gabriel soler lópez 20 de septiembre de...

Problemas entregables de Matemáticas

Gabriel Soler López

20 de septiembre de 2016

Índice general

I Ejercicios del primer cuatrimestre 6

Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Ejercicio 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Ejercicio 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Ejercicio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Ejercicio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Ejercicio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Ejercicio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Ejercicio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Ejercicio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Ejercicio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Ejercicio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Ejercicio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Ejercicio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Ejercicio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Ejercicio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Ejercicio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

Ejercicio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Ejercicio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Ejercicio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Ejercicio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

Ejercicio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

Ejercicio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Ejercicio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

Ejercicio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Ejercicio 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

Ejercicio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Ejercicio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

Ejercicio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

Ejercicio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

2

ÍNDICE GENERAL 3

Ejercicio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

Ejercicio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

Ejercicio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

Ejercicio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

Ejercicio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

Ejercicio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

Ejercicio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

Ejercicio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

Ejercicio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

Ejercicio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

Ejercicio 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891

Ejercicio 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

Ejercicio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

Ejercicio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

Ejercicio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

Ejercicio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

Ejercicio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

Ejercicio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

Ejercicio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027

Ejercicio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044

Ejercicio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

Ejercicio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

Ejercicio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

Ejercicio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112

Ejercicio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

Ejercicio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146

Ejercicio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163

Ejercicio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180

Ejercicio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197

Ejercicio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214

Ejercicio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231

Ejercicio 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248

Ejercicio 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265

Ejercicio 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282

Ejercicio 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299

Ejercicio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316

Ejercicio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333

Ejercicio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1350

Ejercicio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367

Ejercicio 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384

Ejercicio 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401

Ejercicio 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418

Ejercicio 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435

Ejercicio 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452

Ejercicio 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469

Ejercicio 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486

Ejercicio 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503

Ejercicio 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520

Ejercicio 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537

Ejercicio 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554

Ejercicio 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571

Ejercicio 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588

Ejercicio 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605

ÍNDICE GENERAL 4

Ejercicio 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622

Ejercicio 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639

Ejercicio 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656

Ejercicio 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673

Ejercicio 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1690

Parte I

Ejercicios del primer cuatrimestre

6

Ejercicio número 1 de primer cuatrimestre. Curso 2016-17


Nombre y apellidos:

E-mail:

Titulación:

Firma:

Observaciones

1 . El ejercicio se debe entregar el día del examen parcial.

2 . Se tiene que entregar por un lado las soluciones del test (primera página del ejercicio) y por otro

lado el enunciado del ejercicio grapado con las soluciones que justi�can las soluciones del test.

3 . No te equivoques de tus ejercicios asignados, en caso contrario no se te podrá puntuar el trabajo

Soluciones del test

Pregunta Opción elegida

1 1 2 3 4 5 6

2 1 2 3 4 5 6

3 1 2 3 4 5 6

4 1 2 3 4 5 6

5 1 2 3 4 5 6

6 1 2 3 4 5 6

7 1 2 3 4 5 6

8 1 2 3 4 5 6

9 1 2 3 4 5 6

10 1 2 3 4 5 6

11 1 2 3 4 5 6

12 1 2 3 4 5 6

13 1 2 3 4 5 6

14 1 2 3 4 5 6

15 1 2 3 4 5 6

16 1 2 3 4 5 6

17 1 2 3 4 5 6

18 1 2 3 4 5 6

19 1 2 3 4 5 6

20 1 2 3 4 5 6

21 1 2 3 4 5 6

22 1 2 3 4 5 6

23 1 2 3 4 5 6

24 1 2 3 4 5 6

25 1 2 3 4 5 6

26 1 2 3 4 5 6

27 1 2 3 4 5 6

28 1 2 3 4 5 6

29 1 2 3 4 5 6

30 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 6

32 1 2 3 4 5 6

33 1 2 3 4 5 6

34 1 2 3 4 5 6

35 1 2 3 4 5 6

36 1 2 3 4 5 6

37 1 2 3 4 5 6

38 1 2 3 4 5 6

39 1 2 3 4 5 6

40 1 2 3 4 5 6

41 1 2 3 4 5 6

42 1 2 3 4 5 6

43 1 2 3 4 5 6

44 1 2 3 4 5 6

45 1 2 3 4 5 6

46 1 2 3 4 5 6

47 1 2 3 4 5 6

48 1 2 3 4 5 6

49 1 2 3 4 5 6

50 1 2 3 4 5 6

51 1 2 3 4 5 6

52 1 2 3 4 5 6

53 1 2 3 4 5 6

54 1 2 3 4 5 6

55 1 2 3 4 5 6

56 1 2 3 4 5 6

57 1 2 3 4 5 6

58 1 2 3 4 5 6

59 1 2 3 4 5 6

60 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 6

62 1 2 3 4 5 6

63 1 2 3 4 5 6

64 1 2 3 4 5 6

65 1 2 3 4 5 6

66 1 2 3 4 5 6

67 1 2 3 4 5 6

68 1 2 3 4 5 6

69 1 2 3 4 5 6

70 1 2 3 4 5 6

71 1 2 3 4 5 6

72 1 2 3 4 5 6

73 1 2 3 4 5 6

74 1 2 3 4 5 6

75 1 2 3 4 5 6

76 1 2 3 4 5 6

77 1 2 3 4 5 6

78 1 2 3 4 5 6

79 1 2 3 4 5 6

80 1 2 3 4 5 6

81 1 2 3 4 5 6

82 1 2 3 4 5 6

83 1 2 3 4 5 6

84 1 2 3 4 5 6

85 1 2 3 4 5 6

86 1 2 3 4 5 6

87 1 2 3 4 5 6

88 1 2 3 4 5 6

89 1 2 3 4 5 6

90 1 2 3 4 5 6

7 Problemas para entregar. Matemáticas.


para evitar que el punto se ponga en medio

Ejercicios de números complejos

Dados los números complejos z = 2 i+2 y w = 2√3 i+2, responde a las siguientes preguntas sobre

números complejos.

1 .

Calcula el valor dei (64

√3+w2 z2)4

Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 17

2) 16

3) 13

4) 12

5) 11

6) 10

2 .

Calcula el número complejo (−w + z) (w + z).Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 9 +(8− 8

√3)i

2) 10 +(8− 8

√3)i

3) 8 +(8− 8

√3)i

4) 12 +(8− 8

√3)i

5) 13 +(8− 8

√3)i

6) 14 +(8− 8

√3)i

3 .

Sea la ecuación x4 − z − w = −2405 +(−2− 2

√3)i.


1) x = 1 + 7√2+ 7 i√

2y x =

−1− 7√2− 7 i√

2son dos so-

luciones de la ecuación.

2) x = 2 + 7√2+ 7 i√

2y x =

−2− 7√2− 7 i√

2son dos so-


3) x = 3 + 7√2+ 7 i√

2y x =

−3− 7√2− 7 i√

2son dos so-


4) x = 4 + 7√2+ 7 i√

2y x =

−4− 7√2− 7 i√

2son dos so-


5) x = 7√2+ 7 i√

2y x = − 7√

2−

7 i√2son dos soluciones de

la ecuación.

6) x = 6 + 7√2+ 7 i√

2y x =

−6− 7√2− 7 i√

2son dos so-


4 .

Calcula z1 =(2− i) (7 + 3 i)3 i (3 + 2 i)


1) 239 −49 i39

2) 4139 −49 i39

3) −15439 −49 i39

4) 11939 −49 i39

5) 15839 −49 i39

6) −3739 −49 i39

5 . Calcula z2 =6 (−i)255 + 3 i43 + 2i− 6

3 + 3 i


1) 56 +11 i6

2) 116 +11 i6

3) 176 +11 i6

4) −16 +11 i6

5) 296 +11 i6

6) 356 +11 i6

6 .

Usa el binomio de Newton para calcular el complejo z3 = (7 + 8 i)3




1) −1000 + 664 i2) −999 + 664 i

3) −998 + 664 i4) −1005 + 664 i

5) −996 + 664 i6) −1001 + 664 i

7 .

Calcula z4 =(−14 + 14

√3 i

)113.


1)(2227 7113

)e

5 i π6

2)(2226 7113

)e−

2 i π3

3)(2228 7113

)e

5 i π6

4)(2226 5 7113

)e−

i π6

5)(2227 3 7113

)e

5 i π6

6)(2226 7114

)e−

i π6

8 .

Calcula z5 =5√

4√3− 4 i.


1) 215 4

15 e−

i π30

2) 215 4

15 e

3 i π10

3) 215 4

15 e

7 i π15

4) 215 4

15 e

19 i π30

5) 215 4

15 e

4 i π5

6) 215 4

15 e

29 i π30


Ejercicios de factorización de polinomios

Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) los polinomios:

9 .

p(x) = x4 + 16


1)(9− 2

32 x+ x2

) (9 + 2

32 x+ x2

)2)

(16− 2

32 x+ x2

) (16 + 2

32 x+ x2

)3)

(4− 2

32 x+ x2

) (4 + 2

32 x+ x2

)4)

(36− 2

32 x+ x2

) (36 + 2

32 x+ x2

)5)

(49− 2

32 x+ x2

) (49 + 2

32 x+ x2

)6)

(64− 2

32 x+ x2

) (64 + 2

32 x+ x2

)10 .

p(x) = −146 + 105x− 18x2 + x3

Indicación: intenta ver por Ru�ni si x = 2 es raíz del polinomio p(x).


1) (−2 + x)(73− 18x+ x2

)2) (−2 + x)

(73− 16x+ x2

)3) (−2 + x)

(73− 22x+ x2

)4) (−2 + x)

(73− 24x+ x2

)5) (−2 + x)

(73− 26x+ x2

)6) (−2 + x)

(73− 28x+ x2

)para evitar que el punto se ponga en medio

Primitivas

Calcula la primitiva que sigue

11 . ∫(4x+ 12)

(x2 − 4x+ 53

)−1dx




1) 2 log(x2 − 4x+ 53

)+

3 arctan(x7 −

27

)2) 2 log

(x2 − 4x+ 53

)+

22 arctan(x7−27)

7

3) 2 log(x2 − 4x+ 53

)+

23 arctan(x7−27)

7

4) 2 log(x2 − 4x+ 53

)+

20 arctan(x7−27)

7

5) 2 log(x2 − 4x+ 53

)+

25 arctan(x7−27)

7

6) 2 log(x2 − 4x+ 53

)+

26 arctan(x7−27)

7

12 .

Calcula la primitiva 3∫x2 e8x

3dx .


1) 262147 e8 x3

2097152

2) 32771 e8 x3

262144

3) 33 e8 x3

256

4) 5 e8 x3

64

5) 61 e8 x3

512

6) e8 x3

8

13 .

Calcula la primitiva∫x√3− 10x2 dx .


1) −109 (3−10x2)

32

3000

2) −1081 (3−10x2)

32

30000

3) −103 (3−10x2)

32

3000

4) −37 (3−10x2)

32

300

5) −13 (3−10x2)

32

300

6) −(3−10x2)

32

30

14 . Calcula la primitiva que sigue

∫e2x sen (7x) dx


1) e2 x sen(7x)

106 −7 e2 x cos(7x)

212

2) 2 e2 x sen(7x)

265 −7 e2 x cos(7x)

265

3) 2 e2 x sen(7x)

53 −7 e2 x cos(7x)

53

4) 2 e2 x sen(7x)

371 −e2 x cos(7x)

53

5) 7 e2 x cos(7x)

424 −e2 x sen(7x)

212

6) 2 e2 x sen(7x)

477 −7 e2 x cos(7x)

477


Matrices

Dadas las matrices siguientes: M =

(7 i+ 2 3 i+ 37 i 3 i+ 7

), N =

(7 i+ 1 3 i+ 17 i 7 i+ 7

)y P =

(1 i+ 27 3

),

se pide realizar los siguientes cálculos:

15 . iMN


1)

(−68 i− 43 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 78

)2)

(−68 i− 40 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 75

)



3)

(−68 i− 45 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 80

)4)

(−68 i− 38 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 73

) 5)(−68 i− 47 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 82

)6)

(−68 i− 42 −19 i− 55−70 i− 56 7 i− 77

)16 . P 2.


1)

(6 i+ 15 4 i+ 8

28 6 i+ 23

)2)

(9 i+ 15 4 i+ 8

28 9 i+ 23

)3)

(7 i+ 15 4 i+ 8

28 7 i+ 23

)4)

(11 i+ 15 4 i+ 8

28 11 i+ 23

)5)

(2 i+ 15 4 i+ 8

28 2 i+ 23

)6)

(13 i+ 15 4 i+ 8

28 13 i+ 23

)17 . i(M +N)Pi.


1)

(−57 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −59 i− 28

)2)

(−54 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −56 i− 28

)3)

(−59 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −61 i− 28

)4)

(−56 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −58 i− 28

)5)

(−61 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −63 i− 28

)6)

(−50 i− 31 −49 i− 4−84 i− 98 −52 i− 28

)18 . P−1.


1)

(−149 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170 −

163 i170 −

11170

)2)

(361 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170

347 i170 −

11170

)3)

(−489 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170 −

503 i170 −

11170

)4)

(701 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170

687 i170 −

11170

)5)

(21 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170

7 i170 −

11170

)6)

(1041 i170 −

33170

29170 −

3 i170

77170 −

49 i170

1027 i170 −

11170

)19 . Dada la ecuación PX = M encuentra la matriz X.


1)

(−78 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

2817 −

7 i17

)2)

(177 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

44 i17 +

2817

)3)

(−248 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

2817 −

41 i17

)4)

(347 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

78 i17 +

2817

)5)

(7 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

10 i17 +

2817

)6)

(517 i85 −

9685

3 i17 +

517

182 i85 +

22485

112 i17 +

2817

)



Dadas las matrices siguientes

A =

2 7 33 14 17 4 3

, B =7 37 73 1

, C =3 8 44 15 28 5 4

,se pide calcular las siguientes operaciones:

20 . AB


1)

72 58121 10785 52

2)

72 58124 11088 52

3)

72 58119 10583 52

4)

72 58126 11290 52

5)

72 58122 10886 52

6)

72 58128 11492 52

21 . BtAt


1)

(72 121 8558 107 52

)2)

(72 124 8858 110 52

) 3)(72 122 8658 108 52

)4)

(72 126 9058 112 52

) 5)(72 117 8158 103 52

)6)

(72 128 9258 114 52

)22 . (A+ I3)

2


1)

51 137 2861 250 2760 125 41

2)

51 140 2861 250 3063 125 41

3)

51 138 2861 250 2861 125 41

4)

51 142 2861 250 3265 125 41

5)

51 133 2861 250 2356 125 41

6)

51 144 2861 250 3467 125 41

23 . A2 + 2A+ I3


1)

51 137 2861 250 2760 125 41

2)

51 140 2861 250 3063 125 41

3)

51 135 2861 250 2558 125 41

4)

51 138 2861 250 2861 125 41

5)

51 133 2861 250 2356 125 41

6)

51 144 2861 250 3467 125 41

24 . AC




1)

58 135 3473 239 4360 131 48

2)

58 136 3473 239 4461 131 48

3)

58 133 3473 239 4158 131 48

4)

58 140 3473 239 4865 131 48

5)

58 131 3473 239 3956 131 48

6)

58 142 3473 239 5067 131 48

25 . CA


1)

58 148 2967 246 3258 142 41

2)

58 151 2967 246 3561 142 41

3)

58 146 2967 246 3056 142 41

4)

58 149 2967 246 3359 142 41

5)

58 144 2967 246 2854 142 41

6)

58 155 2967 246 3965 142 41

26 . (A+ C)2


1)

235 572 129283 973 156242 549 181

2)

235 573 129283 973 157243 549 181

3)

235 570 129283 973 154240 549 181

4)

235 577 129283 973 161247 549 181

5)

235 568 129283 973 152238 549 181

6)

235 579 129283 973 163249 549 181

27 . A2 + 2AC + C2


1)

235 560 134289 966 168245 538 188

2)

235 562 134289 966 170247 538 188

3)

235 557 134289 966 165242 538 188

4)

235 564 134289 966 172249 538 188

5)

235 555 134289 966 163240 538 188

6)

235 566 134289 966 174251 538 188

28 . A2 +AC + CA+ C2


1)

235 572 129283 973 156242 549 181

2)

235 575 129283 973 159245 549 181

3)

235 570 129283 973 154240 549 181

4)

235 577 129283 973 161247 549 181

5)

235 568 129283 973 152238 549 181

6)

235 573 129283 973 157243 549 181

29 .



Calcula la inversa de la matriz

(2 70 i2

)(en el resultado no puedes dejar en el denominador

ningún número complejo) .


1)

(72 49 i0 −14 i

)2)

(4 56 i0 −16 i

)3)

(12 7 i0 −2 i

)4)

(−3 −42 i0 12 i

)5)

(−2 −28 i0 8 i

)6)

(−1 −14 i0 4 i

)Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

30 . ∣∣∣∣∣∣∣∣4 23 11 104 9 6 42 1 1 12 8 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣Elige tu solución correcta entre las siguien-

tes:

1) 125

2) 128

3) 123

4) 130

5) 126

6) 132

31 . ∣∣∣∣∣∣2 10 46 33 134 23 8

∣∣∣∣∣∣Elige tu solución correcta entre las siguien-

tes:

1) −72) −63) −9

4) −25) −116) 0

32 . ∣∣∣∣∣∣2 10 47 34 144 23 8

∣∣∣∣∣∣ ,

Elige tu solución correcta entre las siguien-

tes:

1) −12) 2

3) −3

4) 4

5) 0

6) 6

33 . ∣∣∣∣∣∣∣∣5 23 11 104 10 6 42 1 2 12 8 5 6


tes:

1) 1

2) 4

3) 2

4) 6

5) −36) 8

34 .

∣∣∣∣∣∣∣∣4 23 11 104 9 6 42 1 1 12 8 5 6


tes:

1) 125

2) 128

3) 123

4) 130

5) 121

6) 126

Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton):

35 .

A30




1)

(1 610 1

)2)

(1 580 1

) 3)(1 630 1

)4)

(1 560 1

) 5)(1 600 1

)6)

(1 660 1

)Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones que sigue:

36 . x+ 3αy + z = 24x+ αy + z = 267x+ αy = 28


1) Si α = 4 el sistema es in-compatible. En caso con-

trario es compatible de-

terminado.

2) Si α = −5 el sistemaes incompatible. En ca-

so contrario es compatible

determinado.



terminado.



determinado.



terminado.



terminado.


Espacios vectoriales

Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 3x + 2y + 7z = 2y + 3z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

37 . Una base de U .


1) βU = {(0 0 0 2

)}

2) βU = {(2 2 0 0

)}

3) βU = {(3 0 0 3

)}

4) βU = {(0 0 4 4

)}

5) βU = {(0 5 5 0

)}

6) βU = {(6 6 0 0

)}

38 . Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(2, 7, 3, 1), (7, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.


1)

{3 z + 6 y + 21x+ 6 t = 03 y = 0

2)

{8 z + 8 y + 4x+ 28 t = 04 z = 0

3)

{10 z + 35 y + 10x+ 5 t = 05x = 0

4)

{6 z + 12 y + 42x+ 12 t = 06 y = 0

5)

{14 z + 14 y + 7x+ 49 t = 07 z = 0

6)

{56 z + 8 y + 16x+ 16 t = 08 t = 0

39 . Una base de U + V .




1) βU+V = {[0, 0, 9, 0] , [0, 0, 6, 6] , [3, 0, 3, 3]}2) βU+V = {[12, 0, 0, 0] , [8, 8, 0, 0] , [4, 4, 0, 4]}3) βU+V = {[0, 0, 0, 15] , [0, 0, 10, 10] , [0, 5, 5, 5]}4) βU+V = {[0, 0, 18, 0] , [0, 0, 12, 12] , [6, 0, 6, 6]}5) βU+V = {[21, 0, 0, 0] , [14, 14, 0, 0] , [7, 7, 0, 7]}6) βU+V = {[0, 24, 0, 0] , [16, 16, 0, 0] , [8, 8, 8, 0]}

40 . Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.


1) −z − 4 y = 02) −3 z = 0

3) −3 z − 6 t = 04) 4 z − 7 y = 0

5) 10x = 0

6) 6 z − 9 t = 0

Considera las bases de R4 que siguen:

β1 = {[1, 2, 7, 3] , [0, 1, 7, 3] , [0, 0, 1, 3] , [0, 0, 0, 1]}

β2 = {[1, 3, 8, 4] , [0, 1, 8, 4] , [0, 0, 1, 4] , [0, 0, 0, 1]}

β3 = {[1, 5, 10, 6] , [0, 1, 10, 6] , [0, 0, 1, 6] , [0, 0, 0, 1]}

y haz los siguientes cálculos.

41 .

Mβ1β3


1) Mβ1β3(x) =

0 −2 0 00 −6 −2 00 36 −6 −2−2 −96 12 −6

2) Mβ1β3(x) =

0 0 3 00 0 9 33 0 −54 99 3 144 −18

3) Mβ1β3(x) =

0 0 0 −1−1 0 0 −3−3 −1 0 186 −3 −1 −48

4) Mβ1β3(x) =

1 0 0 03 1 0 0

−18 3 1 048 −6 3 1

5) Mβ1β3(x) =

0 −3 0 00 −9 −3 00 54 −9 −3−3 −144 18 −9

6) Mβ1β3(x) =

0 0 1 00 0 3 11 0 −18 33 1 48 −6

42 .

Mβ2β3


1) Mβ2β3(x) =

−4 −2 0 028 −4 −2 0

−100 12 −4 −2−2 0 0 0

2) Mβ2β3(x) =

1 0 0 02 1 0 0

−14 2 1 050 −6 2 1



3) Mβ2β3(x) =

−50 6 −2 −1−1 0 0 0−2 −1 0 014 −2 −1 0

4) Mβ2β3(x) =

2 0 0 04 2 0 0

−28 4 2 0100 −12 4 2

5) Mβ2β3(x) =

−6 −3 0 042 −6 −3 0

−150 18 −6 −3−3 0 0 0

6) Mβ2β3(x) =

−14 2 1 050 −6 2 11 0 0 02 1 0 0

43 . Calcula las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 1)β2 en las bases β1 y β3


1) v =(−4 8 −32 −2

)β1

=(2 −34 178 −2

)β3

2) v =(1 2 −4 16

)β1

=(1 −1 17 −89

)β3

3) v =(−64 −4 −8 16

)β1

=(356 −4 4 −68

)β3

4) v =(5 10 −20 80

)β1

=(5 −5 85 −445

)β3

5) v =(−12 24 −96 −6

)β1

=(6 −102 534 −6

)β3

6) v =(−28 112 7 14

)β1

=(119 −623 7 −7

)β3

44 .

Sean β y β′ bases de R3, β = {[1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [0, 0, 1]}, Mββ′ =

1 2 70 1 30 0 1

(esta es la matrizque contiene en las columnas las coordenadas de los vectores de β′ expresadas en la base β).Se calcular las coordenadas de los vectores de β′ expresadas en la base canónica .


1) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [9, 7, 11]}2) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [11, 7, 11]}3) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [18, 7, 11]}

4) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [3, 7, 11]}5) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [10, 7, 11]}6) β′ = {[1, 1, 1] , [3, 1, 3] , [8, 7, 11]}

45 .

Considera la base β de R4, β = {[1, 3, 0, 0] , [10, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0] , [0, 0, 0, 3]} y el subespaciovectorial, V , de R4 de�nido por:

V = {(x, y, z, t) : z + y + 3x+ t = 0, 10 z + 3 y + t = 0}

.


1) V = {(x, y, z, t)β : 5 z + 30 y + 6x+ 3 t = 0, 13 z + 9x+ 3 t = 0}2) V = {(x, y, z, t)β : 12 z + 30 y + 13x+ 3 t = 0, 20 z + 9x+ 3 t = 0}3) V = {(x, y, z, t)β : 15 z + 30 y + 16x+ 3 t = 0, 23 z + 9x+ 3 t = 0}4) V = {(x, y, z, t)β : −4 z + 30 y − 3x+ 3 t = 0, 4 z + 9x+ 3 t = 0}5) V = {(x, y, z, t)β : −z + 30 y + 3 t = 0, 7 z + 9x+ 3 t = 0}6) V = {(x, y, z, t)β : 8 z + 30 y + 9x+ 3 t = 0, 16 z + 9x+ 3 t = 0}




Aplicaciones lineales

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal de�nida por

Mβ4cβ5c (f) =

1 2 7 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.Responde a las siguientes cuestiones:

46 . Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′(f) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0


1) β = {[1, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 0] , [0, 0, 1, 0] , [6, 7,−3, 1]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

2) β = {[−1, 0, 0, 0] , [0,−1, 0, 0] , [0,−2, 1, 0] , [4, 7, 3,−1]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

3) β = {[−2, 0, 0, 0] , [0,−2, 0, 0] , [0,−3, 1, 0] , [3, 7, 6,−2]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

4) β = {[5, 0, 0, 0] , [0, 5, 0, 0] , [0, 4, 1, 0] , [10, 7,−15, 5]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

5) β = {[6, 0, 0, 0] , [0, 6, 0, 0] , [0, 5, 1, 0] , [11, 7,−18, 6]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

6) β = {[7, 0, 0, 0] , [0, 7, 0, 0] , [0, 6, 1, 0] , [12, 7,−21, 7]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [2, 1, 0, 0, 0] , [7, 3, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

47 .

Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 7, 1, 0), (3, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}y calcula Mβ4β5(f)


1)

0 0 0 00 0 1 −10 9 3 1−3 −7 3 1−1 20 19 2

2)

0 0 0 00 0 0 04 1 0 0−2 3 1 0−1 9 9 1

3)

0 0 0 00 0 1 −10 11 3 1−7 −13 5 1−3 38 37 4

4)

0 0 0 00 0 1 −10 12 3 1−9 −16 6 1−4 47 46 5

5)

0 0 0 00 0 1 −10 13 3 1

−11 −19 7 1−5 56 55 6

6)

0 0 0 00 0 1 −10 14 3 1

−13 −22 8 1−6 65 64 7

48 . Calcula la matriz Mβ4β4c .




1)

0 0 0 10 0 1 −10 1 −2 11 −7 13 −7

2)

0 0 0 10 0 1 −30 1 −2 11 −7 13 −5

3)

0 0 0 10 0 1 20 1 −2 11 −7 13 −10

4)

0 0 0 10 0 1 30 1 −2 11 −7 13 −11

5)

0 0 0 10 0 1 −60 1 −2 11 −7 13 −2

6)

0 0 0 10 0 1 −70 1 −2 11 −7 13 −1

49 . Calcula la matriz Mβ5β5c


1)

0 0 0 0 10 0 0 2 −10 0 1 −7 70 1 −2 13 −112 0 −3 20 −17

2)

0 0 0 0 10 0 0 −1 −10 0 1 −7 40 1 −2 10 −11−1 0 −3 20 −20

3)

0 0 0 0 10 0 0 4 −10 0 1 −7 90 1 −2 15 −114 0 −3 20 −15

4)

0 0 0 0 10 0 0 5 −10 0 1 −7 100 1 −2 16 −115 0 −3 20 −14

5)

0 0 0 0 10 0 0 1 −10 0 1 −7 60 1 −2 12 −111 0 −3 20 −18

6)

0 0 0 0 10 0 0 −5 −10 0 1 −7 00 1 −2 6 −11−5 0 −3 20 −24

50 . Da una base de Ker f expresando sus coordenadas en β4.


1) βKer f = {[1,−4, 12,−91]β4}2) βKer f = {[1,−4, 17,−86]β4}3) βKer f = {[1,−4, 10,−93]β4}


51 . Da una base de Im f expresando sus coordenadas en β5.


1) βIm f = {[−2, 0, 1, 0, 0]β5 , [0,−2, 0,−1, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}2) βIm f = {[3, 0, 1, 0, 0]β5 , [0, 3, 0, 4, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}3) βIm f = {[0, 0, 4, 0, 0]β5 , [0, 0, 0, 4, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 4]β5}4) βIm f = {[5, 0, 1, 0, 0]β5 , [0, 5, 0, 6, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}5) βIm f = {[−6, 0, 1, 0, 0]β5 , [0,−6, 0,−5, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}6) βIm f = {[7, 0, 1, 0, 0]β5 , [0, 7, 0, 8, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}



52 . Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 7z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)


1)

1 2 7 30 1 0 −10 0 1 10 1 1 1

2)

1 2 7 30 1 0 00 0 1 10 1 1 1

3)

1 2 7 30 1 0 −30 0 1 10 1 1 1

4)

1 2 7 30 1 0 40 0 1 10 1 1 1

5)

1 2 7 30 1 0 −50 0 1 10 1 1 1

6)

1 2 7 30 1 0 60 0 1 10 1 1 1

53 . Calcula una base de Ker g respecto de la base β4.


1) {[4, 1,−1, 1]}β42) {[−4, 2, 1,−1]}β4

3) {[4, 3,−1, 1]}β44) {[16, 0,−4, 4]}β4

5) {[4, 5,−1, 1]}β46) {[−4, 6, 1,−1]}β4

54 . Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).


1) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 0, 0, 1]β4 , [7, 0, 1, 1]β4}2) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 0, 0, 1]β4 , [7, 0,−2, 1]β4}3) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 1, 0, 1]β4 , [7, 0, 1, 1]β4}4) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 0, 0, 1]β4 , [7, 0, 4, 1]β4}5) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 0, 0, 1]β4 , [7, 0, 5, 1]β4}6) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [2, 0, 0, 1]β4 , [7, 0,−6, 1]β4}

55 . Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))


1)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 8

2)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 5

3)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 7

4)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 3

5)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 12

6)

0 0 0 00 0 0 04 9 28 12−2 −1 −13 −5−1 8 3 13

56 . Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Elige tu solución correcta para f ◦ g((x, y, z, t)β4 entre las siguientes:1)

(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 8 t

)β5

2)(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 9 t

)β5



3)(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 10 t

)β5

4)(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 11 t

)β5

5)(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 7 t

)β5

6)(0 0 28 z + 9 y + 4x+ 12 t −13 z − y − 2x− 5 t 3 z + 8 y − x+ 13 t

)β5

57 . Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras �las y columnas de Mβ4cβ5c (f) y calcula(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).


1)

1 14 1770 1 210 0 1

2)

1 14 1750 1 210 0 1

3)

1 14 1790 1 210 0 1

4)

1 14 1700 1 210 0 1

5)

1 14 1810 1 210 0 1

6)

1 14 1680 1 210 0 1

58 .

Sean β la base de R3, β = {[1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [0, 0, 1]}, f : R3 → R3 la aplicación lineal tal que

Mββ(f) =

0 0 −13 1 100 0 1

. Calcula la matriz Mβ3cβ3c (f) .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

−4 2 131 4 −1−5 2 10

2)

−3 2 141 5 −1−4 2 10

3)

1 2 181 9 −10 2 10

4)

−18 2 −11 −10 −1−19 2 10

5)

−12 2 51 −4 −1−13 2 10

6)

−8 2 91 0 −1−9 2 10


Diagonalización

59 . Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendoquién es ésta. Responde a los siguientes apartados.

A =

5 − 1 − 15 213 1 − 15 213 − 1 − 13 212 2 − 18 24




1) D =

4 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 12

, P =3 1 10 63 1 9 63 1 7 52 1 4 3

y P−1 =

0 0 1 −1−1 0 −2 33 −1 1 −3−3 3 0 1

.

2) D =

5 0 0 00 −1 0 00 0 6 00 0 0 7

, P =1 10 6 31 9 6 31 7 5 31 4 3 2

y P−1 =

0 1 −1 00 −2 3 −1−1 1 −3 33 0 1 −3

.

3) D =

6 0 0 00 6 0 00 0 −1 00 0 0 6

, P =10 6 3 19 6 3 17 5 3 14 3 2 1

y P−1 =

1 −1 0 0−2 3 −1 01 −3 3 −10 1 −3 3

.

4) D =

2 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 10

, P =10 6 3 19 6 3 17 5 3 14 3 2 1

y P−1 =

1 −1 0 0−2 3 −1 01 −3 3 −10 1 −3 3

.

5) D =

8 0 0 00 8 0 00 0 9 00 0 0 16

, P =3 1 10 63 1 9 63 1 7 52 1 4 3

y P−1 =

0 0 1 −1−1 0 −2 33 −1 1 −3−3 3 0 1

.

6) D =

9 0 0 00 9 0 00 0 −4 00 0 0 17

, P =1 10 6 31 9 6 31 7 5 31 4 3 2

y P−1 =

0 1 −1 00 −2 3 −1−1 1 −3 33 0 1 −3

.

Dadas las matrices A =

84 −54 −5454 −33 −3654 −36 −33

, B =66 −42 −4242 −25 −2842 −28 −25

y C =65 −42 −4242 −26 −2842 −28 −26

, sepide calcular los siguientes polinomios característicos.

60 .

pA(x)


1) pA(x) = − (x− 11) (x− 3)2

2) pA(x) = − (x− 14) (x− 3)2

3) pA(x) = − (x− 9) (x− 3)2

4) pA(x) = − (x− 16) (x− 3)2

5) pA(x) = − (x− 7) (x− 3)2

6) pA(x) = − (x− 12) (x− 3)2

61 .

pB(x)


1) pB(x) = − (x− 9) (x− 3)2

2) pB(x) = − (x− 10) (x− 3)2

3) pB(x) = − (x− 7) (x− 3)2

4) pB(x) = − (x− 14) (x− 3)2

5) pB(x) = − (x− 5) (x− 3)2

6) pB(x) = − (x− 16) (x− 3)2

Hasta aquí el ejercicio de .



62 .

pC(x)


1) pC(x) = − (x− 8) (x− 2)2

2) pC(x) = − (x− 11) (x− 2)2

3) pC(x) = − (x− 9) (x− 2)2

4) pC(x) = − (x− 13) (x− 2)2

5) pC(x) = − (x− 4) (x− 2)2

6) pC(x) = − (x− 15) (x− 2)2

63 .

Sea A =

10 −16 88 −14 816 −32 18

. Encuentra matrices D (diagonal) y P tales que D = P−1AP .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) D =

3 0 00 3 00 0 9

,P =

1 3 −11 2 −1−1 1 2

2) D =

2 0 00 2 00 0 10

,P =

1 1 11 2 11 3 2

3) D =

4 0 00 4 00 0 8

,P =

1 4 −21 2 −2−2 0 2

4) D =

1 0 00 1 00 0 11

,P =

1 −2 41 2 44 6 2

5) D =

2 0 00 2 00 0 10

,P =

1 0 21 2 22 4 2

6) D =

2 0 00 2 00 0 10

,P =

1 2 01 2 00 2 2




Nombre y apellidos:

E-mail:

Titulación:

Firma:

Observaciones





Soluciones del test


1 1 2 3 4 5 6

2 1 2 3 4 5 6

3 1 2 3 4 5 6

4 1 2 3 4 5 6

5 1 2 3 4 5 6

6 1 2 3 4 5 6

7 1 2 3 4 5 6

8 1 2 3 4 5 6

9 1 2 3 4 5 6

10 1 2 3 4 5 6

11 1 2 3 4 5 6

12 1 2 3 4 5 6

13 1 2 3 4 5 6

14 1 2 3 4 5 6

15 1 2 3 4 5 6

16 1 2 3 4 5 6

17 1 2 3 4 5 6

18 1 2 3 4 5 6

19 1 2 3 4 5 6

20 1 2 3 4 5 6

21 1 2 3 4 5 6

22 1 2 3 4 5 6

23 1 2 3 4 5 6

24 1 2 3 4 5 6

25 1 2 3 4 5 6

26 1 2 3 4 5 6

27 1 2 3 4 5 6

28 1 2 3 4 5 6

29 1 2 3 4 5 6

30 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 6

32 1 2 3 4 5 6

33 1 2 3 4 5 6

34 1 2 3 4 5 6

35 1 2 3 4 5 6

36 1 2 3 4 5 6

37 1 2 3 4 5 6

38 1 2 3 4 5 6

39 1 2 3 4 5 6

40 1 2 3 4 5 6

41 1 2 3 4 5 6

42 1 2 3 4 5 6

43 1 2 3 4 5 6

44 1 2 3 4 5 6

45 1 2 3 4 5 6

46 1 2 3 4 5 6

47 1 2 3 4 5 6

48 1 2 3 4 5 6

49 1 2 3 4 5 6

50 1 2 3 4 5 6

51 1 2 3 4 5 6

52 1 2 3 4 5 6

53 1 2 3 4 5 6

54 1 2 3 4 5 6

55 1 2 3 4 5 6

56 1 2 3 4 5 6

57 1 2 3 4 5 6

58 1 2 3 4 5 6

59 1 2 3 4 5 6

60 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 6

62 1 2 3 4 5 6

63 1 2 3 4 5 6

64 1 2 3 4 5 6

65 1 2 3 4 5 6

66 1 2 3 4 5 6

67 1 2 3 4 5 6

68 1 2 3 4 5 6

69 1 2 3 4 5 6

70 1 2 3 4 5 6

71 1 2 3 4 5 6

72 1 2 3 4 5 6

73 1 2 3 4 5 6

74 1 2 3 4 5 6

75 1 2 3 4 5 6

76 1 2 3 4 5 6

77 1 2 3 4 5 6

78 1 2 3 4 5 6

79 1 2 3 4 5 6

80 1 2 3 4 5 6

81 1 2 3 4 5 6

82 1 2 3 4 5 6

83 1 2 3 4 5 6

84 1 2 3 4 5 6

85 1 2 3 4 5 6

86 1 2 3 4 5 6

87 1 2 3 4 5 6

88 1 2 3 4 5 6

89 1 2 3 4 5 6

90 1 2 3 4 5 6





Dados los números complejos z = 6 i+6 y w = 2332 i+6, responde a las siguientes preguntas sobre

números complejos.

1 .

Calcula el valor dei(64 3

92+w2 z2

)4


1) 1297

2) 1294

3) 1299

4) 1300

5) 1291

6) 1296

2 .


1) 73 +(72− 8 3

52

)i

2) 70 +(72− 8 3

52

)i

3) 72 +(72− 8 3

52

)i

4) 68 +(72− 8 3

52

)i

5) 77 +(72− 8 3

52

)i

6) 66 +(72− 8 3

52

)i

3 .

Sea la ecuación x4 − z − w = −13 +(−6− 2 3

32

)i.


1) x = 1 + 1√2+ i√

2y x =

−1− 1√2− i√

2son dos so-


2) x = −2 + 1√2+ i√

2y x =

2− 1√2− i√

2son dos solu-

ciones de la ecuación.

3) x = 3 + 1√2+ i√

2y x =

−3− 1√2− i√

2son dos so-


4) x = −4 + 1√2+ i√

2y x =

4− 1√2− i√

2son dos solu-


5) x = 1√2+ i√

2y x = − 1√

2−

i√2son dos soluciones de

la ecuación.

6) x = −6 + 1√2+ i√

2y x =

6− 1√2− i√

2son dos solu-


4 .

Calcula z1 =(6− i) (1 + i)6 i (3 + 2 i)


1) 7978 −31 i78

2) −15578 −31 i78

3) 23578 −31 i78

4) 178 −31 i78

5) 39178 −31 i78

6) 46978 −31 i78

5 . Calcula z2 =9 (−i)258 + 1 i37 + 2i− 10

6 + i




1) −2 + i2) −1 + i

3) i

4) 1 + i

5) −3 + i6) 3 + i

6 .



1) −5290− 73962 i2) −5293− 73962 i

3) −5291− 73962 i4) −5295− 73962 i

5) −5286− 73962 i6) −5297− 73962 i

7 .

Calcula z4 =(−12 + 4 3

32 i

)15.


1)(246 315

)e−

i π2

2)(245 315

)1

3)(247 315

)e−

i π2

4)(245 315 5

)e

i π2

5)(246 316

)e−

i π2

6)(245 315 7

)e

i π2

8 .

Calcula z5 =3

√−4 3

32 − 12 i.


1) 213 12

13 e−

i π9

2) 213 12

13 e

i π18

3) 213 12

13 e

2 i π9

4) 213 12

13 e

7 i π18

5) 213 12

13 e−

5 i π18

6) 213 12

13 e

13 i π18



Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) los polinomios:

9 .

p(x) = x4 + 1296


1)(49− 3 2

32 x+ x2

) (49 + 3 2

32 x+ x2

)2)

(36− 3 2

32 x+ x2

) (36 + 3 2

32 x+ x2

)3)

(81− 3 2

32 x+ x2

) (81 + 3 2

32 x+ x2

)4)

(100− 3 2

32 x+ x2

) (100 + 3 2

32 x+ x2

)5)

(121− 3 2

32 x+ x2

) (121 + 3 2

32 x+ x2

)6)

(144− 3 2

32 x+ x2

) (144 + 3 2

32 x+ x2

)10 .

p(x) = −30 + 29x− 10x2 + x3

Indicación: intenta ver por Ru�ni si x = 6 es raíz del polinomio p(x).




1) (−6 + x)(5− 4x+ x2

)2) (−6 + x)

(5− 8x+ x2

)3) (−6 + x)

(5− 10x+ x2

)4) (−6 + x)

(5− 12x+ x2

)5) (−6 + x)

(5− 14x+ x2

)6) (−6 + x)

(5− 16x+ x2

)para evitar que el punto se ponga en medio

Primitivas

Calcula la primitiva que sigue

11 . ∫(4x+ 28)

(x2 − 12x+ 37

)−1dx


1) 2 log(x2 − 12x+ 37

)+

53 arctan (x− 6)2) 2 log

(x2 − 12x+ 37

)+

54 arctan (x− 6)

3) 2 log(x2 − 12x+ 37

)+


(x2 − 12x+ 37

)+

56 arctan (x− 6)

5) 2 log(x2 − 12x+ 37

)+


(x2 − 12x+ 37

)+

52 arctan (x− 6)

12 .

Calcula la primitiva 7∫x2 e2x

3dx .


1) 77 e2 x3

64

2) 7 e2 x3

6

3) 21 e2 x3

16

4) 7 e2 x3

12

5) 7 e2 x3

8

6) 147 e2 x3

128

13 .

Calcula la primitiva∫x√7− 8x2 dx .


1) −5773 (7−8x2)

32

4096

2) −113 (7−8x2)

32

1536

3) −173 (7−8x2)

32

4096

4) −39219 (7−8x2)

32

64

5) −(7−8x2)

32

24

6) −117 (7−8x2)

32

64

14 . Calcula la primitiva que sigue

∫e6x senx dx


1) 6 e6 x senx37 −

e6 x cosx37

2) e6 x cosx185 −

6 e6 x senx185

3) e6 x cosx222 −

e6 x senx37

4) 6 e6 x senx259 −

e6 x cosx259

5) 3 e6 x senx148 −

e6 x cosx296

6) 2 e6 x senx111 −

e6 x cosx333




Matrices

Dadas las matrices siguientes: M =

(i+ 6 6 i+ 1i 6 i+ 1

), N =

(i+ 2 6 i+ 2i i+ 1

)y P =

(1 i+ 61 1

), se

pide realizar los siguientes cálculos:

15 . iMN


1)

(5 i− 10 i− 45−7 i− 3 −11 i− 10

)2)

(5 i− 9 i− 45−7 i− 3 −11 i− 9

)3)

(5 i− 12 i− 45−7 i− 3 −11 i− 12

)4)

(5 i− 5 i− 45−7 i− 3 −11 i− 5

)5)

(5 i− 14 i− 45−7 i− 3 −11 i− 14

)6)

(5 i− 3 i− 45−7 i− 3 −11 i− 3

)16 . P 2.


1)

(7 2 i+ 122 7

)2)

(3 i+ 7 2 i+ 12

2 3 i+ 7

)3)

(7− 2 i 2 i+ 12

2 7− 2 i

)4)

(5 i+ 7 2 i+ 12

2 5 i+ 7

)5)

(i+ 7 2 i+ 122 i+ 7

)6)

(7 i+ 7 2 i+ 12

2 7 i+ 7

)17 . i(M +N)Pi.


1)

(−15 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −20 i

)2)

(−12 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −17 i

)3)

(−14 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −19 i

)4)

(−10 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −15 i

)5)

(−19 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −24 i

)6)

(−8 i− 11 −32 i− 49−9 i− 2 −13 i

)18 . P−1.


1)

(i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26

i26 −

526

)2)

(53 i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26

53 i26 −

526

)3)

(−77 i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26 −

77 i26 −

526

)4)

(105 i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26

105 i26 −

526

)5)

(−129 i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26 −

129 i26 −

526

)6)

(157 i26 −

526

3126 −

i26

526 −

i26

157 i26 −

526

)19 . Dada la ecuación PX = M encuentra la matriz X.




1)

(16 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 0

)2)

(42 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 2 i

)3)

(−23 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 −3 i

)4)

(68 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 4 i

)5)

(−49 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 −5 i

)6)

(94 i13 −

1513 6 i+ 1

1513 −

3 i13 6 i

)

Dadas las matrices siguientes

A =

6 1 11 2 21 12 6

, B =1 61 11 2

, C =7 2 22 3 32 13 7

,se pide calcular las siguientes operaciones:

20 . AB


1)

8 394 1118 30

2)

8 397 1421 30

3)

8 392 916 30

4)

8 399 1623 30

5)

8 390 714 30

6)

8 395 1219 30

21 . BtAt


1)

(8 5 1939 12 30

)2)

(8 7 2139 14 30

) 3)(8 2 1639 9 30

)4)

(8 9 2339 16 30

) 5)(8 0 1439 7 30

)6)

(8 11 2539 18 30

)22 . (A+ I3)

2


1)

51 21 1612 34 2025 121 74

2)

51 24 1612 34 2328 121 74

3)

51 19 1612 34 1823 121 74

4)

51 26 1612 34 2530 121 74

5)

51 17 1612 34 1621 121 74

6)

51 22 1612 34 2126 121 74

23 . A2 + 2A+ I3




1)

51 21 1612 34 2025 121 74

2)

51 24 1612 34 2328 121 74

3)

51 19 1612 34 1823 121 74

4)

51 26 1612 34 2530 121 74

5)

51 22 1612 34 2126 121 74

6)

51 28 1612 34 2732 121 74

24 . AC


1)

46 27 2215 34 2142 116 80

2)

46 30 2215 34 2445 116 80

3)

46 25 2215 34 1940 116 80

4)

46 32 2215 34 2647 116 80

5)

46 23 2215 34 1738 116 80

6)

46 28 2215 34 2243 116 80

25 . CA


1)

46 34 2318 44 2531 112 70

2)

46 37 2318 44 2834 112 70

3)

46 32 2318 44 2329 112 70

4)

46 39 2318 44 3036 112 70

5)

46 35 2318 44 2632 112 70

6)

46 41 2318 44 3238 112 70

26 . (A+ C)2


1)

187 129 9369 159 99153 459 303

2)

187 131 9369 159 101155 459 303

3)

187 126 9369 159 96150 459 303

4)

187 133 9369 159 103157 459 303

5)

187 124 9369 159 94148 459 303

6)

187 135 9369 159 105159 459 303

27 . A2 + 2AC + C2


1)

187 122 9266 149 95164 463 313

2)

187 124 9266 149 97166 463 313

3)

187 119 9266 149 92161 463 313

4)

187 126 9266 149 99168 463 313

5)

187 117 9266 149 90159 463 313

6)

187 128 9266 149 101170 463 313

28 . A2 +AC + CA+ C2




1)

187 129 9369 159 99153 459 303

2)

187 131 9369 159 101155 459 303

3)

187 126 9369 159 96150 459 303

4)

187 133 9369 159 103157 459 303

5)

187 124 9369 159 94148 459 303

6)

187 135 9369 159 105159 459 303

29 .

Calcula la inversa de la matriz

(6 10 i6

)(en el resultado no puedes dejar en el denominador

ningún número complejo) .


1)

(−13 −2 i0 12 i

)2)

(12 3 i0 −18 i

)3)

(23 4 i0 −24 i

)4)

(−76 −7 i0 42 i

)5)

(−1 −6 i0 36 i

)6)

(16 i0 −6 i

)Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

30 . ∣∣∣∣∣∣∣∣12 5 7 1512 3 4 56 1 1 16 2 3 10


tes:

1) 35

2) 38

3) 33

4) 40

5) 36

6) 42

31 . ∣∣∣∣∣∣6 2 818 7 2612 5 16

∣∣∣∣∣∣Elige tu solución correcta entre las siguien-

tes:

1) −132) −103) −12

4) −85) −176) −6

32 . ∣∣∣∣∣∣6 2 819 8 2712 5 16

∣∣∣∣∣∣ ,

Elige tu solución correcta entre las siguien-

tes:

1) −112) −83) −13

4) −105) −156) −4

33 . ∣∣∣∣∣∣∣∣13 5 7 1512 4 4 56 1 2 16 2 3 10


tes:

1) −1382) −1353) −140

4) −1375) −1426) −131

34 .

∣∣∣∣∣∣∣∣12 5 7 1512 3 4 56 1 1 16 2 3 10


tes:

1) 35

2) 38

3) 33

4) 36

5) 31

6) 42



Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton):

35 .

A30


1)

(1 1810 1

)2)

(1 1820 1

) 3)(1 1830 1

)4)

(1 1760 1

) 5)(1 1750 1

)6)

(1 1800 1

)Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones que sigue:

36 . x+ 7αy + z = 14x+ αy + z = 141x+ αy = 8




determinado.



terminado.



terminado.



terminado.



terminado.



determinado.


Espacios vectoriales

Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 6x + 6y + 1z = 6y + 1z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

37 . Una base de U .


1) βU = {(0 1 1 0

)}

2) βU = {(2 2 0 0

)}

3) βU = {(3 0 0 3

)}

4) βU = {(0 0 4 4

)}

5) βU = {(0 5 5 0

)}

6) βU = {(0 0 0 7

)}

38 . Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(6, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.


1)

{3 z + 18 y + 3x+ 18 t = 03 y = 0

2)

{24 z + 24 y + 4x+ 4 t = 04 z = 0



3)

{5 z + 5 y + 30x+ 30 t = 05 t = 0

4)

{6 z + 36 y + 6x+ 36 t = 06 y = 0

5)

{42 z + 7 y + 42x+ 7 t = 07x = 0

6)

{8 z + 8 y + 48x+ 48 t = 08 t = 0

39 . Una base de U + V .


1) βU+V = {[0, 0, 9, 0] , [0, 0, 6, 6] , [3, 0, 3, 3]}2) βU+V = {[12, 0, 0, 0] , [8, 8, 0, 0] , [4, 4, 0, 4]}3) βU+V = {[0, 15, 0, 0] , [10, 10, 0, 0] , [5, 5, 5, 0]}4) βU+V = {[0, 0, 0, 18] , [0, 0, 12, 12] , [0, 6, 6, 6]}5) βU+V = {[21, 0, 0, 0] , [14, 14, 0, 0] , [7, 7, 0, 7]}6) βU+V = {[0, 24, 0, 0] , [16, 16, 0, 0] , [8, 8, 8, 0]}

40 . Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.


1) −z − 4 y = 02) −3 z = 0

3) −3 z − 6 t = 04) 4 z − 7 y = 0

5) 10x = 0

6) 6 z − 9 t = 0

Considera las bases de R4 que siguen:

β1 = {[1, 6, 1, 1] , [0, 1, 1, 1] , [0, 0, 1, 1] , [0, 0, 0, 1]}

β2 = {[1, 7, 2, 2] , [0, 1, 2, 2] , [0, 0, 1, 2] , [0, 0, 0, 1]}β3 = {[1, 9, 4, 4] , [0, 1, 4, 4] , [0, 0, 1, 4] , [0, 0, 0, 1]}

y haz los siguientes cálculos.

41 .

Mβ1β3


1) Mβ1β3(x) =

0 −2 0 00 −6 −2 00 0 −6 −2−2 0 0 −6

2) Mβ1β3(x) =

0 0 3 00 0 9 33 0 0 99 3 0 0

3) Mβ1β3(x) =

1 0 0 03 1 0 00 3 1 00 0 3 1

4) Mβ1β3(x) =

2 0 0 06 2 0 00 6 2 00 0 6 2

5) Mβ1β3(x) =

0 −3 0 00 −9 −3 00 0 −9 −3−3 0 0 −9

6) Mβ1β3(x) =

0 0 1 00 0 3 11 0 0 33 1 0 0

42 .

Mβ2β3




1) Mβ2β3(x) =

1 0 0 02 1 0 0−2 2 1 02 −2 2 1

2) Mβ2β3(x) =

−6 6 3 06 −6 6 33 0 0 06 3 0 0

3) Mβ2β3(x) =

−2 2 −2 −1−1 0 0 0−2 −1 0 02 −2 −1 0

4) Mβ2β3(x) =

2 0 0 04 2 0 0−4 4 2 04 −4 4 2

5) Mβ2β3(x) =

−6 −3 0 06 −6 −3 0−6 6 −6 −3−3 0 0 0

6) Mβ2β3(x) =

−2 2 1 02 −2 2 11 0 0 02 1 0 0

43 . Calcula las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 1)β2 en las bases β1 y β3


1) v =(−4 −4 −4 −2

)β1

=(2 −10 26 −2

)β3

2) v =(6 6 3 6

)β1

=(15 −39 3 −3

)β3

3) v =(−8 −4 −8 −8

)β1

=(52 −4 4 −20

)β3

4) v =(5 10 10 10

)β1

=(5 −5 25 −65

)β3

5) v =(1 2 2 2

)β1

=(1 −1 5 −13

)β3

6) v =(14 14 7 14

)β1

=(35 −91 7 −7

)β3

44 .

Sean β y β′ bases de R3, β = {[1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [0, 0, 1]}, Mββ′ =

1 6 10 1 10 0 1

(esta es la matrizque contiene en las columnas las coordenadas de los vectores de β′ expresadas en la base β).Se calcular las coordenadas de los vectores de β′ expresadas en la base canónica .


1) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [3, 1, 3]}2) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [2, 1, 3]}3) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [6, 1, 3]}

4) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [−3, 1, 3]}5) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [−2, 1, 3]}6) β′ = {[1, 1, 1] , [7, 7, 7] , [1, 1, 3]}

45 .

Considera la base β de R4, β = {[1, 7, 0, 0] , [8, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0] , [0, 0, 0, 7]} y el subespaciovectorial, V , de R4 de�nido por:

V = {(x, y, z, t) : z + y + 7x+ t = 0, 8 z + 7 y + t = 0}

.


1) V = {(x, y, z, t)β : 4 z + 56 y + 9x+ 7 t = 0, 10 z + 49x+ 7 t = 0}2) V = {(x, y, z, t)β : 9 z + 56 y + 14x+ 7 t = 0, 15 z + 49x+ 7 t = 0}3) V = {(x, y, z, t)β : 8 z + 56 y + 13x+ 7 t = 0, 14 z + 49x+ 7 t = 0}4) V = {(x, y, z, t)β : −z + 56 y + 4x+ 7 t = 0, 5 z + 49x+ 7 t = 0}



5) V = {(x, y, z, t)β : 56 y + 5x+ 7 t = 0, 6 z + 49x+ 7 t = 0}6) V = {(x, y, z, t)β : 3 z + 56 y + 8x+ 7 t = 0, 9 z + 49x+ 7 t = 0}


Aplicaciones lineales

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal de�nida por

Mβ4cβ5c (f) =

1 6 1 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.Responde a las siguientes cuestiones:

46 . Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′(f) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0


1) β = {[1, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 0] , [0, 0, 1, 0] , [−4, 1,−3, 1]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

2) β = {[3, 0, 0, 0] , [0, 3, 0, 0] , [0, 2, 1, 0] , [−2, 1,−9, 3]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

3) β = {[4, 0, 0, 0] , [0, 4, 0, 0] , [0, 3, 1, 0] , [−1, 1,−12, 4]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

4) β = {[−3, 0, 0, 0] , [0,−3, 0, 0] , [0,−4, 1, 0] , [−8, 1, 9,−3]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

5) β = {[6, 0, 0, 0] , [0, 6, 0, 0] , [0, 5, 1, 0] , [1, 1,−18, 6]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

6) β = {[7, 0, 0, 0] , [0, 7, 0, 0] , [0, 6, 1, 0] , [2, 1,−21, 7]} yβ′ = {[1, 0, 0, 0, 0] , [6, 1, 0, 0, 0] , [1, 1, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 0, 1]}

47 .

Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1, 0), (1, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)


1)

0 0 0 00 0 1 −10 3 3 1

−39 −3 3 111 76 15 2

2)

0 0 0 00 0 0 04 1 0 0

−20 1 1 05 37 7 1

3)

0 0 0 00 0 1 −10 5 3 1

−79 −5 5 121 150 29 4



4)

0 0 0 00 0 1 −10 6 3 1

−99 −6 6 126 187 36 5

5)

0 0 0 00 0 1 −10 7 3 1

−119 −7 7 131 224 43 6

6)

0 0 0 00 0 1 −10 8 3 1

−139 −8 8 136 261 50 7

48 . Calcula la matriz Mβ4β4c .


1)

0 0 0 10 0 1 −20 1 −6 51 −1 5 −4

2)

0 0 0 10 0 1 10 1 −6 51 −1 5 −7

3)

0 0 0 10 0 1 20 1 −6 51 −1 5 −8

4)

0 0 0 10 0 1 −50 1 −6 51 −1 5 −1

5)

0 0 0 10 0 1 40 1 −6 51 −1 5 −10

6)

0 0 0 10 0 1 −10 1 −6 51 −1 5 −5

49 . Calcula la matriz Mβ5β5c


1)

0 0 0 0 10 0 0 2 −10 0 1 −1 10 1 −6 1 52 0 −1 0 1

2)

0 0 0 0 10 0 0 −1 −10 0 1 −1 −20 1 −6 −2 5−1 0 −1 0 −2

3)

0 0 0 0 10 0 0 −2 −10 0 1 −1 −30 1 −6 −3 5−2 0 −1 0 −3

4)

0 0 0 0 10 0 0 5 −10 0 1 −1 40 1 −6 4 55 0 −1 0 4

5)

0 0 0 0 10 0 0 6 −10 0 1 −1 50 1 −6 5 56 0 −1 0 5

6)

0 0 0 0 10 0 0 1 −10 0 1 −1 00 1 −6 0 51 0 −1 0 0

50 . Da una base de Ker f expresando sus coordenadas en β4.






51 . Da una base de Im f expresando sus coordenadas en β5.


1) βIm f = {[−2, 0, 1, 0, 0]β5 , [0,−2, 0,−1, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}2) βIm f = {[0, 0, 3, 0, 0]β5 , [0, 0, 0, 3, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 3]β5}3) βIm f = {[−4, 0, 1, 0, 0]β5 , [0,−4, 0,−3, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}4) βIm f = {[5, 0, 1, 0, 0]β5 , [0, 5, 0, 6, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}5) βIm f = {[−6, 0, 1, 0, 0]β5 , [0,−6, 0,−5, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}6) βIm f = {[7, 0, 1, 0, 0]β5 , [0, 7, 0, 8, 0]β5 , [0, 0, 0, 0, 1]β5}

52 . Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 1z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)


1)

1 6 1 10 1 0 −10 0 1 10 1 1 1

2)

1 6 1 10 1 0 20 0 1 10 1 1 1

3)

1 6 1 10 1 0 00 0 1 10 1 1 1

4)

1 6 1 10 1 0 40 0 1 10 1 1 1

5)

1 6 1 10 1 0 −50 0 1 10 1 1 1

6)

1 6 1 10 1 0 60 0 1 10 1 1 1

53 . Calcula una base de Ker g respecto de la base β4.


1) {[0, 1,−1, 1]}β42) {[0, 0,−2, 2]}β4

3) {[0, 3,−1, 1]}β44) {[0, 4, 1,−1]}β4

5) {[0, 5,−1, 1]}β46) {[0, 6, 1,−1]}β4

54 . Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).


1) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 0, 0, 1]β4 , [1, 0, 1, 1]β4}2) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 0, 0, 1]β4 , [1, 0,−2, 1]β4}3) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 0, 0, 1]β4 , [1, 0,−3, 1]β4}4) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 0, 0, 1]β4 , [1, 0, 4, 1]β4}5) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 1, 0, 1]β4 , [1, 0, 1, 1]β4}6) βIm g = {[1, 0, 0, 0]β4 , [6, 0, 0, 1]β4 , [1, 0, 6, 1]β4}

55 . Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))


1)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 14

2)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 13

3)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 16



4)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 17

5)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 18

6)

0 0 0 00 0 0 04 25 4 4

−20 −119 −19 −195 68 13 19

56 . Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Elige tu solución correcta para f ◦ g((x, y, z, t)β4 entre las siguientes:1)

(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 14 t

)β5

2)(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 15 t

)β5

3)(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 16 t

)β5

4)(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 13 t

)β5

5)(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 18 t

)β5

6)(0 0 4 z + 25 y + 4x+ 4 t −19 z − 119 y − 20x− 19 t 13 z + 68 y + 5x+ 19 t

)β5

57 . Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras �las y columnas de Mβ4cβ5c (f) y calcula(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).


1)

1 42 1350 1 70 0 1

2)

1 42 1360 1 70 0 1

3)

1 42 1330 1 70 0 1

4)

1 42 1380 1 70 0 1

5)

1 42 1390 1 70 0 1

6)

1 42 1260 1 70 0 1

58 .

Sean β la base de R3, β = {[1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [0, 0, 1]}, f : R3 → R3 la aplicación lineal tal que

Mββ(f) =

0 0 −17 1 80 0 1

. Calcula la matriz Mβ3cβ3c (f) .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1)

−6 6 71 0 −1−7 6 8

2)

−4 6 91 2 −1−5 6 8

3)

4 6 171 10 −13 6 8

4)

−16 6 −31 −10 −1−17 6 8

5)

−12 6 11 −6 −1−13 6 8

6)

−10 6 31 −4 −1−11 6 8


Diagonalización



59 . Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendoquién es ésta. Responde a los siguientes apartados.

A =

9 − 7 3 33 − 1 3 33 − 7 9 32 − 4 0 10


1) D =

8 0 0 00 8 0 00 0 9 00 0 0 10

, P =3 1 10 63 1 9 63 1 7 52 1 4 3

y P−1 =

0 0 1 −1−1 0 −2 33 −1 1 −3−3 3 0 1

.

2) D =

6 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 8

, P =10 6 3 19 6 3 17 5 3 14 3 2 1

y P−1 =

1 −1 0 0−2 3 −1 01 −3 3 −10 1 −3 3

.

3) D =

10 0 0 00 2 0 00 0 11 00 0 0 12

, P =10 6 3 19 6 3 17 5 3 14 3 2 1

y P−1 =

1 −1 0 0−2 3 −1 01 −3 3 −10 1 −3 3

.

4) D =

11 0 0 00 11 0 00 0 2 00 0 0 13

, P =6 3 1 106 3 1 95 3 1 73 2 1 4

y P−1 =−1 0 0 13 −1 0 −2−3 3 −1 11 −3 3 0

.

5) D =

0 0 0 00 12 0 00 0 1 00 0 0 14

, P =3 1 10 63 1 9 63 1 7 52 1 4 3

y P−1 =

0 0 1 −1−1 0 −2 33 −1 1 −3−3 3 0 1

.

6) D =

13 0 0 00 −1 0 00 0 14 00 0 0 1

, P =1 10 6 31 9 6 31 7 5 31 4 3 2

y P−1 =

0 1 −1 00 −2 3 −1−1 1 −3 33 0 1 −3

.

Dadas las matrices A =

64 −42 −4242 −27 −2842 −28 −27

, B =10 −6 −66 −3 −4

6 −4 −3

y C =15 −6 −66 2 −4

6 −4 2

, se pidecalcular los siguientes polinomios característicos.

60 .

pA(x)


1) pA(x) = − (x− 7) (x− 1)2

2) pA(x) = − (x− 10) (x− 1)2

3) pA(x) = − (x− 5) (x− 1)2

4) pA(x) = − (x− 12) (x− 1)2

5) pA(x) = − (x− 3) (x− 1)2

6) pA(x) = − (x− 8) (x− 1)2

Hasta aquí el ejercicio de .



61 .

pB(x)


1) pB(x) = − (x− 1)3

2) pB(x) = − (x− 4) (x− 1)2

3) pB(x) = − (x− 1)2 (x+ 1)

4) pB(x) = − (x− 6) (x− 1)2

5) pB(x) = − (x− 1)2 (x+ 3)6) pB(x) = − (x− 2) (x− 1)2

62 .

pC(x)


1) pC(x) = − (x− 6)3

2) pC(x) = − (x− 7) (x− 6)2

3) pC(x) = − (x− 6)2 (x− 4)

4) pC(x) = − (x− 11) (x− 6)2

5) pC(x) = − (x− 6)2 (x− 2)6) pC(x) = − (x− 13) (x− 6)2

63 .

Sea A =

8 −4 22 2 24 −8 10

. Encuentra matrices D (diagonal) y P tales que D = P−1AP .Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) D =

6 0 00 6 00 0 8

,P =

1 3 −11 2 −1−1 1 2

2) D =

6 0 00 6 00 0 8

,P =

1 4 −21 2 −2−2 0 2

3) D =

8 0 00 8 00 0 6

,P =

1 2 01 2 00 2 2

4) D =

4 0 00 4 00 0 10

,P =

1 0 21 2 22 4 2

5) D =

5 0 00 5 00 0 9

,P =

1 −2 41 2 44 6 2

6) D =

6 0 00 6 00 0 8

,P =

1 1 11 2 11 3 2




Nombre y apellidos:

E-mail:

Titulación:

Firma:

Observaciones





Soluciones del test


1 1 2 3 4 5 6

2 1 2 3 4 5 6

3 1 2 3 4 5 6

4 1 2 3 4 5 6

5 1 2 3 4 5 6

6 1 2 3 4 5 6

7 1 2 3 4 5 6

8 1 2 3 4 5 6

9 1 2 3 4 5 6

10 1 2 3 4 5 6

11 1 2 3 4 5 6

12 1 2 3 4 5 6

13 1 2 3 4 5 6

14 1 2 3 4 5 6

15 1 2 3 4 5 6

16 1 2 3 4 5 6

17 1 2 3 4 5 6

18 1 2 3 4 5 6

19 1 2 3 4 5 6

20 1 2 3 4 5 6

21 1 2 3 4 5 6

22 1 2 3 4 5 6

23 1 2 3 4 5 6

24 1 2 3 4 5 6

25 1 2 3 4 5 6

26 1 2 3 4 5 6

27 1 2 3 4 5 6

28 1 2 3 4 5 6

29 1 2 3 4 5 6

30 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 6

32 1 2 3 4 5 6

33 1 2 3 4 5 6

34 1 2 3 4 5 6

35 1 2 3 4 5 6

36 1 2 3 4 5 6

37 1 2 3 4 5 6

38 1 2 3 4 5 6

39 1 2 3 4 5 6

40 1 2 3 4 5 6

41 1 2 3 4 5 6

42 1 2 3 4 5 6

43 1 2 3 4 5 6

44 1 2 3 4 5 6

45 1 2 3 4 5 6

46 1 2 3 4 5 6

47 1 2 3 4 5 6

48 1 2 3 4 5 6

49 1 2 3 4 5 6

50 1 2 3 4 5 6

51 1 2 3 4 5 6

52 1 2 3 4 5 6

53 1 2 3 4 5 6

54 1 2 3 4 5 6

55 1 2 3 4 5 6

56 1 2 3 4 5 6

57 1 2 3 4 5 6

58 1 2 3 4 5 6

59 1 2 3 4 5 6

60 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 6

62 1 2 3 4 5 6

63 1 2 3 4 5 6

64 1 2 3 4 5 6

65 1 2 3 4 5 6

66 1 2 3 4 5 6

67 1 2 3 4 5 6

68 1 2 3 4 5 6

69 1 2 3 4 5 6

70 1 2 3 4 5 6

71 1 2 3 4 5 6

72 1 2 3 4 5 6

73 1 2 3 4 5 6

74 1 2 3 4 5 6

75 1 2 3 4 5 6

76 1 2 3 4 5 6

77 1 2 3 4 5 6

78 1 2 3 4 5 6

79 1 2 3 4 5 6

80 1 2 3 4 5 6

81 1 2 3 4 5 6

82 1 2 3 4 5 6

83 1 2 3 4 5 6

84 1 2 3 4 5 6

85 1 2 3 4 5 6

86 1 2 3 4 5 6

87 1 2 3 4 5 6

88 1 2 3 4 5 6

89 1 2 3 4 5 6

90 1 2 3 4 5 6





Dados los números complejos z = 4 i+4 y w = 4√3 i+4, responde a las siguientes preguntas sobre

números complejos.

1 .

Calcula el valor dei (1024

√3+w2 z2)4


1) 257

2) 254

3) 256

4) 260

5) 251

6) 262

2 .


1) 32 +(32− 32

√3)i

2) 30 +(32− 32

√3)i

3) 29 +(32− 32

√3)i

4) 36 +(32− 32

√3)i

5) 27 +(32− 32

√3)i

6) 26 +(32− 32

√3)i

3 .

Sea la ecuación x4 − z − w = −89 +(−4− 4

√3)i.


1) x = 1 + 3√2+ 3 i√

2y x =

−1− 3√2− 3 i√

2son dos so-


2) x = 2 + 3√2+ 3 i√

2y x =

−2− 3√2− 3 i√

2son dos so-


3) x = 3 + 3√2+ 3 i√

2y x =

−3− 3√2− 3 i√

2son dos so-


4) x = −4 + 3√2+ 3 i√

2y x =

4− 3√2− 3 i√

2son dos solu-


5) x = 5 + 3√2+ 3 i√

2y x =

−5− 3√2− 3 i√

2son dos so-


6) x = 3√2+ 3 i√

2y x = − 3√

2−

3 i√2son dos soluciones de

la ecuación.

4 .

Calcula z1 =(4− i) (3 + i)4 i (3 + 2 i)


1) 2952 −41 i52

2) 8152 −41 i52

3) 13352 −41 i52

4) 18552 −41 i52

5) −2352 −41 i52

6) −33552 −41 i52

5 . Calcula z2 =7 (−i)256 + 1 i39 + 2i− 8

4 + i


1) 1417 +5 i17

2) − 317 +5 i17

3) 4817 +5 i17

4) −7117 +5 i17

5) −8817 +5 i17

6) 9917 +5 i17

6 .





1) −3572− 7460 i2) −3571− 7460 i

3) −3570− 7460 i4) −3573− 7460 i

5) −3568− 7460 i6) −3567− 7460 i

7 .

Calcula z4 =(−12 + 4 3

32 i

)47.


1)(2142 347

)e

5 i π6

2)(2141 347

)e−

2 i π3

3)(2143 347

)e

5 i π6

4)(2141 347 5

)e−

i π6

5)(2142 348

)e

5 i π6

6)(2141 347 7

)e−

i π6

8 .

Calcula z5 =3√

8√3− 8 i.


1) 243 e

i π9

2) 243 e

5 i π18

3) 243 e

4 i π9

4) 243 e

11 i π18

5) 243 e−

i π18

6) 243 e

17 i π18



F

gabriel soler lópez 20 de septiembre de...

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