g19103

OCTUBRE2010-FEBRERO2011

Reciba asesora virtual en: www.utpl.edu.ec

AUTORA:

KattyCeliSnchez

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Catlica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE ECONOMA

1.Datosinformativos

19103

Gua didctica

atemticasM4 CRDITOS

CICLOS CARRERAS

UTP

L-EC

TS 1 Administracin de Empresas Tursticas y Hoteleras Economa 2 Administracin en Banca y Finanzas Administracin de Empresas Contabilidad y Auditora

MATEMTICASGua didcticaKatty Celi Snchez

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA

Diagramacin, diseo e impresin:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja-Ecuador

Primera edicinSegunda reimpresin

ISBN-978-9942-00-644-8

Reservados todos los derechos conforme a la ley. No est permitida la reproduccin total o parcial de esta gua, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Octubre, 2010

1. datos informativos2. ndice3. introduccin ................................................................................................................................. 54. Lineamientos generales del Modelo Educativo basado en

competencias y crditos acadmicos UTPL-ECTS............................................ 64.1 Competenciasgenricas ............................................................................................................ 74.2 Competenciasespecficas ......................................................................................................... 7

5. Bibliografa .................................................................................................................................. 85.1 Bsica ......................................................................................................................................... 85.2 Complementaria ........................................................................................................................ 9

6. Orientaciones generales para el estudio ............................................................ 107. Proceso de enseanza-aprendizaje para el logro de competencias .............................................................................................................................. 11

PRIMERBIMESTRE

7.1 Planificacin para el trabajo del alumno ........................................................................... 117.2 Sistema de evaluacin ............................................................................................................ 127.3 Orientaciones especficas para el aprendizaje por competencias .................................. 13

Unidad 1. OPERaCiOnES aLGEBRaCaS ................................................................................................... 14

1.1. Repasodelgebra ..................................................................................................................... 14

1.2. Operacionesconexpresionesalgebraicas ................................................................................ 17

1.3. Operacionesbsicas ................................................................................................................... 18Autoevaluacin1 .................................................................................................................................. 22Autoevaluacin2 .................................................................................................................................. 27

Unidad 2. ECUaCiOnES Y dESiGUaLdadES ............................................................................................. 28

2.1. Conceptosbsicosyterminologa ............................................................................................ 28Autoevaluacin3 .................................................................................................................................. 372.2. Aplicacindeecuaciones ............................................................................................................ 382.3. Aplicacindedesigualdades ...................................................................................................... 41

SEGUNDOBIMESTRE

7.1 Planificacin para el trabajo del alumno .......................................................................... 457.2 Sistema de evaluacin ............................................................................................................ 467.3 Orientaciones especficas para el aprendizaje por competencias .................................. 47

2.ndice

PRELIMINARES Gua didctica: Matemticas

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja

Unidad 3. FUnCiOnES Y GRFiCaS ......................................................................................................... 48

3.1. Definiciones ................................................................................................................................ 483.2. Funcionesespecialesysusgrficas .......................................................................................... 483.3. Aplicacindedesigualdades ...................................................................................................... 503.4. CombinacindeFunciones ........................................................................................................ 523.5. Funcionesinversas ...................................................................................................................... 543.6. Simetra ....................................................................................................................................... 583.7. Traslaciones ................................................................................................................................. 59

Unidad 4. RECTaS Y PaRBOLaS ............................................................................................................ 61

4.1. Rectas ......................................................................................................................................... 614.2. Aplicacindefuncioneslineales ................................................................................................ 634.3. Aplicacindefuncionescuadrticas .......................................................................................... 66

8. Solucionario ................................................................................................................................. 70


UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja

3.Introduccin

Las Matemticas constituyen hoy por hoy una de las herramientas bsicas en el desarrollo profesional de cualquier ser humano, sin embargo, el aprendizaje de esta ciencia exige una clara comprensin y aplicacin de las defi niciones, propiedades, leyes y principios; por lo que es necesario que usted se encuentre en condiciones no solo de manejar nmeros sino tambin la conceptualizacin necesaria para su comprensin.

Con la presente gua se pretende que usted pueda adquirir los fundamentos matemticos bsicos, necesarios en las carreras de: Administracin de Empresas, Administracin en Banca Finanzas, Contabilidad y Auditora, Economa y Administracin de Empresas Tursticas y Hoteleras; por ello, su programacin se centra en el anlisis de conceptos, estructuras, reglas, mtodos, aplicaciones, interpretaciones y habilidades, con la fi nalidad de estimular su inters en el aprendizaje de esta asignatura.

La programacin se encuentra dividida en 4 Unidades, agrupados en dos bimestres; inicia con un anlisis de las operaciones algebraicas bsicas, para lo cual se requiere el manejo de lgebra elemental que podr revisar en la primera Unidad del texto gua, luego analizaremos las ecuaciones equivalentes y el desarrollo de tcnicas para resolver ecuaciones lineales, incluyendo ecuaciones con literales, fraccionarias, radicales, cuadrticas, exponenciales y logartmicas y por supuesto desarrollo, resolucin y aplicacin de desigualdades.

Para el II Bimestre en cambio se ha programado el estudio de funciones, en sus diferentes tipos y su representacin grfi ca; para fi nalizar con el diseo de rectas y soluciones a sistemas de ecuaciones.

Se ha incluido adems una variedad de aplicaciones de modo tal que pueda observar cmo puede utilizar las matemticas que est aprendiendo; estas aplicaciones fueron tomadas del texto bsico y complementarios escogidos para esta asignatura, en ellos encontrar mas aplicaciones que de seguro fortalecern su aprendizaje. Adicionalmente se han desarrollado actividades complementarias que se encuentran al fi nalizar cada Unidad y cuya solucin se presenta en las pginas fi nales del presente material de estudio.

La educacin a distancia es fundamentalmente un proceso autnomo y muy sacrifi cado, pero se puede transformar en algo ms sencillo y agradable, cuando las actividades se realizan de manera responsable, ordenada y secuencial.

PRELIMINARESGua didctica: Matemticas

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja6


UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja 7

Sr. Estudiante recuerde que usted ha iniciado su formacin de tercer nivel con un sistema educativo basado en el desarrollo de competencias a travs de crditos acadmicos. Este modelo le convierte a usted en protagonista de su propia formacin y al profesor en mediador de las experiencias de aprendizaje.

Surge entonces la necesidad de que tenga claro dos conceptos fundamentales competencia y crdito acadmico.

Quesunacompetencia?Entendemos por competenciael conjunto de actitudes, habilidades y conocimientos que el alumno adquiere e incorpora segn sus caractersticas personales y experiencias laborales y, que se ponen de manifiesto en el desempeo de la actividad profesional. Las competencias se adquieren a lo largo del proceso formativo de la carrera y se desagregan en objetivos de aprendizaje propuestos en cada asignatura.

Elementos de una competencia. Tres son los elementos que podemos distinguir en toda competencia:

Actitudes:son predisposiciones y comportamientos ante situaciones concretas.

Habilidades: son destrezas para ejecutar con xito tareas, utilizar procedimientos y realizar trabajos. Se desarrollan a travs de la prctica y la experiencia.

Conocimientos:constituyen los contenidos cientficos, conceptuales, tericos, conocidos tambin como el aprendizaje acadmico.

Qu es un crdito acadmico UTPL / ECTS en la Modalidad a Distancia?

Un crdito acadmico es la unidad de medida del trabajo del estudiante, implica32 horas de trabajo del alumno (29 horas de trabajo autnomo y 3 horas de interaccin) 1.

Los crditos acadmicos que el estudiante ir acumulando en el transcurso de la carrera involucran: aprendizaje autnomo (estudio personal), tareas de investigacin, interaccin en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), participacin en tutoras, videoconferencias y otros eventos acadmicos (Jornadas, seminarios, cursos, congresos avalados por la UTPL), prcticas acadmicas, pasantas preprofesionales y de vinculacin con la colectividad; actividades de evaluacin; as como la realizacin del trabajo de titulacin.

El modelo adoptado por la UTPL contempla dos tipos de competencias: genricas y especficas.

4. Lineamientos generales del Modelo Educativo basado encompetenciasycrditosacadmicosUTPL-ECTS

1 CONESUP(2008):Reglamento del Rgimen Acadmico del Sistema Nacional de Educacin Superior,art.18.





Competencias Genricas: Son aquellas capacidades (actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrecen en la UTPL. Constituyen una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formacin.

Competencias Especficas: son propias de la titulacin, aportan a la cualificacin especfica para la profesin, dndole consistencia social y profesional al perfil formativo.

Estructurageneraldelprogramaformativo

Las Unidades Acadmicas o Escuelas de la UTPL han estructurado el programa formativo contemplando cinco mbitos o bloques de asignaturas: Formacin Bsica (10%); Genricas de carrera (15%); Troncales (35%) Complementarias (10%); Libre confi guracin (10%) y adems, el Practicum que comprende las Pasantas preprofesionales y de vinculacin con la colectividad y Practicum Acadmico (20%).

4.1 Competenciasgenricas

Adquirir hbitos y tcnicas de estudioCapacidad de aplicar los conocimientosCapacidad de identificar, plantear y resolver problemasCapacidad creativa e innovadoraCapacidad para tomar decisiones

4.2 Competencias especficas

Desarrollar el pensamiento lgico para la aplicacin en aspectos econmicos y la interpretacin de resultados, grficas y anlisis de datos en modelos reales.





5.1 Bsica

HAEUSSLER, Jr., Ernest F; Richard S. Paul y Richard J. Wood (2008), Matemticas para administracin y economa, Mxico, PEARSON EDUCACIN.

Este texto ha sido seleccionado como texto bsico para la presente asignatura por varias razones, entre las principales se puede destacar las siguientes:

o Contiene temas de actualidad y aplicaciones a situaciones reales para las carreras de Administracin de Empresas, Administracin en Banca Finanzas, Contabilidad y Auditora, Economa y Administracin de Empresas Tursticas y Hoteleras; entre otras.

o Posee una excelente presentacin y un mtodo muy didctico que facilitar la comprensin de los temas seleccionados para esta materia.

o El inicio a cada unidad y tema lo realiza con ejemplos prcticos que le permitirn relacionar la aplicacin de esta ciencia a situaciones prcticas, luego contina con la presentacin de conceptos, reglas (de ser necesario) y ejemplos resueltos paso a paso.

o Cada tema cuenta al finalizar con ejercicios propuestos, que podr desarrollar para fortalecer y evaluar los conocimientos adquiridos, su resolucin la podr contrastar con el solucionario que se encuentra en las pginas finales de este texto.

o La utilizacin de este texto podr extenderse an ms all de los ciclos iniciales, ya que considera temas relacionados a Matemticas Financieras, Estadstica, Microeconoma y Macroeconoma, entre otras.

CELI, S. Katty (2009), Gua Didctica de Matemticas, Loja - Ecuador, UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA.

Corresponde a la gua didctica, que como su nombre lo indica, lo guiar a travs del proceso de aprendizaje, indicndole la secuencia con la que se estudiarn los temas considerados en la asignatura de Matemticas, facilitando, potenciando y activando sus conocimientos en esta ciencia.

o Contiene una breve introduccin a cada tema, ejemplos desarrollados paso a paso, grficas, ejercicios de retroalimentacin y aplicaciones, que le permitirn una mejor comprensin del tema.

o Adicionalmente encontrar: actividades complementarias, actividades recomendadas y autoevaluaciones; en el caso de las primeras, el enunciado lo guiar a trabajar con el texto bsico, donde encontrar el planteamiento de los ejercicios y adems su solucin. Algunas actividades recomendadas tendrn relacin con el texto bsico como en el caso anterior, pero no generalmente, y finalmente las autoevaluaciones, detalladas a lo largo de la gua,

5. Bibliografa





luego de ser realizadas podr comparar su respuesta al final, en el solucionario, elaborado como medio de retroalimentacin.

o Adjunto a esta gua, encontrar las Evaluaciones a Distancia, las cuales deber desarrollar y presentar en las fechas indicadas en su calendario acadmico, este es un requisito necesario e indispensable para rendir las Evaluaciones Presenciales y aprobar la asignatura.

5.2 Complementaria

MATAMOROS P., Vicente (2004), Algebra Bsica, Ecuador, COSMOS.

Este texto le permitir adicionalmente resolver aquellos temas que an con la gua didctica y el texto bsico, no hayan sido esclarecidos en su totalidad, en este texto encontrar todos los temas incluidos en esta programacin.

Si bien es cierto el desarrollo de conceptos y ejercicios se encuentra claramente ejemplificado, no cuenta con las aplicaciones bsicas y necesarias para las carreras administrativas a las que se encuentra orientada la materia, sin embargo puede utilizarlo como medio de consulta y orientacin general.

Al final de cada unidad incluye un resumen y ejercicios de repaso; adems su solucionario se encuentra al final del texto.



PRIMER BIMESTRE Gua didctica: Matemticas


Estimado profesional en formacin, para que usted pueda tener un verdadero conocimiento y pueda dar el adecuado seguimiento a la asignatura de Matemticas, se recomienda emprender en las siguientes orientaciones con la fi nalidad de mejorar su aprendizaje:

Los materiales necesarios para realizar el estudio de Matemticas, son: el texto bsico, la gua didctica que le orientar en su aprendizaje y las evaluaciones a distancia. Es conveniente trabajar de manera paralela con el texto y la gua didctica.

Para aprender la ciencia de las Matemticas es necesario adems que cuente con los materiales bsicos que le permitan el desarrollo de ejercicios, tenga siempre a mano un cuaderno cuadriculado, un lpiz y borrador.

Programe un horario de estudio, y dedique al menos 4 horas semanales al estudio de esta materia.

Lea la resolucin de un ejercicio, luego trabaje mediante los ejemplos ilustrativos y los problemas resueltos, finalmente realice las actividades complementarias, recomendades y autoevaluaciones que se encuentran en cada unidad.

Aborde el estudio de cada uno de los temas de manera secuencial asegurando la comprensin de cada uno de los conceptos y su aplicacin.

Antes de emprender en un nuevo tema o unidad, se recomienda tener plenamente concebido el esquema anterior, si no es as, repase nuevamente y/o consulte con su profesor las reas de dificultad.

Presente sus trabajos a distancia en los formatos impresos y preestablecidos por la Universidad, con la finalidad de agilitar y mejorar el desarrollo de calificacin. Recuerde que son dos, uno por cada bimestre y que su presentacin es obligatoria, se realiza en las fechas indicadas en su calendario acadmico y en el centro regional al que pertenece.

Cuide la presentacin de sus trabajos, elabrelos de manera responsable y no copie. Tenga presente que la reglamentacin de la Universidad tiene grave sanciones para quien as lo hace.

No dude en comunicarse con el profesor tutor si tiene dificultades en su autoaprendizaje. Encuentre el horario de tutoras y los datos de contacto en la hoja principal de sus evaluaciones a distancia.

La Universidad ha implementado el campus virtual donde tambin puede encontrar asesora para su materia, e inclusive interactuar con su profesor, acceda a travs de www.utpl.edu.ec

6.Orientacionesgeneralesparaelestudio





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Estimado profesional, antes de iniciar con el desarrollo del I Bimestre, es necesario que usted tenga en cuenta los apartados que a continuacin se detallan, su comprensin y aplicacin facilitar el proceso de enseanza - aprendizaje:

En todo momento tenga a mano su texto bsico ya que la presente gua didctica lo encaminar al uso de ella, y a la resolucin de ejercicios planteados en l.

Temas como nmeros reales y operaciones bsicas con expresiones algebraicas, ya han sido estudiados por usted en el bachillerato, sin embargo se ha considerado necesario su revisin, para la comprensin de temas ms complejos que se vern en ciclos superiores.

Es necesario que desarrolle las actividades complementarias, recomendadas y las autoevaluaciones, que se encuentran planteadas en cada una de las Unidades, estas le permitirn estar ms preparado para la evaluacin presencial, no es necesaria su presentacin.

Si el aprendizaje de las dos unidades consideradas en este bimestre le resultaron de difcil comprensin, le aconsejo revise el texto complementario, ste contiene el desarrollo de ejercicios paso a paso, que facilitarn su comprensin, y no olvide que tiene tambin el apoyo de su profesor a quien lo podr contactar, de acuerdo al horario de tutoras establecido o mediante correo electrnico.

7.3 Orientaciones espec cas para el aprendizaje por competencias





Estimado estudiante en este momento daremos inicio a la primera unidad, con la que usted recordar aquellos conocimientos que seguramente ya los estudio en el bachillerato, sin embargo he considerado necesario realizar un repaso. Si tiene suficientes conocimientos referente a: nmeros reales y operaciones bsicas con expresiones algebraicas, desarrolle las autoevaluaciones y compruebe sus respuestas

al final, si estas coinciden Felicitaciones!, est en aptitud para el desarrollo de las Evaluaciones a Distancia y Presenciales, al menos en los temas correspondientes a la primera Unidad.

1.1. Repasodelgebra

El dominio de las Matemticas es fundamental para su desarrollo profesional, sin embargo este dominio se lograr cuando se aclaren los conceptos bsicos de esta ciencia, por lo que iniciaremos con un breve repaso de algebra:

1.1.1.Conjuntosdenmerosreales

Los nmeros 1,2,3,4,. se usan para contar y son los primeros que se aprenden en la primaria, a stos llamamos: nmeros naturales, esta sucesin de nmeros es infinita, y se encuentra representada por la letra N, as:

N = { }1 2 3 4 5, , , , ,...........

Los nmeros naturales junto al 0 y los enteros negativos, forman el conjunto de los nmeros enteros, que est representado por la letra Z, de la siguiente manera:

Z = { }........., , , , , , , , , .........4 3 2 1 0 1 2 3 4

RECUERDE:

El conjunto de los nmeros naturales es un subconjunto (o

parte) de los nmeros enteros

UNIDADI:OPERACIONES ALGEBRAICAS





El conjunto de los nmeros racionales, por su parte, consiste en nmeros formados por todas las

fracciones, con la restriccin de que el denominador sea diferente de cero, algunos ejemplos son:

, etc. Se encuentra representado por la letra Q.

RECUERDE:

La divisin entre cero, no est definida en matemticas

Estos nmeros racionales tambin pueden mostrarse de manera decimal; para lo cual su resultado debe ser que sus cifras decimales sean peridicas o exactas, as:

RECUERDE:

Los nmeros enteros son un subconjunto de los nmeros racionales.

SABE USTED POR QU?

Porque todo entero tiene como denominador la unidad.

Ahora, Dnde quedan aquellos nmeros fraccionarios que presentan decimales inexactos y no-peridicos?, a stos les corresponde el conjunto de nmeros irracionales; ejemplos generales de este tipo de nmeros son y e,a este conjunto se lo representa con la letra Q.

Algunos ejemplos de este tipo de nmeros son:

Considerando las 7 propiedades de los nmeros reales que se encuentran en elcaptulo O, de su texto bsico; revisemos un ejercicio de aplicacin e identifiquemos quepropiedadesserequierenutilizarparaencontrarsuresultado:





EJEMPLO1.Aplicacindelaspropiedadesdelosnmerosreales

;

para comprobar utilizamos primeros la propiedaddistributiva:

;

por la propiedadasociativa, tenemos:

;

y as para cada uno de los trminos.

Por lo tanto:

Es importante que usted recuerde tambin otros temas que son bsicos para poder comprender y resolver operaciones bsicas con expresiones algebraicas, para ellos analizaremos brevemente exponentes y radicales.

1.1.2. Exponentes y radicales

Estimado estudiante la multiplicacin de un nmero o smbolo por s mismo, ya sea 2, 3, 4 o ms, puede abreviarse, para ello simplemente utilizamos exponentes, tal cual como se lo detalla a continuacin:

; donde a es la base y m el exponente

Ejemplo2:

Para profundizar en este tema es necesario considerar las reglas bsicas de los exponentes yradicales,lascualesatravsdeejemplosleguiarnparasumejorcomprensin,estasse encuentran enlistadas en el texto bsico, en la seccin correspondiente al tema de Exponentes y radicales, en el Captulo 0.





RECUERDE:

Algunos autores dicen que no est definido. Sin embargo,

es una definicin consistente y a menudo til.

Por el lado contrario a los exponentes, se encuentran los radicales, en los que podemos expresar a , como . Para este caso el valor de n nos indicar si trabajaremos con una raz cuadrada (n=2),

raz cbica (n=3), raz cuadrtica (n=4), etc.

RECUERDE:

En cualquier potencia, si el exponente es negativo, la base

no debe ser cero, y si el exponente contiene una raz par, la

base no puede ser negativa.

1.2. Operacionesconexpresionesalgebraicas

Las expresiones algebraicas son el resultado de la combinacin de nmeros y smbolos, mediante una o ms operaciones bsicas, como: suma, resta, multiplicacin, etc. Algunos ejemplos que podemos citar son:

Cuando la expresin algebraica contiene un solo trmino se denomina monomio. Una expresin que contiene exactamente dos trminos se llama binomio y la que contiene precisamente tres trminos se denomina trinomio:

Monomios:

Binomios:





Trinomios:

RECUERDE:

En general una expresin que contiene ms de un trmino se

denomina multinomio.

Ahora que tipo de operaciones se pueden realizar con expresiones algebraicas, esto es lo que veremos a continuacin:

1.3. Operacionesbsicas

1.1.1. Suma de expresiones algebraicas

Ejemplo3:

Si queremos sumar con , optamos por el siguiente procedimiento:

+

(1) Eliminamos signos de agrupacin = (2) Ordenamos el resultado = (3) Reducimos trminos semejantes =

RECUERDE:

Los trminos semejantes son aquellos que slo difieren por

sus coeficientes numricos.

1.3.2. Resta de expresiones algebraicas

Ejemplo4:

Si queremos a restar , ser necesario seguir el siguiente procedimiento:





-

(1) Eliminamos signos de agrupacin = (2) Ordenamos el resultado = (3) Reducimos trminos semejantes =

1.3.3. Eliminacin de smbolos de agrupacin

RECUERDE:

Al eliminar los signos de agrupacin en la resta, el parntesis

se encuentra precedido por el signo (-), har que todos los

elementos que lo precedan cambie su signo.

Ejemplo5:

Para simplifi car la expresin citada, realizaremos el siguiente procedimiento:

(1) Eliminar signos de agrupacin ms internos, los parntesis

(2) Eliminar ahora los corchetes, desarrollando la operacin requerida

(3) Continuar con el mismo procedimiento hasta eliminar todos los signos de agrupacin

(4) Ordenar (5) Reducir trminos semejantes 1.3.4. Productosespeciales

Existen ciertos productos especiales que pueden obtenerse a partir de la propiedad distributiva y son tiles al multiplicar expresiones algebraicas, stos son:

Productosespeciales 1. (propiedad distributiva)

2.

-





3. 4. (cuadrado de un binomio)

5. (cuadrado de un binomio)

6. (producto de suma o diferencia)

7. (cubo de un binomio)


RECUERDE:

Para solucionar un producto especial, nicamente se seguirn

las 8 reglas.

Ejemplo6: Aplicacin de una de las reglas, para resolucin de productos especiales:

Qu regla aplicamos? La regla 7 verdad, ahora vamos a revisar en el captulo 0 de su texto bsico, Operaciones con expresiones algebraicas, aqu se ejemplifica detalladamente el desarrollo de algunas de estas reglas para la resolucin de productos especiales, adems desarrolle los ejercicios planteados y compruebe su resultado, recuerde que el texto contiene un solucionario al final.

1.3.5. Multiplicacindemultinomios

Si usted desea encontrar la solucin de multiplicar , por , el procedimiento sera el siguiente:

Ejemplo7:

(1) Usamos la propiedad distributiva

(2) Nuevamente aplicamos la propiedad distributiva

(3) Realizamos las operaciones indicadas

(4) Ordenamos

(5) Reducimos trminos semejantes

4.

5. (cuadrado de un binomio)

6. (producto de suma o diferencia)







1.3.6. Divisindeunmultinomioentreunmonomio

Para resolver este tipo de ejercicios, bastar con dividir cada trmino del multinomio por el monomio.

Ejemplo8:

(1) Usamos la propiedad distributiva

(2) Dividimos simplificamos cada uno de los trminos

1.3.7.DivisinLarga

Una vez que usted ha comprendido el procedimiento para dividir un multinomio entre un monomio, se encontrar apto para de realizar divisiones entre polinomios o divisin larga, a continuacin estudie el procedimiento para su resolucin:

RECUERDE:Para dividir un polinomios, el grado del divisor debe ser

menor o igual que el del dividendo.

Ejemplo9:

(1) Ordenamos los dividendos en forma decreciente respecto de la misma variable, si el polinomio est incompleto deje un espacio en blanco

(2) Dividimos el primer trmino del dividendo por el primer trmino del divisor, y el resultado es el primer dividendo del cociente; luego multiplicamos este trmino por todo el divisor y el resultado lo restamos del dividendo. (es necesario que cambie el signo)





(3) Repetimos el procedimiento anterior, pero en esta ocasin para el resultado que obtuvimos en el dividendo

(4) Expresamos el resultado

Comprendido?, FELICITACIONES, es momento entonces de poner a prueba sus conocimientos, desarrolle la autoevaluacin siguiente, no olvide que las respuestas se encuentran al final de la gua.

OperacionesAlgebraicas

Estimado estudiante escriba dentro del parntesis una V o una F segn considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantean. (Realice el procedimiento, en los casos que sea necesario)

1. ( )

2. ( ) El valor de la expresin , es igual a 4, cuando x= -2

3. ( ) El siguiente polinomio es completo :

4. ( ) De restar , obtenemos

5. ( ) En la siguiente expresin X=Y cuando m=3, i=2; X=26, entonces el valor de Y ser 2

6. ( ) El siguiente polinomio es homogneo :

7. ( ) La expresin se refi ere a un polinomio ordenado

Autoevaluacin1





8. ( )

9. ( )

10. ( ) ; se trata de un polinomio descendente

Trabajar con entusiasmo e ilusin favorece el aprendizaje,adelante y xitos en su tarea emprendida!

Muy bien!, continuemos revisando otras operaciones con expresiones algebraicas, recuerda Factorizacin?, seguro que si, pues realicemos una revisin breve al respecto, para reforzar sus conocimientos.

1.3.8. Factorizacin

Si dos o ms expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dicen que son factores de la expresin que se obtuvo como producto.

El proceso de escribir una expresin dada como el producto de sus factores se denomina factorizacin de la expresin, a continuacin examinaremos ciertos mtodos para factorizar expresiones algebraicas:

1.3.8.1. Factor comn

Existe cuando en todos los trminos de un polinomio se repiten una o ms letras, o los coefi cientes numricos contienen algn factor que es comn para todos ellos.

Para su factorizacin tomamos el coefi ciente numrico de menor valor (6 en este caso), porque se encuentra contenido en el resto de trminos, y las letras a y b que son comunes en todo el polinomio, con lo que obtenemos lo siguiente:

RECUERDE:

Usted tambin puede agrupar uno o varios trminos para

optar por este tipo de factorizacin.





Ejemplo10:

Para su factorizacin, usted deber agrupar los trminos que contienen algn factor comn, con la condicin de que estos grupos debern ser de igual nmero de trminos, luego simplemente a cada grupo desarrollamos el procedimiento antes indicado, de esta manera:

Otra manera de agrupar podra ser:

Como puede observar, el resultado es el mismo.

El resultado es el mismo con ambos procedimientos?, verdad que si, entonces empecemos a desarrollar ms ejercicios referentes al tema, encontrar varios enunciados para su aplicacin en el texto bsico, en el captulo 0, Problemas 0.5. xitos en su desarrollo

1.3.8.2. Suma o diferencia de potencias iguales

Es necesario que usted considere que dentro de los productos notables tenemos la diferencia de cuadrados, la misma que para ser factorada se la descompone en el producto de la suma por la diferencia de sus races cuadradas.

Ejemplo11:

Un caso particular de analizar es la factorizacin de suma o diferencia de cubos, para lo que le aconsejamos tener presente siempre lo siguiente:





Ejemplo12:

Listo!, veamos ahora ms casos de factoreo.

1.3.8.3. Factorizacin de trinomios y polinomios

Los trinomios cuadrados perfectos por ejemplo estn conformados por dos trminos que son cuadrados perfectos y positivos, el tercer trmino corresponde a el doble producto de las races de los dos anteriores.

Ejemplo13:

(1) Verificamos que tenga las caractersticas de un trinomio perfecto

(2) Las races de los dos trminos que son cuadrados perfectos positivos las elevamos al cuadrado, considerando el signo del trmino que corresponde al doble producto de estas races.

Pero existen trinomios que pueden ser factorados a pesar de no poseer estas caractersticas, pero para los cuales ser necesario un procedimiento diferente, como por ejemplo trinomios cuyo resultado sean dos factores:

Ejemplo14:

CASO1:

(1) Encontramos dos factores del trmino constante (6), cuya suma sea el coeficiente de x (5).

(2) Dividimos al primer trmino en dos grupos y le agregamos los trminos encontrados en el paso anterior y obtenemos la respuesta

- Si posee dos trminos que son cuadrados perfectos positivos.

- El tercer trmino corresponde al doble producto de las races de los anteriores:

Estos dos trminos pueden ser -2 y -3





Ejemplo15:

CASO2:

(1) Encontramos dos factores del producto 3(6)=18 y una suma igual a 11.

(2) Reemplazamos el segundo trmino por los dos factores encontrados

(3) Factorizamos

(4) Extraemos a como factor comn

ste fue el ltimo tema de la Unidad 1, compruebe sus conocimientos desarrollando la autoevaluacin que se encuentra a continuacin. Retroalimente su prctica comparando con las respuestas que se encuentran al final de la gua.

Estos dos factores pueden ser 9 y 2





Factorizacin,DivisinyMultiplicacindePolinomios

Escriba dentro del parntesis una V o una F segn considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantea. (Realice el procedimiento, en los casos que sea necesario)

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. ( )

5. ( )

6. ( )

7. ( )

8. ( )

9. ( )

10. ( )

11. ( )

12. ( )

13. ( )

14. ( )

15. ( )

16. ( )

Autoevaluacin2





Ahora que ya puede resolver operaciones algebraicas, podemos iniciar con el estudio de Ecuaciones y Desigualdades, que ms all de su conceptualizacin, nos interesa comprenda usted su aplicacin, est listo?....... iniciemos entonces.

2.1. Conceptosbsicosyterminologa

Una ecuacin es un enunciado matemtico que tiene dos expresiones separadas por el signo igual, dichas expresiones pueden contener variables ya sea una o ambas, y la resolucin consiste en encontrar el valor de dichas variables.

Una desigualdad es similar a una ecuacin, en este caso las dos expresiones estn separadas por un smbolo que indica como una expresin se relaciona con la otra. Puede mostrar una relacin en la que una expresin es mayor igual que la otra, o simplemente mayor o viceversa.

2.1.1. TiposdeEcuaciones2.1.1.1. Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin. Si se suma o resta un mismo nmero a los dos miembros de una ecuacin, se obtiene una ecuacin equivalente a la primera; si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero distinto de cero se obtiene una ecuacin equivalente a la primera.

RECUERDE:

La equivalencia no est garantizada si ambos lados se

multiplican o dividen por una expresin que involucra una

variable.

Ejemplo16:

(1) Sumamos por ejemplo a ambos lados 6

(2) Multiplicamos a ambos lados por

UNIDADII:ECUACIONES Y DESIGUALDADES





(3) Verificamos la solucin, sustituyendo el valor obtenido en la ecuacin original y se debe cumplir la igualdad.

2.1.1.2. Ecuaciones Lineales

A las ecuaciones lineales tambin se las conoce como ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado uno, ya que como puede observar la potencia ms alta de la variable que aparece en la ecuacin es la primera.

Ejemplo17:

(1) Eliminamos las fracciones, para ello podemos multiplicar ambos lados de la ecuacin por un mnimo comn mltiplo de los denominadores, para este caso 4.

(2) Aplicamos la propiedad distributiva

(3) Simplificamos

(4) Multiplicamos y eliminamos parntesis

(5) Reducimos trminos semejantes

(6) Restamos 14 a ambos lados

(7) Por ltimo dividimos entre 5 a ambos lados

2.1.1.3. Ecuaciones con Literales

Una ecuacin literal es aquella en la que una o ms de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras, y generalmente se utilizan las primeras del alfabeto: a,b,c...mientras que para las incgnitas continuamos con las letras fi nales x,y,z.





Ejemplo18:

(1) Ordenamos los elementos de tal manera que nos permitan factorar favorablemente.

(2) Aplicamos factor comn

(3) Despejamos en funcin de x.

(4) Finalmente simplificamos

2.1.1.4. Ecuaciones Fraccionarias

Son aquellas ecuaciones que presentan la incgnita en el denominador.

Ejemplo19:

(1) Eliminamos los denominadores, para ello el MCM2 lo multiplicamos para ambos lados

(2) Aplicamos factor comn (3) Reducimos trminos semejantes

(4) Despejamos la incgnita

RECUERDE:

Algunas operaciones con ecuaciones fraccionarias no dan

ecuaciones equivalentes, el ejemplo resuelto muestra como

la solucin x=3, se aplica para la segunda ecuacin pero no

as con la primera ya que a un valor de x=3 esta ecuacin no

estara definida.

2.1.1.5. Ecuaciones con radicales

Se llama ecuacin radical aquella ecuacin que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresin algebraica no constante.

2 MnimoComnMltiplo





Ejemplo20:

(1) Eliminamos el radical, para ello elevamos al cubo ambos lados

(2) Simplificamos los radicales con los exponentes y

factoramos los resultados

(3) Eliminamos parntesis y reducimos trminos semejantes

(4) Igualamos el resultado a cero

(5) Factoramos

(6) Evaluamos los posibles resultados (a)

(b)

(7) Para x=0

Se cumple

(8) Para x=-6

Se cumple

Cul es el conjunto solucin?......... Exacto

Se cumple





Actividades Recomendadas

Ahora que conoce el procedimiento para solucionar este tipo de ejercicios, qu espera?, vamos realice los ejercicios del Captulo 0. Repaso de lgebra, estos lo prepararn an mejor para su Evaluacin Presencial

2.1.1.6. Ecuaciones cuadrticas

Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma donde a, b y c son nmeros reales y a es un nmero diferente de cero.

Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas, escogerlo depender del tipo de ecuacin cuadrtica que se va a resolver.

Ejemplo21:

Factorizacin.- consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios, luego simplemente buscamos el valor de x de cada binomio.

(1) Buscamos dos nmeros que multipliquen y den el valor de -8 y que a la vez sumen y el valor sea igual a 2.

(2) Despejamos cada uno de los factores respecto a x

Ejemplo22:

Completando el cuadrado.- en este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax^2+bx+c; y siempre la constante a tiene que ser igual a 1.

(1) Como a debe ser 1, despejamos por la constante de a, es decir por 4

(2) Pasamos la constante al lado opuesto





(3) A cada lado sumamos la mitad del coeficiente del segundo trmino elevado al cuadrado

(4) Factorizamos. Nota: siempre ser un cuadrado perfecto.

(5) Eliminamos el exponente con radicales

(6) Evaluamos los posibles resultados. Ya que , tenemos lo siguiente:

Ejemplo23:

Frmula cuadrtica.- en este mtodo hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:

(1) Considerando que ; reemplazamos estos valores en la frmula general

(2) Resolvemos primero lo que se encuentra dentro del radical

(3) Evaluamos los posibles resultados (a)

(b)

2.1.1.7. Ecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto de un nmero real es la distancia entre ese nmero y el cero en la recta numrica, esto es, , es importante considerar este argumento ya que lo usamos para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si , entonces . Por lo tanto, la solucin de la ecuacin es -6 y 6 .





Donde y c es un nmero positivo.

Ejemplo24:

(1) Dado que c es la distancia entre la ecuacin y el cero, calcularemos la ecuacin tanto para 5 como para -5.

(2) Resolvemos cada ecuacin hasta encontrar el valor de x, para (a).

(3) Para (b)

RECUERDE:

Para el clculo de las desigualdades con valor absoluto,

simplemente debe remitirse al resumen de las soluciones

siguientes y considerar las reglas que se detallan en el

Captulo 1. Aplicaciones y ms lgebra, de su texto bsico:

DESIGUALDAD (d>0) Solucin

2.1.1.8. Ecuaciones exponenciales

Una ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece en el exponente.

Estimado estudiante, tenga presente siempre las siguientes reglas para poder resolver ecuaciones exponenciales:





Ejemplo25:

(1) Tomar en cuenta la propiedad de producto de potencias de igual base, para descomponer cada trmino

(2) Extraemos a como factor comn

(3) Efectuamos las operaciones indicadas

(4) Tenemos una igualdad de dos potencias de igual base, por lo tanto los exponentes son iguales

Es momento de trabajar, compruebe el resultado, para ello reemplace el valor de la incgnita , en la ecuacin original.





2.1.1.9. Ecuaciones logartmicas

Ejemplo26:

(1) En el segundo trmino del primer miembro se hace un cambio de base, se lo lleva a base 2

(2) Aplicando la definicin de logaritmo, se obtiene que

(3) Efectuamos las operaciones indicadas

El valor de x es el correcto?, comprobemos el resultado:

Felicitaciones, quedan menos temas por estudiar, pero antes de continuar lo invito a desarrollar la siguiente autoevaluacin.





Ecuaciones

Escriba dentro del parntesis una V o una F segn considere verdaderas o falsas las siguientes expresiones

1. ( ) Rta. 30

2. ( ) Rta.-91/4

3. ( ) Rta.-6

4. ( )

Rta.33

5. ( )

Rta. 50/3

6. ( )

Rta. -10

7. ( ) Rta. 8/31

8. ( ) Rta.25; -8

9. ( ) Rta.-4,-2

10. ( ) Rta. -5,7/2

11. ( ) Rta.

12. ( ) Rta. 5 ; 2/11

Autoevaluacin3

2. ( )

3. ( )

Rta. -5,7/2

11. ( )

12. ( )





13. ( ) Rta. 0,

14. ( ) Rta.5

15. ( ) Rta. 2 ; -1/2

16. ( ) Rta. -3 ; 2

17. ( ) Rta. 3 ; 5/3

Como le fue con el desarrollo de la Autoevaluacin, que espera, compruebe cuantos aciertos obtuvo, al final de la gua se encuentra el solucionario.

Muy bien!, una vez comprendido el desarrollo de ecuaciones y desigualdades es importante conocer su aplicacin, lea detenidamente los conceptos y revise varias veces la resolucin de los problemas planteados en esta gua, al final no olvide desarrollar las autoevaluaciones.

2.2. Aplicacindeecuaciones

Diferentes son las situaciones en las que usted podr aplicar tanto ecuaciones como desigualdades, su utilizacin le permitir resolver problemas prcticos, para lo cual ser necesario que usted traduzca estas situaciones y/o problemas a smbolos matemticos.

Analizaremos a continuacin solo algunos casos de estos, referentes a su formacin profesional. Iniciaremos con la aplicacin de ecuaciones:

Ejemplo27:

Ingresos mensuales.- Una vendedora gana un salario base de $1000 por mes, ms una comisin del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio le toma horas realizar ventas por un valor de $100. Cuntas horas deber trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2500?

3. ( )

14. ( )

15. ( )

17. ( )





(1) Traducimos el problema a smbolos matemticos

(2) Despejamos x

(3) Si desea puede comprobar el resultado, reemplazando el valor de x obtenido en la ecuacin original

Cmo obtuvimos el , para obtener este dato suponemos que trabaja x horas al mes, de acuerdo a las referencias del problema cada horas, efecta ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir,

horas, efecta ventas por $100, de modo que cada hora promedia en ventas; dado que su comisin es del 10%, el promedio por

hora ser . Por lo tanto, en x horas ganar una comisin de en ventas; dado que su comisin es del 10%, el promedio por

dlares.

An no terminas el desarrollo del problema, qu falta?, EXACTO!, la interpretacin de resultados. Entonces, cul sera la interpretacin de los resultados que obtuvimos?, una posible alternativa sera: La vendedora deber trabajar 225 horas por mes en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado, esto es los $2500.

Veamos ms ejemplos:

Ejemplo28:

Inversiones.- Un persona desea invertir $100000; y desea recibir un ingreso anual de $10000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 5% o con mayor riesgo al 9% con bonos hipotecarios. Cmo debera invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $8000?

(1) Traducimos el problema a smbolos matemticos, planteamos primero la ecuacin para bonos del gobierno, asumimos que x es la cantidad invertida.

(2) Planteamos la segunda ecuacin para bonos hipotecarios





(3) Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser $8000, unificamos las ecuaciones anteriores y las igualamos a este valor.

(4) Realizamos las operaciones necesarias hasta encontrar el valor de x

(5) Interpretacin de resultados

Ahora es importante re exionar sobre los valores obtenidos, debe distribuirse de esa manera las inversiones?, resolveremos esta interrogante con una breve y simple comprobacin:

Ejemplo29:

Precios.- Un comerciante sabe que si cobra p dlares por docena de huevos, el nmero de huevos vendidos por semana ser de x millones de docenas, donde . Entonces su ingreso semanal total ser millones de dlares. El costo para la industria de producir x millones de docenas de huevos por semana est dado por millones de dlares. A qu precio debe vender los huevos este comerciante para obtener una utilidad de $0,25 millones?

Esta persona deber invertir $25000 en bonos del gobierno y $75000 (100000 - 25000) en bonos hipotecarios para obtener $8000 y minimizar sus riesgos.





(1) El problema ya nos ha indicado las ecuaciones tanto para el ingreso como para los costos; recordar usted que la utilidad o beneficio es lo que nos queda luego de haber restado los costos a los ingreso, para lo que plantearemos la siguiente ecuacin

(2) Recuerde que el comerciante desea saber el precio x al que deber vender los huevos para obtener una utilidad de $0,25 millones, entonces reemplacemos este valor en la frmula

(3) Igualamos a cero y resolvemos el trinomio utilizando la frmula cuadrtica.

Para interpretar los resultados, partimos de las condiciones iniciales, en que ; con lo que, cuando , tenemos que , mientras que cuando , . Esto nos permite concluir que el comerciante

tiene dos opciones; la primera es cobrar $1 por docena, y vender 1 milln de docenas, o en la segunda que cobrar $1,50 por docena, y vender 0,5 millones de docenas; cualquiera que fuese la decisin del comerciante en ambos casos el obtendr una utilidad de $0,25 millones por semana.

Actividades Recomendadas

El Captulo 1. Aplicaciones y ms lgebra, de su texto bsico le mostrar ms ejemplos de aplicacin de ecuaciones, lalos, revselos y practique desarrollando nuevamente los ejercicios planteados para facilitar su aprendizaje.

2.3. Aplicacindedesigualdades

Al igual que las ecuaciones, las desigualdades nos permiten solucionar problemas y/o situaciones, utilizando smbolos matemticos, solo que en esta caso y partiendo del concepto de desigualdad, los planteamientos se elaborarn en torno a condiciones diferentes entre los elementos, es decir establecen que uno es menor a otro o viceversa.

Se han planteado algunos ejemplos con la fi nalidad de una mejor comprensin del tema:





Ejemplo30:

Una compaa que fabrica televisores, gasta en mano de obra y materiales $180 por televisor. Los costos fi jos3 por otro lado son de $80 000. El precio de venta al pblico es de $500 por televisor, Cuntos televisores deber vender para que la compaa obtenga utilidades?

(1) El Ejemplo 28, ya nos permiti conocer como est compuesta la utilidad y/o beneficio en una empresa.

(2) Ahora plantee la desigualdad considerando que la restriccin se refiere a que la compaa obtenga utilidades, es decir UT deber ser mayor que 0.

(3) Realice las operaciones indicadas

Con el resultado concluimos que la compaa deber vender al menos 251 televisores para obtener utilidad.

Es momento de trabajar compruebe el resultado, reemplace ; en la ecuacin original y demuestre que a esa cantidad .

3 Soncostosenlosqueseincurreenunperiododado,sinimportarelniveldeproduccin.





ActividadesComplementarias:Aplicaciones

Desarrolle los problemas planteados a continuacin y verifique si es la respuesta correcta o incorrecta, colocando V o F, segn sea el caso:

( ) Un seor de negocios quiere invertir $40000 en dos fondos diferentes que producen ganancias anuales del 11 % y 16.5 % respectivamente Cunto debe invertir en cada institucin para obtener una ganancia de $5390 despus de un ao? (AYUDA: 0.11x+0.165(40000-x)=5390)

Rta. 22000

( ) Una llave puede llenar un tanque en dos horas, una segunda en tres horas y un desage puede vaciarlo en 6 horas, si el tanque esta inicialmente vaco y se abren simultneamente las dos llaves y el desage en qu tiempo se llena el tanque? Rta.1h30 minutos

( ) Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $22 por unidad. Si los costos fijos son de $95000 y se vende cada unidad en $30 Cuntas unidades deben venderse para que la compaa obtenga utilidades de $50000?

Rta. 18125

SEGUNDO BIMESTRE Gua didctica: Matemticas


COM

PETE

NCIA

S

ESPE

CFI

CAS

OBJE

TIVO

S DE A

PREN

DIZA

JE

CONT

ENID

OSCR

ONOG

RAM

A OR

IENT

ATIV

O

Tiem

po es

timad

o

ACTI

VIDA

DES D

E APR

ENDI

ZAJE

RECU

RSOS

DID

CTI

COS

EVAL

UACI

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idad

es /T

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a apli

caci

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pret

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Traza

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Aplic

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s con

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uirido

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sos

prc

ticos

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rea d

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func

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4. Fu

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auto

estu

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4 hor

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inte

racc

in

Sem

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:

8 hor

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auto

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1. Le

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3. Re

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4. In

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1.

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2.

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Ev

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3.

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1. Re

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iones

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Sem

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8 hor

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auto

estu

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4 hor

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racc

in

SEG

UNDO

BIM

ESTR

E7.1

Plan

ificacin

paraeltrab

ajode

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7.Procesodeen

sea

nza-ap

rend

izajepa

raellog

rodecompe

tenc

ias

SEGUNDO BIMESTREGua didctica: Matemticas

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja46 UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja 47

7.2

Sistem

ade

evaluacin

Criterios

Form

asdeevalua

cin

Actitud

esHab

ilida

des

Con

ocim

ientos

PORCENTAJE

PUNTAJE

Comportamientotico

Cumplimiento,puntualidad

yresponsabilidad

Esfuerzoeintersenlos

trabajos

Respetoalaspersonas

yalasnormasde

comunicacin

Creatividadeiniciativa

Contribucineneltrabajo

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Presentacin,ordeny

ortografa

Emitejuiciosdevalor

argumentadamente

Dominiodelcontenido

Investigacin(citafuentes

deconsulta)

Aportaconcriteriosy

soluciones

Anlisisyprofundidaden

eldesarrollodelostemas

1.Au

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2.Heteroevaluacin

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EVA

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3.C

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Sr.

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Estimado profesional, antes de iniciar con el desarrollo del II Bimestre, es necesario que usted tenga en cuenta los apartados que a continuacin se detallan, su comprensin y aplicacin facilitar el proceso de enseanza - aprendizaje:

En todo momento tenga a mano su texto bsico ya que la presente gua didctica lo encaminar al uso de ella, y a la resolucin de ejercicios planteados en l.

El grfico de funciones, es un tema que de seguro usted ya lo estudi, lo importante ahora es que usted aprenda a aplicar este tema en casos particulares a su desarrollo profesional, por ello es necesario que practique conforme avance con su estudio, repita varias veces los ejercicios planteados y compruebe su procedimiento.

Es necesario que desarrolle las actividades complementarias, recomendadas y las autoevaluaciones, que se encuentran planteadas en cada una de las Unidades, estas le permitirn estar ms preparado para la evaluacin presencial, no es necesaria su presentacin.

Si el aprendizaje de las dos unidades consideradas en este bimestre le resultaron de difcil comprensin, le aconsejo revise el texto complementario, ste contiene el desarrollo de ejercicios paso a paso, que facilitarn su comprensin, y no olvide que tiene tambin el apoyo de su profesor a quien lo podr contactar, de acuerdo al horario de tutoras establecido o mediante correo electrnico.

7.3 Orientaciones espec cas para el aprendizaje por competencias



Estimado estudiante daremos inicio ahora al segundo bimestre, para lo cual se han programado dos unidades, con las que esperamos culminar el estudio de las Matemticas. Es importante que realice repasos continuos conforme avancemos con el estudio, esto garantizar su aprendizaje. Est listo?, muy bien, entonces iniciemos

con Funciones y Grficas.

3.1. Definiciones

Una funcin expresa la idea de que una cantidad depende de otra o de que est determinada por otra. Est compuesta por nmeros de entrada (dominio) y nmeros de salida (rango), considerando que a cada entrada siempre le corresponder un nico nmero de salida.

3.2. Funcionesespecialesysusgrficas

A continuacin se presentarn algunas funciones especiales, de las cules si bien es cierto no es necesario su dominio, si es indispensable que tenga presente su concepcin bsica, las grfi cas y ms ejercicios de aplicacin puede revisarlos en el Unidad 2, de su texto bsico.

3.2.1.Funcionesconstantes

Se llama funcin constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una funcin matemtica de la forma:

Tenga presente siempre que a pertenece a los nmeros reales.

Ejemplo31:

Cualquiera que fuese el valor que se asigne a x, el valor de la funcin seguir siendo el mismo. Supongamos entonces que , entonces:

UNIDADIII:FUNCIONES Y GRAFICAS




Como puede observar el valor de la funcin es constante.

3.2.2. Funcionespolinomiales

Si una funcin f est defi nida por:

Donde , son nmeros reales y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una funcin polinomial de grado n.

Ejemplo32:

A continuacin algunos ejemplos de funciones polinomiales:

1. ; es una funcin polinomial de grado 5.

2. Una funcin lineal es una funcin polinomial de grado 1.

3. Una funcin cuadrtica es una funcin polinomial de grado 2.

4. Una funcin cbica, es una funcin polinomial de grado 3.

RECUERDE:

Una funcin algebraica es aquella que est formada por un nmero fi nito de operaciones algebraicas sobre la

funcin identidad y la funcin constante.



3.3 Aplicacindedesigualdades

3.3.1. Funcionesracionales

Una funcin que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales , se llama funcin racional.

En este tipo de funciones, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto los ceros de g.

Ejemplo33:

El dominio de f est formado por todos los nmeros reales excepto el (-1); adems podemos identifi car las intercepciones de esta funcin, con respecto al eje y, es (-3), esto es: ; mientras que con el eje x es ; cuando: .

3.3.2. Funciones de nidas por partes

Algunas funciones de acuerdo a su estructura, difi ere el criterio para los valores de la variable independiente (variable x), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas.

Desarrollemos ahora un ejemplo, para que usted comprenda mejor su aplicacin, ponga atencin al siguiente desarrollo:

Ejemplo34:

De acuerdo con los criterios planteados en la funcin, realizaremos algunos ejercicios:

1.

Cuando , de acuerdo al criterio planteado en la funcin: , diremos que .




2.

De acuerdo con el criterio de la funcin, la imagen de 4 no est definida.

3.

Cuando , de acuerdo con el criterio de la funcin se tiene que , luego , de esta manera

4.

De acuerdo con el criterio de la funcin, obtendramos

5.

De acuerdo con el criterio de la funcin se tiene que , como , entonces

3.3.4.Funcionesvalorabsoluto

La funcin valor absoluto , asocia a cada nmero su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.

De acuerdo con la defi nicin, x puede ser cualquier nmero real, por lo tanto, el dominio est representado por los nmeros reales. Las imgenes de x, corresp

g19103

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