funciones reales
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BITÁCORA: Funciones Reales
1. IntroducciónEl concepto de función es uno de los más importantesno solo en matemática, sino en ingeniería y ciencias engeneral. La propiedad esencial que comparten todas lasdefiniciones de función es que se trata de una regla queasigna a cada ente de un conjunto de partida un úni-co ente de otro conjunto de llegada. Una función des-cribe una relación matemática entre dos magnitudes,algo que podemos encontrar con frecuencia a nuestroalrededor.
Cuaderno 1.1 Anota en tu cuaderno, en no más de20 líneas, algunos antecedentes históricos sobre fun-ciones.
Las funciones que trataremos en este tema son aque-llas cuyos conjuntos inicial y final son precisamente elde los números reales (función real de variable real). Deesta forma una función creará una colección de paresde valores reales (x, y), que gráficamente representanpuntos del plano xy y que se denominan coordenadascartesianas del punto. A su vez cada coordenada tieneun nombre particular, x es la llamada abscisa e y la or-denada.
ACTIVIDAD-AULA 1. ¡Su atención por favor! El canaldel tiempo informa sobre las temperaturas mínimas enTemuco la primera semana de julio.
fecha (t) 1 2 3 4 5 6 7Temperatura (T ) 0 3 2 2 1 1 4
¡Qué frio el lunes! Bueno, eso no es lo más importante.Se observa una tabla de doble entrada en donde cadadía da lugar a una y sólo una temperatura mínima. Dela tabla conseguimos algunos pares de números. Porejemplo, (1, 0), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (5, 1), (6, 1), (7, 4). Estospares de números se pueden trazar en el plano carte-siano que muestra la figura
Definición 1.2 Una función es un conjunto de paresordenados que no contiene dos pares distintos con lamisma primera componente; esto es, si (a, b) y (a, c)
pertenecen al conjunto, entonces b = c.
Otra manera de decir lo anterior es que una entrada a
no puede dar dos resultados diferentes.
Ejemplo 1.3 El conjunto {(2, 4), (4, 5), (7, 3)} es una fun-ción, y nos dice que el 2 se relaciona con 4, que 4
se relaciona con el 5, y que el 7 se relaciona con el3. Además, los valores de entrada (primeras compo-nentes) son {2, 4, 7} y forman el dominio, y el rango es{4, 5, 3}
Conclusión
una función relaciona entradas con salidas.
una entrada y la salida que se corresponden confor-man un par ordenado.
una función toma elementos de un conjunto (el do-minio) y los relaciona con elementos de otro conjunto(el codominio).
los valores de entrada constituyen el dominio de lafunción.
los valores de salidas constituyen la imagen o rangode la función.
una entrada sólo produce una salida.
Como consecuencia de esto podemos establecer otraforma equivalente de definición de función:
Definición 1.4 Una función es una regla que a cadadato de entrada asigna un único dato de salida
Como tenemos datos de entrada y salida, una funciónconecta dos conjuntos A y B, en donde A es el dominiode la función y B su codominio.
Notación: f : A → B, x 7→ y = f (x)
se lee “ f es una función de A en B que asocia a cadaelemento x ∈ A el único elemento y ∈ B”. La notaciónf (x) representa la imagen que le corresponde al ele-mento x por medio de f . Otras letras como g, h tambiénson usuales para denotar funciones.
Definición 1.5
1. Se llama dominio o campo de existencia de una fun-ción al conjunto de valores x para los cuales tienesentido la expresión y = f (x), es decir, al conjun-to de valores que tienen imagen; se representa pordom(f ).
dom(f ) = {x ∈ R/ y = f (x) ∈ R}
2. El conjunto formado solamente por los elementos desalida conforma el llamado imagen, rango o reco-rrido de la función, el que, por supuesto, es subcon-junto del codominio. Esto se expresa en la forma:
rang(f ) = rec(f ) = Im(f ) = {y ∈ R/ y = f (x)}
1
La ley de una función puede ser definida de múltiplesformas, pero en cada una de ellas debe cumplirse lacondición básica “ para cada x en el dominio de la fun-ción debe existir una y sólo una imagen de este x”.
Ejemplo 1.6
f : R → R, x 7→ x + 2. Es la función que a cadanúmero le asocia el mismo número más dos.
f : R+ → R, x 7→√x. Es la función que a cada
número le asocia su raíz cuadrada.
f : R − {0} → R, x 7→ 1
x. Es la función que a cada
número le asocia su inverso multiplicativo.
f : R→ R, x 7→ x3. Es la función que a cada númerole asocia su cubo.
f : R→ R, x 7→ |x|. Es la función que a cada númerole asocia su valor absoluto.
1.0.1. Calculando dominio y recorrido
Ejemplo 1.7 Considera la función f : D → R definidade la forma f (x) =
x
x2 − 1
Dominio: La expresión f (x) =x
x2 − 1tiene sentido para
todos los valores que no anulan el denominador, es de-cir, todos los valores x tales que x2 − 1 6= 0. Como losúnicos valores que anulan el denominador son x = ±1,el dominio máximo de la función será D = R− {−1, 1}.Recorrido: Lo primero que debes tener claro es que elrecorrido o rango te lo proporcionan las y. Luego, sedespeja la variable x:
y =x
x2 − 1⇐⇒ x2y − x− y = 0⇐⇒ x =
1±√
1 + 4y2
y
Los valores permitidos son los del rango. Esto es,
1±√
1 + 4y2
y∈ R⇐⇒ y 6= 0
En consecuencia, rang(f ) = {y/ y 6= 0} = R− {0}
1.0.2. Gráfico de la función
Definición 1.8 Sea f : A ⊂ R −→ R una función. Elgráfico o gráfica de f es el conjunto de todos los paresordenados (x, f (x)) tal que x ∈ dom(f ). A su repre-sentación en el plano se le denomina curva o lugar geo-métrico. Escribimos
graf (f ) = {(x, f (x)) ∈ R× R/ x ∈ A}
Al representar una función f en el sistema cartesiano,los pares ordenados (x, f (x)) se representan como pun-tos en el plano, de manera que podemos concluir quela gráfica de una función es un subconjunto del planocartesiano. No toda curva en un plano cartesiano repre-senta una función por lo tanto, tiene sentido preguntarse¿Cuándo una curva en un plano cartesiano representauna función?
1.0.3. La prueba de la línea vertical
En un gráfico de función, ninguna línea vertical la inter-secta más de una vez. Si alguna cruzara más de unavez no sería una función.
Actividad en aula 1.9 Hallar dominio, recorrido y es-
bozar una gráfica de f (x) =1
x− 1.
Cuaderno 1.10 Halla dominio y recorrido de la funciónf (x) =
√1− x2. Utiliza un software para que veas la grá-
fica. Anota en ella dominio y recorrido.
1.0.4. Calculando imágenes
Queremos que aprendas a obtener las imágenes queproduce una función.
Ejemplo 1.11 Sea h : R → R, tal que h(x) = 3x − 1.Completa la tabla.x 1 −2 0 a x + a ∆ ♥h(x)
A continuación, una forma diferente de representación(sagital) de funciones.
Ejemplo 1.121. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. Se define f
de A en B como f (1) = 4, f (2) = 7, f (3) = 5, f (4) = 7.Nota que f es función. (figura 1). El dom(f ) = A yrec(f ) =
2
2. Se define g de A en B como g(1) = 4, g(2) = 7 yg(3) = 5. Note que g no es función, ya que 4 no tieneimagen. En un diagrama se ve como la figura 2
3. Se define h de A en B como h(1) = 5, h(2) = 8,h(3) = 7, h(4) = 6 y h(1) = 4. Note que h no es fun-ción, ya que 1 tiene dos imagenes distintas. Esto seve en la figura 3.
1.0.5. Funciones inyectivas
Para introducir el concepto usaremos un gráfico sagital
El sinónimo de inyectiva es “uno a uno”, y resulta muyadecuado para ilustrar esta propiedad. La figura mues-tra que cada elemento del primer conjunto se conectacon un solo elemento, distinto, del segundo conjunto.
Ejemplo 1.13 La expresión y = 2x − 1 corresponde auna línea recta de pendiente m = 2. Tabulamos algunospuntos:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
Con estos datos podemos graficar y tener lo que mues-tra la figura siguiente.
De esta gráfica observamos las siguientes característi-cas:
Se trata de una función, cuyo dominio es el conjuntode los números reales. Esto es, dom(f ) = R.
Esta función tiene por rango o recorrido al conjuntode los números reales. Esto es, rang(f ) = rec(f ) =
R.
Esta función lineal en inyectiva o “uno a uno”. Sitrazas una recta paralela al eje x, ésta corta a la rec-ta en un solo punto, eso quiere decir que cada valorde x está conectado con un y solo un valor de y. For-malmente
Definición 1.14 La función f : A → B es inyectiva sia valores del dominio distintos, corresponden imágenesdistintas. Esto es,
f inyectiva⇐⇒ x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)
La lógica indica que la contra-recíproca es:
f inyectiva⇐⇒ f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2
Es claro que a partir de la gráfica uno puede determinarfácilmente si la función es o no inyectiva. Veamos co-mo se hace de forma algebraica. Para empezar, lo quedebes usar es la equivalencia lógica
f inyectiva⇐⇒ f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2
ello por que es más sencillo trabajar con igualdades. Setiene:
f (x1) = f (x2) =⇒ 2x1 − 1 = 2x2 − 1 =⇒ x1 = x2
En consecuencia es inyectiva. Esto significa que cadaelemento del dominio está conectado con uno y sólo unodel recorrido.
1.0.6. funciones sobreyectivas
En la figura se observa que NO queda ningún elementodel conjunto de llegada sin tener conexión con uno deldominio. Si esto ocurre siempre decimos que la funciónes sobreyectiva. Ahora te muestro como probar, alge-braicamente, que una función es sobreyectiva.
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Ejemplo 1.15 f (x) = x2+1 representa una parábola convértice en (0, 1) abriéndose hacia arriba
Es claro que el dominio de esta función es todo R y surecorrido es [1,∞). Es decir, podemos establecer que:
f : R→ [1,∞), x 7→ f (x) = x2 + 1
Te habrás dado cuenta que esta función no es inyectiva.
Veamos la prueba de la sobreyectividad. Sea y ∈ rec(f ),entonces este y es imagen de algún x del dominio, esdecir,
y = f (x) = x2 + 1
se sigue de esto que
x2 + 1 = y =⇒ x2 = y − 1 =⇒ x = ±√y − 1
Esto significa que el elemento que produce el y comoimagen es ±
√y − 1. En efecto;
f (±√y − 1) = (±
√y − 1)2 + 1 = y − 1 + 1 = y
Por tanto esta función es sobreyectiva.
En particular, si se considera la función f : R→ R, x 7→f (x) = x2 + 1, entonces ella no es sobreyectiva, tal comose ve en la figura siguiente.
Definición 1.16 La función f : A → B es sobreyectivasi todo elemento del codominio se encuentra conectadocon uno del dominio.
∀ y ∈ B ∃ x ∈ A tal que y = f (x)
En términos gráficos, esto significa, que en el codominiode la función:
toda recta paralela al eje x debe cortar algráfico de f
Más aún, podemos establecer que una función es so-breyectiva si el codominio es igual al recorrido. De estaforma, toda función que se defina como f : A→ f (A) essobreyectiva.
1.0.7. Función compuesta
Para ilustrar la situación suponga que tenemos tres ciu-dades, Temuco, Pucón y Valdivia. El individuo x ha lle-gado al terminal Temuco y pregunta en ventanilla porbuses a Valdivia. El encargado de pasajes le hace saberque tiene dos alternativas de viaje, una pasando porPucón en el bus f y continuando en el bus g a Valdivia,y la otra en un bus directo a Valdivia. La gráfica siguien-te ilustra que en ambos casos el individuo llega a sudestino. La primera alternativa significa que el viaje estácompuesto de dos recorridos, Temuco-Pucón y poste-riormente Pucón-Valdivia.
Dos funciones f y g pueden combinarse para formar unafunción compuesta, de las siguientes maneras:
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
(g ◦ f )(x) = g(f (x))Definición 1.17 Sean f : A → B, g : B → C funciones.La función g ◦ f : A → C tal que (g ◦ f )(x) = g(f (x)), sellama función compuesta de f y g.
De manera análoga se define f ◦ g.Debe tenerse claro que los valores g(x) deberán estaren el dominio de f para poder realizar (f ◦ g), y que losvalores f (x) deberán estar en el dominio de g para poderhacer (g ◦ f )
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ACTIVIDAD-AULA 2. Se consideran las funciones, f (x) =
x2 que hace que a cada elemento x le corresponda sucuadrado, y g(x) = 2x+ 1 que asocia a cada elemento xsu doble más uno. Vamos a jugar con estas funciones ya descubrir que sucede cuando es posible componerlas.(a) Si f (x) = x2, entonces f (a + b) =
(b) Si f (x) = x2, entonces f (?) =
(c) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(0) =
(d) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(x + y) =
(e) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(?) =
(f) Si f (x) = x2, y g(x) = 2x + 1, entonces f (g(x)) =
(g) Si f (x) = x2, y g(x) = 2x + 1, entonces g(f (x)) =
1.0.8. Funciones Inversas
Sabemos que una función es un conjunto de pares orde-nados. Se nos pudiera ocurrir la idea de dar vuelta lospares y ver si el nuevo conjunto obtenido es de nuevouna función. Veamos esto de inmediato.
Ejemplo 1.18 Consideremos el conjunto de pares:
f = {(1, 0), (2, 2), (3, 1), (4, 3)}
Es claro que se trata de una función. Al dar vuelta lospares nos queda
g = {(0, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)}
Al mirar los pares nos damos cuenta que si tenemos unanueva función.
Ejemplo 1.19 Se considera el conjunto
f = {(1, 2), (0, 4), (3, 0), (4, 2)}
Al dar vuelta los pares tenemos:
g = {(2, 1), (4, 0), (0, 3), (2, 4)}
Se observa que g no cumple con la definición de fun-ción pues existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen lamisma primera coordenada y la segunda coordenada esdistinta. En este caso, el invertir los pares no generó unafunción.
Si resulta en el primer caso y no en segundo, debe exis-tir una razón. Tratemos de buscarla
Algunos hechos que podemos notar:
Al dar vuelta los pares, el dominio de f se transformaen el recorrido de g, y a la vez, el recorrido de f pasaa ser el dominio de g.
Si la inversa de f la denotamos por f−1, entoncespara
f = {(1, 0), (2, 2), (3, 1), (4, 3)}la función inversa es
f−1 = {(0, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)}
Se observa, por ejemplo, que
f−1(0) = 1 =⇒ f (1) = 0, f−1(3) = 4 =⇒ f (4) = 3
deduciéndose que, en general
f−1(y) = x =⇒ f (x) = y
Una gráfica que ilustra la situación es la siguiente:
Hagamos composición de funciones.
(f−1 ◦ f )(1) = f−1(f (1)) = f−1(0) = 1
(f−1 ◦ f )(2) = f−1(f (2)) = f−1(2) = 2
(f−1 ◦ f )(3) = f−1(f (3)) = f−1(1) = 3
(f−1 ◦ f )(4) = f−1(f (4)) = f−1(3) = 4
Esto nos lleva a establecer que si partimos con x enel dominio de f obtenemos de nuevo x al compo-ner. Te pido que completes lo siguiente para saber sitambién ocurre:
(f ◦ f−1)(0) = f (f−1(0)) = f ( ) =
(f ◦ f−1)(2) = f (f−1(2)) = f ( ) =
(f ◦ f−1)(1) = f (f−1(1)) = f ( ) =
(f ◦ f−1)(3) = f (f−1(3)) = f ( ) =
Para que esto pudiese ocurrir, claramente la funciónf debe ser inyectiva, eso hace que a un elementoen el dominio correponda un sólo elemento en el re-corrido, de esa forma se garantiza que la función g
tenga una sola imagen, y por ende represente unafunción.
Definición 1.20 Dada una función y = f (x), se llamafunción inversa de f se denota por f−1 a otra funciónque para cualquier valor del dominio de f se cumpleque:
(f ◦ f−1)(x) = x y (f−1 ◦ f )(x) = x
¿Cuáles funciones son las que tienen inversa? La re-spuesta es sencilla: Las biyectivas (inyectivas más so-breyectivas). Exigimos biyectiva pues puede ocurrir unasituación como muestra la figura siguiente, en donde alos elementos en B que no están conectados con unelemento en A no le podemos asignar una imagen devuelta.
5
Ejemplo 1.21 Hallar la función inversa de y = 5x − 2, yrepresentar las gráficas de ambas funciones en el mis-mo sistema coordenado.
El método directo para hallar la inversa, si es que existela inversa, es despejar la variable x y luego reemplazarla letra y por x. Mira con atención.
y = 5x− 2 =⇒ x =1
5(y + 2)
Cambiando la y por x se tiene que y = 15(x + 2) es la
función inversa de y = 5x− 2.
Otro método se obtiene de la definición en base a lacomposición y es el siguiente:
f (f−1)(x) = 5f−1(x)− 2 = x =⇒ f−1(x) =x + 2
5
el mismo resultado anterior.
Actividad en aula 1.22 Para cada gráfica siguiente de-cide si existe función inversa.
Desde una gráfica, podemos establecer que:
La función f tiene una inversa f−1 si y sólo sicualquier recta paralela al eje x intersecta a la cur-va en un solo punto de su recorrido.
Actividad en aula 1.23
1. Comprueba que son inversas las funciones f (x) =√x + 4 y g(x) = x2 − 4.
2. Calcula la inversa de:
a) y = −2x + 3 b) y =√x + 5
3. Determinar si la función f : R − {1} → R tal quef (x) = 1
x−1 es inyectiva y/o sobreyectiva. Haz la grá-fica y ve si puedes restringir para hallar la funcióninversa.
Cuaderno 1.24 Determina los conjuntos A,B ⊂ R parala función f : A → B tal que f (x) = x+3
2x−5 sea biyecti-va. Halla luego la función inversa. Usa un software parailustrar la función y su inversa.
ACTIVIDAD-AULA 3. Sea T (x) la temperatura en gradosF ◦ que marca un termómetro cuando la columna demercurio alcanza x cms de longitud. Responde, en pa-labras:(a) ¿Qué significa T (10)?
(b) ¿Qué significa T−1(75)?
1.0.9. Gráfica de la Inversa
A través de un ejemplo te mostraré como podríasgraficar sin mucho esfuerzo la inversa de una función.
Ejemplo 1.25 Sea f : R∪ {0} → R∪ {0} tal que x 7→ x2.Te muestro su gráfica
Tal como está definida, la función es inyectiva y so-breyectiva (biyectiva), de modo que la inversa existe. Sudeterminación es como sigue:
y = x2 =⇒ x =√y
para la existencia de la raíz, la y ≥ 0. La inversa es:
g(x) = f−1(x) =√x
Te hago ambas gráficas en un sólo plano
Lo que observaste en la gráfica es los siguiente:
En términos geométricos, la gráfica de f−1 es el reflejode f en la recta y = x, lo que es equivalente a decir quelas gráficas de una función y su inversa son simétricas
con respecto a la recta y = x.
ACTIVIDAD-AULA 4.(a) Haz un bosquejo de la gráfica de f−1 para cada una
de las funciones dadas en el gráfico siguiente. Utilizala recta y = x para ello.
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1.1 Propiedades de la funcionesVamos a estudiar algunas propiedades interesantes queposeen algunas funciones reales de uso habitual. Teharé una lista de las propiedades y las iremos ilustrandoa medida que te de a conocer las funciones que interesaestudiar.
Monotonía
La expresión “ monótona” involucra dos tipos de com-portamientos en las funciones, el crecimiento (a medidaque la x crece la y también crece) y el decrecimiento (a medi-da que la x crece la y decrece).
f es creciente⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2)
f es decreciente⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2)
f es estrictamente creciente ⇐⇒ x1 < x2 =⇒f (x1) < f (x2)
f es estrictamente decreciente ⇐⇒ x1 < x2 =⇒f (x1) > f (x2)
Acotamiento
Aquí lo único que cuenta es el rango o recorrido de lafunción. Si el rango está acotado entonces la función sedice acotada, en caso contrario, no acotada. En térmi-nos algebraicos
f es acotada⇐⇒ ∃M ∈ R tal que |f (x)| ≤M ,∀x ∈ dom(f )
Paridad e Imparidad
Desde un punto de vista geométrico, las funciones paresson las que presentan simetría respecto del eje y, asícomo las impares la presentan respecto del origen.Para descubrir paridad o imparidad piensa como sigue:
Si la curva que representa la función se halla en elprimer y/o cuarto cuadrante, gírala sobre el eje y ypónla sobre el segundo y/o tercer cuadrante, si todocoincide, entonces f es una función par.
Si la curva que representa la función se halla en elprimer y/o cuarto cuadrante, gírala sobre el eje y,pónla sobre el segundo y/o tercer cuadrante, gíralaahora sobre el eje x negativo y pónla en el primer y/otercer cuadrante, si es la misma curva original peroreflejada como en un espejo, entonces f es una fun-ción impar.
Si no fue buena la explicación, mira las figuras:
f es par⇐⇒ f (x) = f (−x), ∀x,−x ∈ dom(f )
f es impar⇐⇒ f (x) = −f (−x), ∀x,−x ∈ dom(f )
1.1.1. Funciones Lineales
Definición 1.26 Una relacion funcional de la forma y =
mx+n se denomina función lineal. El número real m sellama pendiente o tasa de cambio de y con respecto ax.
Ejemplo 1.27 La función lineal y = 2x − 1 es una recta,y su gráfica es la siguiente:
De esta gráfica observamos las siguientes característi-cas:
Esta función lineal tiene por dominio al conjunto delos números reales. Esto es, dom(f ) = R.
Esta función lineal tiene por rango o recorrido alconjunto de los números reales. Esto es, rang(f ) =
rec(f ) = R.
Esta función lineal es creciente, al “caminar” sobreel eje x de izquierda a derecha los valores de lasimágenes van creciendo, cada vez son mayores.
Esta función lineal no es acotada, al “caminar” in-definidamente hacia la izquierda sobre el eje x noexiste un valor en la imagen que sea el menor de to-dos como tampoco existe uno que sea el mayor detodos al “caminar” sin parar sobre el eje x hacia laderecha.
7
Esta función lineal en impar. Esto se ve de la gráficacomo sigue: Tomas la gráfica del primer cuadrante,la “doblas” sobre el eje y para ponerla sobre el se-gundo cuadrante, luego la “doblas” sobre el eje x lapones en el tercer cuadrante. Si todo calza, la fun-ción es impar.
Actividad en aula 1.28
1. Graficar en el plano cartesiano las funciones:
f (x) = x, f (x) = 2x, f (x) = x− 1
2. En otro plano graficar las funciones:
f (x) = −x, f (x) = −3x, f (x) = −x+ 1, f (x) = 2
Cuaderno 1.29 La gráfica de la temperatura en gradosFahrenheit (F ) en función de la temperatura en gradoscelcius (C) es una recta. Se sabe que 212◦ F y 100◦C
representan la temperatura a la que hierve el agua. Deigual manera, 32◦ F y 0◦C representan el punto de con-gelación del agua.
1. Escribir la ecuación de la recta
2. ¿Qué temperatura F corresponde a 20◦C?
3. ¿Qué temperatura tiene el mismo valor tanto en F
como en C?
4. Graficar la recta
1.1.2. Funciones Polinomiales
Las funciones polinomiales se caracterizan por ser de laforma
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx
n
en donde los ai son números reales y se denominan co-eficientes de la función polinomial. Si todas las ai soncero, con excepción de a0 y a1 tenemos el caso particu-lar de una función lineal.
Características principales:
El dominio de una función polinomial es el conjuntode los números reales. esto es, dom(f ) = R.
El rango o recorrido depende del exponente (par oimpar) y del coeficiente de la mayor potencia:
1. Si an > 0 y n es par, entonces el recorrido es el inter-valo [m,∞), siendo m el mínimo valor de la función.Por ejemplo, con an = 1, n = 2 se tiene la parábolay = x2, que satisface esta propiedad. En este casom = 0.
2. Si an < 0 y n es par, entonces el recorrido es elintervalo (−∞,M ], siendo M el máximo valor de lafunción. Por ejemplo, con an = −1, n = 2 se tienela parábola y = −x2, que satisface esta propiedad.M = 0
3. Si n es impar, entonces el recorrido es el intervalo(−∞,∞). En este caso la función no tiene valor mín-imo ni máximo. Por ejemplo, con n = 3 se tiene laparábola y = x3 que satisface esta propiedad.
El acotamiento:
1. La función polinomial con n par y an > 0 es acotadainferiormente, pero no es acotada (debe serlo supe-rior e inferiormente)
2. La función polinomial con n par y an < 0 es acota-da superiormente, pero no es acotada (debe serlosuperior e inferiormente)
3. La función polinomial con n impar no es acotada (nolo es ni superior ni inferiormente)
Para la monotonía tenemos:
La función polinomial tiene intervalos donde crece yotros en donde decrece. Se debe estudiar cada casoen particular.
Actividad en aula 1.30 A continuación se presentandos gráficas. Veamos si puedes determinar intervalosde crecimiento y/o decrecimiento.
Por ahora sólo nos quedamos con el objetivo de que: ob-servada la gráfica ser capaz de determinar los intervalosde crecimiento y decrecimiento de la función. Más ade-lante, en el tema aplicaciones de la derivada haremosuso de otras herramientas para decidir sobre crecimien-to o decrecimiento.
Ejemplo 1.31 Estudiemos la gráfica de y = x2
8
Esta es la famosa parábola y = x2. Es una función par.Para probarlo se hace como sigue:
f (x) = x2, f (−x) = (−x)2 = x2 =⇒ f (x) = f (−x)
con lo cual afirmamos que es una función par.Es decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0,∞)
Es acotada inferiormente por y = 0 y no lo es superior-mente. Se concluye que NO es acotada.Esta función no es inyectiva, de modo que no tiene in-versa.
Ejemplo 1.32 La función y = x3 es inyectiva y sobreyec-tiva.
Es inyectiva pues;
f (x1) = f (x2) =⇒ x31 = x3
2
de lo cual se sigue que:
x31 − x3
2 = 0 =⇒ (x1 − x2)(x21 + x1x2 + x2
2) = 0
de esta última ecuación se deduce que x1 = x2 pues elotro factor nunca es cero.Es sobreyectiva porque para cada valor y0 que esté enel rango, es una imagen, de otro valor que se encuentraen el dominio (a saber x0 = 3
√y0)
Es creciente (estricta) en todo R.No es acotada (ni superior ni inferiormente).Es impar, pues,
f (−x) = −x3 =⇒ −f (−x) = x3 = f (x)
Cuaderno 1.33Determina, algebraicamente, la paridad o imparidad delas funciones:
1. f (x) = x2 − 4 2. f (x) = x3 − x5
3. Usa un software para graficarlas.
1.1.3. Funciones Racionales
Una función racional es una función que puede ser ex-presada de la forma:
f (x) =p(x)
q(x)=anx
n + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0en donde p(x) y q(x) son polinomios. El dominio dedefinición son todos los números reales menos lasraíces del denominador.En esta clase de funciones es interesante saber sobrela existencia o no de ciertas rectas llamadas asíntotas,que como veremos, depende de los grados del numera-dor y denominador.
1. Si q(a) = 0 implica que x = a es asíntota vertical
2. n < m implica que el eje x es asíntota horizontal
3. n > m implica que no hay asíntota horizontal
4. n > m en un grado, entonces la función lineal quequeda al dividir p(x) por q(x) es asíntota oblícua
5. n = m implica que la rectaanbn
es asíntota horizontal
Ejemplo 1.34 Observa la gráfica de f (x) =x
x2 − 1
Esta función racional tiene por dominio todos los realesexcepto 1 y −1 donde presenta asíntotas verticales. Larecta y = 1 es una asíntota horizontal.
Actividad en aula 1.35 Grafica y anota las principalesca- racterísticas de las funciones: (dominio, intervalosde crecimiento, asíntotas, acotamiento):
1. f (x) = 2x−1x+3 2. f (x) = 1
x−1
Cuaderno 1.36 Grafica la función f (x) =x + 1
x− 1y anota
sus características
1.1.4. Función Exponencial
Son aquellas de la forma
f (x) = q0 ax, a > 0, a 6= 1
Respecto de su ecuación, cabe señalar que, la constan-te q0 representa la cantidad inicial (cuando x = 0), quea es un factor de cambio de f cuando x aumenta. Dehecho, si a > 1, entonces la función representa un crec-imiento exponencial, y si 0 < a < 1, entonces se tratade un decrecimiento exponencial.
Algunas Propiedades de y = ax
1. Todas las gráficas intersecan en el punto (0, 1).
2. Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
9
3. El eje de las x es asíntota horizontal.
4. Si a > 1, entonces y = ax aumenta conforme aumen-ta x.
5. Si 0 < a < 1, entonces y = ax disminuye conformeaumenta x.
6. La función y = ax es uno a uno (inyectiva).
Ejemplo 1.37 Graficamos la función y = 2x
Establecemos una tabla de valores
x 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4
2x 1 2 4 8 16 12
14
18
116
Te muestro el gráfico en la pizarra y tú en la hoja.
Ejemplo 1.38 Graficamos la función y =(
12
)x= 1
2x .
Una tabla para algunos valores es suficiente
x 0 −1 −2 −3 −4 1 2 3 412x 1 2 4 8 16 1
214
18
116
Yo hago el gráfico en la pizarra y tú en la hoja.
Actividad en aula 1.39 Grafica las funciones y = 3x yy = 3−x
1.1.5. La función ex
Se obtiene de y = ax reemplazando a por e quees la base de los logaritmos naturales. Es la másfamosa de las funciones exponenciales. Como e =
2,71828182845904523 · · · > 1, entonces se trata de unafunción creciente. Esta función tiene por dominio dedefinición el conjunto de los números reales.
Cuaderno 1.40 Busca y anota un problema donde semuestre una aplicación de la función exponencial.
2. Función logaritmoA la función f (x) = loga x, siendo a > 0 y a 6= 1, se lellama función logarítmica de base a.La función logarítmica más utilizada es la que tiene porbase el número e, de hecho cuando hablemos de la“función logarítmica” sin especificar la base, entendere-mos que es la que tiene por base dicho número, le lla-maremos función logaritmo natural y le denotamos co-mo f (x) = lnx.Esta clase de funciones sirven para modelar una grancantidad de situaciones.
Las formas exponencial y logarítmica están conectadaspor
y = ax ⇐⇒ loga y = x
Desde un punto de vista geométrico, las gráficas de lasfunciones exponencial y logarítmicas son simétricas res-pecto de la recta y = x. El par de figuras siguientes ilus-tra esta propiedad.
Actividad en aula 2.1 Hacer la gráfica de las funcionesy = log2 x y y = log1
2x
Algunas propiedades de y = loga x
Las propiedades generales de la función logarítmica sededucen a partir de las de su inversa, la función expo-nencial. Así, se tiene que:
1. La función logarítmica sólo existe para valores de x
positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio esel intervalo (0,∞).
2. Las imágenes obtenidas de la aplicación de una fun-ción logarítmica corresponden a cualquier elementodel conjunto de los números reales, luego el recorri-do de esta función es R.
3. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, yaque loga 1 = 0, en cualquier base.
4. La función logarítmica de la base es igual a 1.
10
5. La función logarítmica es creciente para a > 1 y de-creciente para a < 1.
Cuaderno 2.2 Busca y anota un problema donde semuestre una aplicación de la función logarítmica.
2.0.6. Funciones definidas a trozos
Una función definida a trozos es aquella cuya expresiónanalítica contiene más de una fórmula, esto es, para dis-tintos valores de la variable independiente x se debenusar distintas fórmulas que permitan calcular la imageny que les corresponde.Es imprescindible conocer qué formula usar con cadavalor de x, por lo que cada una de las fórmulas se acom-paña obligatoriamente de una condición que especificasu dominio de aplicación.
Ejemplo 2.3
f (x) =
{x2, si x < 2
4, x > 2
Actividad en aula 2.4 Graficar las funciones:
1. f (x) =
{2x + 4, si x > 0
4− 2x, si x < 0
2. f (x) =
x2, si x < 2
1, si x = 2
4, si x > 2
Cuaderno 2.5 Graficar las funciones:
1. f (x) =
x2, si x < 2
1, si x = 2
4, si x > 2
2. f (x) =
x− 3, si x ≤ 0
2, si 0 < x < 3
−x, si x ≥ 3
Entre las funciones a trozos más famosas tenemos; elvalor absoluto, la parte entera y la función signo.
2.0.7. Función valor absoluto
La función valor absoluto tiene por ecuación f (x) = |x|.Siempre será positiva o nula. Esta condición, de sersiempre positiva o nula, hace que su gráfica se encuen-tre sobre el eje x, o a lo sumo, tocándolo.
La función valor absoluto es una función par, su graficaes simétrica con respecto al eje y, su dominio son todoslos reales, su recorrido o rango son todos los reales pos-itivos.Las funciones en valor absoluto se pueden resolver ograficar siguiendo los siguientes pasos:
1. Se hallan los “puntos de quiebre”.
2. Se evalúa el signo a izquierda y derecha.
3. Se define la función a intervalos.
4. Se representa la función resultante.
Ejemplo 2.6 Representemos y = |x− 3|
Es claro que el “punto de quiebre” es x = 3. Se sigueque a la derecha la cantidad en valor absoluto es pos-itiva y a la izquierda negativa. Esto nos lleva a tener eltercer paso indicado, esto es:
f (x) =
{x− 3, si x > 3
−(x− 3), si x < 3
Para graficarla, un par de valores a izquierda y derechadel punto de quiebre. Con x = 3 se tiene f (4) = |4−3| = 1
y con x = 2 tenemos f (2) = |2 − 3| = 1, con lo cual haytres puntos (3, 0), (4, 1) y (2, 1). Su gráfica es
Actividad en aula 2.7 Representa las funciones:
1. f (x) = |x + 2|
2. f (x) = |x2 − 5x + 6|
3. f (x) = |x| − x
4. f (x) = |x|x
Cuaderno 2.8 Grafica las funciones:
1. f (x) = |x2 − 4x + 3|
2. f (x) = |x| + 1
3. f (x) = 13|x|
4. f (x) = |x + 1|
11
2.0.8. Función parte entera
La parte entera de un número ya la conocemos. Recuer-da que [3, 1] = 3, [−1, 2] = −2 y así por el estilo. Más aún,su definición es
f (x) = [x] = max{k ∈ Z/ k ≤ x}
La función parte entera hace que a cada numero real,se le asigne un número entero, y este numero ENTEROque se le asigne, debe ser el mayor entero que es menorque x. Otra cosa interesante es saber que como entredos enteros, hay infinitos decimales, todos esos deci-males tendrán la misma imagen, pues la parte enterase define como el entero anterior.Veamos como están de frescos tus recuerdos. Halla[ [π] + [
√3] ].
Ahora, una pequeña tabla y tenemos la gráfica de laparte entera. Se conoce también como “función es-calera” o “escalonada” por la forma de su gráfica.
2.0.9. Función signo
Se simboliza por sgn(x), y corresponde a la siguienteexpresión:
f (x) = sgn(x) =
1, si x > 0
0, si x = 0
−1, si x < 0
Su gráfica es la siguiente
2.0.10. Funciones Periódicas
Las funciones periódicas más interesantes son lastrigonométricas.
La función f es periódica, de periodo p, si y sólo sif (x) = f (x + p), ∀x ∈ A. El menor número p se llamaperiodo de la función.
2.0.11. Funciones Trigonométricas
El seno y el coseno son las dos funciones trigonométri-cas básicas, y a partir de ellas se obtienen las cua-tro restantes, tangente, cotangente, secante y cose-cante. Veamos su origen.
Sea C la circunferencia unitaria (radio 1) de centro elorigen de coordenadas que muestra la figura.
Se construye la función
ω : R→ C, t 7→ ω(t)
como sigue:
1. Para los t ≥ 0, ω(t) es aquél punto P de la circun-ferencia cuya longitud de arco desde (1, 0) hasta P
es t, recorriendo la circunferencia tantas veces comosea necesario, en sentido positivo.
2. Para los t < 0, ω(t) es aquél punto P de la circunfe-rencia cuya longitud de arco desde (1, 0) hasta P es−t, recorriendo la circunferencia tantas veces comosea necesario, en sentido negativo.
Observa con atención la circunferencia unitaria de arri-ba. Vamos a definir los segmentos que representan alseno y al coseno.
Si el punto P tiene coordenadas (x, y), se definen:
x = cos t , y = sen t
Tienes que estar clarito. El seno es la longitud del seg-mento vertical que va dejando el punto al moverse sobrela circunferencia. Del mismo modo, el coseno es la lon-gitud del segmento horizontal que va dejando el puntoal moverse sobre la circunferencia.
Actividad en aula 2.9 Observa en forma calmada y re-lajada la circunferencia unitaria. !Please! no corras apreguntarle al profe, piensa un momento, reflexiona, dis-cute en grupo y luego completas sobre los espacios in-dicados. ¡Ah, otra cosa!, escribe A si aumenta y D sidisminuye. Tienes que ir moviendo el punto (“mental-mente”) sobre la circunferencia para ver lo que pasa conel seno y el coseno.
1. A medida que el punto P se desplaza hacia arribapor la circunferencia, desde 0 hasta 90◦ el valor delsegmento que define a la función seno se encuentraentre .... y ...... Por otra parte, el segmento que definela función coseno se encuentra entre ...... y ......
12
2. Ahora, desde los 90◦ hasta los 180◦ el valor del seg-mento que define a la función seno se encuentra en-tre ...... y ...... El valor del segmento que define lafunción coseno está entre ...... y ......
3. En el tercer cuadrante los valores del seno varíanentre ...... y ...... los del coseno entre ...... y .....
4. Por último, en el cuarto cuadrante el valor del senovaría entre ... y ... El valor del coseno se halla entre... y ...
Completa la siguiente tabla del seno y coseno.
radianes 0 π2 π 3π
2 2π
senocoseno
2.0.12. Propiedades del Seno y Coseno
Considera de nuevo la circuferencia unitaria.
¿Te acuerdas de un teorema que habla de la suma delos cuadrados de los catetos? Bueno, Al traducir en tér-minos de seno y coseno queda
sen2t + cos2t = 1
Actividad en aula 2.10 La circunferencia unitaria temuestra sobre ella un punto de coordenadas (x, y).Simétricamente, en el cuarto cuadrante aparece sobrela circunferencia el punto de coordenadas (x,−y).
1. La propiedad que se cumple para el seno essen(−t) = .................
2. Y la que cumple el coseno es cos(−t) =
..........................
En lenguaje común y corriente significa que el cosenoes una función par, y que el seno es una función im-par.
Actividad en aula 2.11 Descubre la siguiente propiedad.El punto (x, y) sobre la circunferencia unitaria, ese mis-mo, el “negrito” que se ve en la figura anterior
1. ¿Cuánto demora en recorrer la circunferencia yvolver al mismo punto? ...
2. Si eso es así, entonces las funciones seno y cosenoson ...............................
3. Esto es, sen(t + 2π) = .............., cos(t + 2π) =
.........
Bien, ahora nos dedicamos a ver como graficar estasfunciones.
2.0.13. Gráfica de las funciones trigonométricas
Lo primero y más importante es que sabemos que am-bas funciones, el seno y el coseno, son periódicas deperiodo 2π. Esto significa que graficamos en un interva-lo de longitud 2π y luego “clonamos” la gráfica en el restode los intervalos de igual longitud. También conocemosque sus valores máximo y mínimo son 1 y −1 respecti-vamente.
Actividad en aula 2.12
1. Para hacer la gráfica del seno y del coseno, se nece-sitan sus valores en 30◦, 45◦ y 60◦. La ayuda que tedoy es que debes usar un triángulo equilátero y unrectángulo isósceles.
13
2. Para tener clara la película completa la tabla
radianes π6
π4
π3
π2 π 3π
2 2π
seno 1 0 -1 0coseno 0 -1 0 1
Actividad en aula 2.13 1. Ahora hacemos la gráficadel seno y del coseno en los planos dados. Recuer-da, sólo en [0, 2π] después se clona todo. Otra cosa,el seno y el coseno son curvas “suaves” no son rec-tas.
2.0.14. Seno: Amplitud, periodo y fase
La figura muestra la llamada curva general del seno.
En ella:
A es la amplitud (la mitad de la distancia entre los valoresmáximo y mínimo)
C es el desplazamiento vertical que puede tener lafunción
P es el periodo o longitud de onda (tiempo necesariopara que la función ejecute un ciclo completo)
ω es la frecuencia angular (ω · P = 2π)
α es el desplazamiento o ángulo de fase (donde lacurva cruza la recta y = C, o bien, el desplazamiento que sufrela función por una traslación horizontal)
Actividad en aula 2.14 Con tu profesor analizas las si-guientes funciones, en cuanto a amplitud, periodo, fre-cuencia y ángulo de fase, las graficas.
1. y = sen 2t
2. y = sen 4t
3. y = −2 sen(x3
)4. y = 1 + 2sen x
5. y = 3 sen 2x
6. y = 2sen(3t− π
2
)Cuaderno 2.15 La demanda de empleo se modela porla función
f (t) = 4 sen(t + 3) + 8
con t tiempo en años. Hallar la amplitud, el desplaza-miento vertical, el desplazamiento de fase, la frecuenciaangular y el periodo. Graficar.
2.0.15. Coseno: Amplitud, periodo y fase
La figura muestra la curva general del coseno.
En ella:
A es la amplitud.
C el desplazamiento vertical.
P el periodo o longitud de onda.
ω la frecuencia angular (ω · P = 2π).
α el desplazamiento de fase (la distancia entre eleje y y su valor máximo)
Actividad en aula 2.16 El nivel del agua en función deltiempo para las mareas está gobernado por la ecuación
y = 5 + 4 cos(π
6x)
Hallar amplitud, periodo y fase. Trazar la gráfica
Cuaderno 2.17 Para y = 2cos[π2(x− 2)
]− 2. Hallar am-
plitud, periodo y fase. Trazar la gráfica
2.0.16. Identidades trigonométricas
En muchos problemas que involucran funcionestrigonométricas es necesario cambiar una expresión porotra que sea equivalente. Estas expresiones son lasque se denominan identidades trigonométricas. Tienenla característica de ser verdaderas para todo valor delángulo involucrado.
Hemos tenido ya la oportunidad de conocer algunas deellas. La más clásica, la más conocida, la más popular
sen2α + cos2α = 1
que se deduce de la circunferencia unitaria por “obray gracia” del famoso Pitágoras. Otras identidades sonlas que se forman por cocientes de senos y/o cosenoscuando se crean las restantes funciones trigonométric-as, a saber:
14
tg α =senα
cosα
ctg α =cosα
senα
sec α =1
cosα
csc α =1
senα
tg α =1
ctgα
Si estas fueran las únicas ¿Qué gracia tendrían?
Actividad en aula 2.18 1. Te presento dos identidadesun poco menos populares. Para hallar lo que resulta,transforma a senos y cosenos, saca común denomi-nador, usa la identidad fundamental, y ¡listo!.
1 + tg2α = .......................................................
1 + ctg2α = ......................................................
Ves que la vida te sonrie. Es linda la matemática, sacudeel polvo que se acumula entre las neuronas, es como unjarabe para el cerebro.
No me interesa que andes probando identidades comoloco, ¡no!, importa que sepas usarlas en el momentoadecuado. Un pequeño manual de “cortapalos” es el si-guiente:
2.0.17. Identidades Básicas
1. sen2α + cos2α = 1
2. 1 + tg2α = sec2α
3. 1 + ctg2α = csc2α
4. csc α =1
senα
5. sec α =1
cos α
6. tg α =1
ctg α
7. tg α =senα
cos α
8. ctg α =cos α
senα
9. tg(x+y) =tg x + tg y
1− tg x tg y
10. tg(x−y) =tg x− tg y
1 + tg x tg y
11. sen(2x) = 2sen x cos x
12. cos(2x) = cos2x−sen2x
13. sen(x
2) = ±
√1− cos x
2
14. cos(x
2) = ±
√1 + cos x
2
15 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
16 sen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y
17 cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
18 cos(x− y) = cos x cos y + sen x sen y
19 sen x + sen y = 2sen(x + y
2) · cos(x− y
2)
20 sen x− sen y = 2cos(x + y
2) · sen(
x− y2
)
21 cos x + cos y = 2cos(x + y
2) · cos(x− y
2)
22 cos x− cos y = −2sen(x + y
2) · sen(
x− y2
)
Te haremos entrega de un formulario que contiene to-das estas identidades, no queremos que las memoricestodas, ¡no!, nuestro objetivo es que las aprendas a usar.
Ejemplo 2.19 Probemos quesec x
tg x + ctg x= sen x
No existe un método obligatorio para resolver una iden-tidad. Puedes partir del lado izquierdo de la igualdad ypor procesos algebraicos llegar al lado derecho, o bien,trabajar en paralelo ambos lados de la igualdad y llegara un resultado común, y por último, pasar todo a un so-lo lado y resolver la igualdad a cero. Los profes tienenparticular preferencia por la primera forma. Hago esa.
sec x
tg x + ctg x=
1
cos xsen x
cos x+cos x
sen x
=
1
cos xsen2x + cos2x
sen x · cos x
=
1
cos x1
sen x · cos x
=sen x · cos x
cos x
= sen xPuede ser útil para resolver una identidad reducir todo asenos y/o cosenos.
Actividad en aula 2.20 Con ayuda del profe pruebaque
tg x− sen xsen3x
=sec x
1 + cos x
2.0.18. Funciones trigonométricas Inversas
Las funciones trigonométricas son todas peródicas, demodo que las gráficas de ninguna de ellas pasa la prue-ba de la línea horizontal para ser inyectiva. Esto significaque ninguna de ellas tiene una inversa a menos que eldominio de cada una esté restringido a hacer de ella unafunción inyectiva.Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un do-minio adecuado podemos usar todos los valores del ran-go. Si restringimos el dominio de f (x) = senx a [−π
2 ,π2 ]
hacemos la función inyectiva. El rango es [−1, 1]. (Porsupuesto que hay muchas formas de restringir el do-minio para obtener una función inyectiva)
Denotamos la función inversa como y = arcsen x. Selee y es la inversa del seno de x, y significa que y esel ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Porejemplo, tener y = arcsen1
2 significa hallar el ángulo bajoel cual la función seno tiene el valor 1
2, que como sabe-mos es 30◦ en el primer cuadrante y 150◦ en el segundocuadrante.
15
Para graficar la inversa de la función seno, se recuerdaque la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de lafunción seno.
Hay que darse cuenta que ahora el dominio es el rangoy que el rango es ahora el dominio.
Similarmente, podemos restringir el dominio del cosenoy hacer que sea inyectivo.
El dominio de la función coseno inversa es [−1, 1] y elrango es [0, π].
En el caso de la inversa de la tangente:
El dominio de la función tangente inversa es(−∞,∞) y
El rango es [−π2 ,
π2 ].
El mismo proceso es usado para encontrar las funcionesinversas de las funciones trigonométricas restantes;cotangente, secante y cosecante.
Un cuadro resúmen es el que sigue:
2.0.19. Ecuaciones trigonométricas
Estas son expresiones que contienen funcionestrigonométricas y que son válidas sólo para algunos va-lores del ángulo involucrado. Trabajamos en [0, 2π], yaque por peridiocidad para seno y coseno solo es nece-sario sumar 2π y para tangente y cotangente sumar π.
Ejemplo 2.21 Es sencillo verificar que:
sen x = 1 =⇒ x = π2 = 90◦
sen x = 1√2
=⇒ x =
Estoy seguro que te faltó un valor en sen x = 1√2. No me
digas nada, te olvidaste que la función seno es positi-va en dos cuadrantes y negativa en los otros dos. Losvalores positivos los encuentras en el primer y segundocuadrante para el seno y primer y cuarto para el coseno.Además, te recuerdo que existen dos resultados “espec-taculares”:
Las funciones de 90◦ y 270◦ más o menos un ánguloagudo son iguales a las cofunciones del ángulo agu-do, con el signo del cuadrante correspondiente. Porejemplo:
• sen(90◦ + α) = cos α, seno es positivo en II cuadrante• sen(270◦ + α) = −cos α, seno es negativo en IV cuadrante
Las funciones de 180◦ y 360◦ más o menos un án-gulo agudo son iguales a las mismas funciones delángulo agudo, con el signo del cuadrante correspon-diente. Por ejemplo:
• sen(180◦+α) = −senα, seno es positivo en III cuadrante• cos(180◦ + α) = −cos α, coseno es negativo en III cuadrante
El proceso es análogo con las otras funcionestrigonométricas.
Ejemplo 2.22 Para hallar el valor de sen 120◦ escribimos
sen 120◦ = sen(180◦ − 60◦)
Mirando el resultado recién mencionado, esto equivalea decir que
sen 120◦ = sen60◦ =
√3
2El signo se toma positivo pues el ángulo es 120◦, y elseno de ese valor es positivo.
16
Actividad en aula 2.23 Halla el valor de cos 300◦
Ejemplo 2.24 Estos dos últimos cálculos nos muestranel camino para hallar los dos valores en los cualessen x = 1√
2
Lo primero es saber que el seno es positivo en el primery segundo cuadrante. Con esto en mente me instalo en45◦ y le sumo 90◦ para llevarlo al segundo cuadrante.Tengo que la suma me da 135◦. Listo! este es el otrovalor. Lo verifico para que quedes tranquilo:
sen135◦ = sen(180◦ − 45◦) = sen45◦ =1√2
Actividad en aula 2.25 Hallar el ángulo en [0, 2π] quehace la igualdad en
senα + cos α = 1 =⇒ α =
Actividad en aula 2.26 Hallar los ángulos en [0, 2π] quesatisfacen la ecuación
2 cos2x + cos 2x− 1 = 0
Es sencillo darse cuenta que la ecuación contiene sólofunción coseno, pero que éste tiene dos tipos de ángu-los, uno simple, x, y el otro doble, 2x. La idea es dejartodo en un sólo tipo de ángulo, ¿cómo?, con una iden-tidad. La siguiente
cos 2α = cos2α− sen2α
1. Con esto la ecuación dada para resolver se reduce a
.....................................................................................
Al reunir términos semejantes, despejar y sacar raízse obtiene
cos2x =1
2=⇒ cos x = ± 1√
2
El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantey negativo en los dos restantes. La forma más sen-cilla, sin calculadora de obtener los valores es
Sacar el ángulo x en el primer cuadrante. El delsegundo es 180◦ − x, en el tercero 180◦ + x, en el
cuarto 360◦ − x
2. Es obvio que en el primer cuadrante se obtiene unvalor positivo (todas las funciones tienen valores positivosen el primer cuadrante).
cos x =1
2=⇒ x = .....................
3. Ves que es fácil, ahora, el otro cuadrante positi-vo para el coseno es el cuarto, por tanto, x =
....................... ¿Qué te parece? ¿Quién te metiómiedo con la trigonometría? Seguro que no te la ex-plicaron bien.
4. Sigamos, se pide también los valores negativos, eldel segundo cuadrante es x = ..................., y el deltercero x = ........................... ¿Cómo andas?
5. Ahora ordenamos el asunto y escribimos el conjuntosolución de la ecuación
Sx = {..........................................................}
sa-tis-fa-cen
Cuaderno 2.27 Resuelve en [0, 2π] la ecuación sen2x −cos2x = 1
2.
2.0.20. Ley del seno
En todo triángulo los lados son proporcionales a lossenos de los ángulos opuestos.
a
senA=
b
senB=
c
senC
eeeeeee�������
C
A B
ab
D c
h
Actividad en aula 2.28 Aquí vamos a poner a prueba tucapacidad de análisis lógico. Hay que probar que éstees correcto. No te asustes, como siempre el profe al piedel cañon te estará guiando por el “buen camino”.
1. Considera el triángulo ABC dado en la figura.
En el triángulo rectángulo ACD se tiene senA = ...
En el triángulo rectángulo BCD se tiene senB = ...
¿Qué te parece? Estás listo. Se concluye que
a
senA= .............................................
De forma análoga se prueba la relación que falta.¿La quieres hacer?, ¡bueno ya!, te dejo el espacio
Actividad en aula 2.29 Artemio, el salvavidas de lacaseta A, observa a un nadador que se ahoga bajo unángulo de 58◦. Al mismo tiempo, Anastasio, el salvavi-das de la caseta B, lo observa bajo un ángulo de 47◦.Si ambos están separados a una distancia de 50m en-tre sí. ¿Qué distancia tiene que recorrer cada salvavidaspara rescatarlo? ¿Quién llegará primero?
Cuaderno 2.30 Para ir del pueblo A al pueblo B los ve-hículos deben pasar primero por el pueblo C. Para min-imizar el tiempo de viaje se construirá un túnel para unirA con B. Los ingenieros hicieron las siguientes medidasAC = 36 kms, ∠CBA = 45◦, ∠CAB = 71, 6◦. Hallar ladistancia del túnel (AB) y los kilómetros que se ahorrancon la construcción del túnel.
17
2.0.21. Ley del coseno
En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menosel doble producto de estos lados por el coseno delángulo comprendido, es decir
a2 = b2 + c2 − 2bc · cosAb2 = a2 + c2 − 2ac · cosBc2 = a2 + b2 − 2ab · cosC
Actividad en aula 2.31 Sobre un cuerpo se ejercen dosfuerzas, una de 17,5 kilogramos y la otra de 22,5 kilo-gramos. Estas fuerzas forman un ángulo de 50◦10′. Hal-lar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo queésta forma con la fuerza mayor.
1. Haz un esquema de la situación
2. Para hallar el lado te sugiero ley de coseno
3. Si te parece, el ángulo que forma la fuerza resultantecon la fuerza mayor lo puedes hallar por ley de senos
Cuaderno 2.32 En el triángulo de la figuraA = 20,B = 8
y θ = 60◦. Determinar el valor del lado C y los ángulosinteriores restantes.
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Solutions to ExercisesActividad-Aula 2(a)
f (a + b) = (a + b)2
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Actividad-Aula 2(b)f (?) = ?2
�
20
Actividad-Aula 2(c)g(0) = 1
�
21
Actividad-Aula 2(d)g(x + y) = 2(x + y) + 1
�
22
Actividad-Aula 2(e)g(?) = 2 ? +1
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Actividad-Aula 2(f)f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2
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Actividad-Aula 2(g)g(f (x)) = g(x2) = 2x2 + 1
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Actividad-Aula 3(a) center La temperatura cuando el mercurio alcanza 10 cms
red�Actividad-Aula 3(b) center Los centímetros de mercurio que corresponden a una temperatura de 75grados F ◦
red�
Actividad-Aula 4(a) centerred�