Ejercicios de rotacinGeometra analtica IIUnidad 4. Transformacin de coordenadasActividad 2. Rotacin

Instrucciones

Resuelve los siguientes problemas:

1. Verifica que la longitud del punto (1, 2) del ejemplo siguiente se mantiene despus de la rotacin hecha.

Ejemplo:Se quiere expresar un punto con coordenadas (1, 2) en un nuevo plano cartesiano que ha sido rotado con respecto al plano original. Halla las nuevas coordenadas de dicho punto en este sistema de coordenadas.

En este caso necesitamos encontrar las coordenadas , para ello calculamos la matriz inversa en la relacin dada anteriormente:y tras sustituir los valores dados:

Encontramos que las coordenadas en el sistema rotado son:

Tomando en cuenta el ejemplo, si un punto tiene coordenadas despus de una rotacin de ejes de , cules son las coordenadas de dicho punto en el sistema cartesiano original?Encontremos Con

Calculemos su matriz inversa de rotacin dada

Sustituyendo los valores dados

Entonces

Aplicando el producto de las matrices queda para realizar

Realizando operaciones las coordenadas del sistema rotado es

2. Prueba rotar un eje un ngulo y luego rotar ese nuevo sistema un ngulo , es equivalente a rotar el sistema original por un ngulo total = + . (Sugerencia: puedes aplicar sucesivamente las relaciones de rotacin o hacer el producto de matrices).

.

Esta ltima relacin se ha hallado aplicando identidades trigonomtricas de suma de ngulos.Sean las matrices para multiplicar entonces queda

Efectuando queda

Ahora identificando las frmulas de identidades trigonomtricas para la suma del seno y coseno queda

Y adems identificando la frmula de identidad trigonomtrica para suma del seno en relacin de la negatividad del ngulo entonces queda

Ahora la matriz queda con las identidades trigonomtricas

Ahora se identifica y se relaciona en la relacin de la rotacin dada

Siendo se sustituye, se relaciona con la rotacin a emplear y queda la matriz

Con esto se crean las expresiones en relacin a la rotacin matricial y queda

3. Por una rotacin de coordenadas, elimina el trmino xy de la curva traza su lugar geomtrico y ambos sistemas de ejes coordenados. (Sugerencia: Sustituye las ecuaciones de rotacin y resuelve para el ngulo de tal forma que el coeficiente del trmino xy se vuelva cero). Considerando que gira los ejes coordenados en un ngulo de 30Por el teorema de ecuaciones de transformacin rotacional

Son entonces

Sustituyendo los valores de x, y en la ecuacin principal se obtiene

Desarrollando y simplificando esta ecuacin obtenemos la ecuacin transformada

El lugar geomtrico es una elipse

4. Un plano sufre una rotacin de . Si un punto en este sistema se localiza en , cul ser su coordenada en el plano original? Definiendo la rotacin en el plano angular como

Identificando como

Ahora comprendido la parte total angular rotacional en el plano polar se define como

Sustituyendo

Este ngulo est comprendido Las coordenadas pedidas son