Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

El movimiento rectilíneo uniformemente variado es un caso especial del movimiento variado, este movimiento tiene la particularidad de que su aceleración se mantiene constante a través del tiempo, o lo que es lo mismo que la velocidad varía en igual magnitud en intervalos iguales de tiempo.

En este tipo de movimiento la partícula o sistema de partículas con respecto a las cuales se analiza el movimiento no recorren espacios iguales en tiempos iguales, tan solo es constante la variación de la velocidad, por lo que hay que establecer conceptos básicos y esenciales como el de velocidad media y velocidad instantánea, que nos ayudará mucho en la comprensión de este fenómeno y en la solución de problemas.

Velocidad media

La velocidad media es la velocidad promedio existente en un intervalo de tiempo y espacio determinados, para poderlo explicar tomemos el ejemplo de un automóvil en una autopista, si hay dos observadores, el uno en un punto A y el otro en un punto B, entonces ambos toman la medida de velocidad en dichos puntos, luego la velocidad media del vehículo en AB será el promedio de las dos velocidades, sin embargo no podemos asegurar que el móvil haya permanecido con esta velocidad en todo el intervalo, porque bien pudo frenar, acelerar o incluso parar, entonces las formulas para la velocidad media son:

Vm= ( Vo + Vf ) / 2

donde Vo y Vf son las vectores velocidad inicial (en el pto A) y velocidad final (en el pto B) respectivamente, para la rapidez media, lo único que cambia es que Vo y Vf son las rapideces inicial y final repectivamente.

Velocidad Instantánea

La velocidad instantánea es la velocidad que una partícula tiene en un determinado instante de tiempo, esto se puede llegar a determinar caundo el intervalo de tiempo en el que medimos, es muy pequeño o mejor dicho infinitamente pequeño.

Si hacemos que el tiempo tienda a ser muy pequeño entonces la velocidad instantánea en un determinado instante de tiempo viene dado por la derivada de la posición con respecto al tiempo:

Vi = dr / dt

En la mayoría de textos y por conveniencia a la velocidad instantáne Vi se la denomina tan solo como V. Como la trayectoria es rectilínea para la rapidez instantánea viene dado por la derivado del espacio con respecto al tiempo, donde e esta en función del tiempo (t):

V = de/dt

Gráficas del MRUV

 

Como podemos observar en las gráficas, se da una variación lineal de la velocidad con respecto al tiempo, la aceleración se mantiene constante durante todo el tiempo, y algo muy importante de observar es que el espacio presente una variación mas bien cuadrática y no una variación lineal.

La pendiente de la recta en la primera figura nos señala que es constante y la pendiente es el valor de la aceleración en ese punto, para la tercera figura, vemos que la pendiente se encuentra variando, por medio de la derivación podríamos determinar el valor de la pendiente en cualquier punto y verificamos que se trata de la velocidad instantánea en ese punto. El área bajo la curva de la primera gráfica nos representa el espacio recorrido con respecto al tiempo.

Ecuaciones escalares y vectoriales del MRUV

Ecuaciones particulares

Si tenemos un cuerpo que se mueve con MRUV, en un medio donde no existen agentes externos interactuándo sobre él, y si Vo es la velocidad inicial del cuerpo y V su velocidad final instantánea, cabe recalcar en el aspecto de que las velocidades deben ser instantáneas entonces:

a = (V - Vo) / t ;

r = Vot + (1/2)a t2

Estas son las fórmulas vectoriales, ahora vamos a ver las ecuaciones escalares:

a = (V - Vo) / t

r = Vot + (1/2)a t2

V2 = Vo2 + 2ae

donde a es el módulo de la aceleración y e es el espacio recorrido

Ecuaciones Generales

En muchos casos, sobre todo mas acercados a la realidad no podemos determinar velocidades instantáneas o en el caso en el que la posición o el espacio este en función del tiempo o si tenemos el caso de que la velocidad este en función del tiempo, entonces tenemos que:

si r = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; la posición como función del tiempo

luego;

V = dr / dt =  x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k = Vx(t)i + Vy(t)j + Vz(t)k

a = dv / dt =  Vx'(t)i + Vy'(t)j + Vz'(t)k =  Cxi + Cyj + Czk,

donde Cx, Cy, Cz, son constantes ya que la aceleración es constante, además:

a = d2r / dt2 =  x''(t)i + y''(t)j + z''(t)k =  Cxi + Cyj + Czk,

la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

Si el caso es de tener tan solo la aceleración o la velocidad con respecto al tiempo, entonces:

Estas ecuaciones (1) y (2) son aplicables tanto para vectores como para escalares, si el caso es de un vector se integra cada una de las componentes en x,y,z respectivamente.

Las ecuaciones generales escalares son:

V = de / dt, donde  e = f(t)

a = dv / dt = d2r / dt2 ,...y las ecuaciones: