guía ejercicios 01-v1

Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería

ING 1024 – Propiedades y resistencia de materiales

Guía de ejercicios I

Versión 1,0 – 1er semestre, 2015

Esta guía es una recopilación de problemas de ayudantías, tareas e interrogaciones pasadas. Las respuestas están al final de cada enunciado. Los problemas están ordenados de acuerdo a la materia del curso, no por dificultad. En caso de encontrar algún error, por favor escribir a los profesores o al ayudante coordinador.

INDICE

Problema 01 Vector de tracción en 2D........................................................................................................................ 2

Problema 02 Estado de tensiones a partir del equilibrio ............................................................................................. 2

Problema 03 Círculo de Mohr de tensiones I .............................................................................................................. 3

Problema 04 Círculo de Mohr de tensiones II ............................................................................................................. 3

Problema 05 Estado de tensiones principales, estado de corte máximo .................................................................... 4

Problema 06 Tensiones en estructura reticulada ........................................................................................................ 4

Problema 07 Tensor de tensiones 3D I ....................................................................................................................... 4

Problema 08 Tensor de tensiones 3D II ...................................................................................................................... 5

Problema 09 Rotación 3D del tensor de tensiones ..................................................................................................... 5

Problema 10 Ecuaciones del equilibrio diferencial ...................................................................................................... 6

Problema 11 Estado de tensiones en viga empotrada ................................................................................................ 7

Problema 12 Estado de tensiones en estanque cilíndrico de pared delgada ............................................................. 8

Problema 13 Estado de tensiones unión apernada..................................................................................................... 9

Problema 14 Campo de desplazamientos a partir de pequeñas deformaciones ...................................................... 10

Problema 15 Roseta de deformación I ...................................................................................................................... 11

Problema 16 Roseta de deformación II ..................................................................................................................... 11

Problema 17 Relaciones constitutivas....................................................................................................................... 12

Problema 18 Aislador sísmico ................................................................................................................................... 12

Problema 19 Muro de represa ................................................................................................................................... 13

Problema 20 Estado de deformaciones en viga empotrada...................................................................................... 14

Problema 21 Estado de tensiones planas y relaciones constitutivas ........................................................................ 15

Problema 22 Condiciones de borde I ........................................................................................................................ 16

Problema 23 Condiciones de borde II ....................................................................................................................... 17

ING 1024 – Propiedades y Resistencia de Materiales Guía de ejercicios I – versión 1,0 – 1° semestre, 2015

2

PROBLEMAS

Problema 01 Vector de tracción en 2D

La figura muestra el borde de un terraplén de una represa que contiene un fluido con peso específico . Para el punto A ubicado en el borde del terraplén se conoce el tensor de tensiones en coordenadas x-y.

a) Determine el vector de tracción en el punto A en coordenadas x-y.

b) Compare el vector de tracción obtenido en a) con el vector fuerza por unidad de área en la superficie

Hint: La presión hidrostática que ejerce un fluido aumenta con la profundidad proporcionalmente al

peso específico ( hp )

Respuestas:

a)

b)

Problema 02 Estado de tensiones a partir del equilibrio

Una caja fuerte es empujada en contra de una cuña apoyada en una pared inclinada (10° desde la

vertical). El coeficiente de roce estático entre la pared y la cuña es de = 0,15, y entre la caja fuerte

y la cuña no hay roce ( = 0). La cuña pesa 3 kg, mide 20 cm de alto (L) y su área de contacto con la pared es de 200 cm2. Asumiendo que la cuña está a punto de deslizar hacia arriba, determine las componentes perpendicular y paralela del vector tracción en la cara de la cuña que está apoyada contra la pared.

)2cos(1)2sin(

)2sin()2cos(1

2

1

hσ

)cos(

)sin(

htn

)cos(

)sin(

hp


3

Respuesta:

Pa68504

656697

,

,-

Problema 03 Círculo de Mohr de tensiones I

Para el estado de tensiones planas que se indica en la figura, determinar:

a) Las tensiones principales y la orientación de los ejes principales.

b) La tensión de corte máxima y su dirección.

Respuestas:

a) -2

2

-2

1 cmkgf4,72,cmkgf6,27 , 7,311

b) -2

max cmkgf4,22 , 7,763

Problema 04 Círculo de Mohr de tensiones II

Un punto sometido a estado de tensiones planas tiene tensiones principales -2

1 cmkgf2000 y -2

2 cmkgf6000 . Se sabe además que la tensión de corte

es de -2cmkgf2000 en ciertos ejes x-y. Calcule x , y y el ángulo entre los ejes x-y y los

ejes principales. Escriba el tensor de tensiones para el sistema x-y.

Respuesta:

-2cmkgf1,1464 x , -2cmkgf1,5456 y , 15 (convención mano

derecha).

Respecto a los ejes x-y, 2-cmkgf

1,54562000

20001,1464

σ

x

y

-2cmkgf40

-2cmkgf60

-2cmkgf20


4

Problema 05 Estado de tensiones principales, estado de corte máximo

Suponiendo un estado plano de tensiones, demuestre que en un estado de corte máximo las tensiones normales en caras perpendiculares son iguales.

Problema 06 Tensiones en estructura reticulada

La estructura de cercha de la figura se compone de elementos de reticulado, los cuales se componen de dos piezas ensambladas con un pegamento que resiste una tensión de corte máxima de

-2

max cmkgf40 en el plano de pegado. Suponiendo que los elementos de reticulado fallan

en la zona de pegado, determine el valor máximo de P antes que la estructura falle.

Respuestas:

kgf1234,6P

Problema 07 Tensor de tensiones 3D I

En la figura a continuación se muestran las tensiones actuando sobre un elemento tridimensional según los ejes coordenados xyz.

a) Mediante el uso del círculo de Mohr, encontrar las tensiones principales y tensiones de corte

máximas.

b) Escribir el tensor de tensiones para la orientación de corte máximo.


5

Notar que los valores entregados corresponden al módulo de las tensiones, los sentidos vienen dados por las flechas.

Respuestas:

a) MPa801 , MPa-202 , MPa-503

b) MPa

15065

0200

65015

σ

Problema 08 Tensor de tensiones 3D II

Se conoce el tensor de tensiones de un punto referido a un sistema coordenado x-y-z:

MPa

456030

602550

305035

σ

a) Determine las tensiones principales.

b) A partir de las tensiones principales dibuje los círculos de Mohr para los planos 1-2, 2-3 y 1-3 en un

mismo diagrama.

c) ¿En qué plano hay que rotar el estado de tensiones para determinar el corte máximo? Determine el

valor de max

Hint: En el caso general 3D, las tensiones principales corresponden a los valores propios del tensor de tensiones.

Respuestas:

a)

MPa -87,3

MPa 7,26

MPa5,97

3

2

1

b) --------

c) MPa 83,42

3113

Max

Problema 09 Rotación 3D del tensor de tensiones

a) Obtenga la matriz de rotación 3D ( R ) que describe la transformación compuesta por una rotación

de los ejes xyz de -90° con respecto al eje y , seguida por una rotación de 45° con respecto al


6

eje *z , donde *z es el eje z después de la primera rotación (el signo de las rotaciones viene

dado por la regla de la mano derecha).

b) Si el tensor de tensiones en algún punto, referido a los ejes originales, es

MPa

456030

602550

305035

σ , obtenga el tensor de tensiones referido a los ejes rotados.

c) Para el tensor original y el correspondiente a los sistemas rotados, obtenga la componente

hidrostática y la componente deviatórica. ¿Qué puede concluir respecto a la componente hidrostática

de un mismo punto pero referida a ejes rotados?

Respuestas:

a)

02

12

1

02

12

1

100

R

b)

3514,1457,56

14,142510

57,561095

'σ

c) MPa

106030

601050

30500

3500

0350

0035

σ

MPa

014,1457,56

14,146010

57,561060

3500

0350

0035

'

σ

Problema 10 Ecuaciones del equilibrio diferencial

Para un cuerpo en estado plano de tensiones ( 0 xzyzz ) se conoce la tensión de corte

en función de las coordenadas (x,y) y las fuerzas volumétricas B:

xyyxyxxy 863),( 22 ; 0xB ;-3mtonf5,2 yB

a) Encuentre las tensiones normales ),( yxx y ),( yxy que satisfagan las ecuaciones de

equilibrio

b) ¿Es esta solución única? Justifique.


7

Recuerde que para equilibrio diferencial es condición que:

0

0

y

xyy

x

yxx

Bxy

Byx

Respuestas:

a) ),( yxx )(412 2 yfxxy x con )(yfx una función de y. ),( yxy

)(5.246 2 xfyyxy y con )(xf y una función de x.

b) La solución no es única. Para determinarla falta conocer las condiciones de borde.

Problema 11 Estado de tensiones en viga empotrada

Se tiene una viga de sección rectangular empotrada a una pared como indica la figura.

a) Determine el estado de tensiones en el punto (L, h/3) con respecto a los ejes x-y. Considere L=10h y

b=h/2.

b) ¿Cuál es el estado de tensiones en el punto calculado en la letra a) si el sistema de referencia se rota

en 20° antihorario? Dibuje el cubo diferencial antes y después.

c) Determine las tensiones principales para el punto calculado en a).

La distribución de tensiones debido a las diferentes fuerzas es:

LxLLLxbh

yP

Lxbh

yPx

x

2/)2/(312

2/024

3

3


8

LxLyh

bh

P

Lxyh

bh

P

xy

2/4

18

2/04

12

22

3

22

3

0y

Respuestas:

a) 2

2

05

5200

02

52

510

h

P

bh

Pbh

P

bh

pL

yxy

xyx

b) 222

18,20;45,60;82,179h

P

h

P

h

Pnmnm

c) 2221 12012200

h

P ,σ;

h

P ,

Problema 12 Estado de tensiones en estanque cilíndrico de pared delgada

Para un estanque presurizado (cilindro de pared delgada de espesor e y radio interior R , con

tapas en ambos extremos) sometido a una presión interna p , se conoce que el estado de

tensiones en un punto del manto cilíndrico es

0,0,2

, zrzrrze

pR

e

pR .

Suponga que se desea fabricar un contenedor cilíndrico de presión como el ya señalado, a partir de láminas delgadas originalmente planas que serán dobladas y soldadas para sellar el contenedor. Los 3 posibles diseños se muestran a continuación:

p

z

r


9

Considere que el punto más débil de los cilindros son los cordones de soldadura que unen las láminas, y que a mayor tensión perpendicular a la línea de soldadura, mayor es la probabilidad de que falle el contenedor (puede imaginar que la tensión perpendicular a la línea de soldadura tiene el efecto de intentar separar las placas). Determine cuál es el mejor de los diseños (1, 2 o 3).

Datos: cm50R , cm2e , atm2p .

Respuesta:

El mejor diseño es el 2.

Problema 13 Estado de tensiones unión apernada

Un tanque cilíndrico de 6 m de diámetro pesa 15 tonf (1 tonf = 9,8 kN) está sostenido por dos colgadores como muestra la figura a continuación.

a) Calcule la reacción RA en el perno A.

b) Determine la tensión de corte en el perno A, asumiendo una distribución uniforme de tensiones en el

área transversal de perno. El diámetro de los pernos es 2 cm. Desprecie el peso de los colgadores y

asuma que la fricción entre el tanque y los colgadores es nula.

c) Si además se considera que la fuerza de apriete del perno A es de 20 kN, determine la máxima

tensión de corte presente en el perno. Muestre sus cálculos mediante el uso del círculo de Mohr.

30

1 32


10

Resultados:

a) tonf15

625.0

Ay

Ax

A R

RR

b)

MPa5,117cmkgf8,11974/2

2

2

d

RA

c) MPa7,121

Problema 14 Campo de desplazamientos a partir de pequeñas deformaciones

La superficie de un material elástico se encuentra en estado plano de deformaciones. Dependiendo de las fuerzas involucradas se observan tres casos de deformación como muestran las figuras a continuación. La superficie es originalmente un cuadrado delimitado por x = 0, x = 1, y = 0, y =

1. Considere 1 .

a) Para cada uno, determine el campo de desplazamientos u 2D (llame 1e y 2e a los ejes unitarios en

las direcciones x e y respectivamente).

b) Para cada uno, determine el tensor de deformaciones unitarias. Discuta los valores obtenidos para

los casos 2 y 3.

Respuestas:

a) Caso 1, 2122

),( eeu xyyx

, caso 2, 2122

),( eeu xyyx

, caso 3

2),( eu xyx .

b) Caso 1

02

20

, caso 2

00

00, caso 3

02

20

.

x

y

2

2

2

2

1

1

x2

2

2

2

1

1

y

x

1

1

y


11

Problema 15 Roseta de deformación I

Con una roseta de deformación en 60° se miden las siguientes deformaciones en un punto 610800 a ,

610200 b , 610500 c

Utilizando el circulo de Mohr encuentre las deformaciones yx , y xy

Respuestas:

6

6

6

10346

10200

10800

xy

y

x

Problema 16 Roseta de deformación II

Con el uso de una roseta en 60° se midieron las siguientes deformaciones en un punto610800 a y

610200 b . En el mismo punto, pero usando una roseta de 45°, se

midió 610500 e .

a) Determine c , d y f

b) Determine las deformaciones principales en el punto y su orientación

Respuestas:

a) 610309,81 c ,

610800 d , 61073,21 f

b) 6

1 10805,49 , 6

2 1067,72 , 4,951 , ,05852

6060

c

a

b

45

45

d

f

e


12

Problema 17 Relaciones constitutivas

Sobre el cubo diferencial mostrado en la figura, se aplica una tensión de compresión en el eje z de

magnitud P

a) Calcule vol para esta situación

b) Determine yP (tensión aplicada en las caras normales al eje y, en función de P , E y ) tal que

x aumente al doble con respecto a lo obtenido en a)

c) Determine yP tal que 0y

d) Asumiendo PPy (tensión de compresión), determine xP tal que 0vol

Respuestas:

a) 12 E

Pvol

b) PPy

c) PPy

d) PPx 2

Problema 18 Aislador sísmico

Se muestra el esquema de un aislador sísmico que consiste en una serie de 5 placas de acero separadas por 4 discos de material polimérico. La placa superior está anclada al edificio y la inferior a las fundaciones. Para el material polimérico se ha escogido un Uretano con una resistencia a la fluencia de 25 MPa, un módulo elástico de 400 MPa y un coeficiente de Poisson de 0,45. Las dimensiones de cada disco de material polimérico se muestran en la Figura 2.

En reposo, el aislador es sometido a una fuerza 10P debido al peso del edificio y durante un sismo la aceleración absoluta del edificio se estima en 1,2g.

x

y

zP P


13

Suponga que: 1) las placas de acero distribuyen la carga de manera uniforme sobre los discos de material polimérico, 2) las placas confinan al material polimérico de manera que restringen su

deformación horizontal en toda su altura ( 0 xx ), y 3) las placas no se deslizan respecto de

los discos, es decir, las fuerzas horizontales se transfieren entre las superficies de ambos materiales, existiendo un coeficiente de roce estático “infinito” (vulcanizado perfecto). Determine:

a) Determine el tensor de tensiones, respecto a los ejes x-y-z, considerando las relaciones constitutivas

del polímero.

b) Las tensiones principales y el corte máximo al que es sometido el material polimérico.

c) El desplazamiento horizontal máximo del edificio respecto de las fundaciones en el momento en que

P=288461,5N

Respuestas:

a) A

P

zyzxz

yzyxy

xzxyx

18,800

01012

01218,8

, donde A es el área del disco.

b) A

P94,21 ,

A

P13,212 ,

A

P03,12max

c) 0,334 cm

Problema 19 Muro de represa

En la figura se muestra un muro de una represa que contiene un fluido de peso p por unidad de

volumen, y que se encuentra a una altura H. El espesor del muro es c2 y puede considerarse muy

largo en la dirección perpendicular al dibujo. Una buena aproximación para el campo de tensiones de un punto en el muro está dada por las siguientes expresiones

xycxy

c

p

c

yxpyxx

23

33

3

5

62

44),(

c

y

c

yxp

xpyxy

4

3

42),(

3

3

)(20

3)(

8)(

8

3),( 2244

3

22

3

2

ycc

pyc

c

pyc

c

xpyxxy


14

Considere que el resto de las tensiones tiene magnitud despreciable.

a) Para un punto en el eje del muro (y = 0) y a una profundidad x = 4c, determine el tensor de tensiones

referido a los ejes x-y (del enunciado), calcule las tensiones y direcciones principales, y el estado

asociado a la máxima tensión de corte. Dibuje el cuadrado diferencial con las tensiones en cada

caso, y use el círculo de Mohr.

b) Suponga que un strain gage se coloca en el punto anterior, en el plano x-y orientado en -45º (rotación

en el sentido del reloj en la figura) respecto el eje x. Si éste mide una deformación de 3x10-6,

determine el módulo de elasticidad del material. Use p=1.200 kgf/m3, c=100 cm y =0,25.

c) Para el punto anterior, determine tensor de deformaciones asociado a la deformación angular

máxima.

Respuestas:

a)

2025,6

025,60pcσ . pc5,1071 , pc7,1072 y 40,291 .

pc6,107max y 4,713 .

b) 2-cmtonf25271 ,E

c)

7-6-

-6-7

103,318-103,377

103,377103,318-ε

Problema 20 Estado de deformaciones en viga empotrada

La viga empotrada de la figura está fabricada de un material con módulo de elasticidad E y razón de

Poisson = 0,20. Se muestra a continuación el campo de desplazamientos de la viga (en el plano x-y puede considerarse como un caso de tensiones planas):

222

336111530

20),( cyxLxy

Ec

Pyxu

3222

351533

20),( xLxxyLy

Ec

Pyxv


15

a) Determine las deformaciones unitarias x , y y xy a partir del campo de desplazamiento para

cualquier punto (x,y,z).

b) Considerando de que se trata de un caso de tensiones planas, determine z , xz y yz para

cualquier punto (x,y,z) utilizando las relaciones constitutivas.

c) Usando P = 30 N, E = 10.000 N/cm2, L = 60 cm y c = 3 cm escriba el tensor de deformación en el

punto A de la viga con coordenadas x = L/2, y = −c/2, z = 0,5 cm.

d) Determine usando el círculo de Mohr las deformaciones y direcciones principales en el punto A.

e) Determine los esfuerzos internos en la sección L/2 y compare la integración de tensiones con lo que

se obtiene mediante equilibrio del diagrama de cuerpo libre.

Respuestas:

a) xLyEc

Pyxx 3030

20,

3 , xyyL

Ec

Pyxy 66

20,

3 ,

22

35

9, yc

Ec

Pyxxy

b) LxyEc

Pz

35

6

)1(

, 0yz , 0xz

c) 610

1500

01575,6

075,675

ε .

d) 6

1 105,75 , 6

2 105,15 , 6

3 1015 , 27,4 (Rotación antihoraria en

el plano X-Y)

e) -----

Problema 21 Estado de tensiones planas y relaciones constitutivas

Una placa delgada de acero ( GPa207E , 0,3 ) se deforma debido a la acción de una

carga uniforme como muestra la figura a continuación. Asumiendo estado de tensiones planas, determine las tensiones en las direcciones x e y . Determine además la deformación unitaria en la


16

dirección perpendicular al papel. Notar que la placa está restringida en la dirección y pero no en la

dirección z .

Respuestas:

MPa29,118x , MPa49,35y , 00022,0z

Problema 22 Condiciones de borde I

Se tiene una placa rectangular de 1 m de ancho, 2 m de alto y 1 cm de espesor, hecha de un material elástico, lineal e isótropo. La placa está fija en su borde inferior y en el borde superior se le aplica una

fuerza distribuida constante q = 2 kN/cm2, inclinada a 45° sobre la horizontal.

Al medir el desplazamiento del extremo superior derecho de la placa se obtiene 1 cm en la dirección

x y 5 mm en la dirección y .

Si suponemos deformaciones planas y que el campo de desplazamientos en la placa está dado por 2ba),u( yxyyx en la dirección x y por

2dc),v( yxyyx en la dirección y , con a ,

b , c y d constantes por determinar, encuentre los valores de las constantes elásticas del material

de la placa.

Respuestas:

GPa1 , Pa0 .

mm502

mm125

mm13,0

x

y


17

Problema 23 Condiciones de borde II

Se tiene un disco de espesor unitario de radio interno R y radio externo 3R, sometido a una presión interna de magnitud 2p y a una presión externa de magnitud p, como muestra la figura. El disco está

fabricado con un material de módulo de elasticidad E y razón de Poisson . El campo de tensiones depende únicamente de la distancia r al centro del disco y está dado por las siguientes expresiones:

BrAr 2/ BrA 2/ 0 r

a) Usando las condiciones de borde, demuestre como cambian los parámetros A y B en función del

radio R y la presión p.

b) Determine el valor de la máxima deformación angular para cualquier punto del disco a distancia r del

centro.

c) Se coloca en un punto del disco un medidor de deformaciones (“strain gage”) a una distancia r

cualquiera, orientado en 45º respecto a la dirección radial en ese punto. Se mide una deformación

unitaria = −0,00875. Si E=1.200ton/cm2 y =0,20, determine el valor de la presión externa p.

Respuestas:

a) 2

8

9pRA , pB

8

7

b) )1(4

92

max

r

R

E

p

c) -2cmtonf15 p

r

R

3R

2p

p r

guía ejercicios 01-v1

Documents