Tipos de Funciones Reales de Variable Real

ELABORADO POR PROFESORA LILY ALTIMIRAS R.

VERSIÓN 2006

Función Constante: f(x) = k , k ∈ R

• Si k > 0, su gráfica se ubica por sobre el eje X.

• Si k = 0, su gráfica se ubica en el eje X.

• Si k < 0, su gráfica se ubica bajo el eje X.

Función Lineal: f(x) = ax + b , a y b ∈ R, con a ≠ 0

• Su gráfica representa una recta oblicua.

• Si a > 0, el ángulo de inclinación es agudo.

• Si a < 0, el ángulo de inclinación es obtuso.

Función Idéntica f(x) = x

• Simpre pasa por el origen.

• Bisectriz del primer y tercer cuadrante.

• Es siempre creciente.

• Se utiliza como reflexión para graficar funciones inversas.

Variación de la Pendiente

f(x) = ax + b , a > 0 y b fijo

f(x) = ax + b , a < 0 y b fijo

Variación del Coeficiente de Posición

f(x) = ax + b , a > 0 fijo

f(x) = ax + b , a < 0 fijo

Función Valor Absoluto: f(x) = | x |

• Es siempre positiva, excepto en el origen

• Bisecta el primer y segundo cuadrante

• Su gráfica corresponde a la reflexión con respecto al eje X de la sección negativa de f(x) = x

• Sirve de base para graficar cualquier función en valor absoluto

Desplazamientos Horizontales

f(x) = | x + k | , k < 0 f( x) = | x + k | , k > 0

Desplazamientos Verticales

f(x) = | x | + k , k < 0 f(x) = | x | + k , k > 0

Función Cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c

a,b,c ∈ R con a ≠ 0 Función Cóncava hacia

arriba si a > 0 Función Cóncava hacia

abajo si a < 0

Interpretación Gráfica del Discriminante

b2 - 4ac > 0, 2 raíces reales

distintas

b2 - 4ac = 0, 2 raíces reales

iguales

b2 - 4ac < 0, 2 raíces complejas

Desplazamientos Horizontales

f(x)= a(x+k)2 + b(x+k) +c , k > 0

f(x)= a(x+k)2 + b(x+k) +c , k < 0

Desplazamientos Verticales

f(x)= ax2 + bx + c + k , k < 0

f(x)= ax2 + bx + c + k , k > 0

Función Cuadrática Simple

f(x) = x2

Función Cuadrática simple con desplazamientos horizontales y

verticalesf(x) = (x + k )2 f(x) = x2 + k

Función Cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+da,b,c,d ∈ R, con a ≠ 0

y sus Variaciones

y = ax³ + bx² + cx + d y = ax³ + bx² + cx

Función Cúbica y sus Variaciones

dbxaxy ++= 23

y = ax³ + bx² + d y = ax³ + cx + d

y = ax³ + d

Función Cúbica Simple

f(x) = x3

Función Cúbica Simple con Desplazamientos Horizontales

f(x) = ( x + k )3 , k < 0 f(x) = ( x + k )3 , k > 0

Función Cúbica Simple con Desplazamientos Verticalesf(x) = x3+ k , k < 0 f(x) = x3 + k , k > 0

Función Exponencial de base `a´:f(x) = ax , con a > 0 , a ≠ 1

Desplazamientos Horizontales

f(x) = a( x + k ) , k < 0 f(x) = a( x + k ) , k > 0

Desplazamientos Verticales

f(x) = ax + k , k < 0 f(x) = ax + k , k > 0

Función Logarítmica de base `a´:f(x) = loga( x ), con a > 0 , a ≠ 1

Desplazamientos Horizontales

f(x) = loga( x + k ) , k < 0

f(x) = loga( x + k ) , k > 0

Desplazamientos Verticalesf(x) = loga( x ) + k , k

< 0f(x) = loga( x ) + k , k

> 0

Función Racional: f(x) = g(x) / h(x)g y h polinomios, h ≠ 0

f(x) = 1 / x f(x) = 1 / ( x – 3 )

Función Racional

f(x) = x / (x – 3 ) f(x) = x2 / ( x – 1 )

Función Racional

f(x) = x2 / ( x2 – 4 ) f(x) = (x2+8) / (x2+4)

Función Segmentada

x2 si x ≤ 0

f(x) = x – 3 si 0 < x ≤ 1

| x – 5 | si x > 1

Función Segmentada

| 3x – 3 | si x < 0

f(x) = x - 3 si 0 ≤ x ≤ 2

3x – 5 si x > 2

Funciones Inversas entre sí

y = ax , a < 1 y = x

y = loga(x)

y = ax , 0 < a < 1

y = x

y = loga(x)

Funciones Inversas entre sí

y = x3

y = x

y = x1/3

Funciones Inversas entre sí

y = x2 , x > 0 y = x

y = x1/2

y = x2 , x < 0 y = x

y = −x1/2