Avance de proyecto #2

Imagen 1: Gata mecánica tipo tijera

Análisis

Primero analizaremos la compresión que se produce en los brazos de la gata, la parte superior de la gata tiene 1 tornillos, por lo que la carga se distribuye entre los 2 brazos de la gata

Imagen 4: Fuerzas que actúan en la gata

Determinación de la fuerza en función del esfuerzo permisible

Donde P es la fuerza de compresión en los brazos de las gatas, ahora para saber el máximo esfuerzo que resisten los brazos de la gata

PA

=σ perm

P=σ perm A (1)

Se trabaja con ASTM A36 los brazos, algunas propiedades de este acero

ρ :7860kg /m ³

σ ult=448MPA

E=200GPA

Factor de seguridad y esfuerzo permisible

n=σultσ perm

(2)

Factor de seguridad σ ult (Mpa) σ perm (Mpa)1.5 448 298.67

1.75 448 2562 448 224

2.25 448 199.12.5 448 179.2

2.75 448 162.93 448 149.33

3.25 448 137.853.5 448 128

Tabla 1: esfuerzo permisible dependiendo del factor de seguridad

En esta ocasión se usa factor de seguridad de 2.5 por lo que:

σ perm=179.2Mpa

El área la obtenemos por medio de los planos

El área en la mitad de la pieza es

Amedio=5.85¿10−4m2

El área en la parte en que se encuentra el agujero es

Aag=5.39¿10−4m2

Fuerza en los brazos de la gata

El esfuerzo máximo se da en la zona donde el área es menor, podemos observar que donde se encuentra el agujero la placa metálica se ensancha para remediar esta disminución de área provocada por el agujero.

P=(179.2∗106)(5,39∗10−4)

P=96588.8N=96.59KN

Deformación de los brazos de la gata

La deformación que tenemos en los brazos de la gata se los puede encontrar usando la fórmula:

PA

=E ∆ LL

∆ L= PLAE

(3)

∆ L=96.59KN (209.55mm)5.39¿10−4m2(220GPa)

∆ L=1.71∗10−4m=0.171mm

Fuerza máxima que puede aplicarse en la gata

Realizando el diagrama de cuerpo libre en el tornillo superior

+↑∑ Fy=0

2 Pcosθ−W=0

W=2Pcosθ (4 )

Se analiza la carga aplicada sobre la gata mecánica con distintos ángulos, el ángulo mínimo se produce cuando la gata está más elevada, por medio de información bibliográfica se pudo saber que este ángulo es θ=20 ° y el ángulo máximo es cuando la gata está más abajo y es igual a θ=70°

θ cosθ W (KN )20 0.94 181,5925 0.906 175,0230 0.866 167,2935 0.819 158,2140 0.766 147,9845 0.707 136,5850 0.642 124,0255 0.573 110,6960 0.5 96,5965 0.423 81,7270 0.342 66,07

Tabla 2: Relación entre la carga y el ángulo

De esta tabla podemos saber que cuando el ángulo es de θ=70° se da la mayor fuerza en los brazos por lo que:

Wmax=66,07KN

Esfuerzo de corte que se genera en el perno superior

El esfuerzo que se genera está dado por el máximo esfuerzo en la tuerca y ese esfuerzo sucede en el medio de la misma, está producida por la fuerza que se coloca sobre la gata

τ= W2 A

(5)

El área del perno está dada por:

A=π r2=1.22¿10−4m2

τ= 66.07∗103

2 (1.22∗10−4)=270.78MPa

Fuerza producida a lo largo del tornillo

Con el análisis del diagrama de cuerpo libre de las uniones de los brazos de la gata y el tornillo podemos saber la fuerza que horizontal F que actúa sobre el tornillo

+→∑ Fx=0

2 Psinθ−F=0

F=2Psinθ (6)

Se realiza una tabla con la relación del ángulo y la fuerza

θ sinθ F (KN )20 0,34 45,1925 0,42 55,8430 0,50 66,0735 0,57 75,7940 0,64 84,9445 0,71 93,4450 0,77 101,2355 0,82 108,2460 0,87 114,4465 0,91 119,7670 0,94 124,17

Tabla 2: Relación entre la fuerza y el ángulo

Del análisis previo podemos saber que la fuerza F máxima se da cuando de θ=70°

F=124,17KN

Torque que se genera en el tornillo

Vamos a determinar expresiones para calcular los pares de giro Ts y Tb. La figura 1 muestra un tornillo de potencia con su tuerca, con diámetro medio, dm, diámetro menor, dr, y diámetro mayor, d; paso, p, ángulo de avance, λ, y ángulo de hélice, Ψ.

Se produce un giro del tornillo mediante la aplicación del par Ts (o Tb), con lo cual el tornillo sube (o baja) efectuándose un trabajo útil, que actúa sobre la fuerza F, y un trabajo de pérdidas debido a la acción de las fuerzas de fricción en los flancos de los filetes (figura 2.b).

Las fuerzas que actúan en el sistema se distribuyen sobre los flancos del tornillo y de la tuerca, los cuales están inclinados un ángulo . Si “enderezáramos” el flanco del filete de la tuerca de la figura 2.a, obtendríamos una superficie cuyo perfil correspondería a las líneas inclinadas de los triángulos de la figura 2, donde Nf es el número de filetes en contacto y l es el avance del tornillo, que en la mayoría de los casos es igual al paso (cuando el tornillo es de una sola entrada). Para tornillos de varias entradas el avance está dado por:

l=numero deentradas∗p

Imagen 2: Rosca del tornillo de la gata

Imagen 3: Visualización de las fuerzas que actúan en la rosca

Analicemos las fuerzas de la figura 2.a. La fuerza F es la fuerza que actúa sobre el tornillo y es vertical; la fuerza Ps es la debida al par de torsión; nótese que al aplicar un par al tornillo, se generan fuerzas a lo largo del flanco del filete, cuya resultante es igual a cero (pero no el par); al analizar el filete “enderezado”, la suma de esas fuerzas es Ps. En el flanco aparecen dos reacciones, la fuerza

normal Fn y la fuerza de fricción uFn, la cual se opone al movimiento (se opone a la fuerza Ps). Nótese que la sumatoria de fuerzas de fricción en la tuerca (no enderezada) es igual a cero, quedando un par resultante debido a la fricción.

Si el sistema está en equilibrio, es decir si se mueve a velocidad constante (o si la aceleración es despreciable), la sumatoria de fuerzas horizontales y la sumatoria de fuerzas verticales son iguales a cero:

Para elevar la carga (figura 2.a):

¿

¿

Luego eliminamos la Fn reemplazando (1) en (2) y nos queda:

Ps=Fsin λ+ucos λcos λ−u sin λ

(7)

Dividiendo para cosλ todos los términos del numerador y del denominador se obtiene:

Ps=Ftan λ+u1−u tan λ

(8)

La fuerza Ps es la debida al par Ts, entonces:

T s=P s( dm2 )Ya que el radio medio de los flancos que hemos “enderezado” es igual a la mitad del diámetro medio.

De las dos últimas ecuaciones se obtiene que:

T s=Fdm2tan λ+u1−u tan λ

También se puede obtener una expresión para el par de torsión para subir, Ts, en función de la fuerza F, el diámetro medio y el avance del tornillo:

tan λ= l2π dm

Reemplazando en la (7) en (6) obtenemos:

T s=Fdm2

l+uπ dmπdm−ul

(9)

Con la ecuación (6) y (8) se determina el par de torsión requerido para subir.

Para bajar la carga (figura 2.b)

Un análisis similar puede hacerse para el caso en el cual la carga se “baja”. Tomando el diagrama de cuerpo libre de la figura y planteando las ecuaciones de equilibrio se puede obtener la siguiente expresión:

T b=Fdm2u− tan λu tan λ+1

T b=Fdm2

uπ dm−lπdm+ul

(10)

Las ecuaciones anteriores son válidas para rosca cuadrada.

Una vez sabemos la fuerza F que actúa a lo del tornillo podemos encontrar el torque que se genera en el eje y la torsión que produce este torque en el eje.

Se va a analizar la gata cuando se encuentra estática por lo que el único torque que necesitamos en el torque de bajado.

T b=Fdm2

μπ dmcos αF

−l

πdm+μl

cos αF

(11)

Donde αF depende del tipo de rosca que se va a usar, en este caso se trata de roscas cuadradas donde αF=0

Una vez obtuvimos las ecuaciones podemos usar los datos que tenemos los cuales son:

dm=0.667∈¿20,57mm

d=0.75∈¿22.68mm

dr=0.583∈¿18.46mm

p=0.167∈¿4.24mm

μ=0.2

n f=3

l=0.00508

T b=(124,17∗103) 20.57∗10−3

2

0.2π (20.57∗10−3)cos0

−0.00508

π (20.57∗10−3)+0.2(0.00508)

cos0

T b=1277.09∗7.84∗10−3

0.0656=152.63Pa

La gata es auto asegurante por lo que la fricción es la que evita que la gata baje.

Deformación que se genera en el tornillo

El tornillo puede modelarse como un cilindro, el esfuerzo cortante que se produce en este tornillo está dado por:

τ=TcJ

= Td

2( π32 d4)=16Tπ d3

(11)

τ=16 (152.63)

π (22.68∗10−3)3

τ=66.6MPa

Fuerza axial que se genera en los dientes de la rosca del tornillo

La fuerza axial que se produce sobre el tornillo es la misma fuerza F

Deformación axial que se genera en la rosca del tornillo

σ= FA

A=nfπ4 ( dm+dr2 )

2

σ= F

nfπ4 ( dm+dr2 )

2(12)

σ= 124,17∗103

3∗π4 ( 20.57∗10

−3+18.46∗10−3

2 )2

σ=124,17∗103

8.97∗10−4=138.38MPa

Este es el esfuerzo que se genera sobre los dientes del tornillo principal y es menor que el esfuerzo permisible por lo que es válido la premisa

Flexión que se generan en los brazos

Radio de curvatura

ρ=EIM

(13)

El mayor momento se da en el medio de la barra

M=W2 ( L2 )sinθ(14)

M=66.07∗103

2 ( 209.55∗10−3

2 )sinθM=3461.2∗sinθ

θ sinθ M (Nm)20 0,34 1462,7725 0,42 1730,6030 0,50 1985,2635 0,57 2224,8240 0,64 2447,4445 0,71 2651,4350 0,77 2835,25

55 0,82 2997,4960 0,87 3136,9165 0,91 3252,4670 0,94 3461,20

El máximo momento se genera cuando θ=70°

Mmax=3461,20N .m

I=∑ ( I+Ad2 )(15)

I 1=bh3

12=2.43∗10−6=I 2

I 3=bh3

12=3.80∗10−7

I=2∗((2.43∗10−6 )+ (1.21∗10−4 ) (10∗10−3 ))+3.80∗10−7

I=7.67∗10−6

ρ=200∗109∗7.67∗10−6

3461,20=443m

Esfuerzo normal máximo generado en los brazos generado por la flexión

σ max=−Mh2 I

(16)

σ max=−3461,20(38.1¿10−3)

2(7.67∗10−6)

σ max=8.6MPa

Si la gata mecánica tiene 2 tuercas en la parte superior como se muestra en la figura, una tuerca para cada brazo los cálculos cambian en:

Como hay dos turcas, en esta ocasión sobre cada tuerca se va a distribuir la fuerza de cada brazo y se crea una fuerza horizontal de tensión en la parte superior de la gata

En este caso la fuerza P no va a variar pero se va a generar una fuerza R en la base:

+↑∑ Fy=0

Pcosθ−W2

=0

P= W2cosθ

(17)

P=96.59KN

Los valores de P son los mismos que en el caso anterior

+→∑ Fx=0

Psinθ−R=0

R=Psinθ (14 )

R=(96.59∗103 )∗sin70

R=90.74KN

Deformación producida por la fuerza R

Esta fuerza R horizontal produce una deformación en la pieza superior de la gata mecánica que a su vez produce una deformación

∆ L= RLAE

(15)

Del plano sacamos el área

A=6.66∗10−4m2

∆ L=90.74KN (36.94mm)6.66¿10−4m2(220GPa)

∆ L=2.29∗10−5m

Esfuerzo de corte sobre la tuerca cuando se colocan dos tuercas en la parte superior de la gata mecánica

τ=

W22 A

=W4 A

(16)

τ= 66.07∗103

4 (1.22∗10−4)=135.39MPa

La ventaja de este diseño es que el τ disminuye sobre las tuercas

La relación que se tiene entre el peso y fuerza máxima que resiste es:

Masa: tiene 4 brazos que pesan 0.89 kg cada uno, dos bases que pesan 0.71 kg cada uno, tiene dos soportes del tornillo que pesan 1.16kg cada uno, el tornillo pesa 1.73 kg y 4 tuercas que pesan 0.12 kg

m=9.51kg

Rel= Fm

=66.07∗103

9.51=6947.42

Bibliografía

http://blog.utp.edu.co/lvanegas/files/2011/08/Cap8.pdf

https://www.ferrenet.com.mx/f/mat_fichas_pdf_Mikels/GMT-1.pdf