geometria nombres complexosoperacions en forma binòmica w 2.1. suma i resta w 2.2. multiplicació i...
TRANSCRIPT
6 #
q 1. Nombre complexw 1.1. Conjugat i oposat d’un nombre
complex
q 2. Operacions en forma binòmicaw 2.1. Suma i restaw 2.2. Multiplicació i divisió
q 3. Representació gràfica
q 4. Forma polar d’un nombre complexw 4.1. Operacions en forma polar
q 5. Equacions amb solucions complexes w 5.1. Equacions de segon grauw 5.2. Equacions biquadrades
BLOC 2. GEOMETRIA
Nombres complexos
Problemas interactivosPresentación
FALTA TRADUCIR TEXTO ICONOS
143143
a> Reflexiona durant uns moments.
— Què saps sobre els nombres complexos?
— Quines preguntes o inquietuds et provoquen?
— Què t’agradaria investigar sobre aquest tema?
b> La figura que apareix en aquesta pàgina corres-pon al conjunt de Mandelbrot, el més conegut dels conjunts fractals.
— Què és un fractal?
— Quina relació té el conjunt de Mandelbrot amb els nombres complexos?
— Busca informació a internet sobre els con-junts de Julia. Quina relació tenen amb el conjunt de Mandelbrot?
c> Meravella’t amb algunes fotos que pots trobar a l’enllaç següent: http://links.edebe.com/jv7p, i pensa quines altres fractals pots trobar a la na-tura.
Llibres— Aprèn la història i moltes de les curiositats dels
nombres imaginaris a An Imaginary Tale: The Story of −1 , de Paul J. Nahin. Es tracta d’una
narració molt entretinguda en què podràs veu-
re algunes de les aplicacions dels nombres
complexos: des de les lleis de Kepler, fins als
circuits elèctrics.
— A la publicació Una introducció als nombres complexos (Universitat dels Andes, 2001) tro-
baràs un primer capítol dedicat a la història
dels nombres complexos.
http://links.edebe.com/g48p
WebAprèn sobre els nombres complexos amb la pàgi-
na web de la Universitat de Valladolid a:
http://links.edebe.com/kdj
Pel·lículesProof, de John Madden (el director de Shakespe-are in Love), gira entorn de la figura d’un mate-
màtic genial. Un dels personatges principals, en
Hal, té una banda de música. Escolta com sona
la seva cançó I (de imaginària), relacionada amb
els nombres imaginaris, i que dura… tres minuts
de silenci!
EN CONTEXT
144
Imaginarios
Racionales
Fraccionarios
NaturalesEnterosnegativos
0Cero
Irracionales
Complejos
Reales
Enteros
1
q q Les expressions de la forma a + bi, on a i b són nombres reals, s’anomenen nombres complexos; a n’és la part real i b la part ima-ginària.
bloc 2 geometria
1. Nombre complexSabem que l’equació x 2 = -4 no té solució, ja que no existeix cap nombre real el quadrat del qual sigui un nombre negatiu. Tanmateix, podríem expressar la solu-
ció com a x = −4 = 4 · –1 = ±2 –1 .
Si ara definim el nombre i = −1 podem expressar la solució de l’equació com a x = ±2i.
El nombre i = −1 s’anomena unitat imaginària, i les expressions numèriques en
les quals apareix explícitament, com ara 2 + 3i, 1 −1
4i, 7 + 2i, s’anomenen
nombres complexos.
1. Nombre complex
1.1. Conjugat i oposat d’un nombre complex
LLENGUATGE MATEMÀTIC
Els nombres complexos acostumen a representar-se amb la lletra z.
Anomenem Re(z ) la part real d’un nombre complex i Im(z ) la part ima-ginària.
El conjunt dels nombres complexos se simbolitza mitjançant la lletra C.
Els enters (Z) són una extensió dels naturals (N) que admeten solucions negatives de restes.
Els racionals (Q) són una extensió dels enters que inclouen quocients no exactes.
Els reals (R) són una extensió dels racionals i inclouen els irracionals, nombres que no poden expressar-se com un quocient d’enters, com a p,
2 o el nombre e.
FIXA-T’HI
Relacions entre els conjunts numèrics— Com definiries els complexos?
Exercicis i problemes 3 a 5
Identifica les parts imaginària i real dels nombres complexos següents i troba’n el conjugat i l’oposat.
a) z = 6 + 2i b) z = 5
EXEMPLE
RESOLUCIÓ:
a) La part real és a = Re(z ) = 6 i la part imaginària és b = Im(z ) = 2.
El conjugat és z = 6 - 2i i l’oposat de z és -z = -6 - 2i .
b) La part real és a = Re(z ) = 5 i part imaginària és b = Im(z ) = 0.
El conjugat de z és z = 5 i l’oposat de z és -z = -5.
Solució
FALTA TRADUCIR TEXTOS IMAGEN
L’expressió d’un complex com la suma d’una part real i una part imaginària s’ano-mena forma binómica d’un nombre complex.
z = a + bi
Observa que un nombre real és un cas particular de nombre complex a + bi, la part imaginària de la qual és 0 (b = 0).
Anàlogament, els nombres complexos la part real dels quals és 0 (a = 0) s’anome-nen nombres imaginaris.
1.1. Conjugat i oposat d’un complex
Donat un nombre complex, podem obtenir-ne el conjugat i l’oposat de la manera següent.
El conjugat d’un nombre complex s’obté canviant el signe de la part imaginària. Així el conjugat (z) del nombre complex z = a + bi és:
z = a − bi
L'oposat d’un nombre complex s’obté canviant el signe de la part real i de la part imaginària. Així l’oposat (-z ) del nombre complex z = a + bi és:
-z = -a - bi
145
2
3
unitat 6 nombres complexos
2. Operacions en forma binòmica
Els nombres complexos s’utilitzen en l’enginyeria electrònica i altres camps de la física. És per això que és important veure com hem d’efectuar-hi operacions. Les mateixes operacions definides per als nombres reals poden efectuar-se amb els nombres complexos, tenint en compte que i 2 = 1.
2.1. Suma i resta
Per a sumar dos nombres complexos z 1 = a + bi i z 2 = c + di, se sumen les parts reals i les parts imaginàries per separat.
z 1 + z 2 = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
La suma de dos nombres complexos o més compleix les mateixes propietats que la suma de nombres reals.
Per a restar dos nombres complexos z 1 = a + bi i z 2 = c + di, se suma al minuend l’oposat del subtrahend.
z 1 - z 2 = z 1 + (-z 2) = (a + bi ) + (-c - di ) = (a - c) + (b - d)i
Donats els nombres complexos z1 = 6 - 4i, z2 = 8i i z3 = 3 + i, demostra que:
a) La suma de dos d’ells compleix la propietat commutativa.
b) La suma de tots tres compleix la propietat associativa.
Donats els nombres complexos z1 = 56 + 4i i z2 = 4 + 8i, calcula:
a) z1 + z2 b) z1 - z2
EXEMPLE
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Per a demostrar les dues propietats n’hi ha prou de realitzar les operacions als dos costats de la igualtat, i comprovar que els resultats coincideixen.
RESOLUCIÓ:
a) z 1 + z 2 = (6 - 4i ) + 8i = 6 + 4i z 2 + z 1 = 8i + (6 - 4i ) = 6 + 4i
z 2 + z 3 = 8i + (3 + i ) = 3 + 9i z 3 + z 2 = (3 + i ) + 8i = 3 + 9i
z 1 + z 3 = (6 - 4i ) + (3 + i ) = 9 - 3i z 3 + z 1 = (3 + i ) + (6 - 4i ) = 9 - 3i
b) z 1 + (z 2 + z 3) = (6 - 4i ) + ((8i ) + (3 + i )) = (6 - 4i ) + (3 + 9i ) = 9 + 5i
(z 1 + z 2) + z 3 = ((6 - 4i ) + 8i )) + (3 + i ) = 6 + 4i + (3 + i ) = 9 + 5i
COMPRENSIÓ: Per a realitzar la suma i la diferència de nombres complexos cal diferenci-ar la part real i la part imaginària.
RESOLUCIÓ:
a) z 1 + z 2 = 56 + 4i + 4 + 8i = (56 + 4) + (4 + 8)i = 60 + 12i
b) z 1 - z 2 = (56 + 4i ) - (4 + 8i ) = (56 - 4) + (4 - 8)i = 52 - 4i
Solució
Solució
2. Operacions en forma binòmica
2.1. Suma i resta
2.2. Multiplicació i divisió
INTERNET
A l’enllaç següent s’explica com hem de treballar la representació gràfica de la suma i la resta dels nombres complexos:
http://links.edebe.com/mfv
RECORDA
Propietats de la suma de nombres complexos:
— Commutativa:
z 1 + z 2 = z 2 + z 1
— Associativa:
z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3
— 0 és element neutre:
z + 0 = 0 + z = z
— z és element oposat de -z:
z + (-z ) = 0
Intenta comprovar aquestes pro-pietats escrivint els nombres en la seva forma binòmica.
146
AMPLÍA
4
bloc 2 geometria
2.2. Multiplicació i divisió
Per a multiplicar dos nombres complexos, z 1 = a + bi i z 2 = c + di, procedirem com si multipliquéssim dos binomis, tenint en compte que i 2 = -1. El resultat de la multiplicació és un nombre complex.
z 1 · z 2 = (a + bi ) · (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Per a dividir dos nombres complexos, escrivim l’operació en forma de fracció i multipliquem el numerador i el denominador pel conjugat del denominador elimi-nant la part imaginària del denominador. El resultat de la divisió és un altre nom-bre complex.
z1
z2
=(a + bi )(c + di )
· (c − di )(c − di )
=ac − adi + bci + bdc2 − /c /di + /d /ci + d 2
=
=ac + bd + (bc − ad)i
c2 + d 2=ac + bdc2 + d 2
+bc − adc2 + d 2
i
Potències de iLes potències successives del nom-bre imaginari i segueixen el cicle
1 → i → -1 → -i → 1:
i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = -i
i 4 = 1 i 5 = i i 6 = -1 i 7 = i
...
— En grup, trobeu una fórmula per a determinar el valor de qualse-vol potència de i.
FIXA-T’HI
Utilitza el producte de nombres complexos en forma binomial per a comprovar que es compleixen les propietats següents:
— Associativa: z 1 · (z 2 · z 3) = (z 1 · z 2) · z 3
— Commutativa: z 1 · z 2 = z 2 · z 1
— Element neutre: z · 1 = 1 · z = z
— Distributiva de la multiplicació respecte de la suma: z 1 · (z 2 + z 3) = z 1 · z 2 + z 1 · z 3
AMPLIA
Exercicis i problemes 8 a 11
Donats els nombres z1 = 3 + 6i i z2 = 2 + 3i, calcula:
a) z1 · z2 b) z1z2
c) z23
EXEMPLE
COMPRENSIÓ:
Calcularem els resultats desenvolupant les expressions corresponents. En el cas de la po-tència, multiplicarem el nombre complex tantes vegades com indiqui el numerador.
RESOLUCIÓ:
a) z 1 · z 2 = (3 + 6i ) · (2 + 3i ) = 3 · 2 + 3 · 3i + 6i · 2 + 6 · 3i 2 = 6 + 9i + 12i + 18i 2 = = 6 + 21i - 18 = -12 + 21i
b) z1
z2
=(3 + 6i )(2 + 3i )
· (2 − 3i )(2 − 3i )
=6 − 9i + 12i + 18
42 + 92=
24 + 3i97
= 0,25 + 0,03i
c) z22 = z 2 · z 2 = (2 + 3i ) · (2 + 3i ) = 4 + 6i + 6i - 9 = -5 + 16i
z13 = z1 · z1
2 = (2 + 3i ) · (-5 + 18i ) = - 10 + 36i - 15i - 54 = - 64 + 21i
COMPROVACIÓ:
Pots comprovar el resultat utilitzant la calculadora en línia que trobaràs a l’enllaç següent: http://www.wolframalpha.com.
Solució
Invers d’un nombre complex
De la mateixa manera que els nombres reals, tot nombre complex z ≠ 0 té un nombre invers z -1 que compleix:
z · z -1 = 1
Per a calcular l’invers d’un nombre complex, n’hi ha prou d’escriure z -1 en forma de fracció i fer la divisió corresponent.
z −1 =1
z=
1
a + bi ·
a − bia − bi
=a − bia2 + b2
147
q q El punt (a, b) del pla complex que representa el nombre z = a + bi s’anomena afix de z.
–2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X
z1 = 10 + 2i
0–1–2–3–4–5–6–7–8–9
z2 = 6 + 12i
z2 – z1 = –4 + 10i
z1 + z2 = 16 + 14i
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Y
z = x + yi
–z = –x – yi = x – yi
|z |
Y
2
3
1
–2
–3
–4 –2 –1–3 210 43 X
–1
z–
–4–5–6–7–8 –3 –2 –1 210 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
Eje real
Eje imaginario
z 1 = (–4, 0)
z 2 = (0,–3)
z 3 = (–1, 4)
unitat 6 nombres complexos
3. Representació gràficaEls nombres reals es representen amb un punt situat en la recta real. Els nombres complexos, en canvi, com que tenen una part real i una part imaginària, els repre-sentem en un pla anomenat pla complex. Per a fer-ho, utilitzem un sistema de coordenades cartesianes en què:
— En l’eix d’abscisses es representa la part real dels nombres complexos. Aquest eix s’anomena eje real.
— En l’eix d’ordenades, que rep el nom de eje imaginario, es representen els nombres imaginaris.
Observa que cada punt (a, b) d’aquest pla es correspon amb un nombre complex. Cadascun d’aquests punts s’anomena afix d’un nombre complex.
3. Representació gràfica
CURIOSITATS
El pla complex també es coneix com plano de Argand, en honor al mate-màtic francès autodidacta Jean Ro-bert Argand (Ginebra 1768 – París 1822), que el va idear mentre treba-llava en una llibreria a París.
FIXA-T’HI
L’eix d’abscisses del pla complex conté als afixos dels nombres reals, z = a + 0i, mentre que el d’ordena-des conté els afixos dels nombres imaginaris, z = 0 + bi.
INTERNET
Pots investigar la representació grà-fica dels nombres complexos en els enllaços següents:
http://www.vitutor.com/di/c/a_4.html
http://links.edebe.com/njj
Pla complexLa representació de z 1 = -4 es corres-pon amb el punt (-4, 0).
La representació de z 2 = -3i es corres-pon amb el punt (0, -3).
La representació de z 3 = -1 + 4i es correspon amb el punt (-1, 4).
Exercicis i problemes 12 i 13Representació gràfica (general) de l’afix d’un nombre
complex, del seu conjugat i del seu oposat.
Cada afix del pla complex determina un vector amb l’origen de coordenades, de manera que la suma i la resta de nombres complexos pot interpretar-se com a suma i resta de vectors.
Suma i resta de z1 = 10 + 2i i z2 = 6 + 12i.
En representar gràficament en un nombre complex el seu conjugat i el seu oposat podem veure les relacions geomètriques que s’hi esta-bleixen.
Els afixos dels nombres complexos z i -z són simè-trics respecte de l’origen de coordenades.
Els afixos d’un nombre com-plex i el seu conjugat z i zsón simètrics respecte de l’eix real.
FALTA TRADUCIR TEXTOS IMAGEN
148
a)
z1 = 3 – 4i
z2 = 1 – 6i
z1 – z2 = 2 + 2i
z1 + z2 = 4 – 10i
0–1
–2
–3–4–5
–6–7–8–9
–10
1
12
2 3 4 5 6 7 8 9 10–2–3–4–5–6 X
Y b)
–z1 = –3 + 4i
z1 = 3 – 4i
= 3 + 4i
X
Y
5 64321
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
–1–2–3–4–5–6–7
0
z1
X
Y
4 53
|z |
a
b
21
1
–1
2
3
5
4
–1–2 0
α
q q El mòdul d’un nombre complex és la longitud del vector que deter-mina el seu afix amb l’origen de coordenades, i l'argument és l’an-gle que forma aquest vector amb l’eix real positiu.
5
6
AMPLÍA
bloc 2 geometria
Mòdul i argument
L’afix de tot nombre complex determina un vector amb l’origen de coordenades; per tant, qualsevol nombre complex pot expressar-se geomètricament com un vector, amb mòdul i argument definits.
El mòdul d’un nombre complex z coincideix amb el mòdul del seu conjugat:
|z | = a2 + b2
|z | = a2 + (−b)2 = a2 + b2
— Comprova que el mòdul d’un nombre complex coincideix amb el del seu oposat.
FIXA-T’HI
Trobaràs llibres i llocs web en els quals el mòdul de z es defineix com:
|z |2= z · z S |z |= z · z
Una justificació d’aquesta igualtat és la següent:
z · z = (a + bi ) · (a - bi ) = = a 2 - (a · bi ) + (bi · a) - bi · bi = = a 2 - (b 2 · i 2) = a 2 - b 2 · (- 1) =
= a 2 + b 2 = |z |2
FIXA-T’HI
RECORDA
— Si a < 90° és un angle d’un trian-gle rectangle:
tg α =c. oposatc. contigu
— L'arcotangente d’un angle a és la funció inversa de la tangent d’aquest angle, de manera que si x = tg a, llavors
a = arc tg (x ).
— Els angles es poden escriure en radiants o en graus.
2p rad = 360°
El mòdul dels nombres complexos té les propietats següents:
|z 1 + z 2| ≤ |z 1| + |z 2|
|z 1 · z 2| = |z 1| · |z 2|
|z 1| - |z 2| ≤ |z 1 - z 2|
— Comprova-ho per a dos nombres complexos qualssevol.
AMPLIA
Donats els nombres complexos z1 = 3 - 4i i z2 = 1 - 6i, representa en un pla complex:
a) La suma i la resta de tots dos nombres.
b) El conjugat i l’oposat de z1.
Donat el nombre complex z = 3 + 3i, troba’n el mòdul de dues maneres diferents i l’argument.
EXEMPLE
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Apliquem les definicions tenint en compte que a = 3 i b = 3.
RESOLUCIÓ: 1r mètode: |z | = 32 + 32 = 18 = 3 2
2n mètode: Aplicando la relación entre el módulo i el complejo conjugado:
|z |2 = z · z = (3 + 3i )(3 − 3i ) = 9 + 9 = 18 S |z | = 3 2
Argument: arg (z ) = arctg (3/3) = arctg 1 = 45°
COMPROVACIÓ: Hem obtingut el mateix resultat del mòdul amb tots dos mètodes. Per a comprovar que l’argument és correcte, podem representar l’afix del nombre complex i comprovar que coincideix amb la bisectriu del primer quadrant.
Solució
Solució
Expressem el mòdul d’un complex z com a |z |, mentre que a = arg (z ) n’és l’argu-ment.
Observa en la imatge que del teorema de Pitàgores es conclou que:
|z | = a2 + b2
Mentre que, d’altra banda:
tg (α) =ba
I que, per tant:
α = arctgba
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
FALTA TRADUCIR LA FRASE EN ROJO
149
z = 7 + 5i
–z = –7 – 5i = 7 – 5i
X
Y
5 6 7 84321
1
–1
–2
–3
–5
–4
2
3
4
5
–1–2–3–4–5–6–8 – 7
0
z
7
8
1z
≈ 0,23 – 0,15
–3
3
2
1
–1
–2
Y
X2 3 4 510–1–2–4
z = 3 + 2i
–z = –3 – 2i = 3 – 2iz
unitat 6 nombres complexos
Representa en els mateixos eixos de coordenades els vectors que es corresponen amb:
a) z = 3 + 2i. b) El seu conjugat. c) El seu oposat. d) El seu invers.
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Hem de calcular el mòdul i l’argument de cadascun dels vectors abans de representar-los.
RESOLUCIÓ: a) El mòdul de z és |z | = 32 + 22 = 13 ≈ 3,61, mentre que el seu argu-ment és arc tg (2/3) = 33,69°.
b) El conjugat de z és z = 3 - 2i. El seu afix és el simètric de l’afix de z respecte de l’eix real (eix X).
c) L’oposat de z és -z = -3 - 2i. El seu afix és el simètric de l’afix de z respecte de l’origen 0.
d) L’invers de z és: 1
z=
z|z |2
=3 − 2i
32 + 22≈ 0,23 − 0,15i
Representamos los resultados obtenidos:
Solució
FIXA-T’HI
Donat el nombre complex z = 7 + 5i, respon i resol les qüestions següents:
a) Identifica la part real i la part imaginària de z.
b) Busca el conjugat de z.
c) Calcula el mòdul de z i el seu argument.
d) Calcula el mòdul i l’argument del seu conjugat z .
e) Representa, en un mateix gràfic, els vectors que determinen els afixos de z, el seu oposat i el seu conjugat.
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Aplicarem les definicions de nombre complex, conjugat, mòdul i argument, i recordarem com es representa l’afix d’un complex expressat en forma binòmica.
RESOLUCIÓ: a) La part real del nombre complex z = 7 + 5i és 7 i l’escrivim com a a = Re(z ) = 7. La part imaginària és 5i i la representem com a b = Im(z ) = 5i.
b) El conjugat d’un nombre z (que es representa com a z ) és aquest mateix nombre però canviant el signe de la part ima-ginària. Així, doncs, el conjugat de z és z = 7 - 5i.
c) El mòdul de z = a + bi és |z | = a2 + b2 . Per tant, |z | = 72 + 52 = 74 = 8,6.
|z | = 72 + 52 = 74 = 8,6.
L’argument és arctg (b/a) = arctg (5/7) = 35,54°.
d) El mòdul d’un nombre complex coincideix amb el del seu conjugat. Per tant, |z | = 8,6.
En aquest cas, l’argument és arc tg (b /a) = arc tg (-5/7) = 324,46°.
e) Recorda que la part real es representa en l’eix X, i la part imaginària en l’eix Y. Tingues en compte també que |z | és el simètric de z respecte de l’eix X, mentre que -z ho és res-pecte de l’origen de coordenades.
Representació gràfica de z = 7 + 5i y z = 7 - 5i y -z = -7 - 5i.
Solució
Exercicis i problemes 12 a 17
Problemes resolts A
Per a calcular una arctangent, la major part de calculadores i progra-mes donen com a resultat angles a compresos entre -p/2 i p/2.
Quan l’afix d’un nombre complex és en el primer quadrant, obtenim un valor de a positiu, que és l’argument que cerquem. En cas contrari, hem de tenir en compte en quin quadrant és l’afix.
Reflexiona sobre la posició dels afi-xos i el resultat que obtens a la cal-culadora i veuràs que:
Afix en 2n quadrant S
a < 0 S arg (z ) = 180 - a
Afix en 3r quadrant S
a > 0 S arg (z ) = 180 + a
Afix en 4t quadrant S
a < 0 S arg (z ) = 360 - a
FALTA TRADUCIR LA FRASE EN ROJO
150
AMPLÍA
q q La forma polar d’un nombre complex amb argument a i mòdul r és z = ra.
z = r
X
Y
543
a
r
b
21
1
–1
2
3
4
–1 0
α
α
9
bloc 2 geometria
4. Forma polar d’un nombre complex
Fins ara hem expressat els nombres complexos en la seva forma binòmica, i n’hem determinat les coordenades en el pla complex.
Tanmateix, un nombre complex pot expressar-se a partir del mòdul i l’argument que en representa l’afix. És la forma polar d’un nombre complex.
Hem calculat la forma trigonomètrica d’un nombre complex, l’afix del qual està representat en el primer qua-drant. Comprova tu mateix que la igualtat es compleix si z és en qual-sevol altre quadrant. Per a fer-ho, tingues present la relació entre les raons trigonomètriques de a, 180° - a, 180° + a i 360° - a que podràs trobar en aquest web:
http://links.edebe.com/b4m
FIXA-T’HI
Utilitza aquest enllaç per a compro-var la transformació de la forma bi-nòmica d’un nombre complex a la seva forma polar:
http://links.edebe.com/5ys3n
INTERNET
Un complex en forma polar també pot escriure’s de la forma z = rei a.
Cerca a internet informació sobre la fórmula d'Euler per a saber més so-bre aquesta forma d’expressió.
AMPLIA
Exercicis i problemes 23, 24, 25, 26, 29
Transforma els nombres complexos següents:
a) El nombre z = 5 - 8i a forma polar.
b) El nombre z = 7p/2 a forma binòmica.
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Utilitzarem les relacions entre la forma binòmica i polar dels nombres complexos que acabem de veure.
RESOLUCIÓ:
a) z = rα = a2 + b2arctg b /a( ) = 52 + 82
arctg −8/5( ) ≈ 9,4−58º
Observa que l’afix del nombre és en el quart quadrant. Per tant, el resultat obtingut és z = 9,4360° - 58° = 9,4302°.
b) z = 7p/2 = 7 cos (p/2) + i 7 sin (p/2) = 7i
COMPROVACIÓ: Recorre el camí invers i comprova que obtens en cada cas el nombre complex de cada apartat.
Solució
4. Forma polar d’un nombre complex
4.1. Operacions en forma polar
Així, 190° o 2 150° són nombres complexos expressats en forma polar.
De forma binòmica a forma polar i viceversa
Per a passar de forma binòmica a forma polar el nombre z = a + bi:
— Calculem el mòdul del nombre complex: r = |z | = a2 + b2
— En calculem l’argument: tg α =ba
S α = arctgba
Per a passar de forma polar a binòmica el nombre z = ra podem fer-ho a partir de la seva representació gràfica i les relacions trigonomètriques.
— En calculem la part real: Re(z ) = a = r · cos a
— En calculem la part imaginària:
Im(z ) = b = r · sin a
Aquestes igualtats permeten expressar el nom-bre complex z = a + bi com a:
z = r · cos a + i r · sin a = r (cos a + i sin a)
Aquesta expressió és coneguda com a forma trigonomètrica d’un nombre complex.
151
Y
X
α < 0
360 + α
10
unitat 6 nombres complexos
4.1. Operacions en forma polar
Una vegada conegudes les dues formes d’expressar els nombres complexos, po-dem utilitzar l’una o l’altra segons ens convingui per a operar-hi.
Així, la forma binòmica és una bona opció per a sumar i restar nombres comple-xos. Tanmateix, la forma polar facilita el càlcul de multiplicacions, divisions, po-tències i, com veurem, radicals.
Multiplicació
El producte de dos nombres complexos en forma polar és un altre nombre com-plex el mòdul del qual és el producte dels mòduls dels factors, i l’argument, la suma dels seus arguments.
z = z1 · z2 = (r1)α · (r2)β = (r1 · r2)(α+β)
Divisió
El quocient de dos nombres complexos en forma polar és un altre nombre com-plex el mòdul del qual és el quocient entre el mòdul del dividend i el divisor, i l’argument, la diferència dels seus arguments.
z =z1
z2
=(r1)α(r2)β
=r1r2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟α−β
FIXA-T’HI
Si vols multiplicar o dividir dos nom-bres que estan en forma binòmica, pot resultar pràctic passar-los primer a forma polar i, una vegada realitza-da l’operació, convertir-los una altra vegada a forma binòmica.
De la mateixa manera, per a sumar o restar dos nombres en forma polar pots convertir-los primer a forma bi-nòmica i, després, expressar el re-sultat de nou en forma polar.
INTERNET
En el següent enllaç tens una minia-plicació per a realitzar operacions de nombres complexos en forma polar:
http://links.edebe.com/63qwn2
En fer una divisió z1
z2 si l’argument
de z 2 és més gran que el de z 1, l’ar-gument del resultat és negatiu.
Si vols expressar-lo amb un valor comprès entre 0 i 360°, només has de sumar-li 360.
Donats z1 = 1 + 1i i z2 = 1 – 1i, calcula i expressa en forma binòmica les expressions següents:
a) z1 · z2 b) z1z2
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Per a fer el càlcul, expressarem en forma polar els nombres expressats en forma binòmica i, a continuació, escriurem el resultat en forma polar.
RESOLUCIÓ:
z1 = 1 + 1i = ra α; r = a2 + b2 = 12 + 12 = 2 ;
α = arctg (b /a) = arctg (1) = π/4 S z1 = 2 π /4
z2 = 1 − 1i = ra; r = a2 + b2 = 12 + (−1)2 = 2 ;
α = arctg (b /a) = arctg (−1) = −π/4 S z2 = 2 −π /4
L’afix de z 2 és en el quart quadrant. Per tant, el seu argument és 2p - p/4 = 7p / 4, és a dir,
el nombre és z2 = 2 7π /4.
Ara ja podem trobar el producte i el quocient de tots dos nombres:
a) Expresamos el resultado en forma binómica: z1 · z2 = ( 2 · 2 )π /4+7π /4 = 22π.
a = 2 cos 2π = 2; b = 2 sen2π = 0 S z1 · z2 = 2
b) z1
z2
=2 π /4
2 7π /4
= 1−3π /2 = 12p−3π /2 = 1π /2. Expresamos el resultado en forma binómica:
a = 1cos (π / 2) = 0; b = 1sen(π / 2) = 1 Sz1
z2
= i
COMPROVACIÓ:
Per a comprovar el resultat podem realitzar la multiplicació i la divisió en la forma binòmica o realitzar els càlculs a la miniaplicació que trobaràs a: http://links.edebe.com/rshd4m.
Solució
FIXA-T’HI
EL TEXTO DE LA RESOLUCION
HA CAMBIADO. REVISAR
152
AMPLÍA
Exercicis i problemes 31, 32, 33, 35, 39
11
12
bloc 2 geometria
Potenciació
Segons el que hem vist, si calculem el producte d’un complex z = ra per si mateix, obtenim el resultat z 2 = z · z = r2α2 . Si a continuació multipliquem el resultat ante-
rior per z, obtenim z 3 = z 2 · z = r2α2 · ra = (r 2 · r)2a + a = r3α3 . No és difícil comprovar
que, anàlogament, z 4 = r4α4 ,.
Per tant, concloem que si elevem un nombre en forma polar a la potència enèsi-ma, el seu mòdul queda elevat a n i el seu argument, multiplicat per n:
zn = (rα)n = (r n)nα
Si expresses els angles en radiants, l’expressió dels arguments de les arrels és:
ʹ′α =α + 2pk
n, k = 0, 1, …, n - 1
FIXA-T’HI
L’arrel enèsima d’un nombre com-plex en forma polar té n solucions diferents. Així, per exemple, l’arrel cinquena d’un nombre complex té cinc solucions (o cinc arrels cinque-nes). A l’enllaç següent pots veure la representació en forma polar de les arrels cinquenes de z = cos(p/3) + + i sin(p/3):
http://links.edebe.com/bgei
INTERNET
Per a calcular potències de nombres complexos et pot interessar utilitzar la fórmula següent:
(cosα + i sin α)n == cos(nα) + i sin(nα)
que es coneix com a fórmula de De Moivre.
Así si z = r (cosα + i sin α) enton-ces zn = r n(cosnα) + i sin nα).
AMPLIA
Donat el nombre complex z = 2p/2, calcula z5.
Calcula les arrels quadrades de z = 2p i les arrels cúbiques de z = 2730°.
EXEMPLE
EXEMPLE
RESOLUCIÓ: z5 = (2p/2)5 = (25)5p/2 = 325p/2 = 325p/2 - 2p = 32p/2
Observa que l’argument del resultat era més gran que 2p (5p/2) i l’hem expressat com un nombre comprès entre 0 i 2p.
COMPRENSIÓ: Per a calcular arrels, trobarem l’arrel del mòdul i calcularem els arguments donant valors a k des de 0 fins a n - 1.
RESOLUCIÓ: Les arrels quadrades de z = 2p tenen mòdul 2 i arguments
α1 =π + 0
2=
π
2; α2 =
π+2π ·1
2=
2π
3
Per tant, les arrels són 2( ) π2
y 2( ) 3π
2
.
Les arrels cúbiques de z = 2730° tenen mòdul 273 = 3 i arguments:
α1 =30º + 0º
3= 10º ; α2 =
30º + 360º ·1
3= 130º ; α3 =
30º + 360º ·2
3= 250º
Les arrels són, per tant, 310°, 3130° i 3250°.
Solució
Solució
Radicació
L’arrel enèsima del nombre complex Ra és un altre nombre complex, rß, la potèn-cia enèsima del qual és Ra.
Rαn = rβ 3 (rβ)n = Rα
Però (rβ)n = rnβn .; per tant,
rnβn = Rα 1r n = R 1 Rn
nβ = α + 360º · k ; k ∈ Z ⇒ β =α + 360k
n
⎧
⎨⎪
⎩⎪⎪
Si donem valors sencers a k des de 0 fins a n - 1, obtenim n arguments diferents:
Si k = 1 β1 =α
n; si k = 2 β2 =
α + 360º
n;...; si k = n - 1 βn =
α + 360º · (n − 1)
n
Així, un nombre complex z = Ra té n arrels enèsimes diferents:
Rαn = ( Rn ) α+360kn
; k = 0, 1, 2, ..., n − 1
FALTA TRADUCIR FRASE EN ROJO
153
AMPLÍA
Exercicis i problemes 42, 43, 44
unitat 6 nombres complexos
5. Equacions amb solucions complexes
Entenem el conjunt dels nombres complexos com el resultat d’afegir als nombres reals les solucions de les equacions polinòmiques que s’obtenen a partir de la definició de la unitat imaginària i.
Vegem com podem calcular totes les solucions de les equacions de segon grau i les equacions biquadrades.
5.1. Equacions de segon grau
Recorda que les equacions de segon grau o quadràtiques amb una incògnita te-nen la forma:
ax 2 + bx + c = 0
Les seves dues arrels es troben a partir de la fórmula quadràtica següent:
x =−b ± b2 − 4ac
2a
Considera l’equació x 2 − 2x + 5 = 0 .
En trobar les seves solucions apareix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu.
x =2 ± −16
2
Aquesta equació no té solucions en els reals, però si considerem la possibilitat que les solucions siguin nombres complexes tenim:
x =2 ± −16
2=
2 ± 16 · (−1)
2=
2 ± 16 · −1
2=
2 ± 4i2
= 1 ± 2i
En aquest cas, les dues solucions complexes són: x1 = 1 + 2i ; x2 = 1 − 2i .
Vegem, doncs, que tota equació de segon grau té solució si admetem que aquesta pot ser un nombre complex.
Les solucions de l’equació seran dos nombre reals si el discriminant és positiu o nul, i dos nombres complexos conjugats si el discriminant és negatiu:
5. Equacions amb solucions complexes
5.1. Equacions de segon grau
5.2. Equacions biquadrades
AMPLIA
Si z és una arrel d’un polinomi P, el seu conjugat també ho és. Què pots afirmar de les solucions d’un poli-nomi amb grau parell? I quan és imparell?
FIXA-T’HI
Si calculem les arrels de polinomis, trobem també els punts de tall de les seves gràfiques amb l’eix X.
Fixa’t en la representació de la fun-ció associada a l’equació de l’exem-ple.
–1
2
1
3
4
5
6
7
X
Y
–1 10 2 3 4 5 6–2–3
f(x) = x2 – 2x + 5
f(x ) = x 2 - 2x + 5 = 0
Quan les arrels obtingudes són complexes, la gràfica no talla l’eix X. Per tant, no has de confondre l’afix dels complexos amb cap punt de la gràfica.
Problemes resolts B
D ≥ 0
Dos soluciones reales
D > 0
Dos soluciones reales distintas
D = 0
Dos soluciones reales iguales
D < 0
Dos soluciones complejas conjugadas
Soluciones de una ecuación de segundo grado
FALTA TRADUCIR EL ESQUEMA
13
154
bloc 2 geometria
5.2. Equacions biquadrades
Les equacions biquadrades són les equacions el terme general de les quals té la forma:
ax 4 + bx 2 + c = 0
Aquestes equacions poden reduir-se a una equació de segon grau efectuant el canvi de variable següent:
x 4 = t 2 x 2 = t
at 2 + bt + c = 0
Si considerem la possibilitat de l’existència de solucions complexes, podem trobar les solucions t1 i t2 d’aquesta equació de segon grau i, desfent el canvi de varia-bles, trobarem les arrels del polinomi original.
Observa que les arrels t1 i t2 de at 2 + bt + c = 0 poden ser de tres tipus:
— Un nombre real positiu t (solució doble). En calcular x obtindrem dos nombres
imaginaris x = ± t .
— Un nombre real negatiu t (solució doble). En calcular x obtindrem dos nom-
bres imaginaris x = ±i t .
— Un nombre complex z. En calcular x haurem d’aplicar el mètode de radicació de complexos vist anteriorment i obtindrem dos complexos conjugats.
Un nombre z en forma polar s’ex-pressa en funció de dos paràmetres, el mòdul r i l’argument a, que es consideren també coordenades: les coordenades polars.
D’aquesta manera, per exemple, una circumferència de radi 1 amb centre en (0, 0), que en coordena-des cartesianes s’expressaria com a x 2 + y 2 = 1, en coordenades polars s’escriuria r = 1.
D’altra banda, una expressió com y = x en coordenades cartesianes re-presenta una recta, mentre que r = a representa una espiral d’Arquimedes en coordenades polars:
CURIOSITATS
Espiral d’Arquimedes.
Exercicis i problemes 46, 47, 48
Resol l’equació biquadrada següent: x4 + 2x2 + 2 = 0.
EXEMPLE
COMPRENSIÓ: Efectuem els canvis de variable x 4 = t 2 S x 2 = t , resolem l’equació resultant i, finalment, desfem el canvi
RESOLUCIÓ: Els canvis de variable ens permeten escriure l’equació de la forma següent: t 2 + 2t + 2 = 0 .
A continuació, la resolem: t =−b ± b2 − 4ac
2a=−2 ± 22 − 4 · 1 · 2
2 · 1=−2 ± 4 − 8
2=−2 ± −4
2=−2 ± 2i
2= −1 ± i .
Les solucions són dos complexos conjugats i, com que per a desfer el canvi haurem d’aplicar el mètode de radicació de complexos, expressarem les solucions en forma polar:
t1 = -1 + i; r = (−1)2 + 12 = 2 ; tg α = −1 Sα = 135ºα = 315º⎧⎨⎩
. Ja que l’afix del nombre complex pertany al segon quadrant, el seu ar-
gument és a = 135°.
t2 = -1 - i; r = (−1)2 + 12 = 2 ;; tg α = −1 Sα = 45ºα = 225º⎧⎨⎩
. Ja que l’afix del nombre complex pertany al quart quadrant, el seu ar-
gument és a = 225°.
Per tant, t1 = 2 135° y t2 = 2 225°.
Ara hem de desfer el canvi de variable per a calcular les x.
Les arrels de t1 tenen mòdul 2 = 24 i arguments 135°
2= 67,5° y
135° + 360°
2= 247,5° S x1 = 24
67,5°, x2 = 24247,5°.
Les arrels de t2 tenen mòdul 2 = 24 i arguments 225°
2= 112,5° y
225° + 360°
2= 292,5° S x3 = 24
112,5°, x4 = 24292,5°.
COMPROVACIÓ: Expressa les solucions en forma binòmica i substitueix-les per x en l’equació biquadrada per a comprovar que veri-fiquen la igualtat.
Solució
155
A
R = 4 kΩ
XL = 6 kΩ
XC = –3 kΩ
Re
Im
5 6 74321
1
–1
–2
–3
2
3
4
5
6
7
–1–2–3–4 0
R = 4 kΩ
XL = 6 kΩ
XC = –3 kΩ
Re
Im
5 64321
1
–1
–2
–3
2
3
4
5
6
7
–1–2–3–4 0
z = 4 + 3i
5 6432
36º
1
1
–1
–2
2
3
4
–1–2 0
z = 536°
Re
Im
Problemes RESOLTSunitat 6 nombres complexos
Els nombres complexos s’utilitzen en els circuits elèctrics que porten una impedància associada. La impedància és una magni-tud complexa que serveix per a expressar l’oposició que presen-ten alguns dispositius elèctrics al pas del corrent altern.
Habitualment es representa amb la lletra Z i consta de tres ele-ments diferents: la resistència (R), la inductància (XL ) i la capaci-tància (XC ). La primera és una magnitud real, mentre que la inductància i la capacitància són magnituds complexes, la prime-ra positiva i la segona negativa, i es relacionen mitjançant l’ex-pressió següent:
Z = R + i (XL - XC)
Disposem d’un circuit elèctric amb una resistència de 4 kΩ, una inductància de 6 kΩ i una capacitància de 3 kΩ.
a) Representa gràficament la resistència, la inductància i la im-pedància.
b) Quin és el mòdul de la impedància?
c) Representa l’afix de Z en el gràfic obtingut a a).
d) Expressa la impedància en forma polar i representa-la gràfica-ment.
e) Si la intensitat total que circula pel circuit està alineada amb R, i la tensió està alineada amb el mòdul de Z, quin angle for-ma la intensitat respecte de la tensió?
f ) Quin seria el mòdul de la impedància si la inductància fos nul·la?
OPERACIONS I FORMA POLAR DE NOMBRES COMPLEXOS
b) El mòdul de la impedància ve donat per:
|Z | = R2 + (XL − XC )2 S
S |Z | = 42 + (6 − 3)2 = 16 + 9 = 5 kΩ
c) El component imaginari del vector resultant és 6 kΩ – 3 kΩ = 3 kΩ, que juntament amb els 4 kΩ de l’eix real ens serviran per a representar gràficament l’afix de Z.
d) La impedància del circuit en forma binòmica és, doncs, Z = 4 + 3i. Per a convertir-la a forma polar amb mòdul r i argument a utilitzem:
Z = a + bi = |z |arctg(b /a) S Z = 5arctg(3/4) = 5π /5 = 536°
Si representem l’afix de la impedància a partir de la seva forma polar, observem que coincideix amb el que hem re-presentat a l’apartat anterior:
e) Si la intensitat total que circula pel circuit està alineada amb R, això vol dir que aquesta és en l’eix real Y. Per tant, l’angle que forma amb la tensió és un altre cop: p/5 = 36°.
f) Si només la resistència i la capacitància contribueixen a la impedància, tenim que Z = 4 - 3i kΩ, i que, per tant:
|Z | = R2 + (−XC )2 = 42 + (−3)2 = 16 + 9 = 5 kΩ
En aquest cas, observem que el mòdul de la impedància total no varia.
Solució
1. d La impedància d’un circuit de corrent altern en forma polar ve donada per z = 32p.
a) Calcula les seves arrels cinquenes. b) Representa-les gràficament.
Sol.: a) z1 = 2p/5; z2 = 23p/5; z3 = 2p; z4 = 27p/5; z5 = 29p/5
COMPRENSIÓ: La impedància en corrent altern és una magnitud complexa i està formada per la suma d’una magnitud real (resis-tència) i dues magnituds complexes.
RESOLUCIÓ: a) La resistència R és la part real de la impedància; per tant, la representarem en l’eix X. D’altra banda, la inductància XL i la capacitància XC es representen en l’eix imaginari Y. Els nombres que hem de representar són: R = 4, XL = 6i i XC = -3i.
156
B
bloc 2 geometria
Un grup d'amics es va reunir per jugar al Monopoly. Quan van obrir-ne la capsa van veure que només hi havia 25 bitllets «reals» del joc, de manera que van decidir crear-ne alguns d’altres d’«imaginaris» per poder-hi jugar.
En començar el joc es van repartir els bitllets «reals» i «imaginaris» de manera que si a vuit vegades el total de bitllets que tenia cada juga-dor, li restaves aquest mateix total al quadrat, el resultat era el nombre de bitllets inicials que hi havia en la capsa. Quants bitllets «reals» i «imaginaris» tenia cada jugador quan va començar la partida?
EQUACIONS AMB SOLUCIONS COMPLEXES
Passos
1. Expressem la suma total de bitllets com un nombre com-plex.
2. Expressem la relació de l'enunciat en forma d'equació.
3. Resolem l'equació, assumint que les solucions poden ser complexes.
4. Interpretem les possibles solucions que s'obtenen.
Respostes
1. La suma total de bitllets és: a + bi = z
2. L'equació que expressa la relació expressada en l'enunciat és:
8z - z 2 = 25 S z 2 - 8z + 25 = 0
3. Com que es tracta d’una equació de segon grau amb una incògnita (z ), utilitzarem la fórmula quadràtica per a resol-dre-la.
z =−b ± b2 − 4ac
2a=
8 ± 64 − 4 · 25
2
=8 ± 64 − 100
2=
8 ± −36
2=
8 ± 6i2
= 4 ± 3i
4. Hi ha dues possibles solucions que compleixen les condi-cions de l'enunciat: a = 4 i b = 3, i a = 4 i b = -3. La segona solució no és coherent perquè no es poden tenir -3 bitllets. Així, la resposta a la pregunta és que quan s’inicia la partida, cada jugador té un total de 4 + 3i bitllets; és a dir, 4 bitllets «reals» (del joc original) i 3 bitllets «imaginaris» (fabricats).
Solució
2. s Troba el nombre complex que, en multiplicar-lo per (1 + 3i ) i restar-li (13 + 59i ), dóna com a resultat el nombre imaginari 6i.
Sol.: 19 + 2i
COMPRENSIÓ: Quan va començar la partida cada jugador tenia una quantitat de bitllets resultat de sumar els bitllets «reals», que representen els bitllets propis del joc, amb els «imaginaris», que són els bitllets que van crear. Donades aquestes condicions, haurem d'expressar el total de bitllets com un nombre complex i expressar amb una equació la relació que compleix la quantitat total de bit-llets que tenien inicialment.
DADES: Quantitat de bitllets «reals»: a
Nombre de bitllets «imaginaris»: b
Total de bitllets «reals»: 25
RESOLUCIÓ: Intenta resoldre el problema individualment. Per a fer-ho, tapa la columna de les respostes i segueix aquests passos:
COMPROVACIÓ:
Per comprovar que les solucions obtingudes són correctes, substituïm tots dos nombres complexos en l'equació que expressa la re-lació de l'enunciat i verifiquem que el resultat és el nombre de bitllets que hi havia inicialment en la capsa.
z = 4 + 3i S 8 · (4 + 3i ) - (4 + 3i )2 = 24 + 24i - (9 - 16 + 24i ) = 25
De la mateixa manera, pots comprovar que la solució a = 4 i b = -3 també és correcta.
157
–1
–2
Y
X210–1
unitat 6 nombres complexos EXERCICIS y PROBLEMES
1 NOMBRE COMPLEX
3. a Calcula les arrels següents: 164 , −9 , −83 ,
−121 , −15 .Sol.: 2; ±3i; - 2; ±11i; -1
4. a Indica quin és la part real i la part imaginària dels nombres complexos següents:
a) z = 3 - 2i d) z = 6i
b) z = 4 + 5i e) z = 3i2
c) z = 10 f ) z = 1 / i
Sol.: a) Re(z ) = 3, Im(z ) = -2; b) Re(z ) = 4, Im(z ) = 5; c) Re(z ) = 10, Im(z ) = 0; d) Re(z ) = 0, Im(z ) = 6;
e) Re(z ) = 0, Im(z ) = -1
5. a Calcula els conjugats i oposats dels nombres com-plexos següents, i comprova els teus resultats utilitzant la miniaplicació que trobaràs a la pàgina: 1http://links.edebe.com/njj
a) z = 4 c) z = 75i
b) z = 5 + 15i d) z = 45 + 3i
Sol.: a) z = 4, -z = -4; b) z = 5 - 15i, -z = -5 - 15i; c) z = -75i, -z = -75i; d) z = 45 - 3i, -z = -45 - 3i
6. a Un nombre complex z en forma binòmica es repre-senta com a z = a + bi. Quin ha de ser el valor de a i B perquè z sigui igual que el seu complex conjugat i el seu oposat?
Sol.: a = 0; b = 0
7. s Troba el valor del paràmetre real k perquè el nombre
1− 2ki
k − isigui:
a) un nombre real b) un nombre imaginari
Sol.: a) k = ±2
2; b) k = 0
2 OPERACIONS EN FORMA BINÒMICA
8. aEfectua les operacions següents en forma binòmica.
a) (3 - 2i ) + (4 + 5i ) c) (5 + 9i ) - (5 - 9i )
b) 8 + (13 + 5i ) d) (16 - 2i ) - (15 - 2i )
Sol.: a) 7 + 3i; b) 21 + 5i; c) 18i; d) 1
9. a Quin nombre cal sumar a 5 - 6i per a obtenir 8i?
Sol.: -5 + 14i
10. a Calcula:
a) (3 - 2i ) · (4 + 5i ) d) 3 / (4 + i )
b) (6 + 2i ) · (3 + 3i ) e) (2 - i ) / (1 + 3i )
c) (2 + i ) / i f ) (2 + 3i )2
Sol.: a) 22 + 7i; b) 12 + 24i; c) 1 - 2i; d) 12 / 17 - 3i/ 17; e) -1 / 10 - 7i/ 10; f ) -5 + 12i
a Si dividim un nombre complex z = a + bi entre el seu complex conjugat, n’obtenim l’ oposat més 1 + 2i. De quin nombre z es tracta?
Sol.: z = 1 + i
3 REPRESENTACIÓ GRÀFICA
11. a Observa la representació gràfica següent.
a) Quin nombre complex està representat?
b) Representa’n gràficament el complex conjugat.
c) Calcula el quadrat del nombre que has trobat en l’apartat a) i representa’l gràficament.
12. a Donat el nombre complex z = 15 + 22i, representa’n l’afix en el pla complex, juntament amb:
a) el vector que defineix l’afix amb l’origen de coordena-des
b) el seu conjugat z .
c) el seu oposat -z.
— Discuteix amb els teus companys quina relació mante-nen els afixos de z, z i -z i els vectors que determinen, amb l’origen de coordenades.
13. s Realitza les operacions següents de forma gràfica:
a) (5 + 5i ) + (2 + 2i ) d) (-4 - 5i ) - (-2 - i )
b) (4 - 2i ) + (6 - 2i ) e) 5 · (3 + 2i )
c) (3 - 2i ) - (4 + 7i ) f ) (3 + 4i ) + (1 + 2i )
14. s Calcula el mòdul dels nombres complexos següents:
a) z = 3 + 4i c) z = 4 - 3i
b) z = 5 d) z = 10i
Sol.: a) |z | = 5; b) |z | = 5; c) |z | = 5; d) |z | = 10
15. s Donat el nombre complex z = 7 - 6i, quin és el seu conjugat? Calcula’n el mòdul utilitzant dos mètodes dife-rents.
Sol.: z = 7 + 6i, |z | = 9,2
16. s Representa en el pla els nombres complexos se-güents i calcula’n els mòduls.
a) z = 6 c) z = 4i
b) z = 15 + 5i d) z = 3 - 4i
Sol.: a) |z | = 6; b) |z | = 15,8; c) |z | = 4; d) |z | = 5
158
1
2 Y
X0–1–2 – 2
2
bloc 2 geometria
17. s Representa en un mateix eix de coordenades els nombres complexos següents i els seus conjugats, i com-para’ls. Quina relació s’observa entre z i z en cada cas?
a) z = 6 + 6i c) z = 12
b) z = -3i d) z = 12 - 3i
18. s Realitza les operacions següents i representa’n el resultat gràficament.
a) (4 + 8i ) + (4 - 8i ) d) (2 + 7i ) / i
b) (124 - 78i ) - (124 + 78i ) e) (2 + i )3
c) (5 + 8i ) · (10 - 2i ) f ) (1 - i ) / (1 + i )
Sol.: a) 8; b) -156i; c) 66 + 70i; d) 7 - 2i; e) 2 + 11i; f ) -i
19. s Troba l’invers dels nombres complexos següents i aproxima el resultat a les centenes:
a) i c) 7 - i
b) 5 + 6i d) -4 - 5i
Sol.: a) -i; b) 0,08 - 0,1i; c) 0,14 + 0,2i; d) -0,1 + 0,12i
20. s Troba l’invers del complex conjugat dels nombres següents:
a) i c) 4 + 2i
b) 6 - i d) 0,1 + 0,1i
Sol.: a) i; b) 6 / 37 - i/ 37i; c) 0,2 + 0,1i; d) 5 + 5i
21. d Discuteix amb els teus companys quina és la millor forma de calcular les potències següents:
a) i1 231 b) i10 320 c) i7 037 d) i883 002
4 FORMA POLAR D’UN NOMBRE COMPLEX
22. a Identifica el mòdul (r) i l’argument (a) dels nombres complexos següents:
a) z = 3p / 2 c) z = 12p e) z = 42p
b) z = 10p d) z = 3p f ) z = 10
23. a Representa els nombres complexos següents en el pla:
a) z = 10p/4 c) z = 263p/2 e) z = 4p/3
b) z = 5-p d) z = 1180° f ) z = 845°
24. a Quin és l’argument dels nombres reals següents?
a) 8 b) -13
25. a Un nombre complex que expressa la mitjana del nombre de cartes comercials (part real) i el nombre de correus electrònics (part imaginària) que rep una perso-na cada dia ve donat per z = 6 + 9i.
a) Expressa aquesta quantitat en forma polar.
b) Representa-la en el pla complex.
Sol.: a) z = 10,856.31°
26. a Observa la figura següent i digues a quin nombre complex en forma polar equival aquesta representació.
Sol.: z = 23p/4
27. s Expressa en forma polar els nombres complexos se-güents:
a) z = 7i d) z = 4 - 4i
b) z = -5 + 5i e) z = 2i 2
c) z = -6
Sol.: a) z = 7p / 2; b) 7,07135°; c) z = 6p; d) z = 5,66315°; e) z = 2p
28. s Expressa en forma polar el conjugat de l’oposat de z = -5 + 10i:
Sol.: z = 11,1863,43°
29. s Expressa en forma binòmica els nombres complexos següents:
a) z = 75p / 2 c) z = 93p / 2
b) z = 1-p / 2 d) z = 3p / 4
Sol.: a) 7i; b) -i; c) -9i; d) 2,12 + 2,12i
30. s Calcula els productes dels nombres complexos se-güents en forma polar z1 i z2:
a) z1 = 83p / 2; z2 = 0,5p / 2 d) z1 = 65°; z2 = 56°
b) z1 = 25p / 2; z2 = 2p / 2 e) z1 = 22p; z2 = 72p
c) z1 = ep / 3; z2 = 7p / 5
Sol.: a) 42p; b) 50p; c) 7e8p / 15; d) 3011°; e) 144p = 142p
31. s Donats els nombres complexos en forma polar z1 i z2, calcula z1 / z2:
a) z1 = 85p / 2; z2 = 0,5p / 2 d) z1 = 15°; z2 = 106°
b) z1 = 10p / 2; z2 = 2p / 2 e) z1 = 22p; z2 = 4-2p
c) z1 = 5p / 3; z2 = 1p / 5
Sol.: a) 162p; b) 50; c) 52p / 15; d) 0,1359°; e) 0,54p = 0,52p
32. s Calcula la potència n de cadascun dels nombres complexos que tens a continuació:
a) z = 10p / 2; n = 3 d) z = 21°; n = 4
b) z = 23p / 2; n = 6 e) z = 590°; n = 2
c) z = 1p; n = 9 f ) z = 330°; n = 3
Sol.: a) 1 0003p / 2; b) 649p = 64p; c) 19p = 1p; d) 164°; e) 25180°; f ) 2790°
159
1 2 3
Y
X
1
2
–1
–1–2–3
–2
1
–1
Y
X210 3
unitat 6 nombres complexos
33. s Donats els nombres complexos en forma polar z1 = 2p / 2 i z2 = 10-p / 2, fes les operacions següents:
a) z1 · z2 c) (z1 / z2)6
b) z13 · z2 d) z1 · z2
Sol.: a) 20; b) 80p; c) 5–66p; d) 6,3p / 4, 6,35p / 4
34. s Calcula les arrels següents:
a) 16120°4
d) 430°
2
b) 110°5
e) 1+ i4
c) 27π3
f ) 227
6
35. s Utilitza la miniaplicació que trobaràs a l’enllaç se-güent per a representar i comprovar els resultats dels apartats b) i d) de l’exercici anterior: 1http://links.edebe.com/2ddj
36. s Hem de representar un nombre complex en forma polar. L’única cosa que sabem és que, en forma binòmi-ca, la part imaginària és el doble de la part real i que el seu mòdul més la part real és igual a 80,9. (Aproxima els resultats amb un decimal).
a) De quin nombre es tracta?
b) Representa’l en el pla complex.
Sol.: a) z = 55,963,4°
37. s La figura següent mostra les arrels cúbiques d’un nombre complex. Esbrina de quin nombre es tracta.
Sol.: z = 8p
38. s Dos nombres complexos que representen els punts extrems d’una recta són z1 = 8 - 5i i z2 = 4 - 12i, respecti-vament.
a) Suma’ls i calcula l’invers del resultat.
b) Converteix-los en forma polar i, de nou, fes la suma i calcula’n l’invers.
c) Comprova que les operacions que has fet en els apar-tats a) i b) donen el mateix resultat.
Sol.: a) 12 / 433 + 17 / 433i; b) 433
433
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
54,78°
39. d Realitza les operacions següents i representa gràfi-cament les arrels obtingudes en cada cas:
a) 3π · 3π6 d) (25π/2 ) · (125π/2 )5
b) (12π ) · (13π )3
e) (1π/3 ) · (1π/2 )6
c) (162π ) · (13π )4 f ) (−3) · 2436
40. d Observa la figura següent i contesta les qüestions, arrodonint els resultats a les centenes quan sigui neces-sari. 2
a) Expressa el nombre complex representat gràficament en forma binòmica i en forma polar.
b) Multiplica’l pel seu conjugat i expressa el resultat en forma binòmica i en forma polar.
c) Busca les arrels cúbiques del complex de l’apartat a).
Sol.: a) z = 3 + i, z = 2p/6; b) 4, 40°; c) 1,26p/18, 1,2613p/18, 1,2625p/18
5 EQUACIONS AMB SOLUCIONS COMPLEXES
41. a Resol les equacions següents, i indica si les soluci-ons són nombres reals o complexos.
a) x 2 + x = 0 d) -10x 2 = 1 000
b) x 2 + 16 = 0 e) x 2 + 25 = 0
c) 6x 2 = -6 f ) 1 000x 2 = -10
Sol.: a) -1, 0; b) ±4i; c) ±i; d) ±10i; e) ±5i; f ) ±0,1i
42. s Resol les equacions següents expressant el resultat amb un decimal i representa les solucions en el pla com-plex:
a) x 2 + 6x + 10 = 0 d) 6x 2 - 36x + 72 = 0
b) x 2 - 6x + 10 = 0 e) 9x 2 - 2x = -121
c) x 2 + 2x + 3 = 0 f ) x 2 - x = 2
Sol.: a) -3 ± i; b) 3 ± i; c) -1 ± 1,4i; d) 3 ± 1,7i; e) 0,1 ± 3,6i; f ) -1, 2
43. s Resol l’equació de segon grau següent: x 2 + 7x + 10 = = 0. Representa-la gràficament i descobreix si té punts de tall amb l’eix X. Raona la teva resposta.
Sol.: -5, -2
44. s Fes el mateix que en el problema anterior però ara amb l’equació: 10x 2 + x + 7 = 0, expressant els resultats amb dos decimals.
Representa-la gràficament i descobreix si té punts de tall amb l’eix X. Raona la teva resposta.
Sol.: -0,05 ± 0,83i
160160
bloque 2 geometria
45. s Resol les equacions següents i representa’n les so-lucions:
a) x4 - 16 = 0 d) 1 = x8
b) x4 + 16 = 0 e) 3x4 = 243
c) -x4 = 1 f ) x4 + 2x 2 + 1
46. s Resol les equacions biquadrades següents expres-sant els resultats dins de radicals.
a) x4 + 6x 2 + 10 = 0 c) x4 + 2x 2 + 3 = 0
b) x4 - 6x 2 + 10 = 0 d) 9x4 - 2x 2 = -121
47. d Representa gràficament els polinomis següents i indi-ca, a partir d’aquests, si les arrels dels polinomis correspo-nents són reals, complexes o de tots dos tipus. Raona en cada cas les teves respostes.
a) P(x) = 1 + x4 d) P(x) = x4 + 6x 2 + 10
b) P(x) = x4 - 16 e) P(x) = x4 + 16
c) P(x) = 9x4 - 2x 2 - 121 f ) P(x) = -1 + x8
48. d Tenim dos nombres complexos en forma polar z1 = = 3eipx i z2 = 15e-ip / 3. 2
a) Calcula el producte.
b) Troba el valor de totes les x que satisfan la igualtat z1 · z2 = 45.
c) Troba el valor de totes les x que satisfan nz1 · z2 = = 22,5 - 38,97i.
NOTA: Pots continuar el procediment en forma binòmica si en algun moment ho creus convenient.
Sol.: a) z = 45e(3x - 1) · ip / 3; b) x = 1 / 3 + 6k / 3, k enter; c) x = 0 + 2k, k enter
Síntesi
49. a Realitza les operacions següents en forma binòmi-ca. Representa gràficament els resultats obtinguts i troba en cada cas el complex conjugat i l’oposat a partir d’aquesta representació:
a) (8 + 5i ) + (5 - 4i ) c) (2i ) · (3 + 4i )
b) (6 + 7i ) - (-5 + 2i ) d) (2 + 2i ) / 4i
Sol.: a) z = 13 + i; z = 13 - i; -z = -13 - i; b) z = 11 + 5i; z = 11 - 5i; - z = -11 - 5i;
c) z = -8 + 6i; z = -8 - 6i; -z = 8 - 6i; d) z = 0,5 - 0,5i; z = 0,5 + 0,5i; -z = -0,5 + 0,5i
50. s Escriu els nombres complexos següents en la seva forma binòmica i calcula’n l’invers a partir d’aquesta.
a) 527° e) 230°
b) 85p / 2 f ) 5p / 3
c) 365° g) 1270°
d) 11-p / 4 h) 42p
51. sRepresenta gràficament les equacions següents i ra-ona, a partir de la gràfica, si les arrels són reals o comple-xes, o de tots dos tipus.
a) x 2 + 6x + 10
b) 6x 2 - 36x + 72
c) 10 + 1 000x 2
d) 9x 2 - 2x - 121
e) x 2 - 6x + 10 = 0
f ) x 2 + 16
52. d Resol les equacions quadrades i biquadrades se-güents, i converteix les solucions del primer apartat a forma polar.
a) 100 = 100 000x 2 c) 2x 2 + 3x - 1 = 0
b) x4 + 625 = 0 d) 11x 2 - 2x = -12
53. s Dos nombres complexos són, respectivament, z1 = 6 - 8i i z2 = 4 + 12i. Fes aquests càlculs, aproximant els resultats amb dos decimals: 1a) Transforma’ls a forma polar i calcula el producte
z1 · z2.
b) Realitza la mateixa operació en forma binòmica i com-prova que el resultat final és el mateix en tots dos ca-sos.
c) Utilitza la forma polar per a calcular z1 / z2.
Comprova tots els resultats utilitzant la calculadora que tro-baràs a:
http://www.wolframalpha.com/
Sol.: a) z = 126,518,44°; b) z = 120 + 40i; c) z = 0,79235,31°
54. d Hi ha quatre nombres complexos que compleixen les mateixes condicions: 2
— Els elevem a la quarta potència i els multipliquem per tres.
— Al resultat sumem el seu quadrat multiplicat per 6.
— El resultat és -6.
Quins són aquests quatre nombres?
Sol.: ± −1+ i , ± −1− i
55. d Els quaternions són una extensió dels nombres complexos en la qual s’afegeixen tres unitats imaginàries i, j i k, de manera que es compleix:
i2 = j2 = k2 = -1
La forma binòmica dels complexos s’estén als quaternions de manera natural, és a dir, un quaternió es pot expressar com a q = a + bi + cj + dk.
a) Quant valen els productes ijk, ij, ik, jk?
b) La suma i el producte de quaternions també s’este-nen de forma natural, és a dir, les operacions es fan component a component. Quin serà el resultat de la suma de dos quaternions q1 i q2?
Síntesis
#6 #6Síntesi
1. Nombre complex
2. Operacions en forma binòmica
3. Representació gràfica
4. Forma polar d’un nombre com-plex
5. Equacions amb solucions com-plexes
Nombre complex Expressió numèrica en la que apareix explícitament la
unitat imaginària i = −1 .
Forma binòmica
z = a + bi
Expressió d’un nombre complex com a suma d’una part real (a) i una part imaginària (b).
z = a – biConjugat
– z = – a – biOposat
Forma polar
z = raExpressió d’un nombre complex a partir del mòdul r i l’ argument a que representa el seu afix.
z1 + z2 = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
z1 - z2 = (a + bi ) - (c + di ) = (a + c) - (b + d)i
z1 · z2 = (a + bi ) · (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i
z1z2
=a + bi
c + di=
(a + bi )
(c + di ) ·
(c − di )
(c − di )=
ac + bd
c2 + d2+
(bc − ad )
c2 + d2i
1
z=
1
a + bi=
1
a + bi ·
a − bi
a − bi=
a − bi
a2 + b2=
z
|z|2
Operacions en forma binòmica
r = |z| = a2 + b2 α = arctgb
aDe binòmica a polar
a = r · cos a b = r · sin aDe polar a binòmica
Equacions amb solucions complexes
Admetent que la solució d’una equació pot ser un nombre complex, podrem trobar les solucions de les equacions on apareixen arrels de nombres negatius.
Representació gràfica
(a, b)
Un nombre complex z = a + bi pot representar-se en el pla complex mitjançant el punt (a, b) anomenat afix.
z1 · z2 = (r1)a · (r2)a = (r1 · r2)(a + b)
z1z2
=(r1 )α(r2 )β
= (r1 · r2 )α−β
zn = (ra )n = (rn)na
zn = ( zn ) α+360 · k
n
; k = 0,1,…n −1
Operacions en forma polar
161
162
#6AVALUACIÓNOMBRES COMPLEXOS
5 Donats els nombres complexos z 1 = 3p/2 i z 2 = 3p, escriu els resultats de les operacions següents en forma polar:
a) z 1 · z 2 e) z1
z2
b) z13 · z2 f)
z1
z22
c) z1
z2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
g) z2
d) z13
h) z12 + z2
3
Sol.: a) 93p/2; b) 81 5p/2; c) 12p; d) 27 3p/4, 27 7p/4;
e) 13p/2; f) (1/3)p/2; g) 3 p/2, 3 3p/2; h) 36p
6 Sense fer cap càlcul, digues quines de les se-güents són les dues arrels del polinomi de segon grau x 2 + 6x + 10 = 0 justificant el motiu de la teva elecció:
a) x = 3 + 3i d) x = -3 + 3i
b) x = 3 - i e) x = -3 - i
c) x = -3 + i f) x = 1 - 3i
Finalment, comprova la teva resposta fent els càl-culs corresponents.
Sol.: d) i e)
7 Troba k perquè (k + 3i )2 (1 − i )2
(2 − 2i )sigui:
a) un nombre real b) un imaginari pur
Sol.: a) 3 ± 3 2 /2; b) -3 ± 3 2
8 Troba les arrels cúbiques de z = 32 + 32 i :
Sol.: 2p/4 = 1,41 + 1,41i; 211p/12 = -1,93 + 0,51i;
219p/12 = 0,51 - 1,93i
9 Resol x 2 + x + 2 = 0 0 i representa gràficament la funció. Troba els punts de tall amb l’eix X si n’hi ha. En cas contrari, explica per què.
Sol.: x 1 = -0,5 + 1,32i; x 2 = -0,5 - 1,32i
0 Un vértice de un cuadrado centrado en el origen es el punto P = (1, 2). Halla las coordenadas de los restantes vértices.
— Si P es el afijo de un número complejo, indica qué operaciones es necesario efectuar para conseguir los afijos correspondientes a los res-tantes vértices del cuadrado.
Sol.: (-2, 1); (-1, -2); (2, -1)
1 Digues si són veritable o falses les afirmacions se-güents:
a) La part imaginària del nombre complex z = = 6 - 8i és Im(z ) = 8.
b) L’oposat del conjugat de z = 4 + 5i és z = 4 − 5i.
c) Qualsevol nombre complex en forma binòmica pot representar-se també en forma polar.
d) Un nombre complex amb part imaginària nul·la no pot ser representat en forma polar.
e) L’invers de 2i és -0,5i.
f) El conjugat de l’invers de 3 + 2i és 0,23 + + 0,15i.
g) Si el mòdul de z és r, el de -z és -r.
h) i 150 = i
2 Donats els nombres complexos z 1 = 3 + 2i i z 2 = -7i, calcula els resultats de les operacions següents:
a) z 1 + z 2 e) -z 1 - z 2
b) |z 1| - z2 f) z 1 · z 2
c) z1
z2 g) z1
2 + z23
d) 1
z1
− |z2| h) 1
z1 + z2
Sol.: a) 3 - 5i; b) 13 - 7i; c) -2/7 + 3i /7;
d) -88/13 - 2i /13; e) -3 + 5i; f) 14 - 21i; f) 5 + 355i; h) 3/34 + 5i /34
3 Expressa els nombres complexos i les operacions escrites en forma binòmica, en forma polar i vice-versa:
a) z = 2 - 4i e) z = 2 + 3i
b) z = 62p f) z = 5p + 5p/2
c) z = (1 + 2i )2 g) z = i
d) z = (5 + 5i )3 h) z = 0,52p/3
Sol.: a) 4,47296,56°; b) 6; c) 5126,86°;
d) 353,55135°; e) 3,656,3°; f) -5 + 5i; g) 1p/2; h) -0,25 + 0,43i
4 Un complex z més el seu conjugat al quadrat és igual a 5 - 3i. Troba el valor de z, tenint en compte que la part real és el doble de la part imaginària.
Sol.: 2 + i
FALTA TRADUCCION EJERCICIO 10
163
ZONA UD. 6NOMBRES COMPLEXOS
El secret de Gerolamo CardanoEls nombres complexos van ser utilitzats per primera vegada en els treballs de Gerolamo Cardano (1501-1576). Els va usar en la resolució d'equacions de tercer i quart grau. Tanmateix, la resolució de les equacions del tipus x 3 + ax = b se li van resistir durant anys.
Va haver de ser un col·lega seu, Niccolo Fontana, més conegut com Tartaglia, qui li va proporcionar la solució general per a aquest tipus d'equacions, si bé li va fer jurar que mai no la desvetllaria.
Al cap d'un temps, van arribar a les mans de Cardano uns documents escrits per Scipione del Ferro, i anteriors a Tartaglia, que permetien arribar a la mateixa solució que aquest havia explicat a Cardano. Amb aquests escrits, Cardano es va considerar deslligat del seu jurament i va publicar la solució general per a les equacions del tipus x 3 + ax = b.
SOCIETY
N. Cardano Tartaglia
La filatèlia i els nombres complexosLa representació dels nombres com-plexos en el pla tal com la coneixem
avui dia es deu al famós matemàtic alemany Carl F. G a u s s ( 1 7 7 7 -1855). Amb motiu del segon centenari del seu naixement, es va editar aquest segell commemo-ratiu.
SOCIETY
SÓN ÚTILS ELS NOMBRES COMPLEXOS?Actualment no es qüestiona l'aplicació dels nombres complexos en diversos àmbits, tant científics com industrials o quotidians. Tanmateix, aquest tipus de nombres també ha tingut els seus detractors. Umaba que «Déu va fer els nombres naturals; la resta és obra de l'home». Amb aquesta frase defensava que l'aritmètica i l'anàlisi matemàtica s'han de basar en els nombres enters, prescin-dint així dels irracionals i els complexos.
L'ILLA DEL TRESORAccedeix a l'enllaç http://links.edebe.com/4a6 en el qual trobaràs un repte que s’ha de resoldre relacionat amb la famosa novel·la de Robert L. Stevenson.
CRITICAL SENSE
ENTREPRENEURS
Els nombres complexos i els negatius negatiusEls nombres complexos no són més absurds que els
negatius, i si aquests es poden representar en una recta aleshores és possible representar els complexos en un pla».
(John Wallis, 1616-1703).Aquest matemàtic anglès va establir de forma rigorosa la noció de límit en la seva obra Aritmètica Infinitorum (1656), en la qual per primera vegada apareix el símbol ∞ per designar la idea d'infinit. També va ser el primer a representar gràficament nombres complexos encara que utilitzant una metodologia diferent de l'actual.
OPINIÓ
− Accedeix a l'enllaç http://links.edebe.com/g48p i explica amb paraules teves en què consistia aquesta metodologia.
− Accedeix a l'enllaç http://links.edebe.com/yhcdqs i observa quina relació existeix entre els nombres complexos i el disseny de les ales dels avions.
− Cerca a la Xarxa informació sobre aplicacions concretes en les quals els nom-bres complexos tinguin un paper fonamental.
− Formeu grups de 3-4 membres i esbrineu la solució a partir de la utilització dels nombres complexos.
− Prepareu una presentació en PowerPoint o Prezzi amb els passos que heu se-guit per a resoldre el repte.