Autor: Jaime J. Gutierrez G

GRUPOS SOLUBLES

Un grupo G es soluble si existe una sucesion {Hi}0≤i≤n finita y decreciente desubgrupos de G tal que

H0 = G, Hn = {e}.

Para i = 0, . . . , n− 1, Hi+1 es un subgrupo normal de Hi.

Para i = 0, . . . , n− 1, el grupo cociente Hi/Hi+1 es abeliano.

Todo grupo abeliano es solubleEl grupo simetrico Si es soluble para i = 1, 2, 3 y 4.Dado un grupo G, el conmutador o derivado de G es el subgrupo G′ generado portodos los elementos de G de la forma aba−1b−1.

G′ es un subgrupo normal de G.

G/G′ es un grupo abeliano.

Si H es un subgrupo normal de G, G′ ⊂ H.

Como G′ es un grupo, podemos definir G(2) = (G′)′ e inductivamente

G(m) =(G(m−1

)′, para m ≥ 2. Escribimos G(0) = G y G(1) = G′.

Es claro entonces que:{G(n)

}n

es una sucesion decreciente de subgrupos de G.

Para n ≥ 0, G(n+1) es un subgrupo normal de G(n).

Para n ≥ 0, G(n)/G(n+1) es abeliano.

Si existe k ∈ N tal que G(k) = {e}, entonces G es un grupo soluble. El recıprocotambien es cierto. En efecto, si G es soluble y {Hi}0≤i≤n es una sucesion finita ydecrecientes de subgrupos de G que satisfacen las condiciones de la definicion desolubilidad. Consideramos la sucesion de subgrupos derivados

{(Hi)

′}0≤i≤n

y obte-

nemos que G(i) ⊂ Hi por lo tanto G(n) = {e}.Problemas

1. Sean G un grupo y H un subgrupo normal de G tal que H ∩G′ = {e}. Pruebeque H esta contenido en el centro de G.

2. Sean G un grupo y H un subgrupo normal de G, pruebe que H ′ es un subgruponormal de G.

3. Sean G un grupo y H un subgrupo normal de G tal que H y G/H es soluble,demuestre que G es soluble.

4. Sea n ≥ 5, prube que para el grupo alternante An, se tiene A′n = An .

5. Para n ≥ 5, Sn y An son grupos no solubles.

6. Sean p y q numeros primos distintos y G un grupo de orden p2q, pruebe queG es soluble.

7. Probar que si H es un subgrupo normal de G, entonces G es soluble si y solosi H y G/H lo son.

8. Sean G un grupo, H y N subgrupos normales de G tales que G/H y G/N sonsolubles, demuestre que G/(H ∩N) es soluble.

9. Sea G un grupo soluble, pruebe que G tiene un subgrupo propio normal yabeliano.

10. Sea G un grupo no soluble, pruebe que G tiene un subgrupo propio H tal queH = H ′.