Geometría

Objetivos

Relacionar la ecuación algebraica de cada sección cónica con su representación geométrica.

Definir apropiadamente como un conjunto de puntos las diferentes secciones cónicas, en especial, la circunferencia, la elipse y la hipérbola.

Dadas las ecuaciones respectivas de las secciones cónicas, determinar en cada una de ellas sus respectivas gráficas y sus puntos principales.

Introducción

Hemos visto en capítulos anteriores las funciones cuadráticas de la forma:

Y las formas de desarrollarlas mediante diversos procedimientos; nos hemos dado cuenta que pertenecen a la clase de relaciones llamadas parábolas. Hay una clase de relaciones más amplia denominada secciones cónicas, que pueden ser descritas como secciones transversales formadas por la intersección de un cono con un plano.

Estas relaciones que incluyen la circunferencia, la hipérbola y la elipse son las que se estudiarán en la presente unidad.

Secciones cónicas

Sección cónica

Se puede definir como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas.

 

La circunferencia

Una de las definiciones más comunes de circunferencia se enuncia como un lugar geométrico de los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la circunferencia.

Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).

Representar gráficamente la ecuación:

Despejamos el valor de y, para asignarle valores independientes a x, y obtener los valores respectivos de la otra variable y.

 

Ecuación de la circunferencia con centro en un punto diferente al origen

Cuando la circunferencia tiene el centro en cualquier punto diferente al origen,  presenta una serie de fórmulas diferentes a las vistas en capítulos anteriores.

Sea la figura:

La gráfica corresponde a una circunferencia con centro c (h, k) y radio r > 0.

Para el caso particular de la circunferencia con centro diferente al origen se tiene

que:

De los anteriores procedimientos se desprende la ecuación general de la circunferencia, que viene dada por:

Dar la ecuación de la circunferencia con centro C (-2, 4) y radio 4 cm.

Como el centro no está en el origen del plano cartesiano, la ecuación corresponde a la forma:

Dada la ecuación

Hallar los valores de las coordenadas y el centro.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

(4, 3) y (-2, -5)

En un plano cartesiano se ubican los puntos dados, y se traza unacircunferencia de tal forma que la circunferencia pase por encima de lospuntos, como se muestra en la figura.

 

Se observa que para hallar el centro de la circunferencia se debe encontrar el punto medio del segmento comprendido entre los puntos (-2, -5) y (4, 3). Para desarrollar este ejercicio es necesario hacer algunas precisiones.

Punto medio de una recta

De la demostración de este teorema nos ocuparemos en capítulos posteriores, por el momento apliquemos estos valores a los puntos dados para hallar el punto medio del segmento comprendido entre los puntos (-2, -5) y (4, 3), que para nuestro caso como se ve en la figura es el mismo centro de la circunferencia.

Entonces se tiene:

El punto medio del segmento será: Pm = (1, -1) que a su vez es el centro de la circunferencia. Para hallar el valor del radio de la circunferencia basta aplicar

la fórmula de distancia entre el centro de la circunferencia y uno de los puntos que pasan por encima de la circunferencia, luego, tomemos el punto (4, 3)

Y el centro de la circunferencia (1, -1).

La elipse

La elipse es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distanciasa dos puntos fijos llamados focos es constante.

Toda ecuación de la forma:

Con a, b, k como términos que se conocen y de igual signo, representan una elipse.

 

Representar gráficamente la ecuación:

Como se ha hecho en casos anteriores, despejamos el valor de la incógnita y, para asignarle valores independientes a la variable x y así poder hallar los valores respectivos de y.

Tabulando, se obtiene:

Como se puede observar, la figura obtenida es una elipse con las siguientes características:

La hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntos (x, y) de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Toda ecuación de la forma:

Donde a puede ser igual a b, representa una hipérbola, con las siguientes características:

Representar gráficamente la ecuación:

Geometría del espacio

La geometría del espacio o de tres dimensiones, trata de las propiedades de las figuras cuyas partes no están en un mismo plano.

Se denomina plano a toda superficie indefinida que contiene totalmente cualquier recta que pasa por dos de sus puntos.

Estos conceptos fueron estudiados en cursos anteriores, pero es bueno recordar las figuras más representativas:

Sólidos

Un poliedro es un cuerpo o sólido geométrico limitado por planos. Las intersecciones de estos planos forman polígonos llamados caras del poliedro, los lados de las caras se llaman aristas, y las intersecciones de las aristas reciben el nombre de vértices.

La Diagonal de un poliedro es toda recta que une dos vértices no situados en una misma cara.

Sólidos regulares

Existen cinco sólidos regulares con 4, 6, 8, 12 y 20 caras respectivamente, cuyas características se pueden observar en el siguiente cuadro: