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  • 1

    ¡Comentario sobre las ligaduras no holónomas!

     Cuando una ligadura ideal no holónoma es de las “integrables” podría

    usarse dicha ligadura como holónoma (una vez integrada) y así reducir la

    dimensión de la variedad de configuración (lo cual podría ser muy

    conveniente). No obstante esto siempre es opcional: una ligadura no

    holónoma integrable puede siempre seguir usándose como tal y no

    modificar la variedad de configuración inicial.

    Ejemplo:

    Supongamos y la ligadura no holónoma integrable 1 2 3( , , , )r q q q t

    1 1 2 2 3(1 ) 0,q q q q q    1 1 2 2 3(1 ) 0,q dq q dq dq   

    2 21 1 1 1 2 32 2

    ( ) ,q q q q c    2 21 1 3 1 1 22 2

    ( ) ,q c q q q   

    1 2( , , )r q q t 1 2 1 2( , , , , )T q q q q t ….. etc.

  • 2

    Aplicación al sólido rígido

  • 3

    • Sólido rígido: Es un sistema partículas con seis grados de libertad (dimensión de

    la variedad de configuración) y como coordenadas generalizadas pueden

    usarse,por ejemplo, las tres coordenadas cartesianas, , de un punto A

    del sólido junto con otros tres parámetros, , que determinan su

    orientación y que usualmente son los tres ángulos de Euler.

    ( , , )A A Ax y z

    ( , , )  

    x

    y

    z

    z

    x

    z

    y

    Velocidad angular: ( sin sin cos )

    ( sin cos sin )

    ( cos ) ,

    i

    j

    k

         

        

      

     

     

     

     Sólido sin punto fijo (6 grados de

    libertad): A=CM

    2 2 21 1 2 2

    ( ) ,CM CM CM CMT M x y z I      

     Sólido con punto fijo: conviene

    tomar A=punto fijo.

    1 2

    ,AT I   

  • 4

    x

    y

    z

    z

    x

    z

    y

    A

    nn F

    nr

    n

    Ar

    r Q f a f

    q  

        

     ,nn

    r F

    q

      

    ( )n nd dt   

    Componentes generalizadas de las fuerzas Q

    , , , , , .A A Aq x y z   

    .A nn n r

    Q F F q q

     

         

      ;n A nr r  

    ;A A A Ar x i y j z k      , , ( ) ,( ) ,( ) ;

    A A Ax y z n x n y n z Q Q Q F F F

    , , ,n n nn n nQ F Q F Q F     

      

            

      

    n nQ d Q d Q d F d        

    cos sin ,

    sin sin sin cos cos ,

    ,

    i j

    i j k

    k

     

        

       

         

     

    ( ) nd d d         

  • 5

    x

    y

    z

    z

    x

    z

    y

    A

    nn F

    nr

    n

    Ar

    ,

    ,

    ,

    A

    A

    A

    Q M

    Q M

    Q M

     

     

     

     

     

     

       ( ) ( )n n n nF dt d d d F               

    Componentes generalizadas de las fuerzas Q

    n nQ d Q d Q d F d        

     ( ) n nd d d F          

    ( ) Ad d d M        

    ( ) ( ) ( ) ;A A AM d M d M d            

  • 6

  • 7

    x

    y

    3z x 

    z

    x

    z

    y

    cos ; .U Mgz Mg L T U   

    2 2 2 21 1 1 32 2 ( sin ) ( cos ) ,T I I        

    g

    1 Ejemplo

    Obtened la lagrangiana de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a

    partir de su lagrangiana.

    1

    1 12

    3

    0 0

    , 0 0 ;

    0 0

    A A

    I

    T I I I

    I

     

               

    A

    1x x

    2x y

    1) 0,

    .

    L

    t

    L L L E L T U cte  

      

      

             

      

    2

    1 3

    2) 0,

    sin ( cos )cos

    L

    L p I I cte

          

      

          

    33) 0, ( cos ) L L

    p I cte     

           

     

  • 8

    P) La Lagrangiana de un sistema lagrangiano con dos grados de libertad

    es , donde y es un

    potencial generalizado del que se derivan las componentes generalizadas

    ( ) de las fuerzas. La función tiene derivada y k es una

    constante.

    Sólo una respuesta es correcta!!!

    L

    L T U  2 21 1 22 ( )T q q  2 2

    2 1 1 2 12 ( ) ( )kU q q q q V q  

    jQ V 1( )V V q 

    P1) Las fuerzas generalizadas satisfacen:

    A) 1 2 2 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q V Q kq q q     

    B) 1 2, 0Q V Q  

    C) 1 2 2 1 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q qV Q kq q q     

    D) 1 1 2 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q V Q kq q q     

    E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

  • 9

    P2) La función de energía asociada a la lagrangiana es :

    A) 2T U

    B) T U

    C) T V

    D) T

    E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

    ( , )E q q

  • 10

    P3) Los momentos canónicos conjugados a cada coordenada son:

    A) 1 1 2 2,p q p q 

    B) 2 2

    1 1 2 2 2 12 2 ,k kp q q p q q   

    C) 1 1 2 1 2 2 1 2,p q kq q p q kq q   

    D) 2 2 1 1 1 2 2 22 2

    ,k kp q q p q q   

    E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

    jq

  • 11

    P4) Puede afirmarse que:

    A) es una constante del movimiento T

    B) es una constante del movimiento V

    C) Es una constante del movimiento T V

    D) es una constante del movimiento 2p

    E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

  • 12

    P5) Una partícula se mueve en el plano (x,y) bajo la acción de una

    fuerza , siendo una constante positiva. Usando como

    coordenadas generalizadas las coordenadas polares planas , las

    componentes generalizadas de la fuerza sobre la partícula son:

    A) , ,rQ r Q r     

    B) 2, ,rQ r Q r     

    C) ( ), 0,rQ r r Q    

    D) 2, ,rQ r Q r     

    E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

    F v   ( , )r 

  • 13

    Ejercicio

    Un disco homogéneo de peso Mg y radio R rueda sin deslizar en línea

    recta sometido a una fuerza constante horizontal . Obtened las

    ecuaciones de Lagrange para el movimiento del disco. 0F

    , ,cq y 

    0, 0B Cv y R   

    ,i  

     2 2 21 1 12 2 2,C C CT M y I I MR  

    Ligadura no holónoma: y

    z

    C

    B

    R

    0F

    3 2 R

    gn

    Componentes generalizadas

    de la fuerza 0 :F ,ycQ Q

    0 ,

    ,

    yc

    C

    Q F

    Q M 

     

     

    0 , 2

    C

    R M F i 

    ,

    ,

    dt id

    i

      

      

    0

    0

    ,

    , 2

    0,

    C

    C

    C

    M y F

    RF I R

    y R

     

     

     

     

    ,

    ,

    0,

    yc

    C C

    C

    d T T Q

    dt y y

    d T T Q R

    dt

    y R

     

        

     

         

     

  • 14

    x

    y

    z

    z

    x

    z

    y

    g

    B

    C

    Ejercicio: Una