gabriel soler lópez 28 de septiembre de...

Problemas entregables de Matemáticas

Gabriel Soler López

28 de septiembre de 2019

Índice general

1. Observaciones 4

I Ejercicios del segundo cuatrimestre 6Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Ejercicio 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Ejercicio 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Ejercicio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Ejercicio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Ejercicio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Ejercicio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Ejercicio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Ejercicio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Ejercicio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Ejercicio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Ejercicio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Ejercicio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Ejercicio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Ejercicio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Ejercicio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Ejercicio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Ejercicio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Ejercicio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Ejercicio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Ejercicio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Ejercicio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Ejercicio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Ejercicio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Ejercicio 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Ejercicio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

2

ÍNDICE GENERAL 3

Ejercicio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Ejercicio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Ejercicio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Ejercicio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Ejercicio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Ejercicio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Ejercicio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412Ejercicio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Ejercicio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Ejercicio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Ejercicio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Ejercicio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Ejercicio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Ejercicio 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Ejercicio 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Ejercicio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493Ejercicio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502Ejercicio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511Ejercicio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520Ejercicio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529Ejercicio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Ejercicio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Ejercicio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Ejercicio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565Ejercicio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574Ejercicio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583Ejercicio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Ejercicio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601Ejercicio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610Ejercicio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619Ejercicio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628Ejercicio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637Ejercicio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Ejercicio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655Ejercicio 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Ejercicio 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673Ejercicio 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682Ejercicio 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691Ejercicio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700Ejercicio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709Ejercicio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718Ejercicio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727Ejercicio 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Ejercicio 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Ejercicio 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Ejercicio 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763Ejercicio 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772Ejercicio 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781Ejercicio 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790Ejercicio 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799Ejercicio 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

Capítulo 1

Observaciones

Debes tener en cuenta las observaciones que se hacen aquí para entregar los trabajos que se proponenaquí. Básicamente los ejercicios del primer y segundo cuatrimestre se deben resolver a mano en hojas queel alumno debe entregar el día del primer parcial, segundo parcial o examen final. Debes grapar todasestas hojas y en otra hoja suelta debe ir rellena la planilla de soluciones. No hace falta que me entreguéislos enunciados de los ejercicios, os los podéis quedar vosotros porque yo los tengo.

De las prácticas se debe entregar la planilla y debes remitir por e-mail al profesor el fichero wxmx enel que has hecho los cálculos lo más ordenado posible. El e-mail debe ir remitido a [email protected],con el fichero adjunto. En el asunto del e-mail debes poner Prácticas de Matematicas de la titulación (ponGIC o GIRME) del alumno/a (pon tu nombre) del curso (pon el curso/año). En cuanto al fichero, sunombre debe ser Curso-Titulacion-Apellidos-Nombre.wxmx.

Por ejemplo, el alumno Antonio García Mengual del curso 2746-47, de la titulación de GIRME, deberíaremitir sus praćticas en un fichero con el nombre:

2746-47-GIRME-GarciaMengual-Antonio.wxmx (no pongas tildes en el nombre del fichero porfavor)

El asunto del e-mail debería ser: Prácticas de Matemáticas de GIRME del Alumno AntonioGarcía Mengual del curso 2746-47.

La alumna María Dolores Quintanilla Sáez del curso 1933-34, de la titulación de GIC, debería remitirsus praćticas en un fichero con el nombre:

1933-34-GIC-QuintanillaSaez-MariaDolores.wxmx (no pongas tildes en el nombre del fichero porfavor)

El asunto del e-mail debería ser: Prácticas de Matemáticas de GIC de la Alumna María DoloresQuintanilla Sáez del curso 1933-34.

Planilla por e-mail

Además de darme la planilla rellena debes enviar por e-mail tus respuestas elegidas siguiendo el formatoque te explico. Supongamos que tu número de alumno es el 75, que te llamas Antonio García Mengual yque estás matriculado en Matemáticas, en el curso 2746-47 en la titulación de GIRME. Toma la planillaque me vas a dar en papel, supongamos que es del primer cuatrimestre, y construye el siguiente vector:

alumno75c1:[c1,75,3,4,5,0,1,1,2,...],

esto querrá decir que me mandas la planilla del primer cuatrimestre (primera componente del vector), delalumno 75 (segunda componente) y que las soluciones elegidas son 3 para el primer ejercicio, 4 para elsegundo, 5 para el tercero, que no respondes el cuarto (por eso pones cero), que eliges la 1 en la quintapregunta, 1 en la sexta, 2 en la séptima.....

Si te quieres cerciorar de que lo estás haciendo bien te recomiendo, para evitar errores, que lo comprue-bes con el programa de wxMaxima que os he puesto en el aula virtual en la sección donde están enlazadoslos entregables. Para el segundo cuatrimestre, siguiendo las mismas instrucciones, deberías escribir:

4

alumno75c2:[c2,75,4,1,3,5,0,2,1,2,...],

y para las prácticas:

alumno75pr:[pr,75,5,0,2,1,2,1,6,2,...].

Envía un e-mail por cada uno de los entregables que se han mencionado (primer cuatristre, segun-do cuatrimestre y prácticas) poniendo en el cuerpo del e-mail el vector que hemos descrito y el asunto,cambiando los datos pertinentes por tus datos, debería seguir el siguiente formato: Planilla de Ma-temáticas (del primer cuatrimestre/del segundo cuatrimestre/de prácticas) de GIRME delAlumno Antonio García Mengual del curso 2746-47.

5

Parte I

Ejercicios del segundo cuatrimestre

6

Ejercicio número 1-A1920 de segundo cuatrimestre. Curso 2019-20

Ejercicio número 1-A1920 de segundo cuatrimestre. Curso 2019-20Nombre y apellidos:E-mail:Titulación:Firma:

Observaciones

1 . El ejercicio se debe entregar el día del examen parcial.

2 . Se tiene que entregar por un lado las soluciones del test (primera página del ejercicio) y por otrolado el enunciado del ejercicio grapado con las soluciones que justifican las soluciones del test.

3 . No te equivoques de tus ejercicios asignados, en caso contrario no se te podrá puntuar el trabajo

Soluciones del test

Pregunta Opción elegida1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6



7 Problemas para entregar. Matemáticas.


para evitar que el punto se ponga en medio

Ejercicios de cálculo diferencial

1 .Dada la función f(x, y) = sen (y + 7x) + e2 y + 7x2 y2 + e12x2 , haz el siguiente cálculo:

d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .

Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 292) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 303) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 28

4) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 245) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 266) 42 sen (y + 7x) + 28x y + 27

2 . Calcula el jacobiano de f(x, y) =[7 y12 + 5x9 + 3, x8 y11 + 2, 7x2 y2

]Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

90x8 032x7 y11 22x8 y1042x y2 28x2 y

2)

90x8 84 y1124x7 y11 11x8 y1014x y2 0

3)

45x8 84 y118x7 y11 11x8 y1014x y2 14x2 y

4)

−135x8 −168 y11−32x7 y11 0−28x y2 −42x2 y

5)

−45x8 −168 y11−24x7 y11 −33x8 y10−42x y2 −14x2 y

6)

45x8 84 y1124x7 y11 33x8 y1014x y2 14x2 y

3 . Calcula el jacobiano de g(x, y, z) = 5x y z + y + 7x


1)(5 y z + 4 5x z 5x y − 3

)2)

(5 y z + 11 5x z + 4 5x y + 1

)3)

(5 y z + 7 5x z + 1 5x y

)4)

(5 y z + 8 5x z + 2 5x y + 1

)5)

(5 y z + 6 5x z − 3 5x y − 1

)6)

(5 y z + 9 5x z + 2 5x y + 3

)4 .

Calcula el plano tangente a la superficie z = g ◦ f(x, y) en el punto A = (1, 1, 1683).Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) z − 1683 = 12395(x− 1) + 18342(y − 1)2) z − 1683 = 12402(x− 1) + 18346(y − 1)3) z − 1683 = 12394(x− 1) + 18341(y − 1)

4) z − 1683 = 12399(x− 1) + 18345(y − 1)5) z − 1683 = 12396(x− 1) + 18342(y − 1)6) z − 1683 = 12398(x− 1) + 18344(y − 1)

5 . Encuentra los extremos relativos de la función f(x, y, z) definida por la fórmula:√z2 − 10 z + y2 − 14 y + x2 − 14x+ 123 log

(z2 − 10 z + y2 − 14 y + x2 − 14x+ 172

)Justifica si éstos extremos relativos son absolutos.Elige tu solución correcta entre las siguientes:



1) La función presenta un mínimo absolutoen el punto (x, y, z) =

(5 5 3

)2) La función presenta un mínimo absoluto

en el punto (x, y, z) =(10 10 8


en el punto (x, y, z) =(7 7 5

)


(12 12 10


en el punto (x, y, z) =(1 1 −1


en el punto (x, y, z) =(14 14 12

)6 . Encuentra los extremos relativos de la función

g(x, y, z) =1

z2 − 24 z + y2 − 14 y + x2 − 28x+ 438

Justifica si éstos extremos relativos son absolutos.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) La función presenta un máximo absolutoen el punto (x, y, z) =

(12 5 10

)2) La función presenta un máximo absoluto

en el punto (x, y, z) =(14 7 12



)


(19 12 17




en el punto (x, y, z) =(21 14 19

)7 .

Calcula la matriz hessiana de la función f(x, y, z) = (y − 1) (z − 2) + (y − 4)4 + x2.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

2 2 02 12 (y − 4)2 40 4 0

2)

2 3 03 12 (y − 4)2 20 2 0

3)

2 0 00 12 (y − 4)2 10 1 0

4)

2 1 01 12 (y − 4)2 20 2 0

5)

2 1 01 12 (y − 4)2 30 3 0

6)

2 2 02 12 (y − 4)2 20 2 0

8 .

De los paralepípedos (entendemos que todas las aristas que intersecan en un vértice lo hacencon un ángulo de 90 grados) cuyas aristas suman la longitud 668 encuentra el que tiene mayorvolumen.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Cubo de arista 16432) Cubo de arista 1673



9 .De todos los tríos de números reales cuyos cuadrados suman 456 encuentra los que maximizano minimizan la suma de sus cubos.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Los máximos absolutos son(0 0 2

√114

),(0 2

√114 0

)y(2√114 0 0

)y los míni-

mos absolutos son(0 0 −2

√114

),(0 −2

√114 0

)y(−2

√114 0 0

).

2) Los máximos absolutos son(0 0

√465

),(0

√465 0

)y(√

465 0 0)

y los mínimosabsolutos son

(0 0 −

√465

),(0 −

√465 0

)y(−√465 0 0

).


√19),(0 5

√19 0

)y(5√19 0 0

)y los mínimos

absolutos son(0 0 −5

√19),(0 −5

√19 0

)y(−5

√19 0 0

).




√53),(0 3

√53 0

)y(3√53 0 0

)y los mínimos


√53),(0 −3

√53 0

)y(−3

√53 0 0

).


√30),(0 4

√30 0

)y(4√30 0 0

)y los mínimos


√30),(0 −4

√30 0

)y(−4

√30 0 0

).


√485

),(0

√485 0

)y(√

485 0 0)


(0 0 −

√485

),(0 −

√485 0

)y(−√485 0 0

).

10 .Consideramos en este ejercicio el punto P = [−21, 448] y el recinto Ω = {(x, y) : (y − 7)2 +(x+ 21)2 ≤ 440, y ≥ 0}. Calcula los puntos de Ω que están a mayor y menor distancia de P.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) El punto más cercano es [−21.0, 27.97617696340303] y los más lejanos [−1.22628006671481, 0.0]y [−40.77371993328519, 0.0].






11 .Se pide encontrar los puntos más cercanos y más lejanos de la esfera (z − 20)2 + (y − 15)2 +(x− 8)2 = 49 al origen de coordenadas.Indicación: cuando resuelvas el sistema de ecuaciones resultante de igualar las parciales de lalagrangiana a 0 te recomiendo que saques factor común 2x, 2y o 2z según proceda. Una vezhecho eso y dividiendo unas ecuaciones por otras obtendrás que los cocientes xy ,

xz y

xy son

constantes y te permiten expresar a z e y como múltiplos de x. Introduce esos valores en lacondición y obtendrás las soluciones del sistema.Observación: en las posibles soluciones siguientes Pl denota el punto más lejano y Pc el máscercano.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Pl = [10.1534, 19.0202, 25.3536] y Pc = [5.8866, 11.0198, 14.6864]2) Pl = [10.1334, 19.0002, 25.3336] y Pc = [5.8666, 10.9998, 14.6664]3) Pl = [10.1834, 19.0502, 25.3836] y Pc = [5.9166, 11.0498, 14.7164]4) Pl = [10.1034, 18.9702, 25.3036] y Pc = [5.8366, 10.9698, 14.6364]5) Pl = [10.1234, 18.9902, 25.3236] y Pc = [5.8566, 10.9898, 14.6564]6) Pl = [10.1434, 19.0102, 25.3436] y Pc = [5.8766, 11.0098, 14.6764]

12 .

Sea f(x, y, z) =[20 z + 15 y2 + 8x2, z+20

8 y2+8x2+1

]. Calcula Jf(0, 0, 0).


1)(0 0 200 0 1

)2)

(0 0 204 2 5

) 3)(

0 0 20−4 −4 −1

)4)

(0 0 201 2 2

) 5)(

0 0 20−2 −3 −2

)6)

(0 0 202 3 5

)



13 .

Sea g(x, y) =[

8xy+1 ,

8 yx+1 , 15 y + 20x

]. Calcula Jg(0, 20).


1)

−3421 −3−162 620 15

2)

5021 3−157 1220 15

3)

−3421 −4−161 720 15

4)

2921 2−156 1220 15

5)

−3421 −2−162 420 15

6)

821 0−160 820 15

14 .

Calcula Jg ◦ f(0, 0, 0).Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

0 0 11821−1 0 −31940 0 411

2)

0 0 202211 0 −31880 0 417

3)

0 0 160210 0 −31920 0 415

4)

0 0 181211 0 −31910 0 418

5)

0 0 13921−1 0 −31940 0 411

6)

0 0 202211 0 −31910 0 416

15 .

Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = h(x, y) en el punto [1, 1, h (1, 1)]siendo h(x, y) = 8x log (15x+ 20) y .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) z − 28.4228 = 28.4328 (y − 1) +31.8414 (x− 1)

2) z − 28.4828 = 28.4628 (y − 1) +31.9314 (x− 1)

3) z − 28.5228 = 28.4828 (y − 1) +31.9914 (x− 1)

4) z − 28.4428 = 28.4428 (y − 1) +31.8714 (x− 1)

5) z − 28.3828 = 28.4128 (y − 1) +31.7814 (x− 1)

6) z − 28.4028 = 28.4228 (y − 1) +31.8114 (x− 1)

16 .Dada la función f(x, y) = e24 y2 + 7x2 y2 + e12x2 , haz el siguiente cálculo:

d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .


1) 28x y + 292) 28x y + 323) 28x y + 33

4) 28x y + 285) 28x y + 246) 28x y + 25

17 .En este ejercicio tratamos de investigar cuáles son los puntos más cercanos y lejanos al origensituados en la intersección (compacta) del plano x + y + z = 8 y el cilindro x2 + y2 = 64. Laaplicación del teorema de Wierstrass nos da la existencia de máximos y mínimos absolutos, enconcreto el máximo absoluto es

[−2

52 ,−2

52 , 8

(√2 + 1

)]y los mínimos absolutos son [8, 0, 0] y

[0, 8, 0]. Sin embargo existe otro extremo relativo que se pide calcular y justificar si es máximoo mínimo.Elige tu solución correcta entre las siguientes:



1) [5.6869, 5.6869,−3.2837]2) [5.6969, 5.6969,−3.2737]3) [5.7069, 5.7069,−3.2637]

4) [5.6169, 5.6169,−3.3537]5) [5.6369, 5.6369,−3.3337]6) [5.6569, 5.6569,−3.3137]


Ejercicios de cálculo integral

18 . Calcula la integral ∫∫∫Ωlog z + sen

(y2 + x2

)dxdydz

con Ω = {(x, y, z) : 49 ≤ x2 + y2 ≤ 196, 5 ≤ z ≤ 26}.Ten en cuenta que los argumentos de las funciones trigonométricas se expresan en radianes.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 25709.344776922722) 25694.34477692272

3) 25713.344776922724) 25703.34477692272

5) 25707.344776922726) 25698.34477692272

19 .Calcula el volumen del recinto limitado por z = 19 y por z = y2 + x2.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 559.05747397295762) 576.0574739729576

3) 557.05747397295764) 570.0574739729576

5) 567.05747397295766) 574.0574739729576

20 .La superficie de una copa tiene la expresión z = 8

(y2 + x2

)con una altura de 7 dm. Calcula

las copas de agua que uno debe beber para quedar totalmente hidratado si se necesitan 7.3litros para este fin.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 0.70563455258832812) 0.8194465771993488

3) 0.69045961597352534) 0.7815092356623419

5) 0.75874683074013776) 0.7966841722771446

21 .

En este ejercicio y los siguientes vamos a utilizar el cambio de variable Φ(u, v) =[u

23 v

13 , u

13 v

23

].

Calcula JΦ(u, v).Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

2 v13

3u

23

3 v13

v23

3u23

2u13

3 v13

2)

2 v13

3u

23

3 v13

v23

3u23

2u23

3 v13

3)

2 v13

3u

23

3 v13

v

3u23

2u23

3 v13

4)

2 v13

3u

23

3 v23

v23

3u23

2u13

3 v13

5)

2 v13

3u13

u23

3 v23

v23

3u23

2u13

3 v13

6)

2 v13

3u

23

3 v23

v

3u23

2u23

3 v13

22 .

Calcula el determinante de JΦ(u, v).Elige tu solución correcta entre las siguientes:



1) 22) 13

3) 34) −223

5) 236) 1

23 .Considera el conjunto Ω delimitado por las curvas y = 10x2, y = 7x2, x = 8y2 y x = 14y2

y exprésalo en las coordenadas (u, v) relacionadas con (x, y) mediante (x, y) = Φ(u, v) =[u

23 v

13 , u

13 v

23

].


1)[310 ,

87

]×[314 ,

12

]2)

[25 ,

67

]×

[27 ,

78

] 3) [25 , 97]× [27 , 78]4)

[15 ,

47

]×[17 ,

78

] 5) [ 110 , 17]× [ 114 , 18]6)

[15 , 1

]×[17 ,

12

]24 .

Usando el cambio de variable Φ(u, v) =[u

23 v

13 , u

13 v

23

]calcula la integral∫∫

Ωdxdy

.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) −0.1992346938775512) 0.200765306122449

3) 0.7007653061224494) −0.6992346938775511

5) −0.59923469387755116) 7.653061224489796×10−4

25 . Calcula la integral ∫∫Ω(x2 − 5 y)dxdy,

donde Ω = {(x, y) : −7 ≤ x ≤ 7,−x2 − 7 ≤ y ≤ x2 + 7}.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 16647.133333333332) 16647.43333333333

3) 16647.833333333334) 16646.03333333333

5) 16646.233333333336) 16646.93333333333

26 . Calcula la integral ∫∫Ωe

15 y+8 x15 y+9 xdxdy,

donde Ω es el recinto limitado por los ejes de coordenadas y por la recta 15 y + 9x = 5(indicación: se recomienda hacer un cambio de variable adecuado).Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) −0.061786354856802282) 0.2382136451431977

3) 0.63821364514319784) −0.7617863548568022

5) −0.66178635485680236) −0.5617863548568023

27 .Calcular ∫∫∫

Ω

dxdydz

(x2 + y2 + z2)3/2,

donde Ω es la región limitada por las esferas x2 + y2 + z2 = 82 y x2 + y2 + z2 = 202.Elige tu solución correcta entre las siguientes:



1) 11.514448927233042) 11.71444892723304

3) 12.014448927233044) 10.91444892723304

5) 11.014448927233046) 11.31444892723304

28 . Describe el conjunto Ω = {(x, y, z) : 64 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 225, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0} encoordenadas esféricas y haz un dibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωe = [8, 15]× [π, 2π]×[π2 , π

]2) Ωe = [8, 15]×

[3π2 , π

]×[0, π2

]3) Ωe = [8, 15]×

[3π2 , π

]×[π2 , π

]4) Ωe = [8, 15]× [0, π]×

[π2 , π

]5) Ωe = [8, 15]×

[π, 3π2

]×[π2 , π

]6) Ωe = [8, 15]×

[π, 3π2

]× [0, π]

29 . Describe el conjunto Ω = {(x, y, z) : 64 ≤ x2 + y2 ≤ 225, x ≤ 0, y ≤ 0,−8 ≤ z ≤ 0} encoordenadas cilíndricas y haz un dibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωc = [8, 15]× [0, 2π]× [0, 8]2) Ωc = [8, 15]×

[π2 ,

3π2

]× [0, 8]

3) Ωc = [8, 15]× [π, 2π]× [−8, 0]

4) Ωc = [8, 15]×[0, π2

]× [−8, 0]

5) Ωc = [8, 15]×[π, 3π2

]× [−8, 0]

6) Ωc = [8, 15]× [0, π]× [0, 8]

30 . Describe el conjunto Ω = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 225, y ≥ 152 } en coordenadas polares y haz undibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

152 senϑ ≤ r ≤ 15}

2) Ωp = {(r, θ) : π6 ≤ θ ≤5π6 ,

152 senϑ ≤ r ≤ 15}

3) Ωp = {(r, θ) : π6 ≤ θ ≤5π6 ,

5senϑ ≤ r ≤ 15}

4) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

154 senϑ ≤ r ≤ 15}

5) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π6 ,

52 senϑ ≤ r ≤ 15}

6) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

158 senϑ ≤ r ≤ 15}

31 .Calcula el volumen limitado en el interior del cilindro x2 + y2 = 49 y también de la esferax2 + y2 + z2 = 196 .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 4028.46212) 4028.4721

3) 4028.48214) 4028.4121

5) 4028.44216) 4028.4521

32 .Calcula el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano 7x+7y+5z =245 .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 10004.17672) 10004.1967

3) 10004.16674) 10004.1167

5) 10004.13676) 10004.1567

33 .Calcula la integral

∫∫∫Ω xdxdydz donde Ω es el tetraedro limitado por los planos coordenados

y el plano 7x+ 7y + 5z = 245 .Elige tu solución correcta entre las siguientes:



1) 87536.47832) 87536.4883

3) 87536.45834) 87536.4083

5) 87536.41836) 87536.4683

34 .Calcula el volumen limitado por el cilindro x2 + y2 = 64, el plano z = 0 y por z = 81− x2 .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 13069.05542) 13069.0654

3) 13069.02544) 13068.9754

5) 13068.99546) 13069.0154

35 .Calcula el volumen limitado por el cilindro x2+y2 = 64, el plano z = 0 y por z = −y2−x2+81.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 9852.05462) 9852.0346

3) 9852.08464) 9851.9846

5) 9852.01466) 9852.0446




Observaciones




Soluciones del test








1 .Dada la función f(x, y) = sen (2 y + 7x) + e3 y + 7x2 y2 + e8x2 , haz el siguiente cálculo:

d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .


1) 182 sen (2 y + 7x) + 28x y + 292) 182 sen (2 y + 7x) + 28x y + 313) 182 sen (2 y + 7x) + 28x y + 33


2 . Calcula el jacobiano de f(x, y) =[2 y12 + 6x4 + 3, 2x3 y11 + 2, 2x2 y2


1)

−72x3 0−12x2 y11 −22x3 y10−8x y2 −12x2 y

2)

24x3 24 y1112x2 y11 44x3 y1012x y2 4x2 y

3)

48x3 018x2 y11 66x3 y1012x y2 12x2 y

4)

0 −48 y11−18x2 y11 −44x3 y100 −4x2 y

5)

24x3 24 y116x2 y11 22x3 y104x y2 4x2 y

6)

−72x3 0−24x2 y11 −44x3 y10−8x y2 −8x2 y

3 . Calcula el jacobiano de g(x, y, z) = 6x y z + 2 y + 7x


1)(6 y z + 5 6x z + 1 6x y − 2

)2)

(6 y z + 7 6x z + 2 6x y

)3)

(6 y z + 3 6x z + 1 6x y − 3

)4)

(6 y z + 8 6x z + 3 6x y + 4

)5)

(6 y z + 6 6x z − 1 6x y − 4

)6)

(6 y z + 8 6x z + 6 6x y + 2

)4 .


1) z − 613 = 3180(x− 1) + 5324(y − 1)2) z − 613 = 3183(x− 1) + 5328(y − 1)3) z − 613 = 3176(x− 1) + 5323(y − 1)

4) z − 613 = 3181(x− 1) + 5325(y − 1)5) z − 613 = 3178(x− 1) + 5322(y − 1)6) z − 613 = 3182(x− 1) + 5327(y − 1)


(z2 − 12 z + y2 − 14 y + x2 − 4x+ 93





(0 5 4




en el punto (x, y, z) =(−2 3 2

)


(7 12 11




en el punto (x, y, z) =(9 14 13


g(x, y, z) =1

z2 − 16 z + y2 − 14 y + x2 − 18x+ 198



(7 5 6


en el punto (x, y, z) =(12 10 11



)


(14 12 13




en el punto (x, y, z) =(16 14 15

)7 .


1)

2 2 02 12 (y − 4)2 20 2 0

2)

2 2 02 12 (y − 4)2 30 3 0

3)

2 0 00 12 (y − 4)2 10 1 0

4)

2 1 01 12 (y − 4)2 20 2 0

5)

2 1 01 12 (y − 4)2 30 3 0

6)

2 1 01 12 (y − 4)2 40 4 0

8 .







√1011

),(0

√1011 0

)y(√

1011 0 0)

y los míni-mos absolutos son

(0 0 −

√1011

),(0 −

√1011 0

)y(−√1011 0 0

).


√1019

),(0

√1019 0

)y(√

1019 0 0)

y los míni-mos absolutos son

(0 0 −

√1019

),(0 −

√1019 0

)y(−√1019 0 0

).


√251

),(0 2

√251 0

)y(2√251 0 0

)y los míni-


√251

),(0 −2

√251 0

)y(−2

√251 0 0

).




√255

),(0 2

√255 0

)y(2√255 0 0

)y los míni-


√255

),(0 −2

√255 0

)y(−2

√255 0 0

).


),(0 32 0

)y(32 0 0

)y los mínimos absolutos

son(0 0 −32

),(0 −32 0

)y(−32 0 0

).


√21),(0 7

√21 0

)y(7√21 0 0

)y los mínimos


√21),(0 −7

√21 0

)y(−7

√21 0 0

).









xz y

xy son



12 .

Sea f(x, y, z) =[16 z + 10 y2 + 3x2, z+16

3 y2+3x2+1

]. Calcula Jf(0, 0, 0).


1)(

0 0 16−2 −3 −1

)2)

(0 0 162 3 4

) 3)(

0 0 16−4 −4 −2

)4)

(0 0 160 0 1

) 5)(

0 0 16−1 −3 −1

)6)

(0 0 162 3 2

)



13 .

Sea g(x, y) =[

3xy+1 ,

3 yx+1 , 10 y + 16x



1)

317 0−48 316 10

2)

5417 4−44 716 10

3)

−6517 −2−52 216 10

4)

2017 1−44 716 10

5)

−3117 −1−49 −116 10

6)

3717 2−44 616 10

14 .


1)

0 0 1417−1 0 −7690 0 262

2)

0 0 116171 0 −7620 0 268

3)

0 0 48170 0 −7650 0 266

4)

0 0 65171 0 −7620 0 268

5)

0 0 3117−1 0 −7690 0 265

6)

0 0 82171 0 −7640 0 267

15 .


1) z − 9.8043 = 9.7843 (y − 1) +10.9581 (x− 1)

2) z − 9.8943 = 9.8143 (y − 1) +11.0481 (x− 1)

3) z − 9.9243 = 9.8243 (y − 1) +11.0781 (x− 1)

4) z − 9.6243 = 9.7243 (y − 1) +10.7781 (x− 1)

5) z − 9.6543 = 9.7343 (y − 1) +10.8081 (x− 1)

6) z − 9.7743 = 9.7743 (y − 1) +10.9281 (x− 1)


d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .


1) 28x y + 292) 28x y + 283) 28x y + 31

4) 28x y + 235) 28x y + 256) 28x y + 27


[− 3√

2,− 3√

2, 3

(√2 + 1





1) [2.1413, 2.1413,−1.2226]2) [2.1613, 2.1613,−1.2026]3) [2.1713, 2.1713,−1.1926]

4) [2.1013, 2.1013,−1.2626]5) [2.1113, 2.1113,−1.2526]6) [2.1213, 2.1213,−1.2426]



18 . Calcula la integral ∫∫∫Ω2 log z + sen

(y2 + x2

)dxdydz


1) 12733.837606115342) 12736.83760611534

3) 12719.837606115344) 12730.83760611534

5) 12729.837606115346) 12726.83760611534

19 .Calcula el volumen del recinto limitado por z = 15 y por z = 2 y2 + 2x2.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 169.71458676442582) 184.7145867644258

3) 165.71458676442584) 180.7145867644258

5) 176.71458676442586) 182.7145867644258


(y2 + x2



1) 4.4108200928487872) 5.169670861510944

3) 4.2685355737246334) 4.93252999630402

5) 4.7428173041384816) 5.02738634238679

21 .


23 v

13 , u

13 v

23

].


1)

2 v13

3u

23

3 v13

v23

3u23

2u13

3 v13

2)

2u13 v

13

3u

23

3 v13

v23

3u23

2u13

3 v13

3)

2 v13

3u13

u23

3 v23

v23

3u23

2u13

3 v13

4)

2 v13

3u

23

3 v23

v23

3u23

2u13

3 v13

5)

2 v13

3u

23

3 v23

v23

3u23

2u23

3 v13

6)

2 v13

3u

23

3 v23

v

3u23

2u23

3 v13

22 .




1) 0

2) 1

3) 134) −223

5) −236) −13



23 v

13 , u

13 v

23

].


1)[65 , 3

]×[37 ,

118

]2)

[65 , 4

]×[37 ,

118

] 3) [65 , 5]× [37 , 78]4)

[25 , 1

]×[17 ,

14

] 5) [25 , 72]× [17 , 78]6)

[15 ,

12

]×[114 ,

18

]24 .


23 v

13 , u

13 v

23


Ωdxdy


1) 0.10535714285714282) 0.7053571428571429

3) 0.90535714285714294) −0.6946428571428572

5) −0.49464285714285716) 0.005357142857142857



1) 3063.2999999999992) 3063.799999999999

3) 3064.44) 3062.7

5) 3063.66) 3063.1


10 y+3 x10 y+4 xdxdy,


1) 0.98230726132346662) 1.282307261323466

3) 1.6823072613234664) 0.1823072613234665

5) 1.0823072613234666) 0.7823072613234665


Ω

dxdydz

(x2 + y2 + z2)3/2,




1) 21.135808263964822) 21.23580826396482

3) 21.035808263964824) 20.43580826396482

5) 20.635808263964826) 20.93580826396482


1) Ωe = [3, 10]×[π, 3π2

]×[π2 , π

]2) Ωe = [3, 10]×

[3π2 , π

]×[0, π2

]3) Ωe = [3, 10]×

[3π2 , π

]×[π2 , π

]4) Ωe = [3, 10]× [0, π]×

[π2 , π

]5) Ωe = [3, 10]×

[π, 3π2

]×[0, π2

]6) Ωe = [3, 10]×

[π, 3π2

]× [0, π]

29 . Describe el conjunto Ω = {(x, y, z) : 9 ≤ x2 + y2 ≤ 100, x ≤ 0, y ≤ 0,−3 ≤ z ≤ 0} encoordenadas cilíndricas y haz un dibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωc = [3, 10]× [0, 2π]× [0, 3]2) Ωc = [3, 10]×

[π, 3π2

]× [−3, 0]

3) Ωc = [3, 10]× [π, 2π]× [−3, 0]

4) Ωc = [3, 10]×[0, π2

]× [−3, 0]

5) Ωc = [3, 10]× [0, π]× [−3, 0]6) Ωc = [3, 10]× [0, π]× [0, 3]

30 . Describe el conjunto Ω = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 100, y ≥ 5} en coordenadas polares y haz undibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

5senϑ ≤ r ≤ 10}

2) Ωp = {(r, θ) : π4 ≤ θ ≤5π4 ,

5senϑ ≤ r ≤ 10}

3) Ωp = {(r, θ) : π6 ≤ θ ≤5π6 ,

5senϑ ≤ r ≤ 10}

4) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

52 senϑ ≤ r ≤ 10}

5) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π6 ,

53 senϑ ≤ r ≤ 10}

6) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

54 senϑ ≤ r ≤ 10}


1) 223.38872) 223.3787

3) 223.41874) 223.3387

5) 223.34876) 223.3587

32 .Calcula el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano 2x+7y+6z = 84.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 1176.012) 1176.02

3) 1176.034) 1176.0

5) 1175.976) 1175.98






1) 12348.032) 12348.04

3) 12348.054) 12348.0

5) 12347.996) 12348.02


1) 388.77212) 388.8021

3) 388.82214) 388.7421

5) 388.76216) 388.7821


1) 325.14482) 325.1648

3) 325.20484) 325.1148

5) 325.12486) 325.1548




Observaciones




Soluciones del test









d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .




2 . Calcula el jacobiano de f(x, y) =[2 y12 + 3x4 + 3, 3x3 y11 + 2, 2x2 y2


1)

24x3 018x2 y11 33x3 y104x y2 0

2)

24x3 24 y1127x2 y11 33x3 y100 8x2 y

3)

36x3 09x2 y11 66x3 y1012x y2 4x2 y

4)

0 09x2 y11 66x3 y100 8x2 y

5)

0 −72 y11−27x2 y11 −66x3 y10−8x y2 −12x2 y

6)

12x3 24 y119x2 y11 33x3 y104x y2 4x2 y



1)(3 y z + 4 3x z 3x y − 1

)2)

(3 y z + 10 3x z + 7 3x y + 4

)3)

(3 y z + 3 3x z + 1 3x y − 4

)4)

(3 y z + 9 3x z + 4 3x y + 3

)5)

(3 y z + 5 3x z − 1 3x y − 3

)6)

(3 y z + 7 3x z + 3 3x y

)4 .


1) z − 311 = 1380(x− 1) + 3049(y − 1)2) z − 311 = 1386(x− 1) + 3055(y − 1)3) z − 311 = 1383(x− 1) + 3051(y − 1)

4) z − 311 = 1384(x− 1) + 3053(y − 1)5) z − 311 = 1382(x− 1) + 3047(y − 1)6) z − 311 = 1385(x− 1) + 3052(y − 1)


(z2 − 6 z + y2 − 14 y + x2 − 4x+ 66





(0 5 1




en el punto (x, y, z) =(−2 3 −1

)


(7 12 8


en el punto (x, y, z) =(−4 1 −3




g(x, y, z) =1

z2 − 10 z + y2 − 14 y + x2 − 18x+ 159



(7 5 3


en el punto (x, y, z) =(12 10 8



)


(14 12 10


en el punto (x, y, z) =(3 1 −1



)7 .


1)

2 3 03 12 (y − 4)2 20 2 0

2)

2 0 00 12 (y − 4)2 10 1 0

3)

2 3 03 12 (y − 4)2 40 4 0

4)

2 1 01 12 (y − 4)2 20 2 0

5)

2 2 02 12 (y − 4)2 20 2 0

6)

2 2 02 12 (y − 4)2 30 3 0

8 .







√57),(0 4

√57 0

)y(4√57 0 0

)y los mínimos


√57),(0 −4

√57 0

)y(−4

√57 0 0

).


√227

),(0 2

√227 0

)y(2√227 0 0

)y los míni-


√227

),(0 −2

√227 0

)y(−2

√227 0 0

).


√921

),(0

√921 0

)y(√

921 0 0)


(0 0 −

√921

),(0 −

√921 0

)y(−√921 0 0

).




√922

),(0

√922 0

)y(√

922 0 0)


(0 0 −

√922

),(0 −

√922 0

)y(−√922 0 0

).


√231

),(0 2

√231 0

)y(2√231 0 0

)y los míni-


√231

),(0 −2

√231 0

)y(−2

√231 0 0

).


√103

),(0 3

√103 0

)y(3√103 0 0

)y los míni-


√103

),(0 −3

√103 0

)y(−3

√103 0 0

).









xz y

xy son



12 .

Sea f(x, y, z) =[13 z + 10 y2 + 3x2, z+13

3 y2+3x2+1

]. Calcula Jf(0, 0, 0).


1)(

0 0 13−3 −3 −3

)2)

(0 0 134 4 3

) 3)(

0 0 13−4 −4 −3

)4)

(0 0 131 4 3

) 5)(

0 0 13−3 −1 0

)6)

(0 0 130 0 1

)



13 .

Sea g(x, y) =[

3xy+1 ,

3 yx+1 , 10 y + 13x



1)

−5314 −2−43 −113 10

2)

5914 3−36 513 10

3)

−5314 −3−42 013 10

4)

314 0−39 313 10

5)

−3914 −2−40 113 10

6)

5914 1−35 413 10

14 .


1)

0 0 1114−1 0 −5080 0 177

2)

0 0 81141 0 −5030 0 183

3)

0 0 − 314−1 0 −5060 0 177

4)

0 0 53141 0 −5030 0 183

5)

0 0 1114−1 0 −5050 0 175

6)

0 0 39140 0 −5040 0 179

15 .


1) z − 9.4365 = 9.4365 (y − 1) +10.7208 (x− 1)

2) z − 9.5265 = 9.5265 (y − 1) +10.7508 (x− 1)

3) z − 9.5565 = 9.5565 (y − 1) +10.7608 (x− 1)

4) z − 9.4065 = 9.4065 (y − 1) +10.7108 (x− 1)

5) z − 9.2865 = 9.2865 (y − 1) +10.6708 (x− 1)

6) z − 9.3765 = 9.3765 (y − 1) +10.7008 (x− 1)


d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .


1) 28x y + 292) 28x y + 323) 28x y + 28

4) 28x y + 245) 28x y + 266) 28x y + 27


[− 3√

2,− 3√

2, 3

(√2 + 1





1) [2.1213, 2.1213,−1.2426]2) [2.1613, 2.1613,−1.2026]3) [2.1713, 2.1713,−1.1926]

4) [2.0713, 2.0713,−1.2926]5) [2.0813, 2.0813,−1.2826]6) [2.0913, 2.0913,−1.2726]



18 . Calcula la integral ∫∫∫Ω3 log z + sen

(y2 + x2

)dxdydz


1) 16393.556211178892) 16381.55621117889

3) 16388.556211178894) 16387.55621117889

5) 16390.556211178896) 16392.55621117889

19 .Calcula el volumen del recinto limitado por z = 12 y por z = 3 y2 + 3x2.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 66.398223686155042) 85.39822368615504

3) 64.398223686155044) 78.39822368615504

5) 75.398223686155046) 83.39822368615504


(y2 + x2



1) 5.4606060974829292) 6.331979410911056

3) 5.2282398805687614) 5.867246977082721

5) 5.809155422854186) 6.099613193996888

21 .


23 v

13 , u

13 v

23

].


1)

2 v13

3u

23

3 v23

v

3u23

2u23

3 v13

2)

2 v13

3u

23

3 v13

v23

3u23

2u13

3 v13

3)

2u13 v

13

3u

23

3 v13

v

3u23

2u23

3 v13

4)

2 v13

3u13

u23

3 v23

v23

3u23

2u13

3 v13

5)

2 v13

3u

23

3 v23

v23

3u23

2u23

3 v13

6)

2 v13

3u

23

3 v23

v

3u23

2u13

3 v13

22 .




1) 532) 13

3) 34) −73

5) −536) −23



23 v

13 , u

13 v

23

].


1)[35 ,

32

]×

[314 , 1

]2)

[35 , 4

]×[314 ,

78

] 3) [15 , 12]× [ 114 , 18]4)

[25 ,

32

]×[17 ,

14

] 5) [25 , 52]× [17 , 14]6)

[25 ,

72

]×[17 ,

12

]24 .


23 v

13 , u

13 v

23


Ωdxdy


1) 0.20535714285714282) 0.005357142857142857

3) 0.90535714285714294) −0.8946428571428572

5) −0.39464285714285726) 0.1053571428571428



1) 5426.82) 5426.900000000001

3) 5427.04) 5425.200000000001

5) 5425.7000000000016) 5426.1


10 y+3 x10 y+4 xdxdy,


1) 0.17057681533086662) 0.3705768153308666

3) 0.87057681533086674) 0.2705768153308666

5) −0.32942318466913346) −0.0294231846691334


Ω

dxdydz

(x2 + y2 + z2)3/2,




1) 18.026535052031282) 18.72653505203128

3) 19.226535052031284) 17.62653505203128

5) 17.826535052031286) 18.42653505203128


1) Ωe = [3, 10]× [π, 2π]×[π2 , π

]2) Ωe = [3, 10]×

[3π2 , π

]×[0, π2

]3) Ωe = [3, 10]×

[3π2 , π

]×[π2 , π

]4) Ωe = [3, 10]× [0, π]×

[π2 , π

]5) Ωe = [3, 10]×

[π, 3π2

]×[0, π2

]6) Ωe = [3, 10]×

[π, 3π2

]×[π2 , π

]29 . Describe el conjunto Ω = {(x, y, z) : 9 ≤ x2 + y2 ≤ 100, x ≤ 0, y ≤ 0,−3 ≤ z ≤ 0} en

coordenadas cilíndricas y haz un dibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωc = [3, 10]× [0, 2π]× [0, 3]2) Ωc = [3, 10]×

[π, 3π2

]× [−3, 0]

3) Ωc = [3, 10]× [π, 2π]× [−3, 0]

4) Ωc = [3, 10]×[0, π2

]× [−3, 0]

5) Ωc = [3, 10]× [0, π]× [−3, 0]6) Ωc = [3, 10]× [0, π]× [0, 3]

30 . Describe el conjunto Ω = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 100, y ≥ 5} en coordenadas polares y haz undibujo de él .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) Ωp = {(r, θ) : π6 ≤ θ ≤5π6 ,

5senϑ ≤ r ≤ 10}

2) Ωp = {(r, θ) : π4 ≤ θ ≤5π4 ,

5senϑ ≤ r ≤ 10}

3) Ωp = {(r, θ) : π6 ≤ θ ≤5π6 ,

103 senϑ ≤ r ≤ 10}

4) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

52 senϑ ≤ r ≤ 10}

5) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π6 ,

53 senϑ ≤ r ≤ 10}

6) Ωp = {(r, θ) : π3 ≤ θ ≤5π3 ,

54 senϑ ≤ r ≤ 10}


1) 223.37872) 223.3987

3) 223.42874) 223.3287

5) 223.34876) 223.3587

32 .Calcula el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano 2x+7y+3z = 42.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 293.992) 294.04

3) 294.054) 293.95

5) 294.06) 293.98






1) 1543.512) 1543.52

3) 1543.54) 1543.45

5) 1543.476) 1543.48


1) 388.77212) 388.8021

3) 388.82214) 388.7221

5) 388.73216) 388.7421


1) 325.13482) 325.1448

3) 325.16484) 325.1048

5) 325.15486) 325.1248




Observaciones




Soluciones del test









d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .




2 . Calcula el jacobiano de f(x, y) =[y11 + 6x3 + 3, 4x2 y10 + 2, x2 y2


1)

−54x2 0−16x y10 −80x2 y9−6x y2 −4x2 y

2)

−18x2 −22 y10−24x y10 −40x2 y9−2x y2 −2x2 y

3)

18x2 11 y108x y10 40x2 y92x y2 2x2 y

4)

0 −11 y10−8x y10 0−4x y2 0

5)

0 22 y1024x y10 80x2 y92x y2 0

6)

0 33 y108x y10 40x2 y94x y2 4x2 y



1)(6 y z + 4 6x z + 1 6x y − 1

)2)

(6 y z + 10 6x z + 8 6x y + 1

)3)

(6 y z + 3 6x z + 2 6x y − 4

)4)

(6 y z + 8 6x z + 5 6x y + 4

)5)

(6 y z + 7 6x z + 4 6x y

)6)

(6 y z + 10 6x z + 5 6x y + 2

)4 .


1) z − 454 = 2004(x− 1) + 3749(y − 1)2) z − 454 = 2010(x− 1) + 3754(y − 1)3) z − 454 = 2002(x− 1) + 3751(y − 1)

4) z − 454 = 2006(x− 1) + 3753(y − 1)5) z − 454 = 2005(x− 1) + 3749(y − 1)6) z − 454 = 2008(x− 1) + 3756(y − 1)


(z2 − 12 z + y2 − 12 y + x2 − 2x+ 74





(−1 4 4





)


(6 11 11




en el punto (x, y, z) =(8 13 13


g(x, y, z) =1

z2 − 14 z + y2 − 12 y + x2 − 14x+ 135



(5 4 5


en el punto (x, y, z) =(10 9 10



)


(7 6 7




en el punto (x, y, z) =(14 13 14

)7 .


1)

2 0 00 12 (y − 4)2 10 1 0

2)

2 3 03 12 (y − 4)2 20 2 0

3)

2 3 03 12 (y − 4)2 30 3 0

4)

2 1 01 12 (y − 4)2 30 3 0

5)

2 1 01 12 (y − 4)2 40 4 0

6)

2 2 02 12 (y − 4)2 20 2 0

8 .







√3),(0 4

√3 0

)y(4√3 0 0

)y los mínimos


√3),(0 −4

√3 0

)y(−4

√3 0 0

).


√57),(0

√57 0

)y(√

57 0 0)

y los mínimos ab-solutos son

(0 0 −

√57),(0 −

√57 0

)y(−√57 0 0

).


√67),(0

√67 0

)y(√

67 0 0)


(0 0 −

√67),(0 −

√67 0

)y(−√67 0 0

).




√17),(0 2

√17 0

)y(2√17 0 0

)y los mínimos


√17),(0 −2

√17 0

)y(−2

√17 0 0

).


√10),(0 2

√10 0

)y(2√10 0 0

)y los mínimos


√10),(0 −2

√10 0

)y(−2

√10 0 0

).


√74),(0

√74 0

)y(√

74 0 0)


(0 0 −

√74),(0 −

√74 0

)y(−√74 0 0

).









xz y

xy son



12 .

Sea f(x, y, z) =[14 z + 8 y2 + 2x2, z+14

2 y2+2x2+1

]. Calcula Jf(0, 0, 0).


1)(

0 0 14−3 −3 0

)2)

(0 0 144 3 2

) 3)(

0 0 14−4 −3 −3

)4)

(0 0 140 0 1

) 5)(

0 0 14−1 −4 −3

)6)

(0 0 142 2 5

)



13 .

Sea g(x, y) =[

2xy+1 ,

2 yx+1 , 8 y + 14x



1)

215 0−28 214 8

2)

6215 1−24 314 8

3)

−5815 −3−30 114 8

4)

1715 2−27 414 8

5)

−2815 −2−30 014 8

6)

4715 2−24 314 8

14 .


1)

0 0 −1715−1 0 −3930 0 203

2)

0 0 73151 0 −3870 0 206

3)

0 0 −3215−1 0 −3920 0 200

4)

0 0 43151 0 −3880 0 207

5)

0 0 28150 0 −3900 0 204

6)

0 0 58151 0 −3890 0 208

15 .


1) z − 6.1921 = 6.2121 (y − 1) +6.9394 (x− 1)

2) z − 6.2021 = 6.2421 (y − 1) +6.9694 (x− 1)

3) z − 6.2321 = 6.3321 (y − 1) +7.0594 (x− 1)

4) z − 6.1821 = 6.1821 (y − 1) +6.9094 (x− 1)

5) z − 6.1421 = 6.0621 (y − 1) +6.7894 (x− 1)

6) z − 6.1621 = 6.1221 (y − 1) +6.8494 (x− 1)


d4

d x2 d y2f (x, y) +

d2

d x d yf (x, y) .


1) 24x y + 262) 24x y + 243) 24x y + 28

4) 24x y + 205) 24x y + 236) 24x y + 25

17 .En este ejercicio tratamos de investigar cuáles son los puntos más cercanos y lejanos al origensituados en la intersección (compacta) del plano x + y + z = 2 y el cilindro x2 + y2 = 4. Laaplicación del teorema de Wierstrass nos da la existencia de máximos y mínimos absolutos, enconcreto

gabriel soler lópez 28 de septiembre de...

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