GEOMETRIA DE LAS MASAS

CATEDRA: ESTABILIDAD 1

TEMA: GEOMETRIA DE LAS MASAS

pROFESOR: ING. ARIEL R. FERNANDEZGeometria de las masas

1. BaricentrosConsideremos en el plano un sistema de puntos en los que se imaginan concentradas las masas m1, m2, m3 (figura 4-1).Asociemos a cada punto un vector representativo de la masa, es decir cuyo modulo sea igual o proporcional a la masa y cuya direccin y sentido sea el mismo para todas las masas, esto es un sistema de fuerzas paralelas, el cual admitir una resultante que girara alrededor de un punto G conforme hacemos girar el sistema de fuerzas paralelas; a este punto se le denomina baricentro del sistema de masas.Por consiguiente, se obtiene grficamente el baricentro G de un sistema de masas, disponiendo los vectores asociados en dos direcciones arbitrarias y determinando sus resultantes mediante los polgonos funiculares p y p, el punto de corte de estas es el baricentro buscado; si se toman direcciones perpendiculares, basta con un solo funicular, pues el segundo tiene rayos perpendiculares al primero. (figura 4-2)

2. Momento estatico (momento de primer orden)Dada una recta en el plano de las masas m1, m2, m3, de la figura 4-1, cuyas distancias de las masas a la recta sean y1, y2, y3, se llama momento esttico del sistema de masas respecto a la recta a la sumatoria de los productos de las masa por las distancias respectivas. (figura 4-3).

Sx = my [4-1]

El momento esttico puede ser positivo, negativo o nulo, pues aunque las masas sean siempre positivas depender del signo de las distancias.

Grficamente se puede determinar el momento esttico de un sistema de masas reemplazando estas por vectores medidas por los mismos nmeros que miden las masas (no proporcionales) mediante la construccin de la figura 4-4, los segmentos interceptados por x en los lados sucesivos del polgono funicular p son los momentos de las masas simples reducidos a una base igual a la distancia polar H medida paralelamente a la direccin y.

Por tratarse de un sistema de fuerzas paralelas asociado a las masas, el momento esttico del sistema con respecto a un eje x-x es igual al momento esttico de la resultante, y como esta pasa por el baricentro, el momento resulta igual a la sumatoria de las masas por la distancia yg del baricentro a la recta

Sx = yg m [4-2]

Si dicha recta pasa por el baricentro la distancia yg = 0 por lo tanto el momento esttico es nulo, de este modo se puede definir el baricentro de un sistema de masas al punto tal que el momento esttico del sistema es nulo con respecto a cualquier recta que pase por el.

De acuerdo a la ecuacin anterior las coordenadas del baricentro de un sistema de masas con respecto a un sistema ejes ortogonales serian

m x m y yg = xg = [4-4] m m

3. Conjuntos continuosNormalmente nos vamos ha encontrar con sistemas continuos, es decir donde la distribucin de las masas puntuales es uniforme a lo largo de una superficie y de acuerdo a una densidad, esto es la masa por unidad de superficie, que puede ser constante o variable; por lo tanto el sistema estar constituido por masas dA en el caso de superficies o ds en el caso de lneas. En este caso el baricentro y el momento esttico respecto de un eje x-x del sistema se expresa por

Sx = y dA o Sx = y ds

y dA y dAxg = xg = [4-5] dA dA

y ds y dsxg = xg = ds ds

Si la masa es abstracta y la densidad igual a la unidad = 1 las masas elementales sern las reas dA o las longitudes ds.

4. Baricentro de algunas lneas planas a) La poligonal regular: sea la poligonal regular (figura 4-5) AB circunscripta a un circulo de radio r con lados de longitud constante 1.el baricentro G esta sobre el eje de simetra OC; adems por ecuacin 4-4, si los yi son las distancias de los puntos medios de los lados al dimetro x, perpendicular a OC, se tiene

l yi OG = yg = l

Indicando con p las proyecciones de los lados sobre x, de los tringulos DEF, OHI resulta

l : r = pi : yi o sea l yi = r pi

De donde se obtiene

r pi pi pi OG = = r = [4-6] l l l

Grficamente, sobre la tangente en C al circulo se desarrolla de CA1 se proyecta A paralelamente a OC sobre la recta OA en A2, y despus se proyecta normalmente A2 sobre OC en G. Efectivamente de los tringulos OGA, OCA se obtiene para OG la expresion [4-6]

b) Arco circular : la ecuacion [4-6] se transforma en ( l = ds, pi = dx ) (figura 4-6)

r sen sen OG = r = r [4-7] r

pudiendo emplearse tambien la constrtuccion precedente. Para una semiciecunferencia, la ecuacion [4-7] da

2 OG = r = 0,6366 r

5. Baricentro de algunas figuras planas

a) TRIANGULO: consideremos un elemento rectangular que tiene un espesor dy y una longitud variable x, (figura 4-7); por tringulos semejantes

b/ h = x / (h y ) x = ( b / h ) ( h y )

el elemento intersecta los lados del tringulo a una altura arbitraria sobre el eje x-x.El rea del elemento es

dA = x dy = ( b / h ) ( h y )

usando las ecuaciones 4-5 para densidad igual a 1 se tiene

A ygx dA 0 y b / h ( h y ) dy b / h 0 ( hy y ) dy h y = = = = A dA 0 b / h ( h y ) dy b / h 0 ( h y ) dy 3

b) General : todas aquellas figuras que poseen dos ejes de simetra, caso del rectngulo, cuadrado, rombo paralelogramo, su centro de gravedad esta en la interseccin de dichos ejes; si la figura posee un solo eje de simetra su centro de gravedad estar sobre este eje, caso de un sector circular, sector parablico, o figuras tales como T , U, Z, etc. consultar tablas al final del capitulo.

6. Momentos de segundo orden de figuras planas(MOMENTOS DE INERCIA)

a) se llama Momento de Inercia de un sistema de masas ( figura 4-3) plano respecto de una recta del plano, a la suma de los productos de las mas por lo cuadrados de las distancias a la recta, medidas en una direccin prefijada

Jx = my [4-8]

Como solo interesa el caso en que todas las masa son positivas el momento de inercia es siempre positivo, nicamente es nulo cuando las masas se hallan alineadas sobre la misma recta de referencia.

Si se escribe Sx = ( my ) y [4-9]

se comprueba que el momento de inercia respecto a un eje es el momento esttico de los momentos estticos ( my ) , imaginados como nuevas masas situadas en lugar de las anteriores, m.

Jx my Si se escribe = = ix [4-10] m m

i es una longitud, y se llama Radio de Giro con respecto al eje x-x . representa la distancia a la que seria preciso concentrar la masa m para obtener el mismo momento de inercia ya que se tiene

Jx = ix m [4-11]

b) MOMENTO DE INERCIA POLAR: se denomina momento de inercia polar de un sistema de masas respecto a un punto P del plano (figura 4-8) a la suma del producto de las masas por los cuadrados de sus distancias al punto

Jp = m r [4-12]

Si hacemos pasar por el punto P un sistema de coordenadas x-y, y referimos la masa a dicho sistema se tiene

r = x + y

luego Jp = m (x + y ) = m y + m x = Jx + Jy [4-13]

por ello el momento de inercia polar respecto de un punto P es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos rectas ortogonales cualesquiera que pasen por P, calculados normalmente a los ejes. Esta propiedad permite obtener Jp cuando se conocen Jx y Jy, pero la reciproca no es cierta, sin embargo, cuando se sabe que Jx = Jy se tiene

Jx = Jy = Jp / 2 [4-14]

De esta propiedad se deduce que la suma de estos momentos Jx + Jy es constante para cualquier par de rectas ortogonales que pasen por el mismo punto.

c) MOMENTO CENTRIFUGO: Se llama momento centrifugo del sistema de masas respecto a dos rectas del plano, a la suma de los productos de la masa por las distancias a ambas rectas, medidas segn direcciones prefijadas.

Jxy = m x y [4-15]

Este momento puede resultar positivo, negativo o nulo ya que el signo de cada termino de la sumatoria depende de los signos de ambas distancias.

d) SISTEMAS CONTINUOS : del mismo modo que los momentos estticos, tambin los de segundo orden se consideran especialmente en el caso de sistemas continuos de masa distribuidas sobre reas o curvas con densidad constante o variable; en particular considerando una masa abstracta de densidad igual a 1. El sistema se reduce a la superficie o la lnea. As los tres momentos se transforman en

J x = A y dA Jp = A r dA Jxy = A xy dA [4-16]

y la [4-10 ] se transforma en

Jx Jx ix = = [4-17] A dA dA

e) TEOREMA DE LA TRANSPOSICION (TEOREMA DE STEINER) PARA MOMENTO DE INERCIA: sea una recta baricentrica xg y otra recta x paralela a ella (figura 4-9) separada una distancia d medida en direccin de y. Para una masa cualquiera se tiene y = yg + dx, por consiguiente

Jx = m y = m (yo + dx ) = m y + 2 dx m yo + dx m =

Jxo + dx m [4-18]

Ya que m = 0 , es decir el momento del sistema con respecto a una recta baricentrica. La [4-18] expresa:

EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE X-X ES IGUAL AL MOMENTO RESPECTO AL EJE BARICENTRICO PARALELO A Xo, MS LA MASA TOTAL MULTIPLICADA POR EL CUADRADO DE LA DISTANCIA ENTRE AMBOS EJES.

Como la cantidad aadida es siempre positiva, resulta que entre todas las rectas de direccin dada el momento de inercia es mnimo para la baricentrica.

Este teorema es valido para los radios de giro, momentos de inercia polares y centrfugos, esto es

ix = ixo + dx [4-19]

Jp = Jx + Jy = Jxo + dx m + Jyo + dy m = Jp + r m [4-20]

Jxy = mxy = m (yo + dx) (xo + dy) = Jx y + dy dx m [4-21]

f) MOMENTO DE INERCIA DE UN TRIANGULO RESPECTO DE SU BASE figura 4-10). Consideremos el elemento de superficie de la figura. Por semejanza de tringulos x = (b / h) (h y), luego

Jx = o y x dy = o y (b/h) (h-y) dy = b/h h y dy y3 dy =

= b/h hy3/3 y4/4o = b h3/12

RESPECTO DEL CENTRO DE GRAVEDAD: Aplicando Steiner

b h / 12 = Jxo + A d = Jxo + (b h /2) (h/3) = b h3 / 36 = Jxg

MOMENTO CENTRIFUGO (figura 4-11). Consideremos un elemento diferencial que tiene un espesor dx y un rea dA = y dx, el centro de gravedad se localiza en xg = x , yg = y/2, as que el momento centrifugo del elemento se vuelve

dJxy = xg yg dA = xy/2 (y dx) = x (h/2b) x (h/b) x dx = (h/2b) x dx

integrando con respecto a s desde x = 0 hasta x = b da por resultado

Jxy = (h/2b) o x dx = h b / 8

MOMENTO CENTRIFUGO CON RESPECTO A EJES BARICEN-TRICOS: aplicando el teorema de Steiner

Jxx = Jxyo + A dx dy

B h / 8 = J xyo + b h (1/3 h) ( 2/3 b) = 1/72 b h = Jxyg

7. MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN RESPECTO A EJES DE DIRECCION VARIABLEConsideremos un sistema de ejes ortogonales situados en el punto P genrico del plano xy y otro sistema x1 y1 girado con respecto al anterior un ngulo con el mismo origen, y situemos una masa m1 cuyas coordenadas sern (figura 4-12)x1 = y sen + x sen

y1 = y cos - x cos con referencia al mismo sistema girado el ngulo , con respecto al cual se desea averiguar el momento de segundo orden de la masa puntual m1

luego los momento de segundo orden valen

[A] Jx1 = m y = m (y cos - x cos ) =

[A] Jx1 = m y = m (y cos - x cos ) = m (y cos

- 2 x y cos sen + x sen = m y cos - 2 m x y cos sen +

+ m x sen = Jx cos + Jy sen Jxy 2 sen cos

(recordando que m y = Jx , y m x = Jy para sistemas continuos).Y anlogamente para Jy1

[B] Jy1 = Jx sen + Jy cos + Jxy 2 sen cos

y para el momento centrifugo se tiene

Jxy1 = m x1 y1 = m ( y cos x sen ) ( y sen + x cos ) =

= m y cos sen + m x y cos m x y sen -

= m x cos sen = Jx cos sen + Jxy cos - Jxy sen

- Jy cos sen

Jxy1 = Jx cos sen Jy cos sen + Jxy (cos sen )

Esto es conocidos los momentos Jx, Jy, Jxy respecto de dos ejes fijos, se pueden calcular los momentos Jx1, Jy1, Jxy1 respecto de dos ejes x1 e y1 orientados de cualquier modo, en funcin del ngulo formado por x y x1.

si sumamos miembro a miembro las expresiones [A] y [B] obtenemos

Jx1 + Jy1 = Jx +Jy = constante

Como habamos encontrado anteriormente.

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonomtricas:

1 + cos 2 1 cos 2 cos = sen = 2 2 2 sen cos = sen 2 cos sen = cos 2

y reemplazando en las formulas de los momentos hallados, tenemos:

Jx1 = Jx (1 + cos 2 ) /2 + Jy (1 cos 2 ) / 2 Jxy sen 2

= Jx / 2 +( Jx cos 2 ) / 2 + Jy / 2 (Jy cos 2 ) / 2 Jxy sen 2

= (Jx +Jy) / 2 + [(Jx Jy) / 2)] cos 2 Jxy sen 2

operando de la misma forma con las expresiones de Jy1 y Jxy1 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones Jx + Jy Jx Jy Jx1= + cos 2 Jxy sen 2 2 2

Jx + Jy Jx Jy Jy1= + cos 2 + Jxy sen 2 [C] 2 2

Jx - Jy Jxy1= sen 2 + Jxy cos 2 2

Analizando las expresiones [C] vemos que estn en funcin del ngulo , es decir que variando varan los momentos de segundo orden. Con relacin al momento de inercia no podrn anularse ni admitir valores negativos, alcanzando as valores mximos y mnimos, en cambio el momento centrifugo puede ser nulo y tomar valores negativos.En particular el par de ejes para los cuales los momentos de inercia son mximos y mnimos y el centrifugo nulo, se denominan EJES PRINCIPALES DE INERCIA.Para determinar los valores del ngulo (en adelante 2 que forma los ejes principales de inercia x1, y1 con los x,y, para los cuales los momento de inercia son mximos y mnimos debemos derivar e igualar a cero, tal como operaramos con cualquier funcin, cualquiera de las dos primeras [C].

dJx1/d = - (Jx Jy) sen 2 2 Jxy cos 2 = 0

2 Jxytg 2 = - [D]Jx - Jy

Lo mismo obtendramos si derivamos la segunda o la tercera de las [C], adems si es solucin de la [D] tambin lo es + 90, resultando as definidos los ejes principales de inercia rotados entre si 90.Tienen particular importancia los ejes baricentricos, esto es P G, y los momentos de inercia para las aplicaciones practicas.Si despejamos el (Jx Jy) de la [D] y reemplazamos en las [C] obtendramos los momentos principales de inercia.2 Jxy Jx - Jy = - tg 2

Jx + Jy 2 Jxy cos 2 J = - - Jxy sen 2 2 2 tg 2

Jx + Jy cos 2 J = - Jxy ( + sen 2 )2 tg 2

Jx + Jy cos 2 J = - Jxy ( + sen 2 )2 sen 2

Jx + Jy cos 2 + sen 2 J = - Jxy ( )2 s en 2

operando de la misma forma con las [C] tendramos

J Jx + Jy Jxy = J 2 sen 2

O bien [E]

J Jx + Jy Jx - Jy = J 2 2 cos 2

Por el contrario si se expresan sen 2 y cos 2 en funcin de tg 2 y se sustituyen en las mismas ecuaciones [C], teniendo en cuenta la [D] tambin se obtiene

J Jx + Jy = 1/2 (Jx - Jy) + 4 Jxy [F] J 2

Si en lugar de tomar como referencia un par de ejes x,y genericos que pasan por el punto P tomamos como referencia los ejes principales de inercia y los x,y lo moviles, las ecuaciones [A] , [B] y [C] se transforman en

J + J J - J Jx = J cos + J sen = + cos 2 2 2

J + J J - J Jy = J sen + J cos = - cos 2 [G] 2 2

J J Jxy = sen 2 2

8. INTERPRETACION GRAFICA E MOHR (figura 4-13)

La primera y tercera de las ecuaciones [G] sugieren una sencilla representacin grfica del modo de variar Jx y Jy al variar el ngulo que forman el eje x con el eje ya que se consideran J x y Jxy como abscisa y ordenada en un punto de un plano; aquellas son las ecuaciones parametricas de un circulo cuyo centro esta sobre el eje de abscisas a una distancia (J + J) / 2 del origen O, y cuyo radio es igual a (J - J) / 2. Efectivamente trazados este circulo y la recta CM que forma un ngulo 2 con el eje de abscisas, las abscisa y ordenada del punto M satisfacen evidentemente estas ecuaciones (el punto M diametralmente opuesto al M, para el que CM forma con el eje un ngulo 2 ( + 90), corresponde a una par de ejes x e y girados 90 respecto a x e y; la ordenada de M da Jxy y la abscisa Jx; o sea Jy)En particular, para = 0 y = 90 se obtienen los puntos M1 y M2, para los que la abscisa se hace, respectivamente mxima y mnima e igual a OC CM, o sea igual a J y J, mientras que la ordenada o sea J se anula.Para = 45 y = 135 se obtienen los puntos M3 y M4, para los cuales la ordena, o sea Jxy es mxima e igual a (J - J) / 2 en tanto que Jx = Jy = (J + J) / 2.Si J = J el circulo se reduce a un punto.Tambin es posible construir un circulo en el caso en que en lugar de los momentos principales J y J se conozcan los momentos Jx, Jy, Jxy respecto a dos ejes ortogonales genricos x e y, ya que estos momentos determinan los puntos M y M y tambin el centro C, punto medio de MM.Vuelven a obtenerse as J y J y la orientacin de los ejes principales, definida por la mitad del ngulo M1CM.

1

14