gran criba bien explicada

7/25/2019 Gran Criba bien explicada

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La gran criba

Fernando Chamizo

Febrero 2011

1. Introduccion

En diversos problemas de teora analtica de numeros aparece el problema de obtenercancelacion en una forma bilineal(1)

B(x,y ) =M

m=1

Nn=1

xmbmnyn= xtBy con x = (xm)

Mm=1, y = (yn)

Nn=1 y B =

bmn

M,Nm,n=1

donde las coordenadasde x e y tienen significado demasiado aritmetico como para tratar deatacar directamente las sumas en m o en n con metodos analticos. La cota trivial aplicandodos veces la desigualdad de Cauchy-Schwarz es

(2) B(x,y ) x y B2 con B2= Mm=1

Nn=1

|bmn|21/2.En terminos generales se llama desigualdad de gran cribaa una mejora de esta acotacion

para ciertaB con x e y arbitrarios. Se busca extraer la cancelacion inducida por la estructurade la forma bilineal con la idea de que la debida a una eleccion particular dex e y es intratable.

El nombre aparecion en el trabajo fundacional de Yu.V. Linnik en 1941 y posiblementequedo definitivamente asentado con la publicacion en 1974 del libro de E. Bombieri La grancriba en la teora analtica de numeros [2]. Proviene de que algunas de estas desigualdadesfueron fundamentales para construir metodos de criba que permitan eliminar muchas clasesde congruencia. El nombre se debe entonces a razones historicas y es un poco desafortunadoy confuso, pues se aplica por igual a las desigualdades y a los metodos de criba (vease laintroduccion de [11]). Ademas ya I.M. Vinogradov haba explotado la estructura bilineal en1937 para su famoso teorema sobre sumas de tres primos sin construir ningun nuevo metodode criba.

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Esta claro que

(3) supx =0

|B(x, y)|2x 2 = By

2 =M

m=1

Nn=1

bmnyn2.

Por tanto si lo preferimos, podemos pensar en formas cuadraticas en vez de en formas bilineales.La acotacion trivial correspondiente a (2) es

(4) Q(y) B22y 2 con Q(y ) = By 2.

Imaginemos que las filas b1 ,b2, . . . ,bM de B son ortonormales. Esto obliga a N M yse puede extender B a una matriz cuadrada ortogonal (o unitaria) B MNN. Se cumpleB

22= M(cada fila es de norma 1) y (4) afirma Q(y ) My

2

, sin embargo

(5) Q(y ) = By 2 = |b1 y |2 + |b2 y |2 + + |bMy |2 By 2 = y2.

De alguna forma la independencia (ortogonalidad) entre las filas es la razon de que (4) semejore M veces.

Las desigualdades de gran criba sustituyen la ortogonalidad, que es demasiado fuerte comopara poder emplearla en la practica, por la hipotesis de que los productos escalares seanpequenos. La idea geometrica es que un vector de norma fijada no puede tener proyecciongrande con respecto a muchos vectores que tengan direcciones bien distintas porque no puedeacercarse a ser pararelo a todos ellos.

La cadena de desigualdades

|x tBy |2 x tB2y2 = y 2n

Mm=1

xmbmn2 = y 2 M

k,l=1

xkxl

Nn=1

bknbln(6)

y 2M

k,l=1

|xk|2 + |xl|22

Nn=1

bknbln y 2x 2 max

k

Ml=1

Nn=1

bknbln,

junto con (3), implica

(7)

By

2

(B)

y

2 con (B) = max

k

M

l=1 N

n=1 bknbln.Entonces (B) es el maximo valor que puede tomar la suma de los valores absolutos del

producto escalar de una fila por las otras, y esta cantidad cuantifica desde el punto de vistadel algebra lineal la posible mejora de (4).

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2. La desigualdad clasica

Sea x1, x2, . . . numeros reales y 0<


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La constante optima no es tan importante y renunciando a ella es posible dar una demos-

tracion bastante breve debida a P.X. Gallagher [4].Por el teorema fundamental del calculo,|f(x)| |f(y)| + I |f| para todo x e y en un

intervalo I. Eligiendo un y para el que se alcance el mnimo de|f|, se obtiene una hermanamenor de las desigualdades de Sobolev:

(12) |f(x)| 1|I|I|f| +

I|f|.

Si subdividimos el intervalo [0, 1], donde podemos suponer que estan los x, en 1 +O(1)

intervalos semiabiertosIk de longitud entonces cada uno de ellos contiene a lo mas un x, ytomando f(x) =

g(x)

2

(13)

|g(x)|2 k

1

Ik

|g|2 +Ik

|gg|

1 10

|g|2 + 10

|g|21/2 10

|g|21/2.Eligiendo g(x) =

Nn=1 ane(nx) y aplicando la identidad de Parseval se termina la demostraci on

de

(14)

Nn=1

ane(nx)2 (N+ 1) N

n=1

|an|2.

Haciendo los calculos con un poco de cuidado [4] es posible comprobar que con ( N+ 1) se

obtiene la desigualdad, por tanto la constante no es muy mala.Si por ejemplo an = (n) los conocimientos actuales permiten ganar a la trivial s olo unapotencia de logaritmo en cada una de las sumas interiores (Th.13.10 [8]), mientras que sitenemos Npuntos x con N1, entonces (14) prueba

(15) 1

N

N=1

Nn=1

(n)e(nx)2 N.

La hipotesis de Riemann equivale a que la suma interior para x= 0 sea O

N1/2+

y otrosvalores dex son conjeturalmente mas difciles de estudiar, lo que da una idea del poder de lagran criba.

En teora analtica de numeros el protagonismo de las sumas oscilatorias lo comparten lassumas trigonometricas y las de caracteres. Curiosamente el analogo mas natural de (8)

(16)Cq

Nn=1

an(n)2 (q+ N) N

n=1

|an|2

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donde

Cq es el conjunto de caracteres modulo q, es sencillo a partir de las relaciones de orto-

gonalidad.En las aplicaciones la verdadera desigualdad hermana de (8) es

(17)qQ

q

(q)

Pq

Nn=1

an(n)2 (Q2 + N 1) N

n=1

|an|2

dondePq es el conjunto de caracteres primitivos modulo q.Para probarla se comienza eligiendo en (8) como xlas fracciones irreducibles en (0, 1] con

denominador a lo mas Q (las fracciones de Farey), obteniendose

(18) qQ

q

a=1

(a,q)=1

N

n=1

aneanq 2 (Q2 + N 1)N

n=1

|an|2

.

El resto de la deduccion de (17) pasa por hacer algunas manipulaciones (7.5 [8]) con la seriede Fourier discreta de los caracteres [4]:

(a) = 1

()

qn=1

(n)ean

q

donde () =

qn=1

(n)en

q

.

Existen muchas otras desigualdades de gran criba utiles en diferentes contextos. Hay una

buena coleccion de ellas en el captulo 7 de [8].

3. La gran criba como metodo de criba

En lneas generales los metodos de criba investigan como se modifica el cardinal de unconjunto al eliminar ciertas clases de congruencia.

Nosotros trabajaremos en [1, N] y queremos acotar superiormente el cardinal Z de unconjuntoZ [1, N] que para cada primo p Q omite (p) clases de congruencia. Sib1, b2, . . . , bp(p) son las unicas clases permitidas modulo p, entonces

(19) Z2

p(p)

j=1 #n Z ; n bj (p)

2

p (p) p

k=1

#n Z ; n k (p)2.Ahora escribimos la desigualdad con sumas trigonometricas

(20) Z2 p (p)nZ

mZ

1

p

pa=1

ea(n m)

p

=

p (p)p

pa=1

nZ

ean

p

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Para a = p la suma interior es Z, agrupando esta contribucion con el primer miembro y

despejando,

(21) h(p)Z2 pa=1

(a,p)=1

nZ

ean

p

2 con h(p) = (p)p (p) .

Dado qno divisible por p, se tiene

(22)

pqa=1

(a,pq)=1

nZ

ean

pq

2 = pa=1

(a,p)=1

qb=1

(b,q)=1

nZ

ean

p

ebn

q

2 h(p) qb=1

(b,q)=1

nZ

ebn

q

2

donde la igualdad se debe al teorema chino del resto y la desigualdad se deduce de un c alculosimilar al que permitio llegar (21) pero ahora con una suma trigonometrica en lugar de Z2.

Por consiguiente un argumento inductivo prueba que para cualquier qlibre de cuadrados

(23) h(q)Z2 q

a=1(a,q)=1

nZ

ean

q

2 con h(q) = p|q

(p)

p (p) .

Sumando (23) en q Q y aplicando (18) con an = 1 si n Z y an = 0 en otro caso, setiene

(24) Z N+ Q2

qQ h(q) con h(q) =2(q)

p|q(p)p (p) .

Aqu el 2(q) solo sirve para excluir de la suma a los no libres de cuadrados que no hemosconsiderado (es posible incluirlos complicando notablemente el enunciado2 [11]).

La expresion aparatosa parah(q) requiere a menudo apelar alteorema de Wirsing. Este re-sultado dice esencialmente que, bajo ciertas hipotesis, si una funcion multiplicativa no negativatiene promedio sobre los primos entonces sobre los enteros crece como (log N)1.

Por ejemplo, para la funcion identicamente uno se tiene:

(25) 1

(N) pN1 1 y 1

N nN1 1,y para la funcion divisor restringida a los libres de cuadrados:

(26) 1

(N)

pN

2 2 y 1N

nN

2(n)d(n) Clog N.

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En

6.6 de [8] hay estimaciones mas concretas del denominador de (24) para situaciones

mas o menos genericas.

Un ejemplo tpico que se suele poner para ilustrar la fuerza de (24) es el conjuntoZobtenido a quitar de [1, N2] todos los no residuos cuadraticos modulo los primos p N. Enesta situacion(p) = (p + 1)/2 yh(p) = (p + 1)/(p 1) que tiene promedio 1 sobre los primos,por tanto el denominador en (24) es Q y eligiendo Q= N en Z (N+ Q2)/Q se llega aZ N. ObviamenteZ {12, 22, 32, . . . , N 2} y entonces la cota obtenida es la mejor posiblesalvo una constante multiplicativa.

4. Algunas aplicaciones

Primos gemelos. Buscamos estimar2(N), el cardinal de los n N tales que n y n+ 2sean primos (gemelos). Para ello consideramos el conjunto

(27) Z= n [1, N] : n 0, n 2 (p) p N.Entonces para cada 2 < p Nse tieneh(p) = 2/(p2) y h(2) = 1 y se cumple para q N

(28) h(q) 2(q)p|q

2

p =

2(q)d(q)

2q .

Sumando por partes usando (26), se tiene

(29) qN

h(q) (log N)2.

Evidentemente2(N) Z+

Ny (24) con Q = [

N] prueba

(30) 2(N) N(log N)2

.

El resultado es espectacular teniendo en cuenta que la f ormula asintotica de la conjetura delos primos gemelos es 2(N) CN/(log N)2 con una constante especfica.

Con tecnicas sofisticadas de criba (

25.6 [6]) se puede probar que al anadir a2(N) el nume-

ro de primos p N tales que p+ 2 tiene dos factores primos el resultado es N/(log N)2.Esto esta sorprendentemente cerca de la conjetura de los primos gemelos pero hay proble-mas teoricos que impiden ser demasiado optimista acerca de la continuacion de esta lnea derazonamiento.

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Primos en intervalos pequenos. El teorema de los numeros primos afirma

(31) (N) = Li(N) + E con E= o

Li(N)

y nadie ha conseguido probar E = O(N) para ningun < 1, lo cual implicara que no hayceros de la funcion ens > . Por ello es sorprendente que en 1930 G. Hoheisel probaseincondicionalmente que

(32) (M+ N) (M) Nlog M

para M < N < M

con = 0,9996 . . . Posteriormente se desarrollo una teora que relacionaba este tipo de asintoti-ca con resultados llamados de densidad, que establecen que los posibles ceros incumpliendo la

hipotesis de Riemann son muy escasos (tienen poca densidad) en ciertos rect angulos. En 1972M.N. Huxley [7] consiguio probar utilizando estas ideas (32) para cualquier >7/12 y no hahabido otros avances desde entonces.

Nosotros vamos a establecer un caso particular del teorema de Brun-Titchmarsh que sus-tituye la asintotica (32) por una cota superior sin restricciones sobre el rango. Concretamente

(33) (M+ N) (M) 2 + o(1) Nlog N

para todo 1< N < M

donde o(1) tiende a cero cuando N crece.La observacion clave es que el rango de sumacion de n en (8) se puede cambiar de [1, N]

a [M + 1, M +N] porque ello equivale a multiplicar por e(M x

) que tiene modulo 1. Enconsecuencia (24) se aplica igualmente a [1, N] y a [M+ 1, M+ N].

En el conjunto

(34) Z= n [M+ 1, M+ N] : n 0 (p) p Qestan todos los primos que son mayores que Q, por tanto

(35) (M+ N) (M) Z+ Q.

Como se excluye una clase por cada primo, h(p) = 1/(p 1) =p1 +p2 +p3 + . . . por tantoh(q) es la suma de los inversos de todos los numeros con los mismos factores primos que q,

as pues

(36)qQ

h(q) qQ

1

q= log Q + O(1).

La cota (24) con Q =

N / log Ntermina la prueba de (33).

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Un Teorema de Linnik. Conjeturalmente los residuos y no residuos cuadraticos modulo

un primo p estan bien mezclados y el primer no residuo cuadratico n(p) no debera tardarmucho en aparecer. De hecho se sabe [1] (ver tambien9.2 [10]) que suponiendo la hipotesisde Riemann generalizada se cumple n(p)(logp)2. El mejor resultado incondicional en estalnea es n(p) p para todo >(16e)1/2 y tiene mas de 50 anos [3].

Linnik probo que fijado >0 existe C tal que

(37) #p N : n(p)> N< C.

Este resultado es uno de los que originaron la gran criba.La demostracion se sale del esquema de los ejemplos anteriores pues emplearemos Z para

acotar el denominador de (24) en vez de ser al reves. Ademas ahora no se cribara con todoslos primos hasta Q sino solo con los de

(38) P= #p Q : todon N es residuo cuadratico modulo p.En la practica esto es como poner (p) = 0 para el resto de los primos de [1, Q].

Consideramos el conjunto

(39) Z= n N2 : n no es no residuo modulo p, p PIgual que en el ejemplo de prueba con los cuadrados, excluir los no residuos conduce a h(p) =(p 1)/(p+ 1). Notese que, a diferencia de los ejemplos anteriores, aqu el nombre de grancriba esta justificado pues (p) es comparable a p. El denominador de (24) para Q = N es

(40)q

N

h(q) p

P

h(p) 13

#p N : n(p)> N.

Entonces

(41) #p N : n(p)> N N2

Z .

EnZestan todos los numeros de [1, N2] que tienen todos sus factores primos N porque losprimos de este tamano son residuos cuadraticos modulo cualquier p P(por definicion deP)y el producto de residuos es residuo. Es posible dar una formula asintotica para los numeroscon este tipo de factores primos, pero siguiendo7.4 [8] utilizamos la desigualdad elemental:(42) Z #n N2 : p N p | n #mp1p2 . . . p[21] N2 : N2/2 < pj Nque implica

(43) Z N

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Referencias

[1] N. C. Ankeny. The least quadratic non residue. Ann. of Math. (2), 55:6572, 1952.

[2] E. Bombieri.Le grand crible dans la theorie analytique des nombres. Societe Mathemati-que de France, Paris, 1974. Avec une sommaire en anglais, Asterisque, No. 18.

[3] D. A. Burgess. The distribution of quadratic residues and non-residues. Mathematika,4:106112, 1957.

[4] H. Davenport.Multiplicative number theory, volume 74 ofGraduate Texts in Mathematics.Springer-Verlag, New York, third edition, 2000. Revised and with a preface by Hugh L.Montgomery.

[5] H. Dym and H. P. McKean. Fourier series and integrals. Academic Press, New York,1972. Probability and Mathematical Statistics, No. 14.

[6] J. Friedlander and H. Iwaniec. Opera de Cribro, volume 57 of American MathematicalSociety Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.

[7] M. N. Huxley. On the difference between consecutive primes. Invent. Math., 15:164170,1972.

[8] H. Iwaniec and E. Kowalski.Analytic number theory, volume 53 ofAmerican MathematicalSociety Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[9] H. L. Montgomery. The analytic principle of the large sieve. Bull. Amer. Math. Soc.,84(4):547567, 1978.

[10] H. L. Montgomery. Ten lectures on the interface between analytic number theory andharmonic analysis, volume 84 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Pu-blished for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1994.

[11] O. Ramare. Arithmetical aspects of the large sieve inequality, volume 1 ofHarish-ChandraResearch Institute Lecture Notes. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2009. With thecollaboration of D. S. Ramana.

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