la geometría de un espacio-tiempo curvo

Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild

Relatividad y Cosmología

José Antonio Pastor González

Universidad de CórdobaJueves 29 de noviembre de 2012

Relatividad general:la geometría de un espacio-tiempo curvo

Contenidos

1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

Contenidos

1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

El intervalo como algo absoluto

¿Cómo calibrar los ejes?

Calibración de los ejes

La contracción de longitudes

El reloj láser...

Relación causa-efecto

Una primera solución

El cono de luz

Contenidos

1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes más viajera y quiere visitar la estrella α-centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0,8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 años Diana estará en su destinoPrimera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana enese viaje?

Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la EstrellaSegún Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 añosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuántomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste estáen movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separación temporal entre A y B está dilatadacon respecto a la de Diana (<5)Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana duramenos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde

t0√1− β2

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

t0√1− β2

Tres formas de responder: la segunda

La contracción de longitudes está dada por la fórmula

` = `0√

1− β2

En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

Como la velocidad sigue siendo β = 0,8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2,4/0,8 = 3 años

` = `0√

1− β2

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

2,4/0,8 = 3 años

` = `0√

1− β2

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

2,4/0,8 = 3 años

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0,0)S y (0,0)S′

El suceso B tiene coordenadas (4,5)S y (0,3)S′

Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S′ secumple t ′B − t ′A = 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4,5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

Otra perspectiva

¿Cuánto más pequeño?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t0√1− β2

por lo que t0 = 3× 0,6 = 1,8 añosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDOÚNICAMENTE 1,8 añosEs lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1Apolo–simultáneos2Diana–simultáneos

t0√1− β2

En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasaa ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1,8 + 1,8 = 3,6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

Un esquema espacio-temporal

Solucion de la paradoja

En el diagrama observamos que para Apolo transcurren 10 anos,mientras que para Diana transcurren 3+3=6 anos. ¡Por lo tantoDiana es 4 anos mas joven que Apolo!

Ilustración de un efecto Doppler

El numero de felicitaciones por ano nuevo

Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe solo una antes de llegar a ! Centauro, cuando habıan pasado 3 anos, justo antes

de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razon de una cada 1/3 ano (4 meses).

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1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial

tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianoscon coordenadas (x , t)en este plano estamos modelando un espacio-tiempo2-dimensional tal y como lo referencia un observadorinercial arbitrariocualquier otro observador inercial – en configuraciónestándar – tiene otras coordenadas (x ′, t ′) dentro del planoque vienen dadas por los ejes habitualesasí pues, un universo con una única dimensión espacial ysin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamentemodelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa unsuceso, un eventoun mismo punto A tiene distintas coordenadas según elobservador inercial que consideremospero aunque A se lea de forma distinta según elobservador, sabemos que hay cosas invariantes: elestudio de las propiedades que permanecen invarianteses muy importante porque tales propiedades nodependen del observador: serán leyes físicas válidaspara cualquier sistema inercial

Invariantes

si A,B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA, tA),B = (xB, tB)en cierto sistema inercial, entonces consideramos elvector ~AB = (xB − xA, tB − tA) = (∆x ,∆t)

se define el módulo de ~AB como

|AB| =√±(∆x)2 ∓ (∆t)2

es una buena definición ya que no depende de lascoordenadas escogidas (recuérdese la invarianza delintervalo)

Invariantes

|AB| =√±(∆x)2 ∓ (∆t)2

Invariantes

|AB| =√±(∆x)2 ∓ (∆t)2

Tipos de vectores

si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que ~AB es un vectorespacial (A y B no están conectados causalmente, nomodelan nada)si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que ~AB es un vectortemporal (A y B están conectados causalmente, modelanlas trayectorias permitidas)si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que ~AB es un vectorluminoso (A y B están en la trayectoria de una partículaluminosa)

Tipos de vectores

Cosas curiosas

podemos definir a partir del módulo un producto escalar enL2 así: si v ,w son vectores entonces

〈v ,w〉 = v1w1 − v2w2

siendo (v1, v2) y (w1,w2) las coordenadas de v y w en unsistema inercialnoción de ortogonalidad: (2,1) ⊥ (1,2) y (1,1) ⊥ (1,1)

cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

Cosas curiosas

〈v ,w〉 = v1w1 − v2w2

Cosas curiosas

〈v ,w〉 = v1w1 − v2w2

En definitiva... cambian las propiedadesmétricas

la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente paravectores temporales: si v = (1,2),w = (−1,2) entonces

|v | = |w | =√

3 y |v + w | = 4

por lo que |v |+ |w | < |v + w |consecuencia: en este ambiente, y dentro de lastrayectorias permitidas (= trayectorias temporales) laslíneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dospuntosesto no nos debería sorprender después de haberentendido la paradoja de los gemelos

3Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

|v | = |w | =√

3 y |v + w | = 4

|v | = |w | =√

3 y |v + w | = 4

Un esquema espacio-temporal

Solucion de la paradoja

En el diagrama observamos que para Apolo transcurren 10 anos,mientras que para Diana transcurren 3+3=6 anos. ¡Por lo tantoDiana es 4 anos mas joven que Apolo!

Definición de tiempo propio

Líneas rectas: las más largas

Resumiendo...

el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,entre todos las coordenadas para ese plano (que hayinfinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas querepresentan un sistema inerciala partir de éstas tenemos todas las demás con lastransformaciones de Lorentzen dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalarque, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, elproducto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

Resumiendo...

la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,distancias, áreas, ortogonalidadno obstante, hay algunas propiedades que se parecenbastante a las del plano euclídeo E2, por ejemplo:

Si en el plano E2 la distancia más corta entre dospuntos es la línea recta, en el plano L2 ladistancia más larga entre dos puntos(causalmente relacionados) es la línea recta

interesante... ¿verdad?

Resumiendo...

en la geometría de L2 está codificada toda la relatividadespecial de Einsteina Einstein no le convencía mucho este tipo de modelosmatemáticos... decía que oscurecía la visión física eintuitiva que él tenía de las cosasasí, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modeloaparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...

[...] henceforth space by itself and time by itselfare doomed to fade away into mere shadows, andonly a kind of union of the two will preserve anindependent reality [...]

Resumiendo...

Terminamos otra vez con los gemelos...

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3 Minkowski

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7 Schwarzschild

Tras la relatividad especial...

...queremos pasar de lo inercial al mundo real

Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave deHomer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que losobjetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en elespacio-tiempo llano – al......ámbito gravitacional en el que los objetos estánacelerados por la presencia de la masa y sus trayectoriasestán curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

...viene la general

Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquiersistema de referencia (covarianza)relatividad especial es la abolición del espacio absolutocomo sistema inercial preferente (Maxwell, éter)relatividad general es la abolición de los sistemasinerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907)

Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida oequivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?Respuesta: la situación de caída libre.

...viene la general

En caída libre...

...si estamos dentro de un ascensor y éste se encuentra encaída libre, todos los experimentos que efectuemos dentro delascensor son equivalentes a los que podríamos hacer en unlaboratorio inercial...

¿Por qué?

En un ascensor encaída libre......si jugamos con unapelota de tenis, desdenuestra perspectivaésta se moverásiempre siguiendo unalínea recta, como siestuviéramos en elespacio exterior (en unsistema inercial)

En caída libre......lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

El Principio de Equivalencia

Enunciado del Principio de EquivalenciaNo hay diferencia entre los experimentos realizados – o entrela física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre yen el ámbito de un sistema inercial.

Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles deprobar experimentalmente)

la masa influye en la trayectoria de la luz y la curvadilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye máslentamente conforme uno está más próximo a un cuerpocon masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistemahabitación-tierra).

¿Cómo se curva la luz?

Otra lectura delprincipio deequivalenciaNo hay diferencia entre unpequeño sistema dereferencia sujeto a lagravedad y un sistema dereferencia acelerado en lamisma magnitud.

¿Cómo se curva la luz?La luz es atraída por la gravedad...Con este experimento – mental – se demuestra que la luz debeser atraída por la gravedad de la tierra, si aceptamos comoválido el principio de equivalencia

¿Por qué sistemas pequeños?

Respuesta:Porque cuando son grandes los dossistemas no son EQUIVALENTEScomo se ve aquí... ya que aparecenLAS FUERZAS DE MAREA(observad que las bolas en la mismavertical se separan mientras que lasque están a la misma altura seaproximan)

¿Qué son las fuerzas de marea?

Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿quésentimos?

¿Qué son las fuerzas de marea?

Son las fuerzas que provocan las mareas...

Las fuerzas de marea...

Dependen de la escala...

Del tamaño del objeto que está en caída libreDel tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (elradio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación másclara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado porla presencia de materia (y energía).

En resumen:La materia y la energía curvan el espacio-tiempocuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PEROQUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

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1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

¿Qué es la curvatura?

Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... ynos preguntamos si se puede hablar de curvatura en esemundo...Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hayuna dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensiónhay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional esuna curvaVamos a pensar en una curva plana – contenida en unplano – para simplificar nuestro trabajo

Primeras nociones intuitivas

La curva plana más elemental es, precisamente, una línearecta... todos convenimos en que si definimos la noción decurvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: notiene curvaturaOtra curva plana elemental es la circunferencia... éstaparece curvarse y además su manera de hacerlo esidéntica en todos sus puntos por lo que si definimos lanoción de curvatura, para una circunferencia deberá serconstante y no nula¿qué hacemos a continuación?

Curvatura de una curva como aceleración

Supongamos que viajamos a través de la curva convelocidad constante – en módulo – e igual a 1(normalización)Si α(t) = (x(t), y(t)) donde t es el tiempo, entoncesα′(t) = (x ′, y ′) y la aceleración cumple

(x ′′, y ′′) = α′′ = aα′ + bJ(α′)

donde a,b nos números y J es la rotación de 90 grados.Al ser la velocidad constante, se tiene

0 = (〈α′, α′〉)′ = 2〈α′, α′′〉

por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dadapor el valor de b

(x ′′, y ′′) = α′′ = aα′ + bJ(α′)

0 = (〈α′, α′〉)′ = 2〈α′, α′′〉

(x ′′, y ′′) = α′′ = aα′ + bJ(α′)

0 = (〈α′, α′〉)′ = 2〈α′, α′′〉

Para curvas concretas......es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para unarecta se tiene que α′′ = 0 por lo que

0 = bJ(α′)

y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hayaceleraciónSi la curva es una circunferencia de radio r , entoncesα(t) = (rcos(t/r), rsen(t/r)) y unas cuentas sencillas nosllevan a que

b = ±1/r

donde el signo depende del sentido en que recorramos lacircunferenciaDefinimos la curvatura de una recta como cero y lacurvatura de una circunferencia como el inverso de suradio

0 = bJ(α′)

b = ±1/r

0 = bJ(α′)

b = ±1/r

Es una definición estupenda

porque se comporta de la manera esperada y describeperfectamente lo que podemos entender por curvatura... sila circunferencia es más pequeña – menos radio –entonces está más curvada...además nos permite ver una recta como unacircunferencia de radio infinito... por eso su curvatura esceroes muy operativa ya que funciona para todo tipo decurvas... además responde a la intuición física pues esprecisamente la aceleración centrífuga que experimentauna partícula que se mueve a velocidad constante uno –en módulo

Pero tiene un grave problema...

...porque no es una definición intrínsecaya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor– el plano 2D – para que tenga sentidomás aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán lacurvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en unadimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga nicosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvaturade su mundo si la definimos en estos términos

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto devista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles enlo que concierne a su geometría¿qué significa esto?que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo nopuede distinguir si vive en una recta o en una curva –consideraciones topológicas aparte¿y entonces?pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvotopología – geométricamente indistinguibles

Conclusiones

es posible definir la curvatura de una curva como unamedida que coincide con la aceleracióndesde un punto de vista extrínseco es una medidaexcelentedesde un punto de vista intrínseco – el de los habitantesdel mundo 1D – es una medida imposible de obtenermás aún: los habitantes de un mundo 1D no puedendistinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... paraellos la geometría es monótona y aburrida

Conclusiones

Mundos 2D: superficies

Figura: La superficie de un melón: elipsoide

Figura: La superficie de un donuts: toro

Figura: La superficie de una torre de central térmica: hiperboloidede una hoja

¿Curvatura de una superficie?

la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura decurvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentidodesde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, comopoco, nos dice lo curvada que está una curva¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?utilizando las secciones normales

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: En cada punto de una superficie podemos considerar suplano tangente TpS y su dirección normal N(p)

Figura: La sección normal a una superficie en un punto consiste entomar una dirección v en el plano tangente. A continuación, seconsidera el plano generado por v y N(p) y se interseca con lasuperficie: la curva – siempre plana – resultante es la sección normalen la dirección v

Figura: Esto mismo lo podemos hacer en todas las direcciones delplano tangente: tenemos así un haz de planos perpendiculares y lassecciones normales correspondientes

una vez que tenemos todas las secciones normales, encada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:la de la sección normal correspondientetomamos los valores extremos de estos valores: el mínimoy el máximollegamos así a las curvaturas principales κ1(p) y κ2(p) y asus direcciones principales correspondientes...las curvaturas principales nos proporcionan informaciónsobre cómo se curva la superficie en el puntocorrespondiente

Figura: Secciones normales en un punto del plano: todas lassecciones son líneas rectas por lo que κ1 = κ2 = 0 (puntos planos)

Figura: Secciones normales en un punto de la esfera: todas ellasson circunferencias con el mismo radio que la esfera, por lo queκ1 = κ2 = 1/r (puntos elípticos)

Figura: Secciones normales en el cilindro: una elipse en este caso

Figura: Secciones normales en el cilindro: una recta por lo queκ1 = 0

Figura: Secciones normales en el cilindro: una circunferencia por loque κ2 = 1/r (puntos parabólicos)

Candidatos a ser la curvatura

las dos curvaturas principales κ1(P) y κ2(P)

alguna de las dosuna combinación de ellas... por ejemplo la curvaturamedia:

H(p) =κ1(P) + κ2(P)

2o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:

K (p) = κ1(P)κ2(P)

H(p) =κ1(P) + κ2(P)

K (p) = κ1(P)κ2(P)

H(p) =κ1(P) + κ2(P)

K (p) = κ1(P)κ2(P)

H(p) =κ1(P) + κ2(P)

K (p) = κ1(P)κ2(P)

¿Con cuál nos quedamos?

las dos más importantes son la curvatura media y lacurvatura de Gauss4

hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál delas dos era mejor...por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba lasupremacía hasta que...el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuandoGauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es,sólo depende de medidas que efectuemos dentro de lasuperficie con independencia de cómo ésta se vea desdeel espacio ambiente exterior

4Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición estáhecha en términos de objetos externos a la superficie

¿Qué significa esto?

la curvatura de Gauss de una superficie – el producto delas principales – puede determinarse desde dentrosólo depende de las medidas que efectuemos en lasuperficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen lamisma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separaciónde trayectorias inicialmente paralelas, péndulos deFoucault, etc.

Y lo más importante:

la curvatura de Gauss de una superficie determinafuertemente la geometría de la mismaa saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,caminos de mínima distancia, etc.así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura delespacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la deGauss)5... y esto es, entre otras razones, porque no tienesentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas

5De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

Curvatura y geometría

EjemploLa longitud de unacircunferencia es L = 2πrpero esto es ciertosolamente en un plano(donde K ≡ 0). Si K 6= 0entonces L 6= 2πr .

Una lámina deformada

Curvatura y teorema de ThalesEn el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180grados: α + β + γ = π.

Pero si K 6= 0 el teorema es...

α + β + γ = π ± áreaT

¿Por qué?Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de lageometría de Euclides conocido como el V Postulado y éste nose cumple cuando K 6= 0

La demostración del teorema de Thales...descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclidesconocido como el V Postulado: dada una recta r y un punto Pexterior, existe una única recta paralela a r que pasa por P

Veámoslo más claro en un dibujo...

ConsecuenciaSi en una superficie con curvatura (K 6= 0) el teorema deThales no se cumple es porque falla el V Postulado deEuclides... ¡La geometría de dicha superficie es no euclidiana!

Curvatura y geometríaSegún K existen (o no) recta(s) paralela(s)...

1 en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y unpunto exterior a ella, existe una única recta paralelapasando por dicho punto (geometría euclídea)

2 en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existeninfinitas (geometría hiperbólica)

3 en una superficie con K > 0 (esfera) no existen(geometría esférica)

En la pseudoesfera hay infinitas paralelas

Aunque... ¿qué entendemos por recta?

Geodésica ≡ línearecta en unasuperficie curvadaLas líneas rectas en unasuperficie con curvatura sellaman geodésicas y son loscaminos más cortos paraunir dos puntos dados.

El genio de Einstein

Analogías

1 superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D concurvatura

2 geodésicas en superficies ≡ geodésicas en elespacio-tiempo

MATERIA⇒ CURVATURAdel E-T⇒

GEOMETRÍAdel E-T⇒

GEODÉSICASdel E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de laspartículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetasúnicamente a su inercia y la gravedad

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Analogías

GEODÉSICASdel E-T

Un ejemplo...

Las trayectorias de dos bolas...son dosgeodésicas que se cortan

Una vista del espacio-tiempo curvo

Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...

¿Qué significan estos dibujos?

a la izquierda: las bolas que se encuentran en la mismavertical a distinta altura se van separando conforme pasael tiempoa la derecha: las bolas que se encuentran en distintavertical a la misma altura se van juntando conforme pasael tiempo

La curvatura del espacio-tiempo

el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... estoes un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puedela forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas deespacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies yteniendo información sobre la curvatura de Gauss de las2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espaciocompleto – análogo a las secciones normales

La curvatura del espacio-tiempo

el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... estoes un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puedela forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas deespacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies yteniendo información sobre la curvatura de Gauss de las2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espaciocompleto – análogo a las secciones normales

¿Por qué es importante la curvatura?

no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamosnosotros la curvatura?pues porque la curvatura determina la geometría, lasmedidas, lo que son las líneas rectas y recordemos dedónde venimos – problema de sistemas pequeños en elprincipio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –una formulación de las leyes físicas válidas para cualquiersistemaLA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LARESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN ELPRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a unaformulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOSSISTEMAS, INERCIALES O NO

Ecuación de campo (I)

Ecuación de campo (II)

Ecuación de campo (III)

Contenidos

1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

Recordemos que...

La presencia de materia y energía provoca que elespacio-tiempo tenga curvaturaLa curvatura determina la geometría – la forma de medir –en el espacio-tiempoEntre otras cosas, determina cuáles son los caminos másrectos en el espacio-tiempoNos referimos a las geodésicas... que son los caminosextremales6 para la longitud en el espacio-tiempo

6No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cadacaso... recordamos también el principio de mínima acción

Recordemos que...

Punto de partida: la ecuación de campo

La traducción matemática de las ideas de Einstein está ensu ecuación de campo (en el vacío):

Ric = 0

donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una mediade las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadasdel espacio-tiempo7 (16 ecuaciones, 10 libres)Así pues, dada una distribución de materia (condicionesde contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g(10 funciones) satisfaciendo la ecuación

7El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g

Punto de partida: la ecuación de campo

La traducción matemática de las ideas de Einstein está ensu ecuación de campo (en el vacío):

Ric = 0

donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una mediade las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadasdel espacio-tiempo7 (16 ecuaciones, 10 libres)Así pues, dada una distribución de materia (condicionesde contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g(10 funciones) satisfaciendo la ecuación

7El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g

¿Y qué es g?

Pues g es una métrica...Una descripción exacta y precisa para medir intervalos enel espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadasA partir de g se puede hacer toda la geometríaY por supuesto, también se puede calcular la curvatura delespacio-tiempo

¿Y qué es g?

Ejemplos de métricas: plano euclídeo

Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas(x , y). Su métrica se escribe entonces así

dx2 + dy2

Tiene coeficientes constantes 1,0,1 por lo que la forma demedir no depende del punto (x , y) en el que estemossituadosA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0

Ejemplos de métricas: plano euclídeo

Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas(x , y). Su métrica se escribe entonces así

dx2 + dy2

Tiene coeficientes constantes 1,0,1 por lo que la forma demedir no depende del punto (x , y) en el que estemossituadosA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0

Ejemplo: plano euclídeo en polaresConsideramos el plano euclídeo ahora con coordenadaspolares (r , φ). Su métrica se escribe entonces así

dr2 + r2dφ2

Figura: Expresión de la métrica euclídea usual del plano encoordenadas polares

Ejemplos de métricas: plano euclídeo conpolares

Cosas que podemos decir de

dr2 + r2dφ2

Sus coeficientes son 1,0, r2 por lo que la forma de medirsólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese aque se expresa en términos de los coeficientes de lamétrica referidos a un sistema de coordenadas, esindependiente de las coordenadas: la curvatura del planosiempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)

dr2 + r2dφ2

Ejemplos de métricas: cilindroUn cilindro de radio r responde a esta ecuación

(u, v)→ (rcosu, rsenu, v)

donde u es la longitud y v es la alturala métrica del cilindro está dada por

r2du2 + dv2

de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes eiguales a r ,0,1a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro:K ≡ 0nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que lageometría del cilindro es la misma que la del plano – salvoconsideraciones topológicas

r2du2 + dv2

Una métrica con curvaturaConsideramos una esfera de radio r dada en este dibujo, sumétrica es

r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2 ≡ r2dσ2

Figura: Coordenadas esféricas: φ es colatitud y θ es longitud

La métrica de la esfera

Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto quesu métrica es

r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2

los coeficientes son r2,0, r2sen2φ y no son constantespues dependen de la colatitud φa partir de estos coeficientes y de sus derivadas seobtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r2

éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura...además podemos ver la esfera no cómo algo curvado enel espacio tridimensional, sino simplemente como puntosdel plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a lausual dφ2 + dθ2

Un abstracción importante

En efecto, podemos representar una esfera como los puntosdel plano (φ, θ) pero en lugar de medir con la métrica natural

dφ2 + dθ2

medimos con esta otra:

Asi, se tiene que LA GEOMETRÍA DE ESTE PLANO ES LAMISMA QUE LA DE LA ESFERA (independencia con respectoal ambiente, aparición de modelos con curvatura negativa)

La métrica de Minkowski

Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x , y , z, t) dela siguiente forma

dx2 + dy2 + dz2 − dt2

donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador.

dx2 + dy2 + dz2 − dt2

donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica:

es una métrica indefinidasu curvatura es cerosus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas

dx2 + dy2 + dz2 − dt2

Así pues, la métrica

dx2 + dy2 + dz2 − dt2

representa un espacio-tiempo SIN CURVATURA – y por tanto,sin materia – donde las partículas se mueven a lo largo delíneas rectas permitidas8. Una manera alternativa de escribiresta métrica es así

dr2 + r2dσ2 − dt2

que es la métrica de Minkowski en esféricas

8Según su carácter causal

Contenidos

1 Intervalo

2 Gemelos

3 Minkowski

5 Curvatura

6 Métricas

7 Schwarzschild

La solución de Schwarzschild

Unos pocos meses después de la aparición de la ecuación decampo de Einstein aparece la primera solución:

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

que representa un espacio-tiempo CON CURVATURA y estacurvatura se debe a una masa esférica M, sin rotación,localizada en el origen de coordenadas

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio

¿Cómo se obtiene?

se parte de una masa M esférica, estática... eso daindependencia con respecto a t y simetría esférica...eliminamos muchas ecuaciones asíimponemos que la métrica, conforme la distancia se hacegrande, converja a la métrica de la relatividad especialal final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita entérminos del radio reste radio r (que no es la distancia al origen) es la clavepara entender lo que pasa

¿Cómo se obtiene?

¿Churras con merinas?

En−(

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

dividimos la masa M por el radio r ... ¿estamos mezclando lasunidades?

La masa en kilos

Basta multiplicar

M =Gc2 Mkg

y las masas en kilos pasan a ser masas en metros. Algunosvalores:

La masa de la Tierra es 0,44cmLa masa del Sol es 1,47kmEl factor 1− 2M/r ≡ 1− 10−6 para una masa como el solcuando r es cuatro veces su radio (radio del sol≡ 7× 108m)

En este espacio-tiempo hay curvatura...

Los puntos que satisfacen r ≡ r0 están a la mismadistancia del origen por lo que es sencillo construircircunferencias haciendo r constante. Además, ocurre quela longitud de estas circunferencias es L = 2πr0.No obstante, si tomamos un punto cualquiera en estacircunferencia, resulta que su distancia al origen no es r0.Ejemplo: entre r = 4 y r = 5 la distancia (radial) es 1,723Conclusión: r representa el radio pero sólo a distanciasgrandes (comparadas con 2M)

En este espacio-tiempo los relojes...

...andan según su posición en el espacio

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

un reloj situado en r1 = 4M y un reloj situado en r2 = 8M dan

dt2dt1

= 1,22

Si A1 emite un pulso por segundo, A2 recibe los pulsos cada1,22 segundos... menor frecuencia... corrimiento al rojogravitacional...

También hay singularidades

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en lascoordenadas (intercambio entre los roles de t y r )r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una formade paso: hacia dentroen r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llegaaquí)

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

1− 2Mr

)dt2 +

1(1− 2M

)dr2 + r2dσ2

Espacio-tiempo de Schwarzschild

La precesión del perihelio de Mercurio

Explicamos el fenómeno...

Tras unas cuentas más o menos complicadas...las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbitade Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (noasí la de Newton). También se ha efectuado el mismoexperimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro conidénticos resultados.

La precesión del perihelio de Mercurio

Explicamos el fenómeno...

Tras unas cuentas más o menos complicadas...las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbitade Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (noasí la de Newton). También se ha efectuado el mismoexperimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro conidénticos resultados.

Precesión del perihelio

Una partícula material sigue una trayectoria con coordenadas

u → (t(u), r(u), φ(u), θ(u)).

Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica deSchwarzschild obtenemos la siguiente ecuación – en implícitas– para una órbita cerrada

1r(θ)

(1 + ecosθ(1− 3M2

)siendo e,h constantes de integración.

Precesión del perihelio

El perihelio de la órbita (r mínima) se obtiene en los máximosde

1r(θ)

(1 + ecosθ(1− 3M2

)por lo que el primer perihelio se produce en θ = 0 y el segundoen

θ ≡ 2π(1 +3M2

Así, la precesión resulta ser

Predicción vs Observación

La precesión estimada por Einstein para Mercurio es

h2 ≡ 43,03 segundos de arco por siglo

mientras que la observada era 43,11′′ por siglo. Para Venustambién hay una estimación del orden de 8,6′′ por siglo y laobservación da 8,4. La teoría de Newton no explicacorrectamente estas cantidades.

La luz se curva en presencia deun campo gravitatorio

El experimento de Eddington

Y los resultadostambién daban la razón a Einstein...El ángulo observado era aproximadamente 1′75′′ de arco, quecoincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

La luz se curva en presencia deun campo gravitatorio

El experimento de Eddington

Y los resultadostambién daban la razón a Einstein...El ángulo observado era aproximadamente 1′75′′ de arco, quecoincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

Ejemplo: una trayectoria luminosa

Una partícula luminosa sigue una trayectoria con coordenadasgenéricas

u → (t(u), r(u), φ(u), θ(u)).

Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica deSchwarzschild obtenemos la ecuación – en implícitas - dadapor

1r(θ)

cosθ +MR2 (2− cos2θ)

siendo R el perihelio de la órbita lumínica

Ejemplo: una trayectoria luminosaSi r → ±∞ entonces θ = ±(π/2 + ∆θ/2). Sustituyendo en laexpresión de la órbita nos queda

∆θ ≡ 4MR≡ 1′75′′

Figura: Coordenadas esféricas: φ es colatitud y θ es longitud

Una lente gravitatoria

¿Cómo funciona?

Una lente gravitatoria vista por el telescopio

Lente Gravitatoria. Imagen 1

la geometría de un espacio-tiempo curvo

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