guía de ejercicios en aula: n° 9

AREA ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA

Asignatura: Redes Eléctricas I

Código: ELSP01

Unidad de Aprendizaje N° : 4

Aprendizajes Esperados

Desarrolla el análisis y resolución de circuitos eléctricos resistivos en corriente continua con dos o más mallas,

aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff.

Desarrolla el análisis y resolución de circuitos eléctricos resistivos en corriente continua, aplicando el método de

nudos de la Ley de Kirchhoff.

Aplica el teorema de superposición para resolver circuitos en corriente continua, con dos o más fuentes de tensión

y / o de corriente.

Aplica los teorema de Thevenin y / o Norton para el análisis y resolución de circuitos alimentados con corriente

continua

Aplica el teorema de la máxima transferencia de potencia para el análisis y resolución de circuitos alimentados con

corriente continua

Guía de Ejercicios en Aula: N° 9

Tema: MÉTODOS DE ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN

CORRIENTE CONTÍNUA.

Docente:

EDUARDO BRAVO

CHOCHO

Objetivo:

Calcular corrientes de mallas, aplicando el método de mallas en sistemas de ecuaciones y a partir de estas obtiene valores de corrientes de rama , voltajes, potencias en diferentes elementos.

Calcular potenciales de nudos, aplicando el método de nudos.

Calcular la tensión y/o la corriente en la resistencia de un circuito cualquiera empleando el principio

de superposición y a partir de estas calcular potencia .

Determinar el circuito equivalente de Thevenin y /o Norton , para determinar corriente, tensión y potencia, en una carga conocida.

Utilizar los circuitos equivalente de Thevenin y /o Norton para determinar el valor de resistencia con la cual se obtiene máxima transferencia de potencia.


Asignatura: Redes Eléctricas I Código: ELSP01 Guía Ejercicios N°9

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MÉTODOS DE ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA.

CONCEPTOS:

NUDO: Es un punto de unión entre tres o más elementos de circuito.

Cuando se unen sólo dos elementos se denomina nudo secundario.

RAMA: Es el elemento o grupo de elementos que hay entre dos nudos.

RED PLANA: Es una red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que se cruce ninguna rama.

LAZO: Es un conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que si se elimina una de

ellas, el camino queda abierto.

MALLA: Sólo aplicable a redes planas, es un lazo que no contiene ningún otro en su interior. El número

de mallas es el mismo que el de las “ventanas” que hay en una red.

GRAFO: Es un dibujo simplificado de un circuito en que cada rama se representa por un segmento.

ARBOL: Es la parte de un grafo formado por ramas que contengan a todos los nudos, sin que se formen

lazos.

El Método de Mallas.

El Método de Mallas es aplicable a cualquier red plana. Se basa en el análisis de las mallas

elementales de la red. Según se indica, el número de corrientes independientes de una red, que se

corresponde con el número de mallas elementales de la misma es igual al número de cuerdas, enlaces o

eslabones, el cual está dado por la ecuación:

E = R - N + 1



3

Dónde:

E: Número de enlaces, cuerdas o eslabones.

N: Número de Nodos.

R: Número de Ramas.

Así por ejemplo, la gráfica orientada de la red mostrada en la Figura 1 se puede observar en la

Figura 2. Dicha red consta de 13 Ramas y 7 Nodos, por lo que aplicando la ecuación para calcular el

número de Enlaces se obtiene que es igual a 7. Es conveniente observar que al hacer la gráfica de la red

se consideró que los elementos E3 y E14 son parte de la misma Rama, identificada como R3, y lo

mismo ocurre con los elementos E9 y E15, los cuales forman parte de la Rama R9.

Dado el número de Enlaces, el número de corrientes independientes de la red es también igual a

7. En la Figura 3 están identificadas las 7 mallas elementales de la red con sus correspondientes

corrientes.

Figura 1.- Circuito eléctrico general.



4

Figura 2.- Gráfica orientada del circuito de la Figura 1.

Figura 3.- Corrientes de malla del circuito de la Figura 1.



5

Para definir el procedimiento del Método de Mallas se va a considerar en primer lugar una red

con dos mallas elementales, cada una de las cuales cuenta con una fuente de voltaje independiente,

según se puede observar en la Figura 4.

Figura 4.- Red con dos mallas elementales.

Problema 1.- El primer paso para aplicar el Método de Mallas consiste en asignarle a cada malla

elemental una corriente de malla. Estas corrientes se deben asignar todas en la misma dirección de la

fuente de tensión , tal como se muestra en la figura 5.



6

Figura 5.- Asignación de las corrientes de malla en el circuito de la Figura 4.

Como puede observarse, la corriente que circula por las resistencias R1, R2 y la Fuente de Voltaje V1 es

la definida como i1, la corriente que circula por las resistencias R4, R5 y la Fuente de Voltaje V2 es la

definida como i2, pero la que circula por R3 es la corriente i3, la cual se puede expresar en función de

las corrientes de malla i1 e i2. Para ello se debe aplicar la LCK en el nodo A, obteniéndose:

i3 = i1 + i2 recuerde que de acuerdo al sentido de corriente i1 e i2 por estar en

el mismo sentido se suman.

Para resolver el circuito, es decir, determinar el valor de las corrientes de malla i1 e i2, se va a

aplicar la LVK a cada una de las dos mallas elementales. Las ecuaciones que se obtienen son las

siguientes:

V1 = R1 x i1 + R x i3 + R2 x i1

V2 = R4 x i2 + R 3 x i3 + R5 x i2

Arreglando términos y sustituyendo i3 por la expresión de la ecuación se obtiene:

V1 = R1 x i1 + R x ( i1 + i2) + R2 x i1

-V2 = R4 x i2 - R x ( i1 + i2) + R5 x i2

De donde:

V1 = (R1 + R2 + R) i1 + R 2 x i2

V2 = R2 x i1 + (R + R4 + R5) x i2



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Este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede escribir en forma matricial, tal como

se indica a continuación:

Si asignamos los valores de la resistencias todas iguales a 100 Ω , V1 = 10 V y V2 = 5 V tenemos el

siguiente sistema.

V1 = (R1 + R2 + R) i1 + R 2 x i2

V2 = R2 x i1 + (R + R4 + R5) x i2

10 = ( 100 +100 +100 ) x i1 +100 x i2

5 = 100 x i1 + (100 +100 +100)x i2

10 = 300 x i1 + 100 x i2

5 = 100 x i1 + 300 x i2

Para resolver el sistema aplicaremos método de cramer.

300 100

ΔP = = 90000 – 10000 = 80000

100 300



8

10 100

Δi1 = = 3000 – 500 = 2500

5 300

Δi2 = 300 10

= 1500 – 1000 = 500

100 5



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Problema 2.- Determine por mallas los valores de la intensidades i1 , i2 , i3.

Respuesta. i1 = Amper i2 = Amper i3 = Amper

Problema 3. Determine por mallas los valores de la intensidades i1 , i2 , i3.



10

Problema 4.se tiene el siguiente circuito, calcular:

a) el voltaje que circula por la resistencia de 20

b) la corriente que circula por el resistor de 10

Aplicando método de mallas.

Respuesta. Io = 4 Amper I1 = I2 = 2 Amper

Problema 5.Plantee las ecuaciones de malla del circuito

I1

200VI2

I3



11

Respuesta.

0150300

0306520

20002030

321

321

321

III

III

III

LAS ECUACIONES DE LOS NODOS

Están basadas en la ley de Corrientes de Kirchhoff. Para el estudio de este método primero es necesario

recordar algunos conceptos básicos como el que se expone a continuación:

En un resistor por el cual pasa una intensidad de corriente, la dirección de ésta está determinada por la

diferencia de potencial que existe entre los terminales de ella.

En la figura anterior, si la intensidad va en la dirección señalada, entonces se está estableciendo que el

voltaje en el punto a, con respecto a un común, es mayor que el voltaje del punto b, con respecto al

mismo común. Entonces la corriente I1 estará determinada por:

1

1R

VVI ba

Evidentemente, para aplicar el método de ecuaciones de nodos es necesario un nodo dentro del circuito

donde poder aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff.



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Problema 1.


siguiente sistema.

Primero asignamos los nodos V1 e el nodo de referencia

Utilizando como común el nodo inferior el circuito queda como:

Como el potencial V es siempre positivo y las intensidades salen del nodo, la ecuación de nodos queda.



13

i1 +i2 +i3 = 0 APLICANDO LA LEY DE OHM DETERMINO CADA CORRIENTE

Reemplazando valores tenemos el sistema.

Despejando V tenemos:



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V =

Por lo tanto cada intensidad vale.

Si se compara con la solución por mallas se puede concluir que son iguales.



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Problema 2.- Determine por nodos los valores de la intensidades i1 , i2 , i3.

Respuesta. i1 = Amper i2 = Amper i3 = Amper

Problema 3. Determine por nodos los valores de la intensidades i1 , i2 , i3.



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Problema 4. Se tiene el siguiente circuito, calcular:



Aplicando método de nodos.

Respuesta. Io = 4 Amper I1 = I2 = 2 Amper

Problema 5.Plantee las ecuaciones de nodos del circuito

I1

200VI2

I3



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Respuesta.

0150300

0306520

20002030

321

321

321

III

III

III

Método de thevenin

Problema 1.- Determinar IR4 y VR4 aplicando thevenin

Solución: Primero se debe sacar la resistencia donde se solicita calcular las variable de tensión,

corriente y potencia.

Por ejemplo calculemos la tensión en R4

Par ello sacamos la R4 y dejamos expresado las terminales AB.



18

En este circuito se determina la RThevenin.

Para determinar esta resistencia se minimiza el circuito a su mínima expresión dejando solo una

resistencia

Para ello se deven cortocircuitar la fuentes de tensiones y la fuentes de corrientes se abren.

Todas las resistencias de 100 Ω

Mirando de los puntos A y B tenemos que R1 y R2 están en serie por lo tanto Rz = 200 Ω



19

Rz está en paralelo con R dando R s =66,666 Ω

Finalmente Rs está en serie con R5 dando 166,666 Ω

Que corresponde a R Thevenin o RNorton

Ahora para determinar la tensión de thevenin debemos agregar las fuentes de tensión y determinar la

tensión en los puntos A y B abiertos

Como todas las resistencias son de 100Ω y V1 = 10 V V2 = 5 V

Se tiene por mallas que la caída de tensión en R es igual a :

VR = i1 x R = =



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Cabe señalar que i2 = 0 por estar el circuito abierto por lo tanto la caída de tensión en R5 es cero volts.

Luego el voltaje de thevenin es VAB = VR + VR5 – V2 = +0 – 5 = Volts

Como VThevenin es = a VAB

Se obtiene el circuito final que es el equivalente de thevenin y agregando R4.

Como RTH vale 166.66 Ω y R4 = 100 Ω VTH = 5/3 Volts.

Se tiene que la intensidad de corriente vale.

Esta intensidad es la misma calculada por mallas y Nodo.

Por lo tanto el VR4 = 0,62 Volts



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Problema 2.- Determine por thevenin i3 y el voltaje en la resistencia de 9Ω en serie a la fuente de 16

Volts.

Respuesta. i3 = Amper V9Ω = 7,2 Volts

Problema 3. Determine por thevenin I2 y la caída de tensión en R2

Respuesta. VR2 = 9,33 Volts



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Aplicando método de Thevenin

Respuesta. Io = 4 Amper V20Ω = 80 Volts

Método de Norton

Primero se debe sacar la resistencia donde se solicita calcular las variables de tensión, corriente y

potencia.



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Por ejemplo calculemos la tensión en R4

Par ello sacamos la R4 y dejamos expresado las terminales AB.

En este circuito se determina la RNorton

Para determinar esta resistencia se minimiza el circuito a su mínima expresión dejando solo una

resistencia

Para ello se deven cortocircuitar la fuentes de tensiones y la fuentes de corrientes se abren.



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Todas las resistencias de 100 Ω

Mirando de los puntos A y B tenemos que R1 y R2 están en serie por lo tanto Rz = 200 Ω

Rz está en paralelo con R dando R s =66,666 Ω

Finalmente Rs está en serie con R5 dando 166,666 Ω

Que corresponde a RNorton

Ahora para determinar la corriente de Norton debemos agregar las fuentes de tensión y determinar la

corriente de norton en los puntos A y B cortocircuitados.

En este caso la corriente de Norton es igual a la i2 aplicamos método de mallas o nodo conviene nodo

por tener una sola ecuación.



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siguiente sistema.

Remplazando tenemos:



26

Despejando:

Por lo tanto V = 4 Volts

Como solo nos interesa el valor de la corriente i2 que es igual a la corriente de Norton tenemos que :

Como I N = 0,01 Amper RN = 166,666 Ω R4 = 100 Ω



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Aplicando divisor de corriente se obtiene que la corriente en R4 es.

Corriente igual calculada con los métodos anteriores

Por lo tanto VR4 = 0,062 Volts

Problema 2.- Determine por Norton i3 y el voltaje en la resistencia de 9Ω en serie a la fuente de 16

Volts.




28

Problema 3. Determine por Norton I2 y la caída de tensión en R2





Aplicando método de Norton




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EL TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

El teorema de superposición se aplica en circuitos que contienen más de una fuente de tensión

y/o de corriente. Consiste en encontrar la corriente y/o voltaje en cada componente usando solo una

fuente a la vez, remplazando el resto por conductores si son fuentes de tensión y por circuito abierto si

son de corriente. Finalmente la tensión y/o corriente en cada componente se determina sumando

algebraicamente las corrientes obtenidas con cada fuente operando independientemente.

Problema 1. Aplicar el método de superposición al circuito para calcular la corriente y tensión en VR4

Si asignamos los valores de la resistencias todas iguales a 100 Ω , V1 = 10 V y V2 = 5 V tenemos los

siguientes circuitos.



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Circuito 1.-Aporte de la fuente V1

Al sacar la Req = 266,66 Ω

Si determinamos la

Aplicando divisor de corriente se obtiene que la IR4 = 12,5 mA hacia la derecha.

Circuito 2.- Aporte de la fuente V2



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Al sacar la Req = 266,66 Ω

Si determinamos la

La It es igual a la IR4 = hacia la izquerda.

Entonces la I total de R4 es la diferencia entre las dos corrientes parciales por tener sentidos contrarios.

ITR4 = 18,7 mA - 12,5 mA =6,25 mA= 0,00625 Amper.

Como se puede demostrar es exactamente a la corriente calculada por los otros métodos.



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Problema 2.- Determine por superposición i3 y el voltaje en la resistencia de 9Ω en serie a la fuente de

16 Volts.


Problema 3. Determine por superposición I2 y la caída de tensión en R2



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Aplicando método de superposición


Teorema de máxima transferencia de potencia.

Este teorema consiste en calcular una resistencia igual a la RTH y formar un circuito serie.



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Para que exista máxima transferencia de potencia. Se debe conectar una resistencia en los terminales

AB de 20 Ω

PROBLEMAS VARIOS

Problema 1.- Aplicando cada uno de los teoremas determinar voltaje en la resistencia de 36 Ω

Respuesta. 9,8 Volts

Problema 2.- Utilizando el método de las tensiones de nudo determine la tensión en R1, la lectura del

amperímetro y la potencia disipada por R2.



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Respuestas.-

VR1 = 15,57 Volts Amperímetro= 3,44 Amper PR2 = 27,41 Watt

Problema 3.- En el siguiente circuito determine las tensiones Va, Vb y Vc. Utilice el método de las

tensiones de nudo.

Respuesta Va = 12 Volts ,Vb = 10 Volts y Vc= 22 Volts

Problema 4.- Determine la intensidad de corriente que circula por R1 utilizando el teorema de

superposición.



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Respuesta. El valor de la corriente es de 6,94 Amp

Problema 5.- Determine el voltaje Vx usando el teorema de superposición.

Respuesta.- El voltaje es de 12 Volts.

Problema 6.- Utilizando el teorema de superposición determine la lectura de cada amperímetro.

Respuesta.- A1 = 7,5 Amper A2 = 7,5 Amper A3 = 2,5 Amper



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Problema 7.- En el siguiente circuito determine los equivalentes Thevenin y Norton y utilice uno de

ellos para calcular la intensidad de corriente que circula por RL.

Respuesta.- VTH = 11,14 Volts RTH = 1,43 Ω IN = 7,8 Amper RN = 1,43 Ω

IRL = 2, 57 Amper.

Problema 8.- Determine los equivalentes Thevenin y Norton entre los terminales A y B de los circuitos

que se indican a continuación.

VTH = -6,28 VOLTS RTH = 9,43 Ω IN = -0,66 Amper. RN = 9,43Ω



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Problema 9.- En los siguientes circuitos determine la corriente Ix mediante el teorema de Thevenin.

Respuesta.- RTH = 5 Ω VTH= 15 Volts IX = 2 Amper

Problema 10.- En el circuito que se muestra a continuación determine el valor de la resistencia de carga

que debe ser conectada entre los terminales A y B para máxima transferencia de potencia. Determine

también el valor de esta potencia

Respuesta.-

VTH = - 4 Volts Rth= 7,4 Ω PMAX TRAN = 0,54 Watt



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Problema 11.- En el circuito que se muestra a continuación determine el valor de la resistencia de carga

que debe ser conectada entre los terminales A y B para máxima transferencia de potencia. Determine

también el valor de esta potencia

VTH = 10 Volts Rth= 5.0 Ω PMAX TRAN = 5 Watt

Problema 12.- Utilizando los equivalentes Thevenin de los circuitos anteriores de problema 10 y 11,

calcule el valor de dos resistencias iguales conectadas en serie entre los terminales A y B, para que se

transfiera la máxima potencia a estas resistencias. Observe que ahora la resistencia de carga RL estará

formada por estas dos resistencias en serie.

Respuesta.- Dos resistencia en serie de 3,7 Ω y dos de 2,5 Ω



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Problema 13.- Utilizando los equivalentes Thevenin de los circuitos anteriores de problema 10 y 11,,

calcule el valor de dos resistencias iguales conectadas en paralelo entre los terminales A y B, para que se

transfiera la máxima potencia a estas resistencias. Observe que ahora la resistencia de carga RL estará

formada por estas dos resistencias en paralelo.

Respuesta.- Dos resistencia de 14.8 Ω y dos de 10 Ω

guía de ejercicios en aula: n° 9

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