Parametrice de

–5 π a5π

Utilizando la formula de la ecuación simétrica de la recta

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Con P1=(x1 , y1 , z1)=(2,0 ,−3)

Identificando el vector de los números directores en la ecuación simétrica que es paralela al punto P1

n=[a ,b , c ]=[5,2,−1 ]

Aplicando en la formula de ecuación simétrica de la recta

x−25

= y−02

=z−(−3)

−1

x−25

= y2= z+3

−1

Para la ecuación de la recta es de la forma

ax+by+cz+d=0

Pero tenemos la ecuación de la forma simétrica

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Que se puede expresar la ecuación simétrica a pasarla a la ecuación de la recta, despejando términos e igualando 0

a (x−x1 )+b ( y− y1 )+c ( z−z1 )=0

Sustituyendo

5 ( x−2 )+2 ( y−0 )−1 (z+3 )=0

5 x−10+2 y−z−3=0

5 x+2 y−z−13=0

Consideremos P1(1 ,−2,1) y P2(3,1 ,−1) y además que la recta es paralela al vector del numero director que se define como n [a ,b , c ] que se encuentra

n=P1P2

n=P2−P1

n=( 31−1)−( 1−21 )

n [a ,b , c ]=[2,3 ,−2 ]

Las ecuaciones paramétricas se definen como

x=xo+at y= yo+bt z=z0+ct

Pero también se define P1(xo , yo , z0)

Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas

x=1+2 t y=−2+3 t z=1−2 t

4.

Definamos a t como dos puntos que pasa de t 1=0 at 2=7

Luego definiendo las ecuaciones parametricas

x=xo+at y= yo+bt z=z0+ct

Para encontrar la distancia consideremos la ecuación del plano con los cosenos directores

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d

Para encontrar el vector de los números directores consideremos

n=[a ,b , c ]

Sustituyendo los valores de las ecuaciones parametricas

n=[−2,2 ,−1 ]

Ahora encontrando cada coseno coseno director relacionada con los números directores y la distancia de los números directores resulta

cosα= a

√a2+b2+c2= −2

√¿¿¿

cosβ= b

√a2+b2+c2= 2

√¿¿¿

cosγ= c

√a2+b2+c2= −1

√¿¿¿

Luego partiendo de t 1 y t 2 se dividen en dos casos

Cuando t 1=¿0

Tenemos que

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d

Ya se tiene los cosenos directores

Por lo que no tenemos es x,y,z

Lo que se hace es de las 3 ecuaciones parametricas donde se sustituyen la t=t 1 es decir t=0

x=5−2t=5−2 (0 )=5

y=−3+2t=−3+2 (0 )=−3

z=5−t=5−0=5

Entonces ya tenemos todos los elementos para encontrar la distancia d como t 1 entonces d=d1 y queda

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d1

Sustituyendo los valores queda

5(−23 )−3( 23 )+5(−13 )=d1−163

−53=d1

−213

=d1

−7=d1

d1=−7

Cuando t 2=7

Tenemos que

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d

Ya se tiene los cosenos directores

Por lo que no tenemos es x,y,z

Lo que se hace es de las 3 ecuaciones parametricas donde se sustituyen la t=t 1 es decir t=0

x=5−2t=5−2 (7 )=−9

y=−3+2t=−3+2 (7 )=11

z=5−t=5−7=−2

Entonces ya tenemos todos los elementos para encontrar la distancia d como t 2 entonces d=d2 y queda

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d

xcosα+ ycosβ+zcosγ=d2

Sustituyendo los valores queda

−9(−23 )+11( 23 )−2(−13 )=d2183

+ 243

=d2

6+8=d2

14=d2

d2=14

Implica que se tiene que encontrar la distancia entre dos puntos que son d1 y d2 esto se define como

d=d2−d1=14−(−7 )=14+7=21

d=21