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GUÍA DE APRENDIZAJE No. 1
FUNCIÓN MATEMÁTICA
Curso de Matemática y Geometría
Por: Diana Flórez, Héctor Sarmiento, Hollman Castro
2012
RESUMEN
La matemática no es una mera
especulación intelectual, sino que
estudia problemas concretos cuyos
resultados representan un significativo
aporte al acervo cultural y tecnológico
de la humanidad y revelan el papel cada
vez más importante que juega esta
ciencia en el mundo actual.
La capacidad de la matemática para
modelar la realidad de manera
simbólica la convierten en una
herramienta indispensable para la
comprensión de los objetos y procesos
de estudio. Por más que se crea que
“...en matemáticas nunca se sabe de qué
se habla...”, la matemática es cada vez
más fuerte y vivaz porque es una
manera de hablar del mundo y es un
ladrillo fundamental en la tecnología
moderna.
Palabras Clave
Matemáticas, cultura, mundo,
tecnología
ABSTRACT
Mathematics is not a mere intellectual
speculation, but studies problems whose
results represent a significant
contribution to cultural and
technological heritage of humanity and
reveal the increasingly
important role played by this science in
the world.
The ability of mathematics to
model reality symbolically make it anin
dispensable tool for understanding the
objects and processes of study. As much
as it is believed that "... in
mathematics never know what one is
talking ...", mathematics
is increasingly strong and
vibrant because it is a way to talk about
the world and is a fundamental building
block in modern technology .
Keywords
Mathematics, culture, world, technology
I. COMPETENCIA A ABORDAR
Capacidad para reconocer y explicar a la
matemática y a la geometría como
disciplinas del conocimiento posibles de
ser comprendidas, organizadas y
aplicadas bajo la perspectiva teórica de la
solución de problemas.
II. FUNDAMENTACIÓN
TEÓRICA
TIPOS DE FUNCIONES
Las funciones se pueden clasificar como
inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
INYECTIVAS: se dice que una
función es inyectiva cuando en
cada elemento el rango se asocia
con uno y sólo uno del dominio.
Por ejemplo:
A = B = {1, 2 ,2} ; f = {(1,2), (2,1),
(3,3)}
Obsérvese que cada elemento de B recibe
una flecha.
Un ejemplo más: f: X con f: {(x,y)
l y = x -1}
La gráfica de y= x -1 nos hace ver que
cada valor de y se asocia con uno y sólo
un valor de x.
SUPRAYECTIVAS: cuando en
u
n
a
f
u
n
c
ión se tenga que el rango y el
condominio son iguales, se dice
que la función es suprayectiva.
Debe de tenerse: rng f = cod f
Por ejemplo:
f : A B ; A = {1,2,3} ; B =
{2,4} ; f = {(1,2),(2,2),(3,4)}
la función f si es suprayectiva ya
que rng f = cod f ={2,4}
BIYECTIVAS
Para que una función sea biyectiva
se requiere que sea a la vez
inyectiva y subprayectiva.
A las funciones biyectivas se les
conoce también como
CORRESPONDIENCIAS
BIUNIVOCAS.
CLASES DE FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función cuyo
dominio son todos los números reales, y
cuya expresión analítica es un polinomio
de primer grado. La representación
gráfica de una función lineal es una recta.
FUNCIÓN CUADRATICA
Una función cuadrática es aquella que
puede escribirse como una ecuación de la
forma: f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son
números reales cualesquiera y a es
distinto de cero (puede ser mayor o
menor que cero, pero no igual que cero).
El valor de b y de c sí puede ser cero.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial con base b es
una función de la forma f(x) = bx ,
donde b y x son números reales tal que b
> 0 y b es diferente de uno.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es aquella que
genéricamente se expresa como f (x) ==
logax, siendo a la base de esta función,
que ha de ser positiva y distinta de 1.La
función logarítmica es la inversa de
la función exponencial , dado que:loga x
= b Û ab = x.
FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO
La función de valor absoluto tiene por
ecuación f(x) = |x|, y siempre representa
distancias; por lo tanto, siempre será
positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva
o nula, su gráfica no se encontrará jamás
debajo del eje x. Su gráfica va a estar
siempre por encima de dicho eje o, a lo
sumo, tocándolo.
FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Una función trigonométrica, también
llamada circular, es aquella que se define
por la aplicación de una razón
trigonométrica a los distintos valores de
la variable independiente, que ha de estar
expresada en radianes. Existen seis
clases de funciones trigonométricas: seno
y su inversa, la cosecante; coseno y su
inversa, la secante; y tangente y su
inversa, la cotangente. Para cada una de
ellas pueden también definirse funciones
circulares inversas: arco seno, arco
coseno, etcétera.
COMPETENCIA
ARGUMENTATIVA
Ejemplos:
FUNCIÓN LINEAL:
y=2x+1
x -2 -1 0 1 2
y -3 -1 1 3 5
FUNCIÓN CUADRÁTICA
y= +2x
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
FUNCIÓN EXPONENCIAL
y=
FUNCIÓN LOGARITMICA
y=
FUNCIÓN DE VALOR
ABSOLUTO
y= -4|
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 5 0 3 4 3 0 5
X
1
2
Y -0.60 -0.30 0 0.17 0.30 0.39
x -2 -1 0 1 2
y 0.25 0.5 1 2 4
FUNCIÓN TRIGONOMETRICA
y= Sen x
III COMPETENCIA PROPOSITIVA
EJEMPLO 1
Las funciones si bien son utilizadas para
distintos tipos de cosas, el énfasis al
movimiento de los componentes del
mundo en el videojuego, ya que
necesitamos un movimiento curvo de
los componentes, y que éstos no sean
tan lineales, como en los shooters de
naves.
Uso de función logarítmica
Por ejemplo, podemos ver en el super
contra 3 un movimiento logarítmico:
Uso de función raíz
x 0
2
y 0 0.7
0
1 0.7
0
0 -0.70 -
1
-0.70 0
EJEMPLO 2
Uso de las funciones inversas para
encontrar el ángulo de
elevación de una cámara.
Se tiene una cámara para tomar
una serie de fotografías de un globo de
aire caliente que sube verticalmente. La
distancia entre la cámara en (B) y el
punto de lanzamiento del balón(A) es de
300 metros. La cámara
debe mantener el globo en la vista y por
lo tanto, su ángulo de elevación t debe
cambiar con la x altura del globo.
a)Encuentra ángulo t
como una función de la altura x.
Hallar ángulo t en grados, cuando x es
igual a 150, 300 y 600 metros.
c) Gráfico T como una función de x.
teniendo en cuenta los valores del punto
b.
Solución
a.) tan(t) = x / 300
tan -1(tan(x)) = x
tan -1(tan(t)) = tan -1( x / 300 )
t = tan -1( x / 300 )
b) Los valores de t en 150, 300 y 600.
T (150) = 25,6 grados
T (300) = 45.0 grados
T (600) = 63,4 grados
c)
x 0 150 300 600 1200 3000
t 0 25.6 45.0 63.4 76.0 84.3
EJEMPLO 3
Se lanza una pelota desde el suelo hacia
arriba. La altura que alcanza la pelota,
medida desde el suelo en metros, en
función del tiempo, medido en
segundos, se calcula a través de la
siguiente fórmula: h (t) = -5t2 + 20t.
A. ¿Cuál es la altura máxima que
alcanza la pelota y en qué
momento lo hace?
B. ¿Después de cuánto tiempo cae
la pelota al suelo?
Solución
A. el problema nos da la fórmula, que
es una función cuadrática, la cual
relaciona la altura que alcanza la
pelota en función del tiempo a partir
de su lanzamiento. Entonces, la
trayectoria de la pelota si la
queremos dibujar será una parábola
como la siguiente:
función: h (t) = -5t2 + 20t.
a = -5; b = 20 y c = 0 , reemplazo
en la fórmula:
Calculé xv , ahora tengo que calcular
yv pero como ya tenemos el valor de x
lo reemplazo en la función para obtener
el valor de y. Entonces quedaría así:
h (2) = -5(2)2 + 20(2)
h (2) = -5 . 4 + 40
h (2) = -20 + 40
h (2) = 20.
La altura máxima que alcanza la pelota
es de 20 m a los 2 segundos de ser
lanzada.
B. La siguiente pregunta es después
de cuánto tiempo cae la pelota
en el suelo. Lo que tenemos que
averiguar es una de las raíces de
la parábola. Ya que, el
movimiento empieza en el suelo
y termina en el suelo, dicho de
otra manera empieza en el
eje x y termina en el eje x (
raíces).
Para hallar las raíces igualamos la
función a cero y obtenemos:
-5t2 + 20t = 0
t (-5t+ 20) = 0 factor común
t = 0 o -5t + 20 = 0 producto igual a 0
- 5t = - 20 despejamos t
t = 4
nuestra respuesta es t =4 nos indica que
la pelota cae al piso luego de 4
segundos.
REFERENTES
http://marcelrzm.comxa.com/CalcDif/1
2FuncionesInyect.pdf
http://tongoxcore.wordpress.com/tag/ma
tematicas-y-videojuegos/
http://www.analyzemath.com/inversefu
nction/applications_inverse.html
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/ho
movidens/Marcela%20Martinez/ejempl
o_y_resolucion_cuadratica.htm