Tema IIIGráficas de Funciones

Precálculo

Objetivos

• Determinar funciones pares e impares de una gráfica.

• Identificar funciones pares e impares de una ecuación.

• Utilizar una gráfica para determinar cuando una función es creciente, decreciente o constante.

• Utilizar una gráfica para localizar máximos y mínimos locales.

• Encontrar la razón de cambio promedio de una función.

Funciones Pares e Impares

• Una función f es par si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = f(x).

• Una función f es impar si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = -f(x).

TeoremaUna función es par si y solamente si es simétrica con respecto al eje de y. Una función es impar si y solamente si es simétrica con respecto a origen.

Determinando Funciones Pares e Impares de una Gráfica

• Determina cual de las siguientes gráficas representa una función par, impar o ninguna.

x

y

x

y

x

y

Identificando Funciones Pares e Impares

• Clasifica las siguientes funciones en par, impar o ninguna. Luego establece si es simétrica con respecto a el eje de y o con respecto al origen.

2

3

3

(a) 5

(b) 1

(c) 5

f x x

g x x

h x x x

Funciones Crecientes y Decrecientes

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Funciones Crecientes o Decrecientes

1 2 1 2 1 2

Una función es creciente en un intervalo abierto si, para cualquier

elección de y en , con , tenemos que .

Una función es decreciente en un intervalo abierto si, para cualquie

f I

x x I x x f x f x

f I

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

r

elección de y en , con , tenemos que .

Una función es constante en un intervalo abierto si, para cualquier

elección de y en , con , tenemos que .

x x I x x f x f x

f I

x x I x x f x f x

Máximos Locales; Mínimos Locales

Una función tiene un máximo local en si existe un intervalo

abierto que contenga a tal que, para toda en ,

. Llamamos a un máximo local de .

Una función tiene un mínimo local en

f c

I c x c I

f x f c f c f

f c

si existe un intervalo

abierto que contenga a tal que, para toda en ,

. Llamamos a un mínimo local de .

I c x c I

f x f c f c f

Encontrando Máximos y Mínimos Locales de la Gráfica de una Función

1. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un máximo local?

2. ¿Cuál es el máximo local?3. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un

mínimo local?4. ¿Cuál es el mínimo local?5. ¿Para cuáles intervalos la función f es

creciente y para cuáles es decreciente?

Razón de Cambio Promedio

Si está en el dominio de una función , la razón de

cambio promedio de desde hasta está definida como

Razon de cambio promedio ,

c y f x

f c x

f x f cyx c

x x c

Encontrando la Razón de Cambio Promedio

2Encuentra la razón de cambio promedio de 3 :

(a) Desde 1 hasta 3.

(b) Desde 1 hasta 5.

(c) Desde 1 hasta 7.

f x x

2

Encuentra la razón de cambio promedio de:

(a) 2 3 desde 0 hasta .

(b) 3 2 3 desde 0 hasta .

f x x x

g x x x x