Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Arturo Emmanuel Cruz Alvarez Facultad de Ciencias, UNAM Lab. Mecánica Grupo 8732

arturo_cdrv@ciencias.unam.mx

17 de febrero de 2015

Resumen

Esta práctica se basó en el concepto de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Buscamos, con ella, encontrar el valor de la aceleración de la gravedad actuando en cada caso. Durante el primer experimento dejamos deslizarse sobre un riel de aire a un carro y tomamos el tiempo en que tardó en recorrer once distancias distintas, determinando su velocidad en cada uno de esos once puntos y calculando la aceleración aproximada. La gráfica de los datos presentó un comportamiento parabólico, como se esperaba. El segundo experimento consistió en dejar caer una pelota y obtener la videograbación de la caída para analizar distintos puntos y el tiempo que tardó en llegar a dichos puntos desde el momento de ser soltada, calculando así las velocidades promedio en cada punto y analizando su variación para determinar la aceleración total del sistema. El objetivo fue calcular la magnitud de la aceleración que actúa atrayendo hacia el suelo (verticalmente) a los objetos observados, siendo ésta la aceleración de la gravedad. Se determinaron dos aceleraciones verticales distintas, la del primer experimento resultó de 8.84 !

!! y la del segundo, 9.74 !

!! resultaron ser diferentes

de la aceleración de la gravedad en Ciudad Universitaria (9.78   !!!

)i por un margen porcentual de 9.6% la primera y .4% la segunda.

1. Introducción La aceleración es una magnitud vectorial, por lo tanto tiene dirección, sentido y módulo (o longitud). El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) (o Uniformemente Variado (MRUV)) es aquel fenómeno en el cual un objeto se mueve con aceleración constante, es decir, cuando la variación de la velocidad del objeto en un intervalo de tiempo es igual a la variación en otro intervalo arbitrario de la misma duración. Este tipo de movimiento ocurre cuando la aceleración es distinta de cero, de este modo, la velocidad instantánea en cada punto del desplazamiento es distinta. Sir Isaac Newton, una de las figuras más importantes en la historia de las ciencias físicas, propone que un cuerpo permanece en estado de equilibrio (describiendo el reposo o un movimiento rectilíneo con velocidad constante) a menos que una fuerza externa actúe perturbando ese estado de equilibrio, provocando así una aceleración, si la fuerza es constante, la aceleración resultante también será constante, a este principio se le conoce como la Primera ley del movimiento de Newton (y la magnitud de la aceleración es el cociente de la

magnitud de la fuerza aplicada al objeto dividida entre el valor de la masa del objeto).ii Las ecuaciones que describen un MRUA son:

1  𝑎 𝑡 =∆𝑣∆𝑡 ,∆𝑣 = 𝑣! − 𝑣!,∆𝑡 = 𝑡! − 𝑡!

donde “t” es el tiempo y tanto la aceleración (que es “a”) como la posición (que es “x”) están en función del tiempo en el que se da la medición. “∆v” es la variación de la velocidad en dos puntos, "𝑣!" es la velocidad instantánea obtenida en el momento de comenzar a tomar el tiempo,  "𝑣!" es la velocidad instantánea al momento de terminar el intervalo. “∆t” es el intervalo de tiempo del recorrido "𝑡!" es el momento en el que se mide la primera velocidad y "𝑡!" es el momento en el que termina el intervalo y se mide la velocidad final.

2 𝑥(𝑡) = 𝑥! + 𝑣!𝑡 +12𝑎𝑡

! Donde "𝑥!" es la posición donde comienza la medición, “𝑣!" es la velocidad instantánea al inicio de la medición, “t” es el tiempo que dura el recorrido y “a” es la aceleración del sistema u objeto en movimiento. Podemos notar que tiene la estructura general de una ecuación cuadrática de dos variables (x y t):

2.1 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑡! + 𝐵𝑡 + 𝐶 De donde A=!

!𝑎, B=𝑣! y C=𝑥!

2. Desarrollo

Utilizamos un riel de aire con inclinación de 4.2º (equivalente a .073 radianes) para deslizar un carro especial a través de él, el riel de aire es un tubo con una serie de pequeños agujeros en la superficie, a un extremo se conecta un dispositivo que envía aire a través del riel y este aire sale a través de los pequeños agujeros creando una capa de aire que reduce la fricción que actúa entre el riel y el carro. Pusimos once marcas con diferencia de diez centímetros entre cada una (a partir del punto de partida) para tomar el tiempo que tardaba en recorrer cada uno de los intervalos, el tiempo lo medimos con compuertas ópticas, que son arcos que detectan el movimiento de un objeto que pasa a través de ellas. Se coloca una en el punto que se quiere comenzar a hacer la medición y otra en el punto donde se quiere que termine, el tiempo marcado es el que tarda el objeto en llegar de una a otra. Así calculamos, con la fórmula de velocidad promedio, dada por:

3 𝑣!"#$ =∆𝑥∆𝑡 ,∆𝑥 = 𝑥! − 𝑥!,∆𝑡 = 𝑡! − 𝑡!

donde “∆x” es la medida del recorrido, "𝑥!” es la posición final y “𝑥!" es la posición inicial y “∆t” es lo mismo que en la fórmula (1). Calculamos así once desplazamientos de los cuales encontramos una aceleración de .61 !

!!. A partir de

esta magnitud y el ángulo de inclinación calculamos la aceleración de la gravedad

(dada por “g”). En este caso el análisis es en dos dimensiones, así que podemos poner un par de ejes para referenciar nuestro movimiento, con ello, involucrando trigonometría encontramos el módulo de “g”, ya que la aceleración a través del riel (“a”) es un cateto de un triángulo y “g” es la hipotenusa del mismo, el otro cateto no es necesario contemplarlo, pero sabemos que el ángulo entre este último y la aceleración en el riel es de .073 rad, así, utilizamos:

4  “g” ="𝑎"𝑠𝑒𝑛 ∝  

donde ∝ es el ángulo, con ella, “g” resulta 8.84 !!!

. La incertidumbre de las compuertas es del orden de nanosegundos por tanto es despreciable, la de la longitud es de .0034 m.Calculamos el error tanto del ángulo como de la aceleración del carro y la efectuada por la gravedad, generalizando el método se obtiene que la propagación del error se encuentra como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la multiplicación de la derivada parcial con respecto a cada variable por la incertidumbre de cada variable, o sea:

5  𝑆𝑚iii =𝜕𝑚𝜕𝑎

!

∗ 𝑆𝑎! +𝜕𝑚𝜕𝑏

!

∗ 𝑆𝑏! +⋯

El error de la medición del ángulo fue de ±2.24 ∗ 10!!𝑟𝑎𝑑. La propagación para “g” resultó de Para el segundo experimento, cayó una pelota de ping pong desde una altura arbitraria tomando un vídeo de la caída, con un software iv se analizó el comportamiento de la trayectoria y determinamos la aceleración de la pelota. Utilizando puntos en cada fotograma para localizar el desplazamiento de la pelota, determinando así el aumento en la velocidad entre cada punto analizado. El programa, a través de una aproximación cuadrática (descrita en la primera práctica, primero linealizando y después aplicando método de mínimos cuadrados), encontró que A (de la ecuación 2.1) fue igual a -4.87, por tanto la aceleración (tomando en cuenta el sistema de referencia opuesto al movimiento) es de 9.74 !

!!.

3. Análisis y resultados Tabla (1)

Desplazamiento del carro Distancia (m) Tiempo (s) .1 .39 .2 .59 .3 .75 .4 .90 .5 1.03 .6 1.14 .7 1.25 .8 1.35 .9 1.44 1 1.52 1.1 1.61 Datos de MRUA Esta tabla describe el tiempo que tardó en llegar, desde el inicio, a cada uno de los puntos marcados. Podemos notar que cada intervalo de distancia es igual y que a medida que el intervalo se va alejando del inicio, el carro tarda menos tiempo en recorrerlo.

En la gráfica anterior podemos ver, con el ajuste cuadrático, cómo es que va aumentando la velocidad del carro conforme el tiempo avanza, esto nos indica que

y  =  0.4816x1.6939  R²  =  0.99984  

0  

0.2  

0.4  

0.6  

0.8  

1  

1.2  

0   0.2   0.4   0.6   0.8   1   1.2   1.4   1.6   1.8  

Recorrido  (m)  

Tiempo  (s)  

Grá1ico  (1)Desplazamiento  del  carro  

Grá3ico  1.  Se  muestra  el  comportamiento  de  los  datos  obtenidos  con  un  ajuste  cuadrático  

hay aceleración. Las barras de error en la longitud del recorrido no alcanzan a apreciarse ya que cada una tiene un valor de .0068 m.

El gráfico anterior nos muestra cómo es que fue descrito el desplazamiento de la pelota al ir cayendo, algunos de los primeros puntos no son tomados en cuenta pues describen a la pelota aún en reposo, sostenida por quien, en el primer punto del movimiento, la suelta, igualmente se desprecian los últimos dos puntos ya que los fotogramas no resultaban nítidos.

4. Discusión Los resultados nos muestran que, como se esperaba, hay una aceleración actuando en dirección perpendicular a la superficie (el suelo), cuando se toma la componente de una aceleración en una dirección distinta, si la componente está en ese eje (perpendicular al suelo) la magnitud obtenida será máxima. A través de los cálculos descritos y el análisis comprobamos que, efectivamente las gráficas de recorrido con respecto al tiempo describen parábolas. A pesar de que no hubo una similitud exacta entre ambos resultados, la divergencia fue satisfactoria, pues no hubo más de una unidad de diferencia entre las aceleraciones. Finalmente, podemos claramente concluir que ambos experimentos describieron con suma cercanía el fenómeno de la aceleración gravitatoria y los resultados obtenidos tuvieron errores calculados pequeños.

5. Conclusiones

Gráfico  2.  Comportamiento  del  desplazamiento  con  respecto  al  tiempo  de  la  pelota  en  el  segundo  experimento  

Gracias a la reducción de variables como la fricción entre el carro y el riel y el tiempo de reacción para accionar cronómetros, la variación de nuestros resultados con respecto a los estudiados bajo condiciones más controladas (por tanto, más ideales). Las herramientas nos permitieron tener un mayor control y precisión sobre nuestras medidas, en consecuencia el análisis tuvo un mejor desarrollo, para mejorar el análisis haría falta tomar en cuenta y medir cómo afectarían más variables (por ejemplo: fricción, velocidad terminal, etc.). Y aunque los resultados no fueron exactamente los oficiales, hubo una variación satisfactoriamente menor.                                                                                                                Bibliografía: i Dato del Instituto de Geofísica de la UNAM. Recuperado de: <<http://www.cenam.mx/fyp/gravedad.html>> Centro Nacional de Meteorología. México D.F.

ii Recuperado de: <<http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html>> iii  Baird, D. Experimentación: Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Prentice-Hall Hispanoamérica. México, 1991.

 iv  Tracker  <<http://www.cabrillo.edu>>