geometria tpf ana

7/26/2019 Geometria TPF Ana

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I

Geometra 2013


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1 aoGeometra 2013

2

Gua de actividades:

Punto, Recta y Plano

Los entes fundamentales de la Geometra son: El Punto, La Recta y El Plano.

El punto: puede representarse por el cruce de dos pequeos trazos, o por la seal quedeja la punta de un lpiz, o al!n otro elemento, se lo desina con una letra min!sculade imprenta. Por ejemplo los puntos a f e q .

a" . f" e .q

La recta: se representa por el di#ujo de un trozo de recta y se desina con una letramay!scula de imprenta.

Por ejemplo, las rectas R, D, C y M.

R DC M

$El plano:se representa por el di#ujo de un trozo de plano y se lo desina con unaletra riea.

Por ejemplo los planos %, &, y '

Alfa Iota Rho Beta Kappa Sigma

Gamma ! "am#$a % &a' ()elta * +' , Ip-ilo. /

p-ilo. ' 4hi 56eta 7 8i 9 :i o ;hi ?mi@ro. 4-i &heta C 4i D Emega F

Postulados caractersticos:

*Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

$Por un punto pasan infinitas rectas.

Ejemplo:

Cuadernillo Terico Prctico- Prof. aniel !arc"er

&

'%


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3

Este conjunto se lama "a# de rectas

$Por una recta pasan infinitos planos$$na recta % un punto fuera de ella deter&inan un plano al cual pertenecen.

$os rectas 'ue se cortan deter&inan un plano al cual pertenecen

$Tres puntos no alineados deter&inan un plano al cual pertenecen

(e&irrecta, (e)&ento, (e&iplano % (e)&entos Consecutivos


" r (

&

(

) *

" a

" #" c


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+im#oloas utilizadas

Semirrecta: Es la parte de una recta formada por un punto llamado orien, y todos losque le siuen en uno de los ordenamientos naturales.

ada punto de una recta determina dos semirrectas de las cuales este punto es elorien- esas dos semirrectas son opuestas.

)otacin. o se lee: +emirrecta de orien oque contiene a oase lee: +emirrecta de orien oque contiene a a

Se!mento: +e llama semento pq a la interseccin del conjunto de puntos de lasemirrecta pq y de la semirrecta qp.

+im#licamente:

/ semento pq

)otacin: el semento pq se indica , donde p y q son los e"tremos del semento.

Semiplano:0oda Recta incluida en un plano determina en 1l dos semiplanos

+im#licamente: + 23, p4 + 23, q4

)otacin: el semiplano de #orde "que contiene el punto pse indica + 23, p4 el semiplano de #orde "que contiene el punto qse indica + 23, q4


p 3dj5fdl q 6

determina > mayor que no pertenecea

tal que < menor queunin mayor o i!ual

que" i!ual que inter#eccin

$ menor o i!ualque

pertenece a implica


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%

+ 23, p4 + 23, q4 / 6 La unin de estos dos semiplanos nos da el plano 6.

Se!mentos consecuti#os:7os sementos de una misma recta son consecuti8os, sitienen un e"tremo com!n, y los dems puntos no comunes pertenecen a semirrectasopuestas.

son consecuti8os

y son consecuti8os

ectas Concurrentes % ectas Paralelas

Rectas concurrentes

os rectas son concurrentes si estas tienen en co&+n un punto, a&as pasan por ste.Existen dos tipos de rectas concurrentes, Perpendiculares % (ecantes.

Perpendiculares: os rectas son perpendiculares cuando al cortarse en un punto

deter&inan cuatro n)ulos i)uales

Secantes: os rectas son secantes si al cortarse no deter&ina cuatro n)ulos i)uales.

( es secante a ), y su notacin es: ( ) + es perpendicular a 0, y su notacin es- +90

Rectas paralelasos rectas son paralelas si tiene todos sus puntos en co&+n o no tienen nin)+n punto

co&+n

7 es paralela a E, y su notacin es 7E ; es paralela y coincidente con G, y su notacines ;/ G



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&

$C%I&ID$DES'((arca en la siuiente fiura los entes fundamentales de la eometra y nm#ralos

como corresponde:

)(7i#uja cuatro puntos no alineados y nm#ralos. (arca so#re ellos una semirrecta yun semento 2nm#ralos correctamente4

*(Pinta so#re un plano < el semiplano de #orde ) que contiene al punto .

+( 7i#uja:

a4

#4 plano =c4 + 2R- m4



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'

d4

e4 y 2onsecuti8os4

f4 7 9 0 4 > 3 54 L ?(7i#uja:$7os semirrectas que tenan el mismo orien y que no sean opuestas.$+o#re una recta, cuatro sementos consecuti8os.

'-(7i#uja rectas en distintas posiciones y traza la perpendicular a cada una de ellas.

'*4 ompleta con @a 8ecesA, @siempreA o @nuncaA. uando la respuesta sea @ a 8ecesA,muestra en un di#ujo por qu1 lo es.

B4 7os rectas secantesCCCCCCCCCCson perpendiculares entre s.D4 En el espacio, dos rectas perpendiculares entre siCCCCCCCson paralelas aun mismo plano.

4 7os planos secantesCCCCCCCtienen una recta en com!n.

'+( Fdentifica tres pares de rectas paralelas, tres pares de secantes y tres deperpendiculares en el siuiente rfico.

'(+o#re un mapa de tu localidad realiza las siuientes acti8idades:

B4 (arca tres trayectos diferentes que realices com!nmente. oloca los sm#olos

correspondientes.D4 Elie un conjunto de manzanas dentro de 1l un luar conocido, nom#ra a am#os

con la letra que corresponda.4 (arca dentro de 1l un recorrido en donde no se incluya el luar antes marcado.4 Para los tres tems anteriores indica que entes eom1tricos marcaste y si con

alunos se 5an formado +emirrectas, +ementos o +emiplanos, escr#elos en tucarpeta con los sm#olos correspondientes.

H4 3usca en el mapa y escri#e en tu carpeta una calle paralela a la de tu casa, unaperpendicular y una secante. Itiliza los sm#olos correspondientes

'/( +e!n el !ltimo postulado tres puntos no alineados determinan un plano. JKu1ocurrira si no estu8ieran alineados o fueran slo dos



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(

'0( JE"isten planosparalelos y perpendiculares +i es as menciona ejemplos.

'1( 7i#uja cuatro letras, las que quieras, slo con lneas rectas e indica si 5ay entre siparalelas perpendiculares o secantes.

E#aluaci2n

B4 ompleta las siuientes frases:

?l punto se lo desina con MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMLos planos son desinados con MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 27a por lo menos ejemplos47os rectas que son perpendiculares forman nulosMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM7os sementos que tienen un e"tremo com!n se llaman MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

D4 Representa rficamente:

a4 Ina semirrecta #4 In sementoe4 0res semento consecuti8os d4 7os planos

4 (arca con una cruz N 28erdadero4 o ; 2falso4 se!n corresponda:

B. +an (artn es perpendicular a 3elrano. NO ;OD. de Qulio es paralela a +armiento. NO ;O. Li#ertad es perpendicular a +armiento. NO ;O. 3elrano es secante a de Qulio. NO ;OH. Li#ertad es paralela a +an (artn. NO ;O. +armiento es secante a 3elrano. NO ;O

S. +armiento es paralela a +an (artn. NO ;OT. Li#ertad es perpendicular a +an (artn. NO ;O



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)

4 7i#ujea4 + I #4 3 9 c4 Q U

H4

(enciona dos de los postulados fundamentales y di#!jalos.

Gua de actividades:

3456L7S

Un ngulo es la porcin del plano comprendido entre dos semirrectas quetienen el mismo origen. Estos se nombran con letras del alfabeto griego, siendoestas:


Alfa Iota

Rho

Beta

Kappa

Sigma

Gamma ! "am#$a%

&a'(

)elta*

+',

Ip-ilo./

p-ilo. '

4hi5

6eta7

8i9

:i o ;hi

?mi@ro. 4-i

&hetaC

4i EmegaF


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En el dibujo se observa como dos semirrectas con un origen comn determinansiempre dos porciones del plano y por tanto dos ngulos,y .

ngulo nuloEs el ngulo definido por dossemirrectas que coinciden. Nobarre ninguna porcin del plano.

ngulo llanouando las dos semirrectas que lodefinen tienen la misma direccin,aunque sentidos opuestos. !arreun semiplano, esto es, la mitad delplano. omo se observa en el

dibujo las semirrectas y sonopuestas.

ngulo convexo"ngulo cuya amplitud es menor

que un ngulo llano.

ngulo rectoEs el ngulo conve#o definido pordos semirrectas perpendiculares.


8 9

= 180

; < '-

= 9 1-


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ngulo agudo$e llaman ngulos agudos a losque son menores que un ngulorecto.

ngulo obtuso$e llaman ngulos obtusos aaquellos ngulos conve#os%menores que un ngulo llano& queson mayores que un ngulo recto.

ngulo cncavo

'quel ngulo cuya amplitud esmayor que un ngulo llano.

ngulo completoEs el ngulo que abarca todo elplano.

Medicin de ngulos

(ara medir la amplitud de un ngulo, utili)amos el sistema se#agesimal, cuyaunidad fundamental es el grado se#agesimal % * &.

(ara medir ngulos menores que la unidad utili)amos los submltiplos:minuto se#agesimal % + & y segundo se#agesimal % ++ &.


> < 1-

? @ 1-

A @ '-

B 9 . */- con '

Equi#alencias:

El minuto seFa!esimal G H ( es de ', o sea que ' !rado 9 /- minutos' 9 /-H

El se!undo seFa!esimal G HH ( que es de 'H, o sea que 'minuto 9 /- se!undos H HH


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Uso del transportador

(ara medir un ngulo con el transportador ay que colocar su v-rtice en elpunto medio de la lnea recta que va de /0 a 12/0, de dereca a i)quierda,aciendo coincidir un lado del ngulo con el /0 del transportador. 3espu-s,miramos en el transportador la medida por la que pasa el otro lado del ngulo.En la siguiente figura se muestra la medicin de un ngulo de 45*

peraciones con ngulos

!dicin " #ustraccin$6a suma o diferencia de dos ngulos es otro ngulo, y las operaciones que se

resuelven con sus amplitudes dan por resultado las amplitudes de los ngulossuma o diferencia, respectivamente.

7 (ara sumar las amplitudes de dos ngulos se suman las cantidades de igualdenominacin, por ejemplo:


1%&'&(%%((8 )%*1( &8((

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

&1,,*(8*((8*((+ )0((= &*(( ada grupo de 9/++ se

&1, ,*(&*(( transforma en 1+ y lo sumamos8 1+ en la columna de los minutos.

&1,,'(&*(( ,'(+ )0(= 1'(

ada grupo de 9/+ se transforma &1,1'(&*(( en 1* y lo sumamos en la columna8 1 de los grados.

&181'(&*((


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7 (ara restar amplitudes de dos ngulos se procede de la siguiente forma:

-roducto " .ociente

El producto o el cociente de un ngulo por un nmero natural es tambi-n otrongulo. 'l multiplicar o dividir por ;, se obtiene la amplitud del ngulo doble odel ngulo mitad, respectivamente.

7 (ara multiplicar un ngulo por un nmero natural se multiplica cada cantidaddel ngulo por el nmero natural como si fueran cuentas independientes.

3espu-s transformamos cada grupo de 9/++ en minutos y cada uno de los 9/+en grados. (or ejemplo:


1&)1%(/((8 ,%&&( *8((

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

omo1%(

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

108,%(1''((

108 ,,(&'(( ?estamos 1&0(( y sumamos &(.

10/ 1,(&'(( ?estamos)0+ y sumamos 1.

*)&%('8((# > @ 10/ 1,(&'((


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7 (ara dividir un ngulo por un nmero natural se divide como cualquierdivisin comen)ando por los grados.

ngulos consecutivos

3os ngulosson consecutivos cuando tienen el v-rtice y un lado en comn.(or e#tensin, dados varios ngulos en un cierto orden, son consecutivoscuando cada uno de ellos es consecutivo con el siguiente.

onsecutivos No consecutivos No consecutivos

ngulos complementarios " suplementarios

7 3os ngulosson complementarios cuando la suma de sus valoreses unngulo recto. Ejemplo y son complementarios, = *% = %% = /0


&* 1%( *)(( &8

01@ )0( 11 *,( '8(( ++++++++omo el resto no es /* ,%( *)((se transforma en minutos 01(@ )0((lo sumamos y seguimos dividiendo /)((

0((2

Atra ve) el resto no es /+, setransforma y se suma a lossegundosy seguimos dividiendo.
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo


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1%

omplementarios omplementarios

7 3os ngulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es unngulo llano. Ejemplo y son suplementarios, = '& = 1*8 = 180

$uplementarios $uplementarios

ngulos ad"acentes " opuestos por el v3rtice

73os ngulos son ad"acentescuando son consecutivos y forman un ngulollano.

$i se que el ngulo celeste mide BB*, entonces el rojo mide 12/* BB* @ 1;B*

73os ngulos se dicen opuestosporelv3rticecuando los lados de uno sonsemirrectas opuestasa los lados del otro. 6os ngulos opuestos por el v-rtice

son iguales.En el dibujo se observa que los ngulos del mismo color son iguales

%opuestos por el v-rtice& y los de color distinto son adyacentes.

$i se sabe qu- uno de los ngulos verdes mide >2*, entonces el otro tambi-n,y cada uno de los rosas lo calculo as 12/* >2* @ 14;*

ngulos entre paralelas$i dos rectas cortadas por una tercera son paralelas, se cumplen las

siguientes propiedades:

http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrectas_opuestashttp://es.wikipedia.org/wiki/Semirrectas_opuestas


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1&

1& Los ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes

' 9 ) 9 /* 9 0+ 9

;& Los ngulos alternos (internos o externos) entre paralelas son congruentes.

' 9 0) 9 * 9 + 9 /

4!os n)ulos conu)ados /internos o externos0 entre paralelas son suple&entarios, esdecir, la su&a de sus a&plitudes es i)ual a 1234.

' y / conu!ados) y conu!ados* y conu!ados+ y 0 conu!ados

' y conu!ados eFternos) y 0 conu!ados eFternos* y / conu!ados internos+ y conu!ados internos



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1'

!ctividades ngulos

14Cra)a en tu carpeta las siguientes amplitudes:

@ >B* @ 92* 5 @ 1>;* 6@ 5/* 7@ 1D/*

&43etermina la amplitud de los ngulos pintados, calclalos y llena el cuadrosegn corresponda:

*4


!mplitudesngul

oconvex

ocncav

o

67

9

:


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1(

(icasso se caracteri) por utili)ar en sus cuadros una t-cnica llamadacubismo. Este cuadro est lleno de ngulos. Abs-rvalo con atencin y elije unngulo agudo, uno recto y uno obtuso, anota en tu carpeta el color con queest pintado cada uno y completa.

7El ngulo agudo que eleg es de color , el recto es y el obtuso .

7Cambi-n ay pares de ngulos opuestos por el v-rtice. Un par est pintadocon los colores y = otro, con los colores y .

7 6os ngulos adyacentes estn pintados de distintos colores: un par aparececon los colores y = otro, con loscolores y .

'4 ?ecorta el molde del reloj y rmalo. Foviendo las agujas ubica tresorarios diferentes que formen un ngulo recto, tres que formen un ngulo llanoy tres que formen un ngulo completo, antalos en tu carpeta y responde:

GHu- ora podra ser si la agujas tienen una amplitud de 4B*I

GHu- ora sera si tuvieran una amplitud de11/*I GJ con ;4B*I

%4 (ara orientarse una nave a-rea o martima se utili)an las direccionesdadas por los puntos cardinales y, adems, otras direcciones:

NE: noroeste, $E: sureste= NA: noroeste= $A: suroeste. 3ibuja estas

direcciones utili)ando el transportador.a& GHu- amplitud guardan cada punto cardinalIb& Gul es la amplitud entre cada una de las oco direccinI

9& Un barco est navegando en direccin NE el capitn gir el timn con unngulo B>* 19+, en el sentido de las agujas del reloj.

a& Gul es el menor ngulo que debe girar para tomar la direccin $AIb& Estando en la direccin anterior, Gul es el menor ngulo que debe

girar para tomar la direccin surI

,4 ?esponde:

Guntos minutos tiene un daIGuntos segundos tiene un daI

84 $uponiendo que tardas un minuto en contar asta 9/5, calcula cuntotardaras apro#imadamente en contar asta 1//./// suponiendo quemantienes el ritmo y que puedes acerlo sin descansar.



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1)

/4 ?eali)a las siguientes sumas y restas

a& >>* 4B+ 8 4;* >;+ @

b& 2* 8 DB* >4+ @

c& 59* >B+ 8 DD* 49+12++ @

d& 4;* B/+ >/++ 8 1B* 1B+ 1B++ @

e& 9;* >>+;;++ 8 44* B1+45++ @

f& 4* B/+>4++ 8 D* ;B+B/++ 8 ;* 1B+;2++

g& D4* >5++ 8 >1* 4D+B5++ @

& >;* ;B+ 4/++ 8 1;* B9+ 12++ @

i& 42* 42+ 42++ 8 1/* 1/+ 1/++ @

j& D>* >9* ;;+1B++ @

K& ;* 1* 1B+4;+ @

l& 1>* 1/++ D* 4/+B/++@

m& 9B* BB+4;++ B1* >;++@

n& 1B4* B/+ D2* ;4+@

o& B2D* BB+ 1D* 42+@

p& 2D* B>* 4D+@

q& 2* >* 1B+ 1;++@

r& >2* 4;+ ;D++ 1B* >9+ >/++@

104 ompleta las siguientes igualdades.a& ;* 1B+>B++ @++b& D* >4++ @ + >4++c& ;.//+@*++d& B.//++ @*+++

114 ?eali)a las siguientes multiplicaciones y divisiones

a& 1B4* B/+# ; @

b& >4* ;B+42++ # > @

c& B4* 1B+>/++ # 4 @

d& 9* 1D++ # > @

e& 12+>B++ # D @

f& ;B* 15+>B++ # B @

g& 1;* 1B+ >/++ # ; @



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& ;/+1B++ # 4 @

i& 14* B+ >9++ # ;@

j& 9B* 41+1/++ : B @

K& ;;* 1D+9++ : ; @

l& 1>5* 1;+ 12++ : 9 @

m& ;2* >D+4++ : 4 @

n& BB* ;1+19++ : ; @

o& ;9* 1;+: ; @

p& 4;* 12+ : > @

q& 19* >1+ B>++ : > @

r& 12* 1B+ 1;++ : 4 @

1&4 orreg con oM

7>B* 1B+8 42* ;>+ @ 2>* >2+

71;9* 14+ B2* 4;+@ 9D* ;;+

7>5* BB+# ; @ D2* B/+

71;;* 4/+: ; @ 91* ;/+

1*4$i L @ >9* ;1+;4++, calcula la amplitud delngulo triple y de la terceraparte de L.

1'4 3os ngulos miden 5;*. $i uno mide 9>* 4/+, Gcunto mide el otroI

1%4 ompleta la tabla:

+ *> $ '', *&( '& &8(

11) *'( 1&(( )& &%( %)((

1)4 E#presa en segundos se#agesimales:a& B*b& D2+c& 4>* 1/+d& D* >+4;++e& >* >+ >++

1,4 E#presa en grados minutos y segundos:a& >2.>;D++



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b& B4.D;2++c& 4>.5B9++d& 1/.///++

184 ompleta:

$i L y M son complementarios: L 8 M @$i L y M son suplementarios: L 8 M @

1/4 ompleta con a vecesO, siempreO o nuncaO. uando la respuesta sea avecesO, muestra en un dibujo por qu- lo es.

1& 3os ngulos adyacentesson consecutivos.;& 3os ngulos consecutivosson adyacentes.>& 3os ngulos adyacentesson suplementarios.4& 3os ngulos complementariosson congruentes.B& 3os ngulos adyacentes..son complementarios.

&04 Abserva el dibujo y reali)a las siguientes actividades.a& Nombra tres pares de ngulos opuestos por el v-rtice.b& Nombra tres pares de ngulos suplementarios.c& Nombra tres pares de ngulos complementarios.

&14 Pndica la medida de todos los ngulos del dibujo. (ara acerlo Gqu-propiedades debes tener en cuentaI

&&4 alcula las medidas de los ngulos L M Q y R:

a& b& c&

&*4 3ados los ngulos L y M cuyas amplitudes son, respectivamente, de >2*1B+ y 1D* >2+, calcula las amplitudes de:



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a& El complemento de la diferencia entre L y M.b& El suplemento de la suma entre L y M.c& 6a mitad del complemento de L.d& El triple de %L S M&.e& El suplemento de la tercera parte de L.f& 6a tercera parte del suplemento de L.

&'4 El suplemento de un ngulo ' es el triple de dico ngulo. alcula laamplitud de '.

&%4 Encuentra:

El complemento de >B* ;9+4;++

El suplemento de 4>* >9+ 45++El complemento y l suplemento de 1;* ;>+ 12++

&)4 Pndica verdadero o falso las siguientes indicaciones.a& 6os ngulos consecutivos son adyacentes.b& 6os ngulos correspondientes son congruentes.c& 'lgunos ngulos correspondientes son congruentes.d& E#iste un par de ngulos opuestos por el v-rtice que no son

congruentes.e& 6os ngulos alternos internos entre paralelas son congruentes.

f& 6os ngulos conjugados e#ternos entre paralelas son congruentes.g& El suplemento de un ngulo agudo es un obtuso.& 6os ngulos conjugados internos son adyacentes.

&,4 Pndica la medida de los ngulos del dibujo y justifica tus respuestas.

&84 alcula las amplitudes de los ngulos 7y ?sabiendo que FTN= ?T$ y

@1>4*.



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&/4 Farca en la letra un par de ngulos conjugados internos

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