grupo 10 - johanna cueva - tanya cedeÑo
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INTEGRANTE: JOHANNA CUEVA - TANYA CEDEÑOTRANSCRIPT
Universidad Técnica De Machala
Facultad De Ingeniería Civil
Escuela De Informática
Trabajo De Matemáticas
Integrantes:
� Tanya Lorena
� Johanna Maribel
Curso:
4to. Quimestre “B”
Profesor:
Ing. Carlos Sánchez
Especialidad:
Ingeniería En Sistemas
Universidad Técnica De Machala
Facultad De Ingeniería Civil
Escuela De Informática
Trabajo De Matemáticas IV
Lorena Cedeño Medina
Maribel Cueva Castillo
4to. Quimestre “B”
Ing. Carlos Sánchez
Ingeniería En Sistemas
Año Lectivo
2010 – 2011
Universidad Técnica De Machala
Facultad De Ingeniería Civil
Escuela De Informática
IV
Introducción ................................
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones de variables separables
� Ecuaciones Homogéneas
� Ecuaciones Lineales De Primer Orden
� Ecuación Diferencial De Bernoulli
Tutorial De Las Siguientes Ecuaciones
Ecuaciones Diferenciales Lineal De Primer Orden
Ecuación #1: ................................
Ecuación #2: ................................
Tutorial del Manejo del Programa Winplot
Grafica de la Ecuación #1
Grafica de la Ecuación #2
Índice
MATEMATICAS IV
................................................................................................
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden ...............................
Ecuaciones de variables separables ...........................................................
Ecuaciones Homogéneas ................................................................
Ecuaciones Lineales De Primer Orden ................................
Ecuación Diferencial De Bernoulli ......................................................
Tutorial De Las Siguientes Ecuaciones ............................................................
Ecuaciones Diferenciales Lineal De Primer Orden ................................
................................................................................................
................................................................................................
Tutorial del Manejo del Programa Winplot ................................
Grafica de la Ecuación #1 ................................................................
Grafica de la Ecuación #2 ................................................................
pág. 2
..................................... 3
............................... 3
........................... 3
...................................... 4
................................................ 5
...................... 5
............................ 6
.......................................... 6
................................... 6
................................... 9
................................................ 13
............................................ 16
............................................ 18
Escuela de informática
Ecuaciones Lineales
Una ecuación diferencial ordinaria de primer
una ecuación diferencial ordinaria
derivadas de primer orden respecto a una variable
independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición
inicial, se pueden encontrar expresadas en forma
explícita:
O en su forma implícita:
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones de var
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar
la ecuación diferencial en la siguiente forma:
Se dirá que es una ecuación diferencial de variables
separables. De este modo, en cada miembro de la
ecuación se tendrá una única var
tipo de ecuaciones basta con
Ecuaciones Lineales De Primer Orden
Introducción
ecuación diferencial ordinaria de primer
ecuación diferencial ordinaria donde intervienen
de primer orden respecto a una variable
independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición
inicial, se pueden encontrar expresadas en forma
en su forma implícita:
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones de variables separables
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar
la ecuación diferencial en la siguiente forma:
dirá que es una ecuación diferencial de variables
separables. De este modo, en cada miembro de la
ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este
tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
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De Primer Orden
ecuación diferencial ordinaria de primer orden es
donde intervienen
de primer orden respecto a una variable
independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición
inicial, se pueden encontrar expresadas en forma
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar
dirá que es una ecuación diferencial de variables
separables. De este modo, en cada miembro de la
iable. Para resolver este
en cada miembro:
Escuela de informática
� Ecuaciones Homogéneas
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x,
y) es fraccionaria y además
numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
Sería homogénea ya que todos los términos de ambos
polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo
tanto numerador como denominador por
función de qué cambio haga más simple su resolución.
Llegados a este caso según la elección se puede optar por
uno de los dos cambios análogos, que son:
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable.
Para finalizar solo resta deshacer el cambio,
sustituyendo las u
ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación
diferencial de primer orden d
Introduciendo la variable
anterior ecuación viene dada por:
Homogéneas
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x,
y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de
numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
homogénea ya que todos los términos de ambos
polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo
tanto numerador como denominador por x
función de qué cambio haga más simple su resolución.
Llegados a este caso según la elección se puede optar por
uno de los dos cambios análogos, que son:
O bien
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable.
Para finalizar solo resta deshacer el cambio,
u(x,y) por su valor como función que se
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación
diferencial de primer orden de la forma:
la variable u = y/x; la solución de la
anterior ecuación viene dada por:
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Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x,
el grado de los polinomios de
numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
homogénea ya que todos los términos de ambos
polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo
x3 o y3 en
función de qué cambio haga más simple su resolución.
Llegados a este caso según la elección se puede optar por
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable.
Para finalizar solo resta deshacer el cambio,
) por su valor como función que se
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación
; la solución de la
Escuela de informática
� Ecuaciones Lineales De Primer Orden
La ecuación diferencial lineal
forma:
Y la solución de la misma viene dada por:
En el caso particular
� Ecuación Diferencial De
Una ecuación de Bernoulli
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera.
Su solución para α > 1 viene dada por:
Lineales De Primer Orden
ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la
Y la solución de la misma viene dada por:
En el caso particular y , la solución es:
Diferencial De Bernoulli
ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:
) son funciones continuas cualesquiera.
α > 1 viene dada por:
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de primer orden tiene la
, la solución es:
es aquélla que tiene la forma:
) son funciones continuas cualesquiera.
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Tutorial De Las Siguientes Ecuaciones
Ecuaciones Diferenciales Lineal De Primer Orden
Ecuación #1:
Ecuación Original
����� � 4� 2� � 0
� Igualamos la ecuación
� � � � 4� � 2�
La t lo dividimos a los demás términos para no alterar
la ecuación
� � � 4�� � 2
Despejamos la ecuación
� � � 4�� � 2
� A Continuación Aplicamos La Siguiente Forma:
� � �� � �
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pág. 7
Donde P ^Q son funciones o constantes luego:
Reemplazamos Y=uz
����� ����� � 4� �� � 2
� Separamos Variables
� � � � � � � �4�� � � 2
� Separamos la ecuación que esta dentro del paréntesis
y lo igualamos a cero.
� � �
4� � � 0
� Separamos términos e igualamos la ecuación.
� � �
4� �
� Después de Igualar la ecuaciones pasamos a resolver :
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pág. 8
Determinamos “u”
Integramos
� �� � �4
� �
Separamos la constante
� �� � 4� �
�
ln u = 4 ln t
Aplicamos la propiedad de logaritmos
ln u = 4 lnt
� � ��
Determinamos “z”
� � � � �2
�� � � � �2
� � �2 ���
� � � ��2��� �
� � �2������4 1
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pág. 9
� � �2� ����3!
� � �2 � 3���
� � � 6�� #
� Reemplazamos los valores de U y Z de la ecuación
origina para luego encontrar el valor de S.
S= uz
� � �� �� 6�� #�
� � �6���� #��
� � 6� #��
Ecuación #2:
Ecuación Original
� � � � 4� � 2�
� A Continuación Aplicamos La Siguiente Forma:
� � �� � �
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Donde P ^Q son funciones o constantes luego:
Reemplazamos Y=uz
��$�% ��$�� � 4� �� � 2
� Separamos Variables
� � � � � � � � 4�� � � 1
� Separamos la ecuación que esta dentro del paréntesis
y lo igualamos a cero.
� � �
4� � � 0
� Separamos términos e igualamos la ecuación.
� � � 4
� �
� Después de Igualar la ecuaciones pasamos a resolver :
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pág. 11
Determinamos “u”
Integramos
� �� � �4
� � ln u = 4 ln x
Aplicamos la propiedad de logaritmos
ln u = 4 lnx
� � ��
Determinamos “z”
� � � � 1
�� � � � 1
� � � � 4�� �
� � 1���� �
� � 1� ������4 1!
� � 1�����3!
� � 1 � 3���
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� � ��& + c
� Reemplazamos los valores de U y Z de la ecuación
origina para luego encontrar el valor de S.
Y= uz
� � �� � 3�� #�
� � 3 ���� #��
� � 3� #��
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Tutorial sobre el Manejo del
Programa Winplot
El software Winplot es un programa que distribuye gratuitamente el Profesor Richard Parris de la Philips Exeter Academy en Exeter, New Hampshire. Se puede descargar en la dirección:
El presente tutorial está creado con el objeto de introducir al estudiante que cursa ecuaciones diferenciales en el Instituto Tecnológico de Puebla, México, con medios gráficos de solución. Cualquier comentario, crítica o sugerencia se puede enviar a la dirección de correo electrónico de su autor:
Presentación.
La primera vez que se accesa a Winplot, aparece una pantalla como esta:
Figura 1
Escuela de informática
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Donde se distinguen dos menús: Windows y About.
Damos un doble clic en el botón izquierdo del ratón y obtenemos la pantalla:
Figura 2
Seleccionamos con un clic en el botón izquierdo del ratón 2-dim y obtenemos una ventana nueva que tiene nombre por omisión noname1.wp2.
Escuela de informática
pág. 15
Figura 3
El objetivo de este tutorial, es el manejo de este paquete para la visualización de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a través de su representación como un campo de pendientes.
Por este motivo, nos concentraremos en la descripción del tutorial en el manejo de los comandos relacionados con el diseño, solución y animación de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria.
Antes de entrar en las diferentes ventanas del paquete, es importante conocer la manera en que se introducen las ecuaciones y su nomenclatura.
Escuela de informática
Grafica de la
El primer punto cuando la constante “
El segundo punto cuando la constante “
Grafica de la Ecuación #1
ECUACION
El primer punto cuando la constante “c” vale 9
El segundo punto cuando la constante “c” vale
pág. 16
” vale 9
” vale 20
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El tercer punto cuando la constante “
El tercer punto cuando la constante “c” vale 30
pág. 17
” vale 30
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Grafica de la Ecuación #
El primer punto cuando la constante “
Grafica de la Ecuación #2
ECUACION
punto cuando la constante “c” vale 6
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” vale 6
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El segundo punto cuando la constante “El segundo punto cuando la constante “c” vale 12
pág. 19
” vale 12
Escuela de informática
El segundo punto cuando la constante “El segundo punto cuando la constante “c” vale 18
pág. 20
” vale 18