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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
GEOMETRÍA DEL ESPACIO R3
9.1 Rectas y planos en el espacio. 9.2 Producto escalar de vectores. Propiedades. 9.3 Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. 9.4 Ángulo que forman dos vectores. Ortogonalidad. 9.5 Problemas métricos: determinación de distancias y ángulos. 9.6 Producto vectorial: área de un triángulo y de un paralelogramo. 9.7 Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo. 9.1 Rectas y planos en el espacio. Sea E el conjunto de puntos del espacio ordinario y V el espacio vectorial real de los vectores
libres de dicho espacio ordinario. La aplicación f de ExE en V, tal que a cada par de puntos (A,B)εExE le hace corresponder en
vector geométrico de origen A y extremo B, es decir: f: ExE -> V cumple las siguientes condiciones: a) Para todo punto A se E y todo vector de V, existe un único punto B de E tal que f(A,B)=AB=v b) Cualesquiera que sean los puntos A, B y C de E, se verifica que: f(A,B)+f(B,C)=f(A,C) o sea AB+BC=AC Por cumplir f estas dos propiedades, se dice que E es un espacio afín asociado al espacio
vectorial V. - ECUACIONES DEL PLANO. Se llama ecuación de un plano a la condición necesaria y suficiente que deben verificar las
coordenadas de todo punto del plano. - Ecuación vectorial del plano que pasa por el punto y es paralelo a los vectores
y t , no paralelos entre sí.
)z,y,xA( 111
)v,v,v(=v 321 )t,t,t(= 321
(x, )t,t,t(+)v,v,v(+)z,y,x(=z)y, 321321111 µλ
Geometría
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v A π t
a
x o tvax µλ+=≡π + - Ecuaciones paramétricas del plano.
t+v+z=zt+v+y=yt+v+x=x
331
221
111
µλ
µλµλ
- Ecuación implícita del plano.
0=
ttt
vvv
z-zy-yx-x
321
321
111
Si desarrollamos este determinante y simplificamos, nos quedará una expresión de la forma
π ≡ ax + by + cz + d = 0
- Ecuación del plano determinado por tres puntos.
0=
1zyx
1zyx
1zyx
1zyx
333
222
111
- ECUACIONES DE LA RECTA. Se llama ecuaciones de una recta a las condiciones necesarias y suficientes que deben verificar las
coordenadas de todo punto de una recta. - Ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector
.
)z,y,xA( 111
)v,v,v(=v 321
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(x, )v,v,v(+)z,y,x(=z)y, 321111 λ
v A r o
- Ecuación paramétrica de la recta
v+z=zv+y=yv+x=x
31
21
11
λ
λλ
- Ecuación continua de la recta vz-z=
vy-y=
vx-x
3
1
2
1
1
1
Si en esta última expresión algún denominador es nula, se considera nulo el numerador
correspondiente.
* POSICIONES RELATIVAS. 1. Posiciones relativas de dos planos. Sean los planos: A≡π 0=D+zC+yB+x 11111
A≡π 0=D+zC+yB+x 22222
Construimos las matrices:
M
CBA
CBA=
222
111
DCBA
DCBA=N
2222
1111
rg M rg N Posición relativa.
1 1 Coincidentes
1 2 Paralelos
2 2 Se cortan según una recta
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Se cortan según una recta. Paralelos 2. Posiciones relativas de dos rectas. Sean las rectas r y r' en forma paramétrica:
r
≡
c+z=zb+y=ya+x=x
0
0
0
λ
λλ
′′
′′′′
≡′
c+z=zb+y=ya+x=x
r
0
0
0
µ
µµ
Agrupamos ordenadamente y construimos las matrices:
M
′
′
′
c-c
b-b
a-a
=
′′
′′
′′
z-zc-c
y-yb-b
x-xa-a
=N
00
00
00
rg M rg N Soluciones Posición relativa
1 1 Para cadaλ hay un µ Coincidentes.
1 2 Sin solución Paralelas
2 2 Una única solución Se cortan
2 3 Sin solución Se cruzan
3. Posición relativa de recta y plano.
Sea el plano π y la recta dada en forma paramétrica 0=D+Cz+By+Ax≡
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≡ =r
c+z=zb+yya+x=x
0
0
0
λ
λλ
Se sustituye las componentes de la recta en el plano y se despeja el parámetro . λ
Cc+Bb+Aa
D)+Cz+By+Ax(-= 000λ
Se producen los siguientes casos: - Si el denominador es distinto de cero, λ es único y por lo tanto el plano y la recta se
cortan en un único punto. - Si el denominador es cero y el numerador distinto de cero, la recta y el plano son
paralelos. -Si el denominador y el numerador son los dos nulos, la recta estará contenida en el
plano. Recta y plano secantes Recta y plano paralelos Recta contenida en el plano. 4. Posición relativa de tres planos. Sean los planos:
π 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA
33333
22222
11111
≡≡≡
π
π
Construimos las matrices:
M
CBA
CBA
CBA
=
333
222
111
DCBA
DCBA
DCBA
=N
3333
2222
1111
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rg M rg N Solución Interpretación geométrica
1 1 CI Coincidentes
1 2 I Dos coincidentes y otro paralelo o los tres paralelos.
2 2 CI Se cortan según una recta. Dos coincidentes y uno secante.
2 3 I Dos se corta según una recta y otro paralelo a uno de los dos. Planos secantes dos a dos.
3 3 CD Se cortan en un punto.
Se cortan según una recta Dos coincidentes y uno secante. Secantes dos a dos Dos se cortan y otro paralelo. 9.2 Producto escalar de vectores. Propiedades. - Producto escalar. a αcos|b||a=|b
rrrr⋅⋅
- Propiedades del producto escalar. 1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo. u⋅u≥0 2. El producto escalar es conmutativo.
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3. Homogénea. k(u⋅v)=(ku)⋅v 4. Distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores. u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w 9.3 Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. Norma de un vector: se define como el producto escalar de un vector por sí mismo. ||a||=|a|·|a|=|a|2
Se define como módulo de un vector , a la raíz cuadrada positiva de la norma. Distancia entre dos puntos:
)z-(z+)y-(y+)x-(x+= 20
20
20d
Propiedades de la distancia: 1. d(P,Q)=d(Q,P) 2. Desigualdad triangular o de Schwarz d(P,Q)≤ d(P,R)+d(R,Q) 3. d(P,Q)=0 -> P=Q 9.4 Ángulo que forman dos vectores. Ortogonalidad. El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar entre el producto de sus módulos.
||·||
cosvuvu=v)(u, ⋅
- Vector perpendicular a un plano. Sea el plano π las coordenadas del vector perpendicular a este plano serán: (A,B,C)
0=D+Cz+By+Ax≡
- Perpendicularidad entre recta y plano.
Sea el plano π y la recta 0=D+Cz+By+Ax≡cz-z=
by-y=
ax-xr 000≡ .
Para que exista perpendicularidad, los vectores (A,B,C) y (a,b,c) han de ser paralelos y por lo tanto proporcionales. - Perpendicularidad entre planos.
Sean los planos: 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA
22222
11111
≡≡
ππ
Para que sean perpendiculares sus vectores asociados han de ser perpendiculares y por lo tanto su producto escalar es nulo. Es decir: 0=CC+BB+AA 212121 ⋅⋅⋅ 9.5 Problemas métricos: determinación de distancias y ángulos. - Ángulo de dos rectas.
Sean las rectas de ecuaciones: cz-z=
by-y=
ax-xr 000≡
cz-z=
by-y=
ax-xr 000
′′′≡′ ′′′
El ángulo que forman estas dos rectas viene dado por:
c+b+ac+b+a
|cc+bb+aa|=222222 ′′′
′′′αcos
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- Ángulo de dos planos
Sean los planos: 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA
22222
11111
≡≡
ππ
el ángulo viene dado por el coseno de los vectores asociados
C+B+AC+B+A
CC+BB+AA=cos22
22
22
12
12
12
212121β
- Ángulo entre recta y plano
Sea el plano π y la recta 0=D+Cz+By+Ax≡cz-z=
by-y=
ax-xr 000≡ el ángulo que forman
ambos viene dada por el seno :
c+b+aC+B+A
cCbB+aA+=222222
γsen
- Distancia de un punto a un plano. Sea el punto de coordenadas y el plano π la distancia viene
dada por:
)z,y,xP( 111 0=D+Cz+By+Ax≡
C
D+2
1
+B+ACz+By+Ax=d22
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9.6 Producto vectorial: área de un triángulo y de un paralelogramo. - El producto vectorial de dos vectores libres u y v es otro vector que se designa por uxv y que se define del siguiente modo:1. módulo |u|⋅|v|⋅sen (u,v) 2. dirección: Perpendicular a los vectores u y v 3. sentido : el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v. - El módulo del producto vectorial coincide con al área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v. - Expresión analítica del producto vectorial. Sea B=(u1,u2,u3) una base ortonormal, u=(x,y,z) y v=(x',y',z') dos vectores libres. El producto vectorial tendrá la expresión:
zyx
zyx
uuu
=uxv
′′′
321
- Area del triángulo. Sea ABC un triángulo; el área del triángulo es entonces la mitad del paralelogramo.
S(ABC)= 1/2 |AB x AC| - Vector director de una recta dada como intersección de dos planos.
Dada la recta el vector director vendrá dado por el producto vectorial:
′′′′≡
0=D+zC+yB+xA0=D+Cz+By+Ax
r
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CBA
CBA
uuu
=q′′′
321
r
9.7 Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo.
Viene dado por:
wvu
wvu
wvu
=w)vxu
333
222
111
rrr⋅(
- El valor absoluto del producto mixto de tres vectores, es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w. V=|det(AB, AC, AD)| - Volumen del tetraedro. El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo construido sobre sus aristas. V=1/6|det(AB,AC,AD)|
GEOMETRÍA EN R3 PROBLEMAS. 1º- Deducir las ecuaciones del plano que pasa por A(2,5,3) y es paralelo a los vectores v
y
(1,3,2)=r
(4,-2,2)=wr
2º- Deducir las ecuaciones del plano que pasa por A(5,-3,4) y B(-1,2,5) y es paralelo al vector
(2,1,-3)=vr
3º- Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por los puntos A(5,1,0) ,
B(3,7,-2) y es paralelo al eje OZ. 4º- Hallar las ecuaciones implícita y paramétrica del plano que pasa por el punto A(1,5,3) y contiene
a la recta intersección de los planos π y π . Hallar dos vectores paralelos al plano obtenido.
0=1+4z-3y+2x≡ 0=3+z+5y-7x≡′
5º- Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,4) y es paralelo al plano
. Hallar sus ecuaciones paramétricas y dos vectores paralelos a él. 0=3+5z-2y+3x≡π
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6º- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,1,3) , B(-2,6,1) y C(7,1,-3). 7º- Deducir las ecuaciones de la recta que pasa por A(1,2,3) y es paralela al vector . (2,-1,2)=vr
8º- Hallar las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta
≡r
0=8+7z-3y-5x0=3-2z+y-2x
9º- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(5,1,-3),es paralela al plano
y corta a la recta 0=8-6z+4y-2x≡π
55-z=
4-2+y=
31-x
≡r
10º- Dados los planos π y π , hallar la ecuación de la
recta que pasa por el punto A(3,5,-2) y sea paralela a los dos planos. 0=8+4z-2y-3x≡ 0=4-6z-5y+x≡′
11º- Estudiar la posición relativa de las rectas:
3z=
11-y=
65+x
1 ≡r 2-7-z=
1-4-y=
23+x
r2 ≡
En caso de cortarse, hallar el punto común a ambas rectas y la ecuación del plano que las
contiene. 12º- Dado el plano π se pide: 0=26+12z+3y-4x≡ a) La ecuación normal b) Sus cosenos directores c) La distancia del origen de coordenadas al plano. 13º- Hallar las ecuaciones de una recta paralela al vector y que corte a las rectas (1,2,3)=vr
1z=
32+y=
21-xr ≡ y
−≡
2+z=y1+2z=x
s
14º- Hallar la distancia del punto A(5,-3,6) a al recta 1-3-z=
42+y=
21-x
≡r
15º- Dado el punto A(3,-6,5) y la recta 11-z=
6-5-y=
23+xr ≡ se pide:
a) Hallar el punto de intersección entre la recta r y la recta perpendicular a r que pasa
por A. b) Ecuación de esa perpendicular. c) Distancia de A a r. 16º- Calcular el ángulo que forman las rectas :
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51+z=
41+y=
31-x
≡r y 51-z=
4-2+y=
3-1+xs ≡
17º- Calcular el volumen del tetraedro de vértices: A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(0,1,0) , D(0,0,1). 18º- Calcular los valores de x e y para que el vector (x,y,1) sea ortogonal a los vectores y
.
(3,2,0)=vr
(2,1,-1)=wr
19º- Dados los puntos A(1,2,-3) y B(-3,0,1) se pide la ecuación del plano perpendicular al segmento
AB en su punto medio. 20º- Demostrar que el punto A(-1,1,0) no es coplanario con los puntos B(0,0,0) , C(1,2,1) , D(0,1,0) y
hallar la distancia del punto A al plano determinado por B,C y D. 21º- Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano de ecuación π y que
contiene a la recta r
0=z+y-x≡
−−
≡1=7z+4y+5x7=5z-3y+2x
22º- Hallar la perpendicular desde el punto P(1,1,1) a la recta y la distancia de
P a dicha recta.
≡1=3z+y+2x0=z+y+x
r
23º- Hallar el plano que, pasando por (0,0,1) , sea perpendicular a los planos π
y π
0=1+z-y+x≡0=3z+y-2x≡′
24º- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,0,2) y es perpendicular al plano
determinado por el origen de coordenadas y la recta
≡2-z=y1-2z=x
r
25º- Dado el punto A(1,3,0) y el plano π , hallar las coordenadas del punto A'
simétrico de A respecto de dicho plano. 0=1-z+2y+x≡
26º- Halla el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A=(1,3,-1) y un lado sobre la
recta r dada por: r ≡ x-1 = -y+2 = -z 27º- Tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A=(1,1,0) B=(-2,3,1) C=(4,-1,2) Determina las coordenadas del cuarto vértice D.
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PROBLEMAS RESUELTOS.- 1º-Hallar a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:
Sol: a=1 ; b=-2
≡3=bz+3y+2x1=z-ay+2x
r z=6+2y=4xs ≡
2º-Dadas las rectas de ecuaciones 22-z=1-y=
2x
(1,1,-2)+(2,0,1)=z)y,(x, α
a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.
Sol: a) Cruzan b) d(r,s)=2,06 c)
≡
λ
λ
λ
-53124=z
6-5362=y
4+5318=x
t
3º-Dados los planos de ecuaciones: ax-2z=15 2x+y+z=-7 x+y+az=-8a a) Determinar los valores de a para que los tres planos pasen por una recta. b) En este caso, determinar dos puntos de esta recta. Sol: a) a=-1 b) A(-15,23,0) B(1,-1,-8). 4º-Encontrar las ecuaciones de todos los planos paralelos al plano π y que disten de
éste 1 unidad de longitud. Sol: π π
1=2z+4y-4x≡5=2z+4y-4x −≡7=2z+4y-4x≡′ ′′
5º-Averiguar la posición relativa de las rectas: 43-z=
22+y=
31-xr ≡
4z=
23+y=
1-2+xs ≡
Sol: Se cruzan.
6º-Dada la recta r de ecuación 4z=
21-y=
32+x
hallar:
a) Las ecuaciones implícitas de otra recta cualquiera r' que sea ortogonal a r, pase por el punto A(0,-3,2) y no corte a r.
b) Un punto B en r y otro B' en r' de modo que el módulo del segmento BB' sea la distancia entre r y r'.
Sol: a) ≡r b) B(-40/29, 41/29, 24/29) B'(-32/13, 9/13, 2)
′0=6+2y+3x
2=z
7º-Determinar condiciones en el parámetro a para que la recta definida por las ecuaciones:
esté situada en el plano x+y+z+1=0
≡0=6-2z-6y+2x0=1-z+ay+3x
r
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Sol: ≡r
0=6-2z-6y+2x0=1-z+5y+3x
8º-Determinar, en función de x, la distancia de un punto de coordenadas (x,0,0) a la recta de ecuaciones:
¿Para qué punto (x,0,0) la distancia a dicha recta es igual a la distancia al plano x=0 ?
≡0=z+y0=y+x
r
Sol: a) |x|32=r)d(p, b) x=0
9º-Determinar t para que los puntos A(1,1,1) B(3,0,2) C(5,-2,2) D(2,1,t) sean coplanarios. Para el valor t
calculado anteriormente, obtener el área del polígono ABCD. Sol: t=2 22
=Area 5
10º-Dados los puntos A(3,-2,0) y B(1,-2,-2) y la recta de ecuación calcular la distancia
desde el punto B al plano que contiene a r y al punto A.. Sol:
z=y=xr ≡
0,973=386=d
11º-Hallar la ecuación del plano que pasa por P(0,0,1) y contiene a la recta
≡0=1-z-y-2x0=5-2z+3y-5x
r
Sol: π =4x-3y+7z-7=0 12º-Hallar la distancia del punto Q(5,5,-3) al plano π ≡ (-3,2,0)+(2,2,-1)+(0,0,4)=z)y,(x, µλ
Sol: a) d=11345
13º-Dado el sistema de ecuaciones lineales:
βαααβ
βααβα
=)z-(1+y+x2=z+y+x=)z-(1+y+x
a) Demostrar que si α=0, dicho sistema representa una recta y hallar sus ecuaciones
paramétricas.
b) Para que valores de α y ß representa un plano. Sol: b) 1=21= βα
14º-Calcular el ángulo que forma la recta r y el plano π : 3z=
1-2+y=
21-xr ≡ 0=z-y-x≡π
Sol: Recta paralela al plano 15º-Dado el plano de ecuación π y el punto A(1,0,2); sea B el pie de la
perpendicular de A a π y C(2,1,-2) un punto Se pide el área del triángulo ABC. Sol:
0=3-z+2y+2x≡
22=A
16º-Dadas las rectas de ecuaciones:
r −
≡4k-3=kz-3x3=2z-3x
−
≡4-k=2y-kx2=2z-3y
s
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determinar los valores de k para los cuales las rectas están en un mismo plano y buscar una
ecuación de este plano. Sol: K=-2 3x+2z-11=0
17º-Determinar el plano que pasa por la recta de ecuación: r −
≡3=z-2y-x5=z+y+x
y es paralelo a la recta de ecuación: 2174+z-=
31+y=
21-2xr ≡′
Sol: π≡ 13x-8y-z+9=0
18º-Hallar la distancia del punto A(1,2,3) a la recta y la ecuación del plano π que pasa por A y es
perpendicular a la recta. Sol: d=
0=y0=x
5 π 3=z≡ 19º-Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,0,1) y contiene a la recta de ecuación
1-z=
13+y=
21-x
≡r Sol: π 0=13-5z+3y-4x≡
20º-Sean las rectas: r ≡s
≡
3=z2t+1=y5t-3=x
2=z-2y+x0=z+y-3x
a) Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(-1,-1,0) y es paralelo a las dos rectas. b) Hallar las intersecciones de dicho plano con los ejes coordenados. Sol: 14x≡π )(0,0,49/18(0,-7/5,0)(-7/2,0,0)0=49+18z-35y+ 21º-Comprobar que los puntos A,B,C forman un triángulo: A(1,1,1) B(0,-1,0) C(2,3,0). Hallar el área
de dicho triángulo. Sol: 5=A 22º-Obtener las coordenadas del punto simétrico del A(1,-3,7) respecto de la recta:
24-z=3+y=1-x≡r Sol: A'=(3,-1,5)
23º-Dadas las rectas
≡
λλλ
2=z-1=y+2=x
r2-2+z=
1-1-y=
11-xs ≡ estudiar su posición y, si fuese
posible, la ecuación del plano que las contiene. Sol:Las rectas se cruzan. No hay plano que las contengan.
24º-Hallar la distancia entre el punto (3,2,7) y la recta diagonal del primer octante del espacio . ℜ3
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Sol: 14=d 25º-Una recta es paralela a los planos x+y=1 x+z=0 y pasa por el punto (2,0,0). Hallar sus ecuaciones.
Sol: 1-z=
1-y
12-x =
26º-Hallar la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos 2x+y-z=0 , x-
y+z+3=0 y pasa por el punto (3,2,1). Sol: π 3=z+y≡ 27º-Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1,0,-1) es perpendicular al plano x-y+2z+1=0 y
además es paralelo a la recta . Sol: ≡π
0=z0=2y-x
0=5-3z-4y-2x
28º-Sean los planos: π π π 1-=z+y+x1 α≡ αα =z+y+2x2 ≡ 1=z+y+x3 α≡ Se pide: a) Estudiar, según los valores del parámetro la posición relativa de los tres planos
anteriores. b) Hallar la intersección de los planos cuando α=2.
Sol: a) α No tienen ningún punto común. α Se cortan según una recta. 1= 2= α Se cortan en un punto. 21 ≠≠
b)
0=y1z=
11-x
≡ -r
29º-a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular al plano de ecuación 2x-y+3z+5=0
b) Calcular la distancia del punto al plano.
Sol: a) 33-z=
1-2-y
21-x = b) 14=d
30º-Dados dos planos de ecuaciones 3x-y+z=1 x+y-2z=0 hallar un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Sol: v=(1,7,4)
31º-Se consideran las rectas y .
≡0=3+y0=2-x
r
≡3=z+y1=2z-x
s
Se pide : -Estudiar la posición relativa de r y s.
-Hallar la mínima distancia entre ambas. Sol: Se cruzan 5511=dm
32º-Se considera la recta r y el punto P(3,4,1).Hallar el plano π que contiene a la recta r y al
punto P. Calcular la distancia de P a r. Sol: d=3
≡4z=y0=x
Geometría
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
33º-Sean los planos de ecuaciones: x-y-1=0 2x+3y-5z+16=0 x+αy-z=0 donde α es un parámetro.
Probar que, salvo para un cierto valor de α, dichos planos se cortan en un único punto. Determinar dicho valor. Sol: α 0=0
34º-Calcular la ecuación de la recta que pasa por le punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano
determinado por los puntos (1,0,1) (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.
Sol:
−
λ=12-z1=1=x
≡ yr
35º-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1,1) es paralela al plano x-2y-z=0 y está en
un mismo plano que la recta 3z=
2y=
11-xr ≡ Sol:
≡1=y1-z=1-x
r
36º-Dados los puntos A(1,0,-1) y el plano π≡2x-y+3z=4 se pide: a) La ecuación de la recta que pasa por A es perpendicular a π. b) El punto simétrico de A respecto a π. c) De todos los planos que pasan por A y son perpendiculares a π, hallar el que pasa
por B(2,1,2). d) Ecuación del plano que pasa por A y es paralelo a π.
Sol: a) 31+z=
1-y=
21-x
b)A'=( 17/7, -5/7, 8/7 ) c) π d) π 0=3-z-y+2x1 ≡ 0=1+3z+y-2x2 ≡
37º-Calcula los planos bisectores de los planos x+y-z=0 x-y+z=0 simplificando al máximo el resultado.
¿Que ángulo forman los planos bisectores? ¿Es esta una propiedad general? Razonar la respuesta. Sol: -y≡π π α 0=z1 0=x2 ≡ 90”= 38º-Calcular el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:
11-z=
13+y=
21-x
≡r 11-z=
3-1-y=
12-xs ≡ Sol: 90”=α
39º-Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es paralela a la recta:
r Sol: −
≡4=3z+y-x1=z-3y+2x
53-z=
7-2-y=
81-x
40º-Hallar las coordenadas del punto de la recta 34+z=
35+y=
23+xr ≡ que equidista del origen de
coordenadas y del punto (3,2,1). Sol: P(1,1,2)
Geometría
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
41º-Dada la recta y la recta s determinada por los puntos A(2,1,0) y B(1,0,-1) estudiar
su posición relativa y determinar un punto C de r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.
−≡ααα
=z=y+2=x
r
Sol: a) Se cortan b) C(2,0,0) C'(1,1,-1) 42º-Justificar que los puntos A(1,1,1) B(2,0,-1) C(5,2,1) y D(4,3,3) son los vértices consecutivos de un
paralelogramo y obtener la ecuación del plano que lo contiene. Sol: π 0=1+5z+8y-2x≡ 43º-a) Determinar la ecuación del plano π que pasa por le punto de coordenadas (1,-1,2) y es ortogonal a
la recta de ecuación
12-z=
3-1+y=
21-xr ≡
b) Hallar el punto de π cuya distancia al (3,-4,3) es mínima. Sol: a) -2x≡π b) P(5/7, -4/7, 13/7) 0=7-z+3y
44º-Calcular la distancia del punto (-2,4,-3) a la recta cuya ecuación es
32z-4=y
21+2z=x
Sol: d=1'4
45º-Hallar una recta que sea perpendicular al plano x-y+2z=-1 y que pase por el punto de dicho plano
que está más próximo al origen de coordenadas.
Sol: 2z=
1-y
1x =
46.- Hallar la ecuación del plano determinado por las rectas: r: x/1 = (y+1)/2 = (z-2)/1 y s: (x-2)/1 = (y-6)/-1 = (z-3)/2. Sol: 5x-y-3z+5=0 47.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,1,2) y es paralela a la recta r intersección de los planos: a: x+y-2z+3=0; b: 2x-y+z+1=0. Sol: {x+y-2z+4=0; 2x-y+z+1=0} 48.- Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas r: (x-1)/2 = (y-3)/3 = (z-1)/1 y s: x/0 = (y-1)/2 = z/-1. Sol: 5x-2y-4z=0 49.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y es paralelo a las rectas r: {2x-y+z=0; x+y-z=2}; s: {y+z=3; x-y-z=1}. Sol: x=1 50.- Dados los puntos A(1,1,-1), B(0,1,1), C(-1,2,1) y D(1,1,1), hallar la ecuación del plano a que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD. Sol: 2x+4y+z=5 51.- Hallar la ecuación del plano q que pasa por el punto A(0,1,1) y contiene a la recta: {x=1-λ; y=3+λ; z=4+2λ. Sol: x-5y+3z+2=0
Geometría
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
52.- Determinar la posición relativa del plano a: 2x-y+z-3 =0 y la recta de ecuación r: (x-1)/3 = (y-2)/1 = z/2. Sol: Se cortan 53.- Determinar m y n para que los planos 2x+my-4z+1=0 y 3x+9y+nz-3=0 sean paralelos. Sol: m=6, n=-6 54.- Determinar m para que los planos 3x+my-z+3=0 y 2x-y+mz-1=0 sean perpendiculares. Sol: m=3 55.- ¿Pertenece el plano 4x-5y+z+1=0 al haz determinado por la recta r: {x-3y+z-1=0; 2x+y-z+3=0} ?. Sol: Sí 56.- Hallar el baricentro de los triángulos y tetraedros siguientes: a) A(1,0,0), B(1,2,1), C(1,1,2) Sol: (1,1,1) b) A(2,1,-2), B(-1,2,0), C(4,3,1), D(3,-2,-3) Sol: (2,1,-1) c) A(1,2,-1), B(2,2,1), C(3,2,0) Sol: (2,2,0) 57.- Hallar las ecuaciones de los planos: a) Pasa por (2,0,3) y es paralelo al plano (x,y,z) = (0,1,3) + t(2,1,1) + v(-1,1,0). b) Pasa por (1,1,0), (3,1,4) y (0,2,-1) c) Pasa por (2,1,2) siendo paralelo al plano 2x-3y-z+3=0 d) Pasa por (1,1,1) y (2,0,-1) siendo paralelo a la recta (x-1)/2 = (y-2)/1 = (z+1)/3 Sol: a) x+y-3z+7=0; b) 2x+y-z=3; c) 2x-3y-z+1=0; d) x+7y-3z=5 58.- Ecuación de la recta que pasa por el punto (2,0,2) siendo paralela a la recta intersección de los planos: a: x+y-z=0 y b: 2x+2y-z=1 Sol: (x-2)/1 = y/-1 = (z-2)/0 59.- Plano que pasa por el (2,1,1) siendo paralelo al plano determinado por el punto (1,0,1) y la recta que pasa por (2,2,2) y tiene como vector director el (1,-1,3). Sol: -7x+2y+3z+9=0 60.- Ecuación de un plano que sea paralelo a las rectas r y s, y contenga al punto P(-1,0,2). r: [x=1+3t, y=t, z=-2-t} s: {x+y-3=0, 2x-y+2z=1} Sol: 5x-7y+8z=11 61.- Halla el punto de intersección de la recta r con el plano a: r:{x=2t ; y=t-1 ; z=3t+1 a: x-y+z+2=0 Sol: (-2,-2,-2) 62.- Estudia la posición relativa de las rectas: r: {x=t, y=-2t, z=1+t} s: {x=-8, y=2-8, z=1} Sol: Se cruzan 63.- Se consideran las rectas: r: {x=t, y=1-4t, z=2-t} s: {x=a, y=3-28, z=4-8} Determinar "a" para que las rectas se corten. Pueden ser iguales?. Sol: a = 1/3; No 64.- Comprobar si están alineados los puntos: (3,1,-2) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) Sol: no 65.- Calcular la posición relativa de las rectas: x+2y-z=0 x-z=0 3x+y+z=4 2x-y-z=1 Sol: se cortan en (1,0,1) x+y=0 x+y-z=1
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
3x-2y=2 x+y+z=3 Sol: se cruzan 66.- Dados A=(1,0,-1) B=(a,2,3) determinar el valor de a para que el plano 2x-y+z=3 sea paralelo a la recta determinada por AB. Sol: a=0 67.- Dado el punto A=(3,1,-1) y la recta r: x-1 = y/2 = (z+1)/3. Determinar el punto B de la recta r, de tal manera que AB sea paralela al plano 3x-2y+z=4. Sol: (3,4,5) 68.- Calcula el producto vectorial de los vectores: V=(2,-1,0) W=(3,1,-1). Sol: (1,2,5) 69.- Siendo a=(1,0,-1) b=(1,1,1) c=(1,2,-3). Calcular a�(b�c), (a�b)�c. Sol: (4,4,4) (4,4,4) 70.- Hallar el volumen del paralelepípedo de aristas OA, OB, OC, siendo OA=(1,0,1) OB=(2,1,-1) OC=(2,2,-1) Sol: 3 u3 71.- Hallar el volumen del tetraedro ABCD siendo AB(1,4,2) AC=(1,0,0) AD=(2,1,-1). Sol: 1 u3 72.- Encontrar los valores de x para que el vector (x,1,2) sea ortogonal a (1,0,-1). Sol: x=2 73.- Area del triángulo determinado por los puntos A=(2,2,2) B=(1,-1,0) C=(0,1,2) Sol: 45/2 74.- Dados: A=(2,2,1) B=(1,-2,0) C=(2,0,1) D=(0,2,-2), demostrar que no son coplanarios y calcular el volumen del tetraedro que determinan. Sol: 1/3 u3 75.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A=(1,3,-1) y B=(4,2,-2) siendo perpendicular al plano x+y-z+3=0. Sol: x+y+2z=2 76.- Hallar la distancia del punto A=(0,0,1) a la recta r de ecuación: (x,y,z) = (t,2t+1,2t-2) Sol: 74 /3 77.- Dada la recta r: x/2 = y-2 = z+3 y el plano x+y=5. Hallar el ángulo que forman, y el punto de intersección. Sol: 60º; (2,3,-2) 78.- Calcular el ángulo que forman los planos: x-3y+4z-1=0, 2x+2y+z-3=0. Sol: 90 79.- Calcular la proyección ortogonal del punto P=(0,-1,-1) sobre el plano x+3y+2z=9 Sol: (1,2,1) 80.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A=(1,1,2) siendo perpendicular al plano x+y-2z=3 y paralelo a la recta {x-2y+z=0; x=1} Sol: 4x-2y+z=4 81.- Hallar la ecuación del plano que pasando por el punto A=(0,1,-2) tiene por vector director asociado v=(1,-1,1). Sol:x-y+z+3=0 82.- Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto A(1,3,-2) es perpendicular al plano x+y-z=3 Sol: (x-1)/1 = (y-3)/1 = (z+2)/-1 83.- Halla las ecuaciones implícitas de la recta proyección ortogonal de la recta (x,y,z) = (0,1,-1) + λ (1,0,2) sobre el plano x - 2y + z = 0. Sol: x-2y+z=0; 4x+y-2z=3 84.- Sean P(0,1,0), Q(0,3,0), R(1,1,2) y S(1,3,2) a) Comprobar que son coplanarios. b) Comprobar que PQRS forman un rectángulo. Sol: c) 25
Geometría
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c) Calcular el área de dicho rectángulo.
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
85.- Hallar la distancia entre el punto (2,0,3) y la intersección de los planos π1:x+z-1=0 y π2: x+2y+z=3. Sol: d=3 86.- Halla el ángulo que forman los planos x+2y-z+3=0 y 3x-y+z=4. Sol: π/2 87.- Halla el plano que pasando por P(1,1,1), sea perpendicular a los planos x-y+z+3=0 y x+2z=1. Sol: 2x+y-z=2. 88.- Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB pasando por el punto A siendo: A(1,-1,0), B(0,1,0). Sol: x-2y-3=0. 89.- Halla el ángulo que forman el plano 3x+y-2z+7=0 y la recta {x-2y-8=0; x+z+8=0}. Sol: α = 78,5º 90.- Halla el simétrico del punto P (0,1,1) respecto al plano que pasa por los puntos: A(2,1,1), B(0,2,-1), C(1,-3,0). Sol:(2,1,-1). 91.- Dada la recta de ecuaciones (x-1)/0 = (y+1)/1 = (z+4)/2 y el punto P (1,2,2), halla el simétrico de dicho punto respecto de la recta. Sol: (1,0,-2) 92.- Distancia entre los planos paralelos 3x+4z-15=0; 3x+4z+10=0. Sol: 5 93.- Halla el plano que contiene a OY y dista 4 unidades del punto P(0,0,5). Sol: π1:3x+4z=0; π2:3x-4z=0 94.- Halla el plano que pasa por el (1,0,1), siendo el triángulo formado por las rectas en las que corta a los planos coordenados, equilátero. Sol: x+y+z=2 95.- Determina un punto de la recta {(x+1)/2=y/1=z/-1 que equidiste de los planos 4x+3z+4=0 y 2x+2y+z=2. Sol: (1,1,-1) 96.- Halla la recta que pasando por el (3,2,1) sea perpendicular y secante a la recta (x-1)/1 = (y-1)/-1 = z/-1. Sol: (x-3)/2=(y-2)/1=(z-1)/1 97.- Halla el plano que contiene a la recta (x-1)/2 = y/1 = (z-2)/-1 siendo perpendicular al plano 2x-y+2=0. Sol: x+2y+4z=9 98.- Halla el punto del plano x+y+z=5 que está sobre la recta que siendo perpendicular al plano A(2,2,1),B(1,0,0),C(0,1,2) pasa por el baricentro de dicho triángulo. Sol: (3,-1,3) 99.- Halla el área del triángulo de vértices los puntos de intersección del plano 3x+2y-3z=6 con los ejes de coordenadas. Sol: 22 100.- Discutir, según los valores del parámetro a, la posición relativa de las siguientes rectas: r: {x-y=-1;3y-z=6} s: {x-ay+2a-1=0;3x-az=3}. Sol: a=1 coincidentes; a�1 se cortan
Geometría
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