fundamentos sistemas digitales cap 4 floyd

4.1 Operaciones y expresiones booleanas4.2 Leyesy reglas del Álgebra de Boole4.3 Teoremas de DeMorgan4.4 Análisis booleano de los circuitos lógicos4.5 Simplificación mediante el Álgebra de Boole4.6 Formas estándar de las expresiones booleanas4.7 Expresiones booleanas y tablas de verdad4.8 Mapas de Karnaugh4.9 Minimización de una suma de productos

mediante el mapa de Karnaugh4.10 Minimización de un producto de sumas

mediante el mapa de Karnaugh4.11 Mapa de Karnaugh de cinco variables4.12 Aplicación a los sistemas digitales

~

ALGEBRA DE BOOLE y~

SIMPLIFICACIONLÓGICA

Simulación por computadorade circuitos digitales:El tutoría] de Electronics Workbench (EWB)se encuentra en la direcciónhttp://www.prenhall.comlfloyd

Esta aplicación a los sistemas digitales ilustra los conceptos que serán explicados a lo largo del capítulo. Elfuncionamiento del display de 7 segmentos del sistema de control y recuento de pastillas es un buen

método para ilustrar la aplicación del álgebra deBoole y de Jos mapas de Karnaugh, de modo que seobtenga la más sencilla implementación en el diseñode circuitos lógicos. Por tanto, en la Sección 4.12, noscentraremos en la lógica del convertidor BCD-7 segmentos que gobierna los dos displays del sistemaindicados a continuación.

• APLICACiÓN A LOS SISTEMASDIGITALES

APLICACIÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES • 203

En 1854, George Boole publicó una obratitulada Investigación de las leyes delpensamiento, sobre las que se basan las teoríasmatemáticas de la lógica y la probabilidad. Enesta publicación se formuló la idea de un11álgebra de las operaciones lógicas" , que seconoce hoy en día como álgebra de Boole. Elálgebra de Boole es una forma muy adecuadapara expresar y analizar las operaciones de loscircuitos lógicos. Claude Shannon fue elprimero en aplicar la obra de Boole al análisis y

diseñó de circuitos. En 1938, Shannon escribiósu tesis doctoral en el MIT (MassachussetsInstitute of Technology) titulada Análisissimbólico de los circuitos de conmutación yrelés.

Este capítulo se ocupa de las leyes, reglasy teoremas del álgebra booleana y susaplicaciones a los circuitos digitales. Seaprenderá a definir un circuito mediante unaexpresión booleana y a determinar sufuncionamiento. También se tratará lasimplificación de los circuitos lógicos utilizandoel álgebra booleana y los mapas de Kamaugh.

• INTRODUCCiÓN

202 • ÁLGEBRA DE BOOlE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA

Ejercicio re.!_a.E_ionado.Determinar los valores de A y B que hacen que el términoproducto de A B sea igual a 1.

Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el producto ABCD sea igual a 1.

SoluciónPara que este producto sea 1c.__cadauno de los literales del término tiene que ser 1. Portanto,A = 1,B = O(para que B = 1), C = 1y D = O(para queD= 1).

- - - -ABCD = 1 . O . I . O = 1 . 1 . 1 . 1 = 1

EJEMPLO 4.2

En !élálgebra de Boole, un término producto es el producto de literales. En los circuitos lógicos, un término producto se produce mediante la operación AND, sin que aparezca ninguna operación OR en la expresión. Algunos ejemplos de términos productoson:AB, AB, ABC y AB CD.

Un término producto es igual a 1 si y sólo si cada LInode los literales es 1.Untérmino producto es igual a Osi uno o más de sus literales es O.

.En el Capítulo 3vimos también que la multiplicación booleana es equivalente a laoperación AND y sus reglas básicas son:

Multiplicación booleana

Determinar los valores de A y B que hacen que el términoProblema relacionado.A + B seaO.

Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el término A +B+C+D sea igualaO. .

SoluciónPara que la suma sea 0, cada uno de los literales tiene que ser o. Por consiguiente, A =0,B = 1 (para que B::::: O),C = O y D = 1 (para que J5 = O).

A+B+C+J5=o+T+O+I=o+O+o+O=O

En el álgebra de Boole, un término suma es una suma de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se produce mediante la operación OR, sin que existaníngun~ operación AND en la expresión. Algunos ejemplos son: A + B, A + B, A + B+CyA +B+C+D.

Un término suma es igual a 1 cuando uno o más de los literales es un 1. Un término suma es igual a Osi y sólo si cada uno de los literales es O.

Como vimos en el Capítulo 3, la suma booleana es equivalente a la operación OR ysus reglas son:

Adición booleana

Los términos variable, complemento y literal son términos ampliamente utilizadosen el álgebra de Boole. Una variable es un símbolo (en este libro, generalmente seusará una letra mayúscula en cursiva) que se utiliza para representar magnitudeslógicas. Cualquier variable puede tener un valor 1 o O. El complemento es el inverso de la variable y se indica mediante una barra encima je la misma. Por ejemplo, elcomplemento de la variable A es A. Si A=l, entonces A = O. El complemento de lavariable A se lee como" A negada" o "complementada". Algunas veces también seutiliza un apóstrofe para indicar el complemento de una variable en lugar de la barra.Porejemplo, el complemento de B puede escribirse como B'. En este libro, sólo seutilizará la barra. Un literal se define como una variable o el complemento de unavariable.

El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales.Es indispensable tener unos conocimientos básicos del álgebra booleana paraestudiar y analizar los circuitos lógicos. En el capítulo anterior, se hanintroducido las operaciones y expresiones booleanas para las puertas NOT,AND, OR, NAND y NOR. En esta sección se revisa este material y se facilitandefiniciones e información adicional.

Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de:

- Definir variable. - Definir literal. • Identificar un término suma. • Evaluar untérmino suma. - Identificar un término producto. • Evaluar un término producto.- Explicar la adición booleana. - Explicar la multiplicación booleana.

EJEMPLO 4.1

OPERACIONESy EXPRESIONESBOOLEANAS • 205

4.1 • OPERACIONES Y EXPRESIONESBOOLEANAS

204 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA

(4.3)

X~AB+ACX~A(B + C)Leyes asociativas. La ley asociativa de la adición para tres variables se escribe, enforma algebraica, de la siguiente manera:

FIGURA 4.2Aplicación de la ley conmutativa de la multiplicación.

Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación AND esindiferente. La Figura 4.2 muestra esta ley cuando se aplica a una puerta AND.

(4.2)

Laley conmutativa de la multiplicación para dos variables es:

Esta ley establece que aplicar la operación OR a dos o más variables y 1li 1 . uegoap ?ar a operaCl?n AND al resultado de esta operación y a otra variable aislada, esequivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de lossUIl_landosy. :uego aplicar la operación OR a los productos resultantes. La ley distributiva también expresa' el proceso de sacar factor común, en el que la variable comúnA se saca como factor de los productos parciales, como, por ejemplo, en AB + AC ::,A (B + C). La Figura 4.5 ilustra la ley distributiva mediante su implementación depuertas.

FICURA4.1Aplicación de la ley conmutativa de la adición.

(4.5)

La ley distributiva para tres variables se escribe de la siguienteLey distributiva.manera:

Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación ORes indiferente. Recuerde que cuando se aplica a los circuitos lógicos la terminologíadel álgebra de Boole, la adición y la operación OR son una misma cosa. La Figura 4.1nos muestra la ley conmutativa aplicada a una puerta OR, en la que se puede ver quees indistinto a qué entrada asignemos cada una de las variables. (El símbolo == significa "equivalente a".)

(4.1)

FIGURA 4.4Aplicación de la ley asociativade la multiplicación.

Las leyes básicas del álgebra de Boole (las leyes conmutativas de la suma y la multiplicación, y las leyes asociativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva)son las mismas que las del álgebra ordinaria. Cada una de las leyes se ilustra con doso tres variables, pero el número de variables no está limitado a esta cantidad.

Leyes conmutativas. La ley conmutativa de la suma para dos variables se escribecomo sigue:

(4.4)Esta ley establece que al aplicar la operación AND a más de dos variables el resultad? es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las vari~bles. En laFlgura4.4 podemos ver esta ley aplicada a las puertas AND.

Leyesdel álgebra de Boole La ley asociativa de la multiplicación para tres variables se escribe de la siguiente manera:

FIGURA 4.3Aplicación de la leyasociativa de la adición.

Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existe en el álgebra de Boole una seriede reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarlacorrectamente. Las más importantes son las que sepresentan en esta sección.


• Aplicar las leyes conmutativas de la adición y multiplicación. - Aplicar las leyesasociativas de la adición y multiplicación. • Aplicar la ley distributiva. • Aplicar lasdoce reglas básicas del álgebra de Boole.

Esta ley establece que al aplicar la operación OR a más de dos variables elresultado es .el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables. En la Figura 4.3 podemos ver esta ley aplicada a las puertas ORo

4.2 • LEYESy REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

LEYESY REGLASDEl ÁLGEBRADE BOOLE • 207

FIGURA 4.5Aplicación de la ley distributiva.

206 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA

8. A· A = O Si se aplica la operación AND a una variable y a su complemento, elresultado es siempre igual a O.Esta regla se basa en que siempre A oA será O,y además en que cuando se aplica un Oa una de las entradas de una puerta AND la salidasiempre es O.En la Figura 4.13 se muestra esta regla.

;1=1=0- X=lA=1

A=0=O- x=oA=OFIGURA 4.12Regla 7:A .A =A.

7. A . A = A Si se aplica la operación AND a una variable consigo misma, elresultado siempre es igual a la variable. SiA =O,entonces ° .O= 0, Ysi A = 1, entonces 1·1 = 1. Esta regla se ilustra en la Figura 4.12.

A=I=D-_ X= 1A=O

A=0=D-- X=lA=1FIGURA 4.11Regla 6:A +A = 1.

6. A + A = 1 Si se aplica la operación OR a una variable y a su complemento, elresultado es siempre igual a 1. SiA es O,entonces 0+ 0=0 + 1 == 1. SiA es 1, entonces1 + T= 1 + O= 1.En la Figura 4.11 podemos ver una puerta OR en la que sus entradasson una variable y su complemento.

X=A+A=A

A=0=D-- x=oA=O .FIGURA 4.10Regla 5:A +A =A.

5. A +A = A Si se aplica la operación OR a una variable consigo misma, el resultado es siempre igual a la variable. Si A es 0, entonces O+ O=O,mientras que si A es1, 1 + 1 = 1. Esto se muestra en la Figura 4.10, en la que se aplica la misma variable aambas entradas.

X=Aol=A

A=l=O- X=l1

A=0=O- x=O1

FIGURA 4.9Regla 4:A '1 =A.

4. A· 1 = A Si se aplica la operación AND a 1 y a otra variable, el resultado essiempre igual a la variable. Si la variable A es O,la salida de la puerta AND será siempre O,mientras que si A es 1, la salida será 1, dado que las dos entradas son l. Estaregla se ilustra en la Figura 4.9, en la que la entrada inferior está siempre a 1.

LEYESY REGLASDELÁLGEBRADE BOOLE • 209

FIGURA 4.8Regla 3: A . O :::;O.

A=0=O- x=oo .A=I=O- x=o

O

3. A· O = O Si se aplica la operación AND a una variable y a O, el resultado essiempre igual a O.Siempre que una de las entradas de una puerta AND sea O, la salida es siempre 0, independientemente del valor de la otra entrada. Esta regla se ilustraen la Figura 4.8, en la que la entrada inferior está siempre a 0,

X=A+l=l

A=I=D-- x= ¡1

A=0=D-- X=11

FIGURA 4.7Regla 2:A + 1= 1.

2. A + 1 = 1 Si se aplica la operación OR a una variable y al, el resultado es siempre igual a 1. Un 1 en una entrada de una puerta OR produce siempre un 1 en la salida, independientemente del valor de la otra entrada. Esta regla se ilustra en la Figura4.7, en la que la entrada inferior está siempre a 1.

X=A+O=A

A=0=D-- x=oO

A=l=D-- X=lO

FIGURA 4.6Regla 1:A + 0= A.

1. A + O=A Si aplicamos la operación OR a una variable cualquiera y a O,el resultado es siempre igual a la variable. Si A es 1, la salida es igual a 1 y, por tanto, iguala A. SiA es O,la salida es Oe igualmente idéntica a A. Esta ley se ilustra en la Figura4.6, en la que la entrada inferior está siempre a O.

A, B, o e pueden representar una única variable o una combinación de variables.

TABlA 4.1Reglas básicasdel álgebra deBoole.

Reglas del álgebra booleana

La Tabla 4.1 enumera las doce reglas básicas, muy útiles, para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas. Las nueve primeras reglas las veremos en términos de su aplicación a las puertas lógicas. Las reglas 10 a 12 se obtendrán a partirde las reglas más sencillas y de las leyes anteriormente explicadas.


DeMorgan, matemático que conoció a Boole, propuso dos teoremas que constituyenuna parte muy importante del álgebra de Boole. En términos prácticos, los teoremasde DeMorgan nos demuestran la equivalencia entre laspuertas NAND y negativa-Ole,y laspuertas NOR y negativa-AND, que se han tratado en el Capítulo 3.


• Enunciar los teoremas de DeMorgan. • Relacionar los teoremas de DeMorgan con laequivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y entre las puertas NOR y negatívaAND. • Aplicar los teoremas de DeMorgan para simplificar las expresiones booleanas.

4.3 • TEOREMAS DE DEMORCAN

TABLA 4.4

(A + B)(A + C) =AA + AC +AS + BC= A + AC + AB + BC=A +BC

Ley distributivaRegla 7: AA = ARegla 10: A +AB = A(aplicada 2 veces)

En la Tabla 4.4 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuito lógicoresultante.

12. (A + B)(A + C) =A + BC Esta regla se puede demostrar de la manera siguiente:

_TABLA4.3

TEOREMASDE DEMORGAN • 211

En la Tabla 4.3 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuitológico resultante.

Regla 10: A = A + ASSacar factor comúnRegla6:A+A=1Regla 4: A· 1 = A

A + AS = (A + AS) + AS= A+ (A+A)B=A+l·B=A+B

11. A + AB =A + B Esta regla se puede demostrar de la manera siguiente:

TABLA 4.2

En la Tabla 4.2 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuito lógicoresultante.

Sacar factor común A (ley distributiva)Regla 2: (l + B) = 1Regla 4: A • 1 = A

A + AB =A (1 + B)=A ·1=A

10. A +AB =A Esta regla se puede obtener aplicando la ley distributiva, reglas 2 y4, de la manera siguiente:

FIGURA 4.14

Regla 9: A '"A.

!'-...}=~=A=O~· A=O

9. A = A El complemento del complemento de una variable es siempre la propiavariable. El complemento de la variable A es A y el complemento deA será de nuevoA, que es la variable original. Esta regla se muestra en la Figura 4.14, mediante el usode dos inversores.

~=o --r-\___X=OA=I~·

~= 1--r-\___X=OA=O----L.J

FIGURA 4.13Regla 8: A .A= O.


Aplicación de los teoremas de DeMorganEl siguiente procedimiento ilustra la aplicación de los teoremas de DeMorgan y delálgebra de Boole a una determinada expresión (los corchetes son equivalentes a losparéntesis) :

De esta manera obtenemos otros dos términos en la expresión a los que de nuevopodemos aplicar el teorema de DeMorgan. Estos términos son AB y Be. Una últimaaplicación del teorema de DeMorgan nos proporcíona el siguiente resultado:

(AB)C +A(BC) = (A + B)C + A(B + C)

Los teoremas de DeMorgan ya no pueden seguir aplicándose, aunque este resultadopuede ser simplificado aún más mediante el uso de las reglas y leyes de Boole.

Como se ha establecido en las Ecuaciones 4.6 y 4.7 que enuncian los teoremas deDeMorgan, cada variable puede representar una combinación de otras variables. Porejemplo, X puede ser igual al término Aá-i-C, e Y puede ser igual aA+BC. De esta for~a, si aplicamos el teorema de DeMorgan para dos variables expresado según XY = X+Ya la expresión CAB+ e)(A +BC) obtenemos el siguiente resultado:

(AB + e)(A +BC) = (AB + C) + CA +Be)

En el resultado anterior se observa que hay dos términos, AB +C yA +BC, a los quepodemos aplicar otra vez el teorema de DeMorgan X+ y =XY, obteniendo:

(AB + C) + (A +Be) = (AB)C + A(BC)

Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones -wxyz y w+x+y+z.Solución "WXYZ =W + X + Y + Z

w+x+y+z= WXYZProblema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresión W X y Z

EJEMPLO 4.4

Solución XYZ=X+Y+ZX+Y+Z = XYZ

Problema relacionado. Aplicar los teoremasde DeMorgana la expresiónX + y + Z

Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones XYZ yX+ Y+Z.EJEMPLO 4.3

Como se ha comentado, los teoremas de DeMorgan se aplican también a expresiones en las que existen más de dos variables. Los siguientes ejemplos ilustran laaplicación de los teoremas de DeMorgatl a expresiones de 3 y 4 variables.

TEOREMAS DE DEMORCAN • 213

(4.7)

(4.6)

FIGURA 4.15Equivalencias de laspuertas lógicas y tablas de verdad que ilustran los teoremas deDeMorgan.Nótese la igualdad entre las dos columnas de salida de cada tabla. Esto indica que las puertasequivalentes realizan la misma función. "

NOR Negativa·AND

O Oo 11 O1 1

EnÜ~dasX '~;,~i

1O OO OO o

x~x-:;_y_Xy"'.~XYy----L-/ ~"

Negativa-OleNAND

::EntradaS" :~~tSalida.-",,'

::1\1 y.- ~f;~~1~,;~;'11O

11O

o OO 11 O

1

X~Xyy--L__.F

Las puertas equivalentes y tablas de verdad correspondientes a las ecuaciones4.6 y 4.7 se muestran en la Figura 4.15.

La fórmula para expresar este teorema es:

o dicho de otra manera,

El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operaciónOR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos decada variable.

El segundo teorema de DeMorgan se enuncia así:

El complemento de una suma de variables es igual al producto de loscomplementos de las variables.

La fórmula para expresar este teorema para dos variables es:

o dicho de otra manera,

El complemento de dos omás variables a las que se aplica la operaciónAND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos decada variable.

El primer teorema de DeMorgan se enuncia de la siguiente forma:

El complemento de un prodncto de variables es igual a la suma de loscomplementos de las variables.


--AB + AB = (AB)(AB) = (A + B)(A + B) = (A + B)(A + B)

A continuación, se aplica la ley distributiva y la regla 8 CA . A = O):

(A + B)(A+ B) = AA + AB + AB + BB =AB + AB

La expresión resultante para una puerta XNOR es Xli + AB. Esta expresión es igual a1 siempre que ambas variables son O o 1.

Problema relacionado. Utilizando la expresión para una puerta NAND de 4 entradas, utilizar los teoremas de DeMorgan para desarrollar una expresión para una puertanegativa-OR de 4 entradas.

En primer lugar, se complementa la expresión OR-exclusiva, y luego se aplican los teoremas de DeMorgan del siguiente modo:

La expresión booleana de una puerta Ok-exclusiva es AB + AB. Tomando esto comopunto de partida, desarrollar una expresión para una puerta NOR-exclusiva, utilizandolos teoremas de DeMorgan y aquellas leyes o reglas que se puedan aplicar.

Solución

Problema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresiónAB(C + D) + E

(e) (A + B)C D + E + F = [(A + B)C Dl CE + F) = (A B + C + D)EF

(a) CA + B) + C = (A + B)(; = (A + B)C

(b) (A +B) + CD = (A + B)CD = (AB)(C + D) = Ali(c + 75), <

Solución

(e) (A + B)C D + E + F(b) (A + B) + CD(a) (A + B) + C

EJEMPLO 4.6 Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones:

Problema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresiónABC+D +E

(AB)(CD)(EF) = (A + B)(C + D)(E + F)

--A continuación aplicamos el teorema de DeMorgan a cada uno de los términos AS, CD,yEF:

AB + CD + EF = (AB)(CD)(EF)

(e) Sean AB = X, CD = y, y EF = Z. La expresión AB + CD + EF está escrita en laforma X + y +z = X YZ , y puede expresarse como:

TEOREMAS DE DEMORCAN • 215

(ABC)(DEF) = (A + B + C>(D + E + F)

ABC + DEF = (ABC)(DEF)

A continuación aplicamos el teorema de DeMorgan a cada uno de los términosABCyDEF:

(b) Sean ABC ::;X Y DEF ::: y. La expresión ABC +DEF está escrita en la forma X +y= XY,y puede expresarse como:

A+B+C+D=ABC+DA continuación, aplicamos el teorema de DeMorgan al término A +B +C

(A+ B+ C)D = A +B + C + D

Solución(a) Sean A + B + C = X Y D ::;y. La expresión (A+B+ C)D está escrita en la forma XY

= X + Y y puede expresarse como

(b) ABC+DEF(a) (A+B+ C)D (e) AB + CD + EF

EJEMPLO 4.5 Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones:

Paso 6. Utilizando la regla 9 (A =A) para eliminar la barra doble del término E + F:

(A + BCy(D + E + F) = CA + BO(D + E + F)Los siguientes tres ejemplos ilustrarán detalladamente cómo emplear los teore

mas de DeMorgan.

[A + BC][D(E + F)] = [A + BC][DZ]

Paso 5. Como DZ = D + Z,

[A + BC][D(E + F)] = (A + BCyCD + CE+ F)

Paso 4. En el término de la derecha definimos Z :;;E + F

[A + BC][D(E + F)] = [A + BC][D(E + F)]

Paso 1. Identificar los términos a los que se puede aplicar los teoremas deDeMorgan y considerar cada término como una única variable. DefinimosA + BC = X Y D(E + F) = y .

Paso 2. Dado que X+Y =X Y,

[A + BC] + [D(E + F) ] = [A + BC][D(E + F)]

Paso 3. Utilizar la regla 9 (A ;:;;A) para eliminar la barra doble sobre el término de laizquierda (esta parte no tiene que ver con los teoremas de DeMorgan):

A + BC + D(E + F)

214 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA

o O O O O O O O OO O O 1 O O O 1 OO O O O O 1 O OO O I O O 1O O O O O OO O 1 O O 1O O O OO O

Represehtación de los resultados en una tabla de verdad. El primer pasoconsiste en enumerar las dieciséis combinaciones de unos y ceros de las variables deentrada en una secuencia binaria, como muestra la Tabla 4.5. A continuación, se poneun 1 en la columna de salida para las combinaciones de variables de entrada que sehan determinado en la evaluación de la expresión. Finalmente, se escribe un O en lacolumna de salida para el resto de las combinaciones de las variables de entrada. Estosresultados se muestran en la Tabla 4.5.

El término CD es 1 sólo si C y D son 1.Para resumir, la expresión A( B + CD) = 1 cuando A = 1 y B ;;:1, independien

temente del valor de C y D, o cuando A ;;:1 YC = 1 y D ;;:1, independientemente delvalor de B. La expresión A(B + CD) vale O para el resto de combinaciones posiblesde las variables.

B + CD = I + 0=1B + CD= O + 1 = 1B + CD = 1+ 1= 1

Ahora, se determina cuándo el término B + CDes igual a 1. La expresión B + CD es1 si B = 1 o CD = 1, o ambos son igual a 1, ya que:

A(B + CD) = 1 . 1 = I

booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entrada. En el caso del circuito de la Figura 4.16, existen cuatro variables de entrada (A, B,C y D) y, por tanto, hay 24 ;;: 16 posibles combinaciones de valores.

Evaluación de la expresión. Para evaluar la expresión A(B + CD), en primerlugar, utilizando las reglas de la adición y multiplicación booleanas, se localizan losvalores de las variables que hacen que la expresión sea igual a 1. En este caso, laexpresión es igual a 1 sólo si A = 1y (B + CD) = 1, ya que:

ANÁLISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LÓGICOS • 217

Una vez que se ha determinado la expresión booleana de un circuito dado, puede desarrollarse una tabla de verdad que represente la salida del circuito lógico para todos losvalores posibles de las variables de entrada. Esto requiere que se evalúe la expresión

Elaboración de la tabla de verdad de un circuito lógico

A(B + CD)

e _ ___r- ......

D----,... __FIGURA 4.16Circuito lógico que muestra el desarrollode la expresión booleanapara la salida.

1. La expresión de la puerta AND situada más a la izquierda cuyas entradas son C yDes CD.

2. La salida de la puerta AND situada más a la izquierda es una de las entradas de lapuerta QR y B es su otra entrada. Por tanto, la expresión para la puerta OR esB+CD.

3. La salida de la puerta OR es una de las entradas de la puerta AND situada más a laderecha, siendo A su otra entrada. Por tanto, la expresión de esta puerta AND seráA(B + CD), que es la expresión final de salida del circuito completo.

Para obtener la expresión booleana de un determinado circuito lógico, la manera deproceder consiste en comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avanzando hasta las líneas de salida, escribiendo la expresión para cada puerta. Para el circuito ejemplo de la Figura 4.16, su expresión booleana se determina de la siguientemanera:

Expresión booleana de un circuito lógico

El álgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar elfuncionamientode un circuito lógicoformado por una combinación de puertas lógicas, de tal formaque la salida puede determinarse por la combinación de los valores de entrada.


• Determinar las expresiones booleanas de una combinación de puertas. • Determinarel funcionamiento lógico de un circuito a partir de su expresión booleana. • Elaboraruna tabla de verdad.

4.4 • ANÁLISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LÓGICOS


Paso 6. Aplicar la regla 7 (CC = C) al primer término:

ABC+ABC

ABCC+ABC

Paso 5. Aplicar la ley distributiva:

Los corchetes y paréntesis significan lo mismo: el término de su interior se multiplica(AND) por el término exterior.

SoluciónPaso 1. Aplicar la ley distributiva a los términos entre corchetes:

(ABC + ABBD + A B)C

Paso 2. Aplicar la regla 8 (BB = O)al segundo término entre paréntesis:

(ABC+A·O·D+AB)C

Paso 3. Aplicar la regla 3 (A . O . D ""O) al segundo término:

(ABC + O + A B)C

Paso 4. Aplicar la regla 1 (quitar el O)dentro del paréntesis:

(ABC+AB)C

Simplificar la expresión booleana:

[AB(C + BD) + AB]C

FIGURA4.17Redes de puertas para el Ejemplo 4,8,

(b)(a)

,1B+ A(B + C) + B(B + C) B+AC

Ae

La Figura 4.17 muestra cómo el proceso de simplificación del Ejemplo 4.8 hareducido significativamente el número de puertas lógicas necesarias para implementar la expresión. En la parte (a) se puede ver que son necesarias cinco puertas paraimplementar dicha expresión en su forma original, mientras que sólo se requieren dospara hacerlo una vez simplificada, como se muestra en la parte (b). Es importanteresaltar que estas dos redes de puertas son equivalentes, es decir, para cualquier combinación de valores en las entradas A, B y e, obtenemos siempre la misma salida enambos circuitos.

SIMPLIFICACiÓN MEDIANTE ELÁLGEBRA DE BOOLE • 219

EJEMPLO 4.9

En este instante, la expresión ya no puede seguir simplificándose. Según se vaya adquiriendo experiencia en la aplicación del álgebra de Boole, se podrán combinar muchospasos individuales.

Problema relacionado. Simplificar la expresiónAB + A(B+ C) + B(B+ C).

B+AC

Paso 5. Aplicar la regla 10 (AE + B = B) a los términos primero y tercero:

AB +AC + B

Paso 4. Aplicar la regla 10 (B + BC ::::B) a los dos últimos términos:

Paso 3. Aplicar la regla 5 (AB + AB ::::AB) a los dos primeros términos:

AS +AC + B + BC

Paso 2. Aplicar la regla 7 (BB =B) al cuarto término:

AB + AB +AC + B + BC

AB + AB + AC + BB + BC

El método que se aplica no es necesariamente el único posible.

Paso 1. Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer término de la expresión delsiguiente modo:

Solución

AB + A(B + C) + B(B + C)

Mediante las técnicas del álgebra de Boole, simplificar la siguiente expresión:EJEMPLO 4.8

Una expresión booleana simplificada emplea el menor número posible de puertas enla implementación de una determinada expresión. A continuación, se presentan cuatro ejemplos de simplificación descritos paso a paso.

Muchas veces, a la hora de aplicar el álgebra booleana, hay que reducir unaexpresión a su forma más simple o cambiarla a una forma más conveniente paraconseguir una implementación más eficiente. El método que se va a tratar en estasección utiliza las reglas, leyesy teoremas del álgebra de Boole para manipular ysimplificar una expresión. Este método requiere un profundo conocimiento delálgebra booleana y una considerable experiencia en su aplicación, por no mencionartambién un poquito de ingenio y destreza.


• Aplicar las leyes, reglas y teoremas del álgebra de Boole para simplificar cualquierexpresión.

4.5 • SIMPLIFICACiÓN MEDIANTE ELÁLGEBRADE BOOLE


Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden convertirseen cualquiera de las dos formas estándar: suma de productos oproducto de sumas.Esto posibilita que la evaluación, simplificación e implementación de las expresionesbooleanas sea mucho más sistemática y sencilla.


_ Identificar una expresión en forma de suma de productos. - Determinar el dominiode una expresión booleana. - Convertir cualquier suma de productos a su forma

4.6 • FORMAS ESTÁNDAR DE LAS EXPRESIONES BOOLEANAS

A+BCProblema relacionado. Simplificar la expresión booleana AB +AC + X B C.

A+AB+BCPaso 6. .Aplicar la regla 10 [A + A B = A (1 + B) = A] a los términos primero y

. segundo:

Paso 2. Aplicar el teorema de DeMorgan a cada término entre paréntesis:

(A + B)(X + C) + A BC

Paso 3. Aplicar la ley distributiva a los dos términos entre paréntesis:

A A + A C + A B + B C +A BCPaso 4. Aplicar la regla 7 CAA = A) al primer término y la regla 10 [A B + A BC =

A B (1 + C) =A B] al tercer y al último término:

A+Ae+AB+BCPaso S. Aplicar la regla 10 [A + A C = A (1 + C) = A] a los términos primero y

segundo:

SoluciónPaso 1. Aplicar el teorema de DeMorgan al primer término:

(AB)(AC) + A BC

AB+AC+ABCEJEMPLO 4.11 Simplificar la siguiente expresión:

FORMAS ESTÁNDAR DE lAS EXPRESIONESBOOLEANAS • 221

Problema relacionado. Simplificar la expresiónABC + A BC + ABC + ABe.

Paso 7. Usar las leyes distributiva y conmutativa para obtener la siguiente expresión:

BC+AB + BC

BC + B(A + e)

Paso 6. Aplicar la regla 11 (A + Xc = A + C) al término entre paréntesis:

BC + B(A +XC)

Paso 5. Sacar factor común B del segundo y tercer término:

Paso 4. Aplicar la regla 4 (quitar el I) al segundo término:

BC + AB + ABC

BC + AB . 1+ A B C

BC'! +AB(C+e)+ABC

Paso 3. Aplicar la regla 4 (quitar el 1) al primer término y la regla 6 (e + C= 1) al término entre paréntesis:

Paso 2. Aplicar la regla 6 (A + A = 1) al término entre paréntesis y sacar el factorcomún AB del segundo y último término:

BC(X + A) + ABC + ABC + ABC

Paso 1. Sacar factor comúnBC del primer y último término:

Solución

EJEMPLO 4.10 Simplificar la expresión booleana:

ABC + ABe + AB e + ABC+ ABe

Problema relacionado. Simplificar la expresión [AB(C+ BD) + AB]CD.

BC

Paso 9. Aplicar la regla 4 (quitar el 1):

BC(A + A)Paso 8. Aplicar la regla 6 (A + A = 1):

BC' 1

Paso 7. Sacar factor común BC:

220 _. ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA

Hasta ahora, hemos estado viendo sumas de productos en las que algunos de los términos no contenían todas las variables del dominio de la expresión. Por ejemplo, laexpresión ABC + !JjD + ABCD tiene un dominio formado por las variables A, B, Cy D. Podemos ver que el conjunto completo de variables del dominio no está incluidoen los dos primeros términos de la expresión, es decir, faltan D o D en el primer término y C o C en el segundo.

Una suma de productos estándar es aquélla en la que todas las variables deldominio aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Por ejemplo, ABCD+ A BCD + ABe 15es una suma de productos estándar. La suma de productos estándar tienen mucha importancia a la hora de construir las tablas de verdad, que se tratarán en la Sección 4.7, junto con el método de simplificación de los mapas deKarnaugh, que se verá en la Sección 4.8. Cualquier suma de productos en forma noestándar (que denominaremos simplemente suma de productos) puede convertirse alformato estándar utilizando el álgebra de Boole.

Conversión de suma de productos a su forma estándar. Cada término producto de una suma de productos que no contenga todas las variables del dominio, puede ser transformada a su forma estándar de manera que incluya todas las variables deldominio o sus complementos. Como se muestra a continuación, una suma de productos puede convertirse en forma estándar mediante la regla 6 del álgebra booleana (A+ A =1) de la Tabla 4.1, que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1.

Forma estándar de la suma de productos

Solución(a) AB + B(CD + EF) =AB + BCD + BEF(b) (A + B)(B + e + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD(e) (A+B) +C = (A+B)C = (A + B)C = AC + BC

Problema relacionado. Convertir ABC + (A + B)(B + C + AB) a la forma sumade productos.

(e) (A+B) + e(b) (A + B)(B + C + D)(a) AB + B(CD + EF)

Convertir cada una de las siguientes expresiones booleanas a su forma suma deproductos:

EJEMPLO4.12

Cualquier expresión lógica puede ser transformada a una expresión suma de productos, aplicando el álgebra de Boole. Por ejemplo, la expresión A(B + CD) puede convertirse en una suma de productos aplicando la ley distributiva:

A (B + CD) = AB + ACD

FORMAS ESTÁNDARDE LASEXPRESIONESBOOLEANAS • 223

Conversión de una expresión general a formatosuma de productos

FIGURA4.18Implementación de la suma de productos AB +BCD +AC.

X =AB + BCD+AC

A __ r-- ......

B --, _ _/

B _ _r-- .......

CD --, _/

A _-r-- ......

C --, ._/

Una suma de productos puede también contener términos de una única variable, como A + A BC + BCD. Si volvemos a los ejemplos de simplificación de laúltima sección, puede observarse que cada término de la expresión resultante era oun producto aislado o una suma de productos. En una expresión con formato sumade productos, una barra no puede extenderse sobre más de una variable, aunque másde una variable pueda tene~ ~~barra encima. Por ejemplo, una suma de productospuede contener el término A B C , pero no el ABe.

Dominio de una expresi6n booleana. El dominio de una expresión booleana esel conjunto de variables (o sus c~mplem~ltos) contenido en una expresión. Por ejemplo, el dominio de la expres~n AB_+ ABC es el conjunto de variables A, B, C; y eldominio de la expresión ABC + CDE + BCD es el conjunto A, B, C, D, E.

Implementaci6n de una suma de productos. La implementación de una sumade productos simplemente requiere aplicar la operación OR a las salidas de dos o máspuertas AND. Una operación AND da lugar a un producto, y la adición de dos o másproductos se realiza mediante puertas OR. Por tanto, una expresión suma de productos puede implementarse mediante un circuito lógico AND-OR en el que las salidasde las puertas AND, cuyo número es igual al de productos que contenga la expresión,SOh las entradas de una puerta OR, como se muestra en la Figura 4.18 para la expresión AB+BCD+AC. La salida X de la puerta OR es igual a la suma de productos.

En la Sección 4.1, se ha definido el término producto como un término que es el producto (multiplicación booleana) de literales (variables o sus complementos). Cuandodos o más productos se suman mediante la adición booleana, la expresión resultantese denomina suma de productos (SOP, Sum Of Products). Algunos ejemplos son:

AB + ABCABC + CDE + BCDAB +ABC+AC

Suma de productos

estándar. • Evaluar una expresión en forma de suma de productos según los valoresbinarios. • Identificar una expresión en forma de producto de sumas. • Convertircualquier producto de sumas a su forma estándar. • Evaluar una expresión en forma deproducto de sumas según los valores binarios. • Convertir expresiones de una a otraforma estándar.

222 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPliFICACiÓN LÓGICA

Producto de sumas

En la Sección 4.1 se ha definido el término suma como un término formado por lasuma (adición booleana) de literales (variables o sus complementos). Cuando dos omás términos suma se multiplican, la expresión resultante es un producto desumas (POS, Product Of Sums). Algunos ejemplos son:

(A + B)(A + B + C)

(A + B + C)(e + D + E)(B + e + D)

(A + B)(A + B + C)(A + C)

Un producto de sumas puede contener términos con una única variable, como en A(A + B + C) (B + C + D). En un producto de sumas, un~ barra no puede extendersenunca sobre más de una variable, aunque más de una variable puede ten~ un~ ba~encima. Por ejemplo, un producto de sumas puede contener el término A + B + Cpero no el A+B +C.

¿Es ésta una suma de productos estándar?

XYZ+ XYz + XYZ + XYZ+ XYZ

SoluciónEl términoABCD es igual a 1 siA = 1,B ::::l , C = 1 y D == 1.

ABCD = 1 . 1 '. 1 . 1 = 1

El término AS CD es igual a 1 siA = 1,B ::::O, C::: O y D::: 1.

ABCD = 1 . () . O . 1 = 1 . 1 . 1 . 1= 1

El término A BCD es igual a 1 cuandoA = O, B :::O, C = O Y D :::o.ABCD = O . O' O . O = 1 . 1 . 1 . 1 = 1

La suma dé productos es igual a 1 sólo cuando cualquiera de los tres términos, O todos,son igual a l.

Problema relacionado. Determinar los valores binaríos para los que la siguientesuma de productos es 1:

ABCD + ABCD + ABC15

EJEMPLO 4.14 Determinar los valores binarios para los que la siguiente suma de productos estándar seaigual a 1:

Recordemos que un producto se implementa mediante una puerta AND, cuyasalida es 1 si y sólo si todas sus entradas son 1. Para generar el complemento de unavariable se utilizan inversores.

Una suma de productos (SOP) es igual a 1 si y sólo si uno o más delos términos producto que forman la expresión es igual a 1.

FORMAS ESTÁNDAR DE LASEXPRESIONESBOOLEANAS • 225

En este caso, el término producto tiene un valor binario de 1010 (diez en decimal).

ABCD = 1 . O . 1 . ()= 1 . 1 . 1 . 1= 1

Representación binaria de un término producto estándar. Un término producto estándar es igual a 1 sólo para una combinación de los valores de las variables. Por ejemplo, el término ABCD es igual a 1 cuando A = 1,B = O, C = 1 y D = O,como se muestra más abajo, y es cero para el resto de combinaciones de valores delas variables.

Problema relacionado. Convertir la expresión WXY+ XYZ + lVXYenuna sumade productos estándar.

En este caso, el resultado son cuatro productos estándar. El tercer término ABCD, yaestá en formato estándar. La suma de productos estándar que obtenemos es finalmente:

ABC + AB + ABCD = ABCD + ABC15 + ABCD + ABC15 + ABCD +ABCD + ABCD

AB =ABC+ABC=ABC(D + 15)+ABC(D + 15)= A BCD +A BCD + ABCD + ABCD

SoluciónEl dominio de esta suma de productos es A, B, C, D. Considerando cada término porseparado, se comprueba que al primer término,ABC, le falta la variableD o 15,por lo que10multiplicamos por DaD, obteniendo:

ABC = ABC(D + 15) = ABCD + ABCDEn este caso, se obtienen dos productos estándar. En el segundo término, A B , faltan lasvariables CA C y DaD, de manera que multiplicamos primero por C + C:

A B = A B(C + C) = A BC +A B CLos dos términos que obtenemos carecen de la variable DaD, por lo que multiplicamospor D + D:

EJEMPLO 4.13 Convertir la siguiente expresión booleana al formato suma de productos estándar:

ABC + AB + ABCD

Paso 1. Multiplicar cada término producto no estándar por un término formado porla suma de la variable que falta y su complemento. Con esto se obtienen dostérminos producto. Como se sabe, se puede multiplicar por 1 cualquierexpresión sin que se altere su valor.

Paso 2. Repetir el paso 1 hasta que todos los términos de la expresión contengantodas las variables (o sus complementos) del dominio. Al convertir cada producto a su forma estándar, el número de términos producto se duplica porcada variable que falta, como muestra el Ejemplo 4.13.


Determinar los valores binarios de las variables para los que la siguiente expresiónproducto de sumas estándar es igual a o: _

CA + B + C + D)(A + B +e + D)(A + B +e + D)

EJEMPLO 4.16

Re resentación binaria de un término suma estándar. Un término s~ma estánd:es izual a O sólo para una única combinación de los valores de las v~lables. Poreiem 10° la suma A + B + C + D es O cuando A = O, B = 1, e = O y D ~ 1, co.mosemuestramás abajo, y es 1 para el resto de combinaciones de los valores de las vanables.

A+B+C+D=O+T+o+T=o+o+O+O=O

En este caso, el valor binario de la suma es 0101 (5 e~ decima~). R~cu~rde que u~asuma se implementa mediante una puerta OR cuya sahd~.es O .SI y solo SI cada una esus entradas es O. Para complementar las variables se utilizan inversores.

Un producto de sumas (POS) es igual a O si y sólo si uno o más términos suma de la expresión son igual a O.

Solución ./ D V: siderar término por término.El dominio de esta expresion esA, B, C, y .' amos~ con _ di DD a li-. El primero, A + B + C, no contiene la vanable D o D, por lo que ana irnos y pcamas la regla 12 como sigue: _

A + B + C = A + B + C + DD = (A + B + C +.D)(A + B + C + D)

d ' . -B + C + 15 carece de la variable A o A, por lo que añadimos AA yEl segun o termmo, ,aplicamos la regla 12 del siguiente modo: _

B+C+D=B+C+D+AA=(A+B+C+~~+B+c+m

, . A + B + C + D ya está escrito en su forma estándar. El producto deEl tercer termmo, 'sumas estándar de la expresión original es:

CA+B+ C)(B+ C+D)(A +B +e+ D) = _ _ _ _ __(A+B + c._'+D)(A +B + C+D)(A +T3+ C+D)(A +B + C+ D)(A + B+ C+D)

.' d Convertir la expresión (A + B)(B + C) a su formaproducto deProblema'relaciona o.sumas estándar.

Convertir la siguiente expresión booleana a formato producto de sumas estándar:

(A + B + C)(li + C + D)(A+ B + e + D)EJEMPLO 4.15

Aplicar la regla 12 de la Tabla 4.1: A + BC = (A + B)(A + C).Repetir el paso 1hasta que todos los sumandos resultantes contengan todaslas variables del dominio o sus complementos.

Paso 2.Paso 3.

FORMAS ESTÁNDARDE LASEXPRESIONESBOOLEANAS • 227

es un producto de sumas estándar. Cualquier producto de sumas no estándar (quedenominaremos simplemente producto de sumas) puede convertirse a su forma estándar mediante el álgebra de Boole.

Conversión de un producto de sumas a su forma estándar. Cada operaciónsuma de un producto de sumas que no contenga todas las variables del dominio puede pasarse a formato estándar, de manera que incluya todas las variables del dominioo sus complementos. Como se muestra a continuación, un producto de sumas noestándar se pasa a formato estándar utilizando la regla booleana número 8 (A .A = O)de la Tabla 4.1, la cual establece que una variable multiplícada por su complemento esigual a O.

Paso 1. Añadir a cada "término suma" no estándar un término consistente en el producto de la variable que falta y su complemento; esto da lugar a la apariciónde dos sumandos eu la expresión. Como ya se sabe, siempre se puede sumarO sin que se altere el valor de una expresión.

tiene un dominio formado por las variables A, B, Cy D. Obsérvese que el conjunto completo de variables del dominio no está representado en los dos primeros términos de laexpresión; es decir, faltan D o D en el primer término, y C oeen el segundo término.

Un producto de sumas estándar es aquel en el que todas las variables del dominio o sus complementos aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Porejemplo;

Hasta ahora, se han tratado expresiones producto de sumas en las que algunos de lostérminos no contenían todas las variables del dominio de la expresión. Por ejemplo, laexpresión:

Forma estándar del producto de sumas

x = (A + B)(B + e + D)(A + e)

A-.......--_B

8eD

A -___'--_

FIGURA 4.19Implementación del producto de sumas(A +B)(B + C +D)(A + C).

Implementación de un producto de sumas. La implementación de unproducto de sumas requiere simplemente la aplicación de la operación AND a las salidas dedos o más puertas OR. Un sumando se origina mediante la operación OR, y el producto de varios términos suma se realiza por medio de la operación AND. Por consiguiente, un producto de sumas puede implementarse a partir de puertas lógicas OR(cuyo número será igual al de sumandos de la expresión) cuyas salidas se conectan alas entradas de una puerta AND, como muestra la Figura 4.19 para la expresión(A+B)(B+C+D)(A+ C). La salida X de la puerta AND es igual al producto de sumas.


Como se ha establecido en la Sección 4.6, una suma de productos es igual a 1 si ysólo si al menos uno de los productos es igual a l. Una tabla de verdad es sencillamente una lista de las posibles combinaciones de valores de las variables de entrada y sus correspondientes valores de salida (1 o O). Para una expresión cuyo dominio es de. dos variables, existen cuatro combinaciones distintas de estas variables(22 = 4). Para una expresión cuyo dominio consiste en tres variables, existen ocho(23 = 8) combinaciones diferentes de estas variables. Para una expresión cuyo

Conversión de una suma de productos a tabla de verdad

Todas las expresiones booleanas pueden ser fácilmente convertidas en tablas deverdad utilizando los valores binarios de cada término de la expresión. La tabla deverdad es una forma muy común, en un formato muy conciso, de expresar elfuncionamiento lógico de un circuito. Además, las expresiones suma deproductos yproducto de sumas pueden calcularse mediante las tablas de verdad. Las tablas deverdad se pueden encontrar en las hojas de especificaciones y en otrasdocumentaciones relativas alfuncionamiento de los circuitos y sistemas digitales.

Alfinalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de:

• Pasar una suma de productos a su tabla de verdad. - Pasar un producto de sumas asu tabla de verdad. - Obtener una expresión estándar a partir de una tabla de verdad.• Interpretar correctamente los datos contenidos en una tabla de verdad.

Problema relacionado. Sustituyendo los valores binarios en cada término, verificarque las expresiones suma de productos y producto de sumas de este ejemplo sonequivalentes.

Puesto que son tres las variables que conforman el dominio de esta expresión, existe untotal de ocho (23) posibles combinaciones. La expresión suma de productos contienecinco de estas combinaciones, luego la expresión producto de sumas debe contener lasotras tres, que son 001, 100Y110.Recuerde que estos son los valores binarios que hacenque cada operación suma sea igual a cero. El producto de sumas equivalente es:

(A+ B +C)(A+ B + C)(A+ B + e)

EXPRESIONESBOOLEANAS y TABLASDE VERDAD • 229

4.7 • EXPRESIONESBOOLEANAS Y TABLAS DEVERDAD

000 + 010 + 011 + 101 + 111

SoluciónEl resultado de la evaluación es el siguiente:

ABe + ABe + ABe +ABe +ABe

. EJEMPLO 4.17 Convertir la siguiente expresión suma de productos en su expresión equivalente comoproducto de sumas:

Los valores binarios de los términos producto en una suma de productos estándar dadano aparecen en su producto de sumas estándar equivalente. Asimismo los valoresbinarios que no est~ representados en una suma de productos sí aparecen en el producto de sumas equivalente. Por 10 tanto, para pasar de la suma de productos estándaral producto de Sumas estándar hay que realizar los siguientes pasos:

Paso 1. Evaluar cada término de la expresión suma de productos; es decir, determinar los valores binarios que representan estos términos.

Paso 2. Determinar todos los números binarios no incluidos al realizar el cálculo delpaso 1.

Paso 3. Escribir los términos suma equivalentes para cada valor binario del paso 2 yexpresarlos en forma de producto de sumas.

Mediante un procedimiento similar se puede pasar de un producto de sumas a unasuma de productos.

Conversión de una suma de productos estándar a productode sumas estándar

Problema relacionado. Determinar los valores binarios para los que el siguienteproducto de Sumases igual a O: .

(X + Y + Z)(X + y + Z)(X + y + Z)(X + y + Z)(X+ Y + Z)¿Es esta expresión un producto de sumas estándar?

SoluciónEl término A + B + e + D es igual a °cuando A = 0, B =·0, e == o yD == O.

A+B+C+D=O+O+O+O=O

El términoA + B + e + D es igual a O siA = O, B = 1,e= 1YD == O.

A+B+C+D=O+T+T+o=O+o+O+O=O

El términoA + B + e + 15 es igual a O si A == 1,B == 1, e == 1yD = 1.

A+B+C+15=T+T+T+T=o+o+o+o=o

El producto de sumas es igual a O cuando cualquiera de los tres términos suma es iguala O.

228 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA

Para determinar la expresión de la suma de productos estándar representada por unatabla de verdad, se enumeran todos los valores de las variables de entrada para los quela salida es 1.Cada valor binario se convierte en el correspondiente término producto,reemplazando cada 1 por la variable y cada O por la variable complementada. Porejemplo, el valor binario 1010 se transforma en un término producto de la manerasiguiente:

Determinación de las expresiones estándar a partirde una tabla de verdad

Ob~érveseque la tablade verdadde esteejemploes la mismaque la del Ejemplo4.18.Esto significa que la suma de productos del ejemplo anterior y el producto de sumas deeste ejemplo son equivalentes.

Problema relacionado. Desarrollar la tabla de verdad para el producto de sumassiguiente (A +B + e) (A +B +C)(A + Ji +~.

TABlA 4.7

O O O OO O 1 1O O OO 1 O

O O1 O O1 O O

1

EJEMPLO 4.19 Determinar la Tabla de verdad de la siguiente expresión producto de sumas estándar:

~+B+q~+S+0~+B+~~+B+~~+ll+0Solución. Existen tres variables en el dominio y ocho posibles valores binarios, comosemuestra en las tres columnas de la izquierda de la Tabla4.7. Lo~valores binarios_guehacen que los términos suma sean cero sonA +B + e: 000;A +B+ C: 010;A + B+C: 011;A + B + C: 101; yA + B + e: 110. Para cada uno de estos valores binarios, seescribe un cero en la columna de salida como se indica en la tabla. Para las restantescombinaciones de valores binarios, se escribe un 1 en la columna de salida.

EXPRESIONESBOOLEANAS Y TABLAS DE VERDAD • 231

lOlO---jABCDPara determinar el producto de sumas estándar representado por una tabla de

verdad, se enumeran todos los valores binarios para los que la salida es O. A continuación se convierte cada valor binario en el correspondiente término suma, reemplazand~ cada 1 por la variable complementada, y cada Opor la variable. Por ejemplo,el número binario 1001 se pasa a término suma de la manera siguiente:

'1001~A+B+C+D

Recordemos que un producto de sumas es igual a O solamente si al menos uno delos términos suma es igual a O. Para elaborar la tabla de verdad de un producto desumas, se enumeran todas las posibles combinaciones de valores binarios de lasvariables, del mismo modo que se ha hecho anteriormente para la suma de productos. A continuación, se pasa la expresión producto de sumas a su formatoestándar, si todavía no lo está. Por último, se escribe un O en la columna de salida

\(X) para cada valor binario que hace que la expresión sea cero, y se escribe un 1en el resto de las posibles combinaciones. Este procedimiento se ilustra en elEjemplo 4.19.

Conversión de un producto de sumas a tabla de verdad

Problema relacionado. Crear una tabla de verdad para la expresión ABe +ABe

O1Oo1OO1

OOOO]

111

o1O1O1O1

oO11OO

TABlA 4.6

Existen tres variables en el dominio, de forma que hay ocho posibles combinaciones devalores binarios de las variables, como se muestra en las tres primeras columnas de laTabla 4.6. Los valores binarios que hacen que los productos de la expresión sean 1 sonA Be: 001;AS e: 100 yABe: 111; Para cada uno de estos valores binarios, se escribeun 1 en la columna de salida como se muestra en la tabla. Para cada una de las restantes combinaciones, se coloca un O en la columna de salida.

Solución

EJEMPLO 4.18 Desarrollar una tabla de verdad para la expresión suma de productos estándar A Be +Aiie+ABe

dominio contiene cuatro variables, el número de combinaciones es (24 = 16), y asísucesivamente.

El primer paso a seguir para elaborar una tabla de verdad es enumerar todas lasposibles combinaciones de los valores de las variables de la expresión. A continuación,hay que pasar la suma de productos a su formato estándar, si no lo está ya. Por último,se escribe un 1 enla columna de salida (X) para cada valor binario que hace que la sumade productos estándar sea 1, y se escribe un O para los restantes valores. Este procedimiento se muestra en el Ejemplo 4.18.


e eFIGURA 4.20 AB o AB oMapa de Karnaugh de tres variables.

00 00 ABE

01 i 01 ABE~~.~'.l..':1 flBEI1.~

11

~10 ~ 10 ABE

·..·:.;t·i:.!"::'..~'-:_::-:·

(a) (b)

Mapa de Karnaugh de tres variablesEl mapa de Karnaugh de 3 variables es un conjunto de ocho celdas, como se muestraen la Figura 4.20(a). En este caso, A, B Ye se utilizan para denominar a las variables,aunque se podrían usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en laparte izquierda (observar la secuencia) y los valores de e en la parte superior.

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En vez deestar organizada en filas y columnas como una tabla de verdad, el mapa de Kamaugh esuna secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variablesde entrada. Las celdas se disponen de manera que la simplificación de una determinadaexpresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas. Los mapas de Karnaugh pueden utilizarse para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables, pero trataremosúnicamente los casos de 3 y 4 variables para ilustrar su funcionamiento. La Sección 4.11se ocupa de las expresiones de cinco variables que emplean tul mapa de Karnaugh de 32celdas. Existe otro método, que está fuera del propósito del libro, denominado métodode Quine-McClusky, que puede usarse para un número de variables mayor.

El número de celdas de un mapa de Kamaugh es igual al número total de posibles combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas de unatabla de verdad. Para tres variables, el número de celdas necesarias es de 2}= 8. Paracuatro variables, el número de celdas es de 24 = 16.

Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación deexpresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma deproductos y producto de sumas más simples posibles. Como hemos visto, la efectividadde la simplificación algebraica depende de nuestra familiaridad con las leyes, reglas yteoremas del álgebra booleana y de nuestra habilidad a la hora de aplicarlas. Por otrolado, el mapa de Karnaugh es básicamente una "receta" para la simplificación.


- Construir un mapa de Kamaugh de tres O cuatro variables. - Determinar el valorbinario de cada celda de un mapa de Karnaugh. - Determinar el término productoestándar representado por cada celda de un mapa de Karnaugh. - Explicar laadyacencia de celdas e identificar celdas adyacentes.

4.8 • MAPAS DE KARNAUGH

MAPAS DE KARNAUGH - 233

La suma de productos estándar resultante para la salida X es:

X =ABC +AS e + ABe + ABCPara el producto de sumas, la salida es Opara los valores 000, 001, OJOy 101.

Estos valores binarios se transforman en términos suma de la forma siguiente:

OOO-----+A+ B + C001-----+ A+ B +e010-----+ A + S + C101-----+A+ B + e

El producto de sumas estándar que obtenemos a la salida X es:

X=~+B+0~+B+~~+B+0~+B+~Problema relacionado. Sustituyendo los valores binarios, demostrar que las expresiones suma de productos y producto de sumas calculadas en el ejemplo anterior sonequivalentes, es decir, para cada número binario que elijamos, ambas expresiones tienenque tomar el valor Oo el valor 1,dependiendo del valor binario en cuestión.

Oll-----+ABC100-----+ AS e110-----+ ABe111 -----+ ABC

Solución. En la columna de salida hay cuatro ls, y las combinaciones binarias correspondientes son 011, 100, 110y 111.Estos valores se convierten a términos producto dela formasiguiente:

TABlA 4.8

O O O OO O 1 OO O OO1 O O 1

O 1 O1 O 1

EJEMPLO4.20 A partir de la tabla de verdad de la Tabla4.8,determinar la expresión suma de productosestándar y su expresión equivalente como producto de sumas estándar.

232 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA

Como se ha enunciado en la sección anterior, el mapa de Karnaugh se utiliza parareducir expresiones booleanas a su mínima expresión. Una expresión suma deproductos minimizada está formada por el mínimo número de términos productoposibles con el mínimo número de variablespor término. Generalmente, unaexpresión suma deproductos minimizada puede ser implementada mediante unnúmero depuertas menor que su expresión estándar, lo cual constituye lafinalidaddel proceso de simplificación.


• Representar una expresión suma de productos en un mapa de Karnaugh. • Combinarlos ls del mapa en grupos máximos. • Determinar los términos producto mínimo decada grupo del mapa. • Combinar los términos producto mínimo para formar unaexpresión suma de productos mínima. • Convertir una tabla de verdad en un mapa deKamaugh para simplificar la correspondiente expresión. • Utilizar condiciones"indiferentes" en un mapa de Karnaugh.

10

11

01

CD

AB ):::::gRRtd~~d;¡00

FIGURA 4.22Adyacencia de celdas en un mapade Karnaugh. Las flechas apuntana las celdas adyacentes.

e izquierda para formar la misma figura. La Figura 4.22 muestra la adyacencia de celdas de un mapa de Karnaugh de 4 variables, aunque las reglas de 'la adyacencia se aplican por igual a todas las tablas, independientemente de su número de variables.

MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 235

·4.9 • MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTEELMAPA DE KARNAUGH

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que sólo cambia una única variable entre celdas adyacentes. La adyacencia se define por un cambio de unaúnica variable. Las celdas que difieren en una única variable son adyacentes. Porejemplo, en el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011y a la 110.Las celdas cuyo valor difiere en más de una variable no son adyacentes. Porejemplo, la celda 010 no es adyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la 101.

Físicamente, cada celda es adyacente a las celdas que están situadas inmediatasa ella por cualquiera de sus cuatro lados. Una celda no es adyacente a aquellas quetocan diagonalmente alguna de sus esquinas. Además, las celdas de la fila superiorson adyacentes a las de la fila inferior y las celdas de la columna izquierda son adyacentes a las situadas en la columna de la derecha. Esto se denomina adyacencia cíclica, ya que podemos pensar que el mapa de Karnaugh se dobla de forma que se toquenlos extremos superior e inferior como si fuera un cilindro o los extremos de la derecha

Adyacencia de celdas

(b)(a)

10 ABCi5 AlJCD AffCD AlJCi5:;U :l~":* ···;m§,· .Y.

io

11 ABCi5 ABCD ABCD ABCi511

01 ABCi5 ABCD ABCD ABCi5011-----+--+---+--11·,

00 AlJCi5 AlJCD ABCD AlJCi5L

CD00 01 11 10

AB r----,---,---.--~1011

CDAB 00 01

00

FIGURA 4.21Mapa deKamaugñde cuatro variables.

Mapa de Karnaugh de cuatro variables

El mapa de Karnaugh de cuatro variables es una matriz de 16 celdas, como se muestra en la Figura 4.21(a). Los valores binarios de A y B se encuentran en la parteizquierda de la tabla, mientras que los de e y D están en la parte superior.

El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B en la parte izquierda de la misma fila, combinado con los valores binarios de e yD en la parte superiorde la misma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior derecha tiene unvalor de 0010 y la de la esquina inferior derecha tiene un valor de 1010. La Figura4.21 (b) muestra los términos producto estándar representados por cada celda del mapade Kamaugh de cuatro variables.

El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B, en la parteizquierda de la misma fila, combinado con el valor de een laparte superior de la misma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior izquierda tiene un valorbinario de 000 y la celda de la esquina inferior derecha tiene un valor de 101. LaFigura 4.20(b) muestra los términos producto estándar representados por cada celdadel mapa de Kamaugh.


Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh, las expresiones booleanas deben estaren su forma estándar. Si una expresión no lo está, se pasará al formato estándarmediante el procedimiento descrito en la Sección 4.6 o mediante desarrollo numérico.Dado que, en cualquier caso, las expresiones tienen que evaluarse antes de pasarlas almapa de Karnaugh, el desarrollo numérico es quizá el método más eficaz.

Desarrollo numérico de un producto no estándar. Recuerde que a un términoen forma no estándar le faltan una o más variables en su expresión. Por ejemplo, supongamos que uno de los productos de una cierta suma de productos de tres variables esAS.Este término se puede desarrollar numéricamente para obtener una expresión estándarde la manera siguiente. En primer lugar, se escribe el valor binario de las dos variables

Mapa de Karnaugh de una suma de productos no estándar

Problema relacionado. Transformar la siguiente expresión estándar suma de productos en un mapa de Karnaugh.

ABCD +ABCD + ABCD + ABCD

I

.". "·"·'1 .,.,. .. ...\ABCD ABCD

I01 ~l 1,

ABEl5 ~I--t--t--t-----il11 ~! 1 1

ABEl5 .-/'f---+!....,J.I--t---\-~\+--i'\¡10 1-- -ASCO

00

AlicDCD 00 01 / 11 10

AB r----r--~--~---./ l-+--+-ABCD

FIGURA 4.25

A BCD + ABC D + ABCD + ABCD +ABC D +A B CD +ABCD0011 0100 1101 1111 1100 0001 1010

Solución. La expresión se evalúa como se muestra a continuación. Se coloca un 1 enel mapa de Kamaugh de la Figura 4.25 por cada producto estándar de la expresión.

Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh:

ABeD +Miel) + ABCD + ABCD +ABcl) + ABCD + ABCl)

EJEMPLO 4.22

Problema relacionado. Transformar la expresión estándar de la suma de productosABC +ABC +ABC en un mapadeKamaugh.


-- - - -A BC + ABC + ABC + ABC001 010 110 111

CAB o 1

00 1--¡-ABC

;;01 1 ': ABE

:

11 1, 1-;-ABC<,

<,

ID i'ABE

FIGURA 4.24

Solución. Laexpresiónseevalúacomo semuestramás abajo.Se introduceun 1enelmapade Kamaughde tres variablesde la Figura4.24 por cada productoestándarde la expresión.

A BC + ABC + ABC +ABC

Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh:

En los dos ejemplos siguientes se verá este proceso de transformación.

o 1 ABE + ABC + ABE + AB000 001 no io

00 11 "J I

01 t

11 1

LO 1....,.

AB

EJEMPLO 4.21

eFIGURA 4.23Ejemplo de transformación a mapade Karnaugh de una sumade productos estándar.

Mapa de Karnaugh de una suma de productos estándar

Por cada término de la expresión suma de productos, se coloca un 1 en el mapa deKarnaugh en la celda correspondiente al valor del producto. Por ejemplo, para el término ABe se situaría un 1 en la celda 101 en un mapa de Karnaugh de 3 variables.

Cuando se ha completado el mapa de Karnaugh correspondiente a la suma de productos dada, en dicho mapa habrá tantos unos como términos en la expresión. Las celdasque no tienen un 1 son aquellas para las que la expresión es O.Generalmente, cuando setrabaja con una expresión suma de productos, los Osse dejan fuera del mapa. Los siguientes pasos y la Figura 4.23 nos ilustran cómo completar los mapas de Karnaugh.

Paso 1. Determinar el valor binario de cada término producto de la suma de productos estándar. Tras un poco de práctica, la evaluación de términos la podremos realizar mentalmente.

Paso 2. A medida que evaluamos cada término, colocamos un 1 en el mapa deKarnaugh, en la celda que tiene el mismo valor que dicho término.


El proceso que genera una expresión que contiene el menor número posible de términos con el mínimo número de variables posibles se denomina minimización. Despuésde haber obtenido el mapa de Kamaugh de una suma de productos, se deben seguirtres pasos para obtener la expresión suma de productos núnima: agrupar los l s, determinar el término producto correspondiente a cada grupo y sumar los términos producto obtenidos.

Simplificación de una suma de productos medianteel mapa de Karnaugh

Problema relacionado. Transformar la expresión A + eD + ACD + ABCD en unmapa de Karnaugh.

10

11

01

.~::~r---+---+---;---~

AB

00

101101FIGURA 4.27 CD00

Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, situando un 1 en la celda correspondiente del mapa de Kamaugh de 4 variables de la Figura 4.27. Nótese quealgunos de los valores de la expresión desarrol1ada son redundantes.

BC + AS + ABe + ABC15 + ABCD + ABCD0000 1000 1100 101o 0001 10110001 1001 11011000 10101001 1011

EJEMPLO 4.24 Transformar la siguiente expresión suma de productos en un mapa de Karnaugh:

BC +AB + ABC +ABC15+A"§CD + ABCDSolución. Obviamente, la suma de productos no está escrita en forma estándar, ya quecada término no contiene las cuatro variables. A los dos primeros les faltan dos variables, mientras que los dos restantes sí son estándar. En primer lugar, se desarrollannuméricamente los términos como sigue:

MINIMIZACIÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 239

Agrupación de 1s. Podemos agrupar los 1s del mapa de Kamaugh de acuerdo conlas reglas siguientes, rodeando las celdas adyacentes que contengan ls. La finalidad esmaximizar el tamaño de los grupos y minimizar el número de estos grupos.

Problema relacionado. Transformar la expresión suma de productos BC + A Cen un mapa de Karnaugh.

o 1

00 1 1 ,]

01 1 1 r~1~

11 I :{.j

~10 1 1 I

".0' " '.'

CAB

FIGURA 4.26

EJEMPLO 4.23 Transformar la siguiente expresión suma de productos en un mapa de Kamaugh: A +AB +ABC.Solución. Obviamente, la suma de productos no está en formato estándar, ya que cadatérmino no contiene las tres variables. El primer término no posee dos de las tres variables; el segundo carece de una, mientras que el tercero sí que es estándar. En primerlugar, desarrollamos los términos numéricamente de la forma que sigue:

A +AB +ABC000 100 110001 101010011

Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, colocando un 1 en la celda apropiada del mapa de Karnaugh de 3 variables de la Figura 4.26.

Los cuatro números binarios resultantes son los valores correspondientes a la suma deproductos estándar, es decir, ABe, ABC,ABe y ABe.

y le añadimos un O que corresponde a la variable que falta, e:100. A continuación, seescribe el valor binario de las dos variables y le añadimos un 1, que corresponde a lavariable que falta, C:I01. Los dos ~alores binarios resultantes so~l~ val~res respectivos de los términos de la expresión suma de productos estándar AB C yABC.

Veamos otro ejemplo; se supone que uno de los términos de una expresión de tresvariables es B (recuérdese que una variable única se considera como un término producto en una suma de productos). Este término se puede desarrollar numéricamentepara obtener su formato estándar del siguiente modo: se escribe el valor binario de lavariable y luego se añaden todos los posibles valores de las variables que faltan, A y C:

B010


FIGURA 4.30 CDAB 00 01 11 10

00Xc

01

B11

10

ACD

EJEMPLO 4.26 Determinar los productos para el mapa de Kamaugh de la Figura 4.30 y escribir laexpresión suma de productos mínima resultante.

Determinación de la expresión suma de productos mínima a partir delmapa. Cuando todos los ls que representan los términos productos estándar deuna expresión se han trasladado al mapa y se han agrupado adecuadamente, comienza el proceso de obtención de la suma de productos mínima. Para encontrar los términos mínimos y la expresión suma de productos mínima se aplican las siguientesreglas:

1. Agrupar las celdas que contienen 1s. Cada grupo de celdas que contiene ls dalugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en elgrupo en sólo una forma (no complementada o complementada). Las variables queaparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A éstas se les denomina variables contradictorias.

2. Determinar la operación producto mínima para cada grupo.(a) Para un mapa de 3 variables:

(1) Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto detres variables.

(2) Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de dosvariables.

(3) Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término de una variable.(4) Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresión vale 1.

(b) Para un mapa de 4 variables:(1) Un grupo formado por 1 celda da lugar a un término producto de cuatro

variables.(2) Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de tres

variables.(3) Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de dos

variables.(4) Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un término de una variable.(5) Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresión vale 1.

3. Cuando se han obtenido todos los términos mínimos a partir del mapa deKarnaugh, se suman para obtener la expresión suma de productos mínima.


(d)

10

11

01

00

Adyacencia en los extremos de la tabla

(d)

11

DI

00

(e)

FIGURA 4.29

(b)

CAB

Problema relacionado. Determinar si existen otras formas de agrupar los ls en laFigura 4.29, para obtener un número mínimo de grupos máximos.

Adyacencia en los extremos de la tabla

(e)

10 10

II

01

DI 1011CD

AB 00

00

FIGURA 4.28

(b)

o 1

00 1 1 te:'

01 1

11 1 f'

10 1 1

ABe

Soluclén. En la Figura 4.29 se muestran los grupos. En algunos casos, puede existirmás de una forma de agrupar los ls para formar grupos máximos.

Agrupar los 1s en cada uno de los mapas de Kamaugh de la Figura 4.28.

(a)

10

11

Ol

00 @oC

AB

(a)

° 1

00 1 1101 1

r11 I I

10

CAB

EJEMPLO 4.25

1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas. En el caso de un mapa deKamaugh de 3 variables, el grupo máximo puede contener 8 celdas.

2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o más celdas del mismo grupo, pero no todas las celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre sí.

3. Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de ls de acuerdo a la reglanúmero 1.

4. Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1sque ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que sesolapen contengan ls no comunes.

CDAB '-_00----,-_01----,_1_1--;-_1_0--,


Solución. El primer término BCD tiene que desarrollarse para obtener una suma deproductos estándar, que seráAH e15y A B C 75, que se traslada al mapa, y las celdas seagrupan como se muestra en la Figura 4.33.

Problema relacionado. En el mapa de Karnaugh de la Figura 4.31(d), añadir un 1 ala celda O111Ydeterminar la expresión suma de productos resultante.

EJEMPLO 4.29 Mediante un mapa de Karnaugh, minimizar la expresión suma de productossiguiente:

BCD + ABCD + ABC75 + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABC75+ ABCD

(d)

No debeolvidarseque esta expresiónmínimaes equivalentea la expresiónestándaroriginal.

Problema relacionado. Utilizando un mapa de Karnaugh, simplificar la siguienteexpresión suma de productos estándar:

XYz + XYZ + Xyz + X.YZ + xYZ + xyz

10

11

Obsérvese el grupo de 4 celdas en los extremos del mapa que incluye las filassuperior e inferior de ls. EIl restante se incluye en otro grupo superpuesto de dos celdas. El grupo de los cuatro ls origina un término con una única variable, B. Esto sededuce del hecho de que, dentro del grupo, B es la única variable que no varía de celdaa celda. El grupo de los dos ls da lugar a un producto de dos variables AC. Éste término se obtiene observando que, dentro de este grupo,A y C no varían de una celda a lasiguiente. La correspondiente expresión suma de productos mínima es:

B+XC

15

EJEMPLO 4.27 Determinar los productos para cada uno de los mapas de Karnaugh de la Figura 4.31 yescribir las correspondientes expresiones suma de productos mínima resultante.

Solución. En la Figura 4.31 semuestran los productosmínimos resultantes para cadagrupo.,La expresión suma de productos mínima para cada uno de los mapas deKarnaugh de la figura son:

01

00

ABCFIGURA 4.32

lit

(a) AB + BC + X B e(e) AB +Al' + ABD

ABe BC ife IAB AB AB

00 00 00

lit01 01 01

11 11 AC

10 10 10

AB

(a) (b) (e)

FIGURA 4.31

(b) B + Xc + AC(d) 75 +ABC + BC

Solución. En la Figura 4.30, el producto correspondiente al grupo de 8 celdas es B,puesto que las celdas que forman el grupo contienen A y A, C y C, y D YJ2., por l~ queestas variables se eliminan. En el grupo formado por 4 celdas, aparecenB, B, D, YD, deforma que el producto es Xc. El grupo formado por 2 celdas, contiene a B y B, siendoACD el producto. Obsérvese cómo se superponen los grupos para que éstos sean detamaño máximo. La expresión suma de productos mínima que resulta es la suma detodos los productos obtenidos.

Problema relacionado. En el mapa de Karnaugh de la Figura 4.30, añadir un 1a la celda inferior derecha (1010) y determinar la expresión suma de productosresultante.

La suma de productos estándar se pasa al mapa y las celdas se agrupan como semuestra en la Figura 4.32.

101 + 011 + 011 + 000 + 100

Solución. Los valores binarios de la expresión son:

EJEMPLO 4.28 Mediante el mapa de Karnaugh minimizar la suma de productos estándar siguiente:

ABC + ABC + ABC + ABC + ABC


B +AC +ACD


(b) Sin condiciones "indiferentes" y = AliE +ABCDCon condiciones "indiferentes" y = A + BCD

A

r--t---j~;;:;!:===iABCDBCD

I-d",....,..",...,H==d:!:::=--L,

11

(a) Tabla de verdad

. FIGURA 4.35. Ejemplo de la utilizaciónde las condiciones indiferentespara simplificar una expresión.

\ .

FIGURA 4.34Ejemplo de obtención directade un mapa de Karnaughapartir de una tabla de verdad.

0000 O0001 O0010 O ABO 01 1 OO lOO O 00

o 1 O 1 OO 1 10 O 01

11

JO

No permitidas AliE"indiferentes"

Los términos "indiferentes" pueden utilizarse para aprovechar mejor el método delmapa de Karnaugh. La Figura 4.35 muestra que, para cada término indiferente, seescribe una X en la celda. Cuando se agrupan los 1s, las X pueden ser consideradastambién como 1s para agrandar los grupos, o como Ossi no obtenemos ninguna ventaja. Cuanto mayor sea el grupo, más senci1lo será el término resultante.

La tabla de verdad de la Figura 4.35(a) describe una función lógica que tienesólo salida igual a 1 cuando el código BCD de 7, 8 o 9 se introduce a la entrada.Utilizando los términos indiferentes como unos, el resultado que obtenemos para lafunción es A + BCD. Si no se emplean estos términos "indiferentes", la expresiónobtenida sería ABe +ABCD. Luego puede verse que el utilizar los términos indiferentes contribuye a obtener una expresión más sencilla.

1110 y 1111.Dado que estos estados no permitidos no ocurren nunca en una aplicación que emplee el código BCD, pueden considerarse como términos indiferentescon respecto a su efecto en la salida. Esto significa que a estos términos se les puedeasignar tanto un 1 como un Oen la salida; realmente no son importantes dado que nunca van a generarse.


x = ABe + ABC+ABC +ABC

Algunas veces se producen situacio~es en las que algunas combinaciones de las variab~es de entrada no están permitidas. Por ejemplo, recuérdese que en el código BCD,V1Stoen el Capítulo 2, existían seis combinaciones no válidas: 1010, 1011, 1100, 1101,

Condiciones indiferentes

Hemos visto cómo las expresiones booleanas se transforman en mapas de Karnaugh.Ahora se aprenderá cómo pasar de una tabla de verdad a un mapa de Karnaugh.Recuérdese que una tabla de verdad proporciona la salida de una expresión booleanapara todas las posibles combinaciones de las variables de entrada. En la Figura 4.34 sefacili~a un ejemplo de expresión booleana junto con su tabla de verdad. Obsérvese quela salida X es 1 para cuatro distintas combinaciones de las variables de entrada. Losunos de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapade Karnaugh, a las celdas correspondientes a los valores asociados de las combinaciones de variables de entrada, como muestra la Figura 4.34. En esta figura puede verse que tanto la expresión booleana, la tabla de verdad como el mapa de Kamaugh sonsólo distintas maneras de representar una función lógica.

Obtención directa del mapa de Karnaugh a partirde la tabla de verdad

No se debeolvidarqueesta expresiónmínimaes equivalentea la expresiónestándaroriginal.

Problema relacionado. Mediante un mapa de Karnaugh simplificar la siguienteexpresión suma de productos:

WXYZ + wX.YZ + wX'YZ + WYZ + wX'Y'Z

15+ Be

Obsérvese que ambos grupos tienen adyacencia "cíclica" de celdas. Se puede formar el grupo de ocho celdas. ya que las dos columnas exteriores son adyacentes. El grupo de cuatro celdas se forma tomando los dos restantes Is, puesto que las celdas superior e .i~ferior son adyacentes. Se indica el término producto para cada grupo y laexpresion suma de productos mínima resultante es:

BeFIGURA 4.33


El proceso de minimización de un producto de sumas es básicamente el mismo quepara una expresión' suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los Osparagenerar el mínimo número de términos suma; en lugar de los Is para obtener el mime-

.Simplificación mediante el mapa de Karnaugh de expresionesproducto de sumas

Problema relacionado. Transformar la siguiente expresión suma de productosestándar en un mapa de Karnaugh.

~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~

10 I11 J01

00

A+B+C+DCD00 01 11 10

AB )---,---,-rr--,l O-t4-A+B+C+D

FIGURA 4.37

00111111001010111100

Solución. La expresión se evalúa como se indica más abajo y se coloca un Oen elmapa de Karnaugh de la Figura 4.37 por cada término suma estándar de la expresión.

~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~

EJEMPLO 4.30 Transformar la siguiente expresión suma de productos estándar en un mapa deKarna~gh:

(A+B + e+D)(A + B +e+D)(A +B +e+D)(A +B +e+D)(A + B +e+ 15)

(A + B + C)(A + Ji + C)(A + Ji + C)(A + B + E;;fi~) lió) .1QÜ

CAB O

00 O

01 O~~1

11 O"el¡

10 O

FIGURA 4.36Ejemplo de obtencién del mapa de Karnaugh.de U1l producto de sumas estándar.

MINIMIZACIÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 247

El Ejemplo 4.30 nos ilustrará más detalladamente este proceso.

Paso 1. Determinar el valor binario de cada término suma del producto de sumasestándar. Éste es el valor binario que hace que dicho término sea igual a O.

Paso 2. Cada vez que se evalúa un término suma, se introduce un Oen la correspondiente celda del mapa de Kamaugh.

Para un producto de sumas en forma estándar, se introduce un O en el mapa deKarnaugh por cada término suma de la expresión. Cada Ose sitúa en la celda correspondiente al valor de un término suma. Por ejemplo, para la suma A + B + e, se escribe un Oen la celda 010 del mapa de Kamaugh de 3 variables.

Cuando un producto de sumas se ha trasladado por completo al mapa, habrá tantos Os en el mapa como términos suma en la expresión del producto de sumas estándar. Las celdas que no contienen un Oson aquellas para las que la expresión vale 1.Generalmente, cuando se trabaja con productos de sumas, los ls no se escriben. Lossiguientes pasos junto con la Figura 4.36 ilustran este proceso.

Conversión de una expresión producto de sumas estándar amapa de Karnaugh

• Transformar un producto de sumas estándar en un mapa de Karnaugh. • Combinarlos Osdel mapa para formar grupos máximos. • Determinar el número mínimo detérminos para cada grupo del mapa. • Combinar los términos sumamínimos paraformar el producto de sumas mínimo. • Utilizar el mapa de Karnaugh para convertirproductos de sumas en sumas de productos, y viceversa.


En la sección anterior estudiamos la minimización de una expresión suma deproductos mediante los mapas de Karnaugh. En esta sección, nos vamos a centraren las expresiones producto de sumas. Los métodos son muy similares, exceptoque ahora se trata deproductos de sumas, en los que los Osrepresentan lasoperaciones de suma estándar y se colocan en el mapa de Karnaugh en lugar delos ls. Esta sección sepuede omitir sin que ello afecte al resto de los temas que sevan a tratar.

4.10 • MINIMIZACiÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTEELMAPA DE KARNAUGH


EJEMPLO 4.33 Utilizando un mapa de Karnaugh, convertir el siguiente producto de sumas estándar en:un producto de sumasmínimo, una suma de productos estándar y una suma de productosmínima.

Cuando un producto de sumas se traslada a un mapa de Karnaugh, puede fácilmentepasarse a la suma de productos equivalente directamente a partir de dicho mapa.También, dado un mapa de Karnaugh de una suma de productos, el producto de sumasequivalente puede obtenerse directamente a partir del mapa. Esto proporciona unaexcelente manera de comparar ambas formas mínimas de una expresión, para determinar si una de ellas puede implementarse con menos puertas que la otra.

Para un producto de sumas, todas las celdas que no contienen Oscontíenen ls,de lo que se deriva su expresión suma de productos. De igual manera, para una sumade productos, todas las celdas que no contienen 1s contendrán Os,de los que se obtiene la expresión producto de sumas. El Ejemplo 4.33 ilustra esta conversión.

Conversión entre suma de productos y productos de sumasmediante el mapa de Karnaugh

Problema relacionado. Utilizarun mapa de Karnaugh para simplificar la siguienteexpresión producto de sumas:

(W + X + y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Z)

AH

FIGURA 4.39

Recuerde que esta expresión mínima es equivalente al producto de sumas original.

(C + D)(A + B + D)(A + B + C)

Solución. El primer término tiene que ampliarse a A + B + C + D YA + B + C +D para conseguir una expresión producto de sumas estándar, que luego se pasa a unmapa de Karnaugh, y en la que las celdas se agrupan como muestra la Figura 4.39. Enella se indican los términos suma correspondientes a cada grupo, y el producto de sumasmínimo es:

MINIMIZACiÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 249

EJEMPLO 4.32 Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar el siguiente producto de sumas:

(B + C + D)(A + B +C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + 13+ C + D)

Téngase en cuenta que esta expresión suma de productos mínima es equivalente a laexpresión suma de productos estándar.

Agrupando los 1s como se indica en las áreas de color gris se obtiene una expresión suma de productos que es equivalente a agrupar los Os.

AC + A13= A(13 + C)

Problema relacionado. Utilizar un mapa de Karnaugh para simplificar la siguientesuma de productos estándar:

~+y+~~+y+~~+y+~~+y+~

A(B + C)

Obsérvese que el Ode la celda 110se incluye en un grupo de dos celdas, utilizando el Odel grupo de cuatro celdas. El término suma para cada grupo se muestra en lafigura y la ex.presiónsuma de productos mínima resultante es:

A

AC

FIGURA 4.38

La expresión de la suma de productos estándar se traslada al mapa de Karnaugh, y lasceldas se agrupan como se muestra en la Figura 4.38

(O+ O+ 0)(0 + O+ 1)(0+ 1 + 0)(0 + 1 + 1)(1+ 1 + O)

Solución. Las combinaciones de valores binarios de la expresión son:

EJEMPLO 4.31 Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el siguiente producto de sumas estándar:

(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C>(A+ 13+ C)

ro mínimo de términos producto. Las reglas para agrupar los Os son las mismas quepara agrupar los ls, y son las que se han estudiado en la Sección 4.9.


Ya conocemos cómo determinar celdas adyacentes dentro de un mapa de cuatro variables. La mejor manera de visualizar la adyacencia de celdas entre los dos mapas de 16celdas consiste en imaginar que el mapa A = ° está colocado encima del mapa A = 1.Cada celda del mapa A =Oes adyacente con la celda que está justo debajo en el mapaA=l.

Para ilustrar esto, la Figura 4.42 muestra un ejemplo con cuatro grupos, con losmapas en disposición tridimensional. Los ls de las celdas punteadas forman un grupode 8 bits (cuatro correspondientes al mapa A == O combinadas con cuatro del mapaA = 1). Los ls de las celdas rayadas forman un grupo de 4 bits. Los unos de las celdas

Adyacencia de celdas

FIGURA 4.41Mapa de Karnaugh de 5variables.

A=l

11I---+----t---t-----j¡".:

10 A_'

01

~~--+---+---'_--~1

10 1011 11DE

Be 00 01

00

DEBe 00 01

00

01

11

10

Un mapa de Karnaugh de cinco variables (ABCDE) puede crearse utilizando dosmapas de 4 variables, con los que ya estamos familiarizados. Cada mapa contiene 16celdas con todas las posibles combinaciones de las variables B, C, D Y E. Un mapa espara A = 0, mientras que el otro es para A = 1, como se muestra en la Figura 4.41 .

Las funciones booleanas de cinco variablespueden simplificarse mediante un mapade Karnaugh de 32 celdas. Realmente, para construir un mapa de 5 variables seutilizan dos mapas de cuatro variables (con 16 celdas cada uno). Ya conocemos laadyacencia de celdas en los mapas de 4 variables y cómo seforman los grupos deceldas que contengan 1s para simplificar una suma deproductos. Luego todo lo que senecesita aprender para manejar cinco variables es la adyacencia de celdas entre dosmapas de 4 variables y cómo agruparlas. Esta sección puede ser omitida sin afectar alresto de las materias que se van a tratar más adelante.


• Determinar la adyacencia de celdas en un mapa de 5 variables. - Formar grupos quecontengan el máximo número de celdas en un mapa de 5 variables. • Minimizar lasexpresiones booleanas de 5 variables utilizando el mapa de Karnaugh.

• MAPA DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES

MAPA DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES • 251

Problema relacionado. Utilizar un mapa de Karnaugh para convertir la siguienteexpresión a su forma suma de productos mínima:

(W + X + y + Z)(W + X + Y + Z)(W +X + Y + Z)(W +X + Z)

FIGURA 4.40

(e) Suma de productos mínima:AC + BC + BD + BCD

(b) Suma de productos estándar:AjjCiJ + ABCD + ABCD + ABCiJ + ABCiJ +ABCiJ + ABCiJ + ABeD + ABCD + ABCD

B+C+D

(a) Producto de sumas mínimo:(A + B + C)(E + e + D)(B + C + iJ)

BCDABCD ABCD ABCD ABCD

. AC

AB AB 10

00 00 ~ ABCD 00

01 01 ABCD 01

11 II 1I

10 10 10

BC

BD10

Solución. Los ceros de la expresión producto de sumas estándar se transforman yagrupan para obtener el producto de sumasmínimo, como se indica en la Figura 4.40(a).En la Figura 4.40(b), se añaden 1s en las celdas que no contienen Os.De cada celda quecontenga un 1, se obtiene un término producto estándar, como se indica. Estos términosproducto forman la expresión suma de productos estándar. En la Figura 4.40(e), se agrupan los 1s y se obtiene una expresión suma de productos mínima.

~+H+C+~~+!+C+~~+B+C+~~+B+~+~~+B+C+~~+B+~+~


.Los displays de 7 segmentos se utilizan en casi todo, desde la instrumentación enautomóviles hasta los medidores de impedancia. El sistema de control y recuento depastillas, que ha sido el objetivo de nuestras aplicacio~~s de !os capítul~s a~teriore~,tiene dos displays de 7 segmentos. Estos displays se utilizan Junto con :lrcultos lágicosque decodifican un número BCD y activan los dígito,sadecu~d~s del display. En estasección nos vamos a centrar en el diseño, con un numero mtntmo depuertas, de undecodif¡,cadorlógicopara ilustrar las aplicaciones de las expresiones booleanas y delos mapas de Karnaugh:


• Conocer el método de diseño de circuitos lógicos. • Explicar el funcionami~nto deun displayde 7 segmentos. • Traducir un determinado requisito en~~a expresiónbooleana y/o en su tabla de verdad y, posteriormente, en un circuito lógico que tenga unnúmero de puertas mínimo utilizando un mapa de Karnaugh.

4.12 • APLICACiÓN A LOS SISTEMASDIGITALES

Problema relacionado. Minimizar la siguiente expresión:

.. y = ABCDE + ABCDE +AsCDE +AsCDE+ ABeDE +ABC!!! ~ABCDE +ABeDE + ABCDE + A BCDE + ABCDE + ABCDE + AB CDE +

ASCDE + ABCDE + ABeDE

BCE

BCDFIGURA 4.43

APLICACiÓN A LOSSISTEMASDIGITALES • 253

EJEMPLO 4.34 Utilizar un mapa de Karnaugh paraminimizar la siguiente expresión estándar de la sumade productos de 5 variables:

X = ABCDE + ABCDE + ABCDE +ABCDE + ABCDE + ABCDE+ABCDE + AS eD E + AB eDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE

Solución. En laFigura 4.43, se traslada la suma de productos al mapa de Karnaugh yse realizan las agrupaciones indicando los términos correspondientes. Combinandoestos términos se obtiene la siguiente expresión suma de productos minimizada:

X =ADE + BCD + BCE + ACDE

La expresión booleana suma de productos original que está dibujada en el mapa deKarnaugh de la Figura 4.42 contiene 17 términos de cinco variables, ya que existendiecisiete Is en el mapa. Como ya sabemos, sólo las variables que no cambian dentrode un grupo permanecen en la expresión correspondiente a ese grupo. La expresiónsimplificada se obtiene a partir del mapa de la manera siguiente:

• El término del grupo punteado es DE.• El término del grupo rayado es BCE.• El término del grupo gris oscuro es AED.• El término de la celda gris claro junto con la celda gris oscuro es Be DE.Combinando estos términos obtenemos la suma de productos simplificada siguiente:

X = DE + BCE + ABD + Be DE

Expresión booleana simplificada

FIGURA 4.42Ilustración de la agrupación de lsen celdas adyacentes de un mapade 5variables.

gris oscuro constituyen un grupo de 4 bits sólo en el mapa A ::O.El l de la celda grisclaro del mapa A == 1 se agrupa con el! de la celda gris oscuro de la parte inferior derecha del mapa A == Opara formar un grupo de 2 bits.


Cuando la salida del decodificador/excitador es un nivel BAJO (O), la salida dela puerta OR-exc1usiva deja pasar la señal de fuente no invertida, como se muestra enla Figura 4.47(b). La diferencia de tensión entre el segmento y el plano posterior es O,

. ya que Vseg= VbP' Esta 'condición hace que el segmento se apague.

FIGURA 4.47Funcionamiento básico de un LCD.

(b) Segmento no activado (off)

Fuentede señal

(a) Segmento activado (on)

Fuentede señal

Plano posterior

Uno de los 7 segmentos LCDSalida dell--~decodificador

ALTO(H)Segmento

Displays de LeD. Otro tipo común de displays de 7 segmentos es el de cristal líquido, (LeD, liquid crystal display). Los LCD funcionan polarizando la luz de forma queun segmento que no está activado refleja la luz incidente, por lo que se ilumina. Un

'. segmento activado no refleja la luz incidente y, por tanto, permanece oscuro. Los LCDconsumen mucha menos potencia que los LED, pero no se pueden ver en la oscuridad,mientras que los LED sí.

Los LCD se excitan con una señal de tensión de baja frecuencia (de 30 Hz a 60Hz) que se aplica entre el segmento y un elemento común denominado plano posterior (backplane). El funcionamiento básico se expone a continuación. La Figura 4.47muestra una señal cuadrada que se usa como fuente de señal. Cada segmento del display es excitado por una puerta OR-excIusiva con una entrada conectada a la salidadel decodificador/excitador de 7 segmentos, y la otra entrada conectada a la fuente deseñal. Cuando la salida del decodificador/excitador está a nivel ALTO (1), la salida dela puerta OR-exclusi va actúa como un inversor para la señal de fuente, como se muestra en la Figura 4.47(a). Se puede verificar esto, revisando la tabla de verdad de unapuerta Ole-exclusiva. La tensión resultante entre el segmento LCD y el plano posterior es también una onda cuadrada, ya que cuando V,eg = 1, Vbp = 0, y viceversa. Ladiferencia de tensión enciende el segmento.

APLICACiÓN A LOS SISTEMASDIGITALES • 255

(b) Cátodo común(a) Ánodo comúnFIGURA 4.46Configuraciones del display de isegme'¡tos~

d

ee

ee

fbg

fbg

a

d

a

+v

Displays de LEO. Un tipo muy común de display de 7 segmentos es el de diodosemisores de luz (light-emitting diode, LED), colocados como se muestra en la Figura4.46. Cada segmento es un LED que emite luz cuando lo atraviesa una corriente eléctrica. En la Figura 4.46(a), la configuración en ánodo común requiere un circuito deexcitación, que proporcione un nivel de tensión bajo para activar un determinado segmento. Cuando se aplica un nivel bajo a la entrada de un segmento, el LED se enciende y circula corriente a su través. En la Figura 4.46(b), la configuración en cátodocomún requiere un circuito de excitación que proporcione un nivel de tensión altopara activar un cierto segmento. Cuando se aplica un nivel ALTO a la entrada del segmento, el LED se enciende y circula corriente a su través.

FIGURA 4.45Display para dígitos decimales mediante un dispositivo de 7 segmentos.

FIGURA 4.44Disposición de los segmentosen un display de 7 segmentos.

La Figura 4.44 muestra un display común formado por siete elementos o segmentos.Excitando determinadas combinaciones de estos segmentos, se pueden obtener cadauno de los diez dígitos decimales. La Figura 4.45 muestra este tipo de display digitalpara cada uno de los diez dígitos, en el que se utiliza un segmento gris oscuro paraindicar cuál está excitado. Para generar un 1, se excitan los segmentos b y e; para producir un 2, se excitan los segmentos a, b, g, e y d, Yasí sucesivamente.

Eldisplay de 7 segmentos

254 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN' LÓGICA

Se pueden desarrollar de la misma manera las expresiones para el resto de segmentos.Como puede verse, la expresión del segmento a contiene ocho productos, mientrasque la expresión del segmento e contiene cuatro productos, que representan cada unade las entradas BCD que activan cada segmento. Esto significa que la implementaciónde la suma de productos estándar de ]a lógica del segmento a requiere un circuitoAND-OR formado por ocho puertas AND de 4 entradas y una puerta OR de 8 entradas. La implementación de la lógica del segmento e requiere cuatro puertas AND de4 entradas y una puerta OR de 4 entradas. En ambos casos, se necesitan cuatro inversores para generar el complemento de cada variable.

Minimización mediante el mapa de Karnaughde la lógica de segmentos.Vamos a comenzar obteniendo una expresión suma de productos mínima para el segmento a. En la Figura 4.49 se muestra un mapa de Karnaugh correspondiente al segmento a. Los pasos que hay que seguir son los siguientes:

mientras que la suma de productos estándar para el segmento e es:

e = D CBA ..¡_ D CBA + DCBA + DC B A

a =D CB A + D CBA + D CBA + DCBA + DCBA + DCBA + DC B A + DC BA

Puesto que el código BCD no incluye los valores binarios 1010, 1011, 1100,11 O 1, 1110 Y 1111, estas combinaciones no van nunca a aparecer en las entradas ypueden, por tanto, tratarse como condiciones indiferentes (X), como se indica en latabla de verdad. Para coincidir con la mayoría de fabricantes de circuitos integrados,en esta aplicación una A representa el bit menos significativo y una D indica el bit mássignificativo.

Expresionesbooleanas de la lógicade segmentos. A partir de la tabla de verdad, se puede escribir para cada segmento una expresión suma de productos o producto de sumas estándar. Por ejemplo, la suma de productos estándar para el segmento a es:

FIGURA 4.48Diagrama de bloques de la lógica y el display de 7 segmentos.

Código ABCDde Bentrada e

D

Tablade verdad de la lógicade segmentos. La lógica de decodificación de segmentos requiere cuatro entradas en código decimal binario (BCD) y siete salidas, unapara cada segmento del display, como se indica en el diagrama de bloques de la Figura4.48. La tabla de verdad de salida múltiple, que se muestra en la Tabla 4.10, corresponde en realidad a siete tablas de verdad, que podrían separarse en una tabla por segmento. Si aparece un 1 en las columnas de salida de la tabla, indica que el segmentoestá activado.

TABlA4.9Segmentosactivadospara

O a, b, c, d, e,fcadadígitodecimal. b, e

2 a, b, d, e, g3 a, b, e, d, g4 b, c.], gS a, c, d,j, g6 a, C, d, e,J, g7 a, b, c8 a, b, e, d, e,j, g9 a, b, c, d. J, g

Cada segmento se utiliza para varios dígitos decimales, pero ninguno de ellos seemplea para representar los diez dígitos; por tanto, cada segmento tiene que activarsemediante su propio circuito de decodificación que detecta la aparición de cualquiernúmero en el que haya que usar ese segmento. A partir de las Figuras 4.44 y 4.45, sedeterminan los segmentos que hay que activar para representar cada uno de los dígitos, los cuales se enumeran en la Tabla 4.9.

Lógicade decodificación de segmentos

Para excitar a los LCD, la tecnología TTL no es recomendable, dado que su tensión a nivel bajo es normalmente de unas décimas de voltio, la cual crea una componente continua a través del LCD que degrada su funcionamiento. Por tanto, en las aplicaciones con LCD se usa más la tecnología CMOS.


La lógica mínima necesaria para cada uno de los restantes seis segmentos (b, C,

d, e, fy g) puede obtenerse mediante un método similar.

Esta expresión puede ser implementada mediante dos puertas AND de 2 entradas, unapuerta OR de 4 entradas y dos inversores, como se muestra en la Figura 4.50.Compare este circuito con la implementación de la expresión estándar del segmento avista anteriormente. Comprobará que el número de puertas e inversores se ha reducido de trece a cinco, disminuyendo significativamente el número de interconexionesnecesarias.

Simplificación de circuitos lógicos con salida múltiple. Una vez que se haobtenido la expresión lógica mínima para cada segmento individual, todavía es posible realizar simplificaciones adicionales, eliminando cualquier término productoduplicado o de una única variable complementada. Por ejemplo, si la expresión sumade productos mínima del segmento a tiene un término que aparece también en, porejemplo, el segmento b, entonces el producto duplicado puede implementarsemediante una única puerta AND, cuya salida esté conectada a las entradas de las puertas OR de cada segmento. De manera similar, el complemento de una variable sólonecesita ser implementado mediante un inversor, conectando posteriormente la salidadel inversor donde la necesitemos, siempre que no se exceda sufan-out.

D+B+CA+CA

FIGURA 4.50Implementación lógica mínima del segmento a de un display de 7 segmentos.

Implementación mínima de la lógica del segmento a. La expresión mínimasuma de productos a partir del mapa de Karnaugh de la Figura 4.49 para la lógica delsegmento a es:

FIGURA 4.49Minimizacián de la expresión lógica del segmento a mediante el mapa de Karnaugh.

a

D ---------------,B --------------~

e ~.__------__l

A ----1____.~----__l

DSuma de productos mínima: D + B + CA + CA

CA

Expresión de la suma de productos estándar:DeBA + DeBA + DCBA+ DCBA + DCBA + DCBA + DEBA + DEBA

No hay que olvidar que las condiciones "indiferentes" no tienen por qué incluirse enun grupo, pero en este caso se utilizan todas ellas. También hay que fijarse en que los1s de las celdas de las esquinas se agrupan con condiciones indiferentes utilizando laadyacencia cíclica.

Paso 1. Los ls de la Tabla 4.10 se pasan directamente al mapa de Kamaugh.Paso 2. Se introducen en el mapa todas las condiciones "indiferentes" (X).Paso 3. Se agrupan los 1s como se muestra. Se utilizan las condiciones "indiferen

tes" y superposiciones de celdas para conseguir los grupos más grandesposibles.

Paso 4. Se escribe el término producto núnimo para cada grupo y se suman paraobtener la expresión suma de productos mínima.

APLICACiÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES • 259258 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA

B

(b) un literal(d) un término complementado

2. La expresión booleana A +B + e es:(a) un término suma(e) un término producto

(b) 1 (d) el inverso de la variable(e) igual a la variable(a) O1. El complemento de una variable siempre es:

Celda Una zona de un mapa de Kamaugh que representa una única combinación devariables.

Dominio Todas las variables de una expresión booleana .

Expresión booleana Ordenación de variables y operadores lógicos utilizada paraexpresar el funcionamiento de un circuito lógico .

.Indiferente Combinación de literales de entrada que no pueden ocurrir y que se utilizan como 1s o Osen un mapa de Karnaugh.

Leyasociativa En la suma (operación OR) y multiplicación (operación AND) detres o más variables, el orden en que se agrupan las variables no altera el resultado.

Ley conmutativa En la suma (OR) o multiplicación (AND) de dos variables, elorden en el que las variables se suman o multiplican no altera el resultado.

Ley distributiva Ley que dice que si sumamos (operación OR) varias variables yluego multiplicamos (operación AND) el resultado por una única variable, lo que nosqueda es equivalente a multiplicar (AND) la variable aislada por cada una de las otrasvariables y luego sumar (OR) todos los términos.

Literal Una variable o el complemento de una variable.

Mapa de Karnaugh Disposición de celdas que representa las combinaciones deliterales en una expresión booleana y que se utiliza para la simplificación sistemáticade la expresión.

Producto de sumas Expresión booleana que consiste simplemente en multiplicar(operación AND) términos suma (operación OR).

Suma de productos Expresión booleana que consiste simplemente en sumar (operación OR) términos producto (operación AND).

Término producto Producto booleano de dos o más literales equivalente a una operaciónAND.

Término suma Suma booleana de dos o más literales equivalente a la operación OR.

Variable Símbolo utilizado para representar una magnitud lógica que puede tenertanto un valor 1 como O;generalmente se designa mediante una letra cursiva.

Estos términos también se encuentran en el glosario del final del libro.

Adyacencia Característica de las celdas en un mapa de Karnaugh en el que sólo secambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatrolados.

• PALABRASCLAVE

AUTOTEST • 261

C CDAS o A8 00 Ol II 10

00 00

~01 01

II,1

II~.::1,~¡

10 :j 10 t;~"~~'i:}:": '::~~9;¡:" ....FIGURA 4.52 3 variables 4 variables

Xy=x+ V2. Elcomplementode una sumaes igual alproductode loscomplementosde cadatérminode la suma:

X+y =xV• En la Figura 4.52 se muestran los mapas de Karnaugh para 3 y 4 variables. Un mapa de cinco

variables se forma a partir de dos tablas de 4 variables.

• Teoremas deDeMorgan:1. El complemento de un producto es igual a la suma de los complementos de cada término del

producto:

7. A· A =A8.A·A=O9. A =A10. A + AB = A11. A + AB =A + B12. (A + B)(A + C) = A + BC

l.A+O=A2.A+l=13. A· O = O4. A· 1 = A5.A+A=A6.A+A=1

• Leydistributiva:• Reglas booleanas:

• Leyes asociativas:

A+B=B+AAB=BAA + (B + C) = (A + B) + CA(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB + AC

• Leyes conmutativas:

FIGURA 4.51

• En la Figura 4.51 se muestran los símbolos y las expresiones booleanas de salida para un inversory puertas de dos entradas.

• RESUMEN


(e) (A + B)(C + D)(E +F)(G + H)

(a) (ABC)(EFG) + (HIJ)(KLM) (h) (A + BC+ CD) + Be

11. Aplicar los teoremas de DeMorgan a las siguientes expresiones:

(e) AB(CD + EF)(AB + CD)

(a) AB(C + D)

(e) (A + B + C + D) +ABCn

(b) AB(CD + EF)

(d) (A + B + C + D)(ABCD)

10. Aplicar los teoremas de DeMorgan a cada expresión:

(e) A + B + C

(g) AB + CD

(d) AlfC

(h) (A + B)(C + D)

(a) A + B(e) A(B + C)

9. Aplicar los teoremas de DeMorgan a cada una de las expresiones siguientes:

(a) AB + CD + EF =' AB + CD + EF

(e) A(BC + BC) + AC =A(BC) + AC

(e) AB + ABe =AS

SECCiÓN4.3 Teoremas de DeMorgan

(h) MB + ABC + ABB = ABC

(d) AB(C+C)+AC=AB+AC

(O ABe + AB + ABCD = ABC + AB + D

8. Identificar las reglas booleanas en que se basan las siguientes igualdades:

7. Identificar la ley del álgebra booleana en que está basada cada una de las siguientes igualdades:

(a) AB + CD + ACD + B = B + AB + ACD + CD

(b) ABCD + ABC = DCBA + CBA

(e) AB(CD + El' + GH) = ABCD + ABEl' + ABGH

SECCiÓN4.2 Leyesy reglas del álgebra de Boole

(e) X = ABC + AB-(b) X> (A+B)C

(e) X = (A + BC)(B + C)

.Ia) X = (A + B)C + B

(d) X = (A + B)(A + B)

6. Encontrar el valor de X para todos los posibles valores de las variables.

(e) A + B(g) ABC

(d) A + B + C(b) ABC(1) A + B

(a) AB.(e) A + B + C

5. Encontrar los valores de las variables que hacen que cada término producto sea 1 y que cadasuma sea O.

(e) l· O . O(1) 1 . 1 + O . 1 . 1

(b) 1+ 1+ l(e) 1 . O . 1

(a) O + O + 1(d) 1 . 1 . 1

1. Utilizando notación booleana, escribir una expresión que sea 1 siempre que una o más de susvariables (A, B, C y D) sean 1.

2. Escribir una expresión que sea 1 sólo si todas sus variables (A, B, C, D y E) son 1.

3. Escribir una expresión que sea 1 cuando una o más de sus variables (A, B YC) son O.

4. Evaluar las siguientes operaciones:

SECCiÓN4.1 Operaciones y expresiones booleanas

PROBLEMAS • 263

16. En un mapa de Karnaugh de 4 variables, un término producto de 2 variables se produce por:

Ca) un grupo de 2 celdas de 1s(b) un grupo de 4 celdas de l s(e) un grupo de 8 celdas de Is(d) un grupo de 4 celdas de Os

17. En un mapa de Kamaugh, el agrupar los Osda lugar a:

(a) un producto de sumas(b) una suma de productos(e) una condición indiferente(d) un circuito lógico AND-OR

18. Un mapa de Karnaugh de 5 variables tiene:

(a) 16 celdas (b) 32 celdas (e) 64 celdas

(d) 4 celdas

14. Un ejemplo de una expresión suma de productos estándar es:

(a) AB + ABC + ABD (h) ABC + ACD (e) AB + AB + AB (d) ABCD + AB + A

15. Un mapa de Karnaugh de tres variables tiene:

(a) 8 celdas (b) 3 celdas (e) 16 celdas

(d) (a) y (b)(e) A + B + BC(b) (A + B)(A + B + C)(a) A(B + C) + AC

10. De acuerdo con los teoremas de DeMorgan, ¿cuáles de las siguientes igualdades son correctas?:

(a) AB = A + B (b) XYZ =X + Y + Z (e) A +B +C = ABC (d) todas las anteriores

11. La expresión booleana X = AB + CD representa:

(a) dos operaciones OR multiplicadas (AND)(b) una puerta AND de cuatro entradas(e) dos operaciones AND sumadas (OR)(d) una operación OR-excJusiva

12. Un ejemplo de una suma de productos es:

(a) A + B(C + D) (b) AB + AC + ABC (e) (A + B + C)(A + B + C) (d) (a) y (b)

13. Un ejemplo de un producto de sumas es:

(d) A· 1=A(e) A·A = A(b) A +A =A(a) A + 1 = 1

8. ¿Cuál de las siguientes no es una regla válida del álgebra booleana?

(a) A + 1 = 1 (b) A =A (e) AA = A (d) A + O= A

9. ¿C~ál de .las siguientes reglas establece que si una entrada de una puerta AND es siempre 1, lasalida es igual a la otra entrada?

(e) A(A + 1) =A (d) A + AB =A(b) A(BC) = ABC(a) A(B + C) = AB + AC

7. De acuerdo con la ley distributiva:(d) B + B(B + O)

3. La expresión booleana ABCD es:

(a) un término suma (b) un término producto'(e) un literal (d) siempre 1

4. El dominio de la expresión ABCD +AS + CD + Bes:

(a) A y D (h) Sólo B (e) A, B, C y D (d) ninguno de los anteriores

S. De acuerdo con la ley conmutativa de la adición:

(a) AB = BA (h) A = A + A (e) A + (B + C) = (A + B) + C (d) A + B = B + A

6. De acuerdo con la ley asociativa de la multiplicación:

(a) B = BB (b) A{BC) = (AB)C (e) A + B = B + A


X

x

x

X

x

23. Definir el dominio de cada suma de productos del problema 21 y convertir la expresión a su for-ma estándar.

24. Convertir cada suma de productos del problema 22 a su forma estándar.

25. Determinar el valor binario de cada término en las sumas de productos estándar del problema 23.

26. Determinar el valor binario de cada término en las sumas de productos estándar del problema 24.

27. Convertir cada expresión suma de productos estándar del problema 23 en producto de sumasestándar.

28. Convertír cada expresión suma de productos estándar del problema 24 en producto de sumasestándar.

(e) A + B[AC + (B + C)D]eb) AB(B e + BD)

22. Convertir las siguientes expresiones en sumas de productos:

(a) AB + CD(AB + eD)

(b) (A + BC)C (e) (A + C)(AB + AC)

21. Convertir las siguientes expresiones en sumas de productos:

(a) (A + B)(C + B)

SECCiÓN4.6 Formas estándar de las expresiones booleanas

(a) BD + B(D + E) + D(D + F)

(e) (B + BC)(B + BC)(B + D)

(e) ABC[AB + C(BC + AC)]

20. Determinar cuáles de los circuitos lógicos de la Figura 4.55 son equivalentes.

(b) ABC + (A + B + C) + A BCD

(d) ABCD + AB(CD) + (AB)CD

19. Mediante el álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones: .

PROBLEMAS • 265

efj

BA

(a)

A

B.AeDA

(b) Be

eD

B(e)

A

BA

(d)e

FIGURA 4.55 fj

X

Mediante el álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones:

(a) (A+B)(A +q (b) AB +ABe +ABCD +ABeDE(e) AB +ABC +A (d) (A + A)(AB +ABC)(e) AB + CA +B)C +AB

(e) BC + BC

18.

(h) A(A + AB)(e) ABe + ABC + ABC

(a) A(A + B)(d) A(A +AB)

16. Construir la tabla de verdad para cada una de las siguientes expresiones booleanas:

(a) A + B (b) AB (e) AB + BC(d) (A + B)C (e) (A +B)(B + C)

SECCiÓN4.5 Simplificación mediante el álgebra de Boole17. Me?iante las técnicas del álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones lo máximo

posible:

Dibujar el circuito lógico representado por las siguientes expresiones booleanas:

(a) AB + AB(e) AB(e + 75)

(h) AB+AB+ABC(d) A + B[e + D(B + C)]

15.

14. Dibujar el circuito lógico representado por cada una de las siguientes expresiones:

(a) A + B + e (b) ABC (e) AB + C (d) AB + CD

FIGURA 4.54 Al~x B

e(a) (b)

A AX B

B e(e) (d)

13. Escribir la expresión booleana para cada uno de los circuitos lógicos de la Figura 4.54.

(d)

(b)

A-f>-X

~=D-X(e)

(a)

A --r--\..B~X

FIGURA 4.53

SECCiÓN4.4 Análisis booleano de los circuitos lógicos12. Escribir la expresión booleana para cada puerta lógica de la Figura 4.53.


FIGURA 4.58

1OOOO111

O O O 1 OO O 1 1 OO 1 O O OO 1 1 1 O1 O O 1 O1 O 1 1 O

1 O O O1 O

FIGURA 4.57

o O OO 11 O 11 1 OO O OO 1 O1 O1 1O O 1O 1 O1 O1 OO O 1O 1 1

O O1

OOO

(a) A + BC+ CD(b) ABCn + ABCD + ABCD + ABCD(e) AB(Cn +CD) + AB(CD + CD) +ABCD(d) (AB + AB)(CD+ Cn)(e) AB +AB + c15 + CD

43. Reducir la función especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.57 a su forma suma de productos mínima mediante el mapa de Karnaugh.

44. Utilizar el mapa de Karnaugh para implementar la forma suma de productos mínima de la función lógica especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.58.

45. Resolver el problema 44 para una situación en que las seis últimas combinaciones binarias noestán permitidas.

(e) A(BC + BC) + A(BC + B0expresiones:

(a) ABC + ABe +ABC (b) AC(B+ C)

(d) ABC + ABC +ABC + ABC39. Utilizar un mapa de Karnaugh para simplificar cada una de las expresiones a su forma suma de

productos mínima:

(a) ABC + ABC+ ABC+ ABC (b) AC[B + B(B + C)] (e) DEF + DEF + DEF

40. Expandir cada expresión a su forma suma de productos estándar:

(a) AB + ABC+ ABC (h) A + BC (e) AB CD + Ac15+ BCD + ABCD(d) AB + ABCD + CD + BCD + ABeD

41. Minimizar cada expresión del problema 40mediante un mapa de Karnaugh.

42:'· Utilizar el mapa de Karnaugh para reducir cada expresión a su forma suma de productos mínima:

SECCiÓN4.9 Minimización de una suma de productos mediante el mapa deKarnaugh

38. Utilizando un mapa de Karnaugh encontrar la suma de productos mínima para cada una de las

PROBLEMAS • 267

35. Dibujar un mapa de Karnaugh de 3 variables y etiquetar cada celda según su valor binario.

36. Dibujar un mapa de Karnaugh de 4 variables y etiquetar cada celda según su valor binario.

37. Escribirlos términos producto estándar correspondientes a cada celda de un mapa de Karnaughde 3 variables,

SECCiÓN4.8 Mapas de Karnaugh

(e)(b)(a)

1 1 1

01 11001011 10

t1A-,!?,; X

000 O001 OO 1 O O01 1 O100 O1 011 1 O1 1 1

.'~>.AB~;X

000 O001 1010 O

O11O

0000 OOOO 1 O0010 1O01 1 O0100 1O 1 O 1 10110 OO I 1 1 11000 O100 1 O1010 O101 1 11 100 11 101 O1 1 10 O1 1 1 1 1

(d)

;~;~c~:.;gr00000001 10010 OO01 1 10100 OO 1 O 101 10 101 1 1 O1000 O100 1 11010 O1011 O1 1001 101 O1 1 lOO1 1 1 1 O

FIGURA 4.56

(a) (A + B)(A + C)(A + B + C) (b) (A + B)(A + B + C)(B + C + D){A + B + C + D)

34. Para cada tabla de verdad de la Figura 4.56, obtener una expresión suma de productos estándary un producto de sumas estándar.

32. Desarrollar la tabla de verdad de cada uno de los siguientes productos de sumas estándar:

(a) (A + B + 0(A + B + C)(A+ B + C)

(h) CA+ B +C + D)(A + B + C + D)(A + B + C +D) (A +B + C + 15)33. Desarrollar la tabla de verdad de cada producto de sumas estándar siguiente:

eh) x + IT + WZ + XYZ(a) AB + ABC+ AC +ABC

31. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes sumas de productos:

(b) WXYZ + WXYZ+Wxyz + WXYZ + WXYZ(a) ABCD +ABCD+ABCD + ABCD

30. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes expresiones suma de productosestándar:

(b) XYZ + XYz + XIT + XYZ + Xyz(a) ABC + ABC+ ABC

SECCiÓN4.7 Expresiones booleanas y tablas de verdad

29. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes expresiones suma de productosestándar:


1. (a) suma de productos(b) producto de sumas estándar(e) suma de productos estándar(d) producto de sumas

SECCiÓN 4.6

SECCiÓN 4.5l. (a) A + AB +ABC =A

(b) (A + B)C + ABC = C(A + B)(e) ASC(BD + CDE) +AC = A(C + SDE)

2. (a) Original: 2 puertas AND, 1 puerta OR, 1 inversor. Simplificada: sin puertas (conexióndirecta).

(b) Original: 2 puertas OR, 2 puertas AND, 1 inversor. Simplificada: 1 puerta OR, 1puertaAND, 1 inversor.

(e) Original: 5 puertas AND, 2 puertas OR, 2 inversores. Simplificada: 2 puertas AND, 1puerta OR, 2 inversores.

• RESPUESTAS SECCiÓN 4.1ALAS 1. A;0=1REVISIONES 2. A = 1,B = 1, C = O;A + B + C = T + T + O; O+ O+ O = ODE CADASECCiÓN 3_ A; l" B ; O, C = 1; ABC = 1 . O . 1 = 1 . 1 . 1 = 1

SECCiÓN 4_21. A + (B + C +D) = (A + B + C) +D

2. A(B + C + D) = AB + AC +AD

SECCiÓN 4.31. (a) ABE + (l5 + E) =A +B + C + DE

(b) (A + B)C = AB + C(e) A + B + C + DE =ABC + D + E

SECCiÓN 4.41. (C+ D)B + A2. Tabla de verdad abreviada: la expresión es 1 cuando A es 1 o B y C son 1, o cuando B y D son

l. La expresión es O para el resto de combinaciones de las variables.

61. Abrir el archivo PR04~61.EWB y observar el funcionamiento del circuito lógico utilizando laconfiguración de prueba existente. Determinar si existe o no un fallo.



Localización de averías con el banco de trabajo electrónico

60. Resumir los resultados del rediseño que se ha hecho en los problemas 58 y 59, y recomendar elmejor diseño en función del mínimo número de circuitos integrados. Especificar los tipos de Clque se utilizarían.

RESPUESTASA LASREVISIONES DE CADA SECCiÓN • 269

57. La lógica del segmento a de la Figura 4.50 produce una salida a nivel ALTOpara activar el segmento, ocurriendo lo mismo para el resto de los segmentos. Si se utiliza un display de 7 segmentos que requiere un nivel BAJO para activar cada segmento, modificar adecuadamente lalógica del segmento.

58. Rediseñar la lógica del segmento a utilizando un producto de sumasmínimo. ¿Cuál es más sencilla, la suma de productos mínima o el producto de sumas mínimo?

59. Repetir el problema 58 para los segmentos b hasta g.

Problemas especiales de diseño

+ VWXYZ

SECCiÓN 4.12 Aplicación a los sistemas digitales

53. Si es necesario elegir un tipo de display para trabajar bajo condiciones de baja luminosidad,¿cuál se seleccionaría: un display de 7 segmentos de diodos LED o de cristal líquido? ¿por qué?

54. Explicar por qué los códigos 1010, 1011, 1100, 1101, 1110Y1111pertenecen a la categoría decondiciones "indiferentes" en las aplicaciones con displays de 7 segmentos.

55. Para el segmento b, ¿cuántas puertas e inversores menos se necesitanpara implementar la sumade productos mínima con respecto a la suma de productos estándar?

56. Repetir el problema 55 para la lógica de los segmentos e hasta g.

52. Aplicar el mapa de Kamaugh para minimizar la siguiente suma de productos:

A =Vwx"yz + VWXYZ + vwXY2 + vwxyZ+ VWXYZ+ VWXYZ+ VWXYZ+ VWxYZ

(a) (A + B + C +D)(A + B +e+ D)(A +B +C + 15)(b) (X + Y)(W + Z)(X + y + 2)(W + X + Y + Z)

48. Para la función especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.57, determinar el producto desumas mínimo mediante el mapa de Karnaugh.

49. Determinar el producto de sumasmínimo para la función de la tabla de verdad de la Figura 4.58.

50. Convertir cada uno de los siguientes productos de sumas a su mínima expresión suma de productos, utilizando el mapa de Karnaugh.

(a) (A + B){A + C)(A + B + C)

~~+m~+B+C)~+C+00+B+C+~

SECCiÓN 4.11 Mapa de Karnaugh de cinco variables

51. Minimizar las siguientes sumas de productos utilizando el mapa de Karnaugh.

X = ABCDE +A BCDE +AB CDE + ABC 15E+ ABCDE + ABCDE + ABCDE + ASCDE+ ABCDE + ABCDE

47. Utilizar el mapa de Karnaugh para simplificar cada expresión a su forma producto de sumasmínima:

SECCiÓN 4.10 Minimización de un producto de sumas mediante el mapade Karnaugh

46. Utilizar el mapa de Karnaugh para encontrar la expresión producto de sumas mínima de lasexpresiones:

(a) (A +B + C)(A + B + C)(A + B + C) (h) (X + Y)(x + Z)(X + Y +Z)(x + y + Z)~A~+c)~+c)0+B+C)~+B+C)


FIGURA 4.60FIGURA 4.59

1010

II!--+---!j~

11

0101

00

oeAB

4.23 Véase la Figura 4.61.




4.20 Las expresiones suma de productos y producto de sumas son equivalentes.

1O

1Oa

O O O O O O OO a 1 a O O 1a a 1 a OO 1 1 O O 1 11 a a O O O

a 1 1 O 1O O 1 O

O 1

TABLA 4.12. TABLA 4.11

4.17 Las expresiones suma de productos y producto de sumas son equivalentes.

4.18 Véase la Tabla 4.11

4.19 Véase la Tabla 4.12.

.4.14 011,101,110,010,111. Sí.

4.16 .010, 100,001, 111, OIl. Sí.

4.15 (A + B + C)(A + B + q(A + B + C)(A + B + C)

4.13 WXY2 + WXYZ + WXYZ + wxn + WXYZ+ WXYZ4.12 ABe + AB +AC +AB +Be4.11 A + B + e

4.8 AB4.7

W+X+y+z 4.5 ABCDE4.4• RESPUESTAS 4.1A LOSPROBLEMASRELACIONADOSDE LOSEJEMPLOS

4.2 AB = 1cuandoA = ay B = O.

4.6 (A+ B + eD)E4.9 CD 4.10 ABe + AC +AB

A + B = a cuandoA = 1 y B = O.

RESPUESTASA LOS PROBLEMASRELACIONADOS DE LOS EJEMPLOS • 271

4.3 XYZ

1. Los términos "indiferentes" simplifican las expresiones lógicas.

2. Debería haberse encontrado siete términos duplicados en el circuito lógico de segmentos.3. Se han eliminado ocho puertas AND y once inversores.

SECCiÓN 4.12

1. Existen 32 combinaciones de las 5 variables (25 = 32).

2. X = 1,ya que la función es 1para todas las posibles combinaciones de las 5 variables.

SECCiÓN 4.11

1. Cuando se pasa a un mapa de Kamaugh un producto de sumas, los Osse introducen en las celdas cuyos valores hacen que el término suma estándar sea igual a O;cuando se pasa a un mapade Kamaugh una suma de productos, los 1s se colocan en las celdas que tienen los mismosvalores que los términos producto.

2. Oen la celda 1011: A + B +e +D3. 1 en la celda 0010: A BCD

SECCiÓN 4.10

1. Mapa de 8 celdas para 3 variables. Mapa de 16 celdas para 4 variables.

2. AB + BC + A BC3. (a) ABC +ABC +ABC + ABC

(h) ABC +ABC +ABC +ABC + ABC + ABC(e) A BCD + A BCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCn +ABCD + ABCD(d) ABCD +ABCn +ABCD +ABCD + ABeD +ABCD + ABCD + A BCD +ABCD

+ ABCD +ABCD

SECCiÓN 4.9

(b) celda inferior derecha: 101(d) celda superior derecha: 001

(h) celda inferior derecha:XYz(d) celda superior derecha: X Pz(b) celda inferior derecha: 1010(d) celda superior derecha: 0010(b) celda inferior derecha: wXYZ(d) celda superior derecha: WXYZ

1. (a) celda superior izquierda: 000(e) celda inferior izquierda: 100

2. (a) celda superior izquierda: X Y Z(e) celda inferior izquierda: XYZ

3. (a) celda superior izquierda: 0000(e) celda inferior izquierda: 1000

4. (a) celda superior izquierda: W X Y Z(e) celda inferior izquierda: WXY Z

SECCiÓN 4.8

1. 25= 32

2. 0110 ~ WXYZ3. 1100~ W + X + y + Z

2. (a) ABCD+ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + A BCD + ABCD(e) estándar

3. (h) estándar(d) (A + B + q(A + B + C)(A+ B + q (A + B + C)

SECCiÓN 4.7


fundamentos sistemas digitales cap 4 floyd

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