FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALES

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALES

LIMA SETIEMBRE 2014 |

INDICE: Introduccin

Capitulo I: Funciones trigonomtricas de nmeros Reales1.1. Definicin1.2. El crculo unitario y puntos terminales en l1.3. Valores de las funciones trigonomtricas en algunos nmeros reales particulares.1.4. Funciones trigonomtrica de nmeros reales1.5. Dominios y rangos de las funciones trigonomtricas de nmeros reales 1.6. Identidades trigonomtricas fundamentales1.7. Grficas de las funciones trigonomtricas bsicas1.8. Funciones peridicas

CAPITULO II: Funciones trigonomtrica2.1 concepto: 2.2 funcin seno: 2.3 funcin coseno 2.4 funcin tangente2.5 funcin cotangente2.6 funcin secante2.7 funcin cosecante2.8 transformaciones de grficas de funciones trigonomtricas2.9 funciones sinusoidales

ConclusinBibliografa

Introduccin

Se conocer las funciones trigonomtricas de nmeros reales, la aplicacin, el dominio y el rango de las funciones como tambin la forma que como se grfica y las descripcin de las funciones trigonomtricas seno coseno tangente cotangente secante y cosecante

CAPITULO IFUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALES1. DEFINICIN: El valor de una funcin trigonomtrica en un valor real t, es igual al valor para un ngulo de t radianes, siempre y cuando el valor existe. Segn est definicin, podemos interpretar sin 2 de una de dos formas El seno del nmero real 2 o El seno del ngulo que mide 2 radianes

2. EL CRCULO UNITARIO Y PUNTOS TERMINALES EN L Podemos interpretar funciones trigonomtricas geomtricamente utilizando un crculo unitario (de radio 1, con ecuacin x2 + y2 = 1). Sea t un nmero real tal que 0 < t < 2, y sea un ngulo con medida en radianes igual t; entonces, s=r implica que s = (1) = y a su vez, s = t. Esto implica que s = , o sea que la medida de arco interceptado es igual a la medida de ngulo central[footnoteRef:1]. [1: Portal web Crodz. Funciones Trigonomtricas de nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap5_3.pdf]

Podemos asociar cada nmero real t con un punto nico P(x, y) sobre el crculo unitario U.

Nota: Para definir las funciones trigonomtricas de nmeros reales, tambin llamadas funciones circulares, a cada nmero real t le asignaremos un punto P (t) = (x, y) de la circunferencia unitaria. Dado t R, recorremos t unidades sobre (a lo largo) de la circunferencia unitaria, comenzando en el punto (1, 0), en sentido contrario de las manecillas del reloj, si t es positivo. Si t es negativa, entonces nos movemos a favor de las manecillas del reloj. Usaremos las coordenadas del punto P (t) = (x, y) para definir las funciones trigonomtricas del nmero t.[footnoteRef:2] [2: Portal web Preculo. Trigonometra: Funciones Trigonomtricas de Nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde: http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/trigonometria%20func%20trig%20numeros%20reales%20Marzo%2027%202012.pdf]

Figura: Movimiento a lo largo de la circunferencia unitaria

Fuente: Rivera[footnoteRef:3] [3: Ibidem]

3. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS EN ALGUNOS NMEROS REALES PARTICULARES.Para cada en el dominio respectivo, los valores de las siguientes funciones trigonomtricas cumplen con las siguientes condiciones Identidades bsicas

Tan , cot R[footnoteRef:4]. [4: Portal web Crodz. Funciones Trigonomtricas de nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap5_3.pdf]

4. FUNCIONES TRIGONOMTRICA DE NMEROS REALESSea t un nmero real y sea P(x, y) el punto de la circunferencia unitaria correspondiente al nmero t. Si la funcin est definida, entonces

Fuente:[footnoteRef:5] [5: Ibidem]

Nota: Si el punto correspondiente al nmero t est en uno de los ejes de coordenadas, entonces habr dos funciones trigonomtricas que no estn definidas.

EjemploEn la siguiente figura, el punto P(x, y) en el crculo unitario U, corresponde al nmero real t. (Por lo tanto, < t < 3/2). Determinar los valores de las funciones trigonomtricas para t.

Solucin Las coordenadas de P(x, y) son x = , y = . Por lo tanto, usando las definiciones para los valores de las funciones trigonomtricas en trminos del crculo unitario tenemos que:

5. DOMINIOS Y RANGOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALESSe presentan los dominios de las funciones trigonomtricas:

Figura: Relacin entre los diferentes tipos de funciones trigonomtricas

6. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALESSea t un nmero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacin estn definidos, entonces:

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes son funciones impares

Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre las identidades de cofunciones .

Ejercicio: Identidades de Cofunciones En el tringulo rectngulo que se muestra, explique por qu =/2 . Adems, explique cmo se pueden obtener las seis identidades de cofunciones a partir de este tringulo para 0 < < /2.

7. GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS BSICASUsaremos la definicin de funciones trigonomtricas dentro del crculo unitario para obtener sus grficas. Si t es un nmero real number y P(x, y) es el punto sobre el crculo unitario, U, que corresponde a t, entonces usando la definicin de las funciones trigonomtricas tenemos que:

Complete la tabla de valores del crculo unitario.

8. FUNCIONES PERIDICASUna funcin cuyos valores se repiten en un intervalo de cierta longitud, se conoce como una funcin peridica. La longitud del intervalo ms pequeo en el cual se repiten los valores se conoce como el periodo. Las funciones de seno y coseno son peridicas porque sus valores se repiten cada 2 unidades[footnoteRef:6]. [6: Portal web Crodz. Funciones Trigonomtricas de nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap5_3.pdf]

Ejemplos: Determinar el valor del seno o el coseno en cada caso.

Grficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)Comenzaremos el estudio de las grficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores con x = a los mltiplos de /[footnoteRef:7] [7: Portal web Crodz. Funciones Trigonomtricas de nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap5_3.pdf]

.

Grfica de f(x)=sin(x). Localizemos estos puntos en un plano trigonomtrico

Grfica de f(x)=cos(x). Localizemos estos puntos en un plano trigonomtrico

CAPITULO IIFUNCIONES TRIGONOMTRICAS2.1. CONCEPTO: Las funciones trigonomtricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenmenos peridicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente elctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilacin de pndulos, ciclos comerciales, movimiento peridico de los planetas, ciclos biolgicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonomtricas relacionadas con fenmenos que se repiten peridicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de nmeros reales. Para la obtencin de valores de las funciones trigonomtricas de nmeros reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radin[footnoteRef:8]. [8: Universidad de Talca . Modelos matemticos y funciones. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde file:///C:/Users/USER/Downloads/Grafico_de_funciones_trigonomatricas%20(1).pdf]

2.2. FUNCIN SENO: La funcin seno es la funcin definida por: f(x)= sen x. Caractersticas de la funcin seno Como: 1 senx 1 y el angulo x puede tomar valores desde 0 hasta (radianes = reales) afirmamos que: f(x) = sen x, x R[footnoteRef:9]. [9: Universidad de Chile. Captulo 3: Las Funciones Trigonomtricas . Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://www.cec.uchile.cl/~jorrojas/trigonometria.pdf]

2.3. FUNCIN COSENO La funcin coseno es la funcin definida por: f(x)= cos x. Caractersticas de la funcin cosenoComo: 1 cos x 1, x R, f(x) = cos x[footnoteRef:10]. [10: Ibidem]

2.4. FUNCIN TANGENTELa funcin tangente es la funcin definida por: f(x)= tan x.. Caractersticas de la funcin tangente Para el dominio de la tangente es necesario que cosx 6= 0 es decir x 6= (2k + 1) /2, k Z. Segn su definicin geomtrica (AT eje de las tangentes) se tiene que su recorrido son todos los reales, asF(x) = tgx, Domf = R {x | x = (2k + 1)/2 , k Z y Recf = R

Las otras tres funciones trigonomtricas: cotangente, secante y cosecante son tambin funciones peridicas. Las funciones trigonomtricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes haban dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistemtico a las funciones trigonomtricas. La periodicidad de estas funciones y la introduccin de la medida de los ngulos por radianes, fue realizada por Euler en su Introductio in Analysis Infinitorum en 1748.

2.5. FUNCIN COTANGENTEEn forma anloga que para el caso de la funcin tangente, obtenemosF(x) = cotg x, Domf = R {x| x = k, k Z} Rec f = RNote que senx = 0 x = k, k Z

2.6. FUNCIN SECANTEf(x) = secx, Dom f = R {x| x = (2k + 1)/2 , k Z} y Rec f = (, 1] [1, +)

2.6. FUNCIN COSECANTEf(x) = cosecx; Domf = R {x| x = k, k Z} y Rec f = (, 1] [1, +)

2.7. TRANSFORMACIONES DE GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICASLas reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la grfica de una funcin se pueden aplicar a las funciones trigonomtricas, recordadas en el siguiente diagrama:

2.8. Funciones sinusoidales Son funciones relacionadas con las funciones seno y coseno: y = Asen(Bx + C) + D, y = Acos(Bx + C) + Do una combinacin de stas.

La periodicidad de las funciones seno y coseno desempea un papel importante en la obtencin de las grficas de estas funciones.

Caractersticas de estas funciones Las grficas de las funciones y = Asen(Bx + C) + D e y = Acos( , Bx + C) + D considerando B>0, se pueden obtener a partir de las grficas de las funciones y=senx, e y=cosx, cuyas caractersticas se sealan a continuacin: Amplitud: |A|, que es el promedio de la diferencia entre los valores mximo y mnimo. Perodo: 2/ B . Desfase: C/B, desplazamiento horizontal de C/B unidades a la derecha o a la izquierda, segn si C es negativo o positivo, de la grfica de y = A f (Bx) Desplazamiento vertical: traslacin vertical en D unidades de la grfica de y = A f (Bx + C)

Ejemplo 1. Grfica de la funcin y = -3 sin(2x- /3). Amplitud = |-3| = 3, Perodo = = 2/2 , Desfase = /6

Ejemplo 2. Movimiento armnico simple. Un cuerpo est vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuacin f (t)=8cos (/3* t), donde f (t) centmetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posicin central (el origen) a los t segundos, considerando como sentido positivo hacia arriba.

Como la amplitud es 8, el mximo desplazamiento es 8cm. El perodo P es 2/ (/ 3), es decir P=6. Por lo tanto, se requieren 6 segundos para una vibracin completa del cuerpo. Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posicin central. En el primer segundo el cuerpo baja 1.1 cm, es decir, se encuentra situado a 6.9cm arriba del origen, etc. La grfica de la funcin y=f (t) se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo 3. Grfica de la funcin y = 2cos(3x+ )-1. Amplitud = 2, Perodo =2/3 , Desfase = -/3 , Desplazamiento vertical = -1

CONCLUSIN

Tras el estudio de las nombradas funciones trigonomtricas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemticas como para muchas otras ciencias, en especial la fsica y la qumica.Adems se pudo observar a lo largo deldesarrollolos diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber tambin estudiado las ecuaciones matemticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemtica.Creemos que el resultado obtenido trasel trabajode investigacin fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la informacin terica, y creemos que tambin estmonografanos ser til en la prctica.

BIBLIOGRAFA

Portal web Crodz. Funciones Trigonomtricas de nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap5_3.pdf

Portal web Preculo. Trigonometra: Funciones Trigonomtricas de Nmeros Reales. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde: http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/trigonometria%20func%20trig%20numeros%20reales%20Marzo%2027%202012.pdf

Universidad de Talca . Modelos matemticos y funciones. Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde file:///C:/Users/USER/Downloads/Grafico_de_funciones_trigonomatricas%20(1).pdf

Universidad de Chile. Captulo 3: Las Funciones Trigonomtricas . Extrado el 31 de Agosto de 2014 desde http://www.cec.uchile.cl/~jorrojas/trigonometria.pdf