geometría torácica - dialnetsector piel, tendremos una sencilla rutina que nos proporciona dichos...
TRANSCRIPT
Geometría Torácica M. Sánchez López
En estas notas proponemos un método geométrico de fácil ejecución en ordenador
para uso en radioterapia, que permite aproximar los contornos torácico y pulmonar mediante secIntroducción que nos sobra: el ciones de cónicas conectadas convenientemente. tiempo.A primera vista, y Así mismo damos un sencillo algoritmo útil para El problema tal copara un profano en buscar los arcos de piel a través de los cuales in -",.,. '~_. /mo lo planteo es elMedicina, parece ciden los rayos tangencialmente al pulmón. Fi ":,".siguiente:natural que los mu nalmente veremos de forma detallada mediante
Conocidas las curchos problemas con un ejemplo práctico cómo calcular los ángulos de los que tiene que vas producidas a nigiro y las coordenadas del foco emisor de radiaverse el operador de ciones. vel de la piel y del
una bomba de co pulmón por la sec
balto, puedan simplificarse en tres tipos: ción de un contorno torácico, se trata de enconA) Tipo geométrico, con la búsqueda de los trar en ellas sectores de las mismas, capaces de distintos contornos y trayectorias radiactivas. ser representados mediante curvas más senci
B) Tipo físico, con la naturaleza de las radia llas en cuanto a su grado, como son las cónicas. ciones y cálculo de las isodosis. Las curvas en cuestión pueden dibujarse bien C) Tipo terapéutico o de dosificación que no experimentalmente o utilizando la tomografía necesita explicación. axial computarizada, especialmente indicada en Como es de esperar, sólo trataremos el prime la sección pulmonar, y para su aproximación ro, y en mi calidad de matemático aficionado se han ensayado entre otras las siguientes también a la Biología, intento mostrar cómo con curvas: unos elementales conocimientos matemáticos, Curvas de grado tres, como son los splines cúpuede resolverse el problema de encontrar las bicos [11 o las curvas de Bezier [3] [4] últimaecuaciones de una sección torácica del cuerpo mente de moda en las aplicaciones de CAD, humano, y en consecuencia abrir camino para y desde luego la solución más sencilla de sustiaquellos profesionales que tengan conocimien tuir los contornos por polígonos inscritos en los tos infonnáticos, y se interesen en la confección mismos, con los consiguientes errores que conde sus propios programas. lleva tal aproximación. Es posible, que debido a la falta de informa El motivo por el cual hemos elegido las cóni .. ción bibliográfica específica, inalcanzable por cas, de entre tantos métodos de aproximación, muchas razones, el problema esté archirresuel radica en la facilidad que estas curvas dan pato y el trabajo realizado haya servido sólo para ra el cálculo de sus tangentes, puesto que se exirellenar las largas tardes del invierno, cosa ge que las radiaciones sean tangentes a las por otra parte nada despreciable para un jubi cónicas sectoriales que constituyen el contorno lado, pues aunque parezca paradoja es lo único pulmonar.
Fecha de rc(,epción: 22-6-9:} _______________0 _
. ': ."'"'~ .........
Ecuaciones del Contorno
Consideremos, en primer lugar, un arco de curva contorno, en el cual no existen puntos de inflexión, esto es, un arco donde la curva no cambie el signo de su curvatura o, lo que es lo mismo, conserve su carácter de cóncava o convexa en dicho intervalo. Ahora bien, como una cónica viene definida por cinco condiciones, podemos elegir las siguientes: Los puntos extremos del arco y las tangentes en dichos puntos nos proporcionan un total de cuatro condiciones. Los puntos vendrán, como es lógico, determinados por sus coordenadas, y las tangentes por sus pendientes y por la condición de incidencia en los mismos. Supongamos que el referido arco de curva tiene por extremos los puntos AG) y AG + 1) Yque las tangentes en estos puntos se cortan en e! punto pG), entonces este punto será además e! polo [5] de la cuerda (AG)-AG + 1) determinada por los puntos de contacto. Queda por último determinar la quinta condición que nos vendrá dada por un punto P¿ definido gráficamente como sigue: Trazamos una línea tangente al contorno y paralela a la cuerda AG)-AG + 1), que cortará a las dos tangentes anteriores TG) y TG + 1) en P:J Y P4' respectivamente, y tendrá con el contorno un contacto en el punto Po, Como es sabido, si la curva contorno fuese una cónica, por la construcción realizada en el punto de tangencia, P, sería el punto medio del segmento P:J-P4 , ya que dicha tangente y la recta que une e! punto de contacto P" con el punto medio de la cuerda AG)-AG + 1) tendrían la dirección de dos diámetros conjugados de la cónica. Entonces la quinta condición nos la dará el PWI
to medio de P:l-P4 que llamaremos Po, La proximidad de este punto con Po nos dará una idea de la bondad de! ajuste, como puede verse en la figlli"a 1, donde la zona rayada repres~nt.a el error cometido al aproximar por la comca. Resumiendo, necesitamos conocer los siguientes datos:
a) Para los puntos AG) y AG + 1) sus coordenadas respectivas (XG), Y(J)) y (XG + 1), YG+1)). b) Para las tangentes TG) y TG + 1) en AG) y AG + 1), respectivamente, pueden darse bienios ángulos de sus pendientes respectivas ei y el+ 1 -cosa molesta de calcular-, o esta otra más asequible de medir las longitudes PG)-AG) y PG+ 1)-AG + 1) que también resulta enojosa. Finalmente hemos optado por medir las coordenadas del polo P y con su ayuda determinar las pendientes respectivas. c) En cuanto a las coordenadas de P6' las calculamos también mediante las de P5; así, de esta manera, la introducción de datos en un programa que ejecute lo visto hasta ahora, se reducirá a medir coordenadas y dibujar tangentes, lo que hace más amena la construcción. La tabla 1 la hemos deducido de una figura hipotética, que nos servirá en lo que sigue para contrastar resultados.
A la vista de estos datos resulta sencillo calcular las pendientes y con ellas las ecuaciones de las tangentes y cuerdas subsiguientes, con lo cual estamos en condiciones de calcular la cónica correspondiente. En efecto, la familia de cónicas tangentes a las rectas TG) y TG+ 1) en los puntos AG) y AG + 1), respectivamente, como es sabido [5], viene dada por:
TG) TG + 1) + u . p2 = O (1)
donde TG) YTG + 1) son las ecuaciones de las tangentes y p la ecuación de la recta AG), AG + 1). De forma más explícita sería:
(Y-YG)-M¡G) . (X-XG))) ;Y-YG + 1)-M2G) . (X-XG + 1) )) )
+ u : (Y-YG)-M:JG) . (X-X G) ))2 = O
donde M" ¡'V{2 y M, son las pendientes de TG), TG + 1) y AG)-AG + 1), respectivamente. Imponiendo la condición de incidencia en el punto P6, se determina el parámetro u, quedando perfectamente definida la cónica. Esta ecuación nos permite, en una primera fase, comprobar la aproximación de cuantos Plliltos se quiera con la curva original, sin necesidad
Figura 1
de resolver la ecuación correspondiente y la consiguiente discriminación en cuanto a la raíz requerida. Si se desea trazar la cónica, se puede hacer representando r puntos de ella como sigue: Dividimos los intervalos [XG), XG + 1)] y [YG), yG+ 1)1en r partes iguales, siendo 8x y 8y las amplitudes correspondientes a los suhinterva
los resultantes, se tendrá:
X(t) XG) + t : 8x (2)
Y(t) YG) + t • 8y
con t 0, 1, 2, ...r-1.
,. ~,
Para un determinado t las ecuaciones (2) nos proporcionan un punto de la cuerda AG), AG + 1). Observemos ahora la figura 2, la recta PR está definida por el polo P y punto R, correspondiente a un t cualquiera. Los puntos P y R por su construcción son el uno exterior y el otro interior a la cónica, con lo cual, al sustituirlos en (1) darán signos diferentes. Esto nos permite aplicar cualquier algoritmo (biparticiones, Regula Falsis, etc. [2]) y obtener el punto de la cónica con la aproximación prefijada, tal como se refleja en el diagrama de flujo de la
figura 3.
Tenemos, pues, de esta manera, resuelta la búsqueda de un contorno aproximado, mediante ecuaciones de segundo grado imprescindibles para las ulteriores aplicaciones.
Búsqueda de Arcos-Piel, a través de los cuales inciden los rayos tangencialmente al pulmón.
Conseguido lo anterior, el primer problema que surge es hallar el segmento o segmentos del contorno torácico por los cuales ha de pasar el rayo incidente para que sea tangente en un punto determinado del contorno pulmonar.
El punto de tangencia elegido debe ser uno de los tres introducidos en los datos iniciales, esto es, los extremos del sector pu!minar «}» elegido -los B(i), B(i+ 1)- Yel que llamamos punto intermedio PM(i). Sus coordenadas respectivas serán: (XB(i), YB(i) ), (XB(i + 1), YB(i+ 1) ) Y(XM(i), YM(i) ). Si el punto elegido ha sido B(i), la ecuación de la tangente en dicho punto vendrá dada por
Y-YB(i)-M¡(i) . (X-XB(i)) = O
Donde ahora MI(i) es el coeficiente angular de
Figura 2
~ ~ ~AFI
R
"'-', •.. '¡.
¡~
.
INICIO
Figura 3 x P(J) = XI XR = X2 " y P(J) = YI YR = Y2
-Ós:', ".;
F(X P(J), y P(J)) = Al
F (XR, YR) = A2
XM = 0.5 (Xl + X2) I
YM = 0.5 (Yl + Y2)
F (XM, YM) = AM
,.~, . .-'.;
SI A2 = AM
S ~---flII> RETURN
N
Al = AM
" '''":_'T->.~'''''''_
". '.'; ..
la tangente P2, B(i), que por pasar por e! polo P2 (X2(i), Y2(i) ) Y por el punto (XB(i), YB(i) ) valdrá
MI(i) = (Y2(i)-YB(i) )/(X2(i)-XB(i) )
Igualmente, en el caso de elegir el otro extremo del sector "L" o sea, el punto B(i+ 1), la ecuación del rayo tangente será
Y-YB(i+1)-M2(i)· (X-XB(i+1)) O
con
M2(i) (Y2(i) - YB(i+ 1) )/(X2(i) XB(i + 1) )
Finalmente, en el caso de elegir el punto medio PM (XM(i), YM(i)) resulta
Y-YM(i)-M;¡(i) . (X-XM(i)) O
con
M;¡(i) = (YB(i + l)-YB(i) )/(XB(i + l)-XB(i))
Serían, pues, éstas, unas rutiniJJas de fácil construcción. El siguiente paso será buscar el sector en el cual inciden las tangentes al contomo pulmonar. Para tal fin nos basamos en el hecho de que toda recta en un plano, lo divide en dos regiones JJamadas semiplanos. Analíticamente, cada uno de estos semiplanos, viene caracterizado por el signo común -positivo o negativo- que todos los puntos de cada región dan al sustituir sus coordenadas con la expresión
Y-f\X-B
que llamamos potencia del punto respecto a la recta considerada, de ecuación
Y-AX-B=O
Tomando como recta anterior cada una de las tangentes al contorno pulmonar, y como puntos de referencia los puntos extremos de cada sector piel, tendremos una sencilla rutina que nos proporciona dichos sectores, sin más que multiplicar potencias sucesivas de puntos consecutivos, hasta encontrar uno o dos productos negativos. Es evidente que puede darse el caso de un rayo que incida por dos sectores diferentes. Esto
supondría que la cabeza o foco irradiante esté a la derecha del brazo de la bomba de cobalto o a su izquierda y habría que puntualizarlo. Pero no acaban aquí los problemas. Hemos obtenido dos puntos extremos AG) y AG + 1), pertenecientes a una cónica, los cuales determinan una partición de la misma en dos arcos complementarios. Hay, pues, que escoger el arco idóneo, esto es, aquél cuyo carácter de cóncavo o convexo respecto de un punto conocido, por ejemplo, el origen de coordenadas, coincida con las mismas características conocidas del contomo-piel. La solución analítica requiere el uso de diversas derivadas, lo cual complicaría indudablemente la cosa, hay, pues, que ser más realistas y observar las figuras. En ambas figuras Ü es e! origen de coordenadas y los puntos P (polo de AG), AG + 1), P3,
P4 YP¿ ya han sido definidos así como los extremos (AG) y AG + 1) del arco en cuestión. No queda más que e! punto P7, cuya construcción es inmediata (intersección de AG)-AG + 1) con la recta Ü-P¡,). Entonces, dada la situación de! origen Ü de coordenadas, exterior al segmento P¡,-P7, ocurre que en el caso de la figura 6 -de concavidad hacia el origen-, la
distancia (Ü,P¡,) > distancia (Ü,P7)
mientras que la convexidad hacia el ongen -figura 7- se tiene que
distancia (Ü,Pü) < distancia (Ü,P7)
Este sencillo artificio, nos permitirá distinguir una curvatura de otra, dándole a una variable 0, por ejemplo, los valores 1 y -1, que nos será de utilidad para calcular la distancia del foco emisor a la piel.
Angulos de giro y coordenadas del foco emisor
En e! caso ideal de radiación rectilínea. en e! cual nos hemos colocado, cuando en realidad los rayos son haces cónicos, se trata de encontrar los ángulos ey u, que han de girar el brazo y su cabeza, para que el rayo incidente al
Figura 4
"!,'.• ',,; ..
p
o
contorno pulmonar sea tangente al mismo, bien en el primer punto B(i) o bien en el designado anteriormente como punto PIJ' Para ello habría que introducir las coordenadas (XO, YO) del centro 01 de giro del brazo de la máquina, para mayor facilidad de cálculo podemos suponer que XO= O, Yque L es la longitud de dicho brazo. Con estos datos consideramos los siguientes casos, según que el ángulo U sea a la derecha o a la izquierda de dicho brazo. A estos efectos el ángulo 0;l sea mayor o menor que nl2 y según también que el ángulo U
sea a la derecha o a la izquierda de dicho brazo. A estos efectos el ángulo 0;J se define como el formado por la recta B2-01 y la dirección po
......,.....,-~':.:.'sitiva del eje x. El ángulo U, viene definido por el brazo F-01 y el rayo tangente F-B2, y se dice, está a la derecha del brazo, cuando se describa a partir de éste, en sentido de las agujas del reloj, y a la izquierda cuando el sentido de giro sea el inverso. En las figuras que siguen -3 y 9- hemos supuesto YO = 2 YL variable; seguramente valores irreales, pero 'suficientes para que sean visibles en un folio.
Figura 5
,-c:'"....~ ........
.~ .,,:,-.~,,~ ......
Por otra parte, las medidas utilizadas se suponen son centímetros. 1.cr caso: 82 < 1t/2 y a a la derecha (figura 8). Triángulo a considerar: F, B2, 01. El ángulo ~ defínido por el rayo F-B2, tangente al contorno pulmonar y el lado 01-B2, determinado por el centro de giro y el punto de tangencia, vale como es obvio
donde tg(82) Ytg(8:J) son las pendientes de las rectas B2-F y B2-01 perfectamente conocidas
por sus ecuaciones, lo que nos permite determinar ~.
También la distancia 01-B2 es conocida al tenerse en la entrada de datos las coordenadas de los puntos 01 y B2:
-----,---------,---,d(Ol, B2), = V'(XO-XP(i)l+ (YO-YP(i)?
Se tiene así, el triángulo 01-B2-F definido por sus lados 01-B2, 01-F = L yen ángulo ~.
Aplicando el teorema de los senos
L/sen ~ = d(B2,F)/sen r = (01,B2) / sen a
y de aquí
.- -: ,..".,~ -,.........
sen a = d(Ol,BS) . sen ~/L y r = -a-~
con lo que una vez calculado a, mediante la oportuna operación inversa, se tiene para el ángulo e o ángulo girado por el brazo
e = 7[/2 + e;] - r y observando la figura es inmediato que
el = 7[/2 - e
En el segundo caso -misma figura, notación y algunas letras señaladas con primas- los resultados serían los siguientes, como es fácil com
probar: 2. o caso: e:1 < 7[/2 y a a la izquierda
B' = -~ = -e2 + e;] 8' = 7[/2 - r' - e:¡
e,' = it/2 + 8'
3. er caso: e;] > 7[/2 y cabeza a la izquierda. Figura 9.
~ = - e2 + e., e = 3 . 7[/2 - r - e:¡
el = 7[/2 - e
Figura 6
F
Aj
Cz
":,
--------------
.< •••• ".
4. o caso: 83 < 1t/2 y cabeza a la derecha. Fi
gura 9.
8' = 8:1 - r' - 1t/2
81' = 8' - 1t/2
Distancias
En primer lugar debemos calcular las coordenadas del foco emisor F, para lo cual de las figuras anteriores se tiene
XF XO + L' cos 81 e YF YO + L . sen 8]
A continuación, localizando el sector con-espondiente por la técnica anterior, y si buscamos la distancia foco-piel, es preciso conocer la concavidad o convexidad respecto del origen de coordenadas del contorno torácico en dicho sector, cosa resuelta anteriormente y expresado en la variable cr(i) característica de dicha cualidad. La técnica a emplear para hallar el punto de intersección del rayo emisor con un sector de-
Figura 7
F
_--- Aj+lIN --
Aj
.'. '.':.
F''''4.
\'la;"",
I " I \\ I I I \ I \ 8' I \ \ I
Figura 8
" '
Al
I y'
81
\
P,A9
83 < í a = Derecha 2 l a' = Izquierda
terminado de la piel, ha sido descrita en el organigrama de la figura 3. Como se ve para que tenga éxito dicho algoritmo, es fundamental encontrar dos puntos iniciales, I1 e 12 tales que uno de ellos sea interior a la cónica del sector y el otro exterior a la misma. Para ello es necesario conocer la curvatura del contorno piel, ya que para el contorno pulmonar la suponemos siempre cóncava hacia el origen.
P5
terior a ella, lo mismo que IN ha de ser interior, por lo que todos los puntos de la cuerda AG)AG + 1) son interiores.
P7
As
....... , ,
./ .>
/YJ ~-------_.
81 --
Así en la figura 12 tenemos las dos curvas C¡ y C2 con la misma o(i) = 1, Ylos únicos puntos iniciales F e IN. El primer punto F, foco emisor, por la convexidad de la curva respecto de él, ha de ser ex
... ::.;.
"...."-~.
"""''''''.'-'''''::''
Si hubiésemos tomado como interior el punto P(i) de tangencia. sería un caso dudoso y habría que comprobarlo, porque muy bien podría estar encerrado por la cónica completada
CI ·
En el caso de la figura 13 con dos o(i) de signos distintos, tenemos el punto IN -intersección del rayo emisor con la cuerda AG)-AG + 1)que sigue siendo interior y el punto F, que ahora es el dudoso, y el punto P(i) que es exterior.
· ....,.~ '. Figura 9
Ps -- As
-,
" -, -, -,
" " -, " -, -,
/ /
//
/ /
~ ,--i" y',
, " _ 81
.. ~i".<"'_,. ..,.....
, ': ,...... ~ .........
."",. '.'; ..
01
Con estas precauciones, hemos confeccionado nuestro programa cuyos resultados aparecen en las tablas 9 y 11. Para DÚ, la mayor dificultad, tanto de este método como de 011'0 cualquiera, no estaría en la «calculosis», sino en la exacta ubicación del sistema de ejes coordenados, y por consiguiente
el origen y centro de giro en la sección torácica en estudio .....
M. Sánchez López, Doctor en Ciencias Exactas. Catedrático Jubilado deMatemáticas de la E.La. T.l de Jaén.
Tabla 1. Listado entrada coordenadas
Coord. puntos extremos Coord. puntos polos Coord. puntos intermedios
X(l) = O Y(l) = S.l
X(2) = 7.4 Y(2) = 6.6
Xl(l) = 4.1 Yl(l) = S.3
Xl(2) = S.9 Yl(2) = .5.S
Xl(3) = 10.6 Yl(3) = 3.3
Xl(4) = 12.9 Yl(4) = 1.6
Xl (S) = 16.S Yl (S) = -S.7
Xl(6) = 13.7 Yl(6) = -S.2
Xl(7) = S.l Yl(7) = -7.6
Xl (S) = 4.2 Yl(S) = -9
X3(1) = 3 Y3(1) = 7.6
X3(2) = 9 Y3(2) = S.4
X3(3) = 11 Y3(3) = 3
X3(4) = 13.7 Y3(4) = S
X3(S) = lS Y3(5) = -S.4
X3(6) = 13.7 Y3(6) =
X3(7) = S.5 Y3(7) = -7.6
X3(S) = 4 Y3(S) = -S.7
X(3) = 9.4 Y(3) = 4.9
X(4) = 11.7 Y(4) = 2.4
X(S) = 14.3 Y(S) = -1.2
X(6) = 14.6 Y(6) = -7.4
X(7) = 9.2 Y(7) = -7.7
X(S) = 7 Y(S) = -S
X(9) = .S Y(9) = -9.4 Xl(9) = OYl(9) = O X3(9) = OY3(9) = O
Listado entrada coordenadas pulmón
Coord. plintos extremos Coord. plintos polos Coord. puntos intermedios
XP(l) = .9 YP(l) = 7.S
XP(2) = 6.7 YP(2) = S.S
XP(3) = 10.4 YP(3) = O
XP(4) = S.l YP(4) = -4.5
XP(5) = 4.6 YP(S) = -S.lS
XP(6) = 2.2 YP(6) = -l.S
X2(1)
X2(2)
X2(3)
X2(4)
X2(S)
X2(6)
= 4.9 Y2(1) = 7
= 9.S Y2(2) = 3.S
= 10.S Y2(3) = -2.S
= 6.3 Y2(4) =-S.9
= :3.2 Y2(S) = -4.S
= OY2(6) = O
XM(l) = 4.2 YM(l) = 7.1
XM(2) = 9.9 YM(2) = 3.S
XM(3) = 10.6 YlVI(3) =
XM(4) = 6.7 YM(4) = -S.S
XM(.5) = 3.2 YM(S) = -3.S
XM(6) = OYM(6) = O
Corte radiación al tórax
e = 29.56036 < 90 grados y a = a la izquierda
Coordenadas foco XV(2) = -2.441091 YF(2) = 11.69748 XO = O YO = 2 Longitud brazo = 10 Intersección rayo-piel X(2) = 4.426924 Y(2) = 7.308666 .........,.-........ ~. '
Distancia (2) foco-piel = 8.15054 Distancia (2) Piel-pulmón = 2.728176 -i:'. '0.;
Angulo cabeza = 43.04227 grados Angulo brazo = 165.8708 grados e3 = 29.56036 grados e2 = 147.1715 grados el = 104.1292 grados ~ = 62.3889 grados r = 74.5688:3 grados
';.
, ..... ~ -. 'r •
".'",:",~." .......
Corte radiación al tórax e = 31.2026 < 90 grados y a = a la derecha
Coordenadas foco XF(2) = 17.696 YF(2) = -1.294194 XO = O YO 2 Longitud brazo = 18 Intersección rayo-piel X(2) = 10.99442 Y(2) = 3.029408 Distancia (2) foco-piel 7.975255 Distancia (2) piel pulmón = 5.110598 Angula cabeza = 22.28337 grados Angula brazo = 79.45483 grados 8 = = 29.56036 grados 82 = 147.1715 grados 81 = 10.54518 grados ~ = 117.6111 grados T = 40.1055:3 grados
Corte radiación al tórax Coordenadas foco XF(3) = 12.19788 YF(3) -11.23675 XO = O YO 2 Longitud brazo = 18 Intersección rayo-piel X(:3) = 11.64749 Y(3) = -7.796808 Distancia (3) poco-piel 3.483699 Distancia (.3) piel-pulmón = 7.895977 Angula cabeza = 33.57078 grados Angula brazo = 42.66107 grados 8:3 = 169.1145 grados 82 = 99.09029 grados 81 = 132.6611 grados ~ = 109.9758 grados T = :36.4534 grados
Corte radiación al tórax Coordenadas foco XV(3) = 8.272925 YF(3) 13.29419 XO = O YO = 2 Longitud brazo = 14 Intersección rayo-piel X(3) = 9.685451 Y(3) = 4.525482 Distancia (3) foco-miel 8.881748 Distancia(3) piel-pulmón = 4.581546 Angulo cabeza = 45.31285 grados Angulo brazo = 36.22255 grados 83 169.1145 grados 82 = 99.09029 grados 81 = .53.77745 grados ~ 70.02418 grados r = 64.66298 grados
--------------------------------
Extremos arcos torácicos cortados por tangentes pulmonares
NU1 (1) = 1 NU2 (1) = 2 NU3 (1) = O NU4 (1) = O
NU1 (2) = 1 NU2 (2) = 2 NU3 (2) = 3 NU4 (2) = 4
NU1 (3) = 3 NU2 (3) = 4 NU3 (3) = 6 NU4 (3) = 7
NU1 (4) = 4 NU2 (4) = 5 NU3 (4) = 8 NU4 (4) = 9
NU1 (5) = 6 NU2 (5) = 7 NU3 (5) = O NU4 (5) = O
Bibliografía
1. BOOR. C. de: «A pructical guide to Splines». Springer Ccomerric Design. A Practical Cuide». AcademtcPress.
Verlag. New York, 1978, págs. 49-62 y 6:3-72. file. New York, 1988, p,ígs. 27-66 y 111-171.
2. CHAPHA, S. C., s: CA:"ALE. R. P.: "Métodos Numéri 4. MOHTE""O,,, \1. E.: «Ceornetric Modcling». Jo/m Wicos para ingenieros». MeGfWV-HI/L México, 1988. Iré!' '" Sonso New York, 1985, págs. :3:3-150.
págs. 119-14:3 y :349-407. .5. SANCHEZ LÓPEZ, M.: «Matcm.iticns para Técnicos».
:3. FAHI:\ .. C.: "Curves and Surfuces for Computer Aided Selecciones Cientijicas. Madrid, 1960, págs. 181-211.
:: / ~ /
,.! " ~. '.. '