funciones_hiperbolicas

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INTRODUCCIÓN En el campo de las funciones escalares, conocidas como funciones trascendentes, hubo quienes observaron que determinadas combinaciones de las funciones exponenciales xe y e x− se presentaban con mucha frecuencia en aplicaciones matemáticas y físicas. Valga citar en éstas últimas el hecho de que entidades como la luz, la velocidad, la electricidad o la radioactividad se absorben o extinguen de manera gradual, y su decaimiento se puede presentar con funciones que consideran las combinaciones de funciones exponenciales como las antes citadas. También se puede demostrar que una combinación de estas funciones describe la forma de un cable colgante, esto es, que si se suspende un cable pesado y flexible como el de una línea de transmisión o de una línea telefónica, dicha combinación define la ecuación de la curva. Estas funciones, combinaciones de funciones exponenciales, son deducidas de una hipérbola, de la misma forma que las funciones trigonométricas tienen como base al círculo unitario. Y es por ello que se dio por llamarlas Funciones Hiperbólicas. A continuación se definirán estas funciones hiperbólicas a partir de la hipérbola 2 2 1x y− = , de manera semejante a como se desarrollaron las circulares a partir del círculo

. 2 2 1x y+ = Considérese la circunferencia unitaria 2 2 1x y+ = y sea ( ),P x y un punto de ella en el primer cuadrante, como se

observa en la siguiente figura: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

ING. PABLO GARCÍA Y COLOME

2

y21y x= ± − B

De la figura se puede expresar que:

Área del sector circular 2

2

2 2rOAP uπ φφπ

= =

Área del triángulo 21

2OAB u=

de donde

Área del sector circular OAP 21Área del triángulo OAB2

φ

φ φ= = =

Entonces el arco φ puede considerarse como la razón entre el área del sector circular y el área del triángulo . También cabría notar que la medida del ángulo

OAP OABφ puede

definirse como el doble del área del sector circular que el ángulo determina en el círculo unitario.

OAP

Ahora considérese la hipérbola 2 2 1x y− = y un punto de ella

en el primer cuadrante. Para ello habrá que analizar la siguiente gráfica: ( ,P x y)

xφA

( ),P x y

0


3

y

Se procede de manera semejante al caso del círculo anterior y se obtiene entonces el número θ que se define como el doble del área del sector hiperbólico . Y a este número OAPθ se le llama la medida hiperbólica del ángulo , con el arco de la de la hipérbola. Entonces:

AOPAP

Área del sector Área del sector 1Área del triángulo 2

OAP OAPOAB

θ = =

El cálculo del área del sector OA se determina como sigue, considerando la figura anterior:

P

Área del sector OAP = Área del triángulo - OCP Área ACP

donde el área ACP (área bajo la curva) es la limitada por la hipérbola, el eje de las abscisas y las rectas . Esta área se calcula de la siguiente forma:

x A y x C= =

Área 2

11

xACP z dz= −∫

El cambio de variable se hace debido al límite superior de la integral. Esta integral se resuelve por el método de sustitución trigonométrica, que se verá en métodos de integración. Entonces el área requerida es:

xCO A

( ),P x y

B

1 x

2 1y x= ± −


4

Área 2 2

1

11 1 ln2 2

x xACP z dz x x x2 1= − = − − + −∫ Como el área del triángulo es igual a: OCP

Área 2xyOCP =

entonces 2 21Área del sector 1 ln 1

2 2 2xy xOAP x x x= − − + + −

Como 2 1y x= − 1 1Área del sector ln ln

2 2 2 2xy xyOAP x y x y= − + + = +

Y como el área del triángulo es: OAB

Área del triángulo 12

OAB = Entonces se llega a:

1lnÁrea del sector 2 ln1Área del triángulo 2

x yOAP x yOAB

θ θ+

= = ⇒ = +

)

Como en el caso de las funciones trigonométricas, para la hipérbola dada (en la figura), el punto y las condiciones obtenidas, se definen las funciones:

( ,P x y

DEFINICIÓN.

seno hiperbólico de 2e ePC y senhθ θ

θ θ−−

= = = =

coseno hiperbólico de cos2

e eOC x hθ θ

θ θ−+

= = = =

De la expresión ln x yθ = + es posible obtener que:

lnln x yx y e e e x yθ θθ += + ⇒ = ⇒ = +


51lnln 1ln x y x yx y e e e e e

x yθ θ θθ − +− − −+− = − + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+

Mediante la ecuación de la hipérbola 2 2 1x y− = y algunas operaciones algebraicas, se llega a:

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2y x y xy y y xy y x xy yy y

x y x y x y x y+ + + + − + +

= ⋅ = ⋅ = = =+ + + +

2

( )( )

( )

( )2

22 21 1

12 12 2 2 2

x yx yx yx xy y e ex y x y

x y x y 2

θ θ−

+ −+ −+ −+ + − −+ += = = = =

+ +

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2x x y x xy x xy x y xy xx x

x y x y x y x y

2+ + + + + += ⋅ = ⋅ = = =

+ + + ++

( )( )

( )

( )2

22 21 1

12 12 2 2 2

x yx yx yx xy y e ex y x y

x y x y 2

θ θ−

+ ++ ++ ++ + + ++ += = = = =

+ +

Por lo tanto:

cosh2 2

e e e esenh yθ θ θ

θ θ− −− +

= =θ

Y en términos de estas dos funciones se definen las siguientes cuatro: DEFINICIÓN.

costanh ; coth ; 0cosh hsenh e e h e e

e e sen e e

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θθ θθ θ

− −

− −

− += = = =

+ −θ ≠

1 2 1 2sech ; csc ; 0

cosh hh

e e sen e eθ θ θ θθ θθ θ− −= = = =

+ −θ ≠

Antes de entrar a un breve estudio de estas funciones, se presenta a continuación un interesante concepto físico donde se hace presente una de ellas. LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

6Si se deja colgar libremente una cadena o un cable entre dos soportes, se forma una curva llamada catenaria (del griego katena que significa cadena). Las catenarias se encuentran por donde uno mire: una reata de tender, un cable telefónico, los cables de suspensión de un puente, etcétera. La forma depende del peso y tensión del cable, pero sus ecuaciones son todas de la misma forma y están íntimamente relacionadas con la función exponencial. Una representación gráfica de una catenaria se muestra en la siguiente figura:

catenaria

Si se considera una sección de catenari y se analizan las diferentes fuerzas que intervienen en etensión del cable en el punto más bajo (mde la catenaria y en otros puntos del mcable y otras consideraciones, se obtienecatenaria que corresponde al coseno hipe

y

x

cosh2

x xe ey x−+

= =

IDENTIDADES “TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓ Así como en la trigonometría circular se tiidentidades trigonométricas, para las funse presentan también identidades entrimportancia tienen son las siguientes:

TEOREMA. 2 2cosh 1x senh x− =

TEOREMA. 2 2tanh sec 1x h x+ =

a


lla, como son la ínimo de la curva) ismo, el peso del

la ecuación de la rbólico, esto es,

LICAS”

enen las conocidas ciones hiperbólicas e las que mayor


7

TEOREMA. 2 2coth csc 1x h x− = TEOREMA. 2 2 coshsenh x senhx x= TEOREMA. 2 2cosh2 coshx x sen= + h x Otras identidades importantes, cuyas pruebas se omiten, son:

2 1 1 cosh22 2

senh x x= − +

2 1 1cos cosh22 2

h x x= +

( ) cosh coshsenh x y senhx y xsenhy+ = + ( ) cosh coshsenh x y senhx y xsenhy− = − ( )cosh cosh coshx y x y senhxsenhy+ = + ( )cosh cosh coshx y x y senhxsenhy− = −

cosh cosh 2cosh cosh2 2

x y x yx y + −+ =

cosh cosh 2 h h2 2

x y x yx y sen sen+ −− =

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh + −+ =

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh − +− =

DOMINIOS, RECORRIDOS Y GRÁFICAS

Seno hiperbólico: ( )2

x xe ef x senhx−−

= = Como se ve, el valor de la función es real para cualquier valor real de . Por lo que su dominio es . Su gráfica se muestra a continuación.

" "x fD =


8

Como se observa, el recorrido de la función es el conjunto de los números reales, es decir, fR = .

y

xy senh=

x

Coseno hiperbólico: ( ) cosh2

x xe ef x x−+

= = De la regla de correspondencia se infiere que el dominio es el conjunto de los valores reales, es decir, fD = . Su gráfica es la siguiente:

x

y

1

coshy x=

Como se observa en la gráfica, el recorrido de la función es:

[ )1,fR = ∞

Tangente hiperbólica: ( ) tanhcosh

x x

x xsenhx e ef x x

x e e

−

−

−= = =

+


9

En la gráfica de coshx se ve que esta función no se anula en ningún valor de , luego el dominio de esta función

es el conjunto de los reales, es decir, . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

" "xtanhx fD =

Esta gráfica tiene dos asíntotas horizontales ecuaciones

, luego su recorrido es 1y y y= − = 1 ( )1,1fR = − . Cotangente hiperbólica:

( ) 1 coshcothtanh

x x

x xx e ef x x

x senhx e e

−

−

+= = = =

−

La función senhx se hace cero únicamente en el origen, luego en este valor se presenta una asíntota vertical. Entonces, el dominio está dado por { }0fD = − . la gráfica se muestra en la figura siguiente:

y

1

x

1−

tanhy x=

asíntota

asíntota


10

1

La gráfica de esta función tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones 1y y y= − = por lo que su recorrido es

. { }1,1fD = − −

Secante hiperbólica: ( ) 1 2seccosh x xf x hx

x e e−= = =+

El dominio de esta función, dado que tienen el mismo denominador, es el mismo que el de la función , esto es, . Su gráfica es la siguiente:

tanhxfD =

x

y

asíntota

cothy x=

asíntota 1

1−

y

xsecy h=

1

x asíntota


11

Como se observa en la gráfica, el eje " "x es una asíntota horizontal (de ecuación 0y = ), luego su recorrido es

. ( ]0,1fR =

Cosecante hiperbólica: ( ) 1 2csc x xf x hxsenhx e e−= = =

−

Su dominio es el mismo que el de la función , es decir, cothx{ }0fD = − . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

x

y

cschy x=

Se ve que la gráfica tiene como asíntota al eje , luego su recorrido es

" "x{ }0fR = − .

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Se graficarán estas funciones. En las funciones

se limitará el domino para que sus respectivas inversas sean funciones. cosh secx y hx

Función seno hiperbólico inversa: ( )1 1f x senh− −= x


12

D

x

y

( )1 1f x senh− −=

1 1;f ff fD R R− −= = = =

Función coseno hiperbólico inverso: ( ) ( )1 1coshf x x− −=

) )1 10, ; 1,f ff f

D R R D− −= ∞ = = ∞ =⎡ ⎡⎣ ⎣ Función tangente hiperbólica inversa: ( ) (1 1tanhf x x− −= )

x

y

1

( ) coshf x x=

1

x

( )f x senhx=

( )1 1coshf x x− −=


13

1 1; 1,1f ff fD R R D− −= = = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

y

x

Cotangente hiperbólica inversa: ( ) (1 1cothf x x− −= )

{ } 10 ;f ff

D R R−= − = = − −1,1⎡ ⎤⎣ ⎦

x

y

1 1−

asíntota

asíntota

( ) cothf x x=

( )1 1cothf x− −= x

1− 1

( ) tanhf x x=

asíntota asíntota

( )1 1tanhf x− −= x


14

Secante hiperbólica inversa: ( ) (1 1secf x h x− −= ) y

x

) (1 10, ; 0,1f ff f

D R R D− −= ∞ = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ Cosecante hiperbólica inversa: ( ) ( )1 1cscf x h x− −=

{ } { }1 10 ; 0f ff f

D R R D− −= − = = − = FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE LA LOGARÍTMICA

x

y

( ) cschf x x=

( )1 1cschf x x− −=

1

( )1 1secf x h− −= x asíntota

( ) secf x hx=

asíntota


15Como las funciones hiperbólicas están en términos de la función exponencial y ésta es inversa de la función logaritmo natural, es evidente que las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar en términos de la función logaritmo natural. Considérese el caso de la función seno hiperbólico inverso. De acuerdo con lo estudiado para las funciones inversas, es posible escribir que:

1y senh x−= sí y sólo si x senhy= de donde

22

y yy ye ex senhy x e e

−−−

= = ⇒ = − Se multiplican ambos miembros de la última expresión por

y se obtiene: ye2 2 1y ye xe 0− − =

de donde 2

22 4 4 12

y x xe x± += = ± x +

Se aplica ahora la función logaritmo natural en ambos miembros y

2 2ln ln 1 ln 1ye x x y x x= ± + ⇒ = ± + Por lo que:

1 2ln 1senh x x x− = ± +

Como , entonces 0ye >2 1 0x x x± + > ∀ ∈

1er Caso: 2 1 0x x+ + >

Como 2 21 0 1x x x+ > ⇒ + > ∀ ∈x 2o Caso: 2 1 0x x− + > Como 2 1x x> + no tiene solución en por lo tanto


16

( )1 2ln 1 ;senh x x x x− = + + ∈ De manera semejante se pueden obtener las expresiones de las otras cinco funciones hiperbólicas inversas, obteniéndose:

( ) )1 2cosh ln 1 ; 1, 0x x x x− = + − ∈⎡⎣

( )1 1 1tanh ln ; 1,12 1

xx xx

− +⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠−

( ) (1 1 1coth ln ; , 1 1,2 1

xx xx

− +⎛ ⎞= ∈ −∞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠)∪ ∞

(2

12

1 1sec ln ; 0,1xh x xx x

−⎛ ⎞−

= + ∈⎜ ⎟ ⎤⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) (2

12

1 1csc ln ; , 0 0,xh x xx x

−⎛ ⎞+

= + ∈ −∞ ∪⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)∞

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS DIRECTAS E INVERSAS Obtener las expresiones para derivar estas funciones resulta sencillo ya que las directas están en términos de la función exponencial y las inversas en términos de la función logaritmo natural, cuyas derivadas se conocen. Por eso solamente se desarrollarán las de la función senhx así como la de su inversa. ( ) ( );f x senhu u g x= =

cosh2 2

u u u ue e dy e ey senhu udu

− −− += = ⇒ = =

Y por la regla de la cadena

( )' cosh duf x udx

=

( ) ( ) ( )cosh ; ' duf x u u g x f x senhudx

= = ⇒ =


17

( ) ( ) ( ) 2tanh ; ' sec duf x u u g x f x h udx

= = ⇒ =

( ) ( ) ( ) 2coth ; ' csc duf x u u g x f x h udx

= = ⇒ = −

( ) ( ) ( )sech ; ' sec tanh duf x u u g x f x hu udx

= = ⇒ = −

( ) ( ) ( )csch ; ' csc coth duf x u u g x f x hu udx

= = ⇒ = − ( ) ( )1 ;f x senh u u g x−= =

( )2

2 21 2

2 2

1111 1ln 1

1 1

u u udy u uy senh u u udu u u u u u

−

+ +++ += = + + ⇒ = = =

2 1+ + + + +

Y por la regla de la cadena

( )2 2

1'u 1 u 1

dudu dxf xdx

= =+ +

( ) ( ) ( )1

2 2

1cosh ; ' ; 11 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u

−= = ⇒ = =− −

>

( ) ( ) ( )12 2

1tanh ; ' ; 11 1

dudu dxf x u u g x f x u

u dx u−= = ⇒ = =

− −<

( ) ( ) ( )12 2

1coth ; ' ; 11 1

dudu dxf x u u g x f x u

u dx u−= = ⇒ = = >

− −

( ) ( ) ( )1

2 2

1sech ; ' ; 0 11 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u u u

− −= = ⇒ = = −

− −< <


18

( ) ( ) ( )1

2 2

1csch ; ' ; 01 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u u u

− −= = ⇒ = = −

+ +≠

EJEMPLO. Obtener las derivadas de las siguientes funciones:

( ) ( )2 2) ( ) senh 1 2 ; ) ( ) cosh lni f x x ii f x x= − =

( ) ( ) cosh) cot senh3 ; ) senh xiii y ang x iv y x e= =

2c o sh) ; ) ln t

4 se n h 2x xv y v i y

xa n h⎡ ⎤⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) c o th) ta n ta n h ; ) ( ) xv ii y a n g x v iii f x x= =

( ) 1 1) ln sec 4 ; ) ( ) ln sec ln cscix y x h x x f x h hx x

⎛ ⎞ ⎛= = ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞+ ⎟⎠


19


20EJEMPLO. Obtener la derivada de las siguientes funciones:

1 1) senh ; ) ( ) senh 42xi y x x ii f x x x− − ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠2− +

( )1 2 1) cosh ; ) tanh cosiii y x iv y x− −= = 1 2 1) ( ) tanh ln 1 ; ) cothv f x x x x vi y x− −= + − = 2 1+

( ) ( )1 1) coth sen2 ; ) ( ) sec cos2vii y x viii f x h x− −= =

( )1 1) ( ) csc tan ; ) tan tanhix f x h x x y x− −= = 1−


21


22INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Cada una de las expresiones obtenidas para derivar las funciones hiperbólicas directas e inversas, tiene su correspondiente forma diferencial y, de estas diferenciales, al integrarlas, se obtienen las expresiones siguientes:

senh coshudu u C= +∫

cosh senhudu u C= +∫

( )tan ln coshudu u C= +∫

coth ln senhudu u C= +∫

sec tan senhudu ang u C= +∫

csc ln tanh2uhudu C= +∫

2sec tanhh udu u C= +∫ 2csc cothh udu u C= − +∫

sec tanh sechu udu hu C= − +∫

csc coth cschu udu hu C= − +∫ 1 2

2 2se n h lnd u u C u a u

aa u−= + = + +

+∫ 2 C+

1 2 22 2

c sh ln ;du uo C u u a C uau a

−= + = + − +−

∫ a>

1

2 21 1ta n h ln ;

2d u u a uC C

a u a a a a u− u a+

= + = +− −∫ <

auCauau

aC

au

a>+

−+

=+= − ;...ln21coth1 1


23 y en forma compacta

2 21 l n ;

2d u a u C u

a u a a u+ a= + ≠

− −∫

1 12 2

1 1sec cosh ; 0udu ah C C u

a a a uu a u− −= − + = − + < <

−∫ a

1 1

2 2

1 1c sc se n h ; 0ud u ah C C u

a a a uu a u− −= − + = − + ≠

+∫ EJEMPLO. Resolver las siguientes integrales:

1 22 2

0 1

senh) ; ) cosh 2 ; ) taxi dx ii xdx iii xdxx∫ ∫ ∫ nh

( )2 csc ln) ; ) sec 5 ; )

x x

x x

h xe eiv dx v h xdx vi dxe e x

−

−

+−∫ ∫ ∫

3 2) cosh ; ) cosh cscvii xdx viii x h xdx∫ ∫

42

1 1se c ta n h) ; )

hx xix d x x x d x

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ se n h


24


25EJEMPLO. Resolver las siguientes integrales, en términos de las funciones hiperbólicas inversas:

4 2

24 23 1

cos) ; ) ; )3 216 sen 9

x xi dx ii dx iiix xx x + −+ −

∫ ∫ ∫dx

0.8

2 0.2) ; )

25 4 1dx dxiv v

x x x− −∫ ∫

( )22 2) ; )

4 1x

d x d xv i v i ie x x+ +

∫ ∫ 2 2x+ +


26


27EJEMPLO. Una cooperativa campesina construye un granero con de largo y 12 de ancho, como se observa en la figura. La sección transversal del techo es una catenaria invertida cuya ecuación es:

30 m m

9.25 6cosh6xy = −

Determinar su capacidad total. y

x

Solución. Para calcular el área de la sección transversal, se utiliza la integral definida:

6

69.25 6cosh

6xA

−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

La integral indefinida se resuelve como:

9.25 6cosh 9.25 6 cosh 9.25 366 6x xdx dx dx x senh C⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 6x+

Luego el área de la sección es igual a:

6

6

9.25 36 55.5 42.3072 55.5 42.30726xA x senh

−

⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 2

69.25 6cosh 26.3856

6xA m

−

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Entonces el volumen del granero, esto es, su capacidad total es:

326.3856 30 791.568V m= × =

6− 6

9.25 6cosh6xy = −

9.25

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