “Al multiplicar un número real distinto de cero por su

inverso, el producto resultante es UNO (1)”

a . 1/a = 1

Ejemplo:

12 .

12

1 = 1

4/5

1.

4

5 = 1

� DIVISIÓN en ℝ

Dividir dos números reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo por el inverso del

divisor no nulo; es decir:

a : b = q equivale a a x b1 = q

para todo b ≠ 0

La división de dos números reales a y b, tienen por

objeto hallar un tercer número llamado cociente

(q), de modo que a = bq

Ejemplo: -8 : 2 = - 4 ⇒ -8 = (2) (-4)

♦ OBSERVACIÓN

1. La división de números reales no es

conmutativa. Es decir:

(a : b) ≠ (b : a)

2. La división de números reales no es

asociativa. Es decir:

(a : b) : c ≠ (a) : (b : c)

3. La división de números reales es

distributiva en cuanto al divisor respecto

a una suma en el dividendo. Es decir:

(a + b) : c a : c + b : c

I. Indicar el nombre de la propiedad al cual corresponde cada uno de los siguientes ejercicios.

Ejercicio Propiedad

(-5) . (3) = 15

(1/3 x 3 ) = ( 3 x 1/3)

(3,3) 1 = 3,3

( 9 ) 0 = 9

8 . 1/8 = 1

6 . 1 = 6

6 . 0 = 0

5 . 3 = 3 . 5

4 . 9 = 6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

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II. Dar un ejemplo para cada propiedad indicada:

Ejercicio Propiedad

Clausura

Asociativa

Elemento

Neutro

Conmutativa

Elemento

Absorbente

Inverso

Multiplicativo

Distributiva

III. Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicación y División en R con aproximación a décimos. 1) (7,12) ( 3 ) =

2) (3,12) ( 2 ) (1,11) =

3) 3,768 (1/2 + 2 ) =

4) (3,75 + 2,148) (5,13 + 2 ) =

5) (1, 108 + 1,73) (5,17) =

6) ( 2 + 1) ( 3 - 1) =

7) (π + 2) ( 2 - 1)

8) (2 2 ) (π + 3,8)

9) (3,865) (2,56 + π)

10) (7,032) (π + 2 )

I. Indicar el nombre de la propiedad al cual pertenece cada uno de las siguientes caso:

Ejercicio Propiedad

(8 + 0,5) = (0,5 + 8)

( 3 + 1/2) = (1/2 + 3 )

( 8 + 0) = ( 8 )

( 3 ) + (- 3 ) = 0

(5,5) + 0 = 5,5

3,6 + 2,4 = 6

5,5 + 2,5 = 8

(9,3 + 8) + 5 = 9,3 + (8 + 5)

II. Efectuar los siguientes operaciones de ADICIÓN

y SUSTRACCIÓN en R con aproximación al

milésimo.

1) De la suma de 3 + 1 con 5 restar 2

2) De 7 restar la suma de (π + 3) con 2

3) Restar 2π de la suma 7 con 3 + 1

4) Restar ( 5 - 1) de ( 5 + 1)

5) De 13/14 restar 13

6) 9

1

2

1++++ + 5 - 3

7) 532 −−−−++++ + π

8) 5 + 0,92573 + 1/11

9) π + 532 ++++−−−−

10) 1/7 + 0,2568 + 35 −−−−

III. Efectuar los siguientes operaciones con aproximación a décimos.

1) 8 3 : 4/5

2) 76 5 : 38/5

3) 23/7 : 32/17

4) 2 7 : 6 2

5) 53

28 :

5

14

IV. Efectuar las siguientes operaciones.

1) (-2) x (-3) x (-5)

2) (-3) . (1/3) : (-5) (5-1)

3) (-2) . (1/2) : (-4) . (4-1)

4) (5) (-2) (-3) (21/2)

5) (-2) (-3) (-7) (-9) (54-1)

Tarea Domiciliaria

guía 2

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