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Universidad de Talca M´ odulo: Ecuaciones Diferenciales Instituto de Matem´ atica y F´ ısica Carreras: Ingenier´ ıas Campus Curic´ o 12 de Octubre 2012 Gu´ ıa N ◦ 6 1. La siguiente es una ecuaci´ on diferencial lineal homog´ enea de segundo orden: x 2 y 00 +2xy 0 - 6y =0 En este caso L(y)= x 2 y 00 +2xy 0 - 6y a) Si f (x)= x, calcular L[f (x)]. b) Si g(x)= x 2 , calcular L[g(x)]. 2. Sea la ecuaci´ on diferencial L(y)= y 00 +2y 0 + y = 0. Comprobar que y 1 = e -x ,y 2 = xe -x y y = c 1 e -x + c 2 xe -x son soluciones de la ED L(y)=0 3. Calcular el wronskiano de las funciones y 1 = cos(x)y y 2 = sin(x). 4. Encontrar la soluci´ on general de la ED: y 00 + y =0 5. Considere la ED con P (t),Q(t) continuas en [a, b] y 00 + P (t)y 0 + Q(t)y =0 a) Si y(t) es soluci´ on con y(t 0 )=0,y 0 (t 0 ) = 0. Demostrar que y(t) ≡ 0, con t 0 ∈ [a, b] b) Sea L = {y(t) /y deﬁnida en [a, b], y 00 + P (t)y 0 + Q(t)y =0}. Demostrar que L es un R-espacio vectorial de dimensi´ on 2. c) Si P,Q son constantes. Descubrir una base expl´ ıcita para L Ayuda: Analice los casos donde discriminante es >, <, =0 6. Discutir la existencia y unicidad de la ED y 00 + ky =0(k constante) con las condiciones iniciales y(t 0 )= y 0 ,y 0 = y 0 0 7. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. a) y 00 - 5y 0 +6y =0 b) 4y 00 - 12y 0 +9y =0 c) y 00 +4y 0 + 13y =0 d) -2y 00 - 3y 0 +2y =0 e) y 00 +2y 0 + y =0 f) y 00 + y 0 + y =0 g) y 00 +4y =0 h) y 00 - 5y 0 =0 i) y 00 + w 2 y = 0 con w =constante j) 9y 00 - y = 0 con y(0) = 1 y y 0 (0) = 2 3 k) y 00 - 10y 0 + 25y = 0 con y(0) = 1 y y(1) = 0 l) y 00 + y = 0 con y 0 (0) = 0 y y 0 ( π 2 )=2 8. Sea y 00 + P (t)y 0 + Q(t)y = 0 (1) una ecuaci´ on diferencial lineal homog´ enea de segundo orden, donde P (t)y Q(t) son funciones reales continuas en un intervalo I . Sean x 1 (t)y x 2 (t) dos soluciones de (1) y sea W (t)= W [x 1 (t),x 2 (t)] su wronskiano. Entonces ∀ t ∈ I , W (t)= Ce R P (t)dt (F´ ormula de Abel-Liouville para el wronskiano). Indicaci´ on: Pruebe que W 0 (t)= -P (t)W (t) ∀ t ∈ I

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