Fundamentos Matemáticos

Semana 13 – clase 1 y 2

•Medidas de tendencia central

Parámetros y estadísticos

• Parámetro: Es una cantidad numérica calculada sobre una población - La altura media de los individuos de un país- La idea es resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros).

• Estadístico: Es una cantidad numérica calculada sobre la muestra.

– La altura media de los que estamos en este aula.• Somos una muestra (¿representativa?) de la población.• Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro

también se le suele llamar estimador.

– Normalmente nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la población, calculamos un estimador sobre una muestra y “confiamos” en que sean próximos. Más adelante veremos como elegir muestras para que el error sea “confiablemente” pequeño.

Un brevísimo resumen sobre estadísticos

• Centralización– Indican valores con respecto a los que los datos

parecen agruparse.• Media, mediana y moda

• Posición– Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos

con la misma cantidad de individuos.• Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...

• Dispersión– Indican la mayor o menor concentración de los datos

con respecto a las medidas de centralización.• Desviación típica, coeficiente de variación, rango,

varianza

• Forma– Asimetría

– Apuntamiento o curtosis

Medidas de tendencia central

Una medida de tendencia central localiza el centro de un conjunto de datos e indica la tendencia a que las observaciones individuales se desvían de dicho centro

Principales medidas de tendencia central

• La media aritmética• Mediana• Moda• Media ponderada

CentralizaciónEn este caso son medidas que buscan posiciones (valores) con respecto a los cuales los datos muestran tendencia a agruparse.

• Media Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral.– Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5– Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con

respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos.– Centro de gravedad de los datos

• Mediana Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Si el número de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales.– Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5– Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5– Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a

valores extremos.• Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. ¡La media es 117,7!

• Moda Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

MEDIA ARITMÉTICA

• Para una población

N

x

Nxxx

N

ii

N 121

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

MEDIA ARITMÉTICA

• Para una muestra

n

x

n

xxxx

n

ii

n

121

Ejemplo

• Un estudiante obtuvo en 5 prácticas calificadas del ciclo anterior las siguientes notas: 15, 14, 17, 11, 13. Calcule e interprete la nota media de este estudiante.

• Solución: nota promedio = 14

La media aritmética se ve afectada por valores extremos

15Ax 12Bx

Estudiante A 17 15 11 18 14

Estudiante B 02 15 11 18 14

Las notas de dos estudiantes en el semestre anterior son

Ejemplo

La media ponderada

n

ii

n

iii

n

nnP

w

wx

www

wxwxwxx

1

1

21

2211

• La media ponderada de un conjunto de observaciones: x1, x2, …, xn , ponderado por los pesos w1, w2, …, wn se calcula mediante:

Ejemplo

Una compañía vende cuatro tipos de vallas a los propietarios de locales. La instalación de la valla del tipo A le cuesta a la compañía 20 nuevos soles por metro lineal, la tipo B le cuesta 12 nuevos soles por metro lineal, la tipo C le cuesta 8 nuevos soles por metro lineal y la tipo D le cuesta 6,5 nuevos soles por metro lineal. Ayer la compañía instaló 100 metros de A, 150 metros de B, 75 metros de C y 200 metros de D. ¿cuál fue el costo medio del metro de valla instalado ayer?

8571,10

20075150100

2005,67581501210020

P

P

x

x

La mediana

• La mediana es una medida de tendencia que separa a las observaciones ordenadas en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual tamaño.

• Se denota por me y Me para una muestra y para una población respectivamente

me

50 % son menores o iguales a me 50% de observaciones son mayores que la me

Calculo de la mediana

• Ordene los datos (en forma creciente o decreciente)

• Ubique el valor central de las observaciones, si el número de observaciones es impar, la mediana es la observación que ocupa el valor central; si el número de observaciones es par la mediana es la semisuma de los valores centrales, es decir

2

122

nn

e

xx

m n par

2

1 ne xmn impar

Ejemplo• En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos,

se tomó las edades de 10 ancianos que pueden caminar sin dificultades. Los resultados fueron: 69   73   65   70   71   74   65   69   60   62

• Calcule e interprete la edad mediana

  Mediana:     60    62    65    65    69    69    70   71   73 74    X1    X2    X3    X4  X5    X6   X7   X8   X9 X10

Interpretación:

Solución:

Moda• La moda para un conjunto de observaciones, es el

valor o valores que se repiten con mayor frecuencia.

• Según lo anterior, una muestra o una población, pueden tener una o más modas. Si una muestra o población tiene dos modas, se denominan bimodales y si tienen tres o más modas se denominan multimodales

• Se calcula para variables medidas en escala nominal, ordinal, intervalo o razón

• Es el promedio menos importante por su ambigüedad

• Se denota por mo ó Mo (muestral o poblacional)

Cálculo de la moda

• Ejemplo

En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de 10 ancianos que pueden caminar sin dificultades. Los resultados fueron:

69   73   65   70   71   74   65   69   60   69 65

Determine la moda:

Existe dos modas : 65 y 69

Medidas de tendencia central para datos agrupados

• Media para datos cuantitativos discretos:

Para una poblaciónPara una muestra

n

xfx

k

iii

1

k

iii fx

N 1

1

Mediana y moda

• La mediana se encuentra en la clase que contenga como valor 50% o más en la columna de la frecuencia acumulada porcentual.

• La moda: se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta

Ejemplo

• La distribución del número de programas de videos juegos vendidos diariamente por 50 tiendas de cierta galería limeña. Se muestra a continuación

Número de videojuegos

0 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 1 3 8 16 12 7 3

• Calcule e interprete la media mediana y la moda del número de programas de videojuegos vendidos diariamente

Solución

x fi F hi Hi xifi

0 1 1 2 2 0

1 3 4 6 8 3

2 8 12 16 24 16

3 16 28 32 56 48

4 12 40 24 80 48

5 7 47 14 94 35

6 3 50 6 100 18

Total 50       168

36,350

1681

1

i

k

ii fx

nx Mediana: me =

3Moda: mo = 3

Ejemplos de aplicación de las medidas de tendencia central

Ejemplo 1Durante los 12 meses del 2002, un departamento de policía registró 4,3,5,5,10,8,9,6,3,4,8 y 7 asaltos a mano armada. Obtenga interprete la media.

Ejemplo 2. Si el salario anual medio pagado a los tres ejecutivos principales de una empresa es de $ 156 000, es posible que uno de ellos reciba $ 500 000?.

Ejemplo 3Las edades de seis estudiantes que asistieron a una investigación de campo de geología son 18, 19,20,17,19 y 18 años y la edad del profesor que los acompañó es de 52 años. Obtenga la edad media de estas siete personas.

Como vemos en este ultimo ejemplo, un valor muy alto o muy bajo de uno de los datos puede afectar a la media por ellos algunas veces es preferible usar otra medida de tendencia central.

Ejemplo 4

Sean los números 5, 5, 7, 12, 15, 9, 18, 11. Obtener la mediana.

Ordenamos los datos de menor a mayor:

5 5 7 9 11 12 15 18

Me = 102119

Solución:

Ejemplo 5.

En el tercer hoyo de cierto campo de golf, nueve golfistas registraron las calificaciones:

4, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 4 y 3. Obtenga la mediana

Solución: Ordenamos los datos de mayor a menor

3 3 3 3 4 4 4 4 5 Me = 4

Lo que se interpretaría como: El 50% de los golfistas registró calificaciones mayores a 4 ó El 50% de los golfistas registró calificaciones menores a 4

En este caso vemos que sería erróneo considerarla como Mediana porque ésta no excede ni es excedida por tantos valores. Nos conviene usar La Moda.

Ejemplo 6

A las 15 juntas de un club deportivo asistieron 26, 25, 28, 23, 25, 24, 24, 21, 23, 26, 27, 26, 29, 30 y 24 de sus miembros. Obtenga la moda.

En este caso vemos que 26 y 24 asistencias son las que se dan con mayor frecuencia, por lo tanto tenemos dos Modas 24 y 26.

Medidas de tendencia central para datos agrupados

• Media para datos cuantitativos continuos:

Para una poblaciónPara una muestra

k

iii xf

nx

1

1

k

iii xf

N 1

1

Mediana

• La mediana se encuentra en la clase que contenga como valor 50% o más en la columna de la frecuencia acumulada porcentual.

Para una muestra Para una población

wf

Fn

LMi

me

mee

12 wf

FN

LMi

me

mee

12

Para una muestra Para una población

Moda

• La moda se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta

wdd

dLm io

21

1 wdd

dLM io

21

1

12

11

ii

ii

ffd

ffd

Ejemplos de aplicación de las medidas de tendencia central en datos agrupados

EjemploLas inversiones anuales, en miles de dólares, de una muestra de 40 empresas fueron:

31 17 27 20 10 34 25 28 4 24 15 39 18 30 26 12 46 41 18 23 36 19 29 37 27 27 24 33 26 31 25 28 33 28 23 31 29 22 35 21Determine las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Interprete los resultados.

Solución:

1. n = 40,Xmax = 46, Xmin = 4, entonces:

Rango = R = 46 – 4 = 42.

2. k = 1 + 3.3 log 40 = 6.28679, entonces: k = 7.

3. Amplitud = 42 / 7 = 6.

Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi Conteo absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 / 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 /// 3 0,075 4 0,100

16, 22 19 //// / 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 //// //// // 12 0,300 22 0,550

28, 34 31 //// //// / 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 //// 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 // 2 0,050 40 1,000 40 1,000

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100

16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550

28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000

40

2*435*3711*3112*256*193*131*7x

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100

16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550

28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000

1°Hallamos n:2=20 y buscamos en Fi que clase lo contiene.

Li = 22

fmediana=12

F i-1 =10

27612

102022

Me

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100

16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550

28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 40 1,000

1°Hallamos la clase modal

Li = 22

d1=12-6=6

d2=12-11=1

14,27616

622

Mo