gabriel soler lópez 28 de septiembre de...

Problemas entregables de Matemáticas

Gabriel Soler López

28 de septiembre de 2019

Índice general

1. Observaciones 4

I Ejercicios de prácticas 6Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Ejercicio 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Ejercicio 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Ejercicio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Ejercicio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Ejercicio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Ejercicio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Ejercicio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Ejercicio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Ejercicio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Ejercicio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Ejercicio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Ejercicio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Ejercicio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Ejercicio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Ejercicio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Ejercicio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Ejercicio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Ejercicio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Ejercicio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Ejercicio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Ejercicio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Ejercicio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Ejercicio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Ejercicio 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Ejercicio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

2

ÍNDICE GENERAL 3

Ejercicio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Ejercicio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Ejercicio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459Ejercicio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Ejercicio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Ejercicio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Ejercicio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Ejercicio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514Ejercicio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525Ejercicio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Ejercicio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Ejercicio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558Ejercicio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569Ejercicio 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580Ejercicio 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591Ejercicio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602Ejercicio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613Ejercicio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Ejercicio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Ejercicio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Ejercicio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657Ejercicio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668Ejercicio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679Ejercicio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690Ejercicio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701Ejercicio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712Ejercicio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723Ejercicio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734Ejercicio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Ejercicio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756Ejercicio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Ejercicio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778Ejercicio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789Ejercicio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800Ejercicio 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811Ejercicio 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822Ejercicio 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833Ejercicio 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844Ejercicio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855Ejercicio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866Ejercicio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877Ejercicio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888Ejercicio 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899Ejercicio 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910Ejercicio 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921Ejercicio 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932Ejercicio 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943Ejercicio 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954Ejercicio 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965Ejercicio 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976Ejercicio 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

Capítulo 1

Observaciones

Debes tener en cuenta las observaciones que se hacen aquí para entregar los trabajos que se proponenaquí. Básicamente los ejercicios del primer y segundo cuatrimestre se deben resolver a mano en hojas queel alumno debe entregar el día del primer parcial, segundo parcial o examen final. Debes grapar todasestas hojas y en otra hoja suelta debe ir rellena la planilla de soluciones. No hace falta que me entreguéislos enunciados de los ejercicios, os los podéis quedar vosotros porque yo los tengo.

De las prácticas se debe entregar la planilla y debes remitir por e-mail al profesor el fichero wxmx enel que has hecho los cálculos lo más ordenado posible. El e-mail debe ir remitido a [email protected],con el fichero adjunto. En el asunto del e-mail debes poner Prácticas de Matematicas de la titulación (ponGIC o GIRME) del alumno/a (pon tu nombre) del curso (pon el curso/año). En cuanto al fichero, sunombre debe ser Curso-Titulacion-Apellidos-Nombre.wxmx.

Por ejemplo, el alumno Antonio García Mengual del curso 2746-47, de la titulación de GIRME, deberíaremitir sus praćticas en un fichero con el nombre:

2746-47-GIRME-GarciaMengual-Antonio.wxmx (no pongas tildes en el nombre del fichero porfavor)

El asunto del e-mail debería ser: Prácticas de Matemáticas de GIRME del Alumno AntonioGarcía Mengual del curso 2746-47.

La alumna María Dolores Quintanilla Sáez del curso 1933-34, de la titulación de GIC, debería remitirsus praćticas en un fichero con el nombre:

1933-34-GIC-QuintanillaSaez-MariaDolores.wxmx (no pongas tildes en el nombre del fichero porfavor)

El asunto del e-mail debería ser: Prácticas de Matemáticas de GIC de la Alumna María DoloresQuintanilla Sáez del curso 1933-34.

Planilla por e-mail

Además de darme la planilla rellena debes enviar por e-mail tus respuestas elegidas siguiendo el formatoque te explico. Supongamos que tu número de alumno es el 75, que te llamas Antonio García Mengual yque estás matriculado en Matemáticas, en el curso 2746-47 en la titulación de GIRME. Toma la planillaque me vas a dar en papel, supongamos que es del primer cuatrimestre, y construye el siguiente vector:

alumno75c1:[c1,75,3,4,5,0,1,1,2,...],

esto querrá decir que me mandas la planilla del primer cuatrimestre (primera componente del vector), delalumno 75 (segunda componente) y que las soluciones elegidas son 3 para el primer ejercicio, 4 para elsegundo, 5 para el tercero, que no respondes el cuarto (por eso pones cero), que eliges la 1 en la quintapregunta, 1 en la sexta, 2 en la séptima.....

Si te quieres cerciorar de que lo estás haciendo bien te recomiendo, para evitar errores, que lo comprue-bes con el programa de wxMaxima que os he puesto en el aula virtual en la sección donde están enlazadoslos entregables. Para el segundo cuatrimestre, siguiendo las mismas instrucciones, deberías escribir:

4

alumno75c2:[c2,75,4,1,3,5,0,2,1,2,...],

y para las prácticas:

alumno75pr:[pr,75,5,0,2,1,2,1,6,2,...].

Envía un e-mail por cada uno de los entregables que se han mencionado (primer cuatristre, segun-do cuatrimestre y prácticas) poniendo en el cuerpo del e-mail el vector que hemos descrito y el asunto,cambiando los datos pertinentes por tus datos, debería seguir el siguiente formato: Planilla de Ma-temáticas (del primer cuatrimestre/del segundo cuatrimestre/de prácticas) de GIRME delAlumno Antonio García Mengual del curso 2746-47.

5

Parte I

Ejercicios de prácticas

6

Ejercicio número 1-A1920 de prácticas. Curso 2019-20

Ejercicio número 1-A1920 de prácticas. Curso 2019-20Nombre y apellidos:E-mail:Titulación:Firma:

Observaciones

1 . El ejercicio se debe entregar el día del examen parcial.

2 . Se tiene que entregar por un lado las soluciones del test (primera página del ejercicio) y por otrolado el enunciado del ejercicio grapado con las soluciones que justifican las soluciones del test.

3 . No te equivoques de tus ejercicios asignados, en caso contrario no se te podrá puntuar el trabajo

Soluciones del test

Pregunta Opción elegida1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6

Pregunta Opción elegida31 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 67 Problemas para entregar. Matemáticas.



8 Problemas para entregar. Matemáticas.


para evitar que el punto se ponga en medio

Introducción a wxMaxima

1 .Factoriza el polinomio p(x) = x10−43x9+795x8−8263x7+53053x6−218205x5+578921x4−976325x3 + 1002246x2 − 566636x+ 134456Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 12)3 (x− 6)2 (x− 4)2 (x+ 1)3

2) (x− 11)2 (x− 9)3 (x− 8)3 (x− 6)2

3) (x− 12)3 (x− 7)2 (x− 4)2 (x+ 3)3

4) (x− 13)2 (x− 8)6 (x− 3)2

5) (x− 10)3 (x− 4)2 (x− 3)2 (x+ 4)3

6) (x− 7)5 (x− 2)3 (x− 1)2

2 . Calcula la suma de los números impares comprendidos entre 1 y 6861Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 117717572) 11771766

3) 117717554) 11771761

5) 117717596) 11771764

3 .Suma los múltiplos de 6 comprendidos entre 1 y 43Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 1682) 162

3) 1754) 167

5) 1706) 164

4 .Calcula, mediante un bucle for, la suma siguiente:

∑21n=1

1n14

.Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 1.5000612481350582) 0.4000612481350585

3) 1.7000612481350584) 1.000061248135058

5) 1.2000612481350586) 0.7000612481350586

5 .Calcula el número de números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extremos)Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 18 2) 13 3) 20 4) 11 5) 16 6) 9

6 .Calcula la suma de los números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extre-mos)Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 27482) 2743

3) 27504) 2742

5) 27456) 2739


Álgebra lineal



Considera en los siguientes ejercicios las bases

βP = {[0, 0, 0, 8] , [−1, 7, 5, 0] , [0, 1, 7, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[8, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 8]},

los vectores u = [1, 7, 7, 50]βR , v = [7, 1, 2,−1]βP , w = [0, 1,−1, 7]βQ y la aplicación lineal

f : R4 → R4 definida por: MβP βP (f) =

0 0 0 0

352 −7 −1 0−2408 54 14 −1−15096 351 93 −7

.7 . Calcula la matriz MβP βQ

Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

0 18 0

18

0 0 8 −81 0 −56 577 1 −352 359

2)

18 0 0

18

−8 8 0 057 −56 −1 1359 −352 −7 8

3)

0 18

18 0

−8 0 0 056 1 0 1352 7 1 7

4)

18 −

18 −

18

18

0 8 0 01 −57 −1 07 −359 −8 1

5)

18 −

18 −

18 0

0 0 0 80 −1 −1 −561 −8 −7 −352

6)

0 −18 −

18 0

8 0 0 0−56 −1 0 −1−352 −7 −1 −7

8 . Calcula la matriz MβQβR


1)

0 −18 −

18

18

8 1 −2 20 −1 2 −2−8 −1 2 −1

2)

18 −

18 0 −

18

2 −2 −8 9−2 2 0 −1−1 2 8 −9

3)

18 0 −

18 0

2 0 1 8−2 0 −1 0−2 1 −1 −8

4)

0 −18

18 −

18

0 −2 −9 10 2 1 −11 1 9 −1

5)

−18

18 0 −

18

1 −9 0 −2−1 1 0 2−1 9 −1 2

6)

−18 0

18 0

−2 0 −1 −82 0 1 02 −1 1 8

9 . Calcula la matriz MβQβR(f)


1)

13 −

443 −

643 7

0 6 0 7−23

883 −

643 50

0 0 0 0

2)

7 −643 −

13 −

433

7 0 0 650 −643

23

863

0 0 0 0

3)

−433 −

13 −7 −

433

6 0 −7 7863

23 −50

863

0 0 0 0

4)

−433 −7

433 −

443

7 −7 −6 6863 −50 −

863

883

0 0 0 0

5)

643 −

433 −

443

13

0 7 6 0643

863

883 −

23

0 0 0 0

6)

−643

433

443 −

13

0 −7 −6 0−643 −

863 −

883

23

0 0 0 0

10 . Calcula las coordenadas del vector u en la base βP .




1)(−189 −224 6 50

)βP

2)(44 50 −224 −189

)βP

3)(35 −189 50 44

)βP

4)(50 6 −35 −224

)βP

5)(224 35 44 −6

)βP

6)(−50 −6 35 224

)βP

11 . Calcula las coordenadas del vector v en la base βR.


1)(−13 7 9

193

)βR

2)(−83

193 7 −

13

)βR

3)(−223 −

13

193 −

83

)βR

4)(193 9

223 7

)βR

5)(−7 −223 −

83 −9

)βR

6)(−193 −9 −

223 −7

)βR

12 . Calcula las coordenadas del vector w en la base βP .


1)(47 55 0 0

)βP

2)(0 0 55 47

)βP

3)(−8 47 0 0

)βP

4)(0 0 47 −8

)βP

5)(−55 −8 0 0

)βP

6)(0 0 8 55

)βP

A partir de ahora se trata de hacer la diagonalización de la matriz A =

632 96 −12 0

−4319 −657 84 0−2728 −424 68 0

0 0 0 8

.13 . Calcula el polinomio característico pA(x).


1) (x− 19) (x− 14) (x− 7)2

2) (x− 20) (x− 15) (x− 8)23) (x− 17) (x− 12) (x− 5)2

4) (x− 24) (x− 19) (x− 12)25) (x− 15) (x− 10) (x− 3)2

6) (x− 26) (x− 21) (x− 14)2

La matriz A tiene tres valores propios. Uno de ellos que llamaremos λ tiene multiplicidad 2 yse puede ver que el espacio invariante asociado tiene dimensión 2, luego A es diagonalizablepor ser los demás valores propios simples.

14 . Calcula una base de Vλ.


1) {[−1, 6,−3, 128] , [1,−6, 3, 64]}2) {[1,−6, 3, 256] , [2,−12, 6,−64]}3) {[1,−6, 3,−320] , [5,−30, 15, 128]}

4) {[−1, 7, 4, 128] , [1,−7,−4, 64]}5) {[−11, 66,−33, 64] , [−1, 6,−3,−1408]}6) {[−23, 138,−69,−1280] , [−10, 60,−30, 1472]}

15 . De las siguientes elige cuál es la matriz diagonal D.


1)

7 0 0 00 7 0 00 0 14 00 0 0 19

2)10 0 0 00 10 0 00 0 17 00 0 0 22

3)5 0 0 00 5 0 00 0 12 00 0 0 17



4)

12 0 0 00 12 0 00 0 19 00 0 0 24

5)3 0 0 00 3 0 00 0 10 00 0 0 15

6)8 0 0 00 8 0 00 0 15 00 0 0 20

16 . De las siguientes elige cuál es una matriz de paso P para la que P−1AP = D.


1)

−1 −1 −1 −17 7 6 65 4 −4 −364 0 64 0

2)

−2 −1 −3 −213 7 20 122 4 5 −764 0 128 64

3)

−4 −1 −6 −525 7 40 32−5 4 11 −2128 0 192 192

4)

−9 −1 −11 −1157 7 72 72−7 4 10 9320 0 320 384

5)

−20 −1 −21 −22129 7 136 1442 4 7 19704 0 640 704

6)

0 −1 0 −10 7 −1 70 4 −8 564 0 0 0

Comprueba que el polinomio característico de la matriz B =

634 96 −12 0

−4319 −655 84 0−2728 −424 70 0

0 0 0 10

es pB(x) = x4 − 59x3 + 1254x2 − 11380x + 37400 = (x− 22) (x− 17) (x− 10)2, si éstepolinomio lo aplicamos a la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) =B4 − 59B3 + 1254B2 − 11380B + 37400I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería la matriz nula.

17 . Calcula la matriz K = (B − 10I4)2.


1)

0 −144 −7488 86400 1008 52073 −600880 720 34696 −400640 0 0 0

2)

8640 −7488 0 −144

−60088 52073 0 1008−40064 34696 0 720

0 0 0 0

3)

7488 1152 −144 0

−52073 −8015 1008 0−34696 −5368 720 0

0 0 0 0

4)

1152 −8640 144 −144−8015 60088 −1008 1008−5368 40064 −720 720

0 0 0 0

5)

−144 144 −1152 −74881008 −1008 8015 52073720 −720 5368 346960 0 0 0

6)

−7488 −1152 144 052073 8015 −1008 034696 5368 −720 00 0 0 0

18 . Calcula la matriz L = B − 17I4.


1)

0 −12 −617 7130 84 4319 −49910 53 2728 −3152−7 0 0 0

2)

617 96 −12 0

−4319 −672 84 0−2728 −424 53 0

0 0 0 −7

3)

−12 0 −713 9684 0 4991 −67253 0 3152 −424−7 7 0 0

4)

96 −713 12 −12

−672 4991 −84 84−424 3152 −53 530 0 7 0

5)

−12 12 −96 −61784 −84 672 431953 −53 424 27280 7 0 0

6)

−617 −96 12 04319 672 −84 02728 424 −53 00 0 0 7



19 . Calcula la matriz M = B − 22I4.


1)

0 −12 −612 7080 84 4319 −49960 48 2728 −3152

−12 0 0 0

2)

708 −612 0 −12

−4996 4319 0 84−3152 2728 0 48

0 0 12 −12

3)

−12 0 −708 9684 0 4996 −67748 0 3152 −424−12 12 0 0

4)

96 −708 12 −12

−677 4996 −84 84−424 3152 −48 480 0 12 0

5)

−12 12 −96 −61284 −84 677 431948 −48 424 27280 12 0 0

6)

612 96 −12 0

−4319 −677 84 0−2728 −424 48 0

0 0 0 −12

20 . Calcula la matriz KLM .


1)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


Aplicaciones del cálculo integral

Cálculo de la longitud de una curva.Consideremos la curva definida por la función derivable f : [a, b] → R. Entonces la longitud dedicha curva es:

L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx

Cálculo del área de una superficie plana.Recordemos que por definición de la integral de Riemann, si f : [a, b] → R con f(x) ≥ 0 paratodo x ∈ [a, b] es integrable, entonces el área delimitada por la gráfica de f(x), el eje Ox ylas rectas x = a y x = b es

∫ ba f(x)dx. Como consecuencia de esto, si f, g : [a, b] → R son

integrables con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces el área delimitada por las gráficas def(x) y g(x), la recta x = a y la recta x = b es:

A =

∫ ba(f(x)− g(x))dx

Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox. Consideremos elsólido tridimensional que se obtiene al girar la gráfica de la función f : [a, b] → R derivable ycon derivada continua sobre el eje Ox. Entonces el área de la superficie exterior de dicho sólidoes:

A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx

Suponemos que dicha gráfica no corta al eje Oy



Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx

Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox.Consideremos el sólido tridimensional que se obtiene al girar la gráfica de la función f : [a, b] →R integrable sobre el eje Ox. Entonces el volumen de dicho sólido es

V = π

∫ baf(x)2dx

Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

V = 2π

∫ baxf(x)dx

Conviene tener en cuenta que el comando integrate sólo nos resuelve la integral cuandoel programa es capaz de calcular una primitiva de la función involucrada. Por lo tanto sehará necesario recurrir a la integración numérica en muchos casos. Éstos métodos numéricosestán integrados en wxMaxima, por ejemplo, en el comando quad_qags. Explicamos su uso,la función quad_qags devuelve una lista de cuatro elementos: la aproximación de la integral,el error absoluto estimado de la aproximación, el número de evaluaciones del integrando y uncódigo de control de errores que toma valores entr 0 y 6. Cuando dicho código toma el valor 0 esque el programa no ha encontrado ningún problema a la hora de realizar la integral. Tambiénpuede devolver 1 si se utilizaron demasiados intervalos, 2 si se encontraron muchos errores deredondeo, 3 si el integrando tiene un comportamiento extraño frente a la integración, 4 si hayfallo de convergencia, 5 si la integral es divergente o de convergencia lenta, 6 si los argumentosde entrada no son válidos.

Veamos un ejemplo:

quad_qags(4*sqrt(1+diff(f(x),x)ˆ2),x,0,a) =[13.36489322055496, 5.52971002321101× 10−10, 315, 0

]Mientras que el uso de integrate devolvería:

integrate(4*sqrt(1+diff(f(x),x)ˆ2),x,0,1) = 4∫ 10

√9x2

1− x2+ 1 dx

21 . Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x2 − 21x + 98 yg(x) = x3 − 40x2 + 497x− 1862. Haz un dibujo del área que estás calculando.


1) 10825122) 1086112

3) 10837124) 1088512

5) 10777126) 1090912

22 . Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x4−66x3+1537x2−14784x+48412 y g(x) = x3−40x2+497x−1862. Haz un dibujo del área que estás calculando.

Elige tu solución correcta entre las siguientes:Suponemos que dicha gráfica no corta al eje Ox



1) 13661962) 1366376

3) 13662564) 1366496

5) 13659566) 1366616

23 . Calcula el área encerrada por la elipse de semiejes 7 y 15.


1) 328.86722862692832) 327.8672286269283

3) 329.86722862692834) 333.8672286269283

5) 334.86722862692836) 323.8672286269283

24 . Calcula la longitud de la elipse de semiejes 7 y 15.


1) 70.419374355912782) 69.41937435591278

3) 74.419374355912784) 71.41937435591278

5) 76.419374355912786) 77.41937435591278

25 . Calcula el volumen que se obtiene al girar al elipse de semiejes 7 y 15 alrededor del eje Ox.


1) 2100.0π2) 2102.0π

3) 2097.0π4) 2104.0π

5) 2105.0π6) 2106.0π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 8 y centro (0, 24) alrededor deleje Oy.


1) 683.6666666666666π2) 684.6666666666666π

3) 685.6666666666666π4) 682.6666666666666π

5) 677.6666666666666π6) 676.6666666666666π

27 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 8 y centro (0, 31) alrededor deleje Ox (volumen de una rosquilla).


1) 39161.590263522572) 39160.59026352257

3) 39165.590263522574) 39158.59026352257

5) 39162.590263522576) 39156.59026352257

28 . Calcula la superficie del sólido de revolución que se obtiene al girar el círculo de radio 8 ycentro (0, 36) alrededor del eje Ox (superficie de la rosquilla).


Recuerdo que la ecuación de esta elipse es x2

a2+ y

2

b2= 1.



1) 11369.7842700541π2) 11367.7842700541π

3) 11372.7842700541π4) 11365.7842700541π

5) 11364.7842700541π6) 11375.7842700541π


Métodos numéricos para el cálculo de integrales

La regla del trapecio Dada una función f : [a, b] → R integrable, la regla del trapecioconsiste en aproximar la integral definida

∫ ba f(x)dx por

∫ ba P1(x)dx, donde P1(x) es el único

polinomio de grado 1 (recta) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Así que:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))

y el error que cometemos en dicha aproximación, si la función f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)3f ′′(c),

donde c es un punto del intervalo (a, b).El error anterior puede reducirse si utilizamos la regla del trapecio compuesta, ésta consiste endividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud h = b−an y aplicar la regla del trapeciosimple a cada uno de los intervalos [a+ jh, a+(j+1)h] con j ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. Este métodoproporciona la aproximación:∫ b

af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),

para esta aproximación el error que se comete, si f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),

siendo c un punto del intervalo (a, b).La regla de Simpson. La idea de esta regla es aproximar la función f : [a, b] → R a integrarpor el polinomio de grado 2 (único) que pasa por los puntos (a, f(a)), (a+b2 , f(

a+b2 )) y (b, f(b)).

De esta manera, se obtiene la aproximación:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).

Además, si la función es de clase C4, existe c ∈ (a, b) tal que, el error que se comete en laaproximación es:

E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).

Al igual que en la regla del trapecio, si subdividimos el intervalo [a, b] en n partes (con n númeropar) y aplicamos a cada una de ellas la regla de Simpson, se obtiene una mejor aproximaciónde la integral:

∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)

,con un error, si f es de clase C4, dado por:

E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),

estando c en (a, b).



29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 80 sen (7x)+cos (5x)+e

xdx usando 28 particionesen la regla del trapecio compuesta.


1) 3000.2385190900672) 3000.538519090067

3) 3000.0385190900674) 3000.738519090067

5) 2999.8385190900676) 3000.338519090067

30 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 80 sen (7x)+cos (5x)+e

xdx usando 28 particionesla regla de Simpson compuesta.


1) 2980.1451314376522) 2980.245131437652

3) 2979.9451314376524) 2980.645131437652

5) 2979.7451314376526) 2980.845131437652


Resolución de ecuaciones por el método de bipartición

Dada una ecuación f(x) = 0 con f continua en [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0 y con una raízúnica r en [a, b], el método de bipartición consiste en realizar los siguientes pasos:

1) Calcular el punto medio entre a y b, es decir m0 = a+b2 ,2) Si f(m) = 0 entonces r = m0,3) En caso contrario tomamos el intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b] entre [a,m0] o [m0, b]. Elegimos

aquél en el que la función toma en los extremos puntos opuestos, es decir, r ∈ [a1, b1].4) Volvemos al primer paso y repetimos la operación hasta que r = mn (puede que no se

consiga).

Si no conseguimos la raíz en un número finito de pasos, al menos tendremos una sucesión deintervalos encajados en la que se encuentra la raíz:

r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:bn − an =

b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 18) (x− 11) (x− 10) (x− 9) (x− 8) (x− 7) x tiene claramente comoraíces al conjunto {0, 7, 8, 9, 10, 11, 18}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 3.5 y b = 14.5.


1) 02) 7

3) 84) 10

5) 116) 9


El método de Newton-Raphson



Suponemos aquí que la función f es derivable. La idea de este método es utilizar las tangentesa la curva y = f(x) como aproximación de la curva.Se trata en este método de iterar la función g(x) = x− f(x)f ′(x) . Es decir, construimos una sucesión(xn)n que satisfaga xn+1 = g(xn), sucesión que bajo ciertas hipótesis converge a una raíz dela ecuación f(x) = 0. Fijado un error E > 0 consideraremos que el método ha encontrado lasolución cuando encontremos el primer xn para el que |f(xn)| < E.

32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =2 cos (7x) sen (7x) tomando como punto inicial x0 = 0.1682996064423103. Fijamos el errordeseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.23439947615657472) 0.2243994761565747

3) 0.25439947615657474) 0.2643994761565748

5) 0.17439947615657476) 0.1643994761565747




Observaciones




Soluciones del test









1) (x− 7)2 (x− 3)3 (x− 2)5

2) (x− 12)2 (x− 7)5 (x− 5)3

3) (x− 8)2 (x− 4)3 (x− 2)2 (x− 1)3

4) (x− 11)2 (x− 8)3 (x− 5)5

5) (x− 6)2 (x− 5)3 (x− 3)2 (x+ 1)3

6) (x− 13)2 (x− 8)3 (x− 6)2 (x− 3)3


1) 4529292) 452935

3) 4529224) 452930

5) 4529266) 452933


1) 2562) 252

3) 2584) 251

5) 2546) 249


∑22n=1

1n9


1) 1.502008392824192) 0.4020083928241902

3) 1.702008392824194) 1.00200839282419

5) 1.202008392824196) 0.7020083928241903


1) 18 2) 7 3) 20 4) 13 5) 15 6) 10


1) 33872) 3381

3) 33944) 3385

5) 33906) 3383


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 3] , [−1, 7, 6, 0] , [0, 1, 2, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[3, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 8]},



0 0 0 024 −7 −1 0

−162 55 9 −1−180 71 12 −2



1)

0 13 0

13

0 0 3 −31 0 −21 222 1 −24 26

2)

13 0 0

13

−3 3 0 022 −21 −1 126 −24 −2 3

3)

13 0 −

13

13

0 0 3 01 −1 −22 13 −2 −26 2

4)

13 −

13 −

13

13

0 3 0 01 −22 −1 02 −26 −3 1

5)

13 −

13 −

13 0

0 0 0 30 −1 −1 −211 −3 −2 −24

6)

0 13

13 0

−3 0 0 021 1 0 124 2 1 2



1)

0 −13 −

13

13

8 1 −2 20 −1 2 −2−8 −1 2 −1

2)

13 −

13 0 −

13

2 −2 −8 9−2 2 0 −1−1 2 8 −9

3)

−13 0 −

13 0

9 −8 −2 0−1 0 2 0−9 8 1 1

4)

13 0 −

13 0

2 0 1 8−2 0 −1 0−2 1 −1 −8

5)

−13

13 0 −

13

1 −9 0 −2−1 1 0 2−1 9 −1 2

6)

−13 0

13 0

−2 0 −1 −82 0 1 02 −1 1 8



1)

3 −73 −

83

13

0 2 1 03 143

163 −

23

0 0 0 0

2)

23 −3 −

13 −

73

2 0 0 1233 −3

23

143

0 0 0 0

3)

−73 −

13 −

23 −

73

1 0 −2 2143

23 −

233

143

0 0 0 0

4)

−73 −

23

73 −

83

2 −2 −1 1143 −

233 −

143

163

0 0 0 0

5)

−83

73

73 −3

1 −1 −2 0163 −

143 −

143 −3

0 0 0 0

6)

−3 73

83 −

13

0 −2 −1 0−3 −143 −

163

23

0 0 0 0





1)(−13 −53 6 403

)βP

2)(223

403 −53 −13

)βP

3)(40 −13 403

223

)βP

4)(−6 223 −13 40

)βP

5)(403 6 −40 −53

)βP

6)(−403 −6 40 53

)βP



1)(103 9

133

34

)βR

2)(−173

103

34 −

4312

)βR

3)(−133 −

4312

103 −

173

)βR

4)(−9 −173 −

4312 −

133

)βR

5)(−34 −

133 −

173 −9

)βR

6)(−103 −9 −

133 −

34

)βR



1)(7 15 0 0

)βP

2)(0 0 8 15

)βP

3)(−8 7 0 0

)βP

4)(0 0 7 −8

)βP

5)(−15 −8 0 0

)βP

6)(0 0 −8 −15

)βP


211 39 −13 0

−1407 −263 91 0−1101 −213 81 0

0 0 0 3



1) (x− 16) (x− 10) (x− 3)2

2) (x− 18) (x− 12) (x− 5)23) (x− 13) (x− 7) x2

4) (x− 20) (x− 14) (x− 7)25) (x− 11) (x− 5) (x+ 2)2

6) (x− 22) (x− 16) (x− 9)2




1) {[−1, 6, 3, 18] , [1,−6,−3, 9]}2) {[1,−6,−3, 36] , [2,−12,−6,−9]}3) {[1,−6,−3,−45] , [5,−30,−15, 18]}

4) {[−4, 24, 12,−63] , [7,−42,−21,−72]}5) {[−11, 66, 33, 9] , [−1, 6, 3,−198]}6) {[−1, 7, 5, 18] , [1,−7,−5, 9]}



1)

2 0 0 00 2 0 00 0 9 00 0 0 15

2)5 0 0 00 5 0 00 0 12 00 0 0 18

3)0 0 0 00 0 0 00 0 7 00 0 0 13



4)

7 0 0 00 7 0 00 0 14 00 0 0 20

5)3 0 0 00 3 0 00 0 10 00 0 0 16

6)9 0 0 00 9 0 00 0 16 00 0 0 22



1)

−1 −1 −1 −17 7 6 66 5 2 39 0 9 0

2)

−2 −1 −3 −213 7 20 129 5 13 59 0 18 9

3)

−4 −1 −6 −525 7 40 3214 5 27 1818 0 27 27

4)

0 −1 0 −10 7 −1 70 5 −3 69 0 0 0

5)

−20 −1 −21 −22129 7 136 14477 5 83 9199 0 90 99

6)

−42 −1 −42 −43273 7 272 280168 5 165 174198 0 189 189


213 39 −13 0

−1407 −261 91 0−1101 −213 83 0

0 0 0 5

espB(x) = x

4 − 40x3 + 541x2 − 2910x+ 5400 = (x− 18) (x− 12) (x− 5)2, si éste polinomio loaplicamos a la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 40B3 +541B2 − 2910B + 5400I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería lamatriz nula.



1)

0 −169 −2704 32110 1183 18585 −220850 1014 15195 −180900 0 0 0

2)

2704 507 −169 0

−18585 −3500 1183 0−15195 −2895 1014 0

0 0 0 0

3)

−169 0 −3211 5071183 0 22085 −35001014 0 18090 −28950 0 0 0

4)

507 −3211 169 −169

−3500 22085 −1183 1183−2895 18090 −1014 1014

0 0 0 0

5)

−169 169 −507 −27041183 −1183 3500 185851014 −1014 2895 151950 0 0 0

6)

−2704 −507 169 018585 3500 −1183 015195 2895 −1014 00 0 0 0



1)

201 39 −13 0

−1407 −273 91 0−1101 −213 71 0

0 0 0 −7

2)

240 −201 0 −13

−1680 1407 0 91−1314 1101 0 71

0 0 7 −7

3)

−13 0 −240 3991 0 1680 −27371 0 1314 −213−7 7 0 0

4)

39 −240 13 −13

−273 1680 −91 91−213 1314 −71 710 0 7 0

5)

−13 13 −39 −20191 −91 273 140771 −71 213 11010 7 0 0

6)

−201 −39 13 01407 273 −91 01101 213 −71 00 0 0 7





1)

0 −13 −195 2340 91 1407 −16860 65 1101 −1314

−13 0 0 0

2)

234 −195 0 −13

−1686 1407 0 91−1314 1101 0 65

0 0 13 −13

3)

−13 0 −234 3991 0 1686 −27965 0 1314 −213−13 13 0 0

4)

195 39 −13 0

−1407 −279 91 0−1101 −213 65 0

0 0 0 −13

5)

−13 13 −39 −19591 −91 279 140765 −65 213 11010 13 0 0

6)

−195 −39 13 01407 279 −91 01101 213 −65 00 0 0 13



1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0




L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx




A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx





A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx


V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 239922) 24052

3) 240124) 24092

5) 239126) 24132

22 . Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x4−43x3+625x2−3381x+ 4590 y g(x) = x3 − 26x2 + 183x− 270. Haz un dibujo del área que estás calculando.




1) 4757652) 475865

3) 4756154) 475965

5) 4755156) 476065



1) 61.831853071795862) 60.83185307179586

3) 59.831853071795864) 66.83185307179586

5) 67.831853071795866) 62.83185307179586



1) 41.020089079377212) 40.02008907937721

3) 39.020089079377214) 42.02008907937721

5) 47.020089079377216) 48.02008907937721



1) 265.6666666666667π2) 264.6666666666667π

3) 263.6666666666667π4) 266.6666666666667π

5) 271.6666666666667π6) 272.6666666666667π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 3 y centro (0, 9) alrededor del ejeOy.


1) 35.0π2) 38.0π

3) 33.0π4) 36.0π

5) 31.0π6) 42.0π



1) 2843.4460675137352) 2842.446067513735

3) 2845.4460675137354) 2838.446067513735

5) 2837.4460675137356) 2848.446067513735




a2+ y

2

b2= 1.



1) 2605.575561884603π2) 2603.575561884603π

3) 2608.575561884603π4) 2601.575561884603π

5) 2600.575561884603π6) 2599.575561884603π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),




29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 30 cos (6x)+sen (2x)+e



1) 18.934870006466972) 19.23487000646697

3) 18.734870006466974) 19.43487000646697

5) 18.534870006466976) 19.03487000646697




1) 18.879582346867862) 19.17958234686786

3) 18.679582346867864) 19.37958234686786

5) 18.479582346867876) 18.97958234686787






consiga).


r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:bn − an =

b− a2n

.



1) 02) 2

3) 34) 4

5) 56) 6






32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cos (2x) sen (7x) + sen (2x) cos (7x) tomando como punto inicial x0 = 0.2617993877991494.Fijamos el error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.35906585179911632) 0.3290658517991163

3) 0.31906585179911634) 0.3890658517991163

5) 0.29906585179911636) 0.3490658517991163




Observaciones




Soluciones del test









1) (x− 8)2 (x− 4)5 (x− 3)3

2) (x− 9)2 (x− 8)2 (x− 7)3 (x− 4)3

3) (x− 9)2 (x− 4)3 (x− 2)2 (x− 1)3

4) (x− 7)2 (x− 4)3 (x− 3)2 (x− 2)3

5) (x− 5)2 (x− 4)5 (x− 1)3

6) (x− 11)2 (x− 10)3 (x− 7)3 (x− 6)2


1) 2550212) 255030

3) 2550254) 255026

5) 2550236) 255028


1) 3642) 355

3) 3664) 360

5) 3626) 357


∑23n=1

1n9


1) 1.5020083928247452) 0.4020083928247455

3) 1.7020083928247454) 0.8020083928247457

5) 1.0020083928247456) 0.6020083928247456


1) 14 2) 5 3) 17 4) 10 5) 12 6) 7


1) 32622) 3252

3) 32654) 3258

5) 32606) 3255


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 3] , [−1, 7, 3, 0] , [0, 1, 2, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[3, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 8]},



0 0 0 033 −7 −1 0

−225 52 9 −1−351 86 15 −2



1)

0 13

13 0

−3 0 0 021 1 0 133 2 1 2

2)

13 0 0

13

−3 3 0 022 −21 −1 135 −33 −2 3

3)

13 0 −

13

13

0 0 3 01 −1 −22 13 −2 −35 2

4)

13 −

13 −

13

13

0 3 0 01 −22 −1 02 −35 −3 1

5)

13 −

13 −

13 0

0 0 0 30 −1 −1 −211 −3 −2 −33

6)

0 −13 −

13 0

3 0 0 0−21 −1 0 −1−33 −2 −1 −2



1)

0 −13 −

13

13

8 1 −2 20 −1 2 −2−8 −1 2 −1

2)

13 −

13 0 −

13

2 −2 −8 9−2 2 0 −1−1 2 8 −9

3)

13 0 −

13 0

2 0 1 8−2 0 −1 0−2 1 −1 −8

4)

0 −13

13 −

13

0 −2 −9 10 2 1 −11 1 9 −1

5)

−13

13 0 −

13

1 −9 0 −2−1 1 0 2−1 9 −1 2

6)

−13 0

13 0

−2 0 −1 −82 0 1 02 −1 1 8



1)

13 −

113 −3 −

13

0 1 0 2−23

223 −3

293

0 0 0 0

2)

3 −103 −

113

13

0 2 1 03 203

223 −

23

0 0 0 0

3)

−103 −

13

13 −

103

1 0 −2 2203

23 −

293

203

0 0 0 0

4)

−103

13

103 −

113

2 −2 −1 1203 −

293 −

203

223

0 0 0 0

5)

−113

103

103 −3

1 −1 −2 0223 −

203 −

203 −3

0 0 0 0

6)

−3 103

113 −

13

0 −2 −1 0−3 −203 −

223

23

0 0 0 0





1)(403 6 −40 −71

)βP

2)(223

403 −71 −31

)βP

3)(40 −31 403

223

)βP

4)(−6 223 −31 40

)βP

5)(71 40 223 −6

)βP

6)(−403 −6 40 71

)βP



1)(−3112

34 9

73

)βR

2)(−203

73

34 −

3112

)βR

3)(−103 −

3112

73 −

203

)βR

4)(−9 −203 −

3112 −

103

)βR

5)(73 9

103

34

)βR

6)(−73 −9 −

103 −

34

)βR



1)(7 15 0 0

)βP

2)(0 0 15 7

)βP

3)(−8 7 0 0

)βP

4)(0 0 8 15

)βP

5)(−15 −8 0 0

)βP

6)(0 0 −8 −15

)βP


193 30 −10 0

−1281 −200 70 0−423 −69 33 00 0 0 3



1) (x− 12) (x− 9) (x− 2)2

2) (x− 13) (x− 10) (x− 3)23) (x− 10) (x− 7) x2

4) (x− 17) (x− 14) (x− 7)25) (x− 8) (x− 5) (x+ 2)2

6) (x− 19) (x− 16) (x− 9)2




1) {[−1, 6, 0, 18] , [1,−6, 0, 9]}2) {[1,−6, 0, 36] , [2,−12, 0,−9]}3) {[−1, 7, 2, 18] , [1,−7,−2, 9]}

4) {[−4, 24, 0,−63] , [7,−42, 0,−72]}5) {[−11, 66, 0, 9] , [−1, 6, 0,−198]}6) {[−23, 138, 0,−180] , [−10, 60, 0, 207]}



1)

3 0 0 00 3 0 00 0 10 00 0 0 13

2)5 0 0 00 5 0 00 0 12 00 0 0 15

3)0 0 0 00 0 0 00 0 7 00 0 0 10



4)

7 0 0 00 7 0 00 0 14 00 0 0 17

5)−2 0 0 00 −2 0 00 0 5 00 0 0 8

6)9 0 0 00 9 0 00 0 16 00 0 0 19



1)

−1 −1 −1 −17 7 6 63 2 −1 09 0 9 0

2)

−2 −1 −3 −213 7 20 123 2 4 −19 0 18 9

3)

−4 −1 −6 −525 7 40 322 2 9 318 0 27 27

4)

0 −1 0 −10 7 −1 70 2 −3 39 0 0 0

5)

−20 −1 −21 −22129 7 136 14417 2 20 2599 0 90 99

6)

−42 −1 −42 −43273 7 272 28042 2 39 45198 0 189 189


195 30 −10 0

−1281 −198 70 0−423 −69 35 00 0 0 5

espB(x) = x

4 − 37x3 + 475x2 − 2475x+ 4500 = (x− 15) (x− 12) (x− 5)2, si éste polinomio loaplicamos a la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 37B3 +475B2 − 2475B + 4500I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería lamatriz nula.



1)

0 −100 −1900 22000 700 12957 −150080 300 4671 −54240 0 0 0

2)

2200 −1900 0 −100

−15008 12957 0 700−5424 4671 0 300

0 0 0 0

3)

−100 0 −2200 300700 0 15008 −2051300 0 5424 −7530 0 0 0

4)

1900 300 −100 0

−12957 −2051 700 0−4671 −753 300 0

0 0 0 0

5)

−100 100 −300 −1900700 −700 2051 12957300 −300 753 46710 0 0 0

6)

−1900 −300 100 012957 2051 −700 04671 753 −300 00 0 0 0



1)

0 −10 −183 2130 70 1281 −14910 23 423 −492−7 0 0 0

2)

213 −183 0 −10

−1491 1281 0 70−492 423 0 230 0 7 −7

3)

183 30 −10 0

−1281 −210 70 0−423 −69 23 00 0 0 −7

4)

30 −213 10 −10

−210 1491 −70 70−69 492 −23 230 0 7 0

5)

−10 10 −30 −18370 −70 210 128123 −23 69 4230 7 0 0

6)

−183 −30 10 01281 210 −70 0423 69 −23 00 0 0 7





1)

0 −10 −180 2100 70 1281 −14940 20 423 −492

−10 0 0 0

2)

210 −180 0 −10

−1494 1281 0 70−492 423 0 200 0 10 −10

3)

−10 0 −210 3070 0 1494 −21320 0 492 −69−10 10 0 0

4)

180 30 −10 0

−1281 −213 70 0−423 −69 20 00 0 0 −10

5)

−10 10 −30 −18070 −70 213 128120 −20 69 4230 10 0 0

6)

−180 −30 10 01281 213 −70 0423 69 −20 00 0 0 10



1)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0




L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx




A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx





A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx


V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 209942) 21074

3) 208744) 21154

5) 207946) 21234

22 . Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x4−37x3+472x2−2316x+ 3024 y g(x) = x3 − 23x2 + 150x− 216. Haz un dibujo del área que estás calculando.




1) 40741102) 4077110

3) 40751104) 4079110

5) 40701106) 4081110



1) 61.831853071795862) 64.83185307179586

3) 59.831853071795864) 62.83185307179586

5) 67.831853071795866) 56.83185307179586



1) 43.020089079377212) 40.02008907937721

3) 39.020089079377214) 46.02008907937721

5) 37.020089079377216) 42.02008907937721



1) 265.6666666666667π2) 264.6666666666667π

3) 263.6666666666667π4) 270.6666666666667π

5) 271.6666666666667π6) 266.6666666666667π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 3 y centro (0, 9) alrededor del ejeOy.


1) 35.0π2) 34.0π

3) 33.0π4) 36.0π

5) 31.0π6) 42.0π



1) 2841.4460675137352) 2844.446067513735

3) 2842.4460675137354) 2846.446067513735

5) 2847.4460675137356) 2836.446067513735




a2+ y

2

b2= 1.



1) 2249.26980344578π2) 2252.26980344578π

3) 2250.26980344578π4) 2246.26980344578π

5) 2245.26980344578π6) 2244.26980344578π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),







1) 19.183924982668812) 19.28392498266881

3) 18.983924982668814) 19.68392498266881

5) 18.783924982668816) 19.88392498266881




1) 19.142956693307052) 19.44295669330705

3) 18.942956693307054) 19.64295669330705

5) 19.242956693307056) 19.84295669330706






consiga).


r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:bn − an =

b− a2n

.



1) 02) 2

3) 64) 4

5) 56) 13






32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cos (2x) sen (7x) + sen (2x) cos (7x) tomando como punto inicial x0 = 0.2617993877991494.Fijamos el error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.35906585179911632) 0.3690658517991163

3) 0.31906585179911634) 0.3490658517991163

5) 0.29906585179911636) 0.4090658517991163




Observaciones




Soluciones del test








1 .Factoriza el polinomio p(x) = x10−38x9+631x8−6000x7+35955x6−140766x5+361073x4−592396x3 + 588740x2 − 319200x+ 72000Elige tu solución correcta entre las

gabriel soler lópez 28 de septiembre de...

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