11Preguntas propuestasPreguntas propuestas

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. . .

Geometría

2

Definiciones primitivas, segmentos y ángulos

NIVEL BÁSICO

1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.

A) 20 B) 10 C) 5D) 30 E) 25

2. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D además B es punto medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.

A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 2

3. De una línea recta se toman los puntos con-secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30, AC=14 y BD=20. Calcule BC.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

4. Sobre una línea recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y AC=13, calcule BE.

A) 12 B) 26 C) 18D) 20 E) 24

5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suple-mento y complemento de la medida de un án-gulo, respectivamente, calcule a.

A) 35ºB) 45ºC) 40ºD) 30ºE) 12º

6. Según el gráfico

m m m AOB BOC COA

5 6 7= =

Calcule m AOB.

A

B

C

O

A) 20º B) 40º C) 100ºD) 140º E) 50º

7. De acuerdo con el gráfico, OM� ��

y ON� ��

son las bisectrices de los ángulos AOB y COD, respec-tivamente. Calcule la m AOB si

m m m AOB BOC COD2 4 6

= =

A

M B C

N

D

O

64º

A) 30º B) 32º C) 24ºD) 16º E) 40º

8. En una línea recta se ubican los puntos conse-cutivos A, B, C, D y E.

Si ABBC CD DE= = =2 3 4

y AC=9, halle AE.

A) 20 B) 30 C) 40D) 27 E) 21

. . .

Geometría

3

NIVEL INTERMEDIO

9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-tivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y AD+BE=80. Halle AB+DE.

A) 80 B) 16 C) 48D) 64 E) 32

10. En una recta se ubican los puntos consecuti-vos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos me-dios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y 2PF+PR=18. Calcule FN+QR.

A) 4 B) 9 C) 8D) 5 E) 10

11. En el gráfico, m BOD=90º y m AOD – m AOB=20º. Halle m COD.

O

D

B

CA

A) 55º B) 35º C) 25ºD) 40º E) 30º

12. Se trazan n ángulos consecutivos alrededor de un punto. Si la suma de medidas de sus com-plementos es 810º, halle n.

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 13

NIVEL AVANZADO

13. De una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los puntos medios de AB y CD, respectivamente, además MN=16, calcule BD.

A) 16 B) 12 C) 18D) 15 E) 20

14. Calcule la medida de un ángulo si se sabe que los tres cuartos del suplemento de su comple-mento es 90º.

A) 15º B) 30º C) 45ºD) 60º E) 75º

15. Si α αα α+ = −C S4 2 10

, donde S y C representan

el suplemento y complemento de un ángulo,

respectivamente, calcule S2a.

A) 50º B) 100º C) 80ºD) 160º E) 130º

. . .

Geometría

4

Ángulos entre rectas paralelas

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, si L L�� ��1 2// , calcule a+b+q+w.

α

ω

θ

β

L 2

L 1

A) 180º B) 36º0 C) 540ºD) 270º E) 450º

2. Si L L�� ��1 2// y L L

�� ��3 4// , calcule x+y+z.

L 1

L 3

L 2

L 4

30º

y

y

x

z

130º

A) 160º B) 80º C) 150ºD) 50º E) 40º

3. Si L L�� ��1 2// , calcule x.

4θ4α

αx

θ

L 2L 1

A) 90º B) 135º C) 120º

D) 144º E) 108º

4. Según el gráfico, si L L�� ��1 2// , calcule a+b.

αα

α

αβ

β

β

2βα L 1

L 2

A) 36º

B) 95º

C) 60º

D) 72º

E) 80º

5. Si L L L�� �� ��1 2 3// // , calcule x.

L 1

L 2

L 3

x+50º

150º

x+30º

140ºx

2x

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 35º

E) 15º

. . .

Geometría

5

6. A partir del gráfico, calcule x si a+b=140º y L L�� ��1 2// .

L 1

L 2

mm

n

βα

x

n

A) 50º B) 110º C) 80ºD) 160º E) 130º

7. En el gráfico mostrado, L L�� ��1 2// ,

calcule x si q – b=40º.

θ

β

L 1

L 2

x

A) 40º B) 20º C) 30ºD) 50º E) 60º

8. Si L L�� ��1 2// , calcule x.

L 2

L 1

x

x

120º

A) 45º B) 20º C) 30ºD) 37º E) 60º

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, calcule x.

θ

θ

x 4x

A) 50º B) 20º C) 30ºD) 18º E) 36º

10. En el gráfico, si L L�� ��1 2// , calcule x.

L 2

L 1

30º

40º

2x

A) 10º B) 20º C) 30ºD) 35º E) 15º

11. Si L L�� ��1 2// , calcule x.

L 2

L 1

120º

x

140º

A) 60º B) 120º C) 80ºD) 110º E) 100º

. . .

Geometría

6

12. Si L L�� ��1 2// y a+b+q=135º, calcule x+y.

θβα

L 1

L 2

x y

76º

50º

A) 109º B) 93º C) 97ºD) 114º E) 100º

NIVEL AVANZADO

13. Si L L�� ��1 2// , calcule w+q.

θ

ω

L 2

L 1

20º

80º

A) 60º B) 120º C) 80ºD) 140º E) 100º

14. Si L L�� ��1 2// , calcule x.

L 2

L 1

m+n n

4xx

a

a

m

A) 30º B) 18º C) 24ºD) 36º E) 37º

15. Según el gráfico, L L�� ��1 2// , BP

��� es bisectriz del

ángulo ABC, m+a=70º y n – a=100º. Calcule x.

L 1

L 2

m

x

aA

B

Cn

P

A) 60º B) 50º C) 30ºD) 70º E) 80º

. . .

Geometría

7

Triángulo

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, calcule x.

20º

65º 110º 30º50º

x

A) 45º B) 60º C) 90ºD) 100º E) 120º

2. A partir del gráfico, calcule b+d – a – c.

50º 60º

a

d

bc

A) 10º B) 55º C) 110ºD) 80º E) 85º

3. Del gráfico, mostrado, calcule x.

A) 40º B) 50º

α

αx

60ºa

40º

C) 60ºD) 70º E) 80º

4. Del gráfico mostrado, calcule x.

αx

αβ

β

100º

3x

A) 50º B) 75º C) 25ºD) 20º E) 30º

5. A partir del gráfico, calcule x.

α

θ2θ

2α

2x3x

5x

A) 18º B) 20º C) 36ºD) 27º E) 30º

6. Del gráfico, calcule x.

θ+α

αθ

θ

4x

3x

2x

A) 20º B) 14º C) 18ºD) 16º E) 15º

. . .

Geometría

8

7. En el siguiente gráfico, ¿cuál es la suma de me-didas señaladas?

α

θ

β ω

γΦ

A) 405º B) 180º C) 390ºD) 450º E) 360º

UNMSM 2000

8. A partir del gráfico, calcule x+y+z.

40º

y

x

z

A) 360º B) 420º C) 320ºD) 400º E) 280º

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, calcule x.

θ2θ

108ºx

2αα

A) 72º B) 36º C) 24ºD) 54º E) 27º

10. Calcule x+y.

ω

3ω α 3α

x

y

30º65º

A) 95º B) 105º C) 115ºD) 120º E) 150º

11. Del gráfico, calcule a+b+q+w+f.

α

β

θω

Φ

A) 180º B) 270º C) 360ºD) 150º E) 240º

12. A partir del gráfico, calcule el valor de x.

β

β

130º

x

30º

A) 30º B) 25º C) 50ºD) 20º E) 15º

. . .

Geometría

9

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, q+b=180º. Calcule x.

θ

β

80º

50º

30º

x

A) 110ºB) 160ºC) 130ºD) 145ºE) 100º

14. En el gráfico, si m+n=30º, calcule x.

A) 20º

θ

θm

ω

ω

x

n

100º

B) 25ºC) 30ºD) 35ºE) 15º

15. En el gráfico, calcule x si a+b=160º.

m

mx x

b

a

nn

A) 100º B) 130º C) 140ºD) 160º E) 80º

. . .

Geometría

10

Clasificación de triángulos

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, si AB=CD, calcule x.

β

β

x

x 40ºA D C

B

A) 50º B) 60º C) 80ºD) 70º E) 55º

2. En el gráfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b.

3β2β

Q

P

A

B

Cβ

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 12º E) 18º

3. En un triángulo ABC, se ubica P en el lado BC, de tal manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40º, calcule m BCA.

A) 20ºB) 35ºC) 40ºD) 80ºE) 75º

4. Del gráfico, AQ=QM y QN=QC. Calcule x.

A Q C

NM

x

B

70º

A) 70º B) 110º C) 55ºD) 140º E) 40º

5. En el gráfico, AB=AD=CD. Calcule x.

70º

60º xA D

CB

A) 60º B) 70º C) 80ºD) 130º E) 65º

6. En el gráfico, AB=BC y AC=CD. Si m ABC=2(m ADC), calcule x.

B

A C

D

x

A) 45º B) 60º C) 70ºD) 90º E) 30º

. . .

Geometría

11

7. En el gráfico, AB=AC=CD=CE. Calcule x.

80º

60º

x

A C

E

DB

A) 30º B) 35º C) 40ºD) 10º E) 20º

8. En el gráfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20. Calcule AE.

60º

60º

D

A

B

C

E

A) 27º B) 29º C) 20ºD) 21º E) 22º

NIVEL INTERMEDIO

9. En la región exterior relativa al lado AC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubi-ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y m ADC=50º. Calcule m DAC.

A) 50º B) 65º C) 80ºD) 70º E) 55º

10. A partir del gráfico, AC=CD=DE=EF=FB y AB=BC. Calcule x.

A D F B

E

C

x

A) 60ºB) 80ºC) 90ºD) 100ºE) 120º

11. En la región exterior relativa al lado BC de un triángulo isósceles de base AC, se ubica el punto P, de modo que el triángulo BPC es equilátero y m CAP=3(m APC). Calcule m APB.

A) 45º B) 50º C) 37ºD) 55º E) 48º

12. En un triángulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el máximo valor entero de AC.

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo ABC, en AB y BC se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70º.

Calcule m ABC.

A) 40º B) 50º C) 35ºD) 45º E) 20º

. . .

Geometría

12

14. En un triángulo ABC, en el lado AC y en la región exterior relativa a BC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ, PF=FC y m ABC=80º, calcule m PBQ. Calcu-le m PBQ.

A) 80ºB) 100ºC) 40ºD) 50ºE) 60º

15. En el gráfico, AB=QC. Calcule x.

2x 2x

7x

Q

A C

B

x

A) 10º B) 20º C) 15ºD) 14º E) 12º

. . .

Geometría

13

Líneas notables asociadas al triángulo

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule x+y.

A) 45º B) 55º

β

x

y

β

θθ

70º

C) 65ºD) 70º E) 75º

2. En el gráfico, calcule x.

A) 20º

θθ

ββ

5x 5x

2xB) 25ºC) 15ºD) 30ºE) 12º

3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior BF del ángulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.

A) 2 B) 3 C) 8D) 9 E) 14,5

4. Del gráfico, calcule x.

αθ θ

2x+21º

2x+7º

x

α

A) 15º B) 20º C) 21ºD) 14º E) 7º

5. En el gráfico, calcule x.

2θ 2β

ββ

θθ

40º

x

A) 80º B) 100º C) 115ºD) 120º E) 125º

6. En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bi-sectriz BD del ángulo ABC, tal que D está en HC. Si m DBH=40º, calcule m BAC – m BCA.

A) 40º B) 80º C) 120ºD) 50º E) 100º

7. Del gráfico, calcule x+y.

ββ

θθ

50º50º

x

y

A) 115ºB) 120ºC) 130ºD) 240ºE) 245º

. . .

Geometría

14

8. En el gráfico, calcule x.

A) 10º

β β θ8x

x

θ

120ºB) 5ºC) 20ºD) 15E) 14º

NIVEL INTERMEDIO

9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas inte-

riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo

que AC=QC=AP. Calcule mm

PMCABC

.

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3

10. Del gráfico, calcule x.

A) 100º

ββθθ

x

50º

B) 110ºC) 115ºD) 120ºE) 140º

11. Del gráfico, calcule x.

α

α

θ β βθ

2x

A) 20º B) 36º C) 30ºD) 15º E) 22,5

12. Del gráfico, calcule el valor de x.

θ

ββ

θ50ºx

A) 50º B) 25º C) 65ºD) 60º E) 45º

NIVEL AVANZADO

13. Se tiene un triángulo ABC, en el que m ABC – m CAB=50º; además se traza la

bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E, de modo que m EDC=80º. Calcule m ADE.

A) 20º B) 15º C) 25ºD) 30º E) 35º

14. En un triángulo ABC se tiene que m ABC=70º; además se traza la altura BH. Calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BAC y HBC.

A) 95º B) 100º C) 85ºD) 105º E) 90º

15. Se tiene un triángulo ABC, tal que m ABC=100º. Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz interior CQ, las cuales se intersecan en P. Si AB=AM, calcule m QPB.

A) 40º B) 50º C) 65ºD) 80º E) 45º

. . .

Anual SM

01 - B

02 - E

03 - D

04 - E

05 - E

06 - B

07 - E

08 - C

09 - B

10 - C

11 - D

12 - C

13 - E

14 - B

15 - B

Líneas notabLes asociadas aL triánguLo

01 - C

02 - E

03 - B

04 - E

05 - C

06 - D

07 - D

08 - B

09 - C

10 - D

11 - B

12 - C

13 - A

14 - D

15 - A

cLasificación de triánguLos

01 - A

02 - C

03 - E

04 - C

05 - B

06 - A

07 - E

08 - D

09 - C

10 - B

11 - C

12 - D

13 - B

14 - C

15 - B

triánguLo

01 - C

02 - B

03 - D

04 - D

05 - A

06 - B

07 - A

08 - C

09 - E

10 - D

11 - D

12 - A

13 - B

14 - D

15 - C

ánguLos entre rectas paraLeLas

definiciones primitivas, segmentos y ánguLos

01 - B

02 - B

03 - C

04 - B

05 - B

06 - C

07 - D

08 - B

09 - C

10 - D

11 - B

12 - E

13 - E

14 - B

15 - C